2012/12/11pse.web.nitech.ac.jp/doc/12_11-14.pdf2012/12/11 1 2012年度後期生産管理(第11回)...

2012/12/11

1

2012年度後期

生産管理 (第11回)

担当：荒川雅裕Dec 20 2012

2

作業設計(1)

作業実施の手順の明確化

(要素作業，作業順序，標準作業時間などの設定)

> 生産作業に対する機械，作業者の組み合わせの決定

> 作業者の役割と作業時間の設定

標準時間

準備時間

主体時間

正味時間

余裕時間

正味時間

余裕時間

主体時間

付帯時間

機械時間

手作業時間

標準作業時間の構成

・計画立案に利用・実作業での目標値

いかに小さくするか

いかにムダ時間をなくすか

3

習熟効果

人間が作業する際，生産個数の増加につれて，作業者の習熟度が増す

✓ １個あたりの製品の製造時間が低減する

→ 無駄な動作の減少

✓ 作業および製品の質が上がる → ミスの削減

作業時間が低減する効果＝習熟効果(習熟性)効果を示す曲線＝習熟曲線

作業設計(2)

4

モデル

累計生産個数 m累計平均生産時間 p1個目の生産加工時間 p1

習熟係数 k(両対数グラフでの勾配)

p=p1/m k

m個生産の所要時間

Pm=pm=p1/m1-k

m個目の生産加工時間 pmpm=Pm-Pm-1≒ p1(1-k)/mk

グラフから習熟係数が求まるk が大ほど習熟度が高い

習熟曲線

作業設計(3)

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2

5

製品品種の性質と分類(1)(1) 仕様

✓ 完成品の仕様もしくは部品の仕様✓ 仕様の決定方法(下表)

顧客・・・項目 3, 4 生産者・・・項目 1生産者が用意した中から顧客が選択･･･項目 2

製品の仕様種類の組み合わせ

項目製品部品

１標準仕様標準仕様

２オプション仕様標準仕様・オプション仕様

３準特殊仕様標準仕様・特殊仕様

４特殊仕様特殊仕様

(2)品種多品種少量生産の場合では評価が必要である.日程計画(スケジュール)や工程設計から以下のように品種を区分する.

① 製品の加工手順が異なれば，異なる品種とする.② 手順が同じでも，その都度段取替えが必要ならば異なる品種とする．

③ 同一工程で段取替えを必要としなくても，(単位)加工時間が異なれば異なる

品種とする．

6

グループテクノロジー (旧ソ連のミトロファーノフによって開発)

形状の類似性に着目して，部品や製品の分類を行うことで，

加工方法や加工手順を同一とすることや加工工数の削減を

目的とする．

→ 部品の標準化，規格化

→ 製品のコストの削減，

信頼性の向上(初期では設計段階で部品グル

ープと共通加工要素をマトリッ

クス化して、部品の再利用や

共用化を検討)→ 部品をコード付けることで

コンピュータによる処理を

可能とする

形状の定量化

作業の類似性のクラスタリング

7

グループテクノロジーの例

旧ソ連のミトロファーノフ(1966)による部品のグループ分け

8

グループテクノロジーの例

アーヘン工科大学オピッツ(Opitz)の方式

形状と加工技術による分類 (1965)

部品の

全体形状の特徴

主形状(外形形状)

の加工法

内部形状の回転面加工法

補助的な加工法

加工法の番号付け

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3

9

グループテクノロジーの特徴

利点

(1) 設計面：標準化，規格化されて部品点数が減じる．

図面作成手数が減ってコンピュータによる設計や数値

制御による加工自動化のデータ作成が容易になる

(2) 計画面：生産の工程計画，日程計画，MRPが容易に作成できる．

(3) 製造面：作業の専用化，自動化が促進される．

品種間切り替えの手間が削減される

(4) 管理面：品質の向上．製造原価の低減．管理業務が容易

欠点

(1) 設備故障に起因する加工の停滞が起こる

(2) 部品分類システムの作成，部品グループの加工計画などの負荷が

生じる

10www1.ocn.ne.jp/~sato814/gt01.html, gt02.html より引用

学校で利用される理科実験台、調理実習台の

バリエーションの一部共通寸法の決定例

金属ユニットを計画生産、受注に応じて組み

立てて各種の製品に対応する．

11

直線型多段階工程における連続生産の方式

(一連の作業を分割し，各作業に専門の作業者をおき，

品物がライン上を移動するにつれて加工を進める方式）

静止作業方式と移動作業方式

静止：作業者がコンベヤ上の品物をいったん作業台に移し，静止した品物に対して作業する方式

移動：コンベヤ上で移動中の品物に対して作業を行なう

移動

静止

作業場作業場在庫(バンク)

移動距離(作業領域) (余裕＝フロート)

在庫(バンク)

ライン生産方式(1)

12

①分類

加工時における物体の移動状態からの分類

１）静止作業方式

コンベアに物を流し，作業者が定位置において作業を行なう

２）移動作業方式

コンベアの上を物と作業者が同時に移動し，所定の作業領域内

で作業を行なう

※ 静止作業方式と移動作業方式の差

サイクルタイムが監督者によって変化するため、

ラインの編成効率を一定水準に維持できない

３) タクト方式

全工程の作業者が各作業を同時に着手，同時に終了

→ 品物が一斉に次工程に移動

・強制タクト方式：一定間隔で強制的に品物あるいは作業者が移動

・半強制タクト方式：監督者が状況を見ながら，移動時刻を判断


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4

13

①分類 (続き)品種数と作業方式からの分類

１）単一製品ライン生産方式 (単一ライン)２）多品種製品ライン生産方式

① ライン切換え方式

② 混合(製品）ライン生産方式

(a) 固定サイクル投入方式

(b) 可変サイクル投入方式

多品種製品ライン生産方式

多品種・多仕様化に対して量産効果を持たせるように設計された方式

混合ライン生産方式

多品種に対して，同様な作業工程の組み合わせによって

１本のラインから多品種製品を製造する

ライン切替生産方式

計画期間を区切っておき，各々の区切られた期間で特定の

１品種のみを生産する・・・・間欠生産


14

② ライン生産方式を導入する条件

1) 専用ラインを設置しても経済的に効果のある需要がある

2) 異品種を同一ラインで生産する場合では段取替えによる損失が小さい

3) 異品種を同一ラインで生産する場合では同一あるいは類似する加工手

順を取る

4) 完成品在庫を持つことができる(市場の変動が大きい場合に対応するため)

③ 導入の留意点

1) 需要予測に基づいて専用ラインを構築する．工程間の能力をバランス

する工程計画および作業編成を行なう。

2) 生産品種の急激な変更は困難

3) 市場の需要変動に対しては，完成品在庫を持つこと，生産速度を変化

させることで対応


15

単一製品ライン生産方式の設計

手順 (1) サイクル・タイムの決定

(2) 小作業工程数の算定

(3) 作業編成(ラインバランシング)(4) 作業工程間在庫または作業域の決定

(5) ラインの改善

(1) サイクルタイムの決定

サイクルタイム (ピッチタイム)＝計画期間中の生産計画量を当該計画期間能力で生産するための

時間間隔 (１個ごとに製品が製造される時間間隔)

計画期間の生産計画量 Q , 稼動予定時間 A とした場合，

サイクルタイム C ＝ A/Q

(2) 小作業工程数の算定

ラインで製品１個を作るために要する作業時間＝総作業時間 Tサイクルタイム C を維持するために必要な小工程数 Nmin

CTN min CT はT/C以上の小の整数

16

(3) 作業編成

・要素作業：１個の製品を製造するために必要な作業を

可能な程度に割したときの小の作業単位

・要素作業時間：要素作業に必要な標準作業時間

製品１個を完成させるために K 個の要素作業が必要 ( tk = 工程kの要素作業時間)

総組立て時間

(4) ラインバランシング

要素作業間の先行関係を満足させ，各作業工程での作業時間が均等に

なるように要素作業を工程に割り付けること

第 j 工程に割り付けた作業時間をtjとするとタクトタイムとの関係は以下．

max( tj )≦ C (j=1,2, ･･･N)

N : 作業編成を行なった結果，必要とされる作業工程数 ( N≧Nmin )ライン編成効率

K

kktT

1

＝リードタイム/(工程数・サイクルタイム)CNT ･

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5

17

遊休時間 (アイドルタイム ITj ) : サイクルタイムと各作業工程に

割り付けた作業時間との差

スラック(S ) : 全工程における遊休時間の総計

バランスロス(BD)

