2016 - oktatas.hu · és statisztikai paramétereivel. a diákok feladatonkénti eredményeit...

SzerzőkLak Ágnes Rozina, Palincsár Ildikó, Szabó Lívia Dóra, Szepesi Ildikó,

Szipőcsné Krolopp Judit, Takácskné Kárász Judit

Országos kompetenciamérés 2016Feladatok és jellemzőik

matematika8. évfolyam

Oktatási HivatalKöznevelési Mérés Értékelési Osztály

Budapest, 2017

3

8. ÉVFOLYAM

Köznevelési Mérés Értékelési Osztály

A KOMPETENCIAMÉRÉSEKRŐL

2016 májusában immár tizennegyedik alkalommal került sor az Országos kompetenciamérésre, amelyen minden 6., 8. és 10. évfolyamos tanuló részt vett, és amelynek célja a diákok szövegértési képességeinek és matematikai eszköztudásának a feltérképezése. A kompetenciamérés eredményeiről minden telephely, iskola és fenntartó jelentést kap, amelynek segítségével elhelyezheti magát az országos képességskálán, és összehasonlíthatja eredményeit a hozzá hasonló telephelyeken, iskolákban és fenntartónál tanuló diákok eredményeivel. Emellett az iskolák egyéni elemzéseket is készíthetnek, ennek segítségével kérdésenként is elemezhetik az eredményeket.

Az „Országos kompetenciamérés 2016 – Feladatok és jellemzőik” kötetek célja Az a szándékunk, hogy az iskola eredményeit bemutató grafikonok mellett a lehető legteljesebb mérték-ben megismertessük a tanárokat, intézményvezetőket és oktatáspolitikusokat a mérésben rejlő lehetősé-gekkel, és az eredmények helyes interpretálásához minél alaposabb segítséget biztosítsunk. E célt szolgál-ja a kompetencia mérés 2014-ben megjelent Tartalmi kerete,1 valamint az Országos kompetenciamérés 2016 fenn tartói, iskolai és telephelyi jelentései, amelyek megtekinthetők a http://www.oktatas.hu/, illetve a https://www.kir.hu/okmfit/ honlapon.

A feladatokat bemutató kötetek célja az, hogy megismertessék a tanárokat az egyes feladatok mérési céljaival és statisztikai paramétereivel. A diákok feladatonkénti eredményeit elemezve a tanárok képet kaphatnak arról, hogy diákjaik milyen problémákkal, hiányosságokkal küzdenek, melyek azok a területek, amelyekre nagyobb figyelmet kell fordítaniuk a jövőben, és milyen fejlesztési feladatokkal kell megbirkózniuk. A fel-adatokat tartalmazó kötetek az országos eredmények bemutatásával mindehhez keretet és viszonyítási pon-tokat nyújtanak. A kötetből kiderül, hogy mely feladatok okozták a legtöbb gondot a diákoknak, melyek esetében választottak sokan valamilyen tipikusan rossz választ, és melyek nem okoztak problémát a diákok többségének.

A kötet felépítése Ez a kötet a 2016. évi Országos kompetenciamérés 8. évfolyamos tesztfüzetének matematikafeladatait (ite-meit) tartalmazza. Az itemek olyan sorrendben találhatók a kötetben, ahogyan az A) tesztfüzetben sze-repeltek. A kötet végén található 3. mellékletben táblázatos formában is feltüntettük az itemek jellemzőit. A kötetben minden egyes itemről a következő információk szerepelnek:

• A kérdés (item), ahogyan a tesztfüzetben szerepelt.• Az item javítókulcsa.• A kérdés besorolása:

• az item besorolása a Tartalmi keretben rögzített csoportosítási szempontok alapján: tartalmi terület, gondolkodási művelet, illetve ezeken belül az alkategória sorszáma2;

• kulcsszavak: az itemet jellemző matematikai fogalmak• A feladat leírása: rövid leírás arról, milyen matematikai műveleteket kell a tanulónak elvégeznie az item

helyes megválaszolásához.

1 Balázsi Ildikó – Balkányi Péter – Ostorics László – Palincsár Ildikó – Rábainé Szabó Annamária – Szepesi Ildikó, Szipőcsné Krolopp Judit – Vadász Csaba: Az Országos kompetenciamérés tartalmi keretei. Szövegértés, matemati-ka, háttérkérdőívek. Oktatási Hivatal, Budapest, 2014. Elérhető: http://www.oktatas.hu/pub_bin/dload/kozoktatas/ meresek/orszmer2014/AzOKMtartalmikeretei.pdf.

2 Az alkategóriák pontos megnevezése és részletesebb leírása a 2. mellékletben olvasható.

4

MATEMATIKA


• Az item statisztikai jellemzői:3

• az item tesztelméleti paraméterei (a kérdés nehézsége és meredeksége, valamint kétpontos item esetén a lépésnehézségek);

• feleletválasztásos feladatok tippelési paramétere (bizonyos feladatoknál);• az item nehézségi szintje;• a lehetséges kódok és az egyes kódokra adott pontszámok;• az egyes kódok előfordulási aránya;• az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja;• az item százalékos megoldottsága országosan és településtípusonként, valamint az egyes ta-

nulói képességszinteken.

Képességszintek a 8. évfolyamos matematikateszt esetébenAz adatok elemzésében fontos szerepet játszanak a szakmai és statisztikai szempontok alapján meghatáro-zott képességszintek. Ezek segítségével a tanulókat képességük szerint kategóriákba sorolva képet tudunk adni arról, hogy milyen képességeket tudhatnak magukénak a szintbe tartozók, és mi az, amiben elmarad-nak a magasabb szinten található tanulóktól. A képességszintek kialakításának statisztikai hátterét az 1. mel-léklet mutatja be.

Képesség-szint

A képesség-szint alsó

határaA szintet elérő tanulók képességei

7. 1984 • újszerű és/vagy többszörösen összetett szituációban megjelenő, önálló megoldási stratégiát igénylő, gyakran többlépéses feladatok megoldása

• összetett problémák vizsgálatából és modellezéséből nyert információk értelmezése, általánosítása és alkalmazása

• különböző információforrások és reprezentációk összekapcsolása és egy-másnak való megfeleltetése

• fejlett matematikai gondolkodás és érvelés• a szimbolikus és formális matematikai műveletek és kapcsolatok magas

színvonalú alkalmazásával újszerű problémaszituációk megoldása• új megoldási módok és stratégiák megalkotása • műveleti lépések, az eredmények és azok értelmezésével kapcsolatos gon-

dolatok pontos megfogalmazása• az eredményeknek az eredeti probléma szempontjából való vizsgálata,

értelmezése6. 1848 • újszerű, komolyabb értelmezést igénylő szövegkörnyezetben megjelenő,

önálló stratégiával megoldható többlépéses feladatok megoldása• modellalkotás összetett problémaszituációra, a modell alkalmazhatósági

feltételeinek meghatározása, majd annak helyes alkalmazása• modellekhez kapcsolódó összetett problémák lehetséges megoldási mód-

jainak kiválasztása, összehasonlítása és értékelése• a kiválasztott megoldási stratégia és matematikai módszer értékelése, az

elvégzett lépések végrehajtása • széles körű és jó színvonalú gondolkodási és érvelési képességek, készsé-

gek • különböző adatmegjelenítések, szimbolikus és formális leírások és

probléma megjelenítések nagy biztonsággal való értelmezése és kezelése

3 A statisztikai jellemzők képzési szabályait az 1. melléklet ismerteti.

5

8. ÉVFOLYAM


Képesség-szint

A képesség-szint alsó

határaA szintet elérő tanulók képességei

5. 1712 • újszerű szituációban megjelenő többlépéses, önálló stratégia kidolgozá-sát igénylő, különböző módon megjelenített összefüggéseket tartalmazó feladatok megoldása

• problémákhoz egyszerű modell önálló megalkotása, majd annak helyes alkalmazása

• rugalmas érvelés és reflektálás az elvégzett lépésekre • értelmezés és gondolatmenet megalkotása és megfogalmazása

4. 1576 • összetettebb vagy kevésbé ismerős, újszerű szituációjú, több lépéses feladatok megoldása

• konkrét problémaszituációkat egyértelműen leíró modellek hatékony alkalmazása, a modellek alkalmazhatósági feltételeinek meghatározása

• különböző, akár szimbolikus adatmegjelenítések kiválasztása és egyesítése, azok közvetlen összekapcsolása a valóságos szituációk különböző aspektu-saival

• értelmezés és gondolatmenet röviden leírása3. 1440 • ismerős kontextusban megjelenő egy-két lépéses problémák megoldása

• egyértelműen leírt matematikai eljárások elvégzése, amelyek szekvenciális döntési pontokat is magukban foglalhatnak

• egyszerű problémamegoldási stratégiák kiválasztása és alkalmazása• különböző információforrásokon alapuló adatmegjelenítések értelmezése

és alkalmazása, majd ezek alapján érvek megalkotása2. 1304 • a legalapvetőbb, közismert matematikai fogalmak és eljárások ismerete

• a kontextus alapján közvetlenül megérthető problémaszituációk értelme-zése

• egyetlen információforrásból a szükséges információk megszerzése• egyszerű vagy szimplán matematikai kontextusban megjelenő, jól körülírt,

egylépéses problémák megoldása• egyszerű, jól begyakorolt algoritmusok, képletek, eljárások és megoldási

technikák alkalmazása• egyszerűen érvelés és az eredmények szó szerint értelmezése

1. 1168 • ismerős, főként matematikai szituációban, gyakran kontextus nélküli hely-zetben feltett matematikai kérdések megválaszolása

• egyértelmű, jól körülírt és minden szükséges információt tartalmazó feladatok megoldása

• közvetlen utasításokat követve rutinszerű eljárások végrehajtása• a feladat kontextusából nyilvánvalóan következő lépések végrehajtása

6

MATEMATIKA


A 8. évfolyamos matematikateszt általános jellemzése

A teszt általános jellemzőiA felmérés tesztfüzeteit a Tartalmi keretben megfogalmazott szempontok szerint állítottuk össze. A felmé-rést minden 6., 8. és 10. évfolyamos diák megírta, majd 8. évfolyamon a központi elemzés elkészítéséhez minden intézmény minden tanulójától összegyűjtöttük a kitöltött tesztfüzeteket. Az 1. táblázat azt ismerteti, hogy a tesztfüzetben milyen arányban szerepelnek a tartalmi keretben definiált gondolkodási műveletekhez és tartalmi területekhez tartozó feladatok. A 2. táblázat a teszt értékelése során kapott néhány alapvető jel-lemzőjét mutatja be (a 2. táblázatban az értékelés során törölt feladatok nem jelennek meg).

Gondolkodási műveletek

Tartalmi területek

Tényismeret és egyszerű műveletek

Alkalmazás, integráció

Komplex megoldások és

értékelés

Tartalmi terület összesen

Mennyiségek, számok, műveletek 8 9 3 20

Hozzárendelések, összefüggések 3 8 4 15

Alakzatok, tájékozódás 4 6 3 13

Statisztikai jellemzők, valószínűség 2 5 2 9

Műveletcsoport összesen 17 28 12 571. táblázat: A feladatok megoszlása a gondolkodási műveletek és tartalmi területek szerint

a 8. évfolyamos matematikatesztben

Az értékelésbe vont itemek száma 57A központi elemzésbe bevont kitöltött tesztfüzettel rendelkező tanulók száma

77608

Cronbach-alfa 0,906Országos átlag (standard hiba) 1596,642 (0,558)Országos szórás (standard hiba) 196,564 (0,408)

2. táblázat: A 8. évfolyamos matematikateszt néhány jellemzője

7

8. ÉVFOLYAM


A feladatok megoszlása a képességskálánAz 1. ábra az itemek és a diákok megoszlását mutatja a képességskálán. Az ábrán a feladatok nehézségi szint-jeit és a diákok képességszintjeit is feltüntettük. Láthatjuk, hogy a mérésben könnyű és nehéz feladatok egya-ránt találhatók, az itemekkel igyekeztünk minél szélesebb tartományban lefedni a képességskálát. Ily módon a kiemelkedően tehetséges és a gyenge diákokat is megbízhatóbban tudjuk elhelyezni a képességskálán.

0 2000 4000 6000 8000 10000Adott képességpontot elért diákok száma

Standardizált képességpont

Adott nehézségű feladatok

2200

2100

2000

1900

1800

1700

1600

1500

1400

1300

1200

1100

1000

900

800

MM17301 MM16702

MM33102

MM12802 MM15902 MM05603

MM09101 MM19601

MM16102 MM21101 MM01401

MM23101 MM05402 MM11803 MM17401 MM01601

MM25001 MM17701 MM21203 MM06003 MM19702 MM10701

MM24202 MM21201

MM21802 MM15702

MM14201 MM15402 MM05602 MM05403 MM31801

MM33601

MM05401 MM11805

MM06601 MM15901

MM06002 MM27601 MM19203

MM18101 MM29401 MM19901 MM03101 MM12301 MM06401 MM31701

MM23601 MM09501 MM00102

MM27001 MM22701 MM12801

MM05701 MM21701 MM21801 MM12702

MM05901

1. ábra: Az itemek és diákok megoszlása a képességskálán, 8. évfolyam, matematika

8

MATEMATIKA


9

8. ÉVFOLYAM


A FELADATOK ISMERTETÉSE

10

MATEMATIKA


64/93. FELADAT: NÉZŐTÉR MM27001

Nézőtér

Marci egy színházlátogatás során a következő záróképet látta az előadás végén.

A nézőteret ábrázoló képek közül válaszd ki azt, amelyik helyesen mutatja, hol ülhetett Marci az előadás alatt? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

A B

C D

MM27001

JAVÍTÓKULCS

Nézőtér

MM27001

A nézőteret ábrázoló képek közül válaszd ki azt, amelyik helyesen mutatja, hol ülhetett Marci az előadás alatt? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

Helyes válasz: B

11

8. ÉVFOLYAM


A KérDéS bESoroLáSA

Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.3)Kulcsszavak: Tájékozódás, irányok

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy felülnézeti ábrán kell megtalálni azt a pontot, amelyből az adott kép látható.

A FELADAT STATiSzTiKAi pArAMéTErEi

Becslés Standard hiba (S. H.)Standard meredekség 0,0037 0,00011Standard nehézség 1205 8,4

Nehézségi szint 1

Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x

Pontozás 0 1 0 0 0 0 –

4

88

3 2 0 2

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Az egyes kódok előfordulási aránya (%)

-0,21

0,36

-0,19-0,11

-0,05-0,17

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi

SzázALéKoS MEgoLDoTTSág

TelepüléstípusMegoldottság Tanulói

képességszintekMegoldottság

% S. H. % S. H.Teljes populáció 88,3 0,12 1. szint alatt 25,5 1,10

Főváros 93,3 0,23 1. szint 53,8 0,79

Megyeszékhely 91,7 0,21 2. szint 77,2 0,46

Város 87,9 0,17 3. szint 89,5 0,21

Község 83,1 0,25 4. szint 94,8 0,16

5. szint 96,9 0,15

6. szint 97,8 0,19

7. szint 98,8 0,29

12

MATEMATIKA


65/94. FELADAT: VIDEÓ MEGÁLLÍTÁSA MM06601Videó megállítása

Kinga egy 7 perc 32 másodperc hosszú videót néz éppen, amikor csörög a telefonja, ezért leállítja a lejátszást.

A következő ábrán a fekete szakasz az addig lejátszott rész hosszát, a szürke szakasz a videóból hátralévő rész hosszát mutatja.

Körülbelül mennyi idő VAN MÉG HÁTRA a videóból? A feladat megoldásához használhatsz vonalzót! Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A fél perc

B 2 és fél perc

C 3 és fél perc

D 5 perc

E 7 perc

MM06601

JAVÍTÓKULCS

Videó megállítása

MM06601

Körülbelül mennyi idő VAN MÉG HÁTRA a videóból? A feladat megoldásához használ-hatsz vonalzót! Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

13

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4)Kulcsszavak: Méretarány nem 1-hez viszonyítva

A FELADAT LEÍráSA: Egy szakasz egy intervallumának a szakasz teljes hosszához viszonyított arányát kell meghatározni.



Nehézségi szint 3

Lehetséges kódok 1 2 3 4 5 8 9 x

Pontozás 0 1 0 0 0 0 0 –

2

63

26

71 0 1

0

20

40

60

80

100


-0,10

0,24

-0,15-0,06

-0,14-0,01 -0,05

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 66,4 0,34 1. szint 37,2 0,68


Város 62,1 0,22 3. szint 59,6 0,33

Község 58,6 0,37 4. szint 67,8 0,29

5. szint 73,3 0,38

6. szint 76,0 0,52

7. szint 81,4 0,93

14

MATEMATIKA


66/95. FELADAT: DOLGOZAT I. MM00102Dolgozat I.

A következő diagram azt mutatja, hogyan oszlanak meg egy dolgozat érdemjegyei a fiúk és a lányok között egy 30 fős osztályban.

0 1 2 3 4 5 66 5 4 3 2 1Fiúk (fő) Lányok (fő)

Érdemjegy1-es2-es3-as4-es5-ös

0

Melyik kördiagram mutatja helyesen a dolgozatra kapott érdemjegyek megoszlását az osztályban? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

A B C D

1-es2-es3-as4-es5-ös




MM00102

JAVÍTÓKULCS

Dolgozat I.

MM00102

Melyik kördiagram mutatja helyesen a dolgozatra kapott érdemjegyek megoszlását az osz-tályban? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

Helyes válasz: C

15

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4)Kulcsszavak: Statisztikai adatok megfeleltetése

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy összetett sávdiagramot kell megfeleltetnie adott kördiagramok valamelyikének.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 0 1 0 0 0 –

3

16

76

4 0 10

20

40

60

80

100


-0,15-0,22

0,33

-0,14-0,03

-0,11

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 80,6 0,33 1. szint 42,8 0,70


Város 74,7 0,24 3. szint 72,2 0,31

Község 70,9 0,30 4. szint 81,8 0,23

5. szint 88,1 0,28

6. szint 92,5 0,31

7. szint 96,7 0,43

16

MATEMATIKA


67/96. FELADAT: MINTA MM01401Minta

Gábor úgy állította be a nyomtatóját, hogy minden egyes lap hátoldalának bal felső sarkába nyomtasson egy mintát, ezt mutatja a következő ábra.

2. oldal

minta

Ehhez a lapot az alábbi ábrán látható helyzetben kell behelyeznie a nyomtatóba.

1. oldal

Hogyan helyezze a lapot a nyomtatóba, ha az 1. oldal JOBB ALSÓ sarkába szeretné nyomtatni a mintát? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

1. oldal 2. oldal

1. oldal 2. oldal

A B C D

MM01401

JAVÍTÓKULCS

Minta

MM01401

Hogyan helyezze a lapot a nyomtatóba, ha az 1. oldal JOBB ALSÓ sarkába szeretné nyom-tatni a mintát? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

Helyes válasz: D

17

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.3)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1)Kulcsszavak: Térbeli transzformáció, elforgatás

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy térbeli elforgatások eredményeként kapott pont eredeti helyzetét kell meghatároznia.



Nehézségi szint 6


Pontozás 0 0 0 1 0 0 –

5 7

52

35

0 10

20

40

60

80

100


-0,15 -0,20-0,08

0,28

-0,03-0,09

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 39,9 0,40 1. szint 15,2 0,53


Város 33,1 0,21 3. szint 27,4 0,33

Község 31,0 0,26 4. szint 36,1 0,29

5. szint 47,3 0,35

6. szint 58,3 0,66

7. szint 73,7 1,10

18

MATEMATIKA


68/97. FELADAT: INGATLAN MM05602

Ingatlan

IngatlanVirág úr lakást szeretne vásárolni. A következő két hirdetés keltette fel a figyelmét:

Angyal tér 45 m2 66 200 zedBokros út 50 m2 71 200 zed

Melyik lakás 1 m2-e kerül kevesebbe? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold!

A Az Angyal téri.

B A Bokros úti.

C Ugyanannyiba kerül 1 m2.

Indoklás:

IngatlanEgy ingatlanügynök az eladott lakások után a kifizetett ár 2%-át kapja jutalékként, ennek a 40%-át be kell fizetnie adó formájában. Havonta legalább milyen értékben kell ingatlanokat eladnia, hogy legalább havi 1800 zedje maradjon az adó befizetése után? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zed

MM05603

MM05602

19

8. ÉVFOLYAM


JAVÍTÓKULCS

Ingatlan

MM05602


1-es kód: A tanuló „A Bokros úti” válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában legalább az egyik négyzetméterárra vagy a két ár különbségére hivatkozik. A forintnál alkalmazott 5-re vagy 0-ra való kerekítéseket a zednél is elfogadjuk, ezért a Bokros útnál az 1425, Angyal térnél az 1470 zedes értékek is elfogadhatók (számolás nélkül is). Ha a tanuló felírta a helyes műveletsort, de a számítást elhibázta (számítási, nem mód-szertani hibát vét), és a saját eredménye alapján helyesen dönt, válasza elfogadható. Ha mindkét négyzetméterárat megadta, akkor mindkettőnek helyesnek kell lennie (vagy mindkettőnek helyes művelettel kell kijönnie). Ha a tanuló csak az egyik értékhez tartozó helyes műveletsort írta fel, de a számítást elhibázta, akkor feltételezzük, hogy ezt a másik ingatlan helyes értékével hasonlította össze, tehát a döntésnek az elszámolt érték alapján helyesnek kell lennie. Ha a tanuló nem az 1 négyzetméterre vonatkozó árakat hasonlította össze, akkor pon-tosan ki kell derülnie, hogy a tanuló milyen egységre vonatkozó adatokat hasonlított össze. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló azt hasonlítja össze, hogy 1 zedért mekkora terület vásárolható ÉS mindkét ingatlanra vonatkozóan jó műveletek szere-pelnek vagy ezek eredménye alapján jól dönt (a nagyobb értéket választja). Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a négyzetméterárakat vizsgálja, de nem jelölte meg egyik válaszlehetőséget sem, de indoklása a kódnak megfelelő: ilyen-kor mind a két eredménynek és/vagy mindkét műveletnek látszania kell.Számítás: 66 200 : 45 = 1471 zed/m2

71 200 : 50 = 1424 zed/m2 → A Bokros úti.Tanulói példaválasz(ok):• A Bokros úti.

1424 < 1471• A Bokros úti. Angyal téri: 1471 zed• A Bokros úti. 47 zed-del olcsóbb egy négyzetmétere• A Bokros úti.

45 m2 66 200 50 m2 x x = 66 200 : 45 ∙ 50 = 73 555,5 > 71 250 → a Bokros úti az olcsóbb.

• A Bokros úti. 45 m2 = 66 200 zed 50 m2 = 71 200 zed 1 m2 = 1471,1 zed > 1 m2 = 1424 zed

• A Bokros úti.

66 20045 > 71 200

50

20

MATEMATIKA


• A Bokros úti A: 45 m2 66 200 / : 45 egyenes arányosság B: 50 m2 71 200 / : 50 1 m2 1471,11 1 1424

• A Bokros úti

66 20045 71 200

50

13 2409 > 12 816

9 [A 9-es nevezőjű törtek értéke megegegyezik az eredeti törtek értékével.]

• 66 200 : 45 = 1,4 zed 71 200 : 50 = 1,4 zed → = ugyanannyiba kerül [Látszanak a helyes műveletek, számolási hiba, az eredmény alapján helyesen dönt.]

• A Bokros úti. 45 : 66 200 = 0,0006797 50 : 71 200 = 0,0007022 [Azt számolja ki, hogy 1 zedért melyik lakásból kap több m2-t, a döntés helyes.]

• A Bokros úti. Mert az Angyal téri 1 m2-e 1470 zed, és a Bokros úti 1 m2-e 1425 zed [5-re kerekített, a valóságban is így kerekítik a fizetnivalót.]

• Ugyanannyiba kerül 1 m2 66 200 : 45 = 1,4 71 200 : 50 = 1,4 Mert az Angyal tér igaz, hogy kevesebbe került, de elosztva m2-enként ugyanaz az ár jön ki. [Jó műveletek, számolási hiba, az eredmények alapján jó döntés.]

• A Bokros úti. A 66 200-ban a 45 megvan 1471-szer az = mint 1471 zedbe kerül 1 m2 A 71 200-ben az 50 megvan 1424-szer, az = mint 1424 zedbe kerül 1 m2 [Szövegesen leírt helyes műveletek, jó eredmény, jó döntés.]

• A Bokros úti. Angyal tér 45 m2 66 200 zed : 45 1 m2 147,1 Bokros út 50 m2 71 200 zed : 50 1 m2 142,4 [Látszanak a helyes műveletek, számolási hiba, az eredmények alapján helyes döntés.]

• A Bokros úti. Mert az Angyal téri 5 m2-rel nagyobb lenne, akkor 73 555 zedbe kerülne, a Bokros úti pedig 5 m2-rel nagyobb, és csak 71 200 zed. Virág úrnak a Bokros úti a jó válasz-tás. [A 66 200 : 45 ∙ 50 műveletsorral számol.]

• A Bokros úti. 66 200 : 45 = 1471 zed 1 m2

71 200 : 50 = 1424 zed 1 m2

[Nincs döntés, de az indoklás helyes.]• A Bokros úti.

71 200 : 50 = 1441 1441 zed/1 m2 [Az egyik lakásnál helyes a művelet, de elszámol-ta. A másik ingatlanra vonatkozóan nem írta le számításait, feltételezzük, hogy ott helyes eredményt kapott. Így döntése helyes.]

• A Bokros úti. Mert ha elosztod a zedet a m2-el, akkor kapod meg 1 m2-nek az árát. [Jó műveletekre hivatkozik, a művelet megfogalmazása is pontos.]

21

8. ÉVFOLYAM


• Az Angyal téri. Bokros: 66 200 : 45 = 1471 zed/m2 Angyal: 71 200 : 50 = 1424 zed/m2 [A tanuló már az adatok kiírásánál felcserélte az adatokat, ez alapján jó a döntése.]

• A Bokros úti. Bokros út 1 m2 = 1424 zed Ha a Bokros úti ház csak 45 m2 lenne 64080 zedbe kerülne. 64080 > 66200 [A 45 m2-re vonatkozó árakat hasonlította össze.]

• A Bokros úti. Mert a Bokros úti 1,424 zed, az Angyal téri meg 1,471 zed 1 m2 [Mindkét értéknél a vessző ezres tagolónak tekinthető.]

• A Bokros úti. 45 : 50 = 0,9 66 200 : 71 200 = 0,929 [A megfelelő arányokat írta fel és jól döntött.]

• Az Angyal téri. 66 200 : 45 = 1471 71 200 : 50 = 1424 Az Angyal téri drágább négyzetméterenként. [Jó számítások, és a szöveges válasz alapján kiderül, hogy tudja, hogy melyik a drá-gább és ezt satírozta be.]

• A Bokros úti.

145 = 0,0222 66 200 : 0,0222= 1471

150

= 0,02 21 200 : 0,02 = 1424

• 66 200 : 45 = 71 200 : 50 = [Felírta a megfelelő műveleteket, nem döntött. Minimálválasz.]

0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló megjelölte a helyes válasz lehetőséget, de nem indokolt.Tanulói példaválasz(ok):• A Bokros úti 66 200 ∙ 45 = 2 979 000 71 200 ∙ 50 = 3 560 000 [Osztás helyett szorzott.]• A Bokros úti 66 200 zed 45 m2

71 200 zed 50 m2

• Ugyanannyi 5 m2-rel több és 5000 zeddel drágább.• 45 m2 – 66 200 50 m2 – 71 200

1 m2 – 1171 1 m2 – 1424 [Hibás eredmény, művelet nem látszik.]

22

MATEMATIKA


• Az Angyal téri.

Angyal téri: 45 m2

66 200 = 0,00068 (ennyi egy m2 ára)

Bokros úti: 5071 200 = 0,0007

[Fordítva osztott, az eredmény alapján rossz a döntés.]• A Bokros úti. [Jó döntés, indoklás hiányzik.]• A Bokros úti.

a: 66 200 : 100 = 662 : 45 = 14,7111 zed b: 71 200 : 100 = 712 : 50 = 14,24 zed [Nem derül ki a válaszból, hogy milyen egységre vonatkozóan hasonlította össze az árakat.]

• A Bokros úti. A: 66 200 100% B: 71 200 100% 45 m2 x 50 m2 x 45 ∙ 100 : 66 200 = 14,7 zed = 1 m2 50 ∙ 100 : 71 200 = 14,24 [A százalékszámítás ebben a formában rossz gondoaltmenetre utal. Továbbá nem a felírt művelet eredményét számolta ki, hanem annak reciprokát. Az általa kiszámolt számértéket nem is vártuk a tanulóktól.]

• A Bokros úti. 66 200 : 45 = 1,421 zed 71 200 : 50 = 1424 zed [Rossz a döntés, az első értéknél a vessző nem lehet ezres tagoló, mert a másodiknál már nem használta. Tehát az első értéknél az tizedesvessző, ez alapján rossz a dön-tés.]

• A Bokros úti. A: 45 m2 = 66 200 z 45 : 66 200 = 1 m2 = 0,0006797 0,000679 B: 50 m2 = 71 200 z 50 : 71 200 = 1 m2 = 0,0007022 = 0,0007022 [Rossz az 1 nm-re vonatkozó ár.]

• Az Angyal téri. 71 200 / 50 = 1424 66 200 / 45 = 1471,1 [Rossz a döntés.]

Lásd még: X és 9-es kód.

23

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.3)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Arányszámítás nem 1-hez viszonyítva

A FELADAT LEÍráSA: Megadott adatok felhasználásával arányszámítást kell elvégezni nem 1-hez viszo-nyítva és a két értéket összehasonlítani.



Nehézségi szint 4

Lehetséges kódok 0 1 9 x

Pontozás 0 1 0 –

28

54

18

0

20

40

60

80

100


-0,29

0,55

-0,37-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 62,1 0,40 1. szint 4,9 0,30


Város 52,1 0,23 3. szint 39,7 0,35

Község 46,1 0,34 4. szint 66,6 0,30

5. szint 82,7 0,30

6. szint 90,1 0,42

7. szint 94,3 0,57

24

MATEMATIKA


69/98. FELADAT: INGATLAN MM05603

Ingatlan

IngatlanVirág úr lakást szeretne vásárolni. A következő két hirdetés keltette fel a figyelmét:

Angyal tér 45 m2 66 200 zedBokros út 50 m2 71 200 zed


A Az Angyal téri.

B A Bokros úti.

C Ugyanannyiba kerül 1 m2.

Indoklás:

IngatlanEgy ingatlanügynök az eladott lakások után a kifizetett ár 2%-át kapja jutalékként, ennek a 40%-át be kell fizetnie adó formájában. Havonta legalább milyen értékben kell ingatlanokat eladnia, hogy legalább havi 1800 zedje maradjon az adó befizetése után? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zed

MM05603

MM05602

25

8. ÉVFOLYAM


JAVÍTÓKULCS

MM05603

Havonta legalább milyen értékben kell ingatlanokat eladnia, hogy legalább havi 1800 zedje maradjon az adó befizetése után? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők le-gyenek!

Megjegyzés: Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az el-térés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott.

2-es kód: 150 000 zed. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges.Számítás: 60% 1800

100% x x = 1800 : 0,6 = 3000 2% 3000 100% y y = 3000 : 0,02 = 150 000

Tanulói példaválasz(ok):• 1800 : 0,6 : 0,02 = 150 000• 1800 : 0,012 = 150 000• x ∙ 0,02 ∙ 0,6 = 1800

0,012 x = 1800 x = 150 000

• 1800 → 60% 40 → 1200 1800 + 1200 = 3000 3000 : 0,02 = 150 000

• 1800 = 60% 3000 = 2% 30 = 1% 1500 = 1% 3000 = 100% 150 000 = 100%

• 10 000 zed → 2% = 200 zed 200 zed → 40% = 120 zed marad Válasz: 150 000 [Adott értékre számolta ki, abból számolta a szükségest.]

• 0,02 x – 0,02 x ∙ 0,4 = 1800 zed 0,012 = 1800 zed x = 150 000 zed

• 1800 : 0,6 · 50 = 150 000

• x100 ∙ 2 = x

50 x50 ∙ 1

100 ∙ 60 = x5000 ∙ 60 = x

83,3

x: eladott lakások után kifizetett ár x

83,3 = 1800 x = 149 940 [A 2% 60%-át helyesen azonosította 1800-zal. A 0,02 · 0,6 = 0,012-vel, mint 1/83,33333-mal számolt. A végtelen tizedesjegyek elhagyása miatt kicsit pontatlan a kapott érték.]

26

MATEMATIKA


1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló 40% levonás helyett 40% megmaradó összeggel számolt, de gondolatmenete ettől eltekintve helyes, ezért válasza 225 000.Tanulói példaválasz(ok):• x ∙ 0,02 ∙ 0,4 = 1800

0,008 x = 1800 x = 225 000

• 1800 = (x · 0,02) · 0,4 / : 0,4 4500 = x · 0,02 / : 0,02 225 000 = x

• 4500 100% 100% = 100% = 225 000 3600 80% 4500 = 20% 900 20% 2250 = 10% Maximum 225 000 zed értékben kell házakat eladnia.

• 1800 : 0,02 = 90 000 90 000 ∙ 0,4 = 225 000

• 225 000 [Számolás nélkül is elfogadható a kódnak megfelelő érték.]

0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• 1800 – 40% = 1080 • 1800 + (1800 · 0,4) = 2520

2520 = 0,02 x / . 0,02 x = 126 000 zed

• 1800 : 4 = 450 450 : 2 = 2250 2250 zedért kell eladnia.

• 1800 · 1,4 = 2520 2520 · 1,02 = 2570

• 40% + 2% = 42% 1800 · 1,42 = 2556 zed

• 60% = 1800 zed 100% = x x = 1800 ∙ 100 : 60 = 3000

[Nem vette figyelembe a 2%-ot.]• x ∙ 0,02 → (x ∙ 0,02) ∙ 0,6 = 1800

0,6 x ∙ 0,012 = 1800 0,0072 x = 1800 /: 0,0072 x = 250 000 Ell.: 250 000 ∙ 0,02 = 5000 5000 ∙ 0,6 = 3 [Módszertani hiba, a tanuló rosszul bontotta fel a zárójelet.]


27

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.3.2)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2)Kulcsszavak: Százalékalap kiszámítása, egyenlet

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak százalékos kifejezést tartalmazó egyenletet kell felállítania és megolda-nia.



Nehézségi szint 7

Lehetséges kódok 0 1 2 9 x

Pontozás 0 0 1 0 –

33

412

51

0

20

40

60

80

100


0,02

0,17

0,45

-0,37-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 19,3 0,30 1. szint 0,4 0,09


Város 10,2 0,15 3. szint 1,8 0,09

Község 7,7 0,17 4. szint 6,1 0,16

5. szint 22,0 0,34

6. szint 52,5 0,61

7. szint 84,1 0,87

28

MATEMATIKA


70/99. FELADAT: JÓTÉKONYSÁGI VÁSÁR MM05701Jótékonysági vásár

Zalán, Máté és Áron idén is részt vett az iskolájuk által szervezett jótékonysági vásáron, ahol mind a hárman otthon készített süteményt árultak. A következő táblázat a sütemények árát és az eladásukból származó összeget tartalmazza.

Hány darab süteményt adtak el a fiúk külön-külön? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

Zalán: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . db kókuszgolyót adott el.

Máté: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . db pogácsát adott el.

Áron: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . db islert adott el.

MM05701

29

8. ÉVFOLYAM


JAVÍTÓKULCS

Jótékonysági vásár

MM05701

Hány darab süteményt adtak el a fiúk külön-külön? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyo-mon követhetők legyenek!

Megj.: Ha a tanuló felcserélte az osztandót és az osztót, akkor a válaszok csak akkor fogadha-tók el, ha az eredményből látható, hogy valójában a helyesen felírt műveletnek megfele-lő HELYES eredményt kapta.

1-es kód: Zalán: 30, Máté: 45, Áron: 20 Mindhárom érték helyes. A helyes értékek látható számítások nélkül is el fogadhatók. Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik ide, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Ebben az esetben mindegy, hogy az elszámolt értéket a tanuló lefelé vagy felfelé kerekítette. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló mindhárom helyes értéket megadta, de nem a megfelelő névhez írta be azokat.Számítás: Zalán: 4500 : 150 = 30

Máté: 4500 : 100 = 45 Áron: 5000 : 250 = 20

Tanulói példaválasz(ok):• 150 · 30 = 4500

100 · 45 = 4500 250 · 20 = 5000 [A tanuló ugyan szorzást írt fel, de egyértelműen láthatóak a helyes 30, 45, 20 ér-tékek. Ha nem a helyes értékek lennének ott, akkor a jó osztás műveletnek kellene látszódnia.]

• Zalán: 45 Máté: 30 Áron: 20 [Az értékek helyesek, de Zalán és Máté esetében felcserélte az értékeket.]

• Zalán: 4500 : 150 = 900 Máté: 4500 : 100 = 800 Áron: 500 : 250 = 1500 [Jók a műveletek, számolási hiba.]

• Zalán: 150 : 4500 = 30 Máté: 100 : 4500 = 45 Áron: 250 : 500 = 20 [Fordított osztásműveletek, de az eredményből az derül ki, hogy valójában helyesen végezte el az osztást.]

• Zalán: 4500 : 150 = 30 Máté: 4500 : 100 = 5 Áron: 5000 : 250 = [Jók a műveletek, Áronnál a végeredmény hiányzik.]

30

MATEMATIKA


0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• 4500 ∙ 150 = 675 000

4500 ∙ 100 = 450 000 5000 ∙ 250 = 1 250 000

• Z: 4500150 = 30

M: 4500100 = 45

Á: 4500250 = 18

[Rossz adattal számolt.]• Z: 30

M: 45 Á: 50 [Az Áronhoz megadott érték rossz és a helyes művelet sem látható az elszámolt értéknél.]

• Z: 4350 M: 4400 Á: 2750

• Z: 150 + 4500 : 2 = 2325 M: 100 + 4500 : 2 = 2300 Á: 250 + 5000 : 2 = 2500

• Zalán: 150 : 4500 = 30 Máté: 100 : 4500 = 41 Áron: 250 : 5000 = 20 [Az osztást fordítva írta fel és az egyiknél rossz az eredmény.]

• Zalán: 4500 : 150 = 30 Máté: 4500 : 100 = 45 Áron: 4500 : 250 = 18 [Áronnál 4500-zal számolt és az eredmény is erre utal.]

• 25 ∙ 150 = 4500 45 ∙ 100 = 4500 20 ∙ 250 = 5000 Zalán: 25 db Máté: 45 db Áron: 20 db [A Zalánnál megadott érték rossz, a tanuló nem osztás műveleteket írt fel, hiába látszódik az ellenőrzésképpen felírt szorzás művelet, osztás műveletet kellett volna felírnia, vagy a helyes eredményt megadnia.]

• Zalán 1 db 150 Ft össz.: 4500 Ft 4500 : 150 = 30 db Máté 1 db 100 Ft össz.: 4500 Ft 4500 : 100 = 45 db Áron: 1 db 250 Ft össz.: 4500 Ft 4500 : 250 = 18 db [Áronnál 4500 szerepel 5000 helyett, rossz adattal számolt és az eredmény is erre utal.]

• 4500 : 150 = 30 4500 : 100 = 45 5000 : 200 = 25 [Áronnál rossz számmal oszt és az eredmény is erre utal.]


31

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4)Kulcsszavak: Műveletsor

A FELADAT LEÍráSA: Táblázatban lévő adatokkal kell alapműveleteket elvégezni.



Nehézségi szint 1


Pontozás 0 1 0 –

6

88

6

0

20

40

60

80

100


-0,24

0,40

-0,30

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 90,7 0,24 1. szint 50,4 0,74


Város 87,4 0,18 3. szint 89,0 0,21

Község 84,1 0,26 4. szint 95,2 0,14

5. szint 97,6 0,11

6. szint 97,8 0,19

7. szint 99,1 0,20

32

MATEMATIKA


71/100. FELADAT: ÉTTEREM MM09501Étterem

Kinga, Endre és Zsolt egy étteremben ebédelnek. Az étteremben minden nap normál és vegetáriánus menü kérhető, a menük mellé az üdítőt külön kell megrendelni.

Egyik nap a következőket fogyasztották.

Kinga vegetáriánus menü 2 dl ásványvízEndre normál menü 3 dl ásványvízZsolt normál menü 2 dl üdítő

A normál menü ára 980 Ft, a vegetáriánus menüé 750 Ft, az ásványvízé 100 Ft/dl, az üdítőé 120 Ft/dl.

Hány forintot fizetett külön-külön Kinga, Endre és Zsolt a saját ebédjéért? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

Kinga: . . . . . . . . . . . . . . . Ft

Endre: . . . . . . . . . . . . . . Ft

Zsolt: . . . . . . . . . . . . . . . Ft

MM09501

33

8. ÉVFOLYAM


JAVÍTÓKULCS

Étterem

MM09501

Hány forintot fizetett külön-külön Kinga, Endre és Zsolt a saját ebédjéért? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

1-es kód: Kinga: 950, Endre: 1280, Zsolt: 1220. A helyes értékek látható számítások nélkül is elfogadhatók. Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik ide, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott.Számítás: Kinga: 750 + 2 · 100 = 750 + 200 = 950 Endre: 980 + 3 · 100 = 980 + 300 = 1280 Zsolt: 980 + 2 · 120 = 980 + 240 = 1220Tanulói példaválasz(ok):• 750 + 200 = 950

980 + 300 = 1280 980 + 240 = 1220 [A pontozott vonalakra nem írt semmit.]

• 750 + 200 980 + 300 980 + 240 [A pontozott vonalakra nem írt semmit.]

• Kinga: 950 Ft Endre: 1280 Ft Zsolt: 1220 Ft [Nincs számítás, a beírt értékek helyesek.]

• 750 + 200 980 + 300 980 + 240 Kinga: 950 Ft Endre: 1280 Ft Zsolt: 1120 Ft [Helyes művelet, számolási hiba.]

• Kinga: 1280 Ft Endre: 950 Ft Zsolt: 1220 Ft [Felcserélte Kinga és Endre értékét, az értékek helyesek.]

0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• 750 + 2 · 100 = 950

980 + 3 · 100 = 1280 980 + 2 · 100 = 1180 [Zsoltnál rossz adattal számolt.]

• 750 + 100 = 850 980 + 100 = 1080 980 + 120 = 1100 [Az italoknál nem vette figyelembe, hogy több dl-t fogyasztottak.]

• 750 + 200 = 950 980 + 300 = 1280 980 + 440 = 1420 [A harmadik műveletnél nem derül ki, honnan jött a helytelen 440.]

• K: 750 · 2 + 100 = 1600 E: 980 · 3 + 100 = 3040 Zs: 980 · 2 + 120 = 2080 [A menüket vette többször, az italokból 1 dl-t számolt.]

34

MATEMATIKA


• Kinga: 950 Ft Endre: 1280 Ft Zsolt: 1200 Ft [A harmadik érték rossz, a művelet nem látszik.]

• 750 Ft + 200 = 950 980 Ft + 300 = 1280 980 Ft + 120 = 1100 [A harmadik műveletnél 1 dl-rel számolt]

• Kinga: 750 + 2 · 100 = 752 · 100 = 7520 Endre: 980 + 3 · 100 = 983 · 100 = 98300 Zsolt: 980 + 2 · 120 = 982 · 120 = 117 840 Kinga: 7520 Ft Endre: 98300 Ft Zsolt: 117 840 Ft [Módszertani hiba a szorzás, összeadás elvégzésénél.]

• Kinga: 750 + 100 · 2 = 850 · 2 = 1700 Endre: 980 + 100 · 3 = 1080 · 3 = 3240 Zsolt: 980 + 120 · 2 = 1100· 2 = 2200 Kinga: 1700 Ft Endre: 3240 Ft Zsolt: 2200 Ft [Módszertani hiba a szorzás, összeadás elvégzésénél.]

Lásd még: X és 9es kód.

35

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4)Kulcsszavak: Műveletsor

A FELADAT LEÍráSA: Egyszerű műveletsorok végrehajtása.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 1 0 –

15

79

7

0

20

40

60

80

100


-0,21

0,37

-0,30

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 82,7 0,31 1. szint 38,5 0,77


Város 78,3 0,22 3. szint 78,3 0,33

Község 73,5 0,31 4. szint 86,5 0,24

5. szint 90,2 0,22

6. szint 93,1 0,32

7. szint 97,7 0,41

36

MATEMATIKA


72/101. FELADAT: KAMIONSOFŐR II. MM10701Kamionsofőr II.

A következő grafikon egy kamion sebességét ábrázolja az indulástól kezdve az eltelt idő függvényében.

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sebe

sség

(km/

óra)

Eltelt idő (óra)

Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld!

Igaz Hamis

A kamionos megállás nélkül összesen 9 órán át vezetett. I H

Indulás után 4 órával a kamionos megállt 1 órára pihenni. I H

Indulás után 5 órától 6 óráig folyamatosan csökkent a kamion sebessége. I H

Az első 3 órában több mint 200 km-t tett meg a kamion. I H

MM10701

JAVÍTÓKULCS

Kamionsofőr II.

MM10701

Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld!

Helyes válasz: HAMIS, HAMIS, HAMIS, IGAZ – ebben a sorrendben.

37

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1)Kulcsszavak: Összefüggések leolvasása

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak idő-sebesség grafikon adatait kell értelmeznie, leolvasnia és velük egy-lépéses számításokat elvégeznie.



Nehézségi szint 5


Pontozás 0 1 0 –

64

35

10

20

40

60

80

100


-0,46

0,48

-0,10

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 44,2 0,39 1. szint 3,4 0,25


Város 32,8 0,24 3. szint 19,5 0,26

Község 27,4 0,28 4. szint 37,8 0,34

5. szint 58,9 0,45

6. szint 77,5 0,50

7. szint 90,3 0,68

38

MATEMATIKA


73/102. FELADAT: KÖRFORGALOM II. MM12301Körforgalom II.

Egy körforgalomban négy város irányába (Zad, Tám, Bög és Lum) lehet továbbmenni. A következő ábrán a Zad felől érkezők számára kitett jelzőtábla látható.

Bög

LumTám

Melyik jelzőtáblát látják a Bög felől érkezők? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

Zad

LumTám

Tám

LumZad

Zad

TámLum

Lum

ZadTám

A B

C D

MM12301

JAVÍTÓKULCS

Körforgalom II.

MM12301

Melyik jelzőtáblát látják a Bög felől érkezők? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

Helyes válasz: C

39

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.3)Kulcsszavak: Síkbeli transzformáció, elforgatás

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy felülnézeti ábrához kell az elforgatott képét kiválasztania.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 0 1 0 0 0 –

133

80

3 0 10

20

40

60

80

100


-0,24 -0,23

0,43

-0,23

-0,06-0,12

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 86,9 0,28 1. szint 35,8 0,76


Város 79,2 0,22 3. szint 78,6 0,28

Község 73,6 0,29 4. szint 89,5 0,19

5. szint 94,4 0,18

6. szint 96,7 0,25

7. szint 98,8 0,23

40

MATEMATIKA


74/103. FELADAT: SZERENÁD MM03101Szerenád

Tamásék a ballagást megelőző este szerenádot szeretnének adni tanáraiknak. Mivel több osztályt is tanítottak ugyanazok a tanárok, egy diagramon összegezték, melyik tanár mikor tudná fogadni az osztályt.

6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00

Angoltanár

Biológiatanár

Magyartanár

Matematikatanár

Történelemtanár

Idő (óra)

Milyen sorrendben látogassák végig tanáraikat Tamásék, ha minden helyen utazással együtt körülbelül egy órát terveznek maradni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A Angol-, biológia-, magyar-, matematika-, történelemtanár

B Magyar-, biológia-, történelem-, matematika-, angoltanár

C Magyar-, matematika-, biológia-, történelem-, angoltanár

D Történelem-, matematika-, magyar-, biológia-, angoltanár

MM03101

JAVÍTÓKULCS

Szerenád

MM03101

Milyen sorrendben látogassák végig tanáraikat Tamásék, ha minden helyen utazással együtt körülbelül egy órát terveznek maradni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

41

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.1.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1)Kulcsszavak: Intervallum

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak adott hosszúságú diszjunkt intervallumokat kell meghatároznia a meg-adott feltételek figyelembevételével.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 0 1 0 0 0 –

49

80

50 1

0

20

40

60

80

100


-0,18 -0,23

0,41

-0,23

-0,03-0,10

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 86,1 0,30 1. szint 39,3 0,72


Város 78,8 0,19 3. szint 76,8 0,27

Község 73,8 0,31 4. szint 88,3 0,22

5. szint 94,3 0,18

6. szint 97,3 0,23

7. szint 99,1 0,23

42

MATEMATIKA


75/104. FELADAT: BORULTSÁGI FOK MM15402Borultsági fok

A borultsági fok egy meteorológiai szakkifejezés, a felhős terület arányát jelenti a belátható égbolton. Mértékegysége az okta. 1 okta azt jelenti, hogy a teljes égbolt területének 18-a felhős. Ha az égbolt 38 része felhős, akkor a borultsági fok 3 okta.

A borultsági fokot lehet úgy ábrázolni, hogy az égbolt belátható részét körnek tekintjük, negyedekre osztjuk, és a felhős részt besatírozzuk.

A következő ábrán az égbolt borultsági foka 3 okta.

Könnyebb megállapítani a felhős terület arányát, ha az égboltot negyedekre bontva külön-külön vizsgáljuk a negyedeket. Péter egy nap a következőket állapította meg.

Északi negyedfele felhős

Déli negyedfele felhős

Keleti negyedteljesen felhős

Nyugati negyedfelhőtlen

Az egész égboltot tekintve hány okta a borultsági fok?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . okta

MM15402

43

8. ÉVFOLYAM


A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oLDALAKon TALáLhATÓK.

44

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Borultsági fok

MM15402

Az egész égboltot tekintve hány okta a borultsági fok?

Megjegyzés: Ennél a feladatnál számolási hiba még akkor sem fogadható el, ha látszik a helyesen felírt műveletsor. A tanuló által besatírozott terület helyességét ennél a feladatnál nem kell vizsgálni. Ha a tanuló csak az ábrán satírozta be a megfelelő arányokat és sem a tört, sem az okta értékét nem adta meg, akkor a választ 0-s kóddal kell értékelni. Ha a tanuló a válasz számára kijelölt helyre írt értéket, akkor azt kell értékelni.

2-es kód: 4 okta A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadá-sa nem szükséges.

Számítás: 18 + 14 + 18 = 48 → 4

Tanulói példaválasz(ok):• 1 + 2 + 1• 4

• 14 + 14 = 48 4 okta

•





48

48

88

4 okta [Az ábrán rossz törtek szerepelnek, de azokkal nem kezdett semmit.]

•





48 4 okta [A jó tört mellett a jó okta értéket is megadta.]

• 48 = 4 okta [A jó tört mellett a jó okta értéket is megadta.]

45

8. ÉVFOLYAM


1-es kód Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló helyesen határozta meg, hogy az égbolt hanyadrészét borítja felhő, de az okta értékét nem határozta meg vagy ezt a törtet tekin-ti az okta mérőszámának.Tanulói példaválasz(ok):• 0,5

• 12 okta

• 14 + 14 = 48

• 2 negyed okta• fele

• 36 okta [Speciális eset.]

• 24 okta [Vélhetően a 48 tört egyszerűsítése.]

• fele felhős• 50%

0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a tört értékét helyesen határozta meg, de utána rossz okta értéket adott meg. Azokat a válaszokat is 0-s kóddal értékeljük, amikor a végeredmény láthatóan rossz gondolatmenet miatt adódott.Tanulói példaválasz(ok):

• 14 + 14 = 48 = 12 1 okta [A tört értéke helyes, de az okta értéke rossz.]

•





4

8

4

0

16 okta [A negyedeket tekintette a teljes égboltnak, a törtek meghatározásánál a nyolcadok számlálóit összegezte.]

• 48 + 88 + 48 = 16

8 → 16 okta [A negyedeket mint egész égboltot vizsgálta és úgy határozta meg negyedenként a törteket.]

• 16 okta

• 3,5 okta• 2 okta [A negyedeket tekintette a teljes égboltnak a törtek meghatározásánál.]• 3 okta

• 14 okta

• 6 okta

46

MATEMATIKA


•





1

2

1

Válasz: ..................................... okta [Hiányzik a művelet, hogy a tanuló ezekkel a számokkal milyen műveletet végezne el.]

• Keleti negyed• 1,2 okta [Valószínűleg az törtet nem tudta értelmezni.]• 4,8 okta [Valószínűleg az törtet nem tudta értelmezni.]• 180 fok [Rossz válasz]


47

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.1.4)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Tört

A FELADAT LEÍráSA: Szöveges kifejezéseket kell törtekké alakítani, majd velük egy műveletsort elvégez-ni.



Nehézségi szint 4

Lehetséges kódok 0 1 2 9 x x

Pontozás 0 0 1 0 – –

25

2

55

17

0

20

40

60

80

100


-0,28

0,00

0,55

-0,40-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 64,8 0,35 1. szint 10,7 0,51


Város 53,0 0,24 3. szint 39,0 0,34

Község 47,7 0,34 4. szint 64,9 0,29

5. szint 85,4 0,27

6. szint 95,4 0,24

7. szint 98,9 0,25

48

MATEMATIKA


76/105. FELADAT: VÁGÁS MM17301Vágás

Egy hangtechnikus azt a feladatot kapta, hogy egy 16 perc 48 másodperc hosszú hangfelvételből vágjon ki 7 perc 21 másodpercnyi anyagot. A vágáshoz használt programon a következő látható.

vágás kezdete0:00 16:48

A hangtechnikus a vonalnál kezdte a vágást, itt lesz a 7 perc 21 másodpercnyi vágott anyag eleje.

Jelöld vonallal a fenti ábra időskáláján a vágott anyag végét! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

MM17301

49

8. ÉVFOLYAM


JAVÍTÓKULCS

Vágás

MM17301

Jelöld vonallal a fenti ábra időskáláján a vágott anyag végét! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

Megj.: A kódolás sablon segítségével történik. A tanuló által megjelölt hely alapján kell dönteni a válasz helyességéről (függetlenül attól, hogy számítások látszódnak-e vagy sem, jók-e a számítások vagy sem). Ha több vonal látható, azok vastagságát nem kell vizsgálni. HA A TANULÓ TÖBB VONALAT IS BERAJZOLT, ÉS AZ EGYIK VONAL LEGALÁBB KÉTSZER OLYAN HOSSZÚ, MINT A TÖBBI, AKKOR AZT A VONALAT TEKINTJÜK A VÉGLEGES VÁLASZÁNAK. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem vonallal jelölte a vágás végét, hanem valami-lyen más egyértelmű jelölést alkalmazott. Ha a tanuló vonallal jelölte a pontot, akkor annak a vízszintes vonallal való metszés-pontját, ha X-szel jelölte, akkor annak a középpontját vizsgáljuk. Minden más esetben a jelölésnek teljes terjedelmével a megadott tartományban kell lennie. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és nem derül ki egyértelműen, melyik a végleges válasz (pl. áthúzta a rosszakat vagy odaírta, hogy melyik a jó stb.), akkor a választ 0-s kóddal értékeljük.

1-es kód: A tanuló a vágás kezdetét jelző vonaltól 7 egységnyire jelölte a vágott anyag végét. A kö-vetkező ábrán jelölt tartományba eső pontok fogadhatók el, beleértve a tartomány hatá-rait is.


elfogadható tartomány

Számítás: 16 perc 48 mp = 1008 mp, 1008 : 16 = 63 mp - 1 egység 7 p 21 mp = 441 mp 441 : 63 = 7 egység

Tanulói példaválasz(ok):• 16 p 48 mp = 1008 mp → 11 cm

7 p 21 mp = 441 mp → x x = 441 ∙ 11 : 1008 = 4,8 cm [Helyesen jelölte be az ábrán.]

50

MATEMATIKA


•


[Alternatív jelölés: a hangsávon jelölt, de a jó helyen.]

0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló helyesen kiszámolta, hol lesz a vágott anyag vége, de azt nem vagy rosszul jelölte az ábrán.Tanulói példaválasz(ok):• 16 p 48 mp = 1008 mp → 11 cm

7 p 21 mp = 441 mp → x x = 441 ∙ 11 : 1008 = 4,8 cm → A vonaltól 4,8 cm-re kell vágni. [Nincs jelölés az ábrán.]

• még 7 egész egység. [Az ábrán jelölt pont nem esik bele az elfogadható tartományba.]


51

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4)Kulcsszavak: Arányszámítás nem 1-hez viszonyítva, műveletsor

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak az egész ismeretében egy rész nagyságát kell meghatároznia és beje-lölnie.



Nehézségi szint 7


Pontozás 0 1 0 –

48

18

34

0

20

40

60

80

100


0,11

0,32

-0,38-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 23,7 0,36 1. szint 2,3 0,21


Város 16,4 0,21 3. szint 10,3 0,21

Község 13,2 0,24 4. szint 17,0 0,24

5. szint 27,4 0,38

6. szint 43,1 0,62

7. szint 63,7 1,19

52

MATEMATIKA


77/106. FELADAT: NAPPALOK HOSSZA MM06002Nappalok hossza

Az alábbi grafikon a nappalok hosszának változását mutatja Kati falujában az év során.

23.0022.0021.0020.0019.0018.0017.0016.0015.0014.0013.0012.0011.0010.009.008.007.006.005.004.003.002.001.000.00

januá

r

febru

ár

márci

us

áprili

s

május

június

július

augu

sztus

szep

tembe

r

októb

er

nove

mber

dece

mber

Forr

ás: h

ttp://

ww

w.m

etne

t.hu/

?m=h

irek&

id=2

38

Idő (ó

ra)

HónapNappal Éjszaka

Nappalok hosszaA diagram alapján legközelebb mikor KEL FEL a nap ugyanakkor, mint április 21-én? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A május 21-én

B augusztus 13-án

C szeptember 13-án

D október 21-én

E Ebben az évben többször már nem.

MM06002

Nappalok hossza

Az alábbi grafikon a nappalok hosszának változását mutatja Kati falujában az év során.

23.0022.0021.0020.0019.0018.0017.0016.0015.0014.0013.0012.0011.0010.009.008.007.006.005.004.003.002.001.000.00

januá

r

febru

ár

márci

us

áprili

s

május

június

július

augu

sztus

szep

tembe

r

októb

er

nove

mber

dece

mber

Forr

ás: h

ttp://

ww

w.m

etne

t.hu/

?m=h

irek&

id=2

38

Idő (ó

ra)

HónapNappal Éjszaka

Nappalok hosszaA diagram alapján legközelebb mikor KEL FEL a nap ugyanakkor, mint április 21-én? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A május 21-én

B augusztus 13-án

C szeptember 13-án

D október 21-én

E Ebben az évben többször már nem.

MM06002

JAVÍTÓKULCS

Nappalok hossza

MM06002

A diagram alapján legközelebb mikor KEL FEL a nap ugyanakkor, mint április 21-én? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

MM06003

Körülbelül milyen hosszú az az időszak az évben, amikor Kati reggel napkelte előtt kel fel, ÉS este napnyugta után lép ki a munkahelyéről? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

53

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1)Kulcsszavak: Statisztikai adatgyűjtés diagramról, szokatlan diagram

A FELADAT LEÍráSA: Szokatlan diagramról kell adatokat leolvasni.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 1 0 0 0 0 0 –

4

75

104 6

0 20

20

40

60

80

100


-0,25

0,44

-0,19 -0,17 -0,14-0,04

-0,13

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 80,8 0,36 1. szint 30,7 0,72


Város 74,1 0,21 3. szint 71,4 0,32

Község 69,9 0,29 4. szint 84,4 0,23

5. szint 92,3 0,21

6. szint 96,2 0,24

7. szint 99,0 0,23

54

MATEMATIKA


78/107. FELADAT: NAPPALOK HOSSZA MM06003 Nappalok hosszaKati hétköznaponként 7.00 órakor kel fel, és este 17.30-kor jön el a munkahelyéről. Körülbelül milyen hosszú az az időszak az évben, amikor Kati reggel napkelte előtt kel fel, ÉS este napnyugta után lép ki a munkahelyéről? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 1,5 hónap

B 2 hónap

C 3 hónap

D 9 hónap

MM06003

JAVÍTÓKULCS

Nappalok hossza

MM06002

A diagram alapján legközelebb mikor KEL FEL a nap ugyanakkor, mint április 21-én? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

MM06003

Körülbelül milyen hosszú az az időszak az évben, amikor Kati reggel napkelte előtt kel fel, ÉS este napnyugta után lép ki a munkahelyéről? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

55

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2)Kulcsszavak: Statisztikai adatgyűjtés diagramról, szokatlan diagram

A FELADAT LEÍráSA: Szokatlan diagramról kell adatokat leolvasni és velük egylépéses műveletet végre-hajtani.


Becslés Standard hiba (S. H.)Standard meredekség 0,0025 0,00021Standard nehézség 1727 21,8Tippelési paraméter 0,23 0,03

Nehézségi szint 5


Pontozás 0 0 1 0 0 0 –

1222

53

100 3

0

20

40

60

80

100


-0,10-0,21

0,30

-0,02 -0,01-0,13

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 58,8 0,42 1. szint 29,7 0,72


Város 52,3 0,29 3. szint 45,3 0,35

Község 48,7 0,29 4. szint 56,2 0,37

5. szint 67,5 0,36

6. szint 78,4 0,56

7. szint 87,7 0,81

56

MATEMATIKA


79/108. FELADAT: MÉRLEGHINTA II. MM16102

Mérleghinta II.

Egy mérleghinta rögzített pontja 90 cm-es magasságnál található (P1 pontban), de 60 cm-es magasságra „leengedhető” (P2 pontba), ahogyan az ábrán látható.

P1

gumitéglatengely

P2

gumitégla

A talajhoz ütközés csillapítására gumitéglát helyeznek el a mérleghinta alatt. Ahol az ülés vége a gumitéglával érintkezik, a gumitégla idővel elkopik, elszíneződik.

Melyik igaz az alábbiak közül? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A Ugyanott kopik a gumitégla a 60 cm és a 90 cm-es beállításnál.

B 60 cm-es rögzítésnél a mérleghinta tengelyéhez közelebb kopik a gumitégla, mint a 90 cm-es rögzítésnél.

C 60 cm-es rögzítésnél a mérleghinta tengelyétől távolabb kopik a gumitégla, mint a 90 cm-es rögzítésnél.

D Ennyi adatból nem határozható meg, hogyan helyezkedik el egymáshoz képest a két kopásvonal.

MM16102

JAVÍTÓKULCS

Mérleghinta II.

MM16102

Melyik igaz az alábbiak közül? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

57

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.1)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.2)Kulcsszavak: Geometriai ábra értelmezése

A FELADAT LEÍráSA: Geometriai ábrán az elképzelt mozgás során történő elmozdulások értelmezése.



Nehézségi szint 6


Pontozás 0 0 1 0 0 0 –

1221

50

110 5

0

20

40

60

80

100


-0,09 -0,13

0,30

-0,12-0,02

-0,13

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 56,1 0,35 1. szint 34,1 0,75


Város 48,2 0,28 3. szint 38,3 0,32

Község 46,9 0,31 4. szint 50,1 0,33

5. szint 66,1 0,34

6. szint 81,2 0,52

7. szint 94,0 0,61

58

MATEMATIKA


80/109. FELADAT: MÉRLEG MM18101

Mérleg

Karolina egy edényt helyez a konyhai mérlegre. Ekkor a következőt látja.

100200

300

400500600700

800

900

10001100 0

gramm

Ezután az edénybe beletesz néhány banánt. Így ezt látja.

100200

300

400500600700

800

900

10001100 0

gramm

Hány gramm a Karolina által lemért banánok együttes tömege? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

A banánok együttes tömege: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gramm

MM18101

59

8. ÉVFOLYAM



60

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Mérleg

MM18101

Hány gramm a Karolina által lemért banánok együttes tömege? Úgy dolgozz, hogy számí-tásaid nyomon követhetők legyenek!

Megj.: Ennél a feladatnál számolási hiba NEM fogadható el, még akkor sem, ha látszik a helye-sen felírt műveletsor.

1-es kód: A banánok együttes tömege: 300 gramm. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló egyértelműen megfogalmazta, hogy a banánok együttes tömege 300 gramm, majd ezzel az értékkel továbbszámolva meghatározta, hogy 1 banán tö-mege 100 gramm, vagy a banánok és a tál együttes tömegét adta meg, ezért válasza 500 gramm.Számítás: 500 – 200 = 300Tanulói példaválasz(ok):• 300 gramm

A banánok együttes tömege: .................................. gramm. [Nem írt semmit a pontozott vonalra, felette viszont megadta a helyes választ.]

• Összsúly: 500 g a tállal együtt, akkor a tál nélkül a banánok összsúlya: 300 g A banánok együttes tömege: .................................. gramm. [Nem írt semmit a pontozott vonalra, felette viszont megadta a helyes választ.]

• A tál: 200 g Összesen: 500 g A banán: 300 g A banánok együttes tömege: 300 gramm.

• üresen: 200 g 3 banánnal: 500 g 3 banán: 300 g 1 banán: 100 g A banánok együttes tömege: 100 gramm. [A tanuló válaszából kiderül, hogy a banánok együttes tömege 300, de ezután még meghatározta 1 banán tömegét is, és ezt az értéket írt a pontozott vonalra.]

• A banánok együttes tömege: 300 gramm. [A helyes választ beírta a pontozott vonalra.]

• A tál gramm: 200 g A banán gramm: 300 g összesen: 500 g A banánok együttes tömege: 500 gramm.

• banánok tömege: 300 g + 200 g A banánok együttes tömege: 500 gramm.

• [A banánokra írta rá a helyes eredményt.]• 500 – 200 = 300g

[A pontozott vonalra nem írt, de eredménye helyes.]

61

8. ÉVFOLYAM


0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• A banánok együttes tömege: 500 gramm. [Nem vette figyelembe az edény önsúlyát.]• 300 : 3 = 100

A banánok együttes tömege: ................ gramm. [Nem derül ki egyértelműen, hogy a 300 g a banánok együttes tömege.]

• 200 + 500 = 700 g A banánok együttes tömege: 700 gramm [Rossz módszer.]

• 500 – 300 = 200 A banánok együttes tömege: 200 gramm. [Rossz módszer.]

• 500 – 200 = 300 300 : 100 = 3 kg A banánok együttes tömege: ................ gramm. [Nem derül ki egyértelműen, hogy a 300 g a banánok együttes tömege.]

• 500 – 200 = 300 g 1 banán: 150 g [Nem derül ki, hogy a 300 g a banánok együttes tömege.]

• 5000 – 2000 = 3000 g A banánok együttes tömege: 3000 gramm. [Átváltási hiba, nem fogadunk el sem számítási, sem átváltási hibát ennél a feladatnál.]

• 500 : 3 = 1666,6 gramm egy banán A banánok együttes tömege: .................................. gramm. [Rossz módszer, a kijelölt helyre nem írt.]

• A banánok együttes tömege: 100 gramm. [Nem látszik leírva, hogy mennyi a 3 banán össztömege.]

• 300 : 3 = 100 A banánok együttes tömege: 100 gramm. [Nem derül ki egyértelműen, hogy 300 g a banánok együttes tömege.]

• 200 120 *2,5 *2,5 500 x x = 300 g A banánok együttes tömege: 300 gramm. [Rossz módszerrel jön ki a helyes eredmény.]

• 300 g + 200 g A banánok együttes tömege: 500 gramm. [Nem írta le, hogy a 300 g a banánok tömege.]

• 500 * 600 = 300 A banánok együttes tömege: 300 gramm. [Rossz módszerrel jön ki a helyes eredmény.]

• A banánok együttes tömege: 100 + 200 = 300 gramm [Rossz gondolatmenet, nem egyértelmű, hogy mi az a 200 gramm (a tál vagy a másik két banán).]

• 500 – 200 = 300 A banánok együttes tömege: 300 gramm [Megkapta a helyes végeredményt, de másoláskor elírta.]

62

MATEMATIKA


• az edény 200 gramm a banán 300 gramm 500 g – 200 g = 300 g 700 g A banánok együttes tömege: 300 gramm [Rossz válasz, hiába jutott el addig, hogy a banán 300 gramm, utána rossz eredményre jut.]

• banán = 300 gramm (összesen) edény = 200 gramm A banánok együttes tömege: 129 gramm [Rossz válasz, hiába jutott el addig, hogy a banán 300 gramm, utána rossz eredményre jut.]

• 1140,5 – 820,2 = 320,3 A banánok együttes tömege: 320,3 gramm [A tanuló számára nem volt egyértel-mű, hogy a nyíl melyik végéről kell az értéket leolvasni.]


63

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.5)Kulcsszavak: Skála, leolvasás

A FELADAT LEÍráSA: Skáláról leolvasott értékek különbségének kiszámítása.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 1 0 –

8

86

6

0

20

40

60

80

100


-0,35

0,50

-0,33

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 90,7 0,24 1. szint 30,9 0,69


Város 84,9 0,20 3. szint 88,2 0,21

Község 80,0 0,28 4. szint 96,3 0,13

5. szint 98,9 0,09

6. szint 99,3 0,11

7. szint 99,7 0,13

64

MATEMATIKA


81/110. FELADAT: PAPÍRTÁSKA MM19601

Papírtáska

Anna cége egy akció keretében 28 × 17 × 10 cm-es dobozokba csomagolt ajándékot oszt szét, összesen 300 darabot. Anna feladata, hogy 300 db olyan papírtáskát rendeljen, amelybe belefér egy doboz. A dobozt el is lehet forgatni.

Papírtáska mérete 1 darab ára legalább 1000 darab rendelése esetén

1 darab ára legalább 500 darab rendelése esetén

1 darab ára legalább 200 darab rendelése esetén

18 × 22 × 8 cm 20 Ft 21 Ft 23 Ft22 × 29 × 11 cm 22 Ft 24 Ft 26 Ft26 × 35 × 11 cm 25 Ft 27 Ft 29 Ft32 × 42 × 12 cm 28 Ft 30 Ft 32 Ft

A fenti adatok alapján mennyibe kerül Anna rendelése, ha a legolcsóbb lehetőséget választja? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

. . . . . . . . . . . . . . . . Ft

MM19601

65

8. ÉVFOLYAM



66

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Papírtáska

MM19601

A fenti adatok alapján mennyibe kerül Anna rendelése, ha a legolcsóbb lehetőséget vá-lasztja? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

1-es kód: 7800 Ft. A helyes válasz látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység meg-adása nem szükséges. A megadottól eltérő eredmény csak akkor tartozik ide, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszer-tani hiba miatt adódott.Számítás: 22 × 29 × 11 papírtáska → 26 ∙ 300 = 7800Tanulói példaválasz(ok):• 7800• 300 · 26

600 + 3600 9600 [Látszik a helyes műveletsor, számolási hiba.]

• 26 · 300 [Látszik a helyes műveletsor.]• 26 · 300

4800 Ft [Azonosítjuk a végeredményét a szorzással.]• 26 · 300

26 Ft [A tanuló helyes műveletet írt fel, a válasznál azonban egy papírtáska helyes darabárát adta meg, a választ a jó műveletsor miatt elfogadjuk.]

• 5200 + 2600 [A 200 ∙ 26 + 100 ∙ 26 műveleti sorok részeredményei.]

0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• 9600 [A 32 × 42 × 12 cm méretű táska árával számolt.]• 32 × 42 × 12 méretűbe biztosan belefér

300 · 32 = 9600 Ft [A 32 × 42 × 12 cm méretű táska árával számolt.]• 22 ∙ 300 = 6600 Ft [A 22 × 29 × 11 cm méretű táska árával számolt, de legalább

1000 db-os rendeléssel.]• 22 ∙ 29 ∙ 11 ∙ 26 = 182 468 [Rossz gondolatmenet.]• 28 · 1000 = 2800

28 · 300 = 8400 Ft 500 · 30 Ft = 15 000 Ft [A 32 × 42 × 12 cm méretű táska áráival számolt.]

• 30 · 300 = 9000 [A 32 × 42 × 12 cm méretű táska áráival számolt.]


67

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4)Kulcsszavak: Mennyiségek összehasonlítása, befoglaló test, műveletsor

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy téglatest oldalhosszainak ismeretében ki kell választania egy táblá-zatból a lehetséges befoglaló téglatesteket, majd azok közül a megfelelőt kiválasztva azzal egy egysze-rű műveletet kell végrehajtania. A feladatot a „legalább” szó értelmezése is nehezíti.



Nehézségi szint 6


Pontozás 0 1 0 –

46

19

35

0

20

40

60

80

100


-0,01

0,45

-0,35

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 25,4 0,37 1. szint 0,6 0,11


Város 17,0 0,20 3. szint 5,9 0,17

Község 15,0 0,24 4. szint 16,0 0,24

5. szint 35,0 0,43

6. szint 58,9 0,71

7. szint 82,5 0,95

68

MATEMATIKA


82/111. FELADAT: ÁRAMSZÜNET MM21101

Áramszünet

Rékának olyan digitális ébresztőórája van, amely áramszünet esetén 00:00-ra áll vissza. Egyik reggel 8:00-kor kikapcsolták az áramot a házban. Délután hazaérve Réka azt látta, hogy az órája 4:13-at mutat, holott a pontos idő 15:10.

MENNYI IDEIG TARTOTT az áramszünet? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 2 óra 57 percig

B 3 óra 03 percig

C 3 óra 47 percig

D 4 óra 13 percig

E 7 óra 10 percig

MM21101

JAVÍTÓKULCS

Áramszünet

MM21101

MENNYI IDEIG tartott az áramszünet? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

69

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.4)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Számolás idővel

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak az idővel kell egy műveletsort elvégeznie.


Becslés Standard hiba (S. H.)Standard meredekség 0,0047 0,00039Standard nehézség 1818 10,6Tippalési paraméter 0,11 0,02

Nehézségi szint 6


Pontozás 1 0 0 0 0 0 0 –

30

10 1324

18

0 4

0

20

40

60

80

100


0,42

-0,07 -0,08-0,14 -0,17

-0,02-0,11

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 37,8 0,45 1. szint 10,0 0,42


Város 28,2 0,22 3. szint 15,3 0,27

Község 24,7 0,24 4. szint 28,5 0,30

5. szint 49,2 0,43

6. szint 73,4 0,51

7. szint 93,4 0,62

70

MATEMATIKA


83/112. FELADAT: HOLLAND FESTŐK I. MM23101Holland festők I.

A következő táblázatban néhány holland festő születési és halálozási éve látható.

Festő Születési év Halálozási évVincent van Gogh 1853 1890

Rembrandt 1606 1669Ferdinand Bol 1616 1680

George Hendrik Breitner 1857 1923

A következő számegyenesen a négy festő közül háromnak az élethosszát ábrázoltuk. Rajzold be, hol helyezkedne el az ábrán a hiányzó negyedik! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges!

MM23101

71

8. ÉVFOLYAM


JAVÍTÓKULCS

Holland festők I.

MM23101

Rajzold be, hol helyezkedne el az ábrán a hiányzó negyedik!

Megjegyzés: A kódolás sablon segítségével történik. A tanuló jelölésénél annak függőleges pozicióját nem kell vizsgálni. Nem tekintjük hi-bának, ha a tanuló nem X-et, hanem valamilyen más egyértelmű jelölést alkalmazott. Ha a tanuló X-szel jelölte a pontot, akkor annak a középpontját vizsgáljuk, minden más esetben a jelölésnek teljes terjedelmével a megadott tartományban kell lennie. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és nem derül ki egyértelműen, hogy melyik a végle-ges válasz (pl. áthúzta a rosszakat vagy odaírta, hogy melyik a jó stb.), akkor a választ 0-s kóddal értékeljük. Ha két pontot összekötött és van egy harmadik, nem a vonalon lévő pont is, akkor csak az összekötött pontokat vizsgáljuk. Ha két pontot összekötött és van egy harma-dik, a vonalon lévő pont is, akkor a válasz nem egyértelmű és 0-s kódot kap. Ha a tanuló válaszában a születési és a halálozási évnek megfelelő X-et egy vonallal összekötötte, de a vonalat az X-en is túlhúzta, akkor az X-ek helyzete alapján döntünk a válasz helyességéről. Az esetleges felcímkézéseket alapesetben nem vizsgáljuk, mivel nem volt feladat. Ha csak az egyik végpont esik bele a tartományba és a tanuló nem George Hendrik Breitner, hanem egy másik festő nevét írta oda, a válasz 0-s kódot kap. Ha a tanuló a kezdő és a végpontot is megadta, a helyességüket is balról jobbra, ilyen sorrendben vizsgáljuk (tehát a végpontot nem fogadjuk el kezdőpontnak).

2-es kód: A tanuló helyesen ábrázolta a G.H.Breitnerhez tartozó értékeket a következő ábrának megfelelően. Elegendő, ha a tanuló a születési és halálozási évet jelölte, nem feltétlenül kell összekötnie azokat. A születési évet jelentő jelölésnek 1855 és 1860 között, a halálozás évének 1920 és 1925 között kell lennie. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a jelölés az elfogadható tartomány határvonalára esik.

Elfogadható tartomány

Tanulói példaválasz(ok):

• [A születési és halálozási év jelölése is helyes.]

72

MATEMATIKA


1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak az egyik értéket jelölte helyesen, a másik értékhez tartozó jelölés rossz vagy hiányzik. Ha két időpontot jelöl, a bal oldalit születési évnek, a jobb oldalit halálozási évnek tekintjük, és így viszgáljuk a helyességü-ket.Tanulói példaválasz(ok):

•

• [Csak a születésit jelölte, az jó.]

0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):

• [Három x is szerepel a vonalon, egyik sincs lehúzva, így a válasz nem egyértelmű.]


73

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.1.1)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.3)Kulcsszavak: Számegyenes, adatábrázolás

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy táblázatban megadott négy adatpárból hármat kell azonosítania egy számegyenesen, és a hiányzót bejelölnie.


Becslés Standard hiba (S. H.)Standard meredekség 0,0032 0,00006Standard nehézség 1751 3,51. lépésnehézség -81 62. lépésnehézség 81 7

Nehézségi szint 5



29

1521

35

0

20

40

60

80

100


-0,11

0,18

0,49

-0,45-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 38,0 0,34 1. szint 1,1 0,13


Város 26,6 0,20 3. szint 11,4 0,19

Község 21,1 0,26 4. szint 29,2 0,27

5. szint 53,1 0,36

6. szint 75,2 0,44

7. szint 91,3 0,58

74

MATEMATIKA


84/113. FELADAT: PHILEAS FOGG MM23601Phileas Fogg

Jules Verne regényében Phileas Fogg 80 nap alatt kerülte meg a Földet. Átlagosan hány kilométert kellett megtennie naponta, ha az út hossza összesen körülbelül 40 000 km volt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 0,02 km-t

B 50 km-t

C 500 km-t

D 320 000 km-t

E 3 200 000 km-t

MM23601

JAVÍTÓKULCS

Phileas Fogg

MM23601

Átlagosan hány kilométert kellett megtennie naponta, ha az út hossza körülbelül 40 000 km volt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

75

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.3)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4)Kulcsszavak: Arányszámítás 1-hez viszonyítva

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy 1-hez viszonyított arány kiszámítását kell elvégeznie.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 0 1 0 0 0 0 –

1 6

83

4 2 0 4

0

20

40

60

80

100


-0,11-0,20

0,42

-0,22 -0,17-0,03

-0,14

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 86,1 0,28 1. szint 41,2 0,81


Város 82,3 0,21 3. szint 81,5 0,25

Község 78,1 0,24 4. szint 91,2 0,20

5. szint 95,7 0,16

6. szint 98,5 0,15

7. szint 99,4 0,20

76

MATEMATIKA


85/114. FELADAT: ALMAÁRUSÍTÁS II. MM24202Almaárusítás II.

Jánosék almát árulnak a piacon. A következő diagramok az általuk árult alma kilogrammonkénti árának változását és naponta eladott mennyiségét mutatják egy héten át.

020406080

100120140

Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek

Kilog

ramm

onké

nti ár

(Ft)

020406080

100120140

Elad

ott al

mák m

enny

isége

(kg)

Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek

Melyik diagram mutatja helyesen, mennyit kerestek Jánosék ezen a héten az alma eladásával? Satírozd be a helyes diagram betűjelét!

0

2 000

4 000

6 000

8 000

10 000

12 000

14 000

0

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000

0

4 000

8 000

12 000

16 000

20 000

02 000

4 000

6 000

8 000

10 000

12 000

14 000

A B

C D

Bevé

tel (F

t)

Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek

Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek

Bevé

tel (F

t)

Bevé

tel (F

t)Be

vétel

(Ft)

MM24202

JAVÍTÓKULCS

Almaárusítás II.

MM24202

Melyik diagram mutatja helyesen, mennyit kerestek Jánosék ezen a héten az alma eladá-sával? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

77

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.2)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.4)Kulcsszavak: Diagramok értelmezése, ábrázolás értelmezése

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak két oszlopdiagram adataiból kell előállítania egy adatsort, majd az ehhez tartozó oszlopdiagramot kiválasztania.



Nehézségi szint 5

Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 xPontozás 1 0 0 0 0 0 –

54

1810 12

06

0

20

40

60

80

100


0,48

-0,23 -0,18 -0,18-0,07

-0,13

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 60,0 0,44 1. szint 17,8 0,60


Város 52,3 0,25 3. szint 38,8 0,38

Község 49,2 0,31 4. szint 60,2 0,34

5. szint 80,6 0,33

6. szint 92,5 0,33

7. szint 98,5 0,29

78

MATEMATIKA


86/115. FELADAT: KÉRDŐÍV MM27601Kérdőív

Miklós interneten tölt ki egy kérdőívet. Az ábrán szürke szín jelzi, hogy a kérdések hányadrészét töltötte már ki.

Hány kérdés VAN MÉG HÁTRA, ha eddig 16 kérdésre felelt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 8

B 40

C 56

D 80

MM27601

JAVÍTÓKULCS

Kérdőív

MM27601

Hány kérdés VAN MÉG HÁTRA, ha eddig 16 kérdésre felelt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

79

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4)Kulcsszavak: Tört, arány

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak grafikusan ábrázolt törtérték alapján kell arányt számolnia.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 1 0 0 0 0 –

6

67

18

5 0 4

0

20

40

60

80

100


-0,26

0,31

-0,09 -0,10-0,02

-0,14

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 69,9 0,40 1. szint 37,5 0,73


Város 66,9 0,27 3. szint 62,1 0,30

Község 64,2 0,31 4. szint 73,1 0,26

5. szint 80,9 0,31

6. szint 85,9 0,43

7. szint 89,7 0,70

80

MATEMATIKA


87/116. FELADAT: REPÜLŐTÉR MM29401

Repülőtér

Melinda repülővel utazik Zedvárosba. Leszállás után a repülőtéren a következő tábla igazítja útba az érkező utasokat.

Van kézi-

poggyásza

Nincs kézi-

poggyásza

1. kapu 2. kapu 3. kapu 4. kapu 5. kapu 6. kapu 7. kapu 8. kapu 9. kapu

EU-ból érkezik Nem EU-ból érkezik

XÖn itt áll

Tovább utazik Nem utazik tovább Tovább utazik Nem utazik tovább

Van kézi-

poggyásza

Nincs kézi-

poggyásza

Van kézi-

poggyásza

Nincs kézi-

poggyásza

Van kézi-

poggyásza

Nincs kézi-

poggyásza

Van elvámolni-

valója

Nincs elvámolni-

valója

Melyik kapun fog kimenni Melinda, ha EU-s országból jön, nem utazik tovább, és van kézipoggyásza?

. . . . . . . . . . . kapun

MM29401

JAVÍTÓKULCS

Repülőtér

MM29401

Melyik kapun fog kimenni Melinda, ha EU-s országból jön, nem utazik tovább és van kézipoggyásza?

Megj.: Ha a tanuló a megadott helyen adta meg válaszát, akkor azt értékeljük. Ha oda nem írt semmit, de az ábrán egyértelműen megjelölte valamilyen módon (pl. bekarikázta, besa-tírozta stb.) a 3. kaput, akkor a válasz elfogadható.

1-es kód: 3. kapun Tanulói példaválasz(ok):• 3• 3-as• három kapun

0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• 1. kapun• 4• 8.• 1, 3 kapun [Több kaput is megjelölt.]


81

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.7)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Gráf, utak

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy gráfon kell szöveges meghatározás alapján a megfelelő útvonal végpontját megtalálnia.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 1 0 –

9

79

11

0

20

40

60

80

100


-0,27

0,44

-0,31

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 84,4 0,34 1. szint 32,6 0,85


Város 78,8 0,21 3. szint 77,9 0,29

Község 73,7 0,28 4. szint 88,1 0,22

5. szint 94,2 0,17

6. szint 97,9 0,17

7. szint 99,4 0,19

82

MATEMATIKA


88/117. FELADAT: RÉGI TÉRKÉP MM33601

Régi térkép

Viktor szeretné megkeresni azt a házat, amelyikben a nagymamája lakott gyerekkorában, de nem tudja, mi a mai címe a háznak. Nagymamája egy régi térképen mutatta meg, hol lakott, ezt Viktor egy mai térképpel veti össze.

Jegenye utcaKmetty János tér

Erdei

utca

Tihan

yi út

Csónako

s utca

Hullám utca

Jegenye utcaVámház su

gárút

Vásár tér Kmetty utca

Kmetty utca

Mátray

utcaZsigmond utca

Érse

k út

Vámház

tér

Régi térkép Mai térkép

28.

Jelöld X-szel a MAI TÉRKÉPEN, hol állt az a ház, amelynek a címe régen Hullám utca 28. volt! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges!

MM33601

83

8. ÉVFOLYAM



84

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Régi térkép

MM33601

Jelöld X-szel a MAI TÉRKÉPEN, hol állt az a ház, amelynek a címe régen Hullám utca 28. volt! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges!

Megj.: Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem X-et, hanem valamilyen más egyértelmű je-lölést alkalmazott (besatírozta, beleírta a címet stb.). Ha a tanuló X-szel jelölt, akkor annak metszéspontját kell vizsgálni, ha egy területet jelölt meg (pl. satírozással), akkor annak teljes terjedelmével az elfogadható tartományon belül kell lennie. Ha a tanuló X-et és másfajta jelölést is használt, akkor az X-et nézzük (mivel ezt kérte a feladat). Azokat a megoldásokat is elfogadjuk, amikor az elfogadható tartományt (négyszöget) valamilyen egyértelmű módon megjelölte, pl. bekarikázta.

1-es kód: A tanuló a következő ábrán látható elfogadható tartományon belül jelölt meg egy pontot vagy tartományt.


Kmetty utca

Mátray

utcaZsigmond utca

Érse

k út

Vámház

tér

Mai térkép

elfogadható tartomány


•


Kmetty utca

Mátray

utcaZsigmond utca

Érse

k út

Vámház

tér

Mai térkép

85

8. ÉVFOLYAM


•


Kmetty utca

Mátray

utcaZsigmond utca

Érse

k út

Vámház

tér

Mai térkép [Az X metszéspontja beleesik a tartományba.]

•


Kmetty utca

Mátray

utcaZsigmond utca

Érse

k út

Vámház

tér

Mai térkép [Egyértelmű módon bekarikázta az elfogadható négyszöget.]

86

MATEMATIKA


0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok):

•


Kmetty utca

Mátray

utcaZsigmond utca

Érse

k út

Vámház

tér

Mai térkép

•


Kmetty utca

Mátray

utcaZsigmond utca

Érse

k út

Vámház

tér

Mai térkép [Az X metszéspontja nem esik bele az elfogadható tartományba.]

•


Kmetty utca

Mátray

utcaZsigmond utca

Érse

k út

Vámház

tér

Mai térkép [Valószínűleg az ucát is meg akarta külön jelölni, de jelölése így nem egyértelmű, hiszen két X van.]


87

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1)Kulcsszavak: Tájékozódás, térkép

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak két azonos területet ábrázoló, de némileg módosult térképen kell ugyanazt az adott helyet megtalálnia.



Nehézségi szint 4


Pontozás 0 1 0 –

31

52

17

0

20

40

60

80

100


-0,15

0,37

-0,30

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 57,4 0,46 1. szint 16,9 0,65


Város 51,8 0,27 3. szint 44,5 0,35

Község 45,5 0,39 4. szint 57,0 0,36

5. szint 68,7 0,37

6. szint 79,2 0,53

7. szint 90,0 0,74

88

MATEMATIKA


89/118. FELADAT: IDŐPONT-EGYEZTETÉS MM12801Időpont-egyeztetés

Bori közös filmnézést tervez a barátaival. A következő táblázat azt foglalja össze, hogy ráérnek-e a jövő hét egyes napjain. A táblázatban I-vel jelölték, ha biztosan igen, T-vel, ha talán és N-nel, ha nem érnek rá.

Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat VasárnapBori I I I T T I IVera T T T N N I NRicsi N I I N I I TEdit N T T T I T ISanyi N I N N N I NKarcsi N I I I T I NZsuzsi I I I I I T I

ÖsszesenIgen (I) 2 5 4 2 3 5 3Talán (T) 1 2 2 2 2 2 1Nem (N) 4 0 1 3 2 0 3

Időpont-egyeztetésKi jelölte meg a legtöbb olyan napot, amikor biztosan ráér? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A Bori

B Edit

C Sanyi

D Zsuzsi

Időpont-egyeztetésBori megállapította, hogy a táblázat alapján a kedd és a szombat a legalkalmasabb nap a filmnézésre. Azt javasolta, kérdezzék meg újra azokat, akik azt mondták, hogy TALÁN ráérnek ezeken a napokon. Hány embert kell így újra megkérdezni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 1

B 2

C 3

D 4

MM12801

MM12802

Időpont-egyeztetés





A Bori

B Edit

C Sanyi

D Zsuzsi


A 1

B 2

C 3

D 4

MM12801

MM12802

JAVÍTÓKULCS


MM12801

Ki jelölte meg a legtöbb olyan napot, amikor biztosan ráér? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: D

MM12802

Hány embert kell így újra megkérdezni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

89

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6)Kulcsszavak: Adatgyűjtés táblázatból

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy táblázat soraiban kell adott feltételnek megfelelő adatokat össze-számolnia és összehasonlítania.



Nehézségi szint 1


Pontozás 0 0 0 1 0 0 –

5 4 3

81

07

0

20

40

60

80

100


-0,17 -0,19 -0,17

0,34

-0,04-0,10

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 83,0 0,30 1. szint 49,5 0,78


Város 81,0 0,22 3. szint 79,1 0,26

Község 77,0 0,28 4. szint 86,6 0,21

5. szint 92,0 0,24

6. szint 96,3 0,22

7. szint 98,6 0,26

90

MATEMATIKA


90/119. FELADAT: IDŐPONT-EGYEZTETÉS MM12802






A Bori

B Edit

C Sanyi

D Zsuzsi


A 1

B 2

C 3

D 4

MM12801

MM12802

JAVÍTÓKULCS


MM12801

Ki jelölte meg a legtöbb olyan napot, amikor biztosan ráér? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: D

MM12802

Hány embert kell így újra megkérdezni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

91

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.8)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Halmazok, unió

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak a táblázat oszlopai alkotta halmazok uniójának az elemszámát kell meghatároznia.



Nehézségi szint 7


Pontozás 0 0 1 0 0 0 –

2

24

45

21

08

0

20

40

60

80

100


-0,12 -0,11

0,23

-0,05 -0,03-0,10

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 48,0 0,47 1. szint 30,8 0,76


Város 43,7 0,25 3. szint 36,7 0,31

Község 41,5 0,32 4. szint 45,1 0,29

5. szint 55,1 0,40

6. szint 66,6 0,54

7. szint 81,7 1,00

92

MATEMATIKA


91/120. FELADAT: MADARAK VONULÁSA MM31801

Madarak vonulása

A következő ábrán egy repülőtér és a repülők által leggyakrabban használt útvonalak, az úgynevezett légi folyosók láthatók egy koordináta-rendszerben megjelenítve, melynek középpontja a repülőtér.

I. légi folyosó

III. légi folyosó

IV. légi folyosó

repülőtér

légi folyosók

1 egység

II. légi folyosó

y

x

A repülőtértől nem messze egy ritka madárfaj fészkel a (3; 7) koordinátánál lévő helyen. A madarak a hideg beálltával (0; –8)-nál lévő költőhelyükre repülnek. Mely légi folyosóknál kell fokozottabban figyelni a madarakra ebben az időszakban, ha azok egyenes vonalban és a repülőkkel egy magasságban repülnek? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A Mind a négy légi folyosónál.

B Az I. és a II. légi folyosónál.

C A II. és a III. légi folyosónál.

D Az I. és a IV. légi folyosónál.

MM31801

JAVÍTÓKULCS

Madarak vonulása

MM31801

Mely légi folyosóknál kell fokozottabban figyelni a madarakra ebben az időszakban, ha azok egyenes vonalban és a repülőkkel egy magasságban repülnek? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: D

93

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4)Kulcsszavak: Helymeghatározás koordináta-rendszerben

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy koordináta-rendszerben két pontot összekötő szakasz és négy adott egyenes metszéspontjait kell vizsgálnia.



Nehézségi szint 4


Pontozás 0 0 0 1 0 0 –

617 17

51

010

0

20

40

60

80

100


-0,15 -0,19 -0,19

0,42

-0,02-0,11

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 58,0 0,44 1. szint 14,3 0,55


Város 48,2 0,27 3. szint 39,6 0,34

Község 45,9 0,31 4. szint 57,1 0,335. szint 71,4 0,32

6. szint 83,3 0,49

7. szint 92,4 0,57

94

MATEMATIKA


92/64. FELADAT: ORIGAMI MM21701

Origami

Csilla egy origamikönyvben lévő alakzatot hajtogat. A könyv utasítása szerint úgy kell összehajtani a papírt, hogy kihajtogatás után a következő hajtásvonalak legyenek láthatók rajta.

Melyik lehet az ÖSSZEHAJTOGATOTT papír képe? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

A B C D

MM21701

JAVÍTÓKULCS

Origami

MM21701

Melyik lehet az ÖSSZEHAJTOGATOTT papír képe? Satírozd be a helyes ábra betűjelét!

Helyes válasz: B

95

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.3)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.3)Kulcsszavak: Térbeli transzformációk

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak megadott ábrák közül kell felismernie a segédvonalakkal megadott transzformáció eredményét.



Nehézségi szint 1


Pontozás 0 1 0 0 0 0 –

12

84

1 2 0 10

20

40

60

80

100


-0,26

0,32

-0,11 -0,08 -0,03 -0,08

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 87,9 0,30 1. szint 55,1 0,71


Város 83,6 0,21 3. szint 83,5 0,25

Község 81,0 0,26 4. szint 90,0 0,19

5. szint 93,3 0,21

6. szint 96,8 0,21

7. szint 98,5 0,28

96

MATEMATIKA


93/65. FELADAT: KUSZKUSZ MM05901Kuszkusz

Gergő egy arab eredetű ételt, kuszkuszt készít. A kuszkusz dobozán a következő olvasható: egy adag elkészítéséhez 120 g kuszkusz szükséges.

Hány egész adag kuszkusz készíthető a teljes doboz felhasználásával, ha annak tartalma 500 g? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 1

B 2

C 4

D 5

E 8

MM05901

http

://ve

geta

r.hu/

mai

limag

e/N

ov_2

1_/k

uszk

usz.

jpg

JAVÍTÓKULCS

Kuszkusz

MM05901

Hány egész adag kuszkusz készíthető a teljes doboz felhasználásával, ha annak tartalma 500 g? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

97

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.3)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4)Kulcsszavak: Arányszámítás 1-hez viszonyítva

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak arányszámítást kell elvégeznie 1-hez viszonyítva.



Nehézségi szint 1


Pontozás 0 0 1 0 0 0 0 –

0 3

92

3 0 0 10

20

40

60

80

100


-0,09-0,19

0,31

-0,17-0,11

-0,02-0,08

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 94,0 0,21 1. szint 68,6 0,65


Város 91,9 0,15 3. szint 92,7 0,20

Község 89,0 0,21 4. szint 96,5 0,13

5. szint 98,0 0,12

6. szint 99,3 0,10

7. szint 99,7 0,15

98

MATEMATIKA


94/66. FELADAT: MÉHKAPTÁR MM15901Méhkaptár

Egy méhekkel foglalkozó kutatócsoport a kaptárban lévő lép egyes sejtjeinek megjelöléséhez speciális koordináta-rendszert használ a következő ábrán látható módon.

(0; 0) (1; 0) (2; 0) (3; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(0; 3) (1; 3)

sejtek

MéhkaptárAdd meg a szürkével jelölt sejt koordinátáit!

Koordináták: ( ; )

MéhkaptárA (8; 4) sejt BAL ALSÓ fala megroncsolódott, a sérülés érintheti az ezzel a fallal szomszédos sejtet is. Melyik ez a sejt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A (7; 3)

B (7; 4)

C (7; 5)

D (8; 3)

E (8; 5)

MM15902

MM15901

Méhkaptár


(0; 0) (1; 0) (2; 0) (3; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(0; 3) (1; 3)

sejtek




A (7; 3)

B (7; 4)

C (7; 5)

D (8; 3)

E (8; 5)

MM15902

MM15901

JAVÍTÓKULCS

Méhkaptár

MM15901

Add meg a szürkével jelölt sejt koordinátáit!

Megj.: Elsőként azt a választ vizsgáljuk, amit a tanuló a kijelölt helyre írt. Ha ott nem található válasz, meg kell vizsgálni, nem szerepel-e máshol (például a szürkére színezett sejtben) egyértelműen megadott válasz.

1-es kód: (3; 2). Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló az ábrán adta meg a helyes koordinátákat – amennyiben a kijelölt helyre nem írt semmit.Tanulói példaválasz(ok):• (3,2 ; ) [A tanuló az első koordináta helyére írta be mindkét koordinátát.]• (03; 02) [Két karakterrel írta le a jó koordinátákat.]

0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• (2; 3) [A tanuló fordított sorrendben adta meg a koordinátákat.]• (3,0; 0,2)• (1; 1,0)• (0; 3)• (8; 5)• (3; 3)• (2,2; )• (3, 2; 0 )

Lásd még: X-es és 9-es kód.

MM15902

Melyik ez a sejt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

99

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1)Kulcsszavak: Koordináta-rendszer

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy nem szokványos, hatszög hálójú koordináta-rendszerben kell megadnia az egyik mező koordinátáit.



Nehézségi szint 3


Pontozás 0 1 0 –

24

68

8

0

20

40

60

80

100


-0,26

0,43

-0,33

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 75,2 0,36 1. szint 23,4 0,65


Város 67,3 0,24 3. szint 63,1 0,37

Község 62,5 0,31 4. szint 78,2 0,26

5. szint 86,7 0,25

6. szint 91,8 0,36

7. szint 96,4 0,48

100

MATEMATIKA


95/67. FELADAT: MÉHKAPTÁR MM15902

Méhkaptár


(0; 0) (1; 0) (2; 0) (3; 0)

(0; 1)

(0; 2)

(0; 3) (1; 3)

sejtek




A (7; 3)

B (7; 4)

C (7; 5)

D (8; 3)

E (8; 5)

MM15902

MM15901

JAVÍTÓKULCS

Méhkaptár

MM15901

Add meg a szürkével jelölt sejt koordinátáit!

Megj.: Elsőként azt a választ vizsgáljuk, amit a tanuló a kijelölt helyre írt. Ha ott nem található válasz, meg kell vizsgálni, nem szerepel-e máshol (például a szürkére színezett sejtben) egyértelműen megadott válasz.

1-es kód: (3; 2). Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló az ábrán adta meg a helyes koordinátákat – amennyiben a kijelölt helyre nem írt semmit.Tanulói példaválasz(ok):• (3,2 ; ) [A tanuló az első koordináta helyére írta be mindkét koordinátát.]• (03; 02) [Két karakterrel írta le a jó koordinátákat.]

0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• (2; 3) [A tanuló fordított sorrendben adta meg a koordinátákat.]• (3,0; 0,2)• (1; 1,0)• (0; 3)• (8; 5)• (3; 3)• (2,2; )• (3, 2; 0 )

Lásd még: X-es és 9-es kód.

MM15902

Melyik ez a sejt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

101

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1)Kulcsszavak: Koordináta-rendszer, irányok

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy nem szokványos, hatszög hálójú koordináta-rendszerben kell megadnia egy irányokkal megjelölt mező koordinátáit.



Nehézségi szint 7


Pontozás 1 0 0 0 0 0 0 –

28 23

8

28

71 5

0

20

40

60

80

100


0,29

-0,09-0,21

0,05

-0,11-0,01

-0,13

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 33,1 0,39 1. szint 10,3 0,47


Város 26,5 0,24 3. szint 18,9 0,27

Község 23,6 0,28 4. szint 29,6 0,31

5. szint 41,3 0,40

6. szint 50,0 0,67

7. szint 59,3 1,37

102

MATEMATIKA


96/68. FELADAT: FUTÓEDZÉS MM05401Futóedzés

Kitti amatőr hosszútávfutó, az edzéseken 6 perc alatt tesz meg egy kilométert.

FutóedzésKitti hétfőn 6.00-kor kezdi az edzést. Az edzésterve szerint egyenletes tempóban fut 15 km-t. Várhatóan mikor fejezi be a futást Kitti? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 6.15-kor

B 6.90-kor

C 7.30-kor

D 7.50-kor

E 15.00-kor

FutóedzésAz edzésen egy 2400 m hosszú pályán fut a nyíllal jelölt irányban, ahogy azt a következő ábra mutatja.

Start

Futásirány

Jelöld vonallal az ábrán, hol fejezi be Kitti a 15 km-es futást! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges!

FutóedzésKitti edzőpartnere, Zsófi 5,5 perc alatt tesz meg egy kilométert. Egyik nap együtt edzenek, mindketten 9 km-t futnak. Egyszerre kezdenek el futni saját tempójukban.

Hány perccel előzi meg Kittit Zsófi a 9 km-en? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 0,5 perccel

B 4,5 perccel

C 5 perccel

D 5,5 perccel

MM05401

MM05402

MM05403

Futóedzés



A 6.15-kor

B 6.90-kor

C 7.30-kor

D 7.50-kor

E 15.00-kor


Start

Futásirány




A 0,5 perccel

B 4,5 perccel

C 5 perccel

D 5,5 perccel

MM05401

MM05402

MM05403

JAVÍTÓKULCS

Futóedzés

MM05401

Várhatóan mikor fejezi be a futást Kitti? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

MM05402


Megj.: A kódolás sablon segítségével történik. A tanuló által megjelölt hely alapján kell dönteni a válasz helyességéről (függetlenül at-tól, hogy számítások látszódnak-e vagy sem, jók-e a számítások vagy nem). A vonalak vastagságát, hosszúságát nem kell vizsgálni. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem vonallal jelölte a futás végét, hanem vala-milyen más egyértelmű jelölést alkalmazott. Ha a tanuló a vonallal jelölt meg pontot, akkor azt kell vizsgálni. Ha a tanuló vonallal jelölte a pontot, akkor annak a görbével való metszéspontját, ha X-szel jelölte a pontot, akkor annak a középpontját vizsgáljuk, ha a nyíllal jelezte futás végét, akkor a nyílhegy végét kell vizsgálni, minden más esetben a jelölésnek teljes terjedelmével a megadott tartományban kell lennie. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és nem derül ki egyértelműen, melyik a végleges válasz (pl. áthúzta a rosszakat vagy odaírta, hogy melyik a jó stb.), akkor a választ 0-s kóddal értékeljük. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és minden bejelölt pont az elfogadható tartomá-nyon belül van, akkor a választ 1-es kóddal kell értékelni. Ha a tanuló több pontot is megjelölt és rajzolt olyat, amelyik nem metszi a futópályát, azt nem vesszük figyelembe. Ha a tanuló több pontot is megjelölt és azokról egyértelműen kiderül (pl. odaírta mel-lé az értékeket), hogy azok csak segédpontok (pl. 1200 m-nél, 600 m-nél), akkor azokat nem vizsgáljuk. Ha tanuló felekre vagy negyedekre osztotta az ábrát, akkor az önmagában még nem számít jelölésnek (lásd 1-es kód 5., 7. és 8., illetve a 0-s kód 10. példaválasz), az ezen felüli jelölését kell vizsgálni.

103

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.4)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4)Kulcsszavak: Műveletsor, számolás idővel

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy műveletsor eredményével kell idővel kapcsolatos számítást elvé-geznie.



Nehézségi szint 3


Pontozás 0 0 1 0 0 0 0 -

3

15

77

4 1 0 10

20

40

60

80

100


-0,19-0,30

0,44

-0,18-0,11

-0,03 -0,07

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 83,1 0,35 1. szint 38,3 0,79


Város 75,3 0,22 3. szint 68,9 0,32

Község 70,3 0,26 4. szint 87,3 0,24

5. szint 95,4 0,17

6. szint 98,7 0,13

7. szint 99,7 0,14

104

MATEMATIKA


97/69. FELADAT: FUTÓEDZÉS MM05402

Futóedzés



A 6.15-kor

B 6.90-kor

C 7.30-kor

D 7.50-kor

E 15.00-kor


Start

Futásirány




A 0,5 perccel

B 4,5 perccel

C 5 perccel

D 5,5 perccel

MM05401

MM05402

MM05403

JAVÍTÓKULCS

Futóedzés

MM05401

Várhatóan mikor fejezi be a futást Kitti? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: C

MM05402


Megj.: A kódolás sablon segítségével történik. A tanuló által megjelölt hely alapján kell dönteni a válasz helyességéről (függetlenül at-tól, hogy számítások látszódnak-e vagy sem, jók-e a számítások vagy nem). A vonalak vastagságát, hosszúságát nem kell vizsgálni. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem vonallal jelölte a futás végét, hanem vala-milyen más egyértelmű jelölést alkalmazott. Ha a tanuló a vonallal jelölt meg pontot, akkor azt kell vizsgálni. Ha a tanuló vonallal jelölte a pontot, akkor annak a görbével való metszéspontját, ha X-szel jelölte a pontot, akkor annak a középpontját vizsgáljuk, ha a nyíllal jelezte futás végét, akkor a nyílhegy végét kell vizsgálni, minden más esetben a jelölésnek teljes terjedelmével a megadott tartományban kell lennie. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és nem derül ki egyértelműen, melyik a végleges válasz (pl. áthúzta a rosszakat vagy odaírta, hogy melyik a jó stb.), akkor a választ 0-s kóddal értékeljük. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és minden bejelölt pont az elfogadható tartomá-nyon belül van, akkor a választ 1-es kóddal kell értékelni. Ha a tanuló több pontot is megjelölt és rajzolt olyat, amelyik nem metszi a futópályát, azt nem vesszük figyelembe. Ha a tanuló több pontot is megjelölt és azokról egyértelműen kiderül (pl. odaírta mel-lé az értékeket), hogy azok csak segédpontok (pl. 1200 m-nél, 600 m-nél), akkor azokat nem vizsgáljuk. Ha tanuló felekre vagy negyedekre osztotta az ábrát, akkor az önmagában még nem számít jelölésnek (lásd 1-es kód 5., 7. és 8., illetve a 0-s kód 10. példaválasz), az ezen felüli jelölését kell vizsgálni.

105

8. ÉVFOLYAM


1-es kód: A tanuló a következő ábrán látható elfogadható tartományon belül jelölt meg egy pon-tot (beleértve a határvonalakat is). Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor csak egy jelölés látható a megfelelő tartományban és 600 m-nek megfelelő felirat tartozik hozzá.

Start

Futásirány

Elfogadható tartomány

Számítás: 15 km = 15 000 m 15 000 : 2400 = 6,25 → negyedkörnél lesz a végeTanulói példaválasz(ok):•

Start

Futásirány

[Az X mellett egy nyilat is rajzolt, de a nyíl nem is érinti a futópályát, ezért ettől eltekintünk.]

•

Start

Futásirány

1200 m

6 kör + 600 m

[A tanuló (segéd)pontot is megjelölt, de kiderül, hogy melyik a végleges válasza.]

106

MATEMATIKA


•

Start

Futásirány

[A tanuló nyíllal jelölte a futás végét, a nyíl vége az elfogadható tartományba esik.]•

Start

Futásirány

1200 m

[Egyértelmű, hogy a végleges megoldás mellett egy részeredményt ábrázolt.]

•

Start

Futásirány

600 m

600 m600 m

600 m

15000 : 240015 : 2,4 = 6,25 kör

[A tanuló segédvonalakat is berajzolt, de a végleges válasz is egyértelmű, mert egy jelölés van.]

107

8. ÉVFOLYAM


•

Start

Futásirány

[A megjelölt (utolsó) szakasz vége, a pont, az elfogadható tartományba esik.]

•

Start

Futásirány

600 m

600 m600 m

600 m

15 km = 15000 m15000 : 2400 = 6,25

6 teljes kör + 0,25 kör

[Speciális eset, az ilyen típusú negyedelő vonalakat, segédvonalaknak tekintjük, így a jelölése jó helyen van.]

•

Start

Futásirány

[A függőleges felezővonalat nem tekintjük jelölésnek, alul jó helyen viszont látható a jó jelölés.]

108

MATEMATIKA


•

Start

Futásirány

6 + kör14

[A szöveggel és a jelöléssel egyértelművé válik a jelölés.]

0-s kód: Rossz válasz. Idetártoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló helyesen eljut a 6,25 körig, de a jelölés rossz vagy hiányzik. Azok a válaszok is 0-s kódat kapnak, amikor a tanuló elszámolta a körök számát és az elszámolt értéknek megfelelő jelölés nem esik a sablonon megadott elfogadható tartományba.Tanulói példaválasz(ok):• 15 km = 15 000 m 15 000 : 2400 = 6,25[Helyes számítás, de nincs jelölés.]• 15 km = 15 000 m 15 000 : 2400 = 5,7 [Az ábrán ennek megfelelő jelölés.][A jelölésnek a megadott tartományban kell lennie. Hiába helyes a művelet, számítási hibát követett el és hiába jelölte az elszámolt értéket helyesen, a jelölésnek a megadott tartomány-ban kell lennie.]•

Start

Futásirány

[A Start mellett egy kis vonal látható.]

109

8. ÉVFOLYAM


•

Start

Futásirány

100200

300400 480 600

1200

2400

m

[Sok jelölés, nem egyértelmű, melyik a végső válasza, vagy ezek csak segédvonalak.]•

Start

Futásirány

1 = 24002 = 48003 = 72004 = 96005 = 120006 = 144007 = 168008 =

[A tanuló válaszából nem derül ki, melyik a végleges. 3 vonal is látható, az egyiket X-szel áthúzta.]

•

Start

Futásirány

[A tanulónak vonallal kellett jelölnie, X-szel a javításokat kellett jelölnie. A jobb felső sarokban egy vastag vonal látható.]

110

MATEMATIKA


•

Start

Futásirány

[A tanuló több vonalat is rajzolt, nem derül ki, melyik a végleges válasz. Nem számít a vonalak vastagsága, hosszúsága sem.]

•

Start

Futásirány600 m

1200 m

1800 m1500 m

itt fejezte be

2400 m

[Nem derül ki, melyik a végleges válasza, csak segédpontokat jelölt a számértékkel együtt.]

•

Start

Futásirány

végleges

[A vonallal megjelölt szakasz kilóg az elfogadható tartományból.]

111

8. ÉVFOLYAM


•

Start

Futásirány

150

300 600

1200itt

[A tanuló a 15 km-t 150 méternek gondolja.]

•

Start

Futásirány

1800 m

600 m

1200 m

Itt fejezi be Kitti a futást

1500 m

[A tanuló a 15 km-t 1500 méternek gondolja.]

•

Start

Futásirány

[A felezővonal melletti jelölése (a jobb felső negyedben) rossz helyen van.]

112

MATEMATIKA


•

Start

Futásirány 600 m

1200 m

[Két jelölés is van.]


MM05403


Helyes válasz: B

113

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.4.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4)Kulcsszavak: Mértékegység-átváltás, műveletsor, vizuális megjelenítés

A FELADAT LEÍráSA: Mértékegység-átváltást is tartalmazó műveletsor eredményeképpen kapott osztási maradékot kell grafikusan megjeleníteni.



Nehézségi szint 5


Pontozás 0 1 0 –

51

33

17

0

20

40

60

80

100


-0,20

0,49

-0,35

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 40,0 0,43 1. szint 4,4 0,26


Város 30,7 0,25 3. szint 16,1 0,25

Község 27,6 0,30 4. szint 33,7 0,31

5. szint 57,5 0,39

6. szint 78,3 0,51

7. szint 90,6 0,66

114

MATEMATIKA


98/70. FELADAT: FUTÓEDZÉS MM05403

Futóedzés



A 6.15-kor

B 6.90-kor

C 7.30-kor

D 7.50-kor

E 15.00-kor


Start

Futásirány




A 0,5 perccel

B 4,5 perccel

C 5 perccel

D 5,5 perccel

MM05401

MM05402

MM05403

JAVÍTÓKULCS

•

Start

Futásirány 600 m

1200 m

[Két jelölés is van.]


MM05403


Helyes válasz: B

115

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Műveletsor, tizedes tört

A FELADAT LEÍráSA: A szövegben megadott információk alapján kell két műveletsor eredményét össze-hasonlítani.



Nehézségi szint 4


Pontozás 0 1 0 0 0 0 –

17

65

7 90 2

0

20

40

60

80

100


-0,27

0,39

-0,23

-0,05 -0,03 -0,08

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 72,9 0,39 1. szint 37,2 0,70


Város 64,0 0,25 3. szint 53,1 0,36

Község 59,6 0,32 4. szint 72,2 0,29

5. szint 85,4 0,27

6. szint 93,2 0,30

7. szint 98,7 0,28

116

MATEMATIKA


99/71. FELADAT: ANYAGKÉSZLET I. MM01601Anyagkészlet I.

Egy ruhakészítő négyféle anyagot vásárolt a következő táblázatban látható mennyiségben.

Anyag neve Anyag mennyisége (méter) 1 m anyag ára

Vászon 80 1500 FtSelyem 100 4900 FtPamut 180 1700 Ft

Dzsörzé 150 2900 Ft

A ruhakészítés során először a legdrágább anyagot használta fel, amíg az el nem fogyott, utána a következő legdrágábbat, és így tovább. Az első hónap végére 310 méter anyaga maradt.

Írd be a következő táblázatba, melyik anyagból mennyi maradt!

Anyag neve Maradék (méter)

Vászon

Selyem

Pamut

Dzsörzé

MM01601

117

8. ÉVFOLYAM


JAVÍTÓKULCS

Anyagkészlet I.

MM01601

Írd be a következő táblázatba, melyik anyagból mennyi maradt!

Megjegyzés: A tanuló válaszát akkor is az adott kóddal kell értékelni, ha az értékeket nem az erre kijelölt helyre, hanem az eredeti táblázatba vagy a mellé írta.

1-es kód: A tanuló helyesen töltötte ki a táblázatot a következők szerint.

Anyag neve Maradék (méter)Vászon 80Selyem 0Pamut 180

Dzsörzé 50Tanulói példaválasz(ok):

•

Anyag neve Maradék (méter)Vászon 80Selyem –Pamut 180

Dzsörzé 50

•

Anyag neve Maradék (méter)Vászon 80SelyemPamut 180

Dzsörzé 50

•

Anyag neve Maradék (méter)Vászon összesSelyem 0 mPamut összes

Dzsörzé 50 m

118

MATEMATIKA


0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok):

•


Dzsörzé 80

[Selyem 100, Dzsörzé 150, Pamut 180, Vászon 80 - ár szerint sorrendben. Az olcsób-bakból fog maradni, azaz az utolsó háromból, de a táblázatban is az utolsó három cellát töltötte ki, nem vette észre, azok más sorrendben vannak.]

•


Dzsörzé 0

[Jó maradék értékek, rossz helyre írva.]

•


Dzsörzé 130

[A tanuló az anyagmennyiség nagyságát vizsgálta az áruk helyett és a további gondolat menete helyes.]

•


Dzsörzé 150

[A három legdrágább anyagból használt fel összesen 310 m-t.]

•


Dzsörzé 150 [A táblázat két utolsó sorával számolt.]


119

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2)Kulcsszavak: Számok felbontása, műveletsor, táblázat

A FELADAT LEÍráSA: Szöveges információk és táblázat adatai alapján műveletsor elvégzése, majd táblá-zat kitöltése a műveletsor eredménye szerint.



Nehézségi szint 6


Pontozás 0 1 0 –

51

31

18

0

20

40

60

80

100


-0,16

0,43

-0,30

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 37,2 0,41 1. szint 3,3 0,29


Város 29,3 0,22 3. szint 18,4 0,30

Község 27,3 0,27 4. szint 35,0 0,30

5. szint 52,4 0,34

6. szint 64,2 0,63

7. szint 77,4 1,08

120

MATEMATIKA


100/72. FELADAT: MARATON MM09101Maraton

Egy maratoni futás szervezői megtervezték, mikorra várható a mezőny elejének, illetve végének az érkezése az útvonal kilométerpontjaihoz.

A 9:30:00-s (9 óra 30 perc 0 másodperces) tömegrajt után a mezőny vége lassan indul meg, azután a szervezők az első kilométertől kezdve egyenletes futótempóval számolnak mind a első, mind az utolsó futóknál. A táblázatban az első 10 km adatai láthatók.

Várhatóan hol tart majd a mezőny vége, amikor az eleje megérkezik a 10. kilométerhez? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 3,0 km-nél

B 3,3 km-nél

C 3,6 km-nél

D 3,9 km-nél

MM09101

Km Mezőny eleje Mezőny vége1 09:33:15 09:45:302 09:36:30 09:53:003 09:39:45 10:00:304 09:43:00 10:08:005 09:46:15 10:15:306 09:49:30 10:23:007 09:52:45 10:30:308 09:56:00 10:38:009 09:59:15 10:45:3010 10:02:30 10:53:00

JAVÍTÓKULCS

Maraton

MM09101

Várhatóan hol tart majd a mezőny vége, amikor az eleje megérkezik a 10. kilométerhez? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

121

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2)Kulcsszavak: Adatgyűjtés táblázatból

A FELADAT LEÍráSA: Táblázat megfelelő adatát kell egy másik adatsor két adata között elhelyezni.



Nehézségi szint 6


Pontozás 0 1 0 0 0 0 –

7

45

32

100

6

0

20

40

60

80

100


-0,07

0,28

-0,18-0,08

-0,02 -0,06

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 51,8 0,43 1. szint 32,0 0,67


Város 43,7 0,28 3. szint 34,4 0,36

Község 41,0 0,36 4. szint 41,9 0,30

5. szint 58,3 0,40

6. szint 80,6 0,48

7. szint 95,3 0,48

122

MATEMATIKA


101/73. FELADAT: TELJESÍTMÉNYTÚRA MM06401

Teljesítménytúra

Réka és Tünde teljesítménytúrán vett részt. A túrát a szervezők öt egyenlő szakaszra osztották, amelyek végén ellenőrző pontokat állítottak fel, ahol feljegyezték a versenyzők részidejét. A következő grafikonon Réka és Tünde időeredményei láthatók a rajttól a célig.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Rajt 1.ellenőrző pont

Cél

Idő (ó

ra)

Réka

Tünde

2.ellenőrző pont

3.ellenőrző pont

4.ellenőrző pont

Milyen időeredménnyel zárta a versenyt Tünde?

. . . . . . . . . . . . . . . óra . . . . . . . . . . . . . . . . perc

MM06401

123

8. ÉVFOLYAM



124

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Teljesítménytúra

MM06401

Milyen időeredménnyel zárta a versenyt Tünde?

1-es kód: 9 óra 30 perc Elfogadhatók a 9.25 és 9.35 perc közötti időpontok, beleértve a határo-kat is. Azokat a válaszokat is elfogadjuk, amikor a tanuló órában (9,4 és 9,6 óra közötti értékek) és/vagy percben (565 és 575 perc közötti értékek) adta meg az időeredményt.Tanulói példaválasz(ok):• 9,5 óra • 9 és fél óra • 9 óra 31 perc [Beleesik az elfogadható tartományba]• ....... óra 570 perc [Helyesen adta meg az eredményt percben.]• 9,5 óra 570 perc [Megadta helyesen az eredményt órában és percben is.]• 9:30 óra 570 perc [Megadta helyesen az eredményt az óránál órában és percben,

utána csak percben. Vesd össze: 0-s kód 14-es példaválasz]• 9 és fél óra 5 perc [Valószínűleg nem tudta felbontani az órát percre, de értéke bele-

esik a 9 óra 35 perces megengedett tartományba.]• 9:30 óra .... perc [Az órához írta a perces értéket is.]• 9 óra 0:30 perc [A perchez úgy írta be a 30-at, ahogy az órák megjelenítik a 30 percet.]

0-s kód: Más rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• 9 óra• 10 óra• 9 óra 5 perc• 9,3 óra • 8,3 óra• 8 óra 5 perc• 90 ó 30 p• 9 ó 570 p [Az eredmény rossz órában percben.]• 8 óra 30 perc [Réka idejét adta meg.]• 8,5 óra [Réka idejét adta meg.]• 8 és fél óra [Réka idejét adta meg.]• 8,5 ó 0 p [Réka idejét adta meg.]• 9,5 óra 1200 perc [Az 1200 nem az órában megadott érték helyes átváltása percre.]• 9.30 óra 558 perc [A tanuló a 9,3 órát váltotta át percre. Vesd össze: 1-es kód 5-ös és

6-os példaválasz]• 9 óra fél perc [Rossz a percben megadott érték.]• 9 óra 0,5 perc [Rossz a percben megadott érték.]• 21 óra 30 perc [A tanuló az időtartamot időpontnak értette.]• fél 10 [A tanuló az időtartamot időpontnak értette.]


125

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6)Kulcsszavak: Összefüggések leolvasása (érték)

A FELADAT LEÍráSA: Egy diagramról kell egy értéket leolvasni.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 1 0 –

21

74

5

0

20

40

60

80

100


-0,28

0,39

-0,27

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 78,9 0,33 1. szint 31,0 0,71


Város 72,8 0,26 3. szint 71,6 0,33

Község 69,3 0,30 4. szint 82,2 0,27

5. szint 88,4 0,26

6. szint 92,7 0,33

7. szint 95,6 0,47

126

MATEMATIKA


102/74. FELADAT: LEKVÁRKÉSZÍTŐ ÜZEM MM11803Lekvárkészítő üzem

Egy gyárban a beérkező gyümölcsből lekvárt készítenek.

Lekvárkészítő üzemAz elkészült lekvárt üvegekbe töltik, és tartósítószert adagolnak hozzá. Előírás szerint 1 kg lekvárhoz 10 gramm tartósítószer szükséges. Egy gép megméri az üres üveg tömegét, majd a lekvár betöltése után újra megméri a tömeget.

Mért tömegÜres üveg tömege 351 gLekvárral töltött üveg tömege 1218 g

Hány GRAMM tartósítószert kell tenni ebbe az üvegbe az előírás szerint? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gramm

MM11803

Lekvárkészítő üzem

Egy gyárban a beérkező gyümölcsből lekvárt készítenek.

Lekvárkészítő üzemAz elkészült lekvárt üvegekbe töltik, és tartósítószert adagolnak hozzá. Előírás szerint 1 kg lekvárhoz 10 gramm tartósítószer szükséges. Egy gép megméri az üres üveg tömegét, majd a lekvár betöltése után újra megméri a tömeget.

Mért tömegÜres üveg tömege 351 gLekvárral töltött üveg tömege 1218 g


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gramm

MM11803

127

8. ÉVFOLYAM


JAVÍTÓKULCS

Lekvárkészítő üzem

MM11803


Megj.: Ennél a feldatnál számolási hiba akkor sem fogadható el, ha látszik a helyesen felírt mű-veletsor. Mértékegységátváltási hiba sem fogadható el, még akkor sem, ha látszik a rossz átváltás.

1-es kód: 8,67 g vagy ennek kerekítései. Elfogadhatók tehát a 8 g, 8,5 g, 8,6 g, 8,7 g vagy 9 g érté-kek. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges.Számítás: 1218 – 351 = 867 g

1 kg = 1000 g → 10 g 867 g → x g x = 867 : 1000 ∙ 10 = 8,67 g

Tanulói példaválasz(ok):• 1215 – 351 = 867

1000 ∙ x = 867 ∙ 10 → x = 8,67 [Rossz értéket írt, de valójában a helyes értékkel számolt.]

• 1218 – 351 = 867 867 g = 0,867 kg 1 kg → 10 g 0,867 kg → 8,673 g

• 1218 – 351 = 867 0,867 · 10 = 8,67 gramm kell

• 9 [A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható.]• 1 kg lekvár: 10 g

üveg: 351 g teli üveg: 1218 g 1218 – 351 = 867 g 867 ≈ 900 g 9 gramm [A 867-et 900-ra kerekíti, ez alapján jó a 9.]

• 1218 351 = 867 8,5 gramm [8,5-re való kerekítés elfogadható.]

• 1 kg lekvár 10 g tartósítószer 351 g üres ü. 1218 g töltött ü. 1218 – 351 = 867 g lekvár az üvegben

∙ 1,15 1000 g l 10 g t

10 : 1,15 = 8,7 g

867 g l ? g t 8,7 gramm [Megfelelő számpárok arányával dolgozik, kerekítési pontatlanság.]

• 1218 – 351 = 867 g – lekvár

: 1,15 1000 g 10 g t

: 1,15

867 g 8,69 g t ≈ 8,69 gramm [Megfelelő számpárok arányával dolgozik, kerekítési pontatlanság.]

128

MATEMATIKA


• 1218 – 351 = 867 → lekvár tömege ≈ 8,67 dkg lekvárhoz 8,67 gramm tartósító kell [dkg-mal nem kellett volna számolni, azt elrontotta a tanuló, de következetesen, mert a tartósítószer grammban helyesen kijött. Mivel a dkg átváltása nem volt feladat, ezt a választ elfogadjuk.]

• 1218 - 351 = 8,67 8,67 gramm [A számításnál nem írt le minden műveletet, a pontozott vonalra leírt eredmény helyes.]


• 101000 = 0,01 kg 1 kg → 0,01 kg (tart.)

1,218 kg → 0,01218 kg 0,01218 kg tartósítószert kell belerakni.

• 1218 – 351 = 867 g lekvár 1000 g lekvár 867 g lekvár egyenes arányosság 10 g tart 86,7 g tart

• 1218 – 351 = 867• 1 kg → 10 g

1,218 kg → x g 1,218 · 10

1 = 12,18 g

12,18 g tartósítószert kell beletenni.

• 1 kg = 100 g → 10 g / · 8,67 867 g → x g x = 10 · 8,67 = 86,7 g [Mértékegységváltási hiba.]

• 1218 – 351 = 864 g lekvár 1 kg → 1 g 864 g → 8,6 g 8,6 gramm [A kivonás eredményét elszámolta.

• 1218 : 351 = 8,67 [Zavaros gondolatmenet.]• 1218 – 351 ≈ 867 g lekvár

1000 g ~ 10 g tart 867 g ~ x

x = 8671000 ∙ 10 = 8,679

867 gramm [Rossz válasz, nem derül, hogy a 8,67-ből hogyan lett 867.]


MM11805

A következő utasítások közül melyik írja le helyesen a gyárból a raktárhoz vezető útvona-lat? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: D

129

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Adatok értelmezése, arányszámítás 1-hez viszonyítva

A FELADAT LEÍráSA: Táblázat adatainak értelmezése után egy alapművelet eredményével kell elvégezni egy 1-hez viszonyított arányszámítást.



Nehézségi szint 5


Pontozás 0 1 0 –

48

3121

0

20

40

60

80

100


-0,19

0,51

-0,36

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 38,7 0,39 1. szint 2,1 0,22


Város 29,1 0,21 3. szint 13,7 0,26

Község 25,9 0,30 4. szint 31,9 0,33

5. szint 57,1 0,36

6. szint 78,8 0,56

7. szint 91,5 0,64

130

MATEMATIKA


103/75. FELADAT: LEKVÁRKÉSZÍTŐ ÜZEM MM11805 Lekvárkészítő üzemA dobozokba csomagolt lekvárosüvegeket a gyárból egy raktárba szállítják a következő ábrán látható, feketével jelölt útvonalon.

Gyár

Raktár

A következő utasítások közül melyik írja le helyesen a gyárból a raktárhoz vezető útvonalat? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A Induljon el – forduljon a második lehetőségnél jobbra – forduljon a második lehetőségnél balra – forduljon a harmadik lehetőségnél jobbra – az út végén találja a raktárt.

B Induljon el – forduljon a második lehetőségnél balra – forduljon a második lehetőségnél jobbra – forduljon a harmadik lehetőségnél jobbra – az út végén találja a raktárt.

C Induljon el – forduljon a második lehetőségnél jobbra – forduljon a második lehetőségnél jobbra – forduljon a harmadik lehetőségnél balra – az út végén találja a raktárt.

D Induljon el – forduljon a második lehetőségnél balra – forduljon a második lehetőségnél balra – forduljon a harmadik lehetőségnél jobbra – az út végén találja a raktárt.

MM11805

JAVÍTÓKULCS

• 1218 – 351 = 867 → lekvár tömege ≈ 8,67 dkg lekvárhoz 8,67 gramm tartósító kell [dkg-mal nem kellett volna számolni, azt elrontotta a tanuló, de következetesen, mert a tartósítószer grammban helyesen kijött. Mivel a dkg átváltása nem volt feladat, ezt a választ elfogadjuk.]

• 1218 - 351 = 8,67 8,67 gramm [A számításnál nem írt le minden műveletet, a pontozott vonalra leírt eredmény helyes.]


• 101000 = 0,01 kg 1 kg → 0,01 kg (tart.)

1,218 kg → 0,01218 kg 0,01218 kg tartósítószert kell belerakni.

• 1218 – 351 = 867 g lekvár 1000 g lekvár 867 g lekvár egyenes arányosság 10 g tart 86,7 g tart

• 1218 – 351 = 867• 1 kg → 10 g

1,218 kg → x g 1,218 · 10

1 = 12,18 g

12,18 g tartósítószert kell beletenni.

• 1 kg = 100 g → 10 g / · 8,67 867 g → x g x = 10 · 8,67 = 86,7 g [Mértékegységváltási hiba.]

• 1218 – 351 = 864 g lekvár 1 kg → 1 g 864 g → 8,6 g 8,6 gramm [A kivonás eredményét elszámolta.

• 1218 : 351 = 8,67 [Zavaros gondolatmenet.]• 1218 – 351 ≈ 867 g lekvár

1000 g ~ 10 g tart 867 g ~ x

x = 8671000 ∙ 10 = 8,679

867 gramm [Rossz válasz, nem derül, hogy a 8,67-ből hogyan lett 867.]


MM11805

A következő utasítások közül melyik írja le helyesen a gyárból a raktárhoz vezető útvona-lat? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: D

131

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6)Kulcsszavak: Irányok, térkép

A FELADAT LEÍráSA: Térképen adott útvonalhoz irányok megadása.



Nehézségi szint 3


Pontozás 0 0 0 1 0 0 –

7

1912

60

0 20

20

40

60

80

100


-0,16 -0,18 -0,21

0,40

-0,02-0,11

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 66,8 0,39 1. szint 20,3 0,58


Város 58,8 0,28 3. szint 53,1 0,36

Község 54,5 0,31 4. szint 67,8 0,31

5. szint 78,8 0,30

6. szint 85,7 0,48

7. szint 93,0 0,69

132

MATEMATIKA


104/76. FELADAT: IDŐJÁRÁS-ELŐREJELZÉS MM12702Időjárás-előrejelzés

A következő diagramon az őszi szünetre szóló időjárás-előrejelzés látható.

0

5

10

15

20

25

Hőmé

rsékle

t (°C

)

Hétfő

Kedd

Szer

da

Csütö

rtök

Pénte

k

Szom

bat

Vasá

rnap

Maximum-hőmérsékletMinimum-hőmérséklet

Napi hőingásnak nevezzük a napi maximum- és minimum-hőmérséklet különbségét. Melyik napra várható a legnagyobb napi hőingás? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A hétfő

B kedd

C szerda

D csütörtök

E vasárnap

MM12702

JAVÍTÓKULCS

Időjárás-előrejelzés

MM12701

Várhatóan hány fok lesz a legmagasabb minimum-hőmérséklet? Satírozd be a helyes vá-lasz betűjelét!

Helyes válasz: C

MM12702

Melyik napra várható a legnagyobb napi hőingás? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

133

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.1)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6)Kulcsszavak: Statisztikai adatgyűjtés diagramról

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy két adatsort ábrázoló diagramról kell leolvasnia, hogy a vízszintes tengely mely pontjához tartozik az adatsorok közötti legnagyobb különbség.



Nehézségi szint 1


Pontozás 1 0 0 0 0 0 0 –

91

3 3 2 1 0 10

20

40

60

80

100


0,38

-0,20 -0,21 -0,16-0,10

-0,04-0,10

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 93,9 0,20 1. szint 60,5 0,69


Város 90,7 0,16 3. szint 92,0 0,20

Község 87,7 0,19 4. szint 97,4 0,09

5. szint 98,9 0,08

6. szint 99,6 0,08

7. szint 100,0 0,00

134

MATEMATIKA


105/77. FELADAT: OSZTÁLYTALÁLKOZÓ MM21801Osztálytalálkozó

Az elballagott osztályok általában 4 vagy 5 évente osztálytalálkozót szerveznek.

OsztálytalálkozóEgy osztály 2013-ban ballagott el az iskolából. Megegyeztek, hogy 5 évente osztálytalálkozót szerveznek. A felsorolt évek közül melyikben fognak találkozni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 2027

B 2028

C 2029

D 2030

E 2031

OsztálytalálkozóKati néni egy 2002-ben és egy 2008-ban elballagott osztálynak is az osztályfőnöke volt. Mindkét osztály 4 évente szervez osztálytalálkozót. 2010-től kezdve hány évente kaphat Kati néni meghívást e két osztály valamelyikétől? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 2

B 3

C 4

D 5

E 6

MM21802

MM21801

Osztálytalálkozó



A 2027

B 2028

C 2029

D 2030

E 2031


A 2

B 3

C 4

D 5

E 6

MM21802

MM21801

JAVÍTÓKULCS

Osztálytalálkozó

MM21801

A felsorolt évek közül melyikben fognak találkozni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

MM21802

2010-től kezdve hány évente kaphat Kati néni meghívást e két osztály valamelyikétől? Sa-tírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

135

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.4.2)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4)Kulcsszavak: Maradékok vizsgálata

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak azt a számot kell kiválasztania, amelynek egy adott számmál való kü-lönbsége 5-tel osztható.


Becslés Standard hiba (S. H.)Standard meredekség 1178 8,4Standard nehézség 1177 10,0

Nehézségi szint 1


Pontozás 0 1 0 0 0 0 0 –

6

89

2 1 1 0 10

20

40

60

80

100


-0,21

0,34

-0,15 -0,13 -0,09-0,03

-0,11

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 91,1 0,26 1. szint 57,9 0,70


Város 88,5 0,18 3. szint 90,3 0,22

Község 85,8 0,23 4. szint 94,4 0,17

5. szint 96,2 0,15

6. szint 97,6 0,19

7. szint 99,0 0,23

136

MATEMATIKA


106/78. FELADAT: OSZTÁLYTALÁLKOZÓ MM21802

Osztálytalálkozó



A 2027

B 2028

C 2029

D 2030

E 2031


A 2

B 3

C 4

D 5

E 6

MM21802

MM21801

JAVÍTÓKULCS

Osztálytalálkozó

MM21801

A felsorolt évek közül melyikben fognak találkozni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

MM21802

2010-től kezdve hány évente kaphat Kati néni meghívást e két osztály valamelyikétől? Sa-tírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

137

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.4.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Szabály felismerése, szabálykövetés

A FELADAT LEÍráSA: Első elemével és differenciájával adott két számtani sorozat közös elemei által alko-tott sorozat differenciáját kell meghatározni.



Nehézségi szint 4


Pontozás 1 0 0 0 0 0 0 –

58

6

21

39

0 20

20

40

60

80

100


0,44

-0,16-0,24

-0,16 -0,13-0,02

-0,08

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 67,1 0,42 1. szint 22,1 0,62


Város 55,3 0,26 3. szint 45,1 0,29

Község 51,4 0,33 4. szint 63,6 0,34

5. szint 80,4 0,29

6. szint 91,9 0,34

7. szint 97,9 0,33

138

MATEMATIKA


107/79. FELADAT: TRIOMINOS MM14201

Triominos

A triominos olyan dominójáték, amely háromszög alakú lapocskákból áll, amelyeknek a sarkaira különböző számú pont van felfestve 0 és 5 között.

A játék során a játékosok a lapocskákat úgy helyezik egymás mellé, hogy az egymással érintkező csúcsokon lévő pontok száma azonos legyen. A következő ábrán egy megkezdett játék pillanatnyi állása látható.

A B C

D E F

Írd be a fenti ábrán látható üres mezőkbe azoknak az ábra melletti lapocskáknak a betűjelét, amelyek a szabály szerint odahelyezhetők!

MM14201

139

8. ÉVFOLYAM



140

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Triominos

MM14201

Írd be a fenti ábrán látható üres mezőkbe azoknak az ábra melletti lapocskáknak a betű-jelét, amelyek a szabály szerint odahelyezhetők!

Megj.: Ha a tanuló egy helyre több betűt is beírt, válaszának az a része nem elfogadható. Ha a tanuló a kijelölt helyre nem írt semmit, meg kell vizsgálni, nem alkalmazott-e más, egyértelmű jelölést a válasz megadására. Azokat a válaszokat is elfogadjuk, ami-kor a tanuló nem írt a kijelölt helyre, de valamilyen egyértelmű jelöléssel a megfelelő helyhez a megfelelő betűket rendelte. Nem fogadható el az a válasz, amikor a tanuló betűjel helyett számot írt. Ha a tanuló több betűt írt egymás fölé és nem derül ki, melyik betűt szánta végsőnek (pl. megerősítette az egyiket), az adott betű nem elfogadható.

2-es kód: Mindkét helyre helyes betűt írt a tanuló, a következő ábra szerint.

B

E


•

A B C

D E F

[Berajzolta a megfelelő pontokat ÉS az ábrák betűjelét is megadta. E két dolog együt-tes megléte már egyértelműen megadja a jó választ.]

141

8. ÉVFOLYAM


1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak az egyik helyre írt helyes betűt, a másik rossz vagy hiányzik.Tanulói példaválasz(ok):

• B

A [Csak a B betű a helyes.]

• C

E [Csak az E betű a helyes]

• B, C

E [Csak az E betű a helyes]

• B

E

C

[Az E jó, a másik B is és C is és nem derül ki egyértelműen, melyik a végső.]

0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azoka a válaszok is, amikor a tanuló berajzolta az ábrába a megfelelő számú pontot, de nem választotta ki a megfelelő betűjelet. Azok a válaszok is 0-s kódot kapnak, amikor a tanuló csak a betűk jelét karikázta be, azok betűjelét nem írta be a megfelelő négyzetbe, azaz nem derül ki, hogy melyik betű, melyik helyhez tar-tozik.Tanulói példaválasz(ok):

• C

D [Egyik betű sem megfelelő.]

142

MATEMATIKA


• A

F [Egyik betű sem megfelelő.]

• E

B

[Felcserélte a két betűt.]

• B, C

D, E [Egyik betű sem megfelelő.]

• 2

5 [Betű helyett számot írt.]

•

A B C

D E F [Nem elég, ha ábrázolja a játéklapo(ka)t.]


143

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4)Kulcsszavak: Geometriai transzformáció, elforgatás, szabály

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy szabály ismeretében geometriai transzformációkat (elforgatás) kell végrehajtania.


Becslés Standard hiba (S. H.)Standard meredekség 0,0021 0,00005Standard nehézség 1561 4,21. lépésnehézség -14 82. lépésnehézség 14 8

Nehézségi szint 4



25 25

45

4

0

20

40

60

80

100


-0,33

-0,05

0,44

-0,26

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 65,9 0,33 1. szint 18,9 0,43


Város 56,7 0,19 3. szint 48,9 0,33

Község 51,0 0,30 4. szint 65,2 0,25

5. szint 78,2 0,27

6. szint 87,3 0,33

7. szint 94,4 0,40

144

MATEMATIKA


108/80. FELADAT: KÖZÖS UDVAR MM15702

Közös udvar

Egy társasház három épülete veszi körbe azt a közös udvart, amelyet a lakók hasznosítani szeretnének vagy kertként, vagy parkolót kialakítva. Azt a tervet valósítják meg, amelyikre több lakó szavaz. A szavazatok számát az alábbi táblázat tartalmazza.

Támogatott terv A épület (48 lakó) B épület (60 lakó) C épület (92 lakó)KERT 21 szavazat 27 szavazat 71 szavazat

PARKOLÓ 27 szavazat 33 szavazat 21 szavazat

Az egyik lakó szerint a parkolót fogják megépíteni, mert a három épület közül kettőben, az A-ban és a B-ben is a parkolóra szavaztak többen. A táblázat adatai alapján MATEMATIKAI ÉRVEKKEL CÁFOLD a lakó kijelentését! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

MM15702

145

8. ÉVFOLYAM



146

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Közös udvar

MM15702

A táblázat adatai alapján MATEMATIKAI ÉRVEKKEL CÁFOLD a lakó kijelentését! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

Megjegyzés: Ha a válasz helye üres vagy a válasznál szereplő szöveges részben nem szerepelnek számok, akkor meg kell nézni a teljes oldalt, mert könnyen előfordulhat, hogy a tanuló a számításait a táblázat mellett végezte el, vagy a feladat kerete alá írta. Mivel érvelést várunk ennél a feladatnál (ellentétben azokkal a feladatokkal, ahol konkrét eredményt várunk) azok a válaszok nem fogadhatók el, amelyben helytelen módszerrel kapott értékek is szerepelnek ÉS nem egyértelmű, melyik a tanuló végső válasza/mi alapján döntött. Nem tekintjük hibának viszont, ha a helyes értékek (helyes módszer) szerepelnek a tanuló válaszában, és emellett olyan szöveges indoklást is írt, amely igaz ÖSSZEHASONLÍTÁSOKAT tartalmaz, de önmagában nem lenne elegen-dő a kertre szavazók többségének bizonyítására.

1-es kód: Az indoklásban szereplenie kell a kertre szavazók ÉS a parkolóra szavazók összesített számának (119 ÉS 81), VAGY a kertre és parkolóra szavazók száma közötti különbségének (38), VAGY a kertre szavazók ÉS az összes szavazó számának (119 ÉS 200), VAGY a parkolóra szavazók ÉS az összes szavazók számára (81 ÉS 200). A válaszból egyértelműen ki kell derüljön, hogy ezek az adatok mihez tartoznak. Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól eltérő érték csak ak-kor fogadható el helyes indoklásként, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes művelet sor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott, és a kijelen-tés értékelése a számoknak megfelelő. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor szerepelnek a megfelelő értékek, amelyek cáfolják a feladat szövegében szereplő állítást és emellett olyan magyarázat olvasható, amely igaz, de nem elégséges feltétel.Tanulói példaválasz(ok):• Összesen 119-en szavaztak a kertre a 200 szavazatból, tehát ők vannak többségben.• 119 kert, és csak 81 parkoló van, tehát inkább kertet kéne építeni.• A kertre 38-cal többen szavaztak.• 200 100%

119 100 : 200 · 119 = 59,5% a kertre szavazók aránya.• 119 > 81

kert parkoló• 119 – 81 = 38, 38 emberrel több szavazott a kertre• Parkoló: 27 + 33 + 21 = 81

Kert: 21 + 27 +71 = 119• Kert: 21 + 27 + 71 = 59

Parkoló: 27 + 33 + 21 = 81 → tényleg a parkolóra szavaztak többen. [Helyes módszer számolási hibával, az így kapott rossz eredménynek megfelelő követ-keztetést von le a tanuló.]

147

8. ÉVFOLYAM


• Azért nem a parkolót fogják megépíteni, mert A B C 21 27 71 ez így össz. 119 27 33 21 össz. 81 [A táblázatban szereplő adatokat kimásolta, a kertre és a parkolóra szavazókat helye-sen összegezte.]

• 21 + 27 + 71 = 119 27 + 33 + 21 = 81 [A táblázatban szereplő adatokat kimásolta, a kertre és a parkolóra szavazókat helye-sen összegezte.]

• A: 6-tal több szavazat B: 6-tal több szavazat ∑ 12-vel több szavazat C: 50-nel több szavazat a kertre, így többségben vannak, akik kertet akarnak [Helyes indoklás, részleteiben magyarázta meg a különbséget (12 és 50).]

• 27 + 33 + 2148 + 60 + 92 = 0,4 ∙ 100 = 40%

21 + 37 + 7148 + 60 + 92 = 0,6 ∙ 100 = 60%

Nem attól függ, hogy hol szavaztak többen. Figyelembe kell venni, hogy a különbö-ző épületekben többen, kevesebben laknak. Összeadjuk a szavazatokat és elosztjuk a lakók összegével, majd megszorozzuk 100-al, így kijön százalékosan. [Helyesen számolja a százalékot, kerekített értékeket ír.]

• Parkoló A épület 27 sz B épület 33 sz össz.: 60 sz Kert C épület 71 sz Kert A épület 21 sz B épület 27 sz össz.: 48 sz. Parkoló C épület 21 sz [Az A és B épület parkolóra szavazóit hasonlítja a C kertre szavazóival, valamint a C parkolóra szavazóit az az A és B kertre szavazóival, mindkettőben a kertre szava-zók vannak többségben és figyelembe vesz minden szavazót.]

• Kert 200 lakóból: 119 szavazat Parkoló 200 lakóból: 81 szavazat Lehet, hogy az A és B házból többen szavaztak a parkolóra, mint kertre, de a C ház-ból több mint háromszorosa szavazott a kertre, mint a parkolóra. [A szövegesen megfogalmazottak állítás ugyan nem elégséges feltétel indoklásként, a megadott számadatokkal együtt a válasz elfogadható.]

• Parkoló: 27 + 33 + 21 = 81 : 3 = 27 Kert: 21 + 27 + 71 = 119 : 3 = 39,6 Kertre szavaztak többen. [A 81 és 119 után még meghatározza, mennyien szavaztak átlagosan a két opcióra, amiből szintén jó kövekeztetésre jut.]

• Igen, viszont a C-ben 71-en szavaztak a kertre, ami az összes lakóhoz mérve 35,5% plusz a többi szavazat, az 24%, ami összesen 59,5, ami több, mint a fele, ezért a par-kolóra már seemi esély. [Helyesen számol százalékokkal. külön kiszámolja a C-ben és az A+B-ben a kertre szavazók arányát (a 200 főhöz viszonyítva).]

148

MATEMATIKA


0-s kód: Rossz válasz.Tanulói példaválasz(ok):• Nem ugyanannyian szavaztak az épületekben, úgyhogy együtt kéne nézni inkább,

és úgy a kertet akarók vannak többen!• Viszont a C épületben többen szavaztak a kertre, mint az A+ B épületben összesen a

parkolóra.• kert: 119

parkoló: 71 [A parkolóhoz megadott érték rossz.]

• A + B = 27 + 33 = 60 szavazat 71 szavazat van a parkoló ellen, ezért nem fogják megépíteni a parkolót [Nem a megfelelő adatokat hasonlítja össze, nem adja meg, hogy az összes parkolóra szavazó száma hogyan alakul az összes kertre szavazó számával a C épületet is figye-lembe véve .]

• Nem fogják feltétlen a parkolót megépíteni, mert az igaz, hogy az A és a B épületben szavaztak rá, de összesen több szavazatot kapott a kert a C épület miatt. [Csak a feladat szövegét ismételte meg.]

• Nem az számít, hogy az A + B épületben mennyien szavaztak. A + B + C a teljes szavazás, ezért nyert a kert a szavazáson 119 szavazattal. [Csak a 119 szerepel, egyébként a feladat szövegét ismétli csak meg.]

• 21 + 27 + 71 = 119 : 3 27 + 33 + 21 = 81 A < B < C 48 60 92 [Szerepelnek az elfogadható adatok, meg vannak adva az épületenkénti adatok is, így a bizonyítás nem eléggé egyértelmű.]

• 48 + 60 + 92 = 200 Kert: 119 ember A kertet lakók 23,8%-a szeretné. 119 ∙ 0,200 = 23,6 Parkoló: 81 ember A parkolót 16,2% az embereknek. 81 ∙ 0,200 = 16,2 [Ugyan megvannak a helyes részeredmények, utána helyetelen műveletet végez, rossz módszerrel számol százalékot.]

• Lehet, hogy az A és B házból többen szavaztak a parkolóra, mint kertre, de a C ház-ból több mint háromszorosa szavazott a kertre, mint a parkolóra. [A szövegesen megfogalmazott állítás igaz, de nem elégséges feltétel indoklásként. Le-hetnének olyan adatok, ahol ez igaz, mégis a parkolóra szavazók vannak összességé-ben többen.]


149

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.4)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.5)Kulcsszavak: Táblázat értelmezése, érvelés

A FELADAT LEÍráSA: A feladatban a tanulónak azt kell eldöntenie, milyen statisztikai módszert alkalmaz, amelynek helyes kiválasztása után két összeget kell összehasonlítania.



Nehézségi szint 4


Pontozás 0 1 0 –

13

4838

0

20

40

60

80

100


-0,01

0,50

-0,51-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 59,5 0,43 1. szint 6,1 0,38


Város 46,5 0,26 3. szint 34,1 0,33

Község 38,0 0,30 4. szint 55,9 0,32

5. szint 75,4 0,37

6. szint 87,1 0,39

7. szint 93,5 0,50

150

MATEMATIKA


109/81. FELADAT: HŐLÉGBALLONVERSENY MM16702

Hőlégballonverseny

Péter hőlégballonozik. Az alábbi diagram repülési magasságának a VÁLTOZÁSÁT ábrázolja 15 percenként, azaz azt mutatják az oszlopok, hány métert emelkedett vagy süllyedt az előző adathoz képest.

–250

–200

–150

–100

–50

0

50

100

150

200

0 15 30 45 60 75 90

Emelk

edés

(m)

Idő (perc)

Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis az alábbi állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld! Igaz Hamis

A hőlégballon kb. 100 métert süllyedt a 45. és a 60. perc között. I H

A hőlégballon a 75. és a 90. percben ugyanolyan magasan volt. I H

Az emelkedés kevesebb mint 75 percig tartott. I H

A 75. percben magasabban volt a hőlégballon, mint a 15. percben. I H

MM16702

JAVÍTÓKULCS

Hőlégballonverseny

MM16702

Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis az alábbi állítások közül! Válaszodat a megfe-lelő kezdőbetű besatírozásával jelöld!

Helyes válasz: HAMIS, HAMIS, IGAZ, IGAZ – ebben a sorrendben.

151

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1)Kulcsszavak: Összefüggések leolvasása diagramról, műveletsor

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy oszlopdiagramot kell értelmeznie, arról adatokat leolvasnia és azokkal egy egyszerű műveletsort elvégeznie.



Nehézségi szint 7


Pontozás 0 1 0 –

93

6 10

20

40

60

80

100


-0,21

0,30

-0,12

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 10,6 0,25 1. szint 1,9 0,23


Város 4,8 0,12 3. szint 1,3 0,07

Község 3,7 0,13 4. szint 2,7 0,10

5. szint 7,9 0,20

6. szint 23,4 0,51

7. szint 61,6 1,24

152

MATEMATIKA


110/82. FELADAT: VÉDŐOLTÁS MM17401

Védőoltás

A központi egészségügyi szolgálat influenza elleni védőoltást ajánlott fel kedvezményes áron 150 375 rászoruló számára, amit 76%-uk kért és meg is kapott. Később a nemmel válaszolókat ismét megkérdezték, hogy nem gondolták-e meg magukat, ekkor 30%-uk mégis kérte a védőoltást.

Összesen a rászorulók hány SZÁZALÉKA kapott kedvezményes áron védőoltást? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . %-a

MM17401

153

8. ÉVFOLYAM



154

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Védőoltás

MM17401

Összesen a rászorulók hány SZÁZALÉKA kapott kedvezményes áron védőoltást? Úgy dolgozz, hogy a számításaid nyomon követhetők legyenek!

Megj.: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól külön-böző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott.

2-es kód: 83,2% vagy ennek kerekítése 83%-ra vagy 84%-ra. A 83% és 84% közötti értékek (bele-értve a határokat is) számítás nélkül is elfogadhatók. Látható jó gondolatmenet és számítások mellett kerekítési pontatlanságok/számolási hiba miatt adódó, ettől eltérő értékek is elfogadhatók. Idetartoznak azok a válaszok is, amelyekben a helyes eredmény a rászorulók szá-mának felhasználásával adódott, és azok is, amelyekben nem. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: 76% kérte első körben

100–76% = 24% nem kérte első körben, de ennek a 30%-a, 24% · 0,3 = 7,2% kérte a második körben. Összesen tehát 76% + 7,2% = 83,2%.

Számítás a rászorulók számát felhasználva: 150 375 ∙ 0,76 = 114 285 150 375 – 114 285 = 36 090 36 090 ∙ 0,3 = 10 827 114 285 + 10 827 = 125 112 125 112 : 150 375 = 0,832 → 83,2%

Tanulói példaválasz(ok):• 150 375 · 0,76 = 114 285 elsőre

150 375 – 114 285 = 36 090 36 090 · 0,3 = 10 827 másodszorra összesen 125 112 150 375 = 100% 125 112 = 83,2%

• 150 375 · 0,76 = 114 285 150 375 – 114 285 = 36 090 36 090 ∙ 0,3 = 108 27 114 285 + 10 827 = 132 312 132 312 : 150 375 = 0,879 ... 9 ≈ 0,88% [Az összeadásnál számolási hiba, jó gondolatmenet.]

• 36 ∙ 0,3 = 07,2 7,2 = 30% 83,2%-a [Rossz adatot ír (24 helyett 26), de valójában a helyes adattal számol, a további gon-dolatmenet helyes.]

155

8. ÉVFOLYAM


• 100% = 150 375 1% = 150 375 : 100 = 1503,75 ≈ 1504 1503,75 ∙ 76 1504 ∙ 76 = 114 304 75% = 114 304 150 375 – 114 304 = 36 071 : 100 = 360,71 ≈ 361 ∙ 30 = 10 830 30% = 10 830 114 304 + 10 830 = 125 134 150 375 – 125 134 = 25 241 83,5% [A százalékszámítás eredményeit kerekíti.]

• 100% = 130 375 Kész: 114 285 Nem kész: 36 090 → később kész: 10 827 125 112 121 112 / 150 375 ∙ 100 = 0,832 ∙ 100 = 83,2% [A 125 112-t az utolsó osztásnál elírja, de valójában jó adattal számol, az eredmény is jó.]

• 150 375 ∙ x100 = 125 112

150 375 ∙ 76100 = 114,285

36 090 nem kért 10 827 mégis kért 83,5%-a [Helyes műveletsor, a 83,5 elfogadható érték.]

1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló a helyesen kiszámított tizedestörtet nem válatotta át százalékra, ezért válasza 0,832 vagy 0,83 vagy 0,84 VAGY 0,832% vagy 0,83% vagy 0,84%. A 0,83 és 0,84 közötti értékek (beleértve a határokat is) látható szá-mítások nélkül is elfogadhatók (százalékjellel vagy anélkül).Tanulói példaválasz(ok):• 100 – 76 = 24

0,76 + 0,24 ∙ 0,3 = 0,76 + 0,072 = 0,832 • 150 375 : 0,76 = 114 285

36 090 · 0,3 = 10 827 125 112 : 150 375 = 0,832%

0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor tanuló a 80%-ot számolás nélkül vagy rossz gondolatmenettel kapta meg.Tanulói példaválasz(ok):• 150 375 · 0,76 = 114 285

36 090 · 0,3 = 10 827 114 285 + 10 827 = 125 112 ember kapott oltást• 76% 114 285

36 090 30% 10 827 összesen 125 112 125 112 : 15 037,5 = 8,32% 100 – 8,32 = 91,68%

• 76 + 30 = 106 [A tanuló összeadta a százaléklábakat.]• 76%

+ 30% [A tanuló összeadta a százaléklábakat.] 106%

• 0,76 ∙ 0,3 = 0,228 → 22,8 [A tanuló a 76%-nak számolta ki a 30%-át, ezért válasza 22,8% vagy 23%.]

156

MATEMATIKA


• 150 375 ∙ 0,76 = 114 285 114 285 ∙ 0,3 = 34 285,5 34,285,5 : 150 375 = 0,228 [A tanuló a 76%-nak számolta ki a 30%-át, ezért válasza 0,228 vagy 0,23.]

• 150 375 100% 114 285 100% 150 375 100% x 70% x 30% 34 285,5 x

150 375 · 76100 = 114 285 114 285 · 30

100 = 34 285,5 34 285,5150 375 = 22,8 ≈ 23%

[A tanuló a 76%-nak számolta ki a 30%-át, ezért válasza 22,8% vagy 23%.]

• 100 – 6 = 24 24 : 3 = 8 84%-a [Módszertani hiba, 30% számolásánál 3-mal oszt.]

• 150 375 ∙ 0,76 = 114 286 150 375 – 119 285 = 36 090 36 090 ∙ 0,3 = 10 827 10 827 + 114 285 = 125 112 150 375 : 125 112 = 1,2 2 – 1,2 = 0,8 80%-a [A végén fordítva oszt, rossz gondolatmenet.]

• 2430 = 0,8 = 80% [Rossz gondolatmenet.]

• (26 : 100) ∙ 30 = 7 80%-a [Rossz válasz, nem látszik hogy a 80 milyen műveletsor eredménye.]


157

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.2)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Százalékérték-számítás

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak összetett százalékérték-számítási problémát kell megoldania.



Nehézségi szint 5



47

0

2330

0

20

40

60

80

100


-0,13

0,02

0,55

-0,36

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 32,0 0,36 1. szint 0,3 0,10


Város 21,2 0,19 3. szint 4,3 0,14

Község 15,2 0,23 4. szint 18,5 0,27

5. szint 48,1 0,39

6. szint 77,5 0,52

7. szint 93,6 0,53

158

MATEMATIKA


111/83. FELADAT: POHARAK MM19702Poharak

Zoli 1 dl üdítőt öntött a képen látható pohárba. Jelöld be a poháron a bele töltött folyadék szintjét! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges!

5 dl

4 dl

3 dl

2 dl

1 dl

3 dl

MM19702

159

8. ÉVFOLYAM



160

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Poharak

MM19702

Jelöld be a poháron a bele töltött folyadék szintjét!

Megjegyzés: A kódolás sablon segítségével történik. A tanuló jelölésének a tartományon belül kell lennie, a tartomány határvonalára eső válaszok még elfogadhatók. A SABLONT A 3 DL-ES JELÖLÉSHEZ ÉS SZÖVEGHEZ KELL IGAZÍTANI. Ha a tanuló csak egy kis vonallal jelölte meg a folyadék szintjét a pohár szélén, akkor azok metszéspontját kell vizsgálni, ha vonal a pohár teljes keresztmetszetén végig-halad, akkor annak teljes terjedelmével az elfogadható tartományon belül kell lennie a pohár belsejében. Ha a tanuló satírozással jelölte meg a benne lévő folyadék mennyiségét, akkor a satí-rozás felső határának TELJES TERJEDELMÉBEN az elfogadható tartományban kell lennie. Nem számít hibának, ha a tanuló meghosszabbította a 3dl jelölését. UGYANÍGY NEM SZÁMÍT HIBÁNAK, HA MEGHOSSZABBÍTJA A SZÜRKE RÉSZ FELSŐ VONA-LÁT. Ha a tanuló egyetlen vonalat jelölt be, nem kell nézni, milyen mennyiséget írt mellé, a vonal megfelelőségét kell vizsgálni. Ha a tanuló több vonalat is bejelölt és írt melléjük mennyiséget, azt a vonalat kell érté-kelni, amelyik mellé az 1 dl-t írta. Ha a tanuló több vonalat is bejelölt és írt melléjük az 1 dl-től különböző mennyiséget, ÉS egyetlen olyan vonal van, amihez nem írt semmit, akkor ezt az egyetlen vonalat nézzük. Ha a tanuló több vonalat is bejelölt és mindegyik vonal az elfogadható tartományban van, akkor a választ 1-es kóddal kell értékelni.

1-es kód: A tanuló a következő ábrán megadott elfogadható tartományban jelölte meg a folyadék-szintet.

3 dl

elfogadhatótartomány

161

8. ÉVFOLYAM



•

3 dl

•

3 dl

•

3 dl

[A 3dl-nél a jelölést meghosszabbította, az nem számít hibának, a másik jelölés jó.]

•

3 dl

2 dl

[Helyes jelölés, a dl értékétől eltekintünk - nem volt a feladat része ennek megadása.]

•

3 dl

[Nem tekintjük hibának, ha a szürke rész felső vonalát is meghosszabbította. A tanuló igazi jelölése a tartományon belül van.]

162

MATEMATIKA



•

3 dl

[Két jelölés is van az ábrán, nem egyértelmű, melyik a megoldás.]

•

3 dl

[A vonal túl vastag, nem esik bele az egész az elfogadható tartományba.]


163

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.4)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1)Kulcsszavak: Forgásszimmetrikus test térfogata

A FELADAT LEÍráSA: Egy hordó alakú test térfogatának 1/3-át kell megbecsülni és bejelölni a rajzon.



Nehézségi szint 5


Pontozás 0 1 0 –

5041

9

0

20

40

60

80

100


-0,02

0,18

-0,27

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 42,7 0,47 1. szint 28,1 0,67


Város 40,0 0,26 3. szint 35,8 0,29

Község 38,5 0,28 4. szint 40,1 0,32

5. szint 48,4 0,44

6. szint 57,4 0,64

7. szint 70,6 0,97

164

MATEMATIKA


112/84. FELADAT: EURÓÁRFOLYAM MM17701Euróárfolyam

Péter bankkártyával szokott vásárolni. Minden vásárlás után SMS-t kap a vásárlás összegéről és arról, mennyit költött összesen az adott hónapban. Péter épp külföldön tartózkodik, és egy boltban vásárol. A következő SMS-t kapja:

03.20. 11:30

Vásárlás összege: 8,5 euró. A hónapban felhasznált összeg: 53 450 Ft.

Péter megnézte az előző vásárláskor kapott SMS-ét, abban ez állt:

03.16. 16:51

Vásárlás összege: 12 560 Ft. A hónapban felhasznált összeg: 50 730 Ft.

Hány forintot számolt a bank 1 euróért, ha a két vásárlás között nem változott a számlán lévő összeg? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . forintot

MM17701

165

8. ÉVFOLYAM


JAVÍTÓKULCS

Euróárfolyam

MM17701

Hány forintot számolt a bank 1 euróért, ha a két vásárlás között nem változott a számlán lévő összeg? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

1-es kód: 320 Ft. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység meg-adása nem szükséges. Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor fogadható el, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló számításaiból egyértelműen kide-rül, hogy 1 euró 320 forintot ér, de a tanuló a válasz megadására kijelölt helyen mégis forintban adta meg a vásárlás összegét.Számítás: 53 450 – 50 730 = 2720

2720 : 8,5 = 320 Tanulói példaválasz(ok): • (53 450 – 50 730) : 8,5 = 320• 53 450 – 50 730 = 8,5x

2720 = 8,5x 320 = x 320 Ft = 1€

• 53 450 – 50 730 = 320 [Nem írta le a 8,5-del való osztást, de a helyes eredmény arra utal, hogy azzal számolt.]

• (53 450 – 50 730) : 8,5 = 320 Ft• 53 450

– 50 730 2720 8,5 = 2720 2720 : 8,5 = 320 Ft 1 euró

• 53 450 – 50 730 = 2720 : 8,5 = 340 [Számolási hiba, de látszik a helyes műveletsor.]• 320 euró forintot [Mértékegység megadása nem szükséges.]• 53 450 – 50 730 = 2720

27 200 : 85 = 320 [Jók a műveletsorok, az osztás elvégzéséhez bővítette a törtet.]• 53 450 – 50 750 = 3720

3720 : 8,5 = 37 200 : 85 = 437,6 437,6 ∙ 8,5 = 4376 ∙ 85 = 437,6 forintot [Helyes műveletsorok, de a tanuló elszámolta az egyik műveletsor eredményét. Kivonás műveletet várunk, így az aláhúzást (53450 és 50750 számok alatt) annak tekintjük.]

• 53 450 + 50 730 = 2720, azaz 8,5 2720 : 8,6 = 320-ot ért 1 euro 2720 forintot [A tanuló számításaiból egyértelműen kiderül, hogy 320 Ft-ot ért 1 euró.]

• 53 450 Ft – 50 730 Ft 2720 Ft = 8,5 euró 1 euró = 320 Ft 2720 forintot [A tanuló számításaiból egyértelműen kiderül, hogy 1 euró 320 Ft.]

166

MATEMATIKA


• 53 450 – 50 730 = 2720 27200 : 85 [A tanuló jó műveletsorokat írt fel, a műveletsor eredményét nem számította ki, az osztásnál bővítette a törtet.]

• 8,5 euró → 2720 Ft 53 450 – 50 730 = 2720 : 8,5 = 340 [A műveletsorok helyesek, az osztás eredményét elszámolta.]

0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló 8 euróval számolt 8,5 euró helyett.Tanulói példaválasz(ok):• 8,5 e 12 560 Ft

1 e ? 12 560 : 8,5 = 177,6 V: 177,6 Ft-ot ér egy euró [Rossz gondolatmenet.]

• 8,5 euró → 53 450 Ft 1 euró → 6288 Ft [A tanuló az utolsó felhasznált összeg alapján számolt.]

• 53 450 : 8,5 = 6288 Ft [A tanuló az utolsó felhasznált összeg alapján számolt.]• 53 450 – 50 730 = 2720• 350 Ft• 12 560 50 730

x 53 450 x = 13 233 forintot

• 53 450 – 50 730 : 8,5 = 47 481,8 [Módszertani hiba, az osztás eredményét vonta ki az 53 450-ből, nem jó sorrendben végezte el a műveleteket.]

• 53 450 – 50 730 = 2720 : 8 = 340 [8,5 euró helyett 8 euróval számolt, és osztóként is 8-at írt.]

• 53 450 + 50 730 : 8,5 = 104 261 12,266 forintot [Rossz gondolatmenet.]

• 50 730 53 450 2700 : 8,5 = 317 forintot [A két szám különbségénél nem látszik a művelet, ezért a 2700 nem tekinthető számolási hibának.]

• 53 450 – 50 730 = 8,5 euró 2720 / 8 = 340 [A 8,5-et kerekíti 8-ra, amit ennél a feladatnál nem tehet meg, ld. 0-s kód definíciója.]


167

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Műveletsor

A FELADAT LEÍráSA: Szövegesen megadott információk alapján műveletsor felírása és elvégzése.



Nehézségi szint 5


Pontozás 0 1 0 –

2433

43

0

20

40

60

80

100


-0,20

0,58

-0,38-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 43,6 0,41 1. szint 1,2 0,16


Város 30,8 0,23 3. szint 11,8 0,23

Község 23,6 0,27 4. szint 31,8 0,33

5. szint 65,0 0,38

6. szint 89,4 0,43

7. szint 98,1 0,37

168

MATEMATIKA


113/85. FELADAT: SZOBA MM19901Szoba

Zsófiék elköltöznek, Zsófi új szobája 2,6 m × 5,2 m-es lesz.Zsófi a szobája berendezését tervezi, ehhez lerajzolta a szoba méretarányos rajzát. Melyik ábra lehet az? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A feladat megoldásához

használhatsz vonalzót!

A

B

C

D

MM19901

JAVÍTÓKULCS

Szoba

MM19901

Melyik ábra lehet az? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A feladat megoldásához használj vonalzót!

Helyes válasz: B

169

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.2)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.2)Kulcsszavak: Méretarány nem 1-hez viszonyítva

A FELADAT LEÍráSA: Azt a téglalapot kell kiválasztani, amelynek az oldalai adott arányúak.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 1 0 0 0 0 –

11

69

132 0 5

0

20

40

60

80

100


-0,18

0,34

-0,15 -0,11-0,03

-0,15

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 73,1 0,42 1. szint 42,5 0,74


Város 67,4 0,25 3. szint 60,8 0,33

Község 66,1 0,29 4. szint 73,2 0,27

5. szint 85,4 0,24

6. szint 93,5 0,31

7. szint 97,5 0,37

170

MATEMATIKA


114/86. FELADAT: ALBÉRLET MM25001Albérlet

Rebeka és Blanka közösen bérelnek lakást. Rebeka egész hónapban ott lakik, míg Blanka egy hónapban csak 2 × 5 napot tölt ott. Az albérleti díj egy hónapra 45 000 Ft.

Az albérleti díjat úgy osztják el egymás között, hogy 20 napra csak Rebeka fizet, míg a maradék 10 napra eső díjat kétfelé osztják. Ki mennyi albérleti díjat fizet egy hónapban? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!

Rebeka albérleti díja: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ft

Blanka albérleti díja: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ft

MM25001

171

8. ÉVFOLYAM



172

MATEMATIKA


JAVÍTÓKULCS

Albérlet

MM25001

Ki mennyi albérleti díjat fizet egy hónapban? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon kö-vethetők legyenek!

Megjegyzés: Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Ha a tanuló valamelyik névhez negatív értéket írt (mert elszámolta az eredményt), akkor a választ 0-s kóddal kell értékelni.

2-es kód: Mindkét érték helyes. Rebeka albérleti díja: 37 500 Ft Blanka albérleti díja: 7500 Ft A helyes értékek látható számítások nélkül is elfogadhatók. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló mindkét értéket megadta de felcserélte őket. Jó gondolatmenet esetén ettől eltérő értékek is elfogadhatók kerekítési pontatlanságok miatt (pl. 2/3-dal való számolásnál kerekítés vagy 66%-kal való számolás miatt).Számítás: 30 nap: 45 000 Ft

10 nap: 45 000 : 3 = 15 000 20 nap: 15 000 ∙ 2 = 30 000 Blanka albérleti díja: 15 000 : 2 = 7500 Rebeka albérleti díja: 30 000 + 7500 = 37 500 Ft

Tanulói példaválasz(ok):• 10 napra: 45 000 : 3 = 15 000

Blanka: 15 000 : 2 = 7500 Rebeka: 30 000 + 7500 = 37 500 [Mindkét érték helyes.]

• Blanka: 15 000 : 2 = 7500 Rebeka: 45 000 – 7500 = 37 500 Ft

• 45 000 : 3 = 25 000 25 000 · 2,5 = 62 500 – Rebeka 25 000 · 0,5 = 12 500 – Blanka [Jó gondolatmenet, számolási hiba, azaz látható, hogy az elszámolt érték (25 000) egy helyes műveletsor eredménye, és ezzel az értékkel jól számolt tovább (akár leírta ezt a következő műveletet, akár nem).]

• Rebeka 20 napot fizet + 5 nap = 25, Blanka 5 nap 30 nap 45 000

25 nap x x = 25 · 45 00030

= 37 500 Ft (Rebeka) 45 000 – 37 500 = 7500 (Blanka)

• Rebeka: 20 teljes + 10 fél Blanka: 10 fél 1 teljes: 1500 1 fél: 750 Rebeka: 37 500, Blanka: 7500

173

8. ÉVFOLYAM


• 4500 : 30 = 1500 / nap

Rebeka: 20 nap · 1500/nap + 10 nap · 1500/nap2

= 37 500 Blanka: 45 000 Ft – 37 500 = 7500 Ft

• Rebeka: 7500 Ft Blanka: 37 500 Ft [Mindkét érték helyes, de felcserélte a két nevet.]

• 30 nap: 45 000 Ft 1 nap : 1500 20 nap: 30 000 10 nap: 15 000 - ezt közösen fizetik fele-fele Blanka: 7500 Rebeka: 30 000 + 7500 = 37 500 Ft

• 30 nap: 45 000 Ft 1 nap : 45 000 : 30 = 1800 [Ez a műveletet elszámolta, de leírta a műveletet.] 20 nap: 36 000 10 nap: 18 000 Blanka: 9000 Rebeka: 36 000 + 9000 = 45 000 Ft [Számolási hiba, az elszámolt értékhez vezető műveletsort helyesen felírta, és utána ezzel az elszámolt értékkel jó gondolatmenetet alkalmazva már helyesen számolt.]

• 45 000 Ft 100% 450 Ft 1% 29 700 Ft 15 300 Ft fele = 7650 Ft Rebeka albérleti díja: 37 350 Ft Blanka albérleti díja: 7650 Ft [Rebeka a napok 2/3-ért fizet + a fennmaradó rész felét is fizeti, a 2/3 számításánál 66%-kal végezte el a művelet.]

• 4500 : 30 = 1500 naponta 1500 ∙ 25 = 3750 Rebeka albérleti díja: 37 500 Ft Blanka albérleti díja: 7500 Ft [4500 : 30 = 1500-at írt, de az eredményből kiderül, hogy valójában 45 000-rel számolt. ezért elfogadjuk.]

• 45 000 : 30 = 1500 1500 ∙ 2 = 3000 1500 : 2= 750 Rebeka albérleti díja: 3750 Ft Blanka albérleti díja: 750 Ft [Helyes gondolatmenet. A tanuló helyesen felírta a 2/3 rész kiszámítására vonatkozó műveletsort, és a napok 1/3-ánál is látható a felezésre vonatkozó művelet, majd az elszámolt értékekkel jó gondolatmenettel számolt tovább.]

• Rebeka: 25 nap Blanka: 5 nap 25 : 5 = 5 : 1 (6) 45 000 : 6 = 7500 R: 5 ∙ 7800 = 37 500 B: 1 ∙ 7500 = 7500 Rebeka albérleti díja: 37 500 Ft Blanka albérleti díja: 7500 Ft [Helyes gondolatmenet 25 : 5, azaz 5 : 1 aránnyal számolt.]

174

MATEMATIKA


• 45 000 = 100% = 1 hónap = 30 hónap 29 700 Ft = 66% = 20 nap 14 850 Ft = 33% = 10 nap Rebeka albérleti díja: 37 125 Ft Blanka albérleti díja: 7425 Ft [Jó gondolatmenet a megfelelő százalékokkal.]

• 30 nap = 45 000 Ft 20 nap = 29 970 Ft 10 nap = 14 985 7492,5 Rebeka albérleti díja: 37 463 Ft Blanka albérleti díja: 7493 Ft [66,6%-kal számolt, majd a fennmaradó 33,3% felét számolta ki, ezekkel jól számolt tovább.]

• Rebeka: 37 485 Blanka: 7515 [45 000 · 0,666 = 29 970 45 000 – 29 970 = 15 030 15 030 : 2 = 7515]

• Rebeka: 37 575 Blanka: 7425 [45 000 · 0,67 = 30 150 45 000 – 30 150 = 14 850 14 850 : 2 = 7425]

• Rebeka: 37 350 Blanka: 7650 [45 000 · 0,66 = 29 700 45 000 – 29 700 = 15 300 15 300 : 2 = 7650]

• Rebeka: 37 125 Blanka: 7425 [45 000 · 0,66 = 29 700 29 700 : 2 = 14850 14 850 : 2 = 7425]

• Rebeka: 37 462,5 Blanka: 7492,5 [45 000 · 0,666 = 29 970 29 700 : 2 = 14985 14 985 : 2 = 7492,5]

• Rebeka: 37 687,5 Blanka: 7537,5 [45 000 · 0,67 = 30 150 30 150 : 2 = 15 075 15 075 : 2 = 7537,5]

1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak az egyik értéket adta meg helyesen (a megfelelő névnél), a másik érték hiányzik.Tanulói példaválasz(ok):• 10 nap: 15 000 → Blanka: 7500• Rebeka: 20 teljes + 10 fél = 25 nap Blanka: 10 fél = 5 nap

1 teljes nap: 1500 Ft Rebeka: 37 500 Ft [A Blankához tartozó érték nincs megadva.]

0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló az egyik értéket helyesen adta meg (a megfelelő névnél), a másik érték (nem számolási hiba miatt) rossz. Idetar-toznak azok a válaszok is, amikor a tanuló 30 nap helyett 31, 28 vagy 29 nappal számolt.Tanulói példaválasz(ok):• 10 nap: 15 000 → Blanka: 7500

Rebeka: 20 000 + 7500 = 27 500 [Rebeka albérleti díja rossz.]

175

8. ÉVFOLYAM


• Blanka albérleti díja: 7500 Ft Rebeka albérleti díja: 45 000 – 15 000 = 30 000 Ft [Rebeka albérleti díja rossz.]

• Rebeka: 27 500 Blanka: 7500 [A Blankához tartozó érték jó, a másik rossz, a rossz értékhez tartozó műveletsor nem látható.]

• 1 nap = 1500 Ft 15 · 10 = 15 000 : 2 = 7500 10 nap = 15 000 5 nap Rebeka 30 000 Ft-ot fizet 20 napra, míg közösen 15 000 Ft-ot Rebeka: 30 000 Blanka: 7500 [A Blankához tartozó érték jó, a másik rossz.]

• Blanka: 45 000 : 3 = 15 000 Rebeka: 20 000 Ft [Mindkét érték rossz.]

• Blanka: 10 000 : 2 = 5000 Rebeka: 20 000 + 5000 = 25 000 [Mindkét érték rossz.]

• 20 nap: 1500 · 20 = 30 000 Ft → Rebeka, 10 nap 1500 · 10 = 15 000 → Blanka [Mindkét érték rossz, a közösen fizetett 10 napot nem jól vette figyelembe.]

• Rebeka: 22 500 Blanka: 22 500 [Mindkét érték rossz.]

• 45 000 : 3 = 15 000 Ft → 10 nap díja 15 000 · 2 = 20 nap díja → Rebeka 15 000 : 2 = 7500 Ft V: Rebeka: 37 500 Blanka: 22 500 [A Blankához tartozó érték rossz.]

• 45 000 : 20 = 2250 45 000 : 10 = 4500 [Rossz gondolatmenet.]

• 31 nap: 45 000 Ft 1 nap: 45 000 : 31 = 1451,6 20 nap: 1451,6 ∙ 2 = 29 032 10 napra: 14 516 Blanka: 14 516 : 2 = 7258 Rebeka: 29032 + 7258 = 36 290 Ft [Jó gondolatmenet, de 31 nappal számolt 30 nap helyett.]

• 45 000 Ft : 30 = 1500 (1 nap) Rebeka 20 nap ∙ 1500 Blanka 10 nap ∙ 1500 Rebeka albérleti díja: 30 000 Ft Blanka albérleti díja: 15 000 Ft [Rossz gondolatmenet, 20, illetve 10 nappal számolt.]

176

MATEMATIKA


• egész hónap: 45 000 Ft 100% 45 000 1% 450 20% 9000 10% 4500 : 2 = 2250 Rebeka albérleti díja: 9000 Ft Blanka albérleti díja: 2250 Ft [Rossz gondolatmenet, a 20 napot 20%-nak, a 10 napot 10%-nak tekinti.]

• 20 nap Rebeka végig ott van 10 nap Blanka 2 × 5 napot van ott felezik összesen 45 000 4 hét = 1 hónap = 28 nap 1 nap 160 Ft Rebeka albérleti díja: 36 961 Ft Blanka albérleti díja: 8035 Ft [28 nappal számolt 30 nap helyett: 45 000 : 28 = 1607 1607 · 5 = 8035, 1607 · 23 = 36 961]

• 1 hónap = 45 000 100% 450 1% 20 nap Rebeka 10 nap Rebeka + Blanka 450 × 95% 25 nap R = 42 750 45 × 5% 5 nap B = 2250 Rebeka albérleti díja: 42 750 Ft Blanka albérleti díja: 2250 Ft [Rossz gondolatmenet, az 5 napot 5%-nak tekinti, a 25 napot 95%-nak.]


177

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Számok, mennyiségek aránya (nem 1-hez viszonyítva), műveletsor

A FELADAT LEÍráSA: AA tanulónak a szövegben megadott információk alapján kell egy arányszámítást, majd egy műveletsort elvégeznie.



Nehézségi szint 5



35

0

33 32

0

20

40

60

80

100


-0,22

0,00

0,56

-0,34

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 42,2 0,40 1. szint 1,2 0,16


Város 31,1 0,24 3. szint 13,0 0,23

Község 24,7 0,27 4. szint 34,9 0,34

5. szint 62,0 0,39

6. szint 84,0 0,45

7. szint 95,2 0,45

178

MATEMATIKA


115/87. FELADAT: LÉGI IRÁNYÍTÁS MM22701

Légi irányítás

Az alábbi monitoron azonos magasságban és egyforma sebességgel repülő utasszállító gépek aktuális helyzetét látjuk.

A

B

C

D

E

A légi irányító észlelte, hogy két repülő összeütközhet, ha nem változtatnak a repülési magasságukon vagy a sebességükön. Melyik ez a két repülőgép? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A A és B

B B és D

C B és E

D D és E

MM22701

JAVÍTÓKULCS

Légi irányítás

MM22701

Melyik ez a két repülőgép? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

179

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.2)Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.5)Kulcsszavak: Azonos hosszúságú szakaszok

A FELADAT LEÍráSA: Geometriai ábrán metsző egyenesek metszéspontjainak figyelembevételével kell kiválasztani az egyenlő hosszúságú szakaszokat.



Nehézségi szint 1


Pontozás 0 1 0 0 0 0 –

3

80

6 60 4

0

20

40

60

80

100


-0,16

0,32

-0,18-0,12

-0,05-0,12

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 82,7 0,32 1. szint 54,5 0,76


Város 79,2 0,22 3. szint 75,3 0,27

Község 77,9 0,29 4. szint 84,8 0,24

5. szint 92,3 0,21

6. szint 97,2 0,20

7. szint 99,1 0,22

180

MATEMATIKA


116/88. FELADAT: ERDŐS-SZÁM II. MM21201

Erdős-szám II.

Erdős Pál híres 20. századi magyar matematikus volt. Nagyon sok olyan cikke jelent meg, amelyet másokkal közösen írt. A tiszteletére a tudósok bevezették az Erdős-szám fogalmát. Ez a következő:

Erdős Pál Erdős-száma 0.• Annak az Erdős-száma 1, aki írt Erdőssel közös cikket.• Annak az Erdős-száma 2, aki nem írt Erdőssel közös cikket, de írt egy 1 Erdős-számú

szerzővel közösen.• Annak az Erdős-száma 3, aki nem írt közös cikket sem Erdőssel, sem 1 Erdős-

számúval, de írt közös cikket valamely 2 Erdős-számúval. És így tovább.A következő ábrán néhány olyan matematikus neve szerepel, akinek van Erdős-száma.

Két név akkor van összekötve, ha a két matematikus írt közös cikket.

Erdős Pál

Simonovits MiklósTurán Pál

Egerváry Jenő Lovász László

Kőnig Dénes Victor L. Klee

Katona Gyula

Erdős-szám II.Az ábra segítségével állapítsd meg, mennyi Simonovits Miklós Erdős-száma! Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 1

B 2

C 3

D 4

MM21201

Erdős-szám II.

Erdős Pál híres 20. századi magyar matematikus volt. Nagyon sok olyan cikke jelent meg, amelyet másokkal közösen írt. A tiszteletére a tudósok bevezették az Erdős-szám fogalmát. Ez a következő:

Erdős Pál Erdős-száma 0.• Annak az Erdős-száma 1, aki írt Erdőssel közös cikket.• Annak az Erdős-száma 2, aki nem írt Erdőssel közös cikket, de írt egy 1 Erdős-számú

szerzővel közösen.• Annak az Erdős-száma 3, aki nem írt közös cikket sem Erdőssel, sem 1 Erdős-

számúval, de írt közös cikket valamely 2 Erdős-számúval. És így tovább.A következő ábrán néhány olyan matematikus neve szerepel, akinek van Erdős-száma.

Két név akkor van összekötve, ha a két matematikus írt közös cikket.

Erdős Pál

Simonovits MiklósTurán Pál

Egerváry Jenő Lovász László

Kőnig Dénes Victor L. Klee

Katona Gyula

Erdős-szám II.Az ábra segítségével állapítsd meg, mennyi Simonovits Miklós Erdős-száma! Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 1

B 2

C 3

D 4

MM21201

JAVÍTÓKULCS

Erdős-szám II.

MM21201

Az ábra segítségével állapítsd meg, mennyi Simonovits Miklós Erdős-száma! Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

MM21202

Az ábrán szereplő matematikusok közül melyik írt a hét társa közül a legtöbbel közös cikket? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: E

MM21203

Melyik betű jelölheti azt a matematikust, akinek az Erdős-száma 2, és van közös cikke X-szel? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

181

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.7)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1)Kulcsszavak: Gráf, összefüggések leolvasása, élek száma

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak szövegesen megadott szabály szerinti gráfot kell értelmeznie és róla az élek számát leolvasnia.



Nehézségi szint 5


Pontozás 1 0 0 0 0 0 –

43

17 2012

08

0

20

40

60

80

100


0,50

-0,25 -0,21-0,11

-0,01-0,12

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 52,3 0,40 1. szint 10,4 0,46


Város 40,8 0,25 3. szint 24,9 0,30

Község 34,9 0,32 4. szint 44,6 0,34

5. szint 70,2 0,39

6. szint 90,0 0,30

7. szint 98,4 0,28

182

MATEMATIKA


117/89. FELADAT: ERDŐS-SZÁM II. MM21203 Erdős-szám II.A következő ábrán újabb, Erdős-számmal rendelkező matematikusok szerepelnek.

Erdős Pál

B

C

D

XA


A A jelű

B B jelű

C C jelű

D D jelű

MM21203

JAVÍTÓKULCS

Erdős-szám II.

MM21201

Az ábra segítségével állapítsd meg, mennyi Simonovits Miklós Erdős-száma! Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: A

MM21202

Az ábrán szereplő matematikusok közül melyik írt a hét társa közül a legtöbbel közös cikket? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: E

MM21203


Helyes válasz: A

183

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.7)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1)Kulcsszavak: Gráf, összefüggések ábrázolása, élek, fokszám

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak szövegesen megadott információk alapján kell egy gráf több feltétel-nek eleget tevő csúcsát megtalálnia.



Nehézségi szint 5


Pontozás 1 0 0 0 0 0 –

41

12 10

26

010

0

20

40

60

80

100


0,49

-0,22 -0,17 -0,17

-0,02-0,12

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 51,6 0,39 1. szint 13,3 0,52


Város 38,6 0,25 3. szint 22,1 0,31

Község 32,3 0,29 4. szint 40,9 0,32

5. szint 68,7 0,41

6. szint 90,0 0,38

7. szint 98,5 0,28

184

MATEMATIKA


118/90. FELADAT: KARÁCSONY MM19203Karácsony

Pali a karácsonyi sütés során megmaradt 3 tojásfehérjéből habcsókot szeretne készíteni. Az általa ismert recept szerint 4 tojásfehérjéhez 20 dkg porcukrot kell adni.

Mennyi porcukorra lesz szüksége a 3 tojásfehérjéhez? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 5 dkg

B 7 dkg

C 12 dkg

D 15 dkg

E 19 dkg

MM19203

JAVÍTÓKULCS

Karácsony

MM19203

Mennyi porcukorra lesz szüksége a 3 tojásfehérjéhez? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: D

185

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Arányszámítás nem 1-hez viszonyítva

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy nem 1-hez viszonyított arányszámítás eredményét kell meghatá-roznia.



Nehézségi szint 3


Pontozás 0 0 0 1 0 0 0 –

3 5 9

72

3 08

0

20

40

60

80

100


-0,16 -0,19-0,25

0,44

-0,15-0,03

-0,12

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 76,7 0,35 1. szint 30,3 0,72


Város 71,6 0,27 3. szint 65,3 0,34

Község 66,8 0,30 4. szint 81,1 0,24

5. szint 91,2 0,23

6. szint 97,2 0,21

7. szint 99,3 0,20

186

MATEMATIKA


119/91. FELADAT: KOCKACUKOR MM31701Kockacukor

Egy egészséges táplálkozást hirdető kampányban egy üdítőital cukortartalmát a termék mellé állított kockacukrok számával szemléltették, ahogy ez a következő ábrán látható.

57,8 g cukortartalom 17 db kockacukor

Hány darab kockacukor mutatná egy 20,4 g cukrot tartalmazó édesség cukortartalmát? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A 5

B 6

C 20

D 48

MM31701

JAVÍTÓKULCS

Kockacukor

MM31701

Hány darab kockacukor mutatná egy 20,4 g cukrot tartalmazó édesség cukortartalmát? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

187

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1)Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3)Kulcsszavak: Számok, mennyiségek aránya (nem 1-hez viszonyítva)

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy aránypárt kell felírnia és kiszámítania.



Nehézségi szint 2


Pontozás 0 1 0 0 0 0 –

8

71

93 0

8

0

20

40

60

80

100


-0,11

0,34

-0,27

-0,10-0,02

-0,10

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 74,2 0,31 1. szint 40,0 0,77


Város 71,4 0,22 3. szint 65,7 0,32

Község 67,3 0,32 4. szint 76,3 0,26

5. szint 85,9 0,28

6. szint 93,5 0,31

7. szint 97,6 0,35

188

MATEMATIKA


120/92. FELADAT: REKLÁM MM33102Reklám

Zedországban a rádióban minden kerek egész óra között (pl. 6.00 és 7.00) legfeljebb 12 perc reklám lehet. A következő ábra a reggeli adás műsorbeosztását mutatja, ahol a sorszámok a reklámok helyét jelölik.

7.00 7.05 7.55 8.00 8.15 8.20 8.45 8.50 9.00 9.05 9.45 9.50

HírekÚtra kelünk Hírek A napkérdése Délelőtti magazinÉletmód1. 2. 3. 4. 5. 6.

Zedországban módosítják a reklámtörvényt. Az új szabály szerint BÁRMELY 60 percen belül legfeljebb 12 perc reklám lehet. Észrevették, hogy egy reklámot meg kell szüntetni ahhoz, hogy a fenti műsorbeosztás megfeleljen az új szabálynak. Melyik reklámot kell megszüntetni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

A Vagy a 2., vagy a 3. reklámot.

B Vagy a 3., vagy a 4. reklámot.

C Vagy a 3., vagy az 5. reklámot.

D Vagy a 4., vagy az 5. reklámot.

MM33102

JAVÍTÓKULCS

Reklám

MM33102

Melyik reklámot kell megszüntetni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!

Helyes válasz: B

189

8. ÉVFOLYAM



Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.1.2)Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1)Kulcsszavak: Számolás idővel, sávdiagram

A FELADAT LEÍráSA: A tanulónak egy időintervallumokat ábrázoló sávdiagramon az adott feltételeknek megfelelő intervallumot kell kiválasztania.



Nehézségi szint 7


Pontozás 0 1 0 0 0 0 –

10

3726

16

011

0

20

40

60

80

100


-0,08

0,19

-0,08

0,00

-0,01-0,09

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6






Főváros 39,8 0,40 1. szint 31,1 0,71


Város 35,9 0,26 3. szint 30,2 0,32

Község 35,4 0,31 4. szint 34,7 0,31

5. szint 43,5 0,41

6. szint 59,3 0,66

7. szint 80,9 0,92

190

MATEMATIKA


191

8. ÉVFOLYAM


MELLÉKLETEK

192

MATEMATIKA


1. melléklet – A statisztikai jellemzők

A tesztelméleti paraméterekA tanulók képességeinek mérésére a teszten elért összes pontszám vagy a százalékos eredmények nem meg-felelőek. Egyrészt az elért pontszám függ a teszt nehézségétől, azaz ugyanezek a tanulók egy másik, hasonló képességeket mérő teszten akár sokkal jobb vagy gyengébb eredményeket is elérhetnek. Másrészt az összes pontszám nem lineárisan nő a tanulók képességeivel: egypontnyi különbség a kis pontszámot elérő tanulók között nem jelent ugyanakkora tudásbeli különbséget, mint egy pontszámnyi eltérés az átlagos eredményt elérők között. Ugyanígy az item nehézségének mérésére sem alkalmas az itemre adott helyes válaszok szá-ma vagy aránya. Ráadásul egy ilyen típusú pontozásnál nehéz értelmezni a tanulók képességei és az itemek nehézsége közötti összefüggéseket, hiszen nem ugyanazon a skálán mérjük őket. A tanulók képességei a pontszám vagy százalékos mérőszám növekedésével nőnek, az itemek nehézsége ezzel szemben csökken az őket megoldók számának növekedésével.

Ezért a tanulók tudásának mérésére a pszichometriában különböző képességmodelleket (Rasch-modell, kétparaméteres, illetve háromparaméteres modell) alkalmaznak a nemzetközi és a hazai gyakorlatban.1 Ezek közös tulajdonságai:

• tesztfüggetlen módon becsülhető velük a tanulók képessége, azaz egy ugyanolyan típusú, de más kérdé-seket tartalmazó teszt alapján számítva a tanulók képességeit, közel azonos eredményeket kapnánk;

• mintafüggetlenné teszik az itemek nehézségét, azaz az adott populációból új reprezentatív mintát vá-lasztva az itemek nehézsége hasonlóan alakul;

• linearizálják a képességet és az itemnehézséget, azaz egypontnyi képességkülönbség a skála minden pontján ugyanakkora mértékű tudásbeli különbséget jelez;

• közös skálára helyezik a tanuló képességét és az item nehézségét.

Ezen tulajdonságok a képességmodelleket alkalmassá teszik arra is, hogy – az azonos mérési területekre és a közös feladatok adta összekapcsolási lehetőségekre építve – közös modellben becsüljék meg a különböző évfolyamok tanulóinak képességeit. Ezt a lehetőséget kihasználva, a mérési azonosító 2008-as bevezetésé-vel és az évfolyamok közös feladatait felhasználva, a 2008. évi méréstől kezdődően új, évfolyamfüggetlen képességskálákat alkottunk.2 A tesztfüggetlen és mintafüggetlen közös skálán a 6–10. évfolyamos tanulók szövegértési képességeit, illetve matematikai eszköztudását oly módon tudjuk megadni, hogy a 6., a 8. és a 10. évfolyamos tanulók eredménye és a kétéves fejlődés is könnyen mérhetővé válik.

A tesztelméleti modellek valószínűségi modellek, azaz a tanulók képességét nem olyan határként kