2006 modelaÇÃo bidimensional da propagaÇÃo de ondas de cheia com frente abrupta ist, lisboa...
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20062006
MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA
PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM
FRENTE ABRUPTAFRENTE ABRUPTA
IST, LisboaIST, LisboaJoão Leal (UBI)João Leal (UBI)
Universidade da Beira Interior
AULA 11AULA 11
Observações experimentaisObservações experimentais
o modelo conceptual tem que o modelo conceptual tem que incluir o incluir o transporte de transporte de sedimentossedimentos
Planta
clear waterclear water
sheet-flowsheet-flow
Vista lateral
o escoamento pode ser conceptualizado como2 camadas de transporte (clear waterclear water + sheet-flowsheet-flow)
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MODELO CONCEPTUAL MODELO CONCEPTUAL (morfodinâmico)(morfodinâmico)
immobile bedz b
h c sheet-flow
hh w clear water
uc
uw
ub= 0
C w= 0
C c
C b= 1 - p
wh w
wh w + ch c
c c w wh h h u u u
1 1w s C
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )c c c x c y x yC C h u u h u u
Depth average Depth average theorytheory
NOTA:NOTA:
ux
y
u
u
Universidade da Beira Interior
EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃOEQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO
t x y
F U G UU
S
Variáveis dependentesVariáveis dependentes
cota da sup. livrecota da sup. livre
caudal mássico por caudal mássico por unidade de larguraunidade de largura
cota do fundo equivalente aossedimentos acumulados na coluna de água
s bz h z
1e b c cz p z C h
hu
Variáveis dependentes
( )
( )
U
s
x
y
e
z
u h
u h
z
Vectores de fluxo
( )
2 2( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
F U
x
w w x w c c x c
w w x w y w c c x c y c
x
hu
u h u h
u u h u u h
Chu
2 22 2w w w w c c cg h h h h
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2( ) ( )
( )
G U
y
w w x w y w c c x c y c
w w y w c c y c
y
hu
u u h u u h
u h u h
Chu
Termos de fonte
( )
( )
0
0
S
bw w c c bc x
bw w c c bc y
zg h h
xz
g h hy
MORFODINÂMICOMORFODINÂMICO
Universidade da Beira Interior
EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃOEQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO
t x y t x y
F U G UU U U U
A U B U S
Variáveis dependentes
( )
( )
x
y
h
u h
u h
U
Vectores de fluxo
( )
2 2( )
( ) ( )
2
x
x
x y
hu
u h gh
u u h
F U ( )
( ) ( )
2 2( ) 2
y
x y
y
hu
u u h
u h gh
G U
Termos de fonte
( )
( )
0
bbc x
bbc y
zgh
xz
ghy
S
HIDRODINÂMICOHIDRODINÂMICO
Universidade da Beira Interior
2
0 1 0
2 0x x
x y y x
gh u u
u u u u
A U
2
0 0 1
0 2
x y y x
y y
u u u u
gh u u
B U
x
x
x
u gh
u
u gh
A
y
y
y
u gh
u
u gh
B
O esquema (MacCormack, 1969) foi desenvolvido e implementado no
âmbito da dinâmica de gases. A sua facilidade de implementação
aliada a uma precisão de segunda ordem faz com que seja um dos
esquemas mais utilizados na modelação numérica de ondas de cheia.
Universidade da Beira Interior
Refira-se que a existência de choques na solução faz com que os
esquemas de primeira ordem não sejam aplicáveis, dado que
tendem a suavizar essas descontinuidades.
ESQUEMA DE MACCORMACKESQUEMA DE MACCORMACK
O esquema numérico de MacCormack é explícito e constitui a variante
de dois passos mais popular do esquema de Lax-Wendroff. Pertence à
classe dos métodos de passo fraccionado (“fractional-step”) e garante
uma aproximação de segunda ordem no tempo e no espaço.
