AWAL

KALKULUS IIKALKULUS II(TKE 201 / WAJIB)(TKE 201 / WAJIB)

DosenDosen PengajarPengajar::Drs. Ir. Drs. Ir. MochMoch. . DhofirDhofir, MT., MT.

Ruang Dimensi Tiga dan VektorFungsi Dinilai VektorDerivatif ParsialIntegral LipatKalkulus Vektor

MATERI

AWAL

1

2

3

4

5

1.1 1.1 SistemSistem KoordinatKoordinat dalamdalam RuangRuang--3D3D1.2 1.2 VektorVektor1.3 1.3 PersamaanPersamaan ParametrikParametrik1.4 1.4 BidangBidang--BidangBidang dalamdalam RuangRuang--3D3D1.5 1.5 PermukaanPermukaan KuadratikKuadratik1.61.6 FungsiFungsi MultivariabelMultivariabel

Ruang Dimensi Tiga dan Vektor

AWAL

AWAL

1.2 Vektor

Vektor satuan dari sembarang vektor Adidefinisikan sebagai

= A /A = A/A= 1

A A = A = k

AWAL

Vektor sejajar A dan B mempunyaivektor satuan yang sama yaitu :e = A /A = B /BSehingga :

A = Ae = A(B /B) = (A/B) B

A = k1 B atau B = k2 A ; k2 = 1/k1

Vektor Sejajar

A= k1B

B

AWAL

Operasi dot() vektor A dan B :A B = ABcos (skalar)

Operasi cross(x) vektor A dan B :A x B =ABsin e (Vektor)

Operasi Vektor

A

B

A x B

B x A

eB x A = - A x B

AWAL

Vektor Satuan dalam Ruang

ax

ay

az

a

az

a

a

ara

Kartesian Tabung Bola

Setiap tiga pasangan vektor satuan saling tegak lurus

AWAL

Komponen Vektor

Komponen vektor A pada arah vektor Badalah Ab, didefinisikan sbg :

Ab = A b dimana b = B /B

=Abcos =Acos

Ab

A

B

Ab : proyeksi A pada B(besaran skalar)

AWAL

Menyatakan Vektor dalam Ruang

Sebuah vektor A dapat dinyatakan oleh :

A = Ax x + Ay y + Az z (Kartesian)A = A + A + Az z (Tabung)A = Ar r + A + A (Bola)

KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR

AWAL

Transformasi Vektor

Vektor : A = Ax x + Ay y + Az zdapat ditransformasi kedalam sistemtabung atau bola dengan mencari :

A ; A ; Az (Tabung)

Ar ; A ; A (Bola)?

Dicari dengan prinsip mencari Komponen Vektor

AWAL

Transformasi Vektor

Tabung Bola

A = A Ar = A rA = A A = A Az = A z A = A

Nilai opersai dot dari dua vektor satuandiperoleh dari Tabel Transformasi

AWAL

Tabel Transformasi

- sin0cos100z

cos. sin

cossin. sin

0cossiny

cos . cos

- sinsin. cos

0- sincosx

rz

TabungTabung BolaBolaKart.Kart.

AWAL

Besar/ Panjang Vektor

Besar vektor A adalah :222A zyx AAA

222A zAAA 222A AAAr

Kartesian

Tabung

Bola

AWAL

Vektor dari Dua Titik

Vektor dari titik P(x1, y1, z1) ke titikQ(x2, y2, z2) adalah vektor :

PQ = (x2-x1) x + (y2-y1) y + (z2-z1) zAtau ditulis dengan cara singkat :

PQ = x2-x1, y2-y1, z2-z1, Misal A = PQ

Ax = x2-x1 ; Ay = y2-y1 ; Az = z2-z1

AWAL

Vektor dari Dua Titik

P(x1, y1,z1)

Q(x2, y2,z2)

x

y

A

A = x2-x1, y2-y1, z2-z1

AWAL

Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor denganpangkal pada titik O(0,0,0) dan ujungpada sembarang titik lain P(x,y,z), yaitu :

OP = P = x, y, z = Px, Py, Pz

O

P(x, y, z)P

Pzaz

Pyay

Pxax

AWAL

Menyatakan Vektor dengang DuaVektor Posisi

P(x1, y1,z1)

Q(x2, y2,z2)

x

y

AP

Q

P = x1, y1,z1

Q = x2, y2,z2

A = PQ = x2-x1, y2-y1, z2-z1 = Q - P

VektorPosisi

AWAL

Contoh :

1. Tentukan vektor-vektor satuan dari :

a. A = 2 ax -4 ay + azb. B = - 4 ax + 8 ay - 2 azBagaimana hubungan dari kedua vektor satuantersebut?

