201 : Espaces de fonctions ; exemples et applications.

1 Espaces des fonctions continues sur un compact.Cadre : (X, d) espace métrique compact, K = R ou C.

1. Définitions et régularité des fonctions.‰ [HL] notation : C(X,K), rq : c’est une algèbre unitaire commutative.‰ [GOU] prop : l’image d’un compact par une application continue est compacte, coro : les compacts de Rétant les fermés bornés on a que les fonctions continues de X dans R sont bornées et atteignent leur borne,appli : distance entre 2 parties, appli : thm de Rolle, appli : équivalence des normes en dimension finie, thm deHeine, appli : point fixe dans un compact, c-ex : la continuité n’implique pas l’uniforme continuité a priori.‰ [HL] def : norme uniforme, prop : (C(X,K), || · ||1) est un Banach.‰ [GOU] prop : continuité de la limite uniforme d’une suite de fonctions continues, exemple.

2. Résultats de densité dans C([a, b],R).‰ [X ENS ana2] prop : densité des fonctions en escalier, appli : critère de Weyl, ex : somme de Riemann.‰ [ZQ] . thm : Weierstrass par les polynômes de Bernstein, coro : toute fonction continue sur un segmentpeut être approchée uniformément par des polynômes.‰ [GOU] c-ex : faux si on n’est pas sur un segment : sur R une limite uniforme de polynômes est un polynôme,appli : si f continue alors

R 10 f(t)dt = 0 ) f = 0, appli : thm de Littlewood.

3. Un résultat de compacité : le théorème d’Ascoli.‰ [HL] def : équicontinuité, ex : ensemble des fonctions k�lipschitzienne, def : relative compacité, thm d’Ascoli(version "simple"), rq : si F = R ou Rn il suffit de montrer que A est équicontinue et A

x

bornée pour tout xpour avoir que A ⇢ C(E,F ) est relativement compact, ex : opérateurs à noyaux.‰ [ZQ] appli : thm de Cauchy-Arzela-Peano, c-ex : unicité de la solution.

2 Espace des applications linéaires continues.

‰ [GOU] thm : caractérisation des applications linéaires continues, notation : Lc

(E,F ).‰ [POM] ex et c-ex : appli linéaires continues.‰ [GOU] prop : en dimension finie toute application linéaire est continue, def : norme subordonée - (L

c

(E,F ), |||·|||), rq : c’est le plus petit module de continuité.‰ [POM] ex : calcul de normes subordonnées.‰ [GOU] prop : sous-multiplicatitivité de la norme triple, coro : L

c

(E) est une algèbre normée, prop : si Fest un Banach alors L

c

(E,F ) aussi, def : forme linéaire, ex : une forme linéaire est continue ssi son noyauest fermé, ex : dual topologique, appli : si E est un Banach alors l’absolue convergence d’une série impliquesa convergence, lemme de Baire, rq : il s’applique pour C(X,R), thm : Banach Steinhauss, ex : si une suited’applications linéaires continues cvs vers f alors f est une application linéaire continue, appli : existence defonctions différentes de leur série de Fourier.

3 Espaces Lp.1. Structure des espaces Lp.

‰ [BP] Cadre : 1 p < 1, def : Lp et de || · ||p

, rq : interprétation "presque partout" - abus de notation, ex :l

p(N), prop : inégalité de Hölder et de Minkowski, appli : les Lp sont des ev, prop : inclusion des espaces Lpdans le cas d’une mesure finie, c-ex : cas d’une mesure infinie, def - prop : espace L1 et de la norme associée,

1

rq : c’est un evn, thm : Riesz-Fisher, ex : L2 muni d’un produit scalaire est un espace de Hilbert.

2. Convergence dans les espaces Lp [SI POSSIBLE].‰ [BP] thm : la convergence dans Lp implique la convergence p.p. d’une sous-suite, c-ex : la convergence Lpn’implique pas la convergence p.p, prop : thm de convergence Lp�dominée, c-ex : sans hypothèse de domina-tion la cv p.p. n’implique pas la convergence Lp, appli : intégration d’une dérivée.

3. Densité dans les espaces Lp.‰ [BP] thm : pour 1 p 1 l’ensemble des fonctions étagées (intégrables) est dense dans Lp, appli (FAR) :lemme de Riemann Lebesgue, thm : pour 1 p < 1 les fonctions C

c

(R,K) sont denses dans Lp.‰ [OA] appli : produit de convolution et régularisation, exemple : cas où g est C1

c

- cas de la gaussienne.

4. L’espace de Hilbert L2.‰ [BP] prop (structure hilbertienne) : L2(K) muni du produit scalaire est un Hilbert - norme hilbertienne,thm : projection orthogonal, appli : definition de l’espérance conditionnelle, coro : thm de représentation d’uneforme linéaire.‰ [ ? ? ?] thm de Banach-Alaoglu, appli : minimisation d’une fonctionelle convexe.‰ [OA] : def : fonction poids - L2(I, ⇢) et son produit scalaire associé, rq :existence et unicité des polynômesorthogonaux, . appli : densité des polynômes orthogonaux., appli [FIL] : méthode de Gauss pour le calculd’intégrales.‰ [FAR] prop : densité de L1 \ L2 dans L2, appli : prolongement de la transformée de Fourier à L2.‰ [CAN] ex : calcul d’une transformée de Fourier dans L2.

4 Espace des fonctions holomorphes. [SI POSSIBLE]‰ [TAU] def : fonctions analytiques - fonctions holomorphes, ex : séries entières - exponentielle complexe -

logarithme complexe, thm de Cauchy sur un cercle, thm : analycité des fonctions holomorphes, coro : régularité desfonctions holomorphes, coro : principe du prolongement analytique, exemple : avec les zéros isolés, appli : calculde la transformée de Fourier d’une gaussienne, appli : densité des polynômes orthogonaux, prop-def : cvu sur toutcompact et norme associée - thm : suites de fonctions - dérivée et convergence uniforme sur tout compact, ex [OA] :convergence de la suite des dérivées, prop : principe du maximum, exemple : existence de zéros dans un disque pourune fonction.

Références :Briane - Pagès, Théorie de l’intégration.Objectif Agrégation.Zuily - Quellélec, Analyse pour l’agrégation.Gourdon, Analyse.Hirsch - Lacombe, Elements d’analyse fonctionelle.Pommellet, Cours d’analyse.Canderpergher, Calcul intégral.Oraux X - ENS, analyse 2.Tauvel, Analyse complexe pour la L3.

2

202 : Exemples de parties denses et applications.

1 Exemples de parties dense dans des espaces de dimension finie.

1. Dans R ou C.‰ [GOU] prop : une partie A est dense dans R ssi ]a, b[\A 6= ;, exemples : Q � R � Q sont denses dans R,prop : un sous-groupe propre de R est soit dense dans R soit de la forme aZ avec a 2 R, exemple : aZ + bZest dense dans R ssi a/b /2 Q, appli : valeurs d’adhérence de la suite (sinn)n, prop : densité des nombresdyadiques dans R, appli : caractérisation de la convexité d’une fonction continue.

2. Dans Mn(K) avec K = R ou C.‰ [OA] prop : GLn(K) est dense dans Mn(K), appli : �AB = �BA.‰ [ROU] appli : différentiel du déterminant.‰ [OA] prop : l’ensemble des matrices diagonalisables de K est dense dans l’ensembles des matrices trigona-lisables de K, appli : la fonction qui a M 2 Mn(C) associe D la partie diagonalisable de la décomposition deDunford n’est pas continue.

2 Densité dans les espaces de fonctions.

1. Dans l’ensemble des fonctions continues.‰ [GOU] . thm de Weierstrass par les polynômes de Bernstein, ex :

R 10 f(t)t

ndt = 0 ) f = 0, coro : toutefonction continue sur un segment peut être approchée uniformément par des polynômes, c-ex : faux si ce n’estpas sur un segment - une limite uniforme de polynôme est un polynôme, appli : Littlewood, thm de Fejer,coro : thm de Weierstrass trigonométrique.‰ [X ENS ana2] prop : les fonctions en escaliers sont denses dans l’ensemble des fonctions continues parmorceaux, appli : construction de l’intégrale de Riemann, appli : critère de Weyl.‰ [GOU] ex : somme de Riemann.

2. Dans les espaces Lp.‰ [FAR] prop : les fonctions étagées sont denses dans Lp pour 1 p 1, thm : l’ensemble des fonctionscontinues à support compact sont denses dans Lp pour 1 p < 1 - idem pour les fonctions C1c , appli : lemmede Riemann Lebesgue pour la transformée de Fourier, prop : densité de L1 \ L2 dans L2, appli : transforméede Fourier-Plancherel, appli : calcul d’une transformée de Fourier dans L2.‰ [ ? ? ?] appli : définition de l’espérance conditionelle sur L1.

3 Densité et complétude.

1. Théorème de Baire et applications.‰ [GOU] thm de Baire, exemple : "lemme utile", appli : les fonctions continues nulle part dérivables sontdenses, appli : Banach Steinhauss, appli : existence de fonctions continues différentes de leur série de Fourier.

2. Prolongement de fonctions.‰ [GOU] thm : si f : (A, d) ! (F, d0) avec (F, d0) est complet est uniformément continu alors il existe uneunique fonction g : E ! F uniformément continu telle que gA = f où A est une partie dense de E.‰ [POM] appli : construction de l’intégrale de Riemann pour les fonctions réglées.

3. Dans les espaces de Hilbert.

1

‰ [OA] prop : critère de densité dans les Hilbert, appli : thm de représentation de Riesz, def : base hilber-tienne, appli : caractérisation des bases hilbertiennes, exemple : en = eint, rq : la totalité de cette familleest équivalente à la densité de l’espace des polynômes trigonométriques dans L2([0, 2⇡]) via le thm de Fejer,appli : série de Fourier - égalité de Pareseval, def - prop : fonction poids - L2(I, ⇢) - produit scalaire associé,prop : famille orthogonale de L2(I, ⇢), exemple : polynômes de Hermite, . prop : densité des polynômesorthogonaux, appli : intégration numérique (méthode de Gauss cf [FIL]).

Références :Faraut, Calcul intégral.Objectif Agrégation.Gourdon, Analyse.Oraux X-ENS analyse 1.

2

203 : Utilisation de la notion de compacité.

1 Notion de compacité.

1. Caractérisations de la compacité et conséquences.‰ [GOU] def : compacité par Borel-Lebesgue, exemples : espace métrique finie - R n’est pas compact, appli :une suite décroissante de fermés non vides dans un compact E est d’intersection non vide, appli : l’ensembledes éléments d’une suite et sa limite est un ensemble compact, thm : Bolzano-Weierstrass, corollaires : toutesuite admet au moins une valeur d’adhérence - toute partie infinie admet au moins un point d’accumulation,appli : une suite converge ssi elle possède une unique valeur d’adhérence, appli [ZQ] : nombre de zéros d’uneéquation différentielle, prop : compact implique complet, prop : les parties compact de Rn sont exactementles fermés bornés, appli : premier thm de Dini.‰ [ROU] ex : tout intervalle de R peut s’écrire comme une union dénombrable croissante d’intervalle compacts,prop : si X est compact alors C(X,Rd) est complet, appli : . thm de Cauchy-Lipschitz global, exemple : casdes systèmes linéaires.

