2009 58-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ОБЩИНСКИ...

Общински кръг на LVІІІ Републиканска олимпиада по математика 15 март 2009 година – София

4. клас

1. Намерете числата А, В и С ако:

А = 9999 – 999.3;

В = 109.9 – 2008:4

и С = (5279.5 – 5276.5) :5.

Кое число трябва да извадим от числото А, за да получим сбора на

числата В и С. 7 точки

2. Рекламно табло с форма на правоъгълник с размери 6 м и 10 м

трябва да се боядиса в синьо, а табло с форма на квадрат със същата

обиколка трябва да се боядиса в зелено. Колко най-малко кутии със синя

и зелена боя трябва да се купят, ако в една кутия има 3 литра боя и

2 кв. м се боядисват с 1 литър боя? 7 точки

3. Разстоянието между планинско езеро и една хижа е 12 км. Група

туристи тръгнали от хижата в 9 ч 45 мин и изминали разстоянието до

езерото за 3 часа.

а) Ако всеки час те изминавали с 1 км по-малко от предишния,

намерете колко километра са изминали през последния час? 4 точки

б) Ако туристите почивали на брега на езерото 2 ч 30 мин, в

колко часа са тръгнали обратно за хижата? 3 точки


5. клас

1. Дадени са изразите 2009 2008, 2 :5 2009 : 2009000m и

3, 43.3, 2 34,3.0,68n .

а) Пресметнете стойностите на m и n; 4 точки

б) Намерете числото х, за което е вярно равенството

1,7.x m n . 3 точки

2. В 8 ч 20 мин г-н Х потеглил с автобус от автогара А, пристигнал на

автогара В и продължил пеша към дома си със скорост 4,5 км/ч, като

изминал общо 140,2 км. Ако автобусът изминал разстоянието между

автогарите А и В за 2,2 часа, като се движил със средна скорост 62,5 км/ч,

намерете:

а) колко километра г-н Х е изминал пеша; 3 точки

б) в колко часa г-н Х е пристигнал вкъщи. 4 точки

3. Даден е трапецът ABCD. Върху голямата основа АВ е взета точка М

така, че четириъгълникът AMCD е успоредник. Периметърът на трапеца е

с 20 см по-голям от периметъра на MBC , а лицето на трапеца е с

60 кв. см по-голямо от лицето на MBC .

а) Намерете дължините на малката основа и височината на

трапеца. 4 точки

б) Намерете лицето на трапеца, ако лицето на MBD е 9 кв. см.

3 точки


6. клас

1. Пресметнете стойността на израза 2

5 2a x a x

A

, където

15 : 2,1: 0,37

15 : 2 : 0, 253

a

, а х е числото, за което е вярно

равенството 1 33 .1, 2 15 17, 253 4

x . 7 точки

2. а) Опростете израза 23 3

5

2. .а аB

а

и намерете стойността му

при 0,1а . 3 точки

б) Намерете числото n, за което е вярно равенството

4 2 9

4 4

2 7 2.7 .2.7 2 14 .7

n n . 4 точки

3. Основата на права четириъгълна призма е успоредник със страни а

и b и височини към тях 4ah cm и 6bh cm.

а) Намерете обема на призмата, ако b = 5 cm и лицето на околната

й повърхнина е равно на 175 2cm . 4 точки

б) Намерете лицето на околната повърхнина на призмата, ако

обемът й е равен на 180 3cm . 3 точки


7. клас

1. Дадени са изразите

21 2 2 2M a b a b и 2 2N a b a b . а) Намерете стойностите на изразите М и N, ако а е равно на

корена на уравнението 2 3 1 1 32 1 02 2 4

x x x x x

, а b е

най-малкото число, за което е изпълнено равенството 2 3 4 3 24b b . 4 точки б) Разложете на множители изразите М, N и M – N. 3 точки

2. За четириъгълника ABCD е дадено, че BC = CD, 30ABD и 2. .ADC ABC Симетралата на диагонала BD пресича страната АВ в

точка М. а) Докажете, че DM е симетрала на диагонала АС; 4 точки б) Намерете дължината на диагонала АС, ако той дели BD на

отсечки с дължини 5 cm и 7 cm. 3 точки

3. Скоростта на течението на една река е 3 km/h. В 8 ч 45 мин от пристанище А за пристанище В по течението на реката тръгнал сал, а 20 мин по-късно от В за А тръгнала лодка, която се движела със скорост 12 km/h. При срещата им се оказало, че лодката е изминала три пъти по-голямо разстояние от сала.