2. Tentukan komponen vektor A pada arah vektor Bpada soal No.1 !

3. Tentukan komponen vektor B pada arah vektor A pada soal No.1 !

AWAL

Contoh :

4. Manakah vektor-vektor berikut yang sejajar dantidak sejajar ?

A = 1 ax - 3 ay + 2 azB = 3 ax - 9 ay + 2 azC = 2 ax - 6 ay + 4 azD = 6 ax 18 ay + 12 az

5. Vektor posisi P = dan Q = < -1, 3, 1> . Tentukan vektor PQ dan besarnya !

AWAL

Penyelesaian :

No. 1a

211)4(2A 222

zyx aaa 211

214

212

AAa

AWAL

Penyelesaian :

No. 1b

Karena a = - b, maka arahnya saling berlawanan

84)2(8)4(B 222

zyx aaa 842

848

844

BBb

AWAL

Penyelesaian :

No. 2

Komponen vektor A pada arah B adalah Ab yaitu

Ab = A b

8421

8484

8442bA

8442

bA

AWAL

Penyelesaian :

No. 4

Karena

C = 2 A dan D = 6 A

maka vektor A, C dan D sejajar.

Sedangkan Vektor B tidak sejajardengan vektor A, C maupun D.

AWAL

Penyelesaian :

No. 5

P =

Q =

PQ = Q P = -

PQ =

21412PQ 222

AWAL

Vektor Sama

A

BC

D

A = B = C = D

Dua vektor sama apabilabesar dan arahnya sama

AWAL

Vektor Sejajar dan Tegak Lurus

A B = 0 Tegak Lurus

A x B = 0 Sejajar

A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

A x B = ax ay azAx Ay AzBx By Bz

AWAL

Vektor Sejajar dan Tegak Lurus

A x B = - +Ay AzBy Bz

axAx AzBx Bz

ayAx AyBx By

az

A x B = (Ay Bz - Az By) ax + (Az Bx Ax Bz) ay

+ (Ax By Ay Bx) az

AWAL

Sudut dalam antara dua vektor

Sudut dalam antara vektor A dan B dimana

A = Ax ax + Ay ay + Az azB = Bx ax + By ay + Bz azdapat ditentukan dari operasi dot, yaitu :

BABABABA

acosBABAacos zzyyxx

Sudut dalam

0

AWAL

Sudut terhadap sumbu-sumbu

Sudut vektor Aterhadap sumbu-sumbukoordinat : , ,

A = Ax ax + Ay ay + Az az

A

x

y

AWAL

Sudut terhadap sumbu-sumbu

AAacos

aAaAacos x

x

x

AA

acosaAaA

acos yy

y

AAacos

aAaAacos z

z

z

AWAL

Luas Paralellogram dan Segitiga

Luas paralellogram (L)

L = A Bsin

L = A x B

A

B

A

BBsin

Luas segitiga = dari luas parallelogram

Lsgt = A x B

Paralellogram

AWAL

Volume Prisma Segiempat

Volume Volume prismaprisma (V) (V)

V = V = LuasLuas alas x alas x tinggitinggi

V = V = A x A x BBhh

KarenaKarena

h = h = CC AA x x B B / / A x BA x B

makamaka

VV = = CC A x BA x B

A

B

C

A x B

h

AWALPENYELESAIAN

1.Tentukan vektor-vektor satuan dari :

a. A = ax - 3 ay + 5 azb. B = - 2 ax + 3 ay - az

2. Tentukan komponen vektor A pada arahvektor B pada soal No.1 !

3. Tentukan komponen vektor B pada arahvektor A pada soal No.1 !

Soal mandiri

AWAL

Soal mandiri

PENYELESAIAN

4. Manakah vektor-vektor berikut yang sejajar dantidak sejajar ?

A = 2 ax - 1 ay + 3 azB = - 8 ax + 4 ay - 12 azC = - 4 ax + 2 ay - 6 azD = 6 ax - 3 ay + 9 az

5. Vektor posisi P = dan Q = < 0, -1, 3> . Tentukan vektor PQ dan besarnya !

AWAL

Contoh :

6. Nyatakan vektor-vektor berikut kedalam koordinattabung dan bola:

a. A = ax - 4 ay + 2 azb. B = - 2 ax + ay + 3 az

7. Tentukan AB dan AxB dari vektor pada soal no.1!

8. Tentukan vektor satuan pada arah AxB !

9. Tentukan sudut dalam dari vektor A dan B padasoal no.1!

AWAL