2006 年 GCT 测试试题

• 上海应用技术学院

).(64

177

32

166

16

155

8

144

4

133.1

2

12211

解：该式的整数部分

.64

63

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1n分数部分

,30877665544332211

所以答案为 C.

.128

127308)(;

64

63308)(;

32

31308)(;

16

15308)( DCBA

2.100 个学生中， 88人有手机， 76人有电脑，其中有手机没电脑的共 15人，则这 100 个学生中有电脑但没手机的共有（ ）人 . (A) 25; (B) 15; (C) 5; (D) 3.

解 : 24 个没有电脑的人中 15个人有手机，因此，既没有手机又没有电脑的人只有 9人，从而，

在 12个没有手机的人中只有 3人有电脑 .

故答案为 D.

补充：某医院共有 3个科室，某天内科、外科和五官科各接待了 50名就诊病人，其中只看内科的 20人，只看外科的 30人，只看五官科的 30人，三科都看的 10人，该医院这天接待了（ ）名病人 .

(A) 100; (B) 105; (C) 110 ; (D) 150.

解：本题主要考察有关圆的面积等内容 .

3. 如图所示，小半圆的直径 EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦 AB与 MN 平行且和小半圆相切，如果 AB=10cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2.

.5.122

1

2

1,25 2222 rRxrR

rR

得

，则，小圆半径为事实上，设大圆半径为

.25)(;20)(

;5.12)(;10)(

DC

BA

答案为 B.

解：本题主要考查一元二次方程根问题．

.

,2007||2006.4 2

）（实数根的和等于它所有方程 xx

;4)(2006)( BA ； .2006)(0)( DC ；

;2

2007420062006

02

x

x

实数根

时，方程有道：当根据假设条件，容易知

.2

20074)2006(2006

02

x

x

实数根

时，方程有当

答案为 C.

从而该一元二次方程所有实数根的和等于零．

.

2007||2006

0

20

也是该方程的根实数根，则方程是事实上，若

x

xxx

答案为 C.

.

48.5

形的面积等于（）折起压平，则阴影三角，将它沿一条对角线，宽为设长方体的长等于

;10)(;8)( BA

.14)(12)( ; DC

解：本题属于基本计算题，主要考查三角形的面积等内容 .

.

,'

是一个等腰三角形所以由于

BCO

BCOCBDOBC

B

A O

D

D’

C

,3

)8(4 22222

OD

CDOBOCOD从而

,10342

184

2

1S所以阴影部分的面积

答案为 B.

解：本题主要考查复数的基本运算，涉及到复数的共轭等基本概念．

.1

.6 （）的共轭复数复数 zi

z

;)(;)( iBiA .1)(1)( DC ；

.iziz ，所以由于

因此，答案为 A.

解：本题主要考查常见立体的体积 . 设水面下降了 h, 则

;3

16 )( ;

3

15 )( BA

.3

18 )(

3

17 )( DC ；

.3

181010)10(

3

4 223 hRRhr

因此，答案为 D.

7. 如图所示，将一个实心铁球放入一个圆柱形容器中，球的直径等于圆柱的高 . 现将容器注满水，再把球取出（假设水量不损失），则容器中水面的高度为（） cm.

解：本题主要考查平面解析几何问题 . 连接 OP, 则

;)( ;, )(n

p,

m

qB

n

q

m

pA

. )( )(n

p,

m

pD

n

q ,

m

qC ；

.tana

bOP 的斜率直线

因此，答案为 A.

8. 如图所示， p(a,b) 是第一象限内的矩形 ABCD（含边界）中的一个动点，则 a/b 的最大值、最小值分别是（） .

解：本题可以通过浓度建立关系式 .

.10

10

,)10(

a

LaaL

注水后溶液的浓度为

后，余下纯酒精第一次倒出

因此，答案为 A.

9. 一个容积为 10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a 升酒精后，用水把量杯注满并且搅拌均匀 ,第二次倒出 a 升溶液后，再用水把量杯注满并且搅拌均匀，此时量杯中的溶液浓度为 49% ，则 a 的值是（） .

(A)2.55L; (B)3L; (C)2.45L; (D)4L.

,)10

1010( L

aaaaL

后，余下纯酒精第二次倒出

因此，答案为 B.

再用水把量杯注满并且搅拌均匀，此时量杯中的溶液浓度为 49% ，所以

,3100

49)

10

1010(

10

1

a

aaa

答案为 B.

10. 如图所示，垂直于地面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰好与半圆的直径 AB 垂直，此时半圆木板在地面的阴影是半个椭圆面 . 已知地面上阴影的面积与木板面积之比为 则光线与地面所成的角度是（） .

,3

.60)(;45)(

;30)(;15)(00

00

DC

BA

11. 某型号的变速自行车主动轴有 3个同轴的齿轮，齿数分别是 48， 36 和 24 ，后轴上有 4个同轴的齿轮，齿数分别是 36， 24 ， 16 和 12 ，则这种自行车共可以获得（）种不同的变速比 .

