· 2014-10-13 · scríobhadh téacs 7 trialacha 2 – tionscadal mata, snáitheanna 1–5 mar...

Scríobhadh Téacs 7 Trialacha 2 – Tionscadal Mata, Snáitheanna 1–5 mar chúrsa dhá bhliain sa mhatamaitic do dhaltaí atá ag tosú sa dara bliain i scoileanna dara leibhéal.

Tá gach ceann de chúig shnáithe an tSiollabais Tionscadal Mata don tSraith Shóisearach le fáil sa leabhar seo.

Tá saintaithí na mblianta ag na húdair ar an ábhar agus chuir múinteoirí ó na scoileanna píolótacha go mór leis an leabhar.

• Tá réimse mór ceisteanna sa leabhar agus iad cumtha go cliste samhlaíoch, rud a thabharfaidh na daltaí suas go dtí an caighdeán a theastaíonn le haghaidh na scrúduithe

• Tugtar aird faoi leith ar riachtanais na ndaltaí agus tugann an cur chuige gach seans dóibh an t-ábhar a thuiscint. Ar an gcaoi seo spreagtar na daltaí agus tugtar muinín dóibh

• Tá na ceisteanna curtha i gcomhthéacs chun an bhaint atá ag an mata leis an bhfíorshaol a thaispeáint do na daltaí

• Tá roinn Cuir triail ort féin i ndeireadh gach caibidle mar áis do dhaltaí agus iad ag caitheamh súil siar ar ábhar na caibidle

• Úsáidtear stíl ceiste atá dírithe ar scileanna um réiteach fadhbanna a fhorbairt

• A lán de na gnéithe den tsraith Téacs 7 Trialacha reatha a bhí chomh sásúil sin sa seomra ranga, tá siad sa leabhar seo freisin

• Tugtar na freagraí ar fad i gcúl an leabhair

Is aistriúchán é seo ar:Text & Tests 2: Junior Certificate Higher Level Maths Strands 1–5

An Leagan Béarla© O.D. Morris, Paul Cooke, Paul Behan, 2012

An Leagan GaeilgeÁ fhoilsiú ag an gComhairle um Oideachas Gaeltachta agus Gaelscolaíochta (COGG)Foireann aistriúcháin agus eagarthóireachta: Diarmuid Clifford, Bairbre Ní Ógáin, Muireann Ní Chuív, Clare Rowland, Donncha Ó Cróinín, Edel Ní ChorráinDearadh agus leagan amach: The Unlimited Design Company

Dearadh: Identikit DesignLeagan amach agus obair ealaíne: Tech-Set Teo.Clúdach: The Unlimited Design Company

Gach ceart ar cosaint. Ní ceadmhach aon chuid den fhoilseachán seo aatáirgeadh, a chur i gcomhad athfhála, ná a tharchur ar aon mhodh ná slí,bíodh sin leictreonach, meicniúil, bunaithe ar fhótachóipeáil, ar thaifeadadhnó eile, gan cead a fháil roimh ré ón bhfoilsitheoir.

An Chomhairle um Oideachas Gaeltachta agus Gaelscolaíochta22 Plás Mhic Liam, Baile Átha Cliath 2www.cogg.ie

iii

Clár

1. An tAilgéabar 1 11.1 Sloinn a shimpliú 11.2 Lúibíní a bhaint 31.3 Luach slonn a fháil 51.4 Cothromóidí líneacha a réiteach 71.5 Fadhbanna a réiteach le cothromóidí líneacha 91.6 Uimhreacha a bhreacadh ar an uimhirlíne 121.7 Éagothromóidí a réiteach 15

Cuir triail ort féin 1 19

2. Fachtóirí 212.1 Fachtóiriú le fachtóirí coiteanna 212.2 Fachtóiriú trí théarmaí a ghrúpáil 232.3 An difríocht idir dhá chearnóg 242.4 Sloinn chearnacha a fhachtóiriú 262.5 Fachtóirí a úsáid chun codáin ailgéabracha a shimpliú 29


3. Tacair 313.1 Súil siar ar théarmaíocht na dtacar 313.2 Difríocht tacar 353.3 Léaráidí Venn ina bhfuil trí thacar 373.4 Fadhbanna ina bhfuil trí thacar a réiteach 41


4. An Uimhríocht Fheidhmeach 494.1 CBL – Brabús agus caillteanas 494.2 Billí tí 524.3 Cáin ioncaim 554.4 Airgeadraí a mhalartú 614.5 Ús iolraithe 64


5. An Staitistic 1 – Sonraí a Bhailiú 725.1 Cineálacha sonraí 725.2 Sonraí a bhailiú 755.3 Sampláil 80


6. Imlíne – Achar – Toirt 856.1 Súil siar ar imlíne agus ar achar 856.2 Achar comhthreomharáin 89

iv

6.3 Achar agus imlíne ciorcail 916.4 Solaid dhronuilleogacha 986.5 Priosmaí 1056.6 Líníocht de réir scála 110 Cuir triail ort féin 6 114

7. An Staitistic 2 – Meáin Staitistiúla agus Leathadh 1177.1 Meáin staitistiúla – An mód agus an t-airmheán 1177.2 An meán 1207.3 Cén meán staitistiúil ba chóir a úsáid? 1247.4 Táblaí minicíochta 1267.5 Raon agus inathraitheacht 131 Cuir triail ort féin 7 136

8. Cothromóidí Cearnacha 1388.1 Cothromóidí cearnacha a réiteach le fachtóirí 1388.2 Foirmle na cothromóide cearnaí a úsáid 1428.3 Fadhbanna as a n-eascraíonn cothromóidí cearnacha 1438.4 Cothromóid chearnach a dhéanamh má tá a fréamhacha agat 146 Cuir triail ort féin 8 148

9. An Chéimseata 1 1509.1 Súil siar ar línte agus ar uillinneacha 1509.2 Uillinneacha triantáin 1539.3 Ceathairshleasáin 1579.4 Triantáin iomchuí 1619.5 Teoirim Phíotagarás 167 Cuir triail ort féin 9 172

10. An Dóchúlacht 17510.1 Fothorthaí a liostú 17510.2 Seansúlacht agus an scála dóchúlachta 17710.3 An dóchúlacht agus fothorthaí comhdhóchúla 18010.4 Dhá theagmhas – Spásanna samplacha a úsáid 18510.5 Dóchúlachtaí a mheas ó thurgnaimh 18810.6 Léaráidí Venn in úsáid sa dóchúlacht 19410.7 Léaráidí crainn 197


11. An Chéimseata Chomhordanáideach – An Líne 20411.1 Súil siar ar fhoirmlí 20411.2 Fána líne 20711.3 Cothromóid líne 21211.4 An chothromóid y 5 mx 1 c 21511.5 Línte comhthreomhara agus ingearacha 21811.6 Línte a léiriú i ngraf 22011.7 Dhá líne ag trasnú a chéile 22411.8 An fhána a léirmhíniú 226


v

12. Cóimheas – Am – Luas 23412.1 Cóimheas agus comhréir 23412.2 Am agus amchláir 23812.3 Luas – Fad – Am 241


13. An Staitistic 3 – Sonraí a Chur i Láthair 24713.1 Súil siar ar léaráidí líne agus ar bharrachairteacha 24713.2 Píchairteacha 25213.3 Histeagraim 25613.4 Léaráidí gais agus duillí 26113.5 Graif mhíthreoracha 269


14. Cothromóidí Comhuaineacha 27614.1 Cothromóidí comhuaineacha a réiteach 27614.2 Cothromóidí comhuaineacha a réiteach go grafach 279 Cuir triail ort féin 14 285

15. Séana – Nodaireacht Eolaíochta – Surdaí 28715.1 Dlíthe na séan 28715.2 Séana codánacha 29015.3 Cothromóidí ina bhfuil séana 29215.4 Uimhreacha éagóimheasta – Surdaí 29515.5 Uimhreacha san fhoirm chaighdeánach 29915.6 Figiúirí bunúsacha – Neastachán 30315.7 Deilíní agus úsáid an áireamháin 305 Cuir triail ort féin 15 308

16. An Chéimseata 2: Triantáin Chomhchosúla – Ciorcail – Teoirimí 31016.1 Triantáin chomhchosúla 31016.2 Trasnaithe agus triantáin 31716.3 Uillinneacha agus ciorcail 32316.4 Teoirimí 4, 6, 9, 14, 19 a chruthú 332 Cuir triail ort féin 16 336

17. An Sorcóir – An Sféar – An Cón 34017.1 An sorcóir 34017.2 An sféar agus an leathsféar 34417.3 An cón 348 Cuir triail ort féin 17 353

18. Patrúin agus Seichimh 35618.1 Seichimh 35618.2 Patrúin athfhillteacha 36018.3 Seichimh líneacha 36118.4 An nú téarma de sheicheamh a fháil 36418.5 Seichimh a dhéantar as cruthanna 36618.6 Seichimh chearnacha 36918.7 Seichimh a ghrafadh 372 Cuir triail ort féin 18 378

vi

19. Feidhmeanna 38119.1 Feidhmeanna 38119.2 Léaráidí mapála 38319.3 Nodaireacht feidhmeanna 38819.4 Comhéifeachtaí feidhme a fháil 391 Cuir triail ort féin 19 395

20. Graif ón bhFíorshaol a Tharraingt agus a Léirmhíniú 39720.1 Graif faid is ama 39720.2 Graif atá comhréireach go díreach 40220.3 Graif ón bhfíorshaol 407

21. Codáin Ailgéabracha – Foirmlí 41321.1 Codáin ailgéabracha a shuimiú le chéile 41321.2 Cothromóidí a bhfuil codáin iontu a réiteach 41521.3 Fadhbanna a bhfuil codáin iontu a réiteach 41721.4 An roinnt san ailgéabar 41921.5 Atheagar a chur ar fhoirmlí 42121.6 Luach a fháil ar fhoirmlí agus foirmlí a scríobh 424 Cuir triail ort féin 21 427

22. An Triantánacht 42922.1 Teoirim Phíotagarás 42922.2 Cóimheas an tsínis, an chomhshínis agus an tangaint 43322.3 Cóimheasa agus uillinneacha a fháil le háireamhán 43522.4 Triantáin dhronuilleacha a réiteach 44022.5 An triantánacht a úsáid chun fadhbanna a réiteach 44422.6 Na huillinneacha 30°, 45° agus 60° 449 Cuir triail ort féin 22 451

23. Feidhmeanna a Ghrafadh 45523.1 Feidhmeanna líneacha a ghrafadh 45523.2 Graif d’fheidhmeanna cearnacha 45923.3 Graif chearnacha a úsáid 46223.4 Graif chearnacha agus fadhbanna praiticiúla 47123.5 Graif d’fheidhmeanna easpónantúla 474 Cuir triail ort féin 23 477

24. An Chéimseata 3: Claochluithe – Tógálacha 48124.1 An chéimseata chlaochlaitheach 48124.2 Siméadrachtaí 48524.3 Tógálacha 1 49124.4 Triantáin agus dronuilleoga a thógáil 498 Cuir triail ort féin 24 504

Freagraí 506

vii

Scríobhadh Téacs 7 Trialacha 2 – An Teastas Sóisearach, Ardleibhéal mar chúrsa dhá bhliain sa mhatamaitic do dhaltaí atá ag tosú sa dara bliain i scoileanna dara leibhéal. Leanann sé ar aghaidh ó Téacs 7 Trialacha 1 – Cúrsa Tosaigh Coiteann a bhí in úsáid ag na daltaí sa chéad bhliain. Tá gach ceann de chúig shnáithe an tSiollabais Tionscadal Mata don tSraith Shóisearach le fáil sa leabhar seo. Léiríonn an leabhar an cur chuige ginearálta i leith theagasc na matamaitice atá beartaithe i dTionscadal Mata. Spreagann sé ní hamháin forbairt ar eolas agus scileanna matamaiticiúla na ndaltaí ach forbairt ar an tuiscint a theastaíonn chun leanúint d’fhoghlaim na matamaitice chomh maith.

Leagtar béim bhreise ar thuiscint na matamaitice trí úsáid a bhaint as ceisteanna dea-struchtúrtha agus as léaráidí a chabhraíonn leis an dalta an ceangal agus an gaol idir an t-ailgéabar agus graif a thabhairt faoi deara agus a thuiscint. Tá a lán fadhbanna agus graf ón bhfíorshaol sa leabhar, rud a chuirfidh ar a súile do na daltaí gur cuid dá saol laethúil í an mhatamaitic.

Tá éagsúlacht mhór fadhbanna sa leabhar, ón gcineál bunúsach go fadhbanna casta, chun freastal ar réimse leathan cumais agus suime i measc na ndaltaí. Rinneadh gach iarracht le fadhbanna a chur i gcomhthéacs ionas go bhfeicfidh na daltaí cén chaoi a mbaintear úsáid as an matamaitic sa ghnáthshaol, agus céard iad na feidhmeanna praiticiúla a bhaineann léi.

An dearadh spreagúil lándaite, mar aon leis an méid mór léaráidí dea-thógtha, ba cheart go gcabhróidís le tuiscint an dalta ar an topaic a bhfuil sé/sí ag déanamh staidéir uirthi. Ag tús gach caibidle, tá liosta dar teideal Focail Thábhachtacha. Beifear ag súil leis go mbeidh na focail sin ar eolas ag na daltaí, agus tuiscint acu orthu, faoin am a mbeidh an chaibidil críochnaithe. Ag deireadh gach caibidle tá mír dar teideal Cuir triail ort féin, ar a bhfuil dath gorm, rud a bheidh ina áis chuimsitheach ag na daltaí chun an méid atá foghlamtha acu a dhaingniú agus chun súil siar a thabhairt air.

Beidh rogha mhór d’acmhainní digiteacha, chomh maith leis an ríomhleabhar, ar fáil ar líne do mhúinteoirí a bheidh ag úsáid an leabhair seo.

O.D. Morris Paul Cooke Paul Behan Márta 2012

Réamhrá

1

Caibi

dil

1

Mír 1.1 Sloinn a shimpliú Slonn a thugtar ar 2x2 1 3x 2 4.Tá 3 théarma ann.Scarann comhartha suimithe (+) nó comhartha dealaithe (–) na téarmaí.Athróg a thugtar ar an litir x.Is comhéifeacht í an uimhir a thagann roimh athróg.In 2x2, is é 2 an chomhéifeacht; in 3x is é 3 an chomhéifeacht.Tairiseach a thugtar ar an téarma –4; ní athraíonn sé.

Sa slonn 2x2 1 5x 2 2 1 3x 1 4x2,

Téarmaí cosúla a thugtar ar 2x2 agus 4x2;Is téarmaí cosúla iad 5x agus 3x freisin.

Is féidir an slonn 2x2 1 5x 2 2 1 3x 1 4x2 a shimpliú ach na téarmaí cosúla a chur le chéile mar seo:

2x2 1 5x 2 2 1 3x 1 4x2

5 2x2 1 4x2 1 5x 1 3x 2 25 6x2 1 8x 2 2

Sampla 1

Simpligh (i) 4a 1 6b 1 6 2 2a 1 b 2 3 (ii) 2x2 2 3x 2 7 2 x2 2 5x 1 3

(i) 4a 1 6b 1 6 2 2a 1 b 2 3 (ii) 2x2 2 3x 2 7 2 x2 2 5x 1 3 5 4a 2 2a 1 6b 1 b 1 6 2 3 5 2x2 2 x2 2 3x 2 5x 2 7 1 3 5 2a 1 7b 1 3 5 x2 2 8x 2 4

Is iad na téarmaí cosúla amháin is féidir a shuimiú le chéile nó a dhealú óna chéile.

An tAilgéabar 1

Focail thábhachtachaslonn téarma athróg comhéifeacht tairiseach téarmaí cosúla lúibíní séan séana cothromóidí líneacha uimhirlíneuimhir aiceanta slánuimhir uimhreacha cóimheasta réaduimhreacha éagothromóidí (. > , <)

2

Cleachtadh 1.1Simpligh gach ceann díobh seo trí théarmaí cosúla a shuimiú:

1. 3x 1 4x 2 2x 2. 7a 1 3 1 4a 1 6

3. 5x 1 y 2 2x 1 4y 4. 5a 1 2b 2 2a 2 4b

5. 12a 1 b 1 3a 1 5b 6. 3x 1 2y 1 3 1 4x 1 3y 1 1

7. 5x 2 4 1 2x 1 8 8. 7x 2 4 2 3x 1 7

9. 6a 1 b 1 3 1 2a 1 2b 2 1 10. 3x 1 4 1 2x 2 6 1 x 1 3

11. 3a 2 b 1 4a 1 5b 2 2a 12. 2ab 1 4 1 3ab 2 2

13. 2p 1 3q 2 r 1 p 2 4q 1 2r 14. 5k 1 3 2 4k 1 6 1 k 2 4

15. 2ab 1 c 1 5ab 2 4c 16. 3xy 1 2z 1 xy 1 9z

17. 6ab 1 2cd 2 ab 1 3cd 18. 6x 2 xy 1 5x 2 7xy

19. x2 2 3x 1 4 2 2x2 1 5x 2 3 20. 3x2 2 3x 1 x2 2 8x 1 7

21. 3a2 2 2a 2 6a 1 4a2 2 3 22. y2 2 8y 2 3y2 1 2y 2 3

23. 3x2 2 2 1 5x 2 4 2 7x 1 1 24. 5a2 1 2a 2 3a2 1 4 2 3a 1 2

25. Is slonn é 3x2 2 2x 1 4xy 1 8. (i) Cé mhéad téarma atá sa slonn? (ii) Céard é comhéifeacht xy sa slonn? (iii) Cé mhéad athróg atá sa slonn? (iv) Céard é an tairiseach sa slonn?

26. Oibrigh amach agus simpligh slonn d’imlíne gach ceann díobh seo:

(i) (ii) (iii)2p � q

3p � 5q

2p � 2q

12 � 2b

4a � 8

10 � 2a

2b � 1

a � b � 2c2a � 2b � c

a � b � c

27. Oibrigh amach slonn do gach fad atá marcáilte le ?.

(i) 4p 2

?

(ii)

6p � 5

6p � 2 ?

(iii) x � 4

3x � 4

? (iv)

10x � 8

5x � 4 ?

3

Mír 1.2 Lúibíní a bhaint Chun 3x 3 4y a scríobh ina théarma singil, iolraímid na comhéifeachtaí 3 agus 4 agus ansin iolraímid na hathróga x agus y.Mar sin, 3x 3 4y 5 3 3 4 3 x 3 y 5 12xy.

Ar an gcaoi chéanna, (i) 3a 3 6b 5 18ab (ii) 23p 3 4q 5 212pq

Sa staidéar atá déanta agat ar an ailgéabar go dtí seo, d’fhoghlaim tú lúibíní a bhaint mar seo:

a(b � c) � ab � ac Sa chás seo, iolraítear gach rud taobh istigh den lúibín faoi a.

Ar an gcaoi chéanna, (i) 5(2x 1 6) 5 10x 1 30 (ii) 24(5a 2 2) 5 220a 1 8 (iii) 2(6x 2 4) 5 26x 1 4 (iv) 2(29a 1 6) 5 9a 2 6

Iolrú le séana Is féidir 5 3 5 a scríobh mar 52, ar an gcaoi chéanna, is féidir x 3 x a scríobh mar x2.Freisin, a 3 a 3 a 5 a3

agus a2 3 a2 5 a 3 a 3 a 3 a 5 a4

a2 3 a3 5 a 3 a 3 a 3 a 3 a 5 a5

3x(2x2 2 x 1 4) 5 6x3 2 3x2 1 12x

Dhá shlonn a iolrú Cuirfidh sé seo i gcuimhne duit cén chaoi le dhá shlonn, a bhfuil dhá théarma an ceann iontu, a iolrú:

(2x 1 3)(3x 2 5) 5 2x(3x 2 5) 1 3(3x 2 5)5 6x2 2 10x 1 9x 2 155 6x2 2 x 2 15

Sampla 1

Bain na lúibíní agus simpligh gach ceann díobh seo:

(i) (2x 2 3)(3x 2 4) (ii) (2x 2 4)(x2 2 3x 1 5)

(i) (2x 2 3)(3x 2 4) 5 2x(3x 2 4) 2 3(3x 2 4)5 6x2 2 8x 2 9x 1 125 6x2 2 17x 1 12

(ii) (2x 2 4)(x2 2 3x 1 5) 5 2x(x2 2 3x 1 5) 2 4(x2 2 3x 1 5)5 2x3 2 6x2 1 10x 2 4x2 1 12x 2 205 2x3 2 6x2 2 4x2 1 10x 1 12x 2 205 2x3 2 10x2 1 22x 2 20

Chun cumhachtaí den uimhir chéanna a iolrú, suimigh na séana.

Má tá comhartha dealaithe taobh amuigh de na lúibíní, athraítear comhartha gach téarma taobh istigh de na lúibíní nuair a bhaintear na lúibíní.

4

Seo léaráid a thaispeánann go bhfuil (a 1 b)(c 1 d ) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd.

Is é achar na dronuilleoige ar dheis ná

(a 1 b)(c 1 d )

Roinntear an dronuilleog ina ceithre dhronuilleog eile atá níos lú. Léirítear achar gach dronuilleoige.

Taispeánann an léaráid seo go bhfuil (a 1 b)(c 1 d ) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd.

Cleachtadh 1.2 1. Sloinn gach ceann díobh seo ina théarma singil:

(i) 3 3 4a (ii) 3a 3 5a (iii) 2a 3 b (iv) 3x 3 4y (v) 22a 3 3a (vi) 2ab 3 4b (vii) 2a2b 3 ab (viii) 4 3 a 3 6 3 a2

Bain na lúibíní agus simpligh gach ceann díobh seo:

2. 3(2x 2 1) 1 5(x 1 2) 3. 2(x 2 4) 1 3(2x 1 5)

4. 5(3x 2 2) 2 2(x 2 1) 5. 3(3x 1 2) 2 4(2x 1 1)

6. 6(2x 2 3) 1 2(3x 2 1) 7. 5(x 2 2) 2 (2x 1 4)

8. 3(2a 2 7) 2 5(a 2 4) 9. 2(3a 2 4) 2 (5a 2 3)

10. 2(x2 2 3x 1 1) 1 2(x2 1 x 2 4) 11. 5(x2 2 x 2 4) 2 2(2x2 2 3x 1 2)

Faigh toradh gach ceann díobh seo:

12. (2x 1 4) (x 1 3) 13. (3x 1 2)(2x 1 4)

14. (3x 1 1)(2x 2 4) 15. (5x 2 2)(2x 1 3)

16. (2x 2 3)(x 2 5) 17. (5x 1 1)(3x 2 3)

18. (3x 1 1)(x2 1 2x 1 1) 19. (2x 1 4)(2x2 2 x 2 3)

20. (5x 2 2)(x2 2 x 1 4) 21. (3x 2 2)(2x2 2 3x 1 7)

22. (4x 2 1)(x2 2 4x 1 6) 23. (4x 2 3)(2x2 2 3x 1 2)

24. (3a 2 4)(2a2 2 3a 1 2) 25. (2y 2 7)(y2 1 3y 1 1)

26. Scríobh slonn d’achar gach ceann de na cruthanna seo. Simpligh gach slonn go hiomlán.

(i)

yy

2x

2x (ii)

n � kn

2m

m

m

k

(iii)

5a

4a

c

5a � ca

ac bc

a b

ad

c

d bd

5

27. Faigh an slonn atá ar iarraidh sna ráitis seo. (i) d( ) 5 d 2 1 5d (ii) 2n( ) 5 2n2 2 8n

(iii) 3p( ) 5 15p 2 3p2 (iv) 5k( ) 5 20k 1 5k2

28. Faigh an téarma atá ar iarraidh sna ráitis seo. (i) 5p 3 5 10pq (ii) 3 7n 5 21mn (iii) 3a2 3 5 9a2b

(iv) 3 2y2 5 10x2y2 (v) 3cd 2 3 5 15c3d 2 (vi) 3 7vw3 5 28v3w 4

Mír 1.3 Luach slonn a fháil Nuair atá x 5 3, is ionann luach 2x 1 5 agus 2(3) 1 5 5 6 1 5 5 11Nuair atá x 5 2, is ionann luach 3x2 2 6x agus 3(2)2 2 6(2) 5 3(4) 2 12 5 12 2 12 5 0

Sampla 1

Má tá a 5 2, b 5 3 agus c 5 24, faigh luach

(i) a 1 b (ii) 2a 2 b (iii) 3a2 2 2c (iv) 2c2 2 4ab

(i) a 1 b 5 2 1 3 5 5 (ii) 2a 2 b 5 2(2) 2 3 5 4 2 3 5 1

(iii) 3a2 2 2c 5 3(2)2 2 2(24) (iv) 2c2 2 4ab 5 2(24)2 2 4(2)(3)5 3(4) 1 8 5 2(16) 2 4(6)5 12 1 8 5 20 5 32 2 24 5 8

Cuimhnigh

Sampla 2

Má tá x 5 3 agus y 5 22, faigh luach 3x2 2 4xy 2 2y2.

3x2 2 4xy 2 2y2 5 3(3)2 2 4(3)(22) 2 2(22)2

5 3(9) 2 4(26) 2 2(4) … cearnaigh sula n-iolraíonn tú

5 27 1 24 2 85 51 2 85 43

Chun luach sloinn a fháil, (i) déan an t-iolrú agus an roinnt sula ndéanann tú an suimiú nó an dealú (ii) nuair a iolraítear uimhir ar bith faoi nialas, is é nialas an freagra, m.sh. 6 X 0 = 0

6

Cleachtadh 1.3 1. Má tá x 5 4, faigh luach gach ceann díobh seo:

(i) 3x (ii) 2x 1 6 (iii) 7 2 x (iv) x2 1 3 (v) 3x2 2 2x 2 7

2. Má tá a 5 3 agus b 5 22, faigh luach gach ceann díobh seo:

(i) 2a 1 b (ii) a2 1 ab (iii) 2a2 1 b2 (iv) 3ab 1 2b2

3. Má tá a 5 1, b 5 2 agus c 5 3, faigh luach:

(i) 2a 1 b (ii) 3ab 2 c (iii) 4abc 1 3c (iv) 3bc 2 4ab (v) 3abc 2 2ac (vi) 5bc 2 2ab

(vii) 3a 1 6b _______ c

(viii) 4b 2 2a _______ c

(ix) 6c 2 ab _______ 4b

4. Má tá x 5 1 1 _ 2 agus y 5 1 _ 2 , faigh luach:

(i) 4x 1 2y (ii) 3x 1 y (iii) 2x 2 4y (iv) 8xy

5. Má tá a 5 4 agus b 5 3, faigh luach:

(i) a2 1 b (ii) b2 2 2a (iii) 3a2 2 2b2 (iv) a2b 2 2ab

6. Má tá x 5 2, faigh luach 2x2 2 3x 1 5.

7. Má tá a 5 5, b 5 2 agus c 5 8, faigh luach gach ceann díobh seo:

(i) a 2 bc (ii) 2a2 2 bc (iii) a(b 2 c)2

8. Ríomh luach gach ceann de na sloinn seo nuair atá p 5 2, q 5 3 agus r 5 6:

(i) r (p 1 q) (ii) rp 1 q (iii) r ___ pq

(iv) q 1 r

_____ p

(v) 5r 2

9. Má tá x 5 2, y 5 23 agus z 5 1, faigh luach

(i) x2 2 3xy 1 2z (ii) 2y2 2 3xy (iii) z2 2 3x2y 1 4y

10. Tugann an fhoirmle A 5 bh ___ 2

achar triantáin.

Ríomh achar na dtriantán seo, áit a bhfuil

(i) b 5 25 cm, h 5 10 cm (ii) b 5 16 cm, h 5 12 cm

11. Tugann an fhoirmle A 5 1 _ 2 (a 1 b)h achar traipéisiam, A aonad chearnacha. (Taispeántar a, b agus h ar an léaráid.) Úsáid an fhoirmle chun achair na dtraipéisiamaí a leanas a ríomh, ina bhfuil

(i) a 5 9 cm, b 5 16 cm, h 5 10 cm (ii) a 5 14 cm, b 5 30 cm, h 5 11 cm

b

h

a

h

b

7

12. Má tá m 5 21, n 5 22 agus p 5 8, tá ceithre phéire a mheaitseálann anseo. Céard iad?

mpA

4nF

�3nH

mp � nB

2mn � pC

n � pD E

pn � n

Gpm

13. Faigh luach 3 _____ x 1 3

1 4 ______ 2x 1 6

, nuair atá x 5 1 _ 3 .

Mír 1.4 Cothromóidí líneacha a réiteach Cabhróidh na trí scála thíos leat cuimhneamh ar na céimeanna a úsáidtear chun cothromóid a réiteach. Teastaíonn uainn an chothromóid 3x 1 2 5 14 a réiteach.

14�2

3x � 2�2

12�3

3x�3

4x

Is é x = 4 an freagra.Roinn an dá thaobh ar 3Bain 2 ón dá thaobh

Léiríonn na scálaí thuas gur gá dúinn an chothromóid a athrú go ceann níos simplí chun cothromóid a réiteach. Chun é seo a dhéanamh, suimigh an uimhir chéanna le dhá thaobh na cothromóide, dealaigh an uimhir chéanna ón dá thaobh, iolraigh an dá thaobh faoin uimhir chéanna nó roinn an dá thaobh ar an uimhir chéanna.

Sampla 1Réitigh an chothromóid 3x 2 5 5 16

3x 2 5 5 16 3x 2 5 1 5 5 16 1 5 … suimigh 5 le gach taobh

3x 5 21 x 5 7 … roinn gach taobh ar 3

Sampla 2Réitigh an chothromóid 3(2x 2 6) 5 2(2x 1 1)

3(2x 2 6) 5 2(2x 1 1) 6x 2 18 5 4x 1 2 … bain na lúibíní

6x 2 4x 2 18 5 4x 1 2 2 4x … bain 4x ó gach taobh

2x 2 18 5 2 2x 2 18 1 18 5 2 1 18 … suimigh 18 le gach taobh

2x 5 20 x 5 10 … roinn gach taobh ar 2

8

Cleachtadh 1.4 1. Scríobh síos na huimhreacha atá ar iarraidh ionas go mbeidh na cothromóidí seo fíor:

(i) 1 8 5 15 (ii) 12 2 5 8 (iii) 3 3 5 30

(iv) 3 6 1 2 5 26 (v) 27 4 1 1 5 10 (vi) 7 1 5 1  ___ 2

5 15

2. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo:

(i) 2x 5 8 (ii) 3x 5 27 (iii) 5x 5 35 (iv) 6x 5 42 (v) 9x 5 63

Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo:

3. 4x 1 2 5 14 4. 2x 2 9 5 3 5. 2x 2 7 5 5

6. 3 1 2x 5 11 7. 6 1 3x 5 9 8. 2 1 7x 5 30

9. 6x 2 2 5 4x 1 10 10. 7x 2 9 5 3x 1 11 11. 9x 2 15 5 3x 1 3

12. x 1 7 5 2x 2 1 13. 2x 1 6 5 4x 2 6 14. 3x 1 1 5 5x 2 13

15. 5x 2 2 5 40 2 x 16. 3x 1 7 5 32 2 2x 17. 6 1 2x 5 33 2 x

Bain na lúibíní agus réitigh gach ceann de na cothromóidí seo:

18. 3(2x 1 1) 5 2x 1 11 19. 2(2x 1 5) 5 5x 1 5

20. 4(2x 2 3) 5 2(3x 2 5) 21. 4(3x 1 6) 5 3(5x 2 2)

22. 5(2x 2 4) 1 1 5 3(2x 2 1) 23. 6(2x 1 1) 1 4 5 5(3x 2 1)

24. 5(x 2 2) 2 3x 5 3(x 2 5) 25. 5(2x 1 3) 5 4(2x 1 1) 1 15

26. 5(x 1 3) 2 25 5 6(2 2 x) 27. 10(x 1 4) 2 1 5 3(2x 1 5)

28. 4(x 2 2) 2 9 5 3 2 (x 1 5) 29. 3(x 2 1) 5 18 2 5(x 1 1)

30. 3(5x 1 7) 1 2(3x 2 5) 5 5(2x 1 11) 31. 5(3x 2 2) 5 3(2x 1 1) 1 2x 1 1

32. Oibrigh amach céard dó a sheasann x i ngach ceann díobh seo.

(i) 2x 2

10 � 2x

(ii) 3x 3

13 � 2x

33. Faigh luach x agus luach f sna fíoracha seo. Tugtar an imlíne i ngach cás.

Imlíne � 40Imlíne � 36 4(f � 2)

3(f � 1)

3(f � 1)3x � 22x � 4

3x � 1

3x � 6 6f

9

Mír 1.5 Fadhbanna a réiteach le cothromóidí líneacha I gcúrsaí matamaitice, tá sé an-tábhachtach bheith ábalta fadhb a shloinntear i bhfocail a athrú go cothromóid mhatamaitice agus í a réiteach mar sin.

Léireoidh na samplaí a leanas conas a dhéantar cothromóidí as fadhbanna a shloinntear i bhfocail.

Sampla 1

Nuair a laghdaímid cúig oiread uimhreach áirithe de 4, faighimid an toradh céanna a gheobhaimis dá suimeoimis 7 le ceithre oiread na huimhreach Faigh an uimhir.

Abraimis gurb é x an uimhir atá ag teastáil.

Cothromóid: 5x 2 4 5 4x 1 7 5x 2 4 2 4x 5 4x 1 7 2 4x … bain 4x ó gach taobh

x 2 4 5 7 x 2 4 1 4 5 7 1 4 … suimigh 4 le gach taobh

x 5 11

Is í 11 an uimhir atá ag teastáil.

Sampla 2

(i) Scríobh slonn, i dtéarmaí x, d’imlíne na dronuilleoige seo. Tabhair an freagra san fhoirm is simplí de.

(ii) Is é 44 cm imlíne dronuilleoige.Scríobh síos cothromóid agus réitigh í chun luach x a fháil.

(i) Imlíne 5 (2x 1 1) 1 x 1 (2x 1 1) 1 x 5 (6x 1 2) cm

(ii) Imlíne 5 44 ⇒ x 1 2 5 44 6x 1 2 2 2 5 44 2 2 6x 5 42 x 5 7

x cmx cm

(2x � 1) cm

(2x � 1) cm

10

Cleachtadh 1.5 1. Má iolraím uimhir faoi 4 agus ansin go gcuirim 3 léi, faighim an toradh céanna a

gheobhainn dá gcuirfinn 8 le trí oiread na huimhreach. Scríobh cothromóid in x agus réitigh í chun an uimhir a fháil.

2. Smaoiním ar uimhir; iolraím faoi 8 í; bainim 2 uaithi. Faighim an toradh céanna agus a fhaighim nuair a iolraím an uimhir seo faoi 2 agus go gcuirim 10 léi. Cén uimhir í?

3. Is mó de 5 uimhir amháin ná uimhir eile. Má shuimítear an uimhir is lú le dhá oiread na huimhreach is mó, is é 28 an freagra. Faigh an dá uimhir.

4. Tá Áine 3 bliana níos sine ná Eibhlín. Más ionann dhá oiread shuim a n-aoiseanna agus 50 bliain, cén aois í Áine?

5. (i) Faigh slonn d’imlíne an triantáin seo. (ii) Cén luach de x a fhágann gurb é 55 an imlíne?

6. Má dhealaímid 4 ó uimhir áirithe agus go n-iolraímid an toradh faoi 5, faighimid 15. Faigh an uimhir.

7. Smaoiním ar uimhir, cuirim 4 léi agus dúblaím freagra. Is mó de 20 an toradh ná an uimhir. Faigh an uimhir.

8. Bain úsáid as an eolas atá agat ar uillinneacha chun cothromóid a scríobh agus a réiteach chun luach a a fháil.

9. Taispeántar triantán agus dronuilleog thíos:

xx

30 � 2x

x � 1x � 2

2x30 � 2x

Faigh luach x (i) a thugann triantán ag a bhfuil imlíne de 63 (ii) a thugann triantán agus dronuilleog a bhfuil a n-imlínte ar comhfhad (iii) a dhéanann cearnóg den dronuilleog.

2x � 1

3xx

(3a � 4)°

(a � 2)° (2a � 3)°

(a � 6)°

11

10. Seo codán: x ___   .

Is mó de 5 ainmneoir an chodáin ná an t-uimhreoir. Má chuirtear 1 leis an uimhreoir agus má bhaintear 2 ón ainmneoir, 4 _ 5 a bheidh sa chodán. Faigh an codán.

11. Chun an uimhir i ngach bríce a fháil, suimigh an dá uimhir taobh thuas di. Faigh na sloinn atá ar iarraidh i ngach ceann de na léaráidí thíos. Scríobh cothromóidí chun luach x a fháil i ngach cás.

(i) 18

57

23x (ii) 3x � 2

4x � 5

35

x � 3

12. In uimhreagán, is ionann an uimhir i gcearnóg agus suim an dá uimhir i gciorcail ar gach aon taobh di..

(i) Mínigh an fath gurb é 20 2 x an uimhir i gciorcal B.

(ii) Céard é an uimhir i gciorcal C i dtéarmaí x? (iii) Déan cothromóid trasna bhonn an triantáin agus réitigh í chun luach x a fháil.

13. Faigh slonn in x d’achar na coda scáthaithe den fhíor seo.

Más é 38 cm2 achar na coda scáthaithe, faigh luach x.

14. Tá Ríona x bliain d’aois. Scríobh, i dtéarmaí x, (i) an aois a bhí aici 6 bliana ó shin (ii) an aois a bheidh aici i gceann 12 bhliain.

I gceann 12 bhliain, beidh Ríona trí oiread níos sine ná mar a bhí sí 6 bliana ó shin. Cén aois anois í?

15. Tá cónaí ar 166 duine i mbloc árasán. Is mná iad x duine as an líon seo. Is lú d’ochtar líon na bhfear ná líon na mban agus is mó de 30 líon na bpáistí ná líon na mban ann. Cé mhéad bean atá ina gcónaí sa bhloc?

20 15

19

x

CB

x

xx � 2

2 3

3

12

16. I rás ó chathair go cathair, taistealaíonn duine amháin ar eitleán, duine eile ar bhád agus an tríú duine ar thraein.

Glacann an turas farraige 120 nóiméad níos mó ná mar a ghlacann an turas traenach. Glacann an turas ar eitleán 80 nóiméad níos lú ná mar a ghlacann an turas traenach.

Más é 10 n-uaire agus 40 nóiméad an t-am taistil uile, úsáid an t-ailgéabar chun an t-am a ghlacann gach iomaitheoir sa rás a ríomh.

Mír 1.6 Uimhreacha a bhreacadh ar an uimhirlíne Sa staidéar atá déanta agat ar uimhreacha go dtí seo, bhí tú ag plé le huimhreacha aiceanta agus le slánuimhreacha. Déantar cur síos arís ar na huimhreacha sin thíos agus léirítear ar an uimhirlíne iad.

1. Uimhreacha aiceanta: Is iad seo na huimhreacha lena gcomhaireann tú, ag tosú le 1. Seasann an cheannlitir N dóibh.

N 5 1, 2, 3, 4, 5, …

Léiríonn an tsaighead go leanann na poncanna ar aghaidh gan chríoch.

2. Slánuimhreacha: Is féidir le slánuimhir a bheith deimhneach nó diúltach. Seasann an cheannlitir Z dóibh. Léirítear na slánuimhreacha anseo ar an uimhirlíne.

Z 5 … , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, …

3. Réaduimhreacha: Déanann réaduimhreacha cur síos ar na huimhreacha uile ar an uimhirlíne. Áirítear uimhreacha aiceanta, slánuimhreacha, codáin, deachúlacha agus uimhreacha ar nós √

__ 5 , √

__ 7 , p, … sna réaduimhreacha.

Toisc gur réaduimhir í gach uile uimhir ar an uimhirlíne, deirtear go ‘líonann’ réaduimhreacha an uimhirlíne. Mar sin, seasann líne ‘throm’ do réaduimhreacha ar an uimhirlíne, mar a léirítear thíos. Seasann an cheannlitir R do thacar na réaduimhreacha.

Éagothromóidí De ghnáth, is é 60 km/uair an teorainn luais do charranna a thiomáintear sa chathair. Is féidir é seo a scríobh mar luas < 60 nó L < 60. Ciallaíonn sé seo go bhféadfadh L a bheith cothrom le 60, 58, 56, 40, … Is sampla d’éagothromóid é an ráiteas L < 60.

1 2 3 4 5

10�1�2�3 2 3

13

Is sampla de chothromóid é x 1 3 5 7 toisc go bhfuil taobh amháin cothrom leis an taobh eile. Ach is sampla d’éagothromóid é x 1 3 . 7 toisc nach bhfuil taobh amháin cothrom leis an taobh eile.

Seo thíos na ceithre chomhartha a bhíonn in úsáid in éagothromóidí:

níos mó ná níos lú ná níos mó ná nó cothrom le

níos lú ná nó cothrom le

Anois úsáidfimid na comharthaí seo de chuid éagothromóidí le léiriú conas uimhreacha éagsúla a thaispeáint ar an uimhirlíne.

1. Uimhreacha aiceantaCiallaíonn an éagothromóid x > 4, x N gur féidir le x a bheith ina shlánuimhir ar bith níos mó ná, nó cothrom le, 4, i.e. 4, 5, 6, 7, ... Léirítear iad sin ar an uimhirlíne thíos:

1 2 3 4 5 6 7

2. SlánuimhreachaSeasann an éagothromóid x . 22, x Z do na slánuimhreacha uile atá níos mó ná 22, i.e., 21, 0, 1, 2, 3, … Léirítear iad sin ar an uimhirlíne thíos:

10�1�2 2 3 4 5

3. RéaduimhreachaIs í an éagothromóid x > 3, x R tacar na réaduimhreacha uile atá níos mó ná, nó cothrom le, 3. Léirítear an éagothromóid x > 3 ar an uimhirlíne mar seo:

10 2 3

Léiríonn an líne ‘throm’ go bhfuil na pointí uile ar an líne san áireamh agus léiríonn an ciorcal iata ag 3 go bhfuil an uimhir 3 san áireamh.

Léirítear an éagothromóid x . 22, x R thíos. Léiríonn an ciorcal ‘folamh’ ag 22 nach bhfuil 22 san áireamh.

�2 �1 0 1 2

Éagothromóidí cónasctha Tá sé soiléir go bhfuil 7 . 4 ach go bhfuil 4 , 7.Léiríonn sé seo gur gá comhartha na héagothromóide a athrú nuair a mhalartaítear an dá chuid d’éagothromóid.

Mar sin, (i) má tá 8 . 3, tá 3 , 8 (ii) má tá x > 5, tá 5 < x

14

Seo dhá éagothromóid: x > 2, x R 0 1 2 3 4 5

x , 5, x R 0 1 2 3 4 5

Má chuirimid na héagothromóidí seo le chéile, beidh x idir 2 agus 5. Tá 2 san áireamh ach níl 5 san áireamh. Tá dhá shlí ann chun é sin a scríobh 2 < x agus x , 5 nó an éagothromóid chónasctha 2 < x , 5.

Cleachtadh 1.6 1. Abair an fíor nó bréagach atá na ráitis seo a leanas:

(i) 3 N (ii) 4 Z (iii) 25 N (iv) 2.5 R (v) 23 1 _ 2 N (vi) 0.5 N (vii) 2 3 _ 8 R (viii) √

___ 17 R

2. Cuir . nó , i ngach ceann de na boscaí thíos:

(i) 6 4 (ii) 25 2 (iii) 6 22 (iv) 24 3

3. Scríobh abairt mhatamaitice do gach ceann díobh seo: (i) Tá x níos lú ná 4 (ii) Tá 2 níos mó ná 23 (iii) Is é 40 km/uair an teorainn luais (L) (iv) Tá b níos lú ná, nó cothrom le, 25 (v) Is é 18 an aois íosta (A) (vi) Is é 60 an aois uasta (A).

4. Má tá x N, scríobh síos na luachanna a d’fhéadfadh a bheith ag x i ngach ceann de na héagothromóidí seo a leanas: (i) x , 4 (ii) x < 5 (iii) x , 6 1 _ 2 (iv) x . 2 agus x , 7 (v) x > 1 agus x < 4 (vi) x > 2 agus x , 8

5. Má tá x Z,scríobh síos na luachanna a d’fhéadfadh a bheith ag x i ngach ceann de na héagothromóidí seo a leanas: (i) x > 22 agus x < 1 (ii) x > 0 agus x < 4 (iii) x > 23 agus x < 0 (iv) x > 24 agus x , 1 (v) x . 25 agus x , 2 (vi) x . 22 1 _ 2 agus x , 3 1 _ 4

6. Breac gach ceann de na héagothromóidí a leanas ar an uimhirlíne: (i) x > 3, x N (ii) x < 4, x N (iii) x . 3, x N (iv) x < 2, x Z (v) x > 23, x Z (vi) x . 22, x Z

7. Roghnaigh ceann amháin de x 5 3, x < 3, x , 3, x . 3 nó x > 3 chun cur síos a dhéanamh ar gach graf thíos:

(i) 543210�1 x (ii) 543210�1 x

(iii) 543210�1 x (iv) 543210�1 x

8. Scríobh an éagothromóid a léirítear i ngach ceann de na huimhirlínte seo:

(i) �2�3 3210�1 x (ii) �2�3 3210�1 x

(iii) 543210�1 x (iv) �6�9 9630�3 x

(v) 20 1210864 x (vi) �2�3 3210�1 x

15

9. Breac gach ceann díobh seo ar an uimhirlíne:

(i) x > 1, x R (ii) x > 23, x R (iii) x < 4, x R (iv) x . 3, x R (v) x , 21, x R (vi) x , 4, x R

10. Scríobh síos na luachanna a d’fhéadfadh a bheith ag x i ngach ceann de na héagothromóidí cónasctha a leanas:

(i) 3 < x < 6, x N (ii) 23 , x , 4, x N (iii) 22 < x < 5, x Z (iv) 23 , x , 4, x Z

11. Scríobh éagothromóid do gach ceann de na léaráidí seo:

(i) 1 2 3 4 5 (ii) �1 0 1 2

(iii) �3 �2 �1 0 1 (iv) �3 0 3 6 9

(v) �4 �2 0 2 4 (vi) �5 0 5 10 15 20

12. Cé acu uimhreacha sa phainéal tugtha atá sa tacar luachanna a thugann 0 , x < 5, x R ?

13. Is iolraí ar 4 é m. Faigh na luachanna uile de m a fhágann go bhfuil 10 < m < 24.

14. Cé acu ceann de na huimhreacha thíos a shásaíonn an éagothromóid x2 , 100?

9 15 10 24 211 0 10.5

15. Scríobh gach ceann de na habairtí seo mar ráiteas matamaitice. Seasadh n don uimhir i ngach cás.

(i) Tá ar a laghad 6 léine sa chófra agam.

(ii) Caithfidh teocht an chuisneora a bheith ag 5°C nó níos lú.

(iii) Ní cheadófar bagáiste láimhe a mheánn níos mó ná 10 kg.

(iv) Tá níos mó ná 5 DVD ag Cillian.

(v) Tá ar a laghad 20 dalta i mo rang ach cinnte níl níos mó ná 30. Smaoiním ar uimhir n; iolraím faoi 5 í; bainim 12 uaithi. Tá an freagra níos mó ná 27.

Mír 1.7 Éagothromóidí a réiteach Seo scála a thaispeánann 10 . 8.

108

10 � 8

An bhfanfaidh an scála mar an gcéanna

> má chuirtear an méid céanna leis an dá thaobh > má bhaintear an méid céanna ón dá thaobh > má dhúblaítear an mhais ar an dá thaobh > má laghdaítear faoina leath an mhais ar an dá thaobh?

23 √__

9

0 24.5

√___

20 6

16

An freagra ar gach ceist ná ‘fanfaidh’.Léiríonn na freagraí ar na ceithre cheist sin dhá thoradh an-tábhachtacha maidir le héagothromóidí.

Rialacha maidir le héagothromóidí

Seo roinnt samplaí uimhriúla:

Tá a fhios againn go bhfuil an chothromóid 6 > 4 … fíorCuir 4 leis an dá thaobh: 10 . 8 … fíorDealaigh 7 ón dá thaobh: 3 . 1 … fíorIolraigh an dá thaobh faoi 3: 18 . 12 … fíorRoinn an dá thaobh ar 2: 3 . 2 … fíor

Iolrú faoi uimhir dhiúltach Féach arís ar an éagothromóid 6 . 4.Iolraigh an dá thaobh faoi 22: 212 . 28 … bréagach ... mar 212 , 28.

Léiríonn sé seo gur gá comhartha na héagothromóide a athrú nó a iompú nuair a iolraítear an dá thaobh faoin uimhir dhiúltach chéanna nó nuair a roinntear an dá thaobh ar an uimhir dhiúltach chéanna.

(i) 2 , 5, ach 2 3 (22) . 5 3 (22) i.e. 24 . 210

(ii) 8 . 6, ach 8 ___ 22

, 6 ___ 22

i.e. 24 , 23

1. Fanann éagothromóid fíor fós má chuirtear an uimhir chéanna leis an dá thaobh nó má dhealaítear an uimhir chéanna ón dá thaobh.

2. Fanann éagothromóid fíor fós má iolraítear an dá thaobh faoin uimhir dheimhneach chéanna nó má roinntear an dá thaobh ar an uimhir dheimhneach chéanna.

Má iolraítear éagothromóid faoin uimhir dhiúltach chéanna nó má roinntear éagothromóid ar an uimhir dhiúltach chéanna, caithfear comhartha na héagothromóide a iompú.

Sampla 1

Réitigh an éagothromóid 5x 2 3 > 12, x N agus graf an freagra ar an uimhirlíne.

5x 2 3 > 12 5x > 12 1 3 …cuir 3 leis an dá thaobh

5x > 15 x > 3 …roinn an dá thaobh ar 5

Tá an freagra grafta ar an uimhirlíne thíos.

1 2 3 4 5

17

Sampla 2

Réitigh an éagothromóid 4 2 3x . 25, x Z agus graf an freagra ar an uimhirlíne.

4 2 3x . 25 23x . 25 2 4 …bain 4 ón dá thaobh

23x . 29 3x , 9 …iolraigh an dá thaobh faoi 21 agus iompaigh comhartha na héagothromóide

x , 3 …roinn an dá thaobh ar 3

x 5 2, 1, 0, 21, …

Tá an freagra grafta ar an uimhirlíne thíos.

�2 1�1 0 2 3 4 Z

Éagothromóidí cónasctha Mar a dúradh sa mhír dheiridh, tá dhá éagothromóid san éagothromóid 2 , x < 7, x N

(i) 2 , x agus (ii) x < 7i.e. x . 2 agus x < 7 x 5 3, 4, 5, 6, 7, mar x N

Ar an gcaoi chéanna, tá dhá éagothromóid in 24 < x 2 3 , 2:

(i) 24 < x 2 3 agus (ii) x 2 3 , 2.

Sampla 3

Réitigh an éagothromóid 25 , 1 2 3x < 10, x R agus léirigh an freagra ar an uimhirlíne.

Dhá chothromóid chónasctha atá san éagothromóid 25 , 1 2 3x < 10:(i) 25 , 1 2 3x agus (ii) 1 2 3x < 10

Réitímid gach cothromóid aisti féin:(i) 25 , 1 2 3x (ii) 1 2 3x < 10 3x , 1 1 5 23x < 10 2 1 3x , 6 23x < 9 x , 2 3x > 29 x > 23 x , 2 agus x > 23

�2�3 1�1 0 2

18

Cleachtadh 1.7 1. Cé acu de na héagothromóidí seo a leanas atá comhionann le a > 10 ?

A a 2 5 > 5 B 2a > 20 C a 1 5 > 5 D 1 _ 2 a > 5 E a 1 1 _ 2 > 10 1 _ 2

2. Cé acu de na héagothromóidí seo a leanas atá comhionann le m , 3 ?

m � 2 � 5A

2m � 4B

3 � mC

8 � m � 5D

6 � 2mE

Réitigh na héagothromóidí seo a leanas agus, i ngach cás, graf an freagra ar an uimhirlíne:

3. x 2 1 < 4, x N 4. 3x 2 2 < 10, x N

5. 4x 2 5 < 11, x N 6. 3x 1 5 < 14, x N

7. 2x 1 5 < 1, x Z 8. 3x 2 5 < 7, x Z

9. 3x 2 1 , 210, x Z 10. 5x 2 2 < 8, x Z

11. 3x 2 5 < 7, x R 12. 2x 1 2 < 8, x R

13. 5x 1 7 , 17, x R 14. 3 2 x < 4, x R

15. 5 2 2x > 27, x R 16. 1 2 5x . 214, x R

17. 22 , x < 5, x Z 18. 0 < x , 4, x R

19. 25 < 3x 1 1 , 7, x R 20. 29 , 2x 1 1 < 7, x Z

21. 23 < 2x 1 3 , 5, x Z 22. 25 < 1 2 3x , 10, x R

23. 2 < 4x 1 4 , 7, x R 24. 25 , 4x 1 3 < 11, x R

25. 4 < 5x 2 6 < 29, x N 26. 27 < 3x 2 1 , 14, x R

27. Faigh tacar réitigh 0 < 2x 2 11 , x, má tá x ina uimhir phríomha.

28. Má tá A 5 {x | 2x 2 4 < 6} agus B 5 {x | 4 2 2x , 0} áit a bhfuil x N N i ngach tacar, déan liosta de bhaill A B.

29. Má tá a . b, cé acu ceann díobh seo nach bhfuil fíor i gcás gach a, b R ? (i) 2a . 2b (ii) 2a , 2b (iii) a 2 3 , b 2 3 (iv) a __

5 . b __

5

30. Déan liosta de na slánuimhreacha uile, x, áit a bhfuil x2 , 24.

31. Tógadh bóthar dola nua. Seasann c do líon na gcarranna a théann isteach sa chathair in aghaidh na huaire. (i) Scríobh éagothromóid do c, más eol dúinn go bhfuil

líon na gcarranna idir 350 agus 500 i rith na buaicuaire. (ii) Léirigh an éagothromóid ar an uimhirlíne. (iii) Scríobh éagothromóid nua do c, más eol dúinn go

bhfuil líon na gcarranna idir 120 agus 200 (120 agus 200 san áireamh) i rith lár an lae.

(iv) Léirigh an éagothromóid do c ar uimhirlíne. (v) Scríobh éagothromóid nua do c, má cheaptar go bhfuil

an sruth tráchta san oíche thart ar aon deichiú den trácht i rith lár an lae.

Cuir triail ort féin 1 1. (a) (i) Bain na lúibíní agus simpligh an slonn seo:

2x(3x 2 4) 2 3(1 2 3x)

(ii) Réitigh an chothromóid 2(x 1 2) 2 3(x 2 3) 5 x 1 7

(b) Réitigh an éagothromóid 4 < 5x 2 6 < 14, x R, agus léirigh ar an uimhirlíne an réiteach agat.

(c) Scríobh slonn d’imlíne na dronuilleoige ar dheis. Más é 36 cm imlíne na dronuilleoige, faigh luach x.

2. (a) (i) Cé acu de na ráitis sna boscaí a bhfuil an luach is airde aige nuair x 5 5 ?

(ii) Cé acu de na ráitis a bhfuil an luach is ísle aige nuair x 5 5?

(b) Tá slios [AB] an triantáin seo x cm ar fad. Tá [BC] 3 cm níos faide ná [AB], agus tá [CA] 1 cm níos giorra..

(i) Scríobh síos slonn d’fhad [BC].

(ii) Scríobh síos slonn d’fhad [CA].

(iii) Scríobh síos agus simpligh slonn d’imlíne an triantáin ABC.

(iv) Is é 44 cm imlíne an triantáin. Déan cothromóid in x agus réitigh í chun faid na dtrí shlios a fháil.

3. (a) (i) Scríobh cothromóid le fáil amach céard dó a sheasann x.

(ii) Céard é fad an chláir?

(b) Taispeáin ar an uimhirlíne raon na luachanna do x, áit a bhfuil

23 < 2x 2 1 < 7, x R.

(c) Is éard atá san fhíor seo ná cearnóg agus dronuilleog le chéile.

(i) Má tá imlíne na fíorach p cm ar fad, scríobh p i dtéarmaí x, y agus z.

(ii) Má tá x 5 2y, y 5 2z agus p 5 55, faigh luach x.

3x � 6

5x

2 � 4x2 10(x � 3) 2(10 � x)

x2

225

x � 4

C

A x cm B

10 � x

2x � 1

x cm

x cm

y cm

z cm

19

4. (a) Réitigh an chothromóid 5(x 2 2) 1 11 5 6x 2 10.

(b) (i) Forbair agus simpligh (3x 2 2)(2x2 1 x 1 3).

(ii) Faigh luach etc nuair atá ab _____ a 2 b

a 5 1 _ 2 agus b 5 1 _ 3 .

(c) Is mó de 4 uimhir amháin ná uimhir eile. Nuair a chuirtear trí oiread na huimhreach is lú le dhá oiread na huimhreach is mó, is é 43 an freagra. Céard iad na huimhreacha.

5. (a) Faigh imlíne gach triantáin thíos nuair atá x 5 3.

x 2x � 9

(i) (ii)

5x � 3x � 9

3x � 8

4x � 5

(b) (i) Scríobh slonn d’imlíne an triantáin bhuí. (ii) Cén luach de x a thugann triantán buí arb é 143 a imlíne?

(c) (i) Scríobh slonn d’imlíne an triantáin ghlais. (ii) Cén luach de x a thugann triantán glas arb é 50 a imlíne? (iii) Cén luach de x a thugann an imlíne chéanna don dá thriantán?

6. (a) Scríobh cothromóid don triantán seo trasna agus réitigh í Is é 48 cm an imlíne. Tá na sleasa cothroma marcáilte

(b) A B4t � 3

�5

C D3t2 � 112(t2 � 7)2(t � 5) 5 � t2

E3t � 17

2

F

(i) Nuair a bhíonn t 5 3, bíonn luach 24 ag trí cinn de na sloinn thuas. Céard iad na sloinn sin?

(ii) Nuair a bhíonn t 5 22, bíonn an luach céanna ag trí cinn de na sloinn thuas. Céard iad na sloinn sin?

(c) Tá cuid scáthaithe agus cuid nach bhfuil scáthaithe sa dronuilleog seo. Tá an chuid scáthaithe 3x faoi 2x.

(i) Faigh, i dtéarmaí x, achar na dronuilleoige iomláine.

(ii) Faigh, i dtéarmaí x, achar na coda nach bhfuil scáthaithe.

(iii) Má tá achar 58 aonad cearnach sa chuid nach bhfuil scáthaithe, faigh luach x.

3(a � 5)

(2a � 3)Imlíne � 48 cm

3x

2x

1

3

20

21

Mír 2.1 Fachtóiriú le fachtóirí coiteanna Ó tharla go bhfuil 9 3 5 5 45, deirimid gur fachtóirí de chuid 45 iad 9 agus 5. Fachtóirí de chuid 45 iad 15 agus 3 freisin.

Is iad 1, 2, 3, 4, 6, 12 , 24 fachtóirí 24.Is iad 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 , 18, 36 fachtóirí 36.

Is é 12 an fachtóir coiteann is airde.

Seo agat dhá théarma ailgéabracha: 6xy agus 12x.Is é 6 fachtóir coiteann is airde na n-uimhreacha. Is é x fachtóir coiteann is airde na n-athróg. Mar sin is é fachtóir coiteann is airde an dá théarma 6 3 x, i.e. 6x.

Ar an gcaoi chéanna, léirítear na fachtóirí coiteanna is airde de chuid uimhreacha áirithe thíos:

(i) 3a agus 6a2 5 3a (ii) 6x2 2 12xy 5 6x (iii) 5a2b 2 15ab 5 5ab (iv) 4x2 1 16xy2 5 4x

Cuir i gcás an slonn 5x 1 10.5x 1 10 5 5(x 1 2)Fachtóirí 5x 1 10 a thugtar ar 5 agus (x 1 2).

Chun slonn ailgéabrach a fhachtóiriú:

> Faigh an fachtóir coiteann is airde agus scríobh lasmuigh de na lúibíní é.> Roinn gach téarma ar an bhfachtóir seo agus scríobh na freagraí laistigh de na lúibíní.> Seiceáil an freagra a fuair tú trí na lúibíní a fhorbairt.

Seo roinnt slonn a fachtóiríodh:

(i) x2 1 7x 5 x(x 1 7) (ii) 3x2 2 9x 5 3x(x 2 3) (iii) 3xy 2 12x 5 3x(y 2 4) (iv) 12x2y2 2 6xy 5 6xy(2xy 2 1)

Focail thábhachtachafachtóir an fachtóir coiteann is airde téarmaí a ghrúpáil an difríocht idir dhá chearnóg samhail achair sloinn chearnacha codáin a shimpliú

caibi

dil

2Fachtóirí

22

Cleachtadh 2.1 1. Scríobh síos fachtóir coiteann is airde gach ceann díobh seo a leanas:

(i) 9 agus 12 (ii) 12 agus 18 (iii) 14 agus 21 (iv) 21 agus 35

2. Scríobh síos fachtóir coiteann is airde gach ceann díobh seo a leanas:

(i) 4x agus 12x (ii) 3n agus 9n (iii) 10x agus 15x

(iv) 3a2 agus 6a (v) 3xy agus 12x2 (vi) 2a2b agus 6ab

3. Cóipeáil agus críochnaigh gach ceann díobh seo:

(i) 7x 1 14y 5 7( ) (ii) 16a 1 24b 5 8( )

(iii) ab 1 bc 5 b( ) (iv) 3a2 1 6a 5 3a( )

(v) 5x2 2 15xy 5 5x( ) (vi) 12xy 2 18yz 5 6y( )

(vii) 15x3 1 10x2y 5 5x2( ) (viii) 6a2b 2 8ab2 1 4ab 5 2ab( )

Fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas:

4. 6x 1 18y 5. 3ab 1 3bc 6. 6ax 2 12ay

7. 6a2 2 12a 8. 7x2 2 28x 9. 15x2 1 25xy

10. 3x2 2 6x2y 11. 3ab2 2 6ab 12. 3p2 2 6pq

13. 2x2y 2 6x2z 14. 6y2z 1 10y2 15. 10p2q 1 5pq2

16. 2a3 2 4a2 1 8a 17. 4x2 2 6xy 1 8xz 18. 5xy2 2 20x2y

19. 4x2y2 2 8xy 20. 5x3 2 10x2 1 15x 21. 2a2b 2 4ab2 1 12abc

22. F O T G A U I M C R Í E L Á N

5 2a 3a 2b 7b a2 ab 3b2 a 1 b a 2 5b 2a 2 b ab 1 1 2a 1 3b 7a 2 3b 5a 1 2

Fachtóirigh go hiomlán gach slonn thíos mar thoradh dhá fhachtóir.Úsáid an cód thuas chun litir a fháil do gach fachtóir. Atheagraigh gach grúpa litreacha chun ainm éin a litriú.

(i) 3a2 2 15ab 2a3 2 a2b 7ab 1 7b2

(ii) 7ab2 1 7b 14ab 1 21b2

(iii) 2a2b 1 3ab2 5ab 1 5 14a2 2 6ab 10ab 1 4b

(iv) 3ab2 1 3b3 4a2 1 6ab

23

Mír 2.2 Fachtóiriú trí théarmaí a ghrúpáil I gcás roinnt slonn ina bhfuil ceithre théarma, níl fachtóir coiteann ag na ceithre théarma, ach is féidir an slonn a fhachtóiriú ach na ceithre théarma a ghrúpáil ina bpéirí.

Mar shampla, ab 1 ac 1 bd 1 dc

5 a(b 1 c) 1 d(b 1 c) … déanaimid gach péire a fhachtóiriú leis féin

5 (b 1 c)(a 1 d) … bainimid an fachtóir coiteann (b 1 c)

Sampla 1

Faigh fachtóirí (i) 2ab 1 2ac 1 3bx 1 3cy

(ii) 3ax 2 bx 2 3ay 1 by

(i) 2ab 1 2ac 1 3bx 1 3cx 5 2a(b 1 c) 1 3x(b 1 c)

5 (b 1 c)(2a 1 3x)

(ii) 3ax 2 bx 2 3ay 1 by 5 x(3a 2 b) 2y(3a 2 b)

5 (3a 2 b)(x 2 y)

Nóta: Amanna is gá ord na dtéarmaí a athrú sula féidir an modh thuas a úsáid.

Sampla 2

Fachtóirigh 6x2 1 2a 2 3ax 2 4x

Athghrúpáil: 6x2 2 3ax 1 2a 2 4x

3x(2x 2 a) 1 2(a 2 2x) …

5 3x(2x 2 a) 2 2(2x 2 a)

5 (2x 2 a)(3x 2 2)

∴ 6x2 1 2a 2 3ax 2 4x 5 (2x 2 a)(3x 2 2)

Ní raibh aon fhachtóir coiteann anseo, mar sin d'athraíomar 2(a 2 2x) go 22(2x 2 a). Anois is fachtóir coiteann é (2x 2 a).

Nóta: Bí cúramach nuair atá tú ag plé le téarmaí diúltacha.

Mar shampla, (i) 23ax 2 6ay 5 23a(x 1 2y)

(ii) 25x2 1 10xy 5 25x(x 2 2y)

{ {

24

Cleachtadh 2.2Fachtóirigh go hiomlán gach ceann díobh seo a leanas:

1. 2a(x 1 y) 1 3(x 1 y) 2. 3x(2a 2 b) 2 4(2a 2 b)

3. 3a(2b 2 c) 2 4(2b 2 c) 4. 2x(5y 2 z) 1 b(5y 2 z)

5. 2a(x 2 2y) 2 (x 2 2y) 6. a2 1 ab 1 ac 1 bc

7. x2 2 ax 1 3x 2 3a 8. ab 1 ac 2 5b 2 5c

9. ab 1 5b 1 3a 1 15 10. 3x2 2 3xz 1 4xy 2 4yz

11. 2c2 2 4cd 1 c 2 2d 12. 2ax 2 6ay 2 3x 1 9y

13. 2ac 2 4ad 1 bc 2 2bd 14. 3xy 2 3xyz 1 2z 2 2z2

15. 8ax 1 4ay 2 6bx 2 3by 16. 6ax2 1 9a 2 8x2 2 12

17. x(2y 2 z) 2 2y 1 z 18. an 2 5a 2 5b 1 bn

19. 2x2y 2 2xz 2 3xy 1 3z 20. 7y2 2 21by 1 2ay 2 6ab

21. 4a2b 2 3b 2 6a 1 2ab2 22. 12a2 2 8ab 1 9ac 2 6bc

23. 10ab 2 5ac 2 2bd 1 cd 24. 4x2 1 3ay 2 2ax 2 6xy

25. 6a2 1 15xy 2 10ay 2 9ax 26. 6xy 1 12yz 2 8xz 2 9y2

27. 3abx2 2 5axy 2 3bxy 1 5y2 28. 6a2c 2 6ab 2 4bc 1 9a3

29. x2 2 x(2a 2 b) 2 2ab 30. 6x2 2 3y(3x 2 2a) 2 4ax

Mír 2.3 An difríocht idir dhá chearnóg Slánchearnóga a thugtar ar uimhreacha amhail 1, 4, 9, 16, 25, … toisc go bhfaightear iad trí shlánuimhir éigin a iolrú fúithi féin, m.sh., 4 5 22, 9 5 32, …

Ar an gcaoi chéanna, san ailgéabar, 4x2 5 (2x)2 agus 9y2 5 (3y)2.

An difríocht idir dhá chearnóg a thugtar ar shloinn amhail 102 2 42, x2 2 y2 agus 4x2 2 9.

Nuair a iolraítear (x 1 y)(x 2 y), faightear x2 2 y2. Dá bhrí sin, is iad x2 2 y2 fachtóirí (x 1 y)(x 2 y).

I bhfocail: (an chéad téarma)2 2 (an dara téamra)2 5 (an chéad téarma + an dara téarma)(an chéad téarma – an dara téarma)

x2 2 y2 5 (x 1 y)(x 2 y)

25

Seo samhail achair den difríocht idir dhá chearnóg. x

x � y y

x � y

yy2

y

A

Bx

Achar na cearnóige móire 5 x2

Achar na cearnóige daite 5 y2

Achar gan dath 5 x2 2 y2 …… ➀

Achar B 5 x(x 2 y)

Achar A 5 y(x 2 y)

Achar B 1 A 5 x(x 2 y) 1 y(x 2 y)

5 (x 2 y)(x 1 y) …… ➁

Ach ➀ agus ➁ a chothromú faighimid: x2 2 y2 5 (x 2 y)(x 1 y)

Sampla 1

Fachtóirigh

(i) 9x2 2 4 (ii) 25a2 2 81b2 (iii) x2 y2 2 4a2b2

(i) 9x2 2 4 5 (3x)2 2 (2)2 5 (3x 1 2)(3x 2 2)

(ii) 25a2 2 81b2 5 (5a)2 2 (9b)2 5 (5a 1 9b)(5a 2 9b)

(iii) x2 y2 2 4a2b2 5 (xy)2 2 (2ab)2 5 (xy 1 2ab)(xy 2 2ab)

Sampla 2

(i) Fachtóirigh 12x2 2 75y2

(ii) Faigh luach 512 2 492 gan áireamhán a úsáid.

(i) Níl sé soiléir láithreach anseo go bhfuil an difríocht idir dhá chearnóg i gceist le 12x2 2 75y2.

Ach má bhainimid amach an fachtóir coiteann 3 faighimid 3(4x2 2 25y2).

12x2 2 75y2 5 3(4x2 2 25y2)

5 3[(2x)2 2 (5y)2] 5 3(2x 1 5y)(2x 2 5y)

(ii) 512 2 492 5 (51 1 49)(51 2 49) … ag úsáid na difríochta idir dhá chearnóg

5 (100)(2)

5 200

26

Cleachtadh 2.3Fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas:

1. x2 2 y2 2. a2 2 b2 3. x2 2 4y2

4. x2 2 16y2 5. 4x2 2 y2 6. 9x2 2 16y2

7. 4a2 2 25b2 8. 36x2 2 49y2 9. 64x2 29y2

10. 16x2 2 25 11. 25x2 2 1 12. 36x2 2 25

13. 15x2 2 64y2 14. 1 2 36x2 15. 1 2 81y2

16. 36 2 121y2 17. 49a2 2 4b2 18. (xy)2 2 4

19. (ab)2 2 25 20. x2y2 2 16 21. a2b2 2 49

22. (5xy)2 2 36 23. 16a2b2 2 25 24. 9x2y2 2 1

25. 4a2b2 2 49c2d2 26. 121a2 2 64b2c2 27. 81h2k2 2 25p2q2

28. Ar dtús, bain amach an fachtóir coiteann is airde agus ansin fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas: (i) 3x2 2 27y2 (ii) 12x2 2 3y2 (iii) 27x2 2 3y2

(iv) 45 2 5x2 (v) 45k2 2 20 (vi) 4a2x2 2 36y2

29. Dúshlán: fachtóirigh a4 2 b4 a mhéad is féidir.

30. Úsáid an difríocht idir dhá chearnóg chun luach gach ceann díobh seo a fháil: (i) 962 2 42 (ii) 232 2 172 (iii) (7.9)2 2 (2.1)2 (iv) (9.4)2 2 (0.6)2

31. Simpligh (3x 1 b)(6x 2 2b) 2 (2y 1 b)(4y 2 2b). Anois fachtóirigh go hiomlán an slonn simplithe.

32. Simpligh agus uaidh sin fachtóirigh (3x 2 2y)2 2 y(5y 2 12x).

Mír 2.4 Sloinn chearnacha a fhachtóiriú Slonn cearnach a thugtar ar shlonn san fhoirm ax2 1 bx 1 c, nuair is uimhreacha iad a, b agus c toisc gurb é 2 an chumhacht is airde ag x.

Ó tharla go bhfuil (x 1 5)(x 1 2) 5 x2 1 7x 1 10, deirtear gurb iad (x 1 5) agus (x 1 2) fachtóirí of x2 1 7x 1 10.

Sa toradh (x 1 5)(x 1 2) 5 x2 1 7x 1 10,

(i) Faightear x2 ón toradh x 3 x (ii) Is é 10 toradh 5 agus 2, an dá uimhirthéarma (iii) Faightear 7x trí thoradh na dtéarmaí taobh amuigh a shuimiú le toradh na dtéarmaí taobh

istighi.e. 2x 1 5x 5 7x.

Tríthéarmach cearnach a thugtar ar shlonn san fhoirm ax2 1 bx 1 c de ghnáth toisc go bhfuil trí théarma ann.

téarmaí taobh amuigh

téarmaí taobh istigh

27

Déantar slonn cearnach a fhachtóiriú trí 'thriail is earráid' chun uimhreacha a fháil ionas, nuair a shuimítear toradh na dtéarmaí taobh amuigh le toradh na dtéarmaí taobh istigh, go bhfaightear an téarma sa lár.

Seo iad fachtóirí x2 1 8x 1 15: (x 1 5)(x 1 3)

Sampla 1

Fachtóirigh 3x2 1 10x 1 8.

Beidh an fhoirm (3x 1 ?)(x 1 ?) ag fachtóirí 3x2 1 10x 1 8

Is iad 8 3 1 nó 4 3 2 fachtóirí

Fiosraigh 4 agus 2: (3x 1 2)(x 1 4)

Téarmaí taobh amuigh + téarmaí taobh istigh

5 12x 1 2x5 14x …… mícheart

Bain triail as arís: (3x 1 4)(x 1 2) Téarmaí taobh amuigh + téarmaí taobh istigh

5 6x 1 4x 5 10x…… ceartIs iad (3x 1 4)(x 1 2) fachtóirí 3x2 1 10x 1 8

An téarma deiridh a bheith deimhneach Má tá an tríú téarma de shlonn cearnach deimhneach agus an téarma sa lár diúltach, m.sh. x2 2 8x 1 15, beidh an fhoirm a thaispeántar ar dheis ag na fachtóirí.

Sampla 2

Faigh fachtóirí 2x2 2 11x 1 12.

Beidh an fhoirm (2x 2 ?)(x 2 ?) ag na fachtóirí Fachtóirí 12: 6 3 2 4 3 312 3 1

(2x 2 3)(x 2 4) … na fachtóirí cearta

∴ 2x2 2 11x 1 12 5 (2x 2 3)(x 2 4)

An téarma deiridh a bheith diúltach Má tá an téarma deiridh diúltach, beidh ceann de na foirmeacha a thaispeántar ar dheis ag na fachtóirí.

téarmaí taobh amuigh

téarmaí taobh istigh

3x 1 5x 5 8x

3 3 5 5 15

(x 2 ?)(x 2 ?)

(x 1 ?)(x 2 ?)nó

(x 2 ?)(x 1 ?)

28x

23x

28

Sampla 3

Fachtóirigh (i) 8x2 1 10x 2 3 (ii) 7x2 2 19xy 2 6y2

(i) 8x2 1 10x 2 3 5 (4x 2 1)(2x 1 3)

12x 2 2x 5 10x (ceart)

∴ 8x2 1 10x 2 3 5 (4x 2 1)(2x 1 3)

(ii) 7x2 2 19xy 2 6y2 5 (7x 1 3y)(x 2 2y)

214xy 1 3xy 5 211xy (mícheart)

(7x 1 2y)(x 2 3y)

221xy 1 2xy 5 219xy (ceart)

∴ 7x2 2 19xy 2 6y2 5 (7x 1 2y)(x 2 3y)

Cleachtadh 2.4Fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas:

1. x2 1 5x 1 6 2. x2 1 8x 1 12 3. x2 1 9x 1 14

4. x2 1 11x 1 24 5. x2 1 12x 1 20 6. x2 1 12x 1 27

7. x2 1 11x 1 30 8. x2 1 15x 1 44 9. x2 1 20x 1 36

10. 2x2 1 5x 1 2 11. 2x2 1 11x 1 14 12. 5x2 1 21x 1 4

13. x2 2 7x 1 12 14. x2 2 9x 1 18 15. x2 2 9x 1 20

16. x2 2 14x 1 24 17. x2 2 12x 1 27 18. x2 2 13x 1 36

19. 2x2 2 7x 1 3 20. 3x2 2 17x 1 10 21. 5x2 2 17x 1 6

22. 3x2 2 17x 1 20 23. 5x2 1 27x 2 18 24. 3x2 2 14x 1 15

25. x2 2 4x 2 12 26. x2 2 3x 2 10 27. x2 1 7x 2 18

28. x2 1 7x 2 30 29. x2 2 13x 2 30 30. x2 2 18x 2 40

31. 2x2 2 7x 2 15 32. 3x2 1 11x 2 20 33. 5x2 2 12x 2 9

34. x2 2 6x 2 72 35. 8x2 1 10x 2 3 36. 2x2 2 19x 1 9

37. 12x2 2 11x 2 5 38. 6x2 1 x 2 15 39. 8x2 2 14x 1 3

40. 3x2 1 13x 2 10 41. 9x2 1 24x 1 16 42. 5x2 2 31x 1 6

43. 3x2 2 x 2 14 44. 6x2 2 11x 1 3 45. 12x2 2 23x 1 10

46. 9x2 1 25x 2 6 47. 6x2 1 x 2 22 48. 9x2 2 x 2 10

49. 4x2 2 11x 1 6 50. 10x2 2 17x 2 20 51. 36x2 2 7x 2 4

52. 12x2 2 17x 1 6 53. 15x2 2 14x 2 8 54. 24x2 1 2x 2 15

29

Mír 2.5 Fachtóirí a úsáid chun codáin ailgéabracha a shimpliú

Is féidir an codán 10 ___ 15

a shimpliú ach an méid atá thuas agus

an méid atá thíos a roinnt ar an bhfachtóir coiteann 5.

Ar an gcaoi chéanna, is féidir, x2 2 4 ______

x 1 2 a shimpliú ach an méid atá thuas agus an méid atá

thíos a roinnt ar an bhfachtóir coiteann

x2 2 4 ______

x 1 2 5 (x 1 2)(x 2 2) ____________

(x 1 2) 5 x 2 2

Sampla 1

Simpligh (i) 3n 2 12 _______ n 2 4

(ii) 3x2 2 5x 2 2 ___________ x 2 2

(i) 3n 2 12 _______ n 2 4

5 3(n 2 4) _______ (n 2 4)

(ii) 3x2 2 5x 2 2 ___________ x 2 2

5 (3x 1 1)(x 2 2) _____________ (x 2 2)

5 3 5 3x 1 1

1

1

1

1

Cleachtadh 2.5 1. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas:

(i) 14 ___ 35

(ii) 7x ___ 14

(iii) 9x2 ___

3x (iv)

8p2

___ 2p

(v) 9x2y

____ 3xy

2. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas:

(i) 4x 1 4y

_______ 4

(ii) 12(a 1 b) ________ 3(a 1 b)

(iii) 3x 1 12 _______ x(x 1 4)

(iv) 4a 2 8b ________ 3(a 2 2b)

Simpligh gach ceann díobh seo a leanas. Bain úsáid as fachtóirí nuair is gá.

3. (x 2 1)(x 1 3) ____________ x 1 3

4. 2(y 2 1)(y 1 3)

_____________ y 2 1

5. x2 1 8x 1 7 __________

x 1 1

6. x 2 4 __________ x2 2 6x 1 8

7. x 2 2 ___________ x2 1 5x 2 14

8. 3x 2 3 __________ x2 2 2x 1 1

9. 2x 2 6 __________ x2 1 x 2 12

10. x2 1 x 2 30 __________

x 2 5 11. a

2 1 2ab ________ 3a 1 6b

12. x2 2 9 ______

x 2 3 13. a

2 2 16 _______ 3a 2 12

14. n 1 9 _____________ n2 1 18n 1 81

15. 4x 2 8 ______ x2 2 4

16. 2x2 1 5x 2 3 ___________ 2x 2 1

17. 2x2 1 11x 1 15 _____________ 2x 1 5

18. ab 2 ac _______ b 2 c

19. 5 2 x _____ x 2 5

20. 3a 1 9 ______ a2 2 1

4 a 1 3 _____ a 2 1

10 ___ 15

5 2 __ 3

2

3

1

1

Cuir triail ort féin 2 1. (a) (i) Críochnaigh é seo: 6x2 2 18xy 5 6x( )

(ii) Fachtóirigh x2 2 10x 1 24

(b) Fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas: (i) 7a 1 7b 1 xa 1 xb (ii) 25a2 2 81

(c) Fachtóirigh agus uaidh sin simpligh 4x2 2 7x 2 2 ___________ 4x2 2 8x

2. (a) Fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas: (i) 6x2 2 x 2 2 (ii) 6a2 1 2ab 1 3ac 1 bc

(b) Fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas: (i) 6a2x 1 3ax2 2 9ax (ii) 3x2 2 48

(c) Fachtóirigh go hiomlán agus simpligh 6x2 2 11x 2 10 _____________ 4x2 2 25

3. (a) Fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas: (i) 8a2b 1 2ab2 (ii) 3x2 2 16x 1 21

(b) Fachtóirigh go hiomlán gach ceann díobh seo a leanas: (i) 2x2 2 8y2 (ii) 2xy 2 xz 2 2y 1 z

(c) Simpligh (2x 2 z)(6x 1 3z) 2 (6a 2 3z)(2a 1 z) agus fachtóirigh go hiomlán an slonn simplithe.

4. (a) Fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas: (i) 15bc 2 3c2 (ii) 24x2 1 x 2 3

(b) Fachtóirigh go hiomlán gach ceann díobh seo a leanas: (i) 8x2 2 2y2 (ii) ax 2 2ay 1 2by 2 bx

(c) Fachtóirigh go hiomlán agus simpligh 10x2 2 29x 1 10 ______________ 4x2 2 25

5. (a) Fachtóirigh gach ceann díobh seo a leanas: (i) 3x2 1 2x 2 8 (ii) a2 1 ab 2 2a 2 2b

(b) Fachtóirigh go hiomlán gach ceann díobh seo a leanas: (i) 5a2 2 125b2 (ii) 2x3 1 3x2 2 2xy2 2 3y2

(c) Fachtóirigh agus simpligh 2x2 2 15x 1 18 _____________ x3 2 36x

30

31

Caibi

dil

3

Mír 3.1 Súil siar ar théarmaíocht na dtacar Sa mhír seo, féachfaimid siar ar na hoibríochtaí tacar a ndearna tú staidéar orthu sa chéad bhliain.

1. Tacair chothromaCothrom le chéile a bhíonn dhá thacar más iad na baill chéanna go díreach a bhíonn sa dá cheann.

Má tá A 5 {2, 4, 6, 8} agus B 5 {4, 6, 8, 2}, tá A 5 B.

2. Aontas dhá thacar (A B)Faighimid aontas dhá thacar A agus B nuair a chuirimid baill uile A agus B i dtacar nua, gan aon bhall a lua an dara huair. Mar seo a scríobhtar é: A B.

Má tá A 5 {1, 2, 3, 4} agus B 5 {3, 4, 5, 6}, tá A B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Léaráid Venn do A B

3. Idirmhír dhá thacar (A B)Is éard a chiallaíonn idirmhír dhá thacar A agus B ná tacar na mball atá in A agus B araon.

Mar seo a scríobhtar é: A B.

Is é A B an réigiún scáthaithe ar an léaráid Venn thall.

4. Fo-thacair (B A)Is fo-thacar de thacar A é tacar B má tá baill uile B in A.Mar seo a scríobhtar é: B A.Má tá A 5 {1, 2, 3, 4, 5} agus B 5 {3, 5}, tá B A.

A B

A B

A

4

B

2

153

Focail thábhachtachatacair chothroma aontas idirmhír fo-thacar uilethacarcomhlánú tacair bunuimhir (#) difríocht tacar airí cómhalartach airí comhthiomsaitheach airí dáileach

Tacair

32

5. An t-uilethacar (U)An t-uilethacar a thugtar ar an tacar óna dtógtar na tacair eile uile atá faoi chaibidil.

Is í an cheannlitir U a chuireann in iúl é agus is le dronuilleog a thaispeántar é.

6. Comhlánú tacair (A9)Is é is brí le comhlánú an tacair A ná tacar na mball den uilethacar U nach baill de A iad.

Mar seo a scríobhtar é: A’. Léiríonn an chuid scáthaithe den léaráid Venn ar dheis é.

7. Bunuimhir tacair (#)Bunuimhir an tacair a thugtar ar líon ball an tacair.

Úsáidtear an tsiombail # chun an bhunuimhir a léiriú.

Ón léaráid Venn ar dheis,

#A 5 6 #B 5 6 #(A B) 5 2 #(A B) 5 10.

Sampla 1I rang ina bhfuil 30 dalta, déanann 17 staidéar ar an nGearmáinis, déanann 16 staidéar ar an Spáinnis agus déanann 5 staidéar ar an nGearmáinis agus ar an Spáinnis araon.

Taispeáin an t-eolas seo ar léaráid Venn.

Úsáid an léaráid Venn chun líon na ndaltaí a scríobh síos i gcás gach ceann díobh seo a leanas:

(i) Daltaí a dhéanann staidéar ar an nGearmáinis amháin (ii) Daltaí a dhéanann staidéar ar an Spáinnis amháin(iii) Daltaí nach ndéanann staidéar ar an nGearmáinis ná ar an Spáinnis.

Úsáidfimid an t-eolas tugtha chun an léaráid Venn a líonadh.

Ar dtús, cuir 5 sa tacar G S.

(i) Gearmáinis amháin 5 17 2 5 5 12

(ii) Spáinnis amháin 5 16 2 5 5 11

(iii) Daltaí nach ndéanann Gearmáinis ná Spáinnis 5 30 2 12 2 5 2 11

5 2

U

U

AA�

BA

1

7

3 94 10

5 116 8

U � 30

G (17) S (16)

2

11512

33

Cleachtadh 3.1 1. Ón léaráid Venn seo thall, déan liosta de bhaill gach

ceann de na tacair seo:

(i) A (ii) B

(iii) A B (iv) A B

2. Úsáid an léaráid Venn ar dheis chun baill na dtacar a leanas a léiriú:

(i) A (ii) A B (iii) A9

(iv) B9 (v) (A B)9 (vi) A9 B

3. Sa léaráid Venn seo thall, seasann gach ponc do bhall.

Scríobh síos

(i) #A (ii) #B (iii) #U

(iv) #(A B) (v) #(A B) (vi) #(A B)9

4. Tarraing léaráid Venn chun an t-eolas seo a léiriú:

#(A) 5 15, #(B) 5 14 agus #(A B) 5 7

Faigh #(A B).

5. Bíodh U 5 {1, 2, 3, …, 12} A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} B 5 {3, 5, 7, 9, 11}

Déan cóip den léaráid Venn ar dheis agus líon isteach an t-eolas tugtha.

6. Déan cóip den léaráid Venn seo thall agus líon isteach na ceithre réigiún. Bíodh

#U 5 42, #A 5 21, #B 5 18 agus #(A B) 5 6

Anois, scríobh síos

(i) #(A B) (ii) #B9 (iii) #(A B)9

A

3

B

4

5 67

1910

118

A B

1

5

8

7

3

4

910

2

U

A B

U

A B

U

A B

U

34

7. Déan cóip den léaráid Venn seo agus scáthaigh an réigiún a sheasann do A9 B.

8. Sa léaráid Venn seo thall,

is é U tacar na ndaltaí sa rangis é C tacar na ndaltaí a imríonn cispheilis é P tacar na ndaltaí a imríonn peil.

(i) Cé mhéad dalta a imríonn an dá chluiche? (ii) Cé mhéad dalta atá sa rang? (iii) Cé mhéad dalta a imríonn peil amháin? (iv) Cé mhéad dalta nach n-imríonn ceachtar den dá chluiche?

9. I rang ina bhfuil 32 cailín, imríonn 16 haca agus imríonn 12 leadóg.Ní imríonn 10 cailíní ceachtar den dá chluiche. Léirigh an t-eolas seo ar léaráid Venn.Bain úsáid as an léaráid Venn chun iad seo a leanas a scríobh síos: (i) líon na gcailíní a imríonn an dá chluiche (ii) líon na gcailíní a imríonn haca ach nach n-imríonn leadóg.

10. I suirbhé ar 40 teaghlach, bhí madra ag 22 teaghlach agus cat ag 16 theaghlach.Má bhí cat agus madra ag 8 dteaghlach, léirigh an t-eolas seo ar léaráid Venn agus scríobh síos líon na dteaghlach nach raibh madra ná cat acu.

11. Tá 32 dalta i rang. Déanann gach dalta staidéar ar an bhFraincis (F) nó ar an nGearmáinis (G) nó ar an dá theanga.Déanann 24 staidéar ar an bhFraincis. Déanann 18 staidéar ar an nGearmáinis.Má tá #(F G) 5 x, scríobh cothromóid in x agus réitigh í chun luach x a fháil.

12. Bíodh #(U) 5 18, #(A) 5 11 agus #(B) 5 13, Faigh

(i) íosluach #(A B) (ii) uasluach #(A B) (iii) uasluach #(A B).

13. Sa léaráid Venn ar dheis,#(A) 5 24, #(B) 5 16 agus #(A B)9 5 6.Úsáid an léaráid chun na luachanna seo a fháil

(i) uasluach #(A B) (ii) uasluach #(U) (iii) íosluach #(U).

A B

U

C P

7

7 5 11

U

A [11] B [13]

#[U] � 18

A [24] B [16]

[6]

U

35

Mír 3.2 Difríocht tacar Sa mhír seo tabharfaimid isteach téarma nua, difríocht tacar.

Chun difríocht tacar a léiriú, féach ar an dá thacar A agus B, áit a bhfuil

A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} agus B 5 {4, 6, 8, 10}.

Má bhainimid na baill uile atá i dtacar B as tacar A, beidh A lúide B againn.

Is mar seo a chuirtear A lúide B in iúl: A\ B.

∴ A\ B 5 {1, 2, 3, 5}

Difríocht tacar Is ionann A\ B agus tacar na mball de A nach bhfuil in B.

Is féidir difríocht tacar a léiriú le léaráidí Venn mar seo:

A

Shaded area is A\B

B A

Shaded area is B\A

B

A

Shaded area is A\B

B A

Shaded area is B\A

B

Is é A/B an chuid scáthaithe Is é B/A an chuid scáthaithe

Sampla 1

Má tá A 5 {a, b, c, d, e, f, g}, agus B 5 {e, f, g, h, i }, faigh

(i) A\ B (ii) B\ A (iii) (A B)\ (A B)

(i) Is ionann A\ B agus tacar na mball de A nach bhfuil in B.∴ A\ B 5 {a, b, c, d}

(ii) B\ A 5 {h, i }

(iii) A B 5 {a, b, c, d, e, f, g, h, i } agus A B 5 {e, f, g}

∴ (A B)\ (A B) 5 {a, b, c, d, h, i }

An t-airí cómhalartach Is léir go bhfuil 3 1 4 5 4 1 3 agus go bhfuil 3 3 4 5 4 3 3.

Léiríonn sé seo go bhfuil an suimiú agus an t-iolrú cómhalartach.

Ciallaíonn sé seo gur féidir linn an t-ord ina suimímid (nó ina n-iolraímid) dhá uimhir a athrú gan an freagra a athrú.

Toisc 6 2 2 ? 2 2 6, áfach, is féidir linn a rá nach bhfuil an dealú cómhalartach.

36

Lena chois sin, má tá if A 5 {2, 3, 4, 5} agus B 5 {4, 5, 6, 7},tá A B 5 B A 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7}.Freisin, tá A B 5 B A 5 {4, 5}.

Má thógaimid an dá thacar A agus B thuas, tá

(i) A\ B 5 {2, 3} (ii) B\ A 5 {6, 7}

Taispeánann sé sin nach ionann A\ B ? B\ A Níl difríocht tacar cómhalartach mar sin.

Cuimhnigh Níl difríocht tacar cómhalartach.

Cleachtadh 3.2 1. A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B 5 {3, 6, 9, 10} agus C 5 {2, 4, 6, 8}. Déan liosta de bhaill na dtacar seo a leanas:

(i) A\ B (ii) B\ C (iii) A\ C (iv) C\ A

2. Ón léaráid Venn ar dheis, déan liosta de bhaill

(i) A\ B (ii) B\ A (iii) U\ A (iv) U\ (A B)

3. Bunaithe ar an léaráid Venn ar dheis, abair an bhfuil gach ceann de na ráitis seo fíor nó bréagach: (i) 3 A\ B (ii) 7 B\ A (iii) #(B\ A) 5 3 (iv) #U 5 12 (v) #(A B) 5 2 (vi) 6 U\ A

(vii) #(U\ A) 5 6 (viii) #(U\ B) 5 8

4. Bíodh X 5 {2, 4, 6, 8, 10, 12} agus Y 5 {3, 6, 9, 12, 15}. Faigh (i) X\ Y (ii) Y\ X An bhfuil X \ Y 5 Y\ X ? Cad a thaispeánann do fhreagra?

5. U 5 {a, b, c, d, e, f, g, h, i }, A 5 {d, f, g, e, i }, B 5 {b, e, h, i }. Tarraing léaráid Venn chun na tacair sin a léiriú. Úsáid an léaráid Venn chun iad seo a leanas a scríobh síos:

(i) #(A\ B) (ii) #(U\ A) (iii) #[U\ (A B)] (iv) #[U\ (A B)]

6. Déan trí chóip den léaráid Venn seo ar dheis agus scáthaigh

(i) A\ B (ii) U\ A (iii) U\ (A B)

Tá aontas tacar agus idirmhír tacar cómhalartach.

A Ba f

g

h

cb

de

ij

U

10

3 26

81

79

5

12 4

A B

U

A B

U

37

7. Má tá U 5 {Na daoine go léir atá ina gcónaí ar an mBaile Nua} A 5 {Na húineirí cairr atá ina gcónaí ar an mBaile Nua} B 5 {Na pinsinéirí atá ina gcónaí ar an mBaile Nua},déan cur síos i bhfocail ar gach ceann de na tacair seo:

(i) U\ A (ii) U\ B (iii) A\ B (iv) B\ A (v) A B

Mír 3.3 Léaráidí Venn ina bhfuil trí thacar Taispeántar ar dheis léaráid Venn ina bhfuil trí thacar san uilethacar U.

Tá cur síos thíos ar na hocht réigiún a léirítear.

Léiríonn Réigiún 1 A B C Léiríonn Réigiún 2 (A C )\ B

Léiríonn Réigiún 3 C\ (A B) Léiríonn Réigiún 4 (A B)\ C

Léiríonn Réigiún 5 A\ (B C ) Léiríonn Réigiún 6 (B C )\ A

Léiríonn Réigiún 7 B\ (A C ) Léiríonn Réigiún 8 U\ (A B C )

Sampla 1

U 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A 5 {2, 4, 6, 8, 10}B 5 {3, 4, 5, 6} C 5 {5, 6, 7, 8}

Léirigh na tacair sin ar léaráid Venn agus déan liosta de bhaill (i) A B C (ii) B C (iii) (A B)\ C (iv) B\ (A B C ).

Taispeántar an léaráid Venn ar dheis.

(i) A B C 5 {6} (ii) B C 5 {5, 6} (iii) A B 5 {4, 6} ∴ (A B)\ C 5 {4, 6}\ {5, 6, 7, 8} 5 {4} (iv) B\ (A B C ) 5 {3, 4, 5, 6} \ {6}

5 {3, 4, 5}

U

A B

C

1

9

11

12

2

10

86

4 3

5

7

An t-airí comhthiomsaitheach Níos luaithe sa chaibidil seo, dúradh go bhfuil an suimiú cómhalartach, mar go bhfuil 3 1 4 5 4 1 3 nó a 1 b 5 b 1 a.

Féachfaimid anois ar thrí uimhir ar bith ar a dtabharfaimid a, b agus c. Scrúdóimid cad a tharlaíonn faoi na hoibríochtaí seo: suimiú, dealú, iolrú agus roinnt.

U

A B

C

4

38

162

5 7

38

Féach, mar shampla, ar shuimiú na n-uimhreacha 3, 4 agus 5.

Má úsáidimid péirí éagsúla chun iad a chur le chéile, feicfimid go bhfuil

(3 1 4) 1 5 5 3 1 (4 1 5), mar go bhfuil an dá cheann acu cothrom le 12.

Tabhair faoi deara gur féidir péirí éagsúla a úsáid chun na huimhreacha a shuimiú le chéile gan an freagra a athrú.

Sainmhíniú Deirtear go bhfuil oibríocht comhthiomsaitheach má tá(a * b) * c 5 a * (b * c).

Samplaí (i) Léiríonn (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) go bhfuil an suimiú comhthiomsaitheach.

(ii) Léiríonn (12 ÷ 6) ÷ 2 ≠ 12 ÷ (6 ÷ 2) nach bhfuil an roinnt comhthiomsaitheach.

Sampla 2

Is trí thacar iad A 5 {1, 3, 5, 6}, B 5 {2, 3, 5, 7, 8} agus C 5 {3, 4, 6, 8}.

Fiosraigh an fíor iad seo: (i) (A B) C 5 A (B C )

(ii) (A\ B)\ C 5 A\ (B\ C )

(i) A B 5 {3, 5}(A B) C 5 {3, 5} {3, 4, 6, 8} 5 {3}(B C ) 5 {3, 8}A (B C ) 5 {1, 3, 5, 6} {3, 8} 5 {3}

Ó tá (A B) C 5 A (B C ) 5 {3}, léiríonn sé seo go bhfuil idirmhír na dtacar comhthiomsaitheach.

(ii) A\ B 5 {1, 3, 5, 6}\ {2, 3, 5, 7, 8} 5 {1, 6}(A\ B)\ C 5 {1, 6}\ {3, 4, 6, 8} 5 {1}A\ (B \ C ) 5 {1, 3, 5, 6}\ {2, 5, 7} 5 {1, 3, 6}

Léiríonn sé seo (A\ B)\ C ? A\ (B\ C ).

Cuimhnigh Tá aontas agus idirmhír tacar comhthiomsaitheach ach níl difríocht tacar comhthiomsaitheach.

An t-airí dáileach Tá a fhios agat cheana féin go bhfuil 3 (4 1 5) 5 (3 3 4) 1 (3 3 5)

5 12 1 15 5 27Freisin, tá 3(4 1 5) 5 3(9) 5 27

Léiríonn sé sin airí dáileach an iolraithe thar an suimiú.

39

Scrúdaíonn an chéad sampla oibrithe eile an cheist seo: an bhfuil aontas tacar dáileach thar an idirmhír agus an bhfuil an idirmhír dáileach thar an aontas.

Sampla 3

Is trí thacar iad A 5 {3, 4, 5, 6}, B 5 {5, 6, 7, 8} agus C 5 {2, 4, 6, 8, 10}.

(i) Imscrúdaigh an bhfuil A (B C ) 5 (A B) (A C ).

(ii) Imscrúdaigh an bhfuil A (B C ) 5 (A B) (A C ).

(i) An bhfuil A (B C ) 5 (A B) (A C ) ?A (B C ) 5 {3, 4, 5, 6} {6, 8} 5 {3, 4, 5, 6, 8}(A B) (A C ) 5 {3, 4, 5, 6, 7, 8} {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

5 {3, 4, 5, 6, 8}

∴ A (B C ) 5 (A B) (A C ) 5 {3, 4, 5, 6, 8}

(ii) An bhfuil A (B C ) 5 (A B) (A C ) ?A (B C ) 5 {3, 4, 5, 6} {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10} 5 {4, 5, 6}(A B) (A C ) 5 {5, 6} {4, 6} 5 {4, 5, 6}

∴ A (B C ) 5 (A B) (A C ) 5 {4, 5, 6}

Léiríonn an sampla thuas dhá airí thábhachtacha de chuid na dtacar. Déantar cur síos orthu thíos.

1. Tá aontas tacar dáileach thar an idirmhír.2. Tá idirmhír tacar dáileach thar an aontas.

Cleachtadh 3.3 1. Léiríonn an léaráid Venn ar dheis trí thacar A, B agus C. Liostaigh na baill atá sna tacair seo:

(i) A (ii) B (iii) A B (iv) A B C (v) A\ B (vi) B\ (A C )

2. Léiríonn an léaráid Venn ar dheis trí thacar A, B agus C san uilethacar U.Liostaigh baill na dtacar seo a leanas:

(i) A B C (ii) A B (iii) A\ (B C ) (iv) (A B)\ C (v) C\ (A B) (vi) (A B C )9

A B

C

1

5

39 6

7

412

8

10

211

U

A B

C

37

46

28

15910

11

12 13 1415

40

3. Léiríonn an léaráid Venn ar dheis an t-uilethacar U agus trí thacar A, B agus C , a bhfuil idirmhír eatarthu. Tugtar i lúibíní líon na mball sna réigiúin éagsúla.

Le cabhair na léaráide Venn, faigh

(i) #(A) (ii) #[(A B)\ C ] (iii) #(A B C )9 (iv) #[A\ (B C )] (v) #[(A C )\ B].

4. Is trí thacar iad A, B agus C san uilethacar U, mar a léirítear sa léaráid Venn ar dheis. Abair cé acu fíor nó bréagach atá gach ceann de na ráitis seo a leanas:

(i) A\ B 5 {x, y} (ii) #B 5 5 (iii) C\ A 5 {o, t, l } (iv) #(A C ) 5 6 (v) B C 5 {l, o, t } (vi) #(A B ) 5 9 (vii) A B C 5 {l } (viii) (A C )\ B 5 { y, l }

5. Tarraing léaráid Venn de thrí thacar A, B agus C a bhfuil idirmhír eatarthu san uilethacar U. Cuir isteach an bhunuimhir cheart i ngach réigiún le cabhair an eolais seo a leanas:

#(A B C ) 5 2 #(A B) 5 7 #(B C ) 5 6 #(A C ) 5 8#(A) 5 16 #(B) 5 20 #(C ) 5 19 #(U ) 5 50.

Faigh amach an méid seo ón leáráid:

(i) #(A B )9 (ii) #[A\ (B C )] (iii) #[(A B )\ C ].

6. Déan cur síos ar an tacar atá léirithe ag an gcuid scáthaithe i ngach ceann de na léaráidí Venn seo a leanas:

(i) A B

C

(ii) A B

C

(iii) A B

C

7. Úsáid léaráidí Venn ar leith (cosúil leis an gceann ar dheis) agus scáthaigh an réigiún a léiríonn gach ceann de na tacair seo a leanas:

(i) A B (ii) (A B)\ C (iii) A\ (B C) (iv) (B C)\ A.

U

A B

C

[3] [8]

[7]

[6]

[12]

[4][2] [0]

U

A B

C

x

ylz m

qt

on p

A B

C

41

8. I gcás gach ceann de na ráitis seo a leanas, abair an fíor i gcónaí é i gcás a, b, c R. Mura bhfuil an ráiteas fíor, tabhair sampla a thaispeánfaidh cén fáth nach bhfuil sé fíor.

(i) a 1 b 5 b 1 a (ii) (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c) (iii) a 4 b 5 b 4 a (iv) a 2 b 5 b 2 a (v) (a 2 b) 2 c 5 a 2 (b 2 c) (vi) a 4 (b 4 c) 5 (a 4 b) 4 c

9. Ainmnigh an t-airí de chuid na réaduimhreacha a léirítear i ngach ceann de na samplaí seo:

(i) 6 1 7 5 7 1 6 (ii) (3 3 4) 3 5 5 3 3 (4 3 5) (iii) 6 2 4 ? 4 2 6 (iv) 2(4 1 5) 5 (2 3 4) 1 (2 3 5) (v) (8 2 4) 2 2 ? 8 2 (4 2 2) (vi) (24 4 6) 4 2 ? 24 4 (6 4 2)

10. A 5 {0, 2, 4, 6, 8, 10}, B 5 {1, 2, 3, 4, 5} agus C 5 {3, 4, 5, 6, 7}. Úsáid na trí thacar sin le taispeáint go bhfuil

A (B C ) 5 (A B) (A C ).

Cén t-airí de chuid na dtacar a léirítear sa ráiteas thuas?

11. Úsáid na tacair i gCeist 10. thuas chun é seo a leanas a thaispeáint:

(A\ B)\ C ? A\ (B\ C)

Cén t-airí de chuid na dtacar a léirítear sa ráiteas thuas?

12. Cén t-airí de chuid na dtacar a léirítear i ngach ceann díobh seo a leanas?

(i) A B 5 B A (ii) A (B C ) 5 (A B) C (iii) (A B) C 5 A (B C ) (iv) A (B C ) 5 (A B) (A C ) (v) A (B C ) 5 (A B) (A C ) (vi) A\ (B\ C ) ? (A\ B)\ C

Mír 3.4 Fadhbanna ina bhfuil trí thacar a réiteach Sa mhír seo, féachfaimid ar fhadhbanna ina bhfuil trí thacar i gceist.

Sa sórt seo faidhbe, is maith an rud é líon na mball sa réigiún a sheasann d’idirmhír na dtrí thacar a líonadh isteach.

Mura dtugtar líon na mball sa réigiún sin, lig do x seasamh don uimhir seo.

Sampla 1

Fiafraíodh de 100 dalta cé acu cinn de na trí earra seo – milseáin (M), deochanna boga (D) nó criospaí (C) – a cheannaigh siad i rith turas scoile.

Cheannaigh 6 daltaí na trí earra Cheannaigh 31 dalta criospaíCheannaigh 41 dalta milseáin Cheannaigh 23 dalta deoch bhog, agus í sin amháinCheannaigh 14 dhalta criospaí agus deoch Cheannaigh 15 dhalta criospaí agus milseáin bhogCheannaigh 12 daltaí milseáin agus deoch bhog

42

Taispeáin an t-eolas sin ar léaráid Venn agus scríobh síos líon na ndaltaí (i) nár cheannaigh aon cheann de na hearraí sin (ii) nár cheannaigh ach

milseáin (iii) nár cheannaigh ach dhá earra (iv) nár cheannaigh ach aon

earra amháin.

Tarraingímid trí chiorcal M, D agus C a bhfuil idirmhír eatarthu chun milseáin, deochanna boga agus criospaí faoi seach a léiriú.

S D C 5 6 C D 5 14; mar sin #(C D )\ S 5 14 2 6 5 8 C S 5 15; mar sin #(C S )\ D 5 15 2 6 5 9

Anois, is féidir linn an léaráid Venn a líonadh ón eolas atá againn agus freagraí na gceisteanna a scríobh síos. (i) Líon na ndaltaí nár cheannaigh earra ar bith:

100 2 (20 1 6 1 6 1 9 1 23 1 8 1 8)5 100 2 80 5 20

(ii) Líon na ndaltaí nár cheannaigh ach milseáin 5 20 (iii) Líon na ndaltaí nár cheannaigh ach dhá earra 5 9 1 6 1 8 5 23 (iv) Líon na ndaltaí nár cheannaigh ach aon earra amháin 5 20 1 23 1 8 5 51

Sampla 286 dalta atá ag déanamh teangacha i scoil áirithe agus tá gach dalta ag déanamh ceann amháin ar a laghad de na teangacha seo – an Fhraincis, an Ghearmáinis agus an Spáinnis.

Tá 57 ag déanamh na Fraincise, tá 42 ag déanamh na Gearmáinise agus tá 31 ag déanamh na Spáinnise.

Má tá 25 ag déanamh na Fraincise agus na Gearmáinise, má tá 17 ag déanamh na Fraincise agus na Spáinnise agus má tá 5 ag déanamh na Gearmáinise agus na Spáinnise, faigh amach cé mhéad dalta a dhéanann na trí theanga.

(Sá sórt seo ceiste, áit a n-iarrtar orainn bunuimhir idirmhír na dtrí thacar a fháil, úsáidimid x chun an uimhir sa réigiún sin a scríobh. Ansin, scríobhaimid na bunuimhreacha sna réigiúin eile i dtéarmaí x, mar a léirítear thall.)

#U � 86

F (57) G (42)

S (31)

25 � x

9 � x

x15 � x 12 � x

17 � x 5 � x

M (41) D

C (31)

6

8

689

20 23

#U � 100

43

Is mar seo a fhaighimid líon na ndaltaí atá ag déanamh na Fraincise amháin:

57 2 [25 2 x 1 x 1 17 2 x]5 15 1 x

Ar an gcaoi chéanna, tá (12 1 x) ag déanamh na Gearmáinise amháin agus tá (9 1 x) ag déanamh na Spáinnise amháin.

Is é 86 suim na mbunuimhreacha sna réigiúin uile.

∴ (15 1 x) 1 (25 2 x) 1 x 1 (17 2 x) 1 (9 1 x) 1 (5 2 x) 1 (12 1 x) 5 86∴ 83 1 x 5 86∴ x 5 3

Mar sin, triúr daltaí atá ag déanamh na dtrí theanga.

Cleachtadh 3.4 1. Taispeánann an léaráid Venn ar dheis na torthaí

ar shuirbhé a rinneadh ar ghrúpa daoine le fáil amach cé acu de na cluichí a imríonn siad, galf, leadóg nó peil, má imríonn siad ceann ar bith.

Ón léaráid, faigh líon na ndaoine (i) a imríonn galf (ii) a imríonn galf agus leadóg araon (iii) a imríonn na trí chluiche (iv) nach n-imríonn ach peil (v) nach n-imríonn aon cheann acu (vi) a imríonn peil agus leadóg araon (vii) a imríonn peil agus leadóg ach nach n-imríonn galf.

Cé mhéad duine a ndearnadh an suirbhé san iomlán?

2. I scoil teanga, tá na mic léinn uile ag foghlaim teanga amháin ar a laghad de thrí theanga, an Fhraincis, an Béarla agus an Ghearmáinis.

Tá 85 mac léinn ag foghlaim na Fraincise, tá 60 ag foghlaim an Bhéarla agus tá 25 ag foghlaim na Gearmáinise.

Má tá 18 mac léinn ag foghlaim na Fraincise agus an Bhéarla araon, má tá 10 mac léinn ag foghlaim na Frainicise agus na Gearmáinise araon, má tá 8 mac léinn ag foghlaim an Bhéarla agus na Gearmáinise araon agus má tá 5 mac léinn ag foghlaim na dtrí theanga, léirigh an t-eolas sin ar léaráid Venn agus bain úsáid aisti chun na ceisteanna seo a leanas a fhreagairt:

(i) Cé mhéad mac léinn atá ag freastal ar an scoil (ii) Cé mhéad mac léinn nach bhfuil ag foghlaim ach aon teanga amháin (iii) Cé mhéad mac léinn atá ag foghlaim an Bhéarla agus na Fraincise araon ach nach

bhfuil ag foghlaim na Gearmáinise.

U

Galf Leadóg

Peil22

4

5

7 14

26

10

12

44

3. Ag seicphointe bóthair, rinneadh scrúdú ar 100 carr maidir le boinn, coscáin agus soilse lochtacha.Fuarthas 12 charr a raibh boinn lochtacha orthu, 9 gcarr a raibh coscáin lochtacha orthu agus 13 charr a raibh soilse lochtacha orthu; bhí soilse agus coscáin lochtacha ar 6 charr; bhí soilse agus boinn lochtacha ar 7 gcarr; bhí boinn agus coscáin lochtacha ar 6 charr; bhí na trí locht ar 4 charr.Taispeáin an t-eolas sin ar léaráid Venn agus faigh amach (i) líon na gcarranna nach raibh ach coscáin lochtacha orthu (ii) líon na gcarranna nach raibh ach dhá locht orthu (iii) líon na gcarranna a raibh coscáin agus boinn lochtachta orthu ach nach raibh a

gcuid soilse lochtach (iv) líon na gcarranna nach raibh aon locht orthu.

4. Ag deireadh a saoire, fiafraíodh de 90 turasóir ó SAM cé acu ceann de na trí chathair – Baile Átha Cliath, Corcaigh nó Gaillimh – ar thug siad cuairt uirthi.Thug 60 duine cuairt ar Bhaile Átha Cliath, thug 18 nduine cuairt ar Chorcaigh agus thug 50 duine cuairt ar Ghaillimh.Thug 30 duine cuairt ar Bhaile Átha Cliath agus ar Ghaillimh; thug deichniúr cuairt ar Bhaile Átha Cliath agus ar Chorcaigh; thug seisear cuairt ar Ghaillimh agus ar Chorcaigh.Má thug ceathrar cuairt ar na trí chathair, faigh amach cé mhéad turasóir (i) a thug cuairt ar Chorcaigh amháin (ii) a thug cuairt ar Bhaile Átha Cliath agus ar Ghaillimh ach nár thug cuairt ar Chorcaigh (iii) nár thug cuairt ar aon cheann de na trí chathair.

5. Fiafraíodh de 100 duine cé acu de na páipéir nuachta – Scéala, Nuacht nó Iomrá – a cheannaigh siad an Domhnach roimhe sin.Thaispeáin na freagraí gur cheannaigh 32 duine Scéala, gur cheannaigh 48 Iomrá agus gur cheannaigh 35 Nuacht.Thaispeáin siad freisin gur cheannaigh 12 Iomrá agus Scéala, gur cheannaigh 11 Scéala agus Nuacht, gur cheannaigh 13 Iomrá agus Nuacht, agus gur cheannaigh cúigear na trí pháipéar.Taispeáin an t-eolas sin ar léaráid Venn agus ansin freagair na ceisteanna seo: (i) Cé mhéad duine nár cheannaigh aon cheann de na trí pháipéar sin? (ii) Cé mhéad duine nár cheannaigh ach Scéala? (iii) Cé mhéad duine a cheannaigh Iomrá agus Nuacht ach nár cheannaigh Scéala? (iv) Cé mhéad duine nár cheannaigh ach dhá pháipéar?

6. Rinneadh suirbhé ar 54 dalta, a raibh gach duine díobh ag déanamh staidéir ar cheann amháin ar a laghad de 3 ábhar A, B agus C.Bhí 6 daltaí ag déanamh staidéir ar B agus C.Bhí 5 daltaí ag déanamh staidéir ar A agus C.Bhí a 3 oiread níos mó daltaí ag déanamh staidéir ar A agus ar B ná mar a bhí ag déanamh staidéir ar na 3 ábhar.Bhí 20 dalta san iomlán ag déanamh staidéir ar BBhí 17 ndalta ag déanamh staidéir ar C amháin agus bhí 14 dhalta ag déanamh staidéir ar A amháin.Seasadh x do líon na ndaltaí a bhí ag déanamh staidéir ar na trí ábhar, agus léirigh an t-eolas thuas ar léaráid Venn. Uaidh sin, faigh luach x.

45

7. I suirbhé, fiafraíodh de 100 duine cé acu de thrí irisleabhar – A, B agus C – a léigh siad an lá roimhe sin.Fuarthas amach gur léigh 29 duine A, gur léigh 40 duine B agus gur léigh 38 duine C.Chomh maith leis sin bhí deichniúr a léigh A agus B ach nár léigh C.

Dháréag a léigh B agus C ach nár léigh ASeachtar a léigh A agus C ach nár léigh B

agus níor léigh 30 duine aon cheann de na hirisleabhair.Faigh (i) líon na ndaoine a léigh na trí irisleabhar (ii) líon na ndaoine nár léigh ach aon irisleabhar amháin.

8. Chuaigh 120 dalta de chuid an Teastais Shóisearaigh faoi scrúdú sa Mhatamaitic, san Eolaíocht agus sa Fhraincis. D’éirigh le gach mac léinn pas a ghnóthú in ábhar amháin ar a laghad. Seasann M dóibh siúd a ghnóthaigh pas sa Mhatamaitic, seasann E dóibh siúd a ghnóthaigh pas san Eolaíocht agus seasann F dóibh siúd a ghnóthaigh pas sa Fhraincis. Seo thíos torthaí na scrúduithe:

#M 5 80, #S 5 90, #(M S F ) 5 45, #(M S) 5 58,#(M F ) 5 55 agus #[S\ (M F )] 5 15.

(i) Cé mhéad dalta a ghnóthaigh pas san Eolaíocht amháin? (ii) Cé mhéad dalta a ghnóthaigh pas san Eolaíocht agus sa Fhraincis ach ar theip

orthu sa Mhatamaitic? (iii) Cé mhéad dalta nár ghnóthaigh pas ach in dhá ábhar?

9. Sa léaráid Venn ar dheis, seasann na huimhreacha sna lúibíní do líon na mball i ngach réigiún.Má tá #(U ) 5 50 agus #(B ) 5 16, faigh luach x agus luach y.

10. Rinneadh suirbhé ar ghrúpa de 44 dalta, a raibh gach duine díobh ag déanamh ceann amháin ar a laghad de thrí ábhar – an Stair, an Tíreolaíocht agus an Ealaín.28 duine ag bhí ag déanamh na Staire. Seisear nach raibh ach ag foghlaim na Staire.30 duine a bhí ag déanamh na Tíreolaíochta. 15 dhuine a bhí ag déanamh na Staire agus na Tíreolaíochta.22 duine a bhí ag déanamh na hEalaíne. Triúr ag bhí ag déanamh na dtrí ábhar. (i) Úsáid léaráid Venn chun líon na ndaltaí a bhí ag déanamh na Staire agus na

Tíreolaíochta ach nach raibh ag déanamh na hEalaíne a fháil. (ii) Cé mhéad dalta a bhí ag déanamh na Staire agus na hEalaíne ach nach raibh ag

déanamh na Tíreolaíochta? (iii) Faigh líon na ndaltaí nach raibh ag déanamh ach an Tíreolaíocht.

(Leid: Seasadh x do líon na ndaltaí a bhí ag déanamh na Tíreolaíochta agus na hEalaíne ach nach raibh ag déanamh na Staire.)

[7]

[6] [2]

[3][5]

[4x]

[x]

[y]

AB

C

U

11. Sa léaráid Venn ar dheis,

U 5 {mic léinn i gcoláiste tríú leibhéal} F 5 {mic léinn atá ag déanamh na Fraincise} G 5 {mic léinn atá ag déanamh na Tíreolaíochta}

H 5 {mic léinn atá ag déanamh na Staire}.

Tá líon na mac léinn sna fo-thacair éagsúla le feiceáil ar dheis.

Mar shampla, 7 mac léinn atá ag déanamh na Fraincise agus na Tíreolaíochta ach nach bhfuil ag déanamh na Staire, agus tá y mac léinn ann nach bhfuil aon cheann de na trí ábhar á dhéanamh acu.

Má tá #(U ) 5 75 agus #(F ) 5 46, ríómh luach x agus luach y.

[9] [2]

[6][7]

[2y]

[y]

[x]

[x]

FT

S

U

Cuir triail ort féin 3 1. (a) U 5 {1, 2, 3, ...., 10}, A 5 {1, 3, 5, 7} agus B 5 {5, 7, 8, 9}.

Liostaigh baill na dtacar seo:

(i) A B (ii) (A B)9.

(b) Déan cóip den léaráid Venn seo agus scáthaigh an réigiún a sheasann do A9 B.

(c) Is tacair san uilethacar U iad X agus Y.Má #U 5 50, #X 5 28, #Y 5 34 agus #(X Y) 5 43, tarraing léaráid Venn a thaispeánann an t-eolas sin.

Anois faigh (i) #(X Y) (ii) #(X\ Y) (iii) #(X Y)9 (iv) #X9

2. (a) Bunaithe ar an léaráid Venn ar dheis, scríobh síos baill na dtacar seo:

(i) A (ii) A\ B (iii) A9 (iv) (A B)9

A B

U

A B

3

7

5

6

10

119 1

4

2

U

46

(b) Fiafraíodh de 50 leantóir sacair cé acu de thrí chluiche – A, B agus C – a bhí feicthe acu i rith deireadh seachtaine áirithe.Cúigear a dúirt go bhfaca siad na trí chluiche;16 a chonaic A agus B;15 a chonaic B agus C;Ochtar a chonaic cluiche B amháin;23 san iomlán a chonaic cluiche C agus 25 san iomlán a chonaic cluiche A;Bhí beirt ann nach bhfaca cluiche ar bith.

Tarraing léaráid Venn chun an t-eolas sin a thaispéaint. Ansin, freagair na ceisteanna seo:

(i) Cé mhéad duine a chonaic cluiche B? (ii) Cé mhéad duine a chonaic cluichí A agus C ach nach bhfaca B? (iii) Cé mhéad duine nach bhfaca ach cluiche A?

3. (a) Taispeánann an léaráid Venn ar dheis líon na mball i ngach ceann de na tacair A, B agus C.Úsáid an léaráid Venn chun iad seo a scríobh síos:

(i) #(A B) (ii) #[(A B)\ C ] (iii) #[(B C )\ A] (iv) #[A B C ]

(b) Sa léaráid Venn ar dheis, seasann an uimhir san lúibíní do líon na mball sa réigiún sin.Má tá #(P Q) 5 22 agus #Q 5 3(#P), faigh luach x agus luach y.

(c) Sa léaráid Venn ar dheis, #X 5 30, #Y 5 18 agus #(X Y )9 5 8.

(i) Cad é uasluach #U ? (ii) Cad é íosluach #U ? (iii) Má tá #U 5 44, faigh #(X Y ).

4. (a) A 5 {1, 2, 3, 6, 8, 10, 12}, B 5 {3, 4, 5, 6} agus C 5 {3, 5, 8, 10}.Fiosraigh an bhfuil A (B C ) 5 (A B) (A C ).Cén t-airí de chuid na dtacar a chruthaíonn nó a bhréagnaíonn d’fhiosrú?

(b) I suirbhé, fiafraíodh de 100 duine cé acu saoire ghréine nó saoire sciála a bhí acu an bhliain roimhe sin. Bhí 60 duine ar shaoire ghréine, 15 ar shaoire sciála agus bhí 30 nach raibh ar cheachtar den dá shaoire sin. Déan cóip den léaráid Venn ar dheis agus cuir na huimhreacha cuí sna lúibíní.

A B

C

2

3

745

3 6

P Q

[y][x][4]

X [30] Y [18]

[8]

U

Grian Sciáil

[ ]

[ ] [ ] [ ]

U

47

48

(c) Sa léaráid Venn ar dheis,

#U 5 80, #A 5 40, #B 5 50, #(A B) 5 x agus #(A B)9 5 y.

(i) Cad é uasluach x? (ii) Cad é íosluach x? (iii) Cad é uasluach y? (iv) Cén luach atá ag x nuair atá y 5 4?

5. (a) Sa léaráid Venn ar dheis,#(U) 5 u, #(A) 5 a, #(B) 5 b, #(A B) 5 c agus #(A B)9 5 d.

(i) Sloinn u i dtéarmaí a, b, c agus d. (ii) Sloinn d i dtéarmaí u, a, b, agus c. (iii) Má tá c 5 b, cad is féidir a rá faoi na tacair A agus B? (iv) Má tá b . a, cad é uasluach c?

(b) Fiafraíodh de roinnt daoine cé acu de na trí pháipéar – An Iris (I ), An Nuacht (N ) agus An Treabhann (T ) – a cheannaigh siad an tseachtain roimhe sin.

Taispeántar cuid de na torthaí sa léaráid Venn ar dheis.

Déan cóip den léaráid Venn agus comhlánaigh dá reir seo í:

(i) 20 duine a cheannaigh An Nuacht (ii) 23 duine a cheannaigh An Iris (iii) Deichniúr a cheannaigh An Iris agus An Treabhann (iv) Ochtar a cheannaigh An Treabhann amháin.

Má cheannaigh 40 duine An Treabhann nó An Iris nó an dá cheann, faigh luach x.

6. (a) Sa léaráid Venn ar dheis, cé acu ceann de na ráitis seo atá fíor?

(i) 6 (A\ B) (ii) #A 5 2 (iii) #(A B) 5 2 (iv) #(A B)9 5 2

(b) Sa léaráid Venn ar dheis,#U 5 50, #A 5 24, #B 5 b, #(A B) 5 8 agus #(A B)9 5 g.

(i) Cad é luach g nuair atá b 5 30? (ii) Cad é uasluach g? (iii) Cad é íosluach b? (iv) Cad é uasluach b?

A [40] B [50]

[y]

[x]

#U � 80

A [a] B [b]

[d]

[c]

#U � [u]

U

2

4x

I N

T

A B

2 1

9

8

4

36

U

A [24] B [b]

[g]

[8]

#U � 50

49

caibi

dil

4

Mír 4.1 CBL 2 Brabús agus caillteanas Agus muid ag plé le ceisteanna ina bhfuil céatadáin, tá sé an-tábhachtach a bheith ábalta céatadán a thiontú ina dheachúil.

Nuair a shloinntear céatadán mar dheachúil, bíonn an t-áireamhán leictreonach an-áisiúil chun an céatadán atá de dhíth a ríomh.

Tugtar roinnt samplaí thíos:

Chun 4% a fháil, iolraigh faoi 0.04. Chun 104% a fháil, iolraigh faoi 1.04.Chun 6 1 _ 2 % a fháil, iolraigh faoi 0.065. Chun 106 1 _ 2 % a fháil, iolraigh faoi 1.065.Chun 12% a fháil, iolraigh faoi 0.12. Chun 112% a fháil, iolraigh faoi 1.12.Chun 87% a fháil, iolraigh faoi 0.87. Chun 187% a fháil, iolraigh faoi 1.87.

1. Cáin Bhreisluacha (CBL)Is é is cáin bhreisluacha nó CBL ann ná cáin a ghearrann an rialtas ar chuid mhór de na rudaí a cheannaímid. Is gnách CBL a bheith san áireamh sna praghsanna marcáilte ar earraí i bhformhór na siopaí, mar sin ní ga dúinn í a ríomh.

Tugtar praghsanna earraí costasacha gan an CBL a chur san áireamh, uaireanta, cuir i gcás teilifíseán agus troscán. Sna cásanna sin, comhaireann úinéir an tsiopa an méid CBL a bhíonn le híoc agus cuireann sé le luach an earra í.

Más é �280 + CBL ar 23% an luach ar earra áirithe, is féidir an praghas iomlán a ríomh mar seo:

1% de �280 5 �2.80 Áireamhán in úsáid:

23% 5 �2.80 3 23 5 �64.40 100% 1 23% 5 123%

an praghas iomlán 5 Chun 123% a fháil, iolraímid faoi 1.23 �280 1 �64.40 5 �344.40 An praghas iomlán 5 �280 3 1.23 5 �344.40

An Uimhríocht Fheidhmeach

Focail thábhachtachacáin bhreisluacha (CBL) brabús caillteanas bunphraghas praghas díola cáin ioncaim ráta caighdeánach ráta ard scoithphointe an ráta chaighdeánaigh muirear sóisialta uilíoch (MSU) ÁSPC airgeadraí a mhalartú ús iolraithe príomhshuim ráta méid deiridh dímheas

50

Sampla 1

Is é 23% an ráta CBL a íoctar ar earraí leictreacha.

(i) Faigh praghas díola meaisín níocháin a bhfuil luach �650 + CBL air. (ii) Más é �738 praghas díola ipad cén praghas a bhí air sular cuireadh an CBL leis?

(i) 23% de �650 5 �650 3 0.23 5 �149.50 praghas díola an mheaisín níocháin 5 �650 1 �149.50NÓ 5 �799.50Má chuirimid 23% leis, gheobhaimid 123%.123% de �650 5 �650 3 1.23 5 �799.50 … mar atá thuas.

(ii) Seasann �738 do 123% den phraghas sular cuireadh CBL leis.

123% 5 �738

1% 5 738 ___ 123

100% 5 738 ___ 123 3 100

___ 1 5 �600

Sampla 2

Méadaítear táille thraenach de 6% go �42.40.Cérbh í an tseantáille?

Iolraítear an tseantáille faoi 1.06 chun ? €42.40� 1.06an táille nua a fháil. Mar sin, caithfear an táille nua a roinnt ar 1.06 €40 €42.40� 1.06chun an tseantáille a fháil.

An tseantáille 5 �42.40 4 1.06 5 �40.

2. Céatadán brabúis nó caillteanaisAgus muid ag plé le céatadán brabúis nó caillteanais, is ar an mbunphraghas a bhunaímid an céatadán seo, mura ndeirtear a mhalairt linn.

Brabús 100 Caillteanas 100 Céatadán 5 ___________ 3 ______; Céatadán 5 ___________ 3 ______ brabúis Bunphraghas 1 caillteanais Bunphraghas 1

D’fhéadfá roinnt ar 1.23 chun an freagra a fháil freisin.

51

Sampla 3

Ach carr a dhíol ar �14 400, chaillfeadh déileálaí 4% ar an luach ceannaigh. (i) Cé mhéad a d’íoc an déileálaí ar an gcarr? (ii) Ríomh an céatadán brabúis a dhéanfadh sé dá ndíolfadh sé an carr ar �17 250.

(i) Seasann �14 400 do 96% den luach ceannaigh.

96% 5 �14 400 1% 5 �150 100% 5 �15 000, i.e. luach ceannaigh 5 �15 000.

(ii) Brabús 5 �17 250 2 �15 000 5 �2250

Céatadán brabúis 5 2250 ______ 15 000

3 100 ____ 1

5 15%

Cleachtadh 4.1 1. Scríobh na céatadáin seo ina ndeachúlacha:

(i) 7% (ii) 3 1 _ 2 % (iii) 12% (iv) 15% (v) 16 1 _ 2 %

(vi) 104% (vii) 110% (viii) 114% (ix) 125% (x) 87 1 _ 2 %

2. (i) Méadaigh 120 de 10% (ii) Méadaigh 150 de 6%

(iii) Laghdaigh 600 de 5% (iv) Laghdaigh 820 de 12 1 _ 2 %

3. Méadaítear táillí traenach de 4%. (i) Faigh an táille nua más é �28 an tseantáille. (ii) Más é �36.40 an táille nua, faigh an tseantáille.

4. Méadaítear praghas ticéad amharclainne de 7% go �26.75. Cén praghas a bhí air sular méadaíodh é?

5. Is é �520 móide CBL ar 23% praghas díola rothair. Faigh praghas an rothair tar éis CBL a chur leis.

6. Is é �984 praghas díola teilifíseáin. Má tá CBL ar 23% san áireamh sa phraghas seo, faigh an praghas sular cuireadh an CBL leis.

7. �204.30 atá i mbille leictreachais tar éis CBL ar 13 1 _ 2 % a chur leis. Faigh méid an bhille sular cuireadh an CBL leis.

8. I reic, laghdaítear praghas ball troscáin de 15%. Cén praghas a bhí air roimh an reic, más é �1360 an praghas sa reic?

52

9. I reic, laghdaítear na praghsanna marcáilte de 30%. (i) Ríomh praghas seaicéid sa reic más é �350 an praghas marcáilte. (ii) Faigh praghas marcáilte gúna más é �168 an praghas sa reic.

10. Ach seaicéad a dhíol ar �416, dhéanfadh siopa brabús 30%. (i) Faigh bunphraghas an tseaicéid. (ii) Má laghdaítear praghas díola an tseaicéid de 10% i reic, ríomh an céatadán brabúis

a dhéanfaidh an siopa ar an mbunphraghas.

11. Ach ríomhaire glúine a dhíol ar �1150, dhéanfadh siopa brabús 25%. Chun brabús 20% a dhéanamh, cén praghas ba chóir a chur ar an ríomhaire?

12. Nuair a dhíoltar earra ar �176, déantar brabús 10% ar an mbunphraghas. Ríomh an céatadán brabúis ar an mbunphraghas má mhéadaítear an praghas díola go �192.

13. Ceannaíonn grósaeir glasraí 30 bosca sú talún ar �5.25 an ceann agus díolann sé 28 ceann ar bhrabús 30%. Má bhí an dá bhosca eile dodhíolta, faigh a chéatadán brabúis ar an idirbheart.

14. Is é �615 praghas consól cluichí agus CBL ar 23% san áireamh.

Tairgeann Siopa A lacáiste 24% ar an bpraghas díola.Deir Siopa B nach gcuirfidh siad CBL leis an bpraghas.Deir Siopa C go laghdóidh siad an praghas roimh CBL de 25% agus ansin go gcuirfidh siad CBL ar 23% leis an bpraghas laghdaithe.

Cé acu siopa a thairgeann an praghas díola is saoire agus cé mhéad níos saoire atá sé?

15. Díoltar calóga arbhair Uí Cheallaigh i bpacáistí caighdeánacha 500 g ar �2.40.I rith feachtas poiblíochta, méadaítear toilleadh an phacáiste de 20% ach fanann an praghas mar a bhí. Ríomh an céatadán caillteanais sa phraghas in aghaidh an chileagraim i rith an fheachtais.

16. D’fhógair siopa go raibh “Gach rud ar leathphraghas sa reic” ach anois, fógraíonn siad go bhfuil “Laghdú de 15% sa bhreis ar phraghsanna reaca”. Cén céatadán laghdaithe ar an mbunphraghas í an tairiscint nua?

Mír 4.2 Billí tí Sa roinn seo, beimid ag plé le billí éagsúla tí, m.sh. billí leictreachais, gáis, teileafóin, postais agus árachais.

Agus muid ag plé le billí atá bunaithe ar léamh méadair, is mar seo a aimsítear líon na n-aonad a ídíodh:

Líon na n-aonad a ídíodh 5 an léamh seo 2 an léamh roimhe seo

53

Sampla 1

Ríomh an bille leictreachais de réir an eolais a thugtar thíos:

Táille sheasta: �18.60An léamh méadair seo: 38423 An léamh méadair roimhe seo: 37483Costas an t-aonad: 23 centCBL ar an mbille iomlán: 13%

Líon na n-aonad a ídíodh 5 38423 2 37483 5 940Costas an leictreachais a ídíodh 5 940 3 23 cent 5 940 3 �0.23

5 �216.20Luach an bhille roimh CBL 5 �18.60 1 �216.20 5 �234.80CBL 5 �234.80 3 0.13 5 �30.52

An bille iomlán 5 �234.80 1 �30.52 5 �265.32

Cleachtadh 4.2 1. Is mar seo a leanas a ghearrtar bille leictreachais ar shealbhóir tí:

(i) Táille sheasta �26.80 (ii) 1256 aonad @ 23c an t-aonad (iii) CBL ar 13% ar an mbille iomlán.Faigh méid iomlán an bhille leictreachais.

2. Is iad seo a leanas na táillí a ghearrann soláthróir ar leictreachas a sholáthar:

Ráta lae: 24c an t-aonad Ráta oíche: 10.5c an t-aonad.

Ríomh bille leictreachais gach duine de na tomhaltóirí seo a leanas, bunaithe ar na rátaí aonaid a thugtar thuas. Cuirtear CBL ar 12 1 _ 2 % le gach bille.

Ainm Líon na n-aonad a ídíodh ar an ráta lae

Líon na n-aonad a ídíodh ar an ráta oíche

An táille sheasta

D. Ó Meachair 420 130 �28.90

G. Ó Gormáin 560 370 �25.60

3. Fuair Bean Uí Eidhin bille �130.80 ar an leictreachas a ídíodh i rith dhá mhí. Bhí táille sheasta �25.20 san áireamh sa bhille seo. Má chosain gach aonad leictreachais 22 cent, déan amach cé mhéad aonad a ídíodh.

4. Léadh méadar gáis Ríona ar 1 Márta.

SOLÁTHAIRTÍ GÁIS SGSTÁILLÍ:

Táille sheasta: 28c sa láGás a ídítear: 84c an t-aonad

Ba é seo an léamh: 1 7 4 2

92 lá níos déanaí, léadh an méadar arís.Ba é seo an léamh: 1 9 5 6

Ríomh an bille gáis iomlán a bheidh le híoc ag Ríona don 92 lá ón 1 Márta má chuirtear CBL ar 13% leis.

54

5. Is mar seo a leanas a ghearrtar bille gáis ar shealbhóir tí:Táille sheasta �26.30 Ráta laghdaitheach ar na teirmeacha a ídítear:

0220 teirm: �1.40 an teirm 21240 teirm: �1.26 an teirm níos mó ná 40 teirm: �1.06 an teirm.

Ríomh bille an tsealbhóra do thréimhse ina n-ídíonn sé 54 teirm agus ina gcuirtear CBL ar 12 1 _ 2 % leis an mbille.

6. Thóg Eoin an carr seo ar cíos ar feadh 8 lá

€70 sa lá agus 40c an ciliméadar

agus thiomáin sé 850 ciliméadar. (i) Cé mhéad a chosain sé air an carr a bheith

ar cíos aige? (ii) Thóg Eibhlín carr cosúil leis ar cíos ar feadh 10 lá.

Más é �1610 costas an carr a bheith ar cíos aici siúd, cé mhéad ciliméadar a thiomáin sí?

7. Tuilleann Aodán �12.80 san uair ar ghnáthsheachtain oibre 38 uair an chloig. Íoctar ragobair ar ráta ‘am go leith’. Léiríonn an tábla thíos na huaireanta a d’oibrigh Aodán an tseachtain seo caite.

Lá Luan Máirt Céadaoin Déardaoin Aoine

Uaireanta 10 8 7 9 12

(i) Cé mhéad uair ragoibre a rinne sé an tseachtain seo caite? (ii) Ríomh a phá iomlán an tseachtain seo caite. (iii) Má thuill sé �582.40 i seachtain áirithe, cé mhéad uair ragoibre a rinne sé an

tseachtain sin?

8. Gearrann Eircom 15c ar gach aonad méadraithe. Má ídíonn gach glao áitiúil 1 aonad amháin gach 3 nóiméad (nó cuid de nóiméad) i rith an bhuaic-ama, ríomh costas gach ceann de na glaonna áitiúla seo a dhéantar ag an mbuaic-am:

Am tosaithe Am críochnaithe(i) 9.07 a.m. 9.12 a.m.

(ii) 12.49 p.m. 1.04 p.m.

(iii) 11.54 a.m. 12.16 p.m.

9. Is iad seo a leanas na costais sa mhí a bhaineann le fón Orla (is le billí a íocann sí).

Táille sheasta: �15Táillí glaonna: An chéad 50 nóiméad saor in aisce Nóiméid sa bhreis, 18 cent an nóiméadTéacsteachtaireachtaí: An chéad 100 ceann saor in aisce Téacsteachtaireachtaí sa bhreis, 14 cent an ceann.

55

I rith mhí an Mheithimh, chaith Orla 120 nóiméad i mbun glaonna agus sheol sí 128 téacsteachtaireacht.

(i) Ríomh an costas iomlán ar a glaonna uile. (ii) Faigh méid iomlán a bille an mhí sin.

I rith mhí Iúil, chaith Orla 143 nóiméad i mbun glaonna agus sheol sí x téacsteachtaireacht.

(iii) Más é �39.02 a bille, faigh luach x.

10. Má úsáideann Áine a carr ar thaisteal a bhaineann le gnó, beidh cead aici 68 cent an ciliméadar a éileamh ar an gcéad 80 km agus 42 cent an km ar an gcuid eile den turas.

(i) Cé mhéad is féidir léi a éileamh ar thuras 135 km? (ii) Ar thuras amháin, d’éiligh sí �119.08. Cén t-achar a thaistil sí?

11. Ba mhaith le Cáit fón cliste a fháil. Seo iad na táillí éagsúla.

Má theastaíonn ó Cháit a fón a úsáid ar feadh 120 nóiméad ar a laghad in aghaidh na míosa (ach faoi bhun 143 nóiméad i gcónaí), cé acu táille ba chóir di a roghnú chun an margadh is saoire a fháil?

Mír 4.3 Cáin ioncaim Sa tír seo, daoine a shaothraíonn pá nó tuarastal, íocann siad cáin ioncaim ar a gcuid ioncaim go léir. Dhá ráta cáin ioncaim atá ann. An Ráta Caighdeánach agus an Ráta Ard a thugtar ar na rátaí sin.Sa bhliain 2012, 20% a bhí sa Ráta Caighdeánach, agus 41% sa Ráta Ard.Ach athraíonn na rátaí sin ó am go chéile.

Ag tús na bliana, tugtar creidmheas cánach agus scoithphointe an ráta chaighdeánaighdo gach duine atá fostaithe. Más é �30 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh, ciallaíonn sé sin go n-íocann an duine cáin ioncaim ar an ráta caighdeánach (mar shampla 20%) ar an gcéad �30 000 dá ioncam. Gearrtar cáin ar an ráta ard (mar shampla 41%) ar aon ioncam sa bhreis ar �30 000. Nuair a bhíonn an cháin ioncaim seo ríofa, cáin chomhlán nó ollcháin a thugtar uirthi. Baintear creidmheas cánach an duine as an gcáin chomhlán chun an cháin is iníoctha a ríomh.

Cáin is iníoctha 5 Cáin chomhlán 2 creidmheas cánach

Táille Costas/mí Costas an ghlao / nóiméad

1 �15 40c

2 �24 26c

3 �30 15c

4 �40 8c

56

Sampla 1�800 pá na seachtaine ag clódóir áirithe. Ar ráta caighdeánach 20% a íocann sé cáin ar gach cuid den ioncam aige. Más é �48 a chreidmheas cánach gach seachtain, déan amach an méid cáin ioncaim a íocann sé.

An cháin chomhlán 5 20% de �800 5 �800 3 0.2 5 �160

Cáin is iníoctha 5 Cáin chomhlán 2 creidmheas cánach 5 �160 2 �48 5 �112

�112 de cháin ioncaim a íocann sé gach seachtain.

An Ráta Ard Taispeánann an léaráid thíos méid na cánach ioncaim a íocfaidh duine ar phá comhlán seachtainiúil �700, más é �500 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh agus �80 an creidmheas cánach in aghaidh na seachtaine.

An Ráta Caighdeánach (20%) An Ráta Ard (40%)

�500 @ 20% 5 �100 �200 @ 40% 5 �80↑

Scoithphointe an ráta chaighdeánaigh (�500)

Cáin chomhlán 5 �500 @ 20% 1 �200 @ 40% 5 �100 1 �80 5 �180

Cáin is iníoctha 5 Cáin chomhlán 2 creidmheas cánach 5 �180 2 �80 5 �100

Sampla 2

�45 000 ioncam bliana mná. �28 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh atá aici agus �4000 an creidmheas cánach. Más é 20% an ráta caighdeánach cánach agus 41% an ráta ard, cé mhéad cáin ioncaim a íocfaidh sí i rith na bliana?

Cáin chomhlán 5 20% de �28 000 1 41% den chuid eile dá tuarastal 5 20% de �28 000 1 41% de �17 000 … An chuid eile 5 �17 000 5 (28 000 3 0.2) 1 (17 000 3 0.41) 5 5600 1 6970 5 �12 570

Cáin is iníoctha 5 Cáin chomhlán 2 creidmheas cánach 5 �12 570 2 �4000

An cháin is iníoctha 5 �8570

57

Sampla 3

Íocann fear �4500 cáin ioncaim sa bhliain. Tá creidmheas cánach �2400 aige. Má íocann sé cáin de réir an ráta chaighdeánaigh 20% ar a ioncam uile, ríomh ioncam comhlán (nó oll-ioncam) na bliana aige.

Cáin is iníoctha 5 Cáin chomhlán 2 creidmheas cánach⇒ �4500 5 Cáin chomhlán 2 �2400⇒ Cáin chomhlán 5 �4500 1 �2400 5 �6900

An cháin chomhlán 5 20% den ioncam comhlán

⇒ 20% den ioncam comhlán 5 �6900

1% den ioncam comhlán 5 � 6900 _____ 20

100% den ioncam comhlán 5 � 6900 _____ 20

3 100 ____ 1

ioncam comhlán 5 �34 500

An Muirear Sóisialta Uilíoch (MSU) Tháinig an Muirear Sóisialta Uilíoch i bhfeidhm ar 1 Eanáir 2011.Gearradh é in ionad tobhach eile a cealaíodh ón data sin.

