2004 - exam + solutions
DESCRIPTION
2004 - Exam + SolutionsTRANSCRIPT
���������������� ���
����������������������������� ����������� ���� ��� ������������ ��������
���������� �����������
�����������
������������������� ����������������������������� ������������������� �����
������������� ����� ������� ��� ������ ��� �������� ����� ���� ����������
������������ ������������
�� �� ������!���"�������������#��������������������� ��������$����������������������%��%����#����� ����� ���#���� ��������$���$������������� ���� �%�����������������!�#�#�
&� ��� �������������'�(������������)�����������%�����!�#�#�������������������������������������#��'���������������%����!�#�#������$� ��������������*+�&�+���+��,+���#��-��'�$����#��������%�+����������� �� ��������%����� ���%�����$�
�� ���� ���������� ��������������$�������������%�����'������� ��� �� ����� �
(����� � & � � ) . * , - �" �� �& �� �� �)
/���� , * . ) , �& �� ) � �" �" �" �. �� ��
�� ����������� ������'� ���%���#�%���%�� ��� �������� ������#� '�� '���������
)� �� � ���� ������ ��� ����� ������� 0�� ���� ������$� �#!���#����� �� ��� �%��������� �������1��� ����� $%���#��� ��%���%�� ���#����%����#��� ������ ������� �����2
.� 3�����$����%�������������'������ ����������������������#�#�������+�'�� ��%��$���$�����������#�������%���
*� ������������� ����%���%�� �� �����������'�%���� '�����+����������� ���������#�����������������
,� 4�������+� �������!��+����������%�������$�#�� �� ���%����
-� ���� �����'����������%��� '������ ������������������$����!�� ���������'����������������'��� ���������������������
�"� ���������������������������������#���#��'����������� ������'������������������%����%���%����$$���������� ��� ����������������
��� ����%��$����� ������������������� ������ �� ���������� ���� ���'� ����������
5��������(���������)
����������������������� ����������
����������
������������
��� �����
��������������������
������
�� ��
�!��� ����"�#�� �
&
SSABSA
� 56 �� ��378�9: 7
��������
������ ��� �� ���� �� ��� ����� ���� �������� �� ����� ����� ����� ��� ����
��� ����ddyx� ���
3 1,
ln 2
xy
x
��
���� �� ��
���������
��� ����x
y
d
d� ���
31 3y xx
� �� �� �� �
��������
���������
��� ���� 2 5(3 1)(3 2 2) dx x x x� � �� �
���������
�
�������� �
����� ���!���� ���"� �� �����"��� ��� ��� #�� �������$��� � ���� ��� ���� !������� �� ���� ����� ������ ������ ��������� �������� � "�� �� ���� %�� ���� ��� �� ����� ���"� ������ ���� ����������&������� ����������� ���������� ��� �����
��� '�� ���� "�� �� ��!��� �������� ���� ������ ��������� ���� ������������ �� ���� ���� ��� ��"���!���(������
��� ��� )���"� ��� ������"����� ���� ��� ������������� ���40
20
( )d .v t t�
���������
� �
" "�" &&&" �.�" �"�" *"
����������
��
��
��
��
�
�
) 56 �� ��378�9: 7
���� )���"� ��� ������"����� ���� ��� !����������� ���40
20
( )d .v t t�
���������
����� *+ ����� ����������"� ��40
20
( )dv t t� � ��� �������� ��������� �� ���� ����
���������
.