2. Partie relativement compacte.‰ [HL] def : partie relativement compact, rq : interprétation en terme de suites, lemme : extraction diagonale,appli : thm de Tychonoff (cas dénombrable), ex : ensemble triadique de Cantor, . thm de Banach-Alaoglu,appli : minimisation d’une fonctionelle convexe, thm d’Ascoli, rq : cas où F = R ou Rn, exemple : opérateurà noyau.‰ [ZQ] appli : thm d’Arzela-Péano, c-ex : perte d’unicité.

2 Fonctions continues sur un compact.

1. Problèmes d’extremas.‰ [GOU] prop : l’image d’un compact est compact, c-ex : sin�1([�1, 1]) = R, prop : condition pour être unhoméomorphisme, prop : une application continue sur un compact atteint ses bornes, appli : équivalence desnormes en dimension finie, appli : les compacts en dimension finie sont les fermés bornés, appli : la distanced’un point à un compact est atteinte, appli : thm de Rolle, appli : thm des valeurs intermédiaires, appli :formule de Taylor-Lagrange, c-ex : faux dans un R�evn, thm de Riesz.‰ [OA] appli : optimisation et coercivité.

2. Théorème de Heine : un résultat de régularité.‰ [GOU] thm de Heine, ex : fonctions périodiques, appli : second théorème de Dini.‰ [OA] appli : module de continuité et thm de Féjèr.

3. Théorèmes de point fixe.‰ [ROU et GOU] théorèmes de point fixe et compacité (fonction contractante - convexe compact), c-ex avecla complétude, c-ex : sans compacité - convexité, appli : convergence d’une suite définie par récurrence.

4. Théorème de Weierstrass : un résultat de densité.‰ [GOU] thm : Weierstrass, c-ex : faux si on n’est pas sur un segment - une limite uniforme de polynôme estun polynôme, thm : cas des fonctions continues 2⇡�périodique, ex :

Rf(t)tndt = 0 , f = 0, appli : thm de

Littlewood.‰ [X-ENS] appli : critère de Weyl sur les suites équidistribués.‰ [FIL] appli : interpolation polynômiale.

Références :Gourdon, Analyse.

1

Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques.Objectif Agrégation.Zuily - Queffelec, Analyse pour l’agrégation.Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.Hirsch - Lacombe, Eléments d’analyse fonctionnelle.Oraux X - ENS, analyse 2.

2

204 : Connexité. Exemples et applications.

1 Connexité.

1. Définitions et premières propriétés.‰ [QUE] prop-def : formulations équivalentes de la connexité, rq : dans la caractérisation par ' : X ! Zconstante ssi X est connexe on peut remplacer Z par tout espace discret, exemples : utilisation ce critère,def-prop : parties connexes et caractérisation, exemple : lemme de passage des douanes, c-ex [GOU] : Q n’estpas un connexe de R, ex : [0, 1] est un connexe de R.

2. Stabilité de la notion de connexité.‰ [QUE] thm : une union de de connexe est connexe, c-ex : une intersection de connexe n’est pas connexe apriori, thm : image continue et fermeture d’un connexe, c-ex [HAU] : faux pour l’image inverse, ex : descriptiondes connexes de R, appli : TVI, appli : thm de Brouwer en dimension 1, appli [GOU] : il existe deux pointsdiamétralement opposés du cercle unité qui ont la même image par f , appli : espaces non homéomorphes,exemples : [0, 1[ et ]0, 1[ - [0, 1] et [0, 1]2, appli [GOU] : thm de Darboux, coro : produit de connexes.

3. Composantes connexes.But : peut-on toujours se ramener au cas où l’espace est connexe ?‰ [QUE et GOU] def : relation d’équivalence - composantes connexes de X - composantes connexes d’unpoint, rq : les composantes connexes forment une partition de l’espace - un espace métrique est connexe ssi iln’a qu’une seule composante connexe, prop : caractérisation des composantes connexes, prop : identificationdes composantes connexes, ex : composantes connexes de l’ensemble des projections linéaires sur Rn, appli :GLn(R) a deux composantes connexes - On(R) a deux composantes connexes.‰ [ZAV] . appli : composantes connexes et formes quadratiques réelles.

2 Connexité par arcs.

‰ [QUE] def : chemin - relation d’équivalence entre 2 points reliés par un chemin - connexité par arcs, thm : connexepar arcs implique connexe - réciproque vraie si X est un ouvert, c-ex : réciproque fausse, exemples : épigraphe -convexe d’un evn - la sphère unité d’un evn partie étoilée, appli : l’ensemble des opérateurs normaux d’un Hilbertest connexe par arcs.‰ [ZAV] . appli : C[A]⇥ est connexe par arcs - surjectivité de l’exponentielle.‰ [MT] exemples (espace des matrices) : S++n (R) est connexe, Un(C) est connexe par arcs, GLn(C) est connexe,SLn(K) sont connexes, O+n (R) est un ouvert connexe homéomorphe à O�n (R).

3 Des propriétés locales aux propriétés globales.

1. Analyse complexe.‰ [TAU] thm : principe du prolongement analytique, coro : si deux fonctions coïncident au voisinage d’unpoint de U alors f = g, ex : avec les zéros isolés, appli : définition de cos(z) et sin(z) comme unique pro-longement des fonctions circulaires réelles, appli [OA] : transformée de Fourier d’une gaussienne, principe dumaximum, exemples : annulation de fonctions.‰ [QUE] prop : l’indice est constant sur chaque composante connexe.

2. Calcul différentiel.‰ [ROU] prop : si Df(u) = 0 sur U connexe alors f est constante sur U , prop : inéquation différentielle,appli : existence d’une solution d’équation différentielle, thm : inversion globale.

1

‰ [QUE] thm : Cauchy-Lipschitz, appli : existence et unicité d’une solution d’équation différentielle, appli[ZQ] nombre de zéros d’une équation différentielle.

Références :Queffelec, Topologie.Gourdon, Analyse.Tauvel, Analyse complexe pour la L3.Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques.Zavidovique, Un max de maths.

2

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

1 Espaces complets.‰ [GOU] def : suites de Cauchy, prop : une suite convergente est de Cauchy - une suite de Cauchy est bornée, prop :deux distances équivalentes décrivent les mêmes suites de Cauchy - la notion de suites de Cauchy n’est pas topolo-gique, def : espace complet - espace de Banach, exemples et c-ex d’espaces complet - un espace compact est complet- tout evn de dimension finie est complet, . appli [ ? ? ?] : thm de Banach-Alaoglu, prop : toute partie complète estfermée - toute partie fermée d’un espace complet est complète, prop : espace produit complet, exemples : B(X,R) -Lc(E,F ) avec F complet - lp(N,R) pour tout 1 p 1 sont complets, c-ex : avec la distance d(x, y) = |1/x�1/y|(]0,+1[ n’est pas complet mais ]0, 1] si, prop : dans un Banach Id� u est inversible, appli : Glc(E) est un ouvertde Lc(E), prop : un evn est complet ssi toute série absolument convergente est convergente.‰ [FAR] def-prop : espace Lp - norme - structure d’espace vectoriel, thm : Riesz-Fisher (complétude des Lp).‰ [ ? ? ?] c-ex : (C0c , || · ||p) n’est pas complet.‰ [GOU] thm (ADMIS) : tout espace métrique peut se plonger dans un espace complet.

2 Théorèmes d’existence et complétude.1. Prolongements de fonctions.

‰ [GOU] thm : prolongement de fonction d’une partie dense à l’ensemble entier, appli : intégrale de Riemannpour les fonctions réglées.‰ [FAR] thm - appli : Fourier-Plancherel.‰ [CAN] appli : calcul d’une transformée de Fourier dans L2.

2. Points fixes.‰ [ROU] thm de point fixe, c-exemple, exemple, . appli : thm de Cauchy-Lipschitz global, exemple, thmd’inversion locale, thm des fonctions implicites, exemples, appli [ZAV] : image de l’exponentielle.

3. Théorème de Baire et applications.‰ [GOU] thm de Baire, ex : "lemme utile", appli : un evn à base dénombrable n’est pas complet, appli : lesfonctions continues nulle part dérivables sont denses, coro : thm de Banach-Steinhauss, ex : suite d’applica-tions qui cvs, appli : existence de fonctions continues différentes de leur série de Fourier.

3 Espace de Hilbert.1. Théorème de projection sur un convexe fermé.

‰ [HL] def : espace de Hilbert, rq : on cherche à généraliser la géométrie de la dimension finie à la dimen-sion infinie, exemples, thm de projection sur un convexe fermé, rq : caractérisation du projeté dans le cas deR, prop : projection sur un sev fermé, c-ex [OA] : absence de complétude, appli : définition de l’espéranceconditionnelle, appli [OA] : polynôme de meilleur approximation, coro : critère de densité dans les Hilbert,appli : densité des polynômes orthogonaux, thm de représentation de Riesz, appli : definition de l’adjoint d’unopérateur, appli : thm de Lax-Milgram.‰ [ ? ? ?] . appli : minimisation d’une fonctionnelle convexe (avec Banach-Alaoglu).

2. Base hilbertienne.‰ [OA] def : base hilbertienne, exemples : les eint et les polynômes orthogonaux (polynômes de Hermite...),procédé d’othogonalisation par Gram-Schmidt, thm : existence de base hilbertienne (ADMIS dans le cas gé-néral), thm : caractérisation des bases hilbertiennes, appli : série de Fourier.

1

Références :Faraut, Calcul intégral.Objectif Agrégation.Gourdon, Analyse.Oraux X-ENS analyse 1.Candelpergher, Calcul intégral.

2

207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

1 Aspects topologiques.

1. Prolongement ponctuel.‰ [GOU] def : prolongement par continuité, exemples.

2. Prolongement par densité.‰ [POM] thm : prolongement des identités, thm : prolongement des applications uniformément continues surune partie dense, appli : construction de l’intégrale de Riemann pour les fonctions réglées.‰ [FAR] appli : densité de L1 \ L2 dans L2 - transformée de Fourier-Plancherel.‰ [CAN] . appli : calcul d’une transformation de Fourier dans L2.

3. Prolongement global.‰ [ZQ] thm : prolongement de Tietze, appli : critère de compacité.

4. Prolongement des formes linéaires.‰ [ROU] thm : Hahn-Banach en dimension finie, application.‰ [BRE] corollaires.

2 Aspects différentiels.

1. Régularité.‰ [POM] thm : prolongement C1, c-ex : hypothèse continuité, ex : e�1/x

2

prolongeable en une fonction declasse C1 sur R, appli : existence de fonctions plateaux.‰ [OA] appli : convolution et régularisation de fonctions.‰ [ROU] lemme de Borel, coro : prolongement des fonctions C1 sur un segment.

2. Prolongement des solutions d’équations différentielles.‰ [ZQ] def : solutions - solutions globales - solutions maximales, thm : sortie de tout compact, prop : critèrede prolongement, exemples.

3 Aspects analytiques.

1. Séries entières.‰ [ZQ] def : points réguliers - singuliers au bord du disque de convergence, exemple, thm : existence d’unpoint singulier.‰ [HAU] exemples : on ne peut rien dire de la somme d’une série entière au bord de son disque de conver-gence.‰ [GOU] thm d’Abel, thm (réciproque partielle) : théorème de Littlewood.

