2011-12_mechanika i. statika

MECHANIKA I. (Statika)Előadás

Dr. Legeza László - Dr. Goda Tibor

Gépszerkezettani és Biztonságtechnikai Intézet

1. változat Mechanika I. (STATIKA) 2

Vektorok, vektorműveletek

Mennyiségek: testek, jelenségek mérhető tulajdonságait mennyiségeknek nevezzük.

• Skalár mennyiség (hőmérséklet, sűrűség, tömeg, stb.)• Vektor mennyiség: van nagysága, iránya és állása (erő, sebesség, gyorsulás, stb.)

Vektor: irányított szakasz, amelynek nagysága, értelme (állása) és iránya van. Jelölése: aláhúzott kisbetű/nagybetű (Pl. a)


Vektorok megadása: válasszunk a térben három páronként egymásra merőleges egységvektort; i, j, k. Alkosson ez a három egységvektor jobbsodrású koordinátarendszert. Ezen egységvektorok segítségével a tér bármely vektora egyértelműen előállítható (egységvektorok lineáris kombinációjával).


Vektor abszolút értéke: a vektor hosszát adja meg.

Egységvektor: egységnyi hosszúságú vektor (pl. koordinátatengelyek egységvektorai)Bármely vektorból készíthetünk egységvektort, ha a vektort elosztjuk önmaga abszolút értékével.


Példa. 1.: Legyen adva egy vektor: a. Határozzuk meg a vektor abszolút értékét illetve egységvektorát.

Megoldás:

Ellenőrzés: Ha a0 valóban egységvektor, akkor abszolút értéke egyenlő 1-el.


Vektorok összeadása I.Vektorok összegzésével vektort kapunk.

Szerkesztéssel:

Kettőnél több vektor összeadása szerkesztéssel:


Vektorok összeadása II.

Vektorok összegzése számítással (összeadás koordinátákkal):


Példa. 2.: Legyen adva két vektor: a és b. Határozzuk meg a két vektor összegét.

Megoldás:


Vektorok különbsége (kivonás)

Vektorok kivonása szintén vektort eredményez.

Szerkesztéssel:

A különbségvektor mindig a kisebbítendő vektor felé mutat!

Számítással:


Példa. 3.: Legyen adva két vektor: a és b. Határozzuk meg a két vektor különbségét.

Megoldás:


Vektorok skalárral (számmal) való szorzása(nyújtás, zsugorítás)

Vektort számmal szorozva vektort kapunk.

A λ a vektor az a vektorral párhuzamos, hossza

Ha λ>0; a (λa) vektor iránya az a vektor irányával megegyezik, λ<0; a (λa) vektor iránya az a vektor irányával ellentétes.

Ha |λ|>1 nyújtásról, ha |λ|<1zsugorításról beszélünk.


Vektorok skaláris szorzata I.

Az a és b vektorok skaláris szorzatának az

számot (skaláris mennyiséget) nevezzük, ahol ϕ a két vektor által bezárt kisebbik szög.

a b>0 esetén a vektorok hegyesszöget, a b<0 esetén tompaszöget és a b=0 esetén derékszöget zárnak be.

Két egymásra merőleges vektor skaláris szorzata zérus!Két vektor skaláris szorzatának eredménye egy skalár (egy szám).

Skaláris szorzás elvégzése koordinátákkal:


Vektorok skaláris szorzata II.Egységvektorok skaláris szorzatai:

Átrendezve a skaláris szorzás definícióját meghatározhatjuk két vektor által bezárt szöget:

Az e egységvektor és a b vektor skaláris szorzatának geometriai jelentése:a b vektor e irányított egyenesén adódó előjeles merőleges vetülete.


Példa. 4.: Legyen adva két vektor: a és b. Határozzuk meg a két vektor skaláris szorzatát és az általuk bezárt szög nagyságát.

Megoldás:


Vektorok vektoriális szorzata I.

Az a és b vektorok vektoriális szorzata a c vektor, ha

ahol φ a két vektor által bezárt kisebbik szög.A vektoriális szorzás eredményeként kapott c vektor merőleges a -ra és b -ra, mégpedig úgy, hogy a, b, c jobbsodrású rendszert alkotnak.

A vektoriális szorzás jele:

ahol |c| egyenlő az a és bvektorok által meghatározott paralelogramma területével.


Vektorok vektoriális szorzata II.

Két vektor vektoriális szorzata pontosan akkor zérus, ha a két vektor egymással párhuzamos.Két vektor vektoriális szorzata vektort eredményez.

Vektoriális szorzás elvégzése koordinátákkal:


Példa. 5.: Legyen adva két vektor: a és b. Határozzuk meg a két vektor vektoriális szorzatát.

Megoldás:


1. Bevezetés a műszaki mechanikához

A XVIII. század végéig fizika = természettudományA fizika természettudomány, amely a természet azon jelenségeivel foglalkozik, amelyek során a testek anyagi, kémiai összetétele nem változik.

Célja: a megismerés és hasznosítás

Feladata: jelenségek leírása, modellezése, törvényszerűségek meghatározása

Illetékessége: a megfigyelhetőség, reprodukálhatóság tartománya


Módszere: indukció (egyes → általános)dedukció (általános → egyes)

Felosztása: kísérleti fizika (mérés → törvény, műszerek)elméleti fizika (matematika)műszaki fizika (gyakorlati alkalmazás a cél)

A mechanika az anyagi testek mozgását és nyugalmi helyzetét vizsgálja.A műszaki mechanika a mérnöki gyakorlat szempontjait veszi figyelembe.

A nyugalom csak adott koordinátarendszerben értelmezhető.


MECHANIKA

Dinamika Kinematika

Statika Kinetika

A mechanika felosztása:

A vizsgált anyagi test tulajdonságai szerint a mechanika lehet:

• Anyagi pont, merev test és mechanizmus mechanikája

• Kontinuummechanika (szilárdságtan, folyadékok és gázok mechanikája)


Nemzetközi mértékegység rendszer (SI) Mennyiség = mérhető tulajdonságAz azonos (összeadható) mennyiség = mennyiségfajta

Mérés: meghatározni, hogy a mérendő mennyiségben hányszor van meg egy másik, önkényesen egységül választott alapmennyiség.

Mértékegység: az alapul választott alapmennyiség(mennyiség) = (számérték) x (mértékegység)

A számérték a műszaki gyakorlatban számításoknál 3-4 egymást követő szám, pl. 92300 vagy 0,0432.Méréseknél illik megadni a számérték hibatartományát.


SI alapmennyiségek: (7 db)- Hosszúság* (méter, [m])- Tömeg* (kilogramm, [kg])- Idő* (másodperc, [s])- Áramerősség (amper, [A])- Hőmérséklet (kelvin, [K])- Anyagmennyiség (mól, [mol])- Fényerősség (kandela, [cd])

(* mechanikában használatos alapmennyiségek)

FIGYELEM: a mértékegység elhagyása hiba!

A származtatott mértékegységek közé a szorzás és/vagy osztásjeleket ki kell írni.A prefixumot a szorzat első tényezője elé kell tenni, műveleti jel nélkül.


A mennyiségek felosztása:

(a) - Extenzív (összegződnek, tehát additívek, pl. tömeg, térfogat, hosszúság stb.)

- Intenzív (nem additív, pl. hőmérséklet, nyomás, stb.)

(b) - Skalár (irány nélküli, pl. tömeg, hőmérséklet)- Vektor (irány, méret, párhuzamosan eltolható hatásvonallal rendelkezik, pl. sebesség, nyomaték)

- Kötött vektor (hatásvonala kötött, pl. erő, helyvektor)


2. A műszaki mechanika alapfogalmai

2.1. Az erő, az erőrendszer

Newton volt az első, aki az erő fogalmát a mozgással hozta kapcsolatba.A testek olyan egymásra hatását, amely a testek mozgási állapotának vagy alakjának megváltozását eredményezi, erőnek nevezzük.Az erő kötött vektor (MIÉRT!)


Az erő, mint kötött vektor megadása- F és r (nem tolható el az F vektor a hatásvonalán,

tehát nem jó így!)- F és r x F (ez megengedi az F vektor eltolását az „e” egyenesen, tehát jó)


Bizonyítása:

Nyomatékvektor az origóra:

Az erő, mint kötött vektor megadásához két vektor (egy vektorkettős) kell:


Az erők felosztása:- Felszíni erők (felületen megoszló erők): felületen megoszló erőrendszer, koncentrált erő- Tömegerők (térfogaton megoszló erők): a testek nem érintkeznek, pl. gravitáció, mágneses erők

Több erő együttesét erőrendszernek nevezzük.

Egyensúlyban van az erőrendszer, ha azt bármely eredetileg nyugalomban lévő testre működtetve, a test továbbra is nyugalomban marad. Jelölése:

illetve


Két erőrendszer akkor egyenértékű egymással, ha található olyan harmadik erőrendszer, amelyet hozzátéve a két erőrendszerhez, külön-külön egyensúlyt hoz létre

A (Q) erőrendszer az egyensúlyozó erőrendszer.

Az erőrendszer eredője a vele egyenértékű (azonos összhatású) erő vagy kevesebb erőből álló erőrendszer.


A statika alaptörvénye:

Ez a térben 6, a síkban 3 skalár egyenletet eredményez.A skalár egyenletek az egyensúlyi egyenletek.

Statikailag határozott a feladat, ha az egyenletek és az ismeretlenek száma azonos.Statikailag határozatlan, ha ez az egyenlőség nem áll fenn.


2.2. A statika alaptételei

Az axiómákat nem bizonyítjuk, érvényességük gyakorlati tapasztalatok alapján nyilvánvaló.Cél, hogy minél kevesebb axiómára lehessen építeni egy tudományt.A merev testek statikáját (a statikát) négy axiómára lehet visszavezetni.


Statika 1. alaptétele: Két merev test által egymásra kifejtett erők mindig páronként fordulnak elő, páronként közös hatásvonalúak, egyenlő nagyságúak, de ellentétes irányúak. (Newton akció-reakció elve)

azaz


Statika 2. alaptétele: Két erő akkor és csakis akkor van egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös, nagyságuk egyenlő, de irányuk ellentétes.

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet, ha F1 átmegy az „A”, F2 pedig a „B” ponton:

Behelyettesítve, hogy :

Ez akkor lehet, ha rA - rB F1, de F1 F2, ami azt jelenti, hogy közös egyenesbe esik a két erő.


Statika 3. alaptétele: Három erő akkor és csak akkor van egyensúlyba, ha hatásvonaluk egy pontban metszik egymást és vektorai zárt, nyílfolytonos vektorháromszöget alkotnak.Következmény: a három vektor egy síkban van.


Statika 4. alaptétele: Valamely egyensúlyban lévő erőrendszerhez az egyensúly megzavarása nélkül lehet hozzáadni vagy belőle elvenni olyan erőket, amelyek önmaguk között egyensúlyban vannak.

Ha és , akkor , illetve

ha és , akkor

Ha egy szerkezet egyensúlyban van, akkor annak bármelyik része külön-külön is egyensúlyban van.


1. Az erő megadása

Az erő kötött vektor, ezért a P támadáspontját (vagy a hatásvonala egy pontját) is meg kell adni.

Az általános helyzetű erő megadásához 6 skalár adat kell:


A vetületek meghatározása:

Az erő x irányú összetevőjének meghatározása:

Az erő nagysága (abszolút értéke):


A tengelyekkel bezárt szögek:

(A szögek nem függetlenek egymástól, mert tudjuk, hogy cos2α+ cos2β+ cos2γ=1)

Vektoros megadási mód:

és

Síkbeli erőrendszernél minden erő azonos síkban van.Értelemszerűen a vektorok ekkor két dimenziósak lesznek.


Síkbeli erők által bezárt szög a skaláris szorzásból származtatható:

Példa:


Az erő forgató hatását a forgatónyomatékkal mérjük.

2. Az erő forgató hatása

Az erőt, mint kötött vektort az erővektorral és a nyomatékvektorral adjuk meg, pl. az origóra: A nyomatékvektor:Megadási módja:

Síkbeli erőrendszernél: z=0 és Fz=0, ezért:

Síkbeli erőknél a nyomatékvektor az erők síkjára merőleges.


Az erő karjának meghatározása az origótól, ha ismert az [F; M0]0vektorkettős:

mert és cos90°=0


Ezzel:

Síkbeli erőknél ezért tehát


Ha ismerjük az erővektor nyomatékát egy tetszőleges A pontra, akkor B ismert helyű pontra is ki tudjuk számolni:

Mivel ezért adódik:


A merev test (ri=áll.) mozgási lehetősége a térben:

A statikában a test nyugalomban van; ezt kötöttséggel, kényszerrel (k) érjük el. (k=6)

3. Az ideális kényszerek

x, y, z irányú haladásx, y, z tengely körüli forgás, összesen 6.

A merev test szabadságfoka s=6.

akkor a test mozogni tud, vagy labilis nyugalomban lehet.test nyugalomban van, statikailag határozott szerkezet.a test nyugalomban van, statikailag határozatlan.


A kényszerekben keletkező, általuk a merev testre kifejtett erőket kényszererőnek, támaszerőnek vagy reakcióerőnek nevezzük.

A külső erők aktív erőrendszert alkotnak, a reakcióerők passzív erőrendszert.


Kényszerek (síkbeliek)

-Merev rúd (k=1)s=2(forgás B körül, B haladása

-re ⊥-en)

Az AB rúdban csak rúdirányú erő keletkezhet.

-Kötél (k=1)Speciális rúd, csak kötélirányú húzóerő ébredhet benne.

-Megtámasztás (k=1)


A merev test egy elmozdíthatatlan felületre támaszkodik egy ponton. A reakcióerő támadási pontja az érintkezési pont, hatásvonala merőleges a közös érintősíkra.


-Síkbeli csukló (k=2)

A reakcióerő iránya tetszőleges, de a támadáspontja átmegy a csukló középpontján.

-Befogás (k=3)

Egymaga biztosítja a nyugalmat, minden terhelést kiegyensúlyoz.


4. Erőrendszerek statikája4.1. Az erőrendszer redukálása, eredője, egyensúlyaHa egy erőrendszert másik erőrendszerrel helyettesítünk, a legegyszerűbb ezek közül az eredő erőrendszer.

Redukálásnak nevezzük azt a műveletet, amikor tetszőlegesen szétszórt erőket egy pontba (pl. „O”-ba) áthelyezzük, és ott összegezzük,előállítva így az adott ponthoz kötött legfeljebb két vektorból álló [F’i;MOi] erőrendszert.Redukálás: erőrendszer egyszerűbb erőrendszerrel való helyettesítése. Végtelen sokféle képpen elvégezhető.


Vektortétel (redukált erő meghatározása):

Nyomatéktétel:

Redukált vektorkettős:


Az erőrendszereket az eredő vektorkettős alapján osztályozzuk:

I; azaz

Ekkor erőcsavar (legáltalánosabb)II;

1) egy erő

egy erő2) egy erőpár

3) egyensúlyi erőrendszer

és


4.2. Közös metszéspontú síkbeli erőrendszerek

Mivel mindegyik erő átmegy az O ponton, ezért arra nincs nyomatékuk.

Szerkesztő eljárás: visszavezetve két erő összegzésére


Számító eljárás:

Emlékeztetőül:

Az egyensúly szükséges feltétele:


Szükséges, hogy a két hatásvonallal az erő egy síkba essen.

4.3. Egy erő felbontása két adott hatásvonalú összetevőre

Szerkesztés:

Számítás:


4.4. Az erőpár

Vektorkettőse:Két párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányú és azonos nagyságú erő erőpárt alkot.

Az erőpár nyomatéka bármely pontra azonos értékű, szabad vektorként kezelhető.


4.5. Párhuzamos síkbeli erőrendszerekGyakori, ezért foglalkozunk vele külön.Vektortétel:

,de mivel , ezért

és j irányú.

Nyomatéktétel:

, azaz

Az eredő erő helye a nyomatéktétel segítségével meghatározható:


Szerkesztés:

csomóponti erőegyensúlyi egyenletek


4.6. Általános síkbeli erőrendszerek

Redukált erő meghatározása:


Redukált erő meghatározása:


Redukált nyomaték meghatározása:

ahol x0i az i-edik erő hatásvonalának metszéspontja az x-tengellyel.

Síkbeli feladatnál M0i vektorok mindig merőlegesek a síkra.


4.7. Egy erő felbontása három adott hatásvonalú síkbeli összetevőre

Adott a síkban három hatásvonal e1, e2 és e3 egységvektorral.Szerkesztő eljárás: Coulmann (1821-1881)

A III. alaptételre vezeti vissza, amely szerint három erőegyensúlyának feltétele, hogy vektorai zárt ∆-et alkossanak.

I.

II.


Számító eljárás: Ritter (1847-1906)

Lényege, hogy a hatásvonalak metszéspontjaira felírjuk a nyomatéktételt.

A P13 körül az F1 és F3 erő nem forgat, csak F2, aminek a nyomatéka megegyezik F nyomatékával.


Példa:


Számítás:

ebből:

Hasonlóan:

és


Példa:


Általános térbeli erőrendszerek. Erőcsavar.

Vektortétel:

Nyomatéktétel:

Redukált vektorkettős:

Általános esetben: ez felel meg az erőcsavarnak.


Lehet ezt az esetet tovább egyszerűsíteni?Egy tetszőleges nagyságú, de M2 irányú vektor például a következő:

A kifejtési tétel alkalmazása:

Az egyenlet elejét és végét átrendezve és elosztva FR2 –tel:

amiből:


Mivel ezért azt hozzáadhatom a számlálóhoz:

tehát

a centrális egyenes helyét kijelölő vektor.


Eredmény:

ahol c pont helyét kijelöli kc , és

Ez a nyomaték tovább bontható:

Az „a” tetszőleges, tehát végtelen sokféleképpen alakítható át két kitérő hatásvonalú erővé az erőcsavar.


Egy erő felbontása három adott hatásvonalú térbeli összetevőre

Feltétel: , azaz a három egységvektor nem esik egy síkba.

Mindkét oldalt beszorozzuk -mal:

Mivel , ezért

és


Folytonosan megoszló erőrendszerek

q0- az egységnyi drót súlya

q- a megoszló erőrendszer intenzitás vektora


A megoszló erőrendszer eredője:

ahol S0 csak geometriai tényezőktől függ.

Neve: a vonaldarab origóra számított elsőrendű vagy statikai nyomatéka.Az erőközéppont helyvektora


Ez csak akkor teljesül, ha

ahonnan

Síkidomon egyenletesen megoszló párhuzamos erőrendszer eredőjének meghatározása:


Az erőközéppont helyvektora:

ahol S0 a felület „O” pontra számított elsőrendű nyomatéka.A „V” térfogaton egyenletesen megoszló párhuzamos erőrendszer eredőjének meghatározása:


ahol S0 a dV térfogatelemekből álló skalárrendszer statikai nyomatékvektora.Az erőközéppont helyvektora:


Pl.

Az eredő helye:


Szerkezet a merev testek és az állvány (föld) kényszerekkel történő összekapcsolásával keletkezik.

5. Tartószerkezetek statikája5.1. Az igénybevétel fogalma. Az igénybevételi függvények és az igénybevételi ábrák

Igénybevételnek nevezzük a tartó egyes keresztmetszeteit terhelő belső erőket. Az igénybevétel okozza a testek deformációját (lásd. Szilárdságtan) és sokszor a tönkremenetelét.

Tartószerkezet olyan nyugalomban lévő szerkezet, amely a rá ható tetszőleges külső terhelés hatására is nyugalomban marad. Leggyakoribb alkotóeleme a prizmatikus rúd. Csak statikailag határozott tartószerkezetekkel foglalkozunk egyenlőre, tehát térbelinél s=k=6, síkbelinél s=k=3 minden egyes elemre.


A „k” keresztmetszet „A” felületén megoszló erő:

Ezzel az elvágott tartó egyensúlyba kerül:ill.

de , ezért

Igénybevételnek nevezzük a bal oldali erők eredőjét (FRb), ez megállapodás.


Húzó vagy nyomó (normális) igénybevétel a vizsgált keresztmetszettől balra lévő erők eredőjének tengelyirányú összetevője:

Pozitív, ha a keresztmetszettől el mutat, tehát húzza azt. Negatív a nyomó igénybevétel.Nyíró (tangenciális) igénybevétel az FRb erő tengelyre merőleges összetevője:

Hajlító igénybevétel az erő nyomatéka a keresztmetszet hajlítási tengelyére.


Pozitív, ha az óramutató járásával ellentétesen forgat.

Az igénybevételt a tartó valamennyi keresztmetszetében ismeri kell, ez igénybevételi függvényhez vezet:


Előjelszabály:


A redukált vektorkettős a „k” keresztmetszetben:

Az Mzb =T összetevő a keresztmetszetet csavarja.

Csavaró igénybevételt okoz az Mzb =T nyomaték.

Igénybevételi ábra, melynek minden egyes ordinátája megmutatja, hogy a felette lévő keresztmetszetben mekkora a bal oldali erők eredőjének vektorkettőse. A redukált vektorkettős a „k” keresztmetszetben:


Az igénybevételeket tetszőleges „z”helyen kell ismerni.Igénybevételi függvények:

Mindig a tartó hossztengelye lesz a „z” irány, a keresztmetszet az „xy” sík.


5.2. Koncentrált erőkkel terhelt kéttámaszú tartó

Síkproblémaként tárgyalható.

Reakcióerők meghatározása:


Ha a tartót csak párhuzamos erők terhelik:


Szerkesztés:


V.

IV.

III.

II.

I.


5.3. Megoszló erőkkel terhelt kéttámaszú tartó

Az „S” pontra írjuk fel az elemi rúdrész nyomatéki egyenletét:

Rendezve és Δz-vel elosztva:


Az elemi rész nyíróerő egyensúlyi egyenlete:

A két differenciálegyenlet együtt:

Az eredmény segítséget nyújt a szerkesztéshez.


Pl.


III.

I.

II.


Pl.

A valóságban nincs koncentrált erő, a nyíróerő ábra folytonos.


Pl.


Pl.: Befogott tartó

II.

I.


Pl.:

I.

II.

1. változat Mechanika I. (STATIKA) 962005.11.18. STATIKA - 9. előadás 96

Statikailag határozott megtámasztású, többtámaszú tartók

(Gerber-tartók:pl. Szabadság híd)

Gerber német hídépítőmérnök (1832-1912)

A tartót kéttámaszú tartókra lehet bontani:

1) fő rész (B-D szakasz): önmagában is megáll

2) befüggesztett rész (A-B szakasz): csak a másik tartórészre támaszkodva áll meg.

A befüggesztett rész csak a B ponton csuklós rögzítéssel válhat önálló tartóvá. A B csuklót belső csuklónak nevezzük. Az erőjáték vizsgálatát mindig a befüggesztett tartóval kell kezdeni!


Számítás menete: (A B belső csukló alkalmazásával kapott kéttámaszú tartók a hagyományos szerkesztő és számítási módszerekkel vizsgálható)

1) Meghatározzuk a befüggesztett tartó reakcióit (FA és FBreakcióerőket)

2) A fő részre működtetve az FB erő ellentetjét FB’-t meghatározzuk az FC és FD reakcióerőket


5.5. Síkbeli rácsos tartók

1. A csomópontok ideális csuklók2. A rudak geometriai tengelyei egy pontban metszik

egymást3. A rudak tengelye közös síkban fekszik4. A rudak merev testek5. A rudak egyenesek, húzó és nyomó erőt fel tudnak

venni6. A szerkezetet a csomópontokban terhelik az erők

Az ideális rácsos tartók jellemzői:


A szegecselt csomóponthoz képest az ideális rácsos tartó modellezés a biztonságot növeli.

r = 2c-3aholr – rudak számac – csuklók száma.

A belső statikailag határozottság feltétele:


Belsőleg és külsőleg statikailag határozott (ezzel foglalkozunk)

Belsőleg statikailag határozott, külsőleg határozatlan


Külsőleg határozott, belsőleg határozatlan

Külsőleg határozatlan, belsőleg határozatlan


A csuklókat sorszámozzuk, a rudak a végükön lévőcsuklószámokat kapják indexként.

Feladat: reakciók meghatározásarúderők meghatározása


A csuklókban a rúderők közös metszéspontú erők, ezért x-y irányban 2 egyenlet írható fel rájuk, ez összesen 2c darab egyenlet.Az ismeretlenek száma: r rúderők száma

összesen tehát r+3.

Ez szükséges feltétel, mely elégséges is, ha a tartó csupa ∆ elemből áll.

A rúderők meghatározásának módszerei:•Csomóponti módszer•Cremona-féle erőterv•Átmetsző módszer


Csomóponti módszer

Az i-edik csomópontra felírható:

aholFkli - az i-edik csomópontra ható rúderőFRi - az i-edik csomópontra ható külső erők eredője.

Minden csomóponthoz vektorábrát kell készíteni.


Cremona-féle erőterv, amikor a csomópontok vektorábráit egy ábrába rajzoljuk.

Átmetsző módszer, amikor a feladatot visszavezetjük a Coulmann-Ritter módszerre.


Síkbeli csuklós szerkezetek abban különböznek a rácsos tartóktól, hogy a csuklók és a terhelések a rúd közbensőrészén is lehetnek.Háromcsuklós tartó a legegyszerűbb síkbeli csuklós szerkezet.

Ha a rudat közbenső helyen terheli F erő, akkor ezt a rúd két szélén lévő csuklókba redukáljuk, tetszőleges két hatásvonal felvételével. Ezután a feladatot az előzőek alapján oldjuk meg.


A reakciók meghatározásának módjai:

- szuperpozíció elve:

+


- csuklóra redukálás elve:


Felbontjuk a rudat terhelő erőket két-két összetevőre úgy, hogy az összetevők hatásvonala átmenjen a csuklópontokon és az F1, F2 erők hatásvonalán tetszőlegesen felvett P1, P2 pontokon (F1A, F1C és F2B, F2C).

Majd megvizsgáljuk a C csukló egyensúlyát:(F1C, F3, F2C)=FRC(FRC, FA1, FB2)=0ahol FA1 és FB2 a reakcióerők rúdirányú összetevői.Az FA és FB reakcióerőket az A és B csukló egyensúlyából határozhatjuk meg.Az A csukló egyensúlya:(FA, F1A, -FA1)=0A B csukló egyensúlya:(FB, F2B, -FB2)=0


6. A nem ideális kényszerek ellenállásaiA gyakorlatban az egymással érintkező felületek érdesek, az egymáshoz való elcsúsztatással szemben ellenállást fejtenek ki. A súrlódó erő a felületek érintkezési síkjában hat, az elmozdulással ellentétes irányú.


Elosztva a két egyenletet egymással:

A Coulomb-féle alapegyenlethez jutottunk.

A súrlódó erő nagysága:


Ha az aktív erők eredőjének hatásvonala a súrlódási kúpon belül marad, mozgás nem jön létre:


Kötélsúrlódás:

x irányban:

y irányban:


Mivel df kicsi, ezért és , ezzel:

A másodrendűen kicsi, ezért elhagyjuk.

A két egyenletből dFN-t kiiktatva:


Gördülő ellenállás, menetellenállás


, ha éppen elindul

ebből


Menetellenállás:

m - csapsúrlódási tényezőn – kerekek száma

mm - menetellenállási tényező

n


7. A súlypont7.1. A súlyerőrendszer

A súlyerő párhuzamos erőrendszer.A párhuzamos erőrendszer középpontját súlypontnak nevezzük.


A q intenzitásvektor a hely függvénye.Meg akarjuk határozni az erőrendszer eredőjét és helyét.Az erők összegzése:

A nyomatéki egyenlet az origóra:

ahol S0 az elemi dm tömegekből álló, folytonos eloszlású tömegpontrendszer O pontra számított elsőrendű vagy statikai nyomatéka.

mivel


Az egyes tömegpontoknak az O pontra számított statikai nyomatékösszege egyenlő az rs vektorral kijelölt súlypontba képzelt össztömegnek az O pontra számított statikai nyomatékával.

ezért a súlypont helye:

de


Homogén tömegeloszlású testnél (ρ=áll.):


7.2. Vonalak súlypontja

A ds hosszúságú vonaldarab állandó „A” keresztmetszetűnek tekinthető, így: dV=A·ds

Egyenes vonaldarabokból álló test súlypontja:

Ezzel:


Pl.:


7.3. Síkidomok súlypontja

Legyen a síkidom állandó δ vastagságú lemez,melynek térfogata A·δ, elemi térfogata dV=δ·dA,ezzel:

Ismert területű és súlypontú síkidomok súlypontjánakszámítása:


7.4. Papposz-Guldin tételek

Papposz alexandriai matematikus (III. vagy IV. század).Guldin itáliai matematikus (1577-1643).

A síkgörbét elforgatjuk α szöggel. A síkgörbe hossza:


Az elforgatáskor a ds ív által megtett súrolt felület:dA=α·r·ds A teljes ív által súrolt felület:

A síkgörbe súlypontja:

Behelyettesítés után:


A forgásfelület felszíne az elforgatott síkgörbe(meridiángörbe) hosszának és a síkgörbe súlypontja általmegtett út hosszának szorzata.

A forgástest térfogata az elforgatott síkidomterületének és a síkidom súlypontja által megtett úthosszának a szorzata.

de

ezzel


8. A másodrendű nyomaték8.1. A másodrendű nyomaték vektora

Az erőrendszer eredője:

ahol S0 az ABCD síkidom O-ra számított elsőrendű vagy statikai nyomatéka.


Az erőrendszer nyomatéka az O pontra:

Az Io(n) csak a geometriától függ, az O pontban az negységvektorhoz tartozó másodrendű nyomatékvektor:

Az I kétváltozós (O pont és n) vektor-vektor függvény.


A gyakorlatban többnyire a súlypontba helyezzük azorigót (R=rs). Az i és j egységvektorokhoz tartozómásodrendű nyomaték vektorok:

Ezek koordináta tengelyre számított skalár vetületei:

Felhasználtuk a vegyes szorzatra ismert

azonosságot, ahol a=i; b=r és c=i×r.


Mivel r=xi+yj , és i× i=0 ill. i×j=k, ezért

azaz

ahol Ix a síkidom x-tengelyre számított másodrendűnyomatéka, inercianyomatéka.Hasonlóan:


A Ix vektor j irányú skalár vetülete:

Ez az előjeles mennyiség a síkidom xy-tengelypárra számított, vagy centrifugális vagy deviációs másodrendű nyomatéka.


8.2. Összefüggés az adott ponton átmenő, különböző tengelyekre vett másodrendű nyomaték vektorok között

Az I=Io(n) függvény homogén, lineáris vektor-vektorfüggvény, igaz rá, hogy

(behelyettesítéssel könnyen igazolható.)

A homogén, lineáris vektor-vektor függvényt síkbeli vektorok esetén két összetartozó értékpárja meghatározza, tehát Ix és Iy vektorok is.


Feladat: Ix és Iy ismeretében tetszőleges negységvektorhoz Io(n) meghatározása.

Ezzel

ahol az O pontra vonatkozó másodrendű nyomaték tenzora:


Ha ismert egy pontban a másodrendű nyomaték tenzor, akkor a tetszőleges n egységvektorhoz tartozó másodrendű nyomaték vektort úgy kapjuk meg, hogy az n vektort balról skalárisan megszorozzuk a tenzorral:

A koordinátarendszer forgatásakor a tenzor főátlójában lévő tagok összege nem változik, ez a tenzor első skalár invariánsa:

y

xjn

i


Ez pedig a síkidom pontra számított, poláris másodrendű nyomatéka:


Példa az elforgatásra:


Hasonlóan:

és


Felhasználandó trigonometrikus összefüggések:

Ezekkel az (x,y) koordinátarendszerből a (ξ,η) koordináta rendszerbe való átszámítás képletei:


8.3. Főmásodrendű nyomatékok. Főtengelyek

A koordinátarendszer forgatásával találunk olyan tengelypárt, amelyre a centrifugális másodrendű nyomaték zérus.

Ezek a tengelyek a főtengelyek, és a főtengelyekre számított másodrendű nyomatékok a főmásodrendű nyomatékok.

Ekkor az n egységvektorral irányított tengely másodrendű nyomatékvektora In = I·n alakban írható, így:


átrendezve:

Az egyenletnek akkor van megoldása, ha

ahol az egységtenzor.


A determinánst kifejtve:

A másodfokú egyenlet gyökei:

Az I1 és I2 a főmásodrendű nyomaték, I1 a legnagyobb, I2a legkisebb az összes O ponton átmenő tengelyre számított másodrendű nyomaték közül.


Az elforgatás α0 szöge mellett Cξη = 0 lesz, tehát:

ahonnan

A súlypont főtengelyei a centrális főtengelyek.


Ix = I1; Iy = I2; Cxy = 0 és α = φ helyettesítéssel a főtengelyek φ elforgatásával kapható másodrendű nyomatékok:


8.4. A másodrendű nyomatékok Mohr-féle diagramja

Az indexeket elhagyva és átrendezve:

Négyzetre emelve és összeadva:

Ez az I, C koordinátarendszerbenegy kör egyenlete.


8.5. Steiner - tétel

A másodrendű nyomaték változása a koordinátarendszer párhuzamos eltolása esetén.


Ezeket integrálva, és figyelembe véve, hogy rs és iállandóak:

A súlypontra számított elsőrendű nyomaték zérus.

Ez a Steiner - tétel vektoriális alakja.


A skalár alak:

azaz

és

azaz

A ξ és η a súlyponti tengelyek!


VÉGE A STATIKÁNAK!

2011-12_mechanika i. statika

Documents