Tugtar thíos rátaí an Mhuirir Shóisialta Uilíoch sa bhliain agus sa tseachtain:

Tairseacha ioncaimSa bhliain Ráta an MSU Sa tseachtain

Suas le �10 036 2% Suas le �193

Ó �10 036 go �16 016 4% Ó �193 go �308

Níos mó ná �16 016 7% Níos mó ná �308

ÁSPC (Árachas Sóisialach Pá-Choibhneasa) Is asbhaint eile é ÁSPC as pá nó ioncam duine.Úsáideann an stat é chun sochair dhífhostaíochta agus pinsin seanaoise a íoc.4% an ráta is coitianta.

58

Sampla 4�840 an pá seachtainiúil atá ag Conchúr.Íocann sé gnáthrátaí MSU agus ÁSPC ar 4%.�65 an creidmheas cánach a dhlitear dó agus íocann sé cáin ioncaim ar an ráta caighdeánach 20%.Ríomh a phá glan tar éis na hasbhaintí uile a íoc.

MSU: �193 @ 2% 1 (�308 2 �193) @ 4% 1 (�840 2 �308) @ 7% 5 �193 3 0.02 1 �115 3 0.04 1 �532 3 0.07 5 �45.70

ÁSPC: �840 @ 4% 5 �840 3 0.04 5 �33.60

Cáin ioncaim: Méid 5 Cáin chomhlán 2 creidmheas cánach 5 �840 @ 20% 2 �65 5 �103

Asbhaintí uile: 5 �45.70 1 �33.60 1 �103 5 �182.30

Pá glan: 5 �840 2 �182.30

5 �657.70

Cleachtadh 4.3 1. �800 pá na seachtaine ag Tomás.

�90 de chreidmheas cánach sa tseachtain atá aige. Ar ráta 20% a íocann sé cáin ioncaim. Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla ar dheis chun pá glan Thomáis a fháil.

2. �34 800 tuarastal na bliana ag Eibhlín. �2585 an creidmheas cánach a dhlitear di. Ar ráta 22% a íocann sí cáin ioncaim. Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla ar dheis.

3. �750 pá na seachtaine ag Laobhaise. �72 an creidmheas cánach seachtainiúil atá aici agus ar ráta caighdeánach 25% a íocann sí cáin ioncaim. Déan amach an méid cáin ioncaim a íocann sí gach seachtain.

Pá comhlán �800

Cáin @ 20% ……

Creidmheas cánach �90

Cáin is iníoctha ……

Pá glan ……

Pá comhlánCáin @ 22%Creidmheas cánachCáin is iníocthaPá glan

59

4. �3200 pá na míosa ag Conchúr. �280 an creidmheas cánach míosúil atá aige agus ar ráta caighdeánach 22% a íocann sé cáin ioncaim. Déan amach an méid cáin ioncaim a íocann sé gach mí.

5. �920 pá na seachtaine ag Eilís. �84 an creidmheas cánach a dhlitear di gach seachtain agus ar ráta caighdeánach 24% a íocann sí cáin ioncaim. Déan amach an méid cáin ioncaim a íocann sí gach seachtain.

6. �42 000 tuarastal na bliana ag Síle. �3600 an creidmheas cánach sa bhliain atá aici agus ar ráta caighdeánach 22% a íocann sí cáin ioncaim. Déan amach cáin ioncaim na bliana aici.

7. �1050 pá na seachtaine ag siúinéir. �78 an creidmheas cánach atá aige sa tseachtain agus ar ráta caighdeánach 24% a íocann sé cáin ioncaim. (i) Déan amach an méid cáin ioncaim a íocann sé gach seachtain. (ii) Cad é a phá glan (i.e. pá le tabhairt abhaile) sa tseachtain?

8. Tá tuarastal bliantúil �46 000 ag Aingeal. �28 000 scoithphointe an ráta caighdeánaigh agus �3200 an creidmheas cánach atá aici. Más é 20% an ráta caighdeánach cánach agus 42% an ráta ard, faigh (i) cáin chomhlán na bliana aici (ii) an méid cáin ioncaim a d’íoc sí an bhliain sin.

9. �980 an pá seachtainiúil a shaothraíonn iriseoir. �620 scoithphointe an ráta caighdeánaigh agus �44 an creidmheas cánach atá aige. 20% an ráta caighdeánach cánach agus 42% an ráta ard.Faigh (i) cáin chomhlán na seachtaine aige (ii) an méid cáin ioncaim a íocann sé sa tseachtain.

10. Ta tuarastal bliantúil �48 000 ag Niamh. �34 000 scoithphointe an ráta caighdeánaigh agus �4600 an creidmheas cánach atá aici. Más é 20% an ráta caighdeánach cánach agus 42% an ráta ard, faigh amach an méid cáin ioncaim a íocann sí.

11. Tugtar rátaí an Mhuirir Shóisialta Uilíoch (MSU) sa tábla thíos:

Sa bhliain Ráta an MSU Sa tseachtainSuas le �10 036 2% Suas le �193

Ó �10 036 go �16 016 4% Ó �193 go �308

Níos mó ná �16 016 7% Níos mó ná �308

(i) Tá tuarastal bliantúil �57 000 ag Aodán. Ríomh a MSU don bhliain.

60

(ii) Tá pá seachtainiúil �950 ag Póilín. Ríomh a MSU don tseachtain.

(iii) �63 000 an tuarastal bliantúil atá ag díoltóir. Ríomh a MSU don bhliain.

(iv) �1200 an pá seachtainiúil atá ag pluiméir. Ríomh a MSU don tseachtain.

12. �43 000 an tuarastal bliantúil atá ag bainisteoir. �3500 an creidmheas cánach atá aici agus íocann sí cáin ioncaim ar a hioncam uile ar an ráta caighdeánach r%. Má íocann sí �5960 cáin ioncaim sa bhliain, faigh r.

13. �60 sa tseachtain an creidmheas cánach atá ag tiománaí bus áirithe. Íocann sé cáin ioncaim ar a chuid pá go léir ar an ráta caighdeánach, 20%. Más é �140 an cháin ioncaim a íocann sé sa tseachtain, faigh a phá seachtainiúil comhlán.

14. �48 000 tuarastal comhlán na bliana ag Lasairíona agus �31 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh a ghearrtar uirthi. 20% ráta caighdeánach na cánach ioncaim agus 35% an ráta ard. Más ionann �7200 agus an méid cáin ioncaim a íocann sí sa bhliain, ríomh a creidmheas cánach.

15. �4400 an méid cáin ioncaim a d’íoc Léan sa bhliain. Is fiú �2600 na creidmheasanna cánach a íoctar léi agus is ar an ráta caighdeánach, 20%, a íocann sí cáin ioncaim ar a cuid tuarastail go léir. Ríomh tuarastal comhlán na bliana ag Léan.

16. �6520 an méid cáin ioncaim a d’íoc fear áirithe sa bhliain. �3600 an creidmheas cánach atá aige. Ar an ráta caighdeánach, 22%, a íocann sé cáin ioncaim ar a chuid pá go léir. Ríomh tuarastal bliantúil comhlán an fhir.

17. �900 pá na seachtaine ag Finín. �68 an creidmheas cánach atá aige agus is é �620 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh a ghearrtar air. 20% an ráta caighdéanach cánach agus 42% an ráta ard. Íocann sé MSU de réir na rátaí a thugtar i gCeist 11. thuas. Ina theannta sin, íocann sé ÁSPC ar ráta 4% ar a phá go léir. (i) Cé mhéad cáin ioncaim a íocann sé sa tseachtain? (ii) Cé mhéad MSU a íocann sé? (iii) Ríomh an méid ÁSPC a íocann sé. (iv) Cad é a phá glan don tseachtain?

18. Bainisteoir monarchan é Sean de Faoite a bhfuil tuarastal �54 000 sa bhliain aige. Is é �4300 a chreidmheas cánach bliantúil agus �36 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh. Is é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard. Íocann sé MSU de réir Cheist 11. thuas agus íocann sé ÁSPC ar ráta 4% ar a thuarastal go léir. (i) Cé mhéad cáin ioncaim a íocann sé sa bhliain? (ii) Cé mhéad MSU a íocann sé? (iii) Cé mhéad ÁSPC a íocann sé?

Is mar a chéile pá glan agus ‘pá le tabhairt abhaile’.

61

(iv) Ríomh a phá glan don bhliain. (v) Sloinn a phá glan mar chéatadan dá tuarastal comhlán.

Tabhair do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

19. Íoctar �10.40 le hEimhear ar gach uair an chloig de sheachtain oibre 35 uair. Uair an chloig ar bith a oibríonn Eimhear de bhreis ar na 35 uair sin, íoctar 1 1 _ 2 oiread an ghnáthráta in aghaidh na huaire léi. �68 sa tseachtain an creidmheas cánach atá aici agus is é 26% an ráta caighdeánach cánach. Íocann sí MSU de réir Ceist 11. thuas agus íocann sí ÁSPC ar ráta 5%.

Más 45 uair a oibríonn sí seachtain áirithe, faigh:

(i) pá comhlán na seachtaine sin aici (ii) an méid cáin ioncaim a íocann sí (iii) an méid MSU a d’íoc sí (iv) an méid ÁSPC a d’íoc sí (v) pá glan na seachtaine sin.

20. D’íoc bean �6600 de cháin ioncaim sa bhliain. �4600 an creidmheas cánach a bhí aici agus ba é �28 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh. Ba é 20% an ráta caighdeánach cánach agus 40% an ráta ard.

(i) Ríomh cáin chomhlán na bliana aici. (ii) Cé mhéad cáin ioncaim a d’íoc sí ar an ráta caighdeánach? (iii) Cé mhéad cáin ioncaim a d’íoc sí ar an ráta ard? (iv) Cé mhéad ioncaim a thuill sí de bhreis ar �28 000? (v) Cérbh é ioncam comhlán na bliana ag an mbean?

Mír 4.4 Airgeadraí a mhalartú Má théimid go tír nach bhfuil i limistéar an euro, go hiondúil athraímid ár gcuid euro go hairgeadra na tíre sin.

Má fheiceann tú �1 5 $1.35 ar fhógra i mbanc, conas a athróidh tú $100 go euro?

Má theastaíonn euro uainn sa fhreagra, cuirfimid euro ar thaobh na láimhe deise den ‘chothromóid’.

Má tá �1 5 $1.35,

$1.35 5 �1 … cuir an t-ord droim ar ais

$1 5 � 1 ____ 1.35

$100 5 � 1 ____ 1.35

3 100 ____ 1

5 �74.07

$100 5 �74.07

Cuir an t-airgeadra a theastaíonn uait ar thaobh na láimhe deise den ‘chothromóid’.

62

Sampla 1

Má tá �1 5 120 yen, (i) cé mhéad yen a gheofá ar �1200? (ii) cé mhéad euro a gheofá ar 8000 yen?

(i) �1 5 120 yen (ii) �1 5 120 yen �1200 5 (120 3 1200) yen 120 yen 5 �1

5 144 000 yen 1 yen 5 � 1 ____ 120

8000 yen 5 � 1 ____ 120

3 8000 _____ 1

5 �66.666

8000 yen 5 �66.67

Sampla 2

Mhalartaigh cuairteoir ó Mheiriceá $2000 ar euro. �1 5 $1.36 an ráta malairte a fuair sé. Gearradh táille ar an tseirbhís seo. Má fuair an cuairteoir �1444.20, ríomh an táille in euro.

Teastaíonn euro uainn sa fhreagra; mar sin, cuirfimid euro ar thaobh na láimhe deise den chothromóid.

�1 5 $1.36⇒ $1.36 5 �1

$1 5 � 1 ____ 1.36

$2000 5 � 1 ____ 1.36

3 2000 _____ 1

$2000 5 �1470.59

Fuair an duine �1444.20.⇒ an táille 5 �1470.59 2 �1444.20 5 �26.39�26.39 an táille.

Cleachtadh 4.4 1. Má tá �1 5 1.3 dollar, S.A.,

(i) cé mhéad dollar a gheofá ar �450? (ii) cé mhéad euro a gheofá ar 800 dollar?

2. Má tá �1 5 120 yen, (i) cé mhéad yen a gheofá ar �900? (ii) cé mhéad euro a gheofá ar 9000 yen?

63

3. Má tá �1 5 £0.80 steirling, (i) cé mhéad punt steirling a gheofá ar �1200? (ii) cé mhéad euro a gheofá ar £600?

4. Ar chuairt ar an Eilvéis, cheannaigh duine seaicéad leathair

560F

ar 560 franc Eilvéiseach.

Má tá �1 5 1.4 franc Eilvéiseach, faigh costas an tseaicéid in euro.

5. Má tá �1 5 1.4 dollar Ceanadach, (i) cé mhéad dollar Ceanadach a gheofá ar �3500? (ii) cé mhéad euro a gheofá ar 5600 dollar Ceanadach?

6. Má tá �1 5 9.2 coróin Shualannach, déan amach (i) cé mhéad coróin Shualannach a gheofá ar �750? (ii) cé mhéad euro a gheofá ar 1500 coróin Shualannach?

7. Mhalartaigh cuairteoir Eilvéiseach 4200 franc Eilvéiseach ar euro ag bureau de change. �1 5 1.4 franc Eilvéiseach an ráta malairte. Déan amach ina euro cé mhéad a fuair an cuairteoir má ghearr an bureau coimisiún 1% uirthi.

8. D’íoc turasóir Téalannach 140 000 baht Téalannach le gníomhaire taistil ar shaoire in Éirinn. Chaith an gníomhaire �2460 ar eagrú na saoire. Ríomh, ina baht, an brabús a rinne an gníomhaire má tá �1 5 40 baht.

9. Nuair a bhí ráta malairte �1 5 9.8 de Ragus na hAfraice Theas i bhfeidhm, mhalartaigh bean 12 000 de Ragus na hAfraice Theas ar euro sa bhanc. Ghearr an banc táille don idirbheart seo. Má fuair an bhean �1166.60, faigh ina euro an táille a ghearr an banc uirthi.

10. Ar thuras go dtí an tSualainn, mhalartaigh turasóir �4500 ar chorónacha Sualannachanuair a bhí ráta malairte �1 5 8.75 coróin i bhfeidhm. Chaith sé 25 400 coróin agus, ar abhealach abhaile, d’athraigh sé a raibh fágtha aige ar ais go euro, nuair a bhí ráta malairte �1 5 8.60 coróin i bhfeidhm. Cé mhéad a fuair sé ina euro?

11. Mhalartaigh turasóir ón Astráil $2500 ar euro ag banc in Éirinn. Ghearr an banc coimisiún céatadánach ar an idirbheart. Má bhí ráta malairte �1 5 A$1.36 i bhfeidhm agus má fuair an turasóir �1801.47, faigh an coimisiún céatadánach a ghearr an banc air.

12. Cheannaigh ceannaí francanna Eilvéiseacha nuair a bhí ráta malairte �1 5 1.45 franc i bhfeidhm. Má fuair sé 43 400 franc, faigh amach cé mhéad euro a mhalartaigh sé. Tabhair do fhreagra ceart go dtí an euro is gaire.

Dhíol sé na francanna Eilvéiseacha nuair a bhí ráta malairte �1 5 1.28 franc i bhfeidhm. Faigh, ceart go dtí an euro is gaire, an méid brabúis nó caillteanais a rinne an ceannaí san idirbheart seo.

64

Mír 4.5 Ús iolraithe Má infheistímid �100 sa bhanc ar feadh bliana ar 6% sa bhliain, tuillfimid �6 úis.

An phríomhshuim (P) a thugtar ar an �100.An ráta (i) sa bhliain a thugtar ar an 6%.An méid deiridh (F) a thugtar ar an �106.

Féach air seo a leanas, áit arb é 5% an ráta úis.

Tuilleann �100 �5 in 1 bhliain amháin

→Tuilleann �400 �20 in

1 bhliain amháin→

Tuilleann �700 �35 in 1 bhliain amháin

Uaidh seo, feicimid gurb ionann an t-ús agus an phríomhshuim (P) iolraithe faoin ráta (i).Sloinntear an ráta i mar dheachúil i gcónaí.

Má infheistítear �800 ar feadh bliana ar 6% sa bhliain, ansin

(i) iolraímid �800 faoi 0.06 chun an t-ús a ríomh, i.e. �800 3 0.06 5 �48 (ii) iolraímid �800 faoi 1.06 chun an méid deiridh a ríomh, i.e. �800 3 1.06 5 �848

Ús iolraithe Chuir Seán �500 i gcomhar creidmheasa ar ús 6% in aghaidh na bliana. �800 X 0.06 5 �48 an t-ús a fuair sé sa chéad bhliain. I ndeireadh na chéad bhliana, mar sin, bhí �848 aige ina chuntas. Sa dara bliain, thuill �848 ús ar 6%, i.e. thuill ús na chéad bhliana ús dá chuid féin i rith an dara bliain. Ús iolraithe a thugtar ar an gcineál seo úis.

Léirítear an modh bunúsach le hús iolraithe a ríomh sa sampla seo a leanas.

Sampla 1

Infheistítear �1200 ar ús iolraithe 4% in aghaidh na bliana ar feadh 3 bliana. Cé mhéad a thabharfaidh an infheistíocht seo?

Príomhshuim na chéad bhliana 5 �1200Ús na chéad bhliana 5 4% of �1200 5 1200 3 0.04 5 �48Príomhshuim an dara bliain 5 �1200 1 �48 5 �1248Ús an dara bliain 5 4% de �1248 5 1248 3 0.04 5 �49.92

Méid deiridh 5 an phríomhshuim + ús

Ús 5 P X i

65

Príomhshuim an tríú bliain 5 �1248 1 �49.92 5 �1297.92Ús an tríú bliain 5 4% de �1297.92 5 1297.92 3 0.04 5 51.9168 5 �51.92

An méid deiridh i ndeireadh an tríú bliain 5 �1297.92 1 �51.92 5 �1349.84

Seo thíos bealach eile chun an méid deiridh sa sampla thuas a fháil.

Má infheistítear �1200 ar ús iolraithe 4% in aghaidh na bliana ar feadh 3 bliana, is féidir an méid deiridh (F) a ríomh mar seo:

�1200 3 1.04 3 1.04 3 1.04 5 �1200 3 (1.04)3

Iolraigh faoi (1.04)3 chun 3 bliana a ríomh.

Tugann an patrún thuas chuig foirmle muid a aimsíonn an méid deiridh (F) nuair a infheistítear suim airgid (P) ar ús iolraithe, i, ar feadh t bliain.

F 5 P(1 1 i)t

F 5 méid deiridhP 5 príomhshuimi 5 ráta úist 5 líon na mblianta

Nóta: Tugtar an ráta úis, i, san fhoirm dheachúlach i gcónaí.

Más é 4% an t-ús, ansin (1 + i) 5 1.04

Más é 2 1 _ 2 % an t-ús, ansin (1 + i) 5 1.025

Más é 12% an t-ús, ansin (1 + i) 5 1.12.

Sampla 2

Úsáid an fhoirmle le haghaidh ús iolraithe chun an t-ús iolraithe ar �2800 ar feadh trí bliana ar 7.5% sa bhliain a ríomh.

F 5 P(1 1 i)t

5 2800(1 1 0.075)3

5 2800(1.075)3

F 5 �3478.43 … ar an áireamhán

Ús iolraithe 5 �3478.43 2 �2800 5 �678.43

66

An ráta agus an phríomhshuim a fháil Má infheistítear �300 ar feadh bliana ar 6% sa bhliain, is é an t-ús ná �300 X 0.06 5 �18Ach, má deirtear linn go dtuilleann �300 �18 in aon bhliain amháin, conas is féidir an t-ús a aimsiú? D’fhéadfaimis a rá, má thuilleann �300 �18, go dtuillfeadh �100 �6, is é sin, ráta 6%.

Mar sin is é an ráta ná 18 ____ 300

3 100 ____ 1

5 18 ___ 3

5 6%

Sampla 3Má mhéadaíonn �650 go �702 in aon bhliain amháin, faigh an ráta.

Ús 5 �702 2 �650 5 �52 Ús 100 52 100Ráta 5____________ 3 ____ 5 ____ 3 ____ 5 8 Príomhshuim 1 650 1

an ráta 5 8%

Sampla 4Cén tsuim airgid, a infheistíodh ar ús iolraithe 4% sa bhliain, a thabharfaidh �3149.62 i ndiaidh trí bliana?

F 5 P(1 1 i)t

3149.62 5 P(1.04)3

P(1.04)3 5 3149.62 … anseo táimid ag lorg na príomhshuime, P.

P 5 3149.62 _______ (1.04)3 5 3149.62 _______

1.1249 5 �2800

Ba é �2800 an tsuim a infheistíodh.

Dímheas Má dhímheasann luach cairr ar ráta 20% sa bhliain, ní bheidh i luach an chairr i ndeireadh na chéad bhliana ach 80% dá luach i dtús na chéad bhliana. Chun 80% de shuim airgid a fháil, iolraigh faoi 0.8 mar tá 80% 5 0.8.

Más �25 000 a bhí ar charr, agus má dhímheasann a luach 15% in aghaidh na bliana, beidh a luach

(i) i ndeireadh na chéad bhliana 5 �25 000 X 0.85 (ii) i ndeireadh an dara bliain 5 �25 000 X 0.85 X 0.85 5 �25 000 X (0.85)2

(iii) i ndeireadh an tríú bliain 5 �25 000 X 0.85 X 0.85 X 0.85 5 �25 000 3 (0.85)3

…………………………I ndeireadh 8 mbliana, is é �25 000 X (0.85)8 a luach.

1

3

Ús 100Ráta 5____________ 3 ____ % Príomhshuim 1

67

Sampla 5Dímheasann luach meaisín de 10% sa bhliain.Más fiú �58 320 an meaisín i ndeireadh 3 bliana, cén luach a bhí air nuair a bhí sé nua?

Abraimis gurb é P luach an mheaisín nuair a bhí sé nua.Luach P i ndeireadh 3 bliana 5 P(0.9)3

P(0.9)3 5 58 320 P(0.729) 5 58 320

P 5 58 320 ______ 0.729

5 80 000

Ba é �80 000 luach an mheaisín nuair a bhí sé nua.

Cleachtadh 4.5Faigh an t-ús iolraithe a tuilleadh ar na hinfheistíochtaí i gCeisteanna (1210), gan an fhoirmle le haghaidh ús iolraithe a úsáid.

1. �400 ar feadh 2 bhliain ar 6% 2. �800 ar feadh 2 bhliain ar 8%



7. �800 ar feadh 3 bliana ar 5% 8. �1200 ar feadh 3 bliana ar 12%

9. �700 ar feadh 3 bliana ar 11% 10. �1800 ar feadh 3 bliana ar 4%

11. Úsáid an fhoirmle le haghaidh ús iolraithe chun méid gach ceann de na hinfheistíochtaí seo a leanas a ríomh, ceart go dtí an cent is gaire:

(i) �600 ar feadh 2 bhliain ar 5% (ii) �1800 ar feadh 2 bhliain ar 9% (iii) �3500 ar feadh 3 bhliain ar 7 1 _ 2 % (iv) �7800 ar feadh 3 bhliain ar 3 1 _ 2 %

12. Infheistíodh �4600 ar ús iolraithe ar feadh dhá bhliain. Más é 4% ráta úis na chéad bhliana agus 5% ráta úis an dara bliain, ríomh an t-ús iomlán a íocadh sa dá bhliain.

13. Infheistíodh �1500 ar feadh dhá bhliain ar ús iolraithe. Is é 3% an ráta sa chéad bhliain agus 4% an ráta sa dara bliain. Faigh an méid i ndeireadh an dá bhliain.

14. Fuair comhlacht �12 000 ar iasacht ó bhanc ar ús iolraithe 11% sa bhliain. D’aisíoc an comhlacht �5000 i ndeireadh na chéad bhliana. Cé mhéad airgid a bhí ag an mbanc ar an gcomhlacht i ndeireadh an dara bliain?

100% 2 10%5 90% 5 0.9

68

15. Fásfaidh �700 go �756 i ndeireadh bliana má infheistítear é ar 8% sa bhliain.

(i) Cén uimhir a iolraítear faoi �700 chun �756 a fháil? (ii) Cén uimhir a roinntear �756 uirthi chun �700 a fháil?

16. Infheistíodh suim áirithe airgid ar 7% sa bhliain. Más é �6848 an méid tar éis bliana, ríomh an tsuim a infheistíodh.

17. Infheistíodh �2500 i gcumann foirgníochta. Más é �2612.50 an méid tar éis bliana, ríomh an ráta úis.

18. Cén tsuim airgid, infheistithe ar feadh trí bliana ar ús iolraithe 8% sa bhliain, a thabharfadh �1007.77?

19. Cén tsuim airgid, infheistithe ar ús iolraithe 5% sa bhliain, a thabharfadh �10 988.78 i gceann sé bliana?

20. Infheistíodh �8000 ar feadh trí bliana ar ús iolraithe. Is é 5% an ráta sa chéad bhliain agus 6% an ráta sa dara bliain. Faigh méid na hinfheistíochta i ndeireadh dhá bhliain. I ndeireadh an tríú bliain, bhí �9260.16 infheistithe. Ríomh an ráta úis sa tríú bliain.

21. Faigheann duine �15 000 ar iasacht ar feadh dhá bhliain. Gearrtar ús ar 12% sa bhliain an chéad bhliain. Aisíocann an duine �6000 i ndeireadh na chéad bhliana. Má tá fiacha �12 042 air i ndeireadh an dara bliain, faigh an ráta úis sa dara bliain.

22. Infheistíodh suim airgid ar feadh dhá bhliain. Ba é 4% an ráta úis sa chéad bhliain agus 5% an ráta úis sa dara bliain. Ba é �9282 an méid i ndeireadh an dara bliain. (i) Cén uimhir a roinntear �9282 uirthi chun an méid i ndeireadh na chéad bhliana a

fháil? (ii) Cén uimhir a roinntear an méid i ndeireadh na chéad bhliana uirthi chun an tsuim a

infheistíodh a fháil? Faigh an tsuim a infheistíodh.

23. D’infheistigh duine �10 000 i gcumann foirgníochta. Is é 2 1 _ 2 % an ráta úis sa chéad bhliain. I ndeireadh na chéad bhliana, d’infheistigh an duine �1000 breise. Is é 2% an ráta úis sa dara bliain. Ríomh luach na hinfheistíochta i ndeireadh an dara bliain.

I ndeireadh an dara bliain, d’infheistigh an duine �2000 breise. I ndeireadh an tríú bliain, ba é �14 014 an méid infheistithe. Ríomh an ráta úis sa tríú bliain.

24. Chosain meaisín �15 000. Má dhímheas a luach de 15% sa bhliain, faigh a luach i ndeireadh dhá bhliain.

25. Dímheasann luach veaineanna de 20% sa bhliain.

(i) Má ceannaíodh veain ar �23 000, faigh a luach i ndeireadh trí bliana. (ii) Más é �11 520 luach veain tar éis dhá bhliain, faigh a luach nuair a bhí sé nua.

26. Ceannaíodh carr nua ar �24 000. Dhímheas a luach de 20% sa chéad bhliain. Má b’fhiú �16 128 an carr i ndeireadh an dara bliain, cén céatadán dímheasa a tháinig ar a luach i rith an dara bliain?

69

Cuir triail ort féin 4 1. (a) I rith tréimhse dhá mhí, d’ídigh Muintir Mhic Cába 980 aonad leictreachais.

Chosain gach aonad 21c agus ba é �21.30 an táille sheasta. Faigh méid iomlán a mbille tar éis CBL ar 12 1 _ 2 % a chur leis.

(b) Tá tuarastal bliantúil �42 800 ag Síle. Tá creidmheas cánach �3350 aici agus is é �31 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh aici. Más é 20% an ráta caighdeánach agus 42% an ráta ard, cé mhéad cáin ioncaim a íocann sí sa bhliain?

(c) Fuair fear �8000 ar iasacht ón mbanc ar ús iolraithe 12% in aghaidh na bliana. D’aisíoc sé �3000 ag deireadh na chéad bhliana. Cé mhéad a bhí ag an mbanc air i ndeireadh an dara bliain?

2. (a) Infheistíodh �4500 ar feadh dhá bhliain ar ús iolraithe. 8% an ráta don chéad bhliain agus 6% an ráta don dara bliain. Faigh an t-ús iomlán a gnóthaíodh.

(b) Nuair a bhíonn �1 5 $1.28 SAM, athraíonn duine $1920 SAM go euro. Gearrtar táille ar an tseirbhís seo. Cad é an táille céatadánach má fhaigheann an duine �1462.50?

(c) Gach ball éadaigh fir le linn reaca, is lú de 20% an praghas atá air ná an praghas marcáilte.

(i) Más é �336 praghas reaca cóta, cad é an praghas marcáilte? (ii) Má dhéanann lucht an tsiopa brabús 5% ar bhunphraghas an chóta sa reic, cén

céatadán brabúis a bhí siad a dhéanamh ar an mbunphraghas roimh an reic?

3. (a) Cheannaigh Eibhlín 0.8 kg piorraí ar �1.90 an cileagram agus 1.4 kg úll. �4.46 a bhí orthu san iomlán. Cén praghas an cileagram a bhí ar na húlla?

(b) Meánn próca ina bhfuil 8 seacláid 160 g. Meánn an próca céanna, agus 20 seacláid ann, 304 g. Cé mhéad a mheánn an próca ann féin?

(c) I ndeireadh an dara bliain, b’fhiú �5342.40 suim airgid a infheistíodh ar ús iolraithe. (i) Má b’ionann an ráta úis sa dara bliain agus 6%, cé mhéad ab fhiú an

infheistíocht i ndeireadh na chéad bhliana? (ii) Más é �4800 an tsuim a infheistíodh ar dtús, faigh an ráta úis sa chéad bhliain.

4. (a) Taistealaíonn Marc go Baile Átha Cliath ar an traein go minic. Cosnaíonn gnáth-thicéad fillte �34.50 air. Cosnaíonn Cárta Leap �70. Má bhíonn an cárta sin aige, ní chosnaíonn an ticéad fillte ach �23.

70

Má cheannaíonn sé ceann de na ticéid chomhtháite taistil seo, cad é an líon is lú turas fillte go BÁC a chaithfidh sé a dhéanamh chun go mbeidh an costas iomlán níos lú ná costas na ngnáth-thicéad?

(b) Tá tuarastal bliana �39 000 ag Siobhán Ní Bhuachalla. �4750 an creidmheas cánach atá aici, agus �31 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh a ghearrtar uirthi. Más é 20% an ráta caighdeánach agus 40% an ráta ard, cé mhéad cáin ioncaim a íocann sí sa bhliain?

(c) Infheistíodh suim áirithe airgid ar feadh dhá bhliain ar ús iolraithe. 6% an ráta úis sa chéad bhliain agus 5 1 _ 2 % sa dara bliain. Má b’fhiú �6709.80 an infheistíocht i ndeireadh an dara bliain, ríomh an tsuim a infheistíodh.

5. (a) Tá bille leictreachais Ríona bunaithe ar na sonraí seo a leanas:

An léamh roimhe seo 46523An léamh seo 48249Costas an aonaid 21.5 centTáille sheasta �21.40CBL ar an mbille iomlán 13 1 _ 2 %

Ríomh an bille iomlán, CBL san áireamh.

(b) Mhalartaigh turasóir Astrálach 2000 dollar ar euro nuair a bhí ráta �1 5 1.6 dollar Astrálach i bhfeidhm. Cén táille, ina céatadán, a bhí ar an idirbheart má fuair sí �1225?

(c) Dímheasann luach carr nua 20% sa chéad bhliain. I rith an dara bliain, dímheasann an luach 15% den luach a bhí air ag tús na bliana sin. Más é �15 640 luach an chairr i ndeireadh a dara bliain, faigh costas an chairr nuair a bhí sí nua.

6. (a) Tairgeann comhlacht rogha idir na beartaíochtaí pá a leanas do Sheán:

A : méadú 6% i mbliana agus méadú 6% an bhliain seo chugainn

B : méadú 5 1 _ 2 % i mbliana agus méadú 6 1 _ 2 % an bhliain seo chugainn.

Cé acu rogha ba chóir do Sheán glacadh leis? Mínigh do fhreagra.

(b) D’infheistigh bean �12 000 i gcumann foirgníochta ar 7% in aghaidh na bliana. I ndeireadh na chéad bhliana, tharraing sí �B as. Má b’fhiú �8923.80 an infheistíocht i ndeireadh an dara bliain, ríomh luach B.

(c) Tá �3600 de chreidmheas cánach sa bhliain ag Cóilín. Is é �30 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh. Is é 20% an ráta caighdeánach agus 35% an ráta ard. Má íocann Cóilín �7650 cáin ioncaim sa bhliain, faigh a thuarastal comhlán sa bhliain.

71

72

Mír 5.1 Cineálacha sonraí Sa mhír seo caithfimid súil siar ar chuid de na focail agus sainmhínithe a chonaic tú i do chuid staidéir ar shonraí sa chéad bhliain.

Is ainm eile é ‘sonraí’ ar na fíricí agus na giotaí faisnéise a bhailímid. Amhshonraí a thugtar ar shonraí nach bhfuil eagraithe. Is féidir sonraí a roinnt ina dhá gcatagóir leathana, is iad sin, sonraí catagóireacha agus sonraí uimhriúla.

Sonraí catagóireacha Sonraí catagóireacha a thugtar ar shonraí a bhaineann le grúpa nó le catagóir. Samplaí d’fhocail a úsáidtear go minic agus muid ag plé le sonraí catagóireacha ná dathanna, an spórt is fearr le daoine agus an tír inar rugadh daoine.

Sonraí ainmniúla a thugtar de ghnáth ar shonraí catagóireacha ar nós

> an dath atá ar charranna

> fear nó bean

> fíor/bréagach

> na leabhair is fearr le daoine.

Sonraí oird a thugtar ar shonraí catagóireacha ina mbaineann ord leis na catagóirí, cosúil leis an gcéad áit, an dara háit, an tríú háit, etc.

Seo tuilleadh samplaí de shonraí oird:

> cineál cairr (carr sóchais, carr feidhmeannaigh, carr teaghlaigh, carr barainne, ...)

> na gráid a baineadh amach i scrúdú (A, B, C, D, ...)

> scálaí tuairimíochta (aontaím go mór, aontaím, níl a fhios agam, easaontaím, easaontaím go mór).

Focail Thábhachtachasonraí amhshonraí sonraí uimhriúla sonraí scoite sonraí leanúnacha sonraí catagóireacha sonraí ainmniúla sonraí oird sonraí príomhúla sonraí tánaisteacha sampla sampla randamach simplí daonra ceistneoir laofacht ionadaíoch

caibi

dil

5 An Staitistic 1 – Sonraí a Bhailiú

73

Sonraí uimhriúla Sonraí uimhriúla a thugtar ar na sonraí sin ar féidir iad a chomhaireamh nó a thomhas mar is éard a bhíonn sa fhreagra ná uimhir. Is féidir le sonraí uimhriúla a bheith scoite nó leanúnach.

Sonraí scoiteSonraí scoite a thugtar ar na sonraí sin a bhíonn teoranta do luachanna faoi leith.

Seo a leanas roinnt samplaí de shonraí scoite: > Líon na gcúl a scóráil foirne peile ar an

Satharn > Líon na mbinsí i seomraí ranga na scoile > Na marcanna a baineadh amach i

scrúdú.

Sonraí leanúnacha Déantar sonraí leanúnacha a thomhas ar scála éigin agus is féidir luach ar bith ón scála sin a bheith orthu.

Seo a leanas roinnt samplaí de shonraí leanúnacha: > Airde na ndaltaí sa rang > Luas na gcarranna a théann thar áit

faoi leith ar bhóthar > An t-am a ghlacann sé ar dhaoine rás

100 méadar a rith

Seo achoimre ar na cineálacha sonraí:

Sonraí uimhriúla(uimhreacha)

Sonraí

Sonraí ainmniúla(an tír inar rugadh daoine)

Sonraí oird(baineann ord leo, 1ú, 2ú, 3ú...)

Sonraí catagóireacha(focail/catagóirí)

Sonraí scoite(is féidir iad a chomhaireamh: luachanna ar leith, bearnaí idir na sonraí)

Sonraí leanúnacha(tomhaiste: scála nó raon réidh, luachanna ‘idir eatarthu’ san áireamh)

Sampla 1I gcás gach ceann díobh seo a leanas, scríobh síos an sonraí uimhriúla nó sonraí catagóireacha atá i gceist:

(i) líon na gcúl a scóráladh i gcluiche haca (ii) teocht oighinn (iii) dath gruaige daoine (iv) tír déantúsaíochta carranna (v) caighdeán óstán ina líon réaltaí (vi) an méid ama a thóg sé ar lúthchleasaithe 400 méadar a rith.

(i) uimhriúil (ii) uimhriúil (iii) catagóireach (iv) catagóireach (v) catagóireach (vi) uimhriúil

74

Cleachtadh 5.1 1. Luaigh an sonraí uimhriúla nó sonraí catagóireacha atá sna samplaí seo a leanas:

(i) Líon na gcarranna a dhíol garáiste áirithe an mhí seo caite (ii) An fhoireann sacair is fearr le daltaí i do rang (iii) An mhór-roinn inar rugadh daoine a tháinig go hÉirinn le bliain anuas (iv) Líon na gcapall i rás (v) Maidir leis an gcapall a bhuaigh an rás, an méid ama a thóg sé air an rás a rith (vi) Fuilghrúpa na múinteoirí i do scoil (vii) Cineál na gcrann i gcoill (viii) An t-am a ghlac sé tomhas sudoku a réiteach.

2. Luaigh cé acu scoite nó leanúnach atá gach ceann de na sonraí uimhriúla seo a leanas: (i) Líon na n-ainmhithe sa zú (ii) An t-am a ghlac sé maratón a rith (iii) An scór ar dhísle (iv) Teocht an choirp ag othair (v) Líon na dtithe a bhfuil an t-idirlíon ar fáil iontu i gceantar poist áirithe (vi) An t-achar atá i bpáirc peile.

3. (i) Maidir le pór an mhadra seo, an sonraí catagóireacha nó sonraí uimhriúla atá i gceist?

(ii) 23 kg meáchain atá sa mhadra. Luaigh an sonraí scoite nó sonraí leanúnacha atá i gceist.

(iii) Tá ceithre chos ar an madra, tá sé 4 bliana d’aois agus itheann sé 4 bhriosca i gcomhair lóin. Luaigh cé acu scoite nó leanúnach atá gach 4.

4. Sonraí catagóireacha atá i ngach ceann díobh seo a leanas. Luaigh cé acu sonraí ainmniúla nó sonraí oird atá i gceist.

(i) Na cineálacha ainmhí a fhaightear ar fheirm mhór (ii) Rátaí creidmheasa tíortha (A faoi thrí, ...) (iii) Na ranna i sraith pheile (iv) Na tíortha a bhfuil cuairt tugtha orthu ag lucht leanúna fhoireann sacair na hÉireann (v) Na hábhair ar féidir staidéar a dhéanamh orthu sa chúigiú bliain (vi) Catagóirí na mbonn is féidir a bhuachan ag na Cluichí Oilimpeacha (vii) Na gráid is féidir liom a fháil i scrúduithe an Teastais Shóisearaigh.

5. Cuireadh ochtar iarrthóirí faoi agallamh le haghaidh poist. Bunaithe ar thorthaí an agallaimh, cuireadh in ord ó 1 go 8 iad. I gcás an dá ráiteas, úsáid dhá fhocal chun cur síos a dhéanamh ar na sonraí atá ann.

6. Taispeántar sa léaráid ar dheis an teocht ag meán lae gach lá i mí Iúil. .

(i) An scoite nó leanúnach na teochtaí seo? (ii) An bhfuil aon sonraí catagóireacha sa léaráid?

Má tá, an sonraí ainmniúla nó sonraí oird atá i gceist? (iii) An uimhriúil nó catagóireach atá na dátaí Iúil

1, 2, 3, ...? Mínigh an tátal a bhain tú.

7. 24 imreoir atá ar an gcéad fhoireann ag foireann áirithe sa Phríomhroinn.26 bliain an mheánaois atá acu. Rugadh iad in Éirinn, i Sasana, sa Chróit, sa tSeineagáil, san Iodáil, sa Fhrainc agus sa Chósta Eabhair.

I gcás gach ceann de na trí ráiteas thuas, úsáid dhá fhocal chun cur síos a dhéanamh ar na sonraí atá ann.

Mír 5.2 Sonraí a bhailiú Déantar sonraí a bhailiú ar go leor cúiseanna agus ó go leor foinsí.

> Bíonn comhlachtaí ag déanamh taighde margaidh le fáil amach cén fáth a dtaitníonn táirgí le custaiméirí agus cén fáth nach dtaitníonn, agus le fáil amach an dtaitneodh táirgí nua leo.

> Déanann an rialtas daonáireamh ar gach duine sa tír gach cúig bliana. Baineann daoine agus eagraíochtaí úsáid as an bhfaisnéis a bhailítear le haghaidh tuilleadh pleanála.

Is féidir ceann ar bith de na modhanna seo a úsáid chun sonraí a bhailiú:

> Úsáid a bhaint as ceistneoir chun suirbhé a dhéanamh agus taifead a dhéanamh ar an méid a deir daoine

> Turgnamh a dhéanamh. B’fhéidir go mbeidh teicneolaíocht in úsáid, e.g. ríomhaire nó logálaí sonraí

> Úsáid a bhaint as foinsí mar leabhair thagartha, láithreáin ghréasáin, bunachair shonraí, nuachtáin agus taifid staire.

Sula mbailítear sonraí, ní mór aidhm shoiléir a bheith ag duine. Ní mór cinneadh a dhéanamh faoin gcineál sonraí atá le bailiú agus faoin modh is oiriúnaí agus is éifeachtaí chun na sonraí sin a bhailiú.

Is féidir na sonraí a bhailítear a roinnt ina dhá gcatagóir leathana, is iad sin, sonraí príomhúla agus sonraí tánaisteacha.

Sonraí príomhúla Sonraí tánaisteacha

Sonraí príomhúla a thugtar ar shonraí a bhailíonn eagraíocht nó duine atá chun na sonraí sin a úsáid.

Sonraí tánaisteacha a thugtar ar shonraí a bhíonn ar fáil roimhe seo nó a bhíonn bailithe ag duine eile ar chúis éigin eile.

Teochtaí ag meán lae i mí Iúil

19

22

24

25

IÚIL 2011

17

20

23

23

25

16

22

24

23

24

18

22

23

24

25

18

21

23

25

18

21

23

23

17

22

24

23

DOMH LUAN MÁIRT CÉAD DÉAR AOINE SATH

7

14

21

28

1

8

15

22

29

2

9

16

23

30

3

10

17

24

31

4

11

18

25

5

12

19

26

6

13

20

27

75

76

Suirbhéanna Is trí mheán suirbhé a bhailítear sonraí príomhúla de ghnáth Is iad na príomhbhealaí chun suirbhé a dhéanamh ná:

> agallaimh phearsanta ina gcuirtear ceisteanna ar dhaoine; is le ceistneoir a dhéantar é sin de ghnáth.

> suirbhéanna teileafóin; is ar an nguthán a dhéantar an t-agallamh sa chás seo

> faire: is é a bhíonn i gceist leis seo ná a bheith ag faire ar iompar daoine

> turgnaimh: tá siad sin thar a bheith úsáideach chun sonraí eolaíocha a bhailiú; déanann comhlachtaí drugaí turgnaimh chun tairbhe agus fo-iarsmaí drugaí nua a thástáil.

Ceistneoirí Is é a bhíonn i gceistneoir ná ceisteanna a bhíonn leagtha amach chun sonraí a fháil ó dhaoine.

Freagróirí a thugtar ar dhaoine a fhreagraíonn ceistneoirí.

Tá dhá phríomhbhealach ann chun ceisteanna a chur.

> Cuireann agallóir na ceisteanna agus líonann sé nó sí isteach an ceistneoir

> Tugtar ceistneoir do dhaoine agus iarrtar orthu na freagraí a líonadh isteach iad féin.

Agus ceisteanna á gcumadh agat do cheistneoir:

> bí soiléir faoina dteastaíonn uait a fháil amach agus faoi na sonraí a bheidh uait

> cuir ceisteanna gairide gonta

> tosaigh amach le ceisteanna simplí le spreagadh a thabhairt don duine atá ag tabhairt na bhfreagraí

> cuir boscaí ar fáil le haghaidh na bhfreagraí nuair is féidir: Aontaím Ní aontaím

> seachain treoircheisteanna (ceisteanna a thugann ar dhaoine freagra faoi leith a thabhairt), cosúil le

‘Nach n-aontófá go mbíonn i bhfad an iomarca spóirt ar an teilifís?’

nó ‘An gceapann tú go n-íoctar an iomad airgid le himreoirí gairmiúla sacair?’

> seachain ceisteanna pearsanta, mar shampla ceisteanna a iarrann ainm, aois chruinn nó meáchan.

Laofacht a sheachaint Agus sonraí á mbailiú agat, ní mór duit a chinntiú go bhfuil an suirbhé nó an turgnamh cóir agus go seachnaíonn sé laofacht. Má bhíonn laofacht ann, tharlódh nach mbeadh na sonraí a bhailítear ionadaíoch.

Seo roinnt ceisteanna ba chóir a sheachaint mar go dtugann siad ar dhaoine freagra faoi leith a thabhairt, nó mar go bhfuil seans ann go gcuirfidh siad náire ar dhaoine.

Ar ghoid tú airgead ó do thuismitheoirí riamh?

Ghoid Níor ghoid

Is beag dalta a thabharfaidh freagra macánta ar an gceist sin má tá gadaíocht déanta acu.

77

An aontaíonn tú gur chóir don Aire Airgeadais éirí as oifig mar gheall ar dhrochstaid an gheilleagair?

Aontaím Ní aontaím

An chaoi a gcuirtear an cheist seo, tugann sí leid gurb é ‘aontaím’ an freagra ceart. Is treoircheist í agus dá bhrí sin d’fhéadfadh an toradh a bheith laofa.

Táblaí minicíochta Is minic a bhailímid a lán sonraí agus muid ag déanamh suirbhé. Ní mór dúinn na sonraí sin a eagrú ionas go mbeidh ciall leo. Bíonn tábla minicíochta úsáideach chun scóir shonraí a ghrúpáil agus a chomhaireamh ar bhealach éifeachtúil.Is ionann minicíocht scóir agus an líon uaireanta a bhíonn an scór sin sa tacar sonraí.

Sampla 1Rinneadh suirbhé ar fhiche duine maidir le líon na gcarranna sa teaghlach. Seo iad na sonraí a bailíodh:

2 2 1 2 0 3 2 1 1 41 1 1 2 2 0 3 2 1 2

Bain úsáid as marcanna cuntais chun tábla minicíochta do na sonraí a dhéanamh.

Le haghaidh gach scóir sa tacar sonraí, tarraingímid marc cuntais sa cholún cuntais. Is 2 an chéad scór, mar sin marcálaimid ‘|’ sa cholún cuntais in aice le 2. Coinnímid orainn go dtí go mbíonn marc cuntais déanta againn le haghaidh gach scóir.

Taispeántar an tábla minicíochta comhlánaithe ar dheis.

Seiceáil i gcónaí gurb ionann an t-iomlán agus líon iomlán na sonraí a tugadh.

Cleachtadh 5.2 1. Luaigh an sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha atá sna samplaí seo a leanas:

(i) Chaith Conchúr bonn in airde 100 babhta agus rinne taifead ar an toradh féachaint an raibh an bonn cóir.

(ii) Chomhair Breanda líon na SUVanna a ghabh thar gheata na scoile idir 9 a.m. agus 10 a.m.

Scór Cuntas Minicíocht

0 2

1 7

2 8

3 2

4 1

Iomlán 20

78

(iii) Bhain Seán úsáid as an idirlíon le seiceáil cé mhéad bonn dornálaíochta a bhuaigh Éire sna Cluichí Oilimpeacha na ceithre bhabhta dheireanacha.

(iv) Sheiceáil Eimhear láithreán gréasáin na Príomhoifige Staidrimh go bhfeicfeadh sí cé mhéad duine a bhí ar an mBeochlár i ngach ceann de na ceithre mhí is fiche dheireanacha.

2. Tá grúdlann ag iarraidh cineál nua beorach a dhéanamh.Tabhair moladh maidir leis an gcaoi a mbainfidís úsáid as sonraí príomhúla agus as sonraí tánaisteacha chun taighde margaidh a dhéanamh.

3. Is mian le Niamh a fháil amach cé chomh minic a théann daoine fásta go dtí an phictiúrlann.Úsáideann sí an cheist seo ar cheistneoir.

‘Cé mhéad uair a théann tú go dtí an phictiúrlann?’

Ní théim Ó am go Go minic ann rómhinic chéile

(i) Maidir leis an gceist sin, scríobh síos dhá rud atá mícheart. (ii) Cum ceist níos fearr don cheistneoir le fáil amach cé chomh minic a théann daoine

fásta go dtí an phictiúrlann. Ba chóir duit boscaí a chur isteach le haghaidh na bhfreagraí.

4. Teastaíonn ó Éamann a fháil amach céard a cheapann daoine den Pháirtí Polaitíochta FFG. Tá sé ag iarraidh ceann den dá cheist seo a leanas a roghnú don cheistneoir. Cén cheist ba chóir dó a úsáid? Mínigh do fhreagra. (i) Cén bharúil atá agat de bheartais eacnamaíochta an Pháirtí FFG?

Aontaím Níl a fhios Ní aontaím beag go mór Aontaím agam Ní aontaím ná mór

(ii) An aontaíonn tú gur ag an bPáirtí FFG atá na beartais eacnamaíochta is fearr?


5. I gcás gach ceann de na ceisteanna suirbhé seo a leanas, mínigh céard atá mícheart. Scríobh ceist níos fearr i ngach cás. (i) Cén aois thú? (ii) An ndéarfá go bhfuil oideachas maith ort? (iii) Is maith le gnáthdhaoine ainmhithe.

An maith leatsa ainmhithe? (iv) An aontófá go n-íoctar an iomarca airgid leis na haisteoirí mór le rá? (v) Ar thóg tú drugaí mídhleathacha riamh? (vi) Cén áit go baileach a bhfuil cónaí ort? (vii) I bhfianaise go dtarlaíonn líon mór timpistí bóthair lasmuigh den scoil seo, ar chóir

an luasteorainn a ísliú dar leat?

79

6. Ba mhian le hAodán a fháil amach céard a cheapann daoine faoin tseirbhís leabharlainne sa choláiste.

Seo a leanas cuid den cheistneoir atá scríofa aige.

C1. Cén t-ainm iomlán atá ort? .................................................................

C2. Cé mhéad uair sa tseachtain a théann tú chuig an leabharlann?

Go minic Ó am go chéile Ní théim ann

(i) Cén fáth nár chóir dó C1 a chur? (ii) Céard atá mícheart leis na roghanna a thugtar do C2?

7. Bhí an cheist seo i gceistneoir áirithe.

Cén aois thú? Óg Meánaosta Sean

(i) Céard atá mícheart leis an gceist agus leis na freagraí? (ii) Athscríobh na ceisteanna agus freagraí ar bhealach níos fearr.

8. Is í Valerie an bainisteoir ar ollmhargadh áirithe. Tá sí ag iarraidh a fháil amach cé chomh minic a bhíonn daoine ag siopadóireacht san ollmhargadh sin. Bainfidh sí úsáid as ceistneoir.

Cum ceist a bheadh feiliúnach do Valerie lena húsáid ar an gceistneoir. Ní mór duit roinnt boscaí a chur isteach le haghaidh na bhfreagraí.

9. I gcás cheist A agus cheist B thíos, tabhair cúis ar chóir an cheist a athscríobh sula gcuirfí isteach i gceistneoir í. Athscríobh gach ceann díobh mar a chuirfeá féin isteach i gceistneoir í.

Ceist A: An i gceantar lucht oibre nó i gceantar meánaicmeach atá cónaí ort?Ceist B: Tá an chuma ar an scéal go bhfuil ag éirí thar barr leis an ollmhargadh

nua. An aontaíonn tú leis seo?

10. I gcás gach ceann de na ceisteanna nó na ráitis seo a leanas, céard é an bealach is fearr chun na sonraí a bhailiú? Roghnaigh ón mbosca. (i) Cén spórt is minice a mbíonn daltaí i do rangsa ag féachaint air? (ii) Cé chomh minic a théann daoine chuig an amharclann? Cé na laethanta a théann

siad ann? (iii) Cén céatadán de thimpistí gluaisteáin in Éirinn a tharlaíonn idir 6 p.m. agus meán oíche? (iv) Teastaíonn ó Eoin a sheiceáil an bhfuil dísle laofa.

11. Is mian le comhlacht gutháin phóca suirbhé a dhéanamh. Ba mhian leo a fháil amach céard é dáileadh aois agus inscne a gcuid custaiméirí mar aon lena mhinice agus a úsáideann siad an guthán póca. Tá sé i gceist ag an gcomhlacht úsáid a bhaint as ceistneoir. Scríobh síos trí cheist mar aon le freagraí a chuirfidh ar chumas an chomhlachta an suirbhé a dhéanamh go héifeachtúil.

A ceistneoir nó bileog bhailithe sonraí B turgnamh C foinse eile

80

12. Féach thíos na torthaí ar thráth na gceist (as 10) i gcas rang 27 dalta:

7 7 8 9 7 5 4 8 99 8 10 8 7 5 5 4 18 8 9 7 7 4 8 3 1

(i) Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla minicíochta ar dheis.

(ii) Céard é an scór ab airde a fuarthas sa tráth na gceist?

(iii) Cé mhéad dalta a fuair 4 mharc sa tráth na gceist?

(iv) Céard é an dath ba choitianta a fuarthas?

Mír 5.3 Sampláil Dá n-iarrfaí ort an maíomh seo a fhiosrú,

‘Tá imreoirí rugbaí in Éirinn níos airde ná imreoirí peil Ghaelach’,

an dtomhaisfeá airde na n-imreoirí rugbaí agus na n-imreoirí peil Ghaelach ar fad sa tír? B’ollmhór an obair é sin ós rud é go bhfuil na mílte imreoir sna catagóirí sin.

Sa staidéar seo, bainimid úsáid as an bhfocal daonra le cur síos a dhéanamh ar gach imreoir rugbaí agus ar gach imreoir peil Ghaelach sa tír.

Nuair a bhíonn an daonra rómhór don staidéar, ní bhailímid sonraí ach ó chuid de bhaill an daonra sin. Sampla a thugtar air sin sa staitistic. Is é an cuspóir atá leis an sampla ná sonraí a bhailiú ó chuid éigin den daonra agus úsáid a bhaint as chun teacht ar thátal faoin daonra ina iomláine.

Laofacht Tá an sampla a roghnaíonn tú don staidéar an-tábhachtach go deo. Mura roghnaítear an sampla i gceart, d’fhéadfadh na torthaí a bheith laofa. Má bhíonn laofacht i gceist, beidh na torthaí as alt agus ní thabharfaidh siad pictiúr soiléir ceart duit ar an daonra ina iomláine.

Tá méid an tsampla tábhachtach freisin. Má bhíonn sé róbheag tharlódh nach mbeadh na torthaí iontaofa. Má bhíonn sé rómhór, tharlódh go nglacfadh sé an iomarca ama na sonraí a bhailiú agus anailís a dhéanamh orthu.

Scór Cuntas Minicíocht

1 2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

81

Sampla randamach simplí Bealach amháin chun an laofacht a sheachaint i suirbhé is ea sampla randamach simplí a fháil (nó sampla randamach mar a thugtar air de ghnáth).

I sampla randamach bíonn an seans céanna ag gach ball den daonra atá i gceist go roghnófaí é nó í. Ní mór samplaí randamacha a roghnú go cúramach.

Ar na modhanna ar a bhféadfaí sampla randamach simplí a dhéanamh tá uimhir a thabhairt do gach duine sa daonra agus uimhreacha a roghnú go randamach don sampla ansin ar cheann de na bealaí seo a leanas:

> na huimhreacha a chur isteach i hata agus an méid atá de dhíth don sampla a tharraingt amach as

> úsáid a bhaint as tábla uimhreacha randamacha

> úsáid a bhaint as gineadóir uimhreacha randamacha ar áireamhán nó ar ríomhaire.

Bíonn áireamháin leictreonacha an-úsáideach chun uimhreacha randamacha a thabhairt duit.

Más mian leat uimhreacha 3 dhigit a fháil, brúigh SHIFT , agus ansin brúigh Ran # .

Anois brúigh � agus déan neamhaird den phointe deachúlach.

Más é 0.107 an uimhir atá ar an scáileán, scríobh síos 107.

Brúigh � arís agus arís chun níos mó uimhreacha randamacha a fháil.

Cleachtadh 5.3 1. Tá 820 dalta ar scoil áirithe. Tá fiosrú ar bun maidir leis an éide scoile.

Déantar roghnú randamach ar 40 dalta ón scoil chun an suirbhé ar an éide scoile a chomhlánú. Sa chás seo, (i) céard é méid an daonra (ii) céard é méid an tsampla?

2. Is mian le Melanie a fháil amach cé chomh minic a théann daoine go dtí an phictiúrlann. Tugann sí ceistneoir do gach bean atá ag teacht amach as pictiúrlann áirithe. Tá a sampla laofa. Tabhair dhá chúis a d’fhéadfadh a bheith leis sin.

3. Teastaíonn ó Amy a fháil amach a mhinice is a imríonn daoine spórt. Téann sí chuig siopa spóirt áitiúil agus cuireann ceist ar dhaoine atá ann. Mínigh cén fáth a bhféadfadh an sampla a bheith laofa.

4. Teastaíonn ó Dhara a fháil amach conas a thaistealaíonn daoine chun na hoibre agus ar ais gach lá. As measc na ngrúpaí seo a leanas, cén ceann acu is oiriúnaí chun ceisteanna a chur orthu?A: Gach ceathrú duine ag stad an bhus. B: Scata daoine ag am lóin.C: Daoine atá ag teacht isteach déanach chun na hoibre.

82

5. Ba mhian le Jennifer a fháil amach an dteastaíonn ó dhaoine go gcaithfeadh coirpigh tréimhsí níos faide sa phríosún.As measc na ngrúpaí seo a leanas, cén ceann acu is oiriúnaí chun ceisteanna a chur orthu?A: Comhaltaí den Gharda Síochána.B: Daoine atá ag cluiche peile.C: Daoine a chaith tréimhse sa phríosún. Mínigh do fhreagra.

6. Ba mhian le Máirín sampla 500 duine fásta a roghnú ón mbaile ina bhfuil cónaí uirthi. Tá sí ag cuimhneamh ar na modhanna seo a leanas chun an sampla a roghnú:

Modh 1: Daoine a roghnú agus iad ag déanamh siopadóireachta i lár an bhaile maidineacha Sathairn. Modh 2: Ainmneacha a roghnú go randamach ó chlár na dtoghthóirí.Modh 3: Daoine a bhfuil cónaí orthu ar na sráideanna in aice lena teach féin a roghnú.

Cén modh díobh sin is fearr a thabharfaidh sampla nach bhfuil laofa? Tabhair cúis le do fhreagra.

7. Déan trácht ar laofacht ar bith a d’fhéadfadh a bheith i gceist sna cásanna seo a leanas: (i) Ní chuirtear faoi agallamh ach daltaí sa séú bliain maidir le hathruithe ar an éide scoile. (ii) Cuirtear tiománaithe a stoptar i gcaitheamh na buaicuaire tráchta faoi agallamh

maidir le fadhbanna tráchta. (iii) Cuirtear gníomhairí eastáit faoi agallamh maidir le praghsanna tithe. (iv) Suirbhé ‘cé dó/di a vótálfaidh tú’ ag bialann chathrach chostasach.

8. Tá comhlacht taighde ag bailiú tuairimí daoine maidir le cé acu ba chóir cosc a chur ar chaitheamh tobac i ngach áit phoiblí nó nár chóir.

Cuireann siad ceist ar dhaoine atá ina seasamh taobh amuigh d’fhoirgnimh sa chathair i gcaitheamh uaireanta oifige. Mínigh cén fáth a bhféadfadh na sonraí a bhailítear a bheith laofa.

9. Úsáid an eochair Ran # ar d’áireamhán chun sampla d’ochtar daltaí a roghnú ó bhlianghrúpa de 100.

10. Cé acu de na samplaí seo a leanas ar dócha go mbeidh siad ionadaíoch, i.e. go dtabharfaidh siad léiriú ceart ar an daonra? I gcás na samplaí nach bhfuil ionadaíoch, tabhair fáth nach bhfuil. A Tasc an Tástáil a dhéanamh ar cé chomh héifeachtach atá druga nua le

tsuirbhé: haghaidh mígréine. Sampla: Roghnaithe mar seo – tugadh an druga do gach othar de chuid dochtúir

áirithe a mbíonn mígréin orthu. B Tasc an Suirbhé a dhéanamh ar thuairimí maidir le harán úr a bhácáiltear

tsuirbhé: in ollmhargadh áitiúil. Sampla: Roghnaithe mar seo – cuireadh faoi agallamh duine as gach 20 duine ag

cuntar íocaíochta an tsiopa Satharn áirithe C Tasc an Maidir leis na daoine atá ina gcónaí i ndáilcheantar áirithe, suirbhé a

tsuirbhé: dhéanamh ar cé dóibh a bhfuil sé i gceist acu vótáil sa toghchán atá ag teacht. Sampla: Déantar suirbhé ar shampla randamach daoine ag an stáisiún traenach

áitiúil idir 7 a.m. agus 9 a.m.

83

Cuir triail ort féin 5 1. Luaigh an sonraí uimhriúla nó sonraí catagóireacha atá sna samplaí seo a leanas:

(i) An cineál úill is fearr le daoine (ii) Líon na rothar i dteaghlach (iii) Meáchan páistí atá trí bliana d’aois (iv) Na brandaí bia madra atá ar díol in ollmhargadh (v) An tír inar rugadh daoine (vi) An méid báistí gach mí den bhliain.

2. Luaigh an bhfuil na sonraí seo a leanas scoite nó leanúnach. (i) Líon na lasán i roinnt boscaí lasán. (ii) Méideanna bónaí léine. (iii) Fad an ábhair a úsáideadh chun cuirtíní a dhéanamh. (iv) Líon na bhfeithiclí ag gabháil trí chrosbhealach gach uair an chloig. (v) An fad slí a theastaíonn ó charranna atá ag déanamh 60 km/h chun stopadh.

3. Luaigh an sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha atá sna samplaí seo a leanas: (i) Comhaireamh ar líon na gcarranna salúin a théann thar gheata na scoile. (ii) Féachaint ar thaifid le fáil amach cé mhéad duine a ghabh trí Aerfort na Sionainne

gach lá i mí an Mheithimh in aon bhliain amháin. (iii) Scrúdú a dhéanamh ar bhróisiúir thurasóireachta féachaint

céard é an meánmhéid sneachta sa tseachtain a thiteann ag baile sciála.

(iv) Wikipedia a sheiceáil féachaint cé mhéad bonn óir a bhuaigh gach tír ag na Cluichí Oilimpeacha i Londain.

4. Scríobhann bainisteoir Páirc Uisce ceistneoir agus cuireann sé an dá cheist seo a leanas.

‘An dtéann tú go dtí an Pháirc Uisce?’ Ó am go chéile Go minic

‘Cén aois thú?’ 0–10 mbliana 10–20 bliain níos mó ná 20 bliain

(i) Céard atá mícheart leis an dá cheist sin? (ii) I gcás an dá cheist thuas, scríobh leagan níos fearr is féidir leis an mbainisteoir a úsáid.

5. (a) Cé acu den dá cheist (agus freagraí) thíos is oiriúnaí lena húsáid i gceistneoir?Tabhair cúis le do rogha. (i)

An aontaíonn tú go gcabhraíonn sé leat dul a chodladh má bhíonn folcadh breá te suaimneach agat san oíche?


(ii) An gcabhraíonn folcadh te san oíche leat dul a chodladh?

Cabhraíonn Ní chabhraíonn Níl mé cinnte

84

(b) Ba mhian le hinnealtóir contae suirbhé tráchta a dhéanamh. Ba mhaith leis a fháil amach a ghnóthaí is atá bóthar faoi leith. Gach lá, comhaireann sé líon na gcarranna a théann thar phointe áirithe idir 2 p.m. agus 3 p.m. Baineann sé úsáid as an eolas sin chun tuairisc a scríobh. Mínigh cén fáth a bhféadfadh an sampla seo a bheith laofa.

6. (a) I gcás gach ceann de na ceisteanna suirbhé seo a leanas, mínigh céard atá mícheart agus mol roghanna níos fearr. (i) Cé mhéad fón atá sa bhaile agat? (ii) Cén sórt cairr atá agat? (iii) Céard é do sheoladh ríomhphoist?

(b) Déantar grádú ar imreoirí leadóige ar an gcaoi seo:

Grúpa 1, Grúpa 2, Grúpa 3, Grúpa 4, Grúpa 5.

Déan cur síos ar na sonraí sin le dhá fhocal.

7. (a) Rinne na daltaí i rang tríú bliain suirbhé le fáil amach céard é an meánmhéid ama a chaitheann dalta i seomra na ríomhairí gach seachtain. Shocraigh na daltaí go dtabharfaidís an ceistneoir do cheann amháin de na grúpaí seo a leanas. Cé acu seo atá ina shampla maith?I gcás gach ceann eile, tabhair fáth nach sampla maith é.

Sampla 1 na daltaí a bhí i seomra na ríomhairí ag am lóin lá áiritheSampla 2 gach dalta sa leabharlann ag am lóin lá áirithe Sampla 3 an chéad 50 dalta ag an scoil maidin áirithe Sampla 4 gach 8ú dalta ar rolla na scoile

(b) Tá lucht bainistíochta páirc siamsaíochta théama tar éis roinnt athruithe a dhéanamh ar na siamsaí. Tá siad ag iarraidh ceistneoir a úsáid le fáil amach céard a cheapann daoine faoi na hathruithe. Moltar na ceisteanna seo a leanas. I gcás gach ceiste, scríobh síos céard atá mícheart léi agus cum ceist agus freagraí nua atá níos oiriúnaí.

(i) Céard a cheapann tú faoi na siamsaí nua?

An-mhaith Maith Sásúil

(ii) Cé mhéad airgid a bheifeá ag súil le caitheamh de ghnáth ar gach siamsa?

e6–e8 e8–e10 Níos mó ná e10

(iii) Cé chomh minic a thugann tú cuairt ar an bpáirc gach bliain?

Go minic Ní théim ann rómhinic

85

Mír 6.1 Súil siar ar imlíne agus ar achar

Sa Chúrsa Tosaigh Coiteann, d’aimsigh tú imlíne agus achar cearnóg, dronuilleog agus triantán.

Tugann an bosca thíos achoimre ar ar fhoghlaim tú.

�

Cearnóg Dronuilleog Triantán

ImlíneAchar

� fad na dtrí shlios� bh

ImlíneAchar

� 2(� � b)� �b

ImlíneAchar

� 4�

� �2

b h

b�

12

Seo thíos trí thriantán a bhfuil cruth éagsúil ar gach ceann acu.

I ngach triantán, taispeántar an bonn (b) agus an airde ingearach (h).

bb

hh h

b

I gcás gach triantáin, tá an t-achar 5 1 _ 2 bh.

Focail thábhachtachaimlíne comhthreomharán airde ingearach lárphointeimlíne ciorcail teascán teascóg ceathrú ciorcail tadhlaítoirt priosma ciúb solad dronuilleogach eangach toilleadhlítear trasghearradh aonfhoirmeach dronphriosma líníocht de réir scála

Caibi

dil

6Imlíne – Achar – Toirt

86

Sampla 1

Faigh achar an réigiúin scáthaithe san fhíor seo.

Réigiún scáthaithe = achar na dronuilleoige – achar an triantáin.

5 20 3 16 2 1 _ 2 3 12 3 95 320 2 545 266 cm2

Sampla 2

56 cm2 achar an triantáin ar dheis.Faigh h, an airde ingearach.

Achar 5 1 _ 2 3 14 3 h

∴ 1 _ 2 3 14 3 h 5 567h 5 56

h 5 8 cm

Cleachtadh 6.1 1. Aimsigh imlíne gach ceann de na dronuilleoga seo:

(i)

9 cm

14 cm

(ii)

8 cm

13 cm

(iii)

17 cm

10.5 cm

2. Aimsigh achar gach ceann de na dronuilleoga i gCeist 1. thuas.

3. Faigh fad an tsleasa atá ar iarraidh i ngach ceann de na dronuilleoga seo:

(i)

84 cm2

12 cm

?

(ii)

176 cm2

11 cm

?

(iii) 198 cm2 9 cm

?

9 cm

12 cm

16 cm

20 cm

14 cm

h

87

4. Aimsigh imlíne gach ceann de na cruthanna seo, áit ar dronuillinn í gach uillinn:

(i)

15 cm

9 cm

6 cm

8 cm

(ii)

15 cm

12 cm

(iii) 12 cm3 cm

14 cm

(Tá dóthain toisí agat chun na himlínte seo a aimsiú.)

5. Aimsigh fad shlios gach cearnóige anseo thíos:

(i)

Achar � 25 cm2

(ii)

Achar � 144 m2

(iii)

Achar � 625 cm2

6. Faigh achar gach ceann de na triantáin seo:

(i)

8 cm

14 cm

(ii)

20 cm

12 cm

(iii)

7. Aimsigh achar na dtriantán seo:

(i)

9 cm

7 cm

(ii) (iii)

8. Aimsigh fad na mírlíne ar a bhfuil x i ngach ceann de na triantáin seo:

(i) (ii) (iii) 20 cm

x

Achar 5 90 cm2 Achar 5 112 cm2 Achar 5 120 cm2

24 cm

10 cm

8 cm

15 cm

20 cm

12 cm

24 cm

x

18 cm

16 cm

x

88

9. Faigh achar na gcruthanna seo a leanas. Dronuilleoga agus triantáin atá iontu.

(i)

8 cm

11 cm

6 cm (ii)

14 cm

10 cm

16 cm

(iii)

20 cm

15 cm

12 cm

10. Tá triantán B dhá oiread níos mó ná triantán A.Is é 6 cm airde an dá thriantán.

(i) Faigh achar an triantáin A. (ii) Faigh achar an triantáin B. (iii) Faigh luach x.

11. Faigh achar na coda scáthaithe sa léaráid ar dheis.

Uaidh sin, faigh achar na coda neamhscáthaithe.

12. Faigh achar na fíorach scáthaithe sa léaráid ar dheis.

13. Tugtar achar gach fíorach thíos faoin bhfíor.Aimsigh luachanna x, y agus z.

Achar � 28 m2 Achar � 120 cm2 Achar � 60 m2

20 cm

15 cm 9 m

4 m

8 m

z m7 m

x my cm

7 m

x4 cm

6 cmBA

7 m

6 m3 m

5 m

17 cm 17 cm

20 cm

12 cm12 cm

10 cm

89

14. Tarraingíodh an cruth ar dheis ar pháipéar poncaithe aon cheintiméadar.

Aimsigh achar an chrutha scáthaithe.

15. Tá seacht dtíl ag Gearóid. Is cearnóg, a bhfuil slios 10 cm uirthi, í gach tíl.

Caithfear na tíleanna a chur síos ciumhais le ciumhais, mar a thaispeántar ar dheis. (i) Conas is féidir le Gearóid na seacht dtíl a chur síos sa chaoi go

mbeidh an imlíne is mó is féidir ag an gcruth? (ii) Conas is féidir le Gearóid na seacht dtíl a chur síos sa chaoi go

mbeidh an imlíne is lú is féidir ag an gcruth?

Mír 6.2 Achar comhthreomharáin Is comhthreomharán í fíor ina bhfuil na sleasa urchomhaireacha ar comhfhad agus iad comhthreomhar.

6 cm

3 cm

6 cm

3 cm

Má ghearrtar an comhthreomharán thuas ar chlé ar an líne phoncaithe agus má chuirtear an triantán gorm ar an taobh eile ansin, cruthófar dronuilleog.

Achar na dronuilleoige 5 6 cm 3 3 cm 5 18 cm2

∴ is é 18 cm2 achar na dronuilleoige, i.e. 6 cm X 3 cm

Is é bonn 3 airde ingearach achar dronuilleoige

Achar 5 b 3 hb

h

Achar na dronuilleoige seo

5 bonn 3 airde ingearach5 12 cm 3 8 cm5 96 cm2

12 cm

8 cm

90

Cleachtadh 6.2 1. Faigh achar gach ceann de na comhthreomharáin seo:

(i)

20 cm

12 cm

(ii)

7 cm

9 cm

(iii)

2. Aimsigh achar gach ceann de na comhthreomharáin seo: (i) (ii) (iii)

7.5 cm

5 cm6 cm

3. Scríobh síos luach h i ngach ceann de na comhthreomharáin seo: (i)

5 cm

h

(ii)

9 cm

h

(iii)

h

6 cm


4. Faigh achar an chomhthreomharáin seo.

Anois faigh luach x.

5. Tarraingíodh an dearadh seo ar pháipéar cearnaithe aon cheintiméadar.

Ríomh: (i) an t-achar gorm uile (ii) an t-achar buí uile (iii) cóimheas an achair ghoirm leis an achar buí

6. Ríomh an fad atá ar iarraidh i ngach comhthreomharán:

(i)

7 cm

?

(ii)

12 cm

?

(iii)


15 cm

11 cm

6 cm

10 cm

9 cm

7.5 cm7 cm

22 cm

14 cm

18 cm

x cm

9 cm

?

91

7. Aimsigh an fad atá ar iarraidh i ngach comhthreomharán: (i) 2 cm

4 cm?

3 cm

(ii)

2.4 cm

3 cm

2 cm?

(iii)

3 cm

1.8 cm

2.4 cm

?

8. Aimsigh achar an chomhthreomharáin scáthaithe ar dheis.

Uaidh sin, faigh tomhais na hairde ingearaí, h.

9. Faigh achar chodanna scáthaithe na bhfíoracha seo: (i) 32 m

60 m

28 m

(ii)

38 m

22 m

8 m20 m

10. Aimsigh achar scáthaithe na dronuilleoige ar dheis, áit a gcuireann saigheada línte comhthreomhara in iúl.

Mír 6.3 Achar agus imlíne ciorcail Tarraingíodh an ciorcal ar dheis ach pointe an chompáis a chur ar O.

Lárphointe an chiorcail a thugtar ar an bpointe O.

An imlíne a thugtar ar an líne a ghabhann timpeall an chiorcail.

Sna léaráidí thíos, tugtar na téarmaí a úsáidfimid agus muid ag plé le ciorcail:

teascóg

ceathrú ciorcail

corda

tadhlaí

leathchiorcaltrastomhas

ga

teascán

10 cm

2 cmh12 cm

34 cm

14 cm

23 cm

O

Imlíne

92

Fad imlíne ciorcail

> Cuir marc ar phointe ar imlíne bhonn 20 cent.

> Cuir an bonn ar rialóir. Cuir an marc ar an scála.

> Roll an bonn ar an rialóir go mbuaileann an marc an scála arís.

> Léigh fad na himlíne ón rialóir; feicfidh tú go bhfuil fad na himlíne beagáinín níos mó ná trí oiread thrastomhas an bhoinn.

Seasann an litir Ghréigise p don uimhir faoina n-iolraímid an trastomhas (‘pí’ a deirtear sa Ghaeilge, agus ‘pie’ sa Bhéarla.)

Níl luach beacht mar dheachúil ná mar chodán ag p.

Ach, nuair a úsáidimid deachúlacha, úsáidimid 3.142 de ghnáth mar gharluach.

Nuair a úsáidimid codáin, úsáidimid 22 __ 7 mar gharluach.

Imlíne ciorcail

Tugann an eochair p ar d’áireamhán luach níos beaichte ná 3.142 nó 22 __ 7 .

Agus tú ag úsáid áireamháin, ba chóir an eochair seo a úsáid mura ndeirtear a mhalairt leat.

Imlíne teascóige Is teascóg í cuid de chiorcal atá gafa ag dhá gha agus stua.

Chun ,, fad stua teascóige, a fháil, roinnimid an uillinn sa teascóg ar 360° chun codán a fháil.

Ansin, faighimid an codán seo den imlíne.

Fad an stua:

, 5 ____ 360°

3 2pr

r

r θ

�

Tá an imlíne níos mó ná trí thrastomhas.

Garluachanna ar p

p 5 3.142 nó p 5 22 __ 7

Is é 2pr nó pd fad imlíne ciorcail, áit arb é r an ga agus d an trastomhas

93

Sampla 1

Faigh fad imlíne an chiorcail seo, ag úsáid 3.142 mar gharluach ar p.

Imlíne 5 2pr5 2 3 3.142 3 125 75.408 cm5 75.4 cm, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

Sampla 2

Sa léaráid ar dheis, feictear teascóg ciorcail arb é 21 cm a gha. Faigh fad imlíne na fíorach seo.Úsáid 22

__ 7 mar gharluach ar p.

San imlíne, tá an stua AB agus dhá gha.60° 5 1 _ 6 de 360°, mar sin is é 1 _ 6 den imlíne an stua AB.

Fad an stua AB 5 1 _ 6 3 2pr

5 1 _ 6 3 2 _ 1 3 22 __ 7 3 21

__ 1

5 22 cm

An imlíne iomlán 5 22 1 21 1 21 5 64 cm

Sampla 3

Is é 120 cm fad imlíne ciorcail.Faigh fad gha an chiorcail, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

Imlíne 5 2pr ∴ 2pr 5 120

r 5 120 ____ 2p

5 120 ______ 2 3 p

r 5 19.099 cm … úsáid an eochair p ar an áireamhán

ga 5 19.1 cm

Nod maidir leis Ag úsáid d’áireamháin chun luach 120 ______ 2 3 p

a fháil,

an áireamhán cuir an t-ainmneoir i lúibíní.

Eochraigh 1 2 0 � ( 2 � ) �

12 cm

21 cm

O

A

B

60°

94

Achar ciorcail Má ghearrtar 12 theascóg an chiorcail thíos go néata, is féidir ‘dronuilleog’ a chruthú astu, mar a léirítear.

r

r

πr

Mínigh an fáth gurb é pr fad na dronuilleoige agus r a hairde.

Cad é achar na dronuilleoige?

Mínigh an fáth gurb é pr2 achar an chiorcail.

r

θ

Achar an chiorcail 5 pr2 Achar na teascóige 5 ____ 360

3 pr2

Sampla 4

(i) Faigh achar ciorcail arb é 14 cm a gha. (Glac le p 5 22 __ 7 )

(ii) Faigh achar ciorcail arb é 1386 cm2 a achar. Úsáid an eochair p ar d’áireamhán agus tabhair do fhreagra ceart go dtí an

tslánuimhir is gaire.

(i) Achar 5 pr2

5 22 ___ 7

3 142

5 22 ___ 7

3 14 3 14

5 616 cm2

(ii) pr2 5 1386

r2 5 1386 _____ p

r2 5 441.178

r 5 √_______

441.178 5 21.004 r 5 21 cm

2

1

95

Cleachtadh 6.3 1. Ainmnigh an ghné a léirítear i ndúch dearg, ar gach ciorcal.

(i)

O

(ii) (iii)

O

(iv)

(v)

O

(vi)

O

(vii) (viii)

2. Ríomh imlíne gach ceann de na ciorcail seo, ag úsáid p 5 3.14.

(i)

10 cm

(ii)

4 cm

(iii) 12 cm

(iv)

9 cm

3. Ag úsáid an gharluacha p 5 22 __ 7 , faigh imlíne gach ciorcail.

(i)

14 cm

(ii) 21 cm

(iii)

35 cm

(iv)

14 cm

4. Ag úsáid an gharluacha p 5 22 __ 7 , faigh achar gach ciorcail i gCeist 3. thuas.

5. Úsáid an eochair p ar d’áireamhán chun (a) achar agus (b) imlíne gach ceann de na ciorcail seo a fháil.Tabhair gach freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (i)

8 cm

(ii)

21 cm

(iii) 11 cm

(iv)

18 cm

6. Ag úsáid 3.14 mar gharluach ar p, ríomh fad imlínte na gciorcal seo.

(i) ga 5 13 cm (ii) trastomhas 5 30 cm (iii) ga 5 40 cm

96

7. Cén codán d’achar ciorcail iomláin é gach ceann de na teascóga seo? (i) (ii) (iii)

60°

(iv)

45°

8. Faigh fad an stua AB i ngach ceann de na teascóga seo, ag glacadh le p 5 22 __ 7 .

(i)

21 cm

A

B

(ii) A

B45°

14 cm

(iii)

120°

A

B28 cm

9. Ag úsáid p 5 22 __ 7 , faigh achar gach ceann de na teascóga i gCeist 8. thuas.

10. Faigh imlíne na gcruthanna seo, ag glacadh le p 5 22 __ 7 .

(i)

28 cm

(ii)

14 cm

60°

(iii)

7 cm

11. Ag úsáid p 5 3.14, faigh achar gach ceann de na cruthanna seo.

(i)

22 cm

(ii)

8 cm

(iii)

16 cm

9 cm

Tabhair gach freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

12. Cruth dronuilleoige atá ar raon reatha, agus leathchiorcal ar an dá thaobh, mar a léirítear ar dheis. Ríomh fad an raoin. Glac le p 5 22

__ 7 .

Cé mhéad cuairt den raon a bheadh le déanamh ag lúthchleasaí i rás 10 000 méadar?

13. Ag glacadh le p 5 3.14, faigh (i) imlíne (ii) achar na fíorach daite ar dheis.

Tabhair gach freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

120°

101 m

63 m

16 cm8 cm

97

14. Tugtar achar gach ciorcail thíos i dtéarmaí p.Faigh fad gha gach ciorcail.

(i)

Achar � 25π cm2

(ii)

Achar � 121π cm2

(iii)

Achar � 169π cm2

15. Is é 154 cm2 achar ciorcail. Ag glacadh le p 5 22 __ 7 , faigh

(i) fad an gha (ii) fad na himlíne.

16. Tá áiritheoir ag Seán ar a rothar.Comhaireann sé líon na n-imrothluithe a dhéanann a roth. Trastomhas 40 cm atá sna rothaí.

(i) Rothaíonn Seán go teach a sheanmháthar. 1989 an uimhir a léitear ar an áiritheoir. Cá fhad as baile a chónaíonn an tseanmháthair?

(ii) Cé mhéad imrothlú a dhéanfadh a roth i bhfad 1 km?

Tabhair gach freagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

17. Cé acu cosán is gaire ó A go B

(i) an cosán ar feadh na 4 leathchiorcal, nó (ii) an cosán ar feadh an leathchiorcail is mó?

18. Ag glacadh le p 5 22 __ 7 , faigh achar an chuid

scáthaithe den fhíor ar dheis.

19. Gearradh an ceathrú ciorcail ar dheis as ciorcal ar lárphointe dó O.

(i) Faigh achar △OAB. (ii) Faigh achar na coda scáthaithe,

ag glacadh le p 5 22 __ 7 .

8 mA B

7 cm

O

A B

14 cm

98

20. Chun an gort dronuilleogach seo a uisciú, úsáideann garraíodóir aon aisréadóir déag chomhionanna. Clúdaíonn siad na codanna gorma sa léaráid. Clúdaíonn na trí aisréadóir i lár an ghoirt achair chiorclacha; clúdaíonn na ceithre aisréadóir ar na taobhanna achair leathchiorclacha; clúdaíonn na ceithre aisréadóir ag na cúinní achair cheathrú ciorcail.

(i) Cad é ga gach ciorcail? (ii) Cad é an t-achar iomlán (gorm) a uiscíonn na haisréadóirí? (iii) Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, céatadán an ghoirt a uiscítear.

21. Tá gaothscáth cúil dronuilleogach (160 cm ar fad agus 80 cm ar leithead) ar charr. Tá cuimilteoir mór amháin, atá 75 cm ar fad, ar an ngaothscáth. Clúdaíonn an cuimilteoir an chuid scáthaithe sa léaráid ar dheis. Cén céatadán d’achar an ghaothscátha nach nglanann an cuimilteoir?

Tabhair an freagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

22. Rith Ailín agus Liam in aghaidh a chéile thart ar an raon reatha seo. Rith Ailín ar an imlíne lasmuigh agus rith Liam ar an imlíne laistigh. Tar éis dóibh cuairt amháin den raon a rith, cé aige a raibh an fad ba mhó rite, agus cé mhéad níos faide a bhí sé?

Tabhair an freagra ceart go dtí an méadar is gaire.

Mír 6.4 Solaid dhronuilleogacha Is solad dronuilleogach (nó ciúbóideach) í an fhíor ar dheis. An toirt a thugtar ar an spás a ghlacann an solad seo.

Tugtar ciúb ar an solad ar dheis mar gurb ionann a fhad, a leithead agus a airde.

1 cm3 is ea a thoirt, aon cheintiméadar ciúbach amháin a deirtear.

8 m

12 m

80 cm

75 cm

160 cm

165°

80 m

20 m

4 m

Billy

Alan

fad

airde

leithead

1 cm

1 cm

1 cm

99

Trí shraith ciúbanna atá san fhíor ar dheis.Tá 24 chiúb i ngach sraith.Tá 72 ciúb sna trí shraith.Uaidh seo, feicimid go bhfaightear an toirt ach an fad a iolrú faoin leithead a iolrú faoin airde.

Toirt 5 6 cm 3 4 cm 3 3 cm 5 72 cm3

Toirt solad dronuilleogach = fad 3 leithead 3 airde

Achar an dromchla ar sholad dronuilleogach Taispeánann an solad ar dheis trí aghaidh A, B agus C. Tá trí aghaidh eile air nach féidir linn a fheiceáil – A, B agus C freisin.

Achar A 5 5 cm 3 4 cm 5 20 cm2

Achar B 5 3 cm 3 4 cm 5 12 cm2

Achar C 5 5 cm 3 3 cm 5 15 cm2

∴ Achar an dromchla ar an solad 5 2 3 20 cm2 1 2 3 12 cm2 1 2 3 15 cm2

5 40 cm2 1 24 cm2 1 30 cm2 5 94 cm2

Achar an dromchla ar sholad dronuilleogach

Toirt ciúib agus achar an dromchla ar chiúb

Sampla 1

Faigh (i) toirt an tsolaid dhronuilleogaigh ar dheis agus (ii) achar an dromchla ar an solad sin.

(i) Toirt 5 3 b 3 h 5 11 cm 3 7 cm 3 8 cm 5 616 cm3

(ii) Achar an dromchla 5 2b 1 2h 1 2bh 5 2(11 cm 3 7cm) 1 2(11 cm 3 8 cm) 1 2(7 cm 3 8 cm) 5 154 cm2 1 176 cm2 1 112 cm2 5 442 cm2

7 cm

8 cm

11 cm

4 cm

3 cm

6 cm

3

4

6

A

5 cm3 cm

B

C

4 cm

Achar an dromchla ar sholad dronuilleogach arb é a fhad, b a leithead agus h a airde is ea

2b 1 2h 1 2bh

Toirt 5 3 3 5 3

Achar an dromchla 5 62

�

�

�

100

Sampla 2

Is é 2156 cm3 toirt an bhosca dhronuilleogaigh ar dheis.Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air.

Toirt 5 fad 3 leithead 3 airde∴ 2156 cm3 5 22 cm 3 x 3 7 cm

154x 5 2156

x 5 2156 _____ 154

5 14

14 cm ar fad atá an slios a bhfuil x air.

Eangacha solad

Dá bhfillfeá an fhíor thuas ar chlé ar na línte briste, gheofá an ciúb a fheictear ar dheis. Eangach an tsolaid a thugtar ar an bhfíor ar chlé.Thíos ar chlé tá eangach bosca dronuilleogach dúnta.Ar dheis tá eangach bosca dronuilleogach oscailte.

Taispeánadh eangach don chiúb thuas.Seo dhá eangach eile do chiúb.

Tá 12 eangach dhifriúla fhéideartha ag ciúb.

7 cm

22 cmx

101

Sampla 3

Faigh achar iomlán an dromchla ar an mbosca dronuilleogach dúnta seo trína eangach a tharraingt.

Taispeántar eangach an bhosca thíos.

10 � 5 � 50 cm2

10 � 6 � 60 cm26 � 5

�30 cm2

6 � 5�

30 cm2

10 � 5 � 50 cm2

10 cm

10 � 6 � 60 cm2

5 cm

6 cm

Sampla 4

Seo eangach bosca oscailte.Má fhilltear an t-eangach ar na línte briste chun bosca a dhéanamh, faigh (i) toirt an bhosca (ii) achar an dromchla ar an taobh amuigh den

bhosca.

(i) Seo é an bosca a dhéantar ón eangach.

Toirt 5 14 3 8 3 3 5 336 cm3

(ii) Achar dromchla 5 2(14 3 3) 1 2(8 3 3) 1 (14 3 8) … níl aon bharr ar an mbosca

5 84 1 48 1 112 5 244 cm2

3 cm

14 cm

8 cm

Toilleadh – an lítear Ciallaíonn toilleadh coimeádáin an méid leachta a choimeádann sé.Is é an lítear an tomhas méadrach is coitianta.Aon lítear amháin a choimeádann ciúb arb é 10 cm fad a chiumhaise.

∴ 1000 cm3 5 1 litre

Cuimhnigh Chun ceintiméadair chiúbacha (cm3) a thiontú go lítir, roinn ar 1000.

1 litre

10 cm10 cm

10 cm

Achar iomlán an dromchla

5 60 1 60 1 50 1 50 1 30 1 305 280 cm2

10 cm

5 cm

6 cm

14 cm

8 cm

3 cm

102

Cleachtadh 6.4 1. Faigh toirt gach ceann de na solaid dhronuilleogacha seo:

(i)

3 cm 2 cm

2 cm (ii)

3 cm5 cm

2 cm

(iii)

2. Faigh achar an dromchla ar gach ceann de na solaid i gCeist 1. thuas.

3. Faigh (a) toirt na gciúbóideach soladach seo agus (b) achar an dromchla orthu:

(i)

18 cm

16 cm

8 cm

(ii)

24 cm

20 cm16 cm

(iii)

4. Taispeánann an léaráid bosca dronuilleogach ina bhfuil ciúbanna a bhfuil slios 1 cm orthu.Cé mhéad eile de na ciúbanna seo is gá a úsáid chun an bosca a líonadh?

5. Cuirtear le chéile cúig chiúb a bhfuil slios 2 cm orthu chun an solad a léirítear a dhéanamh.Cé acu díobh seo é achar an dromchla ar an solad?

(i) 68 cm2 (ii) 72 cm2 (iii) 20 cm2 (iv) 88 cm2

6. Is féidir gach ceann de na cruthanna soladacha thíos a bhriseadh ina dhá sholad dhronuilleogacha nó i níos mó ná dhá sholad dhronuilleogacha.Taispeánann na línte briste conas is féidir na fíoracha a roinnt.Anois, faigh toirt iomlán gach ceann de na cruthanna seo:

(i) 6 cm

5 cm

5 cm

9 cm14 cm

(ii) (iii)

3 cm

3 cm

7 cm

10 m12 m

3 m

6 cm 4 cm

4 cm

6 cm 3 cm

2 cm

8 cm4 cm4 cm

14 cm

4 cm 7 cm

10 cm

7 cm

9 cm

4 cm

103

7. Úsáidtear feadánra sincithe cearnógach chun fráma seide a dhéanamh. Cosnaíonn an feadánra €12.80 an méadar. Faigh costas iomlán an fheadánra is gá a úsáid chun fráma na seide ar dheis a dhéanamh.

8. Taispeánann an fhíor ar dheis cruach ciúbanna a bhfuil slios 3 cm orthu.

Faigh (i) toirt na cruaiche ina cm3

(ii) achar an dromchla ar an gcruach ina cm2.

9. Tugtar toirt gach ceann de na solaid dhronuilleogacha ar dheis.Faigh fad an tsleasa a bhfuil litir air.

(i) (ii)

b

10 m6 m

(iii)

Toirt 5 120 cm3 Toirt 5 420 m3 Toirt 5 2240 cm3

10. Is é 150 cm2 achar an dromchla ar an gciúb seo.

Faigh (i) fad shlios an chiúib (ii) toirt an chiúib.

11. Tá Áine ag cur paicéid de phúdar níocháin i mbosca, mar a léirítear.

(i) Cé mhéad paicéad is féidir a chur ar feadh an tsleasa 30 cm?

(ii) Cé mhéad paicéad de phúdar níocháin is féidir a chur sa bhosca?

12. Is é 64 cm3 toirt an chiúib seo.Faigh (i) fad shlios an chiúib (ii) achar an dromchla ar an gciúb.

3 m 4 m

2 m

8 cma

3 cm

c

14 cm

8 cm

4 cm

5 cm 6 cm

28 cm24 cm30 cm

104

13. Seo eangach bosca dronuilleogach.

Faigh (i) achar an dromchla ar an mbosca. (ii) toirt an bhosca.

14. Tá slios 30 cm ar bhileog chearnógach miotail. Gearrtar ceithre chearnóg chomhionanna, a bhfuil slios 4 cm orthu, amach as cúinní na bileoige, mar a léirítear.Filltear an chuid eile den chruth chun bosca a chruthú.

(i) An bosca oscailte nó dúnta é an bosca? (ii) Faigh toirt an bhosca. (iii) Faigh achar an dromchla sheachtraigh ar an mbosca.

15. Filltear an eangach ar dheis chun bosca dronuilleogach a chruthú. Is í an dronuilleog ghorm bonn an bhosca.

(i) Cad é airde an bhosca? (ii) Is é 84 cm3 toirt an bhosca seo.

Faigh luach x. (iii) Faigh achar an dromchla ar an mbosca.

16. Filltear an eangach ar dheis chun ciúb a chruthú.

(i) Cé acu rinn a cheanglóidh le N? (ii) Cé acu líne a cheanglóidh le [CD]? (iii) Cé acu líne a cheanglóidh le [IH]?

17. Filltear an eangach ar dheis chun bosca dronuilleogach a chruthú. Is í an dronuilleog bhándearg bonn an bhosca.

(i) Scríobh síos airde an bhosca. (ii) An bosca oscailte nó dúnta é? (iii) Faigh toirt an bhosca. (iv) Aimsigh achar an dromchla ar an mbosca.

2 cm

Bonn

9 cm

4 cm

4 cm

4 cm30 cm

4 cm

4 cm 4 cm

4 cm

4 cm 4 cm

7 cm

8 cm

x cmA B

M L

CN D E F

I H

GK J

8 cm

7 cm

12 cm

105

18. Seo thíos eangacha ciúib.

1A

3 42

5

6

5B

4 2 31

6

1C

2 4 53

6

Samhlaigh go bhfilltear gach ceann de na heangacha seo chun ciúb a dhéanamh.I gcás gach eangaí, cé acu aghaidh a bheadh os comhair aghaidh 1 nuair a fhilltear an eangach?

19. Seo eangach ciúib a bhfuil slios x cm air. Tá toirt an chiúib cothrom go huimhriúil le hachar an dromchla ar an gciúb.Scríobh cothromóid in x agus réitigh í chun fad shlios an chiúib a aimsiú.

20. Má tá 1 lítear = 1000 cm3, faigh toilleadh na gcoimeádán dronuilleogach seo ina lítir.

(i)

20 cm

20 cm15 cm

(ii)

20 cm10 cm

8 cm

(iii)

30 cm

15 cm15 cm

21. Tá toilleadh 4.8 lítear sa choimeádán dronuilleogach ar dheis.

(i) Scríobh síos toirt an choimeádáin ina cm3. (ii) Faigh h, airde an choimeádáin, ina cm.

Mír 6.5 Priosmaí Sa solad dronuilleogach ar dheis, beidh na slisne ingearacha, atá comhthreomhar leis an aghaidh thosaigh, ar fad ar comhchruth agus ar cóimhéid.Deirimid gur solaid de thrasghearradh aonfhoirmeach iad solaid mar seo. Sa chás seo, is triantán é an trasghearradh.

Priosma a thugtar ar fhíor sholadach a mbíonn an trasghearradh mar a chéile inti ar feadh a faid.

x cm

20 cm

30 cm

h

solad trasghearradh

106

Is priosmaí iad na solaid seo a leanas. Tá na trasghearrthacha scáthaithe.

Ní priosma é an solad ar dheis mar nach bhfuil na trasghearrthacha aonfhoirmeach.

Is dronphriosma í an fhíor ar dheis.

Tá a aghaidh uachtarach taobh thuas go hingearach dá bhonn agus is dronuilleoga iad na taobhanna.

Toirt A A

A� � �

Toirt priosma = achar an trasghearrtha 3 an fad5 A 3

priosma

Sampla 1

Faigh achar thrasghearradh triantánach an phriosma seo.Uaidh sin, faigh toirt an phriosma.

Achar an trasghearrtha 5 1 _ 2 bh

5 1 _ 2 3 8 3 6 5 24 cm2

Toirt 5 achar an trasghearrtha 3 an fad5 24 cm2 3 10 cm

Toirt 5 240 cm3

8 cm

6 cm

10 cm

A � bh

h

b

12

107

Achar an dromchla ar phriosma

Is ionann achar an dromchla ar phriosma agus suim achair na n-aghaidheanna.

Sampla 2

Faigh achar iomlán an dromchla ar an bpriosma triantánach seo trína eangach a úsáid.

Taispeántar eangach an phriosma.

A1 5 1 _ 2 3 12 3 5 5 30 cm2

A2 5 7 3 5 5 35 cm2

A3 5 12 3 7 5 84 cm2

A4 5 13 3 7 5 91 cm2

Achar iomlán an dromchla 5 2 3 A1 1 A2 1 A3 1 A4

5 2 3 30 1 35 1 84 1 915 270 cm2

5 cm

7 cm

12 cm

13 cm

Taispeántar ar dheis eangach an phriosma thriantánaigh.

Cleachtadh 6.5 1. Tugtar achar thrasghearradh gach priosma díobh seo.

Faigh toirt gach priosma díobh.

(i)

32 cm

66 cm2

(ii)

9 cm124 cm2

(iii)

3 cm52 cm2

2. (i) Cad é achar thrasghearradh scáthaithe an phriosma thriantánaigh seo?

(ii) Cad é toirt an phriosma?

9 cm8 cm

7 cm

5 cm13 cm

12 cmA2 A3 A4

A1

A1

7 cm

13 cm

7 cm

108

3. Is triantán dronuilleach é trasghearradh an phriosma seo.

Aimsigh toirt an phriosma.

4. Aimsigh toirt gach ceann de na priosmaí seo:

(i)

12 m

15 m5 m

(ii)

8 cm

12 cm30 cm

(iii)

(iv) (v)

8 mm

11 mm

6 mm

(vi)

18 m

12 m

14 m

5. (i) Cé mhéad aghaidh atá ar an bpriosma seo?

(ii) Cé mhéad aghaidh díobh a bhfuil cruth triantánach orthu?

(iii) Aimsigh achar iomlán an dromchla ar an bpriosma seo?

6. Faigh achar iomlán an dromchla ar gach ceann de na priosmaí seo.

(i) (ii) (iii)

4 cm

8 cm6 cm

5 cm

13 85

12

6 cm

10 cm

8.5 cm

6 cm

7. Faigh achar iomlán an dromchla ar na priosmaí seo.

(i) (ii) (iii) 8 cm

15 cm

2 cm

17 cm

6 cm

3 cm

6 cm

8 cm4 cm3 cm

2 cm

8 cm6 cm

4 cm 5 cm

6 cm3 cm

20 cm

8 cm

25 cm

15 cm

12 mm

5 mm

2 mm

13 mm

109

8. Faigh (a) toirt agus (b) an dromchla ar gach ceann de na priosmaí seo.

(i)

12 m 20 m

5 m16 m

(ii)

12 m

9 m

13 m

5 m

(iii)

15 m

5 m

15.5 m15.5 m

9 m

9. I ngach ceann de na ceisteanna a leanas, úsáid teoirim Phíotagarás chun x, an fad anaithnid, a ríomh agus ansin ríomh achar an dromchla.

(i) (ii)

10. Déanann Clíona pubaill, mar a léirítear ar dheis.

(i) Faigh achar an dromchla ar an bpuball, an t-urlár san áireamh. (ii) Ceannaíonn Clíona éadach ar €20 an méadar cearnaithe.

Cé mhéad a chosnaíonn an t-éadach chun puball amháin a dhéanamh? Tabhair do fhreagra ceart go dtí an €10 is gaire.

11. Seo eangach priosma triantánach.

Faigh (i) toirt an phriosma (ii) achar an dromchla ar an bpriosma.

12. Is priosma triantánach é seo.Is triantáin chomhshleasacha iad boinn an phriosma.

(i) Tarraing dronuilleog 7 cm X 4 cm i lár píosa páipéir.

(ii) Úsáid an dronuilleog seo chun eangach chruinn a dhéanamh don phriosma seo.

Teoirim Phíotagarás

ca

b

c2 � a2 � b2

x cm3 cm

6 cm

4 cm 10 cm

13 cm x cm

5 cm 5 cm

2.2 m

3.5 m2.5 m

2.73 m

7 cm

7 cm

5.7 cm

8 cm

18 cm

4 cm 7 cm

110

13. Seo ceithre phictiúr den chiúb céanna.

Cé acu cruthanna atá os comhair a chéile?

14. Is eangach ciúib é seo.

H G

B C

A

I F

D

E

Nuair a fhilltear an eangach chun ciúb a dhéanamh, cé acu dhá rinn eile a chasann ar a chéile ag A?

15. Is é seo an eangach ag réad 3-T.

(i) Déan cur síos ar an bhfíor a gheofar nuair a fhilltear an eangach.

(ii) Más é 378 cm3 toirt na fíorach, faigh luach x.

Mír 6.6 Líníocht de réir scála Sa ghnáthshaol, déanann daoine ar nós ailtirí agus innealtóirí líníochtaí de réir scála d’fhoirgnimh agus de dhroichid. Is gá go mbeadh tógálaithe in ann iad a léamh agus a thuiscint chun na struchtúir a thógáil i gceart.

> Bíonn an cruth céanna ar líníocht de réir scála agus ar an réad féin ach ní bhíonn siad ar cóimhéid.

> Is é scála líníochta fad na líníochta : fad iarbhír.Ciallaíonn scála 1:100 go bhfuil an méid iarbhír 100 uaire níos mó ná méid na líníochta.

> Cinntíonn an scála méid na líníochta.Bheadh líníocht de réad de réir scála 1:10 níos mó ná líníocht den réad céanna de réir scála 1:100.

9 cm

x cm

14 cm

111

Seo líníocht de réir scála de chlog.

Is é 1 : 6 an scála.

Tá an léaráid 5 cm faoi 5 cm.

Is é 5 cm 3 6 cm = 30 cm fad iarbhír an chloig.

Mar sin, is iad 30 cm 3 30 cm toisí iarbhír an chloig.

Sampla 1

Taispeántar cuid de phlean tí a tarraingíodh ar scála 1:100.Tomhas 5 cm 3 5 cm atá ar sheomra leapa 1 ar an bplean.

(i) Faigh fad iarbhír an tseomra ina mhéadair. (ii) Tá cistin an tí 6.5 m 3 4.8 m.

Cad iad toisí na cistine sa léaráid?

(i) Ar an bplean, 1 cm 5 100 cm … scála 1 : 100

5 cm 5 500 cm 5 5 mhéadar.

Is é 5 mhéadar fad an tseomra leapa.

(ii) Tá an chistin 6.5 m 3 4.8 m nó 650 cm 3 480 cm.Ós é 1: 100 an scála, roinnimid 650 cm agus 480 cm ar 100 chun na toisí sa phlean a fháil.

Toisí sa phlean 5 650 ____ 100

cm faoi 480 ____ 100

cm

5 6.5 cm faoi 4.8 cm

Sampla 2

Is é 1: 100 000 an scála ar léarscáil. (i) Faigh amach an fad slí ina chiliméadair idir dhá bhaile atá 7 cm óna chéile ar

an léarscáil. (ii) Tá dhá stáisiún traenach 25 km óna chéile.

Cé mhéad ceintiméadar óna chéile atá siad ar an léarscáil?

Scála 1 : 6

5 cm

5 cm

Seomra leapa 1

112

(i) Scála 5 1 : 100 000 1 cm 5 100 000 cm

7 cm 5 700 000 cm

5 700 000 _______ 100

méadar 5 7000 m 5 7 km

Tá na bailte 7 km óna chéile.

(ii) 25 km 5 25 _______ 100 000

km ar an léarscáil

5 25 3 1000 _________ 100 000

méadar

5 25 ____ 100

m 5 0.25 m 5 25 cm

Tá na stáisiúin traenach 25 cm óna chéile ar an léarscáil.

Cleachtadh 6.6 1. Sloinn gach ceann díobh seo san fhoirm 1 : n, áit a bhfuil n ∈ N.

(i) 1 cm le 40 cm (ii) 1 cm le 1 mhéadar (iii) 1 cm le 600 m (iv) 5 cm le 100 m (v) 10 cm le 1 km (vi) 1 mm le 10 m

2. Úsáid na scálaí a thugtar chun airdí léirithe na n-ainmhithe thíos a fháil:

4 cm4 cm

1 : 30 1 : 90 1 : 45

3 cm

3. Is é 1: 100 an scála ar phlean tógála.Faigh na faid iarbhír san fhoirgneamh a léirítear ar an bplean le

(i) 5 cm (ii) 11 cm (iii) 8.5 cm (iv) 14.8 cm

4. Faigh faid iarbhír na línte seo a leanas ar phlean tógála ar a dtugtar na scálaí:

(i) 2 cm, 1 : 300 an scála (ii) 5 cm, 1 : 400 an scála (iii) 8 cm, 1 : 500 an scála (iv) 1.8 cm, 1 : 200 an scála (v) 3.6 cm, 1 : 800 an scála (vi) 5 3 _ 4 cm, 1 : 250 an scála

113

5. Is líníocht de réir scála de leoraí é seo. Is é 1 : 100 an scála. Tomhais fad na líníochta seo agus uaidh sin, scríobh síos fad iarbhír an leoraí. Freisin, faigh uasairde an leoraí.

6. Tá scála 1 : 25 000 ar léarscáil siúlóide.

(i) Faigh an fad slí iarbhír i gcás gach ceann de na faid scálaithe seo:(a) 2 cm (b) 5 cm (c) 8.5 cm (d) 6.75 cm

(ii) Faigh na faid ar an léarscáil do na faid iarbhír seo:(a) 10 km (b) 4 km (c) 6.5 km (d) 12.75 km

7. Tá scála 1 : 500 000 ar léarscáil. (i) Is é 3.4 cm an fad ar an léarscáil idir dhá stáisiún peitril.

Cad é an fad iarbhír? (ii) Tá an chéad fhón éigeagusála eile 22 km ar shiúl.

Cé mhéad ceintiméadar a bheadh i gceist ar an léarscáil?

8. Tá ar shuirbhéir plean cruinn den ghort neamhrialta seo a tharraingt. Úsáidfidh sé scála 1 cm = 10 m.

(i) Cén fad a bheidh ag na línte seo ar an bplean? (a) [AB] (b) [BC]

(ii) Tarraing líníocht chruinn de réir scála den ghort seo, ag úsáid an scála thugtha.

9. Is é 5 cm le 2 km an scála ar léarscáil áirithe. Sloinn é seo san fhoirm 1 : n.Freisin, faigh an fad slí ina cm ar an léarscáil idir dhá bhaile, A agus B, atá 30 km óna chéile dáiríre.

10. Rinne cailín an líníocht seo de réir scála chun |AB|, airde balla triantánach, a fháil. (i) Tomhais an fad |CB|ar an líníocht scála agus

ríomh scála na líníochta. (ii) Faigh an airde iarbhír |AB| trí thomhas agus

ríomhaireacht. (iii) Faigh achar an bhalla thriantánaigh seo.

Scála 1:100

ÉIGEANDÁIL

90 m

100 m

120 m

85 m

C

BA

D

75 m

10 m B

A

C

Cuir triail ort féin 6 1. (a) Faigh achar na fíorach ar dheis.

(b) Is é 1320 cm3 toirt an tsolaid ar dheis. Faigh h, airde an tsolaid.

(c) Faigh (i) toirt an phriosma thriantánaigh ar dheis

(ii) achar iomlán an dromchla air.

2. (a) Ag glacadh le 3.14 do p, faigh achar na coda léirithe.

(b) Faigh achar an chomhthreomharáin ar dheis.

Uaidh sin, faigh luach h.

(c) Is féidir an ciúbóideach seo a dhéanamh as píosa cárta a bhfuil an cruth seo air.

3 cm

4 cm

8 cm

12 cm20 cm

h

8 cm

6 cm4 cm

10 cm

120°

6 cm

10 cm9 cm

h cm

8 cm

114

Má sheasann gach cearnóg ar ghreille na heangaí d’fhad 3 cm, faigh (i) toirt an chiúbóidigh (ii) achar iomlán an dromchla ar an gciúbóideach.

3. (a) Cearnóg agus leathchiorcal í an fhíor ar dheis.Ag glacadh le p 5 3.14, faigh, ceart go hionad deachúlach amháin,

(i) achar na fíorach (ii) imlíne na fíorach.

(b) (i) Tá samhail de luamh le tógáil, ar scála 1 : 50.Má tá an luamh 25 m ar fad, cén fad a bheidh sa tsamhail?

(ii) Má tá an carr 6.25 m ar fad agus má tá an tsamhail 25 cm ar fad, cén scála a úsáidtear?

(c) (i) Taispeáin go bhfuil an toirt chéanna i bpriosma A agus i bpiosma B .

(ii) Faigh achar an dromchla ar gach priosma díobh.An bhfuil an dá achar mar an gcéanna?

(iii) Seasann priosma B do phuball mór (le hurlár) déanta de chanbhás.Faigh costas an chanbháis a úsáideadh má chosnaíonn gach méadar canbháis €24.50.

4. (a) Feictear sa léaráid AOB, ceathrú de chiorcal a bhfuil ga 14 cm aici.

Ag glacadh le p 5 22 __ 7 , faigh achar an chuid scáthaithe

den fhíor.

(b) Rinneadh an fhíor ar dheis as dhá dhronuilleog chomhionanna atá ina luí thar chiumhais a chéile. Tá na dronuilleoga 20 cm ar fad agus 15 cm ar leithead. Ríomh achar na fíorach.

(c) Nuair a ghluaiseann snáthaid bheag an chloig trí uillinn 75°, clúdaíonn sí achar 88 cm2. Cén fad atá sa tsnáthaid bheag?Tabhair do fhreagra ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha agus úsáid an eochair p ar d’áireamhán.

8 cm

2 m

3 m3 m

A

6 m

2.5 m

3 m

2 m

B

14 cm

A

O B

12 1

5

11

7

2

4

10

8

39 75°

6

115

5. (a) Faigh fad iomlán ribín a úsáideadh chun cuachóg a cheangal ar bhosca, mar a léirítear. Úsáidtear 15 cm sa bhreis don tsnaidhm agus don chuachóg.

(b) Tá scála 1 : 25 000 ar léarscáil.

(i) Cad é an fad iarbhír más é 4 cm an fad scálaithe? (ii) Cad é an fad scálaithe más é 3.5 km an fad iarbhír?

(c) 245 cm3 toirt an phriosma seo. Faigh luach k.

6. (a) Is mian le feirmeoir páirc a dhíol. Tá súil aige níos mó ná €24 an méadar cearnaithe a fháil.Tairgeann an tUasal Ó Duinn suim €90 000 ar an bpáirc.An ceart don fheirmeoir glacadh leis an tairiscint seo?Mínigh do fhreagra.

(b) Is féidir an eangach a léirítear a fhilleadh chun priosma a chruthú.

Déan cur síos go mion ar an bpriosma a chruthóidh sé.

Anois faigh (i) toirt an phriosma (ii) achar an dromchla ar an bpriosma.

(c) Tá achar 129 cm2 sa chiorcal mór.

Cad é achar na coda scáthaithe?

Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

20 cm15 cm

10 cm

5 cm

k cm7 cm

104 m

56 m

39 m

23 m

2 cm2 cm2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

1.7 cm

2 cm 4 cm

116

117

Mír 7.1 Meáin staitistiúla – An mód agus an t-airmheán Nuair a bhailímid sonraí cosúil le líon na n-uaireanta cloig a chaitheann daltaí an ranga ag féachaint ar an teilifís gach seachtain nó aois na ndaoine atá ina gcónaí sna harásáin in aice linn, ceann de na chéad rudaí ba mhaith linn a fháil amach ná meán staitistiúil.

Agus muid ag iarraidh teacht ar mheán staitistiúil, bímid ag iarraidh teacht ar luach amháin nó luach tipiciúil a léireoidh an iliomad luachanna atá bailithe againn.

Bíonn sé an-úsáideach meán staitistiúil a bheith againn mar nach gá ach dhá luach a chur i gcomparáid le chéile, is iad sin na meáin staitistiúla, le bheith in ann tacar sonraí amháin a chur i gcomparáid le ceann eile.

Tá bealaí éagsúla ann le meán staitistiúil a chur in iúl, ach is iad na meáin staitistiúla is coitianta a úsáidtear ná an mód, an t-airmheán agus an meán.

1. An MódIs é an mód an luach is coitianta i dtacar sonraí. Bíonn an mód thar a bheith úsáideach nuair a bhíonn luach amháin ann i bhfad níos minice ná aon luach eile. Tá sé éasca é a fháil agus is féidir é a úsáid le haghaidh sonraí neamhuimhriúla ar nós dhathanna na gcarranna a dhíolann garáiste.

Sampla 1Is iad aoiseanna na ndaltaí ar bhus scoile:

12, 15, 12, 13, 14, 16, 15, 11, 1216, 15, 16, 14, 10, 13, 17, 15, 17

Nuair a chuirimid iad sin in ord, seo mar a bhíonn siad:

10, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17

Is é 15 an uimhir is coitianta (is minice a tharlaíonn) ar an liosta seo.

[ an mód 5 15

Focail thábhachtachameán staitistiúil meán mód airmheán asluiteach dáileadh minicíochta dáileadh minicíochta grúpáilte lárluach eatraimh raon inathraitheacht ceathairíl uachtarach ceathairíl íochtarach raon idircheathairíle

caibi

dil

7An Staitistic 2 – Meáin Staitistiúla agus Leathadh

118

2. An tAirmheánLe teacht ar an airmheán do liosta uimhreacha, cuir na huimhreacha in ord de réir méide, ag tosú leis an gceann is lú. Is é an t-airmheán an uimhir atá sa lár.

Sampla 2

(i) Faigh aois airmheánach theaghlach Uí Bhroin. Is iad seo a gcuid aoiseanna:

19 31 21 3 6 14 19 24 11

(ii) Faigh airmheán na scór seo a leanas:

62 64 81 68 95 57

(i) Cuir na luachanna in ord, ag tosú leis an gceann is lú:

3 6 11 14 19 19 21 24 31

4 luach ↑ 4 luach

Ós naoi luach atá ann, is é an cúigiú ceann an luach láir. 19 mbliana an aois airmheánach.

(ii) Cuir na sé scór in ord:

57 62 64 68 81 95

3 luach ↑ 3 luach

Anois tá dhá scór láir ann, 64 agus 68.

Faigh meán staitistiúil 64 agus 68:

64 1 68 _______ 2

5 132 ____ 2

5 66

66 an t-airmheán.

Nóta: > Braitheann an t-airmheán ar líon na scór sa tacar sonraí, ach ní bhraitheann sé ar na scóir féin.

> Más corruimhir é líon na scór sa tacar, is ceann de na scóir é an t-airmheán i gcónaí.

> Más ré-uimhir é líon na scór sa tacar, is ionann an t-airmheán agus meán staitistiúil an dá scór láir.

Cleachtadh 7.1 1. Scríobh síos mód na dtacar sonraí seo:

(i) 15, 12, 16, 19, 12, 14, 16, 12 (ii) 67, 43, 89, 45, 54, 86, 45, 76, 53 (iii) 5.6, 5.4, 5.7, 5.5, 5.7, 5.6, 5.7 (iv) 3, 3, 7, 8, 7, 9, 8, 5, 7, 11, 12 (v) bus, carr, bus, siúl, carr, bus, rothar, carr, bus, bus, siúl, rothar, carr, siúl, bus (vi) 1 _ 2 , 1 _ 4 , 3 _ 4 , 1 _ 4 , 1, 1 _ 4 , 3 _ 4 , 1, 0, 1 _ 4 , 0, 1 _ 4 , 3 _ 4 , 1 _ 2 , 1, 1 _ 4 , 1 _ 2

Beidh dhá scór láir ann i gcónaí más ré-uimhir é líon na scór.

119

2. Is é 5 mód na n-uimhreacha seo. Faigh luach *.

2, 3, 7, 5, 2, 6, *, 5, 3

3. Athscríobh an t-eagar uimhreacha seo in ord méide:

3, 3, 7, 8, 7, 9, 8, 5, 7, 11, 12

Anois scríobh síos (i) an mód (ii) an t-airmheán.

4. Cuir na marcanna thíos in ord agus ansin scríobh síos an t-airmheán i ngach cás.

(i) 9, 5, 8, 3, 2, 7, 6 (ii) 8, 12, 18, 9, 14, 7, 10, 6

5. D’imir foireann rugbaí 10 gcluiche. Seo líon na bpointí a scóráil an fhoireann:

12, 22, 14, 11, 7, 18, 22, 14, 36, 14

(i) Scríobh síos an mód. (ii) Céard é an líon airmheánach pointí a scóráladh?

6. Oibrigh amach (i) an mód (ii) an t-airmheán don tacar sonraí seo.

5, 7, 9, 9, 8, 7, 9, 10, 12, 11, 9, 9, 5

7. Sa tacar sonraí seo a leanas, is é 9 an mód.

7, 4, 3, 3, 12, 9, x, 10, 9

(i) Faigh luach x. (ii) Céard é airmheán an tacair?

8. Taispeántar anseo thíos marcanna Mhaitiú in ocht dtástáil. Cén marc a fuair sé sa naoú tástáil más é 6 an marc airmheánach a bhí aige ansin?

5 9 7 3 7 4 5 8

9. Seo iad na rátaí pá in aghaidh na huaire a fhaigheann deichniúr oibrithe:

e12.40, e14.80, e10, e9.20, e14.20, e12.30, e15, e11.80, e15.20, e13.20.

Faigh an ráta airmheánach in aghaidh na huaire.

10. Tá 2 mhód ag an tacar sonraí seo a leanas.

2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, a 1 1, 4, 3, 5

Céard iad na luachanna a d’fhéadfadh a bheith ar a?

120

11. Rinne Siobhán suirbhé le méid na mbróg a chaitheann daltaí an ranga a fháil amach. Tá idir bhuachaillí agus chailíní sa rang. Léiríonn an bharrachairt seo na sonraí.

04

Méid bróige

2

4

6

8

1

3

5

7

Min

icío

cht

5 6 7 8 9 10 11

(i) Cé mhéad dalta atá i rang Shiobhán? (ii) Cén mhéid bróige mhódúil a bhí ann? (iii) An féidir a dhéanamh amach ón mbarrachairt cé na buachaillí agus cé na cailíní sa

rang? (iv) Bheartaigh Siobhán ar bharrachairt a tharraingt chun méid bróige na mbuachaillí agus

na gcailíní a thaispeáint astu féin. An dóigh leat go mbeidh an mód do na buachaillí agus an mód do na cailíní mar a chéile leis an mód don rang ar fad? Mínigh do fhreagra.

Mír 7.2 An meán Is é meán na n-uimhreacha

4, 5, 7, 9, 10

ná suim na n-uimhreacha sin roinnte ar líon na n-uimhreacha.

[ Meán 5 4 1 5 1 7 1 9 1 10 _________________ 5

5 35 ___ 5

5 7

Is minic a úsáidtear an focal ‘meán’ sa chiall níos leithne ‘meán staitistiúil’ freisin (meán, mód agus airmheán san áireamh, ‘average’ as Béarla). Ach cloífimid anseo le ‘meán staitistiúil’ sa chiall níos leithne agus ‘meán’ sa chiall atá i gceist sa mhír seo. Is luach an-tábhachtach é an meán ó thaobh na staitistice de mar go dtugann sé san áireamh gach luach sa tacar sonraí.

Sampla 1I gcúig chluiche cispheile scóráil Siobhán 16 phointe, 10 bpointe, 22 pointe, 18 bpointe agus 24 pointe. Céard é an meánscór a bhí aici sna cúig chluiche?

Meán 5 16 1 10 1 22 1 18 1 24 _____________________ 5

5 90 ___ 5

5 18

Meán 5 Suim na n-uimhreacha ____________________ Líon na n-uimhreacha

121

Sampla 2

Is é 7 an meán atá ag ceithre uimhir. Nuair a chuirtear an cúigiú huimhir leo, is é 9 an meán atá ag na cúig uimhir sin. Faigh an cúigiú huimhir.

Más é 7 an meán atá ag ceithre uimhir, is é suim na gceithre uimhir sin ná 4 3 7, i.e. 28.

Meán cúig uimhir 5 9 ⇒ suim na gcúig uimhir 5 45

[ an cúigiú huimhir 5 45 2 28

5 17

Luachanna foircneacha Seo a leanas na marcanna a fuair seisear daltaí i dtástáil mhatamaitice:

26, 35, 34, 46, 52, 95

Is é an meánmharc

26 1 35 1 34 1 46 1 52 1 95 __________________________ 6

5 288 ____ 6

5 48

Tabhair faoi deara go bhfuil ceathrar daltaí as an seisear faoi bhun an mheánmhairc.

Marc amháin, i.e. 95, is cúis leis seo mar go bhfuil sé i bhfad níos airde ná na marcanna eile.

Asluiteach nó luach foircneach a thugtar ar mharc den sórt sin de ghnáth. Nuair a bhíonn asluiteach ann, bíonn baol ann nach dtabharfaidh an meán léiriú iomlán nó cruinn ar an tacar sonraí a thugtar. Tarlaíonn sé seo, go háirithe, nuair a bhíonn líon beag sonraí i gceist.

Sampla 3

Is é 8 an meán atá ag na huimhreacha 10, 7, 3, 6, x is 8. Faigh luach x.

5 scór atá ann.

[ 10 1 7 1 3 1 6 1 x _________________ 5

5 8

26 1 x ______ 5

5 8

26 1 x 5 40

x 5 40 2 26

x 5 14

122

Cleachtadh 7.2 1. Faigh an meán do gach ceann de na heagair uimhreacha seo a leanas:

(i) 2, 4, 5, 6, 8 (ii) 14, 17, 21, 13, 6, 13 (iii) 1, 0, 5, 7, 17, 12 (iv) 19, 12, 6, 18, 40, 18, 5, 40

2. Is iad na marcanna a fuair Éabha i sé ábhar ná 47, 68, 62, 76, 59 agus 54. Faigh an meánmharc a fuair Éabha.

3. Scóráil imreoir snúcair 208 pointe in 8 gcuairt chun an bhoird snúcair. Cén meánlíon pointí a bhí aige in aghaidh gach cuairte?

4. Is é 14 an meán atá ag sé uimhir. Faigh suim na sé uimhir.

5. Is é 9 an meán atá ag ceithre uimhir. (i) Céard é suim na gceithre uimhir sin? (ii) Más iad 6, 11 agus 14 trí cinn de na huimhreacha sin, faigh an ceathrú huimhir.

6. 10 cm an meánfhad atá ag trí shlios

12 cm B

A

C

5 cm

an triantáin seo. Faigh fad an tsleasa [AC ].

7. Is é 8 an meán atá ag trí uimhir. Nuair a chuirtear an ceathrú huimhir leo, is é 9 an meán atá ann. Faigh an ceathrú huimhir.

8. Sa chéad trí fhráma i gcluiche snúcair, bhí meánscór 27 ag imreoir. Sa cheathrú fráma scóráil sé 19. Cad é an meánscór a bhí aige sna ceithre fhráma?

9. Is é 12 an meán atá ag seacht n-uimhir. Baintear amach ceann de na huimhreacha. Faigh luach na huimhreach sin, sa chás (i) gurb é 11 an meán laghdaithe atá ag na huimhreacha atá fágtha. (ii) nach bhfuil aon athrú ar an meán atá ag na huimhreacha atá fágtha. (iii) gurb é 14 an meán méadaithe atá ag na huimhreacha atá fágtha.

10. Is é an meánphraghas atá ar chúig phacáiste brioscaí ná €1.80. Is iad praghsanna dhá cheann de na pacáistí sin ná €2.10 agus €1.71. Tá an praghas céanna ar na trí phacáiste eile. Céard é an praghas sin?

11. Faigh meán na n-uimhreacha seo: 1, 4, 7, 8, 10. Cuir 4 le gach ceann de na huimhreacha sin. Ríomh meán na n-uimhreacha nua sin. Céard atá tugtha faoi deara agat? Anois iolraigh gach ceann de na huimhreacha thuas faoi 5 agus faigh a meán. Cén éifeacht a bhí ag an iolrú faoi 5 ar an meán?

123

12. Scríobh síos cúig uimhir sa chaoi is gurb é 4 an mód, 6 an meán agus 5 an t-airmheán.

13. Is é 165 cm meánairde grúpa ochtar daltaí. (i) Céard é airde iomlán an ochtar daltaí le chéile?

Tagann an naoú dalta isteach sa ghrúpa. Tá sé 168 cm ar airde. (ii) Céard é meánairde an naonúr daltaí?

14. Tá na huimhreacha 4, 8, 12, 17, x eagraithe in ord a méide. Má tá meán na n-uimhreacha cothrom leis an airmheán, faigh x.

15. (i) Is é 6 an meán atá ag 3, 7, 8, 10 agus x is 6. Faigh x. (ii) Is é 6 an meán atá ag 1, k, 3, 6 agus 8 is 7. Faigh k.

16. Is é 39 an meán atá ag cúig uimhir. Dhá cheann de na huimhreacha ná 103 agus 35 agus tá gach ceann de na trí uimhir eile cothrom le x.

Faigh (i) iomlán na gcúig uimhir (ii) luach x.

17. Is iad na marcanna a fuair Nicky i gceithre thástáil ná:

8, 4, 5, 3

Cén marc a fuair sí sa chúigiú agus sa séú tástáil, más é 4 an marc módúil a bhí aici agus 5 an meánmharc a bhí aici tar éis na sé thástáil?

18. Seo dhá thacar sonraí:

A 19 31 21 3 6 14 19 24 11

B 19 31 21 3 6 14 19 24 91

(i) Ríomh meán gach tacair. Bíodh an freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (ii) Céard é an t-aon difríocht amháin idir an dá thacar sonraí? (iii) Maidir leis an difríocht a luaigh tú i gcuid (ii), cén éifeacht atá aici sin ar an meán?

19. Scóráil foireann chispheile 43, 55, 41 agus 37 pointe sa chéad cheithre chluiche acu. (i) Céard é an meánlíon pointí a scóráil siad sa chéad

cheithre chluiche? (ii) Cén scór a chaithfidh an fhoireann a fháil sa chéad

chluiche eile ionas go mbeidh an meánscór céanna fós acu?

(iii) Ní scórálann an fhoireann ach 24 pointe sa chúigiú cluiche. Céard é an meánlíon pointí a scóráil siad sna cúig chluiche?

(iv) 41 pointe a scórálann an fhoireann sa séú cluiche, is é sin an cluiche deireanach. An méadóidh nó an laghdóidh sé sin an meánscór a bhí acu go dtí sin? Céard é an meánscór do na sé chluiche?

124

20. Rinne Sinéad seacht dtriail litriúcháin, dhá fhocal déag an ceann, ach ní raibh sí in ann ach na torthaí ar chúig cinn acu a aimsiú. Ba iad sin: 9, 5, 7, 9 agus 10. D’iarr sí ar a múinteoir an dá thoradh eile a thabhairt di agus dúirt an múinteoir gurbh é 9 an scór ba choitianta a bhí ann agus gurbh é 8 an meán. Céard iad an dá thoradh atá ar iarraidh, má tá a fhios ag Sinéad gurbh é 5 an toradh ba mheasa a fuair sí?

21. I gceithre thástáil, ar marcáladh gach ceann díobh as 100, ba é 85 mo mheánmharc. Céard é an marc is ísle a d’fhéadfainn a fháil in aon cheann de na tástálacha sin?

Mír 7.3 Cén meán staitistiúil ba chóir a úsáid? Tá na trí mheán staitistiúla – an meán, an mód, agus an t-airmheán – ar fad úsáideach ach, ag brath ar na sonraí, d’fhéadfadh ceann acu a bheith níos feiliúnaí ná na cinn eile.

Déanaimid iarracht an ‘meán staitistiúil’ is fearr a léiríonn an tacar sonraí a roghnú.

Má úsáideann tú an meán staitistiúil mícheart, d’fhéadfá an chonclúid mhícheart a fháil ó na torthaí.

An Mód Bíonn an mód úsáideach nuair a theastaíonn uait a fháil amach, mar shampla, > cén mhéid gúna is coitianta > cén bragusa bia madra is mó a cheannaítear.

An Meán Bíonn an meán úsáideach chun luach ‘tipiciúil’ a fháil má bhíonn an chuid is mó de na sonraí grúpáilte go dlúth. Tharlódh nach dtabharfadh an meán luach tipiciúil má bhíonn na sonraí an-scoite amach nó má bhíonn cúpla luach ann atá an-difriúil leis na luachanna eile (asluitigh).

An tAirmheán Seo tuarastail mhíosúla ochtair i gcomhlacht beag:

Stiúrthóir: e14 000 sa mhí Cúigear: e3500 sa mhí Beirt: e2400 sa mhí

Is é an meántuarastal ná 14 000 1 (3500 3 5) 1 (2400 3 2) _____________________________ 8

5 e4537.50

Sa chás seo is é €4537.50 an meántuarastal míosúil, rud nach bhfuil ina shampla maith d’fhormhór na dtuarastal míosúil.

I gcásanna den sórt seo, is meán staitistiúil níos cuí é an t-airmheán (€3500).

Sampla 1

Seo a leanas na marcanna a fuair grúpa de dheichniúr daltaí i dtástáil mhatamaitice.

6, 7, 83, 84, 85, 86, 86, 87, 88, 89

Faigh (i) an meán (ii) an t-airmheán.

Cé acu de na meáin sin is fearr a léiríonn na sonraí?

125

(i) An meán 5 6 1 7 1 83 1 84 1 85 1 86 1 86 1 87 1 88 1 89 __________________________________________ 10

5 701 ____ 10

5 70.1

(ii) An t-airmheán 5 85 1 86 _______ 2

5 85.5

Sna sonraí, tá ocht gcinn de na deich marc sna hochtóidí. Ós rud é nach bhfuil sa mheán ach 70.1, is oiriúnaí mar mheán é an t-airmheán.

Cleachtadh 7.3 1. Seo líon na ríomhairí in ocht seomra ranga:

3, 15, 1, 2, 1, 30, 2, 1 (i) Céard é an líon airmheánach ríomhairí atá ann? (ii) Céard é an líon módúil ríomhairí atá ann? (iii) Cén fáth nach mbeadh an meán feiliúnach mar mheán staitistiúil do na sonraí seo?

2. I gcás an tacair uimhreacha thíos, faigh an méan agus an t-airmheán. 1, 3, 3, 3, 4, 6, 99

Cé acu meán staitistiúil is fearr a dhéanann cur síos ar an tacar uimhreacha?

3. Faigh (i) meán (ii) airmheán na n-uimhreacha seo: 9, 11, 11, 15, 17, 18, 94

Cé acu den dá mheán staitistiúla sin a roghnófá chun an cur síos is fearr a dhéanamh ar na huimhreacha sin?

4. Tá Seán agus Dónal ag taisteal timpeall na hAstráile agus tá cuntas coinnithe acu ar an teocht ag meán lae ar feadh seachtaine.

Lá 1 2 3 4 5 6 7

Teocht ag meán lae (°C) 32 30 30 28 33 31 30

(i) Faigh an mheánteocht ag meán lae, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire. (ii) Tabhair cúis a bhfuil an meán oiriúnach do na sonraí seo.

5. (i) Faigh an meán don tacar uimhreacha seo a leanas: 37, 28, 37, 18, 18, 22, 26, 18, 37, 37, 19

(ii) Cén fáth nach bhfuil an mód oiriúnach mar mheán staitistiúil sa chás seo?

6. I mí an Mhárta, dhíol Raonaid agus Dáithí cúig chineál éagsúla seaicéid sa siopa éadaí atá acu agus seo a leanas líon na seaicéad a díoladh.

Seaicéad Leathar Svaeid Deinim PVC Cadás

Iomlán díolta 45 17 64 28 52

(i) Céard é an cineál seaicéid módúil a díoladh? (ii) Cén fáth a bhfuil an mód oiriúnach do na sonraí seo?

126

7. Cén meán staitistiúil a d’úsáidfeá i gcás gach ceann díobh seo? Luaigh fáth le do rogha. (i) An meánmharc i scrúdú. (ii) An mheánmhéid éide do gach dalta i rang. (iii) Meánairde na n-imreoirí ar fhoireann chispheile. (iv) Dathanna na léinte a dhíoltar i siopa ilrannach. (v) Meántuarastal seachtair a oibríonn do ghnó beag.

8. Tá 10 n-árasán i mbloc.Is é líon na litreacha a sheachadtar chuig gach ceann de na hárasáin lá áirithe ná

2, 0, 5, 3, 4, 0, 1, 0, 3, 15Ríomh meánlíon na litreacha, líon módúil na litreacha agus líon airmheánach na litreacha.Cé acu de na meáin staitistiúla seo is fearr a d’oirfeadh chun na sonraí sin a léiriú? Tabhair cúis le do fhreagra.

9. Tá dalta ag iarraidh ‘meán staitistiúil’ a úsáid le taispeáint cén chaoi ar éirigh leis in ocht dtástáil eolaíochta. Seo iad a chuid marcanna: 56 56 58 58 85 97 56 54An é an meán, an mód nó an t-airmheán ba chóir dó a úsáid chun dul i bhfeidhm ar a thuismitheoirí? Tabhair cúis le do fhreagra.

10. Déanann bainisteoir bialann áirithe taifead ar líon na gcustaiméirí atá acu gach lá ar feadh seachtaine. Seo an méid a bhreac sé síos:

28 40 28 38 110 170 33 (i) Scríobh síos an mód. (ii) Oibrigh amach líon airmheánach na gcustaiméirí. (iii) Oibrigh amach meánlíon na gcustaiméirí, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (iv) Is mian leis an mbainisteoir an bhialann a dhíol.

I do thuairim, cén meán staitistiúil a úsáidfidh sé agus é ag caint le daoine atá ag smaoineamh ar an mbialann a cheannach? Tabhair cúis le do fhreagra.

Mír 7.4 Táblaí minicíochta Rinneadh líon na leanaí i ngach ceann de 50 teaghlach i gceantar faoi leith a chuntas mar seo a leanas:

1, 3, 4, 3, 2, 2, 4, 2, 6, 7, 6, 2, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 6, 2, 5, 1, 4, 4, 4, 3, 5, 3, 6, 2, 4, 5, 7, 2, 4, 3, 5, 5, 3, 3, 4, 1, 2, 5, 3, 4, 4.

D’fhéadfadh an liosta sin a bheith i bhfad níos úsáidí agus níos éasca le tuiscint dá gcuirfí i láthair i dtábla é, mar atá déanta thíos.

Líon na leanaí sa chlann 1 2 3 4 5 6 7

Líon na gclann 4 9 10 13 8 4 2

Tábla minicíochta nó dáileadh minicíochta a thugtar ar an tábla thuas.

127

Léiríonn an tábla seo líon na dteaghlach (i.e. an mhinicíocht) ina bhfuil leanbh amháin, beirt leanaí agus mar sin de.

Mar shampla, tá 13 theaghlach ann ina bhfuil ceathrar leanaí sa teaghlach.

Meán agus mód dáileadh minicíochta Léiríonn an tábla minicíochta thíos líon na leanaí ó aois 2 go 7 a bhfuil cónaí orthu ar bhóthar faoi leith.

Aois 2 3 4 5 6 7

Líon na leanaí 1 3 5 10 8 3

Ón tábla sin is féidir a fheiceáil gurb é an mód nó an aois mhódúil atá ann ná 5 mar go bhfuil sé ann níos minice ná aon aois eile.

Chun teacht ar mheán-aois na leanaí ón tábla, déanaimid na nithe seo a leanas:

1. Faigh suim aoiseanna gach linbh.

2. Faigh líon na leanaí.

3. Roinn suim na n-aoiseanna ar líon na leanaí.

1. Le teacht ar shuim na n-aoiseanna, iolraímid gach aois faoi líon na leanaí ag an aois sin agus cuirimid na torthaí le chéile.

Suim na n-aoiseanna 5 (1 3 2) 1 (3 3 3) 1 (5 3 4) 1 (10 3 5) 1 (8 3 6) 1 (3 3 7) 5 2 1 9 1 20 1 50 1 48 1 21 5 150

2. Is é líon na leanaí 1 1 3 1 5 1 10 1 8 1 3 5 30.

Suim na n-aoiseanna ar fad 1503. An mheán-aois 5 _________________________ 5 ____ 55 Líos na leanaí 30

Más don athróg a sheasann x agus más don mhinicíocht a sheasann f, is mar seo a fhaightear an meán:

Meán 5 Ʃf(x) _____ Ʃf

áit arb é Ʃf(x) suim na n-athróg uile iolraithe faoi na minicíochtaí comhfhreagracha, agus áit arb é Ʃf suim na minicíochtaí.

Sampla 1

Rinneadh seiceáil ar 30 mótarfheithicil. Seo iad na torthaí a fuarthas maidir le líon na ndaoine a bhí i ngach ceann díobh:

2, 1, 3, 4, 5, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 4, 6, 5, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 4, 6, 5, 2, 6, 2, 5, 3

Déan tábla minicíochta do na sonraí thuas agus faigh an méan agus an mód don dáileadh.


128

Líon na ndaoine a bhí i ngach feithicil 1 2 3 4 5 6

Líon na bhfeithiclí 6 9 4 4 4 3

Meán 5 (6 3 1) 1 (9 3 2) 1 (4 3 3) 1 (4 3 4) 1 (4 3 5) 1 (3 3 6) _______________________________________________ 6 1 9 1 4 1 4 1 4 1 3

5 90 ___ 30

5 3

Mód 5 2, ós rud é gurb é 2 is minice atá ann.

Dáileadh minicíochta grúpáilte Agus muid ag déileáil le méid mór athróg, cuir i gcás aoiseanna daoine i gceantar áirithe, is minic gurb áisiúil an rud é na sonraí a eagrú ina ngrúpaí nó ina n-aicmí.

Mar sin agus muid ag tuairisciú aoiseanna daoine, d’fhéadfaí na torthaí a ghrúpáil mar seo: (0–9) de bhlianta, (10–19) de bhlianta … etc.

Is éard atá sa tábla minicíochta grúpáilte seo na marcanna (as 25) a fuair 50 dalta i dtástáil.

Marcanna a fuarthas 1–5 6–10 11–15 16–20 21–25

Líon daltaí 11 12 15 9 3

Ainneoin nach féidir an meán a fháil go cruinn i gcás dáileadh minicíochta grúpáilte, féadfaimid meastachán ar an meán a fháil ach lárluach an eatraimh a fháil i gcás gach aicme.

Is féidir lárluach an eatraimh san aicme (1–5) a fháil ach 1 agus 5 a shuimiú le chéile, agus an tsuim sin a roinnt ar 2.

Is é lárluach an eatraimh i gcás na haicme (1–5) ná 1 1 5 _____ 2

5 6 __ 2

5 3.

An tábla a tugadh roimhe seo, tá sé á thabhairt anseo arís agus an lárluach eatraimh scríofa i gcló beag os cionn gach aicme.

3 8 13 18 23

Marcanna a fuarthas 1–5 6–10 11–15 16–20 21–25

Líon daltaí 11 12 15 9 3


511(3) 1 12(8) 1 15 (13) 1 9(18) 1 3(23) _________________________________ 11 1 12 1 15 1 9 1 3

5 555 ____ 50

5 11.1

Ní féidir linn an mód cruinn a thabhairt don tábla grúpáilte thuas, ach is féidir linn a rá gurb é an t-eatramh (11-15) an aicme mhódúil ós rud é gur san eatramh sin atá an mhinicíocht is mó.

129

Cleachtadh 7.4 1. Cuireadh tástáil ar thríocha dalta i rang agus marcáladh an tástáil sin as 10.

Taispeántar torthaí na tástála anseo thíos. 4, 6, 7, 5, 9, 8, 6, 4, 3, 5, 6, 9, 8, 7, 6, 10, 1, 3, 6, 7, 9, 8, 5, 3, 2, 4, 7, 9, 10, 5

Cóipeáil agus críochnaigh an tábla minicíochta thíos:

Marc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Líon na ndaltaí 3

Ón tábla sin scríobh síos líon na ndaltaí a fuair (i) 5 mharc (ii) 8 marc (iii) 10 marc.

Cén marc ba mhinice a baineadh amach?

2. Déanann monarcha 50 teilifíseán gach lá. Nuair a dhéantar tástálacha ag deireadh an lae faightear na sonraí seo a leanas:

Líon na lochtanna in aghaidh an teilifíseáin

0 1 2 3 4 5 6

Líon na dteilifíseán 1 8 12 11 9 5 4

(i) Cé mhéad teilifíseán nach raibh aon locht orthu? (ii) Cé mhéad teilifíseán a raibh 6 locht orthu? (iii) Céard é an líon modúil lochtanna a bhí ann? (iv) Céard é an líon iomlán lochtanna a fuarthas sna teilifíseáin go léir? (v) Faigh an meánlíon lochtanna in aghaidh gach teilifíseáin.

3. Léiríonn an tábla thíos líon na gcúl a scóráladh i roinnt cluichí haca maidin Sathairn.

Líon na gcúl 1 2 3 4 5 6

Líon na gcluichí 14 16 8 8 6 8

(i) Cé mhéad cluiche ar scóráladh 6 chúl iontu? (ii) Céard é an líon módúil cúl a scóráladh? (iii) Céard é an líon iomlán cúl a scóráladh? (iv) Faigh an meánlíon cúl a scóráladh.

4. Léirítear sa tábla minicíochta seo a leanas líon na gcúl a scóráladh in 60 cluiche peile.

Líon na gcúl 1 2 3 4 5 6

Líon na gcluichí 15 14 9 6 10 6

(i) Faigh meánlíon na gcúl a scóráladh in aghaidh an chluiche. (ii) Céard é an líon módúil cúl a scóráladh? (iii) Cén céatadán de na cluichí ar scóráladh 3 nó 4 chúl iontu? (iv) Faigh an líon is mó cluichí a bhféadfadh comhscór a bheith mar thoradh iontu.

130

5. Caitheadh dísle 30 uair. Leagtar amach na torthaí anseo.

Scór 1 2 3 4 5 6

Minicíocht 3 4 6 8 7 2

Faigh an meánscór.

6. Tá Caral ag iarraidh meastachán a dhéanamh ar an méid focal atá scríofa aici in aiste. Déanann sí cuntas de líon na bhfocal a scríobh sí ar gach líne de leathanach amháin. Tugtar a cuid torthaí sa tábla thíos.

Focail in aghaidh na líne 10 11 12 13 14 15

Líon línte 1 3 6 9 7 4

(i) Cé mhéad líne san iomlán a bhí ar an leathanach? (ii) Cé mhéad líne a raibh 14 fhocal iontu? (iii) Cérbh é an líon módúil focal in aghaidh na líne? (iv) Ríomh an meán atá ag an dáileadh seo.

