2005.18.07 Висше транспортно училище "Т.Каблешков"

6
115 + 121 + 127 + 133 + 139 + 145 + 151. 931 2x - y = -9 x +5y =1. x = -4 y =1 5 1 3 (2x - 1,7) = 1,6 x =1 25 x = 1 5 x = - 1 2 x 3 1 + x 3 2 , x 1 x 2 x 2 +2x - 3=0 -26 3 14 sin 9π 4 . 2 2 log 3 (x + 1) < 1 3 x (-1; 3 3 - 1) f (x)= x 5 - 3 cos x +1. f 0 (x)=5x 4 + 3 sin x 60

Upload: stoyan-bordjukov

Post on 22-Feb-2016

225 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

 

TRANSCRIPT

Page 1: 2005.18.07 Висше транспортно училище "Т.Каблешков"

���������������� ��������������� �������������������� ��! " ��#$�%�&����'�(���)*������+

,.-0/ ��132546487:9�;

<>=@?A=@BDC�EFCHG�IKJLGKM%GK<>C

I�NPORQTS

U SWV@X%Y[Z>\.]^Z_Y[`aZ_bPc^Z>Y[dfe_]^ghb115 + 121 + 127 + 133 + 139 + 145 + 151.ikjlnmRofmqp6r

931

s SWV@X%Y[Z�]^Zut%vDYwvWYubxZy`TXfbzX 2x− y = −9x+ 5y = 1.ikjlnmRofmqp6r

x = −4 y = 1

{ SWV@X%Y[Z�]^Zut%v�|P]^X~}~c^Zuc^v.Z_bxe5

1

3(2x− 1,7) = 1,6 �

ikjlnmRofmqp6rx = 1

� SWV@X%Y[Z�]^Zut%v�|P]^X~}~c^Zuc^v.Z_bxe25x =

1

5�

ikjlnmRofmqp6rx = −1

2

� SWV@X%Y[Z>\.]^Z_Y[`aZ_bPc^Zx3

1 + x32,Xn��e

x1vx2Y[X���e_]^Zuc^vWbxZ�c.X�|P]^X~}~c^Zuc^v.Z_bxe

x2 + 2x− 3 = 0 �ikjlnmRofmqp6r −26

� S"�@b��P|xbxv.�z�zY[g^�WgW].��X_��X����^Zy]zc.Xx�.�Kd�Zu�^vDvD��wZu�xZuc^v$bxey\^�Pv8�x\^e%Yw�.|P�^X~Zucc.Xy�zv^cDY[Z�}fXn�W��b��W}fZ � V@XY[Z>c.X~`aZy]zv�}fZy]^ef��bPc^e�Yub^bzXKv��W}fZ_bxZ�v.�w}fXn�xZuc^vbxey\^�Pv��WXY[X�wZu�xZuc^v �ikjlnmRofmqp6r 3

14

�.SWV@X%Y[Z>\.]^Z_Y[`aZ_bPc^Zsin

4.

ikjlnmRofmqp6r √2

2

� SWV@X%Y[Z�]^Zut%v�c^Zy]^X~}fZuc.Yubz}fe�bxelog3(x+ 1) <

1

3�

ikjlnmRofmqp6rx ∈ (−1; 3

√3− 1)

� SWV@X%Y[Z>c.X~`aZy]zv�\.]^eyv.�w}fe[�.c.XfbzX�c.X��T|Rc^�P�^v.��bzXf(x) = x5 − 3 cosx+ 1.ikjlnmRofmqp6r

f ′(x) = 5x4 + 3 sinx

UP� S6�>e~�^��e%Y[X%bz]zv^�^v.�a]^Zuc^vWbxZ��zvWYw�.X�Y�]^X~�q�^v.�zc^v�c^Zy�^Z_bPc^v��^v.�a]zv5�ikjlnmRofmqp6r

60

Page 2: 2005.18.07 Висше транспортно училище "Т.Каблешков"