(A)8; (B)9; (C)10; (D) 12.

解：可以获得 12 中变速比 . 但是

.16

24

24

36;

24

24

36

36;

12

24

24

48;

12

36

16

48

答案为 A.

12. 在平面 a 上给定线段 AB=2 ，在 a 上的动点 C,使得 A,B,C 恰好为三角形的三个顶点，且线段 AC,BC 的长是两个不相等的正整数，则动点 C 所有可能的位置必定在某（）上 .(A)抛物线 ; (B) 椭圆 ; (C)双曲线 ; (12) 直线 .解：主要考察三角形和双曲线的定义 .

，所以，因为

1||

1||,2||

CBCA

CBCAABCBCA

答案为 C.

13.桌上有中文书 6 本，英文书 6 本，俄文书 3 本，从中任取 3本，其中恰好有中文书、英文书、俄文书各 1本的概率是（） .

解：主要考察古典概率的知识 .

.455

108

123131415366

315

13

16

16

C

CCCp

答案为 C.

.455

414)(;

455

108)(;

108

1)(;

94

4)( DCBA

14. 设 n为正整数，在 1和 n+1 之间插入 n个正数，使得这 n+2 个数成等比数列，则所插入的 n个数的积等于（） .

解：主要考察等比数列的相关知识 .

,11,,,,,1 12 nqnqqq nn 成等比数列，所以因为

答案为 A.

.)1()(;)1()(;)1()(;)1()( 322 nnnn

nDnCnBnA

,)1( 2)1(

2

12

nnnn nqqqq

从而

14. 设 n为正整数，在 1和 n+1 之间插入 n个正数，使得这 n+2 个数成等比数列，则所插入的 n个数的积等于（） .

另解：设 n=1, 则

成等比数列，2,2,1

答案为 A.

.)1()(;)1()(;)1()(;)1()( 322 nnnn

nDnCnBnA

15.

解：主要考察一元二次函数的性质 .

,)0,0(),0,2(1 也在曲线上所以为对称轴，并过x

答案为 D.

.3)(;2)(;2)(;3)( DCBA

).()1(

)1()0,2(,1

)( 2

f

fx

cbxaxxf

，则且过为

的图像的对称轴设

16.

1）

设 0且可导，则 =( )(

( ) lim ln( )n

f anf x n

f a

0 '( )

( ) ( ) ( ) ln '( ) ( )( )

f aA B C f a D

f a

1 1） ） ）分析： ＝

1

）

( ln ( ln (lim ln lim

( )

'((ln ( ))'

( )

n n

x a

f a f a f an nn

f an

f af x

f a

16.

1）

设 0且可导，则 =( )(

( ) lim ln( )n

f anf x n

f a

0 '( )

( ) ( ) ( ) ln '( ) ( )( )

f aA B C f a D

f a

,1,1)( 2 axxf设另解 :

17.

2

2

0 11曲线

1 22 1

在（0，2）区间内有（ ）

( )

( )( )

xx xy

xx x

A. 2 个极值点， 3 个拐点

B. 2 个极值点， 2 个拐点C. 2 个极值点， 1 个拐

点D. 3 个极值点， 3 个拐点01 1 3 1 6 4

1 2令 0得 令 0得

3 312 1 3 5 6 8

5 4令 0得 令 0得

3 3

( , ), ' ( )( ), ''

' , '' ,

( , ), ' ( )( ), ''

' , '' ,

x y x x y x

y x y x

x y x x y x

y x y x

01 1 3 1 6 4

1 2令 0得 令 0得

3 312 1 3 5 6 8

5 4令 0得 令 0得

3 3

( , ), ' ( )( ), ''

' , '' ,

( , ), ' ( )( ), ''

' , '' ,

x y x x y x

y x y x

x y x x y x

y x y x

A.正确

.1

'''1

不是极值点，但是拐点所以改变了符号，不改变符号，而两侧

x

yyx

所以，有 2个极值点， 3个拐点

18.设正圆锥母线长为5，高为 ，底面圆半径为 ，

在正圆锥的体积最大时， =（ ）

2 1 2 3

2. . . .

h r

r

h

A B C D

2 2 3

2

1 1 1分析: = 25 25

3 3 3

1 5 25 5 2令 = 25 3 0得 25

3 33 3

所以 2

( ) ( )

' ( ) , ,

,

V r h h h h h

V h h r

r

h

C. 正确

.],0[

04

140 .19

220

22

上根的个数是（）在

，方程设

a

dtta

dttaax

a

x

.3 )( 2 )( 1 )( 0 )( 个个；个；个； DCBA

分析 : 设

,],0[)(0)(' 上单增在 axfxf

,0)(,0)0( aff又

综上所述： .11)( 个根即原方程有个零点有 ,xf

,4

14)(

220

22 dtta

dttaxfx

a

x

20.如右图，曲线表示某工厂十年期间的产值变化情况，设是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是（ ）。