7. Seo a leanas na marcanna a bhain 36 dalta sa tríú bliain amach:

31 49 52 79 40 29 66 71 73 19 51 47 81 67 40 52 20 8465 73 60 54 60 59 25 89 21 91 84 77 18 37 55 41 72 38

Cóipeáil agus críochnaigh an tábla minicíochta grúpáilte thíos:

Marcanna 1–20 21–40 41–60 61–80 81–100

Líon na ndaltaí

(i) Cé mhéad dalta a fuair idir 21 agus 60 marc agus an dá mharc sin san áireamh? (ii) Céard é an aicme mhódúil? (iii) Cén aicme a raibh an dara líon ba mhó daltaí ann? (iv) Luaigh míbhuntáiste amháin a bhaineann le tábla minicíochta grúpáilte.

8. Iarradh ar dhaoine a bhí ag freastal ar chúrsa ceann de na slánuimhreacha ó 1 go 12 a roghnú. Seo mar a breacadh síos na torthaí:

Uimhir 1–3 4–6 7–9 10–12

Líon daoine 3 17 2 8

(i) Scríobh síos an aicme mhódúil atá ag an dáileadh. (ii) Bain leas as lárluach an eatraimh i gcás gach aicme go ndéanfaidh tú meán an

dáilte a mheas.

9. Taispeánann an tábla minicíochta líon na leabhar a cheannaigh 20 dalta le bliain anuas.

Líon na leabhar 0–4 5–9 10–14 15–19

Minicíocht 2 4 6 8

Faigh meastachán ar mheánlíon na leabhar a cheannaigh gach dalta.

131

10. Bain leas as na lárluachanna eatraimh go ndéanfaidh tú meán an dáilte minicíochta thíos a mheas:

Aicme 14–16 16–18 18–20 20–22 22–24

Minicíocht 1 5 12 3 0

Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

11. Iarradh ar 100 duine an líon glaonna a fuair siad ar a bhfón póca lá áirithe a bhreacadh síos. Taispeántar na torthaí sa tábla thíos.

Líon glaonna 0–4 5–9 10–14 15–19 20–24


(i) Céard é an grúpa módúil? (ii) Céard é an líon is mó daoine a d’fhéadfadh níos mó ná 18 nglao a fháil? (iii) Céard é an líon is lú daoine a d’fhéadfadh níos lú ná 8 nglao a fháil? (iv) Bain leas as na lárluachanna eatraimh go bhfaighidh tú meastachán ar an

meánlíon glaonna a fuarthas. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

12. Sa tábla thíos taispeántar an fad a thaistil seacht n-eitleán páipéir tar éis a gcaite.

Eitleán A B C D E F G

Fad (cm) 188 200 250 30 380 330 302

(i) Faigh airmheán na sonraí. (ii) Faigh meán na sonraí. (iii) Caitear eitleán D arís agus déantar an fad a thaistil sé a thomhas agus a

thaifeadadh in ionad an chéad tomhais. Fanann airmheán na sonraí mar an gcéanna agus anois tá an meán cothrom leis an airmheán. Cén fad a thaistil eitleán D an dara huair?

(iv) Céard é an fad íosta a chaithfeadh D a thaisteal chun go n-athródh an t-airmheán?

Mír 7.5 Raon agus inathraitheacht

Raon Is é an raon do thacar sonraí ná an luach is airde sa tacar lúide an luach is ísle.

Maidir leis na sonraí 3, 7, 9, 15, 21, 28 Raon 5 28 2 3 5 25

Taispeánann an raon leathadh na sonraí, i.e. a scoite amach is atá an tacar sonraí.

Is é atá sa raon ná an luach is airde lúide an luach is ísle.

132

Bíonn sé an-úsáideach agus dhá thacar sonraí á gcur i gcomparáid lena chéile againn.

Tugtar thíos na marcanna, as 20, a scóráil Éabha agus Seán i sé thástáil mhatamaitice:

Éabha 12, 10, 18, 14, 8, 10

Seán 12, 10, 16, 13, 11, 10

I gcás Éabha: Meán 5 72 __ 6 5 12 Raon 5 18 2 8 5 10

I gcás Sheáin: Meán 5 72 __ 6 5 12 Raon 5 16 2 10 5 6

Tabhair faoi deara go bhfuil an meánmharc céanna ag an mbeirt ach go bhfuil raon níos lú ag marcanna Sheáin. Ós rud é nach bhfuil marcanna Sheáin chomh scoite amach céanna, taispeánann sé go bhfuil torthaí Sheáin níos comhsheasmhaí ná torthaí Éabha.

De bharr go bhfuil marcanna Éabha níos scoite amach ná marcanna Sheáin, taispeánann sé inathraitheacht na sonraí agus an tábhacht a bhaineann leis sin.

Úsáidtear an raon de ghnáth mar thomhas ar an inathraitheacht mar go bhfuil sé éasca teacht air agus éasca é a thuiscint.

Sonraí a chur i gcomparáid lena chéile Chun dhá thacar sonraí a chur i gcomparáid lena chéile, úsáidimid an raon agus ceann amháin díobh seo: an meán, an mód nó an t-airmheán.

Sa sampla thuas, cuirimid marcanna Éabha agus marcanna Sheáin i gcomparáid lena chéile trí úsáid a bhaint as an raon agus as an meán.

Ceathairíleanna agus raon idircheathairíle Nuair a bhíonn na sonraí eagraithe in ord a méide, is é an t-airmheán an luach leathshlí isteach sna sonraí, mar atá foghlamtha againn cheana féin. Mar sin is féidir linn a rá go roinneann an t-airmheán na sonraí ina dhá leath. Is féidir na sonraí a roinnt ina gceithre cheathrú freisin.

Nuair a eagraítear na sonraí in ord a méide, agus an ceann is lú chun tosaigh:

> an cheathairíl íochtarach a thugtar ar an luach an ceathrú cuid den tslí isteach sna sonraí

> an cheathairíl uachtarach a thugtar ar an luach trí cheathrú cuid den tslí isteach sna sonraí

> an raon idircheathairíle a thugtar ar an gceathairíl uachtarach lúide an cheathairíl íochtarach.

Cuir i gcás na sonraí anseo thíos atá eagraithe in ord a méide. Tá 15 uimhir i gceist.

Is í an cheathairíl íochtarach an luach an ceathrú cuid

den tslí isteach. Mar seo a scríobhtar í: Q1

Is é an t-airmheán an luach leathshlí isteach. Mar seo a scríobhtar é: Q2

Is í an cheathairíl uachtarach an luach trí cheathrú

den tslí isteach. Mar seo a scríobhtar í: Q3

Is í an cheathairíl íochtarach an 4ú luach.

Is é an t-airmheán an 8ú luach.

Is í an cheathairíl uachtarach an 12ú luach.

0 2 4 5 7 8 10 12 12 12 13 14 14 15 16

133

An cheathairíl íochtarach Q1 5 5.An t-airmheán Q2 5 12. An cheathairíl uachtarach Q3 5 14.An raon idircheathairíle 5 Q3 2 Q1

5 14 2 5 5 9

Sampla 1

Faigh airmheán agus raon idircheathairíle an tacair shonraí seo:

8 2 9 6 7 10 12 13 5 12 10 8 10 4

An chéad rud a dhéanaimid ná na sonraí a atheagrú. Is leis an gceann is lú a thosaímid.

2 4 5 6 7 8 8 9 10 10 10 12 12 13 Q1 Q3

Tharla gur ré-uimhir é líon na bpointí sonraí, beidh 2 théarma láir ann. Tá na téarmaí sin i mboscaí thuas.

[ an t-airmheán 5 8 1 9 _____ 2

5 17 ___ 2

5 8 1 _ 2

Roinneann an líne dhearg bhriste na sonraí ina dhá leath. Is í an cheathairíl íochtarach, Q1, an 4ú luach. [ is ionann an cheathairíl íochtarach agus 6 Ar an gcaoi chéanna, is ionann an cheathairíl uachtarach agus 10. An raon idircheathairíle 5 10 2 6 5 4

Cleachtadh 7.5 1. Faigh an raon do gach ceann de na tacair shonraí seo a leanas:

(i) 3, 7, 6, 8, 12, 6, 14

(ii) 8, 2, 9, 6, 7, 10, 4, 18, 5, 23

2. Cé acu den dá thacar sonraí seo a leanas a bhfuil an raon is mó aige?

(i) 23, 36, 42, 29, 34, 27

(ii) 81, 74, 92, 77, 85, 89

3. Seo iad na marcanna a fuair Saskia i sé thástáil Fraincise: 54, 82, 65, 72, 38, 66Seo iad na marcanna a fuair Seán sna sé thástáil chéanna: 58, 62, 51, 66, 71, 64

(i) Faigh an raon marcanna do Saskia agus do Sheán. Bain úsáid as do chuid torthaí le fáil amach cén duine acu a raibh na marcanna ba chomhsheasmhaí aige nó aici.

(ii) Cén duine acu ag a raibh an meánmharc ba mhó?

Is ionann an raon idircheathairíle agus ceathairíl uachtarach 2 ceathairíl íochtarach

5 Q3 2 Q1

134

4. I gcomórtas gailf idir dhá chlub, bhí ar an gcaptaen rogha a dhéanamh idir Eimhear agus Anna, féachaint cén duine acu a d’imreodh sa chéad bhabhta. Sna hocht mbabhta a d’imir siad roimhe sin, ba iad na scóir a bhí acu ná:

Eimhear: 80, 73, 72, 88, 86, 90, 75, 92Anna: 88, 84, 79, 85, 76, 85, 87, 80

(i) Ríomh an meánscór do gach galfaire. (ii) Ríomh raon na scór do gach galfaire. (iii) Cén duine acu a roghnófá le himirt duit féin sa chomórtas?

Mínigh do fhreagra. (Is fearr scóir níos ísle.)

5. Tá cúig chárta ag Sinéad. Baineann meán 7 agus raon 4 leis na cúig chárta.

7 7 7

Céard iad na huimhreacha atá ar iarraidh?

6. Thug Iníon Uí Mhóra tástáil mhatamaitice dá rang. Seo iad na marcanna do na cailíní:

7, 5, 8, 5, 2, 8, 7, 4, 7, 10, 3, 7, 4, 3, 6

Céard é (i) an marc airmheánach (ii) raon na marcanna?

Ba é 7 an marc airmheánach, agus 4 raon na marcanna, do na buachaillí sa rang. Déan comparáid idir na torthaí agus, ar an gcaoi sin, abair cén grúpa ab fhearr a chruthaigh sa tástáil – na buachaillí nó na cailíní. Mínigh do fhreagra.

7. Tá na huimhreacha seo ar thacar cártaí.

3 3 4 5 6 6 7

(i) Faigh cúig chárta ón tacar seo arb é 6 a n-airmheán agus 4 a raon. (ii) Faigh ceithre chárta arb é 6 a n-airmheán agus 3 a raon.

8. Iarradh ar aon mhac léinn coláiste dhéag taifead a dhéanamh ar an méid ama a chaith siad ar an idirlíon tráthnóna amháin. Seo iad a gcuid amanna, ina nóiméid:

38 42 50 56 60 62 65 70 70 75 80

(i) Faigh an méid ama airmheánach a caitheadh ar an idirlíon. (ii) Faigh Q1, an cheathairíl íochtarach, agus Q3, an cheathairíl uachtarach. (iii) Scríobh síos an raon idircheathairíle.

9. Chuir naonúr daltaí a gceachtanna faoi bhráid an mhúinteora. Marcáladh as 40 iad. Ba iad na marcanna a fuair siad:

37, 34, 34, 29, 27, 27, 10, 4, 34 (i) Scríobh síos raon na marcanna. (ii) Scríobh síos an marc airmheánach. (iii) Faigh (a) an cheathairíl íochtarach (b) an cheathairíl uachtarach (c) an raon idircheathairíle.

135

10. Seo iad na hamanna, ina nóiméid, d’aistear bus:

15, 7, 9, 12, 9, 19, 6, 11, 9, 16, 8

(i) Faigh raon na n-amanna sin. (ii) Faigh an cheathairíl íochtarach. (iii) Faigh an cheathairíl uachtarach. (iv) Scríobh síos an raon idircheathairíle.

11. Cúigear páistí atá i gclann áirithe. 8 mbliana d’aois atá an páiste is óige agus tá páiste eile 15 bliana d’aois. Tá an páiste airmheánach 13 bliana d’aois. Is é 17 an raon atá ag aoiseanna na bpáistí. Is é 14 an mheán-aois. Cén aois iad an cúigear páistí?

12. Díolann grósaeir boscaí úll ó thíortha éagsúla. Tá 9 n-úll ón bhFrainc i mbosca amháin.

Tugtar thíos an meáchan atá i ngach úll, ina ghraim.

101, 107, 98, 109, 115, 103, 96, 112, 104

(i) Ríomh an meánmheáchan atá in úll ón bhFrainc. (ii) Faigh an raon atá ag meáchain na n-úll ón bhFrainc.

Tá 9 n-úll ón Afraic Theas i mbosca eile. 107 g a meánmheáchan agus 19 g a raon. (iii) Déan dhá ráiteas faoi mheáchain na n-úll sa dá bhosca.

13. Mar chuid de chlár taighde leanúnach, meádh na laonna i gcoilíneacht bheag de róin ghlasa, go dtí an cileagram is gaire, agus iad ceithre bliana d’aois. Seo iad a gcuid meáchan:

42 40 45 47 50 48 39 47 42 50 49

(i) Oibrigh amach raon na meáchan. (ii) Faigh an raon idircheathairíle.

14. Seo achoimrí ar na sonraí a fuarthas nuair a tomhaiseadh meáchan dhá chineál piorra.

Cineál A Cineál BÍosluach 131 g Íosluach 139 g

Ceathairíl íochtarach 142 g Ceathairíl íochtarach 150 g

Airmheán 155 g Airmheán 160 g

Ceathairíl uachtarach 171 g Ceathairíl uachtarach 173 g

Uasluach 185 g Uasluach 182 g

(i) Cén céatadán de na piorraí de chineál A a bhfuil meáchan suas le 142 g iontu? (ii) Cén céatadán de na piorraí de chineál B a bhfuil meáchan suas le 173 g iontu? (iii) Bain leas as an airmheán agus as an raon chun meáchan an dá chineál a chur i

gcomparáid lena chéile.

Cuir triail ort féin 7 1. (a) Is é 8 an meán atá ag na huimhreacha 3, 7, 8, 10, x. Faigh x.

(b) Faigh (i) an meán agus (ii) an t-airmheán don tacar sonraí seo a leanas:

3, 5, 4, 7, 29, 9, 2, 4, 10, 8

Cé acu den dá mheán staitistiúla sin is fearr a d’oirfeadh chun na sonraí a léiriú? Tabhair cúis le do fhreagra.

(c) Faigh (i) an t-airmheán (ii) an cheathairíl uachtarach (iii) an cheathairíl íochtarach do na huimhreacha seo:

12 6 4 9 8 4 9 8 5 9 10

2. (a) Is é 1.63 m meánairde seisear cailíní. Is é 1.61 m meánairde cúigear de na cailíní. Faigh airde an séú cailín.

(b) Rinne grúpa buachaillí agus cailíní tástáil Tíreolaíochta. Seo iad na marcanna a fuair na buachaillí:

13, 14, 14, 15, 14, 14, 15, 17, 16, 14, 16, 12

(i) Faigh raon mharcanna na mbuachaillí. (ii) Ríomh meánmharc na mbuachaillí.

Ba é 13.2 an meánmharc do na cailíní sa rang agus ba é 7 raon mharcanna na gcailíní. (iii) Déan dhá ráiteas faoi na difríochtaí idir marcanna na mbuachaillí agus marcanna

na gcailíní sa tástáil Tíreolaíochta.

3. (a) Faigh trí uimhir arb é 15 an t-airmheán acu, 13 an meán agus 12 an raon. (b) Seo a leanas líon na gcúl a scóráil gach duine den 11 duine ar fhoireann haca in 2009:

6 0 8 12 2 1 2 9 1 0 11

(i) Faigh an t-airmheán. (ii) Faigh an cheathairíl uachtarach agus an cheathairíl íochtarach. (iii) Faigh an raon idircheathairíle.

4. (a) Faigh meán an tacair uimhreacha thíos, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. Faigh an mód / na móid freisin.

34, 28, 38, 19, 19, 21, 28, 19, 37, 36, 19.

Cén fáth nach bhfuil an mód oiriúnach mar mheán staitistiúil sa chás seo?

(b) 15.7 an meán atá ag sampla de 10 dtomhas agus 14.3 an meán atá ag sampla den 20 tomhas eile. Faigh meán an tríocha tomhas. Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(c) I gcomórtas tumadóireachta, thug an cúigear breithiúna na scóir seo: 8, 7.5, 8.5, 9 agus 8. (i) Scrios an scór is airde agus an scór is ísle agus faigh meán na dtrí scór atá

fágtha. Iolraigh sin faoin gCéim Deacrachta, i.e. 2.8, chun an scór don tumadh a fháil.

136

(ii) Bain úsáid as an bpróiseas thuas arís chun an scór a fháil do thumadh arb é 3 an Chéim Deacrachta a ghabhann leis más iad seo scóir na mbreithiúna: 6, 6.5, 6.5, 7, 7.5. Bíodh gach freagra ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

5. (a) Liostaítear thíos tuarastail sheachtainiúla na bhfostaithe i mbialann mhearbhia.

e300, e250, e240, e220, e200, e1050.

Faigh (i) an meánphá (ii) an pá airmheánach Cén fáth nach féidir leat an mód a fháil? Cé acu de na meáin staitistiúla – an meán nó an t-airmheán – is fearr a léiríonn an pá ‘tipiciúil’?

(b) Is é 40 an raon atá ag ocht n-uimhir agus tá seacht gcinn de na huimhreacha sin le feiceáil ar dheis. Faigh dhá luach a d’fhéadfadh a bheith ar an uimhir atá ar iarraidh.

(c) Taispeánann an tábla minicíochta líon na stampaí poist a cheannaigh 20 duine le mí anuas.

Líon stampaí 0–4 5–9 10–14 15–19

Minicíocht 2 4 6 8

Bain leas as na lárluachanna eatraimh go bhfaighidh tú meastachán ar an meánlíon stampaí a ceannaíodh.

6. (a) I gcaitheamh na tréimhse measúnaithe ar fad, 35 as 40 an meánmharc a fuair Sinéad ina cuid tástálacha matamaitice. Ach nuair a bhí sí ag féachaint siar ar a cuid comhad, ní raibh in ann ach 7 gcinn de na 8 dtástáil a aimsiú. Scóráil sí 29, 36, 32, 38, 35, 34 agus 39 sna tástálacha sin. Déan amach cé mhéad marc as 40 a scóráil sí san ochtú tástáil.

(b) Thaistil deichniúr fear le féachaint ar chluiche rugbaí. Ba é 25 meán-aois na bhfear sin agus ba é 6 a raon aoise. Scríobh síos gach ráiteas thíos agus ansin scríobh in aice leis cé acu seo atá i gceist:

(i) Tá sé fíor (ii) D’fhéadfadh sé a bheith fíor

(iii) Tá sé bréagach.

(a) An fear ab óige, bhí sé 18 mbliana d’aois. (b) Bhí gach fear 20 bliain d’aois ar a laghad. (c) An duine ba shine, bhí sé 4 bliana

níos sine ná an duine ab óige. (d) Bhí gach fear idir 20 agus 26

bliain d’aois.

27 5 33 42

11 13 19

137

138

Mír 8.1 Cothromóidí cearnacha a réiteach le fachtóirí I gcás cothromóidí ar nós x2 2 4x 1 3 5 0 or 2x2 2 x 2 3 5 0 bíonn téarma in x2 iontu.Cothromóidí cearnacha a thugtar orthu seo.

Cuir i gcás an chothromóid x2 2 5x 1 6 5 0.

Nuair atá x 5 2, athraíonn x2 2 5x 1 6 go (2)2 2 5(2) 1 6, i.e., 4 2 10 1 6 5 0Nuair atá x 5 3, athraíonn x2 2 5x 1 6 go (3)2 2 5(3) 1 6, i.e., 9 2 15 1 6 5 0

Nuair atá x 5 2 nó x 5 3, tá an dá thaobh den chothromóid cothrom le nialas.Nuair a tharlaíonn sé seo, deirimid gurb iad x = 2 agus x - 3 réitigh nó fréamhacha na cothromóide

Iolrú faoi nialas Nuair a iolraítear uimhir ar bith faoi nialas is é nialas an freagra.Mar shampla, 4 3 0 5 0 nó 0 3 6 5 0.Léiríonn sé seo tréith thar a bheith tábhachtach atá ag réaduimhreacha, tréith a thugtar ar dheis.

Dá bhrí sin má tá (x 2 3)(x 1 5) 5 0, táx 2 3 5 0 nó x 1 5 5 0

i.e. x 5 3 nó x 5 25.

Céimeanna chun cothromóidí cearnacha a réiteach > Más gá, atheagraigh an chothromóid le go mbeidh taobh amháin cothrom le nialas.

> Fachtóirigh go hiomlán an taobh eile.

> Bíodh gach fachtóir cothrom le nialas.

> Réitigh na cothromóidí simplí atá agat ansin.

Is ionann fréamhacha na cothromóide agus na luachanna ar x a shásaíonn an chothromóid.

Más é nialas toradh dhá uimhir, caithfidh uimhir amháin ar a laghad a bheith cothrom le nialas.m.sh. má tá ab 5 0, tá a 5 0 nó b 5 0.

Focail thábhachtacharéitigh fréamhacha an chothromóid a shásamh parabóil foirmle na cothromóide cearnaí abairt mhatamaiticiúil cothromóidí a dhéanamh

caibi

dil

8 Cothromóidí Cearnacha

139

Sampla 1

Réitigh an chothromóid x2 2 5x 2 14 5 0.

x2 2 5x 2 14 5 0

(x 2 7)(x 1 2) 5 0 … fachtóirigh taobh na láimhe clé

x 2 7 5 0 or x 1 2 5 0 … bíodh gach fachtóir 5 0

x 5 7 nó x 5 22

x 5 7 nó x 5 22

Sampla 2

Réitigh na cothromóidí seo:

(i) 2x2 2 9x 5 0 (ii) 4x2 2 25 5 0

(i) 2x2 2 9x 5 0[Níl aon uimhirthéarma (i.e. tairiseach) sa chothromóid seo. Déanfaimid í a fhachtóiriú ach an fachtóir is airde atá i bpáirt ag an dá théarma a thabhairt taobh amuigh de na lúibíní.]

2x2 2 9x 5 0 ⇒ x(2x 2 9) 5 0x 5 0 nó 2x 2 9 5 0x 5 0 nó 2x 5 9

x 5 0 nó x 5 4 1 _ 2

(ii) 4x2 2 25 5 0(2x 2 5)(2x 1 5) 5 0 … an difríocht idir dhá chearnóg

2x 2 5 5 0 nó 2x 1 5 5 0 … tá an dá fhachtóir 5 0

2x 5 5 nó 2x 5 25x 5 5 _ 2 nó x 5 2 5 _ 2

x 5 2 1 _ 2 nó x 5 22 1 _ 2

140

PléParabóil a thugtar ar an gcuar ar dheis.Is é graf y 5 x2 1 x 2 2 é.

> Fachtóirigh x2 1 x 2 2 agus ansin réitigh an chothromóid x2 1 x 2 2 5 0.

> An féidir leat an graf a úsáid chun an chothromóid x2 1 x 2 2 5 0 a réiteach?

> Céard é an nasc idir an dá thacar freagraí?

> Anois mínigh an chiall atá le fréamhacha cothromóid chearnach.

Cleachtadh 8.1Réitigh na cothromóidí cearnacha seo a leanas:

1. (x 2 2)(x 2 4) 5 0 2. (x 2 4)(x 1 2) 5 0 3. (x 2 6)(x 1 4) 5 0

4. (x 2 4)(2x 2 3) 5 0 5. (x 1 3)(6x 2 9) 5 0 6. (2x 2 1)(x 1 4) 5 0

7. x(x 2 3) 5 0 8. x(x 1 5) 5 0 9. 2x(x 1 3) 5 0

10. x2 1 7x 1 10 5 0 11. x2 1 12x 1 35 5 0 12. x2 1 14x 1 48 5 0

13. x2 2 5x 1 6 5 0 14. x2 2 8x 1 15 5 0 15. x2 2 10x 1 21 5 0

16. x2 2 x 2 12 5 0 17. x2 2 3x 2 10 5 0 18. x2 1 3x 2 28 5 0

19. 2x2 2 5x 1 2 5 0 20. 2x2 2 3x 2 2 5 0 21. 2x2 2 x 2 6 5 0

22. 2x2 1 5x 1 2 5 0 23. 3x2 2 7x 1 2 5 0 24. 3x2 1 x 2 10 5 0

25. 3x2 1 10x 2 8 5 0 26. 3x2 2 13x 2 10 5 0 27. 3x2 1 19x 2 14 5 0

28. 4x2 2 12x 1 5 5 0 29. 5x2 2 13x 2 6 5 0 30. 5x2 2 13x 1 6 5 0

31. x2 2 6x 5 0 32. 2x2 2 5x 5 0 33. 3x2 2 4x 5 0

34. 4x2 2 x 5 0 35. 5x2 2 6x 5 0 36. 3x2 2 7x 5 0

37. x2 2 9 5 0 38. x2 2 25 5 0 39. 4x2 2 1 5 0

�2

�3

�1

1

2

3

4

5

6

�2�3 �1 2O

y � x2 � x � 2

x

y

1 3

40. 4x2 2 25 5 0 41. 9x2 2 16 5 0 42. 4x2 2 49 5 0

43. 2x(x 2 2) 5 3(x 1 10) 44. (x 2 2)(x 2 3) 5 20 45. (2x 2 5)(x 2 2) 5 15

46. Réitigh an chothromóid (x 2 8)(x 2 2) 5 2x(x 2 5).

47. Scríobh síos fréamhacha na cothromóide x2 1 2x 2 3 5 0 trí thagairt a dhéanamh don ghraf thall.

48. Scríobh síos na luachanna ar x nuair a thrasnaíonn graf na bhfeidhmeanna seo a leanas an x-ais. (Ní gá duit na graif a tharraingt.)

(i) y 5 (x 2 4)(x 1 5) (ii) y 5 (x 1 2)(x 1 4) (iii) y 5 (x 2 5)(x 2 6)

49. Taispeántar trí pharabóil anseo.

�2

�1

1

2

3

4

�4�6 �2�3�5 �1 4O

y � x2 � 6x � 8 y � x2 � 8x � 15

y � x2 � x � 2

x

y

2 631 5

Úsáid na graif thuas chun na cothromóidí seo a leanas a réiteach (tá dhá réiteach ar gach ceann díobh).

(i) x2 2 8x 1 15 5 0 (ii) x2 1 6x 1 8 5 0 (iii) x2 2 x 2 2 5 0

50. (i) Cé mhéad luach ar x a fhágann go bhfuil (x 1 2)2 5 0 ?

(ii) Taispeánann ceann de na sceitsí seo y 5 (x 1 2)2.Cén ceann?

Mínigh do fhreagra.

x�2

y

x�2

y

x�2 2

y

OOO

A B C

y � x2 � 2x � 3

�3 O x

y

1

141

142

Mír 8.2 Foirmle na cothromóide cearnaí a úsáid Sa mhír roimhe seo, d’úsáideamar fachtóirí chun cothromóidí cearnacha san fhoirm ax2 1 bx 1 c 5 0.

Mura féidir an slonn ax2 1 bx 1 c a fhachtóiriú, is féidir an chothromóid a réiteach ach foirmle speisialta ar a dtugtar foirmle na cothromóide cearnaí a úsáid.Tugtar an fhoirmle sin thíos:

Foirmle na cothromóide Is iad fréamhacha na cothromóide cearnaí ax2 1 bx 1 c 5 0

x 5 2b 6 √________

b2 2 4ac ______________ 2a

cearnaí

Sampla 1Úsáid foirmle na cothromóide cearnaí chun fréamhacha na cothromóide 5x2 1 7x 2 3 5 0 a fháil, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

Sa chothromóid 5x2 1 7x 2 3 5 0, a 5 5, b 5 7 agus c 5 23.

x 5 2b 6 √________

b2 2 4ac ______________ 2a

5 27 6 √

____________ 49 2 4(5)(23) ___________________

2(5)

5 27 6 √_______

49 1 60 ______________ 10

5 27 6 √____

109 __________ 10

5 27 6 10.44 __________ 10

5 217.44 _______ 10

nó 3.44 ____ 10

x 5 21.744 nó x 5 0.344

x 5 21.74 nó x 5 0.34

Nóta: Nuair atá foirmle na cothromóide cearnaí in úsáid chun cothromóid chearnach a réiteach, ná déan dearmad go gcaithfidh na téarmaí ar fad a bheith ar thaobh na láimhe clé agus gan ach nialas a bheith ar thaobh na láimhe deise, is é sin, go gcaithfidh an chothromóid a bheith san fhoirm,

ax2 1 bx 1 c 5 0.

Cleachtadh 8.2Réitigh na cothromóidí seo a leanas leis an bhfoirmle

x 5 2b 6 √________

b2 2 4ac ______________ 2a

Bíodh do chuid freagraí ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

1. x2 1 4x 1 2 5 0 2. x2 1 6x 1 4 5 0

3. x2 1 2x 2 5 5 0 4. x2 2 2x 2 7 5 0

143

5. 4x2 1 2x 2 1 5 0 6. 3x2 2 x 2 1 5 0

7. 3x2 2 6x 1 2 5 0 8. 3x2 1 7x 2 5 5 0

9. 5x2 2 4x 2 2 5 0 10. 3x2 1 8x 1 2 5 0

11. 6x2 2 9x 2 4 5 0 12. 3x2 1 7x 5 2

13. 4x2 1 3x 5 5 14. 2x2 5 7x 2 4

15. 3x2 1 5x 5 3

Mír 8.3 Fadhbanna as a n-eascraíonn cothromóidí cearnacha Nuair a athraítear fadhb a deirtear i bhfocail go habairt mhatamaiticiúil, go minic bíonn cothromóid chearnach mar thoradh air.

Chun an chothromóid a sheasann d’fhadhb a fháil,

> más cuí, tarraing léaráid agus cuir an t-eolas ar fad atá agat ar an léaráid

> úsáid x chun seasamh don rud nach bhfuil ar eolas agus a theastaíonn

> cuardaigh an t-eolas sa cheist chun cothromóid in x a dhéanamh

> réitigh an chothromóid chun an luach nó na luachanna ar x a fháil; amanna d’fhéadfadh go mbeadh ort diúltú do fhreagra diúltach.

Sampla 1

Tá fad dronuilleoige 6 cm níos faide ná a leithead.Má tá achar na dronuilleoige cothrom le 160 cm2, faigh a fad agus a leithead.

Bíodh leithead na dronuilleoige x cm ar fad.

Is é (x 1 6) cm a fad.

Achar 5 160 cm2

x(x 1 6) 5 160 … A 5 3 b

x2 1 6x 5 160x2 1 6x 2 160 5 0(x 2 10)(x 1 16) 5 0x 2 10 5 0 nó x 1 16 5 0x 5 10 nó x 5 216

Sa chás seo, diúltaímid don uimhir dhiúltach 216. x 5 10

Tá an fad (x 1 6) cm 5 16 cm agus an leithead 5 10 cm

x cm

(x � 6) cm

144

Sampla 2

(i) Tá suim dhá uimhir cothrom le 13. Más é x ceann de na huimhreacha, céard é an uimhir eile?

(ii) Más é 89 suim a gcearnóg, faigh na huimhreacha.

(i) Is é (13 2 x) an uimhir eile.

(ii) Is iad x agus (13 2 x) an dá uimhir..Suim a gcearnóg 5 89 ⇒ x2 1 (13 2 x)2 5 89x2 1 (13 2 x)2 5 89x2 1 169 2 26x 1 x2 5 892x2 2 26x 1 169 2 89 5 02x2 2 26x 1 80 5 0x2 2 13x 1 40 5 0 … roinn an dá thaobh ar 2

(x 2 8)(x 2 5) 5 0x 2 8 5 0 nó x 2 5 5 0 x 5 8 nó x 5 5

Is iad 8 agus 5 an dá uimhir.

Cleachtadh 8.3 1. Nuair a shuimítear uimhir, x, lena cearnóg, is é 72 an freagra.

Scríobh cothromóid in x agus réitigh í chun an dá uimhir a fháil. Deimhnigh go sásaíonn an dá uimhir an chothromóid.

2. Má dhealaítear uimhir dheimhneach óna cearnóg, is é 90 an toradh. Céard é an uimhir?

3. Is mó de 3 uimhir dheimhneach amháin ná uimhir eile. Má iolraítear an dá uimhir faoina chéile, is é 88 an freagra. Faigh an dá uimhir.

4. Má dhealaítear ceithre oiread uimhir dheimhneach óna cearnóg, is é 60 an freagra. Faigh an uimhir.

5. Is mó de thrí uimhir dheimhneach amháin ná uimhir dheimhneach eile. Nuair a shuimítear 12 le cearnóg na huimhreach is lú, tá an toradh cothrom le ceithre oiread na huimhreach is mó. Faigh an dá uimhir.

6. Nuair a dhéantar 5 a shuimiú le huimhir dheimhneach áirithe agus ansin an freagra a chearnú, is é 81 an freagra. Faigh an uimhir.

7. Is é 77 cm2 achar na dronuilleoige thall.

Faigh a fad agus a leithead. x cm

(x � 4) cm

145

8. Scríobh síos Teoirim Phíotagarás.Anois úsáid an teoirim seo chun luach x sa triantán dronuilleach thall a fháil.

9. Tá fad dronuilleoige 3 cm níos faide ná a leithead. Má tá achar 28 cm2 inti, faigh toisí na dronuilleoige.

10. Tá Ailéin x bliain d’aois. Tá aois a mháthar cothrom le cearnóg a aoise féin Má tá athair Ailéin dhá bhliain níos sine ná a mháthair, agus más é 80 bliain suim na dtrí aois, cén aois é Ailéin?

11. Tá suim chearnóga dhá shlánuimhir leantacha cothrom le 41. Slánuimhreacha leantacha iad 7 agus 8. (i) Má tá x ar cheann de na slánuimhreacha, taispeáin

go bhfuil x2 1 x 2 20 5 0. (ii) Réitigh x2 1 x 2 20 5 0 chun dhá phéire

slánuimhreacha leantacha a fháil.

12. Taispeántar sa léaráid seo faiche dhronuilleogach a bhfuil ceapacha bláthanna ar thrí thaobh di.Tá gach ceapach bláthanna 2 m ar leithead.Is é 14 m2 achar na faiche.Faigh fad na faiche.

13. Mas é 40 aonad cearnach achar an triantáin thall, faigh luach x.

14. Bíonn báicéir ag déanamh cácaí. Faigheann sé amach go dtugtar a bhrabús in aghaidh na huaire, eP, leis an ngaol P 5 20x 2 x2, nuair is é x an líon cácaí a dhéantar in aghaidh na huaire.Faigh an líon cácaí a bhácáiltear nuair a dhéanann an comhlacht

(i) e0 in aghaidh na huaire mar bhrabús (ii) e84 in aghaidh na huaire mar bhrabús.

15. Nuair a bhuailtear liathróid chruicéid díreach suas san aer, h 5 (30t 2 5t2) méadar a thugann airde (h) na liathróide os cionn na talún i gceann t soicind.Cé mhéad soicind a bheidh caite nuair a bheidh an liathróid

(i) 0 m os cionn na talún (ii) 40 m os cionn na talún?

6x � 1

x � 1

3x

2xfaiche2 m

2x

(x � 3)

146

16. (i) Dronuilleogach atá an lógó atá ag maisitheoir agus tá sé 10 cm faoi 6 cm. Tá trí dhronuilleog ann: ceann dearg, ceann buí agus ceann gorm.

10 cm

x cm

dearg

x cm

6 cm

gorm

buí

Tá an dronuilleog bhuí 10 cm faoi x cm.x cm ar fad atá an dronuilleog dhearg.Taispeáin go dtugtar achar, A, na dronuilleoige goirme leis an slonn

A 5 x2 2 16x 1 60. (ii) Tá achar na dronuilleoige goirme cothrom le 1 _ 5 d’achar iomlán an lógó.

Ríomh luach x.

17. Tá meáchan, W cileagram, sioráif gaolta lena aois, M mí, leis an bhfoirmle W 5 1 _ 4 (M2 2 4M 1 272)

Cén aois (ina míonna) a bheidh an sioráf nuair a mheánn sé 83 cileagram?

18. Tá bonn cearnógach ar an mbosca dúnta dronuilleogach thall. Tá sleasa x cm ar an mbonn sin.Tá an bosca 5 cm ar airde.Is é cm2 achar iomlán an dromchla ar an mbosca.Scríobh cothromóid in x a léireoidh an t-eolas seo agus úsáid í chun x a ríomh.

Mír 8.4 Cothromóid chearnach a dhéanamh má tá a fréamhacha agat

Breathnaigh ar an gcothromóid chearnach x2 1 x 2 6 5 0.Is iad fachtóirí thaobh na láimhe clé ná (x 1 3)(x 2 2).

⇒ (x 1 3)(x 2 2) 5 0 x 1 3 5 0 nó x 2 2 5 0 x 5 23 nó x 5 2i.e. is iad 23 agus 2 fréamhacha na cothromóide.

5 cm

x cmx cm

147

Anois is féidir linn malairt an mhodha sin a úsáid chun cothromóid chearnach a dhéanamh nuair atá na fréamhacha againn.

Sampla 1

Déan an chothromóid chearnach a bhfuil na fréamhacha 24 agus 5 léi.

Más iad 24 agus 5, na fréamhacha, is é

(x 1 4)(x 2 5) 5 0 an chothromóid chearnach leis na fréamhacha sin

⇒ is é x2 2 x 2 20 5 0 an chothromóid

Cleachtadh 8.4Déan an chothromóid chearnach, lena bhfuil an dá fhréamh a luaitear, dóibh seo a leanas:

1. 2, 4 2. 5, 1 3. 3, 2 4. 3, 21

5. 4, 22 6. 23, 24 7. 6, 22 8. 5, 0

9. 22, 1 _ 2 10. 25, 24 11. 2 1 _ 2 , 4 12. 1 _ 4 , 8

13. 0, 24 14. 1 _ 2 , 2 1 _ 2 15. 63 16. 0, 1 _ 4

17. Más iad 2 agus 21, fréamhacha na cothromóide x2 1 ax 1 b 5 0 faigh luach a agus luach b.

18. Seo graf d’fheidhm chearnach.

Úsáid x-luachanna na bpointí ag a dtrasnaíonn an graf an x-ais chun an fheidhm a léiríonn an graf seo a scríobh.

Tabhair do fhreagra san fhoirm y 5 …… .�4 O x

y

1

148

Cuir triail ort féin 8 1. (a) Réitigh an chothromóid x2 2 2x 2 35 5 0.

(b) Má tá x2 1 y2 1 z2 5 29, faigh an dá luach fhéideartha ar y nuair atá x 5 2 agus z 5 23.

(c)

(x � 4) cm

(x � 3) cm

Is é (x 1 4) cm fad dronuilleoige.Is é (x 2 3) cm a leithead.Is é 78 cm2 achar na dronuilleoige. Úsáid an t-eolas seo chun cothromóid in x a scríobh síos.Réitigh an chothromóid sin chun luach x a fháil.

2. (a) Réitigh an chothromóid 3x2 1 10x 5 8.

(b) Réitigh an chothromóid 2x2 2 7x 1 4 5 0, tabhair do chuid freagraí ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

(c) Tá fad dronuilleoige 4 cm níos faide ná a leithead.Má tá achar na dronuilleoige cothrom le 96 cm2, scríobh cothromóid agus réitigh í chun an fad agus an leithead a fháil.

3. (a) Más fréamh leis an gcothromóid x2 2 x 1 r 5 0 é x 5 2, find faigh luach r.

(b) Is iad 22 agus 3 fréamhacha cothromóid chearnach.Scríobh síos cothromóid in x lena bhfuil an dá fhréamh sin.

(c) Dronuillinn é gach coirnéal den chruth a thaispeántar sa léaráid thall.Is é 48 cm2 achar an chrutha.

2x cm

x cm

2x cm4 cm

(i) Déan cothromóid, i dtéarmaí x, d’achar an chrutha.Taispeáin gur féidir an chothromóid a shimpliú go x2 1 x 2 12 5 0.

(ii) Réitigh an chothromóid x2 1 x 2 12 5 0 agus uaidh sin ríomh imlíne an chrutha.

149

4. (a) Réitigh na cothromóidí (i) 2x2 2 7x 5 0 (ii) x2 2 36 5 0

(b) Cé acu den dá ghraf ar dheis a thugann na réitigh ar an gcothromóid x2 1 2x 2 3 5 0 ?Mínigh do fhreagra.

(c) Taispeántar sa léaráid ar dheis brat urláir atá 10 m faoi 8 m agus a chuirtear i lár seomra óstáin. Tá ciumhais chothrom atá x méadar ar leithead an bealach ar fad timpeall ar an mbrat urláir.

(i) Sloinn achar an tseomra i dtéarmaí x. (ii) Mas é 168 m2, achar an tseomra, faigh luach x.

5. (a) Réitigh an chothromóid x(x 1 4) 2 (x 2 2) 5 20.

(b) Dealaítear cearnóg uimhreach ón mbunuimhir agus is é 2110 an toradh.Faigh an uimhir.

(c) Buailtear liathróid díreach suas san aer agus tugtar a hairde, H méadar os cionn na talún, mar H 5 20t 2 5t2 nuair is é t an t-am ina shoicindí.Cé mhéad soicind a thógfaidh sé go mbeidh an liathróid 20 méadar os cionn na talún?

6. (a) Réitigh an chothromóid 12x2 2 4x 2 5 5 0.

(b) Déan an chothromóid chearnach lena bhfuil na fréamhacha 2 agus 25.

(c) Roinntear dronuilleog a bhfuil achar 72 cm2 inti ina ceithre dhronuilleog bheaga. Taispeántar sa léaráid faid na sleasa. Scríobh cothromóid in x chun an t-eolas seo a léiriú agus ansin réitigh an chothromóid.

(d) Faigheann déantóir camán amach go dtugtar a bhrabús, eP in aghaidh an lae, leis an bhfoirmle P 5 100x 2 4x2, nuair is é x an líon camán a dhéantar.Cé mhéad camán a chaithfidh sé a dhéanamh chun brabús e400 in aghaidh an lae a dhéanamh?

�2�3 �1 2O

A

x

y

1 3

B

10 mx m

x m

8 m

4 cm

2 cm

2x cmx cm

150

Mír 9.1 Súil siar ar línte agus ar uillinneacha Meabhróidh na léaráidí thíos duit roinnt de na fíricí agus de na téarmaí a d’úsáid tú go dtí seo i do chuid staidéir ar an gcéimseata.

1. Línte

A B

Gabhann an líne AB trí na pointí A agus B.

A B

Tosaíonn an mhírlíne [AB] ag A agus críochnaíonn sí ag B.

A B

An gathán [AB a thugtar ar an líne a thosaíonn ag A agus a leanann ar aghaidh trí B.

A B C

Deirtear go bhfuil pointí atá ar an líne chéanna comhlíneach.

Pl m

Trasnaíonn na línte l agus m a chéile ag an bpointe P.

p

q

Deirtear gur línte comhthreomhara iad línte nach gcasann ar a chéile riamh.

2. Uillinneacha

Is mar seo a scríobhtar an uillinn thuas: AOB.

Dronuillinn a thugtar ar an uillinn thuas.Dronuillinn 5 90°.

Déanann leathrothlú uillinn dhíreach.Uillinn dhíreach 5 180°.

A

O B90° 180°

caibi

dil

9An Chéimseata 1 – Triantáin agus

Ceathairshleasáin

Focail thábhachtachalíne mírlíne trasnaigh comhlíneach ingearachuillinn dhíreach géar maol athfhillteach rinnuillinneacha urchomhaireachacomhfhreagrach ailtéarnach inmheánach seachtrach comhchosach comhshleasach ceathairshleasán rombas trasnán iomchuí coinbhéarta

151

Géaruillinn a thugtar ar uillinn atá níos lú ná 90°.

Maoluillinn a thugtar ar uillinn atá idir 90° agus 180°.

Uillinn athfhillteach a thugtar ar uillinn atá idir 180° agus 360°.

Gnáthuillinn a thugtar de ghnáth ar an uillinn scáthaithe atá níos lú ná 180°.

Ar cóimhéid a bhíonn rinnuillinneacha urchomhaireacha.

360° suim na n-uillinneacha go léir a thagann le chéile ag pointe.

A

O Bb a

d

cA

B CD

E

3. Uillinneacha agus línte comhthreomhara

Bíonn na hairíonna seo a leanas ag uillinneacha a dhéantar nuair a thrasnaíonn líne dhíreach péire línte comhthreomhara:

Ar cóimhéid a bhíonn uillinneacha comhfhreagracha. Mar sin, a 5 b. Is féidir teacht orthu ach cruth F a lorg.

Ar cóimhéid a bhíonn uillinneacha ailtéarnacha. Mar sin, a 5 b. Is féidir teacht orthu ach cruth Z a lorg.

180° suim na n-uillinneacha inmheánacha x agus y.Mar sin, x 1 y 5 180°.

a

b

a

b

x

y

Cleachtadh 9.1 1. Déan cur síos i bhfocail ar na léaráidí seo a leanas:

(i) (ii) (iii)

2. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na léaráidí seo a leanas.

63°

150°70° 70°

80°140°

67° 28°45°

84° 145°

108°

A

DE

B C

F

63°

150°70° 70°

80°140°

67° 28°45°

84° 145°

108°

A

DE

B C

F

A B A B A B

152

3. Aimsigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu i ngach ceann de na léaráidí seo:

70°

118°

52°

33°

30°150°

B

GH J

LP

RQ

K

I

CE

FD

A140°

4. I ngach ceann de na léaráidí seo, scríobh síos uimhir na huillinne a fhreagraíonn don uillinn scáthaithe:

(i) (ii) (iii)

5. Scríobh síos méid na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu i ngach ceann de na léaráidí seo a leanas, áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara.

46°

110°d

c

b120°

ef

a

6. I ngach ceann díobh seo a leanas, aimsigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu. Léiríonn saigheada línte comhthreomhara.

48°

160°

48°a b

f

e

x

zy

g

c

d

48°

160°

48°a b

f

e

x

zy

g

c

d

48°

160°

48°a b

f

e

x

zy

g

c

d

12

5 46 7

31 2

34 4 5

673

12

7 65

153

7. Faigh méideanna na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu sa léaráid ar dheis, áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara.

8. Aimsigh méideanna na n-uillinneacha a bhfuil a, b, c, d, e, f agus g orthu sa léaráid ar dheis, áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara.

9. Aimsigh luach n i ngach ceann de na fíoracha thíos: (i) (ii) (iii)

4n � 60°

120° 68°

3n � 25°

3n � 38°

5n � 10°

Léiríonn saigheada línte comhthreomhara.

Mír 9.2 Uillinneacha triantáin Meabhróidh na léaráidí thíos duit roinnt de na fíricí tábhachtacha faoi uillinneacha triantáin.

B C

AB

A C

180° suim na n-uillinneacha i dtriantán.|∠A| 1 |∠B| 1 |∠C| 5 180°

Ar cóimheid a bhíonn uillinn sheachtrach triantáin le suim na n-uillinneacha inmheánacha urchomhaireacha.

|∠C| 5 |∠A| 1 |∠B|

80°

75°

p

r

sq

40°112° b

a ce

d

gf 96°

154

60º 60º

60º

Triantán comhshleasachNa 3 shlios ar comhfhadNa 3 uillinn ar cóimhéid Is ionann gach uillinn agus 60°.

Triantán comhchosach2 shlios ar comhfhad An dá bhonnuillinn ar cóimhéid.

c

ab

Triantán dronuilleach Uillinn 90°.

a2 5 b2 1 c2

Deirtear sa bhosca thuas, maidir le triantán comhchosach, gur ar cóimhéid a bhíonn na huillinneacha os comhair na sleasa atá ar comhfhad.

Mar choinbhéarta, is féidir é seo a thaispeáint: má bhíonn dhá uillinn i dtriantán ar cóimhéid, is triantán comhchosach é.

Sampla 1

San fhíor ar dheis, tá MN comhthreomhar le PO.Má tá |NPO| 5 29°, faigh (i) |MNP| (ii) |PMN|.

(i) |MNP| 5 29°… uillinneacha ailtéarnacha mar PO||MN

(ii) |MPN| 5 29°… triantán comhchosach mar |PM| 5 |MN|

|PMN| 5 180° 2 29° 2 29°|PMN| 5 122°

Cleachtadh 9.2 1. I gcás gach ceann de na triantáin seo a leanas, faigh méid na huillinne a bhfuil litir

uirthi:

72°

58°

a 42°128°

b

71°140°

c

70°

130° d ef

g h

43°

52°

ij k37°

64°

M

29°

N

OP

155

72°

58°

a 42°128°

b

71°140°

c

70°

130° d ef

g h

43°

52°

ij k37°

64°

2. Aimsigh méid na n-uillinneacha atá ar iarraidh i ngach ceann de na triantáin chomhchosacha seo:

a b

40°

d

c

38°

f

e

62°

3. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi san fíoracha seo a leanas:

50°70°

a

b 105°

c

60° e

d50°

70°

a

b 105°

c

60° e

d50°

70°

a

b 105°

c

60° e

d

4. Ríomh méid gach uillinne a bhfuil litir uirthi:

74°

25°

31°p

r ef y x v

w

d

q

74°

25°

31°p

r ef y x v

w

d

q

74°

25°

31°p

r ef y x v

w

d

q

5. San fhíor ar dheis, is línte díreacha iad BD, AE agus BE.|BC| 5 |CE|,|ACD| 5 130° agus |BAC| 5 72°.

Ríomh méid na n-uillinneacha a bhfuil a, b agus c orthu.

72°

B

A

C

E

D130°a

c

b

156

6. Faigh luach a, b, c agus d sna triantáin seo a leanas:

124°

a

55°

b

c

35°

43°

30°d

124°

a

55°

b

c

35°

43°

30°d

124°

a

55°

b

c

35°

43°

30°d

7. San fhíor ar dheis, tá AC comhthreomhar le BE. Má tá |∠BCA| 5 80° agus |∠CAB| 5 55°, faigh (i) x (ii) y.Tabhair cúis le do fhreagra i ngach cás.

8. Faigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu sna léaráidí seo:

82°

48°

xa

b

y

82°

48°

xa

b

y

9. PléTharraing Aoife an léaráid seo. Gearrann líne atá comhthreomhar le CA an uillinn d ina dhá huillinn, x agus y.Conas a úsáidfidh Aoife an léaráid chun é seo a chruthú: a 1 b 5 d? Pléigh.

A

CB

b

a c d

x

y

10. San fhíor ar dheis, tá dhá dhronuillinn marcáilte. Faigh méid na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu. Tabhair cúiseanna le do fhreagraí.

55°

80°

AB

D

E

C

y° x°

35°

f d

e

157

11. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na léaráidí a leanas, áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara:

65°85°

ab

61°100°

c

43°

128°

d

12. San fhíor ar dheis, |∠AED| 5 |∠DCB|.

Mínigh an fáth a bhfuil |∠ADE| 5 |∠EBC|.

13. Mínigh an fáth ar triantán comhchosach é an triantán ar dheis.

Mír 9.3 Ceathairshleasáin Ceathairshleasán a thugtar ar fhíor a bhfuil ceithre shlios uirthi.Sa cheathairshleasán seo trasna, tá na sleasa ar fhaid éagsúla agus tá na huillinneacha ar mhéideanna éagsúla.

Ach bíonn airíonna speisialta ag ceathairshleasáin áirithe agus is fiú iad a fhoghlaim. Taispeántar roinnt de na ceathairshleasáin speisialta thíos

Cearnóg

> Ar comhfhad le chéile a bhíonn na ceithre shlios ar chearnóg> Comhthreomhar le chéile a bhíonn na sleasa urchomhaireacha> Is dronuillinn í gach ceann de na ceithre uillinn.

A

E

B

CD

B

C

A

49°

82°

158

Dronuilleog> Comhthreomhar le chéile agus ar comhfhad le chéile

a bhíonn na sleasa urchomhaireacha ar dhronuilleog.> Is dronuillinn í gach ceann de na ceithre uillinn.

Comhthreomharán> Comhthreomhar le chéile a bhíonn na sleasa

urchomhaireacha ar chomhthreomharán> Ar comhfhad le chéile a bhíonn na sleasa

urchomhaireacha> Ar cóimhéid le chéile a bhíonn na huillinneacha

urchomhaireacha.

Rombas> Ar comhfhad le chéile a bhíonn na ceithre shlios ar rombas> Comhthreomhar le chéile a bhíonn na sleasa urchomhaireacha> Ar cóimhéid le chéile a bhíonn na huillinneacha urchomhaireacha.

Uillinneacha ceathairshleasáin Tá an ceathairshleasán ar dheis roinnte ina dhá thriantán.I gcás an dá thriantán, 180° suim na n-uillinneacha ann.Mar sin, 360° suim na n-uillinneacha i gceathairshleasán.

Trasnáin Sna ceathairshleasáin speisialta thíos, déroinneann na trasnáin a chéile.

Ar comhfhad le chéile a bhíonn na trasnáin. Déroinneann siad a chéile ag dronuillinneacha.

Ar comhfhad le chéile a bhíonn na trasnáin. Déroinneann siad a chéile.

Déroinneann na trasnáin a chéile.

Déroinneann na trasnáin a chéile ag dronuillinneacha.

Cearnóg Dronuilleog Comhthreomharán RombasCearnóg Dronuilleog Comhthreomharán RombasCearnóg Dronuilleog Comhthreomharán RombasCearnóg Dronuilleog Comhthreomharán Rombas

Teoirim Déroinneann trasnáin comhthreomharáin a chéile.

360° suim na n-uillinneacha inmheánacha i gceathairshleasán.

159

Sampla 1

Sa chomhthreomharán ABCD ar dheis,|BAD| 5 115° agus |BDC| 5 28°.Faigh (i) |BCD| (ii) |ABD| (iii) |ADC| (iv) |DBC|

Cuir fáth le gach freagra.

(i) |BCD| 5 115°… bíonn uillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid

(ii) |ABD| 5 28°… uillinneacha ailtéarnacha

(iii) |ADC| 5 180° 2 115°… 180° suim na n-uillinneacha inmheánacha

5 65° (iv) |DBC| 5 180° 2 115° 2 28°… |BCD| 5 115° ó (i) thuas

5 37°

Cleachtadh 9.3 1. Faigh tomhas na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na comhthreomharáin seo.

78°

B A

60° 120°

ED

C

F

78°

B A

60° 120°

ED

C

F

78°

B A

60° 120°

ED

C

F

2. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na comhthreomharáin seo:

D C G

EF80°55°

75°50°

B

A

66°

42°

3. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na comhthreomharáin seo:

C DF

G

E

35°80°

60°

28° 40°

B A

42°38°

4. Ar aon fhad atá na sleasa go léir ar an gceathairshleasán ar dheis, mar atá marcáilte.

Ríomh luach x, y, z agus r.

(Rombas a thugtar ar an bhfíor seo.)70°

rz

x y

A B

28°

115°

D C

160

5. Is comhthreomharán é ABCD ina dtrasnaíonn na trasnáin a chéile ag an bpointe O.Scríobh síos fad (i) [OB] (ii) [AB] (iii) [AC] (iv) [BC]

6. Sa chomhthreomharán ABCD ar dheis, tarraingítear línte comhthreomhara, mar a léirítear.Faigh luach na n-uillinneacha x, y agus z.

7. Ar aon fhad atá na sleasa go léir ar an gcomhthreomharán ar dheis.Is línte díreacha iad AB agus CD.Faigh méid na n-uillinneacha g agus h.

8. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na fíoracha seo.

95°

110° 76° 76° 51°

104°

34°

105°a

b c

d95°

110° 76° 76° 51°

104°

34°

105°a

b c

d95°

110° 76° 76° 51°

104°

34°

105°a

b c

d

9. Faigh luach x i ngach ceann de na léaráidí thíos: (i)

124°

76°

x

x

(ii) 82°

x 2x

47°

(iii) 3x

80° 60°

x

10. Faigh luach y i ngach ceann de na léaráidí thíos: (i)

y

134°52°

88°

(ii)

y

98°

138°

104°

A B

D 11

87

5

O

C

55°

55°

x z

y

D C

A B

C D

B

A45°

gh

161

Mír 9.4 Triantáin iomchuí Is iomchuí dá chéile fíoracha más ar aon mhéid agus ar aon chruth amháin atá siad.Léiríonn na léaráidí thíos roinnt cruthanna iomchuí, cé gur iompaíodh nó gur casadh bunoscionn roinnt de na fíoracha seo.

Tá an dá thriantán thíos iomchuí dá chéile mar gurb ionann na huillinneacha go léir ar an dá cheann agus na sleasa go léir ar an dá cheann.

A

B C

D

E F

Is amhlaidh atá an dá thriantán seo thíos iomchuí dá chéile ach níl sé chomh soiléir céanna sa chás seo.

Caithfidh ceann amháin ar a laghad de na cúinsí seo a leanas a bheith ann sular féidir a rá gur iomchuí dá chéile atá an dá thriantán:

1. Is iomchuí dá chéile dhá thriantán má bhíonn na trí shlios ar thriantán amháin díobh ar comhfhad leis na trí shlios ar an triantán eile (SSS).

Is iomchuí dá chéile an dá phéire triantán sa léaráid thíos.

Cás 1SSS.

162

2. Is iomchuí dá chéile dhá thriantán má bhíonn dhá shlios ar cheann amháin díobh agus an uillinn eatarthu cothrom le dhá shlios ar an gceann eile agus an uillinn eatarthu sin (SUS).Cuimhnigh go gcaithfidh na huillinneacha atá ar cóimhéid a bheith idir na sleasa atá ar comhfhad.Is iomchuí dá chéile an dá phéire triantán sa léaráid thíos.

3. Is iomchuí dá chéile dhá thriantán má bhíonn dhá uillinn i gceann amháin díobh agus an slios eatarthu cothrom le dhá uillinn sa cheann eile agus an slios eatarthu sin (USU).

Is iomchuí dá chéile an dá phéire triantán sa léaráid thíos.

4. Is iomchuí dá chéile dhá thriantán má bhíonn dronuillinn sa dá cheann acu agus má bhíonn an taobhagán agus slios amháin eile ar an dá thriantán cothrom le chéile.

Is é rud a thugtar air sin ‘an cúinse dronuillinn-taobhagán-slios (DTS)’. Is iomchuí dá chéile an dá phéire triantán sa léaráid thíos.

Sleasa agus uillinneacha comhfhreagracha Tá an dá thriantán thíos iomchuí dá chéile (USU).

7 cm60°

25°

A

B C

7 cm60°

25°

D

E F

Freagraíonn an slios [DE] don slios [AB] toisc gur os comhair na huillinne 25° atá an dá cheann.Ar an gcaoi chéanna, freagraíonn [EF] do [BC] toisc gur os comhair na huillinne 60° atá an dá cheann.Freagraíonn an uillinn ABC don uillinn DEF toisc gur os comhair an tsleasa atá 7 cm ar fad atá an dá cheann.

Cás 4DTS.

Cás 3USU.

Cás 2SUS.

163

Ó tá na triantáin iomchuí dá chéile, tugann sin le fios freisin go bhfuil [BC] agus [EF] ar comhfhad.

Sa mhatamaitic, is é seo an chiall atá le ‘tugann le fios’: nuair a dhéantar ráiteas amháin, leanann ráiteas eile go loighciúil ón gcéad ráiteas.

Nóta: Má bhíonn na triantáin ABC agus DEF iomchuí dá chéile, is féidir é a scríobh mar seo: ABC DEF.

Sampla 1

Mínigh an fáth a bhfuil an dá thriantán seo iomchuí dá chéile.

B

RC

P

Q

35°

35°

A

Tá na triantáin iomchuí dá chéile mar go bhfuil dhá shlios ar thriantán amháin díobh agus an uillinn eatarthu cothrom le dhá shlios ar an triantán eile agus an uillinn eatarthu sin.

Is féidir roinnt mhaith teoirimí céimseatan agus fadhbanna céimseatan eile a réiteach ach a thaispeáint go bhfuil dhá thriantán iomchuí dá chéile.

Léiríonn an sampla oibrithe thíos conas triantáin iomchuí a úsáid chun airí an-tábhachtach maidir le triantáin chomhshleasacha a chruthú.

Sampla 2

Tugtar dúinn an triantán|AC| 5 |AB| agus déroinneann [AD]CAB.

Cruthaigh go bhfuil |ACD| 5 |ABD|.

Maidir leis na triantáin ACD agus ABD, |AC| 5 |AB| … tugtha

|AD| 5 |AD| … slios i bpáirt acu

|CAD| 5 |BAD| … mar go ndéroinneann [AD]CAB

ACD ABC … SUS

|ACD| 5 |ABD| … uillinneacha comhfhreagracha, iad araon os comhair [AD].

A

D BC

164

Cleachtadh 9.4 1. Mínigh an fáth a bhfuil an dá thriantán thíos iomchuí dá chéile.

C

B40°

A 3 cm

5 cm

D

E40°

F 3 cm

5 cm

2. Luaigh an fáth a bhfuil na péirí triantán a leanas iomchuí dá chéile. Bain úsáid as SSS, SUS, USU nó DTS mar chúiseanna le do chuid freagraí:

(i)

7 cm7 cm

5 cm5 cm

4 cm

4 cm

(ii)

100°

100°

5 cm5 cm

3 cm

3 cm

(iii) (iv)

(v) (vi)

3. Cé acu péire de na triantáin seo atá iomchuí dá chéile? Tabhair fáth le do fhreagra.

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm4 cm4 cm

4 cm

A BC D

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

5 cm

6 cm6 cm

36°

36°

5 cm

5 cm

35°

35°

70°

70°

9 cm 9 cm

165

4. Abair an bhfuil na péirí triantán a leanas iomchuí dá chéile. Cuir fáth le do chuid freagraí.

(i)

35 mm 35 mm

C

A B68°

68°

52°

60°

P

Q R

(ii)

80°80°

32° 32°

P

Q 7 cm R

M

O

7 cm

N

5. An bhfuil na triantáin ABD agus BCD ar dheis iomchuí dá chéile? Cuir fáth le do fhreagra

6. Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin AOB agus COD iomchuí dá chéile.

7. Mínigh an fáth a bhfuil an dá thriantán thíos iomchuí dá chéile.

(i) Cé acu slios a fhreagraíonn do [BC]?

(ii) Cé acu slios a fhreagraíonndo [DE]?

(iii) Faigh |DEF|.

8. Is iomchuí dá chéile na triantáin seo.

Scríobh síos luach x agus luach y.

8

8

A

D C

B

6 6

D

O

A

CB

5 cm5 cm

80°

80°65°

65°

CB

AF E

D

5 cm

10 cm

9.5 cm

30°70°

30°

y

x

166

9. Is comhthreomharán é ABCD.

Taispeáin go bhfuil na triantáin ABC agus ACD iomchuí dá chéile.

Uaidh sin, mínigh an fáth a bhfuil na huillinneacha ABC agus ADC ar cóimhéid.

10. Tá na línte díreacha [AB] agus [CD] ar cóimhéid agus iad comhthreomhar.

Cruthaigh go bhfuil na triantáin AEB agus DEC iomchuí dá chéile.

11. Is triantán comhchosach é PQR |PQ| 5 |PR|.

Is é M lárphointe [PQ].

Is é N lárphointe [PR].

Cruthaigh go bhfuil an triantán PQN iomchuí don triantán PRM.

12. Is ceathairshleasán é ABCD |AD| 5 |AB|.

Uillinn ADC 5 uillinn ABC 5 90°.

Cruthaigh go bhfuil na triantáin ADC agus ABC iomchuí dá chéile.

13. Is triantán comhchosach é ABC |AB| 5 |AC|.

Cruthaigh go bhfuil na triantáin ACD agus ABE iomchuí dá chéile.

A B

D C

B D

A C

E

P

Q

M N

R

A

C

D B

A

D

B C

E

167

14. Is comhthreomharán é ABCD. Is é M lárphointe [CD].

(i) Cruthaigh go bhfuil na triantáin ADM agus PCM iomchuí dá chéile.

(ii) Uaidh sin, taispeáin go bhfuil |AM| 5 |MP|.

Mír 9.5 Teoirim Phíotagarás Taispeánann an léaráid ar dheis triantán dronuilleach a bhfuil sleasa 3, 4 agus 5 cm air.

Tarraingítear cearnóg ar gach ceann de na trí shlios.

Má chomhaireann tú líon na cm2 i ngach ceann de na cearnóga seo, tabharfaidh tú faoi deara gurb é 25 cm2 achar na cearnóige ar an taobhagán agus gurb é 16 cm2 agus 19 cm2 achar an dá chearnóg eile, faoi seach.

Léiríonn an léaráid seo gurb ionann achar na cearnóige ar an taobhagán agus suim na n-achar sna cearnóga ar an dá shlios eile.

Teoirim Phíotagarás a thugtar ar an teoirim thábhachtach seo.

B’fhealsúnaí agus matamaiticeoir Gréagach é Píotagarás, a fuair bás thart ar 500 R.C.

Teoirim PhíotagarásAr thriantán dronuilleach, is ionann achar na cearnóige ar an taobhagán agus suim na n-achar sna cearnóga ar an dá shlios eile.

Is féidir an t-ailgéabar a úsáid chun Teoirim Phíotagarás a scríobh go beacht, mar a léirítear thall.

Tá an coinbhéarta ar Theoirim Phíotagarás fíor freisin agus seo thíos é.

An coinbhéarta ar Theoirim PhíotagarásMás ionann achar na cearnóige ar cheann amháin de na sleasa ar thriantán agus suim na n-achar sna cearnóga ar an dá shlios eile, is dronuillinn í an uillinn os comhair an chéad sleasa.

A B

CD M

P

4

3 5

a

a2 � b2 � c2

b

c

168

Is triantán dronuilleach é an triantán ar dheis mar

102 5 82 1 62

i.e. 100 5 100.

Sampla 1

Faigh faid na sleasa a bhfuil x orthu ar na triantáin dhronuilleacha seo a leanas.

(i)

3

2

x

(ii)

12

15x

De réir Theoirim Phíotagarás:

(i) x2 5 32 1 22 (ii) 152 5 122 1 x2

x2 5 9 1 4 225 5 144 1 x2

x2 5 13 225 2 144 5 144 1 x2 2 144 x 5 √

___ 13 x2 5 81

x 5 3.6 x 5 √___

81 x 5 9

Sampla 2

Ríomh na faid a bhfuil x agus y orthu.

Ar dtús x2 5 32 1 42

x2 5 9 1 16 5 25 x 5 √

___ 25

x 5 5 cm

4 cm

3 cm

13 cm

x

y

Ansin y2 1 x2 5 132

y2 1 52 5 132

y2 1 25 5 169 y2 5 169 2 25 5 144 y 5 √

____ 144

y 5 12 cm

10 cm6 cm

8 cm

169

Cleachtadh 9.5 1. Ríomh fad an taobhagáin ar gach ceann de na triantáin seo:

(i)

3

4

(ii) (iii)

8

15

2. I gcás gach ceann de na triantáin dhronuilleacha seo, faigh fad an tsleasa a bhfuil litir air.

a

24

25 9

b

15 c

20

29a

24

25 9

b

15 c

20

29a

24

25 9

b

15 c

20

29

3. Ag cuimhneamh duit go bhfuil ( √__

2 )2 5 2, faigh luach x i gcás gach ceann de na triantáin seo: (i)

x

5

2

(ii)

x

611

(iii)

4. Úsáid Teoirim Phíotagarás chun achar na cearnóige a bhfuil litir uirthi a fháil i ngach ceann de na fíoracha seo:

28 cm2 23 cm2

16 cm2

P

23 cm2

20 cm2

Q

R

70 cm2

28 cm2 23 cm2

16 cm2

P

23 cm2

20 cm2

Q

R

70 cm2

28 cm2 23 cm2

16 cm2

P

23 cm2

20 cm2

Q

R

70 cm2

5. I gcás gach ceann de na triantáin dhronuilleacha seo, faigh fad an tsleasa a bhfuil x air:

(i)

3

73

x

(ii) (iii)

8

4 2

x

8 6

x

5 39

5

3

x

170

6. Faigh |AB| ar an triantán dronuilleach seo.

Anois faigh achar an triantáin ABC.

7. I gcás gach ceann de na fíoracha seo, faigh luach x agus luach y.Nuair is gá, tabhair do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

(i)

12 cm

x

y

5 cm

15 cm

(ii) y

x

8 cm10 cm

9 cm

(iii)

8. Faigh luach x agus luach y sa léaráid ar dheis.

9. Taobh-amharc ar rampa carr atá sa léaráid.Tá an rampa 110 cm ar fad agus 25 cm ar airde.Tá barr an rampa 40 cm ar fad.Ríomh fad an chuid chlaonta den rampa, ceart go dtí an cm is gaire.

10. San fhíor ar dheis, |∠ACB| 5 |∠CDB| 5 90°.

Faigh faid na sleasa ar a bhfuil x agus y.

11. Seasann ABCD do bhalla amháin ar sheid i ngairdín.|AB| 5 2.30 m, |AD| 5 2.25 m agus |BC| 5 3.15 m.Ríomh (i) fad [CD] (ii) imlíne ABCD (iii) achar ABCD.Tabhair gach freagra ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

7.5

4.5

A

B C

xy41 cm

40 cm 50 cm

13

2

x

y

29

40 cm

110 cm

25 cm

D

A B

C

12

6

y x44

C

B

2.25 m

2.30 m

3.15 m

A

D

171

12. Tá cás 80 cm ar fad agus 60 cm ar leithead.Tá scáth báistí Shíle 1.05 m ar fad.An luífidh sé i mbun a cáis? Mínigh.

13. Úsáid teoirim Phíotagarás le fáil amach cé acu atá dronuillinn sna triantáin seo nó nach bhfuil.

(i)

15 cm

7 cm11 cm

(ii)

15 cm

9 cm12 cm

14. Cuirtear dhá thriantán dhronuilleacha le chéile chun triantán ACD, atá níos mó, a dhéanamh. (i) Taispeáin gurb é 78 cm imlíne an triantáin ACD. (ii) Taispeáin freisin gur triantán

dronuilleach é an triantán ACD. Mínigh an fáth.

15. Is ciúbóideach é an t-umar gloine seo. Tá fad 12 cm, leithead 5 cm agus airde 8 cm ann.

(i) Oibrigh amach fad an trasnáin [HF]. (ii) Uaidh sin, oibrigh amach fad an trasnáin [BH],

ina cm, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

16. Tarraingítear leathchiorcail ar shleasa an triantáin dhronuilligh ar dheis. Faigh amach an ionann achar an leathchiorcail ar an taobhagán agus suim na n-achar sna leathchiorcail ar an dá shlios eile.

17. Is ceathairshleasán é ABCD ina bhfuil AC BD.

Mínigh an fáth a bhfuil |AB|2 5 |AM|2 1 |BM|2.

Uaidh sin, taispeáin go bhfuil|AB|2 1 |CD|2 5 |AD|2 1 |BC|2.

80 cm

60 cm

28.8 cm

12 cm

5 cmB

C

DA

A

H 12 cm5 cm

8 cm

G

B

FE

CD

8

106

Achar ciorcail 5 r2

A D

B C

M

Cuir triail ort féin 9 1. (a) Faigh méid gach uillinne a bhfuil litir uirthi sna fíoracha thíos, áit a léiríonn saigheada

línte comhthreomhara:

70°40°

55°

a ce

d

b

(b) Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na triantáin seo:

80°

50° 70° 140°

34°

A

B

C

2. (a) Ríomh méid na n-uillinneacha a agus b sna triantáin thíos, áit a bhfuil na sleasa atá ar cóimhéid marcáilte.

126°

90° 30°a

b

(b) Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi sna comhthreomharáin seo a leanas:

67°

35°

A

B 40°75°

C D 62°

33° 40°

F

G

E

3. (a) Faigh méid gach uillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na fíoracha seo. Léiríonn saigheada línte comhthreomhara.

74° 53°74°

142°

a

b

c

ef

d

172

(b) Faigh luach x sa triantán ar dheis. Cad is féidir a bhaint de thátal as an triantán?

(c) Má tá l||m, faigh méid na n-uillinneacha a, b, agus c san fhíor ar dheis.

4. (a) San fhíor ar dheis, léirítear sleasa atá ar cóimhéid. Faigh méid na n-uillinneacha a bhfuil a agus b orthu.

(b) Cé acu péire de na triantáin thíos atá iomchuí dá chéile? Cuir cúis le do fhreagra.

7 cm 7 cm7 cm

7 cm

8 cm

8 cm8 cm

8 cm48°

48°48°

48°

1 2 3 4

(c) Is triantán comhchosach é ABC agus tá |AB| 5 |AC|.Tá AE comhthreomhar le BC.Leantar ar [BA] go D.

(i) Cruthaigh go ndéroinneann AE DAC. (ii) An mbeadh feidhm fós ag an toradh i gcuid

(i) mura mbeadh |AB| agus |AC| ar cóimhéid?Cuir cúis le do fhreagra.

56°x

(x � 12)°

l m

73°

60°

c

b

aa

65°70°

a

b

A

B C

E

D

173

5. (a) Faigh luach na huillinne a bhfuil x uirthi i ngach ceann de na léaráidí seo a leanas, áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara. (i)

56°

x (ii) (iii) 24°

68°

x

141°78°

x

(b) Luíonn píopa, atá 4.5 m ar fad, ar fhál atá 2 m ar airdeTá bun an phíopa ar an talamh, 3 m amach ó bhun an fháil.Cén méid den phíopa a ghobann amach thar an bhfál?Tabhair an freagra ina mhéadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(c) Is traipéisiam é LMNP.|LP| 5 |MN| agus |PLM| 5 |NML|. Cruthaigh go bhfuil an triantán PLM iomchuí don triantán NML.

6. (a) Faigh luach x agus luach y i gcás gach ceann de na triantáin seo a leanas. (i) (ii) (iii)

20°x

y 3x

4x 2x y

(b) 5 m X 4 m na toisí urláir atá ag seomra, mar a léirítear.Tá an seomra 3 m ar airde. (i) Faigh |BD| ina mhéadair, ceart go dtí

ionad deachúlach amháin. (ii) Faigh an fad ón gcúinne D ar an urlár go dtí

an cúinne urchomhaireach A ar an tsíleáil, ceart go dtí an méadar is gaire.

(c) Sa léaráid ar dheis,|AX| 5 |XC| 5 |BX|.Marcáil uillinneacha atá ar cóimhéid agus, uaidh sin, mínigh an fáth a bhfuil |ABC| 5 90°.

4.5 m

2 m

3 m

L

P N

M

2y

69°

yx

A

C 5 m

3 m

4 m

D

B

A

B C

X

174

175

Mír 10.1 Fothorthaí a liostú Seo rothlóir (nó roithleán) ina bhfuil 8 dteascóg. Tá 8 n-uimhir éagsúla agus 3 dhath éagsúla aige.Má chastar an rothlóir, féadfaidh tú ceann ar bith de na huimhreacha 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nó 8 a fháil. Fothorthaí a thugtar orthu sin. Más sna dathanna amháin atá suim againn, is iad na fothorthaí féideartha ná glas, gorm agus buí.

I gcás an rothlóra thuas, rinneamar liosta de na fothorthaí féideartha go léir le haghaidh uimhreacha agus le haghaidh dathanna.

Anois féachfaimid ar na fothorthaí nuair a chastar an rothlóir seo agus nuair a chaitear bonn airgid in airde.

Seo liosta de na fothorthaí féideartha:

1A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A, 7A, 8A, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C

áit a seasann A d’aghaidh (nó ceann) agus C do chúl (nó cruit). Tabhair faoi deara gur 16 fhothoradh atá ann.

Is féidir líon na bhfothorthaí a fháil i bhfad níos fusa ach 8 (líon na bhfothorthaí i gcás an rothlóra) a iolrú faoi 2 (líon na bhfothorthaí i gcás an bhoinn airgid), i.e. 8 3 2 5 16.

Léiríonn an sampla thuas Bunphrionsabal an Chomhairimh, rud a mhínítear ar dheis.

6 5

43

21

87

Má bhíonn m ina fhothoradh féideartha ar rud amháin agus má bhíonn n ina fhothoradh féideartha ar rud eile, bíonn m 3 n ina fhothoradh féideartha ar an dá rud.

Focail Thábhachtachafothorthaí Bunphrionsabal an Chomhairimh tábla dhá bhealach scála dóchúlachta triail fothorthaí comhdhóchúla fothoradh fabhrach teagmhas spás samplach turgnamh minicíocht choibhneasta minicíocht ionchais léaráid Venn léaráid chrainn

caibi

dil

10An Dóchúlacht

176

Táblaí dhá bhealachNuair a chastar an dá rothlóir ar dheis, is féidir na fothorthaí féideartha a thaispeáint ar bhealach eagraithe ach tábla dhá bhealach a dhéanamh, mar a thaispeántar thíos.

Uimhreacha

3 4 5 6 Líon na bhfothorthaí féideartha: 4 3 3 5 12

Dat

hann

a D 3D 4D 5D 6D

Go 3Go 4Go 5Go 6Go

Gl 3Gl 4Gl 5Gl 6Gl

Is féidir Bunphrionsabal an Chomhairimh a leathnú amach chun an oiread rudaí (nó teagmhas) agus is maith leat a chur san áireamh.

Má bhíonn ar bhuachaill léine, carbhat agus seaicéad a roghnú ó 5 léine, 3 charbhat agus 4 sheaicéad, bíonn 5 3 3 3 4 rogha aige.

Cleachtadh 10.1 1. 3 chúrsa tosaigh agus 4 phríomhchúrsa atá ar bhiachlár tús oíche.

Cé mhéad béile 2 chúrsa éagsúla a d’fhéadfadh a bheith agat?

2. Caitear dhá bhonn airgid in airde.Liostaigh na fothorthaí féideartha go léir. Úsáid A d’aghaidh agus C do chúl.

3. Castar an rothlóir seo agus caitear an dísle. (i) Cé mhéad fothoradh éagsúil de dhath

agus d’uimhir atá ann? (ii) Cé mhéad de na fothorthaí sin ina mbeidh buí? (iii) Cé mhéad de na fothorthaí ina mbeidh 3?

4. Is é rud atá i gcód áirithe ná ceann amháin de na litreacha A, B, C nó D agus ansin digit ó 1 go 9. Cé mhéad cód féideartha atá ann?

5. 3 chúrsa tosaigh, 4 phríomhchúrsa agus 2 mhilseog atá ar bhiachlár lóin. Cé mhéad béile 3 chúrsa éagsúla a d’fhéadfadh a bheith ag duine?

6. Déanann déantúsóir carranna saghsanna éagsúla cairr, mar leanas:

> is iad na múnlaí atá ar fáil ná carr salúin, carr fada agus carr cúlhaiste > is iad na dathanna atá ar fáil ná dath an airgid, dubh agus dearg > is iad na stíleanna atá ar fáil ná Carr Caighdeánach, Sócharr agus Scothcharr.

Cé mhéad rogha ar fad a bhíonn ag duine a bhíonn ag ceannach cairr?

Go6

5

3

4

D

Gl

177

7. Is é atá i gceist le cluiche áirithe ná an rothlóir ar dheis a chasadh agus dísle a chaitheamh.

(i) Más litir agus uimhir a bhíonn san fhothoradh ar an gcluiche, cé mhéad fothoradh éagsúil a d’fhéadfadh a bheith ann?

(ii) Más dath agus uimhir atá i gceist, cé mhéad fothoradh éagsúil a d’fhéadfadh a bheith ann?

8. Caithfidh dalta ábhar amháin a roghnú as gach ceann de na grúpaí ábhar seo a leanas:

> 3 nua-theanga atá i nGrúpa A. > 2 ábhar eolaíochta atá i nGrúpa B. > 2 ábhar gnó atá i nGrúpa C.

Cé mhéad rogha ábhar éagsúil atá ann?

9. Fógraíonn bialann a biachlár lóin leis an gcomhartha ar dheis.

(i) Tá rogha de chúig chúrsa tosaigh agus naoi bpríomhchúrsa ar an mbiachlár. Cé mhéad milseog a chaithfidh a bheith ar bhiachlár na milseog chun go mbeadh an ráiteas faoi 180 lón éagsúla fírinneach?

(ii) Lá áirithe níl ceann amháin de na cúrsaí tosaigh ar fáil agus níl ceann amháin de na príomhchúrsaí ar fáil. Cé mhéad lón éagsúil trí chúrsa is féidir a fháil an lá sin?

Mír 10.2 Seansúlacht agus an scála dóchúlachta Tá cur amach cheana féin agat ar fhocail ar nós

Dodhéanta Neamhdhóchúil Seans cothrom Dóchúil Cinnte

chun cur síos a dhéanamh ar an seans nó ar an dóchúlacht go dtarlóidh rud éigin.

Má bhímid ag iarraidh a bheith níos cruinne, úsáidimid uimhreacha le cur síos a dhéanamh ar a dhóchúla is atá sé go dtarlóidh rud éigin.

Is é an dóchúlacht go dtarlóidh rud éigin atá cinnte ná 1.

Is é an dóchúlacht go dtarlóidh rud éigin nach féidir tarlú ná 0.

Tá gach dóchúlacht eile níos mó ná 0 agus níos lú ná 1.

Dá dhóchúla é go dtarlóidh rud éigin, is é is gaire a bheidh an dóchúlacht do 1.

Scála dóchúlachta a thugtar ar an líne a thaispeántar thíos.

CinnteSeans CothromDodhéanta DóchúilNeamhdhóchúil

1120

C

BA

F

ED

Biachlár Lóin3 chúrsa ar €18

Roghnaigh ónár gcúrsaí tosaigh,

príomhchúrsaí agus milseoga.

Déan do rogha as 180 lón éagsúla.

178

Tá seans cothrom ann gur fear nó buachaill a bheidh sa chéad duine eile a chasfar ort ar an tsráid.

Tá sé cinnte go n-éireoidh an ghrian amárach.

Tá sé dodhéanta 7 a fháil nuair a chaitear gnáthdhísle.

Cleachtadh 10.2 1. I gcás gach ceann de na teagmhais thíos, cé acu de na lipéid seo is fearr a dhéanann cur

síos ar an dóchúlacht go dtarlóidh sé?

Dodhéanta Neamhdhóchúil Seans Cothrom Dóchúil Cinnte

(i) Cúl a gheobhaidh tú nuair a chaitheann tú bonn airgid in airde.

(ii) Tá tú níos mó ná deich mbliana d’aois.

(iii) Ní éireoidh an ghrian in Éirinn amárach.

(iv) Buafaidh tú bonn sna Cluichí Oilimpeacha.

(v) Éireannach a bheidh sa chéad duine eile a chasfar ort ar an tsráid.

(vi) Gheobhaidh tú ré-uimhir nuair a chaitheann tú gnáthdhísle.

(vii) Gheobhaidh tú níos lú ná 5 uimhir bhuacacha agus tú ag imirt Euromillions Aoine éigin.

(viii) Beidh sé ag cur sneachta níos déanaí inniu.

(ix) Tarraingím cárta dearg ó ghnáthphaca cártaí.

(x) Beidh obair bhaile le déanamh agat anocht.

2. I gcás gach ceann de na teagmhais a thugtar thíos, roghnaigh ceann de na focail seo:

dodhéanta neamhdhóchúil seans cothrom dóchúil cinnte

(i) Tá dísle le caitheamh. Teagmhas 1: 6 a gheofar. Teagmhas 2: Uimhir is lú ná 4 a gheofar. Teagmhas 3: Uimhir is mó ná 3 a gheofar. Teagmhas 4: Nialas a gheofar. Teagmhas 5: Uimhir is lú ná 7 a gheofar.

(ii) Tá cárta amháin le roghnú go randamach ó na cúig cinn seo. Teagmhas 1: Hart a bheidh sa chárta. Teagmhas 2: Uimhir is lú ná 8 a bheidh sa chárta.Teagmhas 3: Muileata a bheidh sa chárta. Teagmhas 4: 2 a bheidh sa chárta. Teagmhas 5: Ní 3 a bheidh sa chárta.

179

3. Seo ceithre rothlóir agus dathanna éagsúla orthu: A B C D

Má chastar na rothlóirí, (i) Cé acu de na rothlóirí a bhfuil seans cothrom ann go dtaispeánfaidh sé gorm? (ii) Cé acu de na rothlóirí a bhfuil seans cothrom ann go dtaispeánfaidh sé dearg? (iii) Cé acu de na rothlóirí a bhfuil an seans is lú ann go dtaispeánfaidh sé buí? (iv) Cé acu de na rothlóirí a bhfuil seans amháin as trí cinn ann go dtaispeánfaidh sé buí? (v) Cé acu de na rothlóirí a bhfuil seans amháin as ceithre cinn ann go dtaispeánfaidh

sé dearg? (vi) Cé acu de na rothlóirí a bhfuil an seans is mó ann go dtaispeánfaidh sé dearg?

4. Cuir na teagmhais thíos in ord, ón gceann is lú seans go dtí an ceann is mó seans: (i) Tá dísle le caitheamh.

(a) Ré-uimhir a bheidh ar barr.(b) Uimhir is mó ná 4 a bheidh ar barr. (c) Uimhir is lú ná 6 a bheidh ar barr.

(ii) Tá cárta amháin le roghnú go randamach ó na sé cinn seo. (a) 2 a bheidh sa chárta. (b) 7 a bheidh sa chárta. (c) Uimhir is mó ná 3 a bheidh sa chárta.

5. Tá mirlíní dearga, gorma agus glasa sa bhuidéal ar dheis. Tógtar mirlín amach as an mbuidéal. I gcás gach ceann de na trí dhath, taispeántar sa scála dóchúlachta thíos an seans go bhfaighfear an dath sin.

10

(a) (b) (c)

Ceangail gach dath le (a), (b) nó (c).

6.

Casann Todd saighead agus é ag imirt cluiche. Stopann an tsaighead i gceann de shé theascóg déag de chiorcal. Tá na teascóga ar fad ar cóimhéid. Tá dath amháin ar gach teascóg sa chiorcal. Taispeánann an scála dóchúlachta cén seans atá ann go stopfaidh an tsaighead ar aon dath faoi leith.

Go � gormGl � glasD � dearg

GoGl

GoGl

Go

GoD

DD

Go

Glas

10

Dearg Gorm

180

Cé mhéad teascóg

(i) a bhfuil dath dearg orthu (ii) a bhfuil dath gorm orthu (iii) a bhfuil dath glas orthu?

Mír 10.3 An dóchúlacht agus fothorthaí comhdhóchúla Sular féidir leat cluiche áirithe a thosú, caithfidh tú dísle a chaitheamh agus a sé a fháil.

Triail a thugtar ar chaitheamh an dísle.

Is iad na huimhreacha 1, 2, 3, 4, 5 agus 6 fothorthaí féideartha uile na trialach.

Spás samplach a thugtar ar liosta na bhfothorthaí féideartha go léir.

Teagmhas a thugtar ar an toradh a theastaíonn.

Má theastaíonn ré-uimhir uait agus tú ag caitheamh dísle, is iad na teagmhais nó na fothorthaí fabhracha ná na huimhreacha 2, 4 agus 6.

Fothorthaí comhdhóchúla Deirtear go bhfuil dhá theagmhas comhdhóchúil (nó chomh dóchúil lena chéile, nó comhdhealraitheach) má tá an seans céanna ann go dtarlóidh ceachtar acu.

Is ionann an seans go bhfaighidh tú dearg leis an rothlóir ar dheis agus an seans go bhfaighidh tú gorm. Tá sé chomh dóchúil céanna go bhfaighfidh tú dearg nó gorm.

I gcás an rothlóra ar dheis, níl dearg agus gorm comhdhóchúil. Is é an dóchúlacht gur dearg a gheofar nuair a chastar an rothlóir seo ná seans amháin as ceithre cinn.

Is é a scríobhaimid ná Dóchúlacht (dearg) 5 1 _ 4 .Slí níos gonta chun é sin a scríobh ná P(dearg) 5 1 _ 4 .

Fothoradh fabhrach a thugtar de ghnáth ar an bhfothoradh a theastaíonn uainn.

I gcás fothorthaí comhdhóchúla, seo an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas E:

Líon na bhfothorthaí fabhrachaP(E) 5 ––––––––––––––––––––––––––––––– Líon na bhfothorthaí féideartha

I gcás an rothlóra ar dheis,

P(glas) 5 1 _ 5 , mar gur cuid amháin atá glas

P(buí) 5 2 _ 5 , mar gur dhá chuid atá buí.

Teagmhas a thugtar ar an toradh a theastaíonn.

Is é is fothoradh fabhrach ann ná fothoradh atá ag teastáil uait.

181

Sampla 1Tá litir ar gach ceann de na tíleanna thíos.

P A R A L L E L O G R A M

Roghnaítear ceann de na tíleanna sin go randamach (nó go fánach). Oibrigh amach an dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) A (ii) L (iii) O (iv) A nó L (v) A nó O (vi) L nó O

(i) An litir A atá ar thrí cinn de na 13 thíl.

líon A 3P(A) 5__________ 5 __ líon iomlán 13

líon L 3 (ii) P(L) 5__________ 5 __

líon iomlán 13

(iii) P(O) 5 1 ___ 13

líon A 1 L 6 (iv) P(A nó L) 5__________ 5 __

líon iomlán 13

(v) P(L nó O) 5 4 ___ 13

(vi) P(A nó O) 5 4 ___ 13

Cleachtadh 10.3 1. (i) Tabhair an spás samplach i gcás gach ceann de na rothlóirí seo:

(a) dearg

gorm

(b) dearg

buí

glas gorm

(c) dearg gorm

gorm dearg

(ii) I gcás gach ceann de na rothlóirí, scríobh síos an dóchúlacht go gcríochnaíonn an rothlóir ar dhath dearg.

2. I gcás gach ceann de na rothlóirí seo, cén dóchúlacht atá ann 6 a fháil?

(i) 1 2

6 3

(ii) 6 4

6 1

(iii) 3

2

6

Cén dóchúlacht atá ann 2 nó 6 a fháil ar rothlóir (iii)?

182

3. Caitheann tú dísle cóir. Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil:

(i) 5 (ii) 1 nó 2 (iii) 4 nó níos mó (iv) corruimhir (v) uimhir is lú ná 3 (vi) uimhir phríomha?

4. Seo roinnt cruthanna.

8

7

11

12

14

11

3

4

7

Roghnaítear ceann de na cruthanna sin go randamach. Oibrigh amach an dóchúlacht gurb é a bheidh sa chruth:

(i) cearnóg (ii) triantán (iii) cearnóg nó triantán (iv) corruimhir (v) uimhir 2 dhigit (vi) corruimhir ghlas.

5. Roghnaítear litir go randamach as an bhfocal PROBABILITY. Scríobh síos an dóchúlacht gurb é a bheidh inti:

(i) A (ii) B (iii) I (iv) guta (v) B nó I.

6. I gcás gach ceann de na rothlóirí seo, faigh an dóchúlacht gur a ceathair a bheidh mar fhothoradh ar chasadh amháin.

(i) 1

64 5

2 3 (ii)

4

31

2

5

43

4 (iii)

3

44

21

7. 36 teascóg atá ar chlár dairteanna agus iad lipéadaithe ó 1 go 36. Maidir le dairt a chaitear leis an gclár, déan amach an dóchúlacht go mbuaileann sí

(i) iolraí ar 4 (ii) uimhir idir 6 agus 9 (agus an dá uimhir sin san áireamh) (iii) uimhir is mó ná 20 (iv) 9 (v) iolraí ar 13 (vi) corruimhir ar iolraí ar 3 í.

1 235 334433

532631

730

12251324

14231522

1621 1720 18

36

19

829

11261027928

183

8. 4 fhoireann atá i ngnáthphaca cártaí: hairt (♥), muileataí (♦), triufanna (♣) agus spéireataí (♠).13 chárta atá i ngach foireann agus 52 cárta ar fad atá ann.

Aon a thugtar ar an gcéad chárta. Na cártaí pictiúir nó na cártaí cúirte atá sna trí chárta dheireanacha: an Cuireata, an Bhanríon agus an Rí.

Ó na 13 chárta thuas, tá cárta amháin le roghnú go randamach. Cén dóchúlacht atá ann gurb é a bheidh sa chárta a roghnófar: (i) 7 (ii) an tAon (iii) cárta pictiúir (iv) hart (v) spéireata (vi) 9 nó 10?

9. Roghnaítear cárta go randamach ó ghnáthphaca 52 cárta. Cén dóchúlacht atá ann gurb é a bheidh sa chárta: (i) muileata (ii) cárta dearg (iii) cárta dubh (iv) 3 (v) cárta pictiúir (vi) Aon nó Rí?

10. Tá dhá mhirlín ghlasa déag, sé mhirlín ghorma agus ocht mirlín bhána i mbosca. Roghnaítear mirlín go randamach. Maidir leis an mirlín a roghnaítear, cén dóchúlacht atá ann (i) gur glas nó bán atá sé (ii) gur gorm nó bán atá sé (iii) nach glas atá sé (iv) gur oráiste atá sé?

11. Roinntear clár dairteanna cearnógach ina shé chearnóg bheaga déag. Tá ceithre cinn déag de na cearnóga péinteáilte mar a thaispeántar. (i) Cén dath / Cé na dathanna ba chóir a chur ar na

cearnóga nach bhfuil péinteáilte fós sa chaoi is gurb é 3 _ 8 an dóchúlacht gur cearnóg dhearg a bhuailfidh tú agus nach féidir cearnóg dhubh a bhualadh?

(ii) Cén dath / Cé na dathanna ba chóir a chur ar na cearnóga nach bhfuil péinteáilte fós sa chaoi is gurb ionann an dóchúlacht gur cearnóg dhearg a bhuailfidh tú agus dhá oiread na dóchúlachta gur cearnóg ghorm a bhuailfidh tú?

12. Cén dóchúlacht atá ann gur sa chuid ghorm a stopann pointeoir na rothlóirí seo? (i) (ii) (iii) (iv)

13. Déan rothlóir arb é an dóchúlacht go stopfaidh an pointeoir sa chuid ghorm de: (i) leath (ii) níos lú ná leath (iii) trí oiread na dóchúlachta go stopfaidh sé ar dhearg

dearg buí dearg gorm

bán dearg bán gorm

dearg gorm bán dearg

bán buí ? ?

184

14. Agus muid ag glacadh leis go bhfuil an seans céanna ann go mbéarfaí duine lá ar bith den tseachtain nó mí ar bith den bhliain, cén dóchúlacht atá ann go bhfuil breithlá duine a roghnaítear go randamach (i) ar an Máirt (ii) ar an Satharn nó ar an Domhnach (iii) i mí Eanáir nó i mí Feabhra?

15. Istigh i mála tá cúig dhiosca dhearga a bhfuil na huimhreacha 1 go 5 péinteáilte orthu agus seacht ndiosca ghorma a bhfuil na huimhreacha 1 go 7 péinteáilte orthu. Má roghnaítear diosca go randamach, céard é an dóchúlacht go roghnaítear (i) diosca dearg (ii) diosca a bhfuil uimhir a 3 air (iii) diosca a bhfuil uimhir a 6 air (iv) an diosca gorm a bhfuil uimhir a 1 air (v) diosca a bhfuil ré-uimhir air (vi) diosca a bhfuil corruimhir air?

Mínigh an fáth arb é 1 suim na ndóchúlachtaí in (v) agus (vi).

16. Rinneadh pobalbhreith ar 400 duine roimh thoghchán áirithe. Thug 120 duine tacaíocht do pháirtí A, thug 140 duine tacaíocht do pháirtí B agus ní raibh cinneadh déanta ag an gcuid eile acu. Má roghnaítear duine go randamach ón ngrúpa seo, cén dóchúlacht atá ann (i) go dtugann sé/sí tacaíocht do pháirtí A (ii) go dtugann sé/sí tacaíocht do pháirtí B (iii) go dtugann sé/sí tacaíocht do pháirtí éigin (iv) nach bhfuil cinneadh déanta aige/aici?

17. Sular tháinig deireadh le Campa Samhraidh bliain amháin fiafraíodh de 50 dalta, idir bhuachaillí agus chailíní, cén cluiche ar an gcampa ab fhearr leo. Tugtar na torthaí sa tábla thíos:

Leadóg Cispheil EitpheilCailíní 15 10 5

Buachaillí 6 12 2

Má roghnaíodh duine go randamach ón mbuíon 50 dalta, faigh dóchúlacht gach ceann díobh seo: (i) gur buachaill a roghnaíodh (ii) gur cailín a roghnaíodh agus gurbh í an leadóg ab fhearr léi (iii) gurbh í an chispheil ab fhearr leis an duine.

Más cailín a roghnaíodh, faigh an dóchúlacht gurbh í an eitpheil a roghnaigh sí.

18. Díoladh 100 ticéad i raifil. Cheannaigh Lúcás 10 gcinn acu, cheannaigh Heather 5 cinn agus cheannaigh Ailéin 1 cheann amháin. Roghnaíodh ticéad go randamach. An duine a raibh an ticéad sin aige/aici, bhuaigh sé/sí an duais. Maidir leis an duais, cén dóchúlacht atá ann (i) gurbh é Ailéin a bhuaigh í (ii) gurbh é Lúcás a bhuaigh í (iii) gurbh í Heather a bhuaigh í (iv) nár bhuaigh duine ar bith den triúr sin í?

Cé mhéad den 100 ticéad a chaithfinn a cheannach ionas gurbh é an dóchúlacht gur agamsa a bheadh an duais ná (v) 3 __ 10 (vi) 0.2 (vii) 25% (viii) 100%?

185

19. Tá 8 gcnaipe i mbosca. Is é an dóchúlacht gur cnaipe glas a thógfar amach as an mbosca ná 1 _ 2 .Tógtar cnaipe glas amach as an mbosca agus cuirtear i leataobh é. Anois tógann Gearóid cnaipe amach as an mbosca go randamach. Céard é an dóchúlacht gur glas atá sé?

20. Is é atá le déanamh i gcluiche áirithe ná cárta a phiocadh go randamach as paca 52 cárta imeartha. Taispeántar sa tábla an toradh atá ar chártaí éagsúla a phiocadh.

Má phiocann Eibhlín cárta, cén dóchúlacht atá ann (i) go gcaillfidh sí airgead (ii) go mbuafaidh sí airgead (iii) nach mbuafaidh sí ná nach gcaillfidh sí (iv) nach gcaillfidh sí airgead?

21. Tá faisnéis faoi ghrúpa páistí le fáil sa tábla seo trasna.

(i) Cé mhéad páiste ar fad atá sa ghrúpa? (ii) Má roghnaítear páiste as an ngrúpa go

randamach, cén dóchúlacht atá ann

(a) gur súile gorma atá aige/aici (b) gur buachaill atá ann? (iii) Má roghnaítear buachaill as an ngrúpa, cén dóchúlacht atá ann gur súile gorma

atá aige?

22. Tagann Naomi aniar i dtreo compail.Roghnaíonn sí ceann de na bóithre amach eile go randamach agus í ag fágáil an chompail. (i) Cén dóchúlacht atá ann gurb é an ceann

caoch a roghnaíonn sí? (ii) Cén dóchúlacht atá ann go roghnaíonn sí

bóthar a thabharfaidh go X í?

Mír 10.4 Dhá theagmhas – Spásanna samplacha a úsáid Nuair a dhéantar dísle a chaitheamh agus bonn a chaitheamh in airde, seo tacar na bhfothorthaí féideartha:

{A1, A2, A3, A4, A5, A6, C1, C2, C3, C4, C5, C6}.

Spás samplach a thugtar ar thacar sin na bhfothorthaí féideartha.

Ach leas a bhaint as an spás samplach thuas, is féidir linn an dóchúlacht go bhfaighimid aghaidh agus 6 a scríobh síos, mar shampla.

P(H, 6) 5 1 __ 12

Is féidir an dóchúlacht go bhfaighimid aghaidh agus ré-uimhir a fháil ach na fothorthaí a theastaíonn a chomhaireamh. Is iad sin A2, A4 agus A6. P(A agus ré-uimhir) 5 3 __ 12 5 1 _ 4

Cárta ToradhAon e2 a bhuachan

R, B nó C 50c a bhuachan

6, 7, 8, 9, 10 Gan toradh

2, 3, 4, 5 50c a chailleadh

Buachaillí CailíníSúile gorma 3 6

Súile donna 12 9

X

186

Is iomaí fothoradh féideartha ar thurgnamh ar nós dhá dhísle a chaitheamh, agus mar sin ní foláir an spás samplach a leagan amach i gceart, mar a thaispeántar sa sampla seo a leanas.

Sampla 1Má chaitear dhá dhísle agus má shuimítear na scóir le chéile, leag amach spás samplach a mbeidh na fothorthaí féideartha go léir ann. Anois faigh an dóchúlacht (i) gurb é 7 go baileach an t-iomlán (ii) gurb é 4 nó níos lú an t-iomlán (iii) gurb é 11 nó níos mó an t-iomlán (iv) gur iolraí ar 5 é an t-iomlán.

Tá an spás samplach le feiceáil ar dheis. 36 fothoradh atá ann. (i) Is é 7 an t-iomlán 6 huaire.

⇒ P (7) 5 6 __ 36 5 1 _ 6

(ii) Is é 4 nó níos lú an t-iomlán 6 huaire.

⇒ P (4 nó níos lú) 5 6 __ 36 5 1 _ 6

(iii) Is é 11 nó níos mó an t-iomlán 3 huaire.

⇒ P (11 nó níos mó) 5 3 __ 36 5 1 __ 12

(iv) Is iad 5 agus 10 na hiolraithe ar 5.Is é 5 nó 10 an t-iomlán 7 n-uaire.

⇒ P (iolraí ar 5) 5 7 __ 36

Cleachtadh 10.4 1. Seo iad na fothorthaí féideartha nuair a chaitear dhá bhonn airgid in airde:

AA, AC, CA, CC Scríobh síos an dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) 2 chúl (ii) 2 aghaidh (iii) aghaidh agus cúl.

2. Nuair a chastar an dá rothlóir seo agus nuair a shuimítear na scóir le chéile, faigheann tú na torthaí a thaispeántar ar dheis.

1 2

4 3

1 2

4 3

Bain leas as an tábla chun na dóchúlachtaí seo a leanas a scríobh síos: (i) Is é 6 an scór iomlán (ii) is ré-uimhir é an scór iomlán (iii) is é 7 nó níos mó an scór iomlán (iv) is é 2 nó 3 an scór iomlán.

An uimhir ar an 1ú rothlóir

An u

imhi

r ar a

n 2ú

roth

lóir

1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

Iomlán 5 4 nó níos lú

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Iomlán 5 7

187

3. 2, 4 agus 6 atá ar na codanna de rothlóir cóir tríthaobhach. Castar an rothlóir uair amháin agus caitear dísle cóir séthaobhach uair amháin.

An uimhir a stopann an rothlóir uirthi, suimítear í sin leis an uimhir a thaispeánann an dísle. Tugann sé sin an scór.

Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla chun gach scór a d’fhéadfadh a bheith ann a thaispeáint.

Agus tú ag úsáid an tábla, scríobh síos an dóchúlacht gurb é atá sa scór ná (i) 4 (ii) 5 (iii) 7 (iv) 9 nó níos mó (v) 5 nó níos lú (vi) iolraí ar 4

4. Tá dhá rothlóir chóra ag Karl. Tá uimhreacha orthu mar a thaispeántar ar dheis. Casann sé iad agus faigheann sé toradh an dá scór. (i) Cóipeáil agus comhlánaigh an ghreille, chun

gach fothoradh a d’fhéadfadh a bheith ar an dá chasadh a thaispeáint.

(ii) Cén dóchúlacht atá ann gurb é atá sa toradh ná(a) 12 (b) uimhir is mó ná 10 (c) iolraí ar 3?

5. Cuirtear an t-aon triuf, an rí triuf, an bhanríon triuf agus an cuireata triuf i gcarn amháin agus an t-aon muileata, an rí muileata, an bhanríon muileata agus an cuireata muileata i gcarn eile. Sa léaráid den spás samplach, taispeántar na fothorthaí féideartha go léir nuair a thógtar cárta ón dá charn.

Scríobh síos na dóchúlachtaí seo: (i) gur rí a bheidh sa dá chárta (ii) go mbeidh cárta amháin ina thriuf (iii) nach mbeidh ach cárta amháin ina bhanríon (iv) gur péire meaitseála a bheidh sna cártaí (v) go mbeidh cárta amháin ar a laghad ina bhanríon (vi) nach mbeidh ceachtar den dá chárta ina chuireata.

6. Caitear trí bhonn airgid chóra in airde. Déan amach spás samplach le haghaidh na bhfothorthaí féideartha go léir.

Anois scríobh síos dóchúlacht gach ceann de na fothorthaí seo: (i) trí aghaidh (ii) dhá aghaidh agus cúl amháin (iii) gan aghaidh ar bith (iv) aghaidh amháin ar a laghad.

6

4

2

Dísle

Roth

lóir

1 1 2 3 4 5 6

2 3

4

6 12

1 2An chéad rothlóir

An

dara

roth

lóir

3 4

6

5

4

3

1 2

4 3 15

3 4

6 5

C AC RC BC CC

TriufB AB RB BB CB

R AR RR BR CR

A AA RA BA CA

A R B C

Muileata

188

7. Caitear dhá dhísle agus suimítear na scóir. Taispeántar na fothorthaí sa spás samplach ar dheis. Faigh an dóchúlacht gurb é suim an dá uimhir ná (i) 9 (ii) 10 (iii) 3 nó níos lú (iv) 10 nó 11.

8. Tá Chloe ag imirt cluiche focal agus roghnaíonn sí guta agus consan go randamach óna cuid litreacha. (i) Taispeáin ar léaráid de spás samplach na roghanna go léir is féidir léi a dhéanamh. (ii) Cén dóchúlacht atá ann go roghnóidh sí A agus R? (iii) Cén dóchúlacht atá ann go roghnóidh sí I agus L? (iv) Cén dóchúlacht atá ann go roghnóidh sí I agus nach roghnóidh sí L?

Mír 10.5 Dóchúlachtaí a mheas ó thurgnaimh Go dtí seo ríomhamar dóchúlachtaí ar an mbonn go bhfuil gach fothoradh comhdhóchúil. San fhíorshaol, áfach, ní i gcónaí a bhíonn teagmhais comhdhóchúil agus ní mór teacht ar bhealach éigin eile chun an dóchúlacht a mheas.

I gcásanna den sórt sin déanaimid turgnamh nó suirbhé chun an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas a mheas.

Turgnamh Bhí Seán ag ceapadh go raibh bonn airgid laofa. Mar thurgnamh, chaith sé an bonn airgid in airde 1000 uair le cabhair óna chuid cairde. Rinne sé comhaireamh ar líon na n-aghaidheanna a fuair sé i ndiaidh 10, 20, 100 ... agus 1000 caitheamh.Tá na torthaí le feiceáil sa tábla seo ar dheis:

Dá mhéad uair a chaitheann sé an bonn airgid in airde is ea is gaire do 0.5 (i.e. 1 _ 2 ) a bhíonn an luach a fhaightear nuair a roinntear líon na n-aghaidheanna ar líon na gcaití.

An dóchúlacht thurgnamhach nó an mhinicíocht choibhneasta a thugtar ar an luach a fhaightear nuair a roinntear líon na n-aghaidheanna ar líon na gcaití.

Tugann sé meastachán ar an bhfíordhóchúlacht.

Dá mhéad uair a dhéantar an triail nó an turgnamh is ea is gaire don fhíordhóchúlacht nó don dóchúlacht theoiriciúil a bhíonn luach na dóchúlachta turgnamhaí.

1

2

3

4

5

6

2 4 61 3 5

8

7

6

5

4

3

10

9

8

7

6

5

12

11

10

9

8

7

7

6

5

4

3

2

9

8

7

6

5

4

11

10

9

8

7

6

A E I R L D

Líon na gcaití

Líon na n-aghaidheanna

Aghaidheanna 4 caití

10 6 0.6

20 11 0.55

100 53 0.53

200 108 0.54

400 194 0.485

500 242 0.484

1000 490 0.49

189

Tharla go bhfuil an dóchúlacht go bhfaighfear aghaidh tar éis an bonn airgid a chaitheamh in airde 1000 uair an-ghar don fhíordhóchúlacht, i.e. 1 _ 2 , baineann Seán an tátal nach bhfuil an bonn airgid laofa.

Mar sin, má dhéantar suirbhé nó turgnamh, is féidir an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas a mheas ar an gcaoi seo:

Líon na dtrialacha fabhrachaMinicíocht choibhneasta 5 –––––––––––––––––––––––––––– Líon iomlán na dtrialacha

Sampla 1Bailíonn Derek sonraí ar dhathanna na gcarranna a ghabhann thar gheata na scoile. Taispeántar na torthaí sa tábla.

Dath Cuntas MinicíochtBán 24

Dearg 32

Dubh 14

Gorm 16

Glas 10

Eile 4

(i) Cé mhéad carr a ndearna Derek cuntas díobh? (ii) Cén mhinicíocht choibhneasta a bhí ag carranna gorma? (iii) Cén mhinicíocht choibhneasta a bhí ag carranna dearga?

Bíodh do fhreagra ina dheachúil. (iv) Scríobh síos meastachán ar an dóchúlacht gur glas a bheidh an chéad charr eile a

ghabhfaidh thar gheata na scoile. (v) Cén chaoi ar féidir an meastachán ar dhóchúlacht na gcarranna glasa a bheith

níos iontaofa? (i) Is ionann líon na gcarranna sa suirbhé agus suim na minicíochtaí.

Sin 100 carr.

(ii) Minicíocht choibhneasta na gcarranna gorma 5 16 ___ 100 5 4 __ 25

(iii) Minicíocht choibhneasta na gcarranna dearga 5 32 ___ 100 5 0.32

(iv) An dóchúlacht gur glas a bheidh an chéad charr eile 5 minicíocht choibhneasta na gcarranna glasa

5 10 ___ 100 5 1 __ 10

(v) Is féidir iontaofacht an mheastacháin ar dhóchúlacht na gcarranna glasa a fheabhsú ach cur le líon na gcarranna a ndéantar cuntas díobh. Thabharfadh cúig chéad carr meastachán an-chruinn ar an bhfíordhóchúlacht.

190

Minicíocht ionchais Tá 5 dhiosca dhearga agus 3 dhiosca ghorma sa mhála seo.

Roghnaítear diosca go randamach ón mála agus ansin cuirtear ar ais é.

Is é an dóchúlacht gur diosca gorm a gheofar ná 3 _ 8 .

Ciallaíonn sé sin, ar meán, go mbeidh tú ag súil le 3 dhiosca ghorma i ngach 8 gcinn a roghnaítear nó 30 diosca gorm i ngach 80 ceann a roghnaítear.

Chun an líon ionchais dioscaí gorma a fháil nuair a roghnaíonn tú diosca 400 uair,

(i) Oibrigh amach an dóchúlacht go dtarlaíonn an teagmhas uair amháin.

(ii) Iolraigh an dóchúlacht sin faoi líon na n-uaireanta a dhéantar an turgnamh. Mar sin is é líon ionchais na ndioscaí gorma ná

3 _ 8 3 400 ___ 1 5 150.

Sampla 2

Tá an rothlóir seo laofa. I gcás gach ceann de na huimhreacha 1 go 4, tugtar sa tábla thíos an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar an uimhir sin.

Uimhir 1 2 3 4 5

Dóchúlacht 0.35 0.1 0.25 0.15

Castar an rothlóir aon bhabhta amháin. (i) Oibrigh amach an dóchúlacht gur ar 5 a stopfaidh an rothlóir. (ii) Scríobh síos an uimhir ar dóchúla go stopfaidh an rothlóir uirthi. (iii) Má chastar an rothlóir 200 uair, cé mhéad uair a bheifeá ag súil lena stopadh ar 3?

(i) Is ionann suim na ndóchúlachtaí go léir agus 1. Bíodh x 5 an dóchúlacht gur ar 5 a stopfaidh an rothlóir. x 1 0.35 1 0.1 1 0.25 1 0.15 5 1 x 1 0.85 5 1 ⇒ x 5 0.15 P(ar 5 a stopfaidh an rothlóir) 5 0.15

(ii) Is dóchúla go stopfaidh an roth seo ar 1 mar is ag 1 atá an dóchúlacht is mó. (iii) P(stopadh ar 3) 5 0.25 5 1 _ 4

As 200 casadh, bheifeá ag súil go stopfadh an roth ar 3 an méid seo uaireanta: 3 is 1 _ 4 3 200 5 50 uair.

Minicíocht ionchais 5 dóchúlacht 3 líon na dtrialacha.

1 5

4

3

2

191

Cleachtadh 10.5 1. Caitear bonn cóir in airde 100 uair. Cé mhéad aghaidh a bheadh súil agat a fháil?

2. Caitear bonn cóir séthaobhach in airde 60 uair. (i) Cé mhéad 6 a bheadh súil agat a fháil? (ii) Cé mhéad 2 a bheadh súil agat a fháil? (iii) Cé mhéad ré-uimhir a bheadh súil agat a fháil?

3. Roghnaítear liathróid amháin go randamach ón mála ar dheis agus ansin cuirtear ar ais í. Déantar sin 400 uair. Cé mhéad uair a bheadh súil agat (i) liathróid ghorm a fháil (ii) liathróid dhearg a fháil?

4. Féachtar ar 50 carr agus iad ag dul thar gheata na scoile. Tá 15 cinn de na carranna sin dearg. Bain leas as na torthaí sin chun an dóchúlacht gur dearg a bheidh an chéad charr eile a rachaidh thar gheata na scoile a mheas.

5. Rinne Sinéad agus Nioclás turgnamh ina mbíonn ort ligean do bhiorán ordóige titim. Is iad seo na torthaí a fuair siad:

SinéadTrialacha 20

NioclásTrialacha 100

‘Bior in airde’ 10 ‘Bior in airde’ 75

Ligtear do bhiorán ordóige eile titim. (i) I gcás Shinéad, cén dóchúlacht atá ann ‘bior in airde’ a fháil? (ii) I gcás Niocláis, cén dóchúlacht atá ann ‘bior in airde’ a fháil? (iii) Cén duine acu a mbeidh na sonraí is iontaofa aige/aici dar leat? Mínigh do fhreagra.

6. Rinne Ciara suirbhé ar dhath na bhfeithiclí a chuaigh thar a teach. Is iad seo na torthaí a fuair sí:

Dath Dearg Dubh Dath an airgid Glas Bán Eile

Minicíocht 6 10 24 4 12 8

Ríomh meastachán ar na dóchúlachtaí seo a leanas maidir leis an gcéad fheithicil eile a rachaidh thart: (i) gur dath an airgid a bheidh uirthi (ii) nach mbeidh sí dubh.

7. Tá Eoin ag déanamh turgnaimh – ligean do spúnóg titim. Déanann sé cuntas den chaoi a dtiteann an spúnóg - béal in airde nó béal fúithi. (i) Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla seo ina bhfuil torthaí Eoin.

Líon titimí 5 10 20 25 50 100

Líon uaireanta a thit sí béal in airde 3 7 11 15 32 63

Dóchúlacht 0.6 0.7

A

Béal inairde

Béalfúithi

192

(ii) I do thuairim, céard a bheadh ina mheastachán réasúnta ar an bhfíordhóchúlacht go dtitfidh spúnóg béal in airde? Bíodh do fhreagra ina dheachúil, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(iii) Má ligeann Eoin don spúnóg titim 300 uair, cé mhéad uair is dócha go dtitfidh sí béal in airde? (i.e. an mhinicíocht ionchais.)

8. Bhí cnaipí daite i mála áirithe. Roghnaíonn Darren cnaipe go randamach agus ansin cuireann ar ais é. Déanann sé é sin 60 uair. Is iad seo na torthaí:

Dath Bán Glas Gorm

Minicíocht 10 30 20

Ansin roghnaíonn sé cnaipe eile. Déan meastachán ar an dóchúlacht gur roghnaigh sé (i) cnaipe bán (ii) cnaipe glas (iii) cnaipe bán nó cnaipe gorm.

9. Tá ocht gcnaipe i mála áirithe. Tá gach cnaipe gorm nó dearg nó buí. Tógann Helena cnaipe amach as an mála go randamach. Déanann sí cuntas de dhath an chnaipe agus ansin cuireann ar ais sa mhála é. Déanann sí an turgnamh sin 400 uair. Tá na torthaí sa tábla.

Dath an chnaipe Gorm Dearg Buí

Minicíocht 210 98 92

(i) Déan meastachán ar cé mhéad de na hocht gcnaipe atá gorm. Mínigh do fhreagra. (ii) Déan meastachán ar cé mhéad de na hocht gcnaipe atá buí. Mínigh do fhreagra.

10. Tá trí dhísle éagsúla ann – ceann ag Olivia, ceann ag Ben agus ceann ag Jósaí. Caitheann gach duine acu a dhísle féin 360 uair.

Níl ach ceann amháin de na díslí cóir. Cé leis an dísle sin?Mínigh do fhreagra. Cén duine ag a bhfuil an dísle is laofa? Mínigh do fhreagra.

11. Déantar na haghaidheanna ar dhísle séthaobhach a phéinteáil dearg, bán nó gorm. Caitear an dísle 36 uair. Is iad seo na torthaí:

Dath Minicíocht Dearg 7

Bán 11

Gorm 18

Maidir le gach dath, cé mhéad aghaidh a bhfuil an dath sin orthu, dar leat? Bíodh do fhreagra bunaithe ar na torthaí sa tábla.

Uimhir Olivia Ben Jósaí1 27 58 141

2 69 62 52

3 78 63 56

4 43 57 53

5 76 56 53

6 67 64 5

193

12. Rinne Lyra rothlóir ar a bhfuil trí dhath – buí, gorm agus dearg. Chas sí 500 uair é chun triail a bhaint as. Seo iad na torthaí a fuair sí: buí 240 gorm 160 dearg 100 (i) Déan meastachán ar an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar dhath buí. (ii) Ansin chas sí an rothlóir 100 uair.

Cé mhéad uair, thart air, a stopfaidh an rothlóir ar dhath buí, dar leat?

13. Casann Caral rothlóir dearg agus rothlóir glas 50 uair an ceann. Gach uair déanann sí taifead ar an áit a stopann an rothlóir – cé acu a stopann sé ar 1 nó nach stopann. Tá na torthaí sna táblaí.

Rothlóir dearg Rothlóir glas

Stopann ar 1 Ní stopann ar 1 Stopann ar 1 Ní stopann ar 1

7 43 24 26

(i) I gcás gach rothlóra, oibrigh amach an mhinicíocht choibhneasta gur ar 1 a stopfaidh sé.

(ii) Rothlóir cóir ar a bhfuil sé chuid atá sa dá rothlóir.

I gcás gach rothlóra, cé mhéad taobh ar a bhfuil 1, dar leat? Mínigh do chuid freagraí.

14. Is ionann an dóchúlacht go mbeidh ar dhuine fanacht ar feadh níos mó ná 5 nóiméad ag oifig an phoist agus 2 _ 7 .Baineann 350 duine úsáid as oifig an phoist in aon lá amháin. Oibrigh amach meastachán ar líon na ndaoine a mbíonn orthu fanacht ar feadh níos mó ná 5 nóiméad.

15. Seo iad na torthaí ar thurgnamh a rinneadh chun rothlóir a thástáil:

(i) Mínigh cén chuma a d’fhéadfadh a bheith ar an rothlóir.

(ii) Tarraing sceitse den chuma a d’fhéadfadh a bheith ar an rothlóir.

16. Is aoibhinn le Daibhéid agus le Ruairí a bheith ag imirt gailf. As an 20 babhta deireanach a d’imir siad, bhí an bua ag Ruairí in 14 cinn. (i) Bunaithe ar na torthaí sin, tabhair meastachán ar an dóchúlacht gur ag Daibhéid a

bheidh an bua sa chéad bhabhta eile. (ii) Má bhuann Daibhéid an chéad chúig bhabhta eile, tabhair meastachán ar an

dóchúlacht gur ag Ruairí a bheidh an bua sa chéad bhabhta eile ina dhiaidh sin.

Toradh na gcastaí

Dearg 50

Bán 30

Gorm 20

Iomlán 100

194

Mír 10.6 Léaráidí Venn in úsáid sa dóchúlacht Má chuirtear faisnéis i láthair i bhfoirm léaráid Venn, bíonn sé éasca an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhais éagsúla a scríobh síos.

Léiríonn na léaráidí thíos na príomhréigiúin nuair a thrasnaíonn dhá léaráid Venn a chéile.

U

A

A ∩ B

B

U

A

A ∪ B

B

U

A

A

B

U

A

B \ A

B

U

A

(A ∪ B)�

B

U

A

B�

B

Sampla 1Sa léaráid Venn ar dheis taispeántar na spóirt a imríonn baill de chlub áirithe. Cé mhéad ball (i) a imríonn peil agus leadóg araon (ii) a imríonn leadóg ach nach n-imríonn peil (iii) nach n-imríonn ceachtar den dá chluiche (iv) a imríonn peil nó leadóg?Anois scríobh síos dóchúlacht gach ceann de (i)-(iv) thuas.

(i) Peil agus leadóg araon 5 10 (ii) Imríonn leadóg ach ní imríonn peil 5 35 (iii) Ní imríonn ceachtar den dá chluiche 5 45 (iv) Peil nó leadóg 5 40 1 10 1 35 5 85

10 10 1 35 7 P(i) 5 –––––––––––––––––––––– 5 ––– 5––– P(ii) 5 ––– 5––– líon iomlán na mball 130 13 130 26

P(iii) 5 45 ____ 130

5 9 ___ 26

P(iv) 5 85 ____ 130

5 17 ___ 26

Peil

U

Leadóg

40 10 35

45

195

Trí thacar Sa léaráid ar dheis taispeántar na spóirt a imríonn grúpa daltaí sa dara bliain.

Tugtar dóchúlachtaí teagmhais éagsúla thíos.Scrúdaigh an léaráid chun na dóchúlachtaí sin a fhíorú.

(i) P(imríonn dalta na trí chluiche) 5 1 ___ 25

(ii) P(imríonn dalta líonpheil) 5 6 1 2 1 1 1 4 ____________ 25

5 13 ___ 25

(iii) P(ní imríonn dalta sacar) 5 6 1 4 1 2 1 6 ____________ 25

5 18 ___ 25

(iv) P(imríonn dalta dhá chluiche, agus iad sin amháin) 5 2 1 4 1 1 _________ 25

5 7 ___ 25

Cleachtadh 10.6 1. Sa léaráid Venn ar dheis,

seasann U do na teaghlaigh atá ina gcónaí ar shráid áirithe,

seasann C do na teaghlaigh a bhfuil cat acu agus

seasann M do na teaghlaigh a bhfuil madra acu.

Má roghnaítear teaghlach go randamach, céard é an dóchúlacht (i) go bhfuil cat acu (ii) go bhfuil cat agus madra acu (iii) go bhfuil madra acu ach nach bhfuil cat acu (iv) go bhfuil cat nó madra acu (v) nach bhfuil cat ná madra acu?

2. Sa léaráid Venn ar dheis,

U 5 na daltaí i rang 1K

P 5 na daltaí sa rang a imríonn peil

B 5 na daltaí sa rang a imríonn badmantan.

(i) Cé mhéad dalta atá sa rang? (ii) Cé mhéad dalta a imríonn badmantan?

Má roghnaítear dalta go randamach as an rang, cén dóchúlacht atá ann (iii) go n-imríonn sé/sí an dá chluiche (iv) nach n-imríonn sé/sí ceachtar den dá chluiche (v) go n-imríonn sé/sí badmantan ach nach n-imríonn sé/sí peil (vi) nach n-imríonn sé/sí ach cluiche amháin.

3. Sa léaráid Venn ar dheis taispeántar na nua-theangacha (má tá aon cheann i gceist) a dhéanann grúpa 50 dalta. (i) Faigh luach x.Má roghnaítear dalta go randamach, faigh an dóchúlacht

(ii) go ndéanann sé/sí Fraincis (iii) go ndéanann sé/sí Fraincis agus Spáinnis (iv) go ndéanann sé/sí Fraincis nó Spáinnis (v) nach ndéanann sé/sí ach ceann amháin de na teangacha sin.

U

L

L � líonpheilC � cispheilS � sacar

S C6

113 2

6

42

C

U

M

14 12 26

30

P

U

B

12 3 4

11

Fraincis

U

Spáinnis

25 5 x

8

196

4. As rang 28 dalta, bhí 25 ag caitheamh bléasair nó carbhait nó an dá rud. Bhí seachtar ag caitheamh bléasar gan charbhat agus bhí ochtar ag caitheamh bléasair agus carbhait. (i) Taispeáin an t-eolas sin ar léaráid Venn. (ii) Maidir le dalta a roghnaíodh go randamach, faigh an dóchúlacht go raibh sé/sí ag

caitheamh carbhait ach nach raibh sé/sí ag caitheamh bléasair. (iii) Maidir le dalta a roghnaíodh go randamach, faigh an dóchúlacht nach raibh sé/sí

ag caitheamh carbhait ná bléasair.

5. I rang 40 páiste, rinneadh suirbhé le fáil amach cé mhéad páiste ar thaitin seacláid leo agus cé mhéad ar thaitin uachtar reoite leo. Taispeántar na torthaí sa léaráid Venn ach níl an réigiún a bhfuil A air líonta isteach. (i) Céard é an uimhir i réigiún A? (ii) Céard is féidir leat a rá faoi na páistí i réigiún A? (iii) Má roghnaítear páiste amháin go randamach, céard é an dóchúlacht gur thaitin

uachtar reoite leis an bpáiste sin ach nár thaitin seacláid leis/léi? (iv) Roghnaítear go randamach duine amháin de na páistí ar thaitin seacláid leo.

Céard é an dóchúlacht gur thaitin uachtar reoite leis/léi freisin?

6. Taispeánann an léaráid Venn ar dheis na torthaí ar shuirbhé a rinneadh ar ghrúpa daoine fásta le fáil amach cé acu de na cluichí a imríonn siad, galf, leadóg nó peil, má imríonn siad ceann ar bith.

(i) Cé mhéad duine fásta a bhí sa suirbhé?

Má roghnaíodh duine fásta go randamach, faigh an dóchúlacht (ii) go n-imríonn an duine sin galf (iii) go n-imríonn an duine sin galf agus leadóg (iv) go n-imríonn an duine sin na trí chluiche (v) nach n-imríonn an duine sin ach peil (vi) go n-imríonn an duine sin peil agus leadóg (vii) go n-imríonn an duine sin peil agus leadóg ach nach n-imríonn sé/sí galf.

7. Sa léaráid Venn ar dheis taispeántar na torthaí ar shuirbhé inar fiafraíodh de 100 duine cé acu de na nuachtáin – An Neamhspleách (N), An Post (P) nó An Domhan (D) a cheannaigh siad an Domhnach roimhe sin.

Má roghnaíodh duine go randamach, faigh an dóchúlacht (i) gur cheannaigh sé/sí An Neamhspleách (ii) gur cheannaigh sé/sí An Domhan agus An Post (iii) nár cheannaigh sé/sí ach aon nuachtán amháin (iv) gur cheannaigh sé/sí dhá nuachtán, agus iad sin amháin (v) gur cheannaigh sé/sí An Post agus An Neamhspleách ach nár cheannaigh sé/sí An

Domhan.

Thaitin seacláid leo

U

Thaitin uachtar reoite leo

8 A 6

2

U

Peil

LeadógGalf512 26

47 14

2210

U

N P

D

7

1616

568

28 14

197

8. Agus iad ag filleadh as Meiriceá, fiafraíodh de 35 duine ar thug siad cuairt ar Nua-Eabhrac, ar Bhostún nó ar San Francisco. Bhí na torthaí mar seo a leanas:

thug 20 cuairt ar Nua-Eabhrac; thug 13 cuairt ar Bhostún; thug 16 cuairt ar San Francisco;

thug seachtar cuairt ar gach ceann de na trí chathair;

bhí triúr i Nua-Eabhrac agus in San Francisco araon, ach ní raibh siad i mBostún; bhí duine amháin i Nua-Eabhrac agus i mBostún araon, ach ní raibh sé/sí in San Francisco; bhí ochtar i mBostún agus in San Francisco.

(i) Taispeáin an fhaisnéis sin ar léaráid Venn.

(ii) Má roghnaítear duine amháin go randamach as an ngrúpa, cén dóchúlacht nár thug an duine sin cuairt ar cheann ar bith de na trí chathair?

(iii) Má roghnaítear duine amháin go randamach, cén dóchúlacht gur ar Nua-Eabhrac amháin a thug an duine sin cuairt?

(iv) Má roghnaítear duine amháin go randamach, cén dóchúlacht gur thug an duine sin cuairt ar Bhostún nó ar Nua-Eabhrac?

(v) Roghnaítear go randamach duine a thug cuairt ar Nua-Eabhrac. Cén dóchúlacht gur thug an duine sin cuairt ar Bhostún freisin?

Mír 10.7 Léaráidí crainn Is féidir na fothorthaí féideartha ar dhá theagmhas nó níos mó a thaispeáint i gcineál áirithe léaráide ar a dtugtar léaráid chrainn. Seasann craobhacha an chrainn do gach fothoradh féideartha ar gach teagmhas.

Seasann an léaráid chrainn thíos do gach fothoradh féideartha i gcás triúr clainne.

BBB

BBC

Buachaill

CailínBuachaill

Cailín

Buachaill

Cailín

Buachaill

An chéad pháiste An dara páiste An tríú páiste

Cailín

BCB

BCC

Buachaill

Cailín

CBB

CBC

Buachaill

Cailín

CCB

CCC

Buachaill

Cailín

198

Is léir ón léaráid chrainn gur 8 bhfothoradh fhéideartha atá ann. Na torthaí atá aibhsithe, seasann siad sin do na clanna ina bhfuil aon chailín amháin. P(cailín amháin) 5 3 _ 8 Is léir ón léaráid go bhfuil P(triúr buachaillí) 5 1 _ 8 .

Ar dheis tá léaráid chrainn de na fothorthaí nuair a chaitear dhá bhonn airgid in airde. Feicimid go bhfuil P(AA) 5 1 _ 4 .

Anois tarraingeoimid an léaráid chrainn arís agus scríobhfaimid na dóchúlachtaí ar na craobhacha. Faightear P(AA) ach na dóchúlachtaí feadh na gcraobhacha ábhartha a iolrú faoina chéile, i.e., 1 _ 2 3 1 _ 2 5 1 _ 4 .

Sampla 1

Castar an dá rothlóir ar dheis uair amháin. Tarraing léaráid chrainn chun na castaí sin a léiriú. Bain úsáid as an léaráid chrainn chun na dóchúlachtaí seo a scríobh síos:

(i) P(A dearg, B dearg) (ii) P(an dath céanna sa dá chás).

Taispeántar thíos an léaráid chrainn agus na dóchúlachtaí feadh gach craoibhe.

dóchúlacht (A dearg, B dearg) 5 1 _ 4 3 3 _ 5 5 3 __ 20

dóchúlacht (A dearg, B gorm) 5 1 _ 4 3 2 _ 5 5 2 __ 20

dóchúlacht (A gorm, B dearg) 5 3 _ 4 3 3 _ 5 5 9 __ 20

dóchúlacht (A gorm, B gorm) 5 3 _ 4 3 2 _ 5 5 6 __ 20 (i) P(dearg, dearg) 5 3 __ 20 (ii) P(an dath céanna sa dá chás) 5 dóchúlacht (A dearg, B dearg) + dóchúlacht

(A gorm, B gorm) 5 3 __ 20 1 6 __ 20 5 9 __ 20

(Tabhair faoi deara gurb é 1 suim na ndóchúlachtaí ag ceann na gceithre chraobh.)

AA

AC

A

CA

C CA

CC

A

C

AA � � �12

12

12

12

12

12

12

14

12

Rothlóir A Rothlóir B

dearg

gorm

dearg

gorm

dearg

gorm

35

25

35

25

14

34


199

Cleachtadh 10.7 1. Nuair a thagann tiománaí go dtí soilse tráchta ar bith,

bíonn seans cothrom ann go mbeidh siad dearg nó glas. Má bhíonn ar thiománaí dul trí dhá cheann de shoilse tráchta, cóipeáil agus comhlánaigh an léaráid chrainn ar dheis. Scríobh síos na dóchúlachtaí seo: (i) P(iad araon glas) (ii) P(ceann amháin dearg, ceann amháin glas).

2. Cóipeáil agus comhlánaigh an léaráid chrainn don dá rothlóir seo. A

B

Cén dóchúlacht atá ann go stopann A agus B (i) ar an dath céanna (ii) ar dhathanna éagsúla?

3. Cúig aghaidh dhearga agus aon aghaidh ghlas amháin atá ar an dísle atá ag Paula. Caitheann sí an dísle faoi dhó. (i) Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid

chrainn. (ii) Faigh an dóchúlacht gurb é an dath

céanna a thaispeánann an dísle an dá uair. (iii) Faigh an dóchúlacht go dtaispeánann an

dísle glas agus dearg san ord sin.

4. Tá 4 chnaipe dhearga agus 2 chnaipe ghorma i mála áirithe. Tá 2 chnaipe dhearga agus 4 chnaipe ghorma i mála eile. Tógann Jeaic cnaipe amháin go randamach amach as an dá mhála. (i) Críochnaigh léaráid chrainn na ndóchúlachtaí. (ii) Faigh an dóchúlacht go dtógann Jeaic

(a) 2 chnaipe dhearga (b) dearg agus gorm san ord sin (c) dearg agus gorm in ord ar bith.

G

Soilse tráchta 2

Soilse tráchta 1

G

D

dearg

buí

dearg

buí

?

?

? dearg

buí

?


13

25

56

dearg

glas

dearg

glas

GD

GG

DD

DGdearg

1ú caitheamh 2ú caitheamh

glas

dearg

gorm

dearg

gormdearg

An chéad mhála An dara mála

gorm

200

5. Tá bonn airgid ag Gearóid atá ualaithe sa chaoi is gurb é 3 _ 5 an dóchúlacht go stopfaidh sé aghaidh in airde agus 2 _ 5 an dóchúlacht go stopfaidh sé cúl in airde.

(i) Cóipeáil agus comhlánaigh an léaráid chrainn le haghaidh an bonn airgid a chaitheamh in airde faoi dhó. Scríobh na dóchúlachtaí ar na craobhacha.

(ii) Faigh an dóchúlacht go bhfaighidh sé aghaidh amháin agus cúl amháin.

6. Tá 10 mbonn i mála áirithe. Tá 6 bhonn óir ann agus is boinn airgid an chuid eile.

Tógtar bonn amach as an mála go randamach. Déantar cuntas den chineál boinn atá ann agus ansin cuirtear ar ais sa mhála é. Ansin tógtar bonn eile amach as an mála go randamach. (i) Taispeánann an léaráid chrainn na bealaí ar fad

inar féidir dhá bhonn a thógáil amach as an mála. Cóipeáil an léaráid agus scríobh na dóchúlachtaí uirthi.

(ii) Bain úsáid as do léaráid chrainn chun an dóchúlacht gur bonn óir amháin agus bonn airgid amháin atá ann a ríomh.

7. Caitheann Sílbhe gnáthdhísle faoi dhó. (i) Cóipeáil agus comhlánaigh an léaráid chrainn seo. (ii) Bain úsáid as an léaráid chrainn chun

na dóchúlachtaí seo a scríobh síos:(a) go bhfaigheann Sílbhe dhá shé(b) nach bhfaigheann Sílbhe ach sé amháin.

8. Caitheann Léan bonn airgid cóir in airde trí huaire. Tarraing léaráid chrainn do na trí chaitheamh in airde. Faigh an dóchúlacht (i) go bhfuil an toradh céanna ar na trí chaitheamh

in airde (ii) go dtugann dhá chaitheamh in airde ‘aghaidh’

agus go dtugann an ceann eile ‘cúl’.

9. Caitear dhá dhísle chóra. Is iad na huimhreacha 1, 1, 2, 2, 2, 2 atá ar na haghaidheanna i gcás an dá dhísle. Tarraing crann dóchúlachta agus bain úsáid as chun dóchúlacht na dteagmhas seo a fháil:

(i) is é 4 an scór iomlán (ii) is é 3 an scór iomlán (iii) taispeánann dísle amháin ar a laghad 2.

aghaidh

cúl

aghaidh

cúlaghaidh

1ú caitheamh in airde

2ú caitheamh in airde

cúl

bonn airgidbonn óir

bonn airgidbonn óir

bonn airgid

1ú bonn 2ú bonn

bonn óir

a sé

gan a sé

a sé

gan a sé

a sé

gan a sé

2ú caitheamh1ú caitheamh

3ú caitheamh

in airde

1ú caitheamh

in airde

2ú caitheamh

in airde

201

Cuir triail ort féin 10 1. (a) A B C

4 2

3 1

3

1

2

5 4

3

2

1

Cé acu de na rothlóirí seo a bhfuil an dóchúlacht go stopfaidh sé ar 3 cothrom le (i) 20% (ii) 25% (iii) 1 _ 3 ?

(b) Rinneadh taifead ar an gcéad 100 feithicil a chuaigh trí sheicphointe. Tá na torthaí sa tábla. Má thugann na figiúirí sin léiriú cruinn ar an trácht ag am ar bith tríd an seicphointe seo, déan amach an dóchúlacht thurgnamhach, maidir leis an gcéad fheithicil eile, (i) gur carr a bheidh inti (ii) gur gluaisrothar a bheidh inti (iii) gur bus a bheidh inti (iv) nach carr a bheidh inti (v) nach carr ná trucail a bheidh inti

(c) I rang 30 dalta, déanann ochtar ceol (C), déanann 14 ealaín (E) agus déanann seisear ceol agus ealaín. (i) Cuir an fhaisnéis sin i láthair ar chóip den

léaráid Venn atá tugtha.

Má roghnaítear dalta go randamach, céard é an dóchúlacht (ii) go ndéanann an dalta ceol agus ealaín (iii) go ndéanann an dalta ealaín ach

nach ndéanann sé/sí ceol (iv) nach ndéanann an dalta ceol ná ealaín (v) go ndéanann an dalta ceol nó ealaín?

2. (a) Tá 50 mirlín i mála áirithe: tá 20 ceann acu dearg, 12 cheann acu glas agus 18 gcinn acu dubh.Maidir le mirlín a roghnaítear go randamach, cén dóchúlacht atá ann (i) gur dearg atá sé (ii) gur glas atá sé (iii) nach dubh atá sé?

(b) Tá dhá rothlóir ag Cionnaith, iad araon uimhrithe 1 go 4. Níl ach ceann amháin acu ina rothlóir cóir. Taispeántar sna táblaí seo na torthaí nuair a chastar an dá rothlóir 80 uair. I do thuairim, cé acu rothlóir atá cóir, rothlóir A nó rothlóir B? Mínigh an cinneadh a rinne tú.

(c) Seo dhá fhoireann cártaí:

2 4 73FOIREANN P FOIREANN Q6 8

Tógtar cárta go randamach ó fhoireann P agus ó fhoireann Q.

Cineál feithicle MinicíochtCarranna 70Trucailí 15Gluaisrothair 10Busanna 5

C

U

E

A Scór Minicíocht B Scór Minicíocht1 19 1 15

2 22 2 18

3 21 3 15

4 18 4 32

(i) Liostaigh na fothorthaí ar fad a d’fhéadfadh a bheith ann. (ii) Cén dóchúlacht atá ann go bhfaighfear dhá ré-uimhir? (iii) Cén dóchúlacht atá ann go bhfaighfear dhá uimhir leantacha?

3. (a) Rinneadh comhaireamh ar líon na gcipíní in 20 bosca cipíní agus rinneadh taifead ar na torthaí.

Líon cipíní 48 49 50 51 52 53

Líon boscaí 1 5 8 3 2 1

Dá gcomhairfí na cipíní i mbosca cipíní cosúil leo sin, cén dóchúlacht thurgnamhach a bheadh ann go mbeadh 50 cipín nó níos nó istigh ann?

(b) Tá 5 chnaipe ghlasa agus x cnaipe órga i mála.Céard é luach x más é 2 _ 3 an dóchúlacht go dtarraingeofar cnaipe órga?

(c) Sa léaráid Venn ar dheis taispeántar líon na ndaltaí a dhéanann Mata (M), Béarla (B) agus Stair (S).

Má roghnaítear dalta go randamach, faigh an dóchúlacht go ndéanann an dalta (i) Béarla (ii) Mata agus Stair (iii) Mata nó Béarla (iv) Mata amháin (v) na trí ábhar (vi) Béarla nó Stair.

4. (a) Mínigh céard is brí leis na dóchúlachtaí seo: (i) 0 (ii) 0.5 (iii) 75% (iv) 1.

(b) Sa tábla ar dheis tugtar dathanna na mbratach atá ar foluain ag comórtas spóirt idirnáisiúnta.Maidir le bratach a roghnaítear go randamach ó na bratacha sin, faigh an dóchúlacht (i) gur bán atá sí (ii) nach gorm atá sí (iii) gur gorm nó bán atá sí.

(c) Caitear dísle laofa. Tugann an tábla seo an dóchúlacht go stopfaidh sé ar gach ceann de na huimhreacha 1, 2, 4, 5 agus 6.

1 2 3 4 5 6

Dóchúlacht 0.1 0.1 0.2 0.3 0.1

(i) Oibrigh amach an dóchúlacht gur ar 3 a stopfaidh an dísle. (ii) Oibrigh amach an dóchúlacht gur ar ré-uimhir a stopfaidh an dísle.

5. (a) Suaitear gnáthphaca cártaí imeartha go maith agus tarraingítear amach cárta. Déan amach an dóchúlacht gurb é atá ann ná (i) cárta dearg (ii) an t-aon spéireata (iii) uimhir is lú ná a deich agus is mó ná a ceathair (iv) cárta pictiúir dubh (v) aon (vi) uimhir idir a ceathair agus a deich (agus an dá uimhir sin san áireamh).

2 74

3

3

6 5

M B

S

Dearg 240

Gorm 160

Bán 320

Eile 80

202

(b) Chaith Sinéad ceithre bhonn airgid in airde 30 uair agus rinneadh taifead ar líon na n-aghaidheanna gach uair. Taispeántar na torthaí sa bharrachairt. (i) Ón turgnamh seo, nuair a chaitear ceithre

bhonn airgid in airde, cén dóchúlacht atá ann (a) nach mbeidh aghaidh ar bith ann (b) gur dhá aghaidh a bheidh ann (c) go mbeidh trí aghaidh ar a laghad ann?

(ii) Dá ndéanfaí an turgnamh sin arís, an mbeifeá ag súil leis na torthaí céanna? Mínigh do fhreagra.

(c) I ngrúpa 25 mac léinn, déanann 18 nduine an Mhatamaitic, déanann dháréag (12) an Eolaíocht agus tá cúigear nach ndéanann an Mhatamaitic ná an Eolaíocht. Léirigh an fhaisnéis sin ar léaráid Venn. Má roghnaítear mac léinn go randamach, cén dóchúlacht atá ann go ndéanann sé/sí (i) an Mhatamaitic amháin (ii) an Eolaíocht amháin (iii) an Mhatamaitic nó an Eolaíocht nó an dá rud (iv) an Mhatamaitic agus an

Eolaíocht araon?

6. (a) Is é 0.4 an dóchúlacht go stopfaidh dísle laofa agus 3 in airde. Caitheann Marc an dísle laofa 200 uair. Oibrigh amach meastachán ar an méid uaireanta a stopfaidh an dísle agus 3 in airde.

(b) Tá ceithre aghaidh ar an dísle atá ag Tomás. Caitheann sé an dísle 100 uair. Tá na torthaí sa tábla. An bhfuil an dísle cóir? Mínigh do fhreagra.

(c) Is féidir le biorán ordóige titim bior in airde nó bior síos. Lig Nelson dó titim 10 n-uaire i dtosach, ansin 20 uair, ansin 30 uair, ... Sna graif thíos taispeántar an mhinicíocht choibhneasta go dtitfidh sé bior in airde le hais líon na dtrialacha. Cé acu graf is dóchúla a thaispeánfaidh torthaí Nelson?

Min

icío

cht c

hoib

hnea

sta

Líon trialacha

Biorán ordóige ag titim bior in airde

Min

icío

cht c

hoib

hnea

sta

Líon trialacha


Min

icío

cht c

hoib

hnea

sta

Líon trialacha


A B C

(d) Ar a shlí chun na hoibre dó, tá dhá áit a mbíonn ar Nick stopadh cuid den am – ag na soilse tráchta agus ag crosaire comhréidh. Maidir leis an dá áit sin, tá an dóchúlacht go mbeidh air stopadh ansin measta ag Nick thar thréimhse ama.Is é an dóchúlacht go mbeidh air stopadh ag na soilse tráchta ná 2 _ 3 .Is é an dóchúlacht go mbeidh air stopadh ag an gcrosaire comhréidh ná 1 _ 5 . (i) Tóg léaráid chrainn chun an fhaisnéis sin a thaispeáint. (ii) Ríomh an dóchúlacht nach mbeidh ar Nick stopadh ag na soilse ná ag an

gcrosaire comhréidh ar a shlí chun na hoibre.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2Líon na n-aghaidheanna

Min

icío

cht

3 4

Fothoradh 1 2 3 4

Minicíocht 18 44 19 19

bior in airde bior síos

203

204

Mír 11.1 Súil siar ar fhoirmlí Sa staidéar a rinne tú go dtí seo ar an gcéimseata chomhordanáideach, d'fhoghlaim tú conas pointí a bhreacadh ar an bplána comhordanáidithe. Lena chois sin d'úsáid tú foirmlí chun an fad idir dhá phointe agus lárphointe mírlíne a fháil. Seo thíos an dá fhoirmle thábhachtacha sin. Cuirtear de ghlanmheabhair iad.

1. An fad idir dhá phointeTaispeántar na pointí A(x1, y1) agus B(x2, y2) ar an léaráid thall.

|BC| 5 y2 2 y1 agus |AC| 5 x2 2 x1

Ag úsáid Theoirim Phíotagarás:

|AB|2 5 |AC|2 1 |BC|2

5 (x2 2 x1)2 1 (y2 2 y1)2

|AB| 5 √___________________

(x2 2 x1)2 1 ( y2 2 y1)2

2. Lárphointe mírlíne

Is é lárphointe, M, na mírlíne a cheanglaíonn A(x1, y1) agus B(x2, y2)

(  x1 1 x2 ______ 2

, y1 1 y2 ______

2 )

y

xO

M

B (x2, y2)

A (x1, y1)

y

xO

A(x1, y1)

B(x2, y2)

Cx2 � x1

y2 � y1

Is é an fad idir A(x1, y1) agus B(x2, y2)

|AB| 5 √__________________

(x22 x1)21 (y2 2y1)2

Focail thábhachtacha greille bunphointe comhordanáidí x-ais y-ais ceathrúna cothrománachceartingearach comhthreomhar ingearach fána deimhneach diúltachcothromóid líneach idirlíne fána trasnú cothromóidí comhuaineacha

caibi

dil

11Céimseata Chomhordanáideach – An Líne

205

Sampla 1

Más dhá phointe ar an bplána iad A(21, 3) agus B(5, 7), faigh

(i) |AB| (ii) lárphointe [AB].

(i) |AB| 5 √__________________

(x2 2 x1)2 1 (y2 2 y1)2 A(21, 3) B(5, 7) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

5 √________________

(5 1 1)2 1 (7 2 3)2 5 √

_______ 36 1 16

5 √___

52

(ii) Lárphointe [AB] 5(  x1 1 x2 ______ 2

, y1 1 y2 ______

2 )

5 (  21 1 5 _______ 2

, 3 1 7 _____ 2

)

5 (2, 5)

Cleachtadh 11.1 1. Scríobh síos comhordanáidí na bpointí seo

ar fad atá ar an bplána comhordanáidithe ar dheis:

2. Tarraing plána comhordanáidithe ó −5 go 5 ar an x-ais agus ó −4 go 4 ar an y-ais. Anois breac gach ceann de na pointí seo a leanas: (i) A(3, 4) (ii) B(21, 3) (iii) C(4, 23) (iv) D(24, 23) (v) E(1, 23)

3. Tá ceithre cheathrú le feiceáil ar dheis. Cén cheathrú ina bhfuil na pointí seo a leanas? (i) (3, 5) (ii) (22, 23) (iii) (1, 24) (iv) (23, 1) (v) (3, 23) (vi) (21, 23).

y

x

�3

�4

�2

�1O

1

2

3

4

�4�5 �3 �2 �1 1 2 3 4

D

E

5

F

G

H

IJ

K

L

M

C

A

B

y

x

�1

�2

O

1

2

�2 �1 1

AnChéad

Cheathrú

AnDara

Ceathrú

AnCeathrúCeathrú

AnTríú

Ceathrú

2

206

4. Cén ais ar a bhfuil gach ceann de na pointí seo a leanas? (i) (4, 0) (ii) (23, 0) (iii) (0, 4) (iv) (0, 23) (v) (0, 0).

5. Taispeántar na pointí A, B, C agus D.

Faigh (i) |AB|

(ii) |AC|

(iii) |AD|.

An bhfuil |DC| 5 |BC|?

6. Faigh an fad idir na péirí pointí seo a leanas:

(i) (2, 1) agus (3, 4) (ii) (1, 5) agus (2, 3) (iii) (21, 4) agus (2, 6) (iv) (3, 22) agus (25, 3) (v) (26, 21) agus (1, 23) (vi) (4, 22) agus (0, 25)

7. Is reanna triantáin iad A(1, 1), B(3, 6) agus C(5, 1). Taispeáin go bhfuil |AB| 5 |BC|.

8. Is é (23, 1) lárphointe ciorcail, agus is pointe ar an gciorcal é (4, 3). Faigh fad gha an chiorcail.

9. Is reanna comhthreomharáin iad A(2, 1), B(6, 1), C(5, 22) agus D(1, 22).

Breac an comhthreomharán ar phlána comhordanáidithe.

Faigh (i) |AC| (ii) |BD|.

An bhfuil na trasnáin ar comhfhad?

10. Taispeántar na pointí D, E agus F sa léaráid seo.

y

xO

F (�4, �1)

D (2, 2)

E (2, �1)

(i) Scríobh síos fad [FE] agus fad [ED]. (ii) Faigh |DF|.

Taispeáin le Teoirim Phíotagarás gur triantán dronuilleach é an triantán DEF.

11. Faigh lárphointe na mírlíne a cheanglaíonn na pointí seo: (i) (2, 4) agus (6, 2) (ii) (2, 4) agus (0, 2) (iii) (2, 21) agus (4, 3) (iv) (22, 4) agus (4, 22) (v) (2, 23) agus (0, 21) (vi) (23, 4) agus (21, 24).

y

xO

C (2, �2)

B (8, 2)

A (3, 5)

D (�4, 3)

207

12. Faigh lárphointe na mírlíne a cheanglaíonn (23, 4) agus (3, 7). Cén ais ar a bhfuil an lárphointe suite?

13. Foircinn ar thrastomhas ciorcail iad na pointí (22, 3) agus (6, 5). Faigh comhordanáidí lárphointe an chiorcail.

14. Is reanna comhthreomharáin iad A(4, 3), B(1, 23), C(22, 22) agus D(1, 4). Tarraing sceitse den chomhthreomharán sin. Faigh lárphointe [AC]. Deimhnigh gurb ionann lárphointe [AC] agus lárphointe [BD].

15. Faigh M, lárphointe na mírlíne a cheanglaíonn A(23, 4) agus B(1, 26). Anois taispeáin go bhfuil |AM| 5 |MB|.

16. Taispeántar na pointí A(1, 2), M(3, 5) agus B sa léaráid seo.Más é M lárphointe [AB], faigh trí iniúchadh comhordanáidí an phointe B.

17. Dhá phointe iad A(5, 2), agus B(x1, y1). Más é M(2, 4) lárphointe [AB], faigh comhordanáidí B.

Mír 11.2 Fána líne Mar seo a leanas a dhéantar fána líne AB a shainmhíniú

an t-athrú ceartingearach ardú________________________ nó ________an t-athrú cothrománach bonnfhad

Fána AB 5 3 _ 6 5 1 _ 2 .

Sa léaráid ar dheis, faightear fána AB mar seo a leanas

an t-athrú ingearach y2 2y1 ________________________ = ________ an t-athrú cothrománach x2 2x1

Dá bhrí sin, tá fána m na líne AB 5 y22 y1 ______ x2 2 x1

.

Is é fána m na líne a ghabhann trí na pointí (x1, y1) agus (x2, y2) ná

m 5 y2 2 y1 ______ x2 2 x1

M (3, 5)

B

A (1, 2)

6

3 An tAthrúCeartingearach

An tAthrúCothrománach

A

B

y

xO

A(x1, y1)

B(x2, y2)

x2 � x1

y2 � y1

208

Sampla 1

Má tá A 5 (3, 21) agus B 5 (5, 2), faigh fána na líne AB.

m 5 y2 2 y1 ______ x2 2 x1

(3, 21) (5, 2) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

5 2 1 1 _____ 5 2 3

5 3 __ 2

Fána AB 5 3 __ 2

.

Fánaí deimhneacha agus diúltacha Ag féachaint ar líne ó chlé go deas, deimhneach atá an fhána más ag ardú atá an líne, agus diúltach atá sí más ag ísliú atá an líne.

y

xO

Fánadheimhneach

Fánadhiúltach

� �

Línte comhthreomhara Tá an fhána 3 _ 2 ag na línte a agus b sa léaráid thíos.

Tá na línte sin comhthreomhar.

y

xO

fána �

a

b32

32fána �

An fhána chéanna a bhíonn le línte comhthreomhara.

209

Línte ingearacha Tá na línte a agus b ingearach.

Fána a 5 3 _ 2 .

Fána b 5 2 2 _ 3 .

Tabhair faoi deara go bhfuil fána amháin cothrom le

míneas roimh dheilín na fána eile.

Tabhair faoi deara freisin go bhfuil toradh an dá fhána cothrom le 21, i.e.,

2 2 _ 3 3 3 _ 2 5 21

Má bhíonn dhá líne ingearach le chéile, tá bíonn an dá fhána cothrom le 21, i.e.,

m1 3 m2 5 21

Sampla 2

Ceithre phointe ar an bplána iad A(21, 0), B(3, 2), C(21, 4) agus D(2, 22).Taispeáin go bhfuil AB ingearach le CD.

Seasann m1 d'fhána AB agus m2 d'fhána CD.

A(21, 0) B(3, 2) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

C(21, 4) D(2, 22) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

m1 5 y2 2 y1 ______ x2 2 x1

m2 5 y2 2 y1 ______ x2 2 x1

5 2 2 0 _____ 3 1 1

5 22 2 4 _______ 2 1 1

5 2 __ 4

5 1 __ 2

5 26 ___ 3

5 22

m1 3 m2 5 1 __ 2

3 (22)

521

Tá AB ingearach le CD toisc gurb é 21 toradh na bhfánaí.

y

xO

a

b

fána �

fána � �

32

23

210

Cleachtadh 11.2 1. Taispeántar ceithre líne a, b, c agus d sa léaráid.

(i) Cé na línte a bhfuil fánaí deimhneacha acu? (ii) Cé na línte a bhfuil fánaí diúltacha acu?

2. Scríobh síos fána na línte seo a thaispeántar ar an ngreille thíos:

ab

c

d

3. Tarraingítear trí líne a, b agus c ar na greillí thíos:

y

a

xO

y

xO

b

y

xO

c

(i) Cén líne lena bhfuil an fhána 3 _ 2 ? (ii) Céard é fána na líne a? (iii) Céard é fána na líne c?

4. Cén fáth a bhfuil fána na líne seo diúltach? Úsáid an ghreille chun fána na líne a oibriú amach.

5. Faigh fána na líne AB do gach ceann díobh seo a leanas: (i) A(3, 1) agus B(5, 3) (ii) A(21, 2) agus B(3, 24) (iii) A(21, 23) agus B(0, 5) (iv) A(3, 0) agus B(21, 24) (v) A(23, 2) agus B(25, 0) (vi) A(25, 1) agus B(22, 3).

y

xO

a

dc

b

211

6. Taispeáin go bhfuil an fhána chéanna leis an líne a ghabhann trí A(21, 22) agus B(3, 0) agus atá leis an líne a ghabhann trí C(2, 3) agus D(22, 1). Céard is féidir leat a rá faoi na línte AB agus CD?

7. Tá na pointí (1, 1) agus (2, 4) ar an líne . Tá na pointí (4, 1) agus (3, 22) ar an líne m. Imscrúdaigh an bhfuil comhthreomhar le m.

8. Is reanna ceathairshleasáin iad A(22, 24), B(5, 21), C(6, 4) agus D(21, 1). Tarraing sceitse garbh den fhíor sin. Anois deimhnigh go bhfuil AB||CD agus AD||BC.

9. Taispeántar trí líne a, b, agus c sa léaráid seo.

Meaitseáil na línte leis na fánaí seo:

2, 1 _ 2 , 1.

10. Is é 3 _ 4 fána na líne . (i) Scríobh síos fána na líne m má tá m comhthreomhar le . (ii) Scríobh síos fána na líne n má tá n ingearach le .

11. Tugtar fánaí cúig líne thíos. Scríobh síos fána líne ar bith atá ingearach leis na línte seo: (i) 2 _ 3 (ii) 4 _ 5 (iii) 2 3 _ 4 (iv) 2 2 _ 5 (v) 2 1 _ 2

12. Tá na pointí (3, 21) agus (4, 22) ar an líne m. (i) Faigh fána líne ar bith atá comhthreomhar le m. (ii) Faigh fána líne ar bith atá ingearach le m.

13. Ceithre phointe ar an bplána iad A(21, 1), B(1, 3), C(6, 2) agus D(4, 4). Faigh fána (i) AB (ii) CD. Deimhnigh go bhfuil AB ⊥ CD.

14. Más é 3 _ 5 fána na líne a ghabhann trí na pointí (3, 2) agus (8, k) , faigh luach k.

15. Is é 1 _ 3 fána na líne a ghabhann trí (3, 22) agus (1, k). Faigh luach k.

16. Tá na pointí (22, 0) agus (4, 3) ar an líne . Tá na pointí (1, 21) agus (k, 1) ar an líne m. (i) Faigh fána . (ii) Faigh, i dtéarmaí k, fána m. (iii) Má tá ||m, faigh luach k.

a b c

212

17. Tá riail ag comhairle contae nach féidir le grádán rampa do chathaoireacha rothaí a bheith níos mó ná 0.08.Cé acu de na rampaí seo a bheadh oiriúnach do chathaoireacha rothaí?

A

C

10 m

0.7 m

15 m

1.5 m

1 m

12 m

0.2 m

3.2 mD

B

18. Tugtar na pointí A(3, 2), B(2, 3), C(22, 21) agus D(k, 5).Faigh luach k má tá AB||CD.

Mír 11.3 Cothromóid líne Is é 5 suim x-luach agus y-luach gach pointe ar an líne , m.sh. 2 1 3 5 5.

Mar sin deirtear gurb í cothromóid na líne

x 1 y 5 5.

Cothromóid na líne nó cothromóid líneach a thugtar ar x 1 y 5 5.

Fuarthas an chothromóid trí bhreathnú ar an ngaol idir x-luach agus y-luach gach pointe agus a fháil amach i gcás gach pointe go bhfuil x 1 y 5 5.

Féachfaimid ar an bhfíor ar dheis anois.

Tá an pointe (x1, y1) ar an líne agus tá fána m léi.

Seasann (x, y) do phointe ar bith eile ar .

Ón léaráid, is é fána y 2 y1 ______ x 2 x1

5 m.

Má iolraítear an dá thaobh faoi (x 2 x1) faightear

y 2 y1 5 m(x 2 x1)

Faightear cothromóid na líne a ghabhann trí (x1, y1), le fána m, trí úsáid a bhaint as

y 2 y1 5 m(x 2 x1)

y

xO

(x1, y1)

(x, y)

x � x1

y � y1

�

y

x�1

O

1

2

3

(5, 0)

(4, 1)

(3, 2)

(2, 3)

(1, 4)

(0, 5)

4

5

�2 �1 1 2 3 4 5�

213

Sampla 1

Faigh cothromóid na líne ar a bhfuil an pointe (23, 2) agus arb é 2 _ 3 a fána.

Is í cothromóid na líne: y 2 y1 5 m(x 2 x1) m 5 2 __ 3

y 2 2 5 2 __ 3

(x 1 3) (x1, y1) 5 (23, 2)

y 2 2 5 2x ___ 3

1 6 __ 3

Iolraigh gach téarma faoi 3: 3y 2 65 2x 1 6

2x 2 3y1 12 5 0

is í cothromóid na líne ná: 2x 2 3y1 12 5 0

Cothromóid na líne nuair is eol dhá phointe ar an líne Chun cothromóid líne ar a bhfuil dhá phointe a fháil, ar dtús faighimid fána na líne leis an

bhfoirmle y2 2 y1 ______ x2 2 x1

.

Gheobhaimid cothromóid na líne ansin leis an bhfoirmle y 2 y1 5 m(x 2 x1).

Féadfaidh tú ansin ceachtar den dá phointe a úsáid mar (x1, y1).

Sampla 2

Faigh cothromóid na líne a bhfuil an dá phointe (22, 3) agus (3, 1) uirthi.

Fána na líne: m 5 y2 2 y1 ______ x2 2 x1

(22, 3) (3, 1) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

5 1 2 3 _____ 3 1 2

5 22 ___ 5

Bainimid leas ansin as an bhfána 2 2 __ 5

agus as an bpointe (22, 3)

Cothromóid na líne: y 2 y1 5 m(x 2 x1)

y 2 3 5 2 2 __ 5

(x 1 2)

y 2 3 5 2 2x ___ 5

2 4 __ 5

5y 2 15 5 22x 2 4 ...iolraigh gach téarma faoi 5

⇒ 2x 1 5y 2 11 5 0 is ea cothromóid na líne.

…is féidir leas a bhaint as ceachtar den dá phointe

214

Cleachtadh 11.3 1. Maidir le gach líne díobh seo a leanas, tugtar an fhána agus pointe amháin ar an líne.

Faigh cothromóid na líne i ngach cás: (i) fána 5 2; pointe 5 (3, 4) (ii) fána 5 4; pointe 5 (1, 5) (iii) fána 5 5; pointe 5 (22, 3) (iv) fána 5 23; pointe 5 (22, 0) (v) fána 5 25; pointe 5 (23, 22) (vi) fána 5 2 _ 3 ; pointe 5 (3, 21).

2. Maidir le gach líne díobh seo a leanas, tugtar an fhána agus pointe amháin ar an líne. Faigh cothromóid na líne i ngach cás: (i) fána 5 3 _ 4 ; pointe 5 (1, 24) (ii) fána 5 3 _ 5 ; pointe 5 (24, 2).

3. Faigh cothromóid na líne a ghabhann trí (22, 3) leis an bhfána seo (i) 4 (ii) 22 (iii) 3 _ 4 (iv) 2 2 _ 3

4. Is é 23 fána líne a ghabhann tríd an bpointe (0, 0). Faigh cothromóid na líne.

5. Anseo thíos tá an fhána le ceithre líne a ghabhann tríd an bpointe (0, 0). Faigh cothromóid na línte. (i) 3 (ii) 25 (iii) 1 _ 3 (iv) 2 3 _ 2 Céard a thugann tú faoi deara faoi chothromóid gach líne díobh sin?

6. Faigh fána na líne a ghabhann trí A(3, 24) agus B(1, 2). Faigh uaidh sin cothromóid na líne AB.

7. Faigh cothromóidí na línte a ghabhann trí na péirí pointí seo a leanas: (i) (2, 3) agus (4, 6) (ii) (21, 2) agus (2, 24) (iii) (25, 1) agus (1, 0) (iv) (22, 3) agus (3, 21) (v) (2, 7) agus (0, 5) (vi) (23, 25) agus (21, 21).

8. Faigh cothromóid na líne a ghabhann trí (22, 3) agus lárphointe na mírlíne a cheanglaíonn (1, 23) agus (3, 21).

9. Trí úsáid a bhaint as dhá phointe ar bith ar gach líne, faigh fánaí na línte thíos.Faigh uaidh sin cothromóid gach líne. (i) (ii) y

x�2

O

�4

�6

2

4

6

�4�6 �2 2 4 6 8 10 12

y

x�1

O

�2

1

2

3

4

5

6

�2�3�4 �1 1 2 3 4 5 6 7 8

215

10. Úsáid dhá bhealach dhifriúla chun fána na líne AB a fháil.Faigh uaidh sin cothromóid na líne.

Mír 11.4 An chothromóid y 5 mx 1 c Déan machnamh ar an dá líne chomhthreomhara ar dheis.Is é 2 fána gach líne.Tabhair faoi deara gurb é 2 comhéifeacht x i ngach líne.Tá gach líne san fhoirm y 5 mx 1 c.Seasann m d'fhána na líne.

Trasnaíonn an líne y 5 2x 1 4 an y-ais ag (0, 4)Trasnaíonn an líne y 5 2x 2 3 an y-ais ag (0, 23)

Ón dá shampla sin feicimid má tá cothromóid na líne san fhoirm

y 5 mx 1 c, ansin

(i) is é m fána na líne x

(ii) trasnaíonn an líne an y-ais ag (0, c).

An y-idirlíne a thugtar ar an bpointe (0, c).

y

xO

(0, c)fána � m

y � mx � c

Má tá an líne san fhoirm 3x 1 2y 2 8 5 0, athraigh an chothromóid go dtí an fhoirm y 5 mx 1 c.

Is é luach m an fhána.

y

x�1

O

A

B

�2

1

2

3

4

5

6

�2�3�4 �1 1 2 3 4 5 6

y

x�1

O

�2

�3

1

2

3

4

5

�2�3�4 �1 1 2 3 4 5

y � 2x � 4

y � 2x � 3

216

Sampla 1

Faigh fána na líne 3x 2 2y 2 9 5 0.

Scríobhaimid an chothromóid san fhoirm y 5 mx 1 c.

3x 2 2y 2 9 5 0

⇒ 22y 5 23x 1 9 …fág an y-théarma leis féin ar chlé

⇒ 2y 5 3x 2 9 …iolraigh gach téarma faoi 21

⇒ y 5 3 __ 2 x 2 9 __ 2 …roinn gach téarma ar 2

is é 3 __ 2 fána na líne

Sampla 2

Is é an líne 2x 2 3y 1 6 5 0 agus is é k is an líne 3x 1 2y 2 4 5 0. Taispeáin go bhfuil ingearach le m.

Fána : Fána k:2x 2 3y 1 6 5 0 3x 1 2y 2 4 5 0

⇒ 23y 5 22x 2 6 ⇒ 2y 5 23x 1 4

⇒ 3y 5 2x 1 6 ⇒ y 5 2 3 __ 2

x 1 2

⇒ y 5 2 __ 3

x 1 2 ⇒ fána k 5 2 3 __ 2

⇒ fána 5 2 __ 3

Fána 3 fána k 5 2 __ 3

3 ( 2 3 __ 2

)

5 26 ___ 6

5 21

Ó tharla go bhfuil toradh an dá fhána 5 21, tá na línte ingearach.

Cleachtadh 11.4 1. Scríobh síos fána na línte seo a leanas:

(i) y 5 3x 1 5 (ii) y 5 2x 2 3 (iii) y 5 1 _ 2 x 1 4

2. Scríobh síos comhordanáidí an phointe ag a dtrasnaíonn gach ceann de na línte i gCeist 1 an y-ais.

3. Sloinn na línte seo a leanas san fhoirm y 5 mx 1 c agus scríobh síos uaidh sin fána na líne: (i) x 1 y 2 4 5 0 (ii) 3x 1 y 2 5 5 0 (iii) 2x 1 3y 2 7 5 0 (iv) 5x 2 2y 1 3 5 0 (v) 3x 1 4y 2 2 5 0 (vi) 3x 2 4y 1 6 5 0.

217

4. Sloinn an líne : 2x 1 3y 2 7 5 0 san fhoirm y 5 mx 1 c. (i) Scríobh síos fána . (ii) Céard é fána líne ar bith atá comhthreomhar le ? (iii) Céard é fána líne ar bith atá ingearach le ?

5. Taispeáin go bhfuil na línte x 2 2y 1 1 5 0 agus 3x 2 6y 2 7 5 0 comhthreomhar. Céard é fána líne ar bith atá ingearach leis na línte sin?

6. Taispeáin go bhfuil na línte 2x 1 3y 2 4 5 0 agus 3x 2 2y 1 1 5 0 ingearach le chéile.

7. Más é y 5 3x 2 4 cothromóid na líne , scríobh síos cothromóid líne ar bith,san fhoirm y 5 mx 1 c, atá (i) comhthreomhar le (ii) ingearach le .

8. Imscrúdaigh an bhfuil na línte y 5 2 _ 3 x 1 4 agus 2x 2 3y 2 5 5 0 comhthreomhar.

9. (i) Meaitseáil na cothromóidí thíos chun ceithre phéire de línte comhthreomhara a fháil:

(ii) Cén chothromóid nár cheart a bheith ann?

10. (i) Scríobh síos fána na líne k thall.

(ii) Scríobh cothromóid k san fhoirm y 5 mx 1 c.

11. Tagann na línte p, q, agus r leis na cothromóidí seo a leanas:

y 5 2x 1 5

y 5 x 1 5

y 5 x 2 2

Meaitseáil gach líne lena cothromóid cheart.

12. Faigh an fhána agus an y-idirlíne, agus ansin scríobh síos cothromóid na líne ar dheis.

y � 1 � x34y � x � 24

3

y � x � 112 y � x � 51

3 y � � x � 334

A B Cy � � 1

D x5

y � � 2x3 y � x � 31

5

F G H I

y � 9 � x12

E

y

x

k

�1O

1

2

3

4

�2�3 �1 1 2 3

3

2

4

y

x

r p

q

y � x

y

xO

5

5 10

218

13. Tugtar cothromóid sé líne thíos:a: y 5 2x 2 3 c: y 5 x 1 3 e: y 5 2 1 _ 2 x 1 4b: y 5 1 _ 2 x 1 5 d: y 5 22x 2 4 f: y 5 2x 2 2

(i) Ainmnigh péire línte comhthreomhara. (ii) Ainmnigh péire línte ingearacha. (iii) Cén líne a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 4)? (iv) Cén líne a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 23)?

14. Má tá an líne x 1 2y 2 6 5 0 comhthreomhar leis an líne 2x 1 ky 2 5 5 0, faigh luach k.

15. Má tá an líne 2x 2 3y 1 7 5 0 ingearach leis an líne 3x 1 ky 2 4 5 0, faigh luach k.

16. Faigh cothromóid na línte thíos: (i) y

xO

3

(2, 7)

(ii) y

xO

2

(4, 6)

�2

(iii) y

xO

�3

(2, 3)

17. Cén dá líne díobh seo atá comhthreomhar y 5 1 _ 2 x 2 3?

2y � x � 2 y � 2x � 9A

2x � y � 10B

2y � 8 � xC D

Mír 11.5 Línte comhthreomhara agus ingearacha Má thugtar cothromóid líne , dúinn, ar nós 2x 1 3y 2 4 5 0, is féidir linn fána na líne a fháil tríd an gcothromóid a shloinneadh san fhoirm y 5 mx 1 c.

Má thugtar pointe (x1, y1), dúinn freisin, is féidir linn cothromóid na líne a ghabhann trí (x1, y1) agus atá comhthreomhar nó ingearach le a fháil freisin.

Sampla 1

Faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an bpointe (22, 3) atá ingearach leis an líne 2x 2 y 1 5 5 0.

Chun fána 2x 2 y 1 5 5 0 a fháil, sloinnimid é san fhoirm y 5 mx 1 c.

2x 2 y 1 5 5 0⇒ 2y 5 22x 2 5⇒ y 5 2x 1 5 …iolraigh gach téarma faoi 21

⇒ is é 2 an fhána

Tá fána na líne atá ingearach leis an líne seo 2 1 __ 2

219

Cothromóid na líne a ghabhann trí (22, 3) leis an bhfána 2 1 __ 2

is:

y 2 y1 5 m(x 2 x1) (x1, y1) 5 (22, 3)

y 2 3 5 2 1 __ 2

(x 1 2) m 5 2 1 __ 2

y 2 3 5 2x ___ 2

2 1

⇒ 2y 2 6 5 2x 2 2 …iolraigh gach téarma faoi 2

⇒ is é x 1 2y 2 4 5 0 an chothromóid a theastaíonn.

Cleachtadh 11.5 1. Faigh fána na líne 2x 1 y 2 4 5 0.

Anois faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an bpointe (2, 4) agus atá comhthreomhar leis an líne 2x 1 y 2 4 5 0.

2. Faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an bpointe (1, 26) agus atá comhthreomhar leis an líne 3x 2 y 1 4 5 0.

3. Faigh fána na líne 2x 2 3y 1 1 5 0. Céard é fána líne ar bith atá ingearach le 2x 2 3y 1 1 5 0? Anois faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an bpointe (4, 21) agus atá ingearach leis an líne 2x 2 3y 1 1 5 0.

4. Faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an bpointe (22, 1) agus atá ingearach leis an líne 3x 1 2y 2 4 5 0.

5. Faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an bpointe (24, 0) agus atá comhthreomhar leis an líne y 5 3x 2 5.

6. Léirítear sa léaráid seo na línte a agus b ag trasnú a chéile ag an bpointe (5, 2).

b

a

(5, 2)

(i) Bain úsáid as an ngreille chun fána a agus fána b a fháil. (ii) Imscrúdaigh an bhfuil a agus b ingearach le chéile. (iii) Faigh cothromóid na líne a.

220

7. Taispeántar na pointí A(21, 5), B(2, 21) agus C(0, 5) sa léaráid seo. Tá an líne comhthreomhar le AB agus tá an pointe C uirthi. Faigh cothromóid .

8. Cé acu de na línte seo a leanas atá comhthreomhar le 3x 1 y 2 4 5 0?

A: y 5 3x 2 2 B: y 5 1 _ 3 x 1 4 C: 6x 1 2y 1 7 5 0 D: x 1 3y 1 2 5 0

9. Tá comhordanáidí (1, 7) ag an bpointe A agus tá comhordanáidí (3, 1) ag an bpointe B. Is é P lárphointe [AB]. Faigh comhordanáidí P. Anois faigh cothromóid na líne a ghabhann trí P agus atá ingearach leis an líne x 1 5y 2 7 5 0.

10. Trasnaíonn an líne y 5 2x 1 5 an y-ais ag an bpointe P. (i) Scríobh síos fána na líne agus comhordanáidí P. (ii) Faigh cothromóid na líne a ghabhann trí P agus atá ingearach le y 5 2x 1 5.

11. Úsáid an ghreille sa léaráid seo chun fána na líne a a scríobh síos. Anois scríobh síos cothromóid a san fhoirm y 5 mx 1 c.

Scríobh comhordanáidí an phointe P agus uaidh sin faigh cothromóid na líne a ghabhann trí P atá ingearach le a.

12. Is é 5x 2 3y 5 26 cothromóid na líne AB. (i) Faigh fána AB. (ii) Tá comhordanáidí (4, 22) ag an bpointe A agus tá comhordanáidí (26, 4) ag an

bpointe C.(a) Taispeáin go bhfuil AC ingearach le AB.(b) Faigh cothromóid na líne AC, ag sloinneadh do fhreagra san fhoirm ax 1 by 5 c.

Mír 11.6 Línte a léiriú i ngraf Sula dtabharfaimid faoi líne ar nós 2x 1 3y 5 6, a tharraingt, ní foláir dúinn dhá phointe, ar a laghad, ar an líne a bheith ar eolas againn.

Is gnách gurb iad na pointí is éasca a aimsiú ná na pointí a dtrasnaíonn an líne an x-ais agus an y-ais iontu.

Bíonn y 5 0 ar an x-ais, agus x 5 0 ar an y-ais.

y

�

xO

B (2, �1)

A (�1, 5)C (0, 5)

y

x�1

O

P

�2

1

2

3

4

5

�2�3�4 �1 1 2 3 4 5 6

a

221

Féach ar an líne 2x 1 3y 5 6 Sceitse na líne 2x 1 3y 5 6

Nuair atá x 5 0, ansin 2(0) 1 3y 5 6 3y 5 6 ⇒ y 5 2

pointe amháin ar an líne é (0, 2)

Nuair atá y 5 0, ansin 2x 1 3(0) 5 6 2x 5 6 x 5 3

pointe eile ar an líne é (3, 0)

Taispeántar sceitse den líne ar dheis.

Línte comhthreomhar leis na haiseanna Taispeántar na línte x 5 2 agus x 5 4.

Tabhair faoi deara gurb é 4 x-luach gach pointe ar an líne x 5 4 is 4.

Ar an gcaoi chéanna, is é x-luach gach pointe ar an líne x 5 2 is 2.

Beidh gach líne le cothromóidí san fhoirm x 5 a a comhthreomhar leis an y-ais.

Taispeántar an líne y = 2 sa léaráid ar dheis.

Arís, tabhair faoi deara gurb é 2 y-luach gach pointe ar an líne seo.

Línte ar a bhfuil an bunphointe Bíonn an bunphointe (0, 0) ar líne ar nós x 1 2y 5 0, nach bhfuil aon téarma neamhspleách ann, i gcónaí.

Chun an líne x 1 2y 5 0 a bhreacadh, tá a fhios againn go bhfuil an bunphointe air.

Chun pointe eile a fháil, roghnaímid luach do x agus ansin faighimid an y-luach lena mbaineann sé.

Bíodh x 5 2: 2 1 2y 5 0

2y 5 22

y 5 21

pointe eile ar an líne é (2, 21).

Taispeántar sceitse de líne ar a bhfuil (0, 0) agus (2, 21).

y

xO

2

3

(3, 0)

(0, 2)

3

y

xO

(2, 4)

(2, 1)

2 4

(4, 4)

(4, 1)

(4, �1)

x � 2 x � 4

y

xO

(1, 2)

1 3 5

(3, 2) (5, 2)y � 2

y

xO

(2, �1)

2

1

�2

4

222

Deimhniú go bhfuil pointe ar líne áirithe Chun a fháil amach an bhfuil an pointe (3, 22) ar an líne x 1 2y 1 1 5 0, cuirimid 3 in ionad x agus 22 in ionad y sa chothromóid.

x 1 2y 1 1 5 0

x 5 3 agus y 5 22

Tástáil: 3 1 2(22) 1 1 3 2 4 1 1 5 0

Ó tharla go sásaíonn (3, 22) an chothromóid x 1 2y 1 1 5 0, taispeánann sé go bhfuil an pointe ar an líne.

Ach níl (23, 4) ar an líne x 2 3y 1 7 5 0, toisc 23 2 12 1 7 0, i.e. ní shásaíonn sé an chothromóid.

Sampla 1

Má tá an pointe (k, 3) ar an líne 4x 2 3y 1 1 5 0, faigh luach k.

Cuirimid k in ionad x agus 3 in ionad y sa chothromóid 4x 2 3y 1 1 5 0.⇒ 4k 2 3(3) 1 1 5 0⇒ 4k 2 9 1 1 5 0⇒ 4k 2 8 5 0⇒ 4k 5 8 ⇒ k 5 2

Cleachtadh 11.6 1. Scríobh síos cothromóidí na línte a, b, c agus

d a thaispeántar ar dheis.

2. Tarraing péire aiseanna agus sceitseáil na ceithre líne seo: (i) x 5 4 (ii) y 5 2 (iii) x 5 22 (iv) y 5 23

3. Bain úsáid as graf na líne 2x 1 y 5 6 chun iad seo a leanas a scríobh síos (i) luach x nuair atá y 5 0 (ii) comhordanáidí an phointe ag a dtrasnaíonn

an líne an y-ais (iii) luach y nuair atá x 5 1 (iv) luach x nuair atá y 5 2 (v) achar an triantáin arb iad a chuid sleasa an líne,

an x-ais agus an y-ais.

Má tá pointe ar an líne, sásóidh comhordanáidí an phointe cothromóid na líne.

y

O 1

1

�1�3

3

3 x

a

bcd

y

xO

5

5

2x � y � 6

223

4. Tá an chothromóid x 1 y 5 5 ag líne dhíreach. (i) Trí x 5 0 a ionadú, faigh comhordanáidí an phointe ag a dtrasnaíonn an líne an y-ais. (ii) Trí y 5 0 a ionadú, faigh comhordanáidí an phointe ag a dtrasnaíonn an líne an x-ais. (iii) Tarraing graf na líne x 1 y 5 5.

5. Tá an chothromóid 3x 1 y 5 6 ag líne dhíreach. (i) Trí x 5 0 a ionadú, faigh comhordanáidí an phointe ag a dtrasnaíonn an líne an y-ais. (ii) Trí y 5 0 a ionadú, faigh comhordanáidí an phointe ag a dtrasnaíonn an líne an x-ais. (iii) Tarraing graf na líne 3x 1 y 5 6.

6. Faigh comhordanáidí na bpointí ag a dtrasnaíonn an líne x 2 2y 2 6 5 0 an x-ais agus an y-ais.Anois úsáid na pointí sin chun sceitse a tharraingt den líne.

7. Faigh comhordanáidí na bpointí ag a dtrasnaíonn an líne x 2 2y 5 5 an x-ais agus an y-ais. Uaidh sin tarraing sceitse den líne.

8. Tarraing na graif seo ar an léaráid chéanna. (i) x 1 y 5 2 (ii) x 1 y 5 3 (iii) x 1 y 5 5

Céard atá i gcoiteann acu ar fad?

9. Tarraing sceitse den líne 2x 2 y 1 6 5 0. Uaidh sin scríobh síos achar an triantáin arb iad a chuid sleasa an x-ais, an y-ais agus an líne.

10. Is iad cothromóidí na línte a agus b:

a: y 5 2 _ 3 x 1 2

b: 3x 1 5y 2 15 5 0 (i) Cén líne a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 2)? (ii) Cén líne a thrasnaíonn an x-ais ag (5, 0)? (iii) Úsáid fánaí an dá líne chun a fháil amach

an bhfuil na línte ingearach le chéile. (iv) Scríobh síos achar an triantáin arb iad a chuid sleasa an líne 3x 1 5y 2 15 5 0, an

x-ais agus an y-ais.

11. Taispeántar sa léaráid sceitse den líne 2y 5 x 1 4 (i) Faigh comhordanáidí an phointe A agus

an phointe B. (ii) Céard é grádán na líne?

Focal eile ar fhána é grádán.

y

xO 1

2

3

5

yA

B

2y � x � 4

xO

224

12. Tá an bunphointe (0, 0) ar gach ceann de na línte seo a leanas. Trí luach a úsáid do x agus ansin an y-luach lena mbaineann a fháil, tarraing sceitse de gach ceann de na línte ar léaráidí ar leith: (i) x 2 2y 5 0 (ii) x 1 3y 5 0 (iii) 3x 2 y 5 0 (iv) x 2 4y 5 0.

13. Taispeántar graf na línte a, b, c agus d sa léaráid seo.Meaitseáil gach líne le ceann de na cothromóidí seo: (i) x 5 22 (ii) x 2 y 5 0 (iii) 2x 1 5y 5 10 (iv) y 5 4

14. (i) Deimhnigh go bhfuil (2, −5) ar an líne 2x 1 y 1 1 5 0. (ii) Deimhnigh go bhfuil (2, −3) ar an líne y 5 x 2 5. (iii) Taispeáin nach bhfuil (−3, 1) ar an líne x 2 3y 1 1 5 0. (iv) Imscrúdaigh an bhfuil (2, 0) ar an líne 2x 2 y 1 3 5 0.

15. Taispeáin go bhfuil (−3, 1) ar an líne 2x 1 4y 1 2 5 0.

16. Má tá (1, 4) ar an líne 2x 1 y 1 k 5 0, faigh luach k.

17. Má tá (2, −3) ar an líne x 1 ky 1 7 5 0, faigh luach k.

18. (i) Faigh luach k má tá an pointe (3, 1) ar an líne 2x 1 ky 2 8 5 0. (ii) Má tá (1, t ) ar an líne y 5 2x 1 3, faigh luach t.

Mír 11.7 Dhá líne ag trasnú a chéile Taispeántar sceitse de na línte x 1 y 5 4 agus x 1 3y 5 6 thíos.

y

xO

5

5 10

x � y � 4

x � 3y � 6

Is féidir pointe trasnaithe an dá líne a léamh ón léaráid.

Is é (3, 1) an pointe seo.

Is féidir pointe trasnaithe dhá líne ar bith a fháil trí sceitse a tharraingt de na línte ar ghreille agus ansin a bpointe trasnaithe a léamh ón ngreille seo.

Ach tá sé níos éasca pointe trasnaithe dhá líne a fháil le cothromóidí comhuaineacha (= comhchothromóidí), mar a léirítear sa sampla seo a leanas.

y

xO 2

2

�2

3

4

5

d

a

bc

Is féidir cothromóidí comhuaineacha a úsáid chun pointe trasnaithe dhá líne a fháil.

225

Sampla 1

Úsáid cothromóidí comhuaineacha chun pointe trasnaithe na línte seo a fháil

x 1 y 5 5 agus 2x 2 y 5 4.

x 1 y 5 5 … ➀ 2x 2 y 5 4 … ➁

Suimiú: 3x 5 9 ⇒ x 5 3

Ó ➀: 3 1 y 5 5 ⇒ y 5 2

is é (3, 2) an pointe trasnaithe.

Cleachtadh 11.7 1. Agus leas á bhaint as léaráid amháin, tarraing sceitse de na línte

x 1 y 5 5 agus x 1 4y 5 8.

Úsáid do sceitse chun pointe trasnaithe an dá líne a fháil.

2. Bain úsáid as an léaráid chun na cothromóidí comhuaineacha seo a réiteach:

x 1 y 5 4 2x 2 y 5 21

3. Taispeántar sceitse de na línte 2x 1 y 5 6 agus x 1 y 5 5.Úsáid an sceitse chun pointe trasnaithe an dá líne a scríobh síos. Anois úsáid cothromóidí comhuaineacha chun do fhreagra a dheimhniú.

Úsáid cothromóidí comhuaineacha chun pointe trasnaithe na bpéirí línte seo a fháil:

4. x 1 y 5 5 5. x 2 y 5 2 6. 2x 1 5y 5 1 2x 2 y 5 1 2x 1 y 5 7 x 2 3y 5 25

7. x 1 2y 5 21 8. x 1 3y 5 7 9. x 2 7y 5 4 2x 2 3y 5 29 2x 2 y 5 27 3x 2 y 5 28

10. 2x 2 3y 5 4 11. 3x 2 2y 5 17 12. x 1 3y 5 13 2x 1 3y 5 28 4x 1 3y 5 0 2x 1 5y 5 21

y

x�1

O

1

2

3

4

5

�2 �1 1 2 3 4

x � y � 4

2x � y � �1

y

xO

5

5

2x � y � 6

x � y � 5

226

13. Úsáid cothromóidí comhuaineacha chun a dheimhniú go dtrasnaíonn na línte

2x 1 3y 5 12 agus 3x 2 4y 5 1

ag an bpointe (3, 2).

14. Sa léaráid seo, tá na línte AB agus CD ingearach le chéile agus trasnaíonn siad ag an bpointe (1, 4).Trasnaíonn an líne AB an x-ais ag (3, 0).

Ríomh comhordanáidí na bpointí P agus Q.

Mír 11.8 An fhána a léirmhíniú Sna míreanna roimhe seo sa chaibidil seo d'fhoghlaimíomar an chaoi le fána líne a fháil. Sa mhír seo taispeánfaimid an chaoi le léirmhíniú a fháil ar a bhfuil i gceist leis an bhfána i bhfíorchásanna laethúla.

Doirtear uisce isteach i ngabhdán ag ráta seasta ar feadh tréimhse 8 nóiméad. Léirítear sa ghraf ar dheis toirt an uisce sa ghabhdán le linn na 8 nóiméad sin.

I gcás méadú cothrománach 6 nóiméad, bíonn méadú ceartingearach 60 lítear ann.

Is é an fhána ná 60 ___ 6

5 10.

Mar sin is é ráta sreafa an uisce 10 lítear in aghaidh an nóiméid.Toisc gurb é 10 an fhána freisin, feicimid go seasann an fhána sa chás seo don ráta sreafa.

Léirítear sa sceitse seo an toirt uisce i bhfolcadán le linn tréimhse 4 nóiméad.I gcás méadú cothrománach 3 nóiméad, bíonn laghdú ceartingearach 30 lítear ann.

Mar sin is é an fhána ná 230 lítear _________ 3 nóiméad

5

Taispeánann an fhána dhiúltach go bhfuil toirt an uisce ag laghdú.

Q

C B

yA

P D

x3

(1, 4)

30

60

90

O

Toirt

(líti

r)

Am (nóiméid)

�60lítear

6 nóiméad

2 4 6 8

60 lítear i 6 nóiméad, mar sin 10 lítear in aghaidh an nóiméid.

6

36

O

Toirt

(líti

r)

1 4Am (nóiméid)

3 nóiméad

�30lítear

210 lítear in aghaidh an nóiméad

227

Graif achair is ama Taispeánann an graf achair is ama seo turas Emer a mhair 3 uair an chloig.

0

15

30

45

Fad

ó bh

aile

in k

m

60

75

1 2Am in uaireanta

b

a

c

30

Is é fána na mírlíne a ná 30 ___ 1

5 30.

Taispeánann an mhírlíne a gur thaistil Emer 30 km in 1 uair amháin.Dá bhrí sin is é 30km/uair a luas.Ón dá thoradh sin, feicimid go seasann fána na líne don luas.Taispeánann an mhírlíne b gur stop Emer ag taisteal.Anseo is é 0 an luas agus is é 0 an fhána.

Anois deimhnigh go seasann fána na mírlíne c don luas don chuid sin de thuras Emer.

Cleachtadh 11.8 1. Cé na rátaí sreafa, i lítir in aghaidh an nóiméid, a léirítear sna graif seo a leanas?

(i) (a) (b)

00

Toirt

(líti

r)

Am (nóiméid)1 2 3 4

10

20

30

40

00

Toirt

(líti

r)

Am (nóiméid)1 2 3 4 5

10

20

30

40

(ii) Scríobh síos fána na líne i ngach graf. (iii) Céard is brí leis an bhfána i ngach cás?

I ngraf achair is ama seasann fána na líne don luas.

228

2. (i) Scríobh síos an ráta sreafa, i lítir in aghaidh an tsoicind, i ngach ceann de na léaráidí thíos.(a) (b)

00

Toirt

(líti

r)


10

20

30

40

(ii) Faigh fána na línte thuas. (iii) Taispeáin go gcomhfhreagraíonn fána gach líne leis an ráta sreafa sa léaráid.

3. Léirítear sa ghraf seo an fad a thaistil Stiofán sa chéad 24 nóiméad dá thuras.

(i) Oibrigh amach fána na líne. (ii) Cé acu de na ráitis seo a leanas atá fíor?

A: Seasann an fhána don luas ina km in aghaidh na huaire.B: Seasann an fhána don luas ina méadair in aghaidh an nóiméid.C: Seasann an fhána don luas ina km in aghaidh an nóiméid.

4. Is féidir an graf thíos a úsáid chun lítir a thiontú go piontaí agus a mhalairt.

Lítir

Piontaí

(3 , 2)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

O

12

00

Toirt

(líti

r)


2

4

6

8

Fad

(km

)

Am (i nóiméad)4 8 12 16 20 24

6

12

O

229

(i) Bain úsáid as an ngraf chun iad seo a thiontú:(a) 4 phionta ina lítir (b) 3.5 pionta ina lítir (c) 2.5 lítear ina bpiontaí

(ii) Úsáid an bunphointe agus an pointe (3 1 _ 2 , 2) chun fána na líne a fháil. (iii) Faigh cothromóid na líne. (iv) Úsáid cothromóid na líne chun a fháil amach cé mhéad lítear atá cothrom le 12 phionta.

5. Taispeánann an graf seo an toirt ola in umar.

Toirt

(gal

úin)

Am (nóiméid)5

40

O

(i) Ríomh fána na líne. (ii) Céard a tharlaíonn don ola san umar le linn na 5 nóiméad sin (iii) Céard é an ráta sreafa ola ón umar? (iv) Mínigh a bhfuil i gceist le fána na líne sa léaráid seo.

6. Graf tiontaithe idir cileagraim (kg) agus puint (lb) atá anseo thíos.

Cile

agra

im

Puint4 8 12 16 202 6 10 14 18 2422

2

4

6

8

10

O

(i) Bain úsáid as an ngraf chun iad seo a thiontú:(a) 20 lb ina kg (b) 4 kg ina bpuint

(ii) Úsáid an ghreille chun fána na líne a oibriú amach.

(iii) Mínigh a bhfuil i gceist leis an bhfána i gcomhthéacs na ceiste.

(iv) Oibrigh amach cothromóid na líne.

(v) Úsáid an chothromóid chun an líon punt in 20 cileagram a mheas.

230

7. Ligeann gnólacht fruilithe téitheoirí tionsclaíocha amach ar cíos.Úsáidtear an graf a leanas chun an táille mheasta a bhaineann le ceann de na téitheoirí seo a fháil ar cíos a ríomh.

Táill

e fr

uilit

he (€

)

Líon laethanta ar cíos10 20 30 40 50

60

120

180

240

O

(i) Úsáid an graf chun an táille mheasta a ríomh má fhaightear téitheoir ar cíos ar feadh(a) 40 lá (b) 25 lá.

(ii) Ón ngraf, cé mhéad lá cíosa a gheofá ar chostas(a) e120 (b) e210.

(iii) Úsáid an ghreille chun fána na líne a oibriú amach.

(iv) Mínigh a bhfuil i gceist leis an bhfána i gcomhthéacs an ghraif.

(v) Úsáid an graf chun an táille sheasta a chaithfear a íoc a scríobh síos chomh maith leis an táille laethúil.

8. Taispeántar sa ghraf thíos an gaol idir an fad atá déanta agus ídiú breosla do charr Sheáin. Léiríonn na míreanna l1 agus l2 an t-ídiú breosla ag luasanna seasta 60 km/uair agus 100 km/uair faoi seach.

Fad

(km

)

Breosla (lítir)

(40, 340)(25, 275)

l2l1

O

(i) Faigh fána l1 agus l2. (ii) Céard a insíonn na fánaí seo duit faoi ídiú breosla an chairr ag na luasanna seo? (iii) Cosnaíonn breosla e1.45 in aghaidh an lítir.

Tiomáineann Seán fad 200 km ag luas seasta.Céard é an difríocht sa chostas do thuras ag 60 km/uair le hais turais ag 100 km/uair?

Cuir triail ort féin 11 1. Is é y 5 2x 2 4 cothromóid na líne.

(i) Scríobh síos fána na líne seo. (ii) Cén pointe ag a dtrasnaíonn an líne an y-ais? (iii) Cén pointe ag a dtrasnaíonn an líne an x-ais? (iv) Céard é fána líne ar bith atá ingearach le y 5 2x 2 4?

2. (i) Úsáid an ghreille ar dheis chun fána na líne p a scríobh síos. Anois scríobh síos cothromóid p san fhoirm y 5 mx 1 c.

(ii) Cé acu de na línte seo atá comhthreomhar le 2y 2 x 5 3?

2y � x � 5A

4y � 1 � 2xB

y � 2x � 3C

x � y � 1D 1

2

3. Dhá phointe ar an bplána iad A(23, 1) agus B(3, 9). (i) Faigh M, lárphointe [AB]. Cén ais ar a bhfuil M suite? (ii) Faigh fána AB. (iii) Scríobh síos fána líne ar bith atá ingearach le AB. (iv) Anois faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an mbunphointe agus atá ingearach

le AB.

4. (i) Léirítear trí líne chomhthreomhara sa léaráid seo.(a) Scríobh síos cothromóidí do líne A agus do líne B.(b) Scríobh síos cothromóid líne ar bith eile atá

comhthreomhar leis na trí líne sin.

(ii) Is é an líne x 2 2y 1 2 5 0. Is é m an líne 3x 1 y 2 8 5 0. Úsáid cothromóidí comhuaineacha chun comhordanáidí P, an pointe trasnaithe do agus m, a fháil.

5. (i) Má tá an líne 2x 1 y 2 7 5 0 comhthreomhar leis an líne 4x 1 ky 2 3 5 0, faigh luach k. (ii) Trasnaíonn an líne 2x 1 3y 2 6 5 0 an x-ais ag an bpointe A agus an y-ais ag an

bpointe B. Faigh comhordanáidí A agus B agus faigh uaidh sin achar an triantáin OAB, más é O an bunphointe.

y

x

p

O

4

2

1

2 64

y

x

�2

�1O

A

B

y � 2x

1

2

3

4

5

�2 �1 1 2 3

231

6. Taispeántar graf na líne y 5 ax 1 b.

Faigh luach a agus luach b.

7. Taispeántar trí líne a, b agus c sa léaráid seo.

(i) Cén líne nó cé na línte ag a bhfuil fánaí deimhneacha?

(ii) Úsáid an ghreille chun fána na líne a a fháil. (iii) Meaitseáil gach ceann de na línte seo le

ceann de na cothromóidí seo:

D: y 5 2x 1 1E: x 1 y 5 10F: 2x 1 5y 5 17.

8. (i) Céard é cothromóid na líne atá comhthreomhar le y 5 3x 1 2 a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 21)?

(ii) Sceitse é seo de shleamhnán do pháistí.(a) Faigh grádán na coda claonta den

sleamhnán.(b) Mar gheall ar chúrsaí sábháilteachta,

níor cheart do ghrádán an tsleamhnáin a bheith níos mó ná 0.7.An sleamhnán sábháilte é seo?Mínigh do fhreagra.

9. (i) Cóipeáil an léaráid seo agus ag úsáid an scála chéanna ar an x-ais agus ar an y-ais, tarraing línte trí A le fána(a) 1 _ 2 (b) 22.

y

x

�1

O

1

2

3

4

�2 �1 1 2 3 4 5 6

y � ax � b

y

xO

a

b

c2

4

6

8

10

2 4 6 8 10

2.5 m0.3 m

4 m

3 m

232

O

A

y

x

(ii) Gabhann an líne ax 1 y 1 1 5 0 trí phointe trasnaithe na línte x 5 2 agus an x-ais. Faigh luach a.

10. (i) Faigh cothromóid na líne dírí a ghabhann trí (0, 1) agus (3, 7). (ii) Tá an chothromóid y 5 7 2 2x ag líne eile.

Gan na línte a tharraingt, mínigh cén chaoi ar féidir leat a oibriú amach cé acu atá an líne seo ingearach leis an líne i gcuid (i) nó nach bhfuil.

11. Léirítear cuid de bhaile ina bhfuil páirc agus roinnt sráideanna sa léarscáil thíos. Tomhaistear faid (i gciliméadair) go cothrománach agus go ceartingearach ó Halla an Bhaile agus taispeántar i bhfoirm comhordanáidí iad.

Halla an Bhaile

BótharDíreach

AntSráid

ThuaidhN

CosánBóthar

Céide Thoir

An Pháirc Chruinn

Tá túanseo

D(17, 8)

C(10, 9)

E(6, 6)

Iarsmalann

AscaillIngearach

SráidTadhlaí

B(3, 10)

A(1, 8.5)

(i) Cá fhad an cosán ó B(3, 10) go C(10, 9)? Bíodh do fhreagra ceart go dtí trí fhigiúr bhunúsacha.

(ii) Is é E(6, 6) lár na Páirce Cruinne. Céard é an difríocht idir siúlóid dhíreach ó B go C seachas dul ar an gcosán go E agus ansin ar aghaidh chuig C? Bíodh do fhreagra ceart go dtí an km is gaire.

(iii) Tá na pointí A(1, 8.5) agus B(3, 10) ar Shráid Tadhlaí. Faigh cothromóid Shráid Tadhlaí.

(iv) Tá Ascaill Ingearach ingearach le Sráid Tadhlaí agus gabhann sí trí D(17, 8). Faigh a cothromóid.

(v) Tá an Iarsmalann suite ag crosbhealach Shráid Tadhlaí agus Ascaill Ingearach. Faigh comhordanáidí na hIarsmalainne.

(vi) Tá Seán ag Halla an Bhaile agus teastaíonn uaidh dul go dtí an Iarsmalann. Tabhair bealach amháin a bhféadfadh sé a dhul agus ríomh an fad iomlán a chaithfeadh sé a thaisteal dá rachadh sé an bealach sin.

233

234

Mír 12.1 Cóimheas agus comhréir

1. CóimheasÚsáidimid cóimheasa chun comparáid a dhéanamh idir dhá chainníocht.Ts é cóimheas na ndioscaí gorma leis na dioscaí buí 5 : 3. Is féidir an cóimheas 12 : 8 a shimpliú ach gach téarma a roinnt ar 4.Dá bhrí sin, 12 : 8 5 3 : 2.An fhoirm is simplí den chóimheas a thugtar ar 3 : 2.

Sloinntear cóimheas mar shlánuimhreacha de ghnáth.

Is féidir an cóimheas 1 _ 3 : 5 _ 6 a shloinneadh mar shlánuimhreacha ach gach téarma a iolrú faoi 6.

∴ 1 _ 3 : 5 _ 6 5 6 _ 3 : 5 3 6 ____ 6 5 2 : 5

Sampla 1

Roinntear suim airgid sa chóimheas 1 : 3 : 5.Más fiú E250 an chuid is lú, céard é an tsuim iomlán?

Má roinntear suim airgid sa chóimheas 1 : 3 : 5, roinnimid an t-iomlán ina 9 gcuid.

1 _ 9 , 3 _ 9 , 5 _ 9 … naoi gcuid san iomlán

⇒ 1 _ 9 5 E250

⇒ 9 _ 9 5 E250 3 9 5 E2250

∴ an tsuim iomlán E2250

Focail thábhachtachacóimheas an fhoirm is simplí comhréir dhíreach comhréir inbhéartachclog 12 uair clog 24 uair am fad luas meánluas

Cóimheas – Am – Luascaibi

dil

12

235

2. ComhréirCuireann cóimheasa cuid amháin i gcomparáid le cuid eile. Cuireann comhréir cuid amháin i gcomparáid leis an iomlán.Is é comhréir an chuid sin den chiorcal ar dheis atá dearg ná 2 _ 6 nó 1 _ 3 . Sloinntear comhréir de ghnáth mar chodán, mar dheachúil nó mar chéatadán.

Má chosnaíonn lítear peitril E1.60, cosnaíonn 2 lítear E3.20 agus cosnaíonn 3 lítear E4.80.Tá costas lítear amháin, 2 lítear agus 3 lítear i gcomhréir dhíreach anseo.

Sampla 2Taistealaíonn carr 78 km ar 9 lítear peitril. (i) Cá fhad a thaistealóidh sé ar 21 lítear peitril? (ii) Cé mhéad lítear a theastódh do thuras 390 km?

(i) Anseo, is é an fad atá á lorg againn, mar sin cuirimid an fad ag an deireadh.

Mairfidh 9 lítear 78 km

Mairfidh 1 lítear 78 __ 9 km

Mairfidh 21 lítear (  78 __ 9 3 21

__ 1 ) km 5 182 km.

(ii) Anseo, is iad na lítir atá uainn, mar sin cuirimid na lítir ag an deireadh.

Do 78 km, theastódh 9 lítear

Do 1 km, theastódh 9 __ 78 lítear

Do 390 km, theastódh (  9 __ 78 3 390 ___ 1 ) lítear 5 45 lítear

∴ do 390 km, theastódh 45 lítear.

3. Comhréir inbhéartachNuair a itheann madra 200 g bia gach lá, maireann mála bia 10 lá.Má itheann sé 400 g gach lá, ní mhairfidh an mála bia ach 5 lá.Tabhair faoi deara, nuair a mhéadaíonn an méid bia a itear, laghdaíonn an t-am a mhaireann an bia.Sampla é seo de chomhréir inbhéartach.

Sampla 3

Tá cúigear péintéirí in ann bloc oifige a phéinteáil in 12 lá. (i) Cá fhad a thógfadh sé ar thriúr péintéirí an bloc a phéinteáil? (ii) Má chaithfear an bloc oifige a phéinteáil in 3 lá, cé mhéad péintéir a

theastóidh?

236

(i) Tógann cúigear péintéirí 12 lá

Tógann péintéir amháin 12 3 5 5 60 lá … 5 oiread níos faide

Tógann triúr péintéirí 60 __ 3 5 20 lá … 1 _ 3 oiread chomh fada le péintéir amháin

(ii) Chun an bloc a phéinteáil in 12 lá, theastódh cúigear péintéirí.

Chun an bloc a phéinteáil in 1 lá, theastódh 60 péintéir … 12 oiread chomh

tapa, mar sin méadaigh 5 faoi 12

Chun an bloc a phéinteáil in 3 lá, theastódh 60 __ 3 5 20 péintéir.

∴ theastódh 20 péintéir chun an bloc oifige a phéinteáil in 3 lá.

Cleachtadh 12.1 1. Sloinn gach ceann de na cóimheasa seo san fhoirm is simplí de:

(i) 6 : 18 (ii) 25 : 45 (iii) 28 : 98 (iv) 50c : e2

(v) 80c : e2.40 (vi) 50 cm : 4 m (vii) 3 lá : 3 seachtaine (viii) 40 nóim : 3 uair an chloig

2. Sloinn gach ceann de na cóimheasa seo san fhoirm is simplí de:

(i) 1 _ 2 : 1 _ 4 (ii) 3 _ 4 : 1 _ 4 (iii) 1 _ 3 : 1 _ 2 (iv) 1 _ 3 : 1 _ 4

(v) 2 _ 5 : 1 _ 2 (vi) 3 _ 5 : 7 __ 10 (vii) 3 1 _ 2 : 1 1 _ 2 (viii) 1 3 _ 4 : 5 1 _ 4

3. Roinn E288 idir Áine agus Dáithí sa chóimheas 5 : 3.

4. Roinn E2800 ar thriúr sa chóimheas 4 : 2 : 1.

5. Roinn E1300 sa chóimheas 3 _ 4 : 1 3 _ 4 .

6. Roinneadh E1575 ar thriúr sa chóimheas 1 : 2 : 1 _ 2 .Ríomh an sciar is lú.

7. (i) Faigh dhá phéire ráiteas a thagann le chéile anseo. (ii) Scríobh do ráiteas féin a thagann leis an gcúigiú ráiteas.

ACailíní iad 20% den rang.

CCailíní iad aon séú den rang.

BIs é 1: 5 cóimheas na gcailíní le buachaillí.

DCailíní iad 25% den rang.

ETá ceithre oiread buachaillí ná cailíní ann.

8. Sa scoil seo, is é 7 : 2 cóimheas na gcailíní le buachaillí.Má tá 735 cailín sa scoil, cé mhéad buachaill atá ann?

237

9. Roinntear duaischiste idir A, B agus C sa chóimheas 4 : 3 : 2 faoi seach.Má tá sciar C cothrom le E1224, faigh luach an duaischiste iomláin.

10. Déantar prás as umha agus sinc sa chóimheas 5 : 3 de réir meáchain. (i) Má tá 6 kg since ann, oibrigh amach meáchan an umha. (ii) Má tá 25 kg umha ann, oibrigh amach meáchan na since.

11. I scoil áirithe, is é 1 : 2 _ 5 cóimheas líon na ndaltaí le líon na ríomhairí.Má tá 100 ríomhaire sa scoil seo, oibrigh amach líon na ndaltaí sa scoil.

12. Tá 375 g ime ag Siobhán agus athraíonn sí a hoideas Toirtín Úll (riarann ar cheathrar)3 úll mhóra25 g siúcra donn200 g plúir75 g ime (nó margairín)50 g siúcra mín1 spúnóg bhoird uisce don mheascadh

do thoirtín úll ionas gur féidir léi an t-im ar fad a úsáid.

(i) Cén chainníocht de na comhábhair eile a theastódh uaithi?

(ii) Cé mhéad duine arbh fhéidir riar orthu leis seo?

13. Tá alcól agus uisce i ngloine sa chóimheas 1 : 4. Tá an chainníocht chéanna leachta sa dara gloine, ach an uair seo is é 2 : 3 cóimheas an alcóil leis an uisce.Doirtear an dá ghloine isteach sa tríú gloine. Céard é cóimheas an alcóil leis an uisce sa tríú gloine?

14. Nuair a bhíonn carr ag gluaiseacht ag 108 km/h, taistealaíonn sé 18 km ar lítear peitril.Má chosnaíonn peitreal E1.62 an lítear, oibrigh amach costas an pheitril in aghaidh an nóiméid má thiomáintear an carr ag 108 km/h.

15. Tógann Ailís mionsamhail tí. Úsáideann sí scála 1 : 20. Tá an fíortheach 10 méadar ar airde.

(i) Oibrigh amach airde na mionsamhla.Tá an mhionsamhail 80 cm ar leithead. (ii) Oibrigh amach leithead an fhíorthí.

16. Méadaíodh líon na leathanach i ngreannán ó 48 leathanach go 80 leathanach. E6.00 a bhíodh air. Má mhéadaítear an praghas sa chóimheas céanna, céard é an praghas nua?

17. Measctar 2 chomhpháirt ime le 3 chomhpháirt plúir chun taosrán a dhéanamh.

(i) Cé mhéad de gach comhábhar a theastaíonn chun cileagram amháin de thaosrán a dhéanamh?

(ii) Tá 200 g ime agus 400 g plúir ag Róisín. Céard é an méid is mó taosráin is féidir léi a dhéanamh? (iii) Tá 1.5 kg ime agus 1125 g plúir ag Gráinne. Céard é an méid is mó taosráin is féidir léi a dhéanamh?

238

18. Tiománaí a thiomáineann 90 km in aghaidh an lae, tá dóthain díosail aici go ceann 8 lá. Má laghdaíonn sí an méid a thiomáineann sí go 72 km in aghaidh an lae, cá fhad a mhairfidh an díosal?

19. Is féidir le 12 bríceadóirí balla a thógáil in 15 lá.

(i) Cá fhad a thógfadh sé ar 20 bríceadóir balla a thógáil agus iad ag obair ag an ráta céanna?

(ii) Cé mhéad bríceadóir a theastódh chun an balla a thógáil in 10 lá?

20. Céard é cóimheas achar na coda daite le hachar na cearnóige is mó?

21. Tá fínéagar agus uisce i ngloine lán sa chóimheas 1 : 3.

FÍNÉAGAR

Tá fínéagar agus uisce sa chóimheas 1 : 4 i ngloine eile atá dhá oiread chomh mór leis an gcéad ghloine. Dá meascfaí an leacht sa dá ghloine le chéile, cén cóimheas fínéagair le huisce a bheadh ann?

22. Tá 9 straidhp ar iasc punc fireann agus 8 straidhp ar iasc punc baineann.Comhairim 86 straidhp ar na héisc san umar agamsa. Céard é cóimheas na n-iasc fireann leis na héisc bhaineanna?

23. Sa léaráid seo, tá dath ar 5 _ 6 den chiorcal agus ar 2 _ 3 den triantán. Céard é cóimheas achar an chiorcail le hachar an triantáin?

Mír 12.2 Am agus amchláir Taispeánann an clog ar dheis go bhfuil sé 9.20. 12

6

9 32

1

45

11

7

10

8

D’fhéadfadh gur 9.20 a.m. nó 9.20 p.m. atá ann.

Nuair a thugaimid am a.m. nó p.m., is é am an chloig 12 uair a bhíonn á chur in iúl againn.

Úsáidtear na litreacha a.m. chun an t-am idir meán oíche a.m. ante meridiem – roimh mheán laep.m. post meridiem – tar éis meán lae

agus meán lae a chur in iúl.

Cuirtear an t-am idir meán lae agus meán oíche in iúl le p.m..

Bealach eile chun an t-am a rá é an clog 24 uair.Úsáideann an modh seo 4 fhigiúr, m.sh. 10.24.

239

Léiríonn an chéad dá fhigiúr an uair nó na huaireanta an chloig tar éis meán oíche agus léiríonn an dara dhá fhigiúr an líon nóiméad tar éis na huaire.

Taispeántar sa tábla thíos amanna á rá in amanna an chloig 12 uair agus an chloig 24 uair.

clog 12 uair 10 a.m. 4.30 p.m. 4.20 a.m. 9.16 p.m. 12.10 a.m.

clog 24 uair 10.00 16.30 04.20 21.16 00.10

Is minic a fhágtar an pointe deachúlach ar lár in am an chloig 24 uair ar amchláir do bhusanna agus do thraenacha. Scríobhtar 21.16 mar 2116 ansin.

Sampla 1Tosaíonn scannán ag 20.45 agus críochnaíonn sé ag 22.14. Cá fhad a mhaireann sé?

Bainimid 20.45 as 22.14 mar seo a leanas:

Nuair a dhealraíonn sé go bhfuil uimhir mhór nóiméad le dealú ó uimhir bheag, athraigh an líne thuas trí 60 a chur leis na nóiméid agus ansin uair an chloig a bhaint mar seo a leanas:

22.145

21.74 … 14 nóiméad tar éis 10 5 74 nóiméad tar éis 9220.45 2 20.45

1.29

Maireann an scannán 1 uair an chloig 29 nóiméad.

Cleachtadh 12.2 1. Déan na suimithe agus na dealuithe seo a leanas:

(i) uair nóim4 38

1 3 46

(ii) uair nóim4 53

2 2 17

(iii) uair nóim3 12

1 1 46

(iv) uair nóim5 35

2 3 54

2. Sloinn gach ceann díobh seo ina nóiméid:

(i) 3 uair an chloig 24 nóim (ii) 5 uair an chloig 36 nóim

(iii) 7 n-uair an chloig 54 nóim

3. Sloinn iad seo a leanas in am an chloig 12 uair:

(i) 12

6

a.m.

9 32

1

45

11

7

10

8

(ii) 12

6

p.m.

9 32

1

45

11

7

10

8

(iii) 12

6

a.m.

9 32

1

45

11

7

10

8

(iv) 12

6

p.m.

9 32

1

45

11

7

10

8

22.14220.45

240

4. Scríobh iad seo a leanas le a.m. nó le p.m.:

(i) 11.40 (ii) 15.35 (iii) 12.20 (iv) 00.30 (v) 22.15

5. Scríobh iad seo a leanas in am an chloig 24 uair:

(i) 6 a.m. (ii) 10.45 a.m. (iii) 4 p.m. (iv) 10.12 p.m. (v) 12 meán lae

6. Cé mhéad uair an chloig agus nóiméad ó

(i) 9.45 a.m. go 2.15 p.m. (ii) 8.45 p.m. go 3.50 a.m. (iii) 08.30 go 16.45 (iv) 06.42 go 15.10 ?

7. Cé mhéad uair an chloig agus nóiméad ó

(i) 10.35 go 14.45 (ii) 12.48 go 16.20 (iii) 10.36 go 18.45 ?

8. Taispeántar uaireanta an chloig, nóiméid agus soicindí ar na cloig seo:Meaitseáil na hamanna ar na cloig leis na hamanna digiteacha sna boscaí gorma:A

7:52:04 B

I2:09:36 C

4:4 I:52 D

I: I3:2I (i)

12

6

9 32

1

45

11

7

10

8

(ii) 12

6

9 32

1

45

11

7

10

8

(iii) 12

6

9 32

1

45

11

7

10

8

(iv) 12

6

9 32

1

45

11

7

10

8

9. Oibríonn bean ó 08.45 go 12.30 agus ó 13.45 go 17.15 cúig lá na seachtaine. Cé mhéad uair an chloig a oibríonn sí sa tseachtain?

10. Tosaíonn dráma ag 8.20 p.m. agus maireann sé 2 uair an chloig 35 nóiméad. Cén t-am a chríochnaíonn sé?

11. Fágann traein Trá Lí ag 10.52 agus sroicheann sí Baile Átha Cliath ag 14.40.Cá fhad a mhaireann an turas?

12. Caithfear turcaí a chócaráil don dinnéar; suífidh gach duine chun boird ag 18.30.Caithfear é a chócaráil ar feadh 28 nóiméad in aghaidh an kg, agus 20 nóiméad breise.Má tá an turcaí 8 kg ar meáchan, cén t-am ar cheart é a chur san oigheann?

13. Seo cuid d’amchlár na traenach ó Bhaile Átha Cliath go Cathair na Mart:

Traein 1 Traein 2Heuston (BÁC) ag imeacht 08.30 17.10

Baile Átha Luain ag teacht 10.08 18.43

Baile Átha Luain ag imeacht 10.10 18.45

Clár Chlainne Mhuiris ag teacht 11.25 20.08

Clár Chlainne Mhuiris ag imeacht 11.44 20.11

Cathair na Mart ag teacht 12.05 20.38

241

(i) Cá fhad a thógann sé ar Thraein 1 dul ó Bhaile Átha Cliath go Cathair na Mart?

(ii) Cá fhad a sheasann Traein 1 i gClár Chlainne Mhuiris?

(iii) Cá fhad a thógann sé ar Thraein 2 dul ó Bhaile Átha Luain go Cathair na Mart?

(iv) Cé acu traein is tapúla ó Bhaile Átha Cliath go Baile Átha Luain?

(v) Cá fhad a thógann sé ar Thraein 1 dul ó Bhaile Átha Cliath go Clár Chlainne Mhuiris?

(vi) Cá fhad a sheasann Traein 2 i mBaile Átha Luain?

(vii) Má shroichim Stáisiún Heuston i mBaile Átha Cliath ag 07.52, cá fhad a bheidh orm fanacht sula n-imeoidh Traein 1 le dul go Cathair na Mart?

(viii) Cé acu traein is tapúla ó Bhaile Átha Cliath go Cathair na Mart?

14. Thosaigh turas i gcarr ag 10.40 agus chríochnaigh sé ag 13.25.Má d’úsáid an carr 6 lítear peitril in aghaidh na huaire agus má chosnaíonn gach lítear E1.65, ríomh costas an pheitril don turas.

Mír 12.3 Luas – Fad – Am Má thaistealaíonn carr 100 km in 2 uair an chloig, deirimid gurb é meánluas an chairr don turas ná 50 ciliméadar san uair (a scríobhtar mar 50 km/h).

Nó, má thaistealaíonn traein 300 km in 3 uair an chloig, is é an meánluas atá fúithi ná 100 km/h.

fad a taistealaíodhSna samplaí thuas, tá an meánluas 5 _________________ . am a thóg sé

D’fhéadfaí na samplaí thuas a úsáid freisin chun a thaispeáint go bhfuil

Fad (i) Am 5 ______ (ii) Fad 5 Luas 3 Am Luas

D’fhéadfadh an triantán ar dheis cabhrú leat cuimhneamh ar na foirmlí seo.

FadLuas 5 _____ Am

FadAm 5 _____ Luas

LuasFad 5 _____ Am

F

AL

Úsáid d'ordóg chun an luach atá uait a chlúdach;mar shampla chun an luas a fháil, clúdaigh L.

FadLuas 5 _____ Am

242

Sampla 1

Taistealaíonn traein 210 km in 2 1 _ 2 uair an chloig. Faigh an meánluas atá fúithi.

Fad 210 210 3 2 420Meánluas 5 ____ 5 ____ 5 ________ 5 ____ 5 84 Am 2 1 _ 2 2 1 _ 2 3 2 5

∴ an meánluas 5 84 km/hr.

Sampla 2Thaistil tiománaí 500 ciliméadar i sé uair an chloig. 100 km/h an meánluas a bhí fúithi sa chéad dá uair an chloig. Faigh an meánluas a bhí fúithi, ina chiliméadair san uair, sna ceithre uair an chloig dheiridh.

An fad a chuaigh sí sa chéad 2 uair an chloig 100 km 3 2 5 200 km.Dá bhrí sin thaistil sí 300 km sna 4 uair an chloig dheiridh.

FadMeánluas 5 ____ Am

5 300 ____ 4

… 500 km 2 200 km 5 300 km agus 6 u - 2 u 5 4 u.

5 75

∴ an meánluas do na 4 uair an chloig dheiridh 5 75 km/h.

Cleachtadh 12.3 1. Cá fhad a thaistealóidh carr

(i) in 3 uair an chloig agus meánluas 75 km/h fúithi (ii) in 2 1 _ 4 uair an chloig agus meánluas 88 km/h fúithi?

2. Faigh an t-am a thógfadh sé:

(i) 200 km a thaisteal agus meánluas 80 km/h fút (ii) 48 km a thaisteal agus meánluas 64 km/h fút.

3. Faigh an meánluas ina km/h a bheadh faoi charr dá dtaistealódh sí

(i) 120 km in 2 uair an chloig (ii) 90 km in 1 1 _ 2 uair an chloig (iii) 25 km in 30 nóiméad (iv) 90 km in 40 nóiméad.

4. Críochnaíonn carr rásaíochta cuaird 15 km ar raon i gcúig nóiméad. Sloinn an meánluas seo ina km/h.

243

5. 60 km/h an luas atá faoi luasbhád ar feadh dhá uair an chloig agus ansin 90 km/h ar feadh uair an chloig amháin.Faigh an meánluas atá fúithi le linn na dtrí uair an chloig.

6. Tógann turas trí uair an chloig ar mheánluas 120 km/h.Cá fhad, ina uaireanta, a thógfaidh an turas má laghdaítear an meánluas go 80 km/h?

7. Thosaigh turas 276 km ag 1040 agus chríochnaigh sé an lá céanna ag 1430.Faigh an meánluas ina km/h.

8. Tógann turas i gcarr 4 uair an chloig agus 20 nóiméad agus meánluas 120 km/h fúithi.Cé mhéad uair an chloig agus nóiméad a thógfadh sé dul ar an turas céanna dá laghdófaí an meánluas go 100 km/h?

9. Thaistil tiománaí 320 km i gcúig uair an chloig.80 km/h an meánluas a bhí fúithi sa chéad 160 km.Cén meánluas a bhí fúithi sa dara 160 km?

10. Taistealaítear 18 km in 25 nóiméad.Faigh an meánluas ina mhéadair sa soicind.

11. Thosaigh rothaí turas 56 km ag 1015 agus chríochnaigh sé an turas ag 1135.Ríomh meánluas an rothaí ina km/h.

12. Taistealaítear 600 méadar in 30 soicind.Faigh an meánluas ina km/h.

13. Thóg turas 559 ciliméadar i gcarr 6 uair an chloig agus 30 nóiméad.

(i) Ríomh an meánluas, ina km/h, don turas. (ii) Má úsáideadh, ar an meán, lítear amháin peitril gach 8.3 km, ríomh an líon lítear a

úsáideadh, ceart go dtí an lítear is gaire.

14. Tosaíonn reathaí ag rith ag meán lae agus í ag iarraidh rith go dtí an chéad sráidbhaile eile, atá 12 km uaithi.Ba mhaith léi an sráidbhaile seo a shroicheadh ag 1330.Cén meánluas reatha a theastaíonn uaithi?

15. Is féidir le síota 100 m a rith in 5.4 soicind.Tógann traein 12 nóiméad chun dul 7.7 km idir dhá stáisiún.Cé aige a bhfuil an meánluas is tapúla, an traein nó an síota?Sloinn an difríocht ina méadair sa nóiméad.

16. Siúlann Áine 1.7 km ón scoil go dtí a teach.Siúlann sí agus meánluas 5.1 km/h fúithi.Céard é an t-am is deireanaí is féidir léi an teach a fhágáil le bheith ar scoil ag 8.55 a.m.?

244

17. Léirítear sa tábla ar dheis an t-am a thóg sé ar roinnt ainmhithe atá iontach tapa na faid a thugtar a rith.Eagraigh na hainmhithe in ord, ag tosú leis an gceann is tapúla.

18. Tá traein le turas 300 km a dhéanamh agus meánluas 120 km/h fúithi.Fágann sí sé nóiméad mall agus méadaítear an meánluas le go sroichfidh sí ceann scríbe in am.Faigh an meánluas nua.

19. Is é riail Bhairbre do chnocadóirí:

Tabhair 1 uair an chloig duit féin le haghaidh gach 5 km a chaithfidh tú a shiúl.Cuir 1 _ 2 uair an chloig leis i gcás gach 300 méadar a chaithfidh tú a dhreapadh.

Thosaigh Seosaimhín siúlóid 4 km ag 0800.D’ardaigh an cosán 1800 m ó thús deireadh.Theastaigh ó Sheosaimhín a fháil amach cén t-am a chríochnódh sí an tsiúlóid, a bheag nó a mhór.Má chaitheann sí 2 1 _ 2 uair an chloig ag glacadh sosa ar an tsiúlóid, cén t-am a shroichfidh sí ceann scríbe, a bheag nó a mhór?

Ainmhí Fad ama Fad ina mhéadair

Síota 18 soicind 500 m

Capall rása 16 shoicind 300 m

Antalóp 4 1 _ 2 nóim 6 000 m

Fia 42 nóim 32 000 m

Cuir triail ort féin 12 1. (a) Simpligh na cóimheasa seo a mhéad is féidir:

(i) 28 : 35 (ii) 20 cm : 1 m (iii) 250 g : 3 kg (iv) 40c : e2

(b) D’fhág traein Baile Átha Cliath ag 0945 agus shroich sí Luimneach ag 1215. (i) Cá fhad a mhair an turas? (ii) Má tá an turas 220 km ar fad, faigh meánluas na traenach ina km/h.

(c) Roinntear dronuilleog ina ceithre thriantán, mar a thaispeántar anseo.

12

6

58Faigh an cóimheas seo:

an triantán is lú : an triantán is mó.

2. (a) Is é 4 : 1 cóimheas na mbáidíní seoil le cúrsóirí mótair atá feistithe i gcalafort.Má tá 24 báidín sa chalafort, cé mhéad cúrsóir mótair atá ann?

(b) Taistealaíonn tiománaí ar mheánluas 60 km/h ar feadh 2 1 _ 4 uair an chloig.Má ídíonn a charr lítear amháin peitril gach 15 km ar an meán, faigh amach cé mhéad lítear peitril a úsáidtear.

(c) Úsáidtear ceirtlín mór olla chun scaif a chniotáil.Tá an scaif 40 lúb ar leithead agus 120 cm ar fad.Má úsáidtear ceirtlín olla den mhéid chéanna chun scaif atá 25 lúb ar leithead a chniotáil, céard é fad na scaife nua?

3. (a) (i) San oideas seo do cháca almóinne, scríobh Cáca Almóinne Saibhir0.25 kg ime350 g siúcra0.5 kg plúir150 g d’almóinn mheilte

cóimheas an ime le siúcra le plúr le halmóinní meilte san fhoirm is simplí.

(ii) In oideas eile, is é 3 : 2 cóimheas an phlúir le siúcra. Cé mhéad siúcra a theastaíonn má tá 1.2 kg plúir agat?

(b) Tosaíonn na ranganna ar scoil áirithe ag 9.00 a.m. agus críochnaíonn siad ag 3.40 p.m. Bíonn sos uair an chloig ann ag am lóin agus sos 20 nóiméad i lár na maidine.Má bhíonn 8 rang ann gach lá agus iad uile ar comhfhad, cá fhad a mhaireann rang amháin?

(c) Taistealaíonn T.G.V. 567 km ó Bordeaux go Páras agus meánluas 252 km/h fúithi.Cén t-am a shroichfidh an traein Páras, má fhágann sí Bordeaux ag 1410?

4. (a) Taistealaíonn bus ar feadh dhá uair an chloig agus meánluas 90 km/h faoi agus ansin uair an chloig eile agus meánluas 60 km/h faoi.Faigh (i) an fad iomlán a thaistealaíonn an bus

(ii) an t-am iomlán a thógann an turas (iii) meánluas an bhus don turas ar fad ina km/h.

245

(b) Tá umha, sinc agus stán i gcóimhiotal sa chóimheas 1 : 3 : 5.Má tá 45 kg stáin sa chóimhiotal, faigh a mhais iomlán.

(c) Bhí eitleán le hAerfort na Sionainne a fhágáil ag 18:42 ach bhí sé 35 nóim mall. Le linn na heitilte, a bhuíochas le gaoth chúil, d’éirigh leis an eitleán an 35 nóiméad sin a chúiteamh agus ansin thuirling sé 16 nóim roimh 00.05, an t-am sroichte beartaithe. (Glac leis nár thrasnaigh an t-eitleán aon chrios ama le linn an turais.) (i) Cén t-am ar fhág an t-eitleán? (ii) Cén t-am ar thuirling sé?

5. (a) Roinneadh duaischiste idir A, B agus C sa chóimheas 5 : 2 : 1 faoi seach.Má fuair B E520, faigh luach an duaischiste iomláin.

(b) Mháirseáil Brian Bóramha agus a arm mór chuig ármhá.Faoi 2 p.m. bhí siad aon trian den bhealach ann.Faoi 4 p.m. bhí siad trí cheathrú den bhealach ann.Cén t-am a thosaigh siad ag siúl?

(c) Líontar crúiscín 500 ml le sú oráiste agus le líomanáid sa chóimheas 1 : 4.Líontar crúiscín eile 1 lítear le sú oráiste agus le líomanáid sa chóimheas 1 : 3.Doirtear an dá chrúiscín isteach i gcrúiscín mór amháin.Céard é cóimheas an tsú oráiste le líomanáid sa chrúiscín mór?

6. (a) Roinntear an chearnóg is mó ina 4 chearnóg, mar a thaispeántar. Cén chomhréir den léaráid seo atá scáthaithe?Tabhair do fhreagra mar chodán.

(b) Mheas conraitheoir go bhféadfadh sé jab áirithe a dhéanamh i mbliain amháin le 280 fear. Dá n-iarrfaí air an obair a dhéanamh in 10 mí, cé mhéad fear breise a bheadh air a fhostú?

(c) Siúlann fear 15 chiliméadar agus meánluas 6 km/h faoi.Ansin ritheann sé 9 gciliméadar agus meánluas 18 km/h faoi.Faigh (i) an t-am iomlán a thóg an dá thuras

(ii) an meánluas atá faoi sa dá thuras.

(d) Sa Grand Prix, chuaigh carr an bhuaiteora thar an mbratach chríche 0.3 soicind roimh an gcéad charr eile.Bhí an dá charr ag taisteal ar 84 m/s.Céard é an fad a bhí idir an dá charr?

246

247

Mír 13.1 Súil siar ar léaráidí líne agus ar bharrachairteacha 1. Léaráidí líne

Taispeánann na sonraí seo na huasteochtaí (ina °C) in Barcelona gach lá i mí an Mheithimh.

27 28 26 25 26 27 22 30 28 2928 26 24 22 28 24 27 29 28 2719 25 26 29 29 26 28 28 31 25

Taispeántar na teochtaí sin sa léaráid líne thíos.

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28Teocht (°C)

Asluiteach

29 30 31 32 33

Is é an raon ná 19°C go 31°C, i.e., 12°C. Is é an mód ná 28°C, mar is é is minice atá ann. Tugtar asluiteach ar 19°C mar go bhfuil sé an-difriúil leis an gcuid eile de na scóir. Tá na teochtaí bailithe le chéile nó braislithe idir 25°C agus 29°C.

2. BarrachairteachaIs bealach simplí, ach éifeachtach mar sin féin, iad barrachairteacha chun sonraí a chur i láthair. Is é a bhíonn i mbarrachairt ná barraí ar an leithead céanna, a tharraingítear go ceartingearach nó go cothrománach ó ais. Léiríonn airde (nó fad) na mbarraí na minicíochtaí i gcónaí. De ghnáth bíonn na barraí scartha óna chéile ag bearnaí cúnga atá ar comhleithead.

Cuirtear gach teocht in iúl le ponc

Focail Thábhachtachaléaráid líne asluiteach braislithe barrachairt píchairt teascóg histeagram dáileadh normalach sceabha deimhneach sceabha diúltach léaráid ghais agus duillí graif mhíthreoracha airmheán ceathairíleanna raon idircheathairíle

caibi

dil

13An Staitistic 3 – Sonraí a Chur

i Láthair

248

Sa bharrachairt thíos taispeántar líon na dteachtaireachtaí téacs a fuair grúpa scoláirí Satharn áirithe.

2

0

4

6

8

10

12

14

16

Min

icío

cht

0Líon na dteachtaireachtaí téacs

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ba é líon iomlán na dteachtaireachtaí téacs a fuarthas ná

1 1 2 1 4 1 6 1 9 1 11 1 14 1 9 1 4 5 60.

Is é 7 an uimhir mhódúil agus is é 1 go 9 an raon.

Cleachtadh 13.1 1. Léiríonn an léaráid líne thíos líon na gcúl in aghaidh an chluiche a scóráil foireann haca.

0Líon na gcúl

1 2 3 4 5 6

(i) Cé mhéad cluiche atá imeartha ag an bhfoireann? (ii) Cé acu líon cúl é an mód? (iii) Céard é an raon atá ag líon na gcúl a scóráladh? (iv) Cén céatadán de na cluichí a bhí gan scór?

2. Taispeántar sa léaráid líne seo na huasteochtaí (ina °C) ag Túr Eiffel gach lá i mí Aibreáin: (i) Céard é an mód? (ii) Céard é an t-asluiteach? (iii) Cé mhéad lá arbh é 25°C

an uasteocht? (iv) Cén céatadán de na laethanta ar ar thit an uasteocht faoi bhun 20°C? (v) Má roghnaítear lá go randamach, cén dóchúlacht atá ann go bhfuil an uasteocht

faoi bhun 18°C?

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24Uasteocht (°C)

25 26 27 28

249

3. Taispeántar sa léaráid líne seo na scóir (as 50) a fuair grúpa daltaí i scrúdú matamaitice:

30 32 34 36 38Scór

40 42 44 46 48 50

(i) Cén scór ba choitianta? (ii) Cé mhéad dalta a fuair 34? (iii) Cé mhéad dalta a fuair 45 nó níos mó? (iv) Cén céatadán de na daltaí a fuair 35 nó níos lú? (v) Má roghnaítear dalta go randamach, cén dóchúlacht atá ann go bhfuair sé 40?

4. Taispeánann an bharrachairt seo líon na bpictiúr ar chuimhnigh gach dalta orthu i dturgnamh cuimhne. (i) Cé mhéad dalta a ghlac páirt sa

turgnamh? (ii) Céard é an líon módúil pictiúr ar

cuimhníodh orthu? (iii) Cé mhéad dalta a chuimhnigh ar

níos lú ná 7 bpictiúr? (iv) Céard é an raon atá ag an líon

pictiúr ar cuimhníodh orthu? (v) Céard é an líon airmheánach pictiúr ar cuimhníodh orthu?

5. Taispeántar sa bharrachairt líon na n-uaireanta an chloig a chaith grúpa daltaí ón dara bliain leis an obair bhaile seachtain áirithe.

05

Líon na n-uaireanta an chloig

Líon na n-uaireanta an chloig a chaith grúpa daltaí ón dara bliain leis an obair bhaile

2

4

6

1

3

5

7

Min

icío

cht

6 7 8 9 10 11 12

(i) Cé mhéad dalta a chaith 6 uair an chloig leis an obair bhaile? (ii) Céard é an líon is mó uaireanta an chloig a chaith dalta leis an obair bhaile?

05Líon na bpictiúr ar cuimhníodh orthu

2

4

6

1

3

5

7M

inic

íoch

t

6 7 8 9 10

250

(iii) Cé mhéad dalta a chaith níos lú ná 7 n-uair an chloig leis an obair bhaile? (iv) Cé mhéad dalta a chaith níos mó ná 10 n-uair an chloig leis an obair bhaile? (v) Cé mhéad dalta a bhí sa suirbhé? (vi) Cén céatadán de na daltaí a chaith 8 n-uair an chloig leis an obair bhaile? (vii) Má roghnaítear dalta go randamach, cén dóchúlacht atá ann gur chaith an dalta

sin 10 n-uair an chloig leis an obair bhaile?

6. Caitheadh sé bhonn airgid in airde 30 uair agus rinneadh taifead gach uair ar líon na n-aghaidheanna a fuarthas. Tá na freagraí le feiceáil sa bharrachairt thíos.

00

Líon na n-aghaidheanna

6 bhonn airgid a chaitheamh in airde

2

4

6

7

8

1

3

5

9

Min

icío

cht

1 2 3 4 5 6

(i) Cé mhéad uair a fuarthas 4 aghaidh? (ii) Céard é an líon modúil aghaidheanna a fuarthas? (iii) Má fuarthas 2 aghaidh ar chaitheamh in airde áirithe, cé mhéad cúl a fuarthas? (iv) Scríobh síos an dóchúlacht thurgnamhach atá ann 4 aghaidh a fháil.

7.

050-99

Scór

Scóir i gcluiche ríomhaire

2

4

1

3

5

Min

icío

cht

100-149 150-199 200-249 250-299 300-349

Taispeánann an graf seo na scóir i gcluiche ríomhaire. (i) Scóir de 250 nó níos mó, bhuaigh siad duais. Cé mhéad duine a bhuaigh duais? (ii) Cé mhéad duine san iomlán a d’imir an cluiche? (iii) Céard é an líon is mó daoine a d’fhéadfadh scór is mó ná 220 a fháil? (iv) Céard é an líon is lú daoine a d’fhéadfadh scór is lú ná 160 a fháil?

251

8. Tá líon na gcúl a scóráladh i sraith cluichí peile léirithe sa bharrachairt ar dheis.

(i) Cé mhéad cluiche a imríodh? (ii) Ríomh an líon iomlán cúl a scóráladh. (iii) Faigh an meánlíon cúl a scóráladh in

aghaidh an chluiche, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

9. Rinneadh suirbhé le déanamh amach cé mhéad uair an chloig a chaith daltaí ar an Idirlíon in aghaidh na seachtaine. Bhí na torthaí mar seo a leanas:

17 14 9 28 8 27 23 16 10 1815 23 5 38 27 19 6 25 24 3616 5 7 17 8 9 3 4 27 2816 7 8 18 9 4 9 8 6 35

(i) Eagraigh an fhaisnéis sin i dtábla minicíochta. Bain úsáid as na heatraimh seo: (1–10), (11–20), (21–30) agus (31–40).

(ii) Tarraing barrachairt chun an t-eolas sin a léiriú. (iii) Cé mhéad dalta a chaith níos mó ná 30 uair an chloig in aghaidh na seachtaine ar

an Idirlíon? (iv) Cén céatadán de na daltaí a chaith 25 uair an chloig nó níos mó in aghaidh na

seachtaine ar an Idirlíon? (v) Cén céatadán de na daltaí a chaith níos lú ná 21 uair an chloig in aghaidh na

seachtaine ar an Idirlíon?

10. Iarradh ar ghrúpa déagóirí, 20 buachaill agus 20 cailín, a dtuairim a thabhairt maidir leis an gceist seo – ar chóir go mbeadh an corpoideachas éigeantach? Tá na torthaí le feiceáil sa bharrachairt seo. Tá dhá cholún i ngach barra. (i) Cé mhéad cailín a

aontaíonn go mór leis an gcorpoideachas a bheith éigeantach?

(ii) Cé mhéad buachaill a aontaíonn go mór leis an gcorpoideachas a bheith éigeantach? (iii) Céard é an líon iomlán déagóirí nach n-aontaíonn beag ná mór leis an

gcorpoideachas a bheith éigeantach? (iv) Má roghnaítear déagóir go randamach, cén dóchúlacht atá ann go n-aontaíonn an

déagóir sin go mór leis an gcorpoideachas a bheith éigeantach? Bíodh do fhreagra ina dheachúil.

00

Líon na gcúl

10

20

25

5

15

30

Líon

na

gclu

ichí

1 2 3 4

0Aontaím go mór

Aontaím Is cuma liom

Ní aontaím

Ní aontaím beag

ná mórTuairim

Ar chóir go mbeadh an corpoideachas éigeantach?

2

4

5

6

7

1

3

8

Min

icío

cht

BuachaillíCailíní

252

Mír 13.2 Píchairteacha Bíonn píchairt go maith chun faisnéis a thaispeáint nuair a theastaíonn uainn a léiriú cén chaoi a roinntear méid faoi leith ina chatagóirí éagsúla. Seasann an ‘pí’, nó an ciorcal, don mhéid iomlán agus seasann gach ‘píosa’ nó teascóg do mhéid an sciar.

Bíonn méid gach ‘píosa’ nó teascóige i gcomhréir le méid na huillinne i lár na teascóige.

Is é 360° an uillinn a bhíonn i lár an chiorcail nó an phí. Bíonn uillinn 1 _ 2 3 360° 5 180° i leathsciar.

Taispeánann an léaráid ar dheis an chaoi a léirítear sciartha difriúla le teascóga i bpíchairt.

Más ionann an codán de sciar agus 1 _ 6 , faightear méid

na huillinne sa lár ach 1 _ 6 de 360° a ríomh.

1 _ 6 de 360° 5 360° 4 6 5 60°.

Ar an gcuma chéanna, más é 1 __ 10 , an codán, is ionann an uillinn sa lár agus 1 __ 10 de 360° 5 36°.

Sampla 1

Iarradh ar 120 cailín sa chéad bhliain an spórt ab fhearr leo a ainmniú. Léirítear na torthaí sa phíchairt thall.

Cé mhéad cailín a d’ainmnigh (i) leadóg (ii) lúthchleasaíocht (iii) haca (iv) líonpheil?

Scríobhaimid gach ceann de na huillinneacha sna teascóga a theastaíonn mar chodán de 360°.

(i) Leadóg: 90°; 90° ____ 360°

5 1 __ 4

agus 1 __ 4

de 120 5 30

d’ainmnigh 30 cailín leadóg

LíonpheilLeadóg

Haca

Lúthchleasaíocht

Cispheil 90°60°

45°45°

120°

Teascóg

180°

leathsciar

90°

30°

60°de sciarde sciar1

4

16

de sciar112

253

(ii) Lúthchleasaíocht: 120°; 120° ____ 360°

5 1 __ 3

agus 1 __ 3

de 120 5 40

d’ainmnigh 40 cailín lúthchleasaíocht

(iii) Haca: 45°; 45° ____ 360°

5 9 ___ 72

5 1 __ 8

agus 1 __ 8

de 120 5 15

d’ainmnigh 15 chailín haca

(iv) Líonpheil: 60°; 60° ____ 360°

5 1 __ 6

agus 1 __ 6

de 120 5 20

d’ainmnigh 20 cailín líonpheil

Sampla 2

I suirbhé, cuireadh ceist ar 72 duine cén cineál teasa a bhí acu sa bhaile. Tugtar na torthaí sa tábla thíos:

Cineál teasa Ola Gás Leictreachas Breosla soladach

Líon na dteaghlach 30 24 12 6

Tarraing píchairt chun an fhaisnéis sin a léiriú.

Mar seo a ríomhtar méid na huillinne i ngach teascóg:

Ola: 30 ___ 72

5 5 ___ 12

agus 5 ___ 12

de 360° 5 5 ___ 12

3 360 ____ 1

5 150°

Gás: 24 ___ 72

5 1 __ 3

agus 1 __ 3

de 360° 5 120°

Leictreachas: 12 ___ 72

5 1 __ 6

agus 1 __ 6

de 360° 5 60°

Breosla soladach: 6 ___ 72

5 1 ___ 12

agus 1 ___ 12

de 360° 5 30°

Tá na torthaí le feiceáil sa phíchairt seo ar dheis.

Ola

Breosla soladach

LeictreachasGás

150°30°

60°120°

Cleachtadh 13.2 1. Faigh luach x i ngach ceann de na píchairteacha seo.

(i)

90°

120°

45°

x °

(ii)

30° 150°

60°x °

(iii)

60°130°

45°x °

30

1

254

2. Léiríonn an phíchairt thíos na cineálacha éagsúla lóistín atá le fáil in ionad saoire.

Má tá 600 áit lóistín ar an iomlán san ionad, faigh (i) líon na n-árasán san ionad (ii) líon na dtithe soghluaiste san ionad (iii) líon na gcarbhán san ionad (iv) an uillinn sa teascóg a léiríonn na pubaill.

3. Nuair a d’fhill siad ar Bhaile Átha Cliath, iarradh ar 240 duine a rá cé na tíortha ar thug siad cuairt orthu. Tá na torthaí le feiceáil sa phíchairt seo ar dheis. (i) Céard é méid na huillinne a bhfuil x° uirthi? (ii) Cé mhéad duine a thug cuairt ar an bPortaingéil? (iii) Cé acu tír is mó ar tugadh cuairt uirthi? (iv) Cén tír ar thug 1 _ 4 de na daoine a ceistíodh

cuairt uirthi? (v) Nuair a chuirtear le chéile líon na ndaoine a thug

cuairt ar cheann amháin de na tíortha sin le líon na ndaoine a thug cuairt ar cheann eile acu, is ionann sin agus leath na ndaoine a ceistíodh. Cén dá thír iad sin?

4. I mbosca gránach bricfeasta 600g tá 4 ábhar mar seo a leanas:

Coirce Eorna Cruithneacht Seagal

150 g 100 g 75 g 275 g

Sa phíchairt ar dheis, faigh an uillinn sa teascóg a léiríonn (i) coirce (ii) cruithneacht (iii) seagal.

5. Iarradh ar sheasca duine cén tslí a dtaistealaíonn siad chun na hoibre agus tá na freagraí le feiceáil sa tábla seo a leanas:

Córas taistil Bus Carr Traein Siúl Rothar

Líon na ndaoine 20 15 12 8 5

(i) Ríomh an uillinn i ngach ceann de na teascóga. (ii) Tarraing píchairt chun na sonraí a léiriú.

x °

60°

90°

45° 120°

An Spáinn

An Iodáil

An Phortaingéil

An Fhrainc

Sasana

Coirce

Seagal

Cruithneacht

Eorna

Tithe soghluaiste

Carbháin

Pubaill

Árasáin

90°60°

180°

255

6. Taispeántar sa phíchairt na costais éagsúla a bhain le saoire.

biaeitiltí

óstán

airgead le

caitheamh

90°90°

60°

e450 a bhí ar na heitiltí. (i) Ríomh costas iomlán na saoire. (ii) (a) Ríomh méid na huillinne a léiríonn costas an óstáin.

(b) Ríomh costas an óstáin.

7. Iarradh ar 100 duine an focal ‘taobhagán’ a litriú.

Bhí an litriú i gceart ag 40 duine, ní raibh 35 duine sásta tabhairt faoi agus bhí an litriú mícheart ag 25 duine.

Roghnaigh an phíchairt thíos a thugann léiriú ceart ar an bhfaisnéis a tugadh.

i gceart

Litriú

mícheart

níor thug faoi

Litriú

i gceart

mícheart

níor thug faoi

Litriú

i gceart

mícheartníor thug faoi

8. I suirbhé, iarradh ar roinnt páistí beaga a rá cérbh é an peata ab fhearr leo.

Tugann an phíchairt thíos faisnéis maidir lena gcuid freagraí.

72°36°

126°18°

Iasc

108° Hamstar

Coinín

Madra

Cat

(i) Cén codán de na páistí a dúirt gurbh é an hamstar an peata ab fhearr leo? (ii) Má dúirt 20 páiste gurbh é an coinín ab fhearr leo, oibrigh amach líon na bpáistí a

ghlac páirt sa suirbhé.

A CB

256

9. Taispeánann na píchairteacha seo na cineálacha cártaí a bhí in dhá shiopa stáiseanóireachta.

In Cártaí Duitse bhí 200 cárta agus in Cártaí do Chách bhí 600 cárta. (i) Cé mhéad cárta breithlae, go garbh, a bhí in Cártaí do Chách? (ii) Cheap Siobhán gur léirigh na píchairteacha thuas go raibh níos mó cártaí

comhghairdis in Cártaí Duitse ná mar a bhí in Cártaí do Chách. Mínigh cén fáth a léiríonn na píchairteacha nach mar sin atá.

10. Díoltar uachtar reoite fanaile, sútha talún agus seacláide ag stainnín uachtar reoite. Sa phíchairt léirítear na díolacháin uachtar reoite don Satharn seo caite. Bhí líon na n-uachtar reoite fanaile agus líon na n-uachtar reoite seacláide a díoladh mar a chéile. Díoladh 60 uachtar reoite sútha talún ag an stainnín. Cé mhéad uachtar reoite seacláide a díoladh?

11. Sa phíchairt léirítear díolacháin cheithre bhranda brioscán.

(i) Cén céatadán de na díolacháin ar fad atá ag Tayto? (ii) Má tá 35% de na díolacháin ar fad ag Walkers,

ríomh na huillinneacha x agus y.

Mír 13.3 Histeagraim Histeagram a thugtar ar cheann de na slite is coitianta le dáileadh minicíochta a chur i láthair.

Tá histeagraim an-chosúil le barrachairteacha ach tá roinnt difríochtaí tábhachtacha eatarthu: > ní bhíonn aon bhearnaí idir na barraí i histeagram > baintear úsáid as histeagraim chun sonraí leanúnacha a thaispeáint > bíonn na sonraí grúpáilte i gcónaí; aicmí a thugtar ar na grúpaí > seasann achar gach barra nó dronuilleoige don mhinicíocht.

Uaireanta bíonn na heatraimh go léir ar an histeagram cothrom lena chéile, ach uaireanta eile ní bhíonn.

Agus muid ag déanamh staidéir ar histeagraim sa chúrsa seo, ní bheimid ag plé ach leis an gcás ina bhfuil na heatraimh go léir cothrom lena chéile. Ach na heatraimh a bheith cothrom lena chéile, bíonn an-chosúlacht ag an histeagram leis an mbarrachairt.

Cártaí Duitse Cártaí do Chách

600 Cárta200 Cárta

Go dtaga

biseach ort

Go dtaga biseach

ort

Comhghairdeas

Comhghairdeas

Eile

EileBreithlá

Breithlá

Go raibh maith agat

Go raibh

maith agat

Seacláid

Fanaile 90°

Sútha talún

Walkers

GoldenWonder

Tayto

Smiths

xy72°

83°

257

Sampla 1

Iarradh ar chaoga páiste tomhas a réiteach. Tugann an tábla thíos an méid ama, ina nóiméid, a thóg sé ar na páistí.

Am (ina nóiméid) 0–5 5–10 10–15 15–20 20–25

Líon na bpáistí 6 10 16 12 6

Tá na grúpaí ar fad ar comhleithead, 5 nóiméad. Chun an histeagram a tharraingt, tarraingíonn tú an dá ais ar dtús.

Taispeánann an ais chothrománach an t-am. Is ionann gach grúpa nó aicme agus 5 nóiméad. ‘Líon na bpáistí’ an lipéad atá ar an ais cheartingearach. Anois tarraingeoimid na dronuilleoga nó barraí le haghaidh gach aicme. Tabhair faoi deara go seasann airde na mbarraí do na minicíochtaí. Is é (10–15 nóiméad) an aicme mhódúil tharla go bhfuil níos mó páistí san aicme sin ná mar atá in aicme ar bith eile.

Cruth an dáilte Tá cruth difriúil ar gach ceann de na histeagraim thíos.

A B C D

Níl cuma chothromaithe ná shiméadrach ar aon cheann acu ach amháin histeagram D mar go bhfuil ais siméadrachta aige. Tá níos lú cothromaíochta ag baint leis na trí histeagram eile, i.e. tá siad sceabhach ar bhealach éigin.

Bíonn histeagraim an-úsáideach nuair is mian leat a fheiceáil cá bhfuil na sonraí agus, ar an gcaoi sin, léargas soiléir ar chruth an dáilte a fháil. Mar shampla, i histeagram A thuas, is léir go bhfuil an chuid is mó de na sonraí sna luachanna is ísle. I histeagram C, tá an chuid is mó de na sonraí sna luachanna is airde.

2

0

4

6

8

10

12

14

16

Líon

na

bpái

stí

5Am (nóiméid) 10 15 20 25

258

Tá cruthanna áirithe ann atá coitianta sa staitistic agus ba chóir go mbeifeá in ann iad a aithint agus a ainmniú.

1. Dáileadh siméadrach Tá ais siméadrachta síos tríd an lár ag an dáileadh seo. Tá na sonraí dáilte go cothrom thart ar an ais sin. Dáileadh normalach a thugtar air de ghnáth.

2. Sceabha deimhneachNuair atá an chuid is mó de na sonraí i ndáileadh ag na luachanna is ísle, deirtear gur sceabha deimhneach atá faoi, nó go bhfuil sé sceabhach ar dheis.

3. Sceabha diúltachNuair atá an chuid is mó de na sonraí i ndáileadh ag na luachanna is airde, deirtear gur sceabha diúltach atá faoi, nó go bhfuil sé sceabhach ar chlé.

Más sceabha deimhneach atá faoi dháileadh, is ar dheis a bheidh an t-eireaball; más sceabha diúltach atá faoi, is ar chlé a bheidh an t-eireaball.

Seo dhá léaráid líne. Sceabha deimhneach atá faoi cheann amháin agus sceabha diúltach atá faoin gceann eile.

Sceabha deimhneach Sceabha diúltach

Eireaball ar dheis

Eireaball ar chlé

259

Cleachtadh 13.3 1. Sa histeagram ar dheis taispeántar na faid

slí, ina gciliméadair, a thaistil daoine i mbloc oifigí áirithe chun na hoibre.

(i) Cé mhéad duine a thaistil idir 6 km agus 9 km chun na hoibre?

(ii) Cé mhéad duine a thaistil níos mó ná 9 km?

(iii) Céard é an aicme mhódúil? (iv) Cé mhéad duine a bhí sa suirbhé?

2. Taispeántar sa histeagram an líon daoine a bhain úsáid as scroidchuntar (bialann bheag) roimh lón lá áirithe den tseachtain.

(i) I do thuairim, cén t-am ar oscail an scroidchuntar?

(ii) Cé mhéad duine a bhain úsáid as an scroidchuntar sa chéad uair an chloig?

(iii) I do thuairim, cén fáth ar bhain na daoine sin úsáid as an scroidchuntar ag an am sin?

Bhí uair an chloig ghnóthach eile ag an scroidchuntar.

(iv) Cathain a bhí sé gnóthach arís? (v) I do thuairim, cén fáth a raibh an

scroidchuntar gnóthach den dara huair?

3. Bhreac Garda síos an luas a bhí faoi charranna agus iad ag gabháil thar scoil áirithe.

Taispeántar sa tábla thíos na luasanna a bhreac sé síos.

Luas (ina km) 20–30 30–40 40–50 50–60

Líon na gcarranna 8 20 16 12

(i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a léiriú. (ii) Cé mhéad carr a bhí ag taisteal ar luas is lú ná 40 km/uair? (iii) Más 55 km/h a bhí sa luasteorainn, céard é an líon is mó carranna a d’fhéadfadh an

teorainn sin a shárú?

4

0

8

12

16

20

Líon

na

ndao

ine

30Fad slí ina km6 9 12 15

10

0

20

30

40

50

60

Líon

na

ndao

ine

8:307:30Am (a.m.)

Daoine ag scroidchuntar roimh lón

9:30 10:30 11:30 12:30

260

4. Sa histeagram thíos taispeántar an méid ama a thóg sé ar ghrúpa daltaí fadhb a réiteach. (i) Cé mhéad dalta a bhí sa ghrúpa? (ii) Scríobh síos an aicme mhódúil. (iii) Cén céatadán de na daltaí ar thóg

sé idir 20 soicind agus 30 soicind orthu an fhadhb a réiteach?

(iv) Céard é an líon is mó daltaí a bhféadfadh an fhadhb a bheith réitithe acu i níos lú ná 35 soicind?

(v) Má roghnaítear dalta go randamach, cén dóchúlacht atá ann gur thóg sé níos mó ná 40 soicind ar an dalta sin an fhadhb a réiteach?

5. Agus iad ag ceann cúrsa, cuireadh ceist ar 30 tiománaí cé mhéad ciliméadar a thaistil siad. Taispeántar a gcuid freagraí sa tábla thíos:

Fad slí (ina km) 0–20 20–40 40–60 60–80 80–100


[Is éard a chiallaíonn 0–20 ná ≥ 0 agus < 20]

(i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a léiriú. (ii) Cé mhéad tiománaí a bhí tar éis 40 km nó níos mó a thaisteal? (iii) Céard é an aicme mhódúil? (iv) Más é an t-airmheán an luach atá leathshlí isteach sa dáileadh, cén t-eatramh ina

bhfuil an t-airmheán? (v) Bain leas as na lárluachanna eatraimh go ndéanfaidh tú meán an dáilte a mheas.

6. Taispeántar sa histeagram thall na tuarastail bhliantúla ag grúpa céimithe sa chéad bhliain fostaíochta acu. (i) Cé mhéad céimí a thuill níos mó ná

e40 000? (ii) Maidir leis na tuarastail, céard é an

aicme mhódúil? (iii) Céard é an líon is mó céimithe a

d’fhéadfadh níos mó ná e35 000 a thuilleamh?

(iv) Cé mhéad céimí a bhí sa suirbhé? (v) Má roghnaíodh céimí go randamach as

an ngrúpa, cén dóchúlacht atá ann gur thuill sé/sí idir e10 000 agus e20 000?

0

Líon

na

ndal

taí

100Am (soicindí)

20 30 40 50 60

1

3

5

7

9

11

12

2

4

6

8

10

0

Min

icío

cht

10 0000Tuarastail bhliantúla (€)

Tuarastail bhliantúla ag céimithe sa chéad bhliain fostaíochta

20 000 30 000 40 000 50 000

1

3

5

7

9

2

4

6

8

261

7. Sa histeagram thíos taispeántar aois na ndaoine atá ina gcónaí i sráidbhaile.

0

Líon

na

ndao

ine

100Aois ina blianta

20 30 40 50 60 70 80

4

8

12

16

2

6

10

14

18

(i) Cé mhéad duine atá níos lú ná 30 bliain d’aois? (ii) Cé mhéad duine atá ina gcónaí sa sráidbhaile? (iii) Cén t-eatramh ina bhfuil 20% de na daoine? (iv) Má roghnaítear duine go randamach, cén dóchúlacht atá ann go bhfuil sé/sí idir 60

agus 70 bliain d’aois? (v) Céard é an líon is mó daoine a d’fhéadfadh a bheith níos mó ná 55 bliain d’aois? (vi) Bain leas as na lárluachanna eatraimh go bhfaighidh tú meastachán ar an meán-aois.

8. Seo trí dháileadh:

A B C

(i) Cé acu de na dáiltí sin atá siméadrach? (ii) Cé acu dáileadh a bhfuil sceabha deimhneach faoi? (iii) Cé acu dáileadh a bhfuil sceabha diúltach faoi?

Mír 13.4 Léaráidí gais agus duillí Is bealach an-úsáideach í léaráid ghais agus duillí chun sonraí a chur i láthair. Bíonn sí úsáideach mar go dtaispeánann sí na sonraí bunaidh ar fad agus, ina theannta sin, go dtugann sí pictiúr iomlán duit ar chruth an dáilte.

Bíonn sí cosúil le barrachairt chothrománach, ach gurb iad na figiúirí féin na barraí.

262

Níl léaráidí gais agus duillí oiriúnach ach do líon beag sonraí.

Más 2 dhigit atá sna sonraí, is í an chéad digit an gas agus is í an dara digit an duille.

Mar seo a scríobhtar an uimhir 42: 4|2.

Seo thíos sampla de léaráid ghais agus duillí.

0 6 9

1 2 5 7

2 3 3 6 8

3 0 2 7

4 1 2 6

5 3 Eochair: 3|2 5 32

Seasann sé seo do 17.

Is iad na sonraí atá léirithe thuas:

6, 9, 12, 15, 17, 23, 23, 26, 28, 30, 32, 37, 41, 42, 46, 53

Tabhair faoi deara gur in ord de réir méide atá na huimhreacha, ag tosú leis an gceann is lú agus ag críochnú leis an gceann is mó.

Léaráid ghais agus duillí in ord a thugtar air sin.

Sampla 1

Is é atá sna huimhreacha thíos ná aoiseanna an 21 ceoltóir i gceolfhoireann. Bain úsáid as léaráid ghais agus duillí chun na haoiseanna a léiriú.

25 35 28 47 52 33 50 28 33 35 4855 29 50 39 41 32 29 56 26 35

(i) Céard é an mód atá ag na sonraí?

(ii) Cén aois airmheánach atá ann?

Téann raon na n-aoiseanna ó 25 go 56.

Scríobhaimid 2, 3, 4 agus 5 sa chéad cholún chun an gas a dhéanamh.

Is iad na duillí ná na digití aonair atá scrídea in aice leis an ngas:

Léirítear 25 ach 5 a scríobh in aice le gas 2.

Gas DuilleLéaráid ghais agus duillí nach bhfuil in ord atá sa cheann seo.

2 5 8 8 9 9 6

3 5 3 3 5 9 2 5

4 7 8 1

5 2 0 5 0 6

I léaráid ghais agus duillí, caithfidh na huimhreacha a bheith ina líne thíos faoina chéile.

Ní mór duit eochair a chur leis an léaráid i gcónaí le taispeáint cén chaoi a dtagann an gas agus an duille le chéile.

263

Is mó an leas a bheimid in ann a bhaint as an léaráid má chuirimid atheagar ar na scóir sa chaoi is go mbeidh siad in ord, ón gceann is lú go dtí an ceann is mó.

Ansin beidh léaráid ghais agus duillí againn atá in ord.

Gas Duille

2 5 6 8 8 9 9

3 2 3 3 5 5 5 9

4 1 7 8

5 0 0 2 5 6

(i) Is é 35 an mód mar is é is minice atá ann.

(ii) Is é an t-airmheán an luach atá leathshlí tríd an dáileadh. 21 luach ar fad atá ann. Is é an 11ú luach an t-airmheán. Is é 35 an luach sin, i.e., is é 35 an t-airmheán.

Eochair: 3|2 5 32

Léaráidí gais agus duillí, cúl le cúl (nó droim le droim) Is féidir dhá léaráid ghais agus duillí a tharraingt agus an gas céanna ag an dá cheann acu. Léaráidí gais agus duillí, cúl le cúl, a thugtar orthu sin. Cuirtear duillí a bhaineann le tacar amháin sonraí ar thaobh na láimhe deise den ghas. Cuirtear duillí a bhaineann leis an tacar sonraí eile ar chlé. Bíonn léaráidí gais agus duillí, cúl le cúl, an-úsáideach chun dhá thacar sonraí a chur i gcom-paráid lena chéile. Is léiriú air sin é an sampla seo.

Sampla 2Shocraigh an múinteoir Eolaíochta go gcuirfeadh sí an rang faoi scrúdú ar ábhar áirithe. Rinne an rang go dona. Seachtain ina dhiaidh sin chuir sí an rang faoi scrúdú arís, scrúdú a bhí cosúil leis an gcéad cheann, tar éis dóibh súil siar chuimsitheach a thabhairt ar an ábhar. Taispeántar na torthaí sa léaráid ghais agus duillí, cúl le cúl, thíos.

Duille Gas Duille

Eochair: 3|6 5 63

9 8 6 6 0 3

Eochair: 8|2 5 82

9 7 7 3 1 1 1 4 3 6 6 89 8 8 5 3 3 0 5 1 7 9 9

9 8 7 5 3 6 3 8 97 0 5 5 5 8 98 2 6 7 7

0 9 0 0 1 3

264

(i) Céard a thaispeánann an léaráid maidir leis an gcaoi ar éirigh leis an rang sa dá scrúdú?

(ii) Faigh an marc airmheánach sa dá scrúdú. (iii) Scríobh síos raon na marcanna sa dá scrúdú. (iv) An bhfuil na marcanna airmheánacha agus na raonta ag teacht leis an tátal a

bhain tú in (i) thuas? (v) Scríobh síos asluiteach ar bith atá sna torthaí.

(i) Taispeánann an léaráid gur éirigh i bhfad níos fearr leis an rang sa dara scrúdú. Fuair 14 dhalta 70 marc nó níos mó sa dara scrúdú ach ní bhfuair ach dalta amháin marc níos mó ná 70 sa chéad scrúdú.

(ii) 25 dalta atá sa rang. Is é an marc airmheánach sa dá scrúdú ná an 13ú marc. Is é an marc airmheánach sa chéad scrúdú ná 50. Is é an marc airmheánach sa dara scrúdú ná 75.

(iii) Is é an raon sa chéad scrúdú ná 90–30, i.e. 60. Is é an raon sa dara scrúdú ná 93-43, i.e. 50.

(iv) Tharla gurb é 75 an marc airmheánach sa dara scrúdú, i gcomparáid le 50 sa chéad scrúdú, deimhníonn sé an tátal gur éirigh níos fearr leis na daltaí sa dara scrúdú. Freisin is airde an raon sa chéad scrúdú, rud a thaispeánann go raibh na marcanna níos scoite amach sa chéad scrúdú, is é sin le rá nach raibh siad chomh comhsheasmhach céanna.

(v) Is asluiteach é 90 sa chéad scrúdú. Níl asluiteach ar bith sa dara scrúdú.

An raon idircheathairíle a fháil ó léaráid ghais agus duillí I gCaibidil 4, d’fhoghlaimíomar gurb í an cheathairíl íochtarach an luach sna sonraí atá an ceathrú cuid den tslí tríd an dáileadh. Is í an cheathairíl uachtarach an luach atá trí cheathrú den tslí tríd an dáileadh. Is é an raon idircheathairíle an difríocht idir an cheathairíl uachtarach agus an cheathairíl íochtarach.

Taispeánfaimid anois cén chaoi leis an dá cheathairíl agus an raon idircheathairíle a fháil i gcás dáileadh a chuirtear i láthair mar léaráid ghais agus duillí.

Sampla 3

Taispeánann an léaráid ghais agus duillí ar dheis na marcanna, as 50, a fuair daltaí i scrúdú matamaitice.

Faigh (i) an marc airmheánach (ii) an cheathairíl íochtarach (iii) an cheathairíl uachtarach (iv) an raon idircheathairíle.

Marcanna

1 2 8

2 1 4 7 7 8

3 1 4 5 7

4 1 2 8

5 0Eochair: 2|1 5 21

265

(i) Is é an marc airmheánach an marc atá leathshlí tríd an dáileadh. Tá 15 luach sonraí ann. Is é an 8ú luach an luach leathshlí. Ag tosú ag an luach is ísle dúinn, is é 31 an 8ú luach. an t-airmheán 5 31

(ii) Is í an cheathairíl íochtarach an luach atá an ceathrú cuid den tslí tríd an dáileadh. Is ionann sin agus an 4ú luach. Is é 24 an luach sin. an cheathairíl íochtarach 5 24

(iii) Is í an cheathairíl uachtarach an luach atá trí cheathrú den tslí tríd an dáileadh. Is ionann sin agus an 12ú luach. Is é 41 an luach sin. an cheathairíl uachtarach 5 41

(iv) An raon idircheathairíle 5 an cheathairíl uachtarach lúide an cheathairíl íochtarach 5 41 2 24 5 17

Cleachtadh 13.4 1. Taispeántar sa léaráid ghais agus duillí thíos aois, ina blianta, 25 duine a bhí ag iarraidh

páirt a ghlacadh i gcomórtas siúil 10 km.

1 4 4 6 9

2 1 3 7 7 7 8

3 3 6 6 7 9

4 0 2 3 3 8 8

5 1 3 4 7 Eochair: 1|6 5 16 bliana d’aois

(i) Cé mhéad duine a bhí níos óige ná 20 bliain d’aois?

(ii) Scríobh síos an aois mhódúil.

(iii) Cé mhéad duine a bhí idir 35 agus 45 bliain d’aois?

(iv) Cén aois airmheánach a bhí ann?

266

2. Sa léaráid ghais agus duillí ar dheis taispeántar na marcanna a fuair grúpa daltaí i scrúdú Spáinnise. (i) Cé mhéad dalta a rinne an scrúdú seo? (ii) Cé mhéad dalta a fuair idir 70 agus

79 marc? (iii) Céard é an raon atá ag na sonraí? (iv) Faigh an marc airmheánach.

3. Taispeántar thíos líon na bpointí a scóráil an fhoireann chispheile ‘Na Dragain’ i ngach cluiche.

85 67 56 69 99 97 59 65 84 9749 72 89 78 66 81 92 88 53 73

Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid ghais agus duillí ar dheis. (i) Scríobh síos raon na scór. (ii) Faigh an scór airmheánach. (iii) Faigh Q1, an cheathairíl íochtarach. (iv) Faigh Q3, an cheathairíl uachtarach. (v) Scríobh síos an raon idircheathairíle.

4. Fiafraíodh de cheithre dhalta is fiche cé mhéad CD a bhí acu ina mbailiúchán. Leagtar amach na torthaí thíos:

23 2 18 14 7 4 25 21 32 26 31 617 6 18 19 31 21 12 1 0 8 14 15

(i) Tarraing léaráid ghais agus duillí chun an t-eolas sin a léiriú. (ii) Cé mhéad dalta a raibh níos mó ná 20 CD acu? (iii) Céard é an líon airmheánach CDanna sna bailiúcháin? (iv) Céard é an meánlíon CDanna sna bailiúcháin?

Bíodh do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

5. Taispeánann an léaráid ghais agus duillí thíos na marcanna a fuair 19 ndalta i scrúdú.

gas duillí2 23 4 64 2 7 95 3 4 5 8 96 0 2 6 77 2 6

Eochair: 4|2 5 42 marc8 1 4

(i) Scríobh síos raon na marcanna. (ii) Faigh luach na ceathairíle íochtaraí. (iii) Céard é an cheathairíl uachtarach? (iv) Céard é an raon idircheathairíle?

gas duillí

5 1 4 6

6 2 3 3 6

7 2 3 5 7 8

8 0 0 2 4 6 6

9 3 4 Eochair: 7|3 5 73 marc

4 95 3 66789

267

6. Seo iad na luasanna, ina km/h, a bhí faoi fheithiclí agus iad ag dul trasna droichid i lár na cathrach tráthnóna áirithe:

15 17 12 16 24 29 36 25 38 42 1753 44 49 53 29 21 11 38 14 29

(i) Tarraing léaráid ghais agus duillí chun na luasanna sin a chur i láthair.

(ii) Céard é an cheathairíl íochtarach?

(iii) Faigh an cheathairíl uachtarach.

(iv) Céard é an raon idircheathairíle?

7. Taispeántar sa léaráid ghais agus duillí, cúl le cúl, thíos na torthaí a fuair rang daltaí i scrúduithe sa Mhatamaitic agus sa Stair:

Matamaitic Stair

Eochair: 1|7 5 71 marc

7 5 2

Eochair: 3|6 5 36 marc

8 0 3 65 5 4 0 5 7 8

9 5 4 3 2 5 1 5 89 7 5 6 2 4 4 5 7

3 1 7 2 4 5 66 3 8 3 5

1 9

(i) Cé mhéad dalta a rinne na scrúduithe?

(ii) Céard é raon na marcanna sa Mhatamaitic?

(iii) Céard é an marc airmheánach sa Stair?

(iv) Céard é raon idircheathairíle na marcanna sa Mhatamaitic?

8. Taispeántar sa léaráid ghais agus duillí, cúl le cúl, thíos na rátaí cuisle a bhí ag rang ag tús agus ag deireadh ceacht corpoideachais (CO).

Rátaí cuisle (buillí sa nóiméad 5 bsn) Roimh CO I ndiaidh CO

8 7 47 4 2 1 0 0 5 3 5

8 8 6 5 5 3 1 6 0 3 6 8 97 5 5 1 0 7 1 4 4 7 9 9

6 2 1 8 3 3 6 6 7 8 9 9

Eochair: 1|8 5 81 bsn 5 0 9 0 3 5 8 Eochair: 8|3 5 83 bsn

(i) Scríobh síos an raon a bhí ag na rátaí cuisle roimh an gceacht agus ina dhiaidh.

(ii) Faigh an t-airmheán a bhí ag na rátaí cuisle roimh an gceacht agus ina dhiaidh.

(iii) Bain úsáid as do chuid freagraí ar (i) agus (ii) chun ráiteas gairid a scríobh faoi rátaí cuisle an ranga roimh an gceacht CO agus ina dhiaidh.

268

9. Rinneadh tástáil ar dhá bhranda ceallraí sa bhréagán céanna le déanamh amach cé acu ab fhaide a mhair. Taispeántar sa léaráid ghais agus duillí, cúl le cúl, thíos an dá thacar sonraí, scrídea ceart go dtí an uair an chloig is gaire.

Dynamo Fuinneamh Breise4 1 1 3 3 7 7 8 8 9

8 8 6 3 2 5 6 8 9 9 98 7 6 6 5 4 4 3 2 4 6 7 7 8 8 9

7 5 4 3 2 2 4 0 1Eochair: 8|2 5 28 uair an chloig

3 2 2 0 5Eochair: 4|1 5 41 uair an chloig

(i) I gcás an dá bhranda, cé mhéad ceallra a tástáladh? (ii) I gcás an dá bhranda, faigh an fad ama airmheánach. (iii) Cuir an dá bhranda i gcomparáid le chéile ó thaobh airmheáin agus raoin de. Cé

acu branda, dar leat, is fearr? Mínigh do fhreagra.

10. Taispeánann na sonraí thíos an meánionchas saoil (ina bhlianta) ag na fir i bpríomhthíortha na hAfraice sa bhliain 2000 (ionchas saoil 5 an méid blianta a mhairfidh duine, bunaithe ar na sonraí ó dhaoine a tháinig roimhe/roimpi).

An Ailgéir 68 Madagascar 57 An Afraic Theas 62Angóla 45 Oileán Mhuirís 68 An tSúdáin 54An Aetóip 48 An Nigéir 51 An Túinéis 68Gána 56 Ruanda 41 Uganda 40An Chéinia 52 Siarra Leon 36

(i) Cuir na sonraí sin isteach i léaráid ghais agus duillí agus bíodh na sonraí in ord.

Tugtar ar dheis na sonraí don ionchas saoil ag na mná sna tíortha céanna. (ii) Agus tú ag úsáid an airmheáin agus an raoin

i gcás an dá thacar sonraí, cuir ionchas saoil na bhfear i gcomparáid le hionchas saoil na mban.

11. Rinne Martina agus Jeaic scrúduithe éagsúla agus tá na torthaí a fuair siad le feiceáil thíos.

Martina Jeaic

Eochair: 1|3 5 31

2 1 1 x

Eochair: 4|0 5 40

6 5 z 2 3 7 86 2 1 3 2 y 7

7 4 4 0 1 3

(i) Cé mhéad scrúdú a rinne Martina agus cé mhéad a rinne Jeaic? (ii) Cé mhéad scrúdú ina bhfuair Martina marc faoi bhun 30? (iii) Más ionann raon na marcanna a fuair Jeaic agus 31, faigh luach x. (iv) Más ionann marc airmheánach Jeaic agus 34, faigh luach y. (v) Más ionann marc na ceathairíle íochtaraí ag Martina agus 23, faigh luach z.

Ionchas saoil na mban (blianta) 3 94 2 3 85 2 4 6 66 0 0 87 0 1 5 Eochair: 5|2 5 52

269

Mír 13.5 Graif mhíthreoracha Toisc go mbíonn graif agus táblaí bunaithe ar fhaisnéis atá bailithe agus curtha i láthair, bíonn sé de nós ag daoine an rud a thugann siad le tuiscint a chreidiúint. Is féidir le daoine mímhacánta, áfach, leas a bhaint as graif chun rud éigin atá bréagach, nó a chuirfeadh duine ar seachrán, a thabhairt le tuiscint.

Bhain an comhlacht bia madra An Madra Meidhreach leas as na trí ghraf seo a leanas chun a chuid díolachán a chur i gcomparáid le díolacháin chomhlacht eile, An Gadhar Gasta.

Agus muid ag féachaint ar na graif, leagfaimid béim ar chuid de na bealaí is coitianta ina mbaintear leas as graif chun rud éigin atá bréagach a thabhairt le tuiscint.

1. Níl scála ar an ais cheartingearach i gcás an ghraif seo. Ní féidir a rá cé chomh mór is atá an difríocht idir díolacháin An Madra Meidhreach agus díolacháin An Gadhar Gasta.

2. Níl ach cuid de scála le feiceáil ar an ngraf seo. Ní thosaíonn an scála ag 0. Fágann sin go bhfuil cuma i bhfad níos mó ar an difríocht idir díolacháin An Madra Meidhreach agus díolacháin An Gadhar Gasta ná mar atá i ndáiríre.

3. Pictiúir seachas colúin atá in úsáid sa ghraf seo. Ní hamháin go bhfuil madra An Madra Meidhreach dhá oiread chomh hard le madra An Gadhar Gasta, ach tá sé dhá oiread chomh leathan freisin, rud a fhágann go bhfuil cuma i bhfad níos mó air (ceithre oiread chomh mór).

An Gadhar Gasta

Díolacháin bhia madra

?

An Madra Meidhreach

Caithfidh lipéad a bheith ar an ais cheartingearach.

120

140

An Gadhar Gasta


An Madra Meidhreach

Mura dtosaíonn ais ag nialas, nó má chuirtear an nialas san áit mhícheart, bíonn baol ann go gcuirfear daoine ar seachrán.

An Gadhar Gasta


An Madra Meidhreach

Cuirfear daoine ar seachran má úsáidtear achar nó toirt nuair nach dteastaíonn ach airde.

270

4. Taispeántar an fhaisnéis i gceart sa ghraf seo. Scála rialta atá ann agus tosaíonn sé ag 0. Tabhair faoi deara nach bhfuil an difríocht idir na figiúirí díolacháin chomh mór agus a shílfeá ó na graif mhíthreoracha ar an leathanach roimhe seo.

Cleachtadh 13.5 1.

0

1

2

3

2001

Líon

na

mbo

scaí

(d

eich

eann

a de

mhí

lte)

2002

Táirgeadh boscaí ag Boxit 2001–2003

2003

23

1

(i) Cé mhéad oiread níos mó ná airde bhosca 1 atá airde bhosca 2? (ii) Cé mhéad oiread níos mó ná achar bhosca 1 atá achar bhosca 2? (iii) Cé mhéad oiread níos mó ná toirt bhosca 1

atá toirt bhosca 2? (iv) Cé mhéad oiread níos mó ná airde bhosca 1

atá airde bhosca 3? (v) Cé mhéad oiread níos mó ná achar bhosca 1

atá achar bhosca 3? (vi) Cé mhéad oiread níos mó ná toirt bhosca 1

atá toirt bhosca 3? (vii) Tarraing barrachairt cheartingearach chun

an t-eolas a thaispeántar anseo a léiriú.

2. Tabhair fáth amháin ar graf míthreorach é an ceann ar dheis.

020406080

100120140

An Gadhar Gasta

Dío

lach

áin

(ina

mílt

e bo

sca)


An Madra Meidhreach

• Tá Bosca 2 ceaptha dhá oiread Bhosca 1 a léiriú, ach tá an chuma air go bhfuil sé 8 n-oiread chomh mór.

• Tá Bosca 3 ceaptha trí oiread Bhosca 1 a léiriú, ach tá an chuma air go bhfuil sé 27 oiread chomh mór.

14

15

16

17

Ean

Brab

ús (m

ílte

euro

)

Fás as cuimse

ar bhrabús!

Fea MárMí

Aib

271

3. I gcás gach ceann de na graif seo, déan cur síos ar na gnéithe nach bhfuil sásúil nó a chuirfeadh daoine ar seachrán: (i)

0

10

20

30

1

Cása

nna

(céa

dta)

Iasc díolta ar mhargaí

Seachtain2

(ii)

(mílt

e lít

ear)

0

10

20

Monarcha

Táirgeadh bainne

A B

(iii) (iv)

Bliain

Táillí bus idirstáit

Dol

lair

45

50

55

60

65

70

2009 2010 2011

Easpórtálacha

Bliain

Tona

í (m

illiú

in)

0

10

20

30

40

2009 2010 2011

4. Tugtar an léiriú ceart ar dhíolacháin trí dheoch bhoga sa bharrachairt ar dheis.

Rinne an comhlacht an graf seo chun na díolacháin a léiriú.

Tabhair dhá bhealach ina gcuirfeadh an graf seo daoine ar seachrán.

5. Cuireann an Rialtas an graf ar dheis amach, graf ina dtaispeántar an méadú ar an bhfostaíocht i dtionscal na turasóireachta le blianta beaga anuas.

(i) Cén fáth a gcuirfeadh an graf daoine ar seachrán?

(ii) Tarraing an graf arís sa chaoi is go dtabharfaidh sé léiriú níos cruinne ar an méadú fostaíochta.

Dío

lach

áin

($m

)

2

4

6

8

Súilíneach Brí Fuar

Dío

lach

áin

($m

)

Cineál dí Súilíneach Brí Fuar

Bliain

Fost

aíoc

ht (‘

000)

30

31

32

33

34

35

2002 2003 2004 2005

272

6. Sa dá ghraf thíos taispeántar díolacháin seacláidí Nu-Choc i gcaitheamh tréimhse 7 mbliana.

Líon

na

mbo

scaí

2000

2100

2200

2300

2400

2500

2600

‘04 ‘05 ‘06 ‘07

Graf ADíolacháin seacláidí Nu-Choc

‘08 ‘09 ‘10Bliain

Líon

na

mbo

scaí

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

‘04 ‘05 ‘06 ‘07

Graf BDíolacháin seacláidí Nu-Choc

Bliain‘08 ‘09 ‘10

(i) Cén graf a thugann le tuiscint go bhfuil na díolacháin ag méadú go fíorthapa? (ii) Ar tháinig méadú fíorthapa i ndáiríre ar na díolacháin i gcaitheamh na tréimhse 7

mbliana sin? (iii) Ag féachaint ar ghraf A duit, shílfeá go bhfuil na díolacháin le haghaidh 2007 thart

ar dhá oiread chomh mór leis na díolacháin le haghaidh 2006.An fíor sin i ndáiríre?

7. Bunaithe ar na sonraí sa tábla thíos, tarraing graf a chuirfeadh daoine ar seachrán.

Ansin tarraing graf eile a léiríonn na sonraí i gceart agus go cruinn.

Spórt scoile Haca Líonpheil Sacar

Líon na n-imreoirí 14 12 10

Cuir triail ort féin 13 1. (a) Taispeánann an phíchairt an chaoi a ndearna

180 buachaill ag Acadamh na hAclaíochta rogha as cúig spórt.

(i) Faigh an uillinn sa teascóg a léiríonn snámh. (ii) Cé mhéad buachaill a roghnaigh sacar? (iii) Cén céatadán a roghnaigh galf?

(b) Déanann Niall taifead ar líon na ríomhphost a fhaigheann sé gach lá ar feadh 35 lá. Tá na sonraí a bhailíonn sé le feiceáil sa léaráid ghais agus duillí.

0 6 7 9 91 4 7 7 8 8 9 92 2 3 5 5 6 7 8 9 9 93 1 5 6 6 6 6 74 3 6 8 95 2 3 3 Eochair: 3|1 5 31

(i) Scríobh síos an mód atá ag na sonraí. (ii) Faigh an t-airmheán. (iii) Faigh ceathairíl íochtarach agus ceathairíl uachtarach na sonraí. Scríobh síos

uaidh sin an raon idircheathairíle.

2. (a) Sa histeagram thíos taispeántar faisnéis maidir leis an méid ama a thóg sé ar roinnt reathaithe chun 100 m a rith agus iad ag traenáil roimh na Cluichí Oilimpeacha. (i) Scríobh síos an fáth nach

bhfuil bearna ar bith idir na barraí.

(ii) Scríobh síos líon na reathaithe ar thóg sé idir 10 agus 12 shoicind orthu.

(iii) Oibrigh amach líon na reathaithe ar thóg sé 12 shoicind nó níos mó orthu.

(iv) Oibrigh amach cé mhéad reathaí ar fad a bhí ann.

(b) Seo meáchain (ina kg) 24 leanbh a rugadh in ospidéal.

4.1 3.7 2.8 4.3 4.7 4.6 2.8 5.2 3.9 3.7 3.7 4.83.8 3.4 4.9 4.6 4.7 4.2 3.0 3.1 2.5 5.0 4.5 4.5

(i) Tarraing léaráid ghais agus duillí le haghaidh na sonraí sin. (ii) Oibrigh amach mód agus airmheán na sonraí.

Acadamh na hAclaíochta

60°

120°

rugbaí

sacarleadóg

galf

snámh

90°45°

0

Min

icío

cht

98Am (soicindí)

10 11 12 13 14

2

4

6

1

3

5

7

273

(c) Sna píchairteacha seo taispeántar líon na mball in dhá chlub leadóige. 250 ball ar fad a bhí i gClub an Ghleanntáin Ghlais. 100 ball ar fad a bhí i gClub Mhic Cnáimhin. Cheap Lee gur thaispeáin na cairteacha go raibh níos mó mná sinsearacha i gClub Mhic Cnáimhin ná mar a bhí i gClub an Ghleanntáin Ghlais. An bhfuil sé sin ceart? Tabhair cúis le do fhreagra.

3. (a) Tá líon na ndeochanna a ceannaíodh ó mheaisín díola lá áirithe le feiceáil sa tábla. Tá píchairt le tarraingt chun na sonraí sin a léiriú.

Cineál dí TaeCaife gan bhainne

Seacláid the OráisteCoca-Cola

Latte

Líon na ndeochanna 54 42 18 30 12 24

(i) Faigh an uillinn sa teascóg a léiríonn oráiste. (ii) Faigh an uillinn sa teascóg a léiríonn caife gan bhainne.

(b) Maidir le gach ceann de na léaráidí seo, mínigh céard a chuirfeadh duine ar seachrán. (i) (ii)

Borradh m

ór faoi

dhíolacháin carranna

1992

1994

1996

1998

2000

2002

(c) Seo iad na huasmheáchain ardú binse (ina kg) ag na baill d’fhoireann rugbaí faoi aois.

54 42 61 47 24 43 55 62 30 27

28 43 54 46 25 32 49 73 50

(i) Déan léaráid ghais agus duillí chun na torthaí sin a chur i láthair. (ii) Scríobh síos raon na meáchan. (iii) Céard é an cheathairíl íochtarach? (iv) Céard é an cheathairíl uachtarach? (v) Scríobh síos an raon idircheathairíle.

mná sinsearacha

mná sinsearacha�r

shóisearacha�r

shóisearacha

mná sóisearacha mná

sóisearacha

Club an Ghleanntáin Ghlais Club Mhic Cnáimhin

250 ball 100 ball

�r shinsearacha

�r shinsearacha

0Tá díolacháin fóin phóca tar éis dúbailt!

Dío

lach

áin

(mill

iúin

)

4

8

12

16

274

4. (a) e2400 an costas iomlán a bhí ar shaoire. Taispeántar sa phíchairt na codanna éagsúla den chostas sin.

(i) Cé mhéad a caitheadh ar bhia?

(ii) Cé mhéad a caitheadh ar thaisteal?

(iii) Cé mhéad a caitheadh ar an óstán?

(iv) Cé mhéad a caitheadh ar rudaí eile?

(b) Sa léaráid ghais agus duillí, cúl le cúl, thíos taispeántar na pointí a scóráil Na Laochra agus Na Curaidh i sraith cluichí.