�������� �
�������������� ������ ������� �� ���� ��� ������� ������ �� ����� ������ ������� ����� ���������� (�,� "������� ��� ��� ��������� ������ ���� ���������������"��� �� ��� �� ���!���� �������������� !������ ���� ������ �� ������
$����� ����� �������"��� �� ��� �� ��� �� �������������������������� ���� ��������� ��� ������� ���������������� ��������� (�,�-� "����� ��� �� ������� �!������ �� ���.� "�����
��� /��������� ���� � ����� �� ������� ���������� ������� ����� ����� (�,� "����� �� ��� ��
�(������
��� � ����� ��� ��� �� ��!�� ������� ��� ���������$����� ����� ���� ������� �� ������� ������ ����� ��� ��� ����� ������� ����� ����� (�,� "������� ��� ����� ��� �� �������!��������
0���� ��� ���� ���������� ����1
��� ��� ������������ ������� ����� ����� (�,� "������� ��� �2
���������
���� ��� ������ ��� ������������ ������� ����� ����� (�,� "������� ��� �2
���������
* 56 �� ��378�9: 7
��������
����� ���� ������ ����� ����� (4)f � � ���3
( )2
xf x
x�
��
�,�������
,
�������� �
�����
�� � ��
� ��
�
��
��
���������������������������������������
�
� �
��
�
�
��� �������� ���
���������
��� ���� �� ����� ����
���������
12
�
12
�
- 56 �� ��378�9: 7
��� ���� ���� ���� !������ ��� ��������� 1( 2 )A B �� � ��� ��� �+����
���������
�"
�������� �
��� ���� ���!�� 3 2( 1) 2 1y x xy� � � � 1
��� ���� ����� 2
d 2 2.
d 3( 1) 2
y x yx y x
��
� �
�#�������
�� 56 �� ��378�9: 7
��� ���� ���� �3������ �� ���� ���"���� �� ���� ���!�� ��� ��� �� ���� ������������� %� ��
�#�������
��� ���� ����� ���� ���!�� ���� �� ���"���������� �� �� (�
�#�������
�&
�������� �
�������� �� ��4���� ���� ��� ����� ��� ���� ��"���������������� ���� ������ �������������5��6�� ���7�
���� ������ ���� ���� �������� �� ���� !������� ��������� ����� �� !������� ������ ����� ����������� ��� !�������� ��� ����� ��� �������+�� �� ����� ��� �� ���� ��"����
��� ���� �� ���� �� ����� 3�������� ������� ����� �� ����� �� � �� ���� ����
���� ����� ����� �� !������� ���� ���� ����� ������������ �3����� ���� ����� ����� �� !������� ������ �� ����� �������������8������ ��� ������������5����� 9�� %� ���
��� :�� ��������"� �������������5��6�� ���7�� ���� �� ��������� ������� �3������� ����� ������ �� �������� ��1
1 1 0
0 1 1 .
1 0 1
a
b c
e d
�� �� ��� �� ��� �
�#�������
��
��
��
�
��
�
�
�
�� 56 �� ��378�9: 7
��� ;������ �� ����� ���� ����� �� !������� ��������� ����� �� ������ ���� ���� �� ������� !������ ������������ ��� �
<������ �� ���� ������ %� =����� %� �������� %� ,������ %� ����� ��� � � %� =���
)���"� ��� ��������� ���� ����� ����� ��� ��� �������� >�������� ��� � �� ��������"�
���������
��� ��� >� ��� ������ %� =����� %� �������� %� ,������ %� ����� ��� � %� =���
�������� ���� ������
�#�������
��
���� <�� ���� ��� ����7� ��5� ��� ������ ���� ���� ����� �� !������� ������ ���� ������5� ��6�
���������
�) 56 �� ��378�9: 7
�������� �
���� ���� �+���� !����� ��� ��������� 2
0
2 d 3.a
xe x ��0����� ���� ������� ��� ���� ���� ��?����������� ��� ��� ����"���
�,�������
�.