�T�^���x 8�¢¡z£W¤@¥n¦x§u¨^©%§�ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x©

x−√

25− x2 +m = 0,

¬�¯�©f§_®x©m§°«^§y¥n±x§u¨�².¥~«^¥~³a§_®z´W«6µu¤@¥L¶[§·«^§u¸%­ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x©�².«z­

m = 1µ_¤@¥@¶[§°¨.¥~³a§y«^¹�®>²^©~±x©nº@­W®x§u±^¨^­W®x§

¶u®x©y»^¨^©�¶u®x­�¨.¥m ¼ ².«z­�¯�©y­W®x©%ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x©K­.³T¥®x©y½z¨^©�§¾¦.­^¨D«^§y¥n±x§u¨�¯�©_«^§u¨8µ

¿�ÀPÁ�ÀPÂ"Ã"À$ �ÅÄ~�^���x 8�¢¡z£�ÆL«z­m = 1

ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x©�¦x©fÇn­.¬f¥¬~­z¦W¥x−√

25− x2 + 1 = 0 ¼ ®5µ §�µ√

25− x2 = x+ 1. (1)

È ©_«z¨^©�®x©ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§�².«z­x+ 1 ≥ 0

§>«^¥~¬~¨^©�¶w­^±^¨^©�¨.¥

25− x2 = (x+ 1)2 ⇐⇒ 25− x2 = x2 + 2x+ 1 ⇐⇒ 2x2 + 2x− 24 = 0 ⇐⇒ x2 + x− 12 = 0.

ÆL©�¶w±x§¾¦.¨^©�®x©�ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§K­.³T¥¯�©_«^§u¨^­x1,2 =

−1±√

1− 4 . (−12)

2=−1± 7

2

µhÉL§u²^©�¶[«^§¾¦z¶u®z¬f§u¨.¥f®z¥�².«^©~ʬf§y«z¯x¥K²^©y¯x¥~Ëw¬f¥ ¼ ½^§ x1 =

−1 + 7

2= 3

§�«^§u¸%§u¨^­.§@¨.¥�̾Í_Î ¼ ¨^© x2 =−1− 7

2= −4

¨^§>§�«^§u¸%§u¨^­.§@¨.¥�̾Í_ÎqµÏ ±x§¾¦x©_¬f¥f®x§u±^¨^© ¼ ².«z­ m = 1

¦W¥n¦x§u¨^©�®x©K­.«^¥nÐ^­.©y¨.¥n±^¨^©�ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§@­.³T¥�§¾¦.­^¨.¶u®z¬f§u¨^©«^§u¸%§u¨^­.§x1 = 3

µ

Ñ §�².«^§¾¦.±x©nº@­.³�¦W¬f§�«^§u¸%§u¨^­.¹Ëw¥�©�¶u®z¥n¨.¥n±.¥f®z¥�½^¥f¶u®�©�®�Ëw¥n¦W¥y½^¥f®z¥xµÒ�ÓfÔ5ÕPÖ@Ô"×qØ�×qÙ^Ú5×~Û Ü ¥n²^­W¶[¬f¥~³a§@¦W¥n¦x§u¨^©�®x©ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§�¬f´W¬�¬~­z¦W¥

√25− x2 = x+m. (2)

¤@©y².ªx¶u®x­.³a­W®x§@³Tª�¶u®x©y»^¨^©�¶u®x­$¶[¥%®x§yËq­x ¼ Ëw¥�¯�©y­W®x© 25− x2 ≥ 0 ¼ ®5µ §�µ x ∈ [−5, 5]

µÜ ¥

x+m ≥ 0 (3)ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x©�ÌÞÝ�Îk§�«^¥~¬~¨^©�¶w­^±^¨^©K¨.¥

25− x2 = (x+m)2 ¼ ­^±^­�¬�¶[§�§¾¦.¨^©¨.¥

2x2 + 2mx+m2 − 25 = 0. (4)

Ñ §>­.Ë[¶w±x§¾¦W¬f¥~³a§�¯�©_«^§u¨^­W®x§>¨.¥�²^©�¶w±x§¾¦.¨^©�®x©¯x¬f¥n¦W«^¥f®P¨^©ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§ ¼ ¬�Ëw¥~¬~­W¶w­.³a©�¶u®�©�®�Ëq¨.¥n¯x¥�¨.¥K¦.­W¶w¯x«z­^ʳa­^¨.¥n¨W®z¥f®z¥�©�®�¶[´.¯x«^¥f®x§u¨.¥f®z¥Kßà©_«^³Tª~±.¥D1 = m2 − 2(m2 − 25) = 50−m2 µ