Universidade da Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK 1DESQUEMA DE MACCORMACK 1D
1 1
2n p ci i i U U U
Diferenças Finitas
0t x
U F
xx tt
1
1
se 2,4,...
se 3,5,...
n n ni i i
pi
n n ni i i
tn
xt
nx
U F FU
U F F
1
1
se 2,4,...
se 3,5,...
n p pi i i
ci
n p pi i i
tn
xt
nx
U F FU
U F F
Previsão Correcção
Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção
Universidade da Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK 1DESQUEMA DE MACCORMACK 1D
tempo(t )
(progressivas)
(regressivas)
espaçom c +1 (x )
i 1 i i +1
n+ 1
n
correcção
previsão
FR
ON
T. D
E JU
SA
NT
E
barr
agem
x
m x m x 1
n 1
CONDIÇÕES INICIAIS
1 2 m c 1 m c
n+ 1
n
3
FR
ON
T. D
E M
ON
TA
NT
E
1
0
Universidade da Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK 2DESQUEMA DE MACCORMACK 2D
Diferenças Finitas
0t x y
U F G
xx tt
Previsão Correcção
Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção e também nos fluxos segundo x (F) e segundo y (G)
y y
, 1, , , 1 ,
, , 1, , 1 ,
,
, 1, , , , 1
, , 1, , ,
se 2,6,...
se 3,7,...
se 4,8,...
n n n n ni j i j i j i j i j
n n n n ni j i j i j i j i j
pi j
n n n n ni j i j i j i j i j
n n n ni j i j i j i j i j
t tn
x xt t
nx xt t
nx xt t
x x
U F F G G
U F F G GU
U F F G G
U F F G G 1 se 5,9,...n n
, , 1, , , 1
, 1, , , , 1
,
, , 1, , 1 ,
, 1, , , 1
se 2,6,...
se 3,7,...
se 4,8,...
n p p p pi j i j i j i j i j
n p p p pi j i j i j i j i j
ci j
n p p p pi j i j i j i j i j
n p p pi j i j i j i j i
t tn
x xt t
nx xt t
nx xt t
x x
U F F G G
U F F G GU
U F F G G
U F F G G , se 5,9,...pj n
1, , ,
1
2n p ci j i j i j U U U
Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2DESQUEMA DE MACCORMACK 2D
y y
i +1,j i +1,ji -1,j x i -1,j x
p c
y y
i +1,j i +1,ji -1,j x i -1,j x
c pc
Tempo de cálculo n +2
i ,j +1
cc
i ,j
p
Tempo de cálculo n +3
i ,j -1 i ,j -1
i ,j +1
pp
i ,j
Tempo de cálculo n
i ,j +1
pc
i ,j
p
Tempo de cálculo n +1
i ,j -1 i ,j -1
i ,j
i ,j +1
p
c
c
De acordo com o teorema de Godunov, a utilização de um esquema
de ordem superior à primeira produz oscilações espúrias na
presença de descontinuidades.
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
a )
d is tâ n c ia-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0
1 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
b )
d is tâ n c ia
-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
c )
d is tâ n c ia
esquema primeira ordem (Godunov)simula mal (“adoça”) as descontinuidades
esquema de segunda ordem (MacCormack)Simula bem as descontinuidades mas apresenta oscilações numéricas
SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE RIEMANN
Universidade da Beira Interior
A tentativa de eliminar as oscilações numéricas resultantes dos
termos de ordem superior deu origem aos esquemas TVD que
garantem que a variação total das sucessivas soluções numéricas
não aumenta no tempo, ou seja,
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Esta propriedade garante que não se geram novos mínimos ou
máximos locais e que os mínimos e máximos locais existentes não
são decrescentes ou crescentes, respectivamente.
1TV TVn n U U
-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
a )
d is tâ n c ia-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0
1 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
b )
d is tâ n c ia
-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
c )
d is tâ n c ia
-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
a )
d is tâ n c ia-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0
1 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
b )
d is tâ n c ia
-1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,01 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
c )
d is tâ n c iaesquema de MacCormack sem TVD esquema de MacCormack com TVD
A metodologia TVD só é aplicável a sistemas lineares de equações.
A sua aplicação a sistemas não lineares só é possível através da
linearização local do sistema através da aproximação desenvolvida
por Roe (1981), em que as Jacobianas são aproximadas por
matrizes Jacobianas de coeficientes constantes, determinados
através da solução do problema de Riemann entre duas células de
cálculo adjacentes.
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
A metodologia TVD, por si só, não garante a satisfação da condição
de entropia. Esta condição é fundamental para evitar a
convergência dos esquemas para soluções não reais (espúrias).
