2005.18.07 Висше транспортно училище "Т.Каблешков"
DESCRIPTION
ÂTRANSCRIPT
���������������� ��������������� �������������������� ��! " ��#$�%�&����'�(���)*������+
,.-0/ ��132546487:9�;
<>=@?A=@BDC�EFCHG�IKJLGKM%GK<>C
I�NPORQTS
U SWV@X%Y[Z>\.]^Z_Y[`aZ_bPc^Z>Y[dfe_]^ghb115 + 121 + 127 + 133 + 139 + 145 + 151.ikjlnmRofmqp6r
931
s SWV@X%Y[Z�]^Zut%vDYwvWYubxZy`TXfbzX 2x− y = −9x+ 5y = 1.ikjlnmRofmqp6r
x = −4 y = 1
{ SWV@X%Y[Z�]^Zut%v�|P]^X~}~c^Zuc^v.Z_bxe5
1
3(2x− 1,7) = 1,6 �
ikjlnmRofmqp6rx = 1
� SWV@X%Y[Z�]^Zut%v�|P]^X~}~c^Zuc^v.Z_bxe25x =
1
5�
ikjlnmRofmqp6rx = −1
2
� SWV@X%Y[Z>\.]^Z_Y[`aZ_bPc^Zx3
1 + x32,Xn��e
x1vx2Y[X���e_]^Zuc^vWbxZ�c.X�|P]^X~}~c^Zuc^v.Z_bxe
x2 + 2x− 3 = 0 �ikjlnmRofmqp6r −26
� S"�@b��P|xbxv.�z�zY[g^�WgW].��X_��X����^Zy]zc.Xx�.�Kd�Zu�^vDvD��wZu�xZuc^v$bxey\^�Pv8�x\^e%Yw�.|P�^X~Zucc.Xy�zv^cDY[Z�}fXn�W��b��W}fZ � V@XY[Z>c.X~`aZy]zv�}fZy]^ef��bPc^e�Yub^bzXKv��W}fZ_bxZ�v.�w}fXn�xZuc^vbxey\^�Pv��WXY[X�wZu�xZuc^v �ikjlnmRofmqp6r 3
14
�.SWV@X%Y[Z>\.]^Z_Y[`aZ_bPc^Zsin
9π
4.
ikjlnmRofmqp6r √2
2
� SWV@X%Y[Z�]^Zut%v�c^Zy]^X~}fZuc.Yubz}fe�bxelog3(x+ 1) <
1
3�
ikjlnmRofmqp6rx ∈ (−1; 3
√3− 1)
� SWV@X%Y[Z>c.X~`aZy]zv�\.]^eyv.�w}fe[�.c.XfbzX�c.X��T|Rc^�P�^v.��bzXf(x) = x5 − 3 cosx+ 1.ikjlnmRofmqp6r
f ′(x) = 5x4 + 3 sinx
UP� S6�>e~�^��e%Y[X%bz]zv^�^v.�a]^Zuc^vWbxZ��zvWYw�.X�Y�]^X~�q�^v.�zc^v�c^Zy�^Z_bPc^v��^v.�a]zv5�ikjlnmRofmqp6r
60
�
�T�^���x 8�¢¡z£W¤@¥n¦x§u¨^©%§�ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§_®x©
x−√
25− x2 +m = 0,
¬�¯�©f§_®x©m§°«^§y¥n±x§u¨�².¥~«^¥~³a§_®z´W«6µu¤@¥L¶[§·«^§u¸%ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§_®x©�².«z
m = 1µ_¤@¥@¶[§°¨.¥~³a§y«^¹�®>²^©~±x©nº@W®x§u±^¨^W®x§
¶u®x©y»^¨^©�¶u®x�¨.¥m ¼ ².«z�¯�©yW®x©%ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§_®x©K.³T¥®x©y½z¨^©�§¾¦.^¨D«^§y¥n±x§u¨�¯�©_«^§u¨8µ
¿�ÀPÁ�ÀPÂ"Ã"À$ �ÅÄ~�^���x 8�¢¡z£�ÆL«zm = 1
ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§_®x©�¦x©fÇn.¬f¥¬~z¦W¥x−√
25− x2 + 1 = 0 ¼ ®5µ §�µ√
25− x2 = x+ 1. (1)
È ©_«z¨^©�®x©ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§�².«zx+ 1 ≥ 0
§>«^¥~¬~¨^©�¶w^±^¨^©�¨.¥
25− x2 = (x+ 1)2 ⇐⇒ 25− x2 = x2 + 2x+ 1 ⇐⇒ 2x2 + 2x− 24 = 0 ⇐⇒ x2 + x− 12 = 0.