• ÆL«z­ D1 < 0ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x©�ÌâáPÎk¨.¹f³T¥�«^§u¸%§u¨^­.§ ¼ ¶w±x§¾¦x©_¬f¥f®x§u±^¨^©­�ÌÞÝ�Îk¨.¹f³T¥�«^§u¸%§u¨^­.§�µ

• ÆL«z­ D1 = 0ªP«^¥~¬~¨^§u¨^­.§_®x©ãÌâáPÎ�­.³T¥ä®x©y½z¨^©ä§¾¦.­^¨å¯�©_«^§u¨8µ@æ@®

D1 = 50 − m2 = 0¨.¥~³a­.«^¥~³a§

m1,2 = ±5√

2µ Ü ¥

m = m1 = 5√

2²^©~±.ªP½^¥~¬f¥~³a§

x1 = x2 =m

2=

5√

2

2¼ ¯�©f§_®x©§>©�®�¦x©y².ªx¶u®x­.³a­W®x§¶u®x©y»^¨^©�¶u®x­

[−5; 5]Ëw¥DÌÞÝ�Î ¼ ­�©�¶[¬f§u¨�®x©_¬f¥�ªf¦x©_¬~±x§_®z¬f©_«^¹f¬f¥�ªx¶w±x©_¬~­.§_®x©�ÌÞç�ÎqµW¤@«^ªRè~¥f®z¥%¶u®x©y»^¨^©�¶u® m =

m2 = −5√

2§�©�®z«z­^Ð.¥f®x§u±^¨.¥xµ

Ï ±x§¾¦x©_¬f¥f®x§u±^¨^©K¬K®x©fËq­�¶w±.ªP½^¥n»m = 5

√2§@§¾¦.­^¨.¶u®z¬f§u¨.¥f®z¥@²^©~±x©nº@­W®x§u±^¨.¥>¶u®x©y»^¨^©�¶u®%¨.¥

mËw¥�¯�©f¹�®x©

ÌÞÝ�Îà­.³T¥®x©y½z¨^©�§¾¦.¨^©%«^§u¸%§u¨^­.§�µ

• ¤@¥�«^¥~Ëqèn±x§¾¦W¥~³a§¨.¥n¯x«^¥y¹D¶w±.ªP½^¥y¹ D1 > 0µ8éL³T¥~³a§

D1 = 50 −m2 > 0 ⇐⇒ m ∈ (−5√

2; 5√

2)µ

ê Ëw§y³T¥n»^¯P­¢².«^§¾¦W¬~­z¦ ¼ ½^§�²^©�ªx¶w±x©_¬~­.§ m > 0 ¼ ²^©~±.ªP½^¥~¬f¥~³a§ m ∈ (0; 5√

2)µkë·©~è~¥~¬f¥ìÌâáPÎK­.³T¥D¦W¬f¥

¯�©_«^§u¨.¥

x1 =−m+

√50−m2

2

­x2 =

−m−√

50−m2

2.

¤@¥�Ëw¥~Ç�§u±x§[º@­.³ ¼ ½^§�®z´.»�¯x¥f®x© m > 0­.³T¥~³a§�í

x21 =

(−m+√

50−m2

2

)2=m2 − 2m

√50 −m2 + 50−m2

4=

25−m√

50−m2

2<

25

2< 25,

Ý

Page 3: 2005.18.07 Висше транспортно училище "Т.Каблешков"

îx1 +m =

−m+√

50−m2

2+m =

m+√

50−m2

2> 0,

ï5ð ñ�ð x1ñ>ò�ï�óxòyô.õxöuï î.÷aî ïxñ@öuïxòyø^ù^ò�öuï î�úwû�üÞý�þTî ò�ö[ÿfñuù$ïxò_ÿ û ñ î.ú ô����^ù^ñuù^ò î õxö��xò_ÿ î ñ_ïxò ü���þ ð����xñ¾óxò