�������� �
���� "�� ��� �� ���� ��������� ( ), ( ), and ( )y f x y f x y f x� ��� � � � ���� ����� ��� �����"��������1
��� ;�����"�� ��� <�� <<�� ��� <<<������ ���� ��������� ( ), ( ), and ( ).f x f x f x� ��
���������
��� ���� ����� !�������� ����� ��� ���� ��"���� ��!�� ������ ����"�� ���� ������ "�� ����� ����� ��:�� ���@�� <�� ������ ����"�� ���� A��� �� "�� �� <� ��� ����:�
>���������� ��� � ������ ����� ����� � ���@�
���������
�
�
�
�
�
��
�
���
�* 56 �� ��378�9: 7
����� ������� ��� ���� � ��� �� �������������� �� �� ��� ����� ����� ��������� ��� ����� ��� � ���� � � ������ �������� ������ ��������� �!�!� �������"!�
�,
�������� �
7�"��4��"��� �����"��� :@����� �� ��"��� ��"��� ��� ��>��� :� ��� �?������������ ��"� ������ @� ��� #?������������ ��"�
5�����/��*���������� �� ����������������� AE BF ADAB BC AC
k� � � ������"����/@�%�=�B�
���� ��"����� ����� ���� ���� ��������� ��� ������������ !������ ����� <�� ��"���� (���� %� ��(�<����"���� ����� %� ��.�
������ 1� �� %� ��( ������ �1� �� %� ��.
��� ��� >����� ���� ���"��� �� /� ��� ����������
�(������
���� >����� ���� ���"��� ��/@� ��� ����������
�(������
� �
�
��
� � �
�
�
�
�
�- 56 �� ��378�9: 7
��� >��� ����� �/�%���(������
�#�������
��� ��� >��� ����� ���� ����� �� �����"���/*�� ��� C� �(��� ���
���������
&"
���� ���� ���� !����� ���� ��������� ���� �����"���/*������ ���� ���"���� �����
�(������
&� 56 �� ��378�9: 7
����� ������� ��� ���� � ��� �� �������������� �� �� ��� ����� ����� ��������� ��� ����� ��� � ���� � � ������ �������� ������ ��������� �!�!� �������"!�
&&
��������
��������� ������ ��"������� ��"�����������"��� �� ��"��� ���!���� ��� ������������ !������ �����"� �� ��"������ !�������� ������"��� ���� ��������� ��� �� ������ ���������������� ���������� "����� ��� �� ��������!�������� =� "�����
>� ��� �� ����� ��� ��� ���� ��"�� ��� ������������� ��"��� ��� �������"� ������"��� ��� ������ �������� ��� ���������
��� ��� <���� %� (��� ���� ����� ��������� �� ���� =,D���������� �����!��� ����� ���� ������������ ��� (���� "�����
���������
���� /��������� ��������� �� ���� =,D���������� �����!��� ����� ���� ��� ���������� ���� %� (��
�(������
�� ���� ������"� ������ ������� ������������"��� ���� "����� ����"���������������� ���� ���E����� �� ������ ���� !����� ����� ������ ����� ���� ������� �!������ ������ �������� ��=�"�����
���������� !����� ���� ��� (���� "�����
�3������� ��������� ����� �� ������������� �� ��� �� �E���� ������������
:��������� ������ ��� ��������� �+������� �� ����� ��� ��� ���� ��"�� ��� ������������� ��"����� ����� ��"� ������"��� ��� �� =,D���������� �����!��� ������ ����� �� ���� ��� ��� ����������� ����������
���� 3������� �������������� ���� �E���� ������������ ��� ���� ��������� �����!��� ��� ������ �������� ���� ���"��(�(,�"����� �� (��,�"�����
&� 56 �� ��378�9: 7
��� 0���� ��� ���� ��������� ��� ��� ��A�� ��������� ��� ��� ������� ����� ���� 3������� ������������� ��� �E���� �����������2�*+ ����� ���� �������
���������
��� >� ��� �� ����� ��� ��� �� ����� ��"�� ��� ���������$��� X � ��� ���� �!���"�����"���
��� @��������� �� =,D���������� �����!��� ����� ��� X � %� (�(.�-� "�����F�!�� ���� ������� ������� �� ���� ������������� �������
���������
���� @��������� �� =,D���������� �����!��� ����� ��� X � %� (������ "�����F�!�� ���� ������� ������� �� ���� ������������� �������
�(������
����� >� ��� ����������� ���� ��� ��� �� ��"�� ��� ����������� %� (����
���� ���� ���������� ����� ���� 3������� ������������������ �E���� ������������
���������
&�
���������
�
�
�
�
��
���������
�
�
�
�
��
���������
��� ���� "�� �� ����� ��� �� �� � ������� ������ ��� ���� �������
29y x� � � �������� ���� ��
/��������� ���� �+���� !����� �
32
3
9 d .x x�
��
���������
��� ���� "�� �� ����� ��� �� ���� �������
213
9y x� � � ������������ ��
/��������� ���� �+���� !����� �� �������� �������� �����4�+��� ��
213
9y x� � � ������������ ��
���������
&) 56 �� ��378�9: 7
��� *+ ��������� 2 2 22 d ,a
a
a x x a��
� �� �������� ��� �� ����!�� ��������
���������
�� ��� ���� ���� !����� �� 2 22 da
a
b a x xa�
�� � ��� ��������� ������������ ���� ���
����!�� ���������
���������
���� F�!�� �� "�������� ����� �������� �� ���� ������� ���� ���� ������
G������ ������� �� ��"���� ��� ���� �������
�(������
&.
�������� �
�����
� �
� �
� �
�����������������������
� ��
�
��
��� @������������
���������
>���������� ����� ���� ����"��� ��� ���� �������� �� ������� �������� ��!��"� ��� �� �����
���� �������� ���� ���� �� ���� ����� � ������
���� ����������� ������ ����� ���� ������"� ���������� �!���� �� "����� �� ��� ����������� �� ������� �������� ����"��!��� ����1
H ������� �������� ���!�!�� ���� �������� �� ����
H 12� �� ����������� ������� �������� ���!�!�� �� ��� (4��4���
H13� �� ����(4��4�� ��������������� ���!�!�� ������4��4���
H �����4��4�� ������� �������� �� �����C� ���� ������� �������� ������ ���"�
>� ��� ����� ��/����� �� ������� �������� �������� �� #-� ������� ��������� �#� ������(4��4���� ���C� ��������4��4���
��� '��/���(�� ������"� �� ��������� �������� ������� ������������� ��1
��� ������2
�(������
���� (� ����2
�(������
12
13
&* 56 �� ��378�9: 7
����� �� ���� �2
�(������
��� *+ ��������� ���� ������� �������� �� ������� �������� ��� ����� �"�� "�� ���/��������� ��� "�!����������
���������
�� ��� �����"� �� ��������� �������� ������� ������������� ������ ��� ��� �����"��"�� ���/����2
�(������
���� �����"� �� ��������� �������� ������� ������������� ������ ��� ��� �����"��"�� ���/����2
�(������
����� �����"� �� ��������� �������� ������� ������������� ������ ��� ��� ����� �"�"�� ���/��������������� ��� �� ����!�� ����"��2
�(������
&,
���
<����� %���� ���� ����1
��� � %���
���������
���� .p q
rca � �
���������
��������� �
� �
� �
� �
���������������������
�
�
�
�
1b
1c
&- 56 �� ��378�9: 7
���������� � ������ �� ������� ���� ���!�!��� ���� �������� �� ��������� ���!�!��� ������ ��� ���������"� ������� �� ���� ������� �������� �� ����� � ������ ���� �������� ��������+���������1
0 0 20
1 0 04
10 05
.M
� �� �� ��� �� �� �� �
��� /��������� �������������� �������� (4��4��� ����4��4�� ��������������� �������� ��� ��� �� ����� ��� ���� ���� ����� ����� ���� �������� ��� ����� �"�� "�� ������� ����"���� ���� ������"����
�(������
�"
��������
/���� ���� ���;5�� ������ ����� ����� ��� ����������0���� �� �������� ����� �� ����������� ����� ���� �����"� ����� ���� !������ ������"� �� �� ���������������� ������� ��� %� (��-,� ����� ��� �� ������� �!������ ���� %� (��,� �����
����������� ���� ��� ��� ������� ��������"� ��������� �������� �� ����������� >� ���/�������� �� ������ ��������"��� ���������� ��� ����� �������� ��� ���� ��� ����;5�� ������ ������ ��� ���+�������
$��� nX � ����� ���� �!���"�� �����"� ����� ��� �������� ��� �� ������ ���� ����������
��� ���� ��� ����"����� ����� �� ������� ���� ������������ �� 4 15and :X X
0����� ����"����� ���:�� ������������ ���� ����������� �� 4?X � *+ ����� ���� �������
���������
�� �� �� �� ��
!"�#��$��%�&'�(��)
�� �� �� �� ��
!"�#��$��%�&'�(��)
���������
���������
�� 56 �� ��378�9: 7
��� >��� ����� 20X � ���� ��������� (��-,� ����� ��� �� ������� �!������ �� �����������
���������
��� �����"� �� ���� �������� ������ �������� ���� ����������� �� nX ������ ��� � �+������������� ����� ��� ������������� ���"��
<���� %� ��� ������������� ���"�� ��� ����� ����2�*+ ����� ���� �������� ��������"� �� ���� ������ � � ������
���������
�� ���� ��� � �+������ !����� ��� 20( 10).P X �
�(������
�&
��� 4( 12.5) 0.00725P X � � � ��� �� ������ ����������� ��� ���� �� � �+������ ���
����������� �� 4X �
<�� ����.�,� �� ������� �� ���"��� �� ����� ��"��� ��� �� ����������� ���� �+���� !����� ����� ���������2�*+ ����� ���� �������� ��������"� �� ���� ���� ��� � � ������
���������
��� /���� ��� "��"��� �� ��"���!��"��������8�������� �� ����� ���"������������ �� "�!��� ���������� �� =�D��� "������� �� ����"� ����� �� ���� ����;5�� ������ ������� �������� �����
��� >��� ����� ��"������ ��������������� ��� ��� ���"��
���������
���� >��� ����� ������������ ������� ��������������� ��� ���"��
���������
�� 56 �� ��378�9: 7
����� ������� ��� ���� � ��� �� �������������� �� �� ��� ����� ����� ��������� ��� ����� ��� � ���� � � ������ �������� ������ ��������� �!�!� �������"!�
��
�������� �
@������ ���� ��������3
100( )
1 xf x
e e��
��
��� /���� �� "�� �� �� �� %� � ���� ��� �������� C�
���������
�) 56 �� ��378�9: 7
��� ��� ���� ���� ��������� �� ���� ���� �� ���������� ��3
100( )
1 xf x
e e��
��
���������
���� @������������ ���� ���� �� ���������� �� ���� "�� �� �����!�� ����� ��� ���� �����(������
���� "�� �� ����� ������������ ���������� �� ���� ��������!�� ������� �� ������ ���� �� �"��������!��������� �������������I�����������;������#����������4������������!�����'������"�� �������������� ���� I���� ����� ��� �� �������� ��� ����� �� ����"� �3���� �� ���
��� F�!����� ������������������ ���� ���� tC ab� �� ���� ���������� ���� ���� ����!����������� ��� ������� ����� ����������� ��� �������"� ������������������� ��� ���� ��"� �����
���������
� �
���
���
� �
���
���
�
��
�%
*(%("��+���"� � �
� � ,
��� � �
�
�
�
�.
J:����4��4�����K� ����!����� ���� �������� �� ��������� ��� (=,C�� @���� ����!����� ���������������������� ������
����"�� ������������ ���� �������"���� ������������������������ ����� ����!����� ���(=.,� ������%� �� �� ���� "�� ��� �� (=-#1
�� ��� <�� ��� ����� ����� ���� ��������� �� ���� ���� ( )1 bx
Lg x
Ae��
�� ��!�
�� ���� �� ��������������� ( ) .2
Lg x �
*+ ����� ���� �� �������� �� ����� ���� ���� ��� ��� �� "� ���� ��� ��� �������"�� �� ���������� ���������� ����� ����!����� ����(=.,� �� (=-#�
���������
��
���
� �
��
�
�%�&#���)
!�*��$
��
��
�� � � , �
� �
�
��
� �� � �
�* 56 �� ��378�9: 7
���� ����������"������������ � ��������"����� �� ���������1�0.6584 .
teP e�
��
���� ���� �� ���������� �� ����� �������� ��� ���C-�� ���=��
F�!�� ��� ����� �������� �� ����� ���� �� ���������� ��� ������ �� ���� �������"�� � ���������� ���������� ����� ����!����� ����(=.,� �� (=-#�
���������
�,
����� ������� ��� ���� � ��� �� �������������� �� �� ��� ����� ����� ��������� ��� ����� ��� � ���� � � ������ �������� ������ ��������� �!�!� �������"!�
�- 56 �� ��378�9: 7
����� ������� ��� ���� � ��� �� �������������� �� �� ��� ����� ����� ��������� ��� ����� ��� � ���� � � ������ �������� ������ ��������� �!�!� �������"!�
�"
SSABSA
�� 56 �� ��378�9: 7
����� �� ������� ���� � ��� ����� ������������ ��� �� ���� ����� ���������� ����� ��� �� �� ���� �� ������ ��� ������ ��������� ����� �������
������������������� ������� ������������������������������
������������������������������
��������������%����#���������'���#�����������#��#�%����$+����������'����
.���� X
Z
������������������������������#���������������#��##�!������'��������������#����������
��������������� �������
��-);�%�'�#��%�������!���'�������������'���������������� ��������#��#�#�!�������+�����#��������������#���������'���<���� ����������
����� ,x ���
.96.196.1n
xn
x�
��
����
=��������$��������������+���������������-);%�'�#��%�������!���%������������#��$��������������������#��#�#�!��������������%��'���
��� ����!������
�������������<����������#�����������-);%�'�#��%�������!���'� �#�����'�����������'���������������� ��������#��#�#�!�����������
.96.12
2
���
��� �
�w
n�
��������������� ���"� �������"�� ������
��������������-);�%�'�#��%�������!���'����������������������+�����#��������������������#���������'���<���� ������������������
,ˆnX
p � ���
.)ˆ1(ˆ
96.1ˆ)ˆ1(ˆ
96.1ˆn
ppppn
ppp
����
��
��� ����!��"�� ������
�������������<����������#����������������������-);�%�'�#��%�������!���'������������ �#�����'�������������
).1(96.12
2
�� ����
��� �
ppw
n
0 �p �������!�������������$�!����'�������������2
#�������"����������knkn
k ppCkXP ���� )1()( �����������������������$�'����%%������������������#������������!�����'�#�������>�"+�+�����������#
!
)1(...)1(
!)!(
!
k
knnn
kkn
nC n
k���
��
� �
#������������������������ �����������������#�����#��#�#�!������'�����������%���#
��#�����������'��%%������ nX
p �ˆ ����
npX �� ˆ( )p p��
(1 )X np p� ��(1 )
ˆ( )p p
p n�
��
�����������������������$�'����%%����������������
�����������������������
?'� a bA c d� �� � �� �
������#��� bcadAA ��� ���#
.11
��
���
��
���
ac
bd
AA
���� ��� ��
yxf �)(x
yxf
d
d)( ��
nx 1�nnx
kxe kxke
xx elogln � x1
"�� ������������ ��� ��
)()()()()}()({d
dxgxfxgxfxgxf
x����
� �2)(
)()()()(
)(
)(
d
d
xg
xgxfxgxf
xg
xf
x
����
���
�
)())(())((d
dxgxgfxgf
x���
$��������%&�������
?'� 2 0ax bx c� � � ������2 4
2b b ac
xa
� � ��