2. Fonctions analytiques.‰ [TAU] thm : prolongement analytique, coro : principe des zéros isolés, exemples : série entière - existencede fonctions, appli : définition des fonctions circulaires.‰ [OA] appli : calcul de la transformée de Fourier d’une gaussienne, appli : . densité des polynômes ortho-gonaux, appli [FIL] : méthode de Gauss pour le calcul d’intégrales.‰ [ZQ] ex : prolongement analytique de la fonction �.

1

Références :Gourdon, Analyse.Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques.Objectif Agrégation.Tauvel, Analyse complexe pour la L3.Zuily - Queffelec, Analyse pour l’agrégation.Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.Pommelet, Cours d’analyse.Faraut, Calcul intégral.Candelpergher, Calcul intégral.Brezis.

2

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues.

Exemples.

A rajouter : exemple de calcul de normes subordonnées.

1 Espaces vectoriels normés.1. Norme.

‰ [GOU et HAU] def : norme - evn, rq : tout evn est métrisable, def : normes équivalentes, rq : deux normeséquivalentes définissent la même topologie, exemples de normes, appli : norme strictement plus fine qu’uneautre, prop : la norme est une application continue, prop : l’adhérence d’un sev d’un evn est un sev, appli :un hyperplan est soit fermé soit dense, exemple d’evn : (lp(N,R), || · ||p) - (Lp, || · ||p).‰ [OA] def (attention ! erreur dans le OA) : stricte convexité d’une norme (si ||x+ y|| = ||x||+ ||y|| alors x ety sont positivement liés), appli : existence d’un polynôme de meilleur approximation.

2. Applications linéaires continues.‰ [GOU et HAU] thm : formulations équivalentes de la continuité des application linéaires, rq : extension auxapplications multilinéaires, def : norme subordonée - Lc(E,F ), rq : la norme subordonnée est le plus petitmodule de continuité, prop : norme subordonnée d’une composée de fonction, def : forme linéaire - dualité, ex :différentielle en un point, prop : une forme linéaire est continue ssi son noyau est fermé, ex : (C([0, 1],R), || · ||1)n’est pas continue car son noyau n’est pas fermé, prop : Lc(E) est une algèbre normée.

3. Cas de la dimension finie.‰ [GOU] thm : toutes les normes sont équivalentes, coro : toute application linéaire est continue - tout sevde dimension finie d’un evn est fermé, appli : les parties compactes d’un evn sont les parties fermées bornées,c-ex en dimension finie (dérivée de polynômes), thm de Riesz.

2 Espaces de Banach.1. Complétude

‰ [GOU et HL] def : espace de Banach, exemples : tout evn de dimension finie est complet - complétude deLc(E,F ) si F complet - B(X,K) - lp, exemple (Riesz-Fisher) : complétude des Lp, appli : E est un Banachssi toute série absolument convergente est convergente, appli : Id� u est inversible dans Lc(E), appli : expo-nentielle de matrices, thm : prolongement de fonction sur une partie dense.‰ [FAR] appli : L1 \ L2 est dense dans L2 - transformée de Fourier sur L2.‰ [CAN] ex : calcul d’une transformée de Fourier dans L2.‰ [ROU] thm de point fixe de Picard, c-ex, . appli : thm de Cauchy-Lipschitz global, exemple : cas linéaire.

2. Théorème de Baire et conséquences.‰ [GOU] thm de Baire, exemple : "lemme utile", appli : un evn à base dénombrable n’est pas complet, appli :les fonctions continues nulle part dérivables sont denses, appli : thm de l’application ouverte, coro : thm deBanach, coro : thm de Banach-Steinhauss, appli : la limite d’une suite d’applications linéaires continues qui cvsest une application linéaire continue, appli : existence de fonctions continues différentes de leur série de Fourier.

3 Espaces de Hilbert.1. Espace muni d’un produit scalaire.

‰ [OA] def : espace préhilbertien - Hilbert, ex : espace euclidien et hermitien, exemple : l2(N) - L2, appli :forme bilinéaire continue coercive, prop : Cauchy-Schwarz, appli : forme linéaire, appli : inégalité triangulaire

1

pour les normes Lp, prop : identité du parallélogramme, def : orthogonal, appli [HL] : thm de Pythagore.

2. Théorème de projection sur un convexe fermé.‰ [OA] thm : projection sur un convexe fermé, c-ex : absence de complétude, rq : en dimension finie, thm :projection sur un sous-espace fermé, remarques sur l’orthogonal, appli : critère de densité, appli : définitionde l’espérance conditionnelle.‰ [HL] thm de représentation de Riesz, applications.‰ [ ? ? ?] . appli : théorème de Banach-Alaoglu et minimisation d’une fonctionnelle convexe.

3. Bases hilbertiennes.‰ [OA] def : bases hilbertiennes, ex : les eint - les polynômes orthogonaux (Hermite,...), thm (ADMIS) :existence de base hilbertienne, rq : procédé d’orthogonalisation avec Gram-Schmidt, thm : caractérisation desbases hilbertiennes, appli : série de Fourier - l’égalité de f avec sa série de Fourier est vraie dans L2 - égalitéde Parseval - ex : calcul de série.

Références :Gourdon, Analyse.Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques.Objectif Agrégation.Hirsch-Lacombe, Elements d’analyse réelle.

2

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des

polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

1 Approximation d’une fonction point par point.

1. Formules de Taylor.‰ [ROM] thm : formule de Taylor-Lagrange, ex : pour n = 0 on retrouve le thm des acroissements finis,coro : inégalité de Taylor-Lagrange, appli, thm : formule de Taylor avec reste intégral, rq : Taylor avec resteintégral donne plus d’information que Taylor-Lagrange, applis, appli [APP] : TCL - intervalles de confiance,rq : formules de Taylor en dimension supérieure, thm : Taylor-Young, appli.‰ [ROU] appli (calcul différentiel) : lemme de Morse, appli : étude locale de surfaces.

2. Interpolation polynômiale.‰ [FIL et DEM] : objectif : trouver un polynôme tel que Pn(xi) = f(xi), thm : existence et unicité du poly-nôme interpolateur de Lagrange, thm : construction du polynôme de Lagrange, lemme : différences divisées etdifférentiabilité, thm : erreur d’interpolation, rq : la taille de l’erreur d’interpolation dépend des dérivées de f(qui peuvent être grande si f oscille) et de la répartition des points choisis, def : polynômes de Tchebychev,prop : interpolation avec les polynômes de Tchebychev, rq : phénomène de Runge, ex : approximation def(x) =

1

25x2 + 1dans le cas de points équidistants et de Tchebychev (plus fiable).

3. Approximation par un polynôme trigonométrique.‰ [FAR] def : polynôme trigonométrique - coefficients de Fourier complexes - série de Fourier - sommes par-tielles et série de Fourier cv, lemme de Riemann Lebesgue, lemme : somme partielle en fonction du noyau deDirichlet, thm : Jordan-Dirichlet, corollaire : cas C1m, c-ex : la continuité ne suffit pas, ex : f(x) = 1 sur [0,⇡/2[et f(x) = �1 sur ]⇡/2,⇡], ex : f(x) = x� ⇡ sur ]0,⇡[.

2 Approximation polynômiale uniforme.

1. Polynôme de meilleur approximation uniforme.‰ [DEM] : def : fonction équioscille, thm-def : existence et unicité du polynôme de meilleur approximation,corollaire : caractérisation du polynôme de meilleur approximation, exemple : polynôme de Tchebytchev.

2. Densité des polynômes C([a, b],R).‰ [ZQ] . thm de Weierstrass par les polynômes de Bernstein, corollaire : toute fonction continue sur unsegment peut être approchée uniformément par des polynômes.‰ [GOU] : c-ex : sur R une limite uniforme de polynôme est un polynôme, appli :

Rf(t)tn = 0 ) f = 0,

appli : thm de Littlewood.

3. Convergence normale et polynôme trigonométrique.‰ [GOU] lemme : coefficient de Fourier de f 0 en fonction de ceux de f si f 2 C0 \ C1m, thm de cvn pour unefonction continue et C1m, exemples.‰ [XENS] appli : équation de la chaleur par les séries de Fourier.

3 Approximation polynômiale dans l’espace Lp, 1 p < 1.1. Polynôme de meilleur approximation.

‰ [OA] def (attention ! erreur dans le OA) : stricte convexité d’une norme (si ||x+y|| = ||x||+ ||y|| alors x et ysont positivement liés), prop : dans un sev de dimension finie il existe un élément qui minimise la distance, ex :

1

en particulier Rn[X] ⇢ C0[a, b], prop : on a unicité de cet élément lorsque la norme est strictement convexe,prop : pour 1 < p < 1 || · ||p est strictement convexe, thm : pour || · ||1 on a aussi unicité (même si la normen’est pas strictement convexe).

2. Cadre hilbertien.‰ [FIL et OA] : def : fonction poids - produit scalaire - norme quadratique (et distance associée), rq : l’es-pace des fonctions continues de ]a, b[ contient les polynômes, thm-def : existence et unicité des polynômesorthogonaux, ex : polynôme de Hermite, ex : polynôme de Legendre, thm : expression effective du polynômede meilleur approximation (par projection orthogonale), . thm : densité des polynômes orthogonaux et basehilbertienne de polynômes orthogonaux, c-ex : la décroissance exponentielle est nécessaire, appli : méthode deGauss pour le calcul d’intégrales.

3. Cas des polynômes trigonométriques.‰ [FAR] structure préhilbertienne sur L2T , thm : cv en moyenne quadratique et formule de Parseval, exemple :f(x) = |x|, def : somme de Cesaro, lemme : somme de Cesaro en fonction du noyau de Fejer, rq : la cvs dessommes partielles implique la cv au sens de Cesaro mais la réciproque est fausse : (�1)n, . thm de Fejer,appli : (en) est une base hilbertienne, corollaire : densité des polynômes trigonométriques dans l’ensemble desfonctions continues périodiques.

Références :Demailly, Analyse numérique et équations différentielles.Objectif agrégation.Farault, Calcul intégral.Gourdon, Analyse.Zuily Quefelec.Rombaldi, Eléments d’analyse réelle.Rouvière, Petit guide du calcul différentielle.Filbet, Analyse numérique.

2

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples etapplications.

1 Espaces munis d’un produit scalaire.1. Espaces préhilbertiens.

‰ [HL] def : produit scalaire, def : espace préhilbertien, ex : produit scalaire hermitien canonique sur Kd - leps sur l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans K - le ps sur l2(N), prop : inégalité de Cauchy-Schwarzet son cas d’égalité, corollaire : < ·, · >1/2 est une norme, rq : les espaces préhilbertiens sont des evn, prop :identité du parallélogramme, rq : un evn qui vérifie cette identité est préhilbertien.

2. Orthogonalité.‰ [HL] : def : éléments orthogonaux - parties orthogonal - orthogonal d’une partie.‰ [OA] prop : A? est toujours un sev fermé de H - A? = (vect(A))? - A? = (Ā)? - Ā ⇢ A??.‰ [ ? ? ?] appli : orthogonal des suites presque nulle de l2(N).‰ [HL] prop : Pythagore, rq : la réciproque est vraie dans R mais pas dans C.