A obtenção de soluções com descontinuidades assenta no teorema
de Lax e Wendroff que postula que se um esquema numérico,
aplicado a um sistema de equações escrito na forma conservativa, é
convergente, então converge para uma solução fraca (descontínua).
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CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
k esquerda des k direitaS U U
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12x [m]
Y [
m]
Porém, o teorema não garante a unicidade da solução fraca obtida,
podendo obter-se soluções sem significado físico (espúrias). Para
que tal não aconteça é necessário garantir a satisfação da condição
de entropia:
esquema de MacCormack sem condição de entropia (choque não físico)
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
A aplicação da metodologia TVD ao esquema de MacCormack em
conjunto com a verificação da condição de entropia traduz-se na
introdução de um termo de correcção, que no caso de esquemas
centrados como o de MacCormack pode ser visto como um termo
de dissipação artificial auto-adaptativo
1, , , 1 2, 1 2, , 1 2 , 1 2
1
2n p c n n n ni j i j i j i j i j i j i j
t t
x y
U U U D D D D
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
1, , , 1 2, 1 2, , 1 2 , 1 2
1
2n p c n n n ni j i j i j i j i j i j i j
t t
x y
U U U D D D D
3
1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2,1
11 1
2n k k k k ki j i j i j i j i j i j
k
ta e
x
D
3
, 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 21
11 1
2n k k k k ki j i j i j i j i j i j
k
ta e
x
D
Valores próprios da matriz aproximada
Vectores próprios da matriz aproximadaCoeficientes da linearização de
Condição de entropia
Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem)
Valores próprios da matriz aproximada
Vectores próprios da matriz aproximadaCoeficientes da linearização de
Condição de entropia
Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem)
1 2,i jA1 2,i jA
, 1 2i jB, 1 2i jB
, 1 2i jB
1 2,i jA
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
No caso das equações de Saint-Venant 2-D aplicadas a canais com
secção rectangular, o cálculo das matrizes Jacobianas resulta nas
conhecidas aproximações de Roe
direcção x
1, ,1 2, 2
i j i ji j
h hc g
direcção y
1, ,1, ,
1 2,1, ,
i j i jx i j x i j
x i ji j i j
h u h uu
h h
1, ,1, ,
1 2,1, ,
i j i jy i j y i j
y i ji j i j
h u h uu
h h
, 1 ,, 1 2 2
i j i ji j
h hc g
, 1 ,, 1 ,
, 1 2, 1 ,
i j i jx i j x i j
x i ji j i j
h u h uu
h h
, 1 ,, 1 ,
, 1 2, 1 ,
i j i jy i j y i j
y i ji j i j
h u h uu
h h
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Os valores e vectores próprios das matrizes Jacobianas aproximadas e
os coeficientes resultantes da linearização são dados por
matriz 1 2,i jA matriz , 1 2i jB
1,3
1 2, 1 2,1 2,i j i jx i ja u c 2
1 2, 1 2,i j x i ja u
1,3 1,31 2, 1 2,
1 2,
1
i j i j
y i j
e a
u
21 2,
1 2,
0
0i j
i j
e
c
1, ,1,31 2, 1, , 1, ,1, , 1 2,
1 2,
21 2, 1, , 1, ,1, , 1 2,
1 2,
1
2 2
1
i j i ji j i j i j i j i jx i j x i j x i j
i j
i j i j i j i j i jy i j y i j y i ji j
h hh u h u u h h
c
h u h u u h hc
1,3, 1 2 , 1 2, 1 2i j i jy i ja u c
2, 1 2 1 2,i j y i ja u
1,3, 1 2 , 1 2
1,3, 1 2
1
i j x i j
i j
e u
a
2, 1 2 , 1 2
0
0
i j i je c
, 1 ,1,3, 1 2 , 1 , , 1 ,, 1 , , 1 2
, 1 2
2, 1 2 , 1 , , 1 ,, 1 , , 1 2
, 1 2
1
2 2
1
i j i ji j i j i j i j i jy i j y i j y i j
i j
i j i j i j i j i jx i j x i j x i ji j
h hh u h u u h h
c
h u h u u h hc
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
A condição de entropia desenvolvida por Harten e Hyman (1983)
escreve-se
1,3 1,3 1,31 2, 1 2, 1 2,1,3
1 2, 1,3 1,3 1,31 2, 1 2, 1 2,
se
se
i j i j i j
i j
i j i j i j
a a
a
1,3 1,3 1,3 1,3 1,3, 1,1 2, 1 2, 1 2,max 0, ,i j i ji j i j i ja a a a
1,3 1,3 1,3, 1 2 , 1 2 , 1 21,3
, 1 2 1,3 1,3 1,3, 1 2 , 1 2 , 1 2
se
se
i j i j i j
i j
i j i j i j
a a
a
1,3 1,3 1,3 1,3 1,3, , 1, 1 2 , 1 2 , 1 2max 0, ,i j i ji j i j i ja a a a
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Existem diversos limitadores que podem ser utilizados, como sejam o
de Van Albada, o “minmod”, o “superbee” ou o de Van Leer, entre
outros. Por exemplo, o limitador de Van Leer é dado por
1 2, 1 2,
1 2,1 2,1
k ki j i jk
i j ki j
r r
r
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1
1
k k ki s i s i s
ki
k k ki i i
ta a
xr
ta a
x
1 2
1 2
1 0
1 0
ki
ki
se as
se a
com
Universidade da Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVDCORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Note-se que os termos de correcção TVD aqui desenvolvidos dizem
apenas respeito às equações de Saint-Venant 2-D (hidrodinâmico). O
sistema 2-D (morfodinâmico) é mais complexo devido à consideração
de duas camadas de transporte com propriedades distintas e, ainda,
devido à existência de mais uma equação referente à conservação da
massa de sedimentos.
A complexidade das matrizes Jacobianas, assim obtidas, inviabiliza a
determinação das expressões algébricas dos seus valores e vectores
próprios. Consequentemente, o procedimento de linearização do
sistema de equações não linear afigura-se de difícil aplicação.
Universidade da Beira Interior
ESTABILIDADE NUMÉRICAESTABILIDADE NUMÉRICA
O esquema de MacCormack, tal como todos os esquemas explícitos,
tem que verificar a condição de estabilidade de Courant-Friedrichs-
Lewy.
Esta condição impõe o tamanho dos passos de cálculo da seguinte
forma:
2 2max
x yt Cr
x y
Passo de tempo
Número de Courant Valor máximo das características no instante de tempo anterior
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ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTESESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES
Na resolução numérica de sistemas de equações às derivadas parciais
em que a solução apresente descontinuidades (choques) é necessário
ter em atenção que as variáveis dependentes devem ser escolhidas de
forma ao sistema ser fisicamente conservativo.
Note-se que para o sistema ser matematicamente conservativo bastará
escreve-lo na forma conservativa
Porém isso, por si só, não garante que o sistema é fisicamente
conservativo.
t x y
F U G UU
S
Exemplo: Eqs. de Saint-Venant 1D para canais horizontais prismáticos com secção rectangular e sem atrito
0x
q
t
h
vvariáveis ariáveis conservativasconservativas
0
x
2ghhq
t
q 22
vvariáveis ariáveis primitivasprimitivas
0
x
hu
t
h
0
x
gh2u
t
u 2
NOTA: ambos os sistemas são matematicamente conservativos 0
xt
UFU
mas o segundo não é fisicamente conservativo.
