Download - 2011-12_mechanika i. Statika
![Page 1: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/1.jpg)
MECHANIKA I. (Statika)Előadás
Dr. Legeza László - Dr. Goda Tibor
Gépszerkezettani és Biztonságtechnikai Intézet
![Page 2: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/2.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 2
Vektorok, vektorműveletek
Mennyiségek: testek, jelenségek mérhető tulajdonságait mennyiségeknek nevezzük.
• Skalár mennyiség (hőmérséklet, sűrűség, tömeg, stb.)• Vektor mennyiség: van nagysága, iránya és állása (erő, sebesség, gyorsulás, stb.)
Vektor: irányított szakasz, amelynek nagysága, értelme (állása) és iránya van. Jelölése: aláhúzott kisbetű/nagybetű (Pl. a)
![Page 3: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/3.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 3
Vektorok megadása: válasszunk a térben három páronként egymásra merőleges egységvektort; i, j, k. Alkosson ez a három egységvektor jobbsodrású koordinátarendszert. Ezen egységvektorok segítségével a tér bármely vektora egyértelműen előállítható (egységvektorok lineáris kombinációjával).
![Page 4: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/4.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 4
Vektor abszolút értéke: a vektor hosszát adja meg.
Egységvektor: egységnyi hosszúságú vektor (pl. koordinátatengelyek egységvektorai)Bármely vektorból készíthetünk egységvektort, ha a vektort elosztjuk önmaga abszolút értékével.
![Page 5: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/5.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 5
Példa. 1.: Legyen adva egy vektor: a. Határozzuk meg a vektor abszolút értékét illetve egységvektorát.
Megoldás:
Ellenőrzés: Ha a0 valóban egységvektor, akkor abszolút értéke egyenlő 1-el.
![Page 6: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/6.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 6
Vektorok összeadása I.Vektorok összegzésével vektort kapunk.
Szerkesztéssel:
Kettőnél több vektor összeadása szerkesztéssel:
![Page 7: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/7.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 7
Vektorok összeadása II.
Vektorok összegzése számítással (összeadás koordinátákkal):
![Page 8: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/8.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 8
Példa. 2.: Legyen adva két vektor: a és b. Határozzuk meg a két vektor összegét.
Megoldás:
![Page 9: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/9.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 9
Vektorok különbsége (kivonás)
Vektorok kivonása szintén vektort eredményez.
Szerkesztéssel:
A különbségvektor mindig a kisebbítendő vektor felé mutat!
Számítással:
![Page 10: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/10.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 10
Példa. 3.: Legyen adva két vektor: a és b. Határozzuk meg a két vektor különbségét.
Megoldás:
![Page 11: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/11.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 11
Vektorok skalárral (számmal) való szorzása(nyújtás, zsugorítás)
Vektort számmal szorozva vektort kapunk.
A λ a vektor az a vektorral párhuzamos, hossza
Ha λ>0; a (λa) vektor iránya az a vektor irányával megegyezik, λ<0; a (λa) vektor iránya az a vektor irányával ellentétes.
Ha |λ|>1 nyújtásról, ha |λ|<1zsugorításról beszélünk.
![Page 12: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/12.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 12
Vektorok skaláris szorzata I.
Az a és b vektorok skaláris szorzatának az
számot (skaláris mennyiséget) nevezzük, ahol ϕ a két vektor által bezárt kisebbik szög.
a b>0 esetén a vektorok hegyesszöget, a b<0 esetén tompaszöget és a b=0 esetén derékszöget zárnak be.
Két egymásra merőleges vektor skaláris szorzata zérus!Két vektor skaláris szorzatának eredménye egy skalár (egy szám).
Skaláris szorzás elvégzése koordinátákkal:
![Page 13: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/13.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 13
Vektorok skaláris szorzata II.Egységvektorok skaláris szorzatai:
Átrendezve a skaláris szorzás definícióját meghatározhatjuk két vektor által bezárt szöget:
Az e egységvektor és a b vektor skaláris szorzatának geometriai jelentése:a b vektor e irányított egyenesén adódó előjeles merőleges vetülete.
![Page 14: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/14.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 14
Példa. 4.: Legyen adva két vektor: a és b. Határozzuk meg a két vektor skaláris szorzatát és az általuk bezárt szög nagyságát.
Megoldás:
![Page 15: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/15.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 15
Vektorok vektoriális szorzata I.
Az a és b vektorok vektoriális szorzata a c vektor, ha
ahol φ a két vektor által bezárt kisebbik szög.A vektoriális szorzás eredményeként kapott c vektor merőleges a -ra és b -ra, mégpedig úgy, hogy a, b, c jobbsodrású rendszert alkotnak.
A vektoriális szorzás jele:
ahol |c| egyenlő az a és bvektorok által meghatározott paralelogramma területével.
![Page 16: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/16.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 16
Vektorok vektoriális szorzata II.
Két vektor vektoriális szorzata pontosan akkor zérus, ha a két vektor egymással párhuzamos.Két vektor vektoriális szorzata vektort eredményez.