2 Espaces de Hilbert.1. Espaces de Hilbert.

‰ [HL] def : espace de Hilbert, ex : tout espace préhilbertien de dim finie est un Hilbert - L2(K) et l2(N),c-ex : (C0([0, 1]), < ·, · >L2([0,1]) est préhilbertien mais pas hilbertien.‰ [OA] rq : muni de la restriction du produit scalaire un sous-espace fermé d’un Hilbert est un Hilbert.‰ [HL] ex : H1(I) et H10 (I).

A partir de maintenant, tous les espaces de Hilbert que l’on va considérer seront supposerséparables.

2. Projection sur un convexe fermé et théorème de Riesz.‰ [HL] thm : projection sur un convexe fermé - sa caractérisation en terme de produit scalaire - caractère1-lipschitzien de la projection.‰ [OA] rq (ANNEXE) : caractérisation angulaire de la projection.‰ [ ? ? ?] . appli : thm de Banach-Alaoglu et minimisation d’une fonctionnelle convexe.‰ [HL] prop : projection sur un sev fermé de dimension finie, corollaire : E = F �F? pour tout sev F fermé- E = F̄ � F? pour tout sev F - F̄ = F??, appli : - critère de densité, appli [OA] : def de l’espérance condi-tionnelle, thm de représentation de Riesz, appli : existence de l’adjoint d’une application linéaire continue.‰ [HL] appli : thm de Lax-Milgram et résolution d’une edo.

3. Convergence faible dans un espace de Hilbert [SI POSSIBLE].‰ [HL] def : convergence faible d’une suite, prop : unicité de la limite faible - cv forte implique cv faible, c-ex :réciproque fausse, prop : rapport entre convergence faible et forte, appli : si (xn) cv faiblement vers x alors(Txn) cv faiblement vers Tx, thm : Banach-Alaoglu pour les Hilbert.

3 Bases hilbertiennes.1. Bases hilbertiennes.

‰ [HL] def : famille orthogonale - famille orthonormale, ex : (en(x))n est une famille orthonormale, prop :famille orthonormale et projection orthogonale, coro : inégalité de Bessel, def : base hilbertienne, ex : sur l2(N),thm : Bessel-Parseval, thm : tout élément se décompose sur une base hilbertienne, prop : procédé d’orthonor-malisation de Schmidt, thm : tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne dénombrable.

1

2. Polynômes orthognonaux.‰ [OA] : def : fonction poids, notation : L2(I, ⇢) - c’est un Hilbert, def : polynômes orthogonaux, ex : po-lynômes de Hermites - polynômes de Legendre, . thm : densité des polynômes orthogonaux, coro : baseshilbertiennes de L2(I, ⇢).‰ [FIL] appli : intégration numérique par les polynômes orthogonaux (méthodes de Gauss).

3. Série de Fourier.‰ [OA] cadre : on considère des fonctions 2⇡-périodique, def : coefficient de Fourier pour f intégrable surtout intervalle borné, prop : coefficient de Fourier en terme de produit scalaire sur L2, notation : la famille(en)n, prop : c’est une famille orthonormale, coro : SN (f) est la projection orthogonale de f sur l’espace despolynômes trigonométriques, thm de Fejer, coro : les (en)n forment une base hilbertiennes de L2, conséquence :

f =P

n2Z cn(f)en - isométrie bijective entre L2 et l2 - égalité de Parseval, appli :

P1n=1

1

n4=

⇡4

90.

Références :Hirsch-Lacombe, Eléments d’analyse fonctionnelle.Objectif agrégation.Filbet, Analyse numérique.

2

214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites.

Exemples et applications en analyse et en géométrie.

1 Théorème d’inversion locale.

1. Enoncés et applications.‰ [ROU] thm d’inversion locale, ANNEXE : illustration du thm, rq : quelques conséquences,exemple :f(x, y) = (x2 � y2, 2xy) est un difféo local sur R2 � 0, c-exemple : f(x) = x = x2 sin(⇡/x), appli : chan-gement de coordonées, ex : passage en coordonées polaires, ex : changement de variable dans une intégrale,. appli : réduction des formes quadratiques version diffférentiable.‰ [OA] appli : racine k�ième d’une matrice.‰ [ZAV] appli : surjectivité de l’exponentielle.‰ [ROU] thm d’inversion globale, exemple : retour sur le premier exemple, rq : version classe Ck des théorèmes,appli : inversion globale (cas particulier de Hadamard-Lévy), appli : logarithme d’une matrice - l’exponentiellede matrice est un difféo local qui n’est pas global.

2. Interprétation géométrique.‰ [ROU] def : submersion - immersion, diagrammes commutatifs, ANNEXE : dessins, . lemme de Morse,appli : point double à l’origine d’une courbe de niveau, exemple : f(x, y) = x2 � y2 + (y4/4), appli : étudelocale affine d’une surface.

2 Théorème des fonctions implicites.

‰ [ROU] thm des fonctions implicites, ANNEXE : illustration du thm, rq : quelques conséquences, exemple : avecle cercle, prop : différentielle de la fonction implicite, ex : avec le cercle, rq : thm version Ck, ex : le Folium deDescartes, thm : le TIL et TFI sont équivalents, appli : l’équation du troisième degré, appli : perturbation d’unextremum.‰ [OA] appli : régularité d’une racine simple d’un polynôme, appli : l’ensemble des polynômes scindés à racinessimples est un ouvert de Rn[X].

3 Sous-variétés.

1. Définition et caractérisations.‰ [ROU] def : sous-variété, exemple : cône épointé, c-exemples : des sous-ensembles qui ne sont pas des sous-variété, thm des sous-variétés, remarques : importance du TFI et du TIL dans ces caractérisations - notionde submersion et immersion, exemple : surface de R3, exemple : courbes de R3, exemple : SLn(R) est unesous-variété de Rn2 .

2. Espaces tangents.‰ [ROU] def : vecteur tangent - espace tangent, thm : caractérisation de l’espace tangent selon la définiede sous-variété, exemple : le cercle et la définition implicite, ex : rencontre d’un cylindre et d’une sphère,exemple : plan vectoriel tangent pour les surfaces de R3, exemple : droite vectorielle tangente aux courbes deR3, exemple : espace tangent en un point de SLn.

3. Application : multiplicateurs de Lagrange.‰ [OA] lemme : équivalence de la condition des extrema liés avec l’intersection des noyaux, . thm : extremaliés, rq : interprétation géométrique avec le plan tangent, c-ex : sans l’hypothèse de régularité géométrique,exemples [GOU] : étude du maximum global de f sur � - inégalité arithmético-géométrique.

1

‰ [ROU] appli : inégalité d’Hadamard.

Références :Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.Objectif agrégation.Gourdon, Analyse.Zavidovique, Un max de maths.

2

215 : Applications différentiables sur un ouvert de Rn. Exemples etapplications.

Remarque : Parler de Lyapounov comme approximation linéaire ?

L’idée du calcul différentiel est d’approcher au voisinage d’un point une fonction f par une fonction plus simple quiest linéaire.

Soient n, p 2 N⇤, U ⇢ Rn ouvert, f : U ! Rp.

Les applications différentiables en un point sont celles qui peuvent être approchées au voisinage de a par une ap-plication affine. Intuitivement, le graphe de f "ressemble" localement à un espace affine. On constate aussi que ladifférentielle prolonge la notion de dérivabilité en dimension supérieure.

1 Applications différentiables.

1. Différentiabilité.‰ [ROU] def : fonction différentiable, rq : linéaire implique continue, ex : cas n = p = 1 (la différentielle est lamultiplication par f 0(a) - cas f constante - cas f linéaire, def : application de classe C1 - C1-difféomorphisme,ex : f : (r, ✓) 7! (r cos(✓), r sin(✓)) est un C1-difféomorphisme, ex : différentielle de l’inverse - du déterminant.

Si on connait explicitement une fonction, il est plus simple de calculer ses dérivées partielles qui peuventavoir un lien avec sa différentielle.

2. Dérivées directionnelles.‰ [OA] def : dérivée directionnelle ou dérivée partielle, prop : si f est différentiable en a alors les dérivéesdirectionnelles en a existent, c-ex : l’existence des dérivées partielles dans toutes les directions n’implique pasla différentiablité, rq [ROU] : écriture de la différentielle en fonction des dérivées partielles dans Rn, appli :définition du gradient.‰ [ROU] appli : interprétation physique du gradient, remarque importante : on verra que si les dérivéespartielles existent et sont continues alors on a la différentiabilité, ex : f(x, y) = ln(x2 + y2) est différentiablesur R⇤, c-ex [GOU] : réciproque fausse, exemple : fonction vectorielle de la variable vectorielle - matrice jaco-bienne, exemple [GOU] : jacobien f : (r, ✓) 7! (r cos(✓), r sin(✓)), ex : laplacien en polaire.

3. Différentiation des fonctions composées.‰ [ROU] prop : différentiation des fonctions composées.‰ [OA] ex : différentielle de x 7! ||x||2, appli : différentielle de la réciproque.‰ [GOU] appli : différentiabilité du produit.‰ [ROU et X-ENS alg2] appli : problème d’optimisation avec contrainte - . thm des extremas liés et appli-cation, exemples.

On cherche à présent à remonter l’information de la différentielle sur la fonction de départ. Par définition,la différentielle nous permet cela localement. En une dimension, l’outil global correspondant est l’égalité desaccroissements finis...

4. Inégalité des accroissements finis.‰ [OA et ROU] thm : inégalité des accroissements finis, c-ex : l’égalité des accroissements finis est faux sip � 2, appli : différentielle nulle, appli : caractérisation de la lipschitziannité, appli-thm : caractérisation desfonctions C1, appli : différentielle d’une limite, ex : différentielle de l’exponentielle.

1

2 Inversion locale et fonctions implicites.

‰ [OA et ROU] thm : inversion locale, annexe : dessin en dimension 2, rq : équivalence (x 2 V et y = f(x)) , (y 2W et x = f�1(y)), c-ex : la conclusion du thm est locale et pas globale, . appli : réduction des formes quaratiquesversion différentiable, appli : racine k-ième d’une matrice.‰ [ZAV] appli : surjectivité de l’exponentielle.‰ [OA et ROU] thm : inversion globale, ex [GOU] : si f � Id est contractante alors f est un difféo global, thm :fonction implicite, annexe : dessin en dimension 2, exemples : équation x2 + y2 � 1 = 0, appli : régularité d’uneracine simple d’un polynôme.

Comme pour les développements limités, on cherche à affiner notre étude locale en étudiant les termes quadra-tiques. Comme les termes linéaires fournissent un espace tangent, les termes d’ordre 2 fourniront des positionsrelatives à ce plan (étude d’extrêmum, optimisation...). Les 2 notions importantes de cette section est la symétriedes dérivées partielles secondes et les formules de Taylor.

3 Différentielles d’ordre supérieur.

1. Différentielles secondes.‰ [ROU] def : application deux fois différentiables en a, rq : lien avec l’application bilinéaire sur Rn ⇥ Rn àvaleurs dans Rp, def : matrice hessienne, rq [OA] : lien avec les formes quadratiques, thm de Schwarz, c-ex :l’existence des dérivées secondes ne suffisent pas, appli : problème d’extrêmum libre (théorème + exemple).‰ [GOU] ex : "équivalent du thm de Rolle en dimension n".