Na Laochra Na Curaidh4 3 78 7 8 95 0 9 5 7 8 9

4 10 0 2 69 3 11 0 2

Eochair: 4|10 5 104 2 12 Eochair: 9|8 5 98

(i) I gcás an dá fhoireann, faigh an scór airmheánach. (ii) I gcás an dá fhoireann, scríobh síos raon na scór. (iii) Cé acu foireann is comhsheasmhaí? Mínigh do fhreagra. (iv) Scríobh abairt amháin faoi phatrún scórála Na Laochra.

5. Rinne rang tríú bliain Sheáin sa Chorpoideachas triail aclaíochta. Tá líon na suíonna aniar a rinne gach mac léinn in aon nóiméad amháin taifeadta thíos.

59 48 27 53 36 29 52 46 45 37 49 5133 45 38 52 40 51 37 44 47 45 60 41

Chleacht na mic léinn an aclaíocht seo ar feadh trí seachtaine ina dhiaidh sin agus ansin rinneadh an triail arís san ord céanna. Tá sonraí an dara triail mar seo a leanas:

61 52 33 51 39 40 50 49 46 37 59 4938 48 39 58 44 52 38 44 49 51 62 44

(i) Taispeáin na sonraí ón dá thriail ar léaráid ghais agus duillí, cúl le cúl. (ii) Cé mhéad dalta atá sa rang? (iii) Céard é raon na suíonna aniar i gcás an dá thriail? (iv) Bunaithe ar na sonraí agus ar an léaráid, an gceapann tú go gcuireann

cleachtadh feabhas ar an gcumas chun suíonna aniar a dhéanamh? Tabhair cúis le do fhreagra.

(v) Rinne Seán 41 suí aniar i dTriail 1 agus 44 i dTriail 2.Cén chaoi ar éirigh leis i gcomparáid leis an gcuid eile den rang?

Rudaí eile

Taisteal30°

60°

100°

Óstán

Bia170°

275

276

Mír 14.1 Cothromóidí comhuaineacha a réiteach _______Cuir i gcás an chothromóid 3x 1 y 5 9.Sásaíonn na luachanna x 5 2 agus y 5 3 an chothromóid seo.Sásaíonn na luachanna x 5 1 agus y 5 6 an chothromóid seo freisin.Go deimhin, tá go leor péirí luachanna ar x agus ar y a shásaíonn an chothromóid.

Anois breathnóimid ar chothromóid eile 2x 2 y 5 1.

Sásaíonn na luachanna x = 2 agus y = 3 an chothromóid seo freisin.Dá bhrí sin, sásaíonn na luachanna x = 2 agus y = 3 an dá chothromóid.

3x 1 y 5 9 agus 2x 2 y 5 1.Ní shásóidh ach péire luachanna amháin ar x agus ar y péire cothromóidí comhuaineacha (nó comhchothromóidí).Tá go leor bealaí ann chun cothromóidí comhuaineacha a réiteach.An modh díbeartha a thugtar ar mhodh amháin.Sa mhodh seo, 'díbrímid' ceann de na hathróga.Pléitear an modh seo sa bhosca thíos.

Plé Is cothromóidí comhuaineacha iad

5x 1 3y 5 23 2x 2 3y 5 5 .

Is féidir linn iad a léiriú le scálaí.

Dá suimeoimis taobh na láimhe clé le taobh na láimhe deise, an mbeadh na scálaí fós cothrom? Pléigh.

Céard é iomlán thaobh na láimhe clé?Céard é iomlán thaobh na láimhe deise?Cén chaoi ar féidir leat é seo a úsáid chun x a fháil? Pléigh.Céard é an luach ar x?Cén chaoi ar féidir leat é seo a úsáid chun y a fháil? Pléigh.

5x � 3y 23

2x � 3y 5

5x � 3y2x � 3y 23 � 5

Nuair a shásaíonn na luachanna céanna ar x agus ar y an dá chothromóid, deirtear gur cothromóidí comhuaineacha na cothromóidí sin.

Focail thábhachtachaan chothromóid a shásamh cothromóidí comhuaineacha modh díbeartha cothromóidí comhuaineacha a réiteach go grafach

Cothromóidí ComhuaineachaCaibi

dil

14

277

Ón 'bplé' ar an leathanach roimhe seo, is féidir a fheiceáil go bhfuil sé éasca cothromóidí comhuaineacha a réiteach más féidir ceann de na hathróga a dhíbirt ach an dá chothromóid a shuimiú nó a dhealú.

Mura féidir athróg a dhíbirt trí shuimiú ná trí dhealú, caithfimid cothromóid amháin nó an dá cheann a mhéadú faoi uimhir áirithe. Ansin is féidir tabhairt faoin díbirt.

Sampla 1Réitigh na cothromóidí comhuaineacha x 1 2y 5 10 2x 2 y 5 5

(Chun na cothromóidí seo a réiteach, caithfimid an líon x-anna nó an líon y-anna a dhéanamh cothrom. Ansin suimímid nó dealaímid de réir mar is gá.Simpleoimid cúrsaí agus glaofaimid ➀ ar an gcéad chothromóid agus ➁ ar an dara cothromóid.)Cothromóid ➀: x 1 2y 5 10Cothromóid ➁ 3 2: 4x 2 2y 5 10Suimigh: 5x 5 20 ∴ x 5 4

Nuair a ionadaítear x 5 4 i ➀ faightear: 4 1 2y 5 10 2y 5 6 ∴ y 5 3Is é an réiteach ná x 5 4 agus y 5 3.(Nóta: Tá sé tábhachtach a sheiceáil go sásaíonn x = 4 agus y = 3 araon an dá chothromóid.)

Sampla 2Réitigh na cothromóidí comhuaineacha 2x 2 5y 5 9

3x 1 2y 5 4

Cuirimid uimhir ar an dá chothromóid, 2x 2 5y 5 9 ➀ ➀ agus ➁ ar son na caoithiúlachta. 3x 1 2y 5 4 ➁

Anois iolraímid cothromóid ➀ faoi 3 agus cothromóid ➁ faoi 2, rud a fhágfaidh an líon céanna x-anna sa dá chothromóid.

➀ 3 3: 6x 2 15y 5 27➁ 3 2: 6x 1 4y 5 8

Dealaigh: 219y 5 19 19y 5 2 19 y 5 21Anois cuirimid -1 in ionad y i gcothromóid ➀

2x 2 5y 5 9y 5 21 ⇒ 2x 1 5 5 9 ⇒ 2x 5 4 ⇒ x 5 2

∴ is iad x 5 2 agus y 5 21 na réitigh.

278

Cothromóidí ina bhfuil codáin Seo dhá chothromóid chomhuaineacha:

3x 2 2y 5 19 … ➀

x __ 3

1 y

__ 2

5 5 … ➁

Chun na cothromóidí seo a réiteach, gheobhaimid réidh leis na codáin i gcothromóid ➁ ach gach téarma a iolrú faoi 6 (an comhainmneoir is lú atá ag 3 agus 2).

Dá bhrí sin athraíonn cothromóid ➁ go: 6 (  x __ 3

) 1 6 (  y __ 2

) 5 6 3 5

i.e. 2x 1 3y 5 30

Anois is féidir na cothromóidí comhuaineacha a réiteach mar a rinneadh i Sampla 2 ar an leathanach roimhe seo.

Cleachtadh 14.1 1. 2x 1 y 5 8 2. 3x 1 y 5 14 3. 3x 1 y 5 7 3x 2 y 5 2 2x 2 y 5 6 x 1 y 5 5

4. 4x 1 y 5 17 5. 8x 2 2y 5 10 6. 3x 2 2y 5 8 2x 1 y 5 11 5x 2 2y 5 4 x 1 y 5 6

7. 3x 1 y 5 13 8. x 1 2y 5 12 9. 3x 2 y 5 3 x 2 2y 5 25 3x 2 5y 5 3 x 1 3y 5 11

10. 2x 2 3y 5 14 11. 3x 1 y 5 5 12. 2x 2 y 5 12 2x 2 y 5 10 5x 2 4y 5 23 3x 1 2y 5 11

13. x 1 2y 5 12 14. x 2 3y 5 1 15. 3x 1 7y 5 20 3x 2 5y 5 3 4x 1 y 5 30 x 2 2y 5 22

16. 3x 2 2y 5 17 17. 4x 1 3y 5 22 18. 5x 1 2y 5 5 4x1 3y 5 0 5x 2 4y 5 43 6x 2 y 5 23

19. 3x 1 4y 5 23 20. 5y 5 16 2 4x 21. 5x 1 y 5 19 y 5 2x 1 3 6x 5 13 2 2y 2x 2 y 5 2y 2 2x

22. 2x 2 3y 5 24 23. 2x 2 y 5 18 24. x 1 y 5 5

5x ___ 3

2 y

__ 2

5 12 x __ 3

2 y

__ 4

5 2 4x ___ 3

2 y

__ 2

5 28

25. 3x 2 2y 5 19 26. 9 5 2x 2 3y 27. 3x 5 y 2 4

x __ 3

1 y

__ 2

5 5 3y 1 x 5 9 3y 5 34 2 2x

28. x __ 2

1 y

__ 5

5 4 29. 4x 1 y 5 17 30. 3x 1 y 5 19 1 _ 2

x __ 4

1 y

__ 2

5 6 x 2 3 _____ 4

1 y

__ 2

5 5 __ 2

x 2 2y 5 3

279

Mír 14.2 Cothromóidí comhuaineacha a réiteach go grafach

PléSeo dhá líne: x 1 y 5 1 … ➀ 2x 2 y 5 24 … ➁

Is féidir linn an dá líne a tharraingt ach dhá phointe ar an líne a roghnú.

I gcás líne ➀: x 5 0 ⇒ y 5 1 y 5 0 ⇒ x 5 1

∴ Dhá phointe ar an líne iad (0, 1) agus (1, 0).

I gcás líne ➁: x 5 0 ⇒ 2y 5 24 ⇒ y 5 4 y 5 0 ⇒ 2x 5 24 ⇒ x 5 22

∴ Is dhá phointe ar an líne iad (0, 4) agus (22, 0).

Tá léaráid den dá líne ar dheis. y

x

�2

O

2

4

6

8

�4 �2 2 4

2x � y � �4x � y � 1

Céard iad comhordanáidí an phointe atá ar an dá líne?

Réitigh na cothromóidí comhuaineacha

x 1 y 5 1

2x2 y 5 24 le modh suimithe

nó dealaithe na gcothromóidí.

Déan comparáid idir na luachanna ar x agus ar y a fuair tú le comhordanáidí an phointe ag a dtrasnaíonn na línte seo.

Céard a thugann tú faoi deara? Pléigh.

Ón 'bplé' thuas, fuair tú amach gur féidir dhá chothromóid chomhuaineacha a réiteach ach graif an dá chothromóid (líne) a tharraingt agus ansin x-luach agus y-luach a bpointe trasnaithe a léamh.

Cothromóidí comhuaineacha a úsáid chun fadhbanna a réiteach Tá cothromóidí comhuaineacha an-úsáideach chun fadhbanna ina bhfuil dhá ghné nach bhfuil ar eolas a réiteach.Dé ghnáth, is féidir linn dhá chothromóid a scríobh síos má tá dhá phíosa eolais dhifriúla againn.

Léiríonn na samplaí seo a leanas an modh sin.

280

Sampla 1

Is é 19 suim dhá uimhir.Nuair a dhealaítear dhá oiread an dara huimhir ó thrí oiread na chéad uimhreach, is é 22 an freagra.Faigh an dá uimhir.

Úsáid x agus y do na huimhreacha.

Cothromóid ➀: x 1 y 5 19Cothromóid ➁: 3x 2 2y 5 22

Cothromóid ➀ 3 2: 2x 1 2y 5 38Cothromóid ➁: 3x 2 2y 5 22Suimigh: 5x 5 60 x 5 12

Nuair a chuirtear 12 in ionad x i gcothromóid ➀, faightear: 12 1 y 5 19 y 5 19 2 12 y 5 7Is iad 12 agus 7 an dá uimhir.

Sampla 2

Cosnaíonn ticéid do scannán €8 nó €10. Má díoladh 300 ticéad agus má íocadh €2640 san iomlán, cé mhéad den dá chineál ticéid a díoladh?

Bíodh x 5 líon na dticéad €8 a díoladh, agus y 5 líon na dticéad €10 a díoladh.

➀ Líon: x 1 y 5 300➁ Airgead: 8x 1 10y 5 2640

➀ 3 8: 8x 1 8y 5 2400➁: 8x 1 10y 5 2640Dealaigh: 22y 5 2240 ⇒ 2y 5 240 ⇒ y 5 120

Nuair a chuirtear 120 in ionad y i gcothromóid ➀, faightear:

x 1 y 5 300y 5 120: x 1 120 5 300

x 5 180 ∴ x 5 180 agus y 5 120

∴ Díoladh 180 ticéad €8 agus 120 ticéad €10.

281

Cleachtadh 14.2 1. Taispeántar sa léaráid seo graif na línte x 2 y 5 1 agus x 1 2y 5 4.

y

x

�2

�1O

1

2

3

�1 1 2 3 4 5

x � y � 1

x � 2y � 4

(i) Scríobh síos pointe trasnaithe an dá líne. (ii) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha x 2 y 5 1 agus x 1 2y 5 4. (iii) Mínigh an nasc idir do fhreagraí ar (ii) agus an freagra a fuair tú ar (i) thuas.

2. Tarraing graif de na línte 2x 2 y 5 1 agus x 2 y 5 21. Uaidh sin scríobh síos pointe trasnaithe an dá líne.

3. Réitigh na cothromóidí comhuaineacha trí ghraif a tharraingt: (i) 2x 2 y 5 21 (ii) 2x 2 y 5 1 x 2 y 5 1 x 2 y 5 22

4. Bain úsáid as graif chun gach péire cothromóidí comhuaineacha a réiteach. (i) x 1 y 5 6 (ii) y 1 2x 5 5 x 2 y 5 2 x 2 y 5 1 Tarraing aiseanna do x agus do y Tarraing aiseanna do x agus do y

ó -3 go 7. ó -2 go 6.

Seiceáil gach réiteach trína chur in ionad x agus y sna cothromóidí.

5. Bain úsáid as na graif seo chun gach péire cothromóidí comhuaineacha a réiteach.

(i) x 1 y 5 10 y 2 2x 5 1

(ii) 2x 1 5y 5 17 y 2 2x 5 1

(iii) x 1 y 5 10 2x 1 5y 5 17


y

x

�2

O

2

4

6

8

10

12

2 4 6 8 10 12

y � 2x � 1

x � y � 10

2x � 5y � 17

282

6. (i) Bain úsáid as na graif chun gach péire cothromóidí comhuaineacha a réiteach.(a) 2x 2 y 5 24 (b) 2x 2 y 5 21

x 1 y 5 4 x 1 y 5 4


(ii) Cá bhfios duit nach bhfuil aon réiteach ar an bpéire cothromóidí comhuaineacha seo a leanas?

2x 2 y 5 24 2x 2 y 5 21

7. Is é 9 suim dhá uimhir. Má shuimítear dhá oiread na chéad uimhreach le trí oiread an dara huimhir, is é 15 an freagra. Faigh an dá uimhir.

8. Is é 7 an difríocht idir dhá uimhir. Nuair a dhealaítear trí oiread na huimhreach is lú ó dhá oiread na huimhreach is mó, is é 11 an freagra. Faigh an dá uimhir.

9. Tá suim na chéad uimhreach suimithe le trí oiread an dara huimhir cothrom le 31, agus tá trí oiread na chéad uimhreach lúide dhá oiread an dara huimhir cothrom le 16. Faigh an dá uimhir.

10. Scrúdaigh an dronuilleog seo agus scríobh síos dhá chothromóid in x agus i y.

Anois réitigh na cothromóidí sin chun luach x agus luach y a fháil.

11. Is é 72 g meáchan trí chnó agus sé bholta le chéile. Is é 66 g meáchan ceithre chnó agus cúig bholta le chéile. Faigh meáchan cnó amháin agus bolta amháin le chéile.

12. Is é 465 gram meáchan trí bharra seacláide agus ceithre hubh sheacláide. Is é 315 gram meáchan trí bharra seacláide agus dhá ubh sheacláide.

(i) Cé acu de na péirí cothromóidí seo atá ceart do na barraí seacláide agus do na huibheacha seacláide?

3b � 2e � 4653b � 4e � 315

Ab � 4e � 465b � 2e � 315

B3b � 4e � 4653b � 2e � 315

C

(ii) Réitigh an péire cothromóidí comhuaineacha atá ceart chun luach b agus luach e a fháil.

13. Tá 34 bonn i mála, agus iad roinnte ina mboinn 5c agus 10c. Más fiú €2.40 an t-airgead sa mhála, cé mhéad de gach bonn atá sa mhála? [Nod: Iompaigh €2.40 go cent.]

y

x�1

O

1

2

3

4

�1�2 1 2 3 4

2x � y � �4

2x � y � �1

x � y � 4

(2x � 3y) cm4 cm

17 cm

(3x � y) cm

283

14. Is é 758 gram meáchan dhá mhuga bheaga agus muga mhóir amháin. Is é 1882 gram meáchan ceithre mhuga bheaga agus trí mhuga mhóra.

Is é b gram meáchan an mhuga bhig agus is é m gram meáchan an mhuga mhóir.

Scríobh síos dhá chothromóid a nascann b agus m. Réitigh na cothromóidí comhuaineacha seo chun meáchan gach ceann den dá mhuga a fháil.

15. Sa dá fhíor seo, dronuillinn í gach uillinn agus tugtar an fad ina cm. Más é 45 cm2 achar na fíorach ar dheis, faigh an luach ar x agus an luach ar y.

24y

y

8 6

x x

16. Tá maide gorm x cm ar fad.

Tá maide buí y cm ar fad.

(i) Is é 33 cm fad 2 mhaide ghorma agus 3 mhaide bhuí le chéile.33 cm

Scríobh cothromóid don léaráid seo.

(ii) Is é 46 cm fad 4 mhaide ghorma agus 2 mhaide bhuí le chéile.46 cm

Scríobh cothromóid don léaráid seo.

(iii) Réitigh do chothromóidí go comhuaineach chun luach x agus luach y a fháil.

(iv) Céard é fad iomlán 1 mhaide gorm agus 6 mhaide bhuí le chéile?

17. Féach ar an dronuilleog sa léaráid ar dheis. Ina cheintiméadair atá gach slios.

(i) Scríobh síos péire cothromóidí comhuaineacha in a agus b.

(ii) Réitigh an péire cothromóidí comhuaineacha chun a agus b a fháil.

18. Cosnaíonn sé Ex in aghaidh an lae chun carr a fháil ar cíos agus ansin gearrtar Ey eile ar son gach ciliméadair a thaistealaítear.

Faigheann Seán carr ar cíos ar feadh 2 lá agus tiomáineann sé 250 km. Gearrtar €200 air.

Faigheann Emer carr ar cíos ar feadh 5 lá agus tiomáineann sise 620 km. Gearrtar €498 uirthi.

Scríobh dhá chothromóid in x agus y agus réitigh iad chun an táille in aghaidh an lae agus an táille in aghaidh an chiliméadair a fháil.

x cm

y cm

3b � 14a

5 � b

2a � 3

284

19. Tá aois athar agus aois mic le chéile cothrom le 52 bliain.

Ocht mbliana ó shin, bhí an t-athair ocht n-oiread chomh sean lena mhac.

Má tá an t-athair x bliain d'aois anois agus má tá an mac y bliain d'aois, scríobh dhá chothromóid agus réitigh iad chun luach x agus luach y a fháil.

20. Tá €60 ag Colm i mboinn €1 agus 50 cent.

Tá 78 bonn aige ar fad.

Má tá x bonn €1 agus y bonn 50 cent aige, scríobh dhá chothromóid in x agus y chun an t-eolas seo a léiriú.

Réitigh na cothromóidí chun luach x agus luach y a fháil.

21. Sa phuzal seo, seasann gach siombail dhifriúil d'uimhir.

Céard dó a seasann gach siombail?

22. Scríobh síos péire cothromóidí comhuaineacha a réitítear le comhordanáidí phointe trasnaithe an dá líne a thaispeántar sa léaráid seo.

y

x

�3

�4

�2

�1O

1

2

3

4

�4 �3 �2 �1 1 2 3 4

DúshlánBraitheann an ráta ag a ndónn coinnle sorcóireacha ar imlíne na gcoinnle.

Is sciobtha a dhónn na coinnle tanaí ná na coinnle ramhra.

Cuir i gcás an dá choinneal seo.

Tá an chéad choinneal 400 mm ar fad agus dónn sí ag ráta 5 mm san uair.

Tá an dara coinneal 490 mm ar fad agus dónn sí ag ráta 8 mm san uair.

(i) Mínigh an fáth a dtugtar airde na chéad choinnle i milliméadair, tar éis t uair an chloig, le h1 5 400 2 5t.

(ii) Scríobh cothromóid san fhoirm h2 5 2 t chun airde an dara coinneal tar éis t uair an chloig a thabhairt.

h2h1

� � � �

� � �

� � � 28� 28

� 68

Cuir triail ort féin 14 1. (a) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha seo:

x 1 2y 5 13 3x 2 5y 5 6

(b) g gram an meáchan atá i mbríce gorm. d gram an meáchan atá i mbríce dearg.

58 gram an meáchan atá in 4 bhríce ghorma agus 3 bhríce dhearga. 86 gram an meáchan atá in 5 bhríce ghorma agus 6 bhríce dhearga.

(i) Scríobh dhá chothromóid chun na léaráidí seo a léiriú. (ii) Réitigh na cothromóidí chun an meáchan atá i mbríce

gorm agus an meáchan atá i mbríce dearg a fháil. (iii) Faigh meáchan iomlán 3 bhríce ghorma agus 6 bhríce dhearga.

2. (a) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha:3x 5 5y 1 13 2x 1 5y 5 28

(b) Is triantán comhshleasach é ABC. Ina cheintiméadair atá gach fad.

(i) Ceap dhá chothromóid chomhuaineacha agus réitigh iad chun luach x agus luach y a fháil.

(ii) Anois faigh fad an tsleasa ar an triantán.

A

B11 � x � 2y

3y � 13x � 2y

C

58 gram 86 gram

58 gram 86 gram

285

(iii) Úsáid na cothromóidí chun a fháil amach cá fhad a mhairfidh an dá choinneal.

(iv) Ar na haiseanna céanna, tarraing graf de gach cothromóid ar ghrafpháipéar.

(v) Cén t-am a mbeidh an dá choinneal ag an airde chéanna?

(vi) Dá dteastódh uait go múchfaí an dá choinneal ag an am céanna, cén choinneal a lasfá ar dtús agus cá fhad ina dhiaidh sin a lasfá an dara coinneal?

100

O

200

300

400

500

20 40 60Am (h)

Aird

e (m

m)

80 100

3. (a) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha seo:2x 1 3y 5 17 3x 2 2y 5 6

(b) Taispeántar graif do thrí líne thall: (i) Úsáid an graf chun

na cothromóidí comhuaineacha seo a réiteach: x 1 2y 5 12 agus x 1 y 5 5.

(ii) Úsáid an graf chun dhá chothromóid chomhuaineacha ag a bhfuil an réiteach x 5 3, y 5 2 a scríobh síos.

(c) Íoctar €x in aghaidh na huaire le bean ar sheachtain 30 uair an chloig agus íoctar €y léi ar gach uair an chloig ragoibre. I seachtain faoi leith, d'oibrigh sí 35 uair an chloig agus íocadh €660 léi. An tseachtain dár gcionn, d'oibrigh sí 42 uair an chloig agus íocadh €828 léi. Scríobh dhá chothromóid in x agus y agus réitigh iad chun a luachanna a fháil.

4. (a) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha:2x 2 y 5 18

x __ 3

2 y

__ 4

5 2

(b) Tugtar an costas, C, a bhaineann le carr a fháil ar cíos ar feadh n lá leis an bhfoirmle C 5 a 1 bn, mar a bhfuil a, b ∈ N. Cosnaíonn sé €420 do 5 lá agus €870 do 11 lá.Scríobh dhá chothromóid in a agus b agus réitigh iad chun a luachanna a fháil.Uaidh sin faigh an costas a bhaineann le carr a fháil ar cíos ar feadh 15 lá.

(c) Cén pointe ag a dtrasnaíonn na línte 2x 1 3y 5 1 agus 5x 2 2y 5 12 a chéile?

5. (a) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha:3x 5 22 1 2y 5y 5 2x

(b) Is comhthreomharán é an cruth ABCD. Scríobh dhá chothromóid in x agus y agus réitigh iad chun a luachanna a fháil.

(c) Tá athair x bliain d'aois, tá a mhac y bliain d'aois, agus is é suim a n-aoiseanna 58 bliain. Cúig bliana ó shin, bhí an t-athair cúig oiread chomh sean lena mhac. Scríobh dhá chothromóid in x agus y agus réitigh iad chun aois an athar agus aois an mhic a fháil.

y

x

�4

�2

O

2x � y � 4

2

4

6

8

�4�6 �2 2 4 6 8 10 12

x � 2y � 12

x � y � 5

D C

A 5x � y � 5

3x � 4y � 8

7 � x � 2yx � y

B

286

287

caibi

dil

15

Mír 15.1 Dlíthe na séan 23 5 2 3 2 3 2 5 823 ciúbaithe’ nó ‘2 i gcumhacht 3’ a thugtar ar 2^3.Is é 3 an chumhacht nó an séan a léiríonn dúinn cé chomh minic a iolraítear 2 faoi féin.

1. Iolrú42 3 43 5 (4 3 4) 3 (4 3 4 3 4)

5 45

Ar an gcaoi chéanna, x2 3 x3 5 (x 3 x) 3 (x 3 x 3 x) 5 x5

Mar sin, x2 3 x3 5 x2 1 3 5 x5

2. Roinnt

35 __

32 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ________________ 3 3 3

5 33

Ar an gcaoi chéanna, x5 __

x2 5 x 3 x 3 x 3 x 3 x _______________ x 3 x

5 x3

Dá bhrí sin, x5 __

x2 5 x5 2 2 5 x3

3. Cumhacht i gcumhacht cumhachtaTá (x2)3 cothrom le (x2) 3 (x2) 3 (x2) 5 x 6

⇒ (x2)3 5 x2 1 2 1 2 5 x 6 5 x2 3 3

Ar an gcaoi chéanna, (x 4)3 5 x 4 3 3 5 x12

Is ionann cumhacht agus séan.

Chun cumhachtaí den uimhir chéanna a iolrú, suimigh na séana.

Chun cumhachtaí den uimhir chéanna a roinnt, dealaigh na séana.

Chun cumhacht a ardú i gcumhacht eile, iolraigh na séana.

Séana – Nodaireacht Eolaíochta – Surdaí

Focail thábhachtachaséan séana toradh líon séana codánachauimhreacha cóimheasta deachúlacha athfhillteacha uimhreacha éagóimheasta surdaí foirm chaighdeánach nodaireacht eolaíochta figiúirí bunúsacha neastachán deilíní uimhreacha cearnacha fréamh chiúbach

288

4. Cumhacht nialais

23 __

23 5 8 __ 8

5 1 agus 23 __

23 5 23 2 3 5 20

Taispeánann sé seo go bhfuil 20 5 1.

5. Séana diúltacha

Is féidir 43 __

45 a scríobh mar

4 3 4 3 4 ________________ 4 3 4 3 4 3 4 3 4

5 1 __ 42

Chomh maith leis sin, 43 __

45 5 43 2 5 5 422 ⇒ 1 __ 42 5 422

Taispeánann sé seo go bhfuil 1 __ 42 5 422.

6. Toradh nó líon a ardú i gcumhacht(2 3 3)2 5 62 5 36Chomh maith leis sin, (2 3 3)2 5 22 3 32 5 4 3 9 5 36.

Léiríonn sé seo go bhfuil (ab)n 5 anbn.

Ar aon gcaoi chéanna, is féidir a thaispeáint go bhfuil

(  a __ b

) n 5 a

n __

bn

Sampla 1

Sloinn iad seo a leanas mar uimhir shingil gan chumhacht:

(i) 23 3 22 (ii) 35 __

32 (iii) (22)3 (iv) 1 ___ 322 (v) (3 3 4)2 (vi) 80

(i) 23 3 22 5 23 1 2 5 25 5 32 (ii) 35 __

32 5 35 2 2 5 33 5 27

(iii) (22)3 5 22 3 3 5 26 5 64 (iv) 1 ___ 322 5 32 5 9

(v) (3 3 4)2 5 32 3 42 (vi) 80 5 1 5 9 3 16 5 144

Cleachtadh 15.1 1. Scríobh iad seo a leanas mar uimhir shingil gan séan:

(i) 72 (ii) 43 (iii) 2 3 23 (iv) 54 __

52 (v) 65 __

63

Bíonn uimhir ar bith i gcumhacht nialais 5 1, i.e., a0 5 1.

a2n 5 1 __ an e.g. 322 5 1 __

32

(ab)n 5 anbn

(  a __ b

) n 5 a

n __

bn

289

2. Scríobh iad seo a leanas mar uimhir shingil i gcumhacht uimhreach éigin:

(i) 2 3 2 3 2 (ii) 2 3 23 (iii) 42 3 43 (iv) 5 3 52 3 53

(v) a 3 a5 (vi) 2x2 3 3x (vii) 2x2 3 4x3 (viii) a5 __

a2

3. Sloinn iad seo a leanas mar uimhir shingil i gcumhacht uimhreach éigin:

(i) 9 (ii) 25 (iii) 27 (iv) 32 (v) 1000 (vi) 400

4. Sloinn iad seo a leanas mar uimhir shingil i bhfoirm séan:

(i) 54 __

52 (ii) 35 __

3 (iii) 7

5 __

73 (iv) 38 __

34 (v) 58 __

5 (vi) 4

3 3 42 _______

4

5. Abair an bhfuil na ráitis seo a leanas fíor nó bréagach:

(i) 52 5 5 3 2 (ii) 32 . 23 (iii) 26 , 52 (iv) 34 , 62

6. Simpligh iad seo a leanas agus sloinn do fhreagra mar shlánuimhir:

(i) 24 3 22

_______ 23 (ii) 4

3 3 4 ______ 42 (iii) 3

7 3 3 ______ 36 (iv) 7

6 3 72 _______

75 (v) 37 3 34

_______ 38 3 3

7. Sloinn iad seo a leanas mar shlánuimhir nó mar chodán:

(i) 322 (ii) 1 ___ 223 (iii) 3 ___

222 (iv) 222

___ 3

(v) 224

___ 422

8. Scríobh síos na huimhreacha atá ar lár ó na ríomhanna seo:

(i) 8 3 87 5 8 (ii) 75 3 7 5 78 (iii) 97 ___

9  5 93 (iv) 39 ___

3  5 3

9. Céard dó a sheasann an comhartha ceiste (?) iontu seo a leanas?

� ?53

5�2

35 � 3�2 � ?� ?

A(23)�2 � ?

C6�1 � 6�2 � ?

DB33

35

2�5 � 23 � ?F

(3�1)�2 � ?G H

� ?E

72

72

10. Simpligh gach ceann díobh seo:

(i) (2 3 3)2 (ii) (  1 _ 2 ) 3 (iii) (  2 _ 3 )

2 (iv) (ab)3 (v) (  2a ___

3b )

2

11. Cóipeáil agus críochnaigh iad seo a leanas:

(i) 32 3 53 3 54 3 36 5 3 3 5 (ii) 2 3 92 3 25 3 93 5 2 3 9

(iii) 47 3 3 3 4 3 32 5 310 3 4 (iv) 34 3 11 3 3 3 115 5 35 3 118

290

12. Cé acu de na ráitis seo atá bréagach?

25 � 34 � 22 � 27 � 34A

52 � 63 � 54 � 6 � 56 � 64B

22 � 35 � 67C


(i) (42)3 5 4 (ii) (24) 5 212 (iii) (24)n 5 2 (iv) (5x) 5 54x

14. Scríobh na huimhreacha seo mar 3 i gcumhacht uimhir éigin:

(i) 9 (ii) 92 (iii) 273 (iv) 812 (v) 9n

15. Faigh ceithre phéire mar a chéile.

3�2A

2�3B

4�2C

6�1D

�6E

116

G18

H19

I16

F


(i) a 4 3 a25 (ii) a3 3 a23 (iii) 3a7 3 2a25 (iv) a22

___ a26


(i) 3 3 322 5 36 (ii) 421

___ 4  5 425 (iii) a2 3 a 3 a24 5 a23

Mír 15.2 Séana codánacha

Séana codánacha Úsáidimid dlíthe na séan chun a thaispeáint go bhfuil 2

1 _ 2 5 √

__ 2 .

2 1 _ 2 3 2

1 _ 2 5 2

1 _ 2 1 1 _ 2 5 21 5 2.

Chomh maith leis sin, √__

2 3 √__

2 5 2.

Taispeánann sé seo go bhfuil 2 1 _ 2 5 √

__ 2 .

Ar an gcaoi chéanna, 2 1 _ 3 5 3 √

__ 2 .

Seo a leanas ceann de dhlíthe na séan: (am)n 5 amn.Ón riail seo, is léir go bhfuil

27 2 _ 3 5 (2 7

1 _ 3 )2 5 ( 3 √

___ 27 )2 5 32 5 9.

Ar an gcaoi chéanna, 1 6 3 _ 4 5 (1 6

1 _ 4 )3 5 ( 4 √

___ 16 )3 5 (2)3 5 8.

Nóta: Is féidir 1 6 3 _ 4 a shloinneadh mar 4 4 √

___ 163 freisin.

Ach bíonn sé níos éasca de ghnáth 4 √___

16 a fháil ar dtús agus ansin do fhreagra a ardú i gcumhacht 3.

2 1 _ 2 5 √

__ 2

2 1 _ 3 5 3 √

__ 2

………

2 1 _ n 5 n √

__ 2

8 2 _ 3 5 ( 3 √

__ 8 )2

1 6 3 _ 4 5 ( 4 √

___ 16 )3

………

x m

__ n 5 ( n √__

x )m

291

Sampla 1

Scríobh iad seo a leanas mar uimhreacha cóimheasta:

(i) 1 6 1 _ 4 (ii) 2 5

3 _ 2 (iii) 8 1 2 3 _ 4 (iv) 1 ___

2 7 2 _ 3

(i) 1 6 1 _ 4 5 4 √

___ 16 5 2 (ii) 2 5

3 _ 2 5 ( √

___ 25 )3 5 53 5 125

(iii) 8 1 2 3 _ 4 5 1 ___ 8 1

3 _ 4 5 1 ______

( 4 √___

81 )3 5 1 __

33 5 1 ___ 27

(iv) 1 ___ 2 7

2 _ 3 5 1 ______

( 3 √___

27 )2 5 1 __

32 5 1 __ 9

Nuair a bhíonn áireamhán in úsáid chun 2 7 2 _ 3 a fháil, brúigh

27 x y ( 2 � 3 ) � Is é 9 an toradh.

Ar an gcaoi chéanna, chun (  27 __ 8 )

2 _ 3 , a fháil, brúigh

( 27 � 8 ) x y ( 2 � 3 ) � Is é 2.25 an toradh.

Nóta: D’fhéadfadh x y breathnú cosúil le x nó y x , ag brath ar an áireamhán féin.

Cleachtadh 15.2 1. Scríobh síos luach ar gach ceann díobh seo a leanas:

(i) √___

25 (ii) √____

144 (iii) 3 √___

27 (iv) 3 √___

64 (v) 1 6 1 _ 2 (vi) 12 5

1 _ 3

2. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas mar uimhir chóimheasta:

(i) 2 5 1 _ 2 (ii) 6 4

1 _ 3 (iii) 21 6

1 _ 3 (iv) (  8 __ 27 )

1 _ 3 (v) (  16

__ 25 ) 1 _ 2 (vi) (  16

__ 81 ) 1 _ 4

3. Scríobh síos gach ceann díobh seo a leanas gan an comhartha √__

a úsáid:

(i) √__

x (ii) 3 √__

x (iii) 4 √__

a (iv) 3 √

__ a2 (v) √

__ a3 (vi) 4 √

__ a3

4. Faigh luach ar gach ceann díobh seo:

(i) (  1 _ 4 ) 1 _ 2 (ii) (  1 __ 27 )

1 _ 3 (iii) 1 6 2 1 _ 2 (iv) (  1 _ 9 ) 2 1 _ 2 (v) (100 ) 2 1 _ 2 (vi) (0.01 )

1 _ 2

5. Athscríobh iad seo a leanas leis an gcomhartha √__

:

(i) a 1 _ 2 (ii) a

1 _ 4 (iii) a

2 _ 3 (iv) a

5 _ 2 (v) a

3 _ 4 (vi) (  a __

x )

1 _ 2

6. Faigh luach ar gach ceann díobh seo a leanas:

(i) 8 1 1 _ 2 (ii) 8

2 _ 3 (iii) 1 6

3 _ 4 (iv) 4

3 _ 2 (v) 2 7

2 _ 3

(vi) 1 6 3 _ 2 (vii) 6 4

2 _ 3 (viii) 10 0

3 _ 2 (ix) 8 1

3 _ 4 (x) 12 5

2 _ 3

292


(i) 321 (ii) 422 (iii) 8 2 1 _ 3 (iv) 1 ____ 16 2 1 _ 4

(v) 6 4 2 1 _ 3


(i) 1 6 2 1 _ 2 (ii) 1 ___ 8 2 2 _ 3

(iii) 1 6 2 3 _ 4 (iv) 10 0 2 3 _ 2 (v) 3 2 2 3 _ 5

9. Má tá (  2 __ 3

) 23

5 223

___ 323 5 3

3 __

23 5 27 ___ 8

, faigh luach ar gach ceann díobh seo a leanas:

(i) (  2 _ 3 ) 22

(ii) (  1 _ 4 ) 22

(iii) (  3 _ 5 ) 22

(iv) (  4 _ 9 ) 2 1 _ 2 (v) (  9 __ 25 ) 2 1 _ 2

10. Simpligh gach ceann díobh seo a leanas:

(i) 4 9 2 3 _ 2 (ii) (  9 __ 25 ) 2 3 _ 2 (iii) (  9 _ 4 ) 3 _ 2 (iv) (  27

___ 125 ) 2 2 _ 3 (v) (  8 ____ 1000 ) 2 1 _ 3

11. Má tá a 5 6 4 2 _ 3 agus b 5 322, scríobh a agus b mar uimhreacha cóimheasta.

Uaidh sin faigh luach ar √__

a __ b

.

12. Sloinn iad seo a leanas mar uimhreacha cóimheasta: (i) (  8 __ 27 ) 2 _ 3 (ii) 1 _____

(25 ) 3 _ 2

13. Má tá K 5 2 a 1 _ 2 b 2 1 _ 3 , faigh luach ar K nuair atá a 5 100 agus b 5 64.

14. Simpligh 42 3 1 6

1 _ 2 ________

6 4 2 _ 3 3 43

, tabhair do fhreagra san fhoirm 4n, mar a bhfuil n Z.

15. (i) Taispeáin go bhfuil 8 2 _ 3 . 1 6

3 _ 4 5 32.

(ii) Taispeáin go bhfuil ( 3 3 _ 8 ) 1 _ 3 1 ( 11 1 _ 9 ) 2 1 _ 2 5 1 4 _ 5 .

16. Sloinn 8 1 1 _ 2 3 921

_________ 2 7

2 _ 3 san fhoirm 3x, mar a bhfuil x Z.

Mír 15.3 Cothromóidí ina bhfuil séana Má tá 5x 5 52, tá x 5 2.

Similarly, if 7x 5 7 1 _ 2 , then x 5 1 _ 2 .

Má thugtar an chothromóid 25x 5 125 dúinn, sloinnimid an dá thaobh mar chumhacht na bunuimhreach céanna. Sa chás seo, is é 5 an uimhir sin.

Ar an gcaoi chéanna, má tá 25x 5 125, tá (52)x 5 53 52x 5 53 2x 5 3 x 5 1 1 _ 2

Go ginearálta, má bhíonn ax 5 ay, bíonn x 5 y.

293

Sampla 1

Scríobh iad seo a leanas mar shlánuimhreacha nó mar chodáin:

(i) 4x 5 16 (ii) 16x 5 64 (iii) 3x 5 1 ___ 27

(iv) 25x 5 1 ____ 125

(i) 4x 5 16 (ii) 16x 5 64 4x 5 42 (42)x 5 43

x 5 2 42x 5 43

2x 5 3 ⇒ x 5 1 1 _ 2

(iii) 3x 5 1 ___ 27

(iv) 25x 5 1 ____ 125

3x 5 1 __ 33 (52)x 5 1 __

53

3x 5 323 52x 5 523

x 5 23 2x 5 23

x 5 21 1 _ 2

Sampla 2

Sloinn (i) 92x 2 3 (ii) 1 ___ 27

mar 3 i gcumhacht uimhir éigin.

Uaidh sin réitigh an chothromóid 92x 2 3 5 1 ___ 27

(i) 92x 2 3 5 (32)2x 2 3 5 34x 2 6

(ii) 1 ___ 27

5 1 __ 33 5 323

92x 2 3 5 1 ___ 27

⇒ 34x 2 6 5 323

⇒ 4x 2 6 5 23 4x 5 3

x 5 3 _ 4

Cleachtadh 15.3 1. Sloinn iad seo a leanas san fhoirm 2k, más slánuimhir é k:

(i) 8 (ii) 16 (iii) 1 _ 4 (iv) 1 _ 8 (v) 1 __ 32

2. Sloinn iad seo a leanas san fhoirm 3k, más slánuimhir é k:

(i) 9 (ii) 27 (iii) 81 (iv) 1 __ 27 (v) 1 __ 81

294

3. Scríobh iad seo a leanas mar 2 i gcumhacht uimhir éigin:

(i) 2 √__

2 (ii) 8 √__

2 (iii) 4 ___ √

__ 2 (iv) 16 ___

√__

2 (v)

√__

2 ___ 8

4. Réitigh na cothromóidí seo:

(i) 2x 5 8 (ii) 3x 5 27 (iii) 9x 5 27 (iv) 8x 5 32 (v) 4x 5 32 (vi) 16x 5 64 (vii) 25x 5 125 (viii) 16x 5 32


(i) 2x 5 1 _ 4 (ii) 3x 5 1 __ 27 (iii) 4x 5 1 _ 8 (iv) 5x 5 125


(i) 27x 5 81 (ii) 1 __ 5x 5 125 (iii) 4x 5 1 __ 32 (iv) 2x 1 1 5 16

7. Faigh luach ar x i ngach ceann díobh seo a leanas:

(i) 3x 2 2 5 81 (ii) 4x 2 1 5 2x 1 1 (iii) 4x 2 1 5 1 __ 32 (iv) 25x 2 1 5 1 ___ 125

8. Sloinn iad seo a leanas san fhoirm 5k, más uimhir chóimheasta é k:

(i) √__

5 (ii) 5 √__

5 (iii) 25 ___ √

__ 5 (iv) 125 √

__ 5 (v) 1 _____

25 √__

5

9. Oibrigh amach luach ar x i ngach ceann díobh seo a leanas:

(i) 2x 5 √

__ 2 ___

2 (ii) 3x 5 1 ___

√__

3 (iii) 5x 5 125 ____

√__

5 (iv) 2x 1 4 5 8 ___

√__

2

10. Scríobh 81 ___ √

__ 3 mar 3 i gcumhacht uimhir éigin, agus uaidh sin réitigh an

chothromóid 9x 1 1 5 81 ___ √

__ 3 .

11. Sloinn 27 ___ √


chothromóid 32x 1 1 5 (  27 ___ √

__ 3 )

3 .

12. Sloinn 16 ___ √


chothromóid 22x 2 2 5 16 ___ √

__ 8 .

13. Sloinn √

___ 27 ____

81 mar 3 i gcumhacht uimhir éigin, agus uaidh sin réitigh an

chothromóid 93 2 x 5 √

___ 27 ____

81 .

14. Sloinn (i) 16 (ii) 2 √__

2 mar 2 i gcumhacht uimhir éigin.

Uaidh sin réitigh an chothromóid 22x 2 1 5 (  16 ____ 2 √

__ 2 )

3 .

295

Mír 15.4 Uimhreacha éagóimheasta – Surdaí

1. Uimhreacha cóimheastaUimhreacha iad uimhreacha cóimheasta atáthar in ann a scríobh san fhoirm a __

b , nuair is

slánuimhreacha iad a agus b.Críochnaíonn nó athfhilleann coibhéis dheachúlach uimhreacha cóimheasta.Cuirtear uimhreacha cóimheasta in iúl leis an litir Q.Seo a leanas roinnt samplaí:

(i) 7 _ 8 5 0.875 (ii) 1 _ 3 5 0.333 5 0.3

.

(iii) 3 __ 11 5 0.272727… (iv) 7 __ 12 5 0.58333…

5 0.2. 7. 5 0.583

.

Ó na samplaí thuas is féidir a fheiceáil go bhfuil slánuimhreacha, codáin agus deachúlacha a chríochnaíonn nó a athfhilleann san áireamh le huimhreacha cóimheasta.

Seo a leanas samplaí d’uimhreacha cóimheasta

(i) 4 5 4 _ 1 (ii) 2 _ 3 (iii) 2 7 _ 8 (iv) 0.45 5 45 ___ 100 (v) 0.666… 5 2 _ 3

2. Uimhreacha éagóimheastaDá n-úsáidfeá d’áireamhán chun √

__ 2 a fháil, gheofá 1.414213562…

Ní chríochnaíonn an uimhir seo agus ní uimhir athfhillteach í.Uimhir éagóimheasta a thugtar ar a leithéid.Deirtear go bhfuil sé éagóimheasta mar nach féidir é a shloinneadh mar uimhir chóimheasta, is é sin, i bhfoirm chodáin.

Fréamh chearnach uimhir ar bith nach bhfuil fréamh chearnach bheacht aici, is uimhir éagóimheasta í.Dá bhrí sin is uimhreacha éagóimheasta iad √

__ 5 , √

___ 11 , √

___ 15 , …

Ach is uimhreacha cóimheasta iad √__

9 , √___

16 , √___

25 toisc go bhfuil fréamh chearnach bheacht acu.

Tá sean-aithne againn ar an uimhir éagóimheasta , ó tharla go bhfuil p 5 3.14159265 …, deachúil neamh-athfhillteach, neamhchríochta.

Cuimhnigh

Uimhir ar bith is féidir a shloinneadh mar chodán, tugtar uimhir chóimheasta uirthi.Uimhreacha ar nós √

__ 2 , √

__ 5 , p, … nach féidir a shloinneadh mar

chodáin, tugtar uimhreacha éagóimheasta orthu.

Nuair a úsáidtear nodaireacht an phoinc i ndeachúil athfhillteach, scríobhtar ponc os cionn na chéad uimhreach agus na huimhreach deiridh sa ghrúpa athfhillteach.

Sampla: 0.454545… 5 0.4. 5.

296

Nuair a chuirtear na huimhreacha cóimheasta agus na huimhreacha éagóimheasta le chéile, bíonn tacar na réaduimhreacha againn.Cuireann an litir R tacar na réaduimhreacha in iúl.Cuireann R\Q tacar na n-uimhreacha éagóimheasta in iúl, is é sin, tacar na réaduimhreacha gan tacar na n-uimhreacha cóimheasta.

3. SurdaíDeirtear go sloinntear uimhreacha éagóimheasta ar nós √

__ 3 , √

__ 8 , √

___ 13 , … i bhfoirm surda.

Cuimhneoimid ar √____

100 in dhá bhealach:

√____

100 5 10. Chomh maith leis sin, √____

100 5 √______

25 3 4 5 √___

25 3 √__

4 5 5 3 2 5 10.

Léiríonn sé seo tréith an-tábhachtach de chuid na surdaí, mar a luaitear sa bhosca daite.

Úsáidfimid na tréithe seo anois chun a thaispeáint gur féidir surda a shimpliú más slánchearnóg ceann dá fhachtóirí ar nós 4, 9, 16, 25, …

(i) √__

8 5 √__

4 . √__

2 (ii) √___

27 5 √__

9 . √__

3 5 2 √

__ 2 5 3 √

__ 3

(iii) √___

48 5 √___

16 . √__

3 (iv) 2 √___

45 5 2 3 √__

9 3 √__

5 5 4 √

__ 3 5 2 3 3 3 √

__ 5

5 6 √__

5

4. Surdaí a shuimiú agus a dhealúNí féidir surdaí a shuimiú ná a dhealú mura bhfuil na codanna éagóimheasta céanna acu. Mura bhfuil na codanna éagóimheasta mar an gcéanna, laghdaímid gach surda go dtí an fhoirm is simplí de, más féidir.

Sampla 1

Simpligh √__

5 1 √___

45 2 √___

20 .

Sloinnfimid gach surda san fhoirm is simplí de ar dtús:

√__

5 1 √___

45 2 √___

20 5 √__

5 1 √__

9 √__

5 2 √__

4 √__

5

5 √__

5 1 3 √__

5 2 2 √__

5

5 4 √__

5 2 2 √__

5 5 2 √__

5

5. Surdaí a iolrúAgus surdaí á n-iolrú, iolraigh na fachtóirí cóimheasta agus na fachtóirí éagóimheasta ina n-aonar.

√___

ab 5 √__

a 3 √__

b

√__

a __ b

5 √

__ a ___

√__

b

2 √__

2 an fhoirm is simplí de √

__ 8 .

297

Samplaí (i) √__

6 3 √__

2 5 √___

12 5 √__

4 . √__

3 5 2 √__

3

(ii) 2 √__

3 3 3 √__

5 5 2 3 3 3 √__

3 3 √__

5 5 6 √___

15

(iii) √___

32 3 √___

48 5 √___

16 . √__

2 3 √___

16 . √__

3

5 4 √__

2 3 4 √__

3 5 16 √__

6

Sampla 2

Simpligh (2 √__

5 2 3)(2 √__

5 1 3).

(2 √__

5 2 3)(2 √__

5 1 3) 5 2 √__

5 (2 √__

5 1 3) 2 3(2 √__

5 1 3)

5 (2 √__

5 )(2 √__

5 ) 1 (2 √__

5 )3 2 (3)(2 √__

5 ) 2 (3)(3)

5 4(5) 1 6 √__

5 2 6 √__

5 2 9

5 20 2 9 5 11

Cleachtadh 15.4 1. Cé acu de na huimhreacha seo atá cóimheasta?

(i) 4 _ 9 (ii) 2 1 _ 2 (iii) √__

5 (iv) √__

9 (v) p (vi) 21 3 _ 4

2. Cé acu de na huimhreacha seo atá éagóimheasta?

(i) √__

7 (ii) √___

16 (iii) 4 √__

7 (iv) 0.4. (v) p __

2 (vi) √

__ 3 1 2

3. Scríobh síos luach ar gach ceann díobh seo a leanas:

(i) √___

25 (ii) √____

400 (iii) 3 √___

16 (iv) √

____ 100 _____

2 (v) 2 1 3 √

___ 81 (vi) √

___ 36 1 2 √

__ 4

4. Scríobh síos uimhir éagóimheasta idir: (i) 3 agus 4 (ii) 4 agus 5 (iii) 10 agus 11 (iv) 0 agus 1

5. Scríobh gach ceann díobh seo san fhoirm √__

n , nuair is slánuimhir é n:

(i) √__

2 3 √__

5 (ii) √__

3 3 √__

7 (iii) √__

8 3 √__

3 (iv) √__

5 3 √___

11


(i) √__

5 3 √__

5 (ii) ( √__

6 )2 (iii) (2 √__

3 )2 (iv) √__

2 3 √__

8 (v) (  √__

8 ___ √

__ 2 )

2

7. Sloinn gach ceann de na surdaí seo san fhoirm is simplí de:

(i) √__

8 (ii) √___

12 (iii) √___

18 (iv) √___

27 (v) √___

45

8. Sloinn na surdaí seo san fhoirm is simplí díobh:

(i) √___

75 (ii) √____

125 (iii) 2 √__

8 (iv) 4 √___

27 (v) 2 √___

48

Cuimhnigh go bhfuil √

__ 6 3 √

__ 6 5 6

298

9. Sórtáil iad seo ina bpéirí d’uimhreacha coibhéiseacha. Cén ceann nár cheart a bheith ann?

A9

B23

J52

�C

64�4 �D

108

F5

G10

H18

I24

E20

K36�2

10. Sloinn gach ceann díobh seo san fhoirm is simplí de:

(i) 5 √__

3 1 4 √__

3 2 √__

3 (ii) 2 √__

2 1 6 √__

2 2 3 √__

2 (iii) 2 √__

2 1 √___

18

(iv) √___

18 1 √___

32 (v) √___

27 1 √___

48 (vi) √___

75 1 √___

12 2 √___

48

11. Cén oiread níos mó ná √__

2 atá √___

32 ?

12. Sloinn gach ceann de na torthaí seo mar uimhir chóimheasta:

(i) 2 √__

5 . √__

5 (ii) 2 √__

3 3 3 √__

3 (iii) 3 √__

5 3 4 √__

5 (iv) 3 √__

7 3 √__

7


(i) √__

5 ( √__

5 2 2) (ii) 2 √__

3 ( √__

3 2 2) (iii) √__

2 (3 √__

2 2 √__

3 )

14. Sloinn gach ceann de na torthaí seo a leanas san fhoirm is simplí de:

(i) 2 √__

5 ( √__

2 2 √__

5 ) (ii) ( √__

2 1 1)( √__

2 2 1) (iii) (5 1 √__

3 )(5 2 √__

3 )

(iv) ( √__

7 2 4)( √__

7 1 4) (v) (1 2 2 √__

3 )(1 1 2 √__

3 ) (vi) ( √__

2 1 √__

5 )( √__

2 2 √__

5 )


(i) (2 2 √__

3 )(4 1 2 √__

3 ) (ii) (1 2 3 √__

2 )(5 1 2 √__

2 ) (iii) (3 1 2 √__

2 )(3 2 2 √__

2 )

16. Scríobh (2 2 2 √__

5 )2 san fhoirm a 1 b √__

5 , nuair atá a, b Z.

17. Má tá p 5 √__

5 1 √__

3 agus q 5 √__

5 2 √__

3 , simpligh p2 2 q2.

18. Sa triantán dronuilleach seo, faigh luach

� 3

3 k

12

ar k, k Z.

19. p 5 2 1 √__

3 q 5 2 2 √__

3

(i) (a) Oibrigh amach p 2 q. (b) Abair an bhfuil p 2 q cóimheasta nó éagóimheasta. (ii) (a) Oibrigh amach pq. (b) Abair an bhfuil pq cóimheasta nó éagóimheasta.

299

Mír 15.5 Uimhreacha san fhoirm chaighdeánach Dá n-úsáidfeá d’áireamhán chun an oibríocht 60 000 3 4 600 000 a dhéanamh, thaispeánfaí an uimhir 2.76 3 1011 ar an scáileán.

Seasann sé seo don uimhir 2.76 iolraithe faoi 10 aon uair déag.

Tá an uimhir 2.76 3 1011 scríofa i nodaireacht eolaíochta nó san fhoirm chaighdeánach.

Cineál áisiúil gearrscríbhneoireachta í an fhoirm chaighdeánach chun uimhreacha móra agus beaga a scríobh.

Sainmhíniú Deirtear go bhfuil uimhir atá san fhoirm a 3 10n, nuair a bhíonn 1 < a , 10, agus nuair is slánuimhir é n, á sloinneadh i nodaireacht eolaíochta nó san fhoirm chaighdeánach.

Sampla 6.8 3 104

Seo roinnt uimhreacha scríofa san fhoirm chaighdeánach:

(i) 5000 5 5 3 1000 5 5 3 103

(ii) 64 000 5 64 3 1000 5 6.4 3 10 000 5 6.4 3 104

(iii) 380 000 5 3.8 3 105

Tabhair faoi deara má bhogann tú an pointe deachúlach

(i) 1 ionad ar chlé, iolraigh faoi 101

(ii) 2 ionad ar chlé, iolraigh faoi 102

(iii) 3 ionad ar chlé, iolraigh faoi 103 …

Uimhreacha níos lú ná 1 Chun uimhir ar nós 0.037 a shloinneadh san fhoirm chaighdeánach, bog an pointe deachúlach dhá ionad ar dheis chun uimhir idir 1 agus 10 a fháil, mar a thaispeántar thíos:

(i) 0.037 5 3.7 ____ 100

5 3.7 ___ 102 5 3.7 3 1022

(ii) 0.0045 5 4.5 _____ 1000

5 4.5 ___ 103 5 4.5 3 1023

Sna samplaí seo, má bhogann tú an pointe deachúlach

(i) 2 ionad ar dheis, iolraigh faoi 1022

(ii) 3 ionad ar dheis, iolraigh faoi 1023 …

Scríobhtar an chuid seo mar 10 i gcumhacht uimhir éigin.

Scríobhtar an chuid seo mar uimhir idir 1 agus 10.

300

Feicfidh tú EXP nó �10 x ar d’áireamhán, a sheasann do ‘easpónantúil’ nó 10 i gcumhacht ar bith.

Chun an uimhir 2.54 3 103 a athrú go foirm dheachúlach, brúigh 2.54 EXP 3 � .

Taispeánfar 2540 ar an áireamhán.

Uimhreacha san fhoirm chaighdeánach a shuimiú agus a dhealú Chun uimhreacha a shloinntear san fhoirm chaighdeánach a shuimiú nó a dhealú, iompaigh gach uimhir ina huimhir dheachúlach agus déan an suimiú nó an dealú. D’fhéadfá áireamhán a úsáid freisin mar a thaispeántar sa sampla seo a leanas.

Sampla 1

Sloinn san fhoirm chaighdeánach: 1.84 3 102 1 8.7 3 103.

1.84 3 102 5 184 agus 8.7 3 103 5 8700

1.84 3 102 1 8.7 3 103 5 184 1 8700 5 8884 5 8.884 3 103

Brúigh 1.84 10 x 2 1 8.7 10 x 3 �

Taispeántar 8884 mar thoradh, is é sin 8.884 3 103.

Uimhreacha san fhoirm chaighdeánach a iolrú agus a roinnt Chun uimhreacha a shloinntear san fhoirm chaighdeánach a iolrú (nó a roinnt), iolraigh na ‘codanna a’ ar dtús agus ansin iolraigh na huimhreacha a shloinntear mar 10 i gcumhacht.Bíonn an t-áireamhán an-áisiúil sna hoibríochtaí seo.

Dá bhrí sin, (3.8 3 103)(9.4 3 1022) 5 (3.8 3 9.4) 3 103 3 1022 5 35.72 3 101 … 3 2 2 5 1 5 3.572 3 102

Nó úsáid áireamhán agus brúigh

3.8 10 x 3 � 9.4 10 x 22 �

Is é 357.2 an toradh.

357.2 5 3.572 3 102

301

Sampla 2

Sloinn gach ceann díobh seo san fhoirm chaighdeánach:

(i) 2.76 3 103 2 5.9 3 102 (ii) (6 3 103) 3 (4.5 3 104) ___________________ 1.2 3 104

(i) 2.76 3 103 2 5.9 3 102 5 2760 2 590 5 2170 5 2.17 3 103

[nó brúigh 2.76 10 x 3 � 5.9 10 x 2 � Is é 2170 an toradh.]

(ii) (6 3 103) 3 (4.5 3 104) ___________________ 1.2 3 104 5 6 3 4.5 3 103 3 104

_________________ 1.2 3 104

5 27 3 107 ________

1.2 3 104

5 27 ___ 1.2

3 107 ___

104 5 22.5 3 103

5 2.25 3 104

[nó brúigh 6 10 x 3 � 4.5 10 x 4 � 1.2 10 x 4 �

Is é 22 500 an toradh.Iompaítear é sin ansin go 2.25 3 104.]

Cleachtadh 15.5 1. Cé acu de na huimhreacha seo a leanas atá san fhoirm chaighdeánach?

(i) 3.6 3 102 (ii) 14.3 3 104 (iii) 0.8 3 103 (iv) 9.8 3 104

2. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas mar uimhir dheachúlach:

(i) 6 3 102 (ii) 4.5 3 102 (iii) 6.8 3 103 (iv) 5.1 3 104

(v) 6.7 3 104 (vi) 5.16 3 102 (vii) 7.05 3 103 (viii) 1.86 3 104

3. Scríobh gach ceann de na huimhreacha seo san fhoirm chaighdeánach:

(i) 400 (ii) 280 (iii) 840 (iv) 6200 (v) 8600 (vi) 127 (vii) 827 (viii) 76 000 (ix) 146.8 (x) 72 400

4. Sloinn na huimhreacha seo san fhoirm chaighdeánach:

(i) 40 3 102 (ii) 320 3 103 (iii) 0.9 3 103 (iv) 94.3 3 102

5. Oibrigh iad seo amach agus sloinn do fhreagraí mar uimhreacha deachúlacha:

(i) 3.8 3 102 1 1.7 3 103 (ii) 1.76 3 10 1 6.43 3 102

(iii) 8.4 3 103 2 1.7 3 102 (iv) 6.64 3 102 2 9.4 3 10

302

6. Faigh luach orthu seo a leanas agus tabhair do fhreagra san fhoirm chaighdeánach:

(i) (3.6 3 102) 3 (1.5 3 103) (ii) (4.6 3 102) 3 (3.7 3 1021) (iii) (3.64 3 1022) 3 (9 3 104) (iv) (1.8 3 1024) 3 (8 3 105)

7. Athraigh na huimhreacha seo go foirm dheachúlach:

(i) 2.5 3 1021 (ii) 6 3 1022 (iii) 4.8 3 1023 (iv) 9.2 3 1024

8. Scríobh na huimhreacha seo san fhoirm chaighdeánach:

(i) 0.04 (ii) 0.062 (iii) 0.007 (iv) 0.0065

9. Scríobh na huimhreacha seo san fhoirm chaighdeánach:

(i) 0.008 (ii) 0.0079 (iii) 0.0006 (iv) 0.00053

10. Scríobh iad seo san fhoirm a 3 10n, i gcás ina bhfuil 1 < a , 10, n Z:

(i) 8.4 3 105 ________

1.2 3 102 (ii) 9 3 104 ________

1.5 3 102 (iii) 4.48 3 103 _________

8 3 1021 (iv) 8.4 3 1022 _________

1.2 3 103

11. Oibrigh amach iad seo a leanas gan áireamhán. Tabhair do fhreagra san fhoirm chaighdeánach.

(i) (5.4 3 105) 3 (3 3 102) (ii) 4 3 103 _______

8 3 105 (iii) 4 3 105 _______

5 3 108

(iv) 1.6 3 109 ________

8 3 107 (v) 8 3 104 ________

1.6 3 105 (vi) 4.8 3 1022 _________

3 3 103

12. Scríobh iad seo san fhoirm chaighdeánach:

(i) 1.4 3 103 1 5.6 3 102 ___________________

7 3 1021 (ii) (6.4 3 102) 1 (8.2 3 104) _____________________ 1.033 3 102

13. Sloinn 1.2 3 108 3 3.6 3 105 ___________________

1.8 3 109 san fhoirm chaighdeánach.

14. Ríomh an luach ar 5.1 3 108 1 1.9 3 107 ___________________

1.4 3 109 agus scríobh do fhreagra mar uimhir dheachúlach.

15. Scríobh gach ceann díobh seo mar uimhir dheachúlach:

(i) 6.8 3 103 2 5.2 3 102 ___________________

3.2 3 102 (ii) 1.12 3 1022 3 9.8 3 105 _____________________

1.4 3 102

16. Tá trastomhas an Domhain 1.27 3 104 km ar fad agus

Véineas

Mars

An Domhan

Mearcair

tá trastomhas Mharsa 6.8 3 103 km ar fad.

(i) Cé acu pláinéad a bhfuil an trastomhas is faide aige? (ii) Céard é an difríocht idir an dá thrastomhas? (iii) Céard é iomlán an dá thrastomhas le chéile?

Tabhair do fhreagra san fhoirm chaighdeánach.

303

Mír 15.6 Figiúirí bunúsacha – Neastachán Tarlaíonn sé go minic gur fearr nó gur gá uimhreacha beaga nó móra a shlánú go dtí céim chruinnis réasúnta. Dá mbeadh 12 946 duine ag cluiche peile, bheadh sé réasúnta a rá gur fhreastail thart ar 13 000 duine ar an gcluiche.Deirimid go dtugtar 13 000 ceart go dtí an míle is gaire.Ar an gcaoi chéanna, is féidir 1.823 a shlánú go dtí 1.8.

Agus áireamháin in úsáid go forleathan anois, tá sé tábhachtach go mbeadh meastachán éigin againn ar an bhfreagra a bhfuil súil againn leis. Ansin beidh a fhios againn an bhfuil an freagra ar an áireamhán réasúnta nó nach bhfuil. Chun meastachán garbh ar ríomh a dhéanamh, de ghnáth tugaimid deachúlacha ceart go dtí ionad deachúlach amháin nó péire, agus slánaímid slánuimhreacha go dtí an 10, 100 nó 1000 is gaire, de réir mar is cuí.

1. Ionaid dheachúlachaAgus tú ag tabhairt deachúla ceart go dtí líon áirithe ionad deachúlach, comhair gach digit, lena n-áirítear nialas, i ndiaidh an phointe dheachúlaigh. Má bhíonn an digit dheireanach cothrom le 5 nó níos mó, méadaigh an digit roimhe faoi 1. Má bhíonn an digit dheireanach cothrom le 4 nó níos lú, fág an digit roimhe mar atá sí.

Dá bhrí sin, 6.8537 5 6.854, ceart go dtí 3 ionad dheachúlacha 5 6.85, ceart go dtí 2 ionad dheachúlacha 5 6.9, ceart go dtí 1 ionad dheachúlacha.

2. Figiúirí bunúsachaDá mbeadh 34 176 duine ag cluiche peile, bheadh sé réasúnta 34 200 nó 34 000 a scríobh síos.

Tá 34 200 scríofa ceart go dtí 3 fhigiúr bhunúsacha. Tá 34 000 iscríofa ceart go dtí 2 fhigiúr bhunúsacha.

Agus slánuimhir á sloinneadh ceart go dtí líon áirithe figiúirí bunúsacha, ní áirítear nialais ag deireadh na huimhreach, ach caithfear iad a chur san áireamh sa toradh deiridh. Bíonn gach nialas eile suntasach.

Dá bhrí sin, 52 764 5 52 760, ceart go dtí 4 fhigiúr bhunúsacha 5 52 800, ceart go dtí 3 fhigiúr bhunúsacha 5 53 000, ceart go dtí 2 fhigiúr bhunúsacha 5 50 000, ceart go dtí 1 fhigiúr bhunúsacha.

Tá an uimhir 70 425 5 70 400, ceart go dtí 3 fhigiúr bhunúsacha.Tabhair faoi deara go bhfuil an nialas idir an 7 agus an 4 bunúsach, ach nach bhfuil an dá nialas dheireanacha bunúsach.

Má bhíonn uimhir níos lú ná 1, ní bhíonn na nialais díreach i ndiaidh an phointe dheachúlaigh bunúsach.

Dá bhrí sin, (i) 0.07406 5 0.0741, ceart go dtí 3 fhigiúr bhunúsacha. (ii) 0.00892 5 0.0089, ceart go dtí 2 fhigiúr bhunúsacha.

304

3. Meastachán a dhéanamhMá bhíonn meascán d’uimhreacha níos mó ná agus níos lú ná 1 á ríomh, chun meastachán a dhéanamh ar an bhfreagra,

(i) slánaigh uimhreacha níos mó ná 1 ceart go dtí figiúr bunúsach amháin (ii) slánaigh uimhreacha níos lú ná 1 ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

Sampla 1

Déan meastachán garbh ar 10.25 1 29.83 ____________ 0.24 3 46

10.25 1 29.83 ____________ 0.24 3 46

10 1 30 ________ 0.2 3 50

5 40 ___ 10

5 4

Meastachán garbh é 4.(Is é an toradh má úsáidtear áireamhán 3.63…)

Cleachtadh 15.6 1. Scríobh gach ceann de na huimhreacha seo ceart go dtí an 10 is gaire:

(i) 76 (ii) 347 (iii) 1792 (iv) 7319 (v) 1608

2. Scríobh na huimhreacha seo go dtí an 100 is gaire:

(i) 87 (ii) 146 (iii) 1824 (iv) 2539 (v) 9829

3. Scríobh gach ceann de na huimhreacha seo ceart go dtí ionad deachúlach amháin:

(i) 46.34 (ii) 8.753 (iii) 0.426 (iv) 0.456 (v) 0.074

4. Cé mhéad figiúr bunúsach atá sna huimhreacha seo a leanas?

(i) 3000 (ii) 28 000 (iii) 329 000 (iv) 309 000 (v) 607 100

5. Scríobh gach ceann de na huimhreacha seo ceart go dtí dhá fhigiúr bhunúsacha:

(i) 3184 (ii) 648 (iii) 2916 (iv) 28 936 (v) 40 673

6. Slánaigh na huimhreacha seo go dtí trí fhigiúr bhunúsacha:

(i) 7136 (ii) 45 309 (iii) 3612 (iv) 159 762 (v) 700 713

7. Slánaigh na huimhreacha seo go dtí dhá fhigiúr bhunúsacha:

(i) 0.473 (ii) 0.06312 (iii) 2.384 (iv) 0.669 (v) 54.839

8. Slánaigh na huimhreacha seo go dtí trí fhigiúr bhunúsacha:

(i) 0.7384 (ii) 8.372 (iii) 0.02843 (iv) 1.083 (v) 12.316

305

9. Scríobh an uimhir a chuireann an tsaighead in iúl

72 000 72 500 73 000 (i) ceart go dtí 3 fhigiúr bhunúsacha (ii) ceart go dtí 2 fhigiúr bhunúsacha (iii) ceart go dtí 1 fhigiúr bhunúsacha.

10. Slánaigh gach uimhir ceart go dtí figiúr bunúsach amháin agus uaidh sin déan meastachán orthu seo a leanas:

(i) 56 3 18 _______ 28

(ii) 19.48 1 43.2 ___________ 10.4 3 2.8

(iii) 183 3 46.4 __________ 77.4

11. Slánaigh gach uimhir ceart go dtí 1 fhigiúr bunúsach, nó go dtí ionad deachúlach amháin má bhíonn an uimhir níos lú ná 1, chun meastachán garbh a dhéanamh orthu seo a leanas:

(i) 18.8 1 48.3 __________ 11.3 2 2.75

(ii) 0.231 3 0.62 ___________ 0.419

(iii) 0.86 1 0.734 ___________ 0.367 2 0.18

12. Slánaigh na huimhreacha seo ar fad go dtí an tslánuimhir is gaire agus uaidh sin déan meastachán ar an bhfreagra orthu seo a leanas:

(i) 2.75 3 8.34 __________ 5.24 1 2.74

(ii) 0.73 3 12.42 ___________ 1.75 1 2.38

(iii) 6.28 1 √___

4.3 ___________ 0.65 3 √

____ 8.57

13. Slánaigh na huimhreacha níos lú ná 1 ceart go dtí ionad deachúlach amháin agus uimhreacha eile go dtí 1 fhigiúr bunúsach, agus ansin déan meastachán garbh ar na ríomhanna seo a leanas:

(i) 807 ___________ 391.3 3 0.37

(ii) 31.69 3 6.25 ___________ 0.473

(iii) 324 3 2.76 __________ 196 3 0.54

14. Slánaigh iad seo go cuí agus ansin déan meastachán ar luach

(i) 518.6 3 8.32 ___________ 98.5

(ii) 63.2 3 (9.8)2 ___________

48.7 (iii) 0.79 3 28.4 __________

0.372

15. Measann Sailí gurb é 8 an luach ar 42.8 3 63.7 __________ 285

.

Scríobh síos trí uimhir a d’fhéadfadh Sailí a úsáid chun a meastachán a fháil: …… 3 …… ___________ ……

Mír 15.7 Deilíní agus úsáid an áireamháin 1. Deilíní

Is ionann deilín uimhreach agus 1 ______ uimhir

.

Is é 1 _ 5 deilín 5; is é 1 __ 1.8 deilín 1.8.

Nuair a iolraítear uimhir faoina deilín, is é 1 an toradh.

306

Is é 1 ___ 12.8 deilín 12.8.

Is féidir é seo a fháil ar áireamhán ach 1 � 12.8 � a bhrú.


Féadtar deilín uimhreach a fháil freisin ach an cnaipe x �1 ar d’áireamhán a úsáid.

Dá bhrí sin, chun deilín 12.8 a fháil, brúigh 12.8 x �1 � .

Is é 0.078 an toradh, mar a fuarthas thuas.

2. Cumhachtaí agus fréamhachaTaispeánann na samplaí thíos an gnáthamh chun cumhachtaí agus fréamhacha uimhreacha a fháil ar d’áireamhán.

Oibríocht Sampla

(i) Chun fréamh chearnach uimhreach a fháil, úsáid an cnaipe .

Chun √___

28 a fháil, brúigh 28 �


(ii) Chun fréamh chiúbach uimhreach a fháil, úsáid an cnaipe 3 .

Chun 3 √___

27 a fháil, brúigh

SHIFT 3 27 �

Is é 3 an toradh.

(iii) Chun uimhir chearnach uimhreach a fháil, úsáid an cnaipe x 2 .

Chun 242 a fháil, brúigh

24 x 2 �

Is é 576 an toradh.

(iv) Chun 85 (nó cumhacht ar bith) a fháil, úsáid an cnaipe x .

Chun 85 a fháil, brúigh

8 x 5 � Is é 32768 an toradh.

3. Oibríochtaí ar an áireamhánNuair a bhíonn d’áireamhán in úsáid agat chun an luach ar 14 3 15 _______

50 2 29 a fháil,

cuir an t-ainmneoir idir lúibíní i gcónaí.

Anois triail 14 3 15 ________ (50 2 29)

. Ba cheart go bhfaighfeá 10.

Sampla 1Úsáid d’áireamhán chun luach ar 12.42 3 23.47 ____________

13.48 1 5.73 , a fháil, ceart go dtí dhá ionad

dheachúlacha.

Cuir lúibíní thart ar an ainmneoir agus brúigh

12.42 � 23.47 � ( 13.48 � 5.73 ) �


Sampla 2Úsáid d’áireamhán chun luach air seo a leanas a fháil, ceart go dtí ionad deachúlach amháin:

(2.59)2 2 31 ____ 14.6

1 78.4 _________ 5 3 √

____ 60.4 .

Brúigh 2.59 x 2 � 31 � 14.6 � 78.4 � ( 5 � 60.4 ) � .

Is é 6.6 an toradh, ceart go dtí 1 ionad deachúlach.

Nóta: Má úsáideann tú an cnaipe � am ar bith sa ríomh, tabharfaidh sé toradh na n-oibríochtaí ar fad a rinneadh go dtí sin.

Cleachtadh 15.7 1. Scríobh síos deilín gach ceann de na huimhreacha seo a leanas:

(i) 6 (ii) 1 _ 2 (iii) 3 _ 4 (iv) 2 2 _ 3 (v) 1 1 _ 4

2. Úsáid d’áireamhán chun deilín gach ceann díobh seo a leanas a oibriú amach, ceart go dtí 2 ionad dheachúlacha nuair is gá:

(i) 2.6 (ii) 5.44 (iii) 22.8 (iv) 0.68 (v) 20.8

Sna ceisteanna seo a leanas, tabhair gach freagra ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha nuair is gá.

3. Úsáid d’áireamhán chun a dheimhniú go bhfuil 48 3 64 _______ 16 1 24

5 76.8.

4. Úsáid d’áireamhán chun luach ar gach ceann díobh seo a leanas a fháil:

(i) 12.4 3 5.9 _________ (3.7 3 2.5)

(ii) 42.3 1 18.4 __________ 16.7 3 0.4

(iii) 81.73 2 21.4 ___________ 3.87 3 1.25


(i) √____

30.5 (ii) √____

348 (iii) √_____

107.8 (iv) (3.9)2 (v) (16.34)2


(i) 32 ___ 142 (ii)

√___

26 ____ 4

(iii) 2 3 √___

40 ________ 3

(iv) (12.8)2 ______

3.7 (v) 15.4 ____

√___

38


(i) (3.4)2 1 3 ____ 14.8

1 √____

108 (ii) √___

27 3 4 ___ 3.8

1 (9.62)2

(iii) √___

73 1 √

___ 45 ____

3 3 6.8 ____

14.9 (iv) 6 ____

15.9 3 √

____ 136 2 5 ____

18.7

307

Cuir triail ort féin 15 1. (a) (i) Faigh an luach ar 1 6

1 _ 2 1 √

__ 43 .

(ii) Má tá 125x 5 1 _ 5 , faigh an luach ar x.

(b) (i) Sloinn √___

50 2 √___

32 1 2 √__

8 san fhoirm k √__

2 , nuair atá k N.

(ii) Scríobh síos uimhir éagóimheasta idir 6 agus 7.

(c) Slánaigh iad seo go cuí agus ansin déan meastachán ar an luach ar 28.6 3 2 √____

17.3 ____________ (4.12)2 1 3.84

.

Anois úsáid d’áireamhán chun a luach a fháil, ceart go dhá ionad dheachúlacha.

2. (a) (i) Cén péire díobh seo a bhfuil an luach céanna orthu?

4 1 _ 2 4 2 1 _ 2 1 6

1 _ 4 20

(ii) Scríobh 5300 san fhoirm chaighdeánach.

(b) (i) Sloinn 3 √___

12 2 √___

27 san fhoirm k √__

3 , nuair atá k N.

(ii) Faigh an luach ar (8 3 1023 ) 1 _ 3 gan áireamhán a úsáid.

(c) Faigh luach na hathróige i ngach ceann de na cothromóidí seo:

(i) 2x 5 1 (ii) 2y 5 1 _ 4 (iii) 32z 5 2 (iv) 16b 1 3 5 2b

8. Oibrigh amach gach ceann díobh seo a leanas:

(i) 4.9 2 (1.8)2 __________

3.5 (ii) 6.84 1

√___

8.4 ____ 4.2

(iii) 5.84 3 √___

17 __________ 2.5 2 √

___ 3.5

9. Oibrigh amach an luach ar √

___________ (12.3)2 1 7.9 ____________

1.8 3 0.17 .

10. Faigh luach ar 19.6 _____ (9.7)2 1

√____

281 _____ 3.4

3 (1.83)2 ______

7.3 .

11. Faigh an luach ar (3.73)2 1 16 ____ √

___ 28 3 6.7 ____

19.4 .

12. Faigh luach ar p2 2 √___

2q 2 1 __ r , nuair atá p 5 4.256, q 5 0.327 agus r 5 0.45.

308

3. (a) (i) Cén dá cheann de na huimhreacha seo a leanas atá cothrom?

1 6 1 _ 2 421 320 (22)4 222

(ii) Faigh luach ar x mar a bhfuil √__

2 3 √__

x cóimheasta.

(b) (i) Simpligh 2x4 3 6x3 4 3x5.

(ii) Sloinn 8.4 3 104 _________

2.8 3 1021 san fhoirm a 3 10n, nuair atá 1 < a , 10, n Z.

(c) (i) Faigh an luach ar 2 5 3 _ 2 .

(ii) Faigh an luach ar x mar a bhfuil 16x 5 1 _ 8 .

4. (a) Scríobh iad seo a leanas mar shlánuimhir nó mar chodán:

(i) 25 (ii) 322 (iii) 4 1 _ 2 (iv) 70 (v) 2 7

1 _ 3

(b) (i) Sloinn 0.04 san fhoirm chaighdeánach. (ii) Réitigh an chothromóid 4x 5 8.

(c) Cinn an bhfuil na ráitis seo a leanas fíor nó bréagach. Má bhíonn an ráiteas bréagach, tabhair sampla a léiríonn cén fáth a bhfuil sé bréagach.

(i) Má tá x2 5 x, is é 1 an t-aon luach féideartha ar x. (ii) Má tá a2 5 64, is é 8 an t-aon luach féideartha ar a. (iii) a0 3 a0 3 a0 3 a0 . 2 (iv) 22n 5 (0.5)n

(v) 2n , 0, nuair is slánuimhir dhiúltach é n.

5. (a) Sloinn gach ceann díobh seo mar shlánuimhir nó mar chodán:

(i) 1 ___ 422 (ii) (  1 __

4 )

1 _ 2 (iii) 12 5

1 _ 3 (iv)

√__

8 ___ √

__ 2 .

(b) (i) Sloinn √___

40 . √__

5 san fhoirm p √__

2 , nuair atá p N.

(ii) Má tá 42x 1 1 5 8, faigh an luach ar x.

(c) Sloinn 8.4 3 104 ____________________

1.2 3 1022 3 2.8 3 103 san fhoirm a 3 10n, nuair atá 1 < a , 10, n Z.

6. (a) (i) Faigh an luach ar 2 5 1 _ 2 1 (  1 _ 8 )

1 _ 3 .

(ii) Má tá 16n 5 1 _ 4 , faigh an luach ar n.

(b) Má tá x 5 √_______

a2 1 b2 , faigh an luach ar x nuair atá

(i) a 5 √__

2 agus b 5 √__

7

(ii) a 5 3 _ 7 agus b 5 4 _ 7

(c) Sloinn √____

125 mar 5 i gcumhacht uimhir éigin.

Uaidh sin faigh an luach ar x mar a bhfuil 25x 5 √

____ 125 _____

5 .

309

310

Mír 16.1 Triantáin chomhchosúla Is cruthanna comhchosúla iad A agus B.Ar cóimhéid atá na huillinneacha comhfhreagracha ar fad agus tá na sleasa i gcruth B dhá oiread níos faide ná na sleasa comhfhreagracha i gcruth A.

Bíonn dhá chruth comhchosúil nuair a bhíonn:> na cruthanna mar an gcéanna> a n-uillinneacha ar cóimhéid> faid na sleasa comhfhreagracha sa chóimheas céanna.

Tá na sleasa i bhfíor B 1 1 _ 2 oiread níos faide ná na sleasa comhfhreagracha i bhfíor A.

Triantáin chomhchosúla

Ar cóimhéid atá na huillinneacha sna triantáin ABC agus DEF.Tabhair faoi deara gurb é an cruth céanna atá ar na triantáin ach nach bhfuil siad ar cóimhéid. Deirtear gur triantáin chomhchosúla nó triantáin chomhuilleacha iad. Deirtear gur sleasa comhfhreagracha iad [BC] agus [EF] toisc go bhfuil siad os comhair uillinneacha atá ar cóimhéid.Is sleasa comhfhreagracha iad [AB] agus [DE] freisin.

AB

64

A B

96

EB

D

F

A

C

Bíonn an cruth céanna ar thriantáin chomhchosúla ach ní bhíonn siad ar cóimhéid.

Ciallaíonn comhuilleach go bhfuil na huillinneacha comhfhreagracha ar cóimhéid.

Focail thábhachtachatriantáin chomhchosúla comhuilleach sleasa comhfhreagracha teoirim

coinbhéarta trasnaí idirlínte ar comhfhad comhthreomhar

leathchiorcal imlíne ga corda tadhlaí trastomhas stua

teascóg ceathairshleasán ciorclach atoradh

An Chéimseata 2: Triantáin Chomhchosúla – Ciorcail – Teoirimí

caibi

dil

16

311

Ós rud é go bhfuil gach slios ar an triantán DEF dhá oiread níos faide ná an slios comhfhreagrach ar an triantán ABC, deirimid go bhfuil na sleasa sa chóimheas céanna nó go bhfuil siad comhréireach (i gcomhréir le chéile).

Sna triantáin thuas, is ionann |AB| agus leath de |DE|.

Ar an gcaoi chéanna, tá |BC| 5 1 _ 2 |EF| agus tá |AC| 5 1 _ 2 |DF|.

Dá bhrí sin, |AB|

____ |DE|

  5 |BC|

____ |EF|

  5 |AC|

____ |DF|

  5 1 __ 2

Tugtar an toradh tábhachtach seo do thriantáin chomhchosúla sa teoirim ar dheis.

Bíonn coinbhéarta na teoirime seo fíor freisin.

Má bhíonn sleasa dhá thriantán i gcomhréir le chéile, in ord, ansin is triantáin chomhchosúla iad.

Nóta: Is comhchosúil iad dhá thriantán má tá dhá uillinn i dtriantán amháin ar cóimhéid le dhá uillinn sa triantán eile. Is comhuilleach nó comhchosúil iad na triantáin mar caithfidh an tríú huillinn sa dá thriantán a bheith ar cóimhéid.

Sampla 1

Is triantáin chomhchosúla iad ABC agus DEF. Faigh faid na sleasa (i) [DE] (ii) [DF]

(i) Comhfhreagraíonn [DE] do [AB].Tá gach slios ar an triantán DEF 1 1 _ 2 oiread fhad an tsleasa chomhfhreagraigh ar an triantán ABC ós rud é go bhfuil 9 cothrom le 1 1 _ 2 oiread 6. |DE| 5 1 1 _ 2 |AB|

|DE| 5 1 1 _ 2 (4) 5 6

(ii) |DF| 5 1 1 _ 2 |AC|

|DF| 5 1 1 _ 2 (5) 5 7 1 _ 2

TeoirimMás dhá thriantán chomhchosúla iad ABC agus DEF, ansin bíonn a gcuid sleasa i gcomhréir le chéile, in ord

|AB|

____ |DE|

  5 |BC|

____ |EF|

  5 |AC|

____ |DF|

 

A

B 6

54

C

D

E 9 F

312

Sampla 2

(i) Taispeáin gur triantáin chomhchosúla iad ABC agus EFG. (ii) Faigh fad an tsleasa [FG].

(i) Faigh na huillinneacha atá ar iarraidh:

|ACB| 5 180° 2 80° 2 43° 5 57°|FEG| 5 180° 2 80° 2 57° 5 43°

Ós rud é go bhfuil na huillinneacha 80°, 57° agus 43° i ngach triantán, is triantáin chomhchosúla iad.

(ii) Comhfhreagraíonn [FG] don slios [BC].

Ós rud é go bhfuil |EG| 5 2 1 _ 2 |AC| ⇒ |FG| 5 2 1 _ 2 |BC|

5 2 1 _ 2 (5 cm)|FG| 5 12.5 cm

Cleachtadh 16.1 1. Sna fíoracha a thugtar, is ionann fad gach

sleasa in PQRS agus dhá oiread fad an tsleasa chomhfhreagraigh in KLMN. (i) Cén slios a chomhfhreagraíonn do [NM]? (ii) Cén slios a chomhfhreagraíonn do [QR]? (iii) Má tá |KL| 5 4, faigh |PQ|. (iv) Má tá |NM| 5 8.2, faigh |SR|. (v) Má tá |QR| 5 15, faigh |LM|.

2. Is triantáin chomhchosúla iad ABC agus DEF.

(i) Comhlánaigh an cóimheas seo:|BC| : |EF| 5 6 : 12 5 … : …

(ii) Má tá |AC| 5 7.2, faigh |DF|. (iii) Má tá |DE| 5 8, faigh |AB|.

N

K L

M

S

P Q

R

E

D

12 FB

A

6

7.2

C

8

A

B 5 cm

6 cm15 cm

C

E

F G80° 80° 57°

43°

313

3. Is triantáin chomhchosúla iad na triantáin ar dheis. Faigh fad na sleasa marcáilte x agus y.

4. Is cruthanna comhchosúla iad (i) agus (ii) thíos. Faigh fad na sleasa marcáilte le litreacha. (i) (ii)

94

8

qp

12

94

8

qp

12

5. Is triantáin chomhchosúla iad na triantáin ar dheis.

(i) Cóipeáil agus comhlánaigh an ráiteas seo: ‘Is ionann fad gach sleasa ar an triantán mór agus ... oiread fhad an tsleasa chomhfhreagraigh ar an triantán beag’.

(ii) Faigh luach x agus luach y.

6. Mínigh cén fáth ar triantáin chomhchosúla iad ABC agus DEF. Faigh luach x agus luach y.

A

CB x cm

y cm18 cm

D

FE 14 cm

12 cm 10 cm

7. Is triantáin chomhchosúla iad na triantáin ABC agus PQR. Maidir leis an triantán PQR, cén slios a chomhfhreagraíonn do (i) [AB] (ii) [AC] (iii) [BC]?

Má tá |AC| 5 8, |PR| 5 12 agus |BC| 5 6, faigh |PQ|.

126

9

y9

x

y

4

33

12 9

x

3

7

45

y

x 12

A

CB 6

812

QP

R

314

8. Is triantáin chomhchosúla iad DEF agus KLM.

(i) Cén slios a chomhfhreagraíonn do [DF]?

(ii) Cén slios a chomhfhreagraíonn do [ML]?

(iii) Faigh |KM|.

9.

8 cm y cm

x cm

4 cm

6 cm

3.5 cm

A

B

C E

D

F

(i) Mínigh cén fáth ar triantáin chomhchosúla iad ABC agus DEF. (ii) Cén slios den triantán DEF a chomhfhreagraíonn do [AC]? (iii) Faigh luach x agus luach y.

10. Is triantáin chomhchosúla iad ABC agus XYZ.

(i) Cé acu slios den triantán XYZ a chomhfhreagraíonn do [AB]? Mínigh do fhreagra.

(ii) Faigh luach d agus luach e.

11. Cé acu de na grúpaí cruthanna seo a bhíonn comhchosúil i gcónaí?

(i) na cearnóga go léir (ii) na dronuilleoga go léir (iii) na comhthreomharáin go léir (iv) na ciorcail go léir (v) na triantáin chomhshleasacha go léir (vi) na triantáin chomhchosacha go léir

12. Faigh fad an tsleasa marcáilte le x san fhíor thíos:

42°

36°

42° 36°

7 cm

16 cm

10 cm

x cm

D

E 16

20

12

F M

K

L

D

E 16

20

12

F M

K

L

10

15

6

9

A

d e

Y

Z

X

B C

315

13. Tá BC||DE san fhíor a thugtar.Tarraing léaráidí ar leith de na triantáin ABC agus ADE.Marcáil faid na sleasa atá ar eolas agat i ngach triantán.

(i) Mínigh cén fáth ar triantáin chomhchosúla iad ABC agus ADE.

(ii) Anois faigh |DE|.

14. Is ceathairshleasán é ABCD ina bhfuil AB||DC agus |DAB| 5 |CBD|.

(i) Ainmnigh dhá uillinn eile atá ar cóimhéid san fhíor seo.

(ii) Anois mínigh cén fáth ar triantáin chomhchosúla iad ABD agus DCB.

(iii) Cén slios ar DCB a chomhfhreagraíonn do [DB] ar ABD?

(iv) Cén slios ar ABD a chomhfhreagraíonn do [BC] ar BCD? (v) Má tá |DC| 5 15 cm agus |DB| 5 12 cm, faigh |AB|.

15. Faigh luach x agus luach y ar na triantáin chomhchosúla thall.

16. Sna triantáin ar dheis, cuireann na saigheada in iúl go bhfuil na línte comhthreomhar.

Marcáil na huillinneacha atá ar cóimhéid agus uaidh sin bain úsáid as triantáin chomhchosúla le luachanna x agus y a fháil.

17. Nuair a chuir Séamus crann 5 m ón bhfuinneog, bhlocáil an crann radharc foirgnimh a bhí 50 m ar shiúl. Má bhí an foirgneamh 20 m ar airde, cén airde a bhí ag an gcrann?

3

4

8

D E

CB

A

15 cm

12 cm

D

A B

C

15

9

6

yy

x

12

18

189

xy

5 m 45 m

20 m

316

18. Tá fear ard ina shuí go díreach ina shuíochán sa phictiúrlann, agus blocálann sé radharc Eoin go hiomlán. Tá Eoin 10 m ar shiúl ón scáileán atá 4 m ar airde. Tá an fear 1 m chun tosaigh ar Eoin. Cé chomh fada is gá don fhear a cheann agus a ghuaillí a ísliú, le go bhfeicfidh Eoin an scáileán ar fad?

19. San fhíor a thugtar, tá JK||ML.

(i) Mínigh cén fáth ar triantáin chomhchosúla iad JKM agus KLM.

(ii) Faigh fad [JK].

20. Tá linn snámha á líonadh.Faigh fad, l, dhromchla an uisce nuair a bhíonn doimhneacht 2 m sa linn.

21. Is mian le suirbhéir an fad trasna locha a ríomh. Tá coillte timpeall an locha. Tógadh trí chosán a fhad leis an loch ón mbóthar AC mar a thaispeántar sa léaráid.

Is iad seo a leanas faid na gcosán ón mbóthar go dtí an loch.|AE| 5 120 m|BE| 5 80 m|CD| 5 200 m (i) Mínigh conas is féidir na méideanna a úsáid

chun |ED| a fháil. (ii) Ríomh |ED|, an fad trasna an locha.

1 m 9 m

4 m

10 cm

7 cm40°

40°

KJ

M L

20 m

1.5 m

4.5 m

2 m

l

A

80 m120 m

B

E

D

C

200 m

317

Mír 16.2 Trasnaithe agus triantáin 1. Trasnaithe

Taispeánann an léaráid ar dheis líne p ag trasnú trí líne chomhthreomhara , m agus n.Trasnaí a thugtar ar an líne p. Ós rud é go bhfuil |AB| 5 |BC|, deirimid go ngearrann na línte comhthreomhara , m agus n an trasnaí ina mhíreanna cothroma.

Má tharraingítear líne eile q, is féidir a léiriú go ngearrfaidh na línte comhthreomhara míreanna cothroma ar an líne q freisin, is é sin, |DE| 5 |EF|.Is fíor an t-airí sin do gach trasnaí eile.Luaitear an t-airí seo sa teoirim thíos.

TeoirimMá ghearrann trí líne chomhthreomhara mírlínte atá ar comhfhad ar thrasnaí áirithe, ansin gearrfaidh siad mírlínte atá ar comhfhad ar gach trasnaí eile.

Sampla 1

San fhíor a thugtar, gearrann na línte , m agus n idirlínte cothroma 9 cm ón trasnaí p.Más trasnaí eile é q, faigh luach x.

Gearrann na línte , m agus n idirlínte atá ar comhfhad ar an líne q freisin.

12 cm 5 (x 1 5) cm x 1 5 5 12 x 5 12 2 5 x 5 7

�

m

n

p

A

B

C

�

m

n

p

A

B

C F

E

D

q

(x � 5) cm

�

m

n

p

12 cm9 cm

q

9 cm

318

2. Líne atá comhthreomhar le slios triantáinSa triantán tugtha, roinneann na pointí D agus E an slios [AB] ina 3 chuid chothroma.

Má tharraingítear línte atá comhthreomhar le [BC] trí D agus E, ansin roinnfidh na pointí F agus G an slios [AC] ina 3 chuid chothroma freisin.

Is féidir an sampla thuas a leathnú chun aon chóimheas s : t a chur san áireamh mar a thaispeántar thíos.

Sa triantán tugtha, roinneann X an slios [AB] sa chóimheas s : t.

Má tá XY comhthreomhar le BC, ansin roinnfidh Y [AC] sa chóimheas s : t freisin.

Léiríonn an léaráid thuas toradh geoiméadrach an-tábhachtach agus úsáideach, toradh a thugtar ar dheis.

Cuimhnigh

Sa triantán ABC ina bhfuil XY||BC, bíonn na cóimheasa seo a leanas fíor i gcónaí:

(i) |AX|

____ |XB|

  5 |AY|

____ |YC|

 

(ii) |AB|

____ |AX|

  5 |AC|

____ |AY|

 

(iii) |AB|

____ |XB|

  5 |AC|

____ |YC|

 

A

B C

X Y

Sampla 2

Sa triantán tugtha, tá DE||BC.

Má tá |AD| 5 8, |DB| 5 4 agus |AC| 5 9, faigh |AE|.

B

E

D

C

G

F

A

A

B C

X Y

s

t t

s

TeoirimRoinneann líne a tharraingítear comhthreomhar le slios amháin ar thriantán an dá shlios eile sa chóimheas céanna.

A

B C

D E

9

4

8

319

De ghnáth scríobhaimid an cóimheas leis an slios atá de dhíth orainn ar dtús.

|AE|

____ |AC|

  5 |AD|

____ |AB|

 

|AE|

____ 9

5 8 ___ 12

… |AB| 5 8 1 4 5 12

12|AE| 5 8 3 9

|AE| 5 8 3 9 _____ 12

5 72 ___ 12

5 6 i.e. |AE| 5 6

Tá coinbhéarta na teoirime ón leathanach roimhe seo fíor freisin, a thugtar ar dheis.

Cleachtadh 16.2 1. Faigh luach x i ngach ceann de na fíoracha seo a leanas áit a léiríonn na saigheada go

bhfuil na línte comhthreomhar.

(i) (ii) (iii)

2. I ngach ceann de na fíoracha a thugtar, gearrann na línte comhthreomhara , m agus n idirlínte atá ar comhfhad ar an trasnaithe p agus q. Faigh luachanna x agus y i ngach fíor.

(i)

10

qp

�

mx

y

12

n

(ii)

4x

2y

12

10

qp

�

m

n

Coinbhéarta na teoirimeMá ghearrann líne dhá shlios de thriantán sa chóimheas céanna, ansin bíonn an líne comhthreomhar leis an tríú slios den triantán.

8

8 10

x

10

1012

x 14 12

12

x

320

(iii) (iv)

y � 6

3x 4x

12

p q

�

m

n

3. Gearrann na línte comhthreomhara , m agus n idirlínte atá ar comhfhad ar na trasnaithe p agus q, mar a thaispeántar.

Má tá |BC| 1 |EF| 5 3 cm, faigh luach a.

4. Scrúdaigh an léaráid ar dheis agus ansin oibrigh amach luachanna x agus y.

5. Is línte comhthreomhara iad a, b agus c. Is trí thrasnaí iad p, q agus r a thrasnaíonn a, b agus c. |DE| 5 |EF|, |GH| 5 8 cm agus |JK| 5 7 cm.

Faigh (i) |HI| (ii) |GJ|.

6. I ngach ceann de na triantáin seo a leanas, léiríonn na saigheada go bhfuil na línte comhthreomhar. Faigh fad na mírlíne marcáilte le x i ngach triantán:

(i) (ii) (iii)

y � 3

12x � 4

9

qp

� mn

3a2a

EB

FC

p q

�

m

n

y � 6

2015

3x

�

m

n

p

D

E

F I

H

G

q r

J

a

b

cK

3

56

x 4 6

x64

x 5

3

321

7. Faigh fad na mírlíne marcáilte le a i ngach ceann de na triantáin seo a leanas, áit a léiríonn na saigheada gur línte comhthreomhara iad:

(i) 4

a

58

(ii)

14

5

12

a

(iii)

8. Faigh na luachanna ar x, y agus z sna triantáin seo a leanas, áit a léiríonn na saigheada gur línte comhthreomhara iad:

15 18 16

104

6

9

8

4

x

y z

15 18 16

104

6

9

8

4

x

y z

15 18 16

104

6

9

8

4

x

y z

9. Sa triantán tugtha, tá DE||BC.

|AD| 5 8, |DB| 5 4, |AC| 5 9. Faigh |AE|.

10. Sa léaráid seo, tá DE||BC.

Má tá |AD|

____ |DB|

  5 2 __ 1

agus |AE| 5 14 cm,

faigh |EC|.

11. Sa triantán tugtha, tá XY||BC.

Má tá |AY|

____ |YC|

  5 7 __ 3

agus |AB| 5 15 cm,

faigh |AX|.

14

3

12

a

4

89

A

D

B C

E

A

B

D E

C

A

CB

X Y

322

12. Sa triantán tugtha, tá MN||QR.

Má tá |PR|

____ |RN|

  5 8 __ 3

agus |PQ| 5 33 cm, faigh

(i) |PM| (ii) |PQ|

_____ |MQ|

 

13. Sa triantán tugtha, tá XY||ST.

Má tá |XS| 5 5 cm, |YT| 5 6 cm agus |RS| 5 12 cm, faigh |RT|.

14. San fhíor ar dheis, tá BC||DE.

Faigh: (i) |DE| (ii) |AE|

15. Mínigh cén fáth ar triantáin chomhchosúla iad ABC agus ADE.

3

54

6

A

ED

B Cx

y

(i) Líon isteach na codanna atá ar iarraidh sna cóimheasa seo a leanas:

|AD|

____ |AB|

  5 |AE|

________ 5 |DE|

________

(ii) Bain úsáid as na cóimheasa sin le luachanna x agus y a aimsiú.

Q

M

PR N

R

TS

X Y

6 7

8

12

D E

CB

A

323

16. Tá grúpa daltaí ag iarraidh an fad idir dhá chrann ar thaobhanna éagsúla den abhainn a fháil, ag baint úsáid as crúcaí, téip tomhais agus cuid mhór sreinge. Déanann siad na crúcaí a ailíniú ar bhealach ar leith, glacann siad tomhais éagsúla agus déanann siad an léaráid seo a sceitseáil. Is crainn iad A agus B ar an léaráid, agus is crúcaí iad C, D agus E.

48 m

133 m

57 m

C

B

A

E

D

(i) Cén chaoi ar chóir na crúcaí agus na crainn a ailíniú le go mbeidh na daltaí ábalta na tomhais seo a úsáid chun |AB| a ríomh?

(ii) Ríomh an fad idir na crainn. (iii) Déanann grúpa eile daltaí an ghníomhaíocht seo arís. Tá léaráid den chineál

céanna acu ach le tomhais dhifriúla. Tá na tomhais |BE | 5 40 m agus |BC | 5 9 m acu. Bunaithe ar an luach de |AB| a fuair an chéad ghrúpa, cén tomhas a bheidh ag an dara grúpa seo do |CD |?

Mír 16.3 Uillinneacha agus ciorcail Cabhróidh na léaráidí thíos leat na téarmaí a bhaineann leis an gciorcal agus a úsáidtear go minic a thuiscint.

lárphointe

leathchiorcal

trastomhas

tadhlaí

cordateascán

ga

imlíne

teascógstua

|BE | 5 57 m|BC | 5 48 m|CD | 5 133 m

324

1. An uillinn i leathchiorcalAn uillinn i leathchiorcal a thugtar ar an uillinn scáthaithe a thaispeántar, mar gheall gur trastomhas é [AB]. Taispeánfaimid thíos gur dronuillinn í an uillinn i leathchiorcal.

MíniúchánSa chiorcal tugtha,

|OB| 5 |OA| 5 |OC| 5 ga.

Ar cóimhéid atá na huillinneacha atá marcáilte le x mar gheall gur triantán comhchosach é AOB.

Ar an gcaoi chéanna, ar cóimhéid atá na huillinneacha atá marcáilte le y.

2x 1 2y a thugann na trí uillinn den ABC.

2x 1 2y 5 180° |x| 1 |y| 5 90°

Dá bhrí sin, |BAC| 5 90°

Sampla 1

Is trí phointe iad A, B agus C ar chiorcal dar lárphointe O.Má tá |OCB| 5 65°, faigh

(i) |OBC| (ii) |AOB| (iii) |OBA|.

(i) Tá an triantán OCB comhchosach ós rud é go bhfuil |OC| 5 |OB| 5 ga. |OBC| 5 |OCB| 5 65°

(ii) |BOC| 5 180° 2 65° 2 65° |BOC| 5 50° |AOB| 5 180° 2 50° 5 130°

(iii) Ós rud é go bhfuil |OA| 5 |OB| 5 ga, |OAB| 5 |OBA| 5 x° x 1 x 1 130° 5 180° … |AOB| 5 130°

2x 5 50° x 5 25° |OBA| 5 25°

A BO

C

B Cy

yx

xO

A

Is dronuillinn í an uillinn i leathchiorcal.

A C65°x

O

B

325

Nóta: Bíonn baint ag cuid mhór de na fadhbanna a bhaineann le huillinneacha i gciorcail le triantáin chomhchosacha. Tarlaíonn na triantáin chomhchosacha nuair is gathanna iad an dá shlios atá ar comhfhad. Dhá thriantán chomhchosacha a thaispeántar sa chiorcal ar dheis.

2. An uillinn ag lárphointe ciorcail agus an uillinn ag an imlíneSa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail. Deirtear go bhfuil an uillinn AOB ag lárphointe an chiorcail agus ina seasamh ar an stua AB.Tá an uillinn ACB ag imlíne an chiorcail, ina seasamh ar an stua AB freisin.

Tugtar teoirim an-tábhachtach a bhaineann leis an uillinn ag lárphointe an chiorcail agus an uillinn ag an imlíne thíos.

O

C

x

2x

AB

|AOB| 5 2|ACB|

Atorthaí Tagann roinnt déaduchtuithe nó atorthaí tábhachtacha ón teoirim thuas.

MíniúchánIna seasamh ar an stua AB atá an dá uillinn x agus y.

|x| 5 1 _ 2 |AOB| agus |y| 5 1 _ 2 |AOB|

|x| 5 |y|

O

O

C

A B

TeoirimIs ionann méid na huillinne ag lárphointe ciorcail agus dhá oiread na huillinne ag an imlíne.

Tugtar an cruthú foirmiúil ar an teoirim seo i Mír 16.4.

Atoradh 1Ar cóimhéid a bhíonn na huillinneacha sa teascán céanna.

x y

O

A B

326

Ceathairshleasáin chiorclacha Ceathairshleasán ciorclach a thugtar ar an bhfíor sa léaráid ar dheis mar gheall go bhfuil gach rinn ar an gciorcal.

a 1 b 5 180°c 1 d 5 180°

MíniúchánTaispeánann an léaráid go bhfuil

2x 1 2y 5 360° x 1 y 5 180° |ABC| 1 |ADC| 5 180°

Atoradh 3Is dronuillinn í an uillinn i leathchiorcal.

Níos luaithe sa mhír seo, thaispeánamar gur dronuillinn í an uillinn i leathchiorcal. Léirítear an ráiteas seo ar bhealach eile thall.

|ABC| 5 1 _ 2 |AOC|

|ABC| 5 1 _ 2 (180°)

|ABC| 5 90°

Atoradh 4Más dronuillinn í an uillinn atá ina seasamh ar an gcorda [BC] ag pointe áirithe ar an gciorcal, ansin is trastomhas é [BC].

a

d

c

b

Atoradh 2Is é 180° suim na n-uillinneacha urchomhaireacha i gceathairshleasán ciorclach.

x

y2x

2y

B

C

D

A

A C

B

90°

180°O

327

Sampla 2

Sa léaráid thall, is é O lárphointe an chiorcail. a

b

48°

O

Faigh méid na n-uillinneacha a agus b.

|a| 5 48° … uillinneacha ina seasamh ar an stua céanna

|b| 5 2 3 48° … is ionann an uillinn ag an lárphointe agus dhá

oiread na huillinne ag an imlíne

5 96° ach iad a bheith ina seasamh ar an stua céanna

Sampla 3

San fhíor a thugtar, is é O lárphointe an chiorcail

80°

O

C

D

AB

agus tá |AOB| 5 80°.

Faigh (i) |ACB| (ii) |ADB|.

(i) |ACB| 5 1 _ 2 |AOB| … uillinn ag an lárphointe

5 1 _ 2 (80°) 5 40°

(ii) |ADB| 1 |ACB| 5 180°… is ceathairshleasán ciorclach é ADBC

|ADB| 1 40° 5 180°|ADB| 5 140°

Sampla 4

Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail,

110° 30°O

C

BA

tá |AOB| 5 110° agus |OBC| 5 30°.

Faigh (i) |ACB| (ii) |OAC|.

(i) |AOB| 5 2|ACB| … is ionann méid na huillinne ag an lárphointe

agus dhá oiread na huillinne

110° 5 2|ACB| ag an imlíne

|ACB| 5 1 _ 2 (110°) 5 55°

(ii) Chun |OAC|, a fháil, ceangail CO, mar a thaispeántar.

O 30°

30°

C

BA

|OBC| 5 |OCB| 5 30° … |OB| 5 |OC| 5 ga|ACB| 5 55° … ó (i) thuas

|OCA| 5 55° 2 30°, i.e., 25°Ach |OAC| 5 |OCA|, ós rud é go bhfuil |OA| 5 |OC| 5 ga |OAC| 5 25°

328

Cleachtadh 16.3 1. Is trastomhas é [AB] den chiorcal tugtha.

A B

C

O45°

(i) Mínigh cén fáth ar dronuillinn í ACB. (ii) Faigh |CAB|. (iii) Déan cur síos ar an triantán ABC ar dhá bhealach.

2. Faigh luach x i ngach ceann de na ciorcail, dar lárphointe O:

(i)

O

x (ii)

O60° x

(iii)

xO

50°

3. Scríobh síos méideanna na n-uillinneacha atá marcáilte le litir i ngach ceann de na ciorcail seo a leanas, dar lárphointe O:

A

B

OC

D

O70°

E

F

37°

O

4. Sa chiorcal tugtha, is é O an lárphointe.

O C

B

A35°

(i) Cén fáth a bhfuil |OA| 5 |OB|? (ii) Cad é |ABC|? (iii) Cad é |ABO|? (iv) Anois faigh |OBC|. (v) Mínigh cén fáth ar triantán comhchosach é OBC.

5. Faigh luach na huillinne atá marcáilte le x i ngach ceann de na ciorcail seo a leanas, dar lárphointe:

(i)

O

140° x

(ii) x

O

30°

(iii)

35°

x

O

329

6. Faigh méid na huillinne marcáilte le litir i ngach ceann de na ciorcail seo a leanas, dar lárphointe O:

126° 92°

59°a b

c

O O O

206°

78°

32°

f

ed

O

21° 47°

62°

25°75°

g i

h

kj

7. Faigh méid na huillinne marcáilte le litir sna ceathairshleasáin chiorclacha seo a leanas:

45° 80°

37°104°

d

g

e

h

126°

55° 86°

56°

j

im

p q

n

8. Faigh méid na n-uillinneacha marcáilte le litir i ngach ceann de na ciorcail seo.

32°

45°

40°

a

b

d

ef

c

330

9. Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail agus tá

140°30°O

A B

C |AOB| 5 140° agus |OAC| 5 30°.

Faigh (i) |ACB| (ii) |OCA|

(iii) |OCB| (iv) |OBC|

10. Faigh méid na n-uillinneacha atá marcáilte le x agus y sna ciorcail seo a leanas dar lárphointe O:

(i)

100°

x

y30°O

(ii) x

y

25°

35°O

(iii)

x

y

36°

O

11. Ríomh méid BDC sa léaráid thall. D C

BA

30°

130°

12. Faigh méid na huillinne marcáilte le x i ngach ceann de na ciorcail seo a leanas, dar lárphointe O.

(i)

O

50°

x

(ii)

x

93°

(iii)

O

30°

x

13. Sa léaráid ar dheis, tá |RPQ| 5 30° agus |PSQ| 5 50°.

S Q

R

P

30°

50°x

(i) Ainmnigh uillinn eile atá cothrom le 30°. (ii) Uaidh sin, faigh méid na huillinne marcáilte le x.

331

14. Is ceathairshleasán ciorclach é PQRS le PQ||SR.

Má tá |QSR| 5 33° agus |SQR| 5 81°, taispeáin go bhfuil |PS| 5 |PQ|.

15. Buaileann trasnáin an cheathairshleasáin chiorclaigh a thaispeántar ar dheis le chéile ag an bpointe X.

Má tá |AX| 5 |XB|, cruthaigh go bhfuil AB comhthreomhar le DC.

16. Ar cóimhéid atá na huillinneacha léirithe sa léaráid. Cruthaigh gur dronuillinn í QPS.

17. Buaileann cordaí [AC] agus [BD] le chéile ag an bpointe X, mar a thaispeántar. Cruthaigh gur triantáin chomhchosúla iad AXB agus CXD.

18. Is ceithre phointe ar chiorcal iad A, B, C agus D mar a thaispeántar. Déroinneann [AD] BAC. Is é P an pointe trasnaithe de AD agus BC.

(i) Taispeáin gur triantáin chomhchosúla iad ADB agus APC. (ii) Uaidh sin taispeáin go bhfuil

|AC| · |BD| 5 |AD| · |PC|.

81°

33°

P Q

S R

D

A B

C

X

P

QR

S

A D

X

B C

A

B CP

D

332

19. Sa léaráid thall, is é O lárphointe an chiorcail.

Cruthaigh go bhfuil x 1 y 5 90°.

Mír 16.4 Teoirimí 4, 6, 9, 14, 19 a chruthú Déantar torthaí céimseata nó teoirimí a chruthú ar bhealach foirmiúil nó struchtúrtha trí úsáid a bhaint as torthaí agus aicsímí réamhbhunaithe chun na céimeanna a thugaimid a mhíniú. Matamaiticeoir ón nGréig arbh ainm dó Eoiclídéas a bhain úsáid den chéad uair as an modh sin le torthaí geoiméadracha a chruthú, timpeall 300 RCh.

Is iomaí teoirim a bhfuil cruthúnas uirthi i leabhar mórchlú le hEoiclídéas ar an gcéimseata, Uraiceacht. Inniu, breis agus 2000 bliain ina dhiaidh sin, bainimid úsáid i gcónaí as an gcur chuige ag Eoiclídéas leis an iliomad fadhbanna céimseatan a réiteach.

Atoradh a thugtar ar thoradh a leanann go loighciúil ó theoirim. Deir teoirim thábhachtach i dtaobh an chiorcail gur ionann méid na huillinne ag lárphointe an chiorcail agus dhá oiread na huillinne ag imlíne an chiorcail. Deir déaduchtú nó atoradh soiléir den teoirim seo gur dronuillinn í an uillinn i leathchiorcal.

Deir teoirim Phíotagarás gur ionann achar na cearnóige ar an taobhagán agus suim na n-achar sna cearnóga ar an dá shlios eile. De réir choinbhéarta na teoirime seo, más ionann achar na cearnóige ar cheann de na sleasa agus suim na n-achar sna cearnóga ar an dá shlios eile, ansin is dronuillinn í an uillinn os comhair an tsleasa sin.

Más rud é go bhfuil A . B agus B . C, tugann sé sin le fios go bhfuil A . C. Bainimid úsáid as ⇒ chun é sin a chur in iúl. Dá bhrí sin, más rud é go bhfuil 6 . 4 agus 4 . 2

⇒ 6 . 2

O

y

x

Aicsím: ráiteas a nglactar leis gan aon chruthúnas. Is sampla d’aicsím é seo, ‘Is é 180° suim na n-uillinneacha ar líne dhíreach’.

Teoirim: ráiteas ar féidir a thaispeáint go bhfuil sé fíor ach úsáid a bhaint as aicsímí agus argóint loighciúil.

Atoradh: ráiteas atá ceangailte le teoirim a cruthaíodh agus a leanann go soiléir uaithi.

Coinbhéarta teoirime: malairt na teoirime, nó an teoirim droim ar ais.

Sa mhatamaitic, ciallaíonn na focail tugann le fios go leanann toradh amháin go loighciúil ó thoradh eile a cruthaíodh.

333

Sa mhír seo, tugtar na cruthúnais fhoirmiúla ar chúig theoirim ón gcúrsa. D'fhéadfadh sé go n iarrfaí ort ceann ar bith de na cruthúnais seo a atáirgeadh i do scrúdú. Tá tú cleachta le torthaí na dteoirimí seo ó na míreanna roimhe seo sa chaibidil agus ó Chaibidil 6 chomh maith. Baineadh úsáid as torthaí na dteoirimí seo chun na fadhbanna éagsúla céimseatan a réiteach.

Teoirim 4 180° suim na n-uillinneacha i dtriantán ar bith.

Tugtha: An triantán ABC le huillinneacha marcáilte A14 5

2 3B C

� 1, 2 agus 3.

Le cruthú: |1| 1 |2| 1 |3| 5 180°.

Tógáil: Tarraing líne trí A atá comhthreomhar le BC. Marcáil na huillinneacha 4 agus 5.

Cruthúnas: |2| 5 |4| and |3| 5 |5| … uillinneacha ailtéarnacha

|4| 1 |1| 1 |5| 5 180° … uillinn dhíreach

Scríobh 2 agus 3, in ionad 4 agus 5.

|2| 1 |1| 1 |3| 5 180°

i.e. |1| 1 |2| 1 |3| 5 180°

Teoirim 6 Bíonn uillinn sheachtrach ar thriantán ar cóimhéid le suim na n-uillinneacha inmheánacha urchomhaireacha.

Tugtha: Triantán ABC le slios [BC] A

1

2 43B C D

arna leanúint go dtí an pointe D. Tugtar na huillinneacha marcáilte 1, 2, 3 agus 4 chomh maith.

Le cruthú: |4| 5 |1| 1 |2|

Cruthú: |3| 1 |4| 5 180°| … uillinn dhíreach

|1| 1 |2| 1 |3| 5 180° … uillinneacha i dtriantán

|3| 1 |4| 5 |1| 1 |2| 1 |3|

|4| 5 |1| 1 |2| … bain 3 ó gach taobh

334

Teoirim 9 I gcomhthreomharán, bíonn sleasa urchomhaireacha ar comhfhad agus bíonn uillinneacha urchomhaireacha ar cóimhéid.

Tugtha: An comhthreomharán ABCD. A B

D C

14

32

Le cruthú: |AB| 5 |DC| agus |AD| 5 |BC|.

Tógáil: Tarraing an trasnán [BD] agus marcáil na huillinneacha 1, 2, 3 agus 4.

Cruthú: Sna triantáin ABD agus BCD,

|1| 5 |3| … uillinneacha ailtéarnacha mar tá AB||DC

|2| 5 |4| … uillinneacha ailtéarnacha

|DB| 5 |DB| … slios coiteann

Is s iomchuí iad ABD agus BCD … USU

|AB| 5 |DC| and |AD| 5 |BC| … sleasa comhfhreagracha

Chomh maith leis sin, |DAB| 5 |DCB| … uillinneacha comhfhreagracha

agus |ABC| 5 |ADC| … |2| 1 |3| 5 |1| 1 |4|

Dá bhrí sin, ar comhfhad atá sleasa urchomhaireacha an chomhthreomharáin agus ar cóimhéid atá na huillinneacha urchomhaireacha ann.

Teoirim 14 Teoirim Phíotagarás

I dtriantán dronuilleach, bíonn achar na cearnóige ar an taobhagán cothrom le suim na n-achar sna cearnóga ar an dá shlios eile.

Tugtha: Triantán ABC ina bhfuil A ina dronuillinn. A

DB C1 2

3 4

Le cruthú: |BC|2 5 |AB|2 1 |AC|2.

Tógáil: Tarraing AD ⊥ BC agus marcáil na huillinneacha 1, 2, 3 agus 4.

Cruthú: Smaoinigh ar na triantáin ABC agus ABD.

Tá 1 i gcoiteann ag an 2 thriantán s

|BAC| 5 |ADB| 5 90°

is triantáin chomhchosúla iad ABC agus ABD.

|BC|

____ |AB|

  5 |AB|

____ |BD|

  ⇒ |AB|2 5 |BC| · |BD| … A

1 1

3

2

A

B C

A

B D

335

Anois smaoinigh ar na triantáin ABC agus ADC.

Tá 2 i gcoiteann ag an 2 thriantán.

|BAC| 5 |ADC| 5 90°

is triantáin chomhchosúla iad ABC agus ADC.

|AC|

____ |DC|

  5 |BC|

____ |AC|

  ⇒ |AC|2 5 |BC| · |DC| … B

Nuair a shuimítear A agus B faighimid:

|AB|2 1 |AC|2 5 |BC| · |BD| 1 |BC| · |DC|

5 |BC| [ |BD| 1 |DC|  ] 5 |BC| [ |BC|  ] … |BD| 1 |DC| 5 |BC|

|AB|2 1 |AC|2 5 |BC|2

i.e. |BC|2 5 |AB|2 1 |AC|2

Teoirim 19 Is ionann méid na huillinne ag lárphointe ciorcail agus dhá oiread na huillinne ag pointe ar bith ar an gciorcal, má bhíonn an dá uillinn ina seasamh ar an stua céanna.

Tugtha: Ciorcal k dar lárphointe O.

Is trí phointe ar k iad A, B agus C.

Ag an lárphointe atá AOB agus ag an imlíne atá ACB.

Tá an dá uillinn ina seasamh ar an stua AB.

Le cruthú: |AOB| 5 2|ACB|.

Tógáil: Ceangail C le O agus lean an líne go D. Cuir lipéid ar na huillinneacha.

Cruthú: |3| 5 |5| mar is triantán comhchosach é AOC agus |1| 5 |3| 1 |5| … uillinn sheachtrach cothrom

le suim na n-uillinneacha inmheánacha urchomhaireacha

|1| 5 2|3|

Ar an gcaoi chéanna, |2| 5 2|4|

Suimigh: |1| 1 |2| 5 2|3| 1 2|4|

|1| 1 |2| 5 2 [ |3| 1 |4| ] |AOB| 5 2|ACB|

1 2 2

4

A

B C

A

CD

k

C

A B

O

k

C

A

65 21

3 4

BD

O

Cuir triail ort féin 16 1. (a) Sa chiorcal tugtha, is lárphointe é O, |ACD| 5 65° agus |AB| 5 |BC|.

(i) Ainmnigh dhá dhronuillinn san fhíor. (ii) Faigh |BAC|. (iii) Faigh |BAD|.

(b) Sna triantáin seo, is ar cóimhéid atá na huillinneacha marcáilte. (i) Mínigh cén fáth a bhfuil an dá thriantán

comhchosúil. (ii) Faigh luach x agus luach y.

(c) Sa léaráid thall, cuireann na saigheada in iúl go bhfuil na línte comhthreomhar. Faigh fad na mírlínte marcáilte a agus b.

2. (a) Faigh méid na n-uillinneacha marcáilte le litreacha i ngach ceann de na ciorcail seo a leanas:

O35°85° 40°

130°

110°

a

b

c d

O35°85° 40°

130°

110°

a

b

c d

O35°85° 40°

130°

110°

a

b

c d

(b) Sna triantáin chomhchosúla thíos, marcáiltear uillinneacha atá ar cóimhéid. Faigh luachanna a agus b.

12 cm

10 cm

8 cm9 cm b cm

a cm

12 cm

10 cm

8 cm9 cm b cm

a cm

(c) Sa léaráid thall, tá DE||BC. Faigh luach x agus luach y.

B

D

A

C

65°

O

128

7

6

y

x

37

96

a

b

A

12

4D E

6

12B C

y

x

336

3. (a) Sa léaráid seo, is línte comhthreomhara iad , m agus n. Trasnaíonn siad na línte on the lines j agus k chun na hidirlínte den fhad a thaispeántar a dhéanamh. Tá AB comhthreomhar le j.

(i) Scríobh síos fad [AB].

(ii) Scríobh síos fad [AC].

(b) Sa léaráid thall, is triantán comhshleasach é PRS agus tá |PRQ| 5 36°. Faigh

(i) |QRS|

(ii) |PQR|

(iii) |QPS|.

(c) Luíonn dréimire 3.5 m ar sconsa 2.4 m. Tá foirceann amháin ar an talamh agus tá an foirceann eile ina luí ar bhalla ceartingearach atá 2.9 m ón talamh. Cé chomh fada is atá bun an dréimire ón sconsa? Bíodh do fhreagra ina mhéadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

4. (a) Faigh luach x agus luach y i ngach ceann de na ciorcail seo dar lárphointe O:

(i)

O

80°

x

y

(ii)

28°O

y

x

(b) Sa léaráid seo, tá VZ comhthreomhar le WY. Faigh (i) |WY|

(ii) |VW|

(iii) |VX|.

5

5

6 A

B C

jk

m

n

�

R

Q

P

36°

S

3.5 m2.9 m

2.4 m

x m

10 cm

X8 cm4 cm

9 cm

YZ

VW

337

(c) Ríomh Coilín leithead abhann w, trí na tomhais a léirítear a ghlacadh agus trí úsáid a bhaint as triantáin chomhchosúla. Cad é an freagra ba chóir a bheith ag Coilín?

5. (a) Sa triantán tugtha, tá DE||BC. Faigh |DE|.

(b) Tá fána thairiseach de 2 in 7 ag cosán ón trá go dtí an carrchlós. Is é a chiallaíonn sin ná, le haghaidh gach 7 m cothrománach, go n-ardaíonn an cosán 2 m. Tá an carrchlós 60 m go cothrománach ó cheann na trá den chosán. Cé chomh hard is atá an carrchlós sna dumhcha? Bíodh do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

53 m 7 m

2 mtrá

x m

carrchlós

(c) Sa chiorcal seo, trasnaíonn na cordaí [PR] agus [QS] a chéile ag T. (i) Cruthaigh gur triantáin chomhchosúla

iad PQT agus SRT. (ii) Uaidh sin, faigh |TS|.

6. (a) Faigh méid na n-uillinneacha atá marcáilte x agus y i ngach ceann de na léaráidí seo a leanas.

(i)95°

x

y

(ii) y

x

58°58°

4 m

w

62 m16 m

B C

A

D

3

5

4

9

E

P

SR

Q5 cm

7 cm

12 cm

T

338

(b) Fuair Sorcha amach airde crainn trí rialóir 30 cm a chur ina cholgsheasamh i scáth an chrainn. Leag sí síos an rialóir ionas go raibh foirceann an scátha san áit chéanna le deireadh scáth an chrainn. Cé chomh hard is a bhí an crann? Bíodh do fhreagra ina mhéadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(c) Sa léaráid, is comhthreomharán ABCD agus tá |ABC| 5 60°.

Mínigh cén fáth ar triantán comhshleasach é ADE.

7. (a) San fhíor a thugtar, tá, |EC| 5 9 cm, |AB| 5 8 cm agus |BE| 5 15 cm. Faigh |DE|.

(b) Is maidí iad A, B agus C ar bhruach canála a bhfuil taobhanna comhthreomhara aici. Tá C agus D go díreach os comhair a chéile. Tá |AB| = 30 m agus tá |BC| = 140 m. Nuair a shiúlaim ó A, go díreach ar shiúl ón bhruach, bainim an pointe E amach, pointe atá 25 m ó A, áit a bhfuil E, B agus D ailínithe. Cé chomh leathan is atá an chanáil?

(c) Déanann beirt suirbhéirí meastachán ar airde cnoic. Seasann suirbhéir amháin 5 m ar shiúl ón suirbhéir eile ar thalamh cothrománach, agus slat 3 m ina lámh go hingearach. Faigheann an suirbhéir eile "líne radhairc" go dtí barr an chnoic, agus tugann sí faoi deara go dtéann an líne thar an slat ingearach ag 2.4 m. Is é an fad ón tslat go dtí barr an chnoic ná 1500 m (arna thomhas ag trealamh léasair).

Cé chomh hard, ceart go dtí an méadar is gaire, is atá a meastachán ar airde an chnoic?

22.4 m

0.3 m

0.85 m

60°A B

CED

A

D

CB E15 cm 9 cm

8 cm

A

E

B C

D

x m

5 m

2.4 m

1500 m

339

340

Mír 17.1 An sorcóir Nuair a phléamar priosmaí i gcaibidil roimhe seo, fuaireamar amach go mbíonn toirt priosma cothrom le hachar bhonn (thrasghearradh) an phriosma iolraithe faoin airde.

Toirt an phriosma 5 Achar an bhoinn 3 airde 5 A 3 h

> Is féidir smaoineamh ar shorcóir mar phriosma a bhfuil cruth ciorcail ar a thrasghearradh.

> Ó tharla go bhfuilimid in ann achar ciorcail a fháil, is féidir linn an fhoirmle thuas a úsáid chun toirt sorcóra a fháil.

> Athraíonn an fhoirmle V 5 Ah go V 5 r2h, ó tharla go bhfuil A 5 r2.

Achar an dromchla chuair ar an sorcóir Chun achar dromchla cuair a fháil, samhlaigh nach bhfuil aon rud taobh istigh den sorcóir.Dá ngearrfaimis an dromchla cuair feadh na líne briste agus é a leathnú amach, cruth dronuilleoige a bheadh againn.

Bheadh achar na dronuilleoige seo mar an gcéanna le hachar an dromchla chuair.

h

r

2πr

2πr

h

Sa tsraith léaráidí thuas, feicimid go bhfuil achar an dromchla chuair cothrom le dronuilleog a bhfuil a fad cothrom le himlíne an chiorcail agus a leithead cothrom le hairde an tsorcóra. Úsáidimid an fhoirmle d’achar dronuilleoige agus faighimid:

Achar an dromchla chuair5 2rh

Achar iomlán an dromchla 5 achar an dromchla chuair + achar 2 chiorcal 5 2rh 1 2r2

hA

h

A

caibi

dil

17 An Sorcóir – An Sféar – An Cón

Focail thábhachtachasorcóir priosma achar an dromchla chuair sféarleathsféar cón airde cheartingearach claon-airde

341

An sorcóir

Toirt 5 r2h

Achar an dromchla chuair 5 2rh

Achar iomlán an dromchla 5 2rh 1 2r2

h

r

Sampla 1

Faigh (i) toirt an tsorcóra thall(ii) achar iomlán an dromchla,ag glacadh le 5 22

__ 7 .

Toirt 5 r2h5 3 72 3 24 … r 5 14 cm _____

2 , i.e. 7 cm

5 22 ___ 7

3 7 __ 1

3 7 __ 1

3 24 ___ 1

Toirt 5 3696 cm3

1

1

Achar iomlán an dromchla 5 2rh 1 2r2

5 2 3 22 ___ 7

3 7 3 24 1 2 3 22 ___ 7

3 72

5 1056 1 308

Achar iomlán an dromchla 5 1364 cm2

24 cm

14 cm

Sampla 2

Is é 1232 cm3 toirt sorcóra.Má tá sé 8 cm ar airde, faigh fad a gha ag glacadh le 5 3.14.Bíodh do fhreagra ceart go dtí an ceintiméadar is gaire.

Toirt 5 1232 cm3 ⇒ r2h 5 1232

3.14 3 r2 3 8 5 1232

r2 5 1232 ________ 3.14 3 8

r2 5 49.04

r 5 √_____

49.04 5 7.0029 r 5 7 cm

An ga 5 7 cm

Cleachtadh 17.1 1. Ag glacadh le 5 22

__ 7 , faigh toirt na sorcóirí thíos:

(i)

7 cm

12 cm

(ii)

16 cm

14 cm

(iii)

28 cm

30 cm

342

2. Faigh achar iomlán an dromchla ar na sorcóirí soladacha i gCeist 1. thuas, ag glacadh le 5 22

__ 7 .

3. Ag glacadh le 5 3.14, faigh luach gach ceann de na sorcóirí seo.Bíodh do fhreagraí ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

(i)

30 cm

24 cm

(ii)

4 m

8 m

(iii)

50 cm

6 cm

4. Ag glacadh le 5 22 __ 7 , faigh toirt an tsorcóra ar dheis.

Má tá 1 lítear 5 1000 cm3, faigh toilleadh an tsorcóra, ceart go dtí an lítear is gaire.

5. Taispeántar san fhíor ar dheis sorcóir soladach a gearradh feadh a thrastomhais.Ag glacadh le 5 3.14, faigh toirt na fíorach ina cm3.

6. Is é 350 cm3 toirt an tsorcóra thall. (i) Scríobh síos an fhoirmle do thoirt sorcóra. (ii) Scríobh isteach na luachanna ar fad atá ar eolas

agat san fhoirmle, má tá an sorcóir 14 cm ar airde. (iii) Anois faigh fad an gha ar an sorcóir.

7. Is é 288 cm3 toirt sorcóra.Má tá an sorcóir 8 cm ar airde, faigh a gha.

8. Is é 360 cm3 toirt sorcóra.Má tá ga an tsorcóra 6 cm ar fad, faigh a airde.

9. Scríobh síos an fhoirmle le haghaidh achar an dromchla chuair ar an sorcóir.Is é 110 cm2 achar an dromchla chuair ar shorcóir áirithe.Má tá an sorcóir 5 cm ar airde, faigh a gha ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

10. Is é 154 cm2 achar bonn sorcóra.Más é 770 cm3 toirt an tsorcóra, faigh a airde.

28 cm

40 cm

18 cm

5 cm

14 cm Toirt �350π cm3

343

11. Is é 1848 cm3 toirt sorcóra.Má tá an sorcóir 12 cm ar airde, faigh a gha, ag glacadh le 5 22

__ 7 .

12. Tolltar poll a bhfuil ga 4 cm aige trí sholad dronuilleogach, mar a thaispeántar thall.Úsáid an cnaipe ar d'áireamhán chun toirt an tsolaid atá fanta a fháil, ceart go dtí an cm3 is gaire.

13. Tá imlíne sheachtrach 6 cm agus imlíne inmheánach 4 cm ag píobán miotail sorcóireach. Tá an píopa 1 m ar fad.Ag glacadh le 5 3.14, faigh

(i) toirt an phíobáin ina cm3

(ii) mais an phíobáin, ina kg, má tá mais 9 g ag 1 cm3 den mhiotal.

14. Tá imlíne 4 cm agus airde 14 cm ag gabhdán pinn luaidhe sorcóireach. Ag glacadh le 5 22

__ 7 , faigh toirt an ghabhdáin ina cm3. Cuirtear ocht ngabhdán pinn luaidhe go docht i mbosca dronuilleogach mar a thaispeántar.Faigh toirt an bhosca seo ina cm3.

15. Titeann báisteach isteach i ngabhdán cothrom dronuilleogach atá 88 cm faoi 42 cm faoi 6 cm. Nuair a bhíonn an gabhdán lán, doirtear an t-uisce isteach i sorcóir folamh a bhfuil ga 21 cm aige. Is é h cm doimhneacht an uisce sa sorcóir. Faigh luach hcm. Bíodh 5 22

__ 7 .

16. Fráma miotail ar theach gloine é seo.Rinneadh as leathchiorcail ar fhrámaí dronuilleogacha é. (i) Faigh achar an ábhair a theastaíonn chun

an teach gloine seo a chlúdach.Ná bíodh an t-urlár ná an doras san áireamh.

(ii) Ríomh toirt an tí ghloine ina méadair chiúbacha.Úsáid an cnaipe ar d'áireamhán agus tabhair gach freagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

4 cm

24 cm

16 cm

16 cm

4 cm

1 m

6 cm

4 cm

14 cm

21 cm

6 cm88 cm42 cm

h cm

5 m2 m

3.5 m12 m

3 m

2.5 m

344

17. Gearrtar cruth leathchiorclach a bhfuil ga 9 cm aige ó chiúb soladach a bhfuil sleasa atá 18 cm ar fad air.

Faigh (i) toirt an tsolaid atá fanta (ii) achar an dromchla ar an solad atá fanta.

Bíodh gach freagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

Mír 17.2 An sféar agus an leathsféar Taispeántar sa léaráid ar dheis sféar a bhfuil ga r aige.Fuair an matamaiticeoir agus an t-innealtóir Gréagach Airciméidéas (a rugadh in 287 RCh) amach go bhfuil toirt sféir cothrom le dhá thrian de thoirt an tsorcóra is lú a rachaidh timpeall air.

Seo an chaoi ar fhoghlaim Airciméidéas é seo.D’úsáid sé sféar ag a raibh ga boinn r agus sorcóir ag a raibh ga boinn r agus a bhí 2r ar airde.

Chuir sé an sféar sa sorcóir agus líon sé le huisce é.

h

Bhain sé an sféar amach agus fuair sé amach nach raibh an t-uisce ach in 1 _ 3 den sorcóir.

h13

Toirt an sféir 5 2 _ 3 toirt an tsorcóra

5 2 _ 3 3 r2h

5 2 _ 3 3 r2(2r) … h 5 2r

5 4 _ 3 r3

1. An sféar

r

Toirt 5 4 _ 3 r3

Achar an dromchla 5 4r2

2. An leathsféar

r

Toirt 5 2 _ 3 r3

Achar an dromchla ar an leathsféar soladach 5 3r2

18 cm18 cm

9 cm18 cm

r

345

Sampla 1

Ag glacadh le 5 3.14, faigh (i) toirt an sféir seo (ii) achar an dromchla.

(i) Toirt 5 4 _ 3 r3

5 4 _ 3 3 3.14 3 83 … r 5 8 cm

5 2143.57 cm3

5 2143.6 cm3

Sampla 2

Cuirtear sféar a bhfuil ga 4 cm aige isteach i sorcóir a bhfuil roinnt uisce ann. Nuair a bhíonn an sféar clúdaithe go hiomlán ag an uisce, ardaíonn leibhéal an uisce h cm.Má tá ga an tsorcóra 8 cm ar fad, faigh an luach ar h.

Sa léaráid seo, tá toirt an sféir cothrom le toirt an chuid sin den sorcóir atá daite agus atá h cm ar airde.

Toirt an sféir 5 Toirt an tsorcóra

⇒ 4 _ 3 r3 5 r2h

⇒ 4 _ 3 (4)3 5 (8)2h

⇒ 4 _ 3 3 64 5 64h … roinn an dá thaobh ar

⇒ 4 _ 3 5 h … roinn an dá thaobh ar 64

h 5 4 _ 3 5 1 1 _ 3

Nóta: I sampla 2 thuas, tugtar dhá sholad dúinn a bhfuil an toirt chéanna acu, i.e., tá toirt an sféir cothrom le toirt an tsorcóra.

⇒ 4 _ 3 (4)3 5 (8)2h

Sa chás seo tá ar dhá thaobh na cothromóide.Nuair a tharlaíonn sé seo, roinnimid an dá thaobh ar agus mar sin ní gá luach ar a ionadú.

16 cm

(ii) Achar an dromchla 5 4 r2

5 4 3 3.14 3 82

5 803.84 cm2

5 803.8 cm2

h cm

8 cm

4 cm

346

Cleachtadh 17.2 1. Faigh toirt na solad seo ina cm3.

Bíodh 5 3.14 agus tabhair gach freagra ceart go dtí ionad amháin deachúlach.

(i)

18 cm

(ii) 11 cm

(iii) 7 cm

2. Faigh achar an dromchla ar na fíoracha thuas.Úsáid an cnaipe ar d'áireamhán agus tabhair gach freagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

3. Ga 5 cm atá ag leathsféar soladach.

Faigh, i dtéarmaí , (i) toirt an leathsféir (ii) achar iomlán an dromchla.

4. Is é 288 cm3 toirt sféir.

(i) Faigh fad gha an sféir. (ii) Faigh, i dtéarmaí , achar iomlán an dromchla air.

5. Is é 616 cm2 achar an dromchla ar sféar. Ag glacadh le 5 22 __ 7 , faigh

(i) ga an sféir (ii) toirt an sféir.

6. Is é 36 cm2 achar an dromchla ar sféar.

Faigh toirt an sféir i dtéarmaí .

7. Taispeántar soitheach anseo a bhfuil cruth sorcóra ar bharr leathsféir air. Tá ga an tsorcóra 3 cm ar fad agus tá an soitheach 15 cm ar airde.

Ríomh toirt an tsoithigh ina cm3, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

5 cm

3 cm

15 cm

347

8. Tá an toirt chéanna ag an sorcóir agus ag an sféar ar dheis.

Faigh fad gha an tsorcóra, ceart go dtí an ceintiméadar is gaire.

9. Tá sorcóir 4 1 _ 2 cm ar airde agus tá ga 2 cm aige.Tá an toirt chéanna ag an sorcóir seo agus atá ag leathsféar áirithe.Faigh ga an leathsféir.

10. Is féidir liathróid chispheile a chur go beacht i gciúb a bhfuil a shleasa ar comhfhad le trastomhas na liathróide. Cén céatadán de thoirt an chiúib ina bhfuil an liathróid?

Úsáid an cnaipe ar d'áireamhán agus tabhair do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

11. Nuair a chuirtear sféar soladach a bhfuil a gha 6 cm ar fad i sorcóir ina bhfuil roinnt uisce, ardaíonn leibhéal an uisce h cm mar a thaispeántar ar dheis.

Má tá trastomhas an tsorcóra 16 cm ar fad, faigh an luach arh.

12. Is féidir trí liathróid leadóige, a bhfuil trastomhas 6 cm an ceann acu, a chur go beacht i mbosca sorcóireach, mar a thaispeántar thall.

Faigh, i dtéarmaí ,

(i) toirt liathróid leadóige (ii) toirt an bhosca shorcóirigh (iii) toirt an bhosca nach bhfuil aon liathróid ann.

13. Tá an toirt chéanna ag sféar a bhfuil ga 3 cm aige agus atá ag ocht n-oiread toirt sféir a bhfuil ga r cm aige. Ríomh r.

r

8 cm12 cm

h cm

16 cm

6 cm

6 cm

348

14. Tá airde sorcóra cothrom le fad a imlíne.Is é 100 cm2 achar an dromchla chuair ar an sorcóir. Ríomh an airde.

15. Tá cruth leathsféir a bhfuil ga 4 cm aige ar ghloine fíona, mar a thaispeántar thall.Faigh a toirt i dtéarmaí .

Tá díreach a dhóthain fíona i soitheach sorcóireach lán chun 21 gloine fíona mar seo a líonadh.Má tá ga 8 cm ag bonn an tsorcóra, faigh a airde.

16. Cuirtear naoi sféar miotail sholadacha, a bhfuil ga 1 1 _ 2 cm, ag gach ceann díobh, i sorcóir ina bhfuil roinnt uisce. Má tá na sféir clúdaithe go hiomlán ag an uisce, faigh an méadú ar airde an uisce má tá ga an tsorcóra 3 cm ar fad.

17. (i) Tá cruth sorcóra ar bharr leathsféir ar shoitheach, mar a thaispeántar. Tá ga an tsorcóra 3 cm ar fad agus tá an soitheach 15 cm ar airde. Ríomh toirt an tsoithigh i dtéarmaí .

(ii) Má líontar leath thoirt an tsoithigh le leacht, ríomh airde, h cm, an leachta sa soitheach.

Mír 17.3 An cón Dronchón ciorclach a thugtar ar an gcón ar dheis toisc go bhfuil a rinn díreach os cionn lár an bhoinn.Airde ingearach 5 hClaon-airde 5 Ga an bhoinn 5 rDe réir Theoirim Phíotagarás, 2 5 h2 1 r2

4 cm

3 cm

3 cm

15 cm

h cm

h

r

�

349

Taispeántar sa léaráid thíos trí chón arb é r ga a mboinn agus h a n-airde.Tá ga r agus airde h ag an sorcóir freisin.

� � �

r

h

r

h

Má líontar na trí chón le huisce agus má dhoirtear an t-uisce isteach sa sorcóir, beidh an sorcóir díreach lán.

toirt an chóin 5 1 _ 3 toirt an tsorcóra

5 1 _ 3 r2h

An Cón

Toirt an chóin 5 1 _ 3 r2h

Achar an dromchla chuair 5 r

Achar iomlán an dromchla ar an gcón soladach 5 r 1 r2

h

r

�

Sampla 1

Tá cón 12 cm ar airde agus tá ga a bhoinn 5 cm ar fad.Úsáid an cnaipe ar d'áireamhán agus faigh ceart go dtí ionad amháin deachúlach,

(i) toirt an chóin (ii) achar an dromchla chuair.

De réir Theoirim Phíotagarás, 2 5 122 1 52

5 144 1 25 5 169

5 √____

169 5 13 cm

Toirt an chóin 5 1 _ 3 r2h

5 1 _ 3 3 3 52 3 125 314.2 cm3

12

5

�

Achar an dromchla chuair 5 r5 3 5 3 135 204.2 cm2

350

Sampla 2Tá sorcóir miotal soladach 12 cm ar airde agus tá ga 5 cm aige. Leáitear é agus déantar cón a bhfuil ga 10 cm ina bhonn as an miotal.Ríomh airde an chóin.

Toirt an chóin 5 toirt an tsorcóra

h

10 cm

5 cm

12 cm

1 _ 3 r2h 5 r2h

1 _ 3 (10)2h 5 3 (5)2 3 12

100h _____ 3

5 25 3 12

100h 5 3 3 25 3 12

h 5 3 3 25 3 12 ___________ 100

5 9 cm

Tá an cón 9 cm ar airde.

Cleachtadh 17.3Sna ceisteanna seo a leanas, bíodh 5 3.14 nó úsáid an cnaipe ar d’áireamhán mura ndeirtear a mhalairt.

1. (i) Faigh toirt an chóin ar dheis.Bíodh do fhreagra ina cm3 agus ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(ii) Úsáid Teoirim Phíotagarás chun an chlaon-airde a fháil. (iii) Anois faigh achar iomlán an dromchla ar an gcón soladach,

ceart go dtí an cm2 is gaire.

2. Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, toirt cóin a bhfuil ga 8 cm aige agus atá 22 cm ar airde.

3. Taispeántar sa léaráid cón soladach a bhfuil ga 5 cm aige agus atá 13 cm ar chlaon-airde.

(i) Faigh airde, h, an chóin. (ii) Faigh achar an dromchla chuair. (iii) Faigh achar iomlán an dromchla. (iv) Faigh toirt an chóin.

Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad amháin deachúlach, nuair is gá.

4. Is é 112 cm2 achar an dromchla chuair ar chón áirithe.Má tá claon-airde 14 cm sa chón, faigh a gha.

5. Is é 800 cm3 toirt cóin. Má tá an cón 24 cm ar airde, faigh a gha.

6 cm

8 cm

�

5 cm

13 cmh

351

6. Nasctar cón le leathsféar arb é 4 cm a gha, mar a thaispeántar.Má tá an réad 10 cm ar airde ina iomláine, faigh

(i) airde an chóin (ii) toirt an réada ina cm3, ceart go dtí ionad amháin

deachúlach.

7. Is é 6160 cm3 toirt cóin.Más é 14 cm ga bhonn an chóin, faigh a airde. Bíodh 5 22

__ 7 .

8. Tá an toirt chéanna ag an sféar agus ag an gcón thall.Tugtar toisí an chóin.Faigh fad gha an sféir.

9. Sloinn, i dtéarmaí , toirt sorcóra atá 12 cm ar airde agus a bhfuil ga 4 cm aige.

Tá an toirt chéanna ag cón agus ag sorcóir: 4 cm i nga an bhoinn, agus h cm ar airde.Ríomh an luach ar h.

10. Tá ga 6 cm ag dronchón ciorclach atá 12 cm ar airde. Cuirtear go hiomlán faoi uisce é i sorcóir a bhfuil roinnt uisce ann, mar a thaispeántar.

Faigh, i dtéarmaí , toirt an chóin.

Más é 8 cm ga an tsorcóra, faigh an luach ar h, is é sin an méadú ar airde an uisce.

11. Oibrigh amach toirt an chrutha thall.Tabhair do fhreagra i dtéarmaí .

12. Is é 512 _____ 3

cm3 toirt cóin.

Tá airde an chóin agus fad a gha ar comhfhad.Faigh fad an gha.

10 cm

4 cm

r 12 cm

3 cm

�

h

8 cm

12 cm6 cm

3 cm

8 cm 9 cm

352

13. Déantar bréagán as cón a shuíonn go beacht ar bharr leathsféir, mar a thaispeántar sa léaráid.Tá ga an leathsféir 6 cm ar fad agus tá toirt an chóin cothrom le leath de thoirt an leathsféir.

(i) Faigh toirt an chóin i dtéarmaí agus h, nuair is é h airde an chóin. (ii) Faigh airde an chóin.

14. Tá ga an bhoinn ar an gcón thall cothrom le ga an sféir. Má tá toirt an chóin cothrom le toirt an sféir, cén oiread níos mó ga a bhoinn atá airde an chóin?

15. Tá ga sféir 5 cm ar fad.Tá cón 8 cm ar airde.Tá toirt an sféir cothrom le toirt an chóin.

Ríomh ga bhonn an chóin.Bíodh do fhreagra i ceintiméadair, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

16. Leáitear céir atá ar chruth sorcóra arb é 4 cm a gha agus atá 36 cm ar airde. Úsáidtear an chéir chun coinnle a bhfuil cruth cóin orthu a dhéanamh.Tá gach coinneal 6 cm ar airde agus ga 2 cm aige.

(i) Ríomh líon na gcoinnle a d’fhéadfaí a dhéanamh, ag glacadh leis go n-úsáidtear an chéir ar fad.

(ii) Cuirtear na coinnle sa bhosca dronuilleogach is lú is féidir, lena mbonn thíos agus i sraitheanna de shé choinneal.Ríomh, ina cm3, toirt (toilleadh inmheánach) an bhosca.

17. Taispeántar sa léaráid cón d’iógart reoite clúdaithe i bpáipéar. Is é 159 cm2 achar dromchla chuair an pháipéir, agus 4 cm atá i nga bhonn an chóin.

Faigh claon-airde an chóin, agus tabhair do fhreagra ceart go dtí ionad amháin deachúlach.

18. Mionsamhail de long roicéid atá tugtha ar dheis. Rinneadh an mhionsamhail as sorcóir soladach agus cón soladach. Tá bonn ciorclach ag an bpéire atá 20 cm ar fad. Tá an cón 24 cm ar airde.

(i) Ríomh toirt an chóin i dtéarmaí .

(ii) Faigh airde an tsorcóra má tá toirt an tsorcóra cothrom le 4 oiread thoirt an chóin.

(iii) Faigh an luach ar k má tá toirt an tsorcóra atá k ar airde cothrom le leath thoirt na mionsamhla soladaí ina hiomláine.

6 cm

4 cm

20 cm

24 cm

k

h

Cuir triail ort féin 17 1. (a) Ag úsáid 5 3.14, faigh

(i) toirt an tsorcóra thall

(ii) achar an dromchla chuair, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

(b) Tá an toirt chéanna ag an sorcóir agus ag an gcón thíos.

20 cm

12 cm

h

6 cm

(i) Faigh toirt an tsorcóra i dtéarmaí .

(ii) Ríomh h, claon-airde an chóin.

2. (a) (i) Cuirtear anraith i bpota sorcóireach a bhfuil a gha inmheánach 12 cm ar fad. Is é 18 cm doimhneacht an anraith.Ríomh, i dtéarmaí , toirt an anraith sa phota.

(ii) Úsáidtear ladar, a bhfuil cruth leathsféir air agus arb é 6 cm a gha inmheánach, chun an t-anraith a dhoirteadh amach. Ríomh, i dtéarmaí , toirt an anraith i ladar amháin iomlán.

(iii) Cé mhéad ladar lán d’anraith atá sa phota?

(b) Tá fánán lódála i muileann plúir a chuireann an plúr díreach isteach in araid fothaithe. Tá cruth dronchóin chiorclaigh ar an araid, mar a thaispeántar sa léaráid.

Is é 350 m2 achar an dromchla chuair ar an araid, agus is é 18.2 a claon-airde.

Má theastaíonn claibín don araid, faigh achar an chlaibín a theastódh chun an araid a chlúdach. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an m2 is gaire.

3. (a) Sorcóir agus cón atá sa chruth thall.

(i) Faigh toirt an tsorcóra i dtéarmaí .

(ii) Faigh toirt an chóin i dtéarmaí .

Uaidh sin faigh toirt an chrutha, ceart go dtí an cm3 is gaire.

40 m

30 m

6 cm

18.2 m

3 cm

6 cm 4 cm

353

(b) Déantar cruth trí leathsféar arb é r a gha a chur le cón arb é r cm a gha. Tá an cón 2r cm ar airde.Faigh slonn, i dtéarmaí r agus , do thoirt an chrutha.

4. (a) (i) Is é 36 cm3 toirt sféir.Faigh ga an sféir.

(ii) Nuair a chuirtear an sféar faoi uisce go hiomlán i sorcóir, ardaíonn leibhéal an uisce de 2.25 cm.Faigh ga an tsorcóra.

(b) Is é an fhoirmle do thoirt cóin ná 1 _ 3 3 achar an bhoinn 3 airde.Is é 33 cm3 toirt Chón A. Tá sé 9 cm ar airde.Tá Cón B 12 cm ar airde agus tá achar a bhoinn cothrom le hachar bhonn Chón A. Céard é toirt Chón B?

5. (a) Is é 6 cm ga an bhoinn ar chón agus ga sféir araon.Má tá toirt an chóin cothrom le toirt an sféir, faigh airde an chóin.

(b) Taispeántar sa léaráid thíos bloc dronuilleogach miotail soladach atá 75 cm faoi 11 cm faoi 6 cm. Leáitear é agus déantar slata sorcóireacha as atá 25 cm ar fad agus a bhfuil ga 1 cm acu.Ríomh líon na slat iomlán is féidir a dhéanamh as an mbloc.

25 cm

6 cm

1 cm

11 cm75 cm

r cm

2r cm

2.25 cm

12 cm9 cmA B

354

6. (a) Tá trastomhas inmheánach 40 cm ag umar uisce sorcóireach atá 50 cm ar airde.Tá trastomhas inmheánach 8 cm fad ag cupán sorcóireach atá 10 cm ar airde.

(i) Faigh toirt an umair i dtéarmaí .

(ii) Faigh toirt an chupáin i dtéarmaí .

(iii) Cé mhéad cupán is féidir a líonadh ó umar lán?

(b) Tá trach uisce capaill 2 m ar fad agus tá trasghearradh aige mar a thaispeántar thall.Cá fhad a thógfaidh sé an trach a líonadh má dhoirtear uisce isteach ann ag ráta 12 lítear in aghaidh an nóiméid?Bíodh do fhreagra ceart go dtí an nóiméad is gaire.

7. (a) (i) Cén toirt, ceart go dtí an cm3 is gaire, atá ag an gcanna sorcóireach seo?

(ii) An bhféadfaí lítear amháin uisce a chur ann?Mínigh do fhreagra.

(iii) Dá méadófaí an airde faoi dhó go 18 cm, cé mhéad lítear iomlán a rachadh ann?

(iv) Dá mbeadh sé 9 cm ar airde, ach dá méadófaí a gha faoi dhó go 12 cm, cé mhéad lítear iomlán a rachadh ann?

(b) Tá cruth sorcóra le dhá leathsféar ag gach aon taobh ar phiollaire vitimíní. Tá an piollaire 20 mm ar fad agus 6 cm de thrastomhas aige.

(i) Ríomh toirt an phiollaire, agus tabhair do fhreagra ceart go dtí an mm3 is gaire.

Tá 24 piollaire i gcúrsa vitimíní mar seo.Cuirtear na piollairí i dtrí shraith d’ocht bpiollaire i mbosca, mar a thaispeántar sa léaráid.

(ii) Cé mhéad de thoirt inmheánach an bhosca nach bhfuil aon phiollaire ann?

(c) Ríomh toirt sorcóra atá 7 cm ar airde agus a bhfuil ga 2 cm aige, ceart go dtí an cm3 is gaire.Téann uisce trí phíobán ciorclach a bhfuil ga inmheánach 2 cm aige ag ráta 7 cm/soic. Sreabhann sé isteach in umar dronuilleogach folamh atá 1.2 m ar fad, 1.1 m ar leithead agus 30 cm ar airde.Cá fhad, ina nóiméid, a thógfaidh sé an t-umar an líonadh?

50 cm

40 cm8 cm

10 cm

40 cm

6 cm

9 cm

20 mm

6 mm

355

356

Mír 18.1 Seichimh Má thosaímid ag 0 agus 4 a shuimiú arís is arís eile leis, feicfimid an patrún seo:

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, …

Má thógaimid an digit dheireanach sna huimhreacha sin, feicfimid patrún eile, mar seo a leanas:

0, 4, 8, 2, 6, 0, 4, 8, 2, 6, 0, 4, …

Leanann an chéad phatrún ar aghaidh agus gach uimhir 4 níos mó ná an uimhir roimpi.Tá an dara patrún beagáinín níos casta.Athfhilleann na huimhreacha i mbloic de 5 uimhir, agus patrún faoi leith i ngach bloc.

Seichimh a thugtar ar na patrúin uimhreacha thuas.Sraith uimhreacha in ord faoi leith is ea seicheamh.

Is seicheamh é 1, 3, 5, 7, 9, … 1ú téarma 4ú téarma cuireann na poncanna in iúl go leanann an seicheamh ar aghaidh.

Téarma a thugtar ar gach uimhir.An t-ionad a thugtar ar áit na huimhreach sa seicheamh.

Cearnóga atá sa phatrún thíos.

Patrún

Ionad 1 2 3 4 5

Téarma 3 6 9 12 15

Déanann na téarmaí seicheamh.

Focail thábhachtachaseicheamh téarma ionad riail ‘téarma go téarma’patrún athfhillteach seicheamh líneach riail ‘ionad le téarma’an nú téarma seicheamh cearnach an chéad difríochtan dara difríocht seicheamh easpónantúil

Patrúin agus Seichimhcaibi

dil

18

357

Is é 15 an cúigiú téarma. Tá 15 chearnóg ann.Méadaíonn an patrún faoi 3 gach uair.Tá 18 gcearnóg sa séú patrún sa seicheamh.Dá bhrí sin, is é 18 an séú téarma sa seicheamh.

Déanann an riail ‘téarma go téarma’ cur síos ar an gcaoi le dul ó théarma amháin go dtí an chéad cheann eile.

Is é an riail ‘téarma go téarma’ do 4, 8, 12, 16, 20, … ná ‘suimigh 4’.Is é an riail ‘téarma go téarma’ do 2, 6, 18, 54, … ná ‘iolraigh faoi 3’.Is é an riail ‘téarma go téarma’ do 30, 25, 20, 15, … ná ‘dealaigh 5’.

De ghnáth tugtar an chéad téarma agus ansin an riail ‘téarma go téarma’ chun cur síos a dhéanamh i bhfocail ar sheicheamh.

Sampla 1 (i) Tosaíonn seicheamh ag 7 agus ardaíonn sé faoi 4 gach téarma.

Scríobh síos an chéad sé théarma den seicheamh.

(ii) Déan cur síos i bhfocail ar an seicheamh seo:27, 24, 21, 18, …

(i) Is iad an chéad sé théarma den seicheamh: 7, 11, 15, 19, 23, 27.

(ii) Tosaíonn an seicheamh ag 27 agus laghdaíonn sé faoi 3 gach téarma.

Cleachtadh 18.1 1. Scríobh síos an chéad cheithre théarma eile de na seichimh seo a leanas:

(i) 3, 5, 7, 9, 11, … (ii) 2, 5, 8, 11, 14, … (iii) 4, 8, 12, 16, 20, … (iv) 20, 18, 16, 14, … (v) 50, 45, 40, 35, … (vi) 12, 8, 4, …

2. Scríobh síos an chéad trí théarma eile de na seichimh seo a leanas:

(i) 1, 1.5, 2, 2.5, … (ii) 210, 28, 26, 24, … (iii) 2, 6, 18, 54, … (iv) 2 1 _ 2 , 1, 2 1 _ 2 , 4, … (v) 240, 220, 210, … (vi) 6, 3, 0, …

3. Scríobh síos an chéad cheithre théarma de na seichimh seo a leanas:

(i) Tosaigh ag 2 agus comhair ar aghaidh i gcéimeanna de 4. (ii) Tosaigh ag 5 agus comhair ar aghaidh i gcéimeanna de 3. (iii) Tosaigh ag 3 agus comhair ar aghaidh i gcéimeanna de 5. (iv) Tosaigh ag 30 agus comhair siar i gcéimeanna de 4. (v) Tosaigh ag –10 agus comhair ar aghaidh i gcéimeanna de 3.

4. Déan cur síos i bhfocail ar na seichimh seo a leanas: (i) 3, 6, 9, 12, … (ii) 0, 4, 8, 12, … (iii) 10, 15, 20, 25, … (iv) 16, 14, 12, 10, … (v) 26, 23, 0, 3, … (vi) 22 1 _ 2 , 22, 21 1 _ 2 , 21, …

358

5. Scríobh an riail ‘téarma go téarma’ le haghaidh na seicheamh seo a leanas:

(i) 4, 8, 12, 16, … (ii) 1, 4, 7, 10, … (iii) 2, 6, 10, 14, … (iv) 22, 20, 18, 16, … (v) 3 _ 4 , 1, 5 _ 4 , 3 _ 2 , … (vi) 212, 29, 26, 23, …

6. Cóipeáil agus críochnaigh an tábla seo:

1ú téarma Riail ‘téarma go téarma’ 2ú, 3ú, 4ú agus 5ú téarma

8 15

14 9, 13, 17, 21

12, 15, 18, 21

0 23

212 27, 22, 3, 8

1 _ 7 , 2 _ 7 , 3 _ 7 , 4 _ 7

5 1 _ 4 2 1 _ 4

7. Is é 4 an chéad téarma de sheicheamh. Is é an riail ‘téarma go téarma’ ná 'suimigh 4'.

(i) Céard é an dara téarma den seicheamh? (ii) Céard é an cúigiú téarma?

8. Is é 11 an séú téarma de sheicheamh. Is é an riail ‘téarma go téarma’ ná 'dealaigh 3'.

(i) Céard é an cúigiú téarma den seicheamh? (ii) Céard é an chéad téarma?

9. Seo trí sheicheamh:(a) 7, 14, 21, 28, … (b) 6, 11, 16, 21, 26, … (c) 3, 7, 11, 15, 19, …

Céard a théann sa bhosca sna habairtí seo a leanas?

(i) I seicheamh (a), iolraithe ar iad téarmaí an tseichimh.

(ii) I seicheamh (b), tá na téarmaí ar fad níos mó de ná iolraí ar .

(iii) I seicheamh (c), tá na téarmaí ar fad níos lú de ná iolraí ar .

10. Taispeántar sna táblaí thíos patrúin i seicheamh. Is ionann gach téarma sa seicheamh agus an líon cearnóg sa phatrún. Cóipeáil agus críochnaigh gach tábla.

(i)Patrún

Ionad 1 2 3

Téarma 1 4

359

(ii)

Patrún

Ionad 1 2 3

Téarma 5 8

(iii)

Patrún

Ionad 1 2 3

Téarma 3 7

11. Tá dhá sheicheamh fite fuaite ina chéile.

Is é an riail do cheann amháin díobh ná ‘suimigh 4’.Is é an riail don cheann eile ná ‘dealaigh 3’.

7 15 11 15 21 9 3 12 19 18

Céard iad na seichimh fhéideartha?

12. Scríobh síos an chéad sé théarma den seicheamh seo:

Táim ag cuimhneamh ar sheicheamh. Is é 4 an 3ú téarma. Is é an riail ná ‘iolraigh faoi 2’.

13. I ngach ceann de na seichimh thíos, tá an difríocht idir na téarmaí ina tairiseach. Cóipeáil gach seicheamh agus líon isteach na huimhreacha atá ar lár.

(i) 4, 6, , , , 14, … (ii) 25, , 19, , 13, 10, … (iii) 1, , 11, , 21, , … (iv) , 10, , , 19, , …

14. Scrúdaigh na patrúin uimhreacha seo. Scríobh síos an chéad líne eile i ngach patrún gan áireamhán a úsáid. Anois úsáid áireamhán chun do fhreagraí a sheiceáil. (i) 3 3 11 5 33 (ii) 9 3 1 5 9 (iii) 7 3 7 5 49 33 3 11 5 363 9 3 12 5 108 67 3 67 5 4489 333 3 11 5 3663 9 3 123 5 1107 667 3 667 5 444889 3333 3 11 5 36 663 9 3 1234 5 11 106 6667 3 6667 5 44448889

360

Mír 18.2 Patrúin athfhillteacha

…

Is é patrún na gciorcal daite thuas ná glas, bándearg, gorm, buí, glas, …Athfhilleann an patrún i mbloic de 4.Is é patrún na gciorcal glas ná 1, 5, 9, …Is é patrún na gciorcal buí ná 4, 8, 12, …

Cén dath atá ar an 35ú ciorcal?Ó tharla go n-athfhilleann an patrún gach 4 chiorcal, faighimid amach cé mhéad bloc de 4 atá i 35 agus ansin cé mhéad ciorcal sa bhreis atá ann ansin.

35 4 4 5 8 agus fuílleach 3

Nuair is é 3 an fuílleach, breathnóimid ar dhath an 3ú ciorcal sa bhloc de 4 chiorcal.

Tá an ciorcal seo gorm.

Sampla 1

Déantar patrún athfhillteach le litreacha mar seo a leanas:

…A B C D E A B C D E A

(i) Céard é an 25ú litir? (ii) Céard é an 43ú litir? (iii) Céard é an 61ú litir?

(i) Athfhilleann an patrún i mbloic de 5. Chun an 25ú litir a fháil, roinn 25 ar 5. 25 ÷ 5 5 5, i.e., cúig bhloc iomlána. Dá bhrí sin is é an 25ú litir an litir dheireanach sa bhloc. Mar sin, is é E an 25ú litir.

(ii) Is é 43 ÷ 5 an 43ú litir. Seo 8 agus 3 an fuílleach. Mar gurb é 3 an fuílleach is é an tríú litir sa bhloc an freagra. Is é C an litir seo. Is é C an 43ú litir.

(iii) Is é 61 ÷ 5 an 61ú litir. Seo 12 agus 1 an fuílleach. Mar gurb é 1 an fuílleach is é an chéad litir sa bhloc an freagra. Is é A an 61ú litir.

361

Cleachtadh 18.2 1. Patrún athfhillteach de chruthanna céimseatúla é seo.

… (i) Céard iad an chéad dá chruth eile? (ii) Liostaigh ionad na gcéad trí chiorcal. An bhfuil patrún ann? (iii) Cén cruth a dhéanann an patrún 3, 7, …? (iv) Céard é an 21ú cruth? (v) Céard é an 37ú cruth? (vi) Más cearnóg é an 61ú cruth, céard é an 62ú cruth?

2. Patrún athfhillteach de thíleanna daite é seo:

…

(i) Céard é an chéad dath eile sa phatrún? (ii) Cén dath atá ar an 30ú tíl? (iii) Cén dath atá ar an 48ú tíl? (iv) Má tá dath dearg ar an 63ú tíl, cén dath atá ar an 65ú tíl? (v) Scríobh síos an patrún a dhéanann na tíleanna gorma. (vi) Cén t-ionad ina bhfuil an 6ú tíl ghorm?

3. Iolraithe ar 6 an patrún thíos.

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, …

Tá an patrún seo a leanas ag an digit dheireanach de gach uimhir:

6, 2, 8, 4, 0, 6, 2, 8, 4, 0, 6, 2, …

Tabhair faoi deara gur patrún athfhillteach é seo.

(i) Céard iad an chéad dá uimhir eile sa phatrún seo? (ii) Céard é an 24ú huimhir sa phatrún? (iii) Céard é an 51ú huimhir sa phatrún? (iv) Cén t-ionad atá ag an gcúigiú 8 den phatrún?

4. Scríobh síos an chéad deich n-iolraí ar 8.

(i) Taispeáin go ndéanann na digití deiridh de na hiolraithe seo patrún athfhillteach. (ii) Cé mhéad digit a bhíonn ann sula dtosaíonn an patrún ag athfhilleadh? (iii) Cén uimhir atá sa 100ú hionad sa phatrún?

Mír 18.3 Seichimh líneacha Breathnaigh ar an seicheamh seo:

12, 9, 6, 3, … Is ionann an riail ‘téarma go téarma’ agus –3 nó ‘dealaigh 3’.

362

Nuair is é atá i gceist leis an riail 'téarma go téarma' ná tairiseach (uimhir fhosaithe) a shuimiú nó a dhealú, seicheamh líneach a thugtar air.

Ní seicheamh líneach é aon cheann de na seichimh seo a leanas mar níl tairiseach a shuimiú nó a dhealú i gceist leis an riail ‘téarma go téarma’.

(i) 2, 4, 8, 16, 32, … Is é an riail ‘téarma go téarma’ ná 3 2. (ii) 27, 9, 3, 1, 1 _ 3 , … Is é an riail ‘téarma go téarma’ ná 4 3.

Téarma ar bith i seicheamh a fháil Is féidir linn luach téarma a ríomh óna ionad sa seicheamh ach riail ‘ionad le téarma’ a úsáid. Mar gheall air seo ní gá dúinn an tairiseach a shuimiú nó a dhealú arís agus arís eile.

Breathnaigh ar an seicheamh seo a leanas:

Ionad Téarma�3 �4

Ionad 1 2 3 4 5 … n

Téarma 7 10 13 16 19 … n 3 3 1 4

Léirítear sa sampla thuas gur féidir téarma ar bith a fháil ach an riail �3 �4 a úsáid.

Uaidh seo, is é an 6ú téarma (T6) ná 6 33 1 4 , i.e. T6 5 22.

Is féidir an riail ‘ionad le téarma’ do sheicheamh a fháil ach slonn a scríobh do Tn, an nú téarma.Sa sampla thuas tá, Tn 5 n 33 1 4

Tn 5 3n 1 4

Nuair a bhíonn Tn ar eolas againn, bímid in ann téarma ar bith sa seicheamh a scríobh síos.

Sampla 1Tugtar an nú téarma de sheicheamh le Tn 5 3n 2 4. (i) Scríobh síos an chéad trí théarma den seicheamh sin agus T20. (ii) Mínigh an fáth ar seicheamh líneach é.

(i) Tn 5 3n 2 4T1 5 3(1) 2 4 5 3 2 4 5 21 … cuir 1 in ionad n.

T2 5 3(2) 2 4 5 6 2 4 5 2T3 5 3(3) 2 4 5 9 2 4 5 5T20 5 3(20) 2 4 5 60 2 4 5 56

Is iad an chéad trí théarma ná 21, 2, 5 agus T20 5 56.

(ii) Ó tharla gur tairiseach an difríocht idir na téarmaí, i.e. 3, seicheamh líneach is ea é.

Tugtar seicheamh comhbhreise ar sheicheamh líneach freisin.

Tugtar riail an nú téarma ar an riail ‘ionad le téarma’ freisin.

363

Cleachtadh 18.3 1. Tugtar an nú téarma de roinnt seicheamh thíos.

Scríobh an chéad cheithre théarma de gach seicheamh.

(i) Tn 5 2n (ii) Tn 5 3n 1 1 (iii) Tn 5 4n 2 3 (iv) Tn 5 2n 1 5 (v) Tn 5 5n 2 4 (vi) Tn 5 7 2 2n

2. Scríobh an chéad trí théarma de na seichimh seo a shainítear leis an nú téarma:

(i) Tn 5 1 2 3n (ii) Tn 5 n2 1 1 (iii) Tn 5 n 1 1 _____ 4

3. Is é Tn 5 2n 1 3 an nú téarma i seicheamh áirithe.

(i) Scríobh síos an chéad chúig théarma den seicheamh. (ii) Faigh T20 agus T100.

4. Má tá Tn 5 2n - 6, taispeáin go bhfuil T1 1 T5 5 0.

5. Mínigh an fáth ar seichimh líneacha iad na seichimh seo:

(i) 3, 8, 13, 18, … (ii) 18, 14, 10, 6, …

6. Imscrúdaigh an seichimh líneacha iad seo:

(i) 28, 210, 212, 214, … (ii) 1, 3, 9, 27, … (iii) 20, 10, 5, 2 1 _ 2 , … (iv) 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, …

7. Tugtar an nú téarma i sé sheicheamh dhifriúla thíos:

7n � 2A

10 � nB

n � 312

Cn2 � 1

D60n

E2n

F

(i) Ríomh an chéad cheithre théarma de gach seicheamh. (ii) Ríomh an 20ú téarma de gach seicheamh. (iii) Cé acu de na seichimh seo atá líneach?

8. Is é 3n 1 2 an nú téarma i seicheamh áirithe.

(i) Scríobh síos an chéad sé théarma den seicheamh. (ii) Ríomh an 100ú téarma.

9. Tá seichimh líneacha ar an ngreille thall. 44

40

44

4

1

3

36

34

30

37

11

7

31

6

24

5

30

23

26

10

11

14

20

23

21

20

15

13

4

10

16

22

28

34

40

3

11

9

12

9

30

0

6

5

2

1

8

12

1

9

8

7

6

5

4

3

12

1

3

9

0

8

2

Taispeántar péire ar an léaráid.

(i) Faigh seacht seicheamh líneacha eile a bhfuil ceithre théarma nó níos mó iontu.

Scríobh síos gach seicheamh mar sheicheamh méadaitheach agus faigh an chéad téarma eile sa seicheamh.

364

(ii) Tugann na sloinn thíos an nú téarma de na seichimh seo. Meaitseáil gach slonn lena sheicheamh.

3n

3n � 1

6n � 2

n � 2

10n � 6

5n � 1

2n � 1

7n � 5

4n

Mír 18.4 An nú téarma de sheicheamh a fháil Chun an nú téarma de sheicheamh líneach a fháil, breathnaímid ar na difríochtaí idir na téarmaí.

7 10

�3

13

�3

16

�3

19

�3

Tá an seicheamh nasctha le Táblaí a Trí mar go gcuirtear 3 le gach téarma chun an chéad téarma eile a fháil. Mar sin beidh 3n ina chuid den nú téarma.Beidh Tn cothrom le 3n 6 uimhir éigin.

Oibreoimid amach céard atá le suimiú le 3n nó le dealú uaidh ach comparáid a dhéanamh idir an chéad téarma in Tn 5 3n agus an seicheamh a tugadh dúinn 7, 10, 13, …

I gcás Tn 5 3n, T1 5 3(1) 5 3.Caithfimid 4 a shuimiú leis an 3 seo chun 7 a fháil, an chéad téarma sa seicheamh a tugadh dúinn.

Tn 5 3n 1 4 n 3n � 43n�3 �4

Sampla 1

Faigh an nú téarma den seicheamh 3, 7, 11, 15, …

Sa seicheamh 3, 7, 11, 15, …, is é 14 an difríocht idir na téarmaí.Mar sin tá Tn 5 4n 6 uimhir éigin.Má tá Tn 5 4n, tá T1 5 4(1) 5 4.

Céard a chaithfear a shuimiú le 4 nó a dhealú uaidh chun an chéad téarma, 3, den seicheamh a tugadh a fháil?Caithfear 1 a dhealú, ó tharla go bhfuil 4 2 1 5 3.Mar sin tá Tn 5 4n 2 1.

Nóta: Nuair a bhíonn slonn agat le haghaidh Tn, seiceáil i gcónaí an oibríonn sé do T2 nó T3 , mar shampla.

365

Sampla 2

Faigh an nú téarma den seicheamh 10, 7, 4, 1, 22, …Uaidh sin oibrigh amach T20 den seicheamh.

Sa seicheamh seo, is é an riail ‘téarma go téarma’ ná 23 nó 'dealaigh 3'.Mar sin tá Tn 5 23n 6 uimhir éigin.Is é an chéad téarma sa seicheamh Tn 5 23n ná 23(1) 5 23.Céard a chaithfear a shuimiú le 23 nó a dhealú uaidh chun 10 a fháil?Caithfear 13 a shuimiú leis.Mar sin tá Tn 5 23n 1 13.

Tn 5 23n 1 13 ⇒ T20 5 23(20) 1 13 5 260 1 13 5 247

T20 5 247

Má bhíonn an nú téarma de sheicheamh ar eolas againn, is féidir linn an t-eolas sin a úsáid chun a fháil amach cén téarma i seicheamh í uimhir ar bith.

Sampla 3

Tugtar an nú téarma de sheicheamh le Tn 5 5n 2 4.Cén téarma den seicheamh é 21?

Bíodh Tn 5 21 5n 2 4 5 21 5n 5 25 n 5 5

Dá bhrí sin is é 21 an 5ú téarma sa seicheamh.

Cleachtadh 18.4 1. Seicheamh é 5, 9, 13, 17, …

(i) Scríobh síos an difríocht thairiseach idir na téarmaí.

(ii) Má tá Tn 5 n 6 uimhir éigin, cén uimhir a théann sa bhosca?

(iii) Anois faigh slonn do Tn, an nú téarma.

(iv) Scríobh síos luach T20.

2. Faigh slonn don nú téarma de na seichimh seo a leanas:

(i) 5, 7, 9, 11, … (ii) 4, 7, 10, 13, … (iii) 6, 10, 14, 18, …

366

3. Faigh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh seo:

7, 11, 15, 19, …

Úsáid an slonn don nú téarma chun T10 agus T20 a fháil.

4. Cuir i gcás an seicheamh 12, 10, 8, 6, … .

(i) Céard é an riail ‘téarma go téarma’ don seicheamh seo? (ii) Má tá Tn 5 n 6 uimhir éigin, cén uimhir a théann sa bhosca? (iii) Úsáid é seo chun slonn do Tn a fháil. (iv) Faigh T10 den seicheamh. (v) Cén téarma den seicheamh é 214?

5. Faigh slonn le haghaidh an nú téarma de na seichimh seo:

(i) 23, 0, 3, 6, 9, … (ii) 20, 15, 10, 5, …

6. Faigh slonn do Tn den seicheamh 8, 5, 2, …

Cén luach ar n a thabharfaidh Tn 5 234 duit?

Mír 18.5 Seichimh a dhéantar as cruthanna Go dtí seo sa chaibidil seo, níor phléamar ach le patrúin uimhreacha.Sa mhír seo breathnóimid ar fhíoracha céimseatúla agus ar na patrúin a dhéanann siad.

Sampla 1

Taispeántar sa léaráid ar dheis frámaí 1 ghrianghraf 2 ghrianghraf 3 ghrianghraf

grianghraif a rinneadh as maidí.

(i) Tarraing an fráma ina mbeadh 4 ghrianghraf. (ii) Cé mhéad maide a bheadh sa fhráma ina mbeadh 5 ghrianghraf? (iii) Faigh slonn don líon maidí san nú fráma. (iv) Cén fráma a d’úsáidfeadh 41 maide? (v) An bhféadfaí ceann de na frámaí seo a dhéanamh as 56 maide glan?

(i) Seo an fráma ina mbeadh 4 ghrianghraf: (ii) Is é 3, 5, 7, 9, 11, … an seicheamh.

Tá 11 mhaide sa 5ú fráma. (iii) Is é 12 an difríocht idir na téarmaí.

Dá bhrí sin, tá an nú téarma cothrom le 2n 6 uimhir éigin. Má tá Tn 5 2n, T1 5 2 agus mar sin caithfear 1 a shuimiú chun an chéad téarma, 3, a fháil. Tn 5 2n 1 1

367

(iv) Bíodh Tn 5 41 ⇒ 2n 1 1 5 41 2n 5 40 n 5 20

Úsáideann an 20ú fráma 41 maide.

(v) Bíodh Tn 5 56 2n 1 1 5 56 2n 5 55 n 5 27 1 _ 2

Ó tharla nach slánuimhir é 27 1 _ 2 , ní úsáideann fráma ar bith 56 maide glan.

Cleachtadh 18.5 1. Seo patrún a rinneadh as maidí.

6 mhaide 11 mhaide 16 mhaide

(i) Tarraing an 4ú patrún sa seicheamh seo. (ii) Scríobh síos seicheamh na n-uimhreacha a ghineann na maidí sa chéad sé

phatrún. (iii) Taispeáin go dtugtar líon na maidí san nú patrún le Tn 5 5n 1 1. (iv) Cé mhéad maide a theastaíonn don 20ú patrún? (v) Cén patrún a úsáideann 51 maide?

2. Seo trí léaráid a dhéantar as triantáin.

Léaráid 1 Léaráid 2 Léaráid 3

7 dtriantán5 thriantán3 thriantán

(i) Tarraing léaráid 4. (ii) Cé mhéad triantán a bheidh i léaráid 7? (iii) Faigh slonn don líon triantán san nú léaráid. (iv) Cén léaráid a úsáideann 33 triantán?

3. Críochnaigh an tábla luachanna don seicheamh seo de phatrúin cipíní.

368

An líon cearnóg 1 2 3 4 5

An líon cipíní 4 7

(i) Cé mhéad cipín a theastaíonn don 6ú patrún? (ii) Faigh slonn in n don líon cipíní san nú patrún. (iii) Úsáid an slonn a fuair tú chun an líon cipíní a theastaíonn don 50ú patrún a fháil

amach.

4. Seo patrún a rinneadh as cipíní.

Patrún 1 Patrún 2 Patrún 3

(i) Cé mhéad cipín a bheidh i bPatrún 5? (ii) Faigh slonn don líon cipíní san nú patrún. (iii) Cén patrún a úsáideann 51 cipín?

5. Seo patrún eile a rinneadh as cipíní.


(i) Cé mhéad cipín a bheidh i bpatrún 4? (ii) Céard é an riail ‘téarma go téarma’ don phatrún? (iii) Cé mhéad cipín a bheidh san nú patrún? (iv) Cén patrún a úsáidfidh 66 cipín glan? (v) An úsáidfidh aon phatrún 88 cipín glan?

6. Tharraing Síofra na cruthanna seo

Cruth 1 Cruth 2 Cruth 3

ar an mballa ina seomra leapa.

(i) Tarraing cruth 4. (ii) Cóipeáil agus críochnaigh

an tábla seo. (iii) Déan cur síos i bhfocail

ar an seicheamh a dhéantar.

Uimhir an chrutha 1 2 3 4 5

Líon iomlán na gciorcal 5 9

369

(iv) Faigh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh. (v) Cén cruth a úsáidfidh 81 ciorcal glan? (vi) An mbeidh 89 ciorcal glan i gcruth ar bith?

7. Tógann Tomás sconsaí d’fhaid dhifriúla le píosaí adhmaid.

Fad sconsa 1 Fad sconsa 2 Fad sconsa 3

(i) Tarraing sceitse d’fhad sconsa 5. Chomhair Tomás an líon píosaí a theastaigh uaidh chun gach fad sconsa a thógáil. Tharraing sé an tábla thíos ansin.

Fad an sconsa 1 2 3 4 5 6

An líon píosaí 4 7 10

(ii) Críochnaigh an tábla chun an líon píosaí adhmaid a d’úsáidfeadh sé d’fhaid sconsa 4, 5 agus 6 a thaispeáint.

(iii) Scríobh síos, i dtéarmaí n, slonn don líon píosaí adhmaid a theastódh d’fhad sconsa n.

(iv) Cé mhéad píosa adhmaid a theastódh d’fhad sconsa 40? (v) Dá dteastódh 91 píosa adhmaid, cén fad sconsa é sin?

Mír 18.6 Seichimh chearnacha Seicheamh d’uimhreacha cearnacha é 1, 4, 9, 16, 25, … .Ó tharla go bhfuil T1 5 12, T2 5 22, T3 5 32, Tn 5 n2.

Seichimh chearnacha a thugtar ar sheichimh a bhfuil nú téarma acu arb é n2 an chumhacht is airde dó.

Scrúdaímis an chéad seacht dtéarma den seicheamh Tn 5 n2.1 4

3

9

5

16

7

25

9

36

11

49

13 an chéad difríocht

22222 an dara difríocht

Tabhair faoi deara go mbíonn an dara difríocht tairiseach i gcónaí, i.e. 2.Bíonn an dara difríocht tairiseach i gcónaí i seichimh chearnacha.

Anois breathnóimid ar an seicheamh ina bhfuil an nú téarma 5 2n2 - n.Is iad an chéad chúig théarma den seicheamh seo:

1 6

5

15

9

28

13

45

17 an chéad difríocht

444 an dara difríocht

Tá na dara difríochtaí ar fad mar an gcéanna anseo freisin, i.e., 4.

370

Tabhair faoi deara i ngach ceann de na seichimh chearnacha thuas go bhfuil comhéifeacht n2 san nú téarma cothrom le leath an dara difríocht.

ImscrúdúScríobh síos an chéad chúig théarma den seicheamh ina bhfuil Tn 5 2n2 1 3.Scríobh síos na chéad difríochtaí agus na dara difríochtaí idir théarmaí leantacha.Imscrúdaigh an bhfuil comhéifeacht n2 san nú téarma cothrom le leath an dara difríocht.

An nú téarma de sheicheamh cearnach a fháil Beidh an nú téarma de sheicheamh cearnach san fhoirm seo i gcónaí:

Tn 5 an2 1 bn 1 c

Anois úsáidfimid tábla difríochtaí chun luach a, b agus c a fháil, mar a léirítear sa sampla seo a leanas.

Sampla 1

Faigh an nú téarma den seicheamh 3, 10, 21, 36.

Taispeántar na téarmaí agus na chéad agus na dara difríochtaí ar dheis.

Beidh Tn san fhoirm Tn 5 an2 1 bn 1 ca 5 2 … leath luach an dara difríocht, i.e., 4 4 2.

Tn 5 2n2 1 bn 1 c

Anois sloinnimid T1 agus T2 i dtéarmaí b agus c.Tn 5 2n2 1 bn 1 c ⇒ T1 5 2 1 b 1 cAch tá T1 5 3 ⇒ 2 1 b 1 c 5 3 ⇒ b 1 c 5 1 … 1

T2 5 8 1 2b 1 cAch tá T2 5 10 ⇒ 8 1 2b 1 c 5 10 ⇒ 2b 1 c 5 2 … 2

Anois réitímid na cothromóidí comhuaineacha 1 agus 2 .

b 1 c 5 1 … 1 b 1 c 5 1 2b 1 c 5 2 … 2 ⇒ 1 1 c 5 1 2b 5 21 ⇒ b 5 1 ⇒ c 5 0

Tn 5 2n2 1 n … a 5 2, b 5 1, c 5 0

I seicheamh cearnach, bíonn comhéifeacht n2 san nú téarma cothrom le leath an dara difríocht.

Téarmaí 3 10 21 36

Na chéad difríochtaí 7 11 15

Na dara difríochtaí 4 4

371

Cleachtadh 18.6 1. Oibrigh amach an chéad cheithre théarma de na seichimh chearnacha seo a leanas:

(i) Tn 5 n2 1 4 (ii) Tn 5 n2 2 2 (iii) Tn 5 2n2 2 1 (iv) Tn 5 3n2 2 4

2. Faigh an chéad dá théarma eile de na seichimh chearnacha seo ach na chéad agus dara difríochtaí a fháil:

(i) 3, 4, 6, 9, 13, … (ii) 3, 6, 11, 18, 27, … (iii) 2, 7, 14, 23, 34, …

3. Cé acu de na seichimh seo atá cearnach?

(i) 6, 8, 12, 18, 26, 36, … (ii) 6, 8, 10, 12, 14, 16, … (iii) 3, 4, 7, 12, 19, 28, … (iv) 0, 3, 8, 15, 24, …

4. Má tá Tn 5 n2 1 2n 2 4, oibrigh amach an deichiú téarma.

5. Féadfaidh luach an dara difríocht rud éigin a insint dúinn faoin bhfoirmle don nú téarma i seicheamh cearnach. (i) Cóipeáil agus críochnaigh an tábla seo.

nú téarma An chéad chúig théarma Na chéad difríochtaí Na dara difríochtaí2n2 2, 8, 18, 32, 50, … 6, 10, 14, 18, … 4, 4, 4, …

3n2 3, 12, —, —, —, —, …

4n2 4, —, —, —, —, —, …

5n2 5, —, —, —, —, —, …

(ii) Céard a thugann tú faoi deara faoin dara difríocht agus an bhaint idir í agus foirmle na cothromóide cearnaí do gach seicheamh?

(iii) Más é 12 an dara difríocht i seicheamh cearnach, agus má tá Tn 5 an2 1 bn, faigh an luach ar a.

6. Scríobh an seicheamh 4, 7, 12, 19, 28, … mar seo a leanas

4 7 12 19 28 – – – – an chéad difríocht

– – – an dara difríocht

Má tá Tn 5 an2 1 bn 1 c, úsáid an dara difríocht chun an luach ar a a scríobh síos. Uaidh sin faigh an slonn do Tn.

7. Faigh slonn don nú téarma de na seichimh chearnacha seo a leanas:

(i) 7, 10, 15, 22, 31, … (ii) 2, 7, 14, 23, … (iii) 2, 8, 18, 32, 50, …

8. Taispeáin go dtugtar an nú téarma den seicheamh cearnach 8, 15, 26, 41, 60, … le Tn 5 2n2 1 n 1 5.

372

9. Taispeántar patrún

4

3

2

1

tíleanna cearnacha sna fíoracha thall.

(i) Cé mhéad tíl a bheidh sa chúigiú patrún? (ii) Mínigh cén fáth nach ndéanann líon na dtíleanna sa phatrún seicheamh líneach. (iii) An seicheamh cearnach é seicheamh na dtíleanna?

Mínigh do fhreagra. (iv) Úsáid na dara difríochtaí chun slonn a fháil le haghaidh an nú téarma den seicheamh. (v) Úsáid an slonn don nú téarma a fuair tú chun líon na dtíleanna san fhichiú patrún a

fháil.

10. Seo an chéad 3 léaráid

Léaráid 1 Léaráid 2 Léaráid 3

de phatrún cipíní. (i) Cé mhéad cipín a bheidh

i Léaráid 4? (ii) Úsáid an seicheamh a

rinneadh chun líon na gcipíní i Léaráid 5 a scríobh síos.

(iii) Mínigh an fáth ar seicheamh cearnach é seo. (iv) Faigh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh. (v) Úsáid an nú téarma chun líon na gcipíní i Léaráid 10 a fháil.

Mír 18.7 Seichimh a ghrafadh 1. Seichimh líneacha

Patrún líneach é seo: 1, 4, 7, 10, 13, …Feicimid go bhfuil T1 5 1, T2 5 4, T3 5 7, …

Is féidir iad seo a scríobh mar ordphéirí mar seo a leanas:(T1, 1), (T2, 4), (T3, 7), (T4, 10), …

Ar dheis, bhreacamar na téarmaí ar an

2

6

10

14

4

8

12

O T1

T2

T3

T4

ais chothrománach agus luachanna na dtéarmaí ar an ais cheartingearach. Nuair a bhreactar an téarma agus a luach agus nuair a nasctar na pointí, déantar líne dhíreach.

Sin an fáth a dtugtar seicheamh líneach air.

373

2. Seichimh chearnachaSeicheamh cearnach é seo: 3, 4, 6, 9, 13, …

Tosóimid ag breacadh na n-ordphéirí seo 8

2

4

6

O T1

T2

T3

T4

(T1, 3), (T2, 4), (T3, 6), (T4, 9), (T5, 13) – ar ghraf.

Nuair a nasctar na pointí, tá an cuar a dhéantar ina chuid de ghraf cearnach.

Bíonn cruth an ghraif chearnaigh cosúil le ceann den dá chruth ar dheis.

3. Seichimh easpónantúlaCineál speisialta seichimh a dhéantar i gcumhacht 2 é seo:

21, 22, 23, 24, 25, … or 2, 4, 8, 16, 32, …

Tabhair faoi deara go méadaíonn luach na dtéarmaí go tapa.

Sampla é seo de sheicheamh easpónantúil.

Má tá Tn 5 3n, is é seo an seicheamh:

31, 32, 33, 34, 35, … nó 3, 9, 27, 81, 243, …

Sa ghnáthchaint, deirtear fás easpónantúil chun ‘fás an-tapa’ a chur in iúl.

Nuair a bhreactar an seicheamh 2, 4, 8, 16, … ar ghraf, feictear fána an chuair ag ardú go géar.

Focal eile ar chumhacht is ea easpónant.

16

4

8

12

O T1 T2 T3 T4

374

Sampla 1

Seo an struchtúr táillí atá in úsáid ag dhá chomhlacht tacsaithe.

Tá táille sheasta �4 móide �2 in aghaidh an chiliméadair ag Comhlacht A.Níl táille sheasta ar bith ag Comhlacht B ach gearrann siad �2.50 in aghaidh an chiliméadair a thiomáintear.

Tarraing graf chun táillí an dá chomhlacht seo a léiriú.Cuir na táillí ar an x-ais agus na faid ar an y-ais.Úsáid do ghraf chun na ceisteanna seo a fhreagairt:

(i) Cé mhéad a ghearrann Comhlacht A ar thuras 10 km? (ii) Cá fhad a d’fhéadfá taisteal le Comhlacht B ar �16? (iii) Cá fhad a ghearrann an dá chomhlacht an méid céanna? (iv) Céard é an difríocht idir a dtáillí nuair a thiomáintear 4 km?

Faigh fána na líne a sheasann do Chomhlacht B agus mínigh a brí.

Leagaimid tábla amach do tháillí an dá chomhlacht.

A Fad (km) 0 1 2 3

Costas (�) 4 6 8 10 B Fad (km) 0 1 2 3

Costas (�) 0 2.5 5 7.5

Anois breacaimid na táillí seo ar an ngraf céanna.

€ 16

Táill

e

Fad in km

€ 20

€ 24

€ 4

€ 8

€ 12

O 2 4

4

10

AB

6 8 10 12 14

(i) Gearrann Comhlacht A �24 ar thuras 10 km. (ii) D’fhéadfá taisteal 6.4 km le Comhlacht B ar �16. (iii) Tá an dá tháille cothrom san áit a dtrasnaíonn na línte a chéile.

Tarlaíonn sé seo ag 8 km.

375

(iv) Do 4 km, gearrann Comhlacht A �12.Do 4 km, gearrann Comhlacht B �10.Is é �2 an difríocht sna táillí.

Is é 10 __ 4 fána na líne B, mar a thaispeántar ar an ngraf.

10 __ 4 5 5 _ 2 5 2 1 _ 2 agus is é �2 1 _ 2 an táille do 1 km a thiomáintear.

Dá bhrí sin, is í fána na líne B an táille in euro do 1 km a thiomáintear.

Cleachtadh 18.7 1. Taispeántar sa tábla ar dheis an chéad

cheithre théarma de sheicheamh agus luachanna na dtéarmaí sin. Cuir na téarmaí ar an ais chothrománach agus na luachanna ar an ais cheartingearach agus tarraing graf an tseichimh. Mínigh an fáth ar seicheamh líneach é.

2. Má tá Tn 5 2n 1 1, scríobh amach an chéad chúig théarma den seicheamh. Cuir na huimhreacha téarma ar an ais chothrománach agus léirigh an seicheamh seo ar ghraf. Mínigh an fáth ar líne dhíreach an graf.

3. Taispeántar sa ghraf ar dheis

120

Táill

e (in

€)

Am (in uaireanta an chloig)

150

30

60

90

O 1 2 3 4 5

táillí pluiméara nuair a iarrtar air coire a dheisiú.

(i) Céard é an chéad táille, an táille 'glaoch amach'? (ii) Cé mhéad a ghearrann sé ar jab a mhaireann 3 1 _ 2 uair an chloig? (iii) Má ghearrann sé �135, cé mhéad uair an chloig a d’oibrigh sé? (iv) An ionann a tháillí agus seicheamh líneach? Mínigh an tátal a bhain tú as na sonraí. (v) Úsáid an graf chun an méid a ghearrann

an pluiméir ar gach uair an chloig oibre (i.e. gan an táille 'glaoch amach' san áireamh) a oibriú amach.

(vi) Imscrúdaigh an bhfuil fána na líne mar an gcéanna leis an ráta a ghearrann sé ar gach uair an chloig oibre.

(vii) Má mhair an obair 10 n-uair an chloig, úsáid an seicheamh chun an táille a oibriú amach.

Téarma 1 2 3 4

Luach 4 7 10 13

376

4. Taispeántar sa tábla ar dheis na suimeanna iomlána airgid atá coigilte ag Cara ag deireadh sheachtain 1, 2, 3, …. Cuir uimhir na seachtaine ar an x-ais agus ansin tarraing graf chun an coigilteas seo a léiriú.

(i) An graf líneach é? (ii) Úsáid an patrún chun an tsuim a bheidh

coigilte aici faoi dheireadh an 12ú seachtain a oibriú amach.

(iii) Faigh cothromóid na líne a tharraing tú. (iv) Úsáid an chothromóid chun an tsuim a bheidh coigilte ag Cara faoi dheireadh

an 20ú seachtain a oibriú amach.

5. Patrún é seo a dhéantar as ciúbanna. Tá péint ar aghaidheanna seachtracha na gciúbanna i ngach bloc.

Taispeántar sa tábla thíos an líon aghaidheanna péinteáilte i ngach bloc.

Uimhir an bhloic (n) 1 2 3 4

Líon na n-aghaidheanna péinteáilte 6 10 14 18

(i) Mínigh an fáth ar seiceamh líneach é an seicheamh a dhéanann líon na n-aghaidheanna péinteáilte.

(ii) Anois faigh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh. (iii) Cuir uimhreacha na mbloc ar an ais chothrománach agus tarraing graf den

seicheamh.

6. Bhí planda a fhásann go tapa 4 cm ar airde nuair a ceannaíodh é. D’fhás sé 2 cm in aghaidh an lae gach lá ina dhiaidh sin. Cóipeáil agus críochnaigh an tábla ar dheis a léiríonn airde an phlanda ina chéad seacht lá. (i) Tarraing graf a léiríonn airde an phlanda do

Lá 1 …… Lá 7. (ii) Cé mhéad lá a thógfaidh sé ar an bplanda fás go 30 cm? (iii) Stopfaidh an planda de bheith ag fás nuair a bheidh sé 60 cm ar airde.

Cé mhéad lá a thógfaidh sé sin? (iv) Céard é fána na líne a tharraing tú? (v) Céard é ráta an athraithe fáis in aghaidh an lae sa tábla? (vi) Céard é an nasc idir do fhreagraí ar (iv) agus ar (v) thuas?

Uimhir na seachtaine

Suim choigilte

1 �10

2 �20

3 �30

4 �40

5 �50…… ……

Lá Airde (cm)1 4

2 6

3 8…… ……

377

7. Léirítear sa phatrún agus sa tábla thíos líon na gciumhaiseanna agus líon na heicseagán i gcás gach ceann de na léaráidí:

Líon na heicseagán (n) 1 2 3 4

Líon na gciumhaiseanna (E) 6 11 16 21

(i) Faigh líon na gciumhaiseanna nuair atá 5 heicseagán ann. (ii) Mínigh an fáth ar patrún líneach é an patrún atá ag líon na gciumhaiseanna. (iii) Faigh slonn don nú téarma den seicheamh 6, 11, 16, … (iv) Cuir líon na heicseagán ar an ais chothrománach agus tarraing graf den phatrún. (v) Faigh cothromóid na líne a tharraing tú san fhoirm E 5 n 1 . (vi) Céard é fána na líne sin? (vii) Mínigh a bhfuil i gceist leis an bhfána i gcomhthéacs an phatrúin.

8. Tosaíonn seicheamh uimhreacha le 4, 7, 12, 19, 28, …

(i) Mínigh an fáth ar patrún cearnach é seo. (ii) Céard é an dara difríocht idir na téarmaí? (iii) Tarraing graf den phatrún seo leis

10

20

30

O T1

T2

T3

T4

T5

tna scálaí a thaispeántar ar dheis.

(iv) Déan cur síos ar chruth an ghraif.

9. Seo an chéad trí théarma de sheicheamh easpónantúil:

3, 9, 27, …

(i) Scríobh síos an chéad trí théarma eile. (ii) Imscrúdaigh an bhfuil an dara difríocht ina thairiseach. (iii) Mínigh an fáth nach seicheamh cearnach é. (iv) Déan cur síos ar ghné amháin de ghraf easpónantúil.

10. Seo trí ghraf agus trí

4

8

12

16

20

241

O T1

T2

T3

T4

T5

T6

2

3

sheicheamh.

Cén seicheamh a léiríonn gach graf?

A: 2, 4, 8, 16, …

B: 3, 6, 10, 15, 21, …

C: 2, 5, 8, 11, …

378

Cuir triail ort féin 18 1. (a) Déan cur síos i bhfocail ar na trí sheicheamh seo a leanas:

(i) 3, 7, 11, 15, … (ii) 21, 23, 25, 27, … (iii) 3, 6, 12, …

(b) Scríobh síos an chéad trí théarma de na seichimh seo a leanas, nuair is é Tn an nú téarma: (i) Tn 5 3n 1 1 (ii) Tn 5 1 2 2n (iii) Tn 5 2n2 2 1

(c) Breathnaigh ar sheicheamh na bpatrún triantán seo:

(i) Tarraing an chéad triantán eile sa seicheamh. (ii) Cé mhéad ciorcal a bheidh sa 5ú patrún? (iii) Faigh slonn le haghaidh an nú téarma don seicheamh seo. (iv) Úsáid an slonn don nú téarma chun a fháil amach cén patrún ag a bhfuil

63 ciorcal.

2. (a) Scríobh síos an chéad trí théarma eile de na seichimh seo: (i) 7, 4, 1, 22, … (ii) 40, 20, 10, … (iii) 1, 2, 4, 7, 11, …

(b) Patrún athfhillteach de thíleanna daite é seo:

…

(i) Cé na dathanna atá ar an gcéad dá thíl eile? (ii) Scríobh síos an seicheamh a dhéanann ionaid na dtíleanna buí sa phatrún. (iii) Cén t-ionad ina bhfuil an 10ú tíl bhuí? (iv) Cén dath atá ar an 72ú tíl?

(c) (i) Scríobh síos an chéad trí théarma den seicheamh má thugtar a nú téarma le Tn 5 2n2 1 2.

(ii) Is iad 2, 5, 10, 17, 26, … an chéad chúig théarma de sheicheamh. Oibrigh amach an dara difríocht idir na téarmaí. Mínigh an fáth ar seicheamh cearnach é.

3. (a) Tá ceann amháin de na seichimh seo a leanas líneach. Cé acu ceann? (i) 6, 4, 0, … (ii) 23, 21, 3, 5, … (iii) 25, 23, 21, 1, …

(b) Breathnaigh ar na cruthanna seo a rinneadh as cipíní.

(i) Cóipeáil agus críochnaigh an tábla thíos:

Uimhir an chrutha 1 2 3 4 5

Líon cipíní 5 9 … … …

(ii) Cé mhéad cipín atá i gCruth 7? (iii) Faigh slonn don líon cipíní i gCruth n? (iv) Cén cruth a úsáideann 101 cipín glan?

4. (a) Cén uimhir a théann sa bhosca sna seichimh seo a leanas:

(i) 10, 7, 4, 1, , … (ii) 22, 1, , 7, …

(iii) 81, 27, , 3, … (iv) 3, 5, 9, , 23, …

(b) Is iad an chéad cheithre théarma i seicheamh 4, 7, 10, 13, … (i) Mínigh an fáth ar seicheamh líneach é. (ii) Faigh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh. (iii) Úsáid an slonn a fuair tú chun an 40ú téarma den seicheamh a oibriú amach.

(c) Is é 12 an chéad téarma i seicheamh cearnach. Is é 3 an chéad 1ú difríocht agus is é 2 an dara difríocht. Scríobh síos an chéad sé théarma den seicheamh.

5. (a) Tugtar an chéad dá théarma agus an riail ‘téarma go téarma’ do na seichimh seo a leanas. Scríobh síos an chéad trí théarma eile sna seichimh: (i) 1, 3, … Dúbail an téarma roimhe agus cuir 1 leis. (ii) 1, 3, … Iolraigh an téarma roimhe faoi 4 agus dealaigh 1. (iii) 1, 3, … Suimigh an dá théarma roimhe le chéile.

5 chipín 9 gcipín

379

(b) Rinne Treasa an patrún seo as cnaipí timpeall ar fháithim a gúna.


Uimhir an phatrúin 1 2 3 4 …

Líon na gcnaipí 4 7 10 ? …

(i) Tarraing patrún 4. Cé mhéad cnaipe atá i bpatrún 4?

(ii) Déan cur síos ar an bpatrún agus ar an gcaoi a leanann sé ar aghaidh. (iii) Faigh slonn don líon cnaipí san nú patrún. (iv) Úsáid an slonn chun a fháil amach cén patrún a úsáideann 25 cnaipe.

(c) Is iad 2, 6, 12, 20, … an chéad cheithre théarma i seicheamh cearnach. (i) Oibrigh amach an dara difríocht idir na téarmaí. (ii) Úsáid an dara difríocht seo chun slonn a fháil le haghaidh an nú téarma den

seicheamh.

6. (a) (i) Scríobh an chéad dá théarma eile sa seicheamh: 4, 5, 7, 10, 14, … (ii) Déan cur síos i bhfocail ar an seicheamh seo: 2, 6, 18, 54, …

(b) Is iad an chéad dá théarma i seicheamh 3, 9, …. (i) Más seicheamh líneach é, scríobh síos an chéad trí théarma eile. (ii) Más seicheamh cearnach é, scríobh síos an chéad trí théarma eile a

d’fhéadfadh a bheith ann. (iii) Más seicheamh easpónantúil é, scríobh síos an chéad trí théarma eile. (iv) Dá dtarraingeofaí graif na seicheamh seo, cén graf is tapa a d’ardódh? (v) Mínigh an fáth a bhfuil níos mó ná seicheamh cearnach amháin ann a

shásaíonn an patrún 3, 6, ….

(c) Tosaíonn cineál áirithe baictéir mar chill singil agus fásann sé trí dhúbailt.

Céim 11 chill

Céim 22 chill

Céim 34 chill

Céim 48 gcill

(i) Cé mhéad cill a bheidh i gcéim 6? (ii) Tar éis staidéar a dhéanamh ar an bpatrún, scríobh síos slonn in n do líon na

gceall i gcéim n.

380

381

Mír 19.1 Feidhmeanna Faightear gach téarma sa seicheamh uimhreacha thíos ach 4 a chur leis an téarma a tháinig roimhe:3 7

�4

11

�4

15

�4

19

�4 … Is í ‘Cuir 4 leis’ an riail chun an chéad téarma eile a fháil.

Anois, féach ar an seicheamh seo:

2 6

�3

18

�3

54

�3 … Is é ‘Iolraigh faoi 3’ an riail anseo.

Is é 54 3 3, i.e. 162, an chéad uimhir eile sa seicheamh.Má chuirimid an oibríocht ‘X 3’ i bhfeidhm ar 54, gheobhaimid 162.Tugtar an téarma ionchur ar 54 agus aschur ar 162.

Léiríonn an slabhra léaráidí thíos conas is féidir linn inneall feidhme nó sreabhchairt a úsáid chun an t-aschur a fháil má thugtar an t-ionchur dúinn.

(i) Más é 7 an t-ionchur, is é 7 3 4 + 1 5 29 an t-aschur.

(ii) (iii)

Má thugaimid x ar an uimhir ionchuir agus y ar an uimhir aschuir, is féidir linn an ‘riail’ a scríobh i dtéarmaí x agus y.

x yiolraigh

faoi 3cuir 2

leis

Is é an riail a bhaineann leis an inneall feidhme seo ná ‘iolraigh faoi 3, ansin cuir 2 leis’.Is féidir é seo a scríobh mar x 3 3 + 2 5 y nó y 5 3x + 2.

7 29iolraigh

faoi 4cuir 1

leis

4 18iolraigh

faoi 3cuir 6

leis 5 11iolraigh

faoi 3dealaigh

4

Focail thábhachtachaionchur aschur inneall feidhme léaráidí mapála fearannraon feidhm comhfhearann cúplaí ordphéirí parabóilcomhéifeacht feidhmeanna cearnacha

caibi

dil

19Feidhmeanna

382

Seo thíos na rialacha a bhaineann leis na hinnill feidhme seo:

(i) Riail: y 5 2x 1 4

(ii) Riail: y 5 8x 2 7

Is féidir an riail y 5 2x + 4 a scríobh mar seo freisin: x → 2x 1 4.

Cleachtadh 19.1 1. Faigh an t-aschur i ngach cás anseo:

(i) (ii)

(iii) (iv)

(v) (vi)

2. Déan cur síos i bhfocail ar thoradh gach ceann de na hinnill feidhme ar an ionchur i gCeist 1. thuas.

3. Faigh an t-aschuir i ngach cás díobh seo:

(i) (ii)

4. Is inneall feidhme é

Déan cóip den tábla seo agus líon isteach na luachanna ar y.

Scríobh i bhfocail toradh an innill feidhme seo.

5. Scríobh rialacha na n-inneall feidhme seo mar y 5 …

(i) (ii)

(iii) (iv)

x yiolraigh

faoi 2cuir 4

leis

x yiolraigh

faoi 8dealaigh

7

8 …dealaigh

6 4 …iolraigh

faoi 4

5 …iolraigh

faoi 2cuir 1

leis 3 …iolraigh

faoi 3dealaigh

4

6 …roinn

ar 2cuir 3

leisiolraigh

faoi 3dealaigh

510 …

8 …7 …3 …dealaigh

4iolraigh

faoi 20 …1 …2 …iolraigh

faoi 2cuir 4

leis

x yiolraigh

faoi 3cuir 2

leis

x 1 2 3 4 5

y

x yiolraigh

faoi 2cuir 6

leisdealaigh

9x yiolraigh

faoi 8

dealaigh3

roinnar 4x y x y

iolraigh faoi 4

cuir 3leis

383

6. Scríobh rialacha na n-inneall feidhme seo san fhoirm x → …

(i) (ii)

(iii) (iv)

7. Aimsigh an oibríocht atá in easnamh i ngach ceann díobh seo:

(i) (ii) (iii)

8. Aimsigh na hoibríochtaí atá in easnamh sna hinnill feidhme seo:

(i) (ii)

(iii) (iv)

9. Scríobh síos na huimhreacha a chuaigh isteach i ngach ceann de na hinnill feidhme seo.

(i) (ii)

(iii) (iv)

Mír 19.2 Léaráidí mapála

Féach ar an inneall feidhme seo: ……iolraigh

faoi 3dealaigh

4

Ionchuirfimid gach uimhir ón tacar {1, 3, 5, 7, 9}.

Is iad na huimhreacha aschuir: {21, 5, 11, 17, 23}.

An fearann a thugtar ar thacar na n-uimhreacha ionchuir.

An raon a thugtar ar thacar na n-uimhreacha aschuir.

x yiolraigh

faoi 3cuir 2

leisdealaigh

2x yiolraigh

faoi 5

roinnar 3x y

cuir 2leis x y

iolraigh faoi 7

cuir 2leis

853

402515

?15

19

19513

?100

1624

2546

?

123

iolraigh faoi 2

135

?510

iolraigh faoi 3

1641

?

614

iolraigh faoi 3

16110

?321

753

??

???

iolraigh faoi 3

21159

9126

???

dealaigh4

???

iolraigh faoi 2

cuir 1leis

411711

???

iolraigh faoi 3

dealaigh1

292311

384

Is féidir na huimhreacha ionchuir agus na huimhreacha aschuir a léiriú ar shórt speisialta léaráide ar a dtugtar léaráid mhapála. Mapáiltear gach uimhir ionchuir ar a huimhir aschuir.

�1

5

11

17

23

1

3

5

7

9

Uimhreachaaschuir(Raon)

Uimhreacha ionchuir (Fearann)

Sa léaráid mhapála thuas, tabhair faoi deara nach bhfuil ach aon uimhir aschuir amháin in aghaidh gach uimhreach ionchuir.

An focal feidhm a úsáidimid sa mhatamaitic ar riail ar bith nach mbíonn de thoradh air ach luach aschuir amháin in aghaidh gach luacha ionchuir.

Nodaireacht feidhme Féach ar an riail seo d’fheidhm: “Dúbail an uimhir agus cuir 4 léi.”Má ionchuirimid x, is é 2x + 4 an t-aschur.Is féidir riail na feidhme seo a scríobh in aon cheann de na trí bhealach seo:

(i) f(x) 5 2x 1 4 (ii) f: x → 2x 1 4 (iii) y 5 2x 1 4.

Más é 3 an t-ionchur, tá a fhios againn ó na trí nodaireacht sin gurb ionann an t-aschur (2x + 4) agus [(2 3 3) + 4], i.e. 10.Is féidir é sin a scríobh mar f(3) 5 10.

An comhfhearann Féach an dá thacar A 5 {1, 2, 3} agus B 5 {1, 3, 5, 7, 9, 11}.Má iarrtar orainn cúplaí na feidhme f: x → 2x 2 1, a liostú, ach na huimhreacha ionchuir a theacht ó thacar A agus na huimhreacha aschuir a theacht ó thacar B, d’fhéadfaimis léaráid mhapála mar seo a chruthú:

Is iad (1, 1), (2, 3) agus (3, 5) na cúplaí.

An fearann a thugtar ar thacar A, i.e. {1, 2, 3}.

Is é {1, 3, 5} an raon.

An comhfhearann a thugtar ar thacar B, is é sin, tacar na n-aschur féideartha.

an comhfhearann 5 {1, 3, 5, 7, 9, 11}.

1

x

1

BA2x � 1

357911

2

3

An fearann a thugtar ar thacar na n-ionchur.An raon a thugtar ar thacar na n-aschur.An comhfhearann a thugtar ar thacar na n-aschur féideartha.

385

Sampla 1Mar seo a shainítear feidhm: f: x → 3x 2 2.Is é {0, 1, 2, 3, 4} fearann f.Léirigh f ar léaráid mhapála agus scríobh amach na cúplaí a ghintear.Cad é raon f ?

x 3x 2 2 f(x)0 0 2 2 22

1 3 2 2 1

2 6 2 2 4

3 9 2 2 7

4 12 2 2 10

Is iad na cúplaí ná: {(0, 22), (1, 1), (2, 4), (3, 7), (4, 10)}.

Is é an raon ná: {22, 1, 4, 7, 10}.

RaonFearann

0

1

2

3

4

�2

1

4

7

10

Feidhmeanna a aithint Nuair a léiríonn léaráid mhapála feidhm, ní dhéantar ball ar bith den fhearann a mhapáil ach ar aon bhall amháin den raon.

Féach ar an dá léaráid mhapála seo:

(i) (ii)

Ní feidhm í léaráid (i) mar gur ar dhá bhall éagsúla den raon a mhapáiltear an ball b.Is feidhm í léaráid (ii) mar nach mapáiltear ball ar bith den fhearann ach ar aon bhall amháin den raon.

Cúplaí Ón léaráid mhapála thuas, feictear gur féidir feidhm a scríobh mar thacar cúplaí nó ordphéirí, i.e. (ionchur, aschur).Nuair a scríobhtar feidhm mar thacar cúplaí, ní bheidh an t-ionchur céanna ag aon dá chúpla ar leith.

> Is feidhm é {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)} mar nach bhfuil an t-ionchur céanna ag aon dá chúpla.

> Ní feidhm é {(2, 7), (3, 8), (3, 9), (4, 12)} mar go bhfuil dhá aschur éagsúla ag an ionchur 3.

a d

b e

c f

1 1

2

�2

4

386

Cleachtadh 19.2 1. Úsáid an léaráid mhapála ar dheis chun iad seo a scríobh síos:

(i) an fearann (ii) an raon (iii) tacar na gcúplaí a rinneadh (iv) an riail a thugann na haschuir.

2. Déan cóip de na léaráidí mapála thíos agus comhlánaigh iad.Scríobh síos fearann agus raon gach feidhme díobh.

(i) (ii)

3. Maidir le gach ceann de na léaráidí mapála seo, abair an feidhm é.Tabhair cúis le do fhreagra i ngach cás.

(i) (ii)

(iii) (iv)

4. Cén fáth ar feidhm é an tacar cúplaí seo?

{(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.

5. Cén fáth nach feidhm é an tacar cúplaí seo?

{(2, 5), (3, 6), (5, 8), (2, 10)}.

1

2

4

5

7

3

6

4

7

9

Riail: Cuir 5 leis

1

2

3

4

Riail: x → 2x 1 1

2

4

6

8

10

3 7

4 9

5 11

6 13

a

b

c

d

e

f

g

3 9

5 17

7 14

9 20

p a

q b

r c

s d

387

6. Faigh amach an feidhm é gach ceann de na tacair chúplaí seo. Mura feidhm é, luaigh an fáth.

(i) {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)} (ii) {(22, 1), (21, 3), (22, 5), (1, 6), (2, 9)} (iii) {(23, 4), (0, 7), (2, 9), (4, 11)}

7. Taispeánann an léaráid x yiolraigh

faoi 2cuir 3

leis conas an t-aschur (y) a fháil d’aon ionchur (x).

Sloinn é seo san fhoirm y 5 …… .

Úsáid an fheidhm seo chun luachanna na n-aschur sa tábla ar dheis a aimsiú.

8. Maidir le gach ceann de na léaráidí mapála thíos, scríobh síos:

(i) an fearann (ii) an raon (iii) an comhfhearann.

(a) (b)

9. Is í an riail a bhaineann le feidhm ná ‘iolraigh faoi 2, ansin cuir 3 leis’.Más é {0, 1, 3, 5} fearann feidhme, scríobh síos

(i) an raon (ii) na cúplaí a ghintear.

10. Mar seo a shainítear an fheidhm f : x → 3x 2 1.Is é {1, 2, 4, 6} fearann na feidhme.Scríobh síos raon na feidhme.

11. Mar seo a shainítear an fheidhm f: f(x) 5 4x 2 5.Is é {-2, 0, 2, 4} fearann na feidhme.

(i) Cad é raon f? (ii) Scríobh f mar thacar cúplaí.

Ionchur (x) Aschur (y)1

2

3

4

5

0

1

3

5

3

4

5

6

8

�2

2

3

7

�426�349

388

12. Déan cóip den tábla seo.Líon isteach é don inneall feidhme thíos.

x y iolraigh

faoi 2cuir 7

leis

Scríobh an fheidhm san fhoirm y 5 …… .

13. Is inneall feidhme é seo:Scríobh an fheidhm san fhoirm y 5 …… .Más é 5 an t-ionchur, cad é an t-aschur?Úsáid riail na feidhme chun an t-ionchur a aimsiú más é 22 an t-aschur.

14. Déanann x y iolraigh

faoi 2cuir 4

leis cur síos ar fheidhm.

Déan cóip den tábla ar dheis agus líon isteach na huimhreacha ionchuir agus aschuir atá ar iarraidh.

15. Sna trí thábla thíos, tugtar uimhreacha áirithe ionchuir agus aschuir. Trí ‘thriail is earráid’ nó trí bhuille faoi thuairim a thabhairt, faigh riail gach feidhme i bhfoirm y 5 …… .

(i) Ionchur Aschur 3 2

7 10

5 6

11 18

(ii) Ionchur Aschur 1 5

3 11

5 17

10 32

(iii) Ionchur Aschur1 4

3 10

6 19

8 25

16. Sainíonn f: x → 6x 2 2 feidhm.Más cúplaí de f iad (2,a), (-4,b), (c, 16) agus (d, -14), oibrigh amach luach a, b, c agus d.

Mír 19.3 Nodaireacht feidhmeanna Chonaiceamar cheana gur féidir feidhm a scríobh ar aon cheann de na bealaí seo:

(i) f(x) 5 3x 2 2 (ii) f : x → 3x 2 2 (iii) y 5 3x 2 2

I ngach cás, is é (3x - 2) an t-aschur nuair is é x an t-ionchur.

Úsáidtear an nodaireacht f(3) chun an uimhir aschuir a léiriú nuair is é 3 an uimhir ionchuir.Má tá f(x) 5 3x 2 2, ansin f(3) 5 3(3) 2 2 5 9 2 2 5 7.Mar sin, f(3) 5 7.

Cé gur f(x) a úsáidtear go hiondúil chun cur síos a dhéanamh ar fheidhm, úsáidtear g(x) agus h(x) freisin nuair a bhímid ag plé le breis agus feidhm amháin.

x 1 2 3 4 5

y

x y iolraigh

faoi 4cuir 10

leis

Ionchur Aschur3

22

14

28

389

Sampla 1

Mar seo a shainítear feidhmeanna f agus g ar R a fhágann go bhfuil f : x → x 1 5 and g: x → x2 2 1.

Faigh (i) f(3) (ii) g(23) (iii) f(2k) (iv) f(k 1 1) (v) g(3k) (vi) g(k 1 1)

(i) f(x) 5 x 1 5 (ii) g(x) 5 x2 2 1 f(3) 5 3 1 5 g(23) 5 (23)2 2 1 5 8 5 9 2 1 5 8

(iii) f(x) 5 x 1 5 (iv) f(x) 5 x 1 5 f(2k) 5 2k 1 5 f(k 1 1) 5 (k 1 1) 1 5 5 k 1 6

(v) g(x) 5 x2 2 1 (vi) g(x) 5 x2 2 1 g(3k) 5 (3k)2 2 1 g(k 1 1) 5 (k 1 1)2 2 1 5 9k2 2 1 5 k2 1 2k 1 1 2 1 5 k2 1 2k

Sampla 2

Mar seo a shainítear feidhm f : x → 4x 2 5. (i) Faigh f(3) (ii) Faigh an luach ar k a fhágann go bhfuil kf(3) 5 f(10).

(i) f(x) 5 4x 2 5 (ii) f(3) 5 7 … ó (i)

f(3) 5 4(3) 2 5 kf(3) 5 7k 5 12 2 5 f(10) 5 4(10) 2 5 5 40 2 5 5 35 5 7 kf(3) 5 f(10) ⇒ 7k 5 35 k 5 5

Cleachtadh 19.3 1. Má tá f(x) 5 2x 2 3, faigh

(i) f(1) (ii) f(0) (iii) f(2) (iv) f(21) (v) f(23).

2. Má tá f(x) 5 4x 2 5, faigh (i) f(2) (ii) f(0) (iii) f(23) (iv) f (  1 _ 2 ) (v) f (  1 _ 4 ) .

3. Má tá f(x) 5 x2 2 3, faigh (i) f(0) (ii) f(1) (iii) f(2) (iv) f(22) (v) f(24).

390

4. Má tá f(x) 5 5 2 2x, faigh

(i) f(0) (ii) f(2) (iii) f(23) (iv) f( 2 1 _ 2 ) (v) f(k).

5. Má tá f(x) 5 5x 2 2, réitigh na cothromóidí a leanas:

(i) f(x) 5 8 (ii) f(x) 5 3 (iii) f(k) 5 212.

6. Má tá f(x) 5 3x 2 2 and g(x) 5 2 2 4x, réitigh na cothromóidí seo:

(i) f(x) 5 4 (ii) g(x) 5 210 (iii) g(x) 5 f(4).

7. Glac leis go bhfuil f(x) 5 5x 2 1, faigh

(i) f(23) (ii) f (  1 _ 5 ) (iii) f(k) (iv) f(2k) (v) f(2k 2 1).

8. Sainíonn f : x → 2 2 3x an fheidhm f.Faigh luach na huimhreach k má tá kf(3) 5 7f(2).

9. Má tá f(x) 5 2x 2 3 agus g(x) 5 3 2 5x, réitigh na cothromóidí seo:

(i) f(x) 5 7 (ii) g(x) 5 27 (iii) f(x) 5 g(23).

10. Mar seo a shainítear feidhm: f: x → 5x 2 7.

(i) Faigh f(4). (ii) Faigh an luach ar k a fhágann go bhfuil f(23) 5 kf(3).

11. Mar seo a shainítear an fheidhm f: x → 3x 2 4.Cad é an luach ar k a fhágann go bhfuil f(k) 1 f(2k) 5 0 ?

12. Sainíonn f : x → 4x agus g: x → x 1 1 dhá fheidhm.Má tá g(3) 1 k[f(3)] 5 8, faigh luach k.

13. Sainíonn f : x 5 2x2 2 1 agus g(x) 5 x 1 2 dhá fheidhm.réitigh na cothromóidí seo:

(i) f(x) 5 3 (ii) g(x) 5 f(3) (iii) f(x) 5 g(x).

14. Dhá fheidhm is ea h: x → 2x 1 a agus k: x → b 2 5x áit ar réaduimhreacha iad a agus b.Má tá h(1) 5 25 agus k(21) 5 4, faigh luach a agus luach b.

15. Mar seo a shainítear an fheidhm f(x) 5 1 1 2 __ x

.

(i) Faigh luach f(24) agus f (  1 _ 5 ) . (ii) Faigh an luach ar x a fhágann go bhfuil f(x) 5 2. (iii) Faigh an luach ar k má tá kf(2) 5 f (  1 _ 2 ) .

16. Sainíonn g(x) 5 1 2 4x feidhm. (i) Faigh g(k 1 1). (ii) Réitigh an chothromóid g(k 1 1) 5 g(23).

17. Glac leis go bhfuil f(x) 5 2x, faigh (i) f(4) (ii) f(22) (iii) an luach ar x a fhágann go bhfuil f(x) 5

√__

2 ___ 2

.

391

Mír 19.4 Comhéifeachtaí feidhme a fháil Foghlaimeoidh tú i gcaibidil eile conas graf feidhmef(x) 5 2x 1 4 nó f(x) 5 x2 1 2x 2 4 a tharraingt.

Léiríonn an fheidhm f(x) 5 2x 1 4 líne dhíreach.

Léiríonn an fheidhm f(x) 5 x2 1 2x 2 4 cruth cosúil leis an gceann ar dheis.Parabóil a thugtar ar an gcuar mín seo.

Féach ar an bhfeidhm f(x) 5 ax 1 b.Má deirtear linn go bhfuil (2, 4) ar an líne seo, is bealach eile é seo le rá go bhfuil f(2) 5 4.Ar an gcaoi chéanna, má tá (3, 0) ar an líne, tá f(3) 5 0.

Léiríonn an sampla a leanas conas comhéifeachtaí anaithnide feidhme a fháil nuair a thugtar roinnt cúplaí den fheidhm.

Sampla 1

Taispeánann an léaráid thíos roinnt den fheidhmy 5 ax 1 b.Faigh luach a agus b.

y

xO

(�1, 2)

(3, �2)

(3, 22) ∈ y 5 ax 1 b ⇒ 22 5 3a 1 b(21, 2) ∈ y 5 ax 1 b ⇒ 2 5 2a 1 b

Ó 1 : 3(21) 1 b 5 22 ⇒ 23 1 b 5 22 ⇒ b 5 1

a 5 21 agus b 5 1

i.e. 3a 1 b 5 22 … 1 i.e. 2a 1 b 5 2 … 2

dealaigh : 4a 5 24 ⇒ a 5 21

392

Feidhmeanna cearnacha Feidhm chearnach a thugtar ar fheidhm san fhoirm f(x) 5 x2 2 3x 1 2, ina bhfuil téarma in x2.

Sa léaráid ar dheis, léirítear cuar a thrasnaíonn an x-ais ag na pointí áit a bhfuil x 5 23 agus x 5 2.

Is iad na huimhreacha seo fréamhacha na cothromóide.

(x 1 3)(x 2 2) 5 0i.e. x2 1 x 2 6 5 0

Mar sin, is é cothromóid an chuair ná

f(x) 5 x2 1 x 2 6

Taispeántar graf na feidhme cearnaí f(x) 5 x2 1 bx 1 c.Faigh luach b agus c.Uaidh sin, scríobh síos comhordanáidí p agus q.

(21, 0) ∈ an cuar ⇒ f(21) 5 0f(21) 5 1 2 b 1 c ⇒ 1 2 b 1 c 5 0 ⇒ 2b 1 c 5 21… 1(4, 5) ∈ an cuar ⇒ f(4) 5 5f(4) 5 16 1 4b 1 c ⇒ 16 1 4b 1 c 5 5 ⇒ 4b 1 c 5 211… 2Anois, réitímid na cothromóidí 1 agus 21 : 2b 1 c 5 212 : 4b 1 c 5 211

25b 5 10 ⇒ b 5 22Ó 1 : 2 1 c 5 21 ⇒ c 5 23

b 5 22 agus c 5 23 i.e. f(x) 5 x2 2 2x 2 3.

Chun comhordanáidí p a fháil, réitímid an chothromóid f(x) 5 0.f(x) 5 0 ⇒ x2 2 2x 2 3 5 0 ⇒ (x 2 3)(x 1 1) 5 0 ⇒ x 5 3 or x 5 21

is iad (3, 0) comhordanáidí p

Chun comhordanáidí an phointe ag a dtrasnaíonn cuar an y-ais a fháil, bíodh x 5 0.x 5 0 ⇒ f(x) 5 0 2 0 2 3 i.e. f(x) 5 23 ⇒ y 5 23

is iad (0, 23) cothromóidí q.

Sampla 2

y

xO�3 2

y

xO(�1, 0)

(4, 5)

p

q

393

Cleachtadh 19.4 1. Is feidhm é f(x) 5 3x 1 k.

Má tá f(4) 5 10, faigh luach k.

2. Más cúpla den fheidhm f(x) 5 kx 1 4 é (1, 5), faigh luach k.

3. Is feidhm é f(x) 5 ax 2 6.

Má tá f(2) 5 22, faigh luach a.

4. Is feidhm é f : x → x2 2 2x 1 k.

Más cúpla den fheidhm é (1, 2), faigh luach k.

5. Is pointe é (-3, 2) ar an líne y 5 ax 1 11. Faigh luach a.

6. Is feidhm é f(x) 5 kx2 1 3.

Más cúpla den fheidhm seo é (-1, 1), faigh luach k.

7. Léirítear graf na feidhme líní

f(x) 5 ax 1 b ar dheis.

Faigh luachanna a agus b.

8. Sainítear feidhm f mar f : x → 2x 2 1.

Má sheasann an léaráid mhapála ar dheis do f, faigh luachanna a, b agus c.

9. Sainíonn g: x → ax2 1 bx 1 1 feidhm.

Má tá g(1) 5 0 agus g(2) 5 3, scríobh síos dhá chothromóid in a agus b.Réitigh na cothromóidí seo chun luachanna a agus b a fháil.

10. Mar seo a shainítear feidhm: f : x → ax2 1 bx 1 1.

Má tá f(1) 5 0 agus f(21) 5 0, faigh luach a agus luach b.

11. Sainíonn f : x → x2 1 px 1 q feidhm.

Glac leis go bhfuil f(3) 5 4 agus f(21) 5 4, faigh luachanna p agus q.Úsáid na luachanna seo ar p agus q chun an chothromóid x2 1 px 1 q 5 0 a réiteach.

O(3, �2)

(0, 4)

y

x

f

4 a

b 9

�3 c

394

12. Tá graf na feidhme f(x) 5 x2 1 bx 1 c ar dheis.

(i) Úsáid f(0) chun luach c a fháil. (ii) Úsáid an graf chun cothromóid eile in b agus c

a fháil.Úsáid an chothromóid seo agus an luach ar c a fuair tú i gcuid (i) chun luach b a fháil.

(iii) Úsáid na luachanna seo ar b agus c, chun an chothromóid x2 1 bx 1 c 5 0 a réiteach agus comhordanáidí an phointe d a fháil.

13. Sainítear na feidhmeanna f agus g mar seo a leanas:

f : x → x2 1 1 agus g: x → ax 1 b áit ar tairisigh iad a agus b.Má tá f(0) 5 g(0) agus g(2) 5 15, faigh luachanna a agus b.

14. Taispeánann an léaráid cuid de ghraf na feidhme

f : x → x2 1 bx 1 c.

Is baill den fheidhm iad na cúplaí ainmnithe. (i) Faighluachanna b agus c. (ii) Más pointe é (2, y) ar an ngraf, faigh luach y.

15. Léiríonn an cuar ar dheis graf na feidhme

y 5 x2 1 2x 2 3.

Faigh comhordanáidí na bpointí a, b agus c.

16. Is dhá fheidhm iad f(x) 5 2x2 agus g(x) 5 3x 2 1.

Faigh (i) f(3) (ii) g(1) (iii) g (  1 _ 3 ) .

Má tá f(3) 5 kg(1), faigh k.

17. Glac leis go bhfuil f(x) 5 3x. Faigh

(i) f(4) (ii) f(22) (iii) f (  1 _ 2 ) (iv) an luach ar x a fhágann go bhfuil f(x) 5 √

__ 3 ___

3 .

y

xO

(0, �3)

d(�3, 0)

y

x

f(x)

O

(1, �3)

(0, �2)

y

xO

c

ab

Cuir triail ort féin 19 1. (a) Comhlánaigh na hordphéirí seo thíos agus uaidh sin tarraing graf na líne y 5 2x 2 4.

(22, …), (0, …), (2, …).

(b) Sainíonn f x → 5x 2 1 an fheidhm f.Más é {0, 1, 2, 3} fearann f, faigh raon f.

(c) Léiríonn an cuar ar dheis graf na feidhme

f(x) 5 8 2 2x 2 x2.


2. (a) Maidir le gach ceann de na léaráidí mapála seo, abair an feidhm é. Tabhair cúis le do fhreagra i ngach cás.

(i) (ii)

(b) Mar seo a shainítear an fheidhm f(x) 5 7 2 3x. Má tá f(24) 5 kf(22), faigh luach k.

(c) Is dhá fheidhm iad f(x) 5 2x 2 1 agus g(x) 5 1 2 3x.

(i) Cad é an luach ar k a fhágann go bhfuil f(k) 1 f(2k) 5 4 ? (ii) Cad é an luach ar t a fhágann go bhfuil tf(3) 5 g(t) ?

3. (a) Cén fáth nach feidhm é an tacar cúplaí {(1, 3), (2, 7), (3, 10), (1, 12)} an fheidhm.

(b) Sainíonn f : x → 3x 2 4 f.For what value of k is f(k) 1 f(2k) 5 1 ?

(c) Léiríonn an cuar ar dheis graf na feidhme

f(x) 5 10 2 3x 2 x2.


4. (a) Sainíonn f : x → 5x 2 3 an fheidhm f.Déan cóip de na trí chúpla seo in f agus comhlánaigh iad:

(1, *), (3, *), (0, *).

Uaidh sin, tarraing graf na feidhme f : x → 5x 2 3.

O

y

xba

c

a d

b

c

e

a d

b

c

e

O

y

x

y � f(x)

ba

c

395

(b) Mar seo a shainítear an fheidhm f ar R a fhágann go bhfuil f: x → 3x 2 1.Faigh (i) f(2) (ii) f (  1 _ 2 ) .Faigh luach k ∈ N a fhágann go bhfuil f(2) 5 kf (  1 _ 2 ) .

Imscrúdaigh an bhfuil f(h) 5 kf (  1 __ h

) .

(c) Léirítear graf na feidhme f(x) 5 2x2 1 kx 1 ar dheis.

(i) Cad é f(0)?Uaidh sin, scríobh síos luach .

(ii) Úsáid pointe eile ar an gcuar chun luach k a fháil.

5. (a) (i) Cé acu oibríocht a seasann an comhartha ceiste di san inneall feidhme ar dheis?

(ii) Sainíonn f(x) 5 3x 2 4 feidhm. Más é {-3, -2, -1, 0} fearann f(x), cad é raon f(x)?

(b) Sainíonn f(x) 5 ax2 1 bx 1 1 feidhm.Má tá f(21) 5 6 agus f(1) 5 2, scríobh síos dhá chothromóid in a agus b.Réitigh na cothromóidí seo chun luachanna a agus b a fháil.

(c) Sainíonn f(x) 5 √______

x2 1 8 feidhm.

(i) Faigh luach ar f(2) agus f(8). (ii) Glac leis go bhfuil f(2) 3 f(8) 5 k √

__ 6 . Faigh k, áit a bhfuil k ∈ N.

6. (a) Sainíonn y 5 3x 2 2 feidhm.Déan cóip den tábla thall don fheidhm seo agus uaidh sin, tarraing a graf.

(b) Sainíonn f(x) 5 √___

12 ___ x

feidhm, áit a bhfuil x . 0.

(i) Sloinn f(27) mar chodán san fhoirm is simplí de. (ii) Má tá f(x) 5 4 √

__ 3 , faigh luach x.

(c) Léirítear graf na feidhme f(x) 5 x2 1 bx 1 c ar dheis. Trasnaíonn an cuar an x-ais ag (21, 0) agus tá an pointe (3, 24) air.

(i) Scríobh síos dhá chothromóid in b agus c. (ii) Réitigh na cothromóidí seo chun luachanna

b agus c a fháil. (iii) Úsáid na luachanna seo ar b agus c chun an fheidhm f(x) a scríobh. (iv) Úsáid an fheidhm seo chun comhordanáidí d agus e a fháil.

y

x�1

O

1

2

3

4

�1 1 2 3 4 5

704

iolraighfaoi 2

17311

?

x 21 0 1 2

y

O

y

xd

e (3, �4)

�1

396

397

caibi

dil

20

Mír 20.1 Graif faid is ama > Is cineál speisialta de ghraf líne é graf faid is ama (nó graf taistil) a úsáidtear chun cur síos a

dhéanamh ar aistear.

> Léiríonn an ais ingearach an fad ó phointe áirithe, agus léiríonn an ais chothrománach an t-am a thóg sé.

Taispeánann an graf faid is ama thíos aistear rothaí a chuaigh amach ó bhaile A.

0

20

40

60

Fad

i km

1

A

B

D

C

E

F

2Am in uaireanta an chloig

3

(i) Ó A go B rothaigh sé 20 km in 1 uair an chloig.

(ii) Ag B stop sé ar feadh leathuair an chloig, atá léirithe ag [BC ].

(iii) Ag C ghlac sé síob ar leoraí agus thaistil sé go D, fad 40 km. Thóg an chuid seo den aistear leathuair an chloig.

(iv) Ansin ghlac sé sos ar feadh leathuair an chloig. Léirítear é seo ag [DE ].

(v) Ansin ghlac sé traein ar ais chuig an mbaile a d’fhág sé ar dtús agus chríochnaigh sé an t-aistear fillte 60 km i leathuair an chloig. Léirítear é seo ag [EF ].

[Nóta: Léiríonn A agus F araon an baile A.]

Graif ón bhFíorshaol a Tharraingt agus a Léirmhíniú

Focail thábhachtachagraif faid is ama meánluas fána comhréireach go díreach graif ón bhfíorshaol léirmhínigh ráta tairiseach

398

Graif faid is ama

> Léiríonn athrú sa luas athrú san fhána.> Dá ghéire an líne, is ea is tapúla an luas. > Dá chothroime an líne, is ea is moille an luas. > Léiríonn líne chothrománach go bhfuil an duine nó

an rud stoptha.

Tugtar na foirmlí a nascann fad (D), am (T) agus meánluas (S) thíos:

D 5 S 3 T S 5 D __ T

T 5 D __ S

Cleachtadh 20.1 1. Tugann an graf taistil seo fad

0

10

20

30

Fad

ón m

baile

i km

9 10 11 meán lae 1Am p.m.a.m.

2 3

buachalla ón mbaile.

(i) Cén t-am a d’fhág an buachaill an baile? Cén t-am a d’fhill sé?

(ii) Cé chomh fada agus a bhí sé ón mbaile ag 1.00 p.m.?

(iii) Cé na hamanna a bhí sé 15 km ón mbaile?

(iv) Cén t-am a ghlac sé sos? (v) Cén t-am is tapúla a bhí sé ag

taisteal?

2. Taispeánann an graf faid is ama

0

15

30

45

60

75

1 2Am

30

Fad

(km

)

seo aistear 3 uair an chloig Olivia.

(i) Cá fhad a thaistil sí sa chéad uair an chloig?

(ii) Cá fhad a bhí sí stoptha? (iii) Cá fhad a thaistil sí sa tríú huair

an chloig? (iv) Cérbh é fad iomlán an aistir?

399

3. Taispeánann an graf taistil

Fad

(km

)Am p.m.a.m.

0

4

8

12

16

20

24

10 11 meán lae 1 2 3 4

fad rothaí óna bhaile idir 10 a.m. agus 4.30 p.m. (i) Cá fhad a thaistealaíonn

an rothaí sa chéad 2 uair an chloig?

(ii) Cá fhad ó bhaile atá sé nuair a stopann sé le haghaidh sosa?

(iii) Cén t-am a thosaíonn sé an t-aistear fillte?

(iv) Ag 3.00 p.m. athraíonn a luas. An méadaíonn sé nó an laghdaíonn sé? Cá bhfios duit gan na luasanna féin a ríomh?

(v) Cá fhad a thaistealaíonn sé?

4. Taispeánann an graf aistir

Fad

(km

)

Am p.m.a.m.

0

50

100

150

200

9 10 11 meán lae 1 2 3 4

Adam

Conchúr

A

bheirt tiománaithe, Conchúr agus Adam. Tá siad ag taisteal ar an mbóthar céanna agus sa treo céanna, ag fágáil baile A ag 9.00 a.m.

(i) Cé acu is tapúla a thaistealaíonn sa chéad uair an chloig?

(ii) Cé mhéad uair a scoitheann siad thar a chéile?

(iii) Cén t-am a scoitheann siad den dara huair?

(iv) Cá fhad óna chéile atá siad ag 3.00 p.m.?

(v) Cá fhad a thaistealaíonn gach fear san iomlán?

400

5. Taispeánann an graf atá tugtha

Fad

(km

)

Am (nóiméid)

0

2

4

6

8

10

12

0 4 8 12 16 20 24 28

an fad a chaithfidh rothaí taisteal chuig an obair. Úsáid an graf chun iad seo a dhéanamh amach:

(i) an fad chuig an obair (ii) an t-am a thógann sé chun

dul chuig an obair (iii) an fad taistealta i ndiaidh

(a) 10 nóiméad (b) 17 nóiméad

(iv) an t-am a thógann (a) 6 km (b) 11 km

(v) an meánluas don fhad iomlán. (Fág amach an stop dhá nóiméad.)

6. Taispeánann an graf aistir

Fad

(km

)

Am p.m.a.m.

0

30

60

90

120

150

9 10 11 meán lae 1 2 3 4

Dáithí

Darren

bheirt tiománaithe agus tugtar a bhfad óna mbaile dúchais.

(i) Cá fhad atá Dáithí ón mbaile nuair a thosaíonn Darren a aistear?

(ii) Cén t-am, go garbh, a thrasnaíonn a mbealaí?

(iii) Cén t-am a thosaíonn Dáithí a aistear fillte?

(iv) Cá fhad atá Darren ón mbaile nuair a thosaíonn Dáithí a aistear fillte?

(v) Cé acu is túisce a fhilleann ar an mbaile? Cé mhéad ama a imíonn thart sula dtagann an tiománaí eile?

401

7. Taispeánann an graf taistil aistear

0

8

16

Fad

ón m

baile

(i k

m)

4

12

20 40

Am (i nóiméid)

6010 30

A

BC

D

500

an Uas. Mhic Giolla Eoin sa charr ón mbaile go dtí an obair. Ag A, stopann sé chun nuachtán a cheannach. Ag B, stopann sé chun peitreal a cheannach. Ag D, sroicheann sé an obair.

(i) Cá fhad a thógann an t-aistear? (ii) Cá fhad a stopann an tUas. Mac

Giolla Eoin chun peitreal a cheannach?

(iii) Cad é meánluas an chairr ó C go D? (iv) Ag fágáil an dá stop ar lár, cérbh é meánluas an chairr don aistear iomlán?

8. Bhí dhá eitleán ag eitilt ar an mbealach aeir ó A go B

0

4

Fad

(’000

km)

2

6

3

1

5

4Am (in uaireanta an chloig)

B

A

2 60

ach ar mhalairt treonna. Taispeántar an fad ó A sa ghraf ar an taobh. Ón ngraf ríomh: (i) an fad ó A go B (ii) an eitilt ba thapúla, agus an difear ama idir sin

agus an eitilt eile (iii) cá fhad a bhí na heitleáin ag eitilt nuair a ghabh

siad thar a chéile (iv) meánluas na heitilte i ngach treo.

9. Tugann an graf faid is ama seo

Fad

ón g

cala

fort

(km

)

Am

A B

C

0

200

400

100

300

500

600

9 am10 am

11 am

meán lae

1 pm2 pm

3 pm4 pm

5 pm8 am

D

EF

GH

J cur síos ar aistear teaghlaigh ó chalafort farantóireachta sa Fhrainc chuig ionad campála. Is é an fad ná 590 km.

Déan cur síos ar cibé mírlíne nó pointe atá oiriúnach do na ráitis seo:

(i) “Beidh an lón againn anois.” (ii) “Seo í an chuid is tapúla.” (iii) “Faoi dheireadh - táimid anseo.” (iv) “Nílimid ach ag stopadh do pheitreal.” (v) “Seo í an chuid is moille.” (vi) “Seo í an chuid is faide.”

Ríomh an meánluas don aistear iomlán, ag fágáil stopanna as an áireamh.

402

10. Rothaigh Nollaig chuig teach a charad. Thosaigh sé ag 8.00 a.m. agus chlúdaigh sé 15 km sa chéad uair an chloig. Ghlac sé sos ar feadh leathuair an chloig, ansin chlúdaigh sé an chéad 20 km eile go dtí teach a charad in dhá uair an chloig. (i) Cén t-am a shroich sé teach a charad? (ii) Cá fhad idir a bhaile agus teach a charad? (iii) Ag baint úsáid as scála 1 cm : 5 km ar ais an fhaid agus 1 cm : 1 _ 2 uair ar ais an ama,

déan graf taistil do thuras Nollaig.

11. Taistealaíonn Somhairle agus Roibeard idir Baile Átha Cliath agus Sligeach.

Fad

ó Bh

aile

Áth

a Cl

iath

(km

)

Am

0

40

80

120

160

200

240

Áth Cliath

Sligeach

8:00 a.m. 9:00 a.m. 10:00 a.m. 11:00 a.m. 12:00 meán lae 1:00 p.m.

Roibeard

Somhairle

(i) Cá fhad é idir an dá bhaile? (ii) Cén t-am a ghabhann Roibeard agus Somhairle thar a chéile? Cá fhad atá siad ó

Bhaile Átha Cliath nuair a ghabhann siad thar a chéile? (iii) Cé aige a bhfuil an modh iompair is tapúla, Roibeard nó Somhairle? (iv) Cé na hamanna atá Somhairle ina stad? (v) Aimsigh meánluas gach duine, ag fágáil stadanna as an áireamh.

12. Tá Abdul ag dul ar an gcoláiste, 1.25 km óna bhaile. Siúlann sé 250 méadar go dtí stad an bhus. Tógann sé seo 4 nóiméad air. Tagann bus i ndiaidh 5 nóiméad agus tógann an t-aistear 6 nóiméad. (i) Tarraing graf faid is ama dá aistear. (ii) Ríomh luas an bhus i

(a) méadair/nóiméad (b) km/uair an chloig.

Mír 20.2 Graif atá comhréireach go díreach Íoctar �12 san uair le Lucy ar na huaireanta a oibríonn sí. Má oibríonn sí 2 uair an chloig, íoctar �12 X 2 = �24 léiMá oibríonn sí 5 uair an chloig, íoctar �12 X 5 = �60 léi

403

Deirtear go bhfuil na huaireanta a oibrítear agus an pá a fhaightear comhréireach go díreach.

Nuair a bhíonn dhá chainníocht i gcomhréir dhíreach, bíonn graf an-úsáideach chun a léiriú cé mar a mhéadaíonn (nó a laghdaíonn) cainníocht amháin i gcomparáid leis an dara cainníocht.

Línte díreacha tríd an mbunphointe a bhíonn i ngraif atá comhréireach go díreach.

Sampla 1

Taispeánann an graf thíos an coibhneas idir cileagraim agus puint.

Úsáid an graf chun na nithe seo

Cile

agra

im

Puint

(ii)

0

2

4

6

8

10

0 4 8 12 16 202 6 10 14 18 22

a choinbhéartú go garbh (i) 20 punt go cileagraim (kg) (ii) 14 phunt go cileagraim (iii) 4 kg go puint (iv) 7.5 kg go puint.

Ón ngraf,

(i) 20 punt = 9.1 kg (ii) 14 phunt = 6.4 kg (iii) 4 kg 5 8.8 punt (iv) 7.5 kg 5 16.5 punt

Cleachtadh 20.2 1. Cé acu de na graif seo a bhfuil h comhréireach go díreach le t ann?

(i)

0

h

t

(ii)

0

h

t

(iii)

0

h

t

(iv)

0

h

t

Mínigh do fhreagra.

404

2. Taispeánann an graf thíos an coibhneas idir cileaméadair agus mílte.

Mílt

e

Cileaméadair

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Úsáid an graf chun na nithe seo a choinbhéartú go garbh

(i) 60 km go mílte (ii) 80 km go mílte (iii) 30 míle go km (iv) 15 mhíle go km.

An graf atá comhréireach go díreach é an graf a thugtar anseo?

3. Taispeánann an graf thíos an coibhneas idir céimeanna Celsius (°C) agus céimeanna Fahrenheit (°F).

Céim

eann

a Ce

lsiu

s (°

C)

Céimeanna Fahrenheit (°F)

0

10

20

30

40

0 30 40 50 60 70 80 90 100

An graf atá comhréireach go díreach é an graf seo? Mínigh do fhreagra. Úsáid an graf chun na nithe seo a choinbhéartú go garbh (i) 35°C go Fahrenheit (ii) 15°C go Fahrenheit (iii) 50°F go Celsius (iv) 100°F go Celsius.

Má bhíonn raon na teochta idir 55°F agus 90°F i gcathair ar lá áirithe, léirigh an raon seo i °C.

405

4. Braitheann costas deisithe teilifíse ar an méid ama ama a thógann an deisiú, mar a thaispeántar ar an ngraf.

Cost

as (€

)

Am (nóiméid)

0

50

70

90

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

(i) Cé mhéad a chosnaíonn deisiú 60 nóiméad? (ii) Cé mhéad a chosnaíonn deisiú 30 nóiméad? (iii) Má bhí costas �80 ann, cá fhad a thóg an deisiú? (iv) Má bhí costas �60 ann, cá fhad a thóg an deisiú?

Is í an táille sheasta an bunchostas sula gcuirtear an costas ama leis.

(v) Cad í an táille sheasta seo?

5. Cén ceann de na graif seo a bhfuil Q comhréireach go díreach le P ann? Tabhair fáthanna.

0

Q

P 0

Q

P 0

Q

P 0

Q

P

A B C D

6. Taispeánann an léaráid atá tugtha

Aird

e an

chr

ainn

, h (m

éada

r)

Fad an scátha, s (méadar)

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

go bhfuil fad an scátha a chaitheann crann ag meán lae comhréireach go díreach le hairde an chrainn.

(i) Cad é fad an scátha nuair a bhíonn an crann 8 m ar airde?

(ii) Trí úsáid a bhaint as dhá phointe ar an líne, aimsigh cothromóid na líne i dtéarmaí s agus h.

(iii) Úsáid an chothromóid atá aimsithe agat chun fad an scátha nuair a bhíonn an crann 15 mhéadar ar airde a scríobh síos.

406

7. An bhfuil gach ceann de na ráitis seo fíor nó bréagach?

(i) Bíonn costas peitril comhréireach go díreach leis an méid a cheannaítear. (ii) Bíonn airde duine comhréireach go díreach lena (h)aois. (iii) Bíonn achar cearnóige comhréireach go díreach le fad an tsleasa. (iv) Bíonn an fad a thaistealaíonn carr in am áirithe ag luas tairiseach comhréireach go

díreach le luas an chairr. (v) Bíonn an t-am a thógann aistear comhréireach go díreach le luas an taistil.

8. Taispeánann an graf thíos costas leathanbhanda ar feadh mí amháin ar thrí tharaif éagsúla.

Is iad na trí tharaif:

0

Cost

as in

€

400Sonraí íoslódáilte (GB)80 120 160

AB

C

200 240

15

30

45

60

75Taraif 1: Cíos �30 1 10c/GBTaraif 2: Níl aon chíos i gceist ach 30c/GBTaraif 3: Cíos �37.50 1 5c/GB

leis an gcéad 60GB saor in aisce

(i) Meaitseáil gach taraif le litir a graif.

Íoslódálann Carol breis agus 140 Gigibheart de shonraí gach mí.

(ii) Mínigh cén taraif ba shaoire di a úsáid.

9. Taispeánann an graf seo an méid

Peitr

eal ú

sáid

te (l

ítir)

Fad taistealta (km)

Peitreal úsáidte ag carranna

0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80 100 120

Stiofán

Dáithí

peitril a úsáideann dhá charr.—————— Carr Dháithí – – – – – – – – – Carr Stiofáin

(i) Thaistil carr Dháithí 80 km. Cé mhéad peitril a d’úsáid sé?

(ii) D’úsáid carr Stiofáin 9 lítear peitril lá amháin. Cá fhad a chuaigh sé?

(iii) Cé mhéad níos mó peitril a úsáideann carr Stiofáin ná carr Dhaithí nuair a thaistealaíonn gach carr 60 km?

(iv) An bhfuil gach graf líne comhréireach go díreach? Mínigh do fhreagra.

(v) Aimsigh cothromóid na líne deirge briste san fhoirm y 5 mx. Anois leis an gcothromóid seo aimsigh líon na lítear a úsáidtear nuair a thaistealaíonn an carr 300 km.

407

Mír 20.3 Graif ón bhfíorshaol Nuair a dhoirtear uisce isteach sa soitheach thíos ar ráta seasta, ardaíonn an t-uisce sa soitheach freisin ar ráta seasta. Taispeántar ar dheis thíos graf d’airde an uisce de réir mar a théann an t-am thart.

0 Am

Doi

mhn

e an

uis

ce

Is líne dhíreach é an graf toisc go n-ardaíonn an t-uisce ar ráta tairiseach.

Bíonn graf cuarlíne ag soithí a ngobann a dtaobhanna amach. Is féidir leo tosú amach géar, maolú, agus éirí géar arís.Taispeántar ar dheis graf d’airde an uisce

0

h

t

sa soitheach tugtha. Líne dhíreach is ea an chuid ag barr an ghraif toisc go n-ardaíonn an chuid ag barr ar ráta tairiseach.

Sampla 1

Meaitseáil na soithí seo lena ngraif nuair a líontar le leacht iad ag ráta tairiseach.

h

t

1 2 3 4 5

h

t

h

t

h

t

h

t

A BC

DE

Tá A meaitseáilte le 5 toisc go bhfuil taobhanna díreacha ag A agus go bhfuil sé tanaí.Tá B meaitseáilte le 2 toisc go bhfuil taobhanna díreacha ag B ach go bhfuil sé níos leithne ná A.Tá C meaitseáilte le 1 toisc go bhfuil C leathan ar dtús le taobhanna díreacha agus ansin caol le taobhanna díreacha – mar sin dhá mhírlíne.Tá D meaitseáilte le 3 toisc go bhfuil D caol ar dtús le taobhanna díreacha agus ansin leathan le taobhanna díreacha.Tá E meaitseáilte le 4 toisc go bhfuil trí chuid ag E ar féidir iad a aithint ar an ngraf.

408

Cleachtadh 20.3 1. Doirtear uisce isteach i ngach ceann de na soithí seo ar an ráta céanna.

Meaitseáil na soithí seo lena ngraif ag taispeáint an ráta ar a bhfuil an t-uisce ag ardú.

h

t1 2 3 4 5

h

t

h

t

h

t

h

t

A CD E

B

2. Cuirtear uisce leis an tanc seo ar ráta seasta. Cén graf is fearr a léiríonn an méadú sa leibhéal uisce h?

h

t

Ah

t

Bh

t

C

3. Seo trí bhabhla ar chruthanna éagsúla.

AB

C

(i) Cén cur síos ar líonadh na mbabhlaí le huisce a théann le gach babhla? (a) Téann leibhéal an uisce in airde go tapa ar dtús agus ansin go tobann téann sé in airde níos moille. (b) Téann leibhéal an uisce in airde go mall ar dtús, ansin athraíonn sé agus téann sé in airde níos tapúla. (c) Téann leibhéal an uisce in airde go tapa ar dtús, ach éiríonn sé níos moille agus níos moille.

(ii) Cén graf a théann le gach babhla?

Doi

mhn

e an

uis

ce

Am Doi

mhn

e an

uis

ce

Am Doi

mhn

e an

uis

ce

Am

409

4. Meaitseáil an graf leis an scéal.

Leib

héal

uis

ce

Am

Leib

héal

uis

ce

Am

Leib

héal

uis

ce

Am

(i) Líonaim buicéad le huisce. Tar éis cúpla nóiméad, ólann mo mhadra roinnt den uisce. Cinnim an t-uisce a fhágáil sa bhuicéad ar eagla go mbeidh deoch de dhíth air níos déanaí.

(ii) Líonaim buicéad le huisce go tapa ach leagtar an buicéad agus ritheann an t-uisce amach.

(iii) Tosaím le buicéad lán d’uisce agus doirtim an t-uisce go mall ar mo shíológa go dtí go mbíonn an buicéad folamh.

5. Doirtear leacht ar ráta tairiseach isteach sna cúig shoitheach seo. Breactar airde, h cm, an leachta sna soithí i gcomparáid le ham, t soicind. Meaitseáil na soithí seo lena ngraif.

h

t1 2 3 4 5

h

t

h

t

h

t

h

t

A B CD

E

h

t1 2 3 4 5

h

t

h

t

h

t

h

t

A B CD

E

6. Doirtear leacht isteach i ngach ceann de na soithí seo ar ráta tairiseach. Tarraing, do gach soitheach agus ar an ngraf céanna, airde an leachta h i gcomparáid leis an am t i soicindí.

A BC

D

410

7. Seo trí shoitheach. I gcás gach ceann acu, tarraing graf a thaispeánann conas a líonann sé suas le huisce.

A B C

8. Doirtear leacht i ngach ceann de na gabhdáin seo ar ráta tairiseach.

Tarraing, ar an ngraf céanna, airde an leachta h i gcomparáid leis an am t i soicindí.

A BC

D

9. Taispeánann an graf an teocht laistigh de chuisneoir nua. Tógadh an teocht gach nóiméad i dtréimhse dhá uair an chloig.

10 20 30 40 50 60

Am (nóiméid)

Teocht an chuisneora

Teoc

ht (°

C) 70 80 90 100 110 120

6

4

2

0�2

�4

�6

�8

�10

�12

Tá mótar sa chuisneoir a fhuaraíonn an taobh istigh. Músclaítear agus múchtar an mótar le teirmeastat.

(i) Cad a tharlaíonn don teocht sa chuisneoir nuair a bhíonn an mótar ag rith? (ii) Ag cén teocht a mhúsclaíonn an teirmeastat an mótar? (iii) Cad a tharlaíonn don teocht sa chuisneoir nuair nach mbíonn an mótar ag rith? (iv) Ag cén teocht a mhúchann an teirmeastat an mótar? (v) Cá fhad, go garbh, a ritheann an mótar gach uair a mhúsclaítear é?

411

10. Tá pointe A ar imlíne rotha.

4 2

3

1 Críochnaíonn an roth imrothlú amháin. D’fhéadfadh aon cheann de na pointí 1, 2, 3 nó 4 ar an léaráid ar dheis a bheith ina phointe tosaithe.

Cé acu de na graif thíos is fearr a léiríonn airde A os cionn na talún nuair a thosaíonn A ag:

(i) suíomh 1 (ii) suíomh 3 (iii) suíomh 2 ?

Nóta: Rolltar an roth ó chlé go deas.

Aird

e A

Fad rollta

Aird

e A

Fad rollta

Aird

e A

Fad rollta

Aird

e A

Fad rollta

1 2 3 4

11. Líontar gach ceann de na ceithre shoitheach sa phictiúr le huisce ar ráta seasta. Nuair a breacadh leibhéal an uisce i ngach soitheach, fuarthas na graif 1 go 4 . Meaitseáil gach soitheach lena ghraf.

1 2 3 4

A B

C

D

Leib

héal

uis

ce

Am

Leib

héal

uis

ce

Am

Leib

héal

uis

ce

Am

Leib

héal

uis

ce

Am

412

12. Líontar gach ceann de na soithí seo le huisce ar ráta seasta. Má léiríonn na graif an t-ardú ar leibhéal an uisce, meaitseáil gach soitheach lena ghraf.

h

t1 2 3 4 5

h

t

h

t

h

t

h

t

D ECA B

13. Caitear cloch san aer.

Aird

e os

cio

nn n

a ta

lún

(m)

Am (soicindí)

0

40

80

120

20

60

100

140

0 2 4 6 8 10

Léiríonn an graf seo a heitilt. Ón ngraf aimsigh go garbh

(i) airde na cloiche tar éis (a) 1.5 soicind (b) 7.5 soicind

(ii) an t-am a thógann an chloch chun dul(a) 80 méadar ar an mbealach suas (b) 80 méadar ar an mbealach anuas.

413

Mír 21.1 Codáin ailgéabracha a shuimiú le chéile Chun 3 _ 4 1 4 _ 5 a shuimiú le chéile, faighimid an ICL ar 4 agus 5, i.e. 20.Anois scríobhaimid gach codán díobh sa chaoi is gurb é 20 an t-ainmneoir.

3 __ 4

1 4 __ 5

5 5(3) ____ 20

1 4(4) ____ 20

5 15 ___ 20

1 16 ___ 20

5 15 1 16 _______ 20

5 31 ___ 20

Ar an gcaoi chéanna, 6 __ 7

2 2 __ 3

5 3(6) 2 7(2) __________ 21

5 18 2 14 _______ 21

5 4 ___ 21

Is féidir codáin ailgéabracha a shuimiú le chéile agus a dhealú ó chéile mar a dhéantar le codáin uimhriúla.

Sampla 1

Scríobh: 5x 2 3 ______ 2

2 2x 1 1 ______ 3

ina chodán singil.

Is é 6 an ICL ar 2 agus 3.

5x 2 3 ______ 2

2 2x 1 1 ______ 3

5 3(5x 2 3) 2 2(2x 1 1) __________________ 6

5 15x 2 9 2 4x 2 2 _______________ 6

5 11x 2 11 ________ 6

Téarmaí ailgéabracha a shimpliú Is féidir an codán 8 __ 12 a shimpliú ach an t-uimhreoir agus an t-ainmneoir a roinnt ar a 4, mar a léirítear.

Ar an gcaoi chéanna, is féidir an codán ailgéabrach 4ab ____ 2b

a shimpliú ach an t-uimhreoir agus an t-ainmneoir a roinnt ar aon chomhfhachtóirí.

Mar sin, 4ab ____ 2b

5 4 3 a 3 b _________ 2 3 b

2

1

1

1 5 2 3 a 5 2a

8 ___ 12

5 2 __ 3

2

3

Focail thábhachtachacodáin ailgéabracha téarmaí a shimpliú iolraí coiteann is lú (ICL)abairt mhatamaiticiúil an roinnt san ailgéabar atheagar a chur ar fhoirmlí ábhar foirmle a athrú foirmlí a scríobh

caibi

dil

21Codáin Ailgéabracha – Foirmlí

414

Sampla 2

Simpligh gach ceann díobh seo:

(i) 9x2y

____ 3x

(ii) 12a3b _____ ab2

(i) 9x2y

____ 3x

5 9 3 x 3 x 3 y

____________ 3 3 x

(ii) 12a3b _____ ab2 5 12 3 a 3 a 3 a 3 b _________________

a 3 b 3 b

5 12a2 ____

b 5 3xy

3 1

1 1

1 1

1 1

Cleachtadh 21.1 1. Simpligh gach ceann de na sloinn seo a leanas:

(i) 10ab _____ 2b

(ii) 8xy

___ 4x

(iii) 15cd _____ 5d

(iv) 18ab _____ 6a

(v) 8x2y

____ 4xy

(vi) 16b2c _____ 2c

(vii) 14x3y

_____ 2x2y

(viii) 28ab2 _____

7ab

2. Simpligh na sloinn seo a leanas:

(i) 3 __ x

3 4x ___ 9

(ii) km ___ 4n

3 2n ___ m

(iii) ab ___ 3

3 6b ___ a

(iv) 2ab 3 6a ________ 3a

(v) x __ 3

4 x __ 6

(vi) 3 ___ 2x

4 1 ___ 3x

(vii) 3ab2 ____

2 4 ab ___

6 (viii) 8a 3 3ak ________

2a 3 6k

3. A

2b

R

4bc

G

bc2

T

4d

Á

cd

N

3c

O

3bd

Simpligh gach ceann de na sloinn thíos, chomh fada agus is féidir leat. Úsáid an cód thuas chun litir a fháil ar gach slonn.

Atheagraigh gach tacar litreacha chun ainm toraidh a litriú.

15cd 15cd 4bc 4bc 15cd (i) ______ ______ ____ ____ _____ 5d 5d 2c 2c 5d

12cd5 4bc 20b2c2 12cd5 5c2d (ii) ______ _____ _______ ______ _____ 3cd4 2c 5bc 3cd4 5c

4. Sloinn gach ceann díobh seo mar chodán singil:

(i) 1 _ 2 1 2 _ 3 (ii) 3 _ 4 1 3 _ 5 (iii) 5 __ 12 1 2 __ 12 1 1 __ 12

(iv) 7 _ 8 2 3 _ 4 (v) x __ 2

1 x __ 3

(vi) x __ 5

1 x __ 3

415

Sloinn gach ceann díobh seo mar chodán singil.

5. 3x ___ 4

1 5x ___ 2

6. 3x ___ 5

1 2x ___ 3

7. x __ 4

2 x __ 6

8. x __ 2

2 x __ 5

9. 7x ___ 5

2 x __ 2

10. 3x ___ 4

2 2x ___ 5

11. x 1 1 _____ 2

1 x __ 2

12. x 1 1 _____ 2

1 x 1 4 _____ 2

13. x 1 4 _____ 3

1 2x 1 1 ______ 3

14. 3x 2 4 ______ 5

1 5x 2 2 ______ 5

15. 3x 2 2 ______ 4

1 5x 1 6 ______ 4

16. 2x 1 1 ______ 3

1 2x 2 3 ______ 3

17. 2x 1 1 ______ 3

1 x 1 4 _____ 2

18. 2x 2 1 ______ 3

1 x 1 2 _____ 4

19. 2x 2 1 ______ 6

1 x 2 3 _____ 4

20. 5x 2 1 ______ 4

2 2x 2 4 ______ 5

21. 2x 2 3 ______ 2

1 x 2 1 _____ 4

2 5 __ 6

22. x 2 6 _____ 3

1 3 __ 4

2 3x 2 4 ______ 2

23. 3x 2 1 ______ 4

2 x ___ 10

2 4x 1 2 ______ 5

24. 3x 1 5 ______ 6

2 1 ___ 12

2 2x 1 3 ______ 4

25. 3 __ 5

2 2x 2 1 ______ 10

1 3x 2 2 ______ 4

26. Sloinn imlíne an triantáin seo san fhoirm is simplí.

Mír 21.2 Cothromóidí a bhfuil codáin iontu a réiteach Cuir i gcás an chothromóid x 2 1 _____

5 5 4.

Gheobhaimid réidh leis an gcodán ach an dá thaobh a iolrú faoi 5.

5(x 2 1) _______ 5

5 4 3 5

x 2 1 5 20 x 2 1 1 1 5 20 1 1 x 5 21

a � 24

a � 16

a � 23

Má bhíonn níos mó ná aon chodán amháin i gcothromóid,iolraímid gach cuid faoin iolraí coiteann is lú (ICL) ar na hainmneoirí.

1

1

416

Sampla 1

Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo:

(i) 3x ___ 4

2 x __ 2

5 3 (ii) 2x 2 5 ______ 3

5 x 2 2 _____ 2

(i) Is é 4 an ICL ar 2 agus 4. (ii) Is é 6 an ICL ar 3 agus 2.Iolraigh gach téarma faoi 6.

6(2x 2 5) ________ 3

5 6(x 2 2) _______ 2

2(2x 2 5) 5 3(x 2 2) 4x 2 10 5 3x 2 64x 2 3x 2 10 5 3x 2 6 2 3x x 2 10 5 26 x 2 10 1 10 5 26 1 10 x 5 4

Iolraigh gach téarma faoi 4.

4(3x) _____ 4

2 4(x) ____ 2

5 3 3 4

3x 2 2x 5 12

x 5 12

Sampla 2

Réitigh an chothromóid: 3x 2 1 ______ 6

2 x 2 3 _____ 4

5 4 __ 3

Is é 12 an ICL ar 6, 4 agus 3.Iolraigh gach téarma faoi 12:

12(3x 2 1) _________ 6

2 12(x 2 3) ________ 4

5 12(4) _____ 3

2(3x 2 1) 2 3(x 2 3) 5 4(4) 6x 2 2 2 3x 1 9 5 16 3x 1 7 5 16 3x 1 7 2 7 5 16 2 7 3x 5 9 x 5 3

Cleachtadh 21.2Réitigh na cothromóidí seo a leanas:

1. 2x ___ 3

5 6 2. 3x ___ 5

5 3 3. x __ 2

5 6 __ 4

4. 3x ___ 4

5 9 __ 2

5. 5x ___ 3

5 10 6. x 2 3 _____ 2

5 4

7. 3x 2 1 ______ 4

5 2 8. 3x 2 1 ______ 4

5 8 9. 2x 1 1 ______ 3

5 1 __ 2

10. 2x 2 5 ______ 3

5 x 2 2 _____ 3

11. x 2 3 _____ 4

5 x 2 2 _____ 5

12. x 1 2 _____ 6

5 2x 2 5 ______ 3

417

13. 2x ___ 5

1 x __ 2

5 9 __ 2

14. 2x ___ 3

2 x __ 4

5 5 __ 6

15. 3x ___ 4

2 5x ___ 8

5 1 __ 2

16. 2x ___ 3

2 x __ 4

5 5 __ 2

17. 2x 2 1 ______ 3

1 x __ 4

5 6 __ 4

18. x 2 3 _____ 6

5 x __ 5

2 3 __ 2

19. x 1 2 _____ 4

1 x 2 3 _____ 2

5 1 __ 2

20. x 1 2 _____ 4

2 x 2 3 _____ 3

5 1 __ 2

21. 3x 2 1 ______ 6

2 x 2 3 _____ 4

5 4 __ 3

22. x 2 2 _____ 5

1 2x 2 3 ______ 10

5 1 __ 2

23. 2x 2 3 ______ 5

1 1 ___ 20

5 x 2 1 _____ 4

24. 3x 2 1 ______ 2

2 2x 2 5 ______ 3

5 2

25. x 2 2 _____ 3

1 x 2 3 _____ 4

5 x 2 1 _____ 2

26. 2x 2 1 ______ 4

2 x 2 1 _____ 5

5 1 27. 3x 2 2 ______ 6

2 3x 1 1 ______ 4

5 2 __ 3

28. 3(x 2 4) _______ 5

1 3 5 3(x 2 5) _______ 2

29. 4x 1 5 ______ 5

1 2x 1 7 ______ 2

5 3x ___ 10

30. Triantán comhchosach ABC a léirítear thíos.

Má tá |AB| 5 |AC|,

(i) scríobh síos cothromóid i dtéarmaí x. (ii) faigh fad [AB].

Mír 21.3 Fadhbanna a bhfuil codáin iontu a réiteach Tá sé an-tábhachtach i gcúrsaí matamaitice go mbeifeá ábalta fadhb a shloinntear i bhfoirm focal a athrú go habairt mhatamaiticiúil.

D’athraigh tú ráitis ar nós na gceann ar dheis go habairtí matamaiticiúla cheana.

Pléigh cé acu ceann de na cothromóidí seo a d’úsáidfeá chun an puzal seo a réiteach.

3x � 5 � 21 3(x � 5) � 21 x � 5 � 3 � 21

Sa mhír seo, féachfaimid ar roinnt de na fadhbanna simplí a bhaineann le codáin a úsáid.

A

B C

x � 4 x � 23

Smaoiním ar uimhir. Dealaím 5 ón uimhir.Iolraím an toradh faoi 3.Is é 21 an freagra.Cén uimhir í?

418

Sampla 1

Má shuimítear ceathrú d’uimhir áirithe agus cúigiú den uimhir chéanna, is é 18 an freagra. Faigh an uimhir sin.

Abraimis gurb é x an uimhir sin.

Tá 1 __ 4

den uimhir 5 x __ 4

tá 1 __ 5

den uimhir 5 x __ 5

Is é an chothromóid ná: x __ 4

1 x __ 5

5 18

Iolraigh gach téarma faoi 20, arb é an ICL ar 4 agus 5 é.

20(x) _____ 4

1 20(x) _____ 5

5 20(18) ______ 1

5x 1 4x 5 360 9x 5 360 x 5 40

Is é an uimhir a iarradh ná 40.

Sampla 2

Is mó de 4 uimhir amháin ná uimhir eile. Nuair a chuirtear ceathrú den uimhir is lú le trian den uimhir is mó, is é 6 an freagra.Faigh na huimhreacha sin.

Abraimis gurb iad x agus (x 1 4) na huimhreacha sin.

Tá 1 __ 4

den uimhir is lú 5 x __ 4

1 __ 3

den uimhir is mó 5 x 1 4 _____ 3

Cothromóid: x __ 4

1 x 1 4 _____ 3

5 6 __ 1

Iolraigh gach téarma faoi 12, arb é an ICL ar 4, 3 agus 1 é.

12(x) _____ 4

1 12(x 1 4) ________ 3

5 12(6)

3x 1 4(x 1 4) 5 72 3x 1 4x 1 16 5 72 7x 1 16 5 72 7x 1 16 2 16 5 72 2 16 7x 5 56 x 5 8

Is iad an dá uimhir, x agus (x 1 4), ná 8 agus 12.

419

Cleachtadh 21.3 1. Nuair a shuimítear uimhir áirithe agus leath na huimhreach sin, is é 12 an freagra. Faigh

an uimhir.

2. Nuair a shuimítear leath agus trian uimhreach áirithe, is é 15 an freagra. Faigh an uimhir.

3. Nuair a shuimítear leath uimhreach áirithe le trí cheathrú den uimhir chéanna, is é 20 an freagra. Faigh an uimhir.

4. Nuair a bhaintear leath uimhreach áirithe ó thrí cheathrú den uimhir chéanna, is é 5 an freagra. Faigh an uimhir.

5. Is mó de 5 uimhir amháin ná uimhir eile. Nuair a chuirtear trian den uimhir is lú le leath na huimhreach is mó, is é 10 an freagra. Faigh an uimhir is lú.

6. Nuair a chuirtear 5 le huimhir áirithe agus nuair a roinntear an toradh ar 4, is é 3 an freagra. Faigh an uimhir sin.

7. Nuair a bhaintear 3 ó cheithre oiread uimhreach áirithe agus nuair a roinntear an freagra ar 7, is é 3 an toradh a fhaightear. Faigh an uimhir.

8. Smaoiním ar uimhir x. Cuirim 8 leis an uimhir agus ansin roinnim an t-iomlán ar 3. Is ionann an toradh agus leath na huimhreach ar smaoinigh mé uirthi. Faigh luach x.

9. Is mó de 3 uimhir amháin ná uimhir eile. Nuair a bhaintear séú den uimhir is mó ó thrian den uimhir is lú, is é 2 an freagra. Faigh an dá uimhir.

10. Is dhá uimhir leantacha iad x agus x 1 1. Nuair a chuirtear cúigiú den uimhir is lú le ceathrú den uimhir is mó, is é 7 an freagra. Faigh luach x.

11. Tá 30 bliain ag athair ar a mhac. Nuair a chuirtear cúigiú d’aois an athar le trian d’aois an mhic, is é 14 bliana an freagra a fhaightear. Faigh aois an mhic.

12. Is é (2x 1 3) cm fad dronuilleoige.Is é 1 _ 2 (x 1 3) leithead dronuilleoige.Más é 49 cm imlíne na dronuilleoige, faigh luach x.

Mír 21.4 An roinnt san ailgéabar D’fhoghlaimíomar cheana féin conas dhá shlonn ailgéabracha den chineál (x 1 4)(x 1 3) a iolrú faoina chéile.

Is é ábhar na míre seo conas slonn den chineál x2 1 x 2 12 a roinnt ar (x 1 4). Beidh an modh an-chosúil leis an roinnt fhada san uimhríocht.Mar seo a chuirtear chuige:

x 2 3x 1 4 ) 

___________

x2 1 x 2 12 … Roinn x2 ar x

x2 1 4x … Iolraigh (x 1 4) faoi x.

23x 2 12 … Dealaigh, agus ansin roinn 23x ar x

23x 2 12 … Iolraigh (x 1 4) faoi 23, agus ansin dealaigh

Is é an freagra ná x 2 3.

2x � 3

(x � 3)12

420

Sampla 1

Roinn 2x3 1 x2 2 8x 1 3 ar (2x 2 3).

x2 1 2x 2 12x 2 3 ) 

_______________

2x3 1 x2 2 8x 1 3 … Roinn 2x3 ar 2x chun x2 a fháil

2x3 2 3x2 … Iolraigh (2x – 3) faoi x2

4x2 2 8x … Dealaigh, agus ansin roinn 4x2 ar 2x

4x2 2 6x … Iolraigh (2x – 3) faoi 2x, agus ansin dealaigh

22x 1 3 22x 1 3 … Dealaigh

Is é an freagra ná x2 1 2x 2 1.

Féach ar an gcothromóid x3 1 11x 2 30. Ní aon téarma in x2 anseo.

Má iarrtar orainn x3 1 11x 2 30 a roinnt ar (x 2 2) cuirimid an chéad slonn san fhoirm x3 1 0x2 1 11x 2 30, agus ansin roinnimid ar (x – 2) é.

Sampla 2

Roinn 4x3 2 13x 2 6 ar x 2 2.

Athscríobh 4x3 2 13x 2 6 mar 4x3 1 0x2 2 13x 2 6.

4x2 1 8x 1 3x 2 2 ) 

_________________

4x3 1 0x2 2 13x 2 6 … Roinn 4x3 ar x chun 4x2 a fháil

4x3 2 8x2 … Iolraigh (x – 2) faoi 4x2

8x2 2 13x … Dealaigh

8x2 2 16x … Roinn 8x2 ar x

3x 2 6 3x 2 6

4x3 2 13x 2 6 4 x 2 2 is 4x2 1 8x 1 3

Cleachtadh 21.4Déan an roinnt i ngach ceann díobh seo:

1. x2 1 5x 1 6 4 x 1 3 2. x2 1 8x 1 15 4 x 1 5

3. x2 1 9x 1 14 4 x 1 2 4. 2x2 1 9x 1 4 4 x 1 4

5. 6x2 1 5x 1 1 4 2x 1 1 6. 2x2 1 x 2 10 4 2x 1 5

7. 6x2 2 10x 2 4 4 3x 1 1 8. 2x2 2 7x 2 4 4 x 2 4

421

9. 3x2 2 22x 1 7 4 3x 2 1 10. 6x2 1 11x 2 35 4 2x 1 7

11. 10x2 2 7x 2 12 4 2x 2 3 12. 15x2 2 26x 1 8 4 5x 2 2

13. x3 1 3x2 1 5x 1 3 4 x 1 1 14. x3 1 5x2 1 11x 1 10 4 x 1 2

15. x3 1 3x2 2 10x 2 24 4 x 2 3 16. 3x3 2 2x2 2 19x 2 6 4 3x 1 1

17. 2x3 2 x2 2 7x 1 6 4 2x 2 3 18. 2x3 2 3x2 2 12x 1 20 4 2x 1 5

19. 2x3 1 9x2 2 55x 1 50 4 2x 2 5 20. 2x3 1 3x2 2 8x 2 12 4 2x 1 3

21. x3 2 19x 2 30 4 x 2 5 22. 4x3 2 11x 1 3 4 2x 2 3

23. 6x3 2 13x2 1 4 4 2x 1 1 24. 3x3 1 9x2 1 48 4 x 1 4

25. Má fhaightear achar dronuilleoige ach an fad a iolrú faoin leithead, faigh an slios atá ar iarraidh i ngach ceann de na dronuilleoga seo.

(i)

Achar 5 6x2 2 x 2 12 ?

3x 1 4

(ii)

Achar 5 10x2 1 x 2 2 2x 1 1

?

Mír 21.5 Atheagar a chur ar fhoirmlí Sa bhosca ar dheis, feicfidh tú gur athraíodh thart na litreacha san fhoirmle a 5 6b 1 5.

D’athraíomar an fhoirmle ó

a 5 6b 1 5 go b 5 a 2 5 _____ 6

.

San fhoirmle b 5 a 2 5 _____ 6

, shloinneamar b i dtéarmaí a.

Is é a thugtar air sin ná atheagar a chur ar an bhfoirmle sa chaoi gurb é b ábhar na foirmle.

Tá cosúlacht mhór idir an bealach le hábhar foirmle a athrú agus an bealach le cothromóid a réiteach.

a � 56

� 6b

� b or b �

a � 5

� 6b � 5 � 5a � 5

� 6b � 5a

a � 56

Ní athraítear luach na cothromóide má dhéantar an oibríocht chéanna ar an dá thaobh.

422

Léirítear sna samplaí seo a leanas na rialacha bunúsacha le haghaidh ábhar foirmle a athrú.

Sampla 1Má tá bc 2 d 5 a, bíodh c ar ábhar na foirmle.

bc 2 d 5 a bc 5 a 1 d … suimigh d leis an dá thaobh

c 5 a 1 d _____ b

… roinn an dá thaobh ar b.

Sampla 2Má tá a 5 b __

c 2 d, bíodh b ar ábhar na foirmle.

a 5 b __ c

2 d

ac 5 b 2 cd … iolraigh gach téarma faoi c

ac 1 cd 5 b b 5 ac 1 cd

Sampla 3Má tá y 5 c 2 ax ______

b , bíodh x ar ábhar na foirmle.

y 5 c 2 ax ______ b

by 5 c 2 ax … iolraigh gach téarma faoi b

by 1 ax 5 c ax 5 c 2 by

x 5 c 2 by

______ a

Cleachtadh 21.5 1. Athraigh na cothromóidí seo a leanas sa chaoi gurb é y 5 … an fhoirm atá orthu.

(i) 2x 1 y 2 4 5 0 (ii) 2x 1 y 5 27 (iii) 3x 1 y 2 7 5 0

2. Bíodh an litir a bhfuil líne fúithi ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo a leanas:

(i) 2x 2 4 5 y (ii) a 5 8b 2 6 (iii) c 5 4d 2 1 (iv) h 5 2k 2 2

3. Cuir atheagar ar gach ceann díobh seo agus bíodh an litir a bhfuil líne fúithi ar ábhar na foirmle: (i) a 5 3b 2 5 (ii) b 5 4w 1 2 (iii) d 5 6e 2 12 (iv) g 5 18 2 5h

423

4. Cé acu díobh seo a leanas atá ina n-atheagar ceart ar a 5 2b 2 10 ?

a � 102b �

Aa2b � � 5

Ba � 10

2b �C

10 � a2b �

Fa � 2

10b �D

a � 210b �

E

5. Cóipeáil agus críochnaigh gach ceann díobh seo a leanas: (i) v 5 u 1 at (ii) ap 1 bq 5 k (iii) p 5

g __

5 1 3h

v 2 5 at ap 5 k 2 p 2 5 g

__ 5

t 5 … p 5 k 2

 ______     ( p 2   ) 5 g

g 5 …

6. Bíodh x ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo: (i) x 2 y 5 2z (ii) 3x 2 b 5 4c (iii) 6y 1 3x 5 7 (iv) x __

3 2 2y 5 8

7. Bíodh a ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo:

(i) 2a 2 b 5 1 _ 2 (ii) ab 2 3a 5 5 (iii) 7(a 2 3) 5 4b

8. Bíodh an litir idir lúibíní ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo a leanas:

(i) c 5 a __ 2

2 4b … (a) (ii) 2(a 2 2b) 5 3c … (a) (iii) 2x 2 1 __ 3

5 y

__ 3

… (x)

(iv) 5(b 2 3) 5 a __ 2

… (b) (v) x 5 y 2 2z

______ 3

… (z) (vi) a 5 b __ 2

2 3c ___ 4

… (b)

9. Bíodh x ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo: (i) xa 1 xb 5 3c (ii) ax 2 3x 5 5 (iii) y 1 2 __

3 5 x 2 1 _____

3

10. San fhoirmle k 5 s(a 2 b), bíodh b ar ábhar na foirmle.

11. San fhoirmle h 5 a __ k

1 j, tugtar h i dtéarmaí a, k agus j.

Cé acu díobh seo a leanas atá ina n-atheagar ceart ar an bhfoirmle?A

a � hk � jB

a � k(h � j)C

a � jk � khE

a � hk � jkkh � ja �

D

12. Bíodh an litir idir lúibíní ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo a leanas:

(i) x 5 2y 2 3z

_______ 4

… (z) (ii) b __ 3

1 3c ___ 4

5 2a … (b) (iii) 3x ___ 4

5 5(y 1 z) … (y)

(iv) ab ___ 3

5 b __ 2

1 c … (b) (v) t 5 x 2 2y

______ z

… (y) (vi) p

__ q

5 q

__ t 1 1 … (t)

(vii) y 5 3x 1 4 ______ x 2 1

… (x) (viii) p 5 qr

_____ q 2 r

… (r)

13. Glac le z 5 3y 1 2

______ y 2 1

. Sloinn y i dtéarmaí z.

Uaidh sin, faigh luach y nuair a bhíonn z 5 1 _ 2 .

424

14. Is féidir A, achar traipéisiam, a scríobh mar A 5 (a 1 b)h _______ 2

.

(i) Cuir atheagar ar an bhfoirmle seo agus bíodh h ar ábhar na foirmle.

(ii) Aimsigh airde traipéisiam arb é 100 cm2 a achar agus 6.5 cm agus 7.8 cm fad a shleasa comhthreomhara.Bíodh do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

Mír 21.6 Luach a fháil ar fhoirmlí agus foirmlí a scríobh Déanann foirmle cur síos ar an ngaol idir dhá athróg nó níos mó.Mar shampla, an fhoirmle d’achar dronuilleoige ná

A 5 3 b Má tá 5 6 agus b 5 4, ansin beidh A 5 6 3 4 5 24.I gcás luachanna éagsúla ar agus b, faightear an luach comhfhreagrach ar A.

Sampla 1Má tá V 5 r2h, faigh V nuair a bhíonn r 5 3 agus h 5 8.

V 5 r2hV 5 3 32 3 8V 5 226.19 … úsáid an eochair ar d’áireamhán

Foirmlí a scríobh Tá sé tábhachtach bheith ábalta foirmle a dhíorthú ó eolas a thugtar duit. Seo sampla:

Chun costas (eC) carr a fháil ar cíos a ríomh, tá táille sheasta laethúil eF agus ek ar gach ciliméadar a thaistealaítear i gceist. Mar sin, tugann an fhoirmleeC 5 12F 1 800k an costas ar charr a thógáil ar cíos ar feadh 12 lá agus 800 km a thaisteal.

Sampla 2

Tá ceithre oiread de pháistí ag cóisir agus atá de dhaoine fásta.Tá triúr déagóirí ag cabhrú ag an gcóisir.Má sheasann a do líon na ndaoine fásta ag an gcóisir, faigh foirmle do N, líon na ndaoine ag an gcóisir.

Má tá a duine fásta ag an gcóisir, tá 4a páistí ann.Is é líon na ndaoine ag an gcóisir ná daoine fásta 1 páistí 1 déagóirí

N 5 a 1 4a 1 3 … i gcás gach duine fásta tá ceathrar páistí

N 5 5a 1 3

a

b

h

425

Cleachtadh 21.6 1. (i) Má tá V 5 AH ___

3 , faigh V nuair a bhíonn A 5 12 agus H 5 4.

(ii) Má tá s 5 ut 1 1 _ 2 at2, faigh s nuair a bhíonn u 5 10, t 5 5 agus a 5 8.

(iii) Má tá A 5 h __ 2

(a 1 b), faigh A nuair a bhíonn h 5 12, a 5 10 agus b 5 9.

(iv) Má tá A 5 1 _ 2 h(x 1 y), faigh A nuair a bhíonn h 5 12, x 5 6 agus y 5 3.

2. Athraíonn an fhoirmle C 5 5 _ 9 (F 2 32) céimeanna Celsius go céimeanna Fahrenheit.Faigh C nuair a bhíonn (i) F 5 212° (ii) F 5 32° (iii) F 5 240° (iv) F 5 14° (v) F 5 213°.

3. Má tá v 5 u 1 at, faigh

(i) v nuair a bhíonn u 5 5, a 5 4 agus t 5 6 (ii) u nuair a bhíonn v 5 25, a 5 3 agus t 5 5 (iii) a nuair a bhíonn v 5 15, u 5 5 agus t 5 3.

4. Má tá V 5 √________

u2 2 2as , faigh V nuair a bhíonn u 5 0, a 5 210 agus s 5 5.

5. Is é y 5 mx 1 c gnáthchothromóid líne dírí. (i) Faigh luach y nuair a bhíonn m 5 1 _ 2 , x 5 4 agus c 5 22.

Cuir atheagar ar an bhfoirmle agus bíodh m ar ábhar na foirmle. (ii) Anois faigh luach m nuair a bhíonn x 5 3, y 5 5 agus c 5 24.