ÿ û ïxñ��^ù^ò úwû ÿ�ö ���ò m ∈ (0; 5√

2) � x1 =−m+

√50−m2

2ñ��^ñ��%ñuù î ñ î ù û�üÞý�þ ð

� û ó û�� �^óxñ x1ñ¾ó î ù.öuïzÿfñuù^ò��^ñ��%ñuù î ñ�ù û�üÞý�þ � x2 =

−m−√

50−m2

2ï���� � ÿ û ó û ñ��^õ��Ló���ò��^ñuù8ð

� �.ø�� û ïxò

25−x22 = 25−

(−m−√

50−m2

2

)2=

50 −m2 − 2m√

50−m2 +m2

4=(m−

√50−m2

2

)2≥ 0

úwû ÿ�ö ���ò m ò�ï�óxòyô.õxöuï î.÷aî ïxñ>öuïxòyø^ù^ò�öuï î ù û õ � û ÿ~ù^ñuù î ñ_ïxò � ï���� � ÿ û x2 +m < 0 !

x2 +m < 0 ⇐⇒ −m−√

50 −m2

2+m < 0 ⇐⇒ m−

√50−m2

2< 0 ⇐⇒ m <

√50−m2.

� û m ∈ (0; 5√

2) î.÷Tû~÷ ñ

m <√

50−m2 ⇐⇒ m2 < 50 −m2 ⇐⇒ 2m2 < 50 ⇐⇒ m2 < 25 ⇐⇒ m ∈ (0; 5).

" ï û � û � ÿ>ïxò úqî ö��.õ � û ø � ô^ò�xò#� î ïxñ��^ù î ïxñ·öuïxòyø^ù^ò�öuï î ù û m úwû ��ò î ïxò üÞý�þ8î.÷Tû ïxò$�zù^ò@ñ¾ó.ù^ò%�^ñ��%ñuù î ñö û m ∈ (0; 5) ð

& ��òyù�� û ïxñ��^ù^ò � ï����.ö[ñuù î ïxñ>öuïxòyø^ù^ò�öuï î ù û ô û � û~÷ ñ_ï���� û m ö û m ∈ (0; 5) ∪ {5√

2} ð

')( *,+-*)+-.0/1.02�34.5 6 û óxñuù^ò�ïxòäõ � û ÿ~ù^ñuù î ñ î.÷Tû ïxò$�zù^ò�ñ¾ó î ù7�^ñ û �xñuù7��ò��^ñuù � ïxò8 û ÿ û�î ö û~÷ ò¢ïxò8 û ÿ û ���ò8 û ïxòô�� û ÿ û ï û ö@õ � û ÿ~ù^ñuù î ñy = x+m (5)

î.÷Tû ïxò$�zù^òñ¾ó.ù û ò ��9�û ïxò$��� û ö@ô^ò�.õPò$�����:�@ù^ò�öuï^ï û � ��ò;��ïxò%ñ<8� û=8î � û ï û ù û>= õRù�� ? î ��ï û

y =√

25− x2, x ∈ [−5; 5]. (6)

@ � û ÿ î ïxñ ü�A�þ ô��^ñ_ö î � û ï@ó���8 û ï û�ü�B�þ ÿ�ñ¾ó.ù û ïxò$��� û ô�� î m ∈ (−5; 5), û ô�� î m = 5√

2 ô�� û ÿ û ï û y = x+5√

2ö[ñ�óxòyô î � û óxòô^ò�.õPò$�����:�@ù^ò�öuï^ï û ð

���xñ¾óxò_ÿ û ïxñ��^ù^òô^ò�xò#� î ïxñ��^ù î ïxñ�öuïxòyø^ù^ò�öuï î ù û ô û � û~÷ ñ_ï���� û m ö û m ∈ (0; 5) ∪ {5√

2}.