2. Formules de Taylor.‰ [ROU] def : application de classe Ck - C1, notation "abrégée" de la différentielle d’ordre k, thm : formulede Taylor-Young, ex : TLY a l’ordre 3 pour une fonction à 2 variables, thm : Taylor avec reste intégral.‰ [ROU] . appli : lemme de Morse, ex : étude de la position relative d’une surface par rapport à son plantangent en un point.

Références :Gourdon, Analyse.Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.Objectif Agrégation.Zavidovique, Un max de math.Oraux X - ENS, Algèbre 2.

2

218 : Applications des formules de Taylor.

1 Formules de Taylor.

‰ [ROM] lemme : thm de Rolle, thm : formule de Taylor-Lagrange, ex : pour n = 0 on retrouve le thm des acrois-sements finis, coro : inégalité de Taylor-Lagrange, thm : formule de Taylor avec reste intégral, rq : Taylor avec resteintégral donne plus d’information que Taylor-Lagrange, rq : formules de Taylor en dimension supérieure.‰ [APP - STAT] . appli : TCL, appli : détermination d’un intervalle de confiances, appli : approximation devariables aléatoires.

2 Etude locale de fonctions.

1. Développements limités et étude locale.‰ [ROM] thm : Taylor-Young, exemples : dl en 0 de quelques fonctions, thm : caractérisation de la continuitéet de la dérivabilité de f avec les dl, c-ex : une fonction peut admettre un dl d’ordre n � 0 sans être dérivableà l’ordre 2 en ce point, appli : équivalence des restes et des sommes partielles des séries de fonctions, appli :étude locale de la position d’une courbe par rapport aux tangentes.‰ [ROU] appli : étude affine locale d’une courbe plane, ANNEXE : dessins (points ordinaire - d’inflexion -première espèce - deuxième espèce).

2. Recherche d’extrema.‰ [ROM] rq : si f : I ! R admet un extremum local en a alors f 0(a) = 0, c-ex : réciproque fausse, thm :condition nécessaire et suffisante d’extremum, thm : généralisation à des fonctions de plusieurs variables, rq :cas ou la forme quadratique est dégénérée.‰ [ROU] exemples : étude d’extremum, exemple : ANNEXE (dessin en dimension 3), lemme de Morse,exemples.

3. Etude asymptotique.‰ [ROM] appli : développement asymptotique de suites, exemple : la série harmonique, appli : étude localede la position d’une courbe par rapport aux asymptotes, thm : développement asymptotique de suites définiespar récurrence, exemples.

3 Etude globale de fonctions.

1. Du local au global : analycité.‰ [TAU] def : fonction développable en série entière, thm : le dse de f est égale à son développement deTaylor ssi il existe un voisinage de 0 sur lequel f est indéfiniment dérivable, thm (cas réel), rq : csq de Tayloravec reste intégral, appli : thm du prolongement analytique.‰ [GOU] c-ex : le développement de Taylor d’une fonction C1 peut ne pas converger vers f , exemples : pleinsde dse, thm de réalisation de Borel : pour toute suite (an) il existe une fonction f de classe C1 sur R telleque fn(0)/n! = an, appli : définition de fonctions circulaires sur C.‰ [OUV2] appli : une CNS d’analycité de la fonction caractéristique autours de 0.

2. Propriétés globales.‰ [ROM] exemples : inégalités classiques, thm : majorations de dérivées, lemme : cas f C2 tel que f et f 00

soient bornées.‰ [GOU] lemme d’Hadamard (factorisation de fonction).‰ [ROU] thm : fonction convexe et différentielle seconde, appli : recherche d’extremum de fonctions convexes.

1

3. Méthode numérique : la recherche de points fixes.‰ [ROM et ROU] présentation de la méthode de Newton, . thm : Méthode de Newton et superattraction,exemple : calcul approché de la racine p-ième, exemple : relation de récurrence avec f(x) = x2 � y.

Références :Rombaldi, Eléments d’analyse réelle.Gourdon, Analyse.Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.Ouvrard, Probailités 2.Appel, Probabilités pour les non-probabilistes.

2

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et

applications.

1 Existence d’extremum dans des cas particuliers.1. Compacité.

‰ [GOU] prop : une fonction continue sur un compact atteint ses bornes et est bornée, ex : distance entre 2parties, appli : thm de point fixe, appli : équivalence des normes en dimension finie, appli : théorème de Rolle,appli : thm des valeurs intermédiaires.

2. Fonctions convexes.‰ [ANUM] def : fonction convexe dans un ev, prop : caractérisation de la convexité, appli : inégalité de Holder,thm : extrema de fonctions convexes, exemple [ROU].

3. Espaces hilbertiens.‰ [OA] thm : projection sur un convexe fermé et sa caractérisation, prop : projection sur un sev, appli : thmde Lax-Milgram.

4. Fonctions holomorphes.‰ [OA] thm : principe du maximum local, thm : principe du maximum global, appli : si une fonction holoatteint un minimum local alors ce minimum est zéro, ex : annulation et principe du maximum.

2 Optimisation sans contrainte.Enoncé du problème d’optimisation sans contrainte [ANUM].

1. Existence, unicité et caractérisation d’un extremum.‰ [FIL] : prop : condition nécessaire d’optimalité, c-ex : si le gradient s’annule en x alors x n’est pas néces-sairement un extremum, prop : existence d’un minimum en dimension finie, prop : existence d’un minimumen dimension infinie, prop : condition suffisante d’unicité, c-ex : l’hypothèse de convexité est suffisante, c-ex :elle n’est pas nécessaire, ex : cas d’une fonctionelle quadratique.‰ [ ? ? ?] . appli : thm de Banach-Alaoglu et minimisation d’une fonctionnelle convexe.‰ [ROU] : prop : conditions du deuxième ordre sur un ouvert (minimum local), c-ex : si on ne travaille pas surun ouvert, rq : pour passer de local à global on fait l’étude directe de f ou on utilise un résultat de compacité,ex : f(x, y) = x2 � y2 + y4/4 a 3 points critiques : un point col et deux minimums global.

2. Recherche par des méthodes numériques sans contraintes.‰ [ROU] : thm : méthode de Newton, exemple.‰ [FIL] : def : direction de descente, méthode de descente, prop : caractérisation d’une direction de descente,méthode du gradient à pas fixe, thm : convergence du gradient à pas fixe.

3 Optimisation avec contraintes.Enoncé du problème d’optimisation avec contraintes d’égalités [ANUM].

1. Existence, unicité et caractérisation d’un extremum.‰ [FIL] : thm : existence d’un minimum en dimension finie, thm : existence d’un minimum en dimensioninfinie, thm : unicité de la solution, prop : condition simple d’optimalité.

1

‰ [ROU] : . thm des extrema liés et application, exemples, applications.‰ [FIL] ex : fonctionelle quadratique.

2. Recherche par une méthode numérique avec contraintes.‰ [FIL] méthode du gradient à pas fixe avec projection, thm : cv du gradient à pas fixe avec projection.

Références :Gourdon, Analyse.Filbert, Analyse numérique.Objectif agregation.Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.

2

220 : Equations différentielles X 0 = f (t,X). Exemples d’études dessolutions en dimension 1 et 2.

Remarque . Rajouter des exemples "plus classiques" : équation homogène - méthode de variation de la constante.

1 Existence et unicité locale de solution.

‰ [GOU] def : solution d’une équation différentielle, rq : on peut se ramener a x0 = f(t, x).‰ [ZUI] def : problème de Cauchy - solution globale - prolongement de solution - solution maximale.‰ [GOU] ex (non linéaire) : solutions maximales de xy0 � y =

px

2 + y2.‰ [GOU] lemme de Gronwall, ex : les solutions de y00 + q(t)y = 0 sont bornées.‰ [ZUI] thm : Cauchy-Lipschitz, thm : existence d’une solution maximale, thm : unicité globale de la solution maxi-male, rq [DEM] : intrerprétation géométrique (deux courbes intégrales ne se coupent pas), exemple : (à rajouter)les solutions de x0 = x(1� x) sont bornées par 0 et 1, ex (non linéaire) : équation de Ricatti y0 + y + y2 + 1 = 0.‰ [GOU] appli : résolution des équations de Bernoulli.‰ [ZUI] thm d’Arzela-Péano, exemple : x0(t) = 3x2/3 avec x(0) = x0 (on perd l’unicité).‰ [ ? ? ?] c-ex : le champs de vecteurs doit être au moins L1

loc

en temps : x0(t) = 1/t et x(t) = ln(t) n’est pas continueen t = 0 - les solutions ne sont pas forcément globales : x0(t) = �t/x avec x(0) > 0 a pour solutions x(t) =

p�

2 � t2pour tout t 2 (��,�).‰ [GOU] appli (csq de l’unicité dans CL) : s’il existe t0 tel que x(t0) < y(t0) alors x(t) < y(t) 8t - solution pério-dique - zéros isolés.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz nous assure l’existence et l’unicité d’une solution locale et même maximale. A

quelles conditions a-t-on existence et/ou unicité d’une solution sur tout l’ensemble, c’est-à-dire une solution glo-

bale ? Nous allons tout d’abord étudier ce qui se passe aux bords de l’intervalle d’existence : peut-on prolonger notre

solution maximale ?

2 De solutions locales à solutions globales.

1. Prolongement des solutions.‰ [ZUI] thm : critère d’explosion en temps fini (cas ]a, b[⇥Rn), coro : critère de prolongement, cas des fonctions

bornées - x0(t) =x

2(t)

1 + x2(t)avec x(0) = x0 a une unique solution globale, ex : cas où |f(t, x)| C1|x| + C2

8(t, x) 2 K ⇥ Rn, appli : les solutions maximales des systèmes linéaires à coefficients continus sont globales,thm (cas ]a, b[⇥⌦) : critère de sortie de tout compact, ex : x0(t) = (x(t))2 avec x(0) = x0 > 0 a une solutionmaximale qui n’est pas globale.‰ [ROU] . thm : Cauchy-Lipschitz global, ex : équation d’un pendule (mouvement perpétuel de l’horloge).‰ [FGN] appli : système proie-prédateur de Lotka-Volterra - thm : ce système admet une unique solutionmaximale qui est en fait globale-les solutions sont périodiques-annexe : dessin des solutions.

2. Cas des équations différentielles linéaires.‰ [GOU] thm : les solutions de l’équation linéaire homogène est un sev de dimension n - isomorphisme avecRn, exemple : (1� t2)y0 + ty = 0.‰ [POM] appli : groupe à un paramètre.‰ [GOU] def : wronskien d’une équation différentielle linéaire homogène, ex : wronskien de 2 solutions d’uneequa diff d’ordre 2, prop : formule intégrale du wronskien d’une équa diff en fonction de la trace, prop : dessolutions forment une base des solutions ssi le wronskien est inversible, ex : y00+q(t)y = 0 admet des solutionsnon bornées si

R +10 |q| < 1.

‰ [FGN et ZQ] lemme de relèvement, . thm d’entrelacement de Sturm (nombre de zéros des solutions d’une

1

équation diférentielle), appli : utilisation des séries entières - équation de Bessel.‰ [GOU] prop : l’ensemble des solutions de l’edl est un espace affine de dimension n dirigé par l’espace dessolutions du système homogène associé, exemples.‰ [POM] appli : si f + f 0 tend vers 0 alors f tend vers 0.

