pert 2 matriks & vektor
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ALJABAR MATRIK &
RANDOM VEKTOR
NOVI HIDAYAT PUSPONEGORO
JARAK ANTAR AMATAN
Ukuran Jarak Kesamaan :Euclidean DistanceMahalanobis Distance
Ukuran Jarak Kesamaan ,digunakan untuk mengkaji jarak tiap amatan terhadap ukuran pemusatan data, deteksi outlier, maupun kesamaan karakteristik
Euclidean Distance Setiap koordinat berkontribusi sama dalam
jarak Semakin besar ukuran, semakin besar jarak Tidak memperhitungkan hubungan antar
variabel Tidak robust
Euclidean Distance (2)
22
21
222
21 ,0;,0 xxPdxxPd
Misalnya P=(x1,x2),merupakan nilai dua amatan yang digambarkan dalam sumbu koordinat ,maka jarak P terhadap titik pusat 0= (0,0) adalah
Kurang cocok,jika ternyata nilai amatan yang digambarkan memiliki fluktuasi ataupun arah yang sangat beragam
),...,,(,...,0 2122
22
1 pp xxxuntukPxxxPd
),...,,();,...,,(
,...,
2121
2222
211
pp
pp
yyyQxxxuntukP
yxyxyxQPd
Mahalanobis DistanceMemperhatikan keragaman nilai amatan (variasi)Disebut sebagai”ukuran jarak secara statistik”
11
21
11
212
22
22
11
21 ,0;,0
s
x
s
xPd
s
x
s
xPd
Euclidean V.S Mahalanobis Distance
VEKTOR
DEFINISI PANJANG VEKTOR SUDUT ANTARA 2 VEKTORVEKTOR ORTHOGONAL TURUNAN VEKTOR
PANJANG VEKTOR
Sebuah vektor a berukuran n x 1 memiliki panjang (norm) yang didefinisikan sebagai :
aa'
Dan vektor normal dari adalah:
aaa
'
VEKTOR ORTHOGONAL
Dua buah vektor berukuran n x 1 dikatakan ortogonal satu sama lain jika a’b=0
VEKTOR
Kebebasan LinierSekumpulan vektor kolom atau baris tak nol dikatakan bebas linier jika tidak ada satupun yang bisa dituliskan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya
MATRIKDEFINISIOPERASI MATRIKSMATRIS ORTHOGONALTRACE MATRIKSDETERMINAN MATRIKSINVERS MATRIKSRANK MATRIKSTRANSFORMASI ORTHOGONALAKAR CIRIBENTUK KUADRATMATRIKS DEFINIT POSITIF, DEFINIT NEGATIF, INDEFINITE, SEMI DEF. POSITIF, SEMI DEF. NEGATIFDEKOMPOSISI SPEKTRAL
Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb :
mnmjmmm
inijiii
nj
nj
nij
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
321
321
33333231
22232221
1131211
.....
.....
.....
m, n adalah bilangan bulat ≥ 1.
aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n)
m banyak baris n banyaknya kolom Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)
mxnmatriksorde
Macam matriks
• Matriks bujur sangkar, bila m = n
mxn
987
654
321
Elemen-elemen a11, a22, .........., ann
disebut “elemen-elemen diagonal utama”
• Matriks baris, bila m = 1
• Matriks kolom, bila n = 1
Macam matriks
54321 [ A ]mx1
5
4
3
2
1
[ A ]1x n
• Matriks nol, bila aij = 0 :
0000
0000
0000
Macam matriks
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks Diagonal, Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali
elemen-elemen diagonal utamanya.
4000
0300
0020
0001aij = 0
aii ≠ 0
• Matriks Satuan (unit matriks). Jika elemen-elemen diagonal sama
dengan 1 dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.
Disebut juga matriks identitas = [ I ]
1000
0100
0010
0001
= [ I ]
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks simetris, jika aij = aji
• Matriks skew-simetris, jika aij = - aji
573
702
321
573
702
321
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
OPERASI MATRIKS
• Kesamaan matriks
Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila
aij = bij
[ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.