6. Scríobh foirmle do P, imlíne gach ceann de na fíoracha seo:

(i)

b

� (ii) x

58

y

7. Glac le T 5 ab ___ 6

1 C agus faigh luach T nuair a bhíonn a 5 4, b 5 12 agus C 5 5.

Cuir atheagar ar an bhfoirmle agus bíodh b ar ábhar na foirmle.

Anois faigh luach b nuair a bhíonn T 5 15, a 5 5 agus C 5 4.

8. Is é C 5 3 1 1.5k, an costas ar thacsaí a fháil ón aerfort, áit arb é C an costas in euro agus k líon na gciliméadar a thaistealaítear. (i) Faigh costas turas 12 km. (ii) Thaistil Seosamh i dtacsaí ón aerfort go dtí a theach féin. e33 a chosain an turas.

Cá fhad ón aerfort a bhfuil cónaí ar Sheosamh?

9. Is ionann T, an t-am i nóiméid a thógann sé orm mo chuid obair bhaile a dhéanamh agus 15 nóiméad chun mo chuid leabhar a eagrú agus ansin a, 40 nóiméad chun gach ceann de na tascanna a dhéanamh.Scríobh síos an fhoirmle agus bíodh T ar ábhar na foirmle.

426

10. Ríomhann coiste sóisialta na scoile go dtugann P 5 5T 2 900 an brabús, in euro, a rinne siad ar dhioscó scoile, áit arb é T líon na dticéad a díoladh. Faigh:

(i) an brabús a rinneadh nuair a díoladh 195 ticéad (ii) líon na dticéad a díoladh más é e870 an brabús (iii) líon na dticéad a chaithfear a dhíol chun cóimheá airgid a bhaint amach

(i.e. ní dhéantar brabús).

11. Tugann an fhoirmle C = 20 1 12d 1 2k costas mionbhus a fháil ar cíos, áit arb é C an costas in euro , d líon na laethanta a mbeidh an bus ar cíos agus k líon na gciliméadar a thaistealóidh an bus.

(i) Tógtar an bus ar cíos ar feadh 8 lá agus taistealaíonn sé 300 km. Ríomh costas iomlán an mhionbhus a fháil ar cíos.

(ii) Faigheann Mairéad an bus ar cíos ar feadh 6 lá. Is é e452 an bille iomlán. Cé mhéad ciliméadar a thaistil sí?

12. Ar gach aon taobh de bhord fada i mbialann, tá líon na suíochán cothrom le fad an bhoird (ina mhéadair) iolraithe faoi 2.Tá slí do bheirt eile ag bun agus ag barr an bhoird.

(i) Scríobh foirmle a thugann líon na ndaoine ag bord atá m ar fad. (ii) Faigh líon na ndaoine ar féidir leo suí ag bord 6 m ar fad. (iii) Cén fad boird ag a mbeadh 32 suíochán?

13. Traipéisiam atá le feiceáil sa léaráid.

(i) Taispeáin go dtugann A = 2x2 achar, A, an traipéisiam.

(ii) Cuir atheagar ar an bhfoirmle ionas gur x a bheidh ar ábhar na foirmle.

(iii) Faigh luach x do thraipéisiam arb é 20 cm2 a achar.

14. Tugann an fhoirmle C 5 180R 1 2000 toilleadh umair, C lítear, a sholáthraíonn uisce go R seomra in óstán.

(i) Má tá R 5 5, faigh luach C. (ii) Má tá C 5 3440, faigh luach R. (iii) Tá toilleadh 3800 lítear in umar uisce.

Faigh amach an líon is mó seomraí óstáin ar féidir leis an umar uisce a sholáthar dóibh?

15. Gearrann tiománaí tacsaí táille (F) e4 sa bhreis ar e1.50 sa chiliméadar (k) sa bhreis ar e2 an paisinéir (p). (i) Scríobh foirmle a thaispeánann an gaol idir an táille agus líon na gciliméadar a

taistealaíodh agus líon na bpaisinéirí. (ii) Faigh an táille do cheathrar paisinéirí má rinne siad turas 18 km ar fad. (iii) Má d’íoc triúr paisinéirí e28 san iomlán, cén fad a bhí sa turas?

3x

x

x

Cuir triail ort féin 21 1. (a) Simpligh gach ceann díobh seo chomh fada agus is féidir:

(i) 8x3 ___

2x (ii)

12xy2

_____ 3xy

(iii) 10x2 ____

7 3

14y2

____ 5xy

(b) (i) Má tá y 5 2x 2 6 ______ 3x 2 4

, sloinn x i dtéarmaí y.

(ii) Roinn x3 1 5x2 2 2x 2 24 ar (x 1 3).

(c) Réitigh an chothromóid x __ 3

1 2x 2 2 ______ 5

5 4

2. (a) Faigh luach ab _____ a 2 b

má tá a 5 1 _ 2 agus b 5 1 _ 3 .

(b) Má tá 7a 2 ab ___ c

5 c, sloinn b i dtéarmaí a agus c.

Uaidh sin, faigh luach b nuair a bhíonn a 5 21 agus c 5 23.

(c) Cearnóg agus dronuilleog atá sa léaráid ar dheis.

(i) Más é P cm imlíne na fíorach, sloinn P i dtéarmaí x, y agus z.

(ii) Má tá x 5 2y, y 5 2z agus P 5 55, faigh luach x.

3. (a) Roinn x3 2 x2 2 14x 1 24 ar (x 2 2).

(b) Tugann an fhoirmle H 5 17 2 A __ 2

líon na n-uaireanta codlata (H) ba chóir do

pháiste a fháil, ag brath ar aois (A) an pháiste i mblianta.

(i) Faigh líon na n-uaireanta codlata ba chóir do pháiste atá 14 bliana d’aois a fháil. (ii) Cén aois é an páiste ar chóir dó 8 n-uair an chloig codlata a fháil?

(c) Réitigh an chothromóid x 1 1 _____ 4

2 x __ 3

5 1 ___ 12

4. (a) Faigh luach ar 2 _____ x 1 2

1 3 ______ 2x 1 1

nuair a bhíonn x 5 1 _ 2

(b) (i) Má tá b ___ 2x

5 b 2 a, sloinn x i dtéarmaí a agus b.

(ii) Simpligh chomh fada agus is féidir:

3a2b ____ 5c

4 9ab ____ 10

(c) Sa triantán ar dheis, tá an dá shlios chothroma marcáilte.Más é 26 cm imlíne an triantáin, scríobh cothromóid in x agus réitigh í chun a luach a fháil.

x cm

x cm

y cm

z cm

� 3) cm( x2

� 5) cm( 2x3

427

5. (a) Sloinn 3x 2 1 ______ 3

1 x 1 5 _____ 4

mar chodán singil san fhoirm is simplí de.

(b) Is é C = 150 1 2N an costas C, in euro, ar halla a thógáil ar cíos, áit arb é N líon na ndaoine a d’fhreastail ar an gcruinniú. (i) Faigh an costas nuair a bhí 250 duine i láthair. (ii) Faigh líon na ndaoine ag an gcruinniú más é e790 an costas.

(c) Má tá 3a 2 2b _______ 3

5 1 __ 2

, sloinn a i dtéarmaí b.

Úsáid an toradh chun a thaispeáint gur féidir 6a 2 4b a shloinneadh mar uimhir shingil k, áit a bhfuil k 2 N. Scríobh síos an uimhir seo.

6. (a) Má tá 1 __ x

5 1 __ y

1 2 __ z

, faigh luach x nuair a bhíonn y 5 1 _ 3 agus z 5 4.

(b) Réitigh an chothromóid x 2 2 _____ 3

2 x 1 1 _____ 6

5 x 2 1 _____ 10

.

(c) Chun teochtaí a aistriú idir Celsius agus Fahrenheit, is féidir ceann de na foirmlí seo a úsáid:

C 5 5(F 2 32) ________ 9

F 5 9C ___ 5

1 32

Is é C an teocht i °C, is é F an teocht in °F.

(i) Is é 0°C reophointe an uisce. Cén teocht é sin in Fahrenheit? (ii) Is é 100°C fiuchphointe an uisce. Cén teocht é sin in Fahrenheit? (iii) Thart ar 72°F a bhíonn seomra teolaí. Cén teocht é sin in Celsius? (iv) Thart ar 36°F an teocht chuí i gcuisneoir tí. Cén teocht é sin in Celsius?

7. (a) Má tá ap

___ 3

5 p

__ 2

1 c, sloinn p i dtéarmaí a agus c.

Uaidh sin, faigh luach p nuair a bhíonn a 5 21 1 _ 2 agus c 5 3.

(b) Roinn 2x3 2 9x2 1 7x 1 6 ar (x 2 3).

(c) Tá imlínte an dá dhronuilleog seo cothrom. Scríobh cothromóid agus réitigh í chun x a fháil.

(x � 3) cm

(2x � 1) cm

(x � 3) cm

x � 2) cm( 23

428

429

Caibi

dil

22

Mír 22.1 Teoirim Phíotagarás Agus tú ag tosú ar do chuid staidéir ar an triantánacht, cloisfidh tú a lán cainte ar Phíotagarás agus ar a fhionnachtain iontach maidir le triantáin dhronuilleacha. Is dócha gurb í Teoirim Phíotagarás, teoirim a ainmníodh as, an teoirim is iomráití sa mhatamaitic.

Léiríonn an léaráid thíos Teoirim Phíotagarás.

Teoirim PhíotagarásAr thriantán dronuilleach, is ionann achar na cearnóige a tharraingítear ar an taobhagán agus suim na n-achar sna cearnóga a tharraingítear ar an dá shlios eile.

ba

c

c2

a2

b2

a2 5 b2 1 c2

Sampla 1

Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air ar an triantán dronuilleach ar dheis.

x2 5 82 1 62

x2 5 64 1 36 x2 5 100 x 5 √

____ 100

x 5 10

Focail thábhachtachaTeoirim Phíotagarás triantán dronuilleach cóimheas síneascomhshíneas tangant slios urchomhaireach slios cóngarach taobhagán céimeanna, nóiméid, soicindí uillinn airde uillinn ísle claonmhéadar surdaí

An Triantánacht

8

x 6

430

Cleachtadh 22.1 1. Faigh na hachair atá ar iarraidh sna cearnóga ar na triantáin dhronuilleacha seo.

(i)

8 cm2

4 cm2

?

(ii)

28 cm2

?

16 cm2

(iii)

2. Cad é achar na cearnóige a tarraingíodh anseo?

3. Oibrigh amach an t-achar nó an fad atá ar iarraidh i ngach ceann díobh seo. (i) (ii)

4 cm

?

17 cm2

(iii)

4. Bain úsáid as Teoirim Phíotagarás chun fad an tsleasa [AC] a fháil.

5. Ríomh fad an tsleasa atá marcáilte le litir i ngach ceann de na triantáin seo a leanas. Is féidir do fhreagra a fhágáil san fhoirm √

__ , más gá.

(i)

3 cm

2 cm

a

(ii)

b 7 cm

3 cm

(iii)

c2 cm

7 cm

?

14 cm2

6 cm2

9 cm

7 cm

?

29 cm2

7 cm2

8 cm

11 cm

?

A

B 12

5

C

431

(iv)

6 cm4 cm

d (v)

12 cm

9 cm

e

(vi)

5 cm

13 cmf

6. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air i ngach ceann de na triantáin seo. Scríobh gach freagra ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha. (i) (ii)

x

16 cm

12 cm

(iii)

7. Tá dronuilleog 10 cm ar fad agus 8 cm ar leithead. Faigh fad an trasnáin. Tabhair do fhreagra i gceintiméadair, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

8. Bain úsáid as an ngreille ar dheis chun faid [PR] agus [QR] a scríobh. Uaidh sin, faigh fad [PQ], ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

9. Feictear sa léaráid dréimire ina luí in aghaidh balla ceartingearach. Tá cos an dréimire ar thalamh chothrománach, 3.6 m amach ón mballa. Tá an dréimire 5 m ar fad. Oibrigh amach cá fhad suas an balla a shíneann an dréimire. Tabhair do fhreagra i méadair, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha

10. San fhíor ar dheis, |AB| 5 10 cm, |AD| 5 5 cm agus |DC| 5 6 cm. Is dronuillinneacha iad na huillinneacha ag A agus ag D. Faigh fad [BC], ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

x14 cm

20 cm

11 cm5 cm

x

10 cm

8 cm

y

xO

1

2

3

4

5

6

1 2

P

Q

R

3 4 5 6 7 8 9 10

3.6 m

5 m

6 cm

A

D

B

C

5 cm

10 cm

432

11. Taispeánann an léaráid triantán dronuilleach ABC. (i) Faigh fad [BD]. (ii) Faigh fad [AD] i gceintiméadair, ceart

go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

12. Bain úsáid as an ngreille agus as Teoirim Phíotagarás chun faid shleasa na fíorach ar dheis a aimsiú. Tabhair do fhreagra ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

13. Ríomh faid na sleasa a bhfuil x agus y orthu ar na triantáin dhronuilleacha ar dheis.

14. San fhíor ar dheis, tá an dá dhronuillinn marcáilte. Faigh faid c agus d.

15. Feictear seilf chothrománach [AB] sa léaráid. Tá an tseilf greamaithe de bhalla ceartingearach ag A. Tá an taca [CD] greamaithe den bhalla ag C agus den tseilf ag D. |AB| 5 23 cm, |AC| 5 20 cm agus |BD| 5 8 cm. Ríomh fad [CD].

16. Is é 24 cm2 achar na cearnóige a tarraingíodh ar an taobhagán ar thriantán dronuilleach comhchosach. Ríomh achar na cearnóige a tarraingíodh ar gach ceann den dá shlios eile.

B

A

CD

9 cm

5 cm13 cm

y

xO

A

B

D

C

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 12 13 14

3 cm

13 cm

4 cm

y

x

26 cm

8 cm

6 cm

cd

20 cm

8 cmB

DA

C

23 cm

433

17. Tá scáileán dronuilleogach ar an teilifíseán seo. Tá an trasnán 74 cm ar fad. Tá sleasa an scáileáin sa chóimheas 5 : 3. Faigh faid na sleasa, i gceintiméadair, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

18. Mínigh an fáth nach bhfuil triantán, a bhfuil sleasa 12 cm, 13 cm agus 18 cm air, dronuilleach.

Mír 22.2 Cóimheas an tsínis, an chomhshínis agus an tangaint Nuair a bhímid ag plé le faid agus le huillineacha i dtriantáin dhronuilleacha, bíonn an-tábhacht leis an triantánacht. Seo thíos trí chóimheas fhíor-thábhachtacha maidir leis an mbaint atá ann idir uillinneacha agus sleasa.

an slios urchomhaireachsin A 5 ______________________ an taobhagán

an slios cóngarachcos A 5 _________________ an taobhagán

an slios urchomhaireachtan A 5 ______________________ an slios cóngarach

an slios urchomhaireach

(le A)

an slios cóngarach (do A)

A

an taobhagán

Sa triantán ar dheis,

sin A 5 1 ___ √

__ 5 sin B 5 2 ___

√__

5

cos A 5 2 ___ √

__ 5 cos B 5 1 ___

√__

5

tan A 5 1 __ 2

tan B 5 2 __ 1

5 2

Má deirtear go bhfuil cos A 5 3 _ 4 , is féidir linn sceitse a tharraingt de thriantán dronuilleach, ar a bhfuil an slios cóngarach do A cothrom le 3, agus an taobhagán cothrom le 4.

Féadfaimid an tríú slios a fháil ansin ach leas a bhaint as Teoirim Phíotagarás.

1

2A

B5

x

3

4

A

Más é x an tríú slios, x 2 1 32 5 42

x 2 1 9 5 16 x 2 5 7 x 5 √

__ 7

434

Sampla 1

Má tá tan B 5 √

__ 5 ___

2 , faigh luach sin B agus luach cos B.

tan B 5 √

__ 5 ___

2 ⇒ is é √

__ 5 an slios urchomhaireach le B agus is é 2 an slios cóngarach

do B.

Tarraing sceitse garbh anois de thriantán dronuilleach. Seasadh x d’fhad an taobhagáin.

x 2 5 22 1 ( √__

5 )2

x 2 5 4 1 5… ( √__

5 )2 5 5

x 2 5 9 ⇒ x 5 3

De réir an triantáin seo: sin B 5 √

__ 5 ___

3 and cos B 5 2 __

3 .

x

2

5

B

Cleachtadh 22.2 1. Faigh sin, cos agus tan na huillinne faoi cheannlitir i ngach ceann de na triantáin seo

thíos:

A

5 3 13 21

12

5

4B

C

3

2. Sa triantán ar dheis, abair cén cóimheas (síneas, comhshíneas nó tangant)

(i) a nascann 3, 4 agus an uillinn A (ii) a nascann 4, 5 agus an uillinn A (iii) a nascann 3, 5 agus an uillinn A.

3. Scríobh síos a bhfuil ar iarraidh i ngach ceann de na boscaí daite seo:

(i) sin 5 5 ___ 13

(ii) tan 5 12 ___ 5

(iii) cos 5 5 ___ 13

(iv) A 5 12 ___ 13

(v) B 5 5 ___ 13

(vi) A 5 5 ___ 12

4. Faigh fad an tsleasa x ar an triantán dronuilleach seo. Scríobh síos dá réir sin a luach seo: (i) sin A (ii) cos A (iii) tan A.

A

5 3

4

135

12A

B

17

15A

x

435

5. Faigh luach a ar an triantán dronuilleach ar dheis. Scríobh síos dá réir sin a luach seo:

(i) sin B (ii) cos B (iii) tan B.

6. Taispeántar an uillinn u agus na trí shlios ar thriantán dronuilleach sa léaráid ar dheis. I gcás gach ceann de na cóimheasa seo, abair cé acu sin u, cos u nó tan u a seasann sé dó.

(i) 4 __ 5

(ii) 4 ____ √

___ 41 (iii) 5 ____

√___

41

7. Má tá cos B 5 5 __ 13 , tarraing sceitse garbh de thriantán dronuilleach agus bain úsáid as chun na cóimheasa sin B agus tan B a scríobh síos.

8. (i) Má tá tan A 5 1 _ 2 , faigh sin A. (ii) Má tá cos B 5 2 _ 5 , faigh tan B.

9. Má tá tan C 5 1 ___ √

__ 3 , faigh luach sin C agus cos C.

10. Ón triantán ar dheis, scríobh síos luach (i) sin2 A 1 cos2 A (ii) sin2 B 1 cos2 B.

Má tá do chuid comhairimh déanta i gceart agat, tá tú tar éis rud fíorthábhachtach a fhíorú maidir le gach uile uillinn, i.e.

sin2 A 1 cos2 A 5 1.

Mír 22.3 Cóimheasa agus uillinneacha a fháil le háireamhán Go hiondúil, tomhaistear uillinneacha ina gcéimeanna.

90°Is ionann dronuillinn, is é sin an ceathrú cuid de rothlú iomlán, agus 90°.

Gheobhaimid luach síneas, comhshíneas nó tangant uillinne ar bith ach úsáid a bhaint as na heochracha sin , cos agus tan ar áireamhán leictreonach.

Chun sin 35° a fháil, eochraigh sin 35 � .

Is é an freagra ná 0.573576 … 5 0.5736, ceart go dtí 4 ionad de dheachúlacha.

Chun tan 37.4° a fháil, eochraigh tan 37.4 � .

Is é an freagra ná 0.7646.

3

B

a13

4

5θ

41

8A

B

610

436

Uillinneacha a thomhas ina gcéimeanna, ina nóiméid agus ina soicindí (DMS i mBéarla) Is féidir céim a roinnt ina 60 cuid.

Nóiméad amháin a thugtar ar gach cuid agus is mar seo a scríobhtar é: 19.

Is féidir nóiméad a roinnt ina 60 cuid freisin.

Soicind amháin, a thugtar ar gach ceann de na codanna beaga seo agus is mar seo a scríobhtar é: 10.

Nuair a scríobhtar uillinneacha i bhfoirm DMS, go hiondúil tugtar an uillinn go dtí an nóiméad is gaire.

Má úsáideann tú áireamhán chun 38.6° a thiontú go foirm DMS, is féidir ceachtar den dá mhodh seo a úsáid:

1. Eochraigh 38.6 SHIFT D°M�S

Is é an freagra ná 38°3690.

2. 0.6° 5 0.6 3 609 5 369 … 1° 5 609

Mar sin, 38.6° 5 38°369.

Sampla 1 (i) Tiontaigh 76.7° go foirm DMS. (ii) Tiontaigh 35°549 go foirm dheachúlach.

(i) Eochraigh 76.7 D°M�S �

Is é an freagra ná 76°42900 5 76°429

(ii) Eochraigh 35 D°M�S 54 D°M�S � SHIFT D°M�S

Is é an freagra ná 35.9°.

Na heochracha sin�1 cos�1 agus tan�1 a úsáid Má insítear dúinn go bhfuil sin A 5 0.8661, beidh an uillinn A le fáil againn ach an eochair

sin�1 a oibriú.

Tiocfar ar an eochair sin�1 ach SHIFT sin a eochrú ar an áireamhán.

Mar sin, má tá sin A 5 0.8661, gheofar A ach SHIFT sin 0.8661 � a eochrú.

Is é an freagra ná 60.008° 5 60°.

Ar an gcuma chéanna, má tá tan B 5 1.2734, gheofar an uillinn B ach SHIFT tan 1.2734 � a eochrú.

Is é an freagrá ná 51.86° ... ceart go dtí 2 ionad de dheachúlacha.

1° 5 609

Ní D°M�S ach a bhíonn ar áireamháin CASIO.

437

Sampla 2

(i) Faigh cos 72°189, ceart go dtí 4 ionad de dheachúlacha. (ii) Má tá sin A 5 0.5216, faigh A ceart go dtí an chéim is gaire.

(i) Gheobhaidh tú cos 72°189, ach cos 72 D°M�S 18 D°M�S � a eochrú.Is é an freagra ná 0.3040.

Nó 189 5 18 __ 60 ° 5 0.3° ⇒ 72°189 5 72.3°

Mar sin, más é 72.3° atá uait, eochraigh cos 72.3 �

(ii) Má tá sin A 5 0.5216, gheobhaimid A ach an méid seo a eochrú

SHIFT sin 0.5216 �

Is é 31.44° an freagra. ⇒ A 5 31°, go dtí an chéim is gaire.

Tabhair faoi deara go n-úsáidtear an eochair D°M�S faoi dhó.

Nóta: Má insítear duit go bhfuil sin A 5 4 _ 7 , gheobhaidh tú an uillinn A ach é seo a eochrú:

SHIFT sin 4 � 7 �

Is é 34.8° an freagra.

Sampla 3

(i) Sloinn suim 28°149 agus 45°529 i bhfoirm DMS. (ii) Faigh 84°289 2 16°369 i bhfoirm dheachúlach.

(i) Eochraigh 28 D°M�S 14 D°M�S 1 45 D°M�S 52 D°M�S �

Is é an freagra ná 74°6900 5 74°69.

(ii) Key in 84 D°M�S 28 D°M�S 2 16 D°M�S 36 D°M�S �

Is é an freagra ná 67°52’0’’ = 67°52’.Chun 67°529 a thiontú go foirm dheachúlach, eochraigh

67 D°M�S 52 D°M�S � SHIFT D°M�S

Is é an freagra ná 67.866° = 67.9°.

Cleachtadh 22.3 1. Tiontaigh gach ceann de na huillinneacha seo go céimeanna agus nóiméid:

(i) 28.5° (ii) 31.4° (iii) 62.8°

(iv) 74.6° (v) 16.25° (vi) 44.75°

(vii) 0.5° (viii) 27.65°

438

2. Tiontaigh gach ceann de na huillinneacha seo go foirm dheachúlach. Tabhair an freagra ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha. (i) 24°309 (ii) 46°369 (iii) 72°429 (iv) 21°489

(v) 65°269 (vi) 13°289 (vii) 29°359 (viii) 68°159

3. Sloinn gach ceann díobh seo mar uillinn aonair i bhfoirm DMS:

(i) 12°159 1 28°349 (ii) 29°149 1 36°549

(iii) 37°149 1 46°389 (iv) 74°129 2 57°389

(v) 38°169 2 31°489 (vi) 124°179 2 68°409

4. Faigh méid na huillinne A sa triantán thíos.

38°42�

A

Tabhair do fhreagra ina chéimeanna agus ina nóiméid.

5. Bain úsáid as d’áireamhán chun luach gach ceann díobh seo a fháil, ceart go dtí 4 ionad de dheachúlacha: (i) sin 48° (ii) cos 74° (iii) tan 15° (iv) sin 72° (v) cos 28.5°

6. Bain úsáid as d’áireamhán chun luach gach ceann díobh seo a fháil, ceart go dtí 4 ionad de dheachúlacha: (i) cos 28°189 (ii) sin 36°429 (iii) tan 74°549 (iv) sin 17°529

7. Bain úsáid as d’áireamhán chun méid gach ceann de na huillinneacha seo a fháil, ceart go dtí an chéim is gaire: (i) sin A 5 0.7453 (ii) cos B 5 0.3521 (iii) tan C 5 1.4538 (iv) cos A 5 0.2154 (v) tan B 5 0.8923 (vi) sin C 5 0.2132

8. Faigh luach A i ngach ceann díobh seo a leanas. Tabhair do fhreagra ina chéimeanna, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha. (i) sin A 5 0.6 (ii) cos A 5 0.7534 (iii) tan A 5 3.84 (iv) cos A 5 0.2715

9. Faigh luach na huillinne u, ceart go dtí an chéim is gaire, i ngach ceann díobh seo:

(i) sin u 5 2 _ 3 (ii) cos u 5 3 _ 5 (iii) tan u 5 7 _ 8 (iv) sin u 5 2 _ 5

(v) tan u 5 6 __ 11 (vi) sin u 5 1 _ 5 (vii) cos u 5 9 __ 11 (viii) tan u 5 1 3 _ 5

10. Má tá cos A 5 0.5484 agus A , 90°, faigh A agus dá réir sin, faigh luach sin A, ceart go dtí 2 ionad de dheachúlacha.

11. Má tá tan A 5 1.3462, faigh A ina chéimeanna agus ina nóiméid, ceart go dtí an nóiméad is gaire.

439

12. Scríobh síos cé acu cóimheas triantánúil a theastaíonn chun an uillinn u i ngach ceann de na triantáin seo a ríomh: (i)

θ

710

(ii)

θ

6

15

(iii)

θ14 7

13. Faigh, ceart go dtí an chéim is gaire, méideanna na n-uillinneacha A, B agus C sna triantáin thíos:

A

106

8

3 5

4B C

14. Sna triantáin thíos, tá na faid uile in cm. Ríomh luach gach uillinne a bhfuil litir uirthi, ceart go dtí an chéim is gaire.

a

6

15

5 12

14

7

c

b

15. Úsáid an cóimheas cuí chun méid gach ceann de na huillinneacha marcáilte a oibriú amach ina chéimeanna, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha:

4.2 cm

6.3 cm

6.4 cm

9.1 cm

10.9 cm

5.1 cm

AB

C

16. Faigh luach na huillinne u i ngach ceann díobh seo: (i) 2 sin u 5 1 (ii) 5 cos u 5 2 (iii) 2 tan u 5 1Tabhair gach freagra ceart go dtí an chéim is gaire.

17. Taispeánann an léaráid crann ceartingearach atá 12 m ar airde. Is é 30 m fad scáth an chrainn ar thalamh chothrománach. Ríomh méid na huillinne x, ceart go dtí an chéim is gaire.

30 m

12 m

x

440

18. I rith ceachta ar an triantánacht, scríobhann grúpa daltaí síos roinnt ráiteas maidir lena dtuairimí ar cad a tharlóidh nuair a fhéachann siad ar luachanna feidhmeanna triantánúla roinnt uillinneacha. Ansin, faigheann siad Sin, Cos agus Tan roinnt uillinneacha, ceart go dtí 3 ionad de dheachúlacha, chun a gcuid smaointe a thástáil. Seo roinnt de na tuairimí a scríobh siad síos.

(a) Beidh an luach ó cheann ar bith de na feidhmeanna triantánúla seo níos lú ná 1 i gcónaí.

(b) Má dhúblaítear méid na huillinne, ní dhúblóidh an luach ó na feidhmeanna triantánúla.

(c) Méadóidh an luach ó na feidhmeanna triantánúla uile má mhéadaítear méid na huillinne.

(i) An bhfuil (a) ceart, dar leat? Tabhair sampla chun tacú le do thuairim.

(ii) An bhfuil (b) ceart, dar leat? Tabhair sampla chun tacú le do thuairim.

(iii) An bhfuil (c) ceart, dar leat? Tabhair sampla chun tacú le do thuairim.

Mír 22.4 Triantáin dhronuilleacha a réiteach Sa roinn seo, úsáidfimid cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint chun slios ar thriantán dronuilleach nach bhfuil a fhad ar eolas againn, nó uillinn i dtriantán dronuilleach nach bhfuil a méid ar eolas againn, a fháil.

Nuair a úsáideann tú áireamhán chun síneas, comhshíneas nó tangant uillinne a fháil, scríobh an luach ceart go dtí 4 ionad de dheachúlacha.

Sampla 1

Faigh faid na sleasa x agus y ar an triantán seo.

Tabhair do fhreagra ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

x ___ 12

5 cos 35° y

___ 12

5 sin 35°

x ___ 12

5 0.8192 y

___ 12

5 0.5736

x 5 12(0.8192) y 5 12(0.5736)

x 5 9.8304 y 5 6.8832

x 5 9.8 y 5 6.9

12 y

x35°

441

Sampla 2

Sa triantán ar dheis, |AB| 5 9 agus |BC| 5 13.

Faigh |∠ACB|, ceart go dtí an chéim is gaire.

tan ∠ACB 5 9 __ 13

|∠ACB| 5 tan21 9 __ 13

|∠ACB| 5 34.695° Eochraigh SHIFT tan 9 � 13 �

5 35°, ceart go dtí an chéim is gaire.

C B

A

13

9

Cleachtadh 22.4 1. Scríobh síos cé acu cóimheas triantánúil a theastaíonn chun fad an tsleasa x ar gach

ceann de na triantáin seo a ríomh:

(i) (ii) (iii)

2. I gcás gach ceann de na triantáin seo, oibrigh amach fad an tsleasa a bhfuil litir air. Tabhair gach freagra ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

(i) (ii) (iii)

3. Faigh fad an tsleasa x ar na triantáin seo. Tabhair do chuid freagraí ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

(i) (ii) (iii)

10

x40°

x

54°10

x

32°12

33°

7x

42°

15y

58°12

z

6

x

29°

15

x

48° 20x

34°

442

4. Faigh méid na huillinne A i ngach ceann de na triantáin seo. Tabhair na freagraí ceart go dtí an chéim is gaire.

(i) (ii) (iii)

5. Faigh méid na n-uillinneacha p, q agus r i ngach ceann de na triantáin seo. Tabhair gach freagra ceart go dtí an chéim is gaire.

(i) (ii) (iii)

6. Cóipeáil agus comhlánaigh iad seo a leanas chun fad an tsleasa x a fháil.

8 __ x

5 cos 32°

x 3 cos 32° 5 8

x 5 8 _______ cos 32°


7. Faigh fad an taobhagáin x ar gach ceann de na triantáin seo:

(i) (ii) (iii)

Tabhair gach freagra ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

8. Maidir leis an triantán seo de, faigh luach x agus y, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

37°62°

8

x

y

53

A

7

10

A

7 3

A

513p 25

10

q 9

15r

832°

x

8

42°

x

51°10

x

73°

18

x

443

9. Oibrigh amach fad an tsleasa a bhfuil litir air ar gach ceann de na triantáin seo a leanas. Tabhair an freagra ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

56°

48°

60°a b

c

12 m

72 cm9 cm

10. Sa triantán ar dheis, faigh

(i) x, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha (ii) an uillinn A, ceart go dtí an chéim is gaire.

11. Is dronuilleog í ABCD mar a léirítear.Má tá |DC| 5 11 cm agus |∠BDC| 5 28°, faigh fad an trasnáin [DB].Tabhair an freagra i gceintiméadair, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

12. Seasann an léaráid seo do fhráma dín, PQRS.S

Q7.5 mP

4 m

3.2 m

R

|PQ| 5 7.5 m, |QR| 5 4 m agus |SQ| 5 3.2 m. (i) Ríomh fad [PS]. (ii) Faigh |∠SRQ|, ceart go dtí an chéim is gaire.

13. Sa léaráid ar dheis, |AD| 5 6 cm, |DB| 5 9 cm, |∠CAD| 5 35° agus CDAB.

Faigh (i) |CD|, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha

(ii) |∠CBD|, ceart go dtí an chéim is gaire.

A60°

20

8

x

28°11 cm

A B

D C

35°A

C

D B9 cm6 cm

444

Mír 22.5 An triantánacht a úsáid chun fadhbanna a réiteach Agus muid ag plé le fadhbanna triantánúla, feicfimid na téarmaí uillinn airde agus uillinn ísle go minic. Taispeánann na léaráidí thíos cad atá i gceist leis na téarmaí sin.

uillinnairde

cothromán

líne amhaircuillinn

ísle

cothromán

líne amhairc

De ghnáth, úsáidtear claonmhéadar chun uillinneacha airde agus ísle a thomhas.

Sampla 1

Seasann Aodán ag A, go díreach faoi cheann crann tógála.Ó A, siúlann sé 10 m go B.Ag B, tomhaiseann sé uillinn airde cheann an chrainn agus faigheann sé 73°.

Cén airde é ceann an chrainn?

Úsáidfimid tangant 73° chun h a fháil.

h ___ 10

5 tan 73°

h 5 10 3 tan 73°

h 5 10 (3.2709)

h 5 32.709 m

is é 32.7 m airde cheann an chrainn.

73°10 m

h

A B

Cleachtadh 22.5 1. Déanann dréimire uillinn 70° leis an talamh.

Tá bun an dréimire 1.2 m ón mballa. Cén fad atá sa dréimire?


1.2 m70°

445

2. Is é 47° an uillinn airde go barr crainn, ó phointe ar an talamh atá 20 m ó bhun an chrainn. Ríomh airde an chrainn, ceart go dtí an méadar is gaire.

3. Sa léaráid, feictear teach solais, 30 m ar airde, ina sheasamh ar thalamh réidh.

Oibrigh amach uillinn airde bharr an tí solais ón bpointe A ar an talamh, ceart go dtí an chéim is gaire.

4. Seolann dhá luamh isteach i gcuan ag R. Taispeántar a suíomh sa léaráid ar dheis, áit a bhfuil PQ ingearach le PR. (i) Faigh an fad ó Q go R. (ii) Faigh méid na huillinne PRQ.Tabhair gach freagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire

5. Seasann Siobhán ag an bpointe P ar bhruach abhann. Tá crann, C, trasna uaithi go ceartingearach ar an mbruach eile. Siúlann sí 25 méadar le taobh na habhann go dtí pointe Q. Tomhaiseann sí an uillinn idir QC agus QP agus faigheann sí amach go bhfuil an uillinn cothrom le 38°.Faigh leithead na habhann, ceart go dtí an méadar is gaire.

6. Sa léaráid, feictear trasghearradh linn snámha. Is é u an uillinn a dhéanann an chuid chlaon den linn leis an gcuid chothrománach. Faigh u, ceart go dtí an chéim is gaire.

47°20 m

30 m

A20 m

54 km

Q

112 kmP R

C

PQ 25 m

38°

50 m

θ14 m

2.5 m

446

7. Ó bharr aille atá 25 m ar airde, is é 28° an uillinn ísle atá ag curach. Cén fad amach ó bhun na haille atá an churach seo? Tabhair do fhreagra ceart go dtí an méadar is gaire.

8. Sheas Aindí 5 m ó bhun crainn. Thomhais sé uillinn airde bharr an chrainn agus 59° a fuair sé. Ansin thomhais sé uillinn ísle bhun an chrainn agus 20° a fuair sé. (i) Cén fad é [GH]? (ii) Oibrigh amach fad [TH],

ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha. (iii) Cad iad na ríomhanna eile is gá a dhéanamh

chun airde an chrainn a fháil? (iv) Cad é airde an chrainn, ina méadair, ceart go

dtí ionad amháin de dheachúlacha?

9. Tá balla atá 2.1 m ar airde ag imeall trá, atá 8 m ar leithead. Tomhaiseann Síle uillinn ísle snámhaí ó bharr an bhalla agus 6° a fhaigheann sí. Cá fhad amach san fharraige atá an snámhaí? Tabhair do fhreagra ceart go dtí an méadar is gaire.

10. Sa léaráid, feictear foirgneamh ceartingearach ina sheasamh ar thalamh chothrománach. Tá na pointí A, B agus C i líne dhíreach ar an talamh. Tá an pointe T ag barr an fhoirgnimh, sa chaoi go bhfuil TC ingearach. Is é 40° uillinn airde T, mar a thaispeántar sa léaráid.

8 m

20 m

40°A B C

T

(i) Oibrigh amach |TC|, airde an fhoirgnimh. (ii) Oibrigh amach méid uillinn airde T ó B. (iii) Oibrigh amach méid na huillinne ATB.Tabhair na freagraí uile ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

25 m

28°

59°GH

T

20°

5 m

6°

8 m2.1 m

447

11. Leagadh píopaí draenála ar thrasnán banraí dronuilleogaí, mar a thaispeántar sa léaráid. Cén uillinn a bhí idir suíomh na bpíopaí agus slios gearr na banraí? Tabhair do fhreagra ceart go dtí an chéim is gaire.

12. Tá crann brataí ina sheasamh ar bharr foirgneamh rialtais. Ón bpointe D atá 4 m amach ó bhonn an fhoirgnimh, tomhaiseann Sinéad na huillinneacha airde ó bharr, A, agus ó bhun, B, an chrainn. Taispeántar a cuid tomhas ar an léaráid.

(i) Faigh fad [AC]. (ii) Faigh fad [BC] agus airde, h, an chrainn bhrataí.Tabhair na freagraí uile ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

13.

4 m

DESK

D E S K

DE

SK

2.3 m

1.6 m

2.75 m

4 m

2.75 m

4 m

2.75 m

An féidir bord atá 2.3 m faoi 1.6 m a chasadh i seomra atá 4 m faoi 2.75 m? Mínigh do fhreagra.

14. Chun siondróm róshaothrú ceirde a sheachaint, deir na treoirlínte gur ceart suí 55 cm ó lár an scáileáin agus ag uillinn ísle 15°.

(i) Cén airde os cionn an scáileáin is ceart do na súile a bheith? (ii) Cén fad cothrománach ón scáileán is ceart duit suí?Tabhair gach freagra i gceintiméadair, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

?

64 m

35 m

55 cm15°

A

B

68°

73°

h

4 m CD

448

15. Is mar seo a thomhaiseann Mairéad an fad idir dhá bhád, P agus R, ar bhruach thall na habhann: Tosaíonn sí ag A, os comhair bhád P. Ó A siúlann sí go B, fad 54 m. Tomhaiseann sí an uillinn ABP agus faigheann sí 43°. Tomhaiseann sí an uillinn CBR agus faigheann sí 47°. Ó na tomhais seo, tá sí ábalta an fad |PR|, idir an dá bhád, a fháil. (i) Ríomh w, leithead na habhann, ag úsáid

an triantáin APB. (ii) Ag úsáid an triantáin CBR, ríomh an fad |BC|.

Uaidh sin, faigh an fad idir an dá bhád.Tabhair gach freagra i méadair, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

16. Sa léaráid, feictear éadan ceartingearach aille, PZ, a sheasann ar thrá chothrománach, XYZ. Is é 44° uillinn airde P ó charraig ar an trá, mar a léirítear sa léaráid. (i) Oibrigh amach PZ, airde éadan na haille. (ii) Oibrigh amach uillinn airde P, ón

bpointe Y ar an trá, ceart go dtí an chéim is gaire.

(iii) Oibrigh amach méid na huillinne XPY go dtí an chéim is gaire.

17. Teastaíonn ó Aodh feilt nua a chur ar dhíon a chlaonsiúntáin. Díoltar feilt i rollaí atá 5 m ar fad agus 1 m ar leithead. Cosnaíonn siad €40 an ceann.

(i) Cé mhéad rolla a theastóidh uaidh? Greamaítear an feilt le greamachán a chosnaíonn €18 le haghaidh canna ina bhfuil 2.5 lítear. Clúdóidh sé 6 m2.

(ii) Cé mhéad a bheidh le híoc ag Aodh ar bhunábhair na hoibre?

18. Taispeántar sa léaráid trasghearradh dín. 7.5 m ar fad atá na sleasa. Tá an dá shlios claonta ar uillinn 32° leis an gcothromán. (i) Faigh an airde h. (ii) Faigh w, leithead thaca an dín.Tabhair gach freagra i méadair, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

A

B

C R

P

43°

w

47°

54 m

P

Z44° 7 m

18 mYX

2 m4 m

3 m

2 m

32°32°

7.5 m 7.5 mh

w

449

Mír 22.6 Na huillinneacha 30°, 45° agus 60° Úsáidtear na huillinneacha 30°, 45° agus 60° go han-mhinic agus úsáidfimid triantáin chun cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint ar na huillinneacha sin a chur in iúl mar chodáin nó mar shurdaí.

An uillinn 45° Is triantán comhchosach é an triantán ar dheis a bhfuil na sleasa cothroma air 1 aonad ar fad.

Tá an taobhagán √__

2 aonad ar fad.

Is féidir cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint a léamh ón triantán.

sin 45° 5 1 ___ √

__ 2 cos 45° 5 1 ___

√__

2 tan 45° 5 1

Na huillinneacha 30° agus 60° Tá uillinneacha 60° agus 30° sa triantán dronuilleach ar dheis.

Is féidir linn an triantán seo a úsáid chun cóimheasa triantánúla an dá uillinn seo a scríobh.

sin 60° 5 √

__ 3 ___

2 cos 60° 5 1 __

2 tan 60° 5 √

__ 3

sin 30° 5 1 __ 2

cos 30° 5 √

__ 3 ___

2 tan 30° 5 1 ___

√__

3

Nóta: Tá cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint do 30°, 45° agus 60° le fáil ar leathanach 13 de Foirmlí agus Táblaí.

Sampla 1

Faigh luach x agus luach y ar an triantán dronuilleach ar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.

x __ 4

5 tan 60° 4 __ y

5 cos 60°

⇒ x __ 4

5 √

__ 3 ___

1 ⇒ 4 __

y 5 1 __

2

⇒ x 5 4 √__

3 ⇒ y 5 8

y x

60°4

Nóta: sin2 60° 5 (sin 60°)2 5 (  √__

3 __ 2 )

2 5 3 _ 4

45°

45°

1

1

2

60°

30°

32

1

450

Cleachtadh 22.6Gan áireamhán a úsáid, scríobh síos luach gach ceann díobh seo a leanas mar chodán simplí nó mar shurda:

1. cos 60° 2. tan 45° 3. sin 30° 4. cos 45° 5. sin2 30°

6. cos 30° 7. sin 60° 8. cos2 45° 9. sin2 60° 10. tan2 30°

11. Taispeáin go bhfuil (i) 1 2 sin2 30° 5 cos2 30° (ii) sin 60° 5 2 sin 30° cos 30°

12. Faigh luach x agus luach y ar an triantán ar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.

13. Faigh luach x agus luach y ar an triantán ar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.

14. Faigh luach x, y agus z sa léaráid ar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.

15. Faigh luach na huillinne A sa triantán ar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.

16. Samhlaigh gort i gcruth triantáin chomhshleasaigh, mar a léirítear. Tá gach slios 40 m ar fad.Mol dhá mhodh inar féidir achar an ghoirt a fháil, gan áireamhán a úsáid.Bain leas as an dá mhodh sin chun an t-achar a fháil.Tabhair do fhreagra i bhfoirm surda.

60°

y6

x

60°45°

2x

y23

60°30°

x

zy8

348

A

40 m

40 m

40 m

Cuir triail ort féin 22 1. Faigh fad an tsleasa x ar an triantán ar dheis.

Uaidh sin, scríobh iad seo ina gcodáin (i) tan A (ii) sin A (iii) cos A.Anois, faigh tomhas na huillinne A, ceart go dtí an chéim is gaire.

2. Sa triantán ar dheis, |∠ACB| 5 34°, |∠ABC| 5 90° agus |AB| 5 12 cm.

Faigh |BC|,ina cm, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

3. Faigh an t-achar atá ar iarraidh i ngach ceann de na fíoracha seo a leanas:

(i) (ii)

?

4 cm2

29 cm2

(iii)

?

31 cm2

5 cm2

4. I gcás an triantáin ar dheis, |AB| 5 12 cm, |CD| 5 20 cm, |∠ABC| 5 43° agus |∠ACD| 5 90°.

(i) Faigh |AC|, ceart go dtí an cm is gaire. (ii) Faigh |∠ADC|, ceart go dtí an chéim

is gaire.

5. D’fhág eitleán Aerfort na Sionainne. Tar éis dó 8 km a thaisteal, bhí airde 2.1 km bainte amach aige.

8 km 2.1 km

Oibrigh amach an uillinn ag a raibh an t-eitleán ag ardú. Tabhair an freagra ceart go dtí an chéim is gaire.

513

xA

34°C B

A

12 cm

30 cm2

17 cm2

?

43°

20 cm

12 cm

C

A

B D

451

6. Sa léaráid ar dheis, tá |AD| 5 6 cm, |DB| 5 9 cm, |∠CAD| 5 35° agus tá CD ingearach le AB.

(i) Faigh |CD|, ina cm, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

(ii) Faigh |∠CBD|, ceart go dtí an chéim is gaire.

7 (i) Sloinn 28.75° ina chéimeanna agus ina nóiméid. (ii) Sloinn 37°069 ina chéimeanna. (iii) Úsáid an triantán ar dheis chun luach

sin2 60° 1 cos2 30°, san fhoirm a __ b

, a scríobh, áit a bhfuil a, b N.

8. Taispeánann an léaráid dearadh do lógó a bheidh ar crochadh taobh amuigh de cheanncheathrú comhlachta. Tá na triantáin ABC agus ADE ann. 90° atá sna sna huillinneacha ACB agus ADE araon.

(i) Oibrigh amach fad [AC], ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

(ii) Faigh |∠DAE|, ceart go dtí an chéim is gaire.

9. Taispeántar na toisí do thaobh bosca neadaireachta sa léaráid ar dheis. Ríomh fad an tsleasa [PS]. Tabhair do fhreagra ina cm, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

10. Faigh an fad atá ar iarraidh i gcás gach ceann de na fíoracha seo a leanas:

(i) 13 cm2

6 cm ?

(ii) (iii)

6 cm

35°

DA

C

B9 cm

30°

60°

32

1

A

112 cm

75 cm

48 cm63°

E

D

B

C

Q

P

R

S

16 cm

15 cm

21 cm

7 cm

?33 cm2

?

43 cm2

18 cm2

452

11. Cé mhéad céim atá ag an uillinn x sa bhreis ar an uillinn y?

8 cm

6 cm

x

y

6 cm

B

C

D

A

Tabhair do fhreagra ceart go dtí an chéim is gaire.

12. (i) Sa triantán dronuilleach seo, tá ceann de na géaruillinneacha ceithre huaire níos mó ná an ghéaruillinn eile. Faigh tomhas an dá ghéaruillinn.

(ii) Leagtar an triantán i gcuid (i) ar léaráid chomhordanáideach. Tá an bonn comhthreomhar leis an x-ais, mar a léirítear. Faigh fána na líne ar cuid di é taobhagán an triantáin.Tabhair do fhreagra ceart go dtí dhá ionad de dheachúlacha.

13. Sa triantán ABC thíos, tá dronuillinn ag B. (i) Ríomh achar an triantáin ABC.

B

CA

20 m 15 m

25 m

(ii) Tarraingítear |BD|, airde an triantáin ABC, mar a léirítear. B

DCA

20 m 15 m

25 m

Úsáid an freagra a fuair tú i gcuid (i) chun an airde |BD| a ríomh.

y

xO

�

453

14. Teastaíonn ó ghrúpa daltaí airde an Túir Solais i mBaile Átha Cliath a thomhas. Seasann an Túr ar thalamh réidh chothrom. Úsáideann Máire, atá 1.72 m ar airde, claonmhéadar chun féachaint suas ar bharr an túir. Taifeadann sí uillinn airde 60°. Tá a cosa 70 m ó bhonn an Túir. Tomhaiseann Ultán imlíne bhonn an Túir agus faigheann sé 7.07 m. (i) Mínigh conas a úsáidfear tomhas Ultáin chun airde an Túir

a ríomh. (ii) Tarraing léaráid chuí agus ríomh airde an Túir go dtí an méadar

is gaire. Bain úsáid as na tomhais a fuair na daltaí.

15. Tá Róisín ag smaoineamh ar theilifíseán nua a cheannach. Deirtear san fhógra go bhfuil scáileán “40 orlach” ag an teilifíseán. Déanann sé seo tagairt do thomhas thrasnán an teilifíseáin. Tugtar cóimheas treoíochta an scáileáin ar chóimheas an leithid leis an airde. I gcás an teilifíseáin seo, is é 16 : 9 an cóimheas treoíochta (sé aonad déag ar leithead ar gach naoi n-aonad ar airde).

(i) Tiontaigh 40 orlach go ceintiméadair má tá 1 orlach 5 2.54 cm.

(ii) Faigh leithead agus airde an scáileáin ina cm. Tabhair do chuid freagraí ceart go dtí an cm is gaire.

(iii) Tá cóimheas treoíochta 4 : 3 ag teilifíseán eile a bhfuil scáileán 40 orlach aige. Cé acu den dá scáileán teilifíse a bhfuil an t-achar is mó aige, agus cé mhéad de dhifríocht atá eatarthu?

16. Faigh luach a agus b sa léaráid ar dheis, ina bhfuil na dronuillinneacha marcáilte. Tabhair gach freagra mar shurda.

60°

a

1

1

b

454

455

caibi

dil

23

Mír 23.1 Feidhmeanna líneacha a ghrafadh Cuir i gcás an fheidhm f(x) 5 x 1 3.Féadfar an fheidhm a scríobh ina tacar cúplaí ach luachanna difriúla ar x a chur in áit x.

f(1) 5 1 1 3 5 4 ⇒ is cúpla de chuid f é (1, 4). f(2) 5 2 1 3 5 5 ⇒ is cúpla de chuid f é (2, 5).

Is cúplaí eile iad (0, 3), (23, 0), …Má ghraftar agus má cheanglaítear na cúplaí seo,

�1

1

2

3

4

5

�4 �2�3 �1 2O 4 x

y

1 3

déanfaidh siad líne, mar a léirítear.

Tharla gur líne é graf f(x) 5 x 1 3, deirimid gur feidhm líneach é f(x).

Is í an líne an fheidhm is éasca a ghrafadh, ós féidir í a bhreacadh gan ach dhá phointe a bheith againn.

Is gnách go dtugtar fearann na feidhme dúinn.Is mar seo a scríobhtar an fearann x 5 22 go dtí x 5 3, an dá luach sin san áireamh: 22 < x < 3.

Nuair a bhreacaimid líne, is leor dhá phointe a úsáid chun í a bhreacadh ach go hiondúil, úsáidimid trí phointe ar fhaitíos go ndéanfar botún.

Sampla 1

Graf an fheidhm f(x) 5 2x 2 4 san fhearann 21 < x < 4.Déan iad seo amach ón ngraf:(i) f(3) (ii) an luach ar x a fhágann f(x) 5 22.

Feidhmeanna a Ghrafadh

Focail thábhachtachafeidhm líneach modh na hidirlíne feidhm chearnach parabóil comhéifeacht graif a thrasnaíonn a chéile uasluach íosluach ais na siméadrachta ilfhréamh feidhm easpónantúil easpónant cumhacht

456

Chun trí phointe a fháil, roghnóimid an luach

�1

�2

�3

�4

�5

�6

1

2

3

4

5

�2 �1 2O 4 x

y

51 3

is lú agus an luach is mó ar x san fhearann tugtha agus luach amháin ar x atá idir eatarthu.

x 2x 2 4 y

21 22 2 4 26

0 0 2 4 24

4 8 2 4 4

Is iad seo na trí phointe: (21, 26), (0, 24) agus (4, 4).Ceangail na pointí seo le chéile chun líne a chruthú.

(i) Seasann f(3) don y2luach nuair atá x 5 3. Ón ngraf seo, is é seo 2 i.e. f(3) 5 2.

(ii) f(x) 5 22 ⇒ y 5 22 Is é x 5 1 luach x sa ghraf nuair atá y 5 22.

Líne a bhreacadh ar mhodh na hidirlíne Más san fhoirm 3x 2 4y 5 12, cuir i gcás, a bhíonn cothromóid líne, is áisiúla an dá phointe a dhéanamh amach san áit a dtrasnaíonn an líne an x-ais agus an y-ais.

3x 2 4y 5 12

�1

�2

�3

1

2

�2 �1 2O 4

(4, 0)

(0, �3)

x

y

1 3

x 5 0 ⇒ 0 2 4y 5 12 ⇒ y 5 23

is pointe amháin ar an líne é (0, 23).

y 5 0 ⇒ 3x 5 12 ⇒ x 5 4

is pointe eile ar an líne é (4, 0).

Ceanglaítear na pointí seo agus sin agat an líne atá ag teastáil.

Modh na hidirlíne a thugtar ar an modh seo, go hiondúil.

Cleachtadh 23.1

1. Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla ar dheis agus úsáid an tábla chun graf na líne y 5 2x 2 3 san fhearann 21 < x < 4 a bhreacadh.

x 2x 2 3 y

2101234

457

2. Tarraing graf f(x) 5 2x 2 5 san fhearann 0 < x < 5.

3. Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla ar dheis agus uaidh sin, tarraing graf na feidhme f(x) 5 3x 2 4 san fhearann 21 < x < 3.

4. Tarraing graf na feidhme f(x) 5 6 2 x san fhearann 0 < x < 6 gan ach trí phointe ar an líne a aimsiú.

5. Tarraing graf na feidhme f(x) 5 2x 2 2 san fhearann 22 < x < 3.

6. Ar dheis, feictear graf na feidhme y 5 f(x).

�1

�2

�3

1

2

3

4

5

6

�2�3�4 �1 2O 4 x

y

51 3

Úsáid an graf chun iad seo a scríobh síos:

(i) f(3) (ii) f(0) (iii) f(24) (iv) luach x nuair atá f(x) 5 22 (v) luach x nuair atá f(x) 5 6.

7. Sa léaráid ar dheis, feictear graif dhá líne,

�1

�2

�3

1

2

3

4

5

6

f(x) � x � 1

g(x) � 2x � 2

�2�3�4 �1 2O 4 x

y

51 3

f(x) 5 x 1 1 agus g(x) 5 2x 2 2.

(i) Scríobh síos pointe trasnaithe an dá líne. (ii) Cad é brí na cothromóide f(x) 5 g(x)

sa chás seo? (iii) Réitigh an chothromóid x 1 1 5 2x 2 2.

An bhfuil baint ar bith idir an luach a fuair tú ar x agus pointe trasnaithe an dá líne?

(iv) Seachas a ngraif a bhreacadh, cén bealach eile inar féidir pointe trasnaithe dhá líne a fháil?

(v) Má tá an luach céanna ag f(k) agus g(k), scríobh síos luach k.

8. Ar an léaráid chéanna, tarraing na línte y 5 5 2 x agus y 5 2x 2 4, san fhearann 0 < x < 4. Úsáid do ghraf chun pointe trasnaithe an dá líne a aimsiú agus a scríobh síos.

x 3x 2 4 y

2103

458

9. Faigh na cúplaí (*, 0) agus (0, *) agus, uaidh sin, tarraing graf den líne y 5 4 2 2x.

10. Úsáid modh na hidirlíne chun graf na líne 3x 1 2y 5 6 a tharraingt.

11. Úsáid modh na hidirlíne chun an dá líne seo a bhreacadh ar an ngraf céanna:

2x 1 y 5 4 agus x 2 y 5 2.

Cá dtrasnaíonn an dá líne a chéile?

12. Grafadh na línte y 5 x 1 2, y 5 2x 1 2

�1

�2

1

2

3

4

5y � �x � 2 y � x � 2

y � 2x � 2

�2�3�4�5 �1 2O 4 x

y

51 3

agus y 5 2x 1 2 ar na haiseanna céanna ar dheis.

(i) Cén chaoi a bhfuil na línte cosúil le chéile? (ii) Cén chaoi a bhfuil na cothromóidí líneacha

cosúil le chéile? (iii) Cén chaoi a bhfuil na línte difriúil le chéile? (iv) Cén chaoi a bhfuil na cothromóidí líneacha

difriúil le chéile?

13. Scríobh síos an chéad trí phointe eile sa phatrún thíos:

(1, 8), (0, 6), (21, 4) …

Anois, breac na pointí seo le taispeáint go bhfuil siad ar líne dhíreach.

14. Maireann piongainí in aeráidí an-fhuar. Tugann an riail T 5 20.5t 2 1 an teocht T°C ag coilíneacht piongainí, t uair an chloig tar éis meán oíche.

t 0 1 2 3 4 5 6

T

(i) Comhlánaigh an tábla, a thugann an teocht suas go dtí 6 a.m.. (ii) Ar thacar aiseanna de do chuid féin, breac na pointí, ag úsáid na gcomhordanáidí

a thugann na luachanna sa tábla duit. (iii) Ceangail na pointí breactha le líne dhíreach. Ná lean leis an líne. (iv) Ón ngraf, léigh an teocht ag 5.30 a.m.. (v) Úsáid an riail a cheanglaíonn T le t chun an teocht bheacht ag 5.30 a.m. a fháil.

15. Socraíonn Seán agus Eilís go siúlfaidh siad go dtí an linn snámha áitiúil atá leathchiliméadar ar shiúl. Tosaíonn Eilís ag siúl ar luas 40 m sa nóiméad. Tosaíonn Seán dhá nóiméad níos déanaí agus siúlann sé ar luas 50 m sa nóiméad. (i) Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla a leanas a thaispeánann líon na méadar atá

siúlta ag Eilís tar éis méideanna áirithe nóiméad:

459

t (nóim.) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d (méadair) 0 40 80

(ii) Ar thacar aiseanna de do chuid féin, breac na pointí a thugtar sa tábla seo duit. Cuir t-luachanna ar an ais chothrománach agus d-luachanna ar an ais cheartingearach. Ceangail na pointí ina líne dhíreach. Cuir lipéid shoiléire agus scálaí soiléire ar na haiseanna.

(iii) Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla a leanas a thaispeánann líon na méadar atá siúlta ag Seán tar éis méideanna áirithe nóiméad:

t (nóim.) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d (méadair) 0 0 0 50

(iv) Ar an tacar aiseanna céanna, breac na pointí seo le dath difriúil. Ceangail na pointí breactha ina líne dhíreach.

(v) Ón dá ghraf, déan amach cathain a bhuaileann Seán le hEilís. Cén t-achar (Cén fad slí) atá siúlta ag Seán agus ag Eilís nuair a bhuaileann siad le chéile?

Mír 23.2 Graif d’fheidhmeanna cearnacha Parabóil a thugtar ar an gcuar ar dheis.

Talamh

Liathróid

Tagann an t-ainm parabóil ón bhfocal Gréigise ar ‘caitheamh’ mar nuair a chaitear liathróid, mar shampla, go hard san aer, déanann a conair cruth parabóileach.

Déanann droichid chrochta, mar shampla Droichead an Golden Gate in San Francisco, cuair pharabóileacha.

Is é y 5 x2 an fheidhm chearnach is simplí. Is féidir a graf a bhreacadh ó thábla luachanna ó x 5 23 go dtí x 5 3.

x 23 22 21 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

Is iad seo na pointí a léirítear ar an gcuar seo:(23, 9), (22, 4), (21, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)

Nuair a cheanglaítear na pointí seo le chéile, cruthaítear cuar mín ar a dtugtar parabóil. Tabhair faoi deara go bhfuil an graf siméadrach thart ar an y-ais. Mar gheall air sin, ais na siméadrachta a thugtar ar an y-ais.

2

4

6

8

10

�2�3�4 �1 2O 4 x

y

1 3

460

Is féidir an fheidhm a léirítear thuas a scríobh ar bhealaí éagsúla:

(i) y 5 x2 (ii) f(x) 5 x2 (iii) f : x → x2

Feidhm chearnach a thugtar ar fheidhm san fhoirm f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, áit ar tairisigh iad a, b agus c agus a 0.

Tugtar feidhm chearnach uirthi mar go bhfuil téarma in x2 inti.

Chun graf feidhm chearnach a tharraingt, tógaimid líon tugtha de x-luachanna agus faighimid na f(x)-luachanna (nó y-luachanna) comhfhreagracha agus breacaimid na pointí a thagann astu sin.

Nuair a iarrtar orainn graf feidhme a tharraingt, tugtar dúinn na hx-luachanna atá le húsáid go hiondúil. Is mar seo a scríobhtar luachanna x ó 22 go dtí 3, agus iad sin san áireamh: 22 < x < 3.

Sa sampla thíos, tugtar na céimeanna a úsáidtear chun graf cearnach a tharraingt.

Sampla 1Tarraing graf na feidhme f(x) 5 x2 2 2x 23 san fhearann 22 < x < 4.

Leagaimid amach tábla ordphéirí mar seo:

Nuair a ghrafaimid na hordphéirí seo, faighimid an cuar seo a leanas:

�1

�2

�3

�4

�5

1

2

3

4

5

6

�1�2 1O 2 x

y

3 4Is iad seo na hordphéirí:(22, 5), (21, 0), (0, 23), (1, 24), (2, 23), (3, 0), (4, 5).

Feidhmeanna a ghrafadh nuair a bhíonn comhéifeacht x2 diúltach

Má tá comhéifeacht x2 diúltach i bhfeidhm chearnach,

x2 diúltach

e.g. f(x) 5 23x2 1 4, beidh an cruth ar dheis ar ghraf na feidhme.

x x2 2 2x 2 3 y

22 4 1 4 2 3 5

21 1 1 2 2 3 0

0 0 1 0 2 3 23

1 1 2 2 2 3 24

2 4 2 4 2 3 23

3 9 2 6 2 3 0

4 16 2 8 2 3 5

461

Sampla 2

Tarraing graf na feidhme f(x) 5 2x2 1 3x 1 4 san fhearann 22 < x < 5.

Taispeántar thíos tabla na luachanna:

Is iad seo na pointí atá ag teastáil: (22, 26), (21, 0), (0, 4), (1, 6), (2, 6), (3, 4), (4, 0), (5, 26). Léirítear graf na feidhme thíos:

Cleachtadh 23.2

1. Comhlánaigh an tábla ar dheis agus, uaidh sin, tarraing graf na feidhme f(x) 5 x2 2 4 san fhearann 23 < x < 3.

2. Tarraing graf na feidhme f : x → x2 2 4x san fhearann 21 < x < 4.

3. Tarraing graf na feidhme f(x) 5 x2 1 x 2 2 san fhearann 23 < x < 3.

4. Tarraing graf na feidhme f(x) 5 2x2 2 x 2 3 san fhearann 22 < x < 3.

x x22 4 y

232221

0123

x 2 x2 1 3x 1 4 y

22 24 2 6 1 4 26

21 21 2 3 1 4 0

0 0 1 0 1 4 4

1 21 1 3 1 4 6

2 24 1 6 1 4 6

3 29 1 9 1 4 4

4 216 1 12 1 4 0

5 225 1 15 1 4 26

�2

�4

�6

2

4

6

�1�2 1O 2 x

y

3 4 5

462

5. Tarraing graf na feidhme f(x) 5 2x2 1 3x 2 4 san fhearann 23 < x < 2.

6. Tarraing graf na feidhme f(x) 5 2x2 2 5x 2 3 san fhearann 22 < x < 4.

Úsáid do ghraf chun comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an graf an x-ais a fháil. Anois, scríobh síos comhordanáidí an phointe ina dtrasnaíonn an graf an y-ais.

7. Tarraing graf na feidhme y 5 2x2 san fhearann 22 < x < 2.

8. Tarraing graf na feidhme f : x → 2x2 1 2x 1 3 san fhearann 22 < x < 4.

Úsáid do ghraf chun comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an graf an x-ais a fháil.

9. Tarraing graf na feidhme f : x → 22x2 1 x 1 3 san fhearann 22 < x < 3.

Scríobh síos na luachanna ar x ina dtrasnaíonn an cuar an x-ais.

10. Grafaigh an fheidhm f(x) 5 22x2 1 7x 2 3 san fhearann 21 < x < 4.

(i) Úsáid do ghraf chun comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an graf an x-ais a scríobh síos.

(ii) Scríobh síos comhordanáidí an phointe ina dtrasnaíonn an graf an y-ais.

Mír 23.3 Graif chearnacha a úsáid

1. An chothromóid f(x) 5 0 a réiteachTaispeánann an graf ar dheis an cuar

O x

y

b a

f(x) 5 x2 2 2x 2 3 ag trasnú na hx-aise ag a agus b.

Is iad x-luachanna na bpointí seo fréamhacha na cothromóide cearnaí gaolta x2 2 2x 2 3 5 0.Cén fáth sin?

Is féidir f(x) 5 x2 2 2x 2 3 a scríobh mar y 5 x2 2 2x 2 3 freisin.Nuair atá y 5 0, tá x2 2 2x 2 3 5 0. Is ainm eile ar an x-ais é y 5 0.

Mar sin, tugann réiteach na cothromóide x2 2 2x 2 3 5 0 x-luachanna na bpointí ina dtrasnaíonn an cuar an x-ais.

463

Is é an cuar ar dheis graf na feidhme

�2

�4

�6

2

4

6

8

10

�2�3�4 �1 2O 4 x

y

1 3

f(x) 5 x2 1 2x 2 5

Faighimid fréamhacha na cothromóide x2 1 2x 2 5 5 0 ach x-luachanna na bpointí ina dtrasnaíonn an graf an x-ais a léamh ón ngraf.

Is iad x 5 23.5 agus x 5 1.5 na luachanna seo.

2. An chothromóid f(x) 5 k, áit a bhfuil k R, a réiteachTá graf na feidhme f(x) 5 x2 2 3x thíos.

�1

�2

1

2

3

4

5

�1�2 1O 2 x

y

y � 2

f(x) � x2 � 3x

3 4

x � �0.6 x � 3.6

Is féidir an graf seo a úsáid chun an chothromóid f(x) 5 2 nó y 5 2 a réiteach ach an líne y 5 2 a tharraingt agus ansin x-luachanna na bpointí ina dtrasnaíonn an líne y 5 2 an cuar a léamh ón ngraf.

Is iad x 5 20.6 nó x 5 3.6 na luachanna seo.

3. Cén uair a bhíonn feidhm diúltach?Féach ar dheis graf den fheidhm

�1

�2

�3

1

2

3

4

5

6

7

�1�2�3 1O 2 x

y

3

f(x) � x2 � x � 2

f(x) 5 x2 1 x 2 2.

Deirtear go mbíonn an fheidhm diúltach nuair a bhíonn an cuar faoi bhun na hx-aise. Bíonn sí diúltach mar go mbíonn luachanna f(x) (nó na y-luachanna) diúltach.

Mar sin bíonn an fheidhm diúltach i gcás 22 , x , 1.

Bíonn an fheidhm deimhneach i gcás x . 1 nó x , 22.

464

4. Graif a thrasnaíonn a chéileFéach thíos graif de na feidhmeanna seo,

f(x) 5 x2 (i.e. y 5 x2) agus g(x) 5 x 1 2 (i.e. y 5 x 1 2)

2

4

6

�1�2�3 1

(�1, 1)

(2, 4)

O 2 x

y

3

y � x2

y � x � 2

Tabhair faoi deara gur ag na pointí (21, 1) agus (2, 4) a thrasnaíonn an cuar f(x) agus an líne g(x) a chéile.

Anois réiteoimid an chothromóid x2 5 x 1 2.

x2 5 x 1 2 ⇒ x2 2 x 2 2 5 0 ⇒ (x 1 1)(x 2 2) 5 0

⇒ x 1 1 5 0 nó x 2 2 5 0 i.e. x 5 21 nó x 5 2.

Tabhair faoi deara gurb iad seo x-luachanna na bpointí ag a dtrasnaíonn an dá ghraf a chéile.

Cuimhnigh

Más dhá fheidhm iad f(x) agus g(x), is féidir an chothromóid f(x) 5 g(x) a réiteach ach graif na bhfeidhmeanna a bhreacadh ar comhscála agus ar na haiseanna céanna, agus x-luachanna phointí trasnaithe na ngraf a scríobh síos.

Is féidir linn, freisin, an cuar thuas a úsáid chun an éagothromóid f(x) , g(x) a réiteach.

Seasann f(x) , g(x) don chuid sin den ghraf ina bhfuil an cuar f(x) faoi bhun na líne g(x).

Ón ngraf, tá an cuar faoi bhun na líne ó x 5 21 go dtí x 5 2.

Mar sin, f(x) , g(x) i gcás 21 , x , 2.

465

5. Uasluachanna agus íosluachannaAr dheis, feictear graf na feidhme

�1

�2

�3

�4

�5

1

2

3

4

�2�3�4 �1 2

A

O 4

ais n

a sim

éadr

acht

a

x

y

51 3

y � x2 � 2x � 3

y 5 x2 2 2x 2 3

Íosphointe an chuair nó íosphointe casaidh an chuair a thugtar ar an bpointe A.Seo é an pointe (1, 24).

An t-íosluach a thugtar ar y-luach an phointe seo. Sa ghraf seo, is é 24 an t-íosluach.

Ais siméadrachta an chuair a thugtar ar an líne dhearg bhriste.

Is é x 5 1 cothromóid ais siméadrachta an chuair seo.

Beidh uasphointe casaidh ag cuar cearnach Uasphointe den chruth seo a léirítear.

6. f(k) a aimsiú ón ngrafFéach thíos graf den fheidhm f(x) 5 x2 1 5x 2 1.

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

1

2

3

4

�2 �1�3�4�5�6 1O 2 x

yf(x) � x2 � 5x � 1

Is é f(24) luach y nuair atá x 5 24.Chun f(24) a aimsiú, tarraingímid an líne x 5 24 agus ansin léimid y-luach an phointe ina dtrasnaíonn an líne seo an cuar.

Is é 25 an y-luach seo. Mar sin, f(24) 5 2 5

466

7. Cén uair a bhíonn feidhm ag méadú nó ag laghdú?Taispeánann an graf ar dheis go bhfuil an

�2

�4

�6

2

4

Ag laghdú

Ag m

éadú6

8

10

�2�3�4�5 �1 2O 4 x

y

1 3

fheidhm ag laghdú (i.e. tá an y-luach ag laghdú) ó x 5 25 go dtí x 5 21.

Tá an fheidhm ag méadú ó x 5 21 go dtí x 5 3.

Cleachtadh 23.3

1. Is é an cuar ar dheis graf na feidhme

�2

2

4

6

8

10

�1 2O 4 x

y

51 3

y 5 x2 2 4x 1 3.

Ón ngraf, scríobh síos

(i) comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an cuar an x-ais

(ii) luach y nuair atá x 5 2 (iii) luachanna x nuair atá y 5 8 (iv) íosphointe an chuair.

2. Is é an cuar ar dheis graf na feidhme

�1

1

2

3

�1�2 1O 2 x

y

f(x) 5 x2 2 1

Úsáid an graf chun iad seo a fháil:

(i) luach f(x) nuair atá x 5 2 (ii) luach f(x) nuair atá x 5 2 2 (iii) íosphointe an chuair (iv) luachanna x nuair atá f(x) 5 0 (v) luachanna x nuair atá f(x) 5 3.

467

3. Taispeántar thíos graf na feidhme

f(x) 5 x2 2 3x 2 4 san fhearann 22 < x < 5.

Úsáid an graf chun iad seo a aimsiú:

�1

�2

�3

�4

�5

�6

2

4

6

1

3

5

�1�2 1O 2 x

y

3 4 5

(i) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 0

(ii) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 6

(iii) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 24

(iv) luach f(2)

(v) luach f (  1 _ 2 )

(vi) comhordanáidí íosphointe an chuair

(vii) íosluach f(x).

4. Tugtar graf f(x) 5 x2 2 2x 2 5 ar dheis.

�2

�4

�6

�8

2

4

6

8

10

�2�3 �1 2O 4 x

y

51 3

Úsáid an graf seo chun iad seo a scríobh síos:

(i) f(23) agus f(1) (ii) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 0 (iii) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 6 (iv) íosphointe an chuair (v) íosluach f(x). (vi) an raon luachanna ar x a fhágann go bhfuil

f(x) diúltach.

5. Taispeántar thíos graf na feidhme

f : x → 3 1 2x 2 x2, i gcás 22 < x < 4, x .

Úsáid an graf chun iad seo a scríobh síos:

�1

�2

�3

�4

�5

1

2

3

4

�1�2 1O 2 x

y

3 4

(i) fréamhacha na cothromóide f(x) 5 0 (ii) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 3

(iii) luach f ( 2 1 _ 2 )

(iv) uasluach f(x)

(v) comhordanáidí uasphointe f(x)

(vi) an raon luachanna ar x a fhágann go bhfuil f(x) ag méadú

(vii) an raon luachanna ar x a fhágann go bhfuil f(x) deimhneach

(viii) cothromóid ais siméadrachta an chuair.

468

6. Tarraing graf na feidhme f(x) 5 2x2 2 x 2 3 san fhearann 22 < x < 3.Úsáid an graf chun iad seo a aimsiú:

(i) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 0 (ii) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 6 (iii) comhordanáidí íosphointe an chuair (iv) na luachanna ar x a fhágann f(x) , 0.

7. Taispeántar thíos graif na bhfeidhmeanna f(x) 5 x2 agus g(x) 5 2x 1 3.

(i) Scríobh síos comhordanáidí na bpointí

2

4

6

8

10

�2�4 2O 4 x

y

f(x) � x2

g(x) � 2x � 3

ina dtrasnaíonn an cuar agus an líne a chéile.

(ii) Réitigh an chothromóid x2 5 2x 1 3. (iii) Cén ceangal atá idir na freagraí in

(i) agus (ii) thuas? (iv) Mínigh brí na cothromóide

f(x) 5 g(x).

8. Léirítear thíos graif f(x) 5 x2 1 x 2 6 agus g(x) 5 3x 2 3.

�2

�4

�6

2

4

6

8

10

�2�3�4 �1 2O 4 x

y

1 3

f(x) � x2 � x � 6 g(x) � 3x � 3

Úsáid na graif chun meastachán a dhéanamh ar: (i) f(22) agus g(3) (ii) fréamhacha na cothromóide f(x) 5 0 (iii) fréamhacha na cothromóide f(x) 5 4 (iv) fréamhacha na cothromóide f(x) 5 g(x) (v) raon na luachanna ar x a fhágann f(x) < g(x) (vi) raon na luachanna ar x a fhágann f(x) < 0.

469

9. Seo dhá ghraf:

�2

�4

2

�2 2O 4 x

y

6

y � 3x � x2

�2

�4

�6

2

�2 2O 4 x

y

6

y � x2 � 3x � 4

Úsáid na graif chun na cothromóidí seo a réiteach:

(i) 3x 2 x2 5 0 (ii) x2 2 3x 2 4 5 0 (iii) 3x 2 x2 5 23 (iv) x2 2 3x 2 4 5 22.

10. Seo graf y 5 3x2 2 5.

10

20

30

�2 �1�3 2O x

y

1 3

y � 3x2 � 5

Úsáid an graf chun na cothromóidí seo a réiteach:

(i) 3x2 2 5 5 0 (ii) 3x2 2 5 5 20.

Cad iad na luachanna ar x a thugann 3x2 2 5 , 20?

11. Tarraingíodh thíos na graif f(x) 5 x2 2 2x agus g(x) 5 x 2 1 san fhearann 21 < x < 3.

1

�1

2

3

�1 1O 2 3 x

yf(x) � x2 � 2x

g(x) � x � 1

470

Úsáid an graf chun iad seo a scríobh síos: (i) fréamhacha na cothromóide f(x) 5 0 (ii) fréamhacha na cothromóide f(x) 5 3 (iii) fréamhacha na cothromóide f(x) 5 g(x) (iv) raon na luachanna ar x a fhágann f(x) , 0 (v) raon na luachanna ar x a fhágann g(x) , f(x).

Mínigh conas is féidir an graf a úsáid chun an chothromóid seo a réiteach:

x2 2 2x 2 2 5 0.

12. Ar na scálaí céanna agus ar na haiseanna céanna, graf na feidhmeanna

f : x → x2 1 3x 2 3 agus g: x → x 2 2 san fhearann 24 < x < 2, x .

Úsáid an graf chun meastachán a dhéanamh ar: (i) fréamhacha na cothromóide x2 1 3x 2 3 5 0 (ii) fréamhacha na cothromóide x2 1 3x 2 3 5 22 (iii) fréamhacha na cothromóide f(x) 5 g(x) (iv) íosluach f(x).

Cén chiall atá le f(x) , g(x)?Anois, úsáid do ghraf chun raon na luachanna ar x a fháil a fhágann f(x) , g(x).

13. Is é y 5 (x 1 2)2 cothromóid an chuair ar dheis.

�2 O x

y

(i) Réitigh an chothromóid (x 1 2)2 5 0. (ii) An bhfuair tú luach amháin nó dhá luach ar x? (iii) Mura bhfuair tú ach aon luach amháin,

ilfhréamh a thugtar ar an luach a fuair tú ar x. Mínigh conas a léiríonn an graf an ilfhréamh seo.

14. Taispeánann an léaráid thíos graif

f(x) 5 x2 2 6x 1 9 agus g(x) 5 x2 2 3x 1 3.

�1

1

2

3

4

5

6

�2 �1�3�4 1O 2 x3 4 5 6

A B

(i) Cuir x 5 0 (nó aon luach eile ar x) isteach i ngach cothromóid agus, ar an gcaoi sin, meaitseáil na graif leis na cothromóidí.

(ii) Úsáid an graf chun luach amháin ar x a fháil a fhágann f(x) 5 g(x). (iii) Cén fáth nach bhfuil ach aon fhréamh amháin leis an gcothromóid f(x) 5 0?

471

Mír 23.4 Graif chearnacha agus fadhbanna praiticiúla A lán fadhbanna ón ngnáthshaol, mar shampla eitilt liathróid ghailf a fháil nó an t-achar a uasmhéadú i gcás dronuilleog a bhfuil imlíne ar leith aici, is féidir leas a bhaint as cothromóidí cearnacha chun iad a shamhaltú.

Taispeánann an graf ar dheis airde liathróide

2

4

6

8

10

Fad

inge

arac

h (m

)

Fad cothrománach (m)

12

O 10 20 30 40 50 x

y a caitheadh san aer. Ón ngraf, feictear

(i) go sroicheann an liathróid airde 12 m (ii) go dtuirlingíonn an liathróid 50 m chun

siúil ón ionad ónar caitheadh í.

Sampla 1

Ar dheis tá graf na feidhme

f(x) 5 7 1 5x 2 2x2

san fhearann 21 < x < 4.

Úsáid do ghraf

7 1 5x 2 2x2 5 0.

Is é f(x) an airde, ina méadair, a shroicheann cáithnín a scaoiltear ó thalamh réidh ag an bpointe a bhfuil x 5 21 nuair a sheasann an x-ais do thalamh réidh. Ón am ar scaoileadh é go dtí gur bhuail sé an talamh arís, bhí an cáithnín ar eitilt ar feadh 4.5 soicind go beacht.

Úsáid do ghraf chun iad seo a mheas:

(i) an uasairde a shroich an cáithnín (ii) an airde a shroich an cáithnín tar éis 1.5 soicind eitilte (iii) líon na soicindí a raibh an cáithnín 4 m nó níos mó os cionn na talún.

Ón ngraf, is iad fréamhacha na cothromóide 7 1 5x 2 2x2 5 0 ná

⇒ x 5 21 nó x 5 3.5

�2

�4

�6

2

4

6

8

10

12

�1 112

O2 x

y

3 4 512�

472

(i) An uasairde a shroich an cáithnín seo ná 10.3 m.

(ii) Chun an airde a sroicheadh tar éis 1.5 soicind a fháil, tarraing líne cheartingearach ó x 5 1 _ 2 go dtí go dtrasnaíonn sí an cuar. Is é an y-luach comhfhreagrach (i.e. an airde) ná 9 méadar.

(iii) Chun líon na soicindí a raibh an cáithnín 4 m nó níos mó os cionn na talún a fháil, tarraing an líne y 5 4 agus ansin léigh x-luachanna na bpointí ina dtrasnaíonn sí an cuar. Is iad na x-luachanna seo ná 20.5 agus 3. líon na soicindí ná 3.5.

Cleachtadh 23.4 1. Ar dheis, feictear graf na feidhme

4

8

12

16

�2 �1 2O 4 x

y

61 3 5

f(x) 5 2x2 1 4x 1 12. Úsáid an graf chun iad seo a scríobh síos: (i) f(1) (ii) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 12 (iii) cothromóid ais na siméadrachta.

Seasann f(x) do líon na dtacsaithe ag stad tacsaithe ó 6 a.m. (x 5 22) go dtí 10 p.m. (x 5 6). Seasann gach aonad ar an x-ais do 2 uair an chloig agus seasann gach aonad ar an y-ais do thacsaí amháin.

Úsáid an graf chun iad seo a mheas: (iv) líon na dtacsaithe ag an stad ag meán lae (v) na hamanna a raibh 14 thacsaí ag an stad (vi) an líon uaireanta an chloig a raibh 10 dtacsaí nó níos mó ag an stad.

2. Caitear liathróid san aer.Taispeánann an fhoirmle y 5 20x 2 4x2 airde na liathróide i gceann x soicind agus í y méadar os cionn na talún. (i) Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla luachanna chun

airde na liathróide i rith a céad chúig shoicind a léiriú. (ii) Úsáid an tábla chun graf a bhreacadh a thaispeánann

airde na liathróide in aghaidh ama. (iii) Úsáid do ghraf chun iad seo a fháil:

(a) an airde is mó a shroich an liathróid agus an t-am ar shroich an liathróid an airde seo

(b) dhá uair a bhí an liathróid 12 mhéadar os cionn na talún

(c) an t-eatramh ama nuair a bhí an liathróid níos mó ná 15 mhéadar os cionn na talún.

x 20x 2 4x2 y0 0 2 0 0

1 20 2 4 16

2

3

4

5

473

3. Ag glacadh le f(x) 5 4 2 3x 2 x2, x , cóipeáil agus comhlánaigh an tábla ar dheis.

Tarraing graf f(x) san fhearann 25 < x < 2.

Má sheasann an graf don teocht, ina °C, a tomhaiseadh gach dhá uair an chloig idir 6 a.m. (x 5 25) agus 8 p.m. (x 5 2) i gcathair ar leith, úsáid an graf chun iad seo a mheas: (i) an teocht ag 11 a.m. (ii) an t-am a raibh an teocht ab airde ann (iii) na hamanna a raibh an teocht ag 3°C (iv) an líon uaireanta an chloig a raibh an teocht ag an reophointe nó os a chionn.

4. Tá 16 mhéadar de chlaí ag feirmeoir chun buaile dhronuilleogach a dhéanamh do chaoirigh. Má tá taobh amháin den bhuaile x méadar ar fad, taispeáin go dtugann A(x) 5 8x 2 x2 achar A.

Tarraing graf A(x) san fhearann 0 < x < 8.

Úsáid do ghraf chun iad seo a mheas: (i) achar na buaile nuair atá x 5 2.5. (ii) an t-achar is mó is féidir, agus luach x sa chás sin (iii) an dá luach ar x a fhágann achar 12 m2.

5. Tarraing graf na feidhme f : x → 6x 2 x2 san fhearann 0 < x < 6.

Seasann f(x) don airde, ina méadair, a shroich liathróid ghailf ón am ar buaileadh í (x 5 0) go dtí gur bhuail sí an talamh (x 5 6).

Má sheasann gach aonad ar an x-ais do shoicind amháin agus gach aonad ar an y-ais do 5 mhéadar, úsáid do ghraf chun iad seo a mheas:

(i) an airde is mó a shroich an liathróid ghailf (ii) airde na liathróide gailf tar éis 1 1 _ 2 soicind (iii) an méid soicindí a bhí caite nuair a bhí an liathróid 10 méadar os cionn na talún (iv) an méid soicindí a thóg sé ar an liathróid a huasairde a shroicheadh.

6. Tugann an fhoirmle A 5 3r2 achar ciorcail, go garbh.

(i) Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla ar dheis agus tarraing graf den fheidhm i gcás 0 < r < 3.

(ii) Úsáid do ghraf chun meastachán a fháil ar achar ciorcail ar ga dó 2.5 m.

(iii) Má tá achar 10 m2 i gciorcal, úsáid an graf chun fad a gha a mheas.

(iv) Déan cinnte de go bhfuil do chuid freagraí ar (ii) agus (iii) ceart trí leagan cruinn na foirmle d’achar ciorcail a úsáid.

x 4 2 3x 2 x2 y

25 4 1 15 2 25 26

24

23

22

21

0

1 4 2 3 2 1 0

2

r 3r2 A0

1 3(1) 3

2

3

474

7. Tá 20 m de chlaí ag feirmeoir. x

20 � x

Teastaíonn uaidh é a úsáid chun buaile dhronuilleogach a dhéanamh i gcúinne páirce, mar a fheictear sa léaráid.

(i) Scríobh síos slonn don achar, A m2, a bheidh iata ag an gclaí.

(ii) Breac graf A do na luachanna ar x idir 0 agus 20. (iii) Cad iad na luachanna ar x a thugann achar 40 m2? (iv) Cén raon luachanna ar x a thugann achar iata a bheadh níos mó ná 90 m2? (v) Cad é an t-achar is mó is féidir leis an bhfeirmeoir a iamh?

Cad iad na faid chlaí a theastóidh don uasachar seo?

Mír 23.5 Graif d’fheidhmeanna easpónantúla Is feidhm é f(x) 5 2x.Tabhair faoi deara gurb í an athróg x an chumhacht.

Feidhm easpónantúil a thugtar ar fheidhm de chuid x ina sloinntear x mar chumhacht.Is feidhmeanna easpónantúla eile iad f(x) 5 3x agus g(x) 5 4.3x.

Chun graf f(x) 5 2x a tharraingt, leagaimid amach tábla ionchur agus aschur ó x 5 22 go dtí x 5 3, mar shampla.

Taispeántar graf f(x) 5 2x thíos.

�1

1

2

3

4

5

6

7

8

�1�2�3�4 2O 4 x

y

5 61 3

f(x) � 2x

Is ionann uimhir ar bith i gcumhacht nialais agus 1.

x 2x y22 222 5 1 _ 4 1 _ 4

21 221 5 1 _ 2 1 _ 2

0 20 5 1 1

1 21 5 2 2

2 22 5 4 4

3 23 5 8 8

Sampla 1

Tarraing graf na feidhme f(x) 5 2.3x san fhearann 22 < x < 3. (i) Úsáid do ghraf chun meastachán a fháil ar f(2.5). (ii) Úsáid do ghraf freisin chun an luach ar x a fháil a fhágann f(x) 5 7.

Leagaimid amach tábla luachanna do f(x) 5 2.3x, 22 < x < 3.

x 2.3x y22 2.322 2 _ 9

21 2.321 2 _ 3

0 2.30 2

1 2.31 6

2 2.32 18

3 2.33 54

Taispeántar an graf ar dheis.

(i) Chun f(2.5) a fháil, tarraing líne cheartingearach ó x 5 2.5 go mbuaileann sí an cuar. Is é 30 y-luach an phointe trasnaithe. f(2.5) 5 30

(ii) Chun an luach ar x a fháil a fhágann f(x) 5 7, tarraing an líne y 5 7 agus léigh x-luach phointe trasnaithe na líne seo agus an chuair. Is é x 5 1.1 an luach seo.

Cleachtadh 23.5

1. Seo graf f(x) 5 2x.

2

4

6

1

3

5

�2 �1�3 2O x

y

1 3

Úsáid an graf chun iad seo a scríobh síos: (i) f(0) (ii) f(1) (iii) f(1.5).

Ní thaispeántar f(3) ar an ngraf.

(iv) Cad é f(3)? (v) Cén luach ar x a fhágann f(x) 5 5?

475

10

20

30

40

50

�1�2 1O 2 x

y

y � 7

3

476

2. Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla thíos agus ansin tarraing graf na feidhme f(x) 5 3x.

x 22 21 0 1 2 3

3x 1 _ 3

Úsáid an graf chun iad seo a scríobh síos: (i) f(1.5) (ii) an luach ar x a fhágann f(x) 5 4.

3. Ar dheis, feictear graf f(x) 5 k . 2x,

2

4

6

1

3

5

�2 �1�3 2O x

y

1 3

áit a bhfuil k N.

(i) Scríobh síos luach k. (ii) Ní thaispeántar f(2) ar an ngraf.

Cad é f(2)? (iii) Úsáid an graf chun an luach ar x a fhágann

f(x) 5 1 a fháil.

4. Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla thíos.

x 22 21 0 1 2

2x 1 _ 4

4.2x 1

Úsáid an tábla chun sceitse a tharraingt den fheidhm f(x) 5 4.2x san fhearann 22 < x < 2. Úsáid do ghraf chun meastachán a fháil ar f(0.5).

5. Ar dheis, léirítear trí ghraf – A , B agus C .

2

4

6

A B C

1

3

5

�2 �1�3 2O x

y

1 3

Meaitseáil gach graf le ceann amháin de na feidhmeanna thíos.

f(x) 5 2x f(x) 5 3x f(x) 5 3.3x

6. Taispeánann an léaráid sceitse den chuar y 5 3x.

O x

y

(i) Scríobh síos comhordanáidí an phointe ina dtrasnaíonn an cuar an y-ais.

(ii) Cóipeáil an léaráid agus cuir isteach sceitsí de na cuair seo: (a) 2 3 3x (b) 5 3 3x.

7. Dúradh le Niamh gurb é an graf ar dheis graf na feidhme

O

(0, 5)

(2, 20)

x

y (a) f(x) 5 k . 2x nó (b) f(x) 5 k . 3x.

(i) Faigh luach k. (ii) Cé acu ceann den dá fheidhm

a léiríonn an cuar?

8. Tarraing graf na feidhme f(x) 5 2x san fhearann 22 < x < 3. Is feidhm eile í g(x) 5 x 1 3.

Tarraing sceitse de g(x) ar na haiseanna céanna agus úsáid na scálaí céanna.

Úsáid do ghraf chun réiteach deimhneach na cothromóide 2x 5 x 1 3 a mheas.

Cuir triail ort féin 23 1. (a) Feictear ar dheis graf na feidhme

�1

�2

1

2

3

4

5

6

7

�2 �1�3�4�5 1O 2 x

y

3 4 5

f(x) � 2x � 5

f(x) 5 2x 1 5. Úsáid an graf chun iad seo a scríobh síos:

(i) f(0) (ii) f(1) (iii) f(21) (iv) an luach ar x a fhágann y 5 3 (v) an luach ar y nuair atá x 5 22.5.

(b) Feictear ar dheis graf na feidhme

�1

�2

�3

�4

1

�1 1O 2 x

y

3 4

f(x) � x2 � 4x

f(x) 5 x2 2 4x.Úsáid an cuar chun iad seo a scríobh síos:

(i) f(3.5) (ii) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 23 (iii) íosluach f(x). (iv) cothromóid ais siméadrachta an chuair.

477

(c) Meaitseáil gach ceann de na graif thíos le ceann de na cothromóidí ar dheis. I gcás gach cothromóide, is uimhir dheimhneach é k. (Ní úsáidfear ceann amháin de na cothromóidí.)

x

y

O

x

y

O

x

y

O

2. (a) Tarraing graf na feidhme f(x) 5 3x 2 1 san fhearann 22 < x < 3. Úsáid do ghraf chun iad seo a mheas:

(i) f(21.5) (ii) luach x nuair atá y 5 3.5.

(b) Is graf den fheidhm f(x) 5 x2 2 2x 2 3

x

y

f(x)

Oa b

c

é an cuar ar dheis.

(i) Faigh comhordanáidí a, b agus c. (ii) Scríobh síos na luachanna ar x

a fhágann f(x) < 0. (iii) Má tá f(k) 5 23, faigh dhá luach ar k.

(c) Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla a leanas.

x 23 22 21 0 1 2 3 4 5

2x 0.125 1 4

(i) Úsáid na luachanna i do thábla chun an graf y 5 2x a tharraingt. Úsáid scála 1 cm do 1 aonad ar an x-ais agus 1 cm do 5 aonad ar an y-ais.

(ii) Úsáid do ghraf chun an chothromóid 2x 5 6 a réiteach.

3. (a) Tarraing graf na feidhme

f : x → 2x2 2 x 2 6 i gcás 23 < x < 4, x .

Úsáid an graf chun iad seo a mheas: (i) na luachanna ar x a fhágann f(x) 5 0 (ii) íosluach f(x) (iii) luach f(2.5) (iv) an raon luachanna ar x a fhágann f(x) níos lú ná nialas.

(b) Trí oiread uimhir amháin móide dhá oiread uimhir eile is ea 9. Dhá oiread na chéad uimhreach lúide an dara huimhir is ea 13. Más é x an chéad uimhir agus y an uimhir eile, scríobh dhá chothromóid in x agus y. Tarraing sceitse den dá chothromóid agus, ar an gcaoi sin, faigh an dá uimhir.

A B C

y 5 kx

y 5 x2 2 k

y 5 k 2 x2

y 5 k 2 x

478

4. (a) Tarraingíodh sa ghreille ar dheis graf na feidhme y 5 x2 2 2x.

�2

2

4

�1�2 1O 2 x

y

3 4

Úsáid an graf chun meastachán a fháil ar réiteach na gcothromóidí seo:

(i) x2 2 2x 5 0 (ii) x2 2 2x 5 3.

Scríobh síos cothromóid ais siméadrachta an chuair.

(b) Cé acu sceitse a fhreagraíonn do gach cothromóid? Cuir fáthanna le do chuid freagraí.

x

y

O

x

y

O

x

y

O

(c) Tá 18 m d’adhmad ag garraíodóir chun fál a chur

x

thart ar cheapóg dhronuilleogach glasraí. Úsáidfidh sé balla cloiche díreach mar thaobh amháin den fhál, mar a léirítear. x méadar an leithead.

Taispeáin go dtugann an fheidhm thíos achar an fháil:

A(x) 5 18x 2 2x2.

Tarraing graf na feidhme y 5 A(x) san fhearann 0 < x < 9.

(i) Faigh achar an fháil nuair atá x 5 3. (ii) Faigh an dá luach ar x a fhágann gurb é 30 m2 an t-achar. (iii) Faigh fad agus leithead an fháil a bhfuil an t-uasachar ann. (iv) Cad é an t-uasachar?

5. (a) Sa tábla thíos, feictear an costas a bhaineann le tonnchlár a thógáil ar cíos ar feadh líon áirithe laethanta.

Laethanta t 3 4 5 6

Costas eC 50 60 70 80

(i) Agus tú ag úsáid aon dá chúpla ar bith, scríobh síos cothromóid na líne a nascann an costas �C leis an líon laethanta t.

(ii) Úsáid an chothromóid chun costas an tonnchlár a thógáil ar cíos ar feadh coicíse a ríomh.

A B C

y 5 2x

y 5 x2 2 2

y 5 2 2 x2

y 5 x2 1 2

479

480

(b) Sainítear dhá fheidhm, f agus g, mar seo thíos:

f : x → 2x, g: x → 9x 2 3x2 2 1.

Comhlánaigh an tábla thíos agus úsáid é chun graif na bhfeidhmeanna f agus g a tharraingt do 0 < x < 3.

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

f(x)g(x)

(i) Úsáid do ghraf chun na luach(anna) ar x a fhágann 2x 5 9x 2 3x2 2 1 a mheas.

(ii) Má tá 2k 5 6, úsáid do ghraf chun luach k a mheas.

481

Mír 24.1 An chéimseata chlaochlaitheach Bogadh an fhíor A sa léaráid thíos go suíomhanna éagsúla. Tá an cruth agus an méid céanna ar na fíoracha uile. Tá roinnt díobh bunoscionn agus tá roinnt díobh droim ar ais.

A B

E F D

C

Is íomhá den fhíor A faoi chlaochlú gach ceann de na fíoracha B, C, D, E agus F.An bhunfhíor a thugtar ar an bhfíor A a bhí againn i dtosach.An íomhá a thugtar ar an suíomh nua.Sa mhír seo, féachfaimid ar thrí chlaochlú.Is iad seo aistrithe, siméadracht aiseach agus siméadracht lárnach.

1. AistritheGluaiseacht i líne dhíreach is ea aistriú.Is féidir cur síos a dhéanamh air freisin mar ‘ghluaiseacht sleamhnaithe’.

Bogadh an cruth A (ar chlé) sa treo PQ agus bogadh é fad atá cothrom le |PQ|.Mar seo a scríobhtar an t-aistriú PQ:

___ › PQ .

P

Q

Focail thábhachtachaclaochlú bunfhíor íomhá aistriú siméadracht aiseachsiméadracht lárnach siméadrach ais na siméadrachta lárphointe na siméadrachta tógáil déroinnteoir ingearachgathán taobhagán

Caibi

dil

24An Chéimseata 3: Claochluithe

– Tógálacha

482

Faightear íomhá na fíorach tugtha trí ghluaiseacht 4 aonad ar dheis agus 3 aonad suas.Tabhair faoi deara nach n-athraítear méid ná cruth na fíorach.

Seo íomhá na mírlíne [AB] faoin aistriú _

› t .

Cuirtear an lipéad A’B’ ar an íomhá.

Taispeántar íomhá an triantáin ABC faoin aistriú

___ › BC ar dheis.

Cleachtadh 24.1 1. Déan cur síos ar an aistriú a mhapálann an cruth gorm ar an gcruth dearg i ngach ceann

díobh seo a leanas. Úsáid focail ar nós ar dheis, ar chlé, suas agus síos.

(i) (ii) (iii)

(iv) (v) (vi)

y

xO

4

3

íomhá

bunfhíor

1

2

3

4

5

6

7

8

�4�5 �3 �2 �1 1 2 3 4 5

B

t

A

B�

A�

A A�

B�C C�B

483

2. y

x

�3

�4

�5

�2

�1O

J

1

2

3

4

5

6

7

8

�4�5�6�7�8�9�10 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

M

L

K

Déan cur síos iomlán ar an aistriú a mhapálann (i) cruth L ar chruth K (ii) cruth J ar chruth L (iii) cruth M ar chruth L (iv) cruth J ar chruth M (v) cruth L ar chruth M

3. Tóg íomhá na litreach T faoin aistriú ___

› AB .

4. Tarraing an triantán ABC faoi dhó agus tóg a íomhá faoi

(i) ___

› BC (ii)

___ › AC .

5. Is cearnóg í ABCD, mar a léirítear.Déan cóip den léaráid agus tarraing sceitse garbh d’íomhá ABCD

(i) faoi ___

› AB (ii) faoi

___ › DB .

A

B

A

B C

D

A

C

B

484

6. Is dronuilleog í ABCD agus trasnaíonn na trasnáin a chéile ag an bpointe O.Faigh gach ceann díobh seo: (i) íomhá A faoi

___ › DC

(ii) íomhá [AB] faoi ___

› BC

(iii) íomhá D faoi ___

› OB

(iv) íomhá [DC] faoi ___

› DA .

7. Is comhthreomharáin iad ABCD agus ABEC. Faoin aistriú

___ › CE , scríobh síos

(i) íomhá an phointe A (ii) íomhá [AD] (iii) íomhá ADC (iv) íomhá [AC].

8. San fhíor seo, is cearnóg í ABCD agus is comhthreomharán é BECD. (i) Cad é íomhá [BD] faoi

___ › DC ?

(ii) Cad é íomhá C faoi ___

› DB ?

(iii) Cad é íomhá ABD faoi __

› BE ?

(iv) Is íomhá pointe faoi ___

› CE í B. Cén pointe é sin?

(v) Is íomhá mírlíne faoi ___

› DC í [BC]. Cén mhírlíne í sin?

(vi) Is íomhá triantáin faoi ___

› CD í ABD. Cén triantán é sin?

9. y

xO

A

1

1

B

C

D

(i) Scríobh síos comhordanáidí A, B, C agus D.

(ii) Aistrítear gach pointe 5 aonad ar dheis agus 2 aonad suas. Cad iad comhordanáidí na bpointí íomhá A’, B’, C’ agus D’?

D

A

C

BO

D C

A

E

B

A B

D C

E

485

Mír 24.2 Siméadrachtaí 1. Cruthanna siméadracha

Tá gach ceann de na fíoracha thíos siméadrach.Ais siméadrachta a thugtar ar an líne bhriste i ngach fíor.Bíonn ais siméadrachta ag fíor más féidir í a fhrithchaitheamh sa líne sin sa chaoi go bhfrithchaitear gach leath den fhíor go cruinn ar an leath eile den fhíor.

Seo roinnt fíoracha céimseatan so-aitheanta agus a gcuid aiseanna siméadrachta.

Triantán comhshleasach(3 ais siméadrachta)

Cearnóg(4 ais siméadrachta)

Dronuilleog(2 ais siméadrachta)

Triantán comhchosach(ais siméadrachta amháin)













Níl ais siméadrachta ag comhthreomharán a bhfuil sleasa míchothroma uirthi agus nach bhfuil uillinn dhronuilleach inti.

2. Siméadracht aiseachSa léaráid seo, is í an fhíor ghorm íomhá na fíorach uaine faoi fhrithchaitheamh sa líne bhriste .

Tugaimid A’B’C’D’ ar an íomhá.

Seo frithchaitheamh eile sa líne bhriste dhearg chothrománach.

A

BB�

CC�

DD�

A�

�

486

Tá líneshiméadracht ag an bhfocal MAM.An bhfuil tú in ann smaoineamh ar fhocail eile a bhfuil líneshiméadracht acu?

Taispeánann an léaráid ar dheis conas íomhá fíorach a thógáil faoi fhrithchaitheamh i líne.

3. Siméadracht lárnachISa léaráid ar dheis, ceanglaítear an pointe A leis an bpointe X agus leantar an líne ar aghaidh go A’ sa chaoi go bhfuil

|XA| 5 |AX|.Íomhá A faoi fhrithchaitheamh sa phointe X nó faoi shiméadracht lárnach sa phointe X a thugtar ar an bpointe A'.

Sa léaráid ar dheis, taispeántar an litir F agus a híomhá faoi shiméadracht lárnach sa phointe X.

Tabhair faoi deara go mbreathnaíonn an íomhá bunoscionn agus droim ar ais le hais na bunfhíorach.

4. Lárphointe na siméadrachtaTá na fíoracha uile thíos mapáilte orthu féin faoi shiméadracht lárnach sa phointe X.

X X XX

I ngach fíor is é an pointe X lárphointe na siméadrachta.

Cleachtadh 24.2 1. Úsáid dronbhacart agus rialóir chun íomhá an phointe X faoi fhrithchaitheamh sa líne

a thógáil, i ngach ceann díobh seo:

X

X

X

�

�

�

C�

A�

C

A

B�B

A

X

A�

X

Bunfhíor

Íomhá

487

2. Úsáid dronbhacart agus rialóir chun sceitse garbh a tharraingt d’íomhánna na dtriantán seo faoi fhrithchaitheamh sa líne m.

m mm

3. Is íomhá í an dronuilleog DCFE den dronuilleog ABCD faoi shiméadracht aiseach sa líne k.

Scríobh síos íomhá gach ceann díobh seo a leanas faoi fhrithchaitheamh sa líne k.

(i) an pointe B (ii) [AB] (iii) [DB] (iv) DCB (v) ABD (vi) [CB]

4. Cé acu de na claochluithe seo a leanas a léiríonn frithchaitheamh i líne?

(i) (ii) (iii) (iv)

5. Cé acu de na litreacha san fhocal thíos a bhfuil ais siméadrachta iontu?

6. Tarraing sceitse d’íomhá an triantáin ABC faoi shiméadracht lárnach sa phointe C i ngach ceann díobh seo a leanas.

A

C B

B

A C

k

BA

FE

D C

A

A

C

A�A�

C�

B

B

B�B� C�

CD

A B

B�

A�D�

488

7. Is dronuilleog í ABCD ina dtrasnaíonn na trasnáin a chéile ag an bpointe O.

Faigh íomhá gach ceann díobh seo a leanas faoi shiméadracht lárnach sa phointe O.

(i) D (ii) C (iii) [BC] (iv) AOB (v) [AO] (vi) ADB (vii) [OC] (viii) ABCD.

8. Cé acu de na ceithre aghaidh thíos a bheadh ceart mar íomhá na haghaidhe ar dheis faoi shiméadracht lárnach?

A B C D

9. Cé acu de na ceithre aghaidh i gCeist 8 a bheadh ceart mar íomhá na haghaidhe tugtha (i) faoi fhrithchaitheamh i líne ingearach (ii) faoi aistriú?

10. Maidir leis an léaráid ar dheis, déan cur síos iomlán ar an gclaochlú aonair a mhapálfaidh (i) cruth P ar chruth P1

(ii) cruth P1 ar chruth P2

(iii) cruth P ar chruth P2.

11. Ar dheis, is é C lárphointe an chiorcail.Ainmnigh dhá chlaochlú a mhapálann an ciorcal air féin.

12. Ar dheis, feictear léaráid de phatrún agus de líne n.

Cé acu ceann de na léaráidí seo a leanas é frithchaitheamh an phatrúin in n? A B C D

D C

A B

O

y

xO

P1

P2

P

CA B

n

489

13. Sa léaráid ar dheis feictear an triantán ABC.Is é A’B’C’ íomhá an triantáin ABC faoi fhrithchaitheamh sa y-ais.

(i) Faigh comhordanáidí of A, B agus C.

Is iad A’’, B’’ agus C’’ íomhánna A, B agus C faoi fhrithchaitheamh san x-ais.

(ii) Faigh comhordanáidí A, B agus C.

14. Cé mhéad ais siméadrachta atá i ngach ceann de na fíoracha seo?

(i) (ii) (iii) (iv)

15. Cé acu fíoracha i gCeist 14 thuas a bhfuil lárphointe siméadrachta iontu?

16. y

x

�3

�4

�5

�2

�1O

5 2

1

4

6

1

2

3

4

5

6

�4�5 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Cé acu claochlú – siméadracht aiseach, siméadracht lárnach nó aistriú – a mhapálfaidh (i) L1 ar L2

(ii) L1 ar L4

(iii) L5 ar L2

(iv) L1 ar L6

(v) L1 ar L5?

y

x

�3

�2

�1O

A

C

B

1

2

3

4

5

6

�4�5�6 �3 �2 �1 1 2 3 4 5

490

17. Taispeánann na ceithre léaráid – A, B, C agus D – an bhunfhíor i bhFíor 1 agus a híomhá faoi chlaochlú. I gcás A, B, C agus D, ainmnigh claochlú amháin (aistriú, siméadracht aiseach nó siméadracht lárnach) a mhapálfaidh an bhunfhíor ar an íomhá sin.

A B C D

18. Maidir leis na triantáin seo, déan cur síos iomlán ar an gclaochlú aonair a mhapálfaidh

(i) A ar B (ii) B ar D (iii) B ar C.

19. (i) Tarraing cruth a bhfuil trí ais siméadrachta go díreach ann.Léirigh na haiseanna ar an léaráid.

(ii) Tarraing cruth a bhfuil ceithre ais siméadrachta go díreach ann.Léirigh na haiseanna ar an léaráid.

20. Dronuilleog é ABCD ina dtrasnaíonn na trasnáin a chéile ag an bpointe O.Tá an pointe O ar an líne agus tá ingearach le DC.Faigh íomhá gach ceann díobh seo faoin aistriú a luaitear.

(i) íomhá AOD faoi shiméadracht lárnach in O (ii) íomhá AOB faoi shiméadracht lárnach in O (iii) íomhá BOC faoi shiméadracht lárnach in (iv) íomhá DOF faoi shiméadracht lárnach in (v) íomhá [AD] faoin aistriú

___ › DF .

Fíor 1

y

x

�2

�1O

C

B A

D

1

2

3

4

�4 �3 �2 �1 1 2 3

y

x

�2

�1O

C

B B

BE

O

C

A

D FD

1

2

3

4

�4 �3 �2 �1 1 2 3�

491

Mír 24.3 Tógálacha 1 1. Déroinnteoir uillinne a tharraingt, gan ach compás agus corr

dhíreach a úsáid

O B

A

Agus pointe an chompáis ag A, agus leis an nga céanna, tarraing stua idir shleasa na huillinne. Déan an rud céanna ag B, ag trasnú an chéad stua ag C.

O B

CA

Ceangail an pointe O le C. Is é OC déroinnteoir na huillinne AOB.

O B

CA

Chun an uillinn a dhéroinnt, cuir pointe an chompáis ag O agus tarraing stua chundhá shlios na huillinne a thrasnú ag A agus ag B.

2. An chaoi le déroinnteoir ingearach mírlíne a thógáil

Socraigh do chompás níos mó ná leath fhad [AB]. Agus A mar lárphointe, tarraing stua os cionn na líne agus fúithi.

BA BA

Q

P

Coinnigh an ga céanna ar do chompás. Agus B mar lárphointe, tarraing dhá stua eile. Trasnaíonn na stuanna seo an chéad dá stua ag P agus Q

Ceangail P agus Q. Is é PQ déroinnteoir ingearach [AB]. Is é M lárphointe [AB].

BM

A

Q

P


BA BA

Q

P



BM

A

Q

P


BA BA

Q

P



BM

A

Q

P

492

3. Líne ingearach leis an líne , ag dul trí phointe ar leith ar

(i) Dronbhacart agus corr dhíreach a úsáid

Bog an dronbhacart feadh an rialóra go dtí go dtagann sé go dtí an pointe A.Tarraing an líne m trí A.Tá m ingearach le �.

A�

A � A

m

�

Leag an rialóir feadh na líne� agus leag an dronbhacart ar an rialóir.

Tugtar líne � agus an pointe A ar �.

(ii) Compás agus corr dhíreach a úsáid

Cuir pointe an chompáis ag A, agus le ga cuí, tarraing dhá stua a ghearrann an líne� ag P agus ag Q.

P QA� �

Agus pointe an chompáis ag P, tarraing stua os cionn A. Ag coinneáil an gha chéanna, déan an rud céanna ag Q.Trasnaíonn na stuanna seo a chéile ag an bpointe X.

P Q�

A

Úsáid corr dhíreach chun líne a tharraingt trí X agus tríd an bpointe A. Tá an líne XA ingearach leis an líne � agus tá A uirthi.

A

X X

493

4. Líne ingearach leis an líne , ag dul trí phointe ar leith nach bhfuil ar

(i) Corr dhíreach agus dronbhacart a úsáid

Sleamhnaigh an dronbhacart feadh an rialóra go dtí go dtagann sé go dtí an pointe P.Tarraing an líne m trí P.m ingearach le � agus tá P uirthi.

P

m

�

Leag an rialóir feadh na líne �. Leag an dronbhacart ar an rialóir.

P

�

Tugtar líne � agus an pointe P, nach bhfuil ar �.

P

�

(ii) Gan ach compás agus corr dhíreach a úsáid

Tugtar líne � agus an pointe P, nach bhfuil ar �.Cuir pointe an chompáis ag A, agus tarraing dhá stua a ghearrann an líne � ag A agus ag B.

A B�

Agus A mar lárphointe, agus leis an nga céanna, tarraing stua faoin líne �. Agus B marlárphointe, agus leis an nga céanna, tarraing an dara stua a thrasnaíonn an chead stua ag Q.

Ceangail na pointí P agus Q chun an líne m a chruthú.Tá m ingearach le � agus tá P uirthi.

m

P

Q

PP

A B

Q

� �

494

5. An chaoi le líne a tharraingt comhthreomhar le líne ar leith, trí phointe ar leith

Tugtar líne � agus an pointe P. Leag taobh amháin den dronbhacart feadh na líne �.Leag an rialóir feadh an taoibh eile agus beir greim daingean air.

Sleamhnaigh an dronbhacart feadh an rialóra go dtí go dtagann sé go dtí an pointe P.Tarraing líne m trí P.Tá an líne m comhthreomhar le �.

P

�

P

�

Pm

�

6. Mírlíne a roinnt ina trí chuid chothroma

Tarraing mírlíne [XY].Tarraing líne trí X a dhéanann géaruillinn le [XY].

Úsáid compás le X mar lárphointe agus tarraing stua a thrasnaíonn an líne ag A.Agus A mar lárphointe agus leis an nga céanna, tarraing stua eile a thrasnaíonn anlíne. Marcáil B ar an bpointe seo. Déan an rud céanna ag an bpointe B agus marcáil C ar an bpointe nua.

Ceangail C le Y. Úsáid dronbhacart agus rialóir chun línte a tharraingt trí B agus A comhthreomhar le CY. Trasnaíonn na línte seo [XY] ag na pointí V agus U, faoi seach. Roinneann U agus V [XY] ina trí chuid chothroma.

X Y X

A

B

C

Y X U V

A

B

C

Y




X Y X

A

B

C

Y X U V

A

B

C

Y




X Y X

A

B

C

Y X U V

A

B

C

Y

495

7. Mírlíne a roinnt i líon ar bith de chodanna cothroma, gan í a thomhasIs féidir an modh a thaispeántar i gcuid 6 a úsáid chun mírlíne a roinnt i líon ar bith de chodanna cothroma.

San fhíor ar dheis, tá an líne XE roinnte ina cúig chuid chothroma.Ceangail EY.Úsáid dronbhacart agus corr dhíreach chun línte a tharraingt trí D, C, B agus A comhthreomhar le EY.Tá an mhírlíne [XY] roinnte ina 5 chuid chothroma.

8. An chaoi le mírlíne d'fhad ar leith a tharraingt ar ghathán ar leithÚsáidimid compás, rialóir agus corr dhíreach chun mírlíne d’fhad ar leith a tharraingt ar ghathán ar leith.

A 5 cmB

Chun mírlíne 5 cm a tharraingt, úsáid do rialóir agus do chompás chun ga 5 cm a fháil.Anois, leag pointe an chompáis ar an bpointe A agus, gan an ga a athrú, tarraing stua a thrasnaíonn an líne ag B.Tá [AB] 5 cm ar fad.

9. Uillinn líon ar leith céimeanna le gathán ar leith mar ghéagÚsáidimid uillinntomhas chun uillinneacha a thomhas agus chun uillinneacha de mhéideanna ar leith a tharraingt. Léiríonn na léaráidí thíos conas uillinn 74° a tharraingt.

Tarraing líne.Marcáil rinn na huillinne.

Tarraing líne ón rinn tríd an bponc.

Bíodh an t-uillinntomhas suite mar a bheifeá ag tomhas uillinne.Marcáil ponc ag 74°.

74°

A

XY

B

C

D

E

496

Cleachtadh 24.3 1. Gan ach compás agus corr dhíreach a úsáid, tóg déroinnteoir gach ceann de na

huillinneacha thíos:

70° 45° 120°

2. Úsáid do dhronbhacart chun dronuillinn a tharraingt.Anois úsáid do chompás agus corr dhíreach chun an uillinn a roinnt ina dhá cuid chothroma.Deimhnigh le huillinntomhas gur 45° atá i ngach cuid.

3. Tarraing mírlíne 6 cm ar fad.Úsáid do chompás agus corr dhíreach chun déroinnteoir ingearach na mírlíne seo a thógáil.Fíoraigh go bhfuil gach leath 3 cm ar fad.

4. Tarraing mírlíne 7 cm ar fad.Déroinn an líne agus fíoraigh go bhfuil an dá leath ar comhfhad.

5. Tarraing mírlíne [AB], 8 cm ar fad.Úsáid do chompás agus corr dhíreach chun déroinnteoir ingearach na mírlíne seo a thógáil.Roghnaigh pointe ar bith ar an déroinnteoir ingearach agus fíoraigh go bhfuil sé an fad céanna ó A agus ó B.

6. I gcás gach ceann de na línte thíos, úsáid do dhronbhacart agus corr dhíreach chun líne atá ingearach leis an líne thugtha a thógáil tríd an bpointe tugtha:

Pa

b

Qc

RPa

b

Qc

RPa

b

Qc

R

7. Úsáid léaráidí atá cosúil leis na cinn i gCeist 6 thuas chun líne atá ingearach leis an líne thugtha a thógáil tríd an bpointe tugtha, gan ach compás agus corr dhíreach a úsáid.

497

8. I ngach ceann díobh seo, tóg líne atá ingearach leis an líne thugtha tríd an bpointe tugtha, gan ach (i) dronbhacart agus corr dhíreach a úsáid (ii) compás agus corr dhíreach a úsáíd.

A

p

q

r

B CA

p

q

r

B CA

p

q

r

B C

9. Úsáid dronbhacart agus corr dhíreach chun líne a tharraingt tríd an bpointe P comhthreomhar leis an líne .

10. Tarraing mírlíne ar bith eile agus breac pointe P nach bhfuil ar an líne.Anois, úsáid dronbhacart agus corr dhíreach chun líne a tharraingt trí P, atá comhthreomhar leis an mírlíne a tharraing tú.

11. Sa léaráid ar dheis, feictear mírlíne [AB] agus líne AY ina bhfuil |AX| 5 |XY|.Úsáid do dhronbhacart agus rialóir chun XM a tharraingt comhthreomhar le YB.Fíoraigh gurb é M lárphointe [AB].

12. Tarraing mírlíne 9 cm ar fad.Anois, úsáid compás, rialóir agus dronbhacart chun an líne a roinnt ina trí chuid chothroma.Úsáid an rialóir chun a fhíorú go bhfuil gach cuid 3 cm ar fad.

13. Tarraing mírlíne 10 cm ar fad.Anois, úsáid compás, rialóir agus dronbhacart chun an líne a roinnt ina ceithre chuid chothroma.

14. Úsáid d’uillinntomhas chun uillinn 65° (BAC) a tharraingt.Anois, úsáid compás agus corr dhíreach chun déroinnteoir na huillinne seo a thógáil.Más pointe ar bith ar dhéroinnteoir na huillinne BAC é X, agus má tá AB agus XC AC, úsáid triantáin iomchuí chun a thaispeáint go bhfuil |XB| 5 |XC|.

P

�

A

X

Y

B

B

C

A X

498

15. Déan cóip den léaráid ar dheis agus ansin tóg an mhírlíne is gaire is féidir ó P go dtí an líne m.

16. Tóg triantán dronuilleach a bhfuil na toisí céanna aige leis an triantán ar dheis.Fíoraigh go bhfuil |AB| 5 5 cm.

Anois, tóg déroinnteoirí ingearacha [AC] agus [AB].Má bhíonn do chuid tógálacha cruinn, trasnóidh an dá dhéroinnteoir a chéile ag [AB].

17. Tá na toisí seo a leanas ag an gcomhthreomharán ar dheis:|DC| 5 8 cm, |AD| 5 3 cm agus |DB| 5 10 cm.

Gan ach compás agus rialóir a úsáid, tóg an comhthreomharán seo.

Mír 24.4 Triantáin agus dronuilleoga a thógáil 1. Triantán nuair a bhíonn faid na dtrí shlios agat

Tarraing an triantán ABC go cruinn. Bíodh |AB| 5 6 cm,|BC| 5 5 cm agus |CA| 5 4 cm.

Déan sceitse garbh ar dtús, le fáil amach cén sórt crutha a bheidh ar an léaráid chríochnaithe.

C

4 cm 5 cm

6 cmA B

6 cmBA

Tosaigh leis an taobh is faide.Úsáid rialóir chun mírlíne 6 cm ar fad a tharraingt. Lipéadaigh foircinn na líne A agus B.

Socraigh do chompás ar gha 5 cm. Cuir an pointe ag B agus tarraing stua.

5 cm 4 cm

B

C

A

Socraigh do chompás ar gha 4 cm. Cuir an pointe ag A agus tarraing an dara stua. Trasnóidh na stuanna a chéile ag pointe C.

B

C

A

Ceangail C le A agus B chun an triantán a chríochnú.

BA

C

6 cmBA



5 cm 4 cm

B

C

A


B

C

A


BA

C

6 cmBA



5 cm 4 cm

B

C

A


B

C

A


BA

C

6 cmBA



5 cm 4 cm

B

C

A


B

C

A


BA

C

P

m

A

C 4 cm

3 cm

B

D 8 cm

3 cm 10 cm

C

A B

499

2. Triantán nuair a bhíonn toisí sleasa, uillinne agus sleasa agat

Tóg triantán ABC agus [BC] mar bhonn, áit a bhfuil |BC| 5 4 cm, |AB| 5 3 cm agus |ABC| 5 60°.Tomhais an slios [AC].

Tá sceitse garbh le feiceáil ar dheis.

A

3 cm

4 cmB C60°

Tarraing líne chothrománach agus úsáid do chompás chun 4 cm a mharcáil. Tugann sé seo an bonn [BC] = 4 cm.

4 cm CB

Ceangail A le C. Is é ABC an triantán a theastaíonn. Má thomhaisimid |AC|, gheobhaimid 3.6 cm.

Úsáid d’uillinntomhas chun CBA � 60° a thomhas. Tarraing an líne BA. Cuir pointe an chompáis ag B agus tarraing stua ag úsáid ga 3 cm. Is ionann an pointe ag a ngearrann an stua an líne BA agus an pointe A.

C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB


4 cm CB



C60°

3 cm

B C

AA

60°

3 cm

4 cmB

3. Triantán nuair a bhíonn toisí uillinne, sleasa agus uillinne agat

Tóg triantán ABC nuair atá |BC| 5 5 cm, |ABC| 5 40° agus |ACB| 5 50°.


Tarraing mírlíne [BC], 5 cm ar fad. Úsáid uillinntomhas chun|ABC| 5 40° agus |BCA| 5 50° a thógáil.

Trasnaíonn na línte a chéile ag an bpointe A.Is é ABC an triantán a theastaíonn.

A

5 cmB C40° 50°

CB C

A

B 5 cm40° 50°

500

4. Triantán dronuilleach nuair a bhíonn fad an taobhagáin agus fad sleasa amháin eile agat

Tóg an triantán ABC sa chaoi go bhfuil |ABC| 5 90°, |BC| 5 5 cm agus |AC| 5 6 cm.


Tarraing mírlíne [BC], 5 cm ar fad. Úsáid uillinntomhas chun uillinn 90° a dhéanamh ag B.Tarraing líne ingearach BA.Socraigh do chompás ar gha 6 cm.Agus C mar lárphointe, tarraing stua a ghearrann an líne ingearach.Marcáil A ar an bpointe seo agus ceangail AC.Is é ABC an triantán a theastaíonn.

A

5 cm

6 cm

B C90°

CB 5 cmCB

A

5 cm

6 cm

90°

5. Triantán dronuilleach nuair a bhíonn fad sleasa amháin agus méid géaruillinne amháin agat

Tóg an triantán ABC sa chaoi go bhfuil an bonn [BC] 5 5 cm, |ABC| 5 90° agus |ACB| 5 40°. Tá sceitse garbh le feiceáil ar dheis.

Tarraing mírlíne [BC], 5 cm ar fad. Úsáid uillinntomhas chun uillinn 90° a dhéanamh ag B.Tarraing líne ingearach BA.Anois úsáid d’uillinntomhas chun uillinn 40° a dhéanamh ag C.Marcáil an pointe A, áit a dtrasnaíonn géag na huillinne an líne ingearach.Is é ABC an triantán a theastaíonn.

A

B C90°

5 cm40°

CB 5 cmCB

A

5 cm

90°40°

Tarraing mírlíne [BC], 5 cm ar fad. Úsáid uillinntomhas chun uillinn 90° a dhéanamh ag B.Tarraing líne ingearach BA.Anois úsáid d’uillinntomhas chun uillinn 40° a dhéanamh ag C.Marcáil an pointe A, áit a dtrasnaíonn géag na huillinne an líne ingearach.Is é ABC an triantán a theastaíonn.

A

B C90°

5 cm40°

CB 5 cmCB

A

5 cm

90°40°

501

6. Dronuilleoga a thógáil

Tóg dronuilleog ar a bhfuil sleasa 5 cm agus 3 cm ar fad.

Tarraing líne chothrománach agus marcáil pointe A uirthi.Úsáid dronbhacart nó uillinntomhas chun líne ingearach leis an líne thugtha a tharraingt ag A.

Úsáid compás chun 5 cm a thomhas ar an líne chothrománach agus 3 cm a thomhas ar an líne ingearach.Lipéadaigh na pointí D agus B, faoi seach.

Tarraing líne trí B comhthreomhar le AD.Tarraing líne trí D comhthreomhar le AB.Trasnaíonn na línte seo a chéile ag an bpointe C.Is é ABCD an dronuilleog a theastaíonn.

A A

B

D

3 cm

5 cm 5 cmA

B

D

C

3 cm

Draw a horizontal line andmark a point A on it.Use a set square orprotractor to draw a lineperpendicular to thegiven line at A.

Use a compass to measure5 cm on the horizontal lineand 3 cm on the vertical line.Mark the points D and B,respectively.

Draw a line through Bparallel to AD.Draw a line through Dparallel to AB.These lines meet at thepoint C. ABCD is therequired rectangle.

A A

B

D

3 cm

5 cm 5 cmA

B

D

C

3 cm




A A

B

D

3 cm

5 cm 5 cmA

B

D

C

3 cm




Cleachtadh 24.4 1. Tarraing tógáil chruinn de gach ceann de na triantáin seo.

Caithfear na línte tógála uile a thaispeáint.

3 cm

5 cm

4 cm 5 cm

6 cm

8 cm 5.5 cm 4 cm

7 cm

2. Tarraing sceitse garbh de gach ceann de na triantáin seo.Úsáid [BC] mar bhonn i ngach cás.Anois, tarraing tógáil chruinn de gach triantán.

(i) ABC ar a bhfuil |BC| 5 6 cm, |AB| 5 5 cm agus |AC| 5 4 cm. (ii) ABC ar a bhfuil |BC| 5 8 cm, |AB| 5 5.5 cm agus |AC| 5 6 cm.

3. Tarraing triantán ar a bhfuil sleasa 3 cm, 5 cm agus 6 cm.Tomhais na trí uillinn agus fíoraigh go bhfuil (i) an uillinn is lú os comhair an tsleasa is giorra (ii) an uillinn is mó os comhair an tsleasa is faide.

502

4. Tóg na triantáin seo a leanas, bunaithe ar na toisí a thaispeántar sna sceitsí garbha thíos.

B

A

C

4 cm

5 cm60°

E

D

F6 cm

4.5 cm

7 cm

5.5 cm

Y

X

Z30° 75°

B

A

C

4 cm

5 cm60°

E

D

F6 cm

4.5 cm

7 cm

5.5 cm

Y

X

Z30° 75°

B

A

C

4 cm

5 cm60°

E

D

F6 cm

4.5 cm

7 cm

5.5 cm

Y

X

Z30° 75°

Tomhais |AC| Tomhais |DE| Tomhais |XZ|

5. Tóg triantán ABC, agus [BC] mar bhonn, i ngach ceann de na cásanna seo.(Tarraing sceitse garbh ar dtús).Tomhais an tríú slios ar gach triantán.

(i) |BC| 5 4 cm, |AB| 5 3 cm agus |ABC| 5 50°. (ii) |BC| 5 6 cm, |BCA| 5 60° agus |AC| 5 4.5 cm.

6. Tarraing léaráidí cruinne de na sceitsí thíos:

B C

A

7 cm

55° 50°E F Y

X

Z

D

5 cm 6 cm70° 100° 40°45°

B C

A

7 cm

55° 50°E F Y

X

Z

D

5 cm 6 cm70° 100° 40°45°

B C

A

7 cm

55° 50°E F Y

X

Z

D

5 cm 6 cm70° 100° 40°45°

Tomhais |AC| Tomhais |DF| Tomhais |XZ|

7. Tarraing tógáil chruinn de gach ceann de na triantáin dhronuilleacha seo:

7 cm

4 cm7.5 cm

6 cm40°

6.5 cm

8. Tóg an triantán DEF, ar a bhfuil bonn [EF], má tá |DE| 5 5 cm, |EF| 5 6.5 cm agus |DEF| 5 90°.

9. Tóg an triantán ABC, ar a bhfuil bonn [BC], má tá |BC| 5 7 cm, |ABC| 5 90° agus |ACB| 5 50°.Tomhais |AC|.

10. Tarraing dronuilleog ar a bhfuil sleasa 6 cm agus 4 cm ar fad.Fíoraigh go bhfuil an dá thrasnán ar comhfhad.

503

11. Tarraing dronuilleog ar a bhfuil sleasa 7 cm agus 4.5 cm ar fad.Tomhais fad an trasnáin.

12. Tóg dronuilleog ABCD ar a bhfuil bonn [AB] atá 7 cm ar fad más é 28 cm2 achar na dronuilleoige.

13. Tarraing triantán ABC a bhfuil na toisí céanna aige leis an triantán ar dheis. Úsáid do chompás chun trí shlios an triantáin a dhéroinnt go hingearach.Má bhíonn do léaráid cruinn, trasnóidh na trí líne a chéile ag an bpointe céanna.Anois, úsáid an pointe seo mar lárphointe chun ciorcal a tharraingt trí A, B agus C.Imchiorcal an triantáin a thugtar ar an gciorcal seo.

14. Tarraing triantán ar a bhfuil bonn 7 cm agus sleasa eile 5 cm agus 6 cm ar fad. Úsáid do chompás agus rialóir chun trí uillinn an triantáin a dhéroinnt. Ba cheart go dtrasnódh na trí dhéroinnteoir a chéile ag an bpointe céanna. Anois, úsáid an pointe seo mar lárphointe chun ciorcal a tharraingt a thadhlaíonn trí shlios an triantáin. Inchiorcal an triantáin a thugtar ar an gciorcal seo.

C B8 cm

6 cm6 cm

A

Cuir triail ort féin 24 1. (a) Cé mhéad ais siméadrachta atá ag gach ceann de na litreacha seo a leanas?

(i) (ii) (iii) (iv)

(b) Déan cóip den léaráid ar dheis agus ansin úsáid rialóir agus dronbhacart chun líne a tharraingt trí P ingearach le .

(c) Déan cur síos iomlán ar an gclaochlú a mhapálann gach ceann díobh seo:

(i) F ar G (ii) D ar F (iii) A ar B (iv) A ar H (v) E ar B (vi) E ar C.

2. (a) Tóg an triantán bunaithe ar na toisí a thaispeántar sa sceitse garbh ar dheis.

(b) Cé acu de na ceithre iasc sna boscaí thíos a bheadh ceart mar íomhá an éisc a thaispeántar ar dheis

(i) faoi aistriú (ii) faoi shiméadracht aiseach (iii) faoi shiméadracht lárnach?

1. 2. 3. 4.

(c) Is íomhá é A’B’C’D’ den fhíor ABCD faoi fhrithchaitheamh sa y-ais.

Scríobh síos comhordanáidí A’, B’, C’ agus D’.

P

�

y

xO

C

B

AH

GF

E

D

5 cm

3.5 cm

60°

A

B C

y

xO

A B

C

D

1

2

3

4

1 2 3 4

504

3. (a) Úsáid d’uillinntomhas chun uillinn 70° a tharraingt.Anois, gan ach compás agus corr dhíreach a úsáid, tóg déroinnteoir na huillinne seo.

(b) Déan cóip de na léaráidí seo ar pháipéar cearnógach.Dathaigh dhá chearnóg eile i ngach léaráid chun ais siméadrachta a dhéanamh as an líne bhriste. (i) (ii) (iii)

(c) Is comhthreomharán é ABCD ina dtrasnaíonn na trasnáin a chéile ag an bpointe O.

(i) Cad é íomhá D faoi ___

› AB ?

(ii) Cad é íomhá [AD] faoi shiméadracht lárnach in O? (iii) Cad é íomhá AOB faoi shiméadracht lárnach in O? (iv) Cad é íomhá [DC] faoi

___ › CB ?

(v) An é an triantán DCB íomhá an triantáin DAB faoi fhrithchaitheamh sa líne DB?

4. (a) Gan ach compás agus rialóir a úsáid, tóg líne trí P atá ingearach leis an líne k.

(b) Déan cur síos ar an gclaochlú a mhapálfaidh

(i) cruth T ar cruth S (ii) cruth P ar cruth Q (iii) cruth A ar cruth B.

A B

D C

O

P

k

S

T

P

AQ

B

y

x

�3

�4

�5

�2

�1O

1

2

3

4

5

6

�4�5�6 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6

505

506

Caibidil 1: An tAilgéabar 1Cleachtadh 1.1 1. 5x 2. 11a 1 9 3. 3x 1 5y 4. 3a 2 2b 5. 15a 1 6b 6. 7x 1 5y 1 4 7. 7x 1 4 8. 4x 1 3 9. 8a 1 3b 1 2 10. 6x 1 111. 5a 1 4b 12. 5ab 1 213. 3p 2 q 1 r 14. 2k 1 515. 7ab 2 3c 16. 4xy 1 11z17. 5ab 1 5cd 18. 11x 2 8xy19. 2x2 1 2x 1 1 20. 4x2 2 11x 1 721. 7a2 2 8a 2 3 22. 22y2 2 6y 2 323. 3x2 2 2x 2 5 24. 2a2 2 a 1 625. (i) 4 (ii) 4 (iii) 2 (iv) 826. (i) 7p 1 8q (ii) 6a 1 4b 1 13 (iii) 4a 1 4b 1 4c27. (i) 4p 1 2 (ii) 3 (iii) 2x (iv) 5x 1 4

Cleachtadh 1.2 1. (i) 12a (ii) 15a2 (iii) 2ab (iv) 12xy (v) 26a2 (vi) 8ab2

(vii) 2a3b2 (viii) 24a3

2. 11x 1 7 3. 8x 1 7 4. 13x 2 8 5. x 1 2 6. 18x 2 20 7. 3x 2 14 8. a 2 1 9. a 2 510. 4x2 2 4x 2 6 11. x2 1 x 2 2412. 2x2 1 10x 1 12 13. 6x2 1 16x 1 814. 6x2 2 10x 2 4 15. 10x2 1 11x 2 616. 2x2 2 13x 1 15 17. 15x2 2 12x 2 318. 3x3 1 7x2 1 5x 1 119. 4x3 1 6x2 2 10x 2 1220. 5x3 2 7x2 1 22x 2 821. 6x3 2 13x2 1 27x 2 1422. 4x3 2 17x2 1 28x 2 623. 8x3 2 18x2 1 17x 2 624. 6a3 2 17a2 1 18a 2 825. 2y3 2 y2 2 19y 2 726. (i) 2xy (ii) 2km 1 nm (iii) 15a2 1 ac27. (i) d 1 5 (ii) n 2 4 (iii) 5 2 p (iv) 4 1 k

28. (i) 2q (ii) 3m (iii) 3b (iv) 5x2 (v) 5c2 (vi) 4v2w

Cleachtadh 1.3 1. (i) 12 (ii) 14 (iii) 3 (iv) 19 (v) 33 2. (i) 4 (ii) 3 (iii) 22 (iv) 210 3. (i) 4 (ii) 3 (iii) 33 (iv) 10 (v) 12 (vi) 26 (vii) 5 (viii) 2 (ix) 2 4. (i) 7 (ii) 5 (iii) 1 (iv) 6 5. (i) 19 (ii) 1 (iii) 30 (iv) 24 6. 7 7. (i) 211 (ii) 34 (iii) 180 8. (i) 30 (ii) 15 (iii) 1 (iv) 9 _ 2 (v) 180 9. (i) 24 (ii) 36 (iii) 2510. (i) 125 cm2 (ii) 96 cm2

11. (i) 125 cm2 (ii) 242 cm2

12. A agus F, B agus G, C agus E, D agus H13. 1 1 _ 2

Cleachtadh 1.4 1. (i) 7 (ii) 4 (iii) 10 (iv) 4 (v) 3 (vi) 6 2. (i) x 5 4 (ii) x 5 9 (iii) x 5 7 (iv) x 5 7 (v) x 5 7 3. x 5 3 4. x 5 6 5. x 5 6 6. x 5 4 7. x 5 1 8. x 5 4 9. x 5 6 10. x 5 5 11. x 5 312. x 5 8 13. x 5 6 14. x 5 715. x 5 7 16. x 5 5 17. x 5 918. x 5 2 19. x 5 5 20. x 5 121. x 5 10 22. x 5 4 23. x 5 524. x 5 5 25. x 5 2 26. x 5 227. x 5 26 28. x 5 3 29. x 5 230. x 5 4 31. x 5 232. (i) x 5 2 (ii) x 5 233. x 5 2 3 __ 11 , f 5 3 3 _ 8

Cleachtadh 1.5 1. 5 2. 2 3. 6 agus 11 4. 14 bliana d’aois 5. (i) 6x 1 1 (ii) 9 6. 7 7. 12 8. 51 9. (i) 15 (ii) 9 1 _ 2 (iii) 1010. 7 __ 12

Freagraí

507

26. 22 < x , 5 27. 728. {3, 4, 5} 29. (iii)30. 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 431. (i) 350 , c , 500 (iii) 120 < c < 200 (v) 12 < c < 20

Cuir triail ort féin 1 1. (a) (i) 6x2 1 x 2 3 (ii) x 5 3

(b) 2 < x < 4(c) 16x 2 12; x 5 3

2. (a) (i) 10(x 1 3) (ii) 2 2 4x2

(b) (i) (x 1 3) cm (ii) (x 2 1) cm (iii) (3x 1 2) cm

(iv) 3x 1 2 5 44; |AB| 5 14 cm, |BC| 5 17 cm, |CA| 5 13 cm

3. (a) (i) x 5 3 (ii) 7 n-aonad(b) 21 < x < 4(c) (i) p 5 4x 1 2y 1 2z (ii) x 5 10

4. (a) x 5 11(b) (i) 6x3 2 x2 1 7x 2 6 (ii) 1(c) 7, 11

5. (a) (i) 35 (ii) 41(b) (i) 6x 1 17 (ii) 21(c) (i) 10x 1 11 (ii) 3.9 (iii) 1 1 _ 2

6. (a) a 5 2 5 _ 8 (b) (i) A, D, F (ii) C, D, E (1)(c) (i) 6x2 1 11x 1 3 (ii) 11x 1 3 (iii) 5

Caibidil 2: FachtóiríCleachtadh 2.1 1. (i) 3 (ii) 6 (iii) 7 (iv) 7 2. (i) 4x (ii) 3n (iii) 5x (iv) 3a (v) 3x (vi) 2ab 3. (i) (x 1 2y) (ii) (2a 1 3b) (iii) (a 1 c) (iv) (a 1 2) (v) (x 2 3y) (vi) (2x 2 3z) (vii) (3x 1 2y) (viii) (3a 2 4b 1 2) 4. 6(x 1 3y) 5. 3b(a 1 c) 6. 6a(x 2 2y) 7. 6a(a 2 2) 8. 7x(x 2 4) 9. 5x(3x 1 5y)10. 3x2(1 2 2y) 11. 3ab(b 2 2)12. 3p(p 2 2q) 13. 2x2(y 2 3z)14. 2y2(3z 1 5) 15. 5pq(2p 1 q)16. 2a(a2 2 2a 1 4) 17. 2x(2x 2 3y 1 4z)

11. (i) 8 (ii) 512. (i) Mar 20 2 x 1 x 5 20 (ii) 15 2 x (iii) 813. (7x 2 4) cm2; 614. (i) (x 2 6) bliain (ii) (x 1 12) bliain (iii) 15 bliana d’aois15. 4816. Eitleán – 2 uair; Bád – 5 huaire 20 nóiméad;

Traein – 3 huaire 20 nóiméad

Cleachtadh 1.6 1. (i) F (ii) F (iii) B (iv) F (v) B (vi) B (vii) F (viii) F 2. (i) . (ii) , (iii) . (iv) , 3. (i) x , 4 (ii) 2 . 23 (iii) S < 40 km/uair (iv) b < 25 (v) A > 18 (vi) A < 60 4. (i) 1, 2, 3 (ii) 1, 2, 3, 4, 5 (iii) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (iv) 3, 4, 5, 6 (v) 1, 2, 3, 4 (vi) 2, 3, 4, 5, 6, 7 5. (i) 22, 21, 0, 1 (ii) 0, 1, 2, 3, 4 (iii) 23, 22, 21, 0 (iv) 24, 23, 22, 21, 0 (v) 24, 23, 22, 21, 0, 1 (vi) 22, 21, 0, 1, 2, 3 7. (i) x . 3 (ii) x , 3 (iii) x 5 3 (iv) x < 3 8. (i) x > 1 (ii) x < 21 (iii) x , 4 (iv) x . 26 (v) x . 6 (vi) x , 210. (i) 3, 4, 5, 6 (ii) 1, 2, 3 (iii) 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5 (iv) 22, 21, 0, 1, 2, 311. (i) x > 1, x N (ii) x > 21, x Z (iii) x > 23, x Z (iv) 23 < x < 9, x R (v) 24 < x < 4, x R (vi) 25 < x , 15, x R12. √

__ 9 , √

___ 20 13. 12, 16, 20, 24

14. 9, 24, 015. (i) n > 6 (ii) n < 5°C (iii) n < 10 kg (iv) n . 5 (v) 20 < n < 30 (vi) 5n 2 12 . 27

Cleachtadh 1.7 1. A, B, D, E 2. A, C, D, E 3. x < 5 4. x < 4 5. x < 4 6. x < 3 7. x < 22 8. x < 4 9. x , 2310. x < 2 11. x < 4 12. x < 313. x , 2 14. x > 21 15. x < 616. x , 3 17. {21, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

18. 0 1 2 3 4 19. 22 < x , 2

20. 25 , x < 3 21. 23 < x , 122. 23 , x < 2 23. 2 1 _ 2 < x , 3 _ 4 24. 22 , x < 2 25. 2 < x < 7

508

11. (2x 1 7)(x 1 2) 12. (5x 1 1)(x 1 4)13. (x 2 3)(x 2 4) 14. (x 2 3)(x 2 6)15. (x 2 4)(x 2 5) 16. (x 2 2)(x 2 12)17. (x 2 3)(x 2 9) 18. (x 2 4)(x 2 9)19. (2x 2 1)(x 2 3) 20. (3x 2 2)(x 2 5)21. (5x 2 2)(x 2 3) 22. (3x 2 5)(x 2 4)23. (5x 2 3)(x 1 6) 24. (3x 2 5)(x 2 3)25. (x 1 2)(x 2 6) 26. (x 1 2)(x 2 5)27. (x 2 2)(x 1 9) 28. (x 2 3)(x 1 10)29. (x 1 2)(x 2 15) 30. (x 1 2)(x 2 20)31. (2x 1 3)(x 2 5) 32. (3x 2 4)(x 1 5)33. (5x 1 3)(x 2 3) 34. (x 1 6)(x 2 12)35. (4x 2 1)(2x 1 3) 36. (2x 2 1)(x 2 9)37. (4x 2 5)(3x 1 1) 38. (3x 1 5)(2x 2 3)39. (4x 2 1)(2x 2 3) 40. (3x 2 2)(x 1 5)41. (3x 1 4)(3x 1 4) 42. (5x 2 1)(x 2 6)43. (3x 2 7)(x 1 2) 44. (3x 2 1)(2x 2 3)45. (4x 2 5)(3x 2 2) 46. (9x 2 2)(x 1 3)47. (6x 2 11)(x 1 2) 48. (9x 2 10)(x 1 1)49. (4x 2 3)(x 2 2) 50. (5x 1 4)(2x 2 5)51. (9x 2 4)(4x 1 1) 52. (4x 2 3)(3x 2 2)53. (3x 2 4)(5x 1 2) 54. (6x 1 5)(4x 2 3)

Cleachtadh 2.5 1. (i) 2 _ 5 (ii) x __

2 (iii) 3x (iv) 4p (v) 3x

2. (i) x 1 y (ii) 4 (iii) 3 __ x

(iv) 4 _ 3

3. x 2 1 4. 2(y 1 3) 5. x 1 7

6. 1 _____ x 2 2

7. 1 _____ x 1 7

8. 3 _____ x 2 1

9. 2 _____ x 1 4

10. x 1 6 11. a __ 3

12. x 1 3 13. a 1 4 _____ 3

14. 1 _____ n 1 9

15. 4 _____ x 1 2

16. x 1 3 17. x 1 3

18. a 19. 21 20. 3 _____ a 1 1

Cuir triail ort féin 2 1. (a) (i) (x 2 3y) (ii) (x 2 4)(x 2 6)

(b) (i) (a 1 b)(7 1 x) (ii) (5a 1 9)(5a 2 9)

(c) 4x 1 1 ______ 4x

2. (a) (i) (3x 2 2)(2x 1 1) (ii) (3a 1 b)(2a 1 c)

(b) (i) 3ax(2a 1 x 2 3) (ii) 3(x 1 4)(x 2 4)

(c) 3x 1 2 ______ 2x 1 5

3. (a) (i) 2ab(4a 1 b) (ii) (3x 2 7)(x 2 3)(b) (i) 2(x 1 2y)(x 2 2y) (ii) (x 2 1)(2y 2 z)(c) 12(x 1 a)(x 2 a)

18. 5xy(y 2 4x) 19. 4xy(xy 2 2)20. 5x(x2 2 2x 1 3) 21. 2ab(a 2 2b 1 6c)22. (i) TURCAÍ (ii) EALA (iii) FÁINLEOG (iv) COLM

Cleachtadh 2.2 1. (2a 1 3)(x 1 y) 2. (3x 2 4)(2a 2 b) 3. (3a 2 4)(2b 2 c) 4. (2x 1 b)(5y 2 z) 5. (2a 2 1)(x 2 2y) 6. (a 1 c)(a 1 b) 7. (x 1 3)(x 2 a) 8. (a 2 5)(b 1 c) 9. (a 1 5)(b 1 3) 10. (3x 1 4y)(x 2 z)11. (c 2 2d)(2c 1 1) 12. (2a 2 3)(x 2 3y)13. (2a 1 b)(c 2 2d) 14. (3xy 1 2z)(1 2 z)15. (4a 2 3b)(2x 1 y) 16. (3a 2 4)(2x2 1 3)17. (2y 2 z)(x 2 1) 18. (n 2 5)(a 1 b)19. (2x 2 3)(xy 2 z) 20. (7y 1 2a)(y 2 3b)21. (2a 1 b)(2ab 2 3) 22. (3a 2 2b)(4a 1 3c)23. (2b 2 c)(5a 2 d) 24. (2x 2 a)(2x 2 3y)25. (2a 2 3x)(3a 2 5y) 26. (3y 2 4z)(2x 2 3y)27. (ax 2 y)(3bx 2 5y) 28. (3a 1 2c)(3a2 2 2b)29. (x 2 2a)(x 1 b) 30. (2x 2 3y)(3x 2 2a)

Cleachtadh 2.3 1. (x 1 y)(x 2 y) 2. (a 1 b)(a 2 b) 3. (x 1 2y)(x 2 2y) 4. (x 1 4y)(x 2 4y) 5. (2x 1 y)(2x 2 y) 6. (3x 1 4y)(3x 2 4y) 7. (2a 1 5b)(2a 2 5b) 8. (6x 1 7y)(6x 2 7y) 9. (8x 1 3y)(8x 2 3y) 10. (4x 1 5)(4x 2 5)11. (5x 1 1)(5x 2 1) 12. (6x 1 5)(6x 2 5)13. (5x 1 8y)(5x 2 8y) 14. (1 1 6x)(1 2 6x)15. (1 1 9y)(1 2 9y) 16. (6 1 11y)(6 2 11y)17. (7a 1 2b)(7a 2 2b) 18. (xy 1 2)(xy 2 2)19. (ab 1 5)(ab 2 5) 20. (xy 1 4)(xy 2 4)21. (ab 1 7)(ab 2 7) 22. (5xy 1 6)(5xy 2 6)23. (4ab 1 5)(4ab 2 5) 24. (3xy 1 1)(3xy 2 1)25. (2ab 1 7cd)(2ab 2 7cd)26. (11a 1 8bc)(11a 2 8bc)27. (9hk 1 5pq)(9hk 2 5pq)28. (i) 3(x 1 3y)(x 2 3y) (ii) 3(2x 1 y)(2x 2 y) (iii) 3(3x 1 y)(3x 2 y) (iv) 5(3 1 x)(3 2 x) (v) 5(3k 1 2)(3k 2 2) (vi) 4(ax 1 3y)(ax 2 3y)29. (a2 1 b2)(a 1 b)(a 2 b)30. (i) 9200 (ii) 240 (iii) 8831. 2(9x2 2 4y2); 2(3x 1 2y)(3x 2 2y)32. (3x 1 y)(3x 2 y)

Cleachtadh 2.4 1. (x 1 2)(x 1 3) 2. (x 1 2)(x 1 6) 3. (x 1 7)(x 1 2) 4. (x 1 3)(x 1 8) 5. (x 1 2)(x 1 10) 6. (x 1 3)(x 1 9) 7. (x 1 5)(x 1 6) 8. (x 1 4)(x 1 11) 9. (x 1 2)(x 1 18) 10. (2x 1 1)(x 1 2)

509

Cleachtadh 3.3 1. (i) {1, 3, 4, 5, 9, 12} (ii) {4, 6, 7, 8, 9, 10, 12} (iii) {4, 9, 12} (iv) {9} (v) {1, 3, 5} (vi) {8, 10} 2. (i) {2, 8} (ii) {1, 2, 8} (iii) {3, 7} (iv) {1} (v) {12, 13} (vi) {14, 15} 3. (i) 15 (ii) 17 (iii) 7 (iv) 3 (v) 2 4. (i) F (ii) F (iii) B (iv) F (v) B (vi) B (vii) F (viii) B 5. (i) 21 (ii) 3 (iii) 17 6. (i) A B C (ii) A B C (iii) A C 8. (i) F (ii) F (iii) Níl sé fíor; 3 4 4 ? 4 4 3 (iv) Níl sé fíor; 2 2 3 ? 3 2 2 (v) Níl sé fíor; (11 2 12) 2 13 ? 11 2 (12 2 13) (vi) Níl sé fíor; 4 4 (6 4 8) ? (4 4 6) 4 8 9. (i) Tá an suimiú cómhalartach (ii) Tá an t-iolrú comhthiomsaitheach (iii) Níl an dealú cómhalartach (iv) Tá an t-iolrú dáileach thar an suimiú (v) Níl an dealú comhthiomsaitheach (vi) Níl an roinnt comhthiomsaitheach 10. Tá aontas tacar dáileach thar an idirmhír 11. Níl difríocht tacar comhthiomsaitheach12. (i) Tá aontas tacar cómhalartach (ii) Tá idirmhír tacar comhthiomsaitheach (iii) Tá aontas tacar comhthiomsaitheach (iv) Tá idirmhír tacar dáileach thar an aontas (v) Tá aontas tacar dáileach thar an idirmhír (vi) Níl difríocht tacar comhthiomsaitheach

Cleachtadh 3.4 1. (i) 28 (ii) 9 (iii) 4 (iv) 10 (v) 22 (vi) 18 (vii) 14; 100 2. (i) 139 (ii) 113 (iii) 13 3. (i) 1 (ii) 7 (iii) 2 (iv) 81 4. (i) 6 (ii) 26 (iii) 4 5. (i) 16 (ii) 14 (iii) 8 (iv) 21 6. x 5 2 7. (i) 4 (ii) 37 8. (i) 15 (ii) 17 (iii) 40 9. x 5 4, y 5 710. (i) 12 (ii) 7 (iii) 411. x 5 12, y 5 9

Cuir triail ort féin 3 1. (a) (i) {5, 7} (ii) {2, 4, 6, 10} (c) (i) 19 (ii) 9 (iii) 7 (iv) 22

4. (a) (i) 3c(5b 2 c) (ii) (8x 1 3)(3x 2 1)(b) (i) 2(2x 1 y)(2x 2 y) (ii) (a 2 b)(x 2 2y)

(c) 5x 2 2 ______ 2x 1 5

5. (a) (i) (3x 2 4)(x 1 2) (ii) (a 2 2)(a 1 b)

(b) (i) 5(a 1 5b)(a 2 5b) (ii) (2x 1 3)(x 1 y)(x 2 y)

(c) 2x 2 3 _______ x(x 1 6)

Caibidil 3: TacairCleachtadh 3.1 1. (i) {1, 3, 4, 5, 6, 7} (ii) {1, 7, 8, 9, 10, 11} (iii) {1, 7} (iv) {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} 2. (i) {1, 3, 5, 7, 8} (ii) {3, 7} (iii) {2, 4, 9, 10} (iv) {1, 2, 5, 8, 10} (v) {2, 10} (vi) {4, 9} 3. (i) 7 (ii) 7 (iii) 14 (iv) 11 (v) 3 (vi) 3 4. 22 6. (i) 33 (ii) 24 (iii) 9 8. (i) 5 (ii) 30 (iii) 11 (iv) 7 9. (i) 6 (ii) 1010. 1011. 32 5 24 1 18 2 x; x 5 1012. (i) 6 (ii) 18 (iii) 1113. (i) 16 (ii) 46 (iii) 30

Cleachtadh 3.2 1. (i) {1, 2, 4, 5, 7, 8} (ii) {3, 9, 10} (iii) {1, 3, 5, 7} (iv) { } (nó ∅) 2. (i) {a, c, e} (ii) {f, g, h} (iii) {f, g, h, i, j } (iv) {a, c, e, f, g, h, i, j } 3. (i) F (ii) B (iii) F (iv) B (v) F (vi) F (vii) F (viii) B 4. (i) {2, 4, 8, 10} (ii) {3, 9, 15}; Níl; Níl difríocht tacar cómhalartach. 5. (i) 3 (ii) 4 (iii) 2 (iv) 7 7. (i) Na daoine uile atá ina gcónaí ar an mBaile

Nua seachas na húinéirí cairr (ii) Na daoine uile atá ina gcónaí ar an mBaile

Nua seachas na pinsinéirí (iii) Na húinéirí cairr atá ina gcónaí ar an

mBaile Nua nach pinsinéirí iad (iv) Na pinsinéirí atá ina gcónaí ar an mBaile

Nua nach bhfuil carr acu (v) Daoine atá ina gcónaí ar an mBaile Nua ar

úinéirí cairr agus pinsinéirí iad.