а) Намерете разстоянието между двете пристанища и в колко часа лодката и сала са се срещнали. 4 точки

б) Ако след срещата лодката пристигнала в А, направила почивка от 20 мин и отпътувала обратно за В, намерете в колко часа и на какво разстояние от В, тя е настигнала сала. 3 точки


8. клас

1. а) Числото –1 е корен на уравнението 2 24 4 4 5 0a x x a ,

където а е параметър. Намерете другия корен на уравнението.

3 точки

б) Ако 1x и 2x са корените на уравнението 2 6 11 0x x ,

намерете стойността на израза 1 211 6 11 6x x . 4 точки

2. Даден е трапецът ABCD (AB CD), за който АВ = 2CD. Точка М е

средата на АВ, а точка F е такава, че 2МF AD

.

а) Докажете, че точка С е медицентърът на BDF; 3 точки

б) Ако точка N е средата на отсечката ВF и лицето на триъгълника

DNF е 20 cm2, намерете лицето на трапеца ABСD. 4 точки

3. Даден е изразът 2 : 2a b c ac a b cAb a b bc b c a

.

а) Докажете, че a b cAa c b

за всички допустими стойности на

променливите; 4 точки

б) Намерете стойността на А, ако 23. 7a , 48b и

53c . 3 точки


8. клас

1. а) Числото –1 е корен на уравнението 2 24 4 4 5 0a x x a ,

където а е параметър. Намерете другия корен на уравнението.

3 точки

б) Ако 1x и 2x са корените на уравнението 2 6 11 0x x ,

намерете стойността на израза 1 211 6 11 6x x . 4 точки

2. Даден е трапецът ABCD (AB CD), за който АВ = 2CD. Точка М е

средата на АВ, а точка F е такава, че 2МF AD

.


б) Ако точка N е средата на отсечката ВF и лицето на триъгълника

DNF е 20 cm2, намерете лицето на трапеца ABСD. 4 точки

3. Даден е изразът 2 : 2a b c ac a b cAb a b bc b c a

.




б) Намерете стойността на А, ако 23. 7a , 48b и

53c . 3 точки


9. клас

1. Решете уравненията:

а) 2 22

8 5 153 : 2 46

xx x xx x x

; 3 точки

б) 2 25 10 1 2 7x x x x . 4 точки

2. Даден е триъгълник АВС (АС < ВС). В триъгълника е вписана

окръжност с център О, която се допира до страните му АВ, ВС и АС

съответно в точките М, N и Р. Ъглополовящата на АСВ пресича

страната АВ в точка L. Ако ML = 1 cm, CP = 3 cm и LN AC, намерете:

а) дължините на страните на АВС; 5 точки

б) отношението :CO OL . 2 точки

3. Дадено е уравнението 4 22 1 2 0mx m x m . Намерете

стойностите на параметъра m, за които уравнението:

а) има два различни реални корена; 3 точки

б) има четири различни реални корена 1 2 3, ,x x x и 4x , за които е

изпълнено, че 4 4 4 4 2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 46x x x x x x x x . 4 точки


10. клас

1. Решете системата

4 26 7 04 9

2

x xx x

x

и проверете дали числото

3 14 4

541 12 4

3 3 3 13 3

a

е решение на системата. 7 точки

2. а) Намерете най-голямата и най-малката стойности на функцията 23 2 4y x x , когато х се изменя в интервала 1;1 .

4 точки

б) Намерете стойностите на параметъра а, за които

неравенството 2 2 103 2 4 03

x x a a е изпълнено за всички

стойности на х от интервала 1;1 . 3 точки

3. Дадено е уравнението 2 1 21 4 2 3 1 0x xm m m .

Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението:

а) има решение; 4 точки

б) има точно един неотрицателен корен. 3 точки


11. клас

1. Сборът на три различни числа е 21. Намерете тези числа, ако те

са едновременно:

а) последователни членове на геометрична прогресия и съответно

първи, десети и двадесет и осми член на аритметична прогресия;

3 точки

б) първи, десети и двадесет и осми член на аритметична и

геометрична прогресия. 4 точки

2. Членовете на геометричната прогресия 1 2, ,..., ,...na a a са различни

положителни числа.

