FLUJO BIDIMENSIONAL DEL LIQUIDO IDEALINTRODUCCINEn cualquier anlisis se introduce una sustancia o un proceso hipottico que permita un tratamiento matemtico que produzca resultados de valor prctico. Ya se ha analizado el concepto del continuo. Ahora, se presentan flujos simplificados, los cuales, cuando se utilizan con discrecin, permitirn el uso de teoras muy desarrolladas en problemas de inters en ingeniera. FLUJO UNIDIMENSIONALEs una simplificacin en la cual todas las propiedades y caractersticas del flujo se suponen como funciones de una sola coordenada espacial y del tiempo. Usualmente, la posicin es la localizacin a lo largo de alguna trayectoria o conducto.Por ejemplo, en la Figura 4.18 se muestra un flujo unidimensional en una tubera, el cual requerira que la velocidad, la presin, etc., fueran constantes en cualquier seccin transversal y en cualquier instante dado y que variaran slo con s en ese tiempo.

En la realidad el flujo en tuberas y conductos nunca es verdaderamente unidimensional, ya que la velocidad variar en la seccin transversal. En la Figura 4.19 se muestran los perfiles de velocidad correspondientes a un flujo unidimensional verdadero y a un caso real.Sin embargo, si la diferencia no es muy grande o si interesan los efectos promedio sobre la seccin transversal, puede suponerse que existe un flujo unidimensional.Por ejemplo, en tuberas y ductos este supuesto es usualmente aceptable cuando:1. La variacin de la seccin transversal del recipiente no es muy grande.2. La curvatura de las lneas de corriente no es excesiva.3. Se sabe que el perfil de velocidad no cambia en forma apreciable a lo largo del ducto.

FLUJO BIDIMENSIONALSe distingue por la condicin de que todas las propiedades y caracteristicas del flujo son funciones de dos coordenadas cartesianas, por ejemplo X, y Y el tiempo; por consiguiente, no cambian a lo largo de la direccin z en un instante dado.Todos los planos perpendiculares a la direccin z tendrn, en el instante dado, el mismo patrn de lneas de corriente. El flujo alrededor de un perfil de una ala de relacin de forma infinita o el flujo sobre una presa de longitud infinita y seccin transversal uniforme son ejemplos matemticos de flujos bidimensionales.En realidad, se supone un flujo bidimensional para la mayor parte de los problemas de alas y de presas, y se hacen correcciones en los extremos para modificar los resultados en forma apropiada.

Un flujo bidimensional tiene lugar cuando las prticulas fluidas se mueven en planos o en planos paralelos de forma que la configuracin de las lneas de corriente es idntica en cada plano. Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse pares y no tienen lugar movimientos rotatorios de las partculas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad.ECUACIN DE CONTINUIDADEn coordenadas cartesianas se considera el volumen de control elemntal dX, dY, dZ, con centro en el punto P (X, Y, Z).

En el punto P ocurren los valores y v como funciones de punto y del tiempo.

Se puede aplicar la ecuacin:

El segundo mienbro, en la direccin X:

En las otras dos direcciones se obtienen expresiones anlogas, por lo que el caudal neto de masa que sale es:

Reemplazando y simplificando:

Que es la expresin de la ecuacin de continuidad para flujo compresible e incompresible, permanente y no permanente.Para fluidos incompresibles, como es el caso del lquido ideal:

FUNCIN DE CORRIENTEComo cuestn previa recordemos la definicin del gradiente en el plano y sus propiedades.Dada una funcin escalar en el plano X, Y, tal como (X, Y), se llama gradiente de la misma el vector cuyas componentes son las derivadas parciales de :

Sus propiedades son:1. El grad. es normal a las lneas = constante.2. El mdulo de grad. es la derivada de segn la normal a las lneas = constante.

3. El sentido de grad. es el que corresponde a las crecientes.Se puede suponer un liquido incompresible en movimiento bidimensional, pemanente, que se desarrolla en planos perperdiculares al eje Z, de modo que su estudio puede hacerse en el plano XY.Se puede considerar luego una familia de LC., las que no cambiarn con el tiempo por tratarse de un movimiento permanente. La ecuacin de estas LC. es:

Y se puede considerar que la familia de LC. viene definida por una cierta funcin escalar (X, Y) que se denomina funcin de corriente, con un valor constante diferente para cada LC.

En el punto P, sobre una LC, los tres vetores indicados en la figura sin normales entre s, de modo que se cumple:

Siendo las componentes de :

Y en coordenadas polares:r, .. vectores unitarios.

Por otra parte, si n es la direccin normal a la LC genrica .

De modo que:

Gasto que pasa entre dos LC y + d, por unidad de ancho poerpendicular al papel.Es decir:

FUNCIN POTENCIALEl estudio del flujo plano es posible slo si se cumple que el campo de velocidades es un campo potencial, es decir un campo en el que existe una funcin escalar , llamada funcin potencia, tal que:

Se puede mostrar con facilidad que rot , es decir que si el campo de velocidades es potencial es irrotacional, lo cual justifica que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo irrotacional.De la definicin de funcion potencial se desprende que las componentes de son:

Y en coordenadas polares:

Y tambim que se cumple:

Siendo s la direccin normal a las lneas = cte, llamadas lneas equipotenciales.Puesto que las direcciones s y n son normales entre s, las lneas de corriente y las lneas equipotenciales son ortogonales entre s.