( )

( )

P f t

f t

D. 前两年越来越慢，后五年越来越慢

B. 前两年越来越快，后五年越来越慢C. 前两年越来越快，后五年越来越快

A. 前两年越来越慢，后五年越来越快

A. 正确

分析：

2 7

0 1

2 2

0 0

3 1 3

1令 则

31 1

3 2 1 13 2

( ) , '( )

( ) , ( ( )) ( )

( ) ( )

g x x g x

g x t f g x dx f t dt

f t dt f t dt

.))((

)(

]2,0[2)( .21

2

0（）则

是线性函数，上的图形为直线段，，它在为周期的连续周期函数是以设

dxxgf

xg

xf

.2

3 )(

3

2 )( 1 )(

2

1 )( DCBA ；；；

评注：

.)()(

)(

0

Ta

a

Tdxxfdxxf

Txf

则

，为周期的连续周期函数是以设

分析：该题主要考查矩阵的简单运算性质 .

.,

101

020

101

.22

2 ）的第一行的行向量是（则

满足，若三阶矩阵设

QQAEAQ

QA

. )( )(

)( (

202)(102)(

201)()101)(

DC

BA

；；；

).)(()(2 EAEAQEAQAEAQ

.,01|| EAQEA 所以由于

答案为 C.

).,

0)05(,)112(

,)031(1)(.23

(

,

32

1

k

Axk

ArATT

T

则常数解向量的三个是

的秩设三阶矩阵

. ; 3)(2)(1)(2)( DCB A ；；

分析：该题主要涉及到齐次线性方程组解的性质 .

无关的解向量，线性的基础解系只含有两个01)( AxAr

即 ,30515

10

013

521

kk

k答案为 D.

线性相关，，，因此 321

分析：本题主要考查线性相关的有关性质 .

首先

.

10

01

101

)()(

k

kkk

).,,

1,.24

(

线性无关的向量组是线性无关，则，设向量组

kk

k

(A) 充分必要条件； (B) 充分条件，非必要条件；(C)必要条件，非充分条件； (D)非充分条件也非必要条件 .

.1||,

10

01

1012

kA

k

kA 则令

另一方面

.10||

,,

kA

kk

，因此有则线性无关时，当向量组

.

,,1

必要条件线性无关的是从而 kkk

.,,1 线性相关时，当 kkk

.

,,1

充分条件线性无关的不是所以 kkk

答案为 C.

).

,

100

00

002

,

10

100

002

.25

(

的特征值对应相等，则的特征值和若

设矩阵

BA

yB

x

A

.y,xDyxC

yxByxA

10)(0,1)(

)()(

10, 11,

；；；

分析：该题具有一定的综合性 .

.BA

BA

并且

等，主对角线上元素之和相、根据题目的条件知道：

.1,022

122

yxy

yx即

因此，答案为 B.

练习：

的逆序数 .)2(24)12(13 nn 例 1 求排列

（思考：这个排列的奇偶性如何？）

).1(2

11)2()1( nnnnt

解： 逆序数为

?

2

则行列式的值多，数比阶行列式，零元素的个一个 nnn思考 :

Can You Answer Them?

) ( ?

,0

,.2

12

多少开式中为零的项至少有

按定义的展问其中是五阶行列式设

Da

D

24

1. 在 6 阶行列式中， 的项应 带什么符号？

425665311423 aaaaaa

( + )

1789

0070

2222

0403

D 的代数余子是 ijij aA,

44434241

44434241

2

1

MMMM

AAAA

aM ijij

））

的余子式，则是式，

例 2. 设

，0

.-28

解 2 ）虽然可以直接计算，但如下方法更加简单 .

解 1 ）由代数余子式的重要性质即可知；

1111

0070

2222

0403

M

4444

4334

4224

4114

)1(

)1( )1()1)(1(

M

MMMM

构造行列式

另一方面，容易计算 M 的值，

M 与 D 的区别仅仅是第四行元素，因元素的余子式与该元素所在行（列）的元素无关，因而 M 与 D 的第四行元素的余子式对应相同，将 M 按第四行展开，得

.44434241 MMMM

111

222

043

7

M

111

400

043

7

.28

11

43)4(7

已知例3. ,27

05134

22111

54213

11222

54321

D

.434241 AAA 求

.9

0)(2

27)(2

434241

4544434241

4544434241

AAA

AAAAA

AAAAA解：

,

32564

11222

24523

33111

54321

||)1( A设

.3534333231 AAAAA 和求

练习：

.0)()(2

,0)(3)(

3534333231

3534333231

AAAAA

AAAAA

提示：由代数余子式的性质，得

线性无关，所以 ,,,, 121 n

.1,,2,1,00

0112211

njkk

kkkk

j

nn

若

例 4

证明：显然 R(A)=1, 这样 t=n-1.

例 5

证明：利用极大线性无关组的性质可以证明 .