а) Ако със nS е означен сборът на първите n члена на дадената

прогресия, докажете, че за всяко естествето число n е в сила

равенството 2

2 3 2

n n n

n n n n

S S SS S S S

; 3 точки

б) Намерете произведението 1 2 3. . ... na a a a , ако

1 2 3 ... na a a a p и 1 2 3

1 1 1 1...n

ta a a a

. 4 точки

3. а) Ако 90 k и 30 k k , докажете, че

tg tg 60 tg 120 3tg 3 . 3 точки

б) Намерете стойността на израза

tg 54 tg3 tg13 tg 23 ... tg163 tg173 . 4 точки


12. клас

1. а) Пресметнете стойността на израза

0,21log2

2 25 log 3 1 log 6 2A . 3 точки

б) Намерете двойките числа (х; у), за които е изпълнено

равенството 2 22 1 5 3

3 5log 5 log 3x y x y y . 4 точки

2. Всички ръбове на правилната триъгълна призма 1 1 1ABCA B C имат

дължина 1. Точките М и N са средите съответно на ръбовете АВ и 1CC .

Намерете:

а) дължината на отсечката МN и косинуса на ъгъла между правите

MN и 1BA ; 3 точки

б) разстоянието от точка 1A до равнината 1B MN . 4 точки

3. Дадена е функцията 1 13 22 2 1f x x x .

а) Намерете най-малката стойност на функцията; 3 точки

б) За кои стойности на параметъра а уравнението

1 13 22 2 1x x a има единствено решение? 4 точки

УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ

4. клас

1. Намерете числата А, В и С ако:

А = 9999 – 999.3; В = 109.9 – 2008:4 и С = (5279.5 – 5276.5):5.

Кое число трябва да извадим от числото А, за да получим сбора на числата В и С.

7 точки

За намерено: 7002A 1,5 точки 479B 1,5 точки 3C 2 точки

А – (В + С) = 6520 2 точки

2. Рекламно табло с форма на правоъгълник с размери 6 м и 10 м трябва да се

боядиса в синьо, а табло с форма на квадрат със същата обиколка трябва да се

боядиса в зелено. Колко най-малко кутии със синя и зелена боя трябва да се купят,

ако в една кутия има 3 литра боя и 2 кв. м се боядисват с 1 литър боя? 7 точки

За намерено:

Лице на правоъгълника 60 кв. м 1 точка

30 литра синя боя са необходими 1 точка

10 кутии синя боя трябва да се купят 1 точка

Страната на квадрата – 8 м 2 точки

Лице на квадрата 64 кв. м и 32 л зелена боя 1 точка

Най-малко 11 кутии със зелена боя трябва да се купят 1 точка

3. Разстоянието между планинско езеро и една хижа е 12 км. Група туристи

тръгнали от хижата в 9 ч 45 мин и изминали разстоянието до езерото за 3 часа.

а) Ако всеки час те изминавали с 1 км по-малко от предишния, намерете колко

километра са изминали през последния час? 4 точки

б) Ако туристите почивали на брега на езерото 2 ч 30 мин, в колко часа са

тръгнали обратно за хижата? 3 точки

а) Съобразено и намерено 12 – 2 – 1 = 9 км или 12 + 2 + 1 = 15 км 2 точки Намерено, че през последния час са изминали 3 км. 2 точки б) Пристигнали на езерото в 12 ч 45 мин 1 точка Тръгнали от езерото в 15 ч 15 мин 2 точки

5. клас

1. Дадени са изразите , : :2009 2008 2 5 2009 2009000m и

, . , , . ,3 43 3 2 34 3 0 68n .

а) Пресметнете стойностите на m и n; 4 точки

б) Намерете числото х, за което е вярно равенството , .1 7 x m n . 3 точки

За намерено: а) m = 0,159 2 точки n = 34,3 2 точки б) 1,7.x =34,459 1 точка x = 34,459 : 1,7 = 20,27 . 2 точки Забележка: Ако в б) работи вярно с грешно намерени m и n, задачата да се оценява, както е посочено.

2. В 8 ч 20 мин г-н Х потеглил с автобус от автогара А, пристигнал на автогара В и

продължил пеша към дома си със скорост 4,5 км/ч, като изминал общо 140,2 км. Ако

автобусът изминал разстоянието между автогарите А и В за 2,2 часа, като се движил

със средна скорост 62,5 км/ч, намерете:

а) колко километра г-н Х е изминал пеша; 3 точки

б) в колко часa г-н Х е пристигнал вкъщи. 4 точки

Намерено: а) 137,5 км е разстоянието между двете автогари 2 точки 2,7 км е вървял пеша 1 точка б) Времето, през което е вървял пеша, е 2,7 : 4,5 = 0,6 ч 2 точки Общото време е 2,2 + 0,6 = 2,8 ч = 2 ч 48 мин 1 точка Г-н Х е пристигнал вкъщи в 11 ч 8 мин 1 точка

3. Даден е трапецът ABCD. Върху голямата основа АВ е взета точка М така, че

четириъгълникът AMCD е успоредник. Периметърът на трапеца е с 20 см по-голям от

периметъра на MBC , а лицето на трапеца е с 60 кв. см по-голямо от лицето на

MBC .