ÆL©�¶w±x§¾¦.¨^©�®x©�ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§K.³T¥¯�©_«^§u¨^x1,2 =
−1±√
1− 4 . (−12)
2=−1± 7
2
µhÉL§u²^©�¶[«^§¾¦z¶u®z¬f§u¨.¥f®z¥�².«^©~ʬf§y«z¯x¥K²^©y¯x¥~Ëw¬f¥ ¼ ½^§ x1 =
−1 + 7
2= 3
§�«^§u¸%§u¨^.§@¨.¥�̾Í_Î ¼ ¨^© x2 =−1− 7
2= −4
¨^§>§�«^§u¸%§u¨^.§@¨.¥�̾Í_ÎqµÏ ±x§¾¦x©_¬f¥f®x§u±^¨^© ¼ ².«z m = 1
¦W¥n¦x§u¨^©�®x©K.«^¥nÐ^.©y¨.¥n±^¨^©�ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§@.³T¥�§¾¦.^¨.¶u®z¬f§u¨^©«^§u¸%§u¨^.§x1 = 3
µ
Ñ §�².«^§¾¦.±x©nº@.³�¦W¬f§�«^§u¸%§u¨^.¹Ëw¥�©�¶u®z¥n¨.¥n±.¥f®z¥�½^¥f¶u®�©�®�Ëw¥n¦W¥y½^¥f®z¥xµÒ�ÓfÔ5ÕPÖ@Ô"×qØ�×qÙ^Ú5×~Û Ü ¥n²^W¶[¬f¥~³a§@¦W¥n¦x§u¨^©�®x©ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§�¬f´W¬�¬~z¦W¥
√25− x2 = x+m. (2)
¤@©y².ªx¶u®x.³aW®x§@³Tª�¶u®x©y»^¨^©�¶u®x$¶[¥%®x§yËqx ¼ Ëw¥�¯�©yW®x© 25− x2 ≥ 0 ¼ ®5µ §�µ x ∈ [−5, 5]
µÜ ¥
x+m ≥ 0 (3)ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§_®x©�ÌÞÝ�Îk§�«^¥~¬~¨^©�¶w^±^¨^©K¨.¥
25− x2 = (x+m)2 ¼ ^±^�¬�¶[§�§¾¦.¨^©¨.¥
2x2 + 2mx+m2 − 25 = 0. (4)
Ñ §>.Ë[¶w±x§¾¦W¬f¥~³a§�¯�©_«^§u¨^W®x§>¨.¥�²^©�¶w±x§¾¦.¨^©�®x©¯x¬f¥n¦W«^¥f®P¨^©ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§ ¼ ¬�Ëw¥~¬~W¶w.³a©�¶u®�©�®�Ëq¨.¥n¯x¥�¨.¥K¦.W¶w¯x«z^ʳa^¨.¥n¨W®z¥f®z¥�©�®�¶[´.¯x«^¥f®x§u¨.¥f®z¥Kßà©_«^³Tª~±.¥D1 = m2 − 2(m2 − 25) = 50−m2 µ
• ÆL«z D1 < 0ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§_®x©�ÌâáPÎk¨.¹f³T¥�«^§u¸%§u¨^.§ ¼ ¶w±x§¾¦x©_¬f¥f®x§u±^¨^©�ÌÞÝ�Îk¨.¹f³T¥�«^§u¸%§u¨^.§�µ
• ÆL«z D1 = 0ªP«^¥~¬~¨^§u¨^.§_®x©ãÌâáPÎ�.³T¥ä®x©y½z¨^©ä§¾¦.^¨å¯�©_«^§u¨8µ@æ@®