3 Etude qualitative des systèmes différentiels autonomes.

‰ [ZUI] def : système différentiel autonome, def : point d’équilibre stable - instable - asymptotiquement stable.‰ [DEM] Annexe : représentation géométrique des notions de stabilité, thm : stabilités de l’origine dans le cas d’unsystème linéaire, ex : cas de la dimension 2, annexe : tracé de solutions dans le cas de la dimension 2.‰ [DEM] c-ex : dans le cas non-linéaire on ne peut pas donner la nature d’un point critique si la partie réelle d’unevaleur propre est nulle.‰ [ROU] appli : équation du pendule simple + portrait de phase, def : linéarisé, thm de Liapounov (cas d’unsystème non linéaire).‰ [ROU] ex : le pendule a un point d’équilibre asymptotiquement stable à l’origine.‰ [FGN] appli : l’équation de Van der Pol pour ✏ < 1.

Références :Gourdon, Analyse.Zuily Queffélec, Analyse pour l’agrégation.Francinou Gianella Nicolas, Oraux X-ENS analyse 4.Demailly, Analyse Numérique et équations différentielles.Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.Pommellet, Cours d’analyse.

2

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations

différentielles linéaires. Exemples et applications.

Remarque . Rajouter des exemples "plus classiques" : équation homogène - méthode de variation de la constante.

1 Solutions d’équations différentielles linéaires : existence, unicité et

structure.

1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.‰ [GOU] def : équations différentiels linéaires, rq : on peut ramener une edl d’ordre p à une edl d’ordre 1,exemple, . thm : Cauchy-Lipschitz linéaire, appli (csq de l’unicité dans CL) : s’il existe t0 tel que x(t0) < y(t0)alors x(t) < y(t) 8t - solution périodique - zéros isolés.‰ [ROU] c-ex : dans le cas non linéaire on a une solution maximale mais pas globale (x0(t) = x(t)2).

2. Equations homogènes.‰ [GOU] thm : les solutions de l’équation linéaire homogène est un sev de dimension n - isomorphisme avecRn, rq : dimension de l’espace des solutions d’une edl homogène d’ordre p, def : wronskien, rq : wronskiend’une edlh d’ordre 2, prop : formule du wronskien en fonction de la trace, prop : équivalence base des solutionset wronskien inversible en un point, ex : y00 + q(t)y = 0 admet des solutions non bornées si

R +10 |q| < 1.

‰ [ZQ] lemme de relèvement, . appli : nombre de zéros des solutions d’une équation différentielle.‰ [GOU] cas des edlh à coefficients constants (X 0(t) = AX(t)) : prop : solution avec l’exponentielle de matrice,exemple (système différentiels), méthode : cas des edpl homogènes d’ordre p, exemple, cas des edlh scalaire(x0(t) = a(t)x(t)), exemple : (1� t2)y0 + ty = 0.‰ [POM] appli : groupe à un paramètre.

3. Equations inhomogènes.‰ [GOU] prop : si x1 et x2 sont deux solutions d’une edl alors x1 � x2 est solution de l’edlh associée, prop :l’ensemble des solutions de l’edl est un espace affine de dimension n dirigé par l’espace des solutions du systèmehomogène associé.‰ [POM] prop (principe de superposition).‰ [DEM] méthode (cas X 0(t) = AX(t) +B(t)) : variation de la constante.‰ [GOU] exemples, appli [POM] : si f + f 0 tend vers 0 alors f tend vers 0, méthode (cas X 0(t) = A(t)X(t) +B(t)) : variation de la constante à partir de n solutions indépendantes, exemples.‰ [POM] méthode de Liouville (pour une edl d’ordre 2 - la connaissance d’une solution de l’edlh permet detrouver toutes les solutions de l’edl), exemple, rq : on peut chercher une solution particulière sous la formed’une fonction dse.‰ [FGN et ZQ] appli : utilisation des séries entières - équation de Bessel.

2 Etude qualitative des systèmes différentiels linéaires.

‰ [ZUI] def : point d’équilibre stable - instable - asymptotiquement stable.‰ [DEM] Annexe : représentation géométrique des notions de stabilité, thm : stabilités d’un système linéaire àcoefficients constants, ex : cas de la dimension 2, annexe : tracé de solutions dans le cas de la dimension 2.‰ [ROU] def : problème linéarisé, thm : Liapounov (lien système non linéaire et linéarisé), ex : le pendule a unpoint d’équilibre asymptotiquement stable à l’origine.‰ [FGN] appli : l’équation de Van der Pol pour ✏ < 1.

Références :

1

Gourdon, Analyse.Zuily Queffélec, Analyse pour l’agrégation.Francinou Gianella Nicolas, Oraux X-ENS analyse 4.Demailly, Analyse Numérique et équations différentielles.Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.Pommellet, Cours d’analyse.

2

222 : Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.

1 Introduction aux équations aux dérivées partielles linéaires.

‰ [DG] : cadre : u : Rd ! R suffisament régulière pour que les expressions qui suivent aient un sens, def : edpld’ordre 2 - équation homogène, ex : equation de la chaleur (edpl homogène d’ordre 2), def : ordre d’une edp -solution d’une edp, def : problème aux frontières.‰ [DiM] exemple : équation de Laplace avec u = f sur @⌦.

‰ [DG] problème de Cauchy, exemple de l’équation des ondes où u(x, 0) et@u

@t(x, 0) sont connues, def : problème

bien posé au sens de Hadamard.‰ [DG] : def : equation hyperbolique - parabolique - elliptique, exemples : l’équation de la chaleur est parabolique- l”équation de Laplace est elliptique - l’équation des ondes est hyperbolique, prop : le caractère hyperbolique-parabolique-elliptique d’une edp du second ordre ne dépend pas du système de coordonées choisi.

2 Modélisation de phénomènes physique : exemple de deux EDPL hy-

perbolique.

1. Equation des ondes.‰ [DiM] : description du modèle, def : équation des ondes unidimensionnelles, thm : formule de D’Alembert,idée de preuve : par changement de variables, rq : les deux classes de solutions (propagation à la vitesse c età la vitesse �c - domaine de dépendance - domaine d’influcence).

2. Equation de transport.‰ [DG] : Modélisation (contaminant de concentration u(x, t) dans un fluide en mouvement de vitesse c sup-posée constante et f(x, t) la source du polluant - conservation de la matière - fluide incompressible - toutesnos fonctions sont régulières - cas unidimensionnel - problème de Cauchy étudié).‰ [DiM] Résolution dans le cas c constant - f = 0, def : caractéristique, prop : si u est solution alors u estconstante le long de la caractéristique, thm : pour toute donnée initiale C1 le problème possède une uniquesolution C1 définie par u(x, t) = u0(x � ct), rq : le graphe de u à l’instant t est celui de u0 translaté de ct,

résolution dans le cas c(x, t) =x2

t2 + 1- f = 0, résolution dans le cas où f est une fonction continue : thm :

formule de Duhamel, rq : dans le cas où f n’est pas constante.

3. Nécessité d’une formulation faible.‰ [DiM] rq : l’équation de transport unidimensionnel à coefficients constants traduit un phénomène de pro-pagation à vitesse constante physiquement raisonnable même pour des données initiales qui peuvent êtrediscontinue, def : solution faible, prop : solution faible d’une équation de transport.

3 Solutions faibles et solutions fortes, une approche variationelle.

‰ [AL] : def : H1(R), prop : muni de son ps c’est un espace de Hilbert, prop : toute fonction de H1(0, 1) est continusur H1(0, 1), def : H10 , prop : H10 est un espace de Hilbert pour le produit scalaire de H1, thm : inégalité de Poincaré,coro : la norme sur H10 est équivalente à la norme || · ||1 sur H10 , . thm de Lax Milgram et résolution du problèmede Sturm-Liouville .

1

4 Méthodes de résolution d’EDPL.

1. Une EDPL parabolique : l’équation de la chaleur en une dimension.‰ [FGN] : . thm : solution périodique de l’équation de la chaleur (par les séries de Fourier).‰ [DiM] thm : solution de l’équation de la chaleur en supposant l’intégrabilité de toutes les fonctions et leurdérivée (par la transformée de Fourier), thm : solutions sur un domaine borné (par séparation des variables),prop : propriété de l’équation de la chaleur (effet régularisant de l’équation de la chaleur - irréversibilité del’évolution de la solution - propagation à vitesse finie).

2. Méthode numérique pour une équation elliptique : l’équation de Laplace.‰ [ANUM] prop : équation de Laplace en 1D avec f 2 L2 et formulation variationelle, description de laméthode de Galerkin, thm : existence pour le cas discret, lemme de Cea, introduire Vh, prop : Vh est un sev deH0(]a, b[) de dimension n, rq : la méthode numérique converge (ADMIS mais la preuve utilise le lemme de Cea).

Références :Di Menza, Analyse numérique des équations aux dérivées partielles.David - Gosselet, Equations aux dérivées partielles.Allaire, Analyse numérique et optimisation.Filbet, Analyse numérique.

2

223 : Suites numériques, Convergence, Valeurs d’adhérence. Exemples

et applications.

Intro : Importance des suites en analyse (les espaces métriques avec les caractérisations séquentielles pour la conti-

nuité) et en analyse numériques (les ordinateurs ne traitent pas de fonctions continues d’où la necessité des suites

en approximation). Notion sous-jacente à ces problématiques : la convergence des suites.

1 Convergence de suites.

1. Limite de suites.‰ [AMR] déf : convergence, prop : unicité de la limite.‰ [GOU] exemple : suite arithmétique - géométrique.‰ [AMR] appli : carac. seq. de la continuité, ex : sin(1/x) pas prolongeable en 0, rq : opérations sur leslimites, c-ex pour les formes indeterminées, def : suites bornées, prop : suite convergente implique bornée,c-ex : réciproque fausse, prop : thm de cv monotone, exemple, def : suite de Cauchy, prop : suite cv impliquesuite de Cauchy, thm : dans R ou C toute suite de Cauchy cv, ex : la série harmonique dv car pas de Cauchy.

Généraliser la notion de convergence avec les sous-suites et les valeurs d’adhŕences.

2. Valeurs d’adhérences‰[AMR] def : suites extraites, ex : suite des termes pairs-imaires, prop : suite cv implique toute sous-suitecv, def : valeurs d’adhérence, ex : (�1)n, prop : suite convergente implique unique valeur d’adhérence, c-ex :réciproque fausse avec n(1 + (�1)n), rq : suite qui a plusieurs v.a. dv, exemple, thm : Bolzano-Weierstrass,appli : thm de Heine, def : liminf et limsup, prop : liminf limsup, exemple, prop : lien entre liminf-limsupet adhérence.‰ [FAR] appli : lemme de Fatou.

3. Convergence au sens de Cesaro.‰ [AMR] prop : moyenne de Cesàro, appli : soit (un) tq (u2n)n cv vers a et (u2n+1)n cv vers b alors la moyennede (un)n cv vers (a+ b)/2.

2 Comparaisons de suites.

1. Comparaison terme à terme.‰ [AMR] Thm des gendarmes, ex cos(n)/n, prop : lien avec les sommes des séries à termes positifs, appli :critère de d’Alembert, def : suites adjacentes, ex : 1� 1/n et 1 + 1/n2, thm : cv des suites adjacentes.‰ [GOU] appli : CSA.