Page 4: 2005.18.07 Висше транспортно училище "Т.Каблешков"

CED�FGD�HIDKJ�LIM)N#O�P�Q�P4ABC R:S1TVU$W�X�U AC = 4 +

√3, BC = 2

√3 Y <Z ACB = 60◦.

M)N�[ P\Q�N]^P$_ Y_�N#O Y�` [ a X Q�N U$b�Y [ N#Q�N X N U$TVUc�U 4ABC U$T _�a:d)Q U [ X�Y _�N#O Y�` [ a X Q�N Sb�Y [ N#Q�N X N S 4ABC U$T _�a:d)Q U [ X4e

f%g hig j-k-glj D�mD�FGD�HIDnJ�Lpo U\TVU [ Y Q ` [ U�S N X N X P U _�P$]EN>q�N4ABC b _�P�[ ]Er X N]^P

AB2 = AC2 +BC2 − 2AC · BC cos<Z ACB = (4 +√

3)2 + (2√

3)2 − 2 . (4 +√

3) . 2√

3 . cos 60◦ =

= 16 + 8√

3 + 3 + 12− 2 . (4 +√

3) . 2√

3 .1

2= 31 + 8

√3− 8

√3− 6 =

= 25.

s c PtO U�S N X P c Q U AB = 5 e s P�uN b�U [ Y Q ` [ U�S N X N X P U _�P$]ENvq�N4ABC b _�P�[ ]Er X N]^P�_�N#O Y�` [ N>Q�N U$b�Y [ N#Q�N X N

U$TVUc�U 4ABC U$T _�a:d)Q U [ XR =

AB

2 sin<Z ACB =5

2 sin 60◦=

5

2 .

√3

2

=5√3.

w N�O�NxQ�N]^P$_ Y ]y_�N#O Y�` [ NxQ�N Sb�Y [ N#Q�N X N S 4ABC U$T _�a:d)Q U [ X4R�b a�_ S;U>b _�P�[ ]Er X N]^P b�Uc�`zb P$_ Y ]^P X a�_�N

p =1

2(AB +BC +AC) =

1

2(5 + 2

√3 + 4 +

√3) =

3

2(3 +

√3)

Y�c�Y�{ P X�U

S =1

2AC .BC sin<Z ACB =

1

2(4 +

√3) . 2√

3 sin 60◦ = (4 +√

3)√

3

√3

2=

3

2(4 +

√3)

Q�N4ABC e s P�uN

r =S

p=

3

2(4 +

√3)

3

2(3 +

√3)

=1

6(4 +

√3)(3−

√3) =

3

2−√

3

6.

|

Page 5: 2005.18.07 Висше транспортно училище "Т.Каблешков"

}E~��G~��I~��:�:���������������;���x����������������%���������E�ABCA1B1C1 �V� � � ������V�������>�

2 � � �$�V� �������V��������

1 �-� � � ������^�$���n��������� � ��� � �$����������� � �������������E�;��� � ����������� � �V� �V� � �^������;�������$� � ���t�������1����V� � � ��������<����� � �;� AB �

AC � ����� � �����x�������CC→1

� ��� ���)���;� � �����������;��� (ABC) �V� ������������ϕ �

�%  ¡i  ¢-£- ¤¢ ~p¥~��G~��I~��:� � � � �0���$�����¦�����������;���<��� � �$����������� �\� λ � � � M �N � ���t�������)��� AB�

AC � � � ���;��� � � �I §t¨�©«ªz¬$­-® ¯ ���������;��� λ ����� � �����x�����;�

CC1 ��° � � � K �K1 � � � ���t������� � � � ���;��� � � ���

BC�B1C1 �

± ������� �V� �����#�������\���������������� � ABC ����^������^�MN =

1

2BC = 1

�PK =

1

2AK =

1

2

√3 =

√3

2��7� � �0� � ��² ���#³ <́LPK = ϕ

tgϕ =KL

PK≤ KK1

PK=

1√3

2

=2√3.

µ � ���;� � �$����������� � ���λ � ���������E�;���������������������������� � � �����V� � ��� � � � �����l�

(ABC)�������#�������:�

BCNM �%�V� � � �� BC = 2 � MN = 1�¤�� � � ������� PK =

√3

2� � � � � � �������

SBCNM =1

2(BC +MN)PK =

3√

3

4.