(5) 作業工程間在庫または作業域の決定

実作業 → 変動が伴う → 作業時間にバラツキが発生

⇒ 工程間にバッファ(緩衝)を設ける

(作業者が) 静止作業方式 ⇒ バンク(仕掛品在庫)移動作業方式 ⇒ フロート(作業領域のゆとり)

＝遊休時間／(工程数×サイクルタイム)

jj tCIT TCNITSN

jj －・

1

導入

11CN

TCN

TCNCN

SBD･・

・

・

18

生産ライン設計

ラインバランシング

加工対象物が移動する流れに沿って，作業が均等になるように

各作業者を配置し，流れをスムーズにする技術

→ 加工対象物の作業を分割する

→ ライン内にある作業工程ごとに要素作業を割り付けていく

(先行順位図などを利用) ・・・作業編成

先行順位図と作業編成の例

1

2

3 4 5

第１工程

作業時間８

第２工程

作業時間１０

第３工程

作業時間１８

１１７

３

８

７

要素作業時間

19

ピッチダイアグラム

各作業工程の作業時間のバランス状態を図示したもの

> 横軸に各作業工程，縦軸に各作業工程における作業時間をとる

> 各作業工程では要素作業の処理順序に従い，作業時間を積み上げる

各作業工程の中で累積が大となる作業時間＝大作業時間

実績サイクルタイムと目標サイクルタイム

遊休時間

要素作業１要素作業２

要素作業３

要素作業４

要素作業５

８分１０分

１８分

１０分

１８分

第１作業工程第２作業工程第３作業工程

実績サイクルタイム目標サイクルタイム実績＞目標

計画通りの生産が

確保できない

仕掛りの発生

作業の再編成が必要

生産ライン設計 (ラインの評価)

20

ライン編成効率とバランスロスライン編成効率：作業編成(ラインバランスによる作業の配分)の効率性

※ 全作業工程の通過時間に対する作業時間の比


ライン編成効率(η) ＝総作業時間

作業工程数×サイクルタイム

作業時間

t1 t2 t3 t4 t5

平均作業時間

実績サイクルタイム(ラインから製品が出てくる時間間隔)

作業の待ち時間

C

5分 3分 6分 7分 4分

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6

21


バランスロス：作業編成の非効率性

※ 全作業工程の通過時間に対する遊休時間の比

※ ピッチダイアグラムにおける (遊休時間の和)/全工程の実績サイクルタイムの和

バランスロス<0.5% ・・・・良好

バランスロス＝

＝ 1-η

作業工程数×サイクルタイム－総作業時間

作業工程数×サイクルタイム

ライン編成効率(η) ＝総作業時間

作業工程数 (N=5)×サイクルタイム(C=t5)

5

1jjt

= 25/(5×7) = 0.71

平滑度指数

作業時間の作業工程間におけるバラツキを示す指標値

(バランスされた作業編成における作業量の均等化のための指標)

平滑度指数 SI ＝ Σ ( 大作業時間－第 k 工程の作業時間)k=1

工程数

22

生産ライン設計例玩具メーカT社の車模型の生産ライン

生産計画の計算T社では来期より新型の車模型Fの生産を行なう。Fの生産計画では，1ヶ月(20日)間で 420個の生産を行なう。１日の操業時間を７時間とする。１台のFの生産に必要な総作業時間は

生産ラインの１日の操業時間＝ 7時間生産計画期間＝ 8400分 (=20*7*60 (分))１台のFの生産に必要な総作業時間＝ 80分 (要素作業時間の総和)

サイクルタイム(タクトタイム) ＝ 8400分/420個 = 20 分/個

小作業工程数＝ = 4 工程

ラインバランシング作業者の手持ち(遊休時間)をなくし，加工物が流れるように作業者に均等な量の作業を割り付ける。要素作業時間の和がサイクルタイム以下となるように，各作業工程に要素作業の割付を行なう。

20/80

23

車模型Fの要素作業

要素作業要素作業名要素作業時間

1 前輪車軸と前輪右タイヤをつける 7

2 前輪車軸と前輪左タイヤをつける 8

3 後車軸と後輪右タイヤをつける 9

4 後車軸と後輪左タイヤをつける 7

5 ボディにシールを貼る 7

6 前輪をシャーシに乗せる 3

7 シャーシにエンジンを乗せる 6

8 ボディにウィンドウを乗せる 8

9 ボディとシャーシを組み合わせる 7

10 ボディとシャーシをネジで固定する 7

11 ネジを締める 11

①

② ⑥

③

④

⑤ ⑧

⑦

⑨ ⑩ ⑪

７分

８分

９分

７分

７分８分

６分

３分７分７分１１分

車模型Fの先行順位図

ラインバランシングの制約条件(1) 要素作業の先行順位関係を満たす(2) 作業工程内の要素作業時間の和 ≦サイクルタイム

作業編成(各工程での作業の組み合わせ)は，先行順位図より考える・・・位置的重み付け法

作業編成の評価評価指標に，バランスロスと平滑度指数を用いて，複数の案から良のものを選ぶ

24

車模型のイメージ図

エンジンボディ

ウィンドウ

タイヤ

シャーシ②

③

④

⑦

⑩⑪⑨

⑧ ①

⑥

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7

25

ラインバランシングの方法

位置的重み付け法バランスロスに着目して，前方にある作業工程から，より多くの要素

作業の割付を行なう方法

各要素作業の要素作業時間と後続する全ての要素作業の要素作業時間から重み付けを表す数値を求め，重みの大きさによって，優先的に作業工程に割り付ける

→ 位置的重み (重みが大きい要素作業から割り付ける)

(手順１) 先行順位行列要素作業の先行順位関係を示すm×mの行列{a i j }を作成する。

> 要素作業 i が j に先行する場合： a i j =1

> 要素作業 i と j が等しい場合： a i j =1

> 上記以外： a i j =0

26

位置的重みの計算例：要素作業 ①の場合

作業要素番号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ PW1

aij 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1

要素作業時間 7 8 9 7 7 3 6 8 7 7 11 35

車模型Fの先行順位行列

(手順２) 位置的重みの計算要素作業 i に対する位置的重み PWi は次式で与えられる。

PWi = Σ e j a i j ( i = 1,2,3,・・・ m)

※ 要素作業 1 について，a i j の値が “”1” である要素作業の作業時間の和

j=1

m

要素作業番号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪要素作業時間 7 8 9 7 7 3 6 8 7 7 11

① 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 35② 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 36③ 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 40④ 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 38⑤ 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 40⑥ 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 28⑦ 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 31⑧ 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 33⑨ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 25⑩ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 18⑪ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11

PW i

27

(手順3) 割付け位置的重みの大きい要素作業から，先行順位関係を満たし，サイクルタ

イムを超えないように割付けを行なう

(1) 位置的重みの大きいものから作業を選択

作業名，位置的重み、直前要素作業，作業時間を記入

(2) 累積作業時間を記入

累積作業時間＝現在割りついている作業工程の今までに

割り付けた要素作業時間の和

(3) 未割付け時間を記入

未割付け時間＝サイクルタイムと累積時間の差

(4) 割付けの可否を記入

累積作業時間≦サイクルタイムかつ先行順位関係が満たされる

・・・「可」作業工程欄に当該作業番号を入れる

上記の条件が満たされない・・・「否」当該作業は次以降の候補

(5) 候補がなくなるまで繰り返す

28

要素作業の割付けワークシート例 (サイクルタイム20)

要素作業番号

位置的重みPWi

直前先行要素

要素作業時間

累積時間

未割付け時間

割付け時間

作業工程

③ 40 － 9 9 11 可 1

⑤ 40 － 7 16 4 可 1

④ 38 － 7 7 13 可 2

② 36 － 8 15 5 可 2

① 35 － 7 7 11 可 3

⑧ 33 ⑤ 8 15 3 可 3

⑥ 28 ①，② 3 18 0 可 3

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

20(サイクルタイム)－9

9+7

16+7 > 20(サイクルタイム) なので

新しい工程へ

20(サイクルタイム)－7

7+8

20 (サイクルタイム) -(7+8)

小

大前工程

後工程

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8

29

要素作業の割付けワークシート例 (サイクルタイム20)

③ 40 1⑤ 40 1④ 38 2② 36 2① 35 3⑧ 33 3⑦ 31 4⑥ 28 4⑨ 25 4⑩ 18 5⑪ 11 5

可10 11 18 2 可

9 7 7 13

可6,7,8 7 16 4 可

1,2 3 9 11

可3,4 6 6 14 可

5 8 15 5

可7 7 13 可

8 15 5

可7 7 13 可

7 16 49 9 11 可

累積時間未割付時間

割り付け要素作業番号 PW直前先行作業要素

要素作業時間

作業工程

各工程の要素作業１工程： 3, 5 作業時間 16２工程： 4, 2 作業時間 15３工程： 1, 8 作業時間 15４工程： 7, 6, 9 作業時間 16５工程： 10, 11 作業時間 18 (サイクルタイム)