Vektoriális szorzás elvégzése koordinátákkal:
![Page 17: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/17.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 17
Példa. 5.: Legyen adva két vektor: a és b. Határozzuk meg a két vektor vektoriális szorzatát.
Megoldás:
![Page 18: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/18.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 18
1. Bevezetés a műszaki mechanikához
A XVIII. század végéig fizika = természettudományA fizika természettudomány, amely a természet azon jelenségeivel foglalkozik, amelyek során a testek anyagi, kémiai összetétele nem változik.
Célja: a megismerés és hasznosítás
Feladata: jelenségek leírása, modellezése, törvényszerűségek meghatározása
Illetékessége: a megfigyelhetőség, reprodukálhatóság tartománya
![Page 19: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/19.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 19
Módszere: indukció (egyes → általános)dedukció (általános → egyes)
Felosztása: kísérleti fizika (mérés → törvény, műszerek)elméleti fizika (matematika)műszaki fizika (gyakorlati alkalmazás a cél)
A mechanika az anyagi testek mozgását és nyugalmi helyzetét vizsgálja.A műszaki mechanika a mérnöki gyakorlat szempontjait veszi figyelembe.
A nyugalom csak adott koordinátarendszerben értelmezhető.
![Page 20: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/20.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 20
MECHANIKA
Dinamika Kinematika
Statika Kinetika
A mechanika felosztása:
A vizsgált anyagi test tulajdonságai szerint a mechanika lehet:
• Anyagi pont, merev test és mechanizmus mechanikája
• Kontinuummechanika (szilárdságtan, folyadékok és gázok mechanikája)
![Page 21: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/21.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 21
Nemzetközi mértékegység rendszer (SI) Mennyiség = mérhető tulajdonságAz azonos (összeadható) mennyiség = mennyiségfajta
Mérés: meghatározni, hogy a mérendő mennyiségben hányszor van meg egy másik, önkényesen egységül választott alapmennyiség.
Mértékegység: az alapul választott alapmennyiség(mennyiség) = (számérték) x (mértékegység)
A számérték a műszaki gyakorlatban számításoknál 3-4 egymást követő szám, pl. 92300 vagy 0,0432.Méréseknél illik megadni a számérték hibatartományát.
![Page 22: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/22.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 22
SI alapmennyiségek: (7 db)- Hosszúság* (méter, [m])- Tömeg* (kilogramm, [kg])- Idő* (másodperc, [s])- Áramerősség (amper, [A])- Hőmérséklet (kelvin, [K])- Anyagmennyiség (mól, [mol])- Fényerősség (kandela, [cd])
(* mechanikában használatos alapmennyiségek)
FIGYELEM: a mértékegység elhagyása hiba!
A származtatott mértékegységek közé a szorzás és/vagy osztásjeleket ki kell írni.A prefixumot a szorzat első tényezője elé kell tenni, műveleti jel nélkül.
![Page 23: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/23.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 23
A mennyiségek felosztása:
(a) - Extenzív (összegződnek, tehát additívek, pl. tömeg, térfogat, hosszúság stb.)
- Intenzív (nem additív, pl. hőmérséklet, nyomás, stb.)
(b) - Skalár (irány nélküli, pl. tömeg, hőmérséklet)- Vektor (irány, méret, párhuzamosan eltolható hatásvonallal rendelkezik, pl. sebesség, nyomaték)
- Kötött vektor (hatásvonala kötött, pl. erő, helyvektor)
![Page 24: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/24.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 24
2. A műszaki mechanika alapfogalmai
2.1. Az erő, az erőrendszer
Newton volt az első, aki az erő fogalmát a mozgással hozta kapcsolatba.A testek olyan egymásra hatását, amely a testek mozgási állapotának vagy alakjának megváltozását eredményezi, erőnek nevezzük.Az erő kötött vektor (MIÉRT!)
![Page 25: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/25.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 25
Az erő, mint kötött vektor megadása- F és r (nem tolható el az F vektor a hatásvonalán,
tehát nem jó így!)- F és r x F (ez megengedi az F vektor eltolását az „e” egyenesen, tehát jó)
![Page 26: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/26.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 26
Bizonyítása:
Nyomatékvektor az origóra:
Az erő, mint kötött vektor megadásához két vektor (egy vektorkettős) kell:
![Page 27: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/27.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 27
Az erők felosztása:- Felszíni erők (felületen megoszló erők): felületen megoszló erőrendszer, koncentrált erő- Tömegerők (térfogaton megoszló erők): a testek nem érintkeznek, pl. gravitáció, mágneses erők
Több erő együttesét erőrendszernek nevezzük.
Egyensúlyban van az erőrendszer, ha azt bármely eredetileg nyugalomban lévő testre működtetve, a test továbbra is nyugalomban marad. Jelölése:
illetve
![Page 28: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/28.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 28
Két erőrendszer akkor egyenértékű egymással, ha található olyan harmadik erőrendszer, amelyet hozzátéve a két erőrendszerhez, külön-külön egyensúlyt hoz létre
A (Q) erőrendszer az egyensúlyozó erőrendszer.
Az erőrendszer eredője a vele egyenértékű (azonos összhatású) erő vagy kevesebb erőből álló erőrendszer.