Universidade da Beira Interior
Admitindo que a solução dos sistemas contém um choque
UF iS
LRiLR S)()( UUUFUF
com 0
xt
UFU
Si
x
UR
UL
Formulações conservativas VS. não-conservativas
Condições de Rankine-Hugoniot: são aplicáveis a soluções
descontínuas de sistemas de leis de conservação
hiperbólicos
Universidade da Beira Interior
Formulações conservativas VS. não-conservativas
Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema
com com variáveis conservativasvariáveis conservativas
LR
LRcons2
LL2
L2
RR2
R
LR
hhS
2ghhq2ghhq
Lcons R R L
R
ghS u h h
2h
Universidade da Beira Interior
Formulações conservativas VS. não-conservativas
Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema
com com variáveis primitivasvariáveis primitivas
LR
LRncons
L2
LR2
R
LLRR
uu
hhS
gh2ugh2u
uhuh
2L
ncons RR L
hS u 2g
h h
Universidade da Beira Interior
Formulações conservativas VS. não-conservativas
facilmente se demonstra que nconscons SS
Si
x
UR
UL0
1020304050
0 5 10 15 20
Força do choque hR/hL
Vel
oci
dad
e d
o
cho
qu
e S
SconsSncons
CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:
Soluções numéricas baseadas nas variáveis primitivas dão velocidades dos choques
erradas (menores do que a real), tanto mais erradas quanto maior for a força do
choque
R Lh h
Universidade da Beira Interior
Universidade da Beira Interior
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12x [m]
Y [
m]
solução de RitterRUBATS - variáveis dependentes h e qRUBATS - variáveis dependentes h e u
Exemplo: Exemplo:
MODELO NUMÉRICOMODELO NUMÉRICO
conservação da massa da conservação da massa da misturamistura
Conservação da quantidade Conservação da quantidade de movimento da mistura nas de movimento da mistura nas direcções direcções xx e e yy
aproximações de Roeaproximações de Roecondição de entropia de Harten e Hymencondição de entropia de Harten e Hymen
Limitador de fluxo de Van LeerLimitador de fluxo de Van Leer
correção TVDcorreção TVD
conservação da massa conservação da massa de sedimentosde sedimentos
viscosidade artificial de Jamesonviscosidade artificial de Jameson
Universidade da Beira Interior
Universidade da Beira Interior
VISCOSIDADE ARTIFICIALVISCOSIDADE ARTIFICIAL
A introdução da viscosidade artificial no esquema de MacCormack
traduz-se, tal como na metodologia TVD, na introdução de um termo de
correcção que pode ser visto como um termo de dissipação artificial,
mas ao contrário do TVD não é auto-adaptativo.
1, , , 1 2, 1 2, , 1 2 , 1 2
1
2n p c n n n ni j i j i j i j i j i j i j
t t
x y
U U U D D D D
Universidade da Beira Interior VISCOSIDADE ARTIFICIALVISCOSIDADE ARTIFICIAL
2 41 2, 1, , 2, 1, , 1,1 2, 1 2, 3 3n
i j i j i j i j i j i j i ji j i j D U U U U U U
viscosidade artificial de Jameson (1981)viscosidade artificial de Jameson (1981)
2 22, 1,1 2, max ,i j i ji j
1, , 1,
1, , 1,
2 2, ,,
2
2i j i j i j
i j i j i j
s s s
i j i jx i js s s
z z zu c
z z z
21 2,4 4
1 2,1 2,1 2,
max 0,i j
i ji jx i ju c
2 1 4 4 1 256
2 4, 1 2 , 1 , , 2 , 1 , , 1, 1 2 , 1 2 3 3n
i j i j i j i j i j i j i ji j i j D U U U U U U
2 2 2, , 1, 1 2 max ,i j i ji j
, 1 , , 1
, 1 , , 1
2 2, ,,
2
2i j i j i j
i j i j i j
s s s
i j i jy i js s s
z z zu c
z z z
2, 1 24 4
, 1 2, 1 2, 1 2
max 0, i ji j
i jy i ju c
Universidade da Beira Interior
TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTETRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
O tratamento dos termos de fonte é um aspecto fundamental na
resolução numérica de equações.
Existem duas formas de tratar os termos de fonte: i) aplicação de um
esquema de divisão (“splitting”ou “pointwise approach”); ii) aplicação
de um esquema “upwind”.
No caso do esquema MacCormack a primeira alternativa é mais fácil de
implementar, dado que a segunda é facilmente implementada em
esquemas que usam discretização upwind do vector do fluxo, mas a
sua aplicação a esquemas centrados não é trivial.