2. Comportement asymptotique.‰ [AMR] def : negligeable, ex : (un)n tend vers 0 alors un = o(1), def : equivalence.‰ [GOU] thm de sommation des equivalents, appli : developpement asymptotique de 1 + ...+ 1/n.‰ [AMR] prop : lien série téléscopique et suite.‰ [GOU] appli : Formule de Stirlling.

3. Comparaison des vitesses de convergence.

‰ [ROM] def : cv lente - géométrique - rapide, ex : la cv de (1 +1

n

)

n vers e, prop : vitesse de cv et déve-loppement asymptotique, c-ex : réciproque fausse, def : ordre de cv d’une suite, rq : cas r = 1 (cv lente ougéométrique) - cas r > 1 (cv rapide), c-ex : une cv rapide n’est pas obligatoirement d’ordre r � 1, def : cvplus rapide, ex : somme de Riemann.

1

3 Suites récurrentes.

1. Itération d’une fonction.‰ [GOU] def : suite récurrente.‰ [ROM] lemme : si f est continue et que (xn) cv alors la suite cv vers un point fixe de f , c-ex : la seulehypothèse de continuité n’assure pas la cv de la suite, ex : fonction caractéristique de Q.‰ [GOU] ex : récurrence homographique.‰ [ ? ? ?] . appli : Processus de Galton-Watson.‰ [ROM] : thm : toute fonction croissante de I = [a, b] admet au moins un point fixe dans I, c-ex : fauxpour une fonction décroissante, c-ex : faux pour un intervalle fermé non borné, thm : comportement de lasuite si f est croissante et décroissante, c-ex : faux si fof admet plusieurs points fixes, ex : suites arithmético-géométriques.‰ [AMR] ex : un+1 = sin(un).

2. Récurrences linéaires à coefficients constants.‰ [GOU] def : suite qui vérifie une récurrence linéaire d’ordre h à coefficients constants, ex : suites géomé-trique, prop : équation caractéristique et forme de un, ex : une récurrence linéaire d’ordre 2.

3. Résolution d’équation numérique.‰ [ROU] . thm : méthode de Newton, exemple.‰ [ROM] appli : calcul approché de la racine p-ième.

Références :El Amrani, Suites et séries numériques. Suites et séries de fonctions.Gourdon, Analyse.Rombaldi, Eléments d’analyse réelle.Rouvière, Petit guide de calcul diff.Farault, Calcul intégral.

2

224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de

fonctions.

Cadre : f est une fonction à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle réel I non réduit à un point.

1 Développements asymptotiques de fonctions.

1. Développement limité.

‰ [ROM] def : développement limité, thm : unicité du dl, ex : fonctions polynomiales - dl de1

1� x , thm :caractérisation de la continuité et de la dérivabilité avec les dl, c-ex : dl a l’ordre 2 n’implique pas existencede la dérivée seconde, thm : Taylor-Young, rq : cela permet d’obtenir des dl, ex : dl de ex, rq : cela permetd’obtenir des dérivées succesives, ex : dérivée k-ième de cos(

p(x)), rq : en utilisant les changements de var

x = t+ a ou x = 1/t, appli : règle de l’Hopital.‰ [ZQ] appli : thm central limite.

2. Opérations sur les développement limités.‰ [ROM] : thm : opération sur les dl (somme-produit), ex : dl de ch(x), prop : composée de dl, appli : dl de 1/f -(f(x))

↵ - ln(f(x)), ex : 1/ cos(x) et ln(cos(x)), appli : dl de fonctions réciproque, ex : f(x) = x+ln(1+x) 8x > 1,

appli : formes indeterminées, exemple : la limite en 0 detan(x)� xsin(x)� x , thm : intégration de dl, ex : ln(1 + x) et

arctan(x), thm : dérivation de dl, prop : comportement deR +1a

en fonction deg

0(x)

g(x)

⇠ µx

, ex : dl de1

(1� x)p .

3. Développements asymptotiques.‰ [GOU] def : echelle de comparaison, ex d’echelle, def : dev asymptotique, prop : unicité du da, rq : un dlest un da pour l’échelle de comparaison constituée des fonctions (xn)

n

.‰ [ROM] ex : x1/x, appli : étude locale de la position d’une courbe par rapport aux asymptotes.‰ [GOU] : thm : intégration des relations de comparaison, ex : 1/x = o(1/x1�↵) donc ln(x) = o(x↵), appli :da du logarithme intégral.‰ [ZQ] : . appli : lemme de relèvement - nombre de zéros des solutions d’une équation différentielle linéaire.‰ [ROU] : thm (méthode de Laplace), appli : formule de Stirling.

2 Comportement asymptotique des suites numériques.

1. Suites et séries numériques.‰ [GOU] prop : comparaison série-intégrale, appli : critère des séries de Riemann.‰ [ROM] thm : équivalents des sommes partielles et des restes, c-ex : faux si les séries ne sont pas à termes

positifs : un

=

(�1)npn+ (�1)n

, appli : da de la série harmonique, thm de d’Alembert, thm de Raabde-Duhamel.

2. Développement asymptotique de suites implicites.‰ [ROM] : ex : da de la suite x

n

= tan(x

n

), ex : limite et équivalent de la suite xnn

� nxn

+ 1 = 0, ex : da de

l’extremum xn

de f(x) =cos(x)

x

.

3. Vitesse de convergence et méthode numérique.‰ [ROM] def : vitesse de convergence, ex : cv lente et géométrique d’une suite vers e, prop : vitesse de cvet da, c-ex : cas de la suite (n�n)

n

, ex : somme de Riemann, def : ordre d’une convergence, prop : si la cv

est d’ordre r > 1 alors la cv est rapide, c-ex : la réciproque est fausse : xn

=

Pn

k=0

1

k!

, . thm : méthode deNewton, appli : estimer a = py.

1

Références :Rombaldi, Eléments d’analyse réelle.Gourdon, Analyse.Rouvière, Petit guide du calcul différentielle.Zuily - Queffelec, Analyse pour l’agrégation.

2

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de

récurrence un+1 = f (un). Exemples. Applications à la résolutionapprochée d’équations.

‰ [GOU] def : suite récurrente d’ordre h, ex : suite arithmétique.

1 Itérations d’une fonction continue ou monotone.

Cadre : I désigne un intervalle fermé de R et f une fonction définie sur I et à valeurs dans I. On considère dessuites récurrentes d’ordre 1.

1. Itération d’une fonction continue.‰ [ROM] lemme : si f est continue et que (xn) cv alors la suite cv vers un point fixe de f , c-ex : la seulehypothèse de continuité n’assure pas la cv de la suite, ex : fonction caractéristique de Q.‰ [GOU] ex : récurrence homographique.‰ [AMR ou ROM] ex : équivalent d’une suite en +1.‰ [ ? ? ?] . appli : Processus de Galton-Watson.

2. Itération d’une fonction monotone.‰ [ROM] : thm : toute fonction croissante de I = [a, b] admet au moins un point fixe dans I, c-ex : fauxpour une fonction décroissante, c-ex : faux pour un intervalle fermé non borné, thm : comportement de lasuite si f est croissante et décroissante, c-ex : faux si fof admet plusieurs points fixes, ex : suites arithmético-géométriques.‰ [HI] ex : an =

p2 + an�1 avec a0 = 7.

3. Résolution numérique de systèmes non linéaires par méthode de dichotomie.‰ [ANUM] thm des valeurs intermédiaires, méthode de dichotomie, convergence de la méthode par dichoto-mie, rq : c’est une méthode lente qui permet d’approcher de la racine puis utiliser une méthode plus rapidepour obtenir une approximation précise.

2 Récurrences linéaires.

1. Récurrences linéaires à coefficients constants.‰ [GOU] def : suite qui vérifie une récurrence linéaire d’ordre h à coefficients constants, ex : suites géomé-trique, prop : équation caractéristique et forme de un, coro : cas des récurrences linéaires d’ordre 2.‰ [HI] ex : an = an�1 � an�2/2, rq : écriture matricielle du problème.

2. Résolution de systèmes linéaires par des méthodes itératives.‰ [ANUM] principe d’une méthode itérative, méthode de Jacobi et de Gauss-Seidel, ex de résolution.

3 Théorèmes de point fixe.

1. Théorèmes de points fixes.‰ [ROU] thm de point fixe de Banach, contres-exemples.‰ [ROM] thm : cas particulier des espaces métriques compacts.‰ [DEM] prop : estimation de la vitesse de convergence, rq : généralisation du thm, appli : résolution d’uneéquation f(x) = 0 en se ramenant à l’étude d’un point fixe, appli : thm de Cauchy Lipschitz global.

1

2. Classification des points fixes et vitesse de convergence.

‰ [ROM] def : convergence lente - géométrique - rapide, ex : xn = (1 +1

n

)n converge géométriquement verse, def : ordre d’une convergence, prop : lien avec lent - rapide - géométrique, c-ex : cv rapide n’implique pasun ordre r � 1 avec xn =

Pnk=0

1

k!.

‰ [DEM et ROM] def : point fixe attractif - superattractif - répulsif, prop : comportement de la suite et vitessede convergence en fonction du type de point fixe, ex : on ne peut rien dire si �0(a) = 1, lemme : caractèrelipschitzien dans le cas vectoriel, thm : généralisation pour les fonctions de Rm dans Rm avec la différentielleet le rayon spectral, rq : le phénomène de convergence quadratique reste vrai dans ce contexte.

3. La méthode de Newton pour la résolution de système d’équations (non linéaires).‰ [ROU] but : transformer l’équation f(x) = 0 en un problème de point fixe, . thm : méthode de Newton.‰ [DEM] méthode de Newton-Raphson, thm : si df(a) est inversible alors a est un point fixe superattractifde �, exemple de résolution.

Références :Rombaldi, Eléments d’analyse réelle.Demailly, Analyse numérique et équations différentielles.Gourdon, Analyse.Filbet, Analyse numérique.Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.Hirsch.

2

228 : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable

réelle. Exemples et applications.

Cadre : f : I ! R avec I un intervalle réel.

1 Fonctions continues.

1. Continuité.‰ [ROM] def : fonctions continues, thm : une fonction continue est bornée au voisinage de ce point, exemples,thm : caractérisation séquentielle, exemples : la fonction x 7! cos(1/x) sur R et indicatrice de Q sont disconti-nues, appli : thm de point fixe et suite définie par récurrence, appli : prolongement des identités, ex : équationfonctionnelle de Cauchy, thm : prolongement par continuité, exemples, rq : opérations sur les fonctions conti-nues, exemple : cas des fonctions monotones (l’ensemble des points de discontinuité est au plus dénombrable),def : uniforme continuité, exemples : fonctions non uniformément continue, c-ex : la continuité n’implique pasl’uniforme continuité, exemples : la racine carrée sur R+ - les fonctions lipschitziennes, c-ex : unif. continuitésur tout intervalle de I mais pas sur I.