• Penjumlahan matriks
Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan menjadi matriks [C]
[C] = [A] + [B]
cij = aij + bij
OPERASI MATRIKS
Sifat-sifat penjumlahan Matriks[ A ] + [ B ] = [ B ] + [ A ] → Komutatif[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif
6
3
5
2
4
1
3
2
2
3
1
0
[C] =
36
23
25
32
14
01
[A] =
[B] =
EXAMPLE :
9
5
7
5
5
1[C] =
• Perkalian dengan skalar : Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar k
menghasilkan suatu matriks
[D] = k [A]
dij = k . aij Sifat-sifat perkalian skalar matriks:
k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k
OPERASI MATRIKS
[ A ] = ; k = -2
[ D ] =
6
3
5
2
4
1
12
6
10
4
8
2
EXAMPLE :
• Perkalian matriks Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan
matriks baru
[E]mxn = [A]mxp [B]pxn
dimana :i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n ; k = 1, 2, … p
p
kkjikij bae
1
OPERASI MATRIKS
322
5
3
1
1
2
x
231
2
4
2
1
3
x
22)1(331
25)1(132
xx
xx
122341
152142
xxx
xxx
22124
1515
x
[A] = ; [B] =
[E] =
[E] =
EXAMPLE :
Sifat-sifat perkalian matriks :
• [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif
• ( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif
• [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] ; sifat assosiatif
• [A] [B] ≠ [B] [A]
• [A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]
Perkalian Kronecker
Perkalian Kronecker C denganD inotasikan
C D⊗Yaitu dengan mengalikan setiap unsur
matriks C dengan matriks D, dan
kemudian membuat matriks
gabungannya.
TRANSPOSE MATRIKS
Jika matriks [A] dengan orde m x n
Transpose matriks [A] = [A]T
adalah matriks berorde n x m dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matrix [A]T
326
3
5
2
4
1
x
236
5
4
3
2
1
x
[A] = [A]T =
EXAMPLE :
Sifat-sifat dari transpose matriks
• ( [A]T )T = [A]
• ( k [A] )T = k [A]T
• ( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T
• ( [A] [B] )T = [B]T [A]T
DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR
[A]2x2 =
Det. [A] =
2221
1211
aa
aa
21212211 aaaa A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
3x3[B]
312232211331233321123223332211 ..... bbbbbbbbbbbbbbb B
Co-factor bij = ( –1) i+j Minor bij
Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) → cara sama
ininiiiiikik
n
k
cacacacaA
.......22111
dimana cik = co-factor aik
INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matriks tersebut.
• Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka
matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].• Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR • Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks
SINGULAR.• Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1
101
011
326
421
331
321
100
010
001
[A] = ; [A]-1 =
[A] [A]-1 = = [ I ]
Catatan :Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.
EXAMPLE :
Metode Gauss-Jordan
Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn
Langkah-langkah yang dilakukan :
1) Ambil matriks satuan [I]nxn
2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A] menjadi matriks satuan
3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ], sehingga setelah proses selesai matriks [ I ] telah berubah menjadi matriks [A]-1
431
341
331
100
010
001
431
341
331
100
011
001
431
010
331
101
011
001
100
010
331
101
011
034
100
010
301
101
011
337
100
010
001
[A] =
101
011
337[A]-1 =
LANGKAH KE-1
LANGKAH KE-3
LANGKAH KE-2 LANGKAH KE-5
LANGKAH KE-4
LANGKAH KE-n Selesai …?????
EXAMPLE :
PARTISI MATRIKSSuatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.