а) Намерете дължините на малката основа и височината на трапеца. 4 точки

б) Намерете лицето на трапеца, ако лицето на MBD е 9 кв. см. 3 точки

Намерено: а) AM = CD = 10 cм 2 точки

60AMCDS кв. см; а.h = 60; h = 6 см 2 точки

б) І начин: .2MBD

MB hS ;

. 92MBC MBD MBC

MB hS S S кв. см и А M

D С

В

a

b b

a

h

60 9 69ABCDS кв. см 3 точки

ІІ начин: . 32MBD

MB hS MB см и АВ = АМ + МВ = 13 см. 2 точки

69ABCDS кв. см 1 точка 6. клас

1. Пресметнете стойността на израза 2

5 2a x a x

A

, където

: , : ,

: : ,

15 2 1 0 37

15 2 0 253

a

, а х е числото, за което е вярно равенството

. , ,1 33 1 2 15 17 253 4

x . 7 точки

Намерено: 4a 2 точки 2,5x 3 точки 0, 2A . 2 точки

Забележка: Ако вярно намира стойността на А, работейки с грешни стойности на а и х, да се присъждат предвидените точки.

2. а) Опростете израза . .

23 3

5

2 а аB

а

и намерете стойността му при ,0 1а .

3 точки

б) Намерете числото n, за което е вярно равенството . ...

4 2 9

4 42 7 2 7 27 2 14 7

n n .

4 точки

а) За опростяване на израза до 28B a 2 точки За намиране, че при а = –0,1 B = 0,08 1 точка

б) За опростяване на всяка от страните на равенството до 4 62 2

7 7

n n – по 1,5 точки

Намиране n = 5 1 точка

3. Основата на права четириъгълна призма е успоредник със страни а и b и

височини към тях 4ah cm и 6bh cm.

а) Намерете обема на призмата, ако b = 5 cm и лицето на околната u

повърхнина е равно на 175 cm2. 4 точки

б) Намерете лицето на околната повърхнина на призмата, ако обемът u е равен

на 180 cm3. 3 точки

Намерено: а) лицето на основата В = 30 cm2 1 точка а = 7,5 cm 1 точка периметъра на основата Р = 25 cm 0,5 точки височината на призмата h = 7 cm 1 точка обема на призмата 210V cm3 0,5 точки б) От . . 180 . .4 . 45aV a h h a h a h cm2 1 точка От . . 180 . .6 . 30bV b h h b h b h cm2 1 точка S =150 cm2 1 точка

7. клас

1. Дадени са изразите 21 2 2 2M a b a b и 2 2N a b a b . а) Намерете стойностите на изразите М и N, ако а е равно на корена на

уравнението 2 3 1 1 32 1 02 2 4

x x x x x

, а b е най-малкото число, за

което е изпълнено равенството 2 3 4 3 24b b . 4 точки б) Разложете на множители изразите М, N и M – N. 3 точки

Намерено:

а) а = х = 0 1,5 точки

b = –1 1,5 точки

M = 0 и N = –2 1 точка

б) 1 1M a b a b 1 точка

1N a b a b 1 точка

1 2 1M N a b b 1 точка

2. За четириъгълника ABCD е дадено, че BC = CD, 30ABD и . 2ADC ABC . Симетралата на диагонала BD пресича страната АВ в точка М.

а) Докажете, че DM е симетрала на диагонала АС; 4 точки б) Намерете дължината на диагонала АС, ако той дели BD на отсечки с дължини

5 cm и 7 cm. 3 точки а) Доказано, че:

BDC s и MB = MD 1 точка MDC ABC ADM 1 точка

60DMC CMB AMD 1 точка ,AMD CMD AD CD AM CM DM е

симетрала на АС. 1 точка б) Намерено, че:

1 2,52

OK DK cm 1 точка

AK = BK = 7 cm 1 точка AC = 2.AO = 9 cm 1 точка

С D

M

O

K 30

В А 30

3. Скоростта на течението на една река е 3 km/h. В 8 ч 45 мин от пристанище А за пристанище В по течението на реката тръгнал сал, а 20 мин по-късно от В за А тръгнала лодка, която се движела със скорост 12 km/h. При срещата им се оказало, че лодката е изминала три пъти по-голямо разстояние от сала.

а) Намерете разстоянието между двете пристанища и в колко часа лодката и сала са се срещнали. 4 точки

б) Ако след срещата лодката пристигнала в А, направила почивка от 20 мин и отпътувала обратно за В, намерете в колко часа и на какво разстояние от В, тя е настигнала сала. 3 точки

а) Съставен модел на движението от тръгването до срещата 2 точки Намерен часът на срещата 10 ч 5 мин и 1 точка разстоянието между пристанищата А и В 16 km 1 точка б) Съставен модел на движението от срещата до настигането 2 точки Намерен часът на настигането 11 ч 9 мин и 0,5 точки разстоянието от В до настигането 8,8 km 0,5 точки

8. клас

1. а) Числото –1 е корен на уравнението 2 24 4 4 5 0a x x a , където а е

параметър. Намерете другия корен на уравнението. 3 точки

б) Ако 1x и 2x са корените на уравнението 2 6 11 0x x , намерете стойността

на израза 1 211 6 11 6x x . 4 точки

Намерено: а) 24 4 1 0a a 1 точка

0,5a 1 точка другият корен на уравнението 2 3x 1 точка

б) 1,2 3 20x 1 точка

І начин: 21 111 6x x и 2

2 211 6x x 1 точка ІІ начин: 29 6 20 29 6 20

1 2 1 211 6 11 6x x x x 1 точка 2 2

20 3 20 3 2 точки

3 20 20 3 2 20 4 5 1 точка 20 3 20 3 2 20 4 5

1 точка 2. Даден е трапецът ABCD (AB CD), за който АВ = 2CD. Точка М е средата на АВ,

а точка F е такава, че 2МF AD

.


б) Ако точка N е средата на отсечката ВF и лицето на триъгълника DNF е 20

cm2, намерете лицето на трапеца ABСD. 4 точки

а) Доказано, че C MF и MC CF . 1 точка

І начин: Доказано, че MF пресича BD в О – среда на BD 1 точка и : 2 :1CF CO . 1 точка ІІ начин: Ако DC BF Q , доказано, че Q е среда на ВF 1 точка и : 2 :1DC CQ 1 точка

б) Ако AM MB CD x , то 32

DN x . 1 точка

Нека FH DN H DN и CT AB T AB . От MTC CHF FH CT h 1 точка

23 20 cm4DNFS xh 1 точка

21 32 2 40 cm2 2ABCD DNFS x x h xh S 1 точка

3. Даден е изразът : 2 2a b c ac a b cAb a b bc b c a

.




б) Намерете стойността на А, ако . 23 7a , 48b и 53c . 3 точки

а) За представяне на изразите във всяка от скобите във вида

2

b a b c a b c a b cab b c a b c

по 2 точки

б) Намерено: 7 3, 4 3, 9 3a b c 2 точки 16

A 1 точка

N Q

M

F

D С

В А

О

УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ

8. клас

1. а) Числото –1 е корен на уравнението 2 24 4 4 5 0a x x a , където а е

параметър. Намерете другия корен на уравнението. 3 точки

б) Ако 1x и 2x са корените на уравнението 2 6 11 0x x , намерете стойността

на израза 1 211 6 11 6x x . 4 точки

Намерено: а) 24 4 1 0a a 1 точка

0,5a 1 точка другият корен на уравнението 2 3x 1 точка

б) 1,2 3 20x 1 точка

І начин: 21 111 6x x и 2

2 211 6x x 1 точка ІІ начин: 29 6 20 29 6 20

1 2 1 211 6 11 6x x x x 1 точка 2 2

20 3 20 3 2 точки

3 20 20 3 2 20 4 5 1 точка 20 3 20 3 2 20 4 5

1 точка 2. Даден е трапецът ABCD (AB CD), за който АВ = 2CD. Точка М е средата на АВ,

а точка F е такава, че 2МF AD

.


б) Ако точка N е средата на отсечката ВF и лицето на триъгълника DNF е 20

cm2, намерете лицето на трапеца ABСD. 4 точки

а) Доказано, че C MF и MC CF . 1 точка І начин: Доказано, че MF пресича BD в О – среда на BD 1 точка и : 2 :1CF CO . 1 точка ІІ начин: Ако DC BF Q , доказано, че Q е среда на ВF 1 точка и : 2 :1DC CQ 1 точка

б) Ако AM MB CD x , то 32

DN x . 1 точка

Нека FH DN H DN и CT AB T AB . От MTC CHF FH CT h 1 точка

23 20 cm4DNFS xh 1 точка

21 32 2 40 cm2 2ABCD DNFS x x h xh S 1 точка

N Q

M

F

D С

В А

О

3. Даден е изразът : 2 2a b c ac a b cAb a b bc b c a

.




б) Намерете стойността на А, ако . 23 7a , 48b и 53c . 3 точки

а) За представяне на изразите във всяка от скобите във вида

2

b a b c a b c a b cab b c a b c

по 2 точки

б) Намерено: 7 3, 4 3, 9 3a b c 2 точки 16

A 1 точка

9. клас

1. Решете уравненията:

а) :2 22

8 5 153 2 46

xx x xx x x

; 3 точки

б) 2 25 10 1 2 7x x x x . 4 точки

а) Дефиниционното множество на уравнението е 0, 3, 2x . 0,5 точки

Уравнението е еквивалентно на

2

2

3 2 2 4 5 33 22 4

x x x xx xx x x

1 точка

23 5 12 0x x . Корените на последното уравнение са 143

x и 2 3x . 1 точка

3 не е допустима стойност и не е решение. Единствено решение е 143

x . 0,5 точки

б) Полагаме 2 2x x t . Уравнението добива вида 5 1 7t t . 1 точка След повдигане на квадрат получаваме уравнението 2 19 48 0t t 1 точка с корени 1 3t и 2 16t . Чрез непосредствена проверка се установява, че 3 е решение, а 16 не

е решение на ирационалното уравнение 5 1 7t t . 1 точка Корените на даденото уравнение намираме от 2 2 3 0x x , т.е. 1 23, 1x x . 1 точка

2. Даден е триъгълник АВС (АС < ВС). В триъгълника е вписана окръжност с

център О, която се допира до страните му АВ, ВС и АС съответно в точките М, N и Р.

Ъглополовящата на АСВ пресича страната АВ в точка L. Ако ML = 1 cm, CP = 3 cm

и LN AC, намерете:

а) дължините на страните на АВС; 5 точки

б) отношението :CO OL . 2 точки

а) От свойство на ъглополовящата и теорема на Талес

следва, че AL AC CNLB BC BN

1 точка

Въведени неизвестните АМ = АР = х и ВМ = BN = y и

получена системата

1 31 31 31

x xy yxy y

2 точки

2

2 32 3 02 3 0 2 3 0

y xx yxy y x x

. 1 точка

От последното уравнение следва, че 1 1x (не е решение) и 2 1,5x . Следователно АВ = 7,5 cm, BC = 9 cm, AC = 4,5 cm. 1 точка б) АО е ъглополовяща в ACL. 1 точка

Следователно 4,5 92,5 5

CO CAOL AL

. 1 точка

3. Дадено е уравнението 4 22 1 2 0mx m x m . Намерете стойностите на

параметъра m, за които уравнението:

а) има два различни реални корена; 3 точки

б) има четири различни реални корена , ,1 2 3x x x и 4x , за които е изпълнено, че

4 4 4 4 2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 46x x x x x x x x . 4 точки

а) Полагаме 2x y и получаваме уравнението 2 2 1 2 0my m y m .

При m = 0 уравнението има вида 2 2 0x и 1,2 2x , т.е. m = 0 е решение. 1 точка

При D = 0 и 1,2 02bya

, т.е. 14

m уравнението има два различни реални корена.

1 точка

При 1 220 0 0; 2my y m

m

уравнението има два различни реални корена.

1 точка

1 L

O P

N

М

С

В А x

x y

y – 1

3 3

б) Уравнението има четири различни реални корена, ако 1 2

1 2

0, 00

0

D my yy y

14

2 10 ; 0 2;4

2 1 0

m

m mmmm

. 1 точка

От 1,2 1x y и 3,4 2x y следва, че 2 21 2 1x x y и 2 2

3 4 2x x y и

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 1 26 2 6 3x x x x x x x x y y y y y y y y 1 точка

Следователно 2 22 1 2 22 3m m m

m m m

, 1 точка

Откъдето получаваме 1 1m (не е решение) и 2 11m (решение) 1 точка.

10. клас

1. Решете системата

4 26 7 04 9

2

x xx xx

и проверете дали числото

3 14 4

541 12 4

3 3 3 13 3

a

е решение на системата. 7 точки

Намерени:

решения на първото неравенство ; 7 7;x ; 1,5 точки

решения на второто неравенство ; 2 3x ; 1,5 точки

решенията на системата ; 7 3x ; 1 точка

Забележка: Ако числото 3 не е включено в решенията на системата, да се отнемат 0,5

точки. 1 2 1 14 4 4 4

4 4 41 1 14 4 4

3 3 1 3 1 3 13 3 1 3 3 1 2 3

3 3 1 3 1a

; 2 точки

4 4 42 3 48 49 7 а не е решение на системата. 1 точка

2. а) Намерете най-голямата и най-малката стойности на функцията

23 2 4y x x , когато х се изменя в интервала ;1 1 . 4 точки

б) Намерете стойностите на параметъра а, за които неравенството

2 2 103 2 4 03

x x a a е изпълнено за всички стойности на х от интервала

;1 1 . 3 точки

а) Намерени:

абсцисата на върха на параболата 01

2 3bxa

; 1 точка

най-голямата стойност на функцията в интервала 1;1 max1 113 3

y y

; 1 точка

най-малката стойност на функцията в интервала 1;1 min 1 9y y . 2 точки

б) За всяко 1;1x e изпълнено, че max113

y y . 1 точка

2 2 210 23 2 4 0 43 3

x x a a y a a ; 1 точка

Последното неравенство ще е вярно за всяко 1;1x , ако

2 2 114 ;1 3;3 3

a a a . 1 точка

3. Дадено е уравнението 2 1 21 4 2 3 1 0x xm m m . Намерете стойностите

на параметъра m, за които уравнението:

а) има решение; 4 точки

б) има точно един неотрицателен корен. 3 точки

а) Полагаме 22 , 0;1x t t . Следователно търсим стойностите на параметъра, за които

уравнението 21 2 3 1 0m t mt m има решение в интервала 0;1 . 1 точка

1 сл. При m = –1, уравнението има единствен корен t = 2, т.е. 1m . 0,5 точки

2 сл. Уравнението има корени 1t и 2t , такива, че 1 21 3 10 1 ;3 2

t t m

. 1 точка

3 сл. Уравнението има корени 1t и 2t , точно един от които е в интервала 10;1 0;3

m

.

1 точка

4 сл. Непосредствено проверяваме, че при 13

m и 0m уравнението има корен в

интервала 0;1 , т.е. търсените стойности на параметъра са 3 10;2

m

. 0,5 точки

Забележка: Ако е разгледано само 0D , да се дава 1 точка, ако е разгледано и 1t , 2t

положителни, да се дава още 1 точка.

б) Уравнението 2x a при 0a има корени 1 2x a и 2 2x a , като точно един

от тях е неотрицателен при 2a . Следователно на 10;4

t

съответства един

неотрицателен и един отрицателен корен, а на 1 ;14

t

– два отрицателни корена, т.е.

търсим стойностите на параметъра m, за които уравнението 21 2 3 1 0m t mt m има

точно един корен в интервала 10;4

. 1 точка

1 сл. Уравнението има два корена 1t и 2t , точно един от които е в интервала 10;4

1 15;3 41

m

. Непосредствено се проверява, че 13

m не е решение, а 1541

m е решение.

1 точка

2 сл. Уравнението има един двоен корен в интервала 10;4

. Проверява се, че в този случай

няма решение.

Окончателно 1 15;3 41

m

. 1 точка

11. клас

1. Сборът на три различни числа е 21. Намерете тези числа, ако те са

едновременно:

а) последователни членове на геометрична прогресия и съответно първи, десети

и двадесет и осми член на аритметична прогресия; 3 точки

б) първи, десети и двадесет и осми член на аритметична и геометрична

прогресия. 4 точки

Нека числата са а, a + 9d и a + 27d. ( 0d )

а) а и d са решения на системата 2

9 27 21

9 27

a a d a d

a d a a d

. 2 точки

Решения на системата ( 0d ) са 1 , 33

d a и числата са 3, 6 и 12. 1 точка

б) Ако частното на геометричната прогресия е q 1q , е изпълнено, че 9

27

927

9 27 21

a d aqa d aqa a d a d

. 1 точка

От първите две уравнения получаваме 9 1 9a q d и 27 1 27a q d . Като разделим

почленно следва, че 27

9

1 31

qq

. 1 точка

От тук намираме 9 2q . 1 точка

Тогава 9 2 3a d a a d и от последното уравнение намираме 7 7,9 3

d a .

Следователно числата са 7 14 56, ,3 3 3

. 1 точка

2. Членовете на геометричната прогресия , ,..., ,...1 2 na a a са различни положителни

числа.

а) Ако със nS е означен сборът на първите n члена на дадената прогресия,

докажете, че за всяко естествето число n е в сила равенството 2

2 3 2

n n n

n n n n

S S SS S S S

;

3 точки

б) Намерете произведението . . ...1 2 3 na a a a , ако ...1 2 3 na a a a p и

...1 2 3

1 1 1 1n

ta a a a

. 4 точки

а) За изразени 2 3, ,n n nS S S 1 точка

За доказване на тъждеството 2 точки

б) 1

1 2 ... 1 21 2 3 1 1. . ... . .

n nn n n

na a a a a q a q

. 1 точка

1

1

111

11111 1

111 11

n

n

nn

n

qa p qq a pqqq tt

a q qaq

1 точка

След почленно деление получаваме 2 11 . n pa q

t . 1 точка

Следователно 121 .