![Page 29: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/29.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 29
A statika alaptörvénye:
Ez a térben 6, a síkban 3 skalár egyenletet eredményez.A skalár egyenletek az egyensúlyi egyenletek.
Statikailag határozott a feladat, ha az egyenletek és az ismeretlenek száma azonos.Statikailag határozatlan, ha ez az egyenlőség nem áll fenn.
![Page 30: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/30.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 30
2.2. A statika alaptételei
Az axiómákat nem bizonyítjuk, érvényességük gyakorlati tapasztalatok alapján nyilvánvaló.Cél, hogy minél kevesebb axiómára lehessen építeni egy tudományt.A merev testek statikáját (a statikát) négy axiómára lehet visszavezetni.
![Page 31: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/31.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 31
Statika 1. alaptétele: Két merev test által egymásra kifejtett erők mindig páronként fordulnak elő, páronként közös hatásvonalúak, egyenlő nagyságúak, de ellentétes irányúak. (Newton akció-reakció elve)
azaz
![Page 32: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/32.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 32
Statika 2. alaptétele: Két erő akkor és csakis akkor van egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös, nagyságuk egyenlő, de irányuk ellentétes.
A nyomatéki egyensúlyi egyenlet, ha F1 átmegy az „A”, F2 pedig a „B” ponton:
Behelyettesítve, hogy :
Ez akkor lehet, ha rA - rB F1, de F1 F2, ami azt jelenti, hogy közös egyenesbe esik a két erő.
![Page 33: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/33.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 33
Statika 3. alaptétele: Három erő akkor és csak akkor van egyensúlyba, ha hatásvonaluk egy pontban metszik egymást és vektorai zárt, nyílfolytonos vektorháromszöget alkotnak.Következmény: a három vektor egy síkban van.
![Page 34: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/34.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 34
Statika 4. alaptétele: Valamely egyensúlyban lévő erőrendszerhez az egyensúly megzavarása nélkül lehet hozzáadni vagy belőle elvenni olyan erőket, amelyek önmaguk között egyensúlyban vannak.
Ha és , akkor , illetve
ha és , akkor
Ha egy szerkezet egyensúlyban van, akkor annak bármelyik része külön-külön is egyensúlyban van.
![Page 35: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/35.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 35
1. Az erő megadása
Az erő kötött vektor, ezért a P támadáspontját (vagy a hatásvonala egy pontját) is meg kell adni.
Az általános helyzetű erő megadásához 6 skalár adat kell:
![Page 36: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/36.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 36
A vetületek meghatározása:
Az erő x irányú összetevőjének meghatározása:
Az erő nagysága (abszolút értéke):
![Page 37: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/37.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 37
A tengelyekkel bezárt szögek:
(A szögek nem függetlenek egymástól, mert tudjuk, hogy cos2α+ cos2β+ cos2γ=1)
Vektoros megadási mód:
és
Síkbeli erőrendszernél minden erő azonos síkban van.Értelemszerűen a vektorok ekkor két dimenziósak lesznek.
![Page 38: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/38.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 38
Síkbeli erők által bezárt szög a skaláris szorzásból származtatható:
Példa:
![Page 39: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/39.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 39
Az erő forgató hatását a forgatónyomatékkal mérjük.
2. Az erő forgató hatása
Az erőt, mint kötött vektort az erővektorral és a nyomatékvektorral adjuk meg, pl. az origóra: A nyomatékvektor:Megadási módja:
Síkbeli erőrendszernél: z=0 és Fz=0, ezért:
Síkbeli erőknél a nyomatékvektor az erők síkjára merőleges.
![Page 40: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/40.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 40
Az erő karjának meghatározása az origótól, ha ismert az [F; M0]0vektorkettős:
mert és cos90°=0
![Page 41: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/41.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 41
Ezzel:
Síkbeli erőknél ezért tehát
![Page 42: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/42.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 42
Ha ismerjük az erővektor nyomatékát egy tetszőleges A pontra, akkor B ismert helyű pontra is ki tudjuk számolni:
Mivel ezért adódik:
![Page 43: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/43.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 43
A merev test (ri=áll.) mozgási lehetősége a térben:
A statikában a test nyugalomban van; ezt kötöttséggel, kényszerrel (k) érjük el. (k=6)
3. Az ideális kényszerek
x, y, z irányú haladásx, y, z tengely körüli forgás, összesen 6.
A merev test szabadságfoka s=6.
akkor a test mozogni tud, vagy labilis nyugalomban lehet.test nyugalomban van, statikailag határozott szerkezet.a test nyugalomban van, statikailag határozatlan.
![Page 44: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/44.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 44
A kényszerekben keletkező, általuk a merev testre kifejtett erőket kényszererőnek, támaszerőnek vagy reakcióerőnek nevezzük.
A külső erők aktív erőrendszert alkotnak, a reakcióerők passzív erőrendszert.
![Page 45: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/45.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 45
Kényszerek (síkbeliek)
-Merev rúd (k=1)s=2(forgás B körül, B haladása
-re ⊥-en)
Az AB rúdban csak rúdirányú erő keletkezhet.
-Kötél (k=1)Speciális rúd, csak kötélirányú húzóerő ébredhet benne.
-Megtámasztás (k=1)
![Page 46: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/46.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 46
A merev test egy elmozdíthatatlan felületre támaszkodik egy ponton. A reakcióerő támadási pontja az érintkezési pont, hatásvonala merőleges a közös érintősíkra.
![Page 47: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/47.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 47
-Síkbeli csukló (k=2)
A reakcióerő iránya tetszőleges, de a támadáspontja átmegy a csukló középpontján.
-Befogás (k=3)
Egymaga biztosítja a nyugalmat, minden terhelést kiegyensúlyoz.
![Page 48: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/48.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 48
4. Erőrendszerek statikája4.1. Az erőrendszer redukálása, eredője, egyensúlyaHa egy erőrendszert másik erőrendszerrel helyettesítünk, a legegyszerűbb ezek közül az eredő erőrendszer.
Redukálásnak nevezzük azt a műveletet, amikor tetszőlegesen szétszórt erőket egy pontba (pl. „O”-ba) áthelyezzük, és ott összegezzük,előállítva így az adott ponthoz kötött legfeljebb két vektorból álló [F’i;MOi] erőrendszert.Redukálás: erőrendszer egyszerűbb erőrendszerrel való helyettesítése. Végtelen sokféle képpen elvégezhető.
![Page 49: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/49.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 49
Vektortétel (redukált erő meghatározása):
Nyomatéktétel:
Redukált vektorkettős:
![Page 50: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/50.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 50
Az erőrendszereket az eredő vektorkettős alapján osztályozzuk:
I; azaz
Ekkor erőcsavar (legáltalánosabb)II;
1) egy erő
egy erő2) egy erőpár
3) egyensúlyi erőrendszer
és
![Page 51: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/51.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 51
4.2. Közös metszéspontú síkbeli erőrendszerek
Mivel mindegyik erő átmegy az O ponton, ezért arra nincs nyomatékuk.
Szerkesztő eljárás: visszavezetve két erő összegzésére
![Page 52: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/52.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 52
Számító eljárás:
Emlékeztetőül:
Az egyensúly szükséges feltétele:
![Page 53: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/53.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 53
Szükséges, hogy a két hatásvonallal az erő egy síkba essen.
4.3. Egy erő felbontása két adott hatásvonalú összetevőre
Szerkesztés:
Számítás:
![Page 54: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/54.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 54
4.4. Az erőpár
Vektorkettőse:Két párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányú és azonos nagyságú erő erőpárt alkot.
Az erőpár nyomatéka bármely pontra azonos értékű, szabad vektorként kezelhető.
![Page 55: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/55.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 55
4.5. Párhuzamos síkbeli erőrendszerekGyakori, ezért foglalkozunk vele külön.Vektortétel:
,de mivel , ezért
és j irányú.
Nyomatéktétel:
, azaz
Az eredő erő helye a nyomatéktétel segítségével meghatározható:
![Page 56: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/56.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 56
Szerkesztés:
csomóponti erőegyensúlyi egyenletek
![Page 57: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/57.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 57
4.6. Általános síkbeli erőrendszerek
Redukált erő meghatározása:
![Page 58: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/58.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 58
Redukált erő meghatározása:
![Page 59: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/59.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 59
Redukált nyomaték meghatározása:
ahol x0i az i-edik erő hatásvonalának metszéspontja az x-tengellyel.
Síkbeli feladatnál M0i vektorok mindig merőlegesek a síkra.
![Page 60: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/60.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 60
4.7. Egy erő felbontása három adott hatásvonalú síkbeli összetevőre
Adott a síkban három hatásvonal e1, e2 és e3 egységvektorral.Szerkesztő eljárás: Coulmann (1821-1881)
A III. alaptételre vezeti vissza, amely szerint három erőegyensúlyának feltétele, hogy vektorai zárt ∆-et alkossanak.
I.
II.
![Page 61: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/61.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 61
Számító eljárás: Ritter (1847-1906)
Lényege, hogy a hatásvonalak metszéspontjaira felírjuk a nyomatéktételt.
A P13 körül az F1 és F3 erő nem forgat, csak F2, aminek a nyomatéka megegyezik F nyomatékával.
![Page 62: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/62.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 62
Példa:
![Page 63: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/63.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 63
Számítás:
ebből:
Hasonlóan:
és
![Page 64: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/64.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 64
Példa:
![Page 65: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/65.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 65
![Page 66: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/66.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 66
Általános térbeli erőrendszerek. Erőcsavar.
Vektortétel:
Nyomatéktétel:
Redukált vektorkettős:
Általános esetben: ez felel meg az erőcsavarnak.
![Page 67: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/67.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 67
Lehet ezt az esetet tovább egyszerűsíteni?Egy tetszőleges nagyságú, de M2 irányú vektor például a következő:
A kifejtési tétel alkalmazása:
Az egyenlet elejét és végét átrendezve és elosztva FR2 –tel:
amiből:
![Page 68: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/68.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 68
Mivel ezért azt hozzáadhatom a számlálóhoz:
tehát
a centrális egyenes helyét kijelölő vektor.
![Page 69: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/69.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 69
Eredmény:
ahol c pont helyét kijelöli kc , és
Ez a nyomaték tovább bontható:
Az „a” tetszőleges, tehát végtelen sokféleképpen alakítható át két kitérő hatásvonalú erővé az erőcsavar.
![Page 70: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/70.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 70
Egy erő felbontása három adott hatásvonalú térbeli összetevőre
Feltétel: , azaz a három egységvektor nem esik egy síkba.
Mindkét oldalt beszorozzuk -mal:
Mivel , ezért
és
![Page 71: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/71.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 71
Folytonosan megoszló erőrendszerek
q0- az egységnyi drót súlya
q- a megoszló erőrendszer intenzitás vektora
![Page 72: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/72.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 72
A megoszló erőrendszer eredője:
ahol S0 csak geometriai tényezőktől függ.
Neve: a vonaldarab origóra számított elsőrendű vagy statikai nyomatéka.Az erőközéppont helyvektora
![Page 73: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/73.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 73
Ez csak akkor teljesül, ha
ahonnan
Síkidomon egyenletesen megoszló párhuzamos erőrendszer eredőjének meghatározása:
![Page 74: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/74.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 74
Az erőközéppont helyvektora:
ahol S0 a felület „O” pontra számított elsőrendű nyomatéka.A „V” térfogaton egyenletesen megoszló párhuzamos erőrendszer eredőjének meghatározása:
![Page 75: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/75.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 75
ahol S0 a dV térfogatelemekből álló skalárrendszer statikai nyomatékvektora.Az erőközéppont helyvektora:
![Page 76: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/76.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 76
Pl.
Az eredő helye:
![Page 77: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/77.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 77
Szerkezet a merev testek és az állvány (föld) kényszerekkel történő összekapcsolásával keletkezik.
5. Tartószerkezetek statikája5.1. Az igénybevétel fogalma. Az igénybevételi függvények és az igénybevételi ábrák
Igénybevételnek nevezzük a tartó egyes keresztmetszeteit terhelő belső erőket. Az igénybevétel okozza a testek deformációját (lásd. Szilárdságtan) és sokszor a tönkremenetelét.
Tartószerkezet olyan nyugalomban lévő szerkezet, amely a rá ható tetszőleges külső terhelés hatására is nyugalomban marad. Leggyakoribb alkotóeleme a prizmatikus rúd. Csak statikailag határozott tartószerkezetekkel foglalkozunk egyenlőre, tehát térbelinél s=k=6, síkbelinél s=k=3 minden egyes elemre.
![Page 78: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/78.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 78
A „k” keresztmetszet „A” felületén megoszló erő:
Ezzel az elvágott tartó egyensúlyba kerül:ill.
de , ezért
Igénybevételnek nevezzük a bal oldali erők eredőjét (FRb), ez megállapodás.
![Page 79: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/79.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 79
Húzó vagy nyomó (normális) igénybevétel a vizsgált keresztmetszettől balra lévő erők eredőjének tengelyirányú összetevője:
Pozitív, ha a keresztmetszettől el mutat, tehát húzza azt. Negatív a nyomó igénybevétel.Nyíró (tangenciális) igénybevétel az FRb erő tengelyre merőleges összetevője:
Hajlító igénybevétel az erő nyomatéka a keresztmetszet hajlítási tengelyére.
![Page 80: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/80.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 80
Pozitív, ha az óramutató járásával ellentétesen forgat.
Az igénybevételt a tartó valamennyi keresztmetszetében ismeri kell, ez igénybevételi függvényhez vezet:
![Page 81: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/81.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 81
Előjelszabály:
![Page 82: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/82.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 82
A redukált vektorkettős a „k” keresztmetszetben:
Az Mzb =T összetevő a keresztmetszetet csavarja.
Csavaró igénybevételt okoz az Mzb =T nyomaték.
Igénybevételi ábra, melynek minden egyes ordinátája megmutatja, hogy a felette lévő keresztmetszetben mekkora a bal oldali erők eredőjének vektorkettőse. A redukált vektorkettős a „k” keresztmetszetben:
![Page 83: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/83.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 83
Az igénybevételeket tetszőleges „z”helyen kell ismerni.Igénybevételi függvények:
Mindig a tartó hossztengelye lesz a „z” irány, a keresztmetszet az „xy” sík.
![Page 84: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/84.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 84
5.2. Koncentrált erőkkel terhelt kéttámaszú tartó
Síkproblémaként tárgyalható.
Reakcióerők meghatározása:
![Page 85: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/85.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 85
Ha a tartót csak párhuzamos erők terhelik:
![Page 86: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/86.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 86
Szerkesztés:
![Page 87: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/87.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 87
V.
IV.
III.
II.
I.
![Page 88: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/88.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 88
5.3. Megoszló erőkkel terhelt kéttámaszú tartó
Az „S” pontra írjuk fel az elemi rúdrész nyomatéki egyenletét:
Rendezve és Δz-vel elosztva:
![Page 89: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/89.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 89
Az elemi rész nyíróerő egyensúlyi egyenlete:
A két differenciálegyenlet együtt:
Az eredmény segítséget nyújt a szerkesztéshez.
![Page 90: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/90.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 90
Pl.
![Page 91: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/91.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 91
III.
I.
II.
![Page 92: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/92.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 92
Pl.
A valóságban nincs koncentrált erő, a nyíróerő ábra folytonos.
![Page 93: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/93.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 93
Pl.
![Page 94: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/94.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 94
Pl.: Befogott tartó
II.
I.
![Page 95: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/95.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 95
Pl.:
I.
II.
![Page 96: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/96.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 962005.11.18. STATIKA - 9. előadás 96
Statikailag határozott megtámasztású, többtámaszú tartók
(Gerber-tartók:pl. Szabadság híd)
Gerber német hídépítőmérnök (1832-1912)
A tartót kéttámaszú tartókra lehet bontani:
1) fő rész (B-D szakasz): önmagában is megáll
2) befüggesztett rész (A-B szakasz): csak a másik tartórészre támaszkodva áll meg.
A befüggesztett rész csak a B ponton csuklós rögzítéssel válhat önálló tartóvá. A B csuklót belső csuklónak nevezzük. Az erőjáték vizsgálatát mindig a befüggesztett tartóval kell kezdeni!
![Page 97: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/97.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 972005.11.18. STATIKA - 9. előadás 97
Számítás menete: (A B belső csukló alkalmazásával kapott kéttámaszú tartók a hagyományos szerkesztő és számítási módszerekkel vizsgálható)
1) Meghatározzuk a befüggesztett tartó reakcióit (FA és FBreakcióerőket)
2) A fő részre működtetve az FB erő ellentetjét FB’-t meghatározzuk az FC és FD reakcióerőket
![Page 98: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/98.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 982005.11.18. STATIKA - 9. előadás 98
![Page 99: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/99.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 992005.11.18. STATIKA - 9. előadás 99
5.5. Síkbeli rácsos tartók
1. A csomópontok ideális csuklók2. A rudak geometriai tengelyei egy pontban metszik
egymást3. A rudak tengelye közös síkban fekszik4. A rudak merev testek5. A rudak egyenesek, húzó és nyomó erőt fel tudnak
venni6. A szerkezetet a csomópontokban terhelik az erők
Az ideális rácsos tartók jellemzői:
![Page 100: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/100.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1002005.11.18. STATIKA - 9. előadás 100
A szegecselt csomóponthoz képest az ideális rácsos tartó modellezés a biztonságot növeli.
r = 2c-3aholr – rudak számac – csuklók száma.
A belső statikailag határozottság feltétele:
![Page 101: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/101.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1012005.11.18. STATIKA - 9. előadás 101
Belsőleg és külsőleg statikailag határozott (ezzel foglalkozunk)
Belsőleg statikailag határozott, külsőleg határozatlan
![Page 102: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/102.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1022005.11.18. STATIKA - 9. előadás 102
Külsőleg határozott, belsőleg határozatlan
Külsőleg határozatlan, belsőleg határozatlan
![Page 103: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/103.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1032005.11.18. STATIKA - 9. előadás 103
A csuklókat sorszámozzuk, a rudak a végükön lévőcsuklószámokat kapják indexként.
Feladat: reakciók meghatározásarúderők meghatározása
![Page 104: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/104.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1042005.11.18. STATIKA - 9. előadás 104
A csuklókban a rúderők közös metszéspontú erők, ezért x-y irányban 2 egyenlet írható fel rájuk, ez összesen 2c darab egyenlet.Az ismeretlenek száma: r rúderők száma
összesen tehát r+3.
Ez szükséges feltétel, mely elégséges is, ha a tartó csupa ∆ elemből áll.
A rúderők meghatározásának módszerei:•Csomóponti módszer•Cremona-féle erőterv•Átmetsző módszer
![Page 105: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/105.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1052005.11.18. STATIKA - 9. előadás 105
Csomóponti módszer
Az i-edik csomópontra felírható:
aholFkli - az i-edik csomópontra ható rúderőFRi - az i-edik csomópontra ható külső erők eredője.
Minden csomóponthoz vektorábrát kell készíteni.
![Page 106: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/106.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1062005.11.18. STATIKA - 9. előadás 106
![Page 107: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/107.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1072005.11.18. STATIKA - 9. előadás 107
Cremona-féle erőterv, amikor a csomópontok vektorábráit egy ábrába rajzoljuk.
Átmetsző módszer, amikor a feladatot visszavezetjük a Coulmann-Ritter módszerre.
![Page 108: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/108.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1082005.11.18. STATIKA - 9. előadás 108
Síkbeli csuklós szerkezetek abban különböznek a rácsos tartóktól, hogy a csuklók és a terhelések a rúd közbensőrészén is lehetnek.Háromcsuklós tartó a legegyszerűbb síkbeli csuklós szerkezet.
Ha a rudat közbenső helyen terheli F erő, akkor ezt a rúd két szélén lévő csuklókba redukáljuk, tetszőleges két hatásvonal felvételével. Ezután a feladatot az előzőek alapján oldjuk meg.
![Page 109: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/109.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1092005.11.18. STATIKA - 9. előadás 109
A reakciók meghatározásának módjai:
- szuperpozíció elve:
+
![Page 110: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/110.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1102005.11.18. STATIKA - 9. előadás 110
- csuklóra redukálás elve:
![Page 111: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/111.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1112005.11.18. STATIKA - 9. előadás 111
Felbontjuk a rudat terhelő erőket két-két összetevőre úgy, hogy az összetevők hatásvonala átmenjen a csuklópontokon és az F1, F2 erők hatásvonalán tetszőlegesen felvett P1, P2 pontokon (F1A, F1C és F2B, F2C).
Majd megvizsgáljuk a C csukló egyensúlyát:(F1C, F3, F2C)=FRC(FRC, FA1, FB2)=0ahol FA1 és FB2 a reakcióerők rúdirányú összetevői.Az FA és FB reakcióerőket az A és B csukló egyensúlyából határozhatjuk meg.Az A csukló egyensúlya:(FA, F1A, -FA1)=0A B csukló egyensúlya:(FB, F2B, -FB2)=0
![Page 112: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/112.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 1122005.11.18. STATIKA - 9. előadás 112
![Page 113: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/113.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 113
6. A nem ideális kényszerek ellenállásaiA gyakorlatban az egymással érintkező felületek érdesek, az egymáshoz való elcsúsztatással szemben ellenállást fejtenek ki. A súrlódó erő a felületek érintkezési síkjában hat, az elmozdulással ellentétes irányú.
![Page 114: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/114.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 114
Elosztva a két egyenletet egymással:
A Coulomb-féle alapegyenlethez jutottunk.
A súrlódó erő nagysága:
![Page 115: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/115.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 115
Ha az aktív erők eredőjének hatásvonala a súrlódási kúpon belül marad, mozgás nem jön létre:
![Page 116: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/116.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 116
Kötélsúrlódás:
x irányban:
y irányban:
![Page 117: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/117.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 117
Mivel df kicsi, ezért és , ezzel:
A másodrendűen kicsi, ezért elhagyjuk.
A két egyenletből dFN-t kiiktatva:
![Page 118: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/118.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 118
Gördülő ellenállás, menetellenállás
![Page 119: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/119.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 119
, ha éppen elindul
ebből
![Page 120: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/120.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 120
Menetellenállás:
m - csapsúrlódási tényezőn – kerekek száma
mm - menetellenállási tényező
n
![Page 121: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/121.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 121
7. A súlypont7.1. A súlyerőrendszer
A súlyerő párhuzamos erőrendszer.A párhuzamos erőrendszer középpontját súlypontnak nevezzük.
![Page 122: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/122.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 122
A q intenzitásvektor a hely függvénye.Meg akarjuk határozni az erőrendszer eredőjét és helyét.Az erők összegzése:
A nyomatéki egyenlet az origóra:
ahol S0 az elemi dm tömegekből álló, folytonos eloszlású tömegpontrendszer O pontra számított elsőrendű vagy statikai nyomatéka.
mivel
![Page 123: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/123.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 123
Az egyes tömegpontoknak az O pontra számított statikai nyomatékösszege egyenlő az rs vektorral kijelölt súlypontba képzelt össztömegnek az O pontra számított statikai nyomatékával.
ezért a súlypont helye:
de
![Page 124: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/124.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 124
Homogén tömegeloszlású testnél (ρ=áll.):
![Page 125: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/125.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 125
7.2. Vonalak súlypontja
A ds hosszúságú vonaldarab állandó „A” keresztmetszetűnek tekinthető, így: dV=A·ds
Egyenes vonaldarabokból álló test súlypontja:
Ezzel:
![Page 126: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/126.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 126
Pl.:
![Page 127: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/127.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 127
7.3. Síkidomok súlypontja
Legyen a síkidom állandó δ vastagságú lemez,melynek térfogata A·δ, elemi térfogata dV=δ·dA,ezzel:
Ismert területű és súlypontú síkidomok súlypontjánakszámítása:
![Page 128: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/128.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 128
7.4. Papposz-Guldin tételek
Papposz alexandriai matematikus (III. vagy IV. század).Guldin itáliai matematikus (1577-1643).
A síkgörbét elforgatjuk α szöggel. A síkgörbe hossza:
![Page 129: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/129.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 129
Az elforgatáskor a ds ív által megtett súrolt felület:dA=α·r·ds A teljes ív által súrolt felület:
A síkgörbe súlypontja:
Behelyettesítés után:
![Page 130: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/130.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 130
A forgásfelület felszíne az elforgatott síkgörbe(meridiángörbe) hosszának és a síkgörbe súlypontja általmegtett út hosszának szorzata.
A forgástest térfogata az elforgatott síkidomterületének és a síkidom súlypontja által megtett úthosszának a szorzata.
de
ezzel
![Page 131: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/131.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 131
8. A másodrendű nyomaték8.1. A másodrendű nyomaték vektora
Az erőrendszer eredője:
ahol S0 az ABCD síkidom O-ra számított elsőrendű vagy statikai nyomatéka.
![Page 132: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/132.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 132
Az erőrendszer nyomatéka az O pontra:
Az Io(n) csak a geometriától függ, az O pontban az negységvektorhoz tartozó másodrendű nyomatékvektor:
Az I kétváltozós (O pont és n) vektor-vektor függvény.
![Page 133: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/133.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 133
A gyakorlatban többnyire a súlypontba helyezzük azorigót (R=rs). Az i és j egységvektorokhoz tartozómásodrendű nyomaték vektorok:
Ezek koordináta tengelyre számított skalár vetületei:
Felhasználtuk a vegyes szorzatra ismert
azonosságot, ahol a=i; b=r és c=i×r.
![Page 134: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/134.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 134
Mivel r=xi+yj , és i× i=0 ill. i×j=k, ezért
azaz
ahol Ix a síkidom x-tengelyre számított másodrendűnyomatéka, inercianyomatéka.Hasonlóan:
![Page 135: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/135.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 135
A Ix vektor j irányú skalár vetülete:
Ez az előjeles mennyiség a síkidom xy-tengelypárra számított, vagy centrifugális vagy deviációs másodrendű nyomatéka.
![Page 136: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/136.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 136
8.2. Összefüggés az adott ponton átmenő, különböző tengelyekre vett másodrendű nyomaték vektorok között
Az I=Io(n) függvény homogén, lineáris vektor-vektorfüggvény, igaz rá, hogy
(behelyettesítéssel könnyen igazolható.)
A homogén, lineáris vektor-vektor függvényt síkbeli vektorok esetén két összetartozó értékpárja meghatározza, tehát Ix és Iy vektorok is.
![Page 137: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/137.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 137
Feladat: Ix és Iy ismeretében tetszőleges negységvektorhoz Io(n) meghatározása.
Ezzel
ahol az O pontra vonatkozó másodrendű nyomaték tenzora:
![Page 138: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/138.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 138
Ha ismert egy pontban a másodrendű nyomaték tenzor, akkor a tetszőleges n egységvektorhoz tartozó másodrendű nyomaték vektort úgy kapjuk meg, hogy az n vektort balról skalárisan megszorozzuk a tenzorral:
A koordinátarendszer forgatásakor a tenzor főátlójában lévő tagok összege nem változik, ez a tenzor első skalár invariánsa:
y
xjn
i
![Page 139: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/139.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 139
Ez pedig a síkidom pontra számított, poláris másodrendű nyomatéka:
![Page 140: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/140.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 140
Példa az elforgatásra:
![Page 141: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/141.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 141
Hasonlóan:
és
![Page 142: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/142.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 142
Felhasználandó trigonometrikus összefüggések:
Ezekkel az (x,y) koordinátarendszerből a (ξ,η) koordináta rendszerbe való átszámítás képletei:
![Page 143: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/143.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 143
8.3. Főmásodrendű nyomatékok. Főtengelyek
A koordinátarendszer forgatásával találunk olyan tengelypárt, amelyre a centrifugális másodrendű nyomaték zérus.
Ezek a tengelyek a főtengelyek, és a főtengelyekre számított másodrendű nyomatékok a főmásodrendű nyomatékok.
Ekkor az n egységvektorral irányított tengely másodrendű nyomatékvektora In = I·n alakban írható, így:
![Page 144: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/144.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 144
átrendezve:
Az egyenletnek akkor van megoldása, ha
ahol az egységtenzor.
![Page 145: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/145.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 145
A determinánst kifejtve:
A másodfokú egyenlet gyökei:
Az I1 és I2 a főmásodrendű nyomaték, I1 a legnagyobb, I2a legkisebb az összes O ponton átmenő tengelyre számított másodrendű nyomaték közül.
![Page 146: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/146.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 146
Az elforgatás α0 szöge mellett Cξη = 0 lesz, tehát:
ahonnan
A súlypont főtengelyei a centrális főtengelyek.
![Page 147: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/147.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 147
Ix = I1; Iy = I2; Cxy = 0 és α = φ helyettesítéssel a főtengelyek φ elforgatásával kapható másodrendű nyomatékok:
![Page 148: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/148.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 148
8.4. A másodrendű nyomatékok Mohr-féle diagramja
Az indexeket elhagyva és átrendezve:
Négyzetre emelve és összeadva:
Ez az I, C koordinátarendszerbenegy kör egyenlete.
![Page 149: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/149.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 149
8.5. Steiner - tétel
A másodrendű nyomaték változása a koordinátarendszer párhuzamos eltolása esetén.
![Page 150: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/150.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 150
Ezeket integrálva, és figyelembe véve, hogy rs és iállandóak:
A súlypontra számított elsőrendű nyomaték zérus.
Ez a Steiner - tétel vektoriális alakja.
![Page 151: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/151.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 151
A skalár alak:
azaz
és
azaz
A ξ és η a súlyponti tengelyek!
![Page 152: 2011-12_mechanika i. Statika](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012320/55cf9a57550346d033a14b51/html5/thumbnails/152.jpg)
1. változat Mechanika I. (STATIKA) 152
VÉGE A STATIKÁNAK!