363534333231
262524232221
161514131211
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
A
23
13
22
12
21
11
A
A
A
A
A
A=
dimana ;
2625
161513 aa
aaA
21
1111 a
aA
242322
14131212 aaa
aaaA
3121 aA 34333222 aaaA 363523 aaA
Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa
BA 222221
1211
xAA
AA
122
1
xB
B
222121
212111
BABA
BABA
222221
1211
xAA
AA
334310
264
135
x
A
2323
42
51
X
B
122
1
xB
B
4416
3711
42
51
64
35111 BA
46
2323
2
1212 BA
812234222 BA
321642
51310121
BA
7028
][ 48223914
[B] A
EXAMPLE :
sehingga ;
MATRIKS ORTHOGONAL
Matriks P berdimensi mx m, dikatakan orthogonal jika , sehingga 1PP t
mt IPP
(a) |P| = ±1(b) |P’AP| = |A|(c) PQ adalah matriks orthogonal
TEOREMAMisalkan P dan Q matriks orthogonal mxm dan A adalah sembarang matriks mxm, maka
TRACE MATRIKS
Trace Matriks A berdimensi px p, didefinisikan sebagai
p
iiiaAtrATrace
1
)()(
(a) tr (A±B)=tr (A) ±tr (A)(b) tr (CD)=tr (DC), implikasinya tr (C’C)=tr (CC’)=
Sifat Operasi trace:
p
ji
ijc1,
2
RANK MATRIKS
RANK MATRIKSMatriks A (nxp) adalah maksimum banyaknya baris atau kolom yang bebas linear atau ordo terbesar matrik A atau minornya yang determinannya tidak sama dengan nol
Sifat-sifat:0≤r(A) ≤min (p,n)r(A)=r(A’)Matriks Singular dan NonsingularMatriks A n x n dikatakan singular jika semua baris atau kolomnya saling bebas linier ->Determinannya sama dengan 0
AKAR CIRI DAN VEKTOR CIRI
Untuk matriks A berukuran n x n maka pasangan pasangan (λ1,x1),…,‐(λn,xn) dikatakan sebagai pasangan akar ciri dan vektor ciri yangortonormal jika berlaku:Ax1= λ1x1
::
Axn= λnxnAtau memenuhi det(Ax – λIx)=0
BENTUK KUADRAT
Misal A adalah matrik berukuran n x n dan x adalah vektor peubah berukuran n x 1 maka:
MATRIKS DEFINIT POSITIF, SEMI DEF. POSITIFF
Matriks simetrik berukuran n x n bersifat:‐definit positif jikax’Ax > 0 untuk sembarang vektor x ≠ 0, semua nilai akar cirinya (+)‐semidefinit positif jikax’Ax ≥ 0 untuk sembarang vektor x ≠ 0, nilai akar cirinya(+) dan 0
MATRIKS DEFINIT NEGATIF, SEMI DEF. NEGATIF,INDEFINITE
Kalau Matriks A bersifat simetris, maka akar ciri dari Aadalah riil danmemiliki vektor ciri yang saling bebas (ortogonal)
RANDOM VEKTOR & MATIKS
Random vektor : vektor yang elemennya merupakan random variabelRandom matriks : matriks yang elemennya merupakan random variabel
,ijxXMerupakan Random mariks berukuran n X p, maka nilai ekpektasi dari setiap nilai X
,
21
22221
11211
npnn
p
p
xExExE
xExExE
xExExE
E
X
VEKTOR RATA-RATA & MATRIKS VAR-COV
22211
222
221122
1122112
11
221122
11
,,,
,
PPPPPP
PP
PP
PP
PP
XXXXX
XXXXX
XXXXX
XXX
X
X
X
E
E
μXμXEΣ
,2
1
2
1
μX
PPXE
XE
XE
E
nppp
p
p
Cov
21
22221
11211
)(XΣ
MATRIKS KORELASI
1
1
1
21
212
112
22
2
11
1
22
2
2222
22
2211
12
11
1
2211
12
1111
11
pp
p
p
pppp
pp
pp
p
pp
p
pp
p
pp
p
ρ
,kkii
ikik
pp
00
00
00
22
11
21
V
MATRIKS KORELASI (2)
12
112
1
21
21
VΣVρ
ΣρVV
Contoh:exercises 2.25