D1 = 50 − m2 = 0¨.¥~³a.«^¥~³a§
m1,2 = ±5√
2µ Ü ¥
m = m1 = 5√
2²^©~±.ªP½^¥~¬f¥~³a§
x1 = x2 =m
2=
5√
2
2¼ ¯�©f§_®x©§>©�®�¦x©y².ªx¶u®x.³aW®x§¶u®x©y»^¨^©�¶u®x
[−5; 5]Ëw¥DÌÞÝ�Î ¼ �©�¶[¬f§u¨�®x©_¬f¥�ªf¦x©_¬~±x§_®z¬f©_«^¹f¬f¥�ªx¶w±x©_¬~.§_®x©�ÌÞç�ÎqµW¤@«^ªRè~¥f®z¥%¶u®x©y»^¨^©�¶u® m =
m2 = −5√
2§�©�®z«z^Ð.¥f®x§u±^¨.¥xµ
Ï ±x§¾¦x©_¬f¥f®x§u±^¨^©K¬K®x©fËq�¶w±.ªP½^¥n»m = 5
√2§@§¾¦.^¨.¶u®z¬f§u¨.¥f®z¥@²^©~±x©nº@W®x§u±^¨.¥>¶u®x©y»^¨^©�¶u®%¨.¥
mËw¥�¯�©f¹�®x©
ÌÞÝ�Îà.³T¥®x©y½z¨^©�§¾¦.¨^©%«^§u¸%§u¨^.§�µ
• ¤@¥�«^¥~Ëqèn±x§¾¦W¥~³a§¨.¥n¯x«^¥y¹D¶w±.ªP½^¥y¹ D1 > 0µ8éL³T¥~³a§
D1 = 50 −m2 > 0 ⇐⇒ m ∈ (−5√
2; 5√
2)µ
ê Ëw§y³T¥n»^¯P¢².«^§¾¦W¬~z¦ ¼ ½^§�²^©�ªx¶w±x©_¬~.§ m > 0 ¼ ²^©~±.ªP½^¥~¬f¥~³a§ m ∈ (0; 5√
2)µkë·©~è~¥~¬f¥ìÌâáPÎK.³T¥D¦W¬f¥
¯�©_«^§u¨.¥
x1 =−m+
√50−m2
2
x2 =
−m−√
50−m2
2.
¤@¥�Ëw¥~Ç�§u±x§[º@.³ ¼ ½^§�®z´.»�¯x¥f®x© m > 0.³T¥~³a§�í
x21 =
(−m+√
50−m2
2
)2=m2 − 2m
√50 −m2 + 50−m2
4=
25−m√
50−m2
2<
25
2< 25,
Ý
îx1 +m =
−m+√
50−m2
2+m =
m+√
50−m2
2> 0,
ï5ð ñ�ð x1ñ>ò�ï�óxòyô.õxöuï î.÷aî ïxñ@öuïxòyø^ù^ò�öuï î�úwû�üÞý�þTî ò�ö[ÿfñuù$ïxò_ÿ û ñ î.ú ô����^ù^ñuù^ò î õxö��xò_ÿ î ñ_ïxò ü���þ ð����xñ¾óxò
ÿ û ïxñ��^ù^ò úwû ÿ�ö ���ò m ∈ (0; 5√
2) � x1 =−m+
√50−m2
2ñ��^ñ��%ñuù î ñ î ù û�üÞý�þ ð
� û ó û�� �^óxñ x1ñ¾ó î ù.öuïzÿfñuù^ò��^ñ��%ñuù î ñ�ù û�üÞý�þ � x2 =
−m−√
50−m2
2ï���� � ÿ û ó û ñ��^õ��Ló���ò��^ñuù8ð
� �.ø�� û ïxò
25−x22 = 25−
(−m−√
50−m2
2
)2=
50 −m2 − 2m√
50−m2 +m2
4=(m−
√50−m2
2
)2≥ 0
úwû ÿ�ö ���ò m ò�ï�óxòyô.õxöuï î.÷aî ïxñ>öuïxòyø^ù^ò�öuï î ù û õ � û ÿ~ù^ñuù î ñ_ïxò � ï���� � ÿ û x2 +m < 0 !