510

10. E808011. (i) E3308.80 (ii) E53.40 (iii) E3728.80 (iv) E70.9012. 22 13. E100014. E4950 15. E35 00016. E46 00017. (i) E173.60 (ii) E49.90 (iii) E36 (iv) E640.5018. (i) E10 460 (ii) E3098.80 (iii) E2160 (iv) E38 281.20 (v) 71%19. (i) E520 (ii) E67.20 (iii) E23.30 (iv) E26 (v) E403.5020. (i) E11 200 (ii) E5600 (iii) E5600 (iv) E14 000 (v) E42 000

Cleachtadh 4.4 1. (i) $585 (ii) E615.38 2. (i) 108 000 yen (ii) E75 3. (i) £960 (ii) E750 4. E400 5. (i) C$4900 (ii) E4000 6. (i) 6900 kr (ii) E163.04 7. E2970 8. 41 600 baht 9. E57.89 10. E162511. 2% 12. E29 931; brabús

E3975

Cleachtadh 4.5 1. E49.44 2. E133.12 3. E92.25 4. E188.10 5. E57.12 6. E178.50 7. E126.10 8. E485.91 9. E257.34 10. E224.7611. (i) E661.50 (ii) E2138.58 (iii) E4348.04 (iv) E8648.0012. E423.20 13. E1606.8014. E9235.2015. (i) 1.08 (ii) 1.0816. E6400 17. 4.5%18. E800 19. E820020. E8904; 4% 21. 11 1 _ 2 %22. (i) 1.05 (ii) 1.04; E850023. E11 475; 4% 24. E10 837.5025. (i) E11 776 (ii) E18 00026. 16%

Cuir triail ort féin 4 1. (a) E225.49 (b) E7806 (c) E6675.20 2. (a) E651.60 (b) 2.5%

(c) (i) E420 (ii) 31 1 _ 4 %

2. (a) (i) {2, 3, 4, 5, 7} (ii) {3, 5, 7} (iii) {1, 6, 9, 10,11} (iv) {1, 9}

(b) (i) 34 (ii) 3 (iii) 6 3. (a) (i) 27 (ii) 11 (iii) 4 (iv) 30

(b) x 5 2, y 5 16(c) (i) 56 (ii) 38 (iii) 12

4. (a) Tá idirmhír tacar dáileach thar an aontas(b) Ó chlé: 55, 5, 10, 30(c) (i) 40 (ii) 10 (iii) 30 (iv) 14

5. (a) (i) u 5 a 1 b 2 c 1 d (ii) d 5 u 2 a 2 b 1 c (iii) B A (iv) a

(b) 9 6. (a) (iv) atá fíor (b) (i) 4 (ii) 26 (iii) 8 (iv) 34

(c) 9

Caibidil 4: An Uimhríocht FheidhmeachCleachtadh 4.1 1. (i) 0.07 (ii) 0.035 (iii) 0.12 (iv) 0.15 (v) 0.165 (vi) 1.04 (vii) 1.1 (viii) 1.14 (ix) 1.25 (x) 0.875 2. (i) 132 (ii) 159 (iii) 570 (iv) 717.5 3. (i) E29.12 (ii) E35 4. E25 5. E639.60 6. E800 7. E180 8. E1600 9. (i) E245 (ii) E24010. (i) E320 (ii) 17%11. E1104 12. 20% 13. 21 1 _ 3 %14. Siopa C; E6.15 níos saoire ná Siopa A.15. 16 2 _ 3 % 16. Cothrom le laghdú de 57 1 _ 2 %

Cleachtadh 4.2 1. E356.72 2. Ó Meachair: E161.27; Ó Gormáin: E223.71 3. 480 4. E232.24 5. E106.13 6. (i) E900 (ii) 2275 km 7. (i) 8 (ii) E640 (iii) 5 8. (i) 30c (ii) 75c (iii) E1.20 9. (i) E12.60 (ii) E31.52 (iii) 15210. (i) E77.50 (ii) 234 km11. Táille 3

Cleachtadh 4.3 1. E730 2. E29 729 3. E115.50 4. E424 5. E136.80 6. E5640 7. (i) E174 (ii) E876 8. (i) E13 160 (ii) E9960 9. (i) E275.20 (ii) E231.20

511

(ii) Tá ‘go nóimic’ agus ‘ó a.m. go chéile’ róscaoilte 7. (i) Tá an cheist róphearsanta agus níl

na freagraí sonrach go leor/tá siad róshuibiachtúil

9. CA – Róshuibiachtúil / d’fhéadfadh sí náire a chur ar dhaoine CB – Ceist laofa a spreagann daoine chun

freagra dearfach a thabhairt10. (i) A (ii) A (iii) C (iv) B12. (ii) 10 (iii) 2 (iv) 8

Cleachtadh 5.3 1. (i) 820 (ii) 40 2. (i) • Daoine atá ag teacht amach as an

bpictiúrlann, is dóichí i bhfad go mbíonn siad ag an bpictiúrlann go rialta

• Níor tugadh an ceistneoir d’fhear ar bith 3. Is dócha gur daoine iad seo a bhfuil suim acu

sa spórt, i.e. níl an sampla ionadaíoch. 4. B 5. B; is é an sampla sin is fearr a léiríonn tuairimí

an phobail i gcoitinne. 6. Modh 2

Cuir triail ort féin 5 1. (i) C (ii) U (iii) U (iv) C (v) C (vi) U 2. (i) S (ii) L (iii) L (iv) S (v) L 3. (i) P (ii) T (iii) T (iv) T 5. (a) Is fearr (ii) (b) Róshrianta, níl an bhuaicuair san áireamh 6. (b) Sonraí catagóireacha oird 7. (a) Tá Sampla 4 ina shampla maith (b) (i) Ní thugtar ach roghanna dearfacha (ii) Rótheoranta, ní féidir freagra níos lú

ná E6 a thabhairt (iii) Róscaoilte

Caibidil 6: Imlíne – Achar – ToirtCleachtadh 6.1 1. (i) 46 cm (ii) 42 cm (iii) 55 cm 2. (i) 126 cm2 (ii) 104 cm2 (iii) 178.5 cm2

3. (i) 7 cm (ii) 16 cm (iii) 22 cm 4. (i) 58 cm (ii) 54 cm (iii) 58 cm 5. (i) 5 cm (ii) 12 m (iii) 25 cm 6. (i) 56 cm2 (ii) 120 cm2 (iii) 120 cm2

7. (i) 31.5 cm2 (ii) 60 cm2 (iii) 240 cm2

8. (i) 10 cm (ii) 14 cm (iii) 12 cm 9. (i) 121 cm2 (ii) 182 cm2 (iii) 420 cm2

10. (i) 12 cm2 (ii) 24 cm2 (iii) 8 cm11. 20 m2; 25 m2 12. 440 cm2

13. x 5 4, y 5 16, z 5 3

3. (a) E2.10 (b) 64 g(c) (i) E5040 (ii) 5%

4. (a) 7 (b) E4650 (c) E6000 5. (a) E445.48 (b) 2% (c) E23 000 6. (a) Tairiscint A (b) 4500 (c) E45 000

Caibidil 5: An Staitistic 1 – Sonraí a Bhailiú

Cleachtadh 5.1 1. (i) U (ii) C (iii) C (iv) U (v) U (vi) C (vii) C (viii) U 2. (i) S (ii) L (iii) S (iv) L (v) S (vi) L 3. (i) Catagóireach (ii) Leanúnach (iii) 4 chos – S

4 bliana d’aois – L4 bhriosca – S

4. (i) A (ii) O (iii) O (iv) A (v) A (vi) O (vii) O 5. Ochtar iarrthóirí – Sonraí uimhriúla (scoite)

Ord ó 1 go 8 – Sonraí catagóireacha (oird) 6. (i) Leanúnach (ii) Laethanta (Luan, Máirt, Céad ... etc) –

Sonraí catagóireacha (ainmniúla)Dátaí (1ú, 2ú, 3ú ... etc) – Sonraí catagóireacha (oird)Mí (Iúil) – Sonraí catagóireacha (ainmniúla)

(iii) Catagóireach (sonraí oird) 7. 24 imreoir ar an gcéad fhoireann – sonraí

uimhriúla scoite is ea 24, sonraí catagóireacha oird is ea ‘ar an gcéad fhoireann’ Meánaois 26 bliain – Sonraí uimhriúla leanúnacha Tír breithe – Sonraí catagóireacha ainmniúla An Phríomhroinn - sonraí catagóireacha oird

Cleachtadh 5.2 1. (i) P (ii) P (iii) S (iv) S 3. (i) Téann ‘ní théim ann rómhinic’ agus ‘ó a.m.

go chéile’ isteach ina chéile; níl sé sonrach go leor; ní thugtar aon amscála

4. C(i) ba chóir dó a úsáid mar gur treoircheist í C(ii).

5. (i) Róphearsanta (ii) D’fhéadfadh an cheist náire a chur ar dhaoine (iii) Laofa (iv) Treoircheist (v) Róphearsanta / d’fhéadfadh an cheist náire a chur ar dhaoine (vi) Róphearsanta (vii) Treoircheist 6. (i) Róphearsanta, ba leor an t-ainm baiste

512

Cleachtadh 6.4 1. (i) 12 cm3 (ii) 30 cm3 (iii) 63 cm3

2. (i) 32 cm2 (ii) 62 cm2 (iii) 102 cm2

3. (i) (a) 2304 cm3 (b) 1120 cm2

(ii) (a) 7680 cm3 (b) 2368 cm2

(iii) (a) 360 m3 (b) 372 m2

4. 84 5. (iv) 88 cm2

6. (i) 900 cm3 (ii) 368 cm3 (iii) 532 cm3

7. E652.80 8. (i) 405 cm3 (ii) 414 cm2

9. a 5 5 cm, b 5 7 m, c 5 20 cm10. (i) 5 cm (ii) 125 cm3

11. (i) 6 (ii) 16812. (i) 4 cm (ii) 96 cm2

13. (i) 124 cm2 (ii) 72 cm3

14. (i) open (ii) 1936 cm3 (iii) 836 cm2

15. (i) 8 cm (ii) 1.5 (iii) 157 cm2

16. (i) F (ii) [CB] (iii) [KL]17. (i) 7 cm (ii) dúnta (iii) 672 cm3 (iv) 472 cm2

18. A – 5, B – 3, C – 619. x3 5 6x2; 6 cm20. (i) 6 (ii) 1.6 (iii) 6.75 21. (i) 4800 cm3 (ii) 8 cm


2. (i) 28 cm2 (ii) 252 cm3

3. 54 cm3

4. (i) 450 m3 (ii) 1440 cm3 (iii) 48 cm3

(iv) 48 cm3 (v) 264 mm3 (vi) 1512 m3

5. (i) 5 (ii) 2 (iii) 84 cm2

6. (i) 152 cm2 (ii) 300 aonad cearnach (iii) 241 cm2

7. (i) 780 cm2 (ii) 120 mm2 (iii) 200 cm2

8. (i) (a) 480 m3 (b) 432 m2

(ii) (a) 270 m3 (b) 330 m2

(iii) (a) 337.5 m3 (b) 335 m2

9. (i) x 5 5; 84 cm2 (ii) x 5 12; 480 cm2

10. (i) 32.31 m2 (ii) E65011. (i) 410.4 cm3 (ii) 441.6 cm2

13. • Tá an réalta os comhair an chiorcail bhuí a bhfuil imeall dearg air

• Tá an chearnóg a bhfuil imeall glas uirthi os comhair na cearnóige a bhfuil ciorcal inti

• Tá an triantán os comhair na cearnóige deirge glaise

14. E, I15. (i) priosma triantánach (ii) 6

14. 11.5 cm2

15. (i) nó

etc. (P 5 160 cm)

(ii) (P 5 120 cm)


2. (i) 60 cm2 (ii) 52.5 cm2 (iii) 30 cm2

3. (i) 6 cm (ii) 7 cm (iii) 4.5 cm 4. 308 cm2; x 5 17 1 _ 9 5. (i) 10 cm2 (ii) 5 cm2 (iii) 2 : 1 6. (i) 5 cm (ii) 6.5 cm (iii) 12 cm 7. (i) 1.5 cm (ii) 1.6 cm (iii) 4 cm 8. 20 cm2; 1 2 _ 3 cm 9. (i) 784 m2 (ii) 440 m2

10. 154 cm2

Cleachtadh 6.3 1. (i) ga (ii) corda (iii) trastomhas (iv) stua (v) leathchiorcal (vi) teascóg (vii) teascán (viii) tadhlaí 2. (i) 62.8 cm (ii) 25.12 cm (iii) 75.36 cm (iv) 56.52 cm 3. (i) 88 cm (ii) 132 cm (iii) 220 cm (iv) 44 cm 4. (i) 616 cm2 (ii) 1386 cm2

(iii) 3850 cm2 (iv) 154 cm2

5. (i) (a) 201.1 cm2 (b) 50.3 cm (ii) (a) 1385.4 cm2 (b) 131.9 cm (iii) (a) 380.1 cm2 (b) 69.1 cm (iv) (a) 254.5 cm2 (b) 56.5 cm 6. (i) 81.64 cm (ii) 94.2 cm (iii) 251.2 cm 7. (i) 1 _ 4 (ii) 1 _ 3 (iii) 1 _ 6 (iv) 1 _ 8 8. (i) 33 cm (ii) 11 cm (iii) 58 2 _ 3 cm 9. (i) 346.5 cm2 (ii) 77 cm2 (iii) 821 1 _ 3 cm2

10. (i) 72 cm (ii) 42 2 _ 3 cm (iii) 47 cm11. (i) 190.0 cm2 (ii) 150.8 cm2 (iii) 244.5 cm2

12. 400 m; 2513. (i) 91.4 cm (ii) 301.6 cm2

14. (i) 5 cm (ii) 11 cm (iii) 13 cm15. (i) 7 cm (ii) 44 cm16. (i) 2500 m (ii) 79617. Tá fad an dá cheann mar an gcéanna.18. 42 cm2

19. (i) 98 cm2 (ii) 56 cm2

20. (i) 2 m (ii) 75.4 m2 (iii) 79%21. 63%22. Alan; 25 m

513

7. (i) 9 (ii) 9 8. 6 9. e12.8010. a 5 2, 411. (i) 32 (ii) Méid 6 (iii) Ní féidir (iv) Ní bheidh; I gcoitinne, caitheann

buachaillí bróga níos mó.

Cleachtadh 7.2 1. (i) 5 (ii) 14 (iii) 7 (iv) 19.75 2. 61 3. 26 4. 84 5. (i) 36 (ii) 5 6. 13 cm 7. 12 8. 25 9. (i) 18 (ii) 12 (iii) 010. e1.7311. 6; 10; 4 a cuireadh leis an meán freisin; 30;

Méadaítear an meán faoin bhfachtóir céanna (5)12. 4 4 5 8 9 etc.13. (i) 13.2 m (ii) 165 1 _ 3 cm14. 1915. (i) 2 (ii) 1716. (i) 195 (ii) 1917. 4, 618. (i) A – 16.4, B – 25.3 (ii) An luach deiridh (iii) Tá éifeacht mhór ag an asluiteach (91) ar

an meán19. (i) 44 (ii) 44 (iii) 40 (iv) Méadóidh sé é; 40 1 _ 6 pointe20. 7, 921. 40

Cleachtadh 7.3 1. (i) 2 (ii) 1 (iii) Toisc go bhfuil 6 cinn de na 8 luach

i bhfad níos lú ná an meán (6.9) mar thoradh ar an dá asluiteach

2. Meán: 17; Airmheán: 3; Airmheán 3. (i) 25 (ii) 15; an t-airmheán 4. (i) 30 4 _ 7 °C (ii) Tá na sonraí grúpáilte go dlúth gan aon asluiteach 5. (i) 27 (ii) Is é an mód (37) an luach sonraí is airde 6. (i) Deinim (ii) AMar gur catagóireach atá na sonraí,

is é an mód an t-aon mheán staitistiúil amháin is féidir a úsáid

7. (i) Meán (ii) Mód (iii) Airmheán/meán (úsáid an t-airmheán má

tá asluiteach ann) (iv) Mód (v) Airmheán

Cleachtadh 6.6 1. (i) 1 : 40 (ii) 1 : 100 (iii) 1 : 60 000 (iv) 1 : 2000 (v) 1 : 10 000 (vi) 1 : 10 000 2. Cangarú: 1.2 m; sioráf: 3.6 m; capall: 1.35 m 3. (i) 5 m (ii) 11 m (iii) 8.5 m (iv) 14.8 m 4. (i) 6 m (ii) 20 m (iii) 40 m (iv) 3.6 m (v) 28.8 m (vi) 14.375 m 5. 6.2 m; 2.7 m 6. (i) (a) 500 m (b) 1.25 km (c) 2.125 km (d) 1687 1 _ 2 m (ii) (a) 40 cm (b) 16 cm (c) 26 cm (d) 51 cm 7. (i) 17 km (ii) 4.4 cm 8. (i) (a) 12 cm (b) 8.5 cm 9. 1 : 40 000; 75 cm10. (i) |CB| 5 5 cm; 1 : 200 (ii) 6 m (iii) 30 m2

Cuir triail ort féin 6 1. (a) 44 cm2 (b) 5.5 cm

(c) (i) 96 cm3 (ii) 144 cm2

2. (a) 37.68 cm2 (b) 7.2(c) (i) 324 cm3 (ii) 342 cm2

3. (a) (i) 89.1 cm2 (ii) 36.6 cm(b) (i) 50 cm (ii) 1 : 25(c) (i) 18 m3 atá sa dá cheann (ii) Níl siad mar an gcéanna

(iii) E1323 4. (a) 56 cm2 (b) 375 cm2

(c) 11.60 cm 5. (a) 125 cm

(b) (i) 1 km (ii) 14 cm(c) 14

6. (a) Is ceart (E90 000 > E88 128)(b) Priosma triantánach; (i) 6.8 cm3 (ii) 27.4 cm2

(c) 64.5 cm2

Caibidil 7: An Staitistic 2 – Meáin Staitistiúla agus Leathadh

Cleachtadh 7.1 1. (i) 12 (ii) 45 (iii) 5.7 (iv) 7 (v) bus (vi) 1 _ 4 2. 5 3. 3, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 11, 12; (i) 7 (ii) 7 4. (i) 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9; 6 (ii) 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 18; 9.5 5. (i) 14 (ii) 14 6. (i) 9 (ii) 9

514

(iii) Tá leathadh na meáchan níos mó i gcás chineál A ach tá cineál B níos troime ar meán.

Cuir triail ort féin 7 1. (a) 12 (b) (i) 8.1 (ii) 6; An t-airmheán mar go bhfuil an

méid céanna luachanna os a chionn is atá faoina bhun.

(c) (i) 8 (ii) 9 (iii) 5 2. (a) 1.73 m (b) (i) 5 (ii) 14.5 (iii) Ag na buachaillí a bhí an meánscór

ab airde agus is iadsan ba chomhsheasmhaí freisin.

3. (a) 6, 15, 18 (b) (i) 2 (ii) Q3 5 9, Q1 5 1 (iii) 8 4. (a) Meán 5 27.1; Ní léiriú é an mód ar na

luachanna eile (b) 14.8 (c) (i) 8.17; 22.87 (ii) 6.67; 21.33 5. (a) (i) e376.67 (ii) e245 (iii) Níl aon dá luach sonraí (pá) mar a

chéile; Airmheán (b) 45, 2 (c) 12 6. (a) 37

(b) (a) Tá sí bréagach(b) D’fhéadfadh sí a bheith fíor(c) Tá sí bréagach(d) D’fhéadfadh sí a bheith fíor

Caibidil 8: Cothromóidí CearnachaCleachtadh 8.1 1. x 5 2, 4 2. x 5 22, 4 3. x 5 24, 6

4. 3 _ 2 , 4 5. 23, 3 _ 2 6. 24, 1 _ 2

7. 0, 3 8. 25, 0 9. 23, 010. 25, 22 11. 27, 25 12. 28, 2613. 2, 3 14. 3, 5 15. 3, 716. 23, 4 17. 22, 5 18. 27, 4

19. 1 _ 2 , 2 20. 21 ___ 2 , 2 21. 23

___ 2 , 2

22. 22, 2 1 _ 2 23. 1 _ 3 , 2 24. 22, 5 _ 3

25. 24, 2 _ 3 26. 22 ___ 3 , 5 27. 27, 2 _ 3

28. 1 _ 2 , 5 _ 2 29. 22 ___ 5 , 3 30. 3 _ 5 , 2

31. 0, 6 32. 0, 5 _ 2 33. 0, 4 _ 3

8. Meán: 3.3; Mód: 0; Airmheán: 2.5; Airmheán 9. An meán (65) mar gurb é sin an ceann is

airde de na trí mheán staitistiúla.10. (i) 28 (ii) 38 (iii) 63.9 (iv) Meán

Cleachtadh 7.4 1. (i) 4 (ii) 3 (iii) 2; 6 mharc 2. (i) 1 (ii) 4 (iii) 2 (iv) 150 (v) 3 3. (i) 8 (ii) 2 (iii) 180 (iv) 3 4. (i) 3 (ii) 1 (iii) 25% (iv) 26 5. 3.6 6. (i) 30 (ii) 7 (iii) 13 (iv) 13 7. (i) 19 (ii) (41–60) (iii) (61–80) (iv) Ní féidir an meán cruinn a fháil ón tábla 8. (i) (4–6) (ii) 6.5 9. 1210. 18.611. (i) (0–4) (ii) 9 (iii) 45 (iv) 712. (i) 250 cm (ii) 240 cm (iii) 100 cm (iv) 251 cm

Cleachtadh 7.5 1. (i) 11 (ii) 21 2. (i) Ag (i) atá an raon is mó 3. (i) Saskia – 44, Seán – 20; ba chomhsheasmhaí

i bhfad marcanna Sheáin (ii) Saskia 4. (i) Eimhear: 82, Anna: 83 (ii) Eimhear: 20, Anna: 12 (iii) Anna; Meánscór beagáinín níos measa

ach níos comhsheasmhaí 5. 5, 9 6. (i) 6 (ii) 8; b’fhearr a chruthaigh na buachaillí 7. (i) 3 4 6 6 7 etc. (ii) 4 6 6 7 8. (i) 62 nóim (ii) C1: 50 nóim, C3: 70 nóim (iii) 20 nóim 9. (i) 33 (ii) 29 (iii) (a) 18.5 (b) 34 (c) 15.510. (i) 13 nóim (ii) 8 nóim (iii) 15 nóim (iv) 7 nóim11. 8, 9, 13, 15, 2512. (i) 105 g (ii) 19 g (iii) Is airde an meánmheáchan atá in úll ón

Afraic Theas ach tá inathraitheacht na n-úll mar an gcéanna sa dá chás.

13. (i) 11 kg (ii) 7 kg14. (i) 25% (ii) 25%

515

2. (a) x 5 24, 2 _ 3 (b) x 5 0.72, 2.78 (c) fad: 12 cm, leithead: 8 cm 3. (a) 22 (b) x2 2 x 2 6 5 0

(c) (ii) x 5 3; Imlíne 5 30 cm 4. (a) (i) x 5 0, 7 _ 2 (ii) x 5 66

(b) B (c) (i) A 5 (10 1 2x)(8 1 2x) (ii) x 5 2 5. (a) x 5 26, 3 (b) 11 (c) 2 s 6. (a) x 5 21

___ 2 , 5 _ 6 (b) x2 1 3x 2 10 5 0 (c) 2x2 1 8x 1 8 5 72; x 5 4 (d) 5 chamán nó 20 camán

Caibidil 9: An Chéimseata 1 – Triantáin agus Ceathairshleasáin

Cleachtadh 9.1 1. (i) An mhírlíne [AB] (ii) An líne AB (iii) An gathán [BA 2. A 5 117°, B 5 85°, C 5 45°, D 5 140°, E 5 70°,

F 5 23° 3. A 5 70°, B 5 110°, C 5 150°, D 5 30°,

E 5 140°, F 5 40°, G 5 62°, H 5 118°, I 5 62°, J 5 128°, K 5 52°, L 5 128°, P 5 147°, Q 5 33°, R 5 147°

4. (i) 4 (ii) 7 (iii) 4 5. a 5 110°, b 5 70°, c 5 46°, d 5 134°, e 5 60°,

f 5 120° 6. a 5 48°, b 5 132°, c 5 132°, d 5 132°,

e 5 160°, f 5 20°, g 5 20°, x 5 132°, y 5 132°, z 5 132°

7. p 5 80°, q 5 80°, r 5 75°, s 5 105° 8. a 5 96°, b 5 96°, c 5 84°, d 5 72°, e 5 68°,

f 5 112°, g 5 68° 9. (i) 15° (ii) 29° (iii) 19°

Cleachtadh 9.2 1. a 5 50°, b 5 86°, c 5 111°, d 5 50°, e 5 60°,

f 5 43°, g 5 85°, h 5 95°, i 5 37°, j 5 143°, k 5 79°

2. a 5 70°, b 5 70°, c 5 71°, d 5 71°, e 5 62°, f 5 56°

3. a 5 65°, b 5 40°, c 5 52.5°, d 5 60°, e 5 30° 4. p 5 106°, q 5 37°, r 5 37°, d 5 25°, e 5 130°,

f 5 50°, v 5 59°, w 5 31°, x 5 59°, y 5 121° 5. a 5 50°, b 5 58°, c 5 25° 6. a 5 62°, b 5 110°, c 5 55°, d 5 34° 7. (i) x 5 55°; is uillinneacha comhfhreagracha

iad CAB agus EBD. (ii) y 5 45°; 180° suim na n-uillinneacha i △

34. 0, 1 _ 4 35. 0, 6 _ 5 36. 0, 7 _ 3

37. 63 38. 65 39. 6 1 _ 2

40. 6 5 _ 2 41. 6 4 _ 3 42. 6 7 _ 2

43. 25 ___ 2 , 6 44. 22, 7 45. 21

___ 2 , 5

46. 6447. 23, 148. (i) 25, 4 (ii) 24, 22 (iii) 5, 649. (i) x 5 3, 5 (ii) x 5 24, 22 (iii) x 5 21, 250. (i) luach amháin (x 5 –2) (ii) B

Cleachtadh 8.2 1. x 5 23.41, 20.59 2. x 5 25.24, 20.76 3. 23.45, 1.45 4. 21.83, 3.83 5. 20.81, 0.31 6. 20.43, 0.77 7. 0.42, 1.58 8. 22.91, 0.57 9. 20.35, 1.15 10. 22.39, 20.2811. 20.36, 1.86 12. 22.59, 0.2613. 21.55, 0.80 14. 0.72, 2.7815. 22.14, 0.47

Cleachtadh 8.3 1. x2 1 x 5 72; 29, 8 2. 10 3. 8, 11 4. 10 5. 4, 7 6. 4 7. fad: 11 cm, leithead: 7 cm 8. 9 9. fad: 7 cm, leithead: 4 cm10. 6 bliana d’aois11. (ii) 4, 5 nó 25, 2412. 7 m 13. 514. (i) Nuair a bhácáiltear 0 cáca nó 20 cáca in

aghaidh na huaire (ii) Nuair a bhácáiltear 6 cháca nó 14 cháca 15. (i) 0 s nó 6 s (ii) 2 s nó 4 s16. (ii) 4 17. 10 mí18. x2 1 10x 2 144 5 0; x 5 8

Cleachtadh 8.4 1. x2 2 6x 1 8 5 0 2. x2 2 6x 1 5 5 0 3. x2 2 5x 1 6 5 0 4. x2 2 2x 2 3 5 0 5. x2 2 2x 2 8 5 0 6. x2 1 7x 1 12 5 0 7. x2 2 4x 2 12 5 0 8. x2 2 5x 5 0 9. 2x2 1 3x 2 2 5 0 10. x2 1 9x 1 20 5 011. 2x2 2 7x 2 4 5 0 12. 4x2 2 33x 1 8 5 013. x2 1 4x 5 0 14. 4x2 2 1 5 015. x2 2 9 5 0 16. 4x2 2 x 5 017. a 5 21, b 5 22 18. y 5 x2 1 3x 2 4

Cuir triail ort féin 8 1. (a) x 5 25, 7 (b) 64 (c) x2 1 x 2 90 5 0; x 5 9

516

13. (i) Níl (ii) Tá14. Mar AD2 5 CD2 1 AC215. (i) 13 cm (ii) 15.3 cm16. Is ionann

Cuir triail ort féin 9 1. (a) a 5 110°, b 5 70°, c 5 140°, d 5 55°,

e 5 125° (b) A 5 50°, B 5 70°, C 5 73° 2. (a) a 5 63°, b 5 30° (b) A 5 35°, B 5 67°, C 5 40°, D 5 65°,

E 5 33°, F 5 107°, G 5 45° 3. (a) a 5 74°, b 5 53°, c 5 142°, d 5 68°,

e 5 38°, f 5 74° (b) x 5 56; comhchosach (c) a 5 23.5°, b 5 83.5°, c 5 23.5° 4. (a) a 5 55°, b 5 50° (b) 1 agus 4; SUS (c) (ii) Ní bheadh; mar ABC ACB ⇒

DAE CAE 5. (a) (i) 124° (ii) 63° (iii) 32° (b) 0.9 m 6. (a) (i) x 5 140°, y 5 100° (ii) x 5 20°, y 5 140° (iii) x 5 69°, y 5 37° (b) (i) 6.4 m (ii) 7 m

Caibidil 10: An DóchúlachtCleachtadh 10.1 1. 12 2. AA, AC, CA, CC 3. (i) 18 (ii) 6 (iii) 3 4. 36 5. 24 6. 27 7. (i) 36 (ii) 12 8. 12 9. (i) 4 (ii) 128

Cleachtadh 10.2 1. (i) Seans Cothrom (ii) Cinnte (iii) Dodhéanta (iv) Neamhdhóchúil (v) Dóchúil (vi) Seans Cothrom (vii) Dóchúil (viii) Neamhdhóchúil (ix) Seans Cothrom (x) Dóchúil 2. (i) Teagmhas 1: Neamhdhóchúil Teagmhas 2: Seans Cothrom Teagmhas 3: Seans Cothrom Teagmhas 4: Dodhéanta Teagmhas 5: Cinnte (ii) Teagmhas 1: Dóchúil Teagmhas 2: Cinnte

8. x 5 82°, y 5 16°, a 5 48°, b 5 114°10. d 5 35°, e 5 35°, f 5 110°11. a 5 95°, b 5 115°, c 5 39°, d 5 85°13. Mar |BCA| 5 49°

Cleachtadh 9.3 1. A 5 78°, B 5 102°, C 5 60°, D 5 120°, E 5 60°,

F 5 120° 2. A 5 66°, B 5 72°, C 5 80°, D 5 45°, E 5 75°,

F 5 55°, G 5 55° 3. A 5 42°, B 5 100°, C 5 35°, D 5 65°, E 5 28°,

F 5 112°, G 5 52° 4. x 5 70°, y 5 40°, z 5 40°, r 5 70° 5. (i) 8 (ii) 11 (iii) 10 (iv) 7 6. x 5 55°, y 5 55°, z 5 70° 7. g 5 67.5°, h 5 45° 8. a 5 121°, b 5 89°, c 5 129°, d 5 53° 9. (i) x 5 80° (ii) x 5 77° (iii) x 5 55°10. (i) y 5 86° (ii) y 5 64°

Cleachtadh 9.4 1. SUS 2. (i) SSS (ii) SUS (iii) SUS (iv) USU (v) DTS (vi) USU 3. A agus D; SSS 4. (i) Tá; USU (ii) Níl; níl siad ar cóimhéid (níl na sleasa ag

freagairt dá chéile) 5. Tá; SSS 6. SUS (AOB 5 COD … rinnuillinneacha

urchomhaireacha) 7. USU; (i) [EF] (ii) [AB] (iii) 35° 8. x 5 70°, y 5 10 cm 9. Uillinneacha comhfhreagracha, an dá cheann

os comhair [AC].

Cleachtadh 9.5 1. (i) 5 (ii) 10 (iii) 17 2. a 5 7, b 5 12, c 5 21 3. (i) 3 (ii) 5 (iii) 8 4. P 5 44 cm2, Q 5 46 cm2, R 5 50 cm2

5. (i) 2 √___

19 (ii) 4 √__

2 (iii) 2 √___

11 6. 6; 13.5 aonad cearnach 7. (i) x 5 13 cm, y 5 √

____ 394 cm

(ii) x 5 6 cm, y 5 √____

145 cm (iii) x 5 9 cm, y 5 √

_____ 2581 cm

8. x 5 5, y 5 12 9. 74 cm10. x 5 10, y 5 811. (i) 2.47 m (ii) 10.17 m (iii) 6.21 m2

12. Ní luífidh; tá an trasnán 100 cm, i.e. níos lú ná 105 cm.

517

5. (i) 1 __ 16 (ii) 1 (iii) 3 _ 8 (iv) 1 _ 4 (v) 7 __ 16 (vi) 9 __ 16

6. AAA, AAC, ACA, CAA, CCC, CCA, CAC, ACC; (i) 1 _ 8 (ii) 3 _ 8 (iii) 1 _ 8 (iv) 7 _ 8

7. (i) 1 _ 9 (ii) 1 __ 12 (iii) 1 __ 12 (iv) 5 __ 36

8. (i) AR, AL, AD, ER, EL, ED, IR, IL, ID (ii) 1 _ 9 (iii) 1 _ 9 (iv) 2 _ 9

Cleachtadh 10.5 1. 50 2. (i) 10 (ii) 10 (iii) 30 3. (i) 160 (ii) 240

4. 3 __ 10

5. (i) 1 _ 2 (ii) 3 _ 4 (iii) Ag Nioclás mar go ndearna sé níos mó

trialacha 6. (i) 3 _ 8 (ii) 27

__ 32 7. (ii) 0.6 (iii) 180 8. (i) 1 _ 6 (ii) 1 _ 2 (iii) 1 _ 2 9. (i) 4 (minicíocht choibhneasta 0.525) (ii) 2 (minicíocht choibhneasta 0.23)10. Le Ben (bhí leathadh na bhfothorthaí cothrom

go leor idir na 6 aghaidh); Ag Jósaí (ba é nóimicíocht choibhneasta “6” ná 1 __ 72 )

11. Dearg – 1, Bán – 2, Gorm – 312. (i) 12

__ 25 (ii) 4813. (i) Dearg – 7 __ 50 , Glas – 12

__ 25 (ii) RDearg – taobh amháin, Glas – trí thaobh;

7 __ 50 ≃ 1 _ 6 , 12 __ 25 ≃ 1 _ 2

14. 10015. (i) 10 dteascóg, 5 cinn acu dearg, 3 cinn bán

agus 2 cheann gorm16. (i) 3 __ 10 (ii) 14

__ 25

Cleachtadh 10.6 1. (i) 13

__ 41 (ii) 6 __ 41 (iii) 13 __ 41 (iv) 26

__ 41 (v) 15 __ 41

2. (i) 30 (ii) 7 (iii) 1 __ 10

(iv) 11 __ 30 (v) 2 __ 15 (vi) 8 __ 15

3. (i) 12 (ii) 3 _ 5 (iii) 1 __ 10 (iv) 21 __ 25 (v) 37

__ 50 4. (i)

B

U

C

7 8 10

3

(ii) 5 __ 14 (iii) 3 __ 28 5. (i) 24 (ii) Thaitin seacláid agus uachtar reoite leo

Teagmhas 3: Dodhéanta Teagmhas 4: Neamhdhóchúil Teagmhas 5: Dóchúil 3. (i) B (ii) C (iii) C (iv) A (v) B (vi) C 4. (i) (b), (a), (c) (ii) (c), (a), (b) 5. Glas – (a), Dearg – (b), Gorm – (c) 6. (i) 6 (ii) 8 (iii) 2

Cleachtadh 10.3 1. (i) (a) Dearg, gorm

(b) Dearg, gorm, buí, glas (c) Dearg, gorm

(ii) (a) 1 _ 2 (b) 1 _ 4 (c) 1 _ 2

2. (i) 1 _ 4 (ii) 1 _ 2 (iii) 1 _ 4 ; 3 _ 4

3. (i) 1 _ 6 (ii) 1 _ 3 (iii) 1 _ 2 (iv) 1 _ 2 (v) 1 _ 3 (vi) 1 _ 2

4. (i) 3 __ 10 (ii) 2 _ 5 (iii) 7 __ 10 (iv) 3 _ 5 (v) 3 __ 10 (vi) 3 __ 10

5. (i) 1 __ 11 (ii) 2 __ 11 (iii) 2 __ 11 (iv) 4 __ 11 (v) 4 __ 11

6. (i) 1 _ 6 (ii) 3 _ 8 (iii) 2 _ 5

7. (i) 1 _ 4 (ii) 1 _ 9 (iii) 4 _ 9 (iv) 1 __ 36 (v) 1 __ 18 (vi) 1 _ 6

8. (i) 1 __ 13 (ii) 1 __ 13 (iii) 3 __ 13 (iv) 1 (v) 0 (vi) 2 __ 13

9. (i) 1 _ 4 (ii) 1 _ 2 (iii) 1 _ 2 (iv) 1 __ 13 (v) 3 __ 13 (vi) 2 __ 13

10. (i) 10 __ 13 (ii) 7 __ 13 (iii) 7 __ 13 (iv) 0

11. (i) Dearg agus dath ar bith seachas dearg nó dubh

(ii) Dearg agus dath ar bith seachas dearg nó gorm

12. (i) 1 _ 6 (ii) 3 _ 8 (iii) 1 _ 6 (iv) 1 __ 12

14. (i) 1 _ 7 (ii) 2 _ 7 (iii) 1 _ 6

15. (i) 5 __ 12 (ii) 1 _ 6 (iii) 1 __ 12 (iv) 1 __ 12 (v) 5 __ 12

(vi) 7 __ 12 ; tá ré-uimhir nó corruimhir ar gach diosca, i.e. tá gach fothoradh clúdaithe

16. (i) 3 __ 10 (ii) 7 __ 20 (iii) 13 __ 20 (iv) 7 __ 20

17. (i) 2 _ 5 (ii) 3 __ 10 (iii) 11 __ 25 ; 1 _ 6

18. (i) 1 ___ 100 (ii) 1 __ 10 (iii) 1 __ 20 (iv) 21

__ 25

(v) 30 (vi) 20 (vii) 25 (viii) 10019. 3 _ 7 20. (i) 4 __ 13 (ii) 4 __ 13 (iii) 5 __ 13 (iv) 9 __ 13

21. (i) 30 (ii) (a) 3 __ 10 (b) 1 _ 2 (iii) 1 _ 5

22. (i) 1 _ 4 (ii) 3 _ 4

Cleachtadh 10.4 1. (i) 1 _ 4 (ii) 1 _ 4 (iii) 1 _ 2

2. (i) 3 __ 16 (ii) 1 _ 2 (iii) 3 __ 16 (iv) 3 __ 16

3. (i) 1 __ 18 (ii) 1 _ 9 (iii) 1 _ 6 (iv) 1 _ 3 (v) 2 _ 9 (vi) 5 __ 18

4. (ii) (a) 3 __ 16 (b) 1 _ 2 (c) 5 _ 8

518

(iv) Is cinnte go dtarlóidh an teagmhas (b) (i) 2 _ 5 (ii) 4 _ 5 (iii) 3 _ 5 (c) (i) 0.2 (ii) 0.4 5. (a) (i) 1 _ 2 (ii) 1 __ 52 (iii) 5 __ 13

(iv) 3 __ 26 (v) 1 __ 13 (vi) 7 __ 13

(b) (i) (a) 1 __ 10 (b) 13 __ 30 (c) 1 _ 3

(ii) Bheadh na torthaí cosúil leo sin ach ní bheidís mar an gcéanna.

(c)

M

U

E

8 10 2

5

(i) 8 __ 25 (ii) 2 __ 25 (iii) 4 _ 5 (iv) 2 _ 5 6. (a) 80 (b) Is beag an seans go bhfuil sé cóir;

Tá an mhinicíocht choibhneasta go bhfaighidh sé 2 (0.44) i bhfad níos airde ná dísle cóir (0.25)

(c) Graf C (d) (ii) 4 __ 15

Caibidil 11: An Chéimseata Chomhordanáideach – An Líne

Cleachtadh 11.1 1. A(2, 3), B(4, 2), C(2, 1), D(23, 3), E(22, 2),

F(24, 1), G(23, 0), H(24, 22), I(22, 23), J(0, 23), K(2, 23), L(3, 22), M(5, 23)

3. (i) Céad (ii) Tríú (iii) Ceathrú (iv) Dara (v) Ceathrú (vi) Tríú 4. (i) x-ais (ii) x-ais (iii) y-ais (iv) y-ais (v) an dá ais 5. (i) √

___ 34 (ii) √

___ 50 (iii) √

___ 53 ; Níl

6. (i) √___

10 (ii) √__

5 (iii) √___

13 (iv) √

___ 89 (v) √

___ 53 (vi) 5

8. √___

53 9. (i) √

___ 18 (ii) √

___ 34 ; Níl

10. (i) |FE| 5 6, |ED| 5 3 (ii) √___

45 11. (i) (4, 3) (ii) (1, 3) (iii) (3, 1) (iv) (1, 1) (v) (1, 22) (vi) (22, 0)12. (0, 11

__ 2 ); y-ais 13. (2, 4)

14. (1, 1 _ 2 ) 15. (21, 21)16. (5, 8) 17. (21, 6)

Cleachtadh 11.2 1. (i) b, c (ii) a, d 2. a: 3 _ 2 , b: 1, c: 1 _ 3 , d: 21

(iii) 3 __ 20 (iv) 3 _ 4

6. (i) 100 (ii) 7 __ 25 (iii) 9 ___ 100 (iv) 1 __ 25

(v) 1 __ 10 (vi) 9 __ 50 (vii) 7 __ 50

7. (i) 12 __ 25 (ii) 11

___ 100 (iii) 29 __ 50 (iv) 21

___ 100 (v) 7 ___ 100

8. (i)

N B

S5

5

17

1

3

9 4

U

(ii) 1 _ 7 (iii) 9 __ 35 (iv) 5 _ 7 (v) 2 _ 5

Cleachtadh 10.7 1. (i) 1 _ 4 (ii) 1 _ 2

2. (i) 8 __ 15 (ii) 7 __ 15

3. (i) 13 __ 18 (ii) 5 __ 36

4. (ii) (a) 2 _ 9 (b) 4 _ 9 (c) 5 _ 9

5. (ii) 12 __ 25

6. (ii) 12 __ 25

7. (ii) (a) 1 __ 36 (b) 5 __ 18

8. (i) 1 _ 4 (ii) 3 _ 8

9. (i) 4 _ 9 (ii) 4 _ 9 (iii) 8 _ 9

Cuir triail ort féin 10 1. (a) (i) B (ii) C (iii) A (b) (i) 7 __ 10 (ii) 1 __ 10 (iii) 1 __ 20

(iv) 3 __ 10 (v) 3 __ 20

(c) (ii) 1 _ 5 (iii) 4 __ 15 (iv) 7 __ 15 (v) 8 __ 15

2. (a) (i) 2 _ 5 (ii) 6 __ 25 (iii) 16 __ 25

(b) Rothlóir A; Dóchúlachtaí turgnamhacha an-ghar do na fíordhóchúlachtaí

(c) (i) (3, 2), (3, 4), (3, 7), (6, 2), (6, 4), (6, 7), (8, 2), (8, 4), (8, 7)

(ii) 4 _ 9 (iii) 4 _ 9

3. (a) 7 __ 10 (b) 10

(c) (i) 19 __ 30 (ii) 3 __ 10 (iii) 9 __ 10

(iv) 1 __ 15 (v) 1 __ 10 (vi) 14 __ 15

4. (a) (i) Ní féidir go dtarlódh an teagmhas (ii) Tá ‘seans 50-50’ ann go dtarlóidh an

teagmhas (iii) Tarlóidh an teagmhas trí huaire as

gach ceithre huaire, i.e. is dócha go dtarlóidh sé

519

11. r 2 y 5 2x 1 5 p 2 y 5 x 1 5

q 2 y 5 x 2 2

12. y 5 1 _ 2 x 1 113. (i) a & f (ii) e & f (iii) e (iv) a14. 415. 216. (i) y 5 2x 1 3 (ii) y 5 x 1 2 (iii) y 5 3x 2 317. A & C

Cleachtadh 11.5 1. 22; 2x 1 y 2 8 5 0 2. 3x 2 y 2 9 5 0 3. 2 _ 3 ; 2 3 _ 2 ; 3x 1 2y 2 10 5 0 4. 2x 2 3y 1 7 5 0 5. 3x 2 y 1 12 5 0 6. (i) Fána a: 2, Fána b: 2 1 _ 2 (ii) Tá siad ingearach (iii) 2x 2 y 2 8 5 0 7. 2x 1 y 2 5 5 0 8. C 9. (2, 4); 5x 2 y 2 6 5 010. (i) Fána: 2, P(0, 5) (ii) x 1 2y 2 10 5 011. 1 _ 3 ; y 5 1 _ 3 x 1 2; P(3, 3); y 5 23x 1 12

12. (i) 5 _ 3 (ii) (b) 3x 1 5y 5 2

Cleachtadh 11.6 1. a: y 5 1, b: y 5 3, c: x 5 3, d: x 5 21 3. (i) 3 (ii) (0, 6) (iii) 4 (iv) 2 (v) 9 n-aonad chearnacha 4. (i) (0, 5) (ii) (5, 0) 5. (i) (0, 6) (ii) (2, 0) 6. (6, 0), (0, 23) 7. (5, 0), (0, 22 1 _ 2 ) 8. An fhána chéanna, i.e. tá siad ar fad

comhthreomhar le chéile 9. 9 n-aonad chearnacha10. (i) a (ii) b (iii) Níl siad ingearach (iv) 15

__ 2 aonad cearnach

11. (i) A(0, 2), B(24, 0) (ii) 1 _ 2 13. (i) d (ii) c (iii) a (iv) b14. (iv) Níl sé ar an líne seo16. 2617. 318. (i) 2 (ii) 5

Cleachtadh 11.7 1. (4, 1) 2. (1, 3) 3. (1, 4) 4. (2, 3) 5. (3, 1) 6. (22, 1)

3. (i) b (ii) 2 _ 3 (iii) 2 4. Tá an líne ag titim (ó chlé go deis); 2 3 _ 2 5. (i) 1 (ii) 2 3 _ 2 (iii) 8 (iv) 1 (v) 1 (vi) 2 _ 3 6. Línte comhthreomhara 7. Tá 9. a: 1 _ 2 , b: 1, c: 210. (i) 3 _ 4 (ii) 2 4 _ 3 11. (i) 2 3 _ 2 (ii) 2 5 _ 4 (iii) 4 _ 3 (iv) 5 _ 2 (v) 212. (i) 21 (ii) 113. (i) 1 (ii) 2114. 515. 28

___ 3 16. (i) 1 _ 2 (ii) 2 _____

k 2 1 (iii) 5

17. Tá rampaí A agus C oiriúnach18. 28

Cleachtadh 11.3 1. (i) 2x 2 y 2 2 5 0 (ii) 4x 2 y 1 1 5 0 (iii) 5x 2 y 1 13 5 0 (iv) 3x 1 y 1 6 5 0 (v) 5x 1 y 1 17 5 0 (vi) 2x 2 3y 2 9 5 0 2. (i) 3x 2 4y 2 19 5 0 (ii) 3x 2 5y 1 22 5 0 3. (i) 4x 2 y 1 11 5 0 (ii) 2x 1 y 1 1 5 0 (iii) 3x 2 4y 1 18 5 0 (iv) 2x 1 3y 2 5 5 0 4. 3x 1 y 5 0 5. (i) 3x 2 y 5 0 (ii) 5x 1 y 5 0 (iii) x 2 3y 5 0 (iv) 3x 1 2y 5 0; níl aon uimhir thairiseach ann 6. 23; 3x 1 y 2 5 5 0 7. (i) 3x 2 2y 5 0 (ii) 2x 1 y 5 0 (iii) x 1 6y 2 1 5 0 (iv) 4x 1 5y 2 7 5 0 (v) x 2 y 1 5 5 0 (vi) 2x 2 y 1 1 5 0 8. 5x 1 4y 2 2 5 0 9. (i) 3, 3x 2 y 2 6 5 0 (ii) 1 _ 3 , x 2 3y 1 6 5 010. x 2 2y 1 4 5 0

Cleachtadh 11.4 1. (i) 3 (ii) 2 (iii) 1 _ 2 2. (i) (0, 5) (ii) (0, 23) (iii) (0, 4) 3. (i) y 5 2x 1 4; 21 (ii) y 5 23x 1 5; 23 (iii) y 5 2 2 _ 3 x 1 7 _ 3 ; 2 2 _ 3 (iv) y 5 5 _ 2 x 1 3 _ 2 ; 5 _ 2

(v) y 5 2 3 _ 4 x 1 1 _ 2 ; 2 3 _ 4 (vi) y 5 3 _ 4 x 1 3 _ 2 ; 3 _ 4

4. y 5 2 2 _ 3 x 1 7 _ 3 ; (i) 2 2 _ 3 (ii) 2 2 _ 3 (iii) 3 _ 2 5. 22 7. (i) y 5 3x 1 c (ii) y 5 2 1 _ 3 x 1 c 8. Tá siad comhthreomhar 9. (i) A & E, B & F, C & I, D & G (ii) H10. (i) 2 _ 3 (ii) y 5 2 _ 3 x 1 1

520

7. (i) b & c (ii) 2 (iii) D & a, E & b, F & c 8. (i) 3x 2 y 2 1 5 0 (ii) (a) 0.675 (b) Is ea mar is é 0.675 an fhána, i.e. níos lú ná 0.7 9. (ii) 2 1 _ 2 10. (i) 2x 2 y 1 1 5 0 (ii) Seiceáil an ionann toradh a gcuid fánaí

agus –1 (ní hionann iad)11. (i) 7070 m (ii) 3 km (iii) 3x 2 4y 1 31 5 0 (iv) 4x 1 3y 2 92 5 0 (v) (11, 16) (vi) Suas an tSráid Thuaidh go dtí Sráid

Tadhlaí agus ansin lean Sráid Tadhlaí go díreach go dtí an Iarsmalann; 21.5 km

Caibidil 12: Cóimheas – Am – LuasCleachtadh 12.1 1. (i) 1 : 3 (ii) 5 : 9 (iii) 2 : 7 (iv) 1 : 4 (v) 1 : 3 (vi) 1 : 8 (vii) 1 : 7 (viii) 2 : 9 2. (i) 2 : 1 (ii) 3 : 1 (iii) 2 : 3 (iv) 4 : 3 (v) 4 : 5 (vi) 6 : 7 (vii) 7 : 3 (viii) 1 : 3 3. Áine – E180, Dáithí – E108 4. E1600, E800, E400 5. E390, E910 6. E225 7. (i) B agus C, A agus E (ii) Cailíní iad an ceathrú cuid den rang NÓ

Is é 3 : 1 cóimheas na mbuachaillí le cailíní 8. 210 9. E550810. (i) 10 kg (ii) 15 kg11. 25012. (i) 15 úll, 125 g siúcra donn, 1 kg plúir, 250 g

siúcra mín, 5 spúnóg bhoird uisce (ii) 20 duine13. 3 : 714. 16 1 _ 5 c15. (i) 50 cm (ii) 16 m16. E1017. (i) Im – 400 g, Plúr – 600 g (ii) 500 g (iii) 1875 g18. 10 lá19. (i) 9 lá (ii) 1820. 1 : 221. 13 : 4722. 3 : 223. 2 : 1

7. (23, 1) 8. (22, 3) 9. (23, 21)10. (21, 22) 11. (3, 24) 12. (22, 5)14. P(0, 6), Q(27, 0)

Cleachtadh 11.8 1. (i) (a) 10 /nóim (b) 3 /nóim (ii) 10, 3 (iii) Fána 5 ráta sreafa 2. (i) (a) 7 _ 4 /soic. (b) 2 /soic.

(ii) 7 _ 4 , 2 (iii) An luach céanna atá ann sa dá chás 3. (i) 1 _ 2 (ii) C atá fíor 4. (i) (a) 2.25 (b) 2 (c) 4.4 pionta (ii) 4 _ 7 (iii) 4x 2 7y 5 0 (nó 4p 2 7 5 0) (iv) 6 6 _ 7 lítear 5. (i) 28 (ii) Laghdaíonn sí ó dhaichead galún go nialas (iii) 8 ngalún/nóim. (iv) Ciallaíonn an fhána gurb é an ráta sreafa

ná –8 ngalún sa nóiméad 6. (i) (a) 9.1 kg (b) 8.8 lb (ii) 5 __ 11 (iii) Is éard atá i gceist leis an bhfána ná go

bhfuil 5 kg 5 11 lb 2.2 lb 5 1 kg (ráta athraithe)

(iv) 5y 2 11x 5 0 (nó 5k 2 11 5 0) (v) 44 lb 7. (i) (a) e182 (b) e125 (ii) (a) 24 lá (b) 47 lá (iii) 19

__ 5 (iv) Luach na fána 5 táille fruilithe sa lá (E3.80) (v) e30 8. (i) 1: 11, 2: 17

__ 2 (ii) Gurb é an t-ídiú breosla ná 11 km/ agus

8.5 km/ faoi seach. (iii) e7.76

Cuir triail ort féin 11 1. (i) 2 (ii) (0, 24) (iii) (2, 0) (iv) 2 1 _ 2 2. (i) 1 _ 2 ; y 5 1 _ 2 x 1 1 (ii) B 3. (i) (0, 5); y-ais (ii) 4 _ 3 (iii) 2 3 _ 4 (iv) 3x 1 4y 5 0 4. (i) (a) A: 2x 2 y 1 3 5 0, B: 2x 2 y 2 2 5 0 (b) 2x 2 y 1 c 5 0 (ii) (2, 2) 5. (i) 2 (ii) A(3, 0), B(0, 2); 3 aonad chearnacha 6. a 5 23

___ 5 , b 5 3

521

4. (a) (i) 240 km (ii) 3 uair an chloig (iii) 80 km/h (b) 81 kg (c) (i) 19.17 (ii) 23.49 5. (a) E2080 (b) 12.24 p.m. (c) 7 : 23 6. (a) 1 _ 4 (b) 56 (c) (i) 3 u (ii) 8 km/h (d) 25.2 m

Caibidil 13: An Staitistic 3 – Sonraí a Chur i Láthair

Cleachtadh 13.1 1. (i) 15 (ii) 1 (iii) 0 go 5 (i.e. 5) (iv) 20% 2. (i) 18°C (ii) 28°C (iii) 3 (iv) 53 1 _ 3 % (v) 4 __ 15 3. (i) 42 (ii) 3 (iii) 10 (iv) 29.2% (v) 1 __ 13 4. (i) 25 (ii) 10 (iii) 3 (iv) 5–10 (i.e. 5) (v) 9 5. (i) 7 (ii) 12 (iii) 13 (iv) 4 (v) 30 (vi) 16 2 _ 3 % (vii) 1 __ 10 6. (i) 6 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 1 _ 5 7. (i) 6 (ii) 16 (iii) 8 (iv) 5 8. (i) 60 (ii) 115 (iii) 1.9 9. (iii) 3 (iv) 22 1 _ 2 % (v) 70%10. (i) 4 (ii) 5 (iii) 3 (iv) 0.225

Cleachtadh 13.2 1. (i) 105° (ii) 120° (iii) 125° 2. (i) 300 (ii) 150 (iii) 100 (iv) 30° 3. (i) 45° (ii) 40 (iii) An Spáinn (iv) An Fhrainc (v) An Spáinn agus an Phortaingéil 4. (i) 90° (ii) 45° (iii) 165° 5. (i) Bus – 120°, Carr – 90°, Traein – 72°, Siúl –

48°, Rothar – 30° 6. (i) e1800 (ii) (a) 120° (b) e600

7. Píchairt C 8. (i) 1 __ 10 (ii) 100 9. (i) 150 (ii) Tá % beagán níos mó de na cártaí in

Cártaí Duitse ina gcártaí comhghairdis ach tá a thrí oiread cártaí (san iomlán) in Cártaí do Chách.

10. 9011. (i) 20% (ii) x 5 126°, y 5 79°

Cleachtadh 12.2 1. (i) 8 u 24 nóim (ii) 2 u 36 nóim (iii) 4 u 58 nóim (iv) 1 u 41 nóim 2. (i) 204 nóim (ii) 336 nóim (iii) 474 nóim 3. (i) 1.25 a.m. (ii) 10.30 p.m. (iii) 6.50 a.m. (iv) 4.45 p.m. 4. (i) 11.40 a.m. (ii) 3.35 p.m. (iii) 12.20 p.m. (iv) 12.30 a.m. (v) 10.15 p.m. 5. (i) 06.00 (ii) 10.45 (iii) 16.00 (iv) 22.12 (v) 12.00 6. (i) 4 u 30 nóim (ii) 7 u 5 nóim (iii) 8 u 15 nóim (iv) 8 u 28 nóim 7. (i) 4 u 10 nóim (ii) 3 u 32 nóim (iii) 8 u 9 nóim 8. A agus (i), B agus (iv), C agus (ii), D agus (iii) 9. 36 u 15 nóim 10. 10.55 p.m.11. 3 u 48 nóim 12. 14.2613. (i) 3 u 35 nóim (ii) 19 nóim (iii) 1 u 53 nóim (iv) Traein 2 (v) 2 u 55 nóim (vi) 2 nóim (vii) 38 nóim (viii) Traein 214. E27.23

Cleachtadh 12.3 1. (i) 225 km (ii) 198 km 2. (i) 2 u 30 nóim (ii) 3 _ 4 u 3. (i) 60 km/h (ii) 60 km/h (iii) 50 km/h (iv) 135 km/h 4. 180 km/h 5. 70 km/h 6. 4 1 _ 2 uair an chloig 7. 72 km/h 8. 5 u 12 nóim 9. 53 1 _ 3 km/h10. 12 m/s 11. 42 km/h12. 72 km/h13. (i) 86 km/h (ii) 67 14. 8 km/h15. Is é an síota is tapúla; 469.4 m sa nóiméad 16. 8.35 a.m.17. Síota, Antalóp, Capall rása, Fia18. 125 km/h 19. 1418 uair an chloig

Cuir triail ort féin 12 1. (a) (i) 4 : 5 (ii) 1 : 5 (iii) 1 : 12 (iv) 1 : 5 (b) (i) 2.5 u (ii) 88 km/h (c) 3 : 11 2. (a) 6 (b) 9 (c) 192 cm 3. (a) (i) 5 : 7 : 10 : 3 (ii) 0.8 kg (b) 40 nóiméad (c) 1625

522

le haghaidh “iasc 2” mar gheall ar an leithead níos mó

(ii) Shílfeá ón leithead méadaithe agus ón doimhneacht mhéadaithe (agus, dá thoradh, an toirt) gur mó bainne a táirgeadh i gcás chartán B cé go raibh an táirgeadh mar a chéile sa dá chás

(iii) Ní thosaíonn an scála ag 0 (iv) Chuirfeadh na ciúib “chruthaitheacha”

(achar agus toirt) daoine ar seachrán 4. Níl aon lipéad ar an ais cheartingearach; tá

fad an gha difriúil i gcás gach sorcóra 5. (i) Ní thaispeántar ach cuid den scála

ceartingearach ar an ngraf 6. (i) Graf A (ii) Níor tháinig (iii) Ní fíor

Cuir triail ort féin 13 1. (a) (i) 45° (ii) 60 (iii) 12 1 _ 2 % (b) (i) 36 (ii) 28 (iii) Q1 5 18, Q3 5 36; 1 2. (a) (i) Mar go bhfuil na sonraí leanúnacha

grúpáilte (ii) 7 (iii) 8 (iv) 16 (b) (ii) Mód – 3.7 kg, Airmheán – 4.15 kg (c) Níl; tá . 60 ag Club an Ghleanntáin

Ghlais, tá , 50 ag Club Mhic Cnáimhin 3. (a) (i) 60° (ii) 84° (b) (i) Níl aon scála ceartingearach ann (ii) Cuireann an méadú ar leithead an fhóin

phóca ar dheis an fíormhéadú as a riocht (c) (i) 49 kg (ii) 30 kg (iii) 54 kg (iv) 24 kg 4. (a) (i) e1133.33 (ii) e400 (iii) e666.67 (iv) e200 (b) (i) L – 92 1 _ 2 , C – 99 1 _ 2 (ii) L – 49, C – 23 (iii) Na Curaidh; raon i bhfad níos lú (iv) Cé go bhfuair siad trí scór a bhí an-

ard, fuair siad na 4 scór ab ísle freisin (Scóráil neamhrialta)

5. (ii) 24 (iii) 1ú Triail – 33 2ú Triail – 29 (iv) Cuireann; meán níos airde, airmheán níos

airde, túsphointe níos airde (27 → 33) (v) Feabhas beagán níos fearr ná an meán (3

i gcomparáid le 2.83)

Caibidil 14: Cothromóidí ComhuaineachaCleachtadh 14.1 1. x 5 2, y 5 4 2. x 5 4, y 5 2 3. 1, 4 4. 3, 5 5. 2, 3 6. 4, 2

Cleachtadh 13.3 1. (i) 20 (ii) 16 (iii) (6–9) km (iv) 62 2. (i) 7.30 a.m. (ii) 45 (iii) Bricfeasta (iv) 10.30 a.m.–11.30 a.m. (v) Sos 11 a chlog 3. (ii) 28 (iii) 12 4. (i) 32 (ii) (30–40) s (iii) 25% (iv) 23 (v) 9 __ 32 5. (ii) 12 (iii) (20–40) km (iv) (20–40) km (v) 38 km 6. (i) 2 (ii) (e20 000–e30 000) (iii) 7 (iv) 20 (v) 3 __ 20 7. (i) 12 (ii) 60 (iii) (50–60) bl. (iv) 1 __ 10 (v) 21 (vi) 43 1 _ 2 bl.

8. (i) B (ii) C (iii) A

Cleachtadh 13.4 1. (i) 4 (ii) 27 bl. (iii) 8 (iv) 36 bl. 2. (i) 20 (ii) 5 (iii) 43 (iv) 76 3. (i) 50 (ii) 75 1 _ 2 (iii) 65 1 _ 2 (iv) 88 1 _ 2 (v) 23 4. (ii) 8 (iii) 16 (iv) 15 5. (i) 62 (ii) 47 (iii) 67 (iv) 20 6. (ii) 16.5 km/h (iii) 40 km/h (iv) 23.5 km/h 7. (i) 19 (ii) 66 (iii) 64 (iv) 26 8. (i) Roimhe – 48, Ina dhiaidh – 45 (ii) Roimhe – 66, Ina dhiaidh – 79 (iii) Bhí na rátaí cuisle níos airde go seasta i

ndiaidh CO 9. (i) 23 (ii) Dynamo – 37 uair an chloig, Fuinneamh

Breise – 29 uair an chloig (iii) Dynamo is fearr mar go bhfuil airmheán

i bhfad níos airde aige cé nach féidir a fheidhmíocht a thuar chomh héasca céanna (raon i bhfad níos mó)

10. (ii) Airmheán na bhfear – 53 bl. Airmheán na mban – 56 bl. Raon na bhfear – 32 bl. Raon na mban – 36 bl.11. (i) 10 (ii) 5 (iii) 2 (iv) 6 (v) 3

Cleachtadh 13.5 1. (i) 2 (ii) 4 (iii) 8 (iv) 3 (v) 9 (vi) 27 2. Ní thaispeántar ach cuid den scála ar an ngraf 3. (i) Méadú an-mhór ar achar an cholúin

523

Caibidil 15: Séana – Nodaireacht Eolaíochta – Surdaí

Cleachtadh 15.1 1. (i) 49 (ii) 64 (iii) 16 (iv) 25 (v) 36 2. (i) 23 (ii) 24 (iii) 45

(iv) 56 (v) a6 (vi) 6x3

(vii) 8x5 (viii) a3

3. (i) 32 (ii) 52 (iii) 33

(iv) 25 (v) 103 (vi) 202

4. (i) 52 (ii) 34 (iii) 72

(iv) 34 (v) 57 (vi) 44

5. (i) F (ii) T (iii) F (iv) F 6. (i) 8 (ii) 16 (iii) 9 (iv) 343 (v) 9 7. (i) 1 _ 9 (ii) 8 (iii) 12 (iv) 1 __ 12 (v) 1 8. (i) 8 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 8 9. A – 27 (33); B – 1 _ 9 (322); C – 1 __ 64 (226);

D – 1 ___ 216 (623); E – 1 (70); F – 1 _ 4 (222); G – 9 (32);

H – 3125 (55)10. (i) 36 (ii) 1 _ 8 (iii) 4 _ 9

(iv) a3b3 (v) 4a2 ___

9b2

11. (i) 38 3 57 (ii) 26 3 95

(iii) 38, 48 (iv) 113 3 31

12. C 13. (i) 46 (ii) (24)3

(iii) 24n (iv) (5x)4

14. (i) 32 (ii) 34

(iii) 39 (iv) 38

(v) 32n

15. A agus I; B agus H; C agus G; D agus F

16. (i) 1 __ a

(ii) 1

(iii) 6a2 (iv) a4

17. (i) 38 (ii) 44 (iii) a21

Cleachtadh 15.2 1. (i) 5 (ii) 12 (iii) 3 (iv) 4 (v) 4 (vi) 5 2. (i) 5 (ii) 4 (iii) 6 (iv) 2 _ 3 (v) 4 _ 5 (vi) 2 _ 3

3. (i) x 1 _ 2 (ii) x

1 _ 3 (iii) a

1 _ 4

(iv) a 2 _ 3 (v) a

3 _ 2 (vi) a

3 _ 4

4. (i) 1 _ 2 (ii) 1 _ 3 (iii) 1 _ 4

(iv) 3 (v) 1 __ 10 (vi) 0.1

5. (i) √__

a (ii) 4 √__

a (iii) 3 √

__ a2

(iv) √__

a5 (v) 4 √

__ a3 (vi) √

__

a __ x

nó √

__ a ___

√__

x

7. 3, 4 8. 6, 3 9. 2, 3 10. 4, 2211. 1, 2 12. 5, 2213. 6, 3 14. 7, 215. 2, 2 16. 3, 2417. 7, 22 18. 3, 2519. 1, 5 20. 1 1 _ 2 , 221. 3, 4 22. 6, 2423. 15, 12 24. 23, 825. 9, 4 26. 6, 127. 2, 10 28. 4, 1029. 3, 5 30. 6, 1 1 _ 2

Cleachtadh 14.2 1. (i) (2, 1) (ii) x 5 2, y 5 1 (iii) Same 2. (2, 3) 3. (i) 22, 23 (ii) 3, 5 4. (i) 4, 2 (ii) 2, 1 5. (i) 3, 7 (ii) 1, 3 (iii) 11, 21 6. (i) (a) 0, 4 (b) 1, 3 (ii) Is línte comhthreomhara iad, mar sin níl

aon phointe trasnaithe ann 7. 12, 23 8. 10, 3 9. 10, 710. x 5 5, y 5 2 11. 14 g12. (i) C (ii) b 5 55 g, e 5 75 g13. Fiche bonn 5c agus ceithre bhonn 10c déag14. Muga beag – 196 g, muga mór – 366 g15. x 5 6 1 _ 2 cm, y 5 3 1 _ 2 cm16. (i) 2x 1 3y 5 33 (ii) 4x 1 2y 5 46 (iii) x 5 9, y 5 5 (iv) 39 cm17. (i) 2a 1 b 5 8, 4a 2 3b 5 1 (ii) a 5 2 1 _ 2 , b 5 318. E50, 40 c 19. 40, 12 20. 42, 3621. □ 5 4, ♡ 5 20, ◇ 5 222. 2x 2 y 5 3, x 1 2y 5 26

Cuir triail ort féin 14 1. (a) 7, 3

(b) (i) 4b 1 3r 5 58, 5b 1 6r 5 86 (ii) gorm – 10 g, dearg – 6 g (iii) 66 g

2. (a) 1, 22(b) (i) 1 _ 2 , 2 1 _ 2 (ii) 6 1 _ 2 cm

3. (a) 4, 3(b) (i) 22, 7 (ii) 2x 2 y 5 4, x 1 y 5 5(c) x 5 18, y 5 24

4. (a) 15, 12 (b) a 5 E45, b 5 E75; E1170 (c) (2, 21) 5. (a) 10, 4 (b) x 5 3, y 5 1 (c) Athair – 45, mac – 13

524

2. Tá (i), (iii), (v) agus (vi) éagóimheasta 3. (i) 5 (ii) 20 (iii) 12 (iv) 5 (v) 29 (vi) 10 4. (i) √

___ 10 (nó p) (ii) √

___ 17 (iii) √

____ 109

(iv) √___

0.8 5. (i) √

___ 10 (ii) √

___ 21 (iii) √

___ 24

(iv) √___

55 6. (i) 5 (ii) 6 (iii) 12 (iv) 4 (v) 4 7. (i) 2 √

__ 2 (ii) 2 √

__ 3 (iii) 3 √

__ 2

(iv) 3 √__

3 (v) 3 √__

5 8. (i) 5 √

__ 3 (ii) 5 √

__ 5 (iii) 4 √

__ 2

(v) 12 √__

3 (v) 8 √__

3 9. A agus K, F agus G, B agus H, E agus J, C agus

I; D10. (i) 8 √

__ 3 (ii) 5 √

__ 2 (iii) 5 √

__ 2

(iv) 7 √__

2 (v) 7 √__

3 (vi) 3 √__

3 11. 4 oiread12. (i) 10 (ii) 18 (iii) 60 (iv) 2113. (i) 5 2 2 √

__ 5

(ii) 6 2 4 √__

3 [ nó 2 ( 3 2 2 √__

3 ) ] (iii) 6 2 √

__ 6

14. (i) 2 ( √___

10 2 5) (ii) 1 (iii) 22 (iv) 29 (v) 211 (vi) 2315. (i) 2 (ii) 27 2 13 √

__ 2

(iii) 116. 24 2 8 √

__ 5 17. 4 √

___ 15 18. 6

19. (i) (a) 2 √__

3 (b) Éagóimheasta (ii) (a) 1 (b) Cóimheasta

Cleachtadh 15.5 1. (i), (iv) 2. (i) 600 (ii) 450 (iii) 6800 (iv) 51 000 (v) 67 000 (vi) 516 (vii) 7050 (viii) 18 600 3. (i) 4 3 102 (ii) 2.8 3 102

(iii) 8.4 3 102 (iv) 6.2 3 103

(v) 8.6 3 103 (vi) 1.27 3 102

(vii) 8.27 3 102 (viii) 7.6 3 104

(ix) 1.468 3 102 (x) 7.24 3 104

4. (i) 4 3 103 (ii) 3.2 3 105

(iii) 9 3 102 (iv) 9.43 3 103

5. (i) 2080 (ii) 660.6 (iii) 8230 (iv) 570 6. (i) 5.4 3 105 (ii) 1.702 3 102

(iii) 3.276 3 103 (iv) 1.44 3 102

7. (i) 0.25 (ii) 0.06 (iii) 0.0048 (iv) 0.00092 8. (i) 4 3 1022 (ii) 6.2 3 1022

(iii) 7 3 1023 (iv) 6.5 3 1023

9. (i) 8 3 1023 (ii) 7.9 3 1023

(iii) 6 3 1024 (iv) 5.3 3 1024

6. (i) 9 (ii) 4 (iii) 8 (iv) 8 (v) 9 (vi) 64 (vii) 16 (viii) 1000 (ix) 27 (x) 25 7. (i) 1 _ 3 (ii) 1 __ 16 (iii) 1 _ 2

(iv) 2 (v) 1 _ 4

8. (i) 1 _ 4 (ii) 4 (iii) 1 _ 8

(iv) 1 ____ 1000 (v) 1 _ 8

9. (i) 9 _ 4 (ii) 16 (iii) 25 __ 9

(iv) 3 _ 2 (v) 5 _ 3

10. (i) 1 ___ 343 (ii) 125

___ 27 (iii) 27 __ 8

(iv) 25 __ 9 (v) 5

11. a 5 16, b 5 1 _ 9 ; 12

12. (i) 4 _ 9 (ii) 1 ___ 125

13. 5 14. 422 16. 322

Cleachtadh 15.3 1. (i) 23 (ii) 24 (iii) 222

(iv) 223 (v) 225

2. (i) 32 (ii) 33 (iii) 34

(iv) 323 (v) 324

3. (i) 2 3 _ 2 (ii) 2

7 _ 2 (iii) 2

3 _ 2

(iv) 2 7 _ 2 (v) 2

25 ___ 2

4. (i) x 5 3 (ii) x 5 3 (iii) x 5 3 _ 2

(iv) x 5 5 _ 3 (v) x 5 5 _ 2 (vi) x 5 3 _ 2

(vii) x 5 3 _ 2 (viii) x 5 5 _ 4

5. (i) x 5 22 (ii) x 5 23 (iii) x 5 23 ___ 2

(iv) x 5 3 6. (i) x 5 4 _ 3 (ii) x 5 23 (iii) x 5 25

___ 2 (iv) x 5 3 7. (i) x 5 6 (ii) x 5 3 (iii) x 5 2 3 _ 2 (iv) x 5 21

___ 2

8. (i) 5 1 _ 2 (ii) 5

3 _ 2 (iii) 5

3 _ 2

(iv) 5 7 _ 2 (v) 5

25 ___ 2

9. (i) 21 ___ 2 (ii) 21

___ 2 (iii) 5 _ 2

(iv) 23 ___ 2

10. 3 7 _ 2 ; x 5 3 _ 4

11. 3 5 _ 2 ; x 5 13

__ 4 12. 2 5 _ 2 ; x 5 9 _ 4

13. 3 25

___ 2 ; x 5 17 __ 4

14. (i) 24 (ii) 2 3 _ 2 ; x 5 7 _ 4

Cleachtadh 15.4 1. Tá (i), (ii), (iv) agus (vi) cóimheasta

525

Cuir triail ort féin 15 1. (a) (i) 12 (ii) x 5 21

___ 3 (b) (i) 5 √

__ 2 (ii) √

___ 37

(c) 12; 11.43 2. (a) (i) 4

1 _ 2 agus 16

1 _ 4 (ii) 5.3 3 103

(b) (i) 3 √__

3 (ii) 0.2 (2 3 1021)(c) (i) x 5 0 (ii) y 5 22 (iii) z 5 1 _ 5 (iv) b 5 24

3. (a) (i) 421 agus 222 (ii) x 5 2 (8, 18…)(b) (i) 4x2 (ii) 3 3 105

(c) (i) 125 (ii) x 5 23 ___ 4

4. (a) (i) 32 (ii) 1 _ 9 (iii) 2 (iv) 1 (v) 3(b) (i) 4 3 1022 (ii) x 5 3 _ 2 (c) (i) B(02 5 0) (ii) B[(28)2 5 64] (iii) B(1 , 2) (iv) F (v) B ( 224 5 1 __ 16 agus 1 __ 16 . 0 )

5. (a) (i) 16 (ii) 1 _ 2 (iii) 5 (iv) 2(b) (i) 10 √

__ 2 (ii) 1 _ 4

(c) 2.5 3 103

6. (a) (i) 5 1 _ 2 (ii) 2 1 _ 2 (b) (i) 3 (ii) 5 _ 7

(c) 5 3 _ 2 ; 1 _ 4

Caibidil 16: An Chéimseata 2: Triantáin Chomhchosúla – Ciorcail – Teoirimí

Cleachtadh 16.1 1. (i) [SR] (ii) [LM] (iii) 8 (iv) 16.4 (v) 7.5 2. (i) 1 : 2 (ii) 14.4 (iii) 4 3. x 5 13.5, y 5 18 4. (i) p 5 6, q 5 13.5 (ii) x 5 9, y 5 1 5. (i) 1 1 _ 2 (ii) x 5 6, y 5 4.5 6. Tá na huillinneacha iontu cothrom le chéile ach

níl na sleasa comhfhreagracha ar comhfhad (i.e. ní triantáin iomchuí iad); x 5 21 cm, y 5 15 cm

7. (i) [RQ] (ii) [RP] (iii) [QP]; 9 8. (i) [KL] (ii) [EF] (iii) 15 9. (ii) [DF] (iii) x 5 13 5 _ 7 cm, y 5 9 1 _ 7 cm10. (i) [XY]; os comhair uillinneacha cothroma (ii) d 5 9, e 5 13.511. (i), (iv), (v)12. 11.2 cm13. (i) Na huillinneacha mar an gcéanna

(uillinneacha comhfhreagracha, e.g. |ABC| 5 |ADE|)

(ii) 14

10. (i) 7 3 103 (ii) 6 3 102

(iii) 5.6 3 103 (iv) 7 3 1025

11. (i) 1.62 3 108 (ii) 5 3 1023

(iii) 8 3 1024 (iv) 2 3 10 (v) 5 3 1021 (vi) 1.6 3 1025

12. (i) 2.8 3 103 (ii) 8 3 102

13. 2.4 3 104

14. 0.377915. (i) 19.625 (ii) 78.416. (i) An Domhan (ii) 5900 km (5.9 3 103) (iii) (1.95 3 104) km

Cleachtadh 15.6 1. (i) 80 (ii) 350 (iii) 1790 (iv) 7320 (v) 1610 2. (i) 100 (ii) 100 (iii) 1800 (iv) 2500 (v) 9800 3. (i) 46.3 (ii) 8.8 (iii) 0.4 (iv) 0.5 (v) 0.1 4. (i) 1 (ii) 2 (iii) 3 (iv) 3 (v) 4 5. (i) 3200 (ii) 650 (iii) 2900 (iv) 29 000 (v) 41 000 6. (i) 7140 (ii) 45 300 (iii) 3610 (iv) 160 000 (v) 701 000 7. (i) 0.47 (ii) 0.063 (iii) 2.4 (iv) 0.67 (v) 55 8. (i) 0.738 (ii) 8.37 (iii) 0.0284 (iv) 1.08 (v) 12.3 9. (i) 72 700 (ii) 73 000 (iii) 70 00010. (i) 40 (ii) 2 (iii) 12511. (i) 10 (ii) 0.3 (iii) 812. (i) 3 (ii) 3 (iii) 2 2 _ 3 13. (i) 5 (ii) 360 (iii) 914. (i) 40 (ii) 120 (iii) 60

15. 40 3 60 _______ 300

Cleachtadh 15.7 1. (i) 1 _ 6 (ii) 2 (iii) 4 _ 3 (iv) 2 3 _ 2 (v) 4 _ 5 2. (i) 0.38 (ii) 0.18 (iii) 20.36 (iv) 1.47 (v) 21.25 4. (i) 7.91 (ii) 9.09 (iii) 12.47 5. (i) 5.52 (ii) 18.65 (iii) 10.38 (iv) 15.21 (v) 267.00 6. (i) 0.16 (ii) 1.27 (iii) 4.22 (iv) 44.28 (v) 2.50 7. (i) 22.16 (ii) 98.01 (iii) 9.56 (iv) 4.13 8. (i) 0.47 (ii) 7.53 (iii) 38.27 9. 41.23 10. 2.47 11. 14.96 12. 15.08

526

e 5 110°, f 5 35° 9. (i) 70° (ii) 30° (iii) 40° (iv) 40°10. (i) x 5 50°, y 5 20° (ii) x 5 60°, y 5 120° (iii) x 5 36°, y 5 54°11. 20°12. (i) 40° (ii) 43.5° (iii) 60°13. (i) RSQ (ii) 100°14. Tá SPQ comhchosach (an dá bhonnuillinn 5

33°)15. Tá AXB agus DXC comhchosúil ⇒

XAB 5 XCD; Mar gur uillinneacha ailtéarnacha iad sin ⇒ AB DC

16. 2 1 2 5 180° ⇒ 1 5 90° ⇒ QPS 5 90° (180° suim na n-uillinneacha i dtriantán)

17. AXB 5 DXC (rinnuillinneacha urchomhaireacha), BAX 5 CDX agus ABX 5 DCX

18. (i) ACP 5 BDA (uillinneacha ina seasamh ar an stua céanna) ⇒ is triantáin chomhchosúla iad

(ii) Tá na sleasa comhfhreagracha i gcomhréir lena chéile19. Triantán comhchosach, x + y 5 Uillinn i

leathchiorcal, i.e. 90°

Cuir triail ort féin 16 1. (a) (i) ADC agus ABC (ii) 45° (iii) 70° (b) (ii) x 5 9, y 5 10.5

(c) a 5 2, b 5 9 1 _ 3 2. (a) a 5 35°, b 5 95°, c 5 70°, d 5 65°

(b) a 5 7.5 cm, b 5 9.6 cm(c) x 5 9, y 5 18

3. (a) (i) 5 (ii) 6 (b) (i) 96° (ii) 120° (iii) 84°

(c) 1.6 m 4. (a) (i) x 5 40°, y 5 140° (ii) x 5 28°, y 5 62° (b) (i) 6 cm (ii) 5 cm (iii) 15 cm

(c) 15.5 m 5. (a) 3 3 _ 8 (b) 17 m (c) (ii) 16.8 cm 6. (a) (i) x 5 95°, y 5 85° (ii) x 5 64°, y 5 116°

(b) 8.2 m(c) ADE 5 60° agus AEC 5 120° ⇒

AED 5 60° ⇒ DAE 5 60° 7. (a) 3 cm (b) 116 2 _ 3 m (c) 652 m

14. (i) BDC 5 ABD (iii) [CD] (iv) [AD] (v) 9.6 cm15. x 5 16 2 _ 3 , y 5 10 16. x 5 13.5, y 5 2717. 2 m 18. 40 cm19. (i) |JKM| 5 |KML| … uillinneacha ailtéarnacha (ii) 4.9 cm20. 13 1 _ 3 m21. (i) Bain úsáid as triantáin chomhchosúla, is é sin ABE agus ACD (ii) 180 m

Cleachtadh 16.2 1. (i) 10 (ii) 12 (iii) 14 2. (i) x 5 10, y 5 12 (ii) x 5 2.5, y 5 6 (iii) x 5 5, y 5 15 (iv) x 5 4, y 5 22 3. a 5 0.3 cm 4. x 5 5, y 5 14 5. (i) 8 cm (ii) 7 cm 6. (i) 2 1 _ 2 (ii) 9 (iii) 6 2 _ 3

7. (i) 6 2 _ 5 (ii) 5 5 _ 6 (iii) 2 4 _ 7

8. x 5 10, y 5 10 4 _ 5 , z 5 11 3 _ 7 9. 610. 7 cm11. 10.5 cm12. (i) 20 5 _ 8 (ii) 2 2 _ 3

13. 14 2 _ 5 cm

14. (i) 21 (ii) 16 1 _ 3

15. (i) AC , BC (ii) x 5 9 3 _ 5 , y 5 2 2 _ 5 16. (i) Caithfidh A, B, C a bheith comhlíneach,

caithfidh A, E, D a bheith comhlíneach agus BE || CD

(ii) 36 m (iii) 50 m

Cleachtadh 16.3 1. (i) Uillinn i leathchiorcal (ii) 45° (iii) Dronuilleach, comhchosach 2. (i) 90° (ii) 30° (iii) 40° 3. A 5 90°, B 5 90°, C 5 20°, D 5 90°, E 5 45°,

F 5 53° 4. (i) Is ga iad araon (ii) 90° (iii) 35° (iv) 55° (v) Mar go bhfuil |OB| 5 |OC| 5 ga 5. (i) 70° (ii) 60° (iii) 35° 6. a 5 63°, b 5 46°, c 5 118°, d 5 32°, e 5 78°,

f 5 103°, g 5 21°, h 5 47°, i 5 62°, j 5 75°, k 5 25°

7. d 5 135°, e 5 76°, g 5 143°, h 5 100°, i 5 124°, j 5 54°, m 5 125°, n 5 250°, p 5 94°, q 5 43°

8. a 5 116°, b 5 64°, c 5 90°, d 5 135°,

527

17. 12.7 cm18. (i) 800p cm3 (ii) 32 cm (iii) 20 cm

Cuir triail ort féin 17 1. (a) (i) 113040 m3 (ii) 7536 m2

(b) (i) 720p cm3 (ii) 15 cm 2. (a) (i) 2592p cm3 (ii) 144p cm3

(iii) 18(b) 118 m2

3. (a) (i) 54p cm3 (ii) 12p cm3

(iii) 207 cm3

(b) 4pr3 ____

3

4. (a) (i) 3 cm (ii) 4 cm(b) 44 cm3

5. (a) 24 cm (b) 63 6. (a) (i) 20 000p cm3 (ii) 160p cm3

(iii) 125(b) 10 nóim.

7. (a) (i) 1018 cm3

(ii) D’fhéadfaí; 1018 cm3 . 1000 cm3

(iii) 2 (iv) 4(b) (i) 509 mm3 (ii) 5064 mm3

(c) 88 cm3; 75 nóim.

Caibidil 18: Patrúin agus SeichimhCleachtadh 18.1 1. (i) 13, 15, 17, 19 (ii) 17, 20, 23, 26 (iii) 24, 28, 32, 36 (iv) 12, 10, 8, 6 (v) 30, 25, 20, 15 (vi) 0, 24, 28, 212 2. (i) 3, 3.5, 4 (ii) 22, 0, 2 (iii) 162, 486, 1458 (iv) 5 1 _ 2 , 7, 8 1 _ 2 (v) 25, 22.5, 21.25 (vi) 23, 26, 29 3. (i) 2, 6, 10, 14 (ii) 5, 8, 11, 14 (iii) 3, 8, 13, 18 (iv) 30, 26, 22, 18 (v) 210, 27, 24, 21 4. (i) Tosaigh ag 3 agus comhair ar aghaidh i

gcéimeanna de 3 (ii) Tosaigh ag 0 agus cuir 4 leis gach uair (iii) Tosaigh ag 10 agus cuir 5 leis gach uair (iv) Tosaigh ag 16 agus comhair siar i

gcéimeanna de 2 (v) Tosaigh ag –6 agus comhair ar aghaidh i

gcéimeanna de 3 (vi) Tosaigh ag 22 1 _ 2 agus comhair ar aghaidh

i gcéimeanna de 1 _ 2 5. (i) ‘cuir 4 leis’ (ii) ‘cuir 3 leis’ (iii) ‘cuir 4 leis’ (iv) ‘bain 2 uaidh’ (v) ‘cuir 1 _ 4 ’ leis’ (vi) ‘cuir 3 leis’

Caibidil 17: An Sorcóir – An Sféar – An Cón

Cleachtadh 17.1 1. (i) 1848 cm3 (ii) 2816 cm3

(iii) 18 480 cm3

2. (i) 836 cm2 (ii) 1106 2 _ 7 cm2

(iii) 3872 cm2

3. (i) 54 259 cm3 (ii) 402 cm3

(iii) 1413 cm3

4. 24 640 cm3; 25 5. 707 cm3

6. (i) V 5 pr2h (ii) 350p 5 pr214 (iii) 5 cm 7. 6 cm 8. 10 cm 9. 3.5 cm10. 5 cm 11. 7 cm 12. 4938 cm3

13. (i) 1570 cm3 (ii) 14.13 kg14. 176 cm3; 1792 cm3 15. 16 cm16. (i) 209 m2 (ii) 298 m3

17. (i) 3542 cm3 (ii) 1366 cm2

Cleachtadh 17.2 1. (i) 3052.1 cm3 (ii) 5572.5 cm3

(iii) 718.0 cm3

2. (i) 1018 cm2 (ii) 1521 cm2

(iii) 462 cm2

3. (i) 250p_____ 3

cm3 (ii) 75p cm2

4. (i) 6 cm (ii) 144p cm2

5. (i) 7 cm (ii) 1437 1 _ 3 cm3

6. 36p cm3 7. 396 cm3 8. 8 cm 9. 3 cm 10. 52% 11. 4 1 _ 2 12. (i) 36p cm3 (ii) 162p cm3 (iii) 54p cm3

13. 1.5 cm 14. 10 cm15. 128p_____

3 cm3; 14 cm 16. 4 1 _ 2 cm

17. (i) 126p cm3 (ii) 8 cm

Cleachtadh 17.3 1. (i) 301.6 cm3 (ii) 10 cm (iii) 302 cm2

2. 1474 cm3

3. (i) 12 cm (ii) 204.2 cm2

(iii) 282.7 cm2 (iv) 314.2 cm3

4. 8 cm 5. 10 cm 6. (i) 6 cm (ii) 234.6 cm3

7. 30 cm 8. 3 cm 9. 192p cm3; 3610. 144p cm3; h 5 2.25 cm11. 99p cm3 12. 8 cm13. (i) 12hp cm3 (ii) 6 cm14. 4 15. 7.91 cm16. (i) 72 (ii) 6912 cm3

528

(ii) A – 138 B – 210 C – 7 D – 401 E – 3 F – 1048576

(iii) Tá A, B agus C líneach 8. (i) 5, 8, 11, 14, 17, 20 (ii) 302

Cleachtadh 18.4 1. (i) 14 (ii) 4 (iii) 4n 1 1 (iv) 81 2. (i) 2n 1 3 (ii) 3n 1 1 (iii) 4n 1 2 3. 4n 1 3; 43, 83 4. (i) Bain 2 uaidh (ii) 22 (iii) 22n 1 14 (iv) 26 (v) T14

5. (i) 3n 2 6 (ii) 25n 1 25 6. 23n 1 11; 15

Cleachtadh 18.5 1. (ii) 6, 11, 16, 21, 26, 31 (iv) 101 (v) 10ú 2. (ii) 15 (iii) 2n 1 1 (iv) Léaráid 16 3. (i) 19 (ii) 3n 1 1 (iii) 151 4. (i) 13 (ii) 2n 1 3 (iii) Patrún 24 5. (i) 21 (ii) Cuir 5 leis (iii) 5n 1 1 (iv) 13 (v) Ní úsáidfidh 6. (iii) Tosaigh ag 5 agus cuir 4 leis (iv) Tn 5 4n 1 1 (v) Cruth 20 (vi) Beidh; Cruth 22 7. (iii) 3n 1 1 (iv) 121 (v) 30

Cleachtadh 18.6 1. (i) 5, 8, 13, 20 (ii) 21, 2, 7, 14 (iii) 1, 7, 17, 31 (iv) 21, 8, 23, 44 2. (i) 18, 24 (ii) 38, 51 (iii) 47, 62 3. (i), (iii), (iv) 4. 116 5. (ii) Is ionann comhéifeacht n2 san nú téarma

agus an 2ú difríocht 42 (iii) 6 6. a 5 1; Tn 5 n2 1 3 7. (i) Tn 5 n2 1 6 (ii) Tn 5 n2 1 2n 2 1 (iii) Tn 5 2n2

9. (i) 30 (ii) Mar nach tairiseach a shuimiú ná a dhealú

atá i gceist leis an riail ‘téarma go téarma’ (iii) Is ea; tá na 2ú difríochtaí ar fad mar an

gcéanna (iv) Tn 5 n2 1 n (v) 42010. (i) 24 (ii) 35 (iv) Tn 5 n2 1 2n (v) 120

6. 1ú téarma

Riail ‘téarma go téarma’

2ú, 3ú, 4ú agus 5ú téarma

8 15 13, 18, 23, 28

5 14 9, 13, 17, 21

9 13 12, 15, 18, 21

0 23 23, 26, 29, 212

212 15 27, 22, 3, 8

0 1 1 _ 7 1 _ 7 , 2 _ 7 , 3 _ 7 , 4 _ 7

5 1 _ 4 2 1 _ 4 5, 4 3 _ 4 , 4 1 _ 2 , 4 1 _ 4

7. (i) 8 (ii) 20 8. (i) 14 (ii) 26 9. (i) 7 (ii) 1, 5 (iii) 1, 411. 3, 7, 11, 15, 19 agus 21, 18, 15, 12, 912. 1, 2, 4, 8, 16, 3213. (i) 4, 6, 8, 10, 12, 14, … (ii) 25, 22, 19, 16, 13, 10, … (iii) 1, 6, 11, 16, 21, 26, … (iv) 7, 10, 13, 16, 19, 22, …14. (i) 33333 3 11 5 366663 (ii) 9 3 12345 5 111105 (iii) 66667 3 66667 5 4444488889

Cleachtadh 18.2 1. (i) □, ○ (ii) 2, 6, 10; Tá (iii) △ (iv) □ (v) □ (vi) ○ 2. (i) glas (ii) gorm (iii) dearg (iv) gorm (v) 5, 10, 15, 20 … (vi) 30ú 3. (i) 8, 4 (ii) 4 (iii) 6 (iv) 23ú 4. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80; (i) 8, 6, 4, 2, 0 , 8, 6, 4, 2, 0 , … (ii) 5 (iii) 0

Cleachtadh 18.3 1. (i) 2, 4, 6, 8 (ii) 4, 7, 10, 13 (iii) 1, 5, 9, 13 (iv) 7, 9, 11, 13 (v) 1, 6, 11, 16 (vi) 5, 3, 1, 21 2. (i) 22, 25, 28 (ii) 2, 5, 10 (iii) 1 _ 2 , 3 _ 4 , 1 3. (i) 5, 7, 9, 11, 13 (ii) 43, 203 5. Mar gur tairiseach atá sa difríocht idir na

téarmaí 6. (i) Is ea (ii) Ní hea (iii) Ní hea (iv) Is ea 7. (i) A – 5, 12, 19, 26

B – 9, 8, 7, 6 C – 22 1 _ 2 , 22, 21 1 _ 2 , 21 D – 2, 5, 10, 17 E – 60, 30, 20, 15 F – 2, 4, 8, 16

529

6. (a) (i) 19, 25 (ii) Tosaíonn an seicheamh ag 2 agus, ina

dhiaidh sin, is ionann gach téarma agus trí oiread an téarma roimhe

(b) (i) 15, 21, 27 (ii) 17, 27, 39 (iii) 27, 81, 243 (iv) An ceann easpónantúil (v) Mar go bhféadfadh líon ar bith 2ú

difríochtaí a bheith ann(c) (i) 32 (ii) Tn 5 2n 2 1

Caibidil 19: FeidhmeannaCleachtadh 19.1 1. (i) 2 (ii) 16 (iii) 11 (iv) 5 (v) 6 (vi) 15 3. (i) 2, 10, 12 (ii) 12, 10, 8 4. x 1 2 3 4 5

y 9 12 15 18 21

5. (i) y 5 2x 1 6 (ii) y 5 8x 2 9

(iii) y 5 x __ 4

2 3 (iv) y 5 4 (x 1 3)

6. (i) x → 3x 1 2 (ii) x → 5x 2 2

(iii) x → x __ 3

1 2 (iv) x → 7 (x 1 2)

7. (i) ‘Iolraigh faoi 5’ (ii) ‘Cuir 4 leis’ (iii) ‘Roinn ar 4’ 8. (i) ‘Dealaigh 1’ (ii) ‘Cuir 1 leis’ (iii) ‘Dealaigh 2’ (iv) ‘Iolraigh faoi 2’, ‘Cuir 1 leis’ 9. (i) 3, 5, 7 (ii) 10, 16, 13 (iii) 5, 8, 20 (iv) 4, 8, 10

Cleachtadh 19.2 1. (i) {1, 2, 4, 5, 7} (ii) {3, 4, 6, 7, 9} (iii) {(1, 3), (2, 4), (4, 6), (5, 7), (7, 9)} (iv) ‘Cuir 2 leis’ [nó f : x → x 1 2] 2. (i) {1, 2, 3, 4}; {6, 7, 8, 9} (ii) {2, 4, 6, 8, 10}; {5, 9, 13, 17, 21} 3. (i) Is ea (ii) Ní hea (iii) Ní hea (iv) Is ea 4. Mar nach bhfuil an t-ionchur céanna ag aon

dá chúpla. 5. Mar go bhfuil dhá aschur éagsúla ag an

ionchur 2. 6. (i) Is ea (ii) Ní hea (iii) Is ea 7. y 5 2(x 1 3); Ionchur (x) Aschur (y)

1 8

2 10

3 12

4 14

5 16

Cleachtadh 18.7 1. Difríocht thairiseach idir na haschuir 2. 3, 5, 7, 9, 11 3. (i) E30 (ii) E105 (iii) 5 (iv) Is ionann (v) E21 (vi) Tá, 21 atá iontu araon (vii) E240 4. (i) Is ea (ii) E120 (iii) y 5 10x (nó a 5 10w) (iv) E200 5. (ii) Tn 5 4n 1 2 6. (ii) 14 (iii) 29 (iv) 2 (v) 2 cm in aghaidh an lae (vi) Tá fána na líne cothrom le ráta fáis an

phlanda 7. (i) 26 (iii) Tn 5 5n 1 1 (v) E 5 5n 1 1 (vi) 5 (vii) An méadú ar líon na gcuimhaiseanna ó

phatrún amháin go dtí an chéad cheann eile

8. (ii) 2 (iv) Tá an graf cuar (parabóil) 9. (i) 81, 243, 729 (ii) Níl (iii) Níl na 2ú difríochtaí ar fad mar an gcéanna (iv) Éiríonn an cuar go han-ghéar10. A agus 1, B agus 2, C agus 3

Cuir triail ort féin 18 1. (a) (i) Tosaíonn an seicheamh ag 3 agus

cuirtear 4 leis gach uair (ii) Tosaíonn an seicheamh ag –1 agus

baintear 2 uaidh gach uair (iii) Tosaíonn an seicheamh ag 3 agus, ina

dhiaidh sin, is ionann gach téarma agus dhá oiread an téarma roimhe

(b) (i) 4, 7, 10 (ii) 21, 23, 25 (iii) 1, 7, 17(c) (ii) 15 (iii) Tn 5 3n (iv) 21ú

2. (a) (i) 25, 28, 211 (ii) 5, 5 _ 2 , 5 _ 4 (iii) 16, 22, 29

(b) (i) Buí, glas (ii) 3, 8, 13, 18 … (iii) 48ú (iv) gorm(c) (i) 4, 10, 20

(ii) 2; Tá na 2ú difríochtaí ar fad mar an gcéanna nó tá an 2ú difríocht tairiseach (2)

3. (a) (iii)(b) (ii) 29 (iii) Tn 5 4n 1 1 (iv) Cruth 25

4. (a) (i) 22 (ii) 4 (iii) 9 (iv) 15(b) (ii) Tn 5 3n 1 1 (iii) T40 5 121(c) 12, 15, 20, 27, 36, 47

5. (a) (i) 7, 15, 31 (ii) 11, 43, 171 (iii) 4, 7, 11

(b) (i) 13 (iii) Tn 5 3n 1 1 (iv) Patrún 8(c) (i) 2 (ii) Tn 5 n2 1 n

530

12. (i) c 5 23 (ii) b 5 2 (iii) (1, 0)13. a 5 7, b 5 1 14. (i) b 5 22, c 5 22 (ii) y 5 2215. a(1, 0), b(23, 0), c(0, 23)16. (i) 18 (ii) 2 (iii) 0; k 5 917. (i) 81 (ii) 1 _ 9 (iii) √

__ 3 (iv) 2 1 _ 2

Cuir triail ort féin 19 1. (a) (22, 28), (0, 24), (2, 0)

(b) {21, 4, 9, 14}(c) a(24, 0), b(2, 0), c(0, 8)

2. (a) (i) Is ea (ii) Ní hea (b) 25

(c) (i) k 5 1 (ii) t 5 1 _ 8 3. (a) Mar go bhfuil dhá aschur éagsúla ag an

ionchur 1.(b) k 5 1(c) a 5 (25, 0), b 5 (2, 0), c 5 (0, 10)

4. (a) (1, 2), (3, 12), (0, 23)(b) (i) 5 (ii) 1 _ 2 ; k 5 10; Níl(c) (i) 0; 5 0 (ii) k 5 4

5. (a) (i) ‘cuir 3 leis’ (ii) {213, 210, 27, 24}

(b) a 5 3, b 5 22(c) (i) √

___ 12 (2 √

__ 3 ), √

___ 72 (6 √

__ 2 ) (ii) k 5 12

6. (a) x 21 0 1 2

y 25 22 1 4

(b) (i) 2 _ 3 (ii) 1 _ 4 (c) (i) 2b 1 c 5 21, 3b 1 c 5 213 (ii) b 5 23, c 5 24 (iii) f (x) 5 x2 2 3x 2 4 (iv) d(4, 0), e(0, 24)

Caibidil 20: Graif ón bhFíorshaol a Tharraingt agus a Léirmhíniú

Cleachtadh 20.1 1. (i) 9 a.m.; 3 p.m. (ii) 30 km (iii) 9.45 a.m., 2 p.m. (iv) 10 a.m.–10.30 a.m., Meán lae–1 p.m. (v) Ó 9 a.m. go dtí 10 a.m. (20 km/h) 2. (i) 30 km (ii) 1 uair an chloig (iii) 45 km

(iv) 75 km 3. (i) 20 km (ii) 20 km (iii) 1 p.m. (iv) Méadaíonn sé; Cé chomh géar is atá fána na líne (v) 40 km 4. (i) Adam (ii) dhá uair (iii) 1 p.m. (iv) 150 km

8. (a) (i) {0, 1, 3, 5} (ii) {3, 4, 5, 8} (iii) {3, 4, 5, 6, 8}(b) (i) {22, 2, 3, 7} (ii) {24, 6, 9} (iii) {24, 23, 2, 4, 6, 9}

9. (i) {3, 5, 9, 13} (ii) {(0, 3), (1, 5), (3, 9), (5, 13)}10. {2, 5, 11, 17} 11. (i) {213, 25, 3, 11} (ii) {(22, 213), (0, 25), (2, 3), (4, 11)}12. x 1 2 3 4 5

; y 5 2x 1 7y 9 11 13 15 17

13. y 5 4x 1 10; 30; 314. Ionchur Aschur

3 10

22 0

5 14

26 28

15. (i) y 5 2x 2 4 (ii) y 5 3x 1 2 (iii) y 5 3x 1 116. 10, 226, 3, 22

Cleachtadh 19.3 1. (i) 21 (ii) 23 (iii) 1 (iv) 25 (v) 29 2. (i) 3 (ii) 25 (iii) 217 (iv) 23 (v) 24 3. (i) 23 (ii) 22 (iii) 1 (iv) 1 (v) 13 4. (i) 5 (ii) 1 (iii) 11 (iv) 6 (v) 5 2 2k 5. (i) x 5 2 (ii) x 5 1 (iii) k 5 22 6. (i) x 5 2 (ii) x 5 3 (iii) x 5 22 7. (i) 216 (ii) 0 (iii) 5k 2 1 (iv) 10k 2 1 (v) 10k 2 6 8. k 5 4 9. (i) x 5 5 (ii) x 5 2 (iii) x 5 21

__ 2 10. (i) 13 (ii) k 5 2 11

___ 4 11. k 5 8 _ 9 12. k 5 1 _ 3 13. (i) x 5 6√

__ 2 (ii) x 5 15

(iii) x 5 21, 3 _ 2 14. a 5 27, b 5 21 15. (i) 1 _ 2 , 11 (ii) 2 (iii) 5 _ 2 16. (i) 24k 2 3 (ii) k 5 2417. (i) 16 (ii) 1 _ 4 (iii) 2 1 _ 2

Cleachtadh 19.4 1. 22 2. 1 3. 2 4. 3 5. 3 6. 24 7. a 5 22, b 5 4 8. a 5 7, b 5 5, c 5 27 9. a 1 b 5 21, 2a 1 b 5 1; a 5 2, b 5 2310. a 5 21, b 5 011. p 5 22, q 5 1; x 5 1

531

4. (i) agus 3ú graf, (iii) agus 2ú, (iv) agus 1ú

5. A agus 4 , B agus 3 , C agus 1 , D agus 5 ,

E agus 2 9. (i) Titeann sí (ii) 5°C (iii) Ardaíonn sí (iv) 212°C (v) 8 nóim

10. (i) 3 (ii) 1 (iii) 4

11. A agus 2 , B agus 1 , C agus 3 , D agus 4

12. A agus 5 , B agus 4 , C agus 3 , D agus 2 ,

E agus 113. (i) (a) 60 m (b) 90 m (ii) (a) 2 s (b) 8 s

Caibidil 21: Codáin Ailgéabracha – Foirmlí

Cleachtadh 21.1 1. (i) 5a (ii) 2y (iii) 3c (iv) 3b (v) 2x (vi) 8b2 (vii) 7x (viii) 4b 2. (i) 1 1 _ 3 (ii) k __

2 (iii) 2b2 (iv) 4ab

(v) 2 (vi) 4 1 _ 2 (vii) 9b (viii) 2a 3. (i) ANANN (ii) TRÁTA 4. (i) 7 _ 6 (ii) 27

__ 20 (iii) 2 _ 3

(iv) 1 _ 8 (v) 5x ___ 6

(vi) 8x ___ 15

5. 13x ____ 4

6. 19x ____ 15

7. x ___ 12

8. 3x ___ 10

9. 9x ___ 10

10. 7x ___ 20

11. 2x 1 1 ______ 2

12. 2x 1 5 ______ 2

13. 3x 1 5 ______ 3

14. 8x 2 6 ______ 5

15. 8x 1 4 ______ 4

16. 4x 2 2 ______ 3

17. 7x 1 14 _______ 6

18. 11x 1 2 _______ 12

19. 7x 2 11 _______ 12

20. 17x 1 11 ________ 20

21. 15x 2 31 ________ 12

22. 9 2 14x _______ 12

23. 23x 2 13 _________ 20

24. 0 25. 11x 1 4 _______ 20

26. 9a 1 4 ______ 12

Cleachtadh 21.2 1. x 5 9 2. x 5 5 3. x 5 3 4. 6 5. 6 6. 11 7. 3 8. 11 9. 1 _ 4 10. 3 11. 7 12. 4 13. 514. 2 15. 4 16. 6 17. 2 18. 3019. 2 20. 12 21. 3 22. 3 23. 224. 1 25. 11 26. 3 1 _ 2 27. 25 28. 9

29. 23 30. (i) x 2 4 5 x 1 2 _____ 3

(ii) AB 5 3

Cleachtadh 21.3 1. 8 2. 18 3. 16 4. 20

(v) Adam: 200 km, Conchúr: 350 km 5. (i) 12 km (ii) 26 nóim (iii) (a) 4 1 _ 2 km (b) 8 1 _ 2 km (iv) (a) 3 nóim (b) 20 nóim (v) 30 km/h 6. (i) 75 km (ii) 10.45 a.m. agus 12.12 p.m. (iii) 1.30 p.m. (iv) 75 km (v) Darren; 30 nóim 7. (i) 55 nóim (ii) 10 nóim (iii) 30 km/h (iv) 24 km/h 8. (i) 6000 km (ii) B → A; uair an chloig (iii) 3 u (iv) A → B : 857 km/h B → A : 1000 km/h 9. (i) [EF] (ii) [HJ] (iii) J (iv) [GH] (v) [AB] (vi) [DE]; 87 km/h10. (i) 11.30 a.m. (ii) 35 km11. (i) 240 km (ii) 10.02 a.m.; 158 km (iii) Somhairle (iv) 9.00 a.m. go dtí 9.15 a.m., 10.15 a.m. go dtí 11.15 a.m. (v) Somhairle: 96 km/h; Roibeard: – 53 1 _ 3 km/h12. (ii) (a) 166 2 _ 3 m/nóim (b) 10 km/h

Cleachtadh 20.2 1. (iv); graf dronlíneach tríd an mbunphointe 2. (i) 37 1 _ 2 míle (ii) 50 míle (iii) 48 km (iv) 24 km; Is ea 3. Ní hea; ní théann sé tríd an mbunphointe; (i) 95°F (ii) 59°F (iii) 10°C (iv) 38°C; 13°C go dtí 32°C 4. (i) e70 (ii) e55 (iii) 80 nóim (iv) 40 nóim (v) e40 5. Graf C; is é sin an t-aon ghraf amháin ina bhfuil

líne dhíreach a théann tríd an mbunphointe 6. (i) 10 m (ii) 4s 2 5h 5 0 (iii) 18.75 m 7. (i) F (ii) B (iii) B (iv) F (v) B 8. (i) T1 agus B, T2 agus A, T3 agus C (ii) Taraif A 9. (i) 8 (ii) 60 km (iii) 3 (iv) Tá (v) 5 3 __ 20 k; 45

Cleachtadh 20.3

1. 1 agus A, 2 agus C, 3 agus E, 4 agus D,

5 agus B

2. Graf A 3. (i) (a) agus A, (b) agus C, (c) agus B (ii) 1ú graf – B 2ú graf – C 3ú graf – A

532

(iii) y 5 3x 2 20z ________ 20

(iv) b 5 6c ______ 2a 2 3

(v) y 5 x 2 tz ______ 2

(vi) t 5 q2

_____ p 2 q

(vii) x 5 y 1 4

_____ y 2 3

(viii) pq

_____ p 1 q

13. y 5 z 1 2 _____ z 2 3

; 21

14. (i) h 5 2A _____ a 1 b

(ii) 14 cm

Cleachtadh 21.6 1. (i) 16 (ii) 150 (iii) 114 (iv) 54 2. (i) 100° (ii) 0° (iii) 240° (iv) 210° (v) 225° 3. (i) 29 (ii) 10 (iii) 10

__ 3

4. 10 5. (i) O; m 5 y 2 c

_____ x

(ii) 3

6. (i) P 5 2( 1 b) (ii) P 5 2y 1 26

7. 13; b 5 6(T 2 C) ________ a

; 13 1 _ 5

8. (i) E21 (ii) 20 km 9. T 5 15 1 40a10. (i) E75 (ii) 354 (iii) 18011. (i) E716 (ii) 180 km12. (i) N 5 4 1 4 (ii) 28 (iii) 7 m

13. (ii) x 5 √__

A __ 2

(iii) √___

10 cm

14. (i) 2900 (ii) 8 (iii) 1015. (i) F 5 4 1 1.5k 1 2p (ii) E39 (iii) 12 km

Cuir triail ort féin 21 1. (a) (i) 4x2 (ii) 4y (iii) 4xy

(b) (i) x 5 4y 2 6

______ 3y 2 2

(ii) x2 1 2x 2 8

(c) x 5 6 2. (a) 1 (b) b 5 c(7a 2 c) ________

a ; 212

(c) (i) P 5 2(2x 1 y 1 z) (ii) 10 3. (a) x2 1 x 2 12

(b) (i) 10 n-uair an chloig (ii) 18 mbliana d’aois

(c) x 5 2 4. (a) 23

__ 10

(b) (i) x 5 b _______ 2(b 2 a)

(ii) 2a ___ 3c

(c) x 5 18

5. (a) 15x 1 11 ________ 12

(b) (i) e650 (ii) 320

(c) a 5 4b 1 3 ______ 6

; 3

6. (a) 2 _ 7

5. 9 6. 7 7. 6 8. 16 9. 15, 18 10. 15 11. 15 bliana d’aois 12. 8

Cleachtadh 21.4 1. x 1 2 2. x 1 3 3. x 1 7 4. 2x 1 1 5. 3x 1 1 6. x 2 2 7. 2x 2 4 8. 2x 1 1 9. x 2 7 10. 3x 2 5 11. 5x 1 4 12. 3x 2 413. x2 1 2x 1 3 14. x2 1 3x 1 515. x2 1 6x 1 8 16. x2 2 x 2 617. x2 1 x 2 2 18. x2 2 4x 1 419. x2 1 7x 2 10 20. x2 2 421. x2 1 5x 1 6 22. 2x2 1 3x 2 1 23. 3x2 2 8x 1 4 24. 3x2 2 3x 1 1225. (i) 2x 2 3 (ii) 5x 2 2

Cleachtadh 21.5 1. (i) y 5 4 2 2x (ii) y 5 22x 2 7 (iii) y 5 7 2 3x

2. (i) x 5 y 1 4

_____ 2

(ii) b 5 a 1 6 _____ 8

(iii) d 5 c 1 1 _____ 4

(iv) k 5 h 1 2 _____ 2

3. (i) b 5 a 1 5 _____ 3

(ii) w 5 b 2 2 _____ 4

(iii) e 5 d 1 12 ______ 6

(iv) h 5 18 2 g

______ 5

4. B, C, F

5. (i) u, v 2 u _____ a

(ii) bq, bq, a

(iii) 3h, 5, 3h, 5(p 2 3h)

6. (i) x 5 y 1 2z (ii) x 5 b 1 4c ______ 3

(iii) x 5 7 2 6y

______ 3

(iv) x 5 3(2y 1 8)

7. (i) a 5 2b 1 1 ______ 4

(ii) a 5 5 _____ b 2 3

(iii) a 5 4b 1 21 _______ 7

8. (i) a 5 2(4b 1 c) (ii) a 5 4b 1 3c _______ 2

(iii) x 5 y 1 1

_____ 6

(iv) b 5 a 1 30 ______ 10

(v) z 5 y 2 3x

______ 2

(vi) b 5 4a 1 3c _______ 2

9. (i) x 5 3c _____ a 1 b

(ii) x 5 5 _____ a 2 3

(iii) x 5 3y 1 3

10. b 5 as 2 k ______ s

( 5 a 2 k __ s

) 11. B, E

12. (i) z 5 2y 2 4x

_______ 3

(ii) b 5 24a 2 9c ________ 4

533

(iv) 21.8° (v) 65.4° (vi) 13.5° (vii) 29.6° (viii) 68.3° 3. (i) 40° 49 (ii) 66° 8 (iii) 83° 52 (iv) 16° 34 (v) 6° 28 (vi) 55° 37 4. 51° 18 5. (i) 0.7431 (ii) 0.2756 (iii) 0.2679 (iv) 0.9511 (v) 0.8788 6. (i) 0.8805 (ii) 0.5976 (iii) 3.7062 (iv) 0.3068 7. (i) 48° (ii) 69° (iii) 55° (iv) 78° (v) 42° (vi) 12° 8. (i) 36.9° (ii) 41.1° (iii) 75.4° (iv) 74.2° 9. (i) 42° (ii) 53° (iii) 41° (iv) 24° (v) 29° (vi) 12° (vii) 35° (viii) 58°10. A 5 56.74°; Sin A 5 0.8411. 53° 2412. (i) Sin (ii) Tan (iii) Cos13. A 5 37°, B 5 68°, C 5 39°14. a 5 22°, b 5 65°, c 5 30°15. A 5 41.8°, B 5 38.6°, C 5 33.4°16. (i) 30° (ii) 66° (iii) 27°17. 22°18. (i) Níl; Tan 75° 5 3.7321 (ii) Tá; Sin 30° 5 1 _ 2 , Sin 60° 5 0.8660 (iii) Níl; Cos 3° 5 0.9986, Cos 83° 5 0.1219

Cleachtadh 22.4 1. (i) Cos (ii) Tan (iii) Sin 2. (i) 3.8 (ii) 10.0 (iii) 10.2 3. (i) 3.3 (ii) 16.7 (iii) 13.5 4. (i) 37° (ii) 46° (iii) 23° 5. (i) 67° (ii) 24° (iii) 37° 6. x 5 9.4 7. (i) 12.0 (ii) 15.9 (iii) 18.8 8. x 5 15, y 5 20 9. a 5 17.8 m, b 5 53.5 cm, c 5 10.4 cm10. (i) 13.9 (ii) 44°11. 12.5 cm12. (i) 8.2 m (ii) 39°13. (i) 4.2 cm (ii) 25°

Cleachtadh 22.5 1. 3.5 m 2. 21 m 3. 56° 4. (i) 124 km (ii) 26° 5. 20 m 6. 4° 7. 47 m 8. (i) 5 m (ii) .3 m (iii) 10.1 m 9. 12 m10. (i) 17 m (ii) 65° (iii) 25°11. 61°12. (i) 13.1 m (ii) 9.9 m; 3.2 m13. Ní féidir; trasnán an bhoird 5 2.8 m, 2.8 m .

2.75 m14. (i) 14.2 cm (ii) 53.1 cm15. (i) 50.4 m (ii) 47.0 m; 101.0 m

(b) x 5 11(c) (i) 32°F (ii) 212°F (iii) 22.2

.°C (iv) 2.2

.°C

7. (a) p 5 6c ______ 2a 2 3

; 23

(b) 2x2 2 3x 2 2(c) x 5 5 1 _ 4

Caibidil 22: An TriantánachtCleachtadh 22.1 1. (i) 12 cm2 (ii) 12 cm2 (iii) 8 cm2

2. 32 cm2

3. (i) 6 cm (ii) 33 cm2 (iii) 185 cm2

4. 13 5. (i) √

___ 13 cm (ii) 2 √

___ 10 cm (iii) √

___ 53 cm

(iv) 2 √__

5 cm (v) 15 cm (vi) 12 cm 6. (i) 24.4 cm (ii) 10.6 cm (iii) 9.8 cm 7. 12.8 cm 8. 7, 4; 8.1 9. 3.5 m10. 6.4 cm11. (i) 3 cm (ii) 5.8 cm12. Tá gach slios 7.1 aonad13. x 5 5 cm, y 5 12 cm14. c 5 10 cm, d 5 24 cm15. 25 cm16. 12 cm2 atá sa dá cheann17. 63.5 cm, 38.1 cm18. 182 122 1 132

Cleachtadh 22.2

1. 3 __ 5

, 4 __ 5

, 3 __ 4

; 5 ___ 13

, 12 ___ 13

, 5 ___ 12

; √

__ 3 ___

2 , 1 __

2 , √

__ 3

2. (i) Tangant (ii) Comhshíneas (iii) Síneas 3. (i) A (ii) B (iii) B (iv) Cos (v) Cos (vi) Tan 4. x 5 8; (i) 8 __ 17 (ii) 15

__ 17 (iii) 8 __ 15

5. a 5 2; (i) 3 ____ √

___ 13 (ii) 2 ____

√___

13 (iii) 3 __

2

6. (i) Tan (ii) Sin (iii) Cos 7. 12

__ 13 , 12 __ 5

8. (i) 1 ___ √

__ 5 (ii)

√___

21 ____ 2

9. 1 __ 2

, √

__ 3 ___

2

10. (i) 1 (ii) 1

Cleachtadh 22.3 1. (i) 28° 30 (ii) 31° 24 (iii) 62° 48 (iv) 74° 36 (v) 16° 15 (vi) 44° 45 (vii) 0° 30 (viii) 27° 39 2. (i) 24.5° (ii) 46.6° (iii) 72.7°

534

(ii) Tá an tairiseach céanna acu uile (iii) Tá fánaí difriúla acu uile (iv) Tá comhéifeachtaí x difriúla acu13. (22, 2), (23, 0), (24, 22)14. t 0 1 2 3 4 5 6

T 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24

(iv) 23.75°C (v) 23.75°C15. (i) t (nóim.) 0 1 2 3 4 5

d (méadair) 0 40 80 120 160 200

t (nóim.) 6 7 8 9 10

d (méadair) 240 280 320 360 400

(ii) t (nóim.) 0 1 2 3 4 5

d (méadair) 0 0 0 50 100 150

t (nóim.) 6 7 8 9 10

d (méadair) 200 250 300 350 400

(v) 10 nóim.; 400 m

Cleachtadh 23.2 1. (23, 5), (22, 0), (21, 23), (0, 24), (1, 23),

(2, 0), (3, 5) 6. (2 1 _ 2 , 0), (3, 0), (0, 23) 8. (21, 0), (3, 0) 9. (21, 0), (1 1 _ 2 , 0)10. (i) ( 1 _ 2 , 0), (3, 0) (ii) (0, 23)

Cleachtadh 23.3 1. (i) (1, 0), (3, 0) (ii) 21 (iii) 21, 5 (iv) (2, 21) 2. (i) 3 (ii) 3 (iii) (0, 21) (iv) 21, 1 (v) 22, 2 3. (i) 21, 4 (ii) 22, 5 (iii) 0, 3 (iv) 26 (v) 25 1 _ 4 (vi) (1 1 _ 2 , 26 1 _ 4 ) (vii) 26 1 _ 4 4. (i) 10, 26 (ii) 21.4, 3.4 (iii) 22.5, 4.5 (iv) (1, 26) (v) 26 (vi) 21.4 , x , 3.4 5. (i) x 5 21, 3 (ii) 0, 2 (iii) 1 3 _ 4 (iv) 4 (v) (1, 4) (vi) 22 , x , 1 (vii) 21 , x , 3 (viii) x 5 1 6. (i) 21, 3 _ 2 (ii) 21.9, 2.4 (iii) (0.25, 23.1) (iv) 21 , x , 1 1 _ 2 7. (i) (21, 1), (3, 9) (ii) x 5 21, 3 (iii) Tá na hx-luachanna mar an gcéanna (iv) Na pointí ina dtrasnaíonn an cuar agus an

líne a chéile. 8. (i) f(22) 5 24, g(3) 5 6

16. (i) 17.4 m (ii) 68° (iii) 24°17. (i) 2 rolla (ii) e11618. (i) 4.0 m (ii) 12.7 m

Cleachtadh 22.6

1. 1 __ 2

2. 1

3. 1 __ 2

4. 1 ___ √

__ 2

5. 1 __ 4

6. √

__ 3 ___

2

7. √

__ 3 ___

2 8. 1 __

2

9. 3 __ 4

10. 1 __ 3

12. x 5 3, y 5 3 √__

3 13. x 5 3, y 5 4 14. x 5 4 √

__ 3 , y 5 4, z 5 8 ___

√__

3

15. 60° 16. 400 √__

3 m2

Cuir triail ort féin 22 1. x 5 12; (i) 5 __ 12 (ii) 5 __ 13 (iii) 12

__ 13 ; 23° 2. 17.8 cm 3. (i) 13 cm2 (ii) 33 cm2 (iii) 26 cm2

4. (i) 8 cm (ii) 22° 5. 15° 6. (i) 4.2 cm (ii) 25° 7. (i) 28° 45 (ii) 37.1° (iii) 3 _ 2 8. (i) 100 cm (ii) 27° 9. 15.8 cm10. (i) 7 cm (ii) 4 cm (iii) 5 cm11. 6°12. (i) 72°, 18° (ii) 0.3213. (i) 150 m2 (ii) 12 m14. (i) Is féidir ga bhonn an Túir a aimsiú as. (ii) 125 m15. (i) 101.6 cm (ii) 50 cm, 88 cm (iii) An dara teilifíseán (542 cm2 níos mó)16. a 5 2 √

__ 2 , b 5 √

__ 6

Caibidil 23: Feidhmeanna a GhrafadhCleachtadh 23.1 1. (21, 25), (0, 23), (1, 21), (2, 1), (3, 3), (4, 5) 3. (21, 27), (0, 24), (3, 5) 6. (i) 4 (ii) 1 (iii) 23 (iv) 23 (v) 5 7. (i) (3, 4) (ii) Pointe trasnaithe an dá líne (iii) x 5 3 (x-luach) (iv) Cothromóidí comhuaineacha (v) k 5 3 8. (3, 2) 9. (2, 0), (0, 4) 10. (2, 0), (0, 3) 11. (2, 0)12. (i) Trasnaíonn siad uile ag (0, 2)

535

Cleachtadh 23.5 1. (i) 1 (ii) 2 (iii) 2.8 (iv) 8 (v) 2.3 2. (22, 1 _ 9 ), (21, 1 _ 3 ), (0, 1), (1, 3), (2, 9), (3, 27); (i) 5.2 (ii) 1.3 3. (i) 3 (ii) 12 (iii) x 5 21.6 4. x 22 21 0 1 2

; 5.72x 1 _ 4 1 _ 2 1 2 4

4.2x 1 2 4 8 16

5. A : f(x) 5 3.3x; B : f(x) 5 3x; C : f(x) 5 2x

6. (i) (0, 1) 7. (i) k 5 5 (ii) f(x) 5 5.2x

8. 2.5

Cuir triail ort féin 23 1. (a) (i) 5 (ii) 7 (iii) 3 (iv) 21 (v) 0

(b) (i) 21.75 (ii) x 5 1, 3 (iii) 24 (iv) x 5 2

(c) A agus y 5 k 2 x, B agus y 5 x2 2 k,

C agus y 5 k 2 x2

2. (a) (i) 25.5 (ii) 1 1 _ 2 (b) (i) a 5 (23, 0), b 5 (1, 0), c 5 (0, 23) (ii) 23 < x < 1 (iii) k 5 0, 22(c) (23, 1 _ 8 ), (22, 1 _ 4 ), (21, 1 _ 2 ), (0, 1), (1, 2), (2, 4),

(3, 8), (4, 16), (5, 32); (ii) x 5 2.6 3. (a) (i) x 5 21 1 _ 2 , 2 (ii) 26.1

(iii) 4 (iv) 21.5 , x , 2(b) 3x 1 2y 5 9; 2x 2 y 5 13; x 5 5, y 5 23

4. (a) (i) x 5 0, 2 (ii) x 5 21, 3; x 5 1,(b) A: y 5 x2 2 2, B: y 5 2 2 x2, C: y 5 2x(c) (i) 36 m2 (ii) 2.2 m, 6.8 m (iii) 4.5 m faoi 9 m (iv) 40.5 m2

5. (a) (i) 10t 2 c 1 20 5 0 (ii) e160(b) x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

f(x) 1 1.4 2 2.8 4 5.7 8

g(x) 21 2.75 5 5.75 5 2.75 21

(i) 0.3, 2.2 (ii) 2.6

Caibidil 24: An Chéimseata 3: Claochluithe – Tógálacha

Cleachtadh 24.1 1. (i) 5 aonad ar dheis (ii) 4 aonad ar dheis (iii) 1 aonad suas agus 4 aonad ar dheis

(ii) x 5 23, 2 (iii) 23.7, 2.7 (iv) x 5 21, 3 (v) 21 < x < 3 (vi) 23 < x < 2 9. (i) x 5 0, 3 (ii) x 5 21, 4 (iii) x 5 20.8, 3.8 (iv) x 5 20.6, 3.610. (i) x 5 21.3, 1.3 (ii) x 5 22.9, 2.9; 22.9 , x , 2.911. (i) x 5 0, 2 (ii) x 5 21, 3 (iii) x 5 0.4, 2.6 (iv) 0 , x , 2 (v) x , 0.4 agus x . 2.6;

x2 2 2x 2 2 5 0 ⇒ x2 2 2x 5 2; Tarraing an líne y 5 2 agus faigh x-luachanna phointí trasnaithe na líne seo agus an chuair

12. (i) x 5 23.8, 0.8 (ii) x 5 23.3, 0.3 (iii) 22.4, 0.4 (iv) 25.25; Tá an cuar faoi bhun na líne;

22.4 , x , 0.413. (i) x 5 22 (ii) Luach amháin (iii) Ní thadhlaíonn an graf an x-ais ach ag aon phointe amháin.

14. (i) Freagraíonn A do g(x) 5 x2 2 3x 1 3

Freagraíonn B do f(x) 5 x2 2 6x 1 9 (ii) x 5 2 (iii) Ní thadhlaíonn an cuar an x-ais ach ag

aon phointe amháin (tadhlaí)

Cleachtadh 23.4 1. (i) 15 (ii) x 5 0, 4 (iii) x 5 2 (iv) 15 (v) 11.12 a.m. agus 4.48 p.m. (vi) 10 n-uair an chloig 2. (i) (0, 0), (1, 16), (2, 24), (3, 24), (4, 16), (5, 0) (iii) (a) 25 m; 2.5 soic. (b) 0.7 soic., 4.3 soic. (c) 3 shoic. 3. (25, 26), (24, 0), (23, 4), (22, 6), (21, 6),

(0, 4), (1, 0), (2, 26); (i) 5.25°C (ii) 1 p.m. (iii) 9.24 a.m. agus 4.36 p.m. (iv) 10 n-uair an chloig 4. (i) 13.75 m2 (ii) 16 m2; x 5 4 (iii) x 5 2, 6 5. (i) 45 m (ii) 34 m (iii) 0.4 soic. agus 5.6 soic. (iv) 3 shoic. 6. (i) (0, 0), (1, 3), (2, 12), (3, 27) (ii) 18.7 m2

(iii) 1.8 m (iv) Is iad 19.6 m2 agus 1.78 m na leaganacha cruinne 7. (i) A 5 20x 2 x2

(iii) 2.25 agus 17.75 (iv) 6.8 , x , 13.2 (v) 100 m2; 10 m faoi 10 m

536

Cleachtadh 24.4 4. AC 5 4.6 cm, DE 5 3.1 cm, XZ 5 7.7 cm 5. (i) AC 5 3.1 cm (ii) AB 5 5.4 cm 6. AC 5 5.9 cm, DF 5 5.2 cm, XZ 5 9.2 cm 9. AC 5 10.8 cm 11. 8.3 cm

Cuir triail ort féin 24 1. (a) (i) 1 (ii) 1 (iii) 1 (iv) 1 (c) (i) S.A. sa y-ais (ii) S.A. sa líne y 5 2 (iii) A.; 3 aonad síos (iv) S.A. sa líne x 5 3 (v) S.L. sa phointe (1.5, 0.5) (vi) A.; 3 aonad ar dheis agus 7 n-aonad

síos 2. (b) (i) 3 (ii) 1 (iii) 2

(c) A(21, 4), B(23, 4), C(23, 1), D(21, 3) 3. (b) (i)

(ii)

(iii)

(c) (i) C (ii) [CB] (iii) COD (iv) [AB] (v) Ní hé 4. (b) (i) A. (ii) S.L. (iii) S.A.

(iv) 1 aonad ar dheis agus 3 aonad suas (v) 2 aonad ar dheis agus 3 aonad suas (vi) 1 aonad ar chlé agus 4 aonad suas 2. (i) 5 aonad ar dheis agus 3 aonad suas (ii) 11 aonad ar dheis agus 1 aonad síos (iii) 4 aonad ar dheis agus 5 aonad suas (iv) 7 n-aonad ar dheis agus 6 aonad síos (v) 4 aonad ar chlé agus 5 aonad síos 6. (i) B (ii) [DC] (iii) O (iv) [AB] 7. (i) B (ii) [BC] (iii) BCE (iv) [BE] 8. (i) [EC] (ii) E (iii) BEC (iv) D (v) [AD] (vi) BEC 9. (i) A(2, 4), B(3, 22), C(22, 23), D(25, 1) (ii) A(7, 6), B(8, 0), C(3, 21), D(0, 3)

Cleachtadh 24.2 3. (i) an pointe F (ii) [EF] (iii) [DF] (iv) DCF (v) EFD (vi) [CF] 4. (i) agus (iii) 5. M, O, D, A, Y 7. (i) B (ii) A (iii) [DA] (iv) COD (v) [CO] (vi) CBD (vii) [OA] (viii) CDAB 8. C 9. (i) D (ii) A10. (i) Siméadracht aiseach sa y-ais (ii) Siméadracht aiseach sa x-ais (iii) Siméadracht lárnach sa bhunphointe11. Siméadracht lárnach in C agus siméadracht

aiseach in AB12. D13. (i) A(4, 5), B(1, 4), C(5, 2) (ii) A(24, 25), B(21, 24), C(25, 22)14. (i) 2 (ii) 2 (iii) 5 (iv) 015. (i), (ii), (iv) 16. (i) S.A. (ii) A. (iii) S.A. (iv) S.A. (v) S.L.17. A: S.L. B: S.A. C: A. D: S.A.18. (i) S.A. sa y-ais (ii) A.; 3 aonad ar dheis agus 3 aonad síos (iii) S.A. sa líne x 1 y 5 020. (i) COB (ii) COD (iii) AOD (iv) COF (v) [EF]

Scríobhadh Téacs 7 Trialacha 2 – Tionscadal Mata, Snáitheanna 1–5 mar chúrsa dhá bhliain sa mhatamaitic do dhaltaí atá ag tosú sa dara bliain i scoileanna dara leibhéal.

Tá gach ceann de chúig shnáithe an tSiollabais Tionscadal Mata don tSraith Shóisearach le fáil sa leabhar seo.

Tá saintaithí na mblianta ag na húdair ar an ábhar agus chuir múinteoirí ó na scoileanna píolótacha go mór leis an leabhar.

• Tá réimse mór ceisteanna sa leabhar agus iad cumtha go cliste samhlaíoch, rud a thabharfaidh na daltaí suas go dtí an caighdeán a theastaíonn le haghaidh na scrúduithe

• Tugtar aird faoi leith ar riachtanais na ndaltaí agus tugann an cur chuige gach seans dóibh an t-ábhar a thuiscint. Ar an gcaoi seo spreagtar na daltaí agus tugtar muinín dóibh

• Tá na ceisteanna curtha i gcomhthéacs chun an bhaint atá ag an mata leis an bhfíorshaol a thaispeáint do na daltaí

• Tá roinn Cuir triail ort féin i ndeireadh gach caibidle mar áis do dhaltaí agus iad ag caitheamh súil siar ar ábhar na caibidle

• Úsáidtear stíl ceiste atá dírithe ar scileanna um réiteach fadhbanna a fhorbairt

• A lán de na gnéithe den tsraith Téacs 7 Trialacha reatha a bhí chomh sásúil sin sa seomra ranga, tá siad sa leabhar seo freisin

• Tugtar na freagraí ar fad i gcúl an leabhair

· 2014-10-13 · scríobhadh téacs 7 trialacha 2 – tionscadal mata, snáitheanna 1–5 mar...

Documents