2. Compacité, connexité et fonctions continues.‰ [ROM] thm : continuité et compacité (f continue sur un compact atteint ses bornes), appli : sur un compactla continuité implique l’uniforme continuité.‰ [GOU] . thm de Weierstrass par les polynômes de Bernstein, coro : toute fonction continue sur un segmentpeut être approchée uniformément par des polynômes, c-ex : sur R une limite uniforme de polynômes est unpolynôme, ex : si

R 10 f(t)t

ndt = 0 alors f = 0, appli : lemme de Riemann Lebesgue.

‰ [ROM] thm : continuité et connexité, c-ex : la continuité en tout point est nécessaire, coro : TVI, c-ex :la réciproque est fausse, appli : formule de la moyenne, thm : continuité et fonction réciproque, c-ex : sansstricte monotonie, appli : définitions de quelques fonctions réciproques.

2 Fonctions dérivables.

1. Dérivabilité.‰ [ROM] def : fonction dérivable, rq : lien avec les DL, thm : dérivable implique continue, c-ex : réciproquefausse, exemple : la fonction de Van der Waerden est continue sur R mais nulle part dérivable, thm : l’ensembledes fonctions nulle part dérivable sur [0, 1] est dense dans C0([0, 1],R) (csq du thm de Baire), c-ex : la dérivéed’une fonction dérivable n’est pas necessairement continue avec x2 sin(1/x), def : fonctions de classe Ck, c-ex :être Ck n’implique pas d’avoir un DL à l’ordre k, rq : opérations sur les fonctions dérivables, thm : Leibniz,thm : dérivée et fonction réciproque, exemples, exemple (cas des fonctions convexes) : dérivabilité - continuitédes fonctions convexes - caractérisations avec les dérivées, appli : extrema et fonctions convexes.

2. Théorème des accroissements finis.‰ [ROM] thm : Rolle, c-exemples, appli : thm de Darboux, appli : racines de polynômes, thm des accroisse-ments finis, thm : inégalité des accroissements finis, appli : sens de variations d’une fonction, appli : intégrationet dérivation, c-ex : faux pour f Lebesgue intégrable, appli : IPP, appli : points attractifs et répulsifs.

3. Formules de Taylor.‰ [ROM] thm : Taylor-Lagrange, rq : pour n = 0 on retrouve les accroissements finis, ex : inégalités classiques,coro : inégalité de Taylor-Lagrange, thm : Taylor avec reste intégral, rq : c’est un résultat plus fin que TaylorLagrange, thm : Taylor-Young, ex : DL des fonctions usuelles, appli : problèmes d’extrêma, appli : analycitéet développement en séries entières, . appli : méthode de Newton.

1

3 Régularité d’une suite de fonctions.

‰ [ROM] thm : suite de fonctions dérivables (continuité de la limite et dérivabilité des suites de fonctions).‰ [HAU] c-exemples.‰ [GOU] exemples, appli : thm de Dini.

4 Equicontinuité d’un espace de fonctions.

‰ [HL] def : equicontinuité - uniforme équicontinuité, prop : une partie est équicontinue ssi elle est uniformémentéquicontinue, exemple : l’ensemble des fonctions lipschitzienne, thm : Ascoli, rq : cas ou F = R ou Rn, exemple :opérateur à noyau.‰ [ZQ] appli : thm d’Arzela-Peano, c-ex : unicité.

Références :Rombaldi, Eléments d’analyse réelle.Gourdon, Analyse.Hirsch - Lacombe, Eléments d’analyse fonctionnelle.Zuily - Quefelec, Analyse pour l’agrégation.Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques.

2

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et

applications.

1 Fonctions monotones.1. Définitions et premières propriétés.

‰ [RDO3] def : application croissante - décroissante - monotone, ex : 1/x est décroissante sur R+ et pas sur R- une fonction de répartition d’une va est croissante - une limite simple de fonctions monotones est monotone,prop : f injective ssi elle est strictement monotone - somme - produit - composée de fonctions monotones, rq :l’ensemble des fonctions monotones n’est pas un ev.‰ [ROM] appli : comportement d’une suite récurrente en fonction de f(x0) si f croissante - existence d’unpoint fixe avec f continue, c-ex : l’hypothèse de continuité est importante.

2. Régularité des fonctions monotones.‰ [RDO3] : thm de la limite monotone, corollaire (limite finie à gauche et à droite), thm : ens des points dediscontinuité d’une fonction monotone.‰ [HAU] ex : fonction strictement croissante dont l’ensemble des points de discontinuité est dense.‰ [RDO3] thm : continuité d’une fonction monotone, coro : thm des fonctions réciproques, thm : homéomor-phismes d’un intervalle sur un autre, ex : sinus et arcsin, thm : lien entre monotonie et dérivée à droite, thm :caractérisation des applications strictement monotones, c-ex : t 7! t3 strictement croissante et X 6= ;.‰ [POM] : thm : une fonction monotone est dérivable presque partout - ADMIS.‰ [BP] ex : escalier de Cantor (fonction monotone continue dérivable pp de dérivée nulle pp qui n’est pasconstante).‰ [BL] appli : la fonction de répartition d’une va est croissante, ses points de discontinuité sont les atomesde la loi et sa dérivée est la densité de la va.

3. Application aux suites et séries de fonctions.‰ [GOU] thm : comparaison série-intégrale, appli : cv des séries de Riemann, thm de Dini, rq : la cvs n’impliquepas la cvu a priori : xn sur [0, 1].

2 Fonctions convexes.1. Définitions et régularité des fonctions convexes.

‰ [ROM] def : fonction convexe - concave - stricte convexité, ex : ln(x) est concave - une limite simple defonctions convexes est convexe - la norme est convexe mais pas strictement convexe - les fonctions affines sontles fonctions concaves et convexes, def : épigraphe, thm : f est convexe ssi son épigraphe est convexe, thm :la courbe de f est au-dessous du segment, prop : une combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctionsconvexes est convexe, c-ex : le produit de 2 fonctions convexes n’est pas nec convexe x 7! x3, c-ex : la composéede 2 fonctions convexes n’est pas nec convexe (il faut un résultat de monotonie en plus), thm : existence dedérivée à droite et à gauche (qui sont croissantes) dans l’intérieur de I, coro : une fonction convexe est continuedans l’intérieur de I, c-ex : une fonction convexe n’est pas forcément continue sur I, thm : f convexe ssi elleest continue dérivable à droite et de dérivée droite croissante.

2. Caractérisation des fonctions convexes.En dimension 1 :

‰ [ROM] : thm : f est convexe ssi f(x+ y

2) =

f(x) + f(y)

2.

‰ [HAU] : c-ex : une fonction pas continue qui vérifie l’inégalité mais qui n’est pas convexe.‰ [ROM] : thm : le thm des 3 pentes - croissance de la dérivée, dessin en annexe, thm : une fonction de Rdans R est constante ssi elle est convexe et majorée, c-ex : f(x) = 1

1 + xest convexe et majorée par 1 sur

1

R+ mais n’est pas constante, appli : y00 � qy = 0 a une seule solution réelle bornée qui est la fonction nulle,thm : caractérisation de la convexité par rapport à f 0 - f 00 - courbe et tangente, ex : ln est concave - �(x) estconvexe sur R+⇤.‰ [ ? ? ?] . appli : processus de Galton-Watson.

En dimension supérieure :

‰ [FIL et OA] : thm : caractérisation de la convexité, appli : fonctions quadratiques.

3. Inégalités de convexité.‰ [ROM] thm : inégalité arithmético géométrique, thm : inégalité de Holder, appli : || · ||p est une norme,thm : inégalité de Jensen.‰ [BL] : coro : inégalité de Jensen en proba f(E(X)) E(f(X)), appli : positivité de la variance.

3 Optimisation.1. Existence et unicité d’un extremum.

‰ [FIL] problème d’optimisation, thm : extrema de fonctions convexes, prop : condition nécessaire d’optima-lité, prop : condition suffisante d’unicité.‰ [ ? ? ?] . thm : Banach-Alaoglu et existence d’un minimum d’une fonctionnelle convexe définie sur unHilbert.

2. Algorithme d’optimisation.‰ [ROU] : . thm : méthode de Newton.‰ [FIL] : def : direction de descente, méthode de descente, prop : caractérisation d’une direction de descente,méthode du gradient à pas fixe, thm : convergence du gradient à pas fixe.

Références :

Rombaldi, Eléments d’analyse réelle.Ramis - Deschamps - Odoux, Cours de mathématiques (Tome 3).Hauchecorne, Contres-exemples en mathématiques.Filbet, Analyse numérique.Gourdon, Analyse.Objectif agrégation.Pommelet, Cours d’analyse.Briane - Pages, Théorie de l’intégration.Rouvière, Petit guide du calcul différentielle.Barbe - Ledoux, Probabilité.

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230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes

ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

1 Sommes partielles, restes et convergence des séries numériques.‰ [AMR] : def : série (par les sommes partielles) - série cv - reste, exemple : séries géométriques, rq : structure d’evdes séries numériques - les séries convergentes forment un sev, rq : somme d’une série cv et dv est dv - dv + dv =?,prop :

Pun cv ) un ! 0, c-ex : réciproque fausse avec un = ln(1 + 1/n).

‰ [APP] appli : lemme de Borel Cantelli, exemple.‰ [AMR] def : divergence grossière, exemple, def : série téléscopique, rq : lien série téléscopique et suites, ex :un = ln(1 + 1/n).‰ [XENS] appli : e /2 Q.‰ [AMR] prop : critère de Cauchy, appli : la série harmonique dv, def : absolue cv, prop : cva ) cv, c-ex : réciproquefausse avec u2p = �1/p, u2p+1 = 1/p, def : série semi-cv.

2 Etude de séries numériques.1. Théorème de comparaison pour les séries à termes positifs et séries de références.

‰ [AMR] prop : serie cv , sommes partielles majorées, prop : règles de comparaison, ex :P 1

n

↵dv pour

↵ 1, prop : règle d’équivalence et de domination, prop : comparaison série-intégrale, appli (calcul d’equiva-lent) :

Pnk=3

1

k ln(k)⇠ ln(ln(n)), ex (séries de référence) : séries de Riemann - séries de Bertrand, exemples.

‰ [GOU] appli : développement asymptotique de la série harmonique, appli : formule de Stirling.‰ [HAU] contre-exemple pour des séries qui ne sont pas à termes positifs.

2. Nature des séries à termes générals quelconques.

‰ [AMR] Règle de Cauchy, ex : un = (1 �1

n

)n2

, règle de D’Alembert, ex : un =a

n

n

où a > 0, def : sériealternée, thm : CSA, exemples, c-ex.‰ [GOU] transformation d’Abel, règle d’Abel, ex :

P↵ne

in✓, rq : analogie avec l’intégration par parties.

3 Opération sur les sommes.1. Produit de Cauchy de deux séries.

‰ [AMR] def-prop : produit de Cauchy, thm convergence d’une série produit, ex : le produit de Cauchy de 2series cv peut dv, appli : exp(z + z0) = exp(z) exp(z0).

2. Ordre des termes.‰ [AMR] prop : on ne change pas la nature d’une série en modifiant un ens fini des termes de la suite, def :groupement de termes, remarque : nature des séries avec ou sans groupement, ex :

P(�1)n, thm de sommation

par paquets.‰ [HAU] exemple : modification de l’ordre des termes qui change la somme (p.121).‰ [GOU] def : série commutativement cv, équivalence avec l’absolue cv, exemple.