x2 +m < 0 ⇐⇒ −m−√
50 −m2
2+m < 0 ⇐⇒ m−
√50−m2
2< 0 ⇐⇒ m <
√50−m2.
� û m ∈ (0; 5√
2) î.÷Tû~÷ ñ
m <√
50−m2 ⇐⇒ m2 < 50 −m2 ⇐⇒ 2m2 < 50 ⇐⇒ m2 < 25 ⇐⇒ m ∈ (0; 5).
" ï û � û � ÿ>ïxò úqî ö��.õ � û ø � ô^ò�xò#� î ïxñ��^ù î ïxñ·öuïxòyø^ù^ò�öuï î ù û m úwû ��ò î ïxò üÞý�þ8î.÷Tû ïxò$�zù^ò@ñ¾ó.ù^ò%�^ñ��%ñuù î ñö û m ∈ (0; 5) ð
& ��òyù�� û ïxñ��^ù^ò � ï����.ö[ñuù î ïxñ>öuïxòyø^ù^ò�öuï î ù û ô û � û~÷ ñ_ï���� û m ö û m ∈ (0; 5) ∪ {5√
2} ð
')( *,+-*)+-.0/1.02�34.5 6 û óxñuù^ò�ïxòäõ � û ÿ~ù^ñuù î ñ î.÷Tû ïxò$�zù^ò�ñ¾ó î ù7�^ñ û �xñuù7��ò��^ñuù � ïxò8 û ÿ û�î ö û~÷ ò¢ïxò8 û ÿ û ���ò8 û ïxòô�� û ÿ û ï û ö@õ � û ÿ~ù^ñuù î ñy = x+m (5)
î.÷Tû ïxò$�zù^òñ¾ó.ù û ò ��9�û ïxò$��� û ö@ô^ò�.õPò$�����:�@ù^ò�öuï^ï û � ��ò;��ïxò%ñ<8� û=8î � û ï û ù û>= õRù�� ? î ��ï û
y =√
25− x2, x ∈ [−5; 5]. (6)
@ � û ÿ î ïxñ ü�A�þ ô��^ñ_ö î � û ï@ó���8 û ï û�ü�B�þ ÿ�ñ¾ó.ù û ïxò$��� û ô�� î m ∈ (−5; 5), û ô�� î m = 5√
2 ô�� û ÿ û ï û y = x+5√
2ö[ñ�óxòyô î � û óxòô^ò�.õPò$�����:�@ù^ò�öuï^ï û ð
���xñ¾óxò_ÿ û ïxñ��^ù^òô^ò�xò#� î ïxñ��^ù î ïxñ�öuïxòyø^ù^ò�öuï î ù û ô û � û~÷ ñ_ï���� û m ö û m ∈ (0; 5) ∪ {5√
2}.
�
CED�FGD�HIDKJ�LIM)N#O�P�Q�P4ABC R:S1TVU$W�X�U AC = 4 +
√3, BC = 2
√3 Y <Z ACB = 60◦.
M)N�[ P\Q�N]^P$_ Y_�N#O Y�` [ a X Q�N U$b�Y [ N#Q�N X N U$TVUc�U 4ABC U$T _�a:d)Q U [ X�Y _�N#O Y�` [ a X Q�N Sb�Y [ N#Q�N X N S 4ABC U$T _�a:d)Q U [ X4e
f%g hig j-k-glj D�mD�FGD�HIDnJ�Lpo U\TVU [ Y Q ` [ U�S N X N X P U _�P$]EN>q�N4ABC b _�P�[ ]Er X N]^P
AB2 = AC2 +BC2 − 2AC · BC cos<Z ACB = (4 +√
3)2 + (2√
3)2 − 2 . (4 +√
3) . 2√
3 . cos 60◦ =
= 16 + 8√
3 + 3 + 12− 2 . (4 +√
3) . 2√
3 .1
2= 31 + 8
√3− 8
√3− 6 =
= 25.
s c PtO U�S N X P c Q U AB = 5 e s P�uN b�U [ Y Q ` [ U�S N X N X P U _�P$]ENvq�N4ABC b _�P�[ ]Er X N]^P�_�N#O Y�` [ N>Q�N U$b�Y [ N#Q�N X N
U$TVUc�U 4ABC U$T _�a:d)Q U [ XR =
AB
2 sin<Z ACB =5
2 sin 60◦=
5
2 .
√3
2
=5√3.
w N�O�NxQ�N]^P$_ Y ]y_�N#O Y�` [ NxQ�N Sb�Y [ N#Q�N X N S 4ABC U$T _�a:d)Q U [ X4R�b a�_ S;U>b _�P�[ ]Er X N]^P b�Uc�`zb P$_ Y ]^P X a�_�N
p =1
2(AB +BC +AC) =
1
2(5 + 2
√3 + 4 +
√3) =
3
2(3 +
√3)
Y�c�Y�{ P X�U
S =1
2AC .BC sin<Z ACB =
1
2(4 +
√3) . 2√
3 sin 60◦ = (4 +√
3)√
3
√3
2=
3
2(4 +
√3)
Q�N4ABC e s P�uN
r =S
p=
3
2(4 +
√3)
3
2(3 +
√3)
=1
6(4 +
√3)(3−
√3) =
3
2−√
3
6.
|
}E~��G~��I~��:�:���������������;���x����������������%���������E�ABCA1B1C1 �V� � � ������V�������>�
2 � � �$�V� �������V��������
1 �-� � � ������^�$���n��������� � ��� � �$����������� � �������������E�;��� � ����������� � �V� �V� � �^������;�������$� � ���t�������1����V� � � ��������<����� � �;� AB �
AC � ����� � �����x�������CC→1
� ��� ���)���;� � �����������;��� (ABC) �V� ������������ϕ �
�% ¡i ¢-£- ¤¢ ~p¥~��G~��I~��:� � � � �0���$�����¦�����������;���<��� � �$����������� �\� λ � � � M �N � ���t�������)��� AB�
AC � � � ���;��� � � �I §t¨�©«ªz¬$-® ¯ ���������;��� λ ����� � �����x�����;�
CC1 ��° � � � K �K1 � � � ���t������� � � � ���;��� � � ���
BC�B1C1 �
± ������� �V� �����#�������\���������������� � ABC ����^������^�MN =
1
2BC = 1
�PK =
1
2AK =
1
2
√3 =
√3
2��7� � �0� � ��² ���#³ <́LPK = ϕ
�
tgϕ =KL
PK≤ KK1
PK=
1√3
2
=2√3.
µ � ���;� � �$����������� � ���λ � ���������E�;���������������������������� � � �����V� � ��� � � � �����l�
(ABC)�������#�������:�
BCNM �%�V� � � �� BC = 2 � MN = 1�¤�� � � ������� PK =
√3
2� � � � � � �������
SBCNM =1
2(BC +MN)PK =
3√
3
4.
± ����� � ���$�E�;���>���>��������� � ���x��� � � � �����V���x���x��������� � s ��� � �$����������� � ���E��^�
s =SBCNM
cosϕ=
3√
3
4 cosϕ.
¶
II ·t¸�¹«ºz»$¼-½ ¾�¿ÀÁ�Â�Á�¿;Ã�¿ λ Ä�Å�Æ�Ç�Â�È�¿�Å�É�Ê;¿ A1C1 Ë:Ì ¿#Í�Ã�Î1À I Ç�Ï�Ð È�¿#Ñ�Ç ÆvÐ ÊVÆ ÒÔÓ�¿À;¿Õ^ÆVÖ4È�ÆvÃ�Î�À;¿�Ç�Ã�¿À;¿�ÖÍVÎ׿;Ã�Î
tgϕ >2√3.
Ø Æ�Í�¿ M1  N1 Ç ¿�Ä�Å�Î;Ê;Î Ó�Á�Â�Ã�ÆÙÃ�Î$È�Í Â�Á�¿ λ Ç É�ÎVÃ�À;Æ�à Á�Î¦Ç A1B1  A1C1 ÖÚ¿ U  V Ç ¿yÃ�Æ0Û Á�Â�Ã�ÆÄ�Å�Î;Æ�Í Ü�Â�ÂÝÀ (ABC) ËÔÞ Ã MN ∈ (ABC)  (ABC)‖(A1B1C1) Ç�Ï�ÆtÓ�À;¿�ÖßÈ�Æ MN‖(A1B1C1). àßÎ׿À;¿M1N1 = λ ∩ (A1B1C1) Ö M1N1‖MN ÖEÎVÃ�Í�É�Ó�Æ�Ã�ÎiÇ�Ï�ÆtÓ�À;¿�Ö�È�Æ�Ä�Å�Î;Æ�Í Ü�Â�áVÃ�¿ UV Á�¿ M1N1 À (ABC) ÆÐ�Ç�Ä�Î�Å�ÆtÓ�Á�¿�Á�¿ MN Ë�â Ï�ÆtÓ�Î�À;¿;Ã�Æ�Ï�Á�Î>Ä�Å�Î;Æ�Í Ü�Â�áVÃ�¿�Á�¿>Ç Æ$È�Æ�Á�Â�Æ�Ã�Î\Æ�Ã�Å�¿#Ä�Æ�Ü�É:à MNV U Ë Ø Æ�Í�¿\Õ^ÆtÓ�Â�¿#Á�¿;Ã�¿Ä�Å�Æ$ã A À 4ABC Ä�Å�Æ�Ç�Â�È�¿ UV ÀvÃ�Î$È�Í�¿ Q  MN À�Ã�Î$È�Í�¿ P Ë�ä ÎVÇ�Ï�ÆtÓ�Î�À;¿;Ã�Æ�Ï�Á�Î�Á�¿Õ^Â�Å�¿Õ^Æ
PQ = cotgϕ, AQ = AP + PQ =
√3
2+ cotgϕ,
UV =2√3AQ =
2√3
(√3
2+ cotgϕ
)= 1 +
2√3
cotgϕ,
SMNV U =1
2(MN + UV )PQ =
(1 +
1√3
cotgϕ
)cotgϕ.
Þ Ã�Ã�Æ$Î�Å�Æ$ÕE¿;Ã�¿>ã�¿>Ï�Â�Ü�Æ�Ã�ÎxÁ�¿xÄ�Å�Î;Æ�Í Ü�Â�áVÃ�¿xã�¿xÏ�Â�Ü�Æ�Ã�Î s Á�¿\Ç Æ$È�Æ�Á�Â�Æ�Ã�Î>Â�ÕE¿Õ^Æ
s =SMNV U
cosϕ=
1 +1√3
cotgϕ
sinϕ=
2 sin(ϕ+π
6)
√3 sin2 ϕ
.
å