nn nn pa q

t

и 1

21 2 3 1. . ... .

n n nn

n n

pa a a a a qt

. 1 точка

3. а) Ако 90 k и 30 k k , докажете, че

tg tg 60 tg 120 3tg 3 . 3 точки

б) Намерете стойността на израза

tg 54 tg 3 tg13 tg 23 ... tg163 tg173 . 4 точки

а)

sin 180 2

tg tg 60 tg 120 tgcos 60 cos 120

2sin 2 sin 4sin 2tg

cos 180 2 cos 60 cos 1 2cos 2

sin 2sin cos 2 4sin 2 cos sin sin 3 sin 2sin 3 2sin 3tg 3cos 2cos cos 2 cos cos3 cos

3 точки

б) Прилагаме тъждеството от подточка а):

tg 3 tg 63 tg123 3tg9

tg13 tg 73 tg133 3tg 39

...........

tg 53 tg113 tg173 3tg159 1 точка

Тогава tg 54 tg3 tg13 tg 23 ... tg163 tg173

3tg 54 tg9 tg 69 tg129 tg39 tg99 tg159 1 точка

9 tg54 tg 27 tg117 1 точка

2 2sin 27 cos 27 sin 54 2cos549 tg54 tg 27 cotg 27 9 tg54 9 18

sin 27 cos 27 cos54 sin 54

1 точка

12. клас

1. а) Пресметнете стойността на израза

0 ,21log2

2 25 log 3 1 log 6 2A . 3 точки

б) Намерете двойките числа (х; у), за които е изпълнено равенството

2 22 1 5 3

3 5log 5 log 3x y x y y . 4 точки

а) За намерено 0,21log25 2 1 точка

и 2 2log 3 1 log 6 2 3 2 точки

б) 2 22 1 5 3

3 5log 5 log 3x y x y y

2 22 1 5 33 3log 5 log 5x y x y y

2 22 1 5 3x y x y y 1 точка

Но 2 1 0x y и 2 2 5 3 0x y y . Следователно уравнението е еквивалентно на

системата 2 2

2 1 05 3 0

x yx y y

. 1 точка

За намерени решенията на системата 3; 1 и 1 2;3 3

. 2 точки

2. Всички ръбове на правилната триъгълна призма 1 1 1ABCA B C имат дължина 1.

Точките М и N са средите съответно на ръбовете АВ и 1CC . Намерете:

а) дължината на отсечката MN и косинуса на ъгъла между правите MN и 1BA ;

3 точки

б) разстоянието от точка 1A до равнината 1B MN . 4 точки

а) От правоъгълния 2 2 1MNC MN MC NC

1 точка

1;PMN BA MN , където 1MP BA 1 точка А

B

C

M

N P

1A

1B

1C

11 22 2

MP A B , 1PN и от MNP по косинусова теорема намираме, че

1 2cos42 2

1 точка

б) Ако 1 1 1,A H B MN H B MN и

1 1,NQ ABB Q ABB , то

1 1 1 1 111 1. .3 3MNB A MNB A B MV S A H S NQ 1 точка

1 1 1 1 1, 1A M MB B N MN A B 1 точка

1 1 1 1MNB A B M A H NQ 1 точка

1 13

2CC ABB NQ CM 1 точка

3. Дадена е функцията 1 13 22 2 1f x x x .

а) Намерете най-малката стойност на функцията; 3 точки

б) За кои стойности на параметъра а уравнението 1 13 22 2 1x x a има

единствено решение? 4 точки

а) Дефиниционното множество на функцията е 1;x .

132 1 6

/ 3 223

3 1 2 21 12 2 . 2 13 2 6 1

xf x x x

x

. 1 точка

481 3

/ 66

2 20 1 13 3

f x x x . 1 точка

Следователно при 8

6

21; 13

x

функцията намалява, а при 8

6

2 1;3

x

, тя расте.

Следователно най-малката стойност на функцията е при 8

6

2 13

x и е равна на

8

6

2 813 27

f

. 1 точка

б) Като използваме изследването на функцията от подточка а) и

А

B

C

M

N

1A

1B

1C

1 827

8

6

23

х

y

O

3

6

2lim lim 1 11x x

f x xx

, 1 0f 1 точка

можем да заключим, че графиката на функцията

ще изглежда приблизително, както е показано на

чертежа: 1 точка

Следователно уравнението f x a ще има

единствено решение при 0;a 1 точка

и 827

а . 1 точка

2009 58-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ОБЩИНСКИ...

Documents