バランスロス = (5×18-80) / (5×18)

= 0.11

平滑度指数 (SI) = 5.1

2012/12/11

1

2012年度後期


担当：荒川雅裕Jan 10 2013

2

(1) 押し出し方式 (Push方式)各段階の工程における計画に従って，

生産指示を行なう方法

(例えば、スケジューリングや部品展開によって所要量を計算し，

生産のリードタイムを考慮して，生産開始時刻を決める )

(2) 引張り方式 (Pull方式)終工程が生産に必要な部品や構成品を直前の工程に

要求し，直前の工程は要求された生産に必要な部品を

その直前工程に要求する．

この要求処理を先頭工程まで繰り返す．

→ 要求のタイミングと量が生産指示となる

多段階工程における生産指示方式

3

(1) 押し出し方式 (Push方式)

(2) 引張り方式 (Pull方式)

1 31 2 2 3 市場

予測・確定受注 → 計画(立案)

It1

在庫情報

It3

材料

完成品工程在庫

時期と生産量を指示

市場調査や

市場からの受注

1 31 2 2 3 市場Dt

生産指示

It2 It3

3＊2＊1＊

材料

第 1 工程の

加工待在庫

第 1 工程第 1 工程の

加工済在庫

生産指示

中間製品の

引き取り

在庫情報

It1

(市場に消費された)生産指示

消費していった分，前工程に製造を依頼する

中間製品の削減

4

押し出し型生産指示方式 (期ごとに生産指示する)

1 1 2 2 市場

Dt

予測・確定受注

→ 計画(立案)

LT1=1 LT2=1 LTnmax=1

It1 It2 Itnmax O1

t:t+2 O2 t:t+2

O nt: t+2 ： t 期末に発注し，t+2期首に後工程へ納入すべき

第 n工程への生産指示量 ( n+1 工程に納入される)

Itn ： t 期末の第 n 段階での加工済み在庫

LTn ：第 n 工程の生産リードタイム

t=1 2 i-1 i i+1 i+2

納入発注

t

LT = 1

maxn maxn

max2:

nttO

O nt+i: t+i+2 ⇒

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2

5

モデル１

対象工程(n工程)から最終工程までに要するリードタイム( )

を考慮して、Ln+1期先の最終製品需要量の予測値のみを用いて生

産指示を行なう．生産指示量は次式であたえる．

maxn

ni

in LTL

： t 期末における t+Ln+1 期の製品需要量の予測値1:ˆ

nLttD1:2:

ˆ nLtt

ntt DO

モデル2

対象工程から最終工程までに要するリードタイムを考慮し， Ln+1期

先の最終製品需要量の予測値に最終製品在庫量の修正を加えて，

生産指示を行なう．生産指示量は次式で与える.

：最終製品の t 期末在庫量：最終製品の安全在庫量

maxmax1:2:

ˆ nntLtt

ntt SIDO n

maxn

tI maxnS

← 対象工程は第 n 工程

押し出し型生産指示方式－生産指示方法－

6

モデル 2’

モデル２の仕掛り在庫量を修正し，以下とする.

= 第 n 工程での加工済みの期末在庫量

= 第 n 工程での加工済みの安全在庫量

モデル 3

対象工程から終工程までに要するリードタイムを考慮し，

Ln+1 期先の終製品の需要量の予測値に“期ごと”の予測値と

指示済み量の差，及び終製品在庫量の修正を加える．

修正した生産指示量は以下となる．

= t-i 期末に発注，生産指示し，t+2-i 期首に納入する量

ntInS

nntLtt

ntt SIDO n

1:2:ˆ

nititO 2:

maxmax

12::1:2: )ˆ(ˆ nn

t

L

i

nititittLtt

ntt SIODDO

n

n

← 対象工程は第 n 工程

予測値実測値

7

モデル 3’ モデル3の仕掛り在庫量を修正する．

nnt

L

i

nititittLtt

ntt SIODDO

n

n

1

2::1:2: )ˆ(ˆ

仕掛り品在庫

nLtLt

nLtLt

ntt

ntt

L

i

nitit

nnnn

n

OO

OO

O

2:1:1

22:212:1

12:

t－4

納入発注

t t－3 t－2 t－1 t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5

Ot-4:t-2 Ot :t+2

現在

需要

Ln = 4

Ln = 4 次工程へ

(納入)

完成

指示

指示

完成

次工程へ

(納入)

Ot-Ln+1

指示済の(製品)生産量

t+1～ t+Lnまでの需要予定量

1:ˆ

nLttD

t-(Ln-1)期に生産する量

t+1期に完成する量

t 期に生産する量

t-1 期に生産する量

8

モデル 4

対象工程から最終工程までに要するリード・タイムを考慮して，Ln+1期先の

最終製品需要量の予測値に Ln 期先の最終製品需要量の予測値と前期末に

指示済の量の差および最終製品在庫量の修正を加えて生産指示する．

このモデルでの生産指示量は以下となる．

maxmax1:1:1:2: )ˆ(ˆ nn

tn

ttLttLttntt SIODDO nn

モデル 4’

モデル４に仕掛り在庫量の修正を加える．その工程での仕掛り在庫とする．

nnt

nttLttLtt

ntt SIODDO nn )ˆ(ˆ

1:1:1:2:

2012/12/11

3

9

t 期末在庫の基本構造は次のように示される．

1) 終製品の期末在庫の基本構造

：第 t 期の終製品需要量

2) 第 n 工程(n≦nmax-1)での加工済みの期末在庫の基本構造

tn

ttnt

nt DOII

max:2

max1

max

tD

11:1:21

n

ttn

ttnt

nt OOII

10

予測モデル(予測値の決め方)①いずれの時点で予測したものも，同一の予測値を取るモデル

C は予測値であり，終製品需要量の期待値をとる場合がある.

② ある時点で予測したものは予測対象の期が異なっても同一の

予測値を取るモデル

の推定方法として単純指数平滑法を用いる場合には以下の式を

利用する．

③ある時点で予測したものでも予測対象の期が異なれば予測値も異なるモデル

は単純指数平滑法の適用時では②と同一式を利用する．

は誤差項であり，などを仮定する．

),3,2,1(ˆˆˆ1:2:1: tCDDD nLtttttt

),3,2,1(ˆˆˆ1:2:1: tfDDD tLtttttt n

tf

11 )1( ttt fDf

LtLtt fD :ˆ

tfL ),0( 2 LcNL

11

※生産能力の制約下での実行可能な生産指示量を求めるモデル

→ 生産能力の上限と下限を導入して以下の式に設定する．

1) 可能生産量の上限を考慮する場合

2) 可能生産量の上限と下限を考慮する場合

上記を生産指示量に利用する．

maxP minP

nttO 2:

nttP 2:

},min{ max2:2: POP ntt

ntt

}},,max{min{ minmax2:2: PPOP ntt

ntt

12

引張り生産指示方式

各工程が前工程のみ生産指示を行なう．

→ 中間仕掛り在庫の削減が行なえる

1 31 2 2 3市場

Dt 第 2 工程の加工待在庫

It1 It2 It3 Q2

t:t+1 O3 t:t+2

3＊ 2＊1＊

第 2 工程の

加工済在庫

納入 LT = 0

第 3 工程の

加工済在庫第 3 工程の加工待在庫

d2 t:t+1

: t 期末に発注し，t+1 期中に第 n 工程で加工を行い，t+2 期首に

加工済み在庫として納入するための第 n 工程への生産指示量

: t 期末に発注し，t+1 期中に第 n 工程(1 ≦n≦nmax－1)で加工を行い，

t+1 期末に加工済み(運搬待ち)在庫とする指示量

: 第 n 工程で製品の t 期末在庫

: もしくは次工程でのの生産に必要とされる

構成部品の要求量

全生産能力は無限大と仮定

nttO 2:

nttQ 1:

ntI

nttd 1:

nttO 2:

11:

nttQ

2012/12/11

4

13

(長所) 予測誤差が生じても最終工程の生産変動と

在庫変動が初工程に遡って拡大することはない．

(短所) 各工程の生産リードタイムが長くなると最終製品の

完成までの時間が長くなる．(在庫がないため)

(対策) 期間ごとの需要量を予測

→ 部品展開と所要量計算

① 全工程に対して，基準在庫を持たせる

基準在庫(= (単位期間の要求量の期待値)＋(安全在庫))