± ����� � ���$�E�;���>���>��������� � ���x��� � � � �����V���x���x��������� � s ��� � �$����������� � ���E��^�

s =SBCNM

cosϕ=

3√

3

4 cosϕ.

Page 6: 2005.18.07 Висше транспортно училище "Т.Каблешков"

II ·t¸�¹«ºz»$¼-½ ¾�¿ÀÁ�Â�Á�¿;Ã�¿ λ Ä�Å�Æ�Ç�Â�È�¿�Å�É�Ê;¿ A1C1 Ë:Ì ¿#Í�Ã�Î1À I Ç�Ï�Ð È�¿#Ñ�Ç ÆvÐ ÊVÆ ÒÔÓ�¿À;¿Õ^ÆVÖ4È�ÆvÃ�Î�À;¿�Ç�Ã�¿À;¿�ÖÍVÎ׿;Ã�Î

tgϕ >2√3.

Ø Æ�Í�¿ M1  N1 Ç ¿�Ä�Å�Î;Ê;Î Ó�Á�Â�Ã�ÆÙÃ�Î$È�Í Â�Á�¿ λ Ç É�ÎVÃ�À;Æ�à Á�Î¦Ç A1B1  A1C1 ÖÚ¿ U  V Ç ¿yÃ�Æ0Û Á�Â�Ã�ÆÄ�Å�Î;Æ�Í Ü�Â�ÂÝÀ (ABC) ËÔÞ Ã MN ∈ (ABC)  (ABC)‖(A1B1C1) Ç�Ï�ÆtÓ�À;¿�ÖßÈ�Æ MN‖(A1B1C1). àßÎ׿À;¿M1N1 = λ ∩ (A1B1C1) Ö M1N1‖MN ÖEÎVÃ�Í�É�Ó�Æ�Ã�ÎiÇ�Ï�ÆtÓ�À;¿�Ö�È�Æ�Ä�Å�Î;Æ�Í Ü�Â�áVÃ�¿ UV Á�¿ M1N1 À (ABC) ÆÐ�Ç�Ä�Î�Å�ÆtÓ�Á�¿�Á�¿ MN Ë�â Ï�ÆtÓ�Î�À;¿;Ã�Æ�Ï�Á�Î>Ä�Å�Î;Æ�Í Ü�Â�áVÃ�¿�Á�¿>Ç Æ$È�Æ�Á�Â�Æ�Ã�Î\Æ�Ã�Å�¿#Ä�Æ�Ü�É:à MNV U Ë Ø Æ�Í�¿\Õ^ÆtÓ�Â�¿#Á�¿;Ã�¿Ä�Å�Æ$ã A À 4ABC Ä�Å�Æ�Ç�Â�È�¿ UV ÀvÃ�Î$È�Í�¿ Q  MN À�Ã�Î$È�Í�¿ P Ë�ä ÎVÇ�Ï�ÆtÓ�Î�À;¿;Ã�Æ�Ï�Á�Î�Á�¿Õ^Â�Å�¿Õ^Æ

PQ = cotgϕ, AQ = AP + PQ =

√3

2+ cotgϕ,

UV =2√3AQ =

2√3

(√3

2+ cotgϕ

)= 1 +

2√3

cotgϕ,

SMNV U =1

2(MN + UV )PQ =

(1 +

1√3

cotgϕ

)cotgϕ.

Þ Ã�Ã�Æ$Î�Å�Æ$ÕE¿;Ã�¿>ã�¿>Ï�Â�Ü�Æ�Ã�ÎxÁ�¿xÄ�Å�Î;Æ�Í Ü�Â�áVÃ�¿xã�¿xÏ�Â�Ü�Æ�Ã�Î s Á�¿\Ç Æ$È�Æ�Á�Â�Æ�Ã�Î>Â�ÕE¿Õ^Æ

s =SMNV U

cosϕ=

1 +1√3

cotgϕ

sinϕ=

2 sin(ϕ+π

6)

√3 sin2 ϕ

.

å