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TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTETRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
Tendo em conta o problema não homogéneo:
aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)
t x y
F U G UU
S
o esquema de divisão é construído considerando a solução de três
problemas homogéneos e de seguida obtendo a solução de uma
equação diferencial ordinária (ver Toro, 1999)
10 t
adv
inicial n
t x
F UUU
U U
2
1
0 tadv
inicial adv
t y
G UU
U
U U
1
2
tn
inicial adv
t
US U
U
U U
23
2
0 tadv
inicial adv
t x
F UUU
U U
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TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTETRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
Partindo das equações anteriores demonstra-se que:
aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)
1, , 1 2, 1 2, , 1 2 , 1 2 ,
n n si j i j i j i j i j i j i j
t tt
x y
U U F F G G S U
3, , ,1s n adv
i j i j i j U U Uem que 0 1 com
Apesar de alguns autores referirem que = 0 é a pior escolha, ainda
assim dá resultados bons e evita cálculos complicados, já que
, ,s ni j i jU U
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TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTETRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
Na discretização dos termos de fonte existe ainda outro problema
relacionado com a existência de derivadas parciais, como sejam os
declives do fundo zb/x e zb/y, que necessitam ser discretizadas
Discretização de derivadas no termo de fonteDiscretização de derivadas no termo de fonte
Propõe-se uma discretização “upwind” de acordo com a do vector fluxo
1, , 1, ,
, 1, , 1,
se
se
bi j bi j i j i j
b
bi j bi j i j i j
z z x x xz x
z z x x x
F F F
F F F
, 1 , , 1 ,
, , 1 , , 1
se
se
bi j bi j i j i j
b
bi j bi j i j i j
z z y y yz y
z z y y y
G G G
G G G
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRACONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
A resolução de um sistema de equações às derivadas parciais através
da aplicação de um esquema numérico a um domínio de cálculo finito
exige a formulação de condições iniciais e de fronteira, que definem o
contorno desse domínio.
Num problema hiperbólico o número de condições iniciais ou em cada
fronteira deve ser idêntico ao número de características do sistema.
Assim, o sistema de equações 2-D (morfodinâmico) deve ter quatro
condições iniciais e quatro condições em cada uma das fronteiras.
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Existem dois tipos de condições: físicas e numéricas.
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRACONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
• As condições físicas são aquelas que podem ser impostas
livremente, e que representam a informação física que se pretende
introduzir no domínio de cálculo.
• As condições numéricas constituem a informação adicional que é
necessária para definir completamente o vector das variáveis
dependentes no contorno do domínio de cálculo. Estas condições
têm que ser consistentes com as propriedades físicas do
escoamento e, ao contrário das condições físicas, têm que ser
também compatíveis com o sistema de equações discretizadas.
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O número de condições físicas iniciais ou de fronteira a ser
especificado em cada ponto do contorno do domínio de cálculo deve
ser igual ao número de características que “entram” nesse ponto
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRACONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
O esquema MacCormak-TVD é “upwind” no tempo, pelo que em cada
ponto do contorno referente às condições iniciais entram todas as
características do sistema de equações. Assim, não são necessárias
condições iniciais numéricas, adoptando-se condições iniciais físicas
do tipo:
se 0
, , 0se 0
m
j
h xh x y t
h x
, , 0 0xq x y t
, , 0 0yq x y t se 0
, , 0se 0
mb
j
hs xz x y t
hs x
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No que respeita às condições físicas em cada fronteira, a situação não
é tão simples como a das condições iniciais, pois o número de
características que entra em cada ponto do contorno depende do facto
de a fronteira se situar a montante ou a jusante, à esquerda ou à direita.
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRACONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
As condições físicas devem ainda, em cada ponto do contorno, ser
estabelecidas de acordo com o tipo de informação (fase sólida ou fase
líquida) propagada pelas características que entram nesse ponto.
Assim, tem que se ter em conta a variação das características com o
número de Froude
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRACONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Parede de jusante:
três condições físicas referentes às
características positivas: 1 e 4,
associadas à fase líquida, e 3,
associada à fase sólida
1, , 0xq y t 1, , 0yq y t 1, , 0C y t
uma condição numérica associada a 2
Parede de montante:
uma condição física referentes à
característica negativa: 2,
associada à fase líquida
três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4
3 2, 0, 4 2 ,x x jq m t g h m t h
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRACONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Parede lateral direita:
três condições físicas referentes às
características positivas: 1 e 4,
associadas à fase líquida, e 3,
associada à fase sólida
uma condição numérica associada a 2
Parede lateral esquerda:
uma condição física referentes à
característica negativa: 2,
associada à fase líquida
três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4
,0, , 2,x xq x t q x t
,0, , 2,y yq x t q x t
,0, , 2,C x t C x t
,0, , 2,C x t C x t
, 1, , 1,y yy yq x m t q x m t
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CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRACONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
três condições físicas referentes às
características positivas: 1 e 4,
associadas à fase líquida, e 3,
associada à fase sólida
uma condição numérica associada a 2
Parede que constitui o alargamento:
,0, , 2,C x t C x t
1, , 1, , comc c mx xq m y t q m y t y b
1, , 1, , comc c my yq m y t q m y t y b
1, , 1, , comc c mC m y t C m y t y b
Instalação ExperimentalInstalação Experimental
upstream
downstream
0.2
0.5
2.0
0.5
0.8
video camera pressure tranducer in the lateral wallpressure transducer in the bottom
filming area
LEGEND:
2.02.0 1.01.0 1.00.8 1.0
0.5
0.5
lift-gate
lift mechanism
perspex wall
9.5 9.7
Planta do canal
localizado no LNEClocalizado no LNEC
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Condições iniciaisCondições iniciais
Upstream
water
movable bedDownstream
Lift-gate
0.4
0 m
0.0
7 m
foram realizadosforam realizados 2 tipos de 2 tipos de ensaiosensaios: fundo fixo e fundo : fundo fixo e fundo móvel (areia e pedra-pomes)móvel (areia e pedra-pomes)
Fundo de areiaFundo de areia(baixa mobilidade)(baixa mobilidade)
Fundo de pedra-pomesFundo de pedra-pomes(elevada mobilidade)(elevada mobilidade)
diâmetro mediano, diâmetro mediano, dd = 0.8 mm = 0.8 mmdensidade, s = 2.65densidade, s = 2.65
diâmetro mediano, diâmetro mediano, dd = 1.3 mm = 1.3 mmdensidade, s = 1.40densidade, s = 1.40
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Resultados experimentaisResultados experimentais
AREIAAREIA
Vista frontal
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PEDRA-POMESPEDRA-POMES
Universidade da Beira Interior Resultados experimentaisResultados experimentais
Vista frontal
AREIAAREIA
u(x) u(y)
Planta Planta
Vista lateral
zs
Resultados numéricos:Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zCota da sup. livre, zss
Componentes da velocidade, uComponentes da velocidade, u(x)(x) and and uu(y)(y)
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u(x) u(y)
PEDRA-POMESPEDRA-POMES zs
Planta Planta
Vista lateral
Resultados numéricos:Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zCota da sup. livre, zss
Componentes da velocidade, uComponentes da velocidade, u(x)(x) and and uu(y)(y)
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Resultados numéricosResultados numéricos
Pedra-pomesPedra-pomes
Cota da sup. livre, zCota da sup. livre, zss
T = 20T = 20
AreiaAreia
Os resultados numéricos ajustam-se bem aos observados experimentalmente:
A reflexão na parede lateral origina um ressalto hidráulico.
O ensaio com pedra-pomes apresenta uma propagação longitudinal mais lenta
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Resultados numéricosResultados numéricos
Pedra-pomesPedra-pomesComponentes da velocidade, uComponentes da velocidade, u(x)(x) e e uu(y)(y)
T = 20T = 20AreiaAreia
Existe uma zona de recirculação, mais nítida no ensaio com pedra-pomes.
A propagação transversal é mais rápida no caso da pedra-pomes.
u(x)
u(y)
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0.0
0.1
0.2
0.3
0 5 10 15 20 25 30T ( )
Zs
(-)
P1 P4 P7 P10 P12 numerical
a)
0.0
0.1
0.2
0.3
0 5 10 15 20 25 30T ( )
Zs
(-)
P1 P4 P7 P10 P12 numerical
a)
Resultados Experimentais vs. NuméricosResultados Experimentais vs. Numéricos
Pedra-pomesPedra-pomes
AreiaAreia
Evolução da cota da sup. livreEvolução da cota da sup. livre
upst
ream
dow
nstr
eam
0.50.8
2.0
2.0
1.0
1.0
1.0
0.5
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0.0
0.1
0.2
0.3
0 5 10 15 20 25 30T ( )
Zs
(-)
P3 P6 P9 numerical
c)
0.0
0.1
0.2
0.3
0 5 10 15 20 25 30T ( )
Zs
(-)
P3 P6 P9 numerical
c)
upst
ream
dow
nstr
eam
0.50.8
2.0
2.0
1.0
1.0
1.0
0.5
Resultados Experimentais vs. NuméricosResultados Experimentais vs. Numéricos
Pedra-pomesPedra-pomes
AreiaAreia
Evolução da cota da sup. livreEvolução da cota da sup. livre
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