→ 生産リードタイムの削減

② 計画期間を短くする → 基準在庫の削減

14

② 加工済み在庫 nmax-1 への構成品の要求

生産指示する量を前工程へ要求

： t 期末に加工済み在庫 nmax-1に要求し，t+1 期首に加工待ち在庫 nmax* に

納入される量(納入量)

： t+1 期首での加工待ち在庫 nmax の在庫量

生産指示量の計算

① 第nmax工程への生産指示

：t 期末に発注，t+1期中に生産，t+2期首に加工済み在庫として納入する量

：t 期末での t+i 期中の終製品需要量の予測値

：t 期末の終製品在庫

：最終製品の安全在庫

maxmaxmax1:11:2:

max2:

ˆˆ nnt

ntttttt

ntt SIODDO

ittD :ˆ

max2:

nttO

maxntI

maxnSt

ntt

nt

nt DOII

max:2

max1

max

max2:

1max1:

ntt

ntt Od

1: ttd

max*1

ntI

1max1::

max1:1

max*max*1

n

ttn

ttnt

nt dOII

15

③ 第 nmax-1 工程への生産指示

： t+1 期末での加工済み在庫nmax-1 の在庫量

：加工済み在庫nmax-1の基準在庫

1max1

ntI

)( max2:

max1::

1max1:

ntt

ntt

ntt OdQ

)( 1max1max1max1::

1max1:

1max1max1

nn

tn

ttn

ttnt

nt SIIQdII1maxnSI

④ 加工済み在庫nmax-2への構成品の要求

： t 期末に加工済み在庫 nmax-2 に要求し，t+1 期首に加工待ち在庫(nmax-1)*

納入される量

t+1 期首での加工待ち在庫(nmax-1)*の在庫量は

)( max2:

1max1::

2max1:

ntt

ntt

ntt OQd

2max1:

n

ttd

)*1max(1

n

tI2max

1:1max

::1)*1max()*1max(

1

ntt

ntt

nt

nt dQII

16

⑥ 以下，同様に加工済在庫 n への構成品の要求量は

= t 期末での加工済み在庫nに要求し，t+1 期首に加工待ち在庫(n-1)*に

納入される量

t+1 期首での加工待ち在庫(n-1)* の在庫量は

⑤ 第 nmax－2 工程への生産指示

t＋1 期末での加工済み在庫 nmax－2 の在庫量は

：加工済在庫 nmax-2 の基準在庫

1max1

ntI

)*1(1

n

tI

)( max2::

2max1:

1max1:

ntt

ntt

ntt OdQ

)( 2max2max2max1::

2max1:

2max2max1

nn

tn

ttntt

nt

nt SIIQdII

2maxnSI

)( max2:

11::1:

ntt

ntt

ntt OQd

nttd 1:

ntt

ntt

nt

nt dQII 1:

1:1

)*1()*1(1

2012/12/11

5

17

⑦ 第 n 工程への生産指示

t+1 期末での加工済み在庫n の在庫量

= 加工済み在庫 n の基準在庫

各段階での加工済み在庫 n の基準在庫は以下の式で与えられる．

α ＝安全在庫 ( 本モデルでは，など）

＝製品需要量の予測値の平均

)( max2:1:1:

ntt

ntt

ntt OdQ

ntI 1

)(1:1:1nn

tntt

ntt

nt

nt SIIQdII

nSI

DSI n

nSI

maxnS

D

18

生産能力に制約を与えた場合

β＝生産能力の制約による許容変動量

第 nmax 工程への実行可能な生産指示量 (生産能力の上・下限が決まっている場合)

加工済み在庫への(構成品の) 要求量

第nmax－1 への生産指示量

加工済み在庫n への(構成品の) 要求量

第 n 工程への生産指示量

maxmax

1:min PDPDP ntt

}},,{min{max max2:

max2: DDOP n

ttntt

max2:

1max1:

ntt

ntt Pd

1max1:

1max1:

n

ttntt dQ

Push方式での生産能力の上・下限の扱いと同様

上限下限

その工程の納入量 d が指示量 Q

)( max2:

11:1:

ntt

ntt

ntt PQd

)( max2:1:1:

ntt

ntt

ntt PdQ

1つ後の工程の指示量Q がその工程の納入量 d

19

生産指示方式と在庫

生産工程 → (通常) 多段階の工程

上流から下流へ，原材料から変換過程を経由して製品となる．

さらに，製品は輸送，販売を経過して顧客へ移送される。

大きくモノの流れをとらえると．．．（サプライチェーン )

モノ(材料，部品，製品，半製品)が顧客に移るまでに滞る現象

→ 在庫

在庫の種類 : 資材在庫 ← 主に，工場内に発生

仕掛り在庫

製品在庫 ← 主に，販売，配送に発生

供給資材

在庫顧客部品

加工

仕掛り品

在庫製品

組立

製品

在庫出荷製品

在庫

サプライヤー

工程１工程 i-1 工程 i

販売

20

工程 i の処理速度 vi ならば vi-1 ＞ vi のとき在庫が発生

vi-1 ＜ vi のとき品切れが発生

加工

1

加工

2

v1 t で 5 個

v2 t で 2 個

v1 > v2

0

0

t 後

在庫大

加工

1

加工

2

v1 t で 2 個

v2 t で 5 個

v1 < v2

0 t 後

品切れ

0 0

0 0

空き

t/4 後

在庫発生の場合

品切れの場合

2012/12/11

6

21

部品，材料の納入速度，処理速度は変動する

→ 品切れの発生

→ 在庫に余裕を取る(余裕在庫) ・・・緩衝在庫

→ 過多な在庫は死蔵在庫(不要となる在庫)や在庫保管費が発生する

緩衝在庫 → 前段階工程と後工程を切り離して独立

に効率的な活動を行なえるようにする｡

在庫に変動成分を含めるため，

→ 生産方式によって変動の効果が異なる

以下，生産指示方式の種類 → 工程の性質について考察

22

(生産指示方式の種類 → 工程の性質について)

ライン生産方式

→ 通常，生産予測に基づき，連続生産 (少品種による)を行なう

＝＞・不確定な需要変動による予測誤差を吸収するための緩衝

・生産能力に応じた生産性を維持するための緩衝

(必ず) 製品在庫の発生 ← 予測を含めた生産計画に依存

※ ライン生産方式の特徴

→ 製造ライン内の工程間の能力と負荷量がバランスされている｡

(工程間の処理速度の差は小: ラインバランシング)

→ 中間・仕掛り品在庫は必要ない (発生も少ない)

→ このため，資材および部品在庫の品切れによるライン停止を

避けるように管理

( 品切れによって処理速度が異なるため )

23

ロット生産方式

→ ① 各段階で在庫が発生

② (加工処理を中心に)段取替えの発生

→ 段取り替え回数を減らして生産効率を上げる

→ 在庫量の増大

( 終)製品の需要速度の変化が大きい

→ 工程数かつ共有工程が多いほど在庫量大

個別生産方式

→ (通常，) 注文を受けてから生産を開始する

→ ・製品を在庫としてもつことができない

・資材(材料，部品)を前もって在庫として持つことはできる

→ 受注から納品までの時間を削減するため，複数の品種に

対応できる中間製品を在庫としてもつ <戦略的な在庫>

24

生産指示方式の設計

[目的] どの工程(発注先)が, 何を，いつまでに, どれだけ(数量)生産(納入)するかを指示すること

→ (資材，部品の) 発注，指示，製造指示が中心となる

設計で考慮する項目

納入の遅れ (納入品不足，品切れ)経済性の効果

生産指示では → 生産指示に要する費用(C1)納入品の受け取り，納品に要する費用(C2)生産指示方式によって影響を受ける生産工程の

費用(C3)納入遅れの発生を抑えるための在庫費用(C4)納入遅れと品切れから生じる損失 (Cn)

2012/12/11

7

25

全体の損失費用：TC＝F(C1, C2, …..Cn) → 小化(生産，在庫，販売含む)

a= 1回当たりの生産指示費用, N = 指示回数

b= 単位当たり受け取り，納入費用, ρ = 生産指示量

v= 現有生産能力, ma = 生産能力以下の生産量変動(差) に要する費用

mb = 生産能力以上の生産量変動(差) に要する費用

f(ρ) = 生産指示量の確率密度関数(発生頻度)h = 保管費, y= 単位期間当たり在庫量

g(ξ)＝需要の密度関数 , P= 品切れによって生じる損失

v

v

dfvmbC

dfvmaC

bCaNC

)()(

)()(

3

03

2

1

yn

y

dgyPC

dgyhC

)()(

)()(04 在庫費用

損失

現有能力の差

(能力以上での損失)

(能力以上での損失)

26

生産指示量と指示のタイミング

必要量が予測できる場合 ( ライン生産，ロット生産 )

→ 適当な在庫量を予め持っておく → 品切れの抑制

しかし，需要(顧客)と供給(サプライヤー)に変動が生じる

これらの変動を含んだ期毎の生産量を得る方法

(1) 生産指示量を一定

→ 生産指示の間隔を需要変動に応じて変化させる

→ 定量発注方式

(2) 生産指示間隔を一定

→ 必要量の変動に応じて生産指示量を変化させる

→ 定期発注方式

27

(特徴)

(1) 製造に必要なリードタイムが 0 の場合（ありえないが）

定量発注方式

→ (リードタイムが0ならば) 需要の変動の有無に関わらず，

安全在庫必要なし

定期発注方式

→ (リードタイムが0でも) 需要が確率変動する場合は、

安全在庫が必要

その時期がこなければ生産できないため，需要が一気に来ても

補充できない

(2) リードタイムが確率変動する場合 → (両方式とも)安全在庫が必要

定量発注方式 → 変動するリードタイム内で消費される需要量

によって安全在庫量を決定する

定期発注方式 → リードタイム内の予測誤差の水準を安全在庫

量に含める

28

(3) リードタイムが一定でも，需要量が変動を持つ場合

→ ( 両方式とも ) 安全在庫を持つ必要がある

安全在庫 → 需要の変動による品切れに対処するための在庫

単位時間当たり(１日当たり)の需要量のバラツキ = 標準偏差

は需要へのサービス率 r の表わす信頼係数

L は調達リードタイム

d

r

dr LQ 0

2012/12/11

8

下げる

29

(目的) 原価低減によって利益を確保するための生産方式

利益＝売価－原価需要＜供給：買い手市場 → 原価低減

売価＝原価＋利益需要＞供給：売り手市場 → 原価主義

製造原価＝直接材料費，直接労務費，間接労務費，

経費(間接材料費，エネルギー費など)

JIT生産 → ムダの排除による原価低減

ムダ＝作りすぎのムダ，手持ち(待ち時間)のムダ，

(材料) 在庫のムダ，不良・手直しのムダ，運搬のムダ，

加工そのもののムダ，動作のムダ

→ とくに“完成品の作りすぎ”を抑えることが重要

(例) 現状で，10人で必要数 100個/日をつくっていれば，

① 10人で125個製造する (12.5個/人)

② 8人で100個製造する … より好まれる(作りすぎの抑制)

固定上げる

JIT(Just In Time)生産方式

30

方式を構成する考え方

① ジャストインタイム

後工程の要求にあわせて，必要なものを必要なときに必要な量だけ

生産・供給する仕組み (Pull方式) ⇒ 仕掛在庫ゼロ

② 自働化

機械設備や製品の品質の異常などを即時判断し，都度工程内で解決

する仕組み． ⇒ 工程内で品質を作り込む

異常が生じた場合にラインを自動もしくは作業者自身が停止できる

仕組み (不良品を流さない)．

ジャストインタイムの基本原則

(1) 工程の流れ化

工程間の停滞をなくし，生産リードタイムを削減する．

(2) 小ロット化

ロットの異なる複数の種類の製品を連続的に加工するため，ロットの大きさを小さくする．

JIT(Just In Time)生産方式[トヨタ生産方式 (TPS: Toyota Production System)]

31

(3) 必要数でタクトタイムを決める

✓ 製品の売れるスピードで生産をする．これにより完成品在庫は少なくなる．

✓ このタクトタイムで全工程が同期して生産を行なえば，工程間の仕掛り在庫は削減できる．

(4) 後工程引取り

✓ 後工程が必要なモノを必要なときに必要な量だけ前工程から引き取り，前工

程では引き取られた量だけ生産する．(Pull生産方式)

✓ 運用には“かんばん”を用いる．“かんばん”を渡すタイミングにより，ロットの大きさを決める ⇒ 在庫量の制御


外注かんばんの例オペレーションズ・リサーチVol.42 no.2,66-71,1997 より引用

32

① ジャストインタイム

後工程の要求にあわせて，必要なものを必要なときに必要な量だけ

生産・供給する仕組み (Pull方式) ⇒ 仕掛在庫ゼロ

1 31 2 2 3 市場 Dt

加工待在庫

It2 It3 O3

t:t+2

3＊ 2＊1＊

加工済在庫加工済在庫加工待在庫

d2 t:t+1

部品在庫部品在庫部品在庫

在庫補充

(生産)指示

在庫補充(生産)指示

在庫補充指示


2012/12/11

9

33

・部品あるいは製品の収容箱に１枚の「かんばん」がつけられる．

・「かんばん」が工程内,工程間を循環して,各工程における生産量や前工程からの部品の引き取り量を制御する．

種類：引き取りかんばん → 工程間の部品引き取り量の制御

生産指示かんばん(仕掛かりかんばん)→ 工程内の部品の生産量を制御

タイミング：定量引き取り方式 → 一定枚数溜まったら部品を引き取る

定期引き取り方式 → 一定時間ごとに部品を引き取る

鋳造

工程

部品

加工

工程

部品

組付

工程

終

組立

工程

材料

サプライヤー

引き取りかんばんの流れ

生産指示看板の流れ

製品現物の流れ

“かんばん”による生産指示の方法

引指

引

引

引指指

前工程へ工程内で

物置き場

同一工程

かんばん方式

34

部品加工

工程

部品

組付工程

引き取りかんばんの流れ

生産指示かんばんの流れ

製品現物の流れ

“かんばん”による生産指示の方法

引

指

(1) 加工済みの部品が部品箱に入っている．

箱には指示かんばんがつけられている

(2) 引き取りかんばんと同数の部品箱を選び，

指示かんばんをはずす．(3)（部品の入った)部品箱と引き取り

かんばんを自分の工程に移動

処理の流れ

（4）外された指示かんばんを移動する．

指示かんばんの量だけ部品を製造する．

部品は指示かんばんと一緒に物置き場に移動する．

※外された指示かんばんは引き取られた部品数を示す

2012/12/11

1

2012年度後期



2

サプライチェーン

企画開発設計試作

生産準備

調達製造輸配送販売運用廃棄

リサイクル

需給計画受注生産計画

新製品開発サイクル

製販サイクル

エンジニアリングチェーン

生産活動の範囲と製品ライフサイクル

供給連鎖

複数企業の連携<企業間ネットワーク>

サプライチェーンマネジメント(SCM: Supply Chain Mgt.)(材料や部品の)供給者から消費者までを結ぶ，開発・調達・

製造・配送・販売の一連の業務を統合管理すること。

3

個々の部門で最適に運用

→ 全体としては最適とはいえない

(在庫大，リードタイム大となる)

部分最適の和 ≠ 全体最適

開発調達製造販売配送顧客

チェーンサプライヤー

メーカー

卸売業者・物流業者

小売業者

消費者

はじまり 1985年アパレル業界 → 1990年代に広く普及

4

1985年アパレル業界での取り組み「QR (クイックレスポンス) 」

> 個々の要素では効率的に実施 → チェーンとしては非効率

原料の採取から消費者の購入まで 66週間 ( >1年 )

製造，加工などの実質的な負荷 11週間 ( 55週間は在庫 )

$1000億の売り上げのうち $250億の損失

(当時の) コンサルティング会社の見積り 66週→21週に短縮可

[対策] ・販売情報の共有化 (ITの利用)

・需要予測と在庫の把握による生産出荷のコントロール

生産・販売方式の変更

メーカー主導による「Push方式」 → 顧客主導による「Pull方式」

[結果] 売り上げ30～60％増

在庫回転率 30～90％改善 (大きいほど入出庫が早い)

需要予測 → 生産計画 → 生産生産性大

需要予測 → 生産計画 → 生産< 需要の変動により修正>

2012/12/11

2

5

1990年代以降～現在

SCM ≒ 「ロジスティックス(運送，配送，物流)」の管理の意味で広く捉えられている．

生産者と消費者を結ぶ主となるものが“物流”であるため．

物流がリードタイムに大きく影響するため．

SCMの定義(APICS)・ソースからユーザーに至る資材と製品の流れの管理技術．

購買，生産(能力計画，生産技術，作業管理，スケジューリング，資材管理)，配送，倉庫管理，在庫管理，マーケティングが含まれる．

(目的) 顧客満足指向

全体最適化指向 (調達から消費者までのチェーン全体を管理)

6

サプライチェーンが上手く繋がらなかったらどうなるか？

自動車産業

1台に部品が2万～3万点

・・・異なる部品メーカーから部品を調達

・・・メーカーの絞り込み

大規模なサプライチェーンの構成(世界規模)

・・・在庫管理費の削減最低限の部品の注文

もし，1か所の部品メーカーがストップ生産ストップ

2011年3月東日本大震災

自動車制御用電子部品の工場が被災国内の乗用車メーカー8社の国内での4月の生産台数 28万台

(前年同月比で60％減)

7

現実の問題・現象

✓定式化 (問題・現象を数学的に表記する(数学(理)モデル))✓求解 (定式化した問題を理論的に解く)

(問題を決定するための)重要項目(情報)の抽出

現象の単純化

モデル化 (数理モデル)

最適解, 近似最適解現場で利用

フリー・市販ソフトの利用分析 ⇒ 対策の検討

管理・運用の最適条件を決定するには…

管理＝「計画」＋「統制」

多数・複雑な情報や制約(人間，時間，車両，店舗．．．．．)

8

✓ (モデリングの) パターンの理解・知識

✓ 経験

✓ (式構築の)センス

モデル化 (モデリング)

モデル作り → どのように数式で表現するか？

変数(調べたい，決めたい項目)は？

目的関数(評価項目)は？

現象を作り出す(表現する)ための制約条件は？

解析・計算 → 既存のプログラムを利用(glpk, CPLEX)

2012/12/11

3

glpk (GNU Linear Programming Kit):フリーの線形計画ソルバー (ソフトウェア)： Simplex, B&B など

必要なファイル:実行ファイル → glpsol.exeモデルファイル → FName1.mod (AMPLで表記)データファイル → FName1.dat

実行方法(実行時命令)：glpsol –m <モデルファイル名> -d <データファイル名> -o <出力ファイル名>

(例) glpsol –m FName1.mod –d FName2.dat –o out.csv

参考HP： http://mukun_mmg.at.infoseek.co.jp/mmg/glpk/ (簡易マニュアルあり)

9

AMPL : 数学モデルの表記法

(glpkなどのソルバーで問題を計算する場合に利用)

自作する

FName1.modFName1.dat glpk out.csv

(結果)

glpsol.exe と同一のフォルダに入れる

10

AMPL: 数学モデルの表記法

(glpkなどのソルバーで問題を計算する場合に利用)

(例)ナップザック問題 (混合整数計画問題)複数の本を一つの箱に詰めて運ぶことを考える．

箱には最大3(kg)しか入れることが出来ない．

本はそれぞれ１冊しか存在しない場合，価格が最大となるように箱にどの本

を入れればよいか？

重さ(g) 価格(円)BK１ 400 3000BK２ 700 5000BK３ 1000 7500 BK４ 1200 9800 BK５ 1500 11500BK６ 1700 14000BK７ 1900 15000

11

集合：本 Book (Book 内の１データの変数 b)パラメータ：本の重量 wB ①

本の価格 vB ②

箱のサイズ(最大許容重量) size ③

変数：本を選択したか，していないか δB ={0, 1} : 0-1変数 ④

目的関数：価格最大化 Profit: ⑤

制約条件：重量制限 Weight: ⑥

Bb bbv sizew

Bb bb ≦

AMPLによる数式モデルの表現 (knap.mod)#knap.modset Book;param weight{Book};param value{Book};param size;var X{Book} binary;maximize Profit: sum{b in Book}value[b]*X[b];

s.t. Weight: sum{b in Book}weight[b]*X[b] <= size;

①

②

③④

⑤

⑥

#knap.datset Book:= a b c d e f g;param: weight value:=

a 400 3000b 700 5000c 1000 7500 d 1200 9800 e 1500 11500f 1700 14000g 1900 15000;

param size:=3000;

12

出力結果 (例：out.csv の中身)Problem: knapRows: 2Columns: 7 (7 integer, 7 binary)Non-zeros: 14Status: INTEGER OPTIMALObjective: Profit = 23800 (MAXimum) 24589.47368 (LP)

No. Row name Activity Lower bound Upper bound------ ------------ ------------- ------------- -------------

1 Profit 238002 Weight 2900 3000

No. Column name Activity Lower bound Upper bound------ ------------ ------------- ------------- -------------

1 X[a] * 0 0 12 X[b] * 0 0 13 X[c] * 0 0 14 X[d] * 1 0 15 X[e] * 0 0 16 X[f] * 1 0 17 X[g] * 0 0 1

End of output

結果：目的関数の最大値Profit= 23800

線形緩和解(整数を実数として計算した場合)

最適解を与える組み合わせは d (BK4) と f (BK6)

2012/12/11

4

#knap.modset Book;param weight{Book};param value{Book};param size;var X{Book} binary;

[一般表現]パラメータ：本の重量 wb ① b には本の種類(あるいは番号)が入る

本の価格 vb ②

箱のサイズ(最大許容重量) size ③

変数：本を選択したか，していないか δb ={0, 1} : 0-1変数 ④

AMPLによる表記方法(モデルファイル)1 (knap.mod)

①

②

③

④

← set は集合 (Book と言う集合，中身はdatファイルで記述)← ＃はコメント文

← param はパラメータ(定数)定数で weight {i}, value {i}, sizeがあり，{i}には集合Bookの要素が入る

数式をプログラム形式で記述する※ １つの命令は ; で終わらせる

← var は変数 (variable) <この値を決める>変数で X {i} があり，{i}には集合Bookの要素が入る

← binary は 0-1 変数であることを意味する(ないと，実数扱いになる)

maximize Profit: sum{b in Book}value[b]*X[b];

s.t. Weight: sum{b in Book}weight[b]*X[b] <= size;

[一般化表現]目的関数：価格最大化 Profit: ⑤

制約条件：重量制限 Weight: ⑥

⑤

数式をプログラム形式で記述する※ １つの命令は ; で終わらせる

← maximize は最大化すること。つまり，Profit(任意名)を最大化することを表している。⇒ 目的関数に相当。 Profit の内容は : 以下の式。

← sum{ b in Book } はを意味する。「b= 1,2,….n: nは集合Bookの最大値」など。

← value[b]* X[b] は定数 value[b] と変数 X[b] の積

[b] が { b in Book} のbと連動していることに注意

Bb bbv

sizewBb bb ≦

Bb

← s.t. はSubject to の略 ⇒ 制約条件に相当。Weight は制約条件の名前(任意)← sum{ b in Book } ，weight[b], X[b] は⑤と同様← 制約条件なので「式」であることに注意。

AMPLによる表記方法(モデルファイル)2(knap.mod)

#knap.dat

set Book:= a b c d e f g;

param: weight value:=

a 400 3000

b 700 5000

c 1000 7500

d 1200 9800

e 1500 11500

f 1700 14000

g 1900 15000;

param size:=3000;

AMPLによる表記方法(データファイル)3 (knap.dat)

← set は集合 (Book と言う集合で，a,b,…gから構成される)

← ＃はコメント文

具体的な数値を与える※ １つの命令は ; で終わらせる

← param はパラメーター(定数)２次元配列で weight と value の値を与えている。(最後に ; があることに注意)

← param はパラメーター(定数)size の値を与えている。 size= 3000

weight value

a 400 3000

b 700 5000

c 1000 7500

d 1200 9800

e 1500 11500

f 1700 14000

g 1900 15000

16

[課題１] glpkの利用，ナップザック問題１

“ナップザック問題”に関するモデルファイル，データファイル

(knap.mod, knap.dat)を配布する．これらのファイルについて，

下記の条件を追加・変更して，最適解を求めよ．

※ knap.mod, knap.dat は資料の問題が記述されているため，

初めに実行を確認すること．

第12回レポート課題 (2013/1/17出題)

レポート締め切り2013年1月21日(月) 10:30

MoodleシステムからWordあるいはpdfファイルで提出

※ レポートには数理モデル(数式)，AMPLによるモデル表記，結果を表示せよ。

2012/12/11

5

17

学籍番号下1桁

追加BK8

(重さ , 価格)

追加BK9

(重さ , 価格)

追加BK10

(重さ , 価格)

追加BK11

(重さ , 価格)

追加BK12

(重さ , 価格)

変更

箱容量

0 (600, 3900) (900, 7000) (1200, 9600) (1300, 10400) (420, 3100) 3 Kg

1 (610, 4000) (910, 7100) (1120, 9100) (1280, 10200) (440, 3200) 3 Kg

2 (620, 4150) (920, 7150) (1140, 9250) (1260, 10150) (480, 3350) 3.5 Kg

3 (640, 4300) (930, 7200) (1160, 9300) (1240, 10100) (520, 3600) 3.5 Kg

4 (650, 4550) (940, 7250) (1180, 9500) (1210, 10000) (560, 3850) 4 Kg

5 (640, 4400) (950, 7300) (1100, 9000) (1240, 10100) (600, 4100) 4 Kg

6 (630, 4300) (940, 7250) (1100, 9000) (1280, 10200) (440, 3200) 4.5 Kg

7 (620, 4200) (930, 7200) (1120, 9100) (1300, 10400) (480, 3350) 4.5 Kg

8 (610, 4050) (920, 7150) (1140, 9250) (1320, 10500) (520, 3600) 5 Kg

9 (600, 3900) (910, 7100) (1160, 9300) (1330, 10800) (560, 3850) 5 Kg

単位：重さ(g) , 価格 (円)

18

[課題２] ナップザック問題２

課題１で追加・変更した条件を利用して，類似の箱(ナップザック)が２つ

存在し，１つが1.3倍の大きさの場合について，

(1) 問題を定式化せよ．

(2) 最適解を求めよ．

(ヒント) ２つの箱(ナップザック)を1,2として，各変数を2次元表示せよ．

size[1] size[2]

Bookb Boxc cbbv ,目的関数：価格

制約条件１：重さ cBookb cbb sizew ≦ ,

任意の箱 c について

制約条件２：同一の本が最大１回選ばれる(一つの本に着目すると最大でも１つの箱にしか入っていない)

任意の本 b について条件式を作成する

変数：δb = {0, 1} → δb,c = {0, 1}

箱 c について本 b が入っているか

1.3倍1.0倍

19

[課題２] ナップザック問題２のモデルファイル (knap2.mod)の作成

目的関数(総価格)最大化

AMPL表記

集合

AMPL表記

AMPL表記

AMPL表記

AMPL表記

AMPL表記

AMPL表記

パラメータ(定数)

変数AMPLにおける２次元配列の表記例

変数 var xxx{SETA, SETB}

合計 sum{ i in SETA, j in SETB } xxx[i, j]

任意の i について，

),(]][[ SETBjSETAijixxx

SETAi SETBj

jixxx ]][[

制約条件 AMPL表記

AMPL表記

s.t. Cond{i in SETA}: sum{ j in SETB } xxx[i, j]=0; )(0]][[ ijixxxSETBj

2012/12/11

6

モデルファイル

定数 param Cds{DC, Demand};

変数 var x{Factory, DC};

21

２次元配列データの記述方法 (例)

DemandjDCijiCds ,;],[

データファイル (定数のみ表記すればよい)

DemandkDCiikx ,;],[

set DC := b c ;set Demand := d e f ;Cds[i, j]

d e fb 1.3 0.7 1.1c 0.9 1.3 1.0

param Cds: d e f := b 1.3 0.7 1.1c 0.9 1.3 1.0;

変数が正の整数である表記変数 x[i] が x≧0 で正数 (i∊DC) var x{DC} >=0, INTEGER;

あるいは

param Cds:= b d 1.3b e 0.7b f 1.1c d 0.9c e 1.3c f 1.0;

2012/12/11

1

2012年度後期



2

ロジスティックス(輸送計画) → 物財の場所的移動

(例) ・素材をいくつかの供給業者より購入して生産システム内の複数工場

に必要量に応じて分配する問題

・完成製品を複数の工場から複数の倉庫や販売店へ，要求量や需要

量に応じて移動する問題

・ある配送地点(工場)から複数の需要地を通って元の地点に帰着する問題

(巡回販売員問題 (TSP: Traveling Salesman Problem))

図は宇野毅明氏(国立情報研究所) のHP (http://research.nii.ac.jp/~uno/vrp.htm) より引用

3

巡回販売員問題 (TSP: Traveling Salesman Problem）

n 個の顧客(i=1,2,..n )を巡回するために，最短の経路によって全顧客を

巡回する順序を決定せよ．

目的関数 (総距離) (最小化)

n

i

n

jjijidz

0 0

制約条件

ji

i

i

ijji

n

jij

n

jji

,1

1

1

0

0

0,:0

1}1,0{

iiji

ji

djid

ji

への距離

その他

への移動ならば：

DC センター

2

1

3

4

5

6 顧客顧客

0

拠点 i から出て行く矢印が１つ

拠点 i に入ってくる矢印が１つ

拠点 i, j の間には一方向の矢印がゼロあるいは１つ

距離： d24 = d42

輸送方向：δ24=1, δ42=0

DCセンターを0と置く

変数： ji

定数

n

jji i

01

0,1}1,0{ その他への移動ならば： jiji

0i

1i

ji

i0

i1

ji

jiijji ,1

in

jij

10

1

4




変数

i

0

1

j

i

0

j

・・・

・・・

ji

ji

ji

ji

式A

式B

式A も B も満たすが，不適当

1,0 ijji

0,1 ijji

0 ijji

2012/12/11

2

5

制約条件の問題点

前述の条件でも解は存在する。

→ しかし，式は間違っていないが正しい解が出てこない！

制約条件

ji

i

i

ijji

n

jij

n

jji

,1

1

1

0

0

0

,1}1,0{

その他

への移動ならば： jiji

DC センター

2

1

3

4

5

6 顧客顧客

0




距離： d24 = d42

輸送方向：δ24=1, δ42=0


変数

上記の条件が成立

不正解例

Miller-Tucker-Zemlin (MTZ) constraint


6

制約条件の修正

新しい変数の導入: 拠点 i の訪問順序(番号) 制約条件

ji

i

i

ijji

n

jij

n

jji

,1

1

1

0

0




変数

DC センター

2

1

3

4

5

6 顧客顧客

0

10 nuu ii：

00 u 13 u

26 u

32 u

44 u51 u

65 u

0,1

}1,0{

その他

への移動ならば

：

jiji

jjii unu )1()1(1

i j

0

1,,2,1,11

0

uninui

jiji uu 1,1ならば

追加

i j0,

11,0

ji

nuu jijiならば

0,0, jiji


7

制約条件の修正

新しい変数の導入: 拠点 i の訪問順序(番号)

制約条件

ji

i

i

ijji

n

jij

n

jji

,1

1

1

0

0




DC センター

2

1

3

4

5

6 顧客顧客

0

10 nuu ii：

00 u 13 u

26 u

32 u

44 u51 u

65 u

jjii unu )1()1(1

0

1,,2,1,11

0

uninui

追加

iii un 00 )3()1(1

iii nnu 00 )3()1(1 00 uの条件より

不要あってもよい

0,0, jiji

8

輸送計画問題 (１段階配送計画問題)

m 個の供給源(工場)(i=1,2,..m)から n 個の販売店(j=1,2,..n)へある製品を

輸送する場合，各工場 i における可能な供給量 ai ,各販売店 j での要求

する需要量 bj , 各工場から各販売店への輸送に要する単位製品当たり輸

送費用(輸送単価) cij が与えられている場合，総費用が最小となる各工場

から販売店への輸送量 xij の最適値を算出する．

目的関数 (総費用) (最小化)

m

i

n

jjiji xcz

1 1

制約条件

n

jiji miax

13,2,1,

njbxm

ijji 3,2,1,

1

n

jj

m

ii ba

11

njmix ji ,2,1,,,2,1,0 (非負条件)

線形計画

問題or

混合整数計画問題

工場販売店

1

2

m

a1

a2

am

1

2

n

b1

b2

bn

c11 c12

cmn

cm2

工場の生産量が多い場合

2012/12/11

3

9

工場A,配送センターB1,B2,販売店C1,C2,C3,C4,C5から構成される輸送経路が存在

する．4月第3週に工場Aで製品Xを450個製造し，全販売店に製品の分配を予定して

いる．製品は工場Aで製造後,配送センターに送られ,その後，配送センターから各販売

店に輸送される(下図参照)．

今，工場と配送センター，配送センターと販売店の各拠点間では製品1個当たりの

輸送費と最大可能輸送量が設定されており，図中に記述されている．輸送コストを最

小にするための各拠点間の配送量を決定せよ．

工場

販売店

70

(2.1, 250)

A

C1

B1 C2

C3

C4

C5

B2

配送センター

(3.2, 250)

(1.3, 100)

(0.7, 100)

(1.1, 100) (1.3, 200)

(1.0, 100)

(0.8, 100) (1.5, 200)

80

100

70

80

生産量 400

需要量

(1.7, 100) などは (製品 1 個当たりの輸送量(百円), 最大可能輸送量) を指す

２段階配送計画問題の例

10

工場

販売店

d1 (cFD , aFD )

1

1

1 2

3

4

5

2

配送センター

生産量 spf

demand

d2

d3

d4

d5

(cDS , aDS )

(cFD1,1 , aFD1,1 )

(cFD1,2 , aFD1,2 )

(cDS1,1 , aDS1,1 ) (cDS1,2 , aDS1,2 )

(cDS1,3 , aDS1,3 ) (cDS2,2 , aDS2,2)

(cDS2,3 , aDS2,3) (cDS2,4 , aDS2,4)

(cDS2,5 , aDS2,5)

(cFD , aFD )， (cDS , aDS ) ＝ (単位あたりのコスト, 最大輸送可能量)

２段階配送計画問題

f の集合：工場h の集合：配送センターs の集合：販売店

f->h への輸送量 = x[f,h]h->s への輸送量 = y[h,s]

工場から出て行く輸送量の総和が生産量以下

販売店に入っていく輸送量の総和が需要を満たす

目的関数 (総費用) (最小化)

1 1 1 1

,,,,f h h s

shshDShfhfFD ycxcz

制約条件

各拠点間での実輸送量が最大輸送可能量以下

1

,h

fhf spx

1

,h

ssh dy

shshhfhf aDSyaFDx ,,,, ,

工場で作られる全製品が顧客に送られるのではないことに注意

①

②

③

④ ⑤

定数

変数

1

,1

,s

shf

hf yx ≧⑥

配送センターから出荷する製品数が入荷する製品数以下

11

表１各拠点の位置 (座標：km)

[課題１] 巡回販売員問題(TSP)について

TSP計算用モデルファイル(tsp.mod)，データファイル(tsp.dat)を配布する。

(1) 授業で説明したTSPの数理モデルから，tsp.modファイルを完成せよ。

(2) 「自分の学籍番号/6+1」を計算し，下記の表より該当するNoのDC，各顧客の拠点

間の距離などのデータをデータファイル(tsp.dat)に記述せよ。

(3) glpkを利用して，最短となる訪問ルートを求めよ．ルートはExcelを利用して作成せよ．

(4) glpkを利用して，最長となる訪問ルートを求めよ．ルートはExcelを利用して作成せよ．

x y x y x y x y x y x y x y出発点(配送センター)顧客1 1 98 67 55 31 90 55 34 97 88 41 80 97 58 57顧客2 2 18 32 48 76 87 84 93 62 42 32 45 61 27 34顧客3 3 20 93 73 13 10 70 70 1 99 14 54 21 81 5顧客4 4 85 82 77 79 19 96 80 4 80 80 22 61 18 85顧客5 5 90 60 88 52 94 19 15 64 61 57 70 82 35 39顧客6 6 90 71 67 97 89 41 34 50 29 78 69 68 95 4顧客7 7 41 43 86 72 13 33 91 36 18 75 84 83 7 46顧客8 8 71 33 28 10 38 68 85 50 59 55 54 87 83 60顧客9 9 88 45 54 26 92 11 77 70 66 26 3 90 39 79

No.7

0 0

No.1 No.5

0 0

No.6

0 0

No.3

0 0

No.4

0 0

拠点番号

0 0 0

No.2

0 0

第13回レポート課題 (2013/1/24 出題)締め切り：2013年1月28(月) 10:30

12

巡回販売員問題の AMPL表記の作成

集合(定数)

パラメータ(定数)

変数

目的関数 (総距離)

n

i

n

jjijidz

0 0

制約条件

ji

i

i

ijji

n

jij

n

jji

,1

1

1

0

0

最小化

拠点(配送センター，顧客) AMPL表記 set LOCATION;

AMPL表記

MINIMIZE TOTALDIS:sum{i in LOCATION, j in LOCATION} dis[i,j]*X[i, j];

δij = { 0, 1} AMPL表記 var X{LOCATION, LOCATION} binary;

AMPL表記

s.t. CONDT1{i in LOCATION}: sum{j in LOCATION} X[i, j] =1;

AMPL表記

s.t. CONDT2{i in LOCATION}: sum{j in LOCATION} X[j, i] =1;

AMPL表記

s.t. CONDT3{i in LOCATION, j in LOCATION}:X[i, j]+ X[j, i] <=1;

dij AMPL表記 param dis{LOCATION, LOCATION};

※ dij の各値はデータファイルに記述する

2012/12/11

4

モデルファイル

定数 param Cds{DC, Demand};

変数 var x{Factory, DC};

13

２次元配列データの記述方法 (例)

DemandjDCijiCds ,;],[

データファイル (定数のみ表記すればよい)

DemandkDCiikx ,;],[

set DC := b c ;set Demand := d e f ;Cds[i, j]

d e fb 1.3 0.7 1.1c 0.9 1.3 1.0

param Cds: d e f := b 1.3 0.7 1.1c 0.9 1.3 1.0;

変数が正の整数である表記変数 x[i] が x≧0 で正数 (i∊DC) var x{DC} >=0, INTEGER;

あるいは

param Cds:= b d 1.3b e 0.7b f 1.1c d 0.9c e 1.3c f 1.0;

14

工場A,配送センターB1,B2,販売店C1,C2,C3,C4,C5から構成される輸送経路が存在

する．工場Aで製品Xを450個製造し，全販売店に製品の分配を予定して

いる．製品は工場Aで製造後,配送センターに送られ,その後，配送センターから各販売

店に輸送される(下図参照)．今，工場と配送センター，配送センターと販売店の各拠点

間では製品1個当たりの輸送費と最大可能輸送量が設定されており，図中に記述され

ている．輸送コストを最小にするための各拠点間の配送量を決定せよ．

工場

販売店

d1

(p11, m11)

A

C1

B1 C2

C3

C4

C5

B2

配送センター

(p12, m12)

(q11, n11)

(q12, n12)

(q13, n13) (q22, n22)

(q23, n23)

(q24, n24) (q25, n25)

d2

d3

d4

d5

生産量 450

需要量

(p12, m11) などは

(製品 1 個当たりの輸送量(百円), 最大可能輸送量) を指す

[課題2] ２段階配送計画問題

Sp

15

(1) 数理モデルよりモデルファイルを作成せよ。

(2) データファイルを作成し，glpkにより最適解を求めよ。なお，データを下に示す。学籍番号

下１桁

p11 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0p12 3.2 3.0 2.8 2.6 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4

m11 250 300 250 350 250 300 200 250 250 200m12 250 250 300 250 300 200 300 250 200 250

ｑ１１ 1.3 1.0 1.4 1.6 0.8 1.0 1.2 1.2 1.4 1.0ｑ１２ 0.7 1.0 1.4 1.6 0.8 1.0 1.2 1.2 1.4 1.0ｑ１３ 1.1 1.0 1.4 1.6 0.8 1.0 1.2 1.2 1.4 1.0ｑ２２ 1.3 1.5 1.4 1.4 0.8 1.0 1.0 0.8 1.4 1.0ｑ２３ 1.0 1.5 1.0 1.4 1.2 1.2 1.0 0.8 1.6 1.4ｑ２４ 0.8 1.5 1.0 1.4 1.2 1.2 1.0 0.8 1.6 1.4ｑ２５ 1.5 1.5 1.0 1.4 1.2 1.2 1.0 0.8 1.6 1.4

n１１ 100 100 110 110 120 120 110 110 100 100n１２ 100 100 110 110 120 120 110 110 100 100n１３ 100 100 110 110 120 120 110 110 100 100n２２ 100 100 110 110 120 120 110 110 100 100n２３ 100 100 110 110 120 120 110 110 100 100n２４ 100 100 110 110 120 120 110 110 100 100n２５ 100 100 110 110 120 120 110 110 100 100

d1 70 80 70 80 100 70 80 80 100 70d2 80 90 70 80 80 70 80 90 80 80d3 100 80 80 80 70 80 80 80 70 100d4 70 80 100 80 60 100 80 80 60 70d5 80 70 80 80 90 80 80 70 90 80

6 7 8 90 1 2 3 4 5

Cdf

Cds

aFD

aDS

d

q14 =q15=q21=1000 とする

n14 =n15=n21=0 とする

16

輸送計画問題(２段階配送計画問題) AMPL表記の作成

目的関数 ①

制約式 ②

1 1 1 1

,,,,f h h s

shshDShfhfFD ycxcz

1

,h

fhf spx 制約式 ③

1

,h

ssh dy

制約式 ⑥

shsh aDSy ,, hfhf aFDx ,, 制約式 ⑤制約式 ④

1

,1

,s

shf

hf yx ≧

制約式 ⑦ 0, ≧hfx 0, ≧shy制約式 ⑧

2012/12/11pse.web.nitech.ac.jp/doc/12_11-14.pdf2012/12/11 1 2012年度後期 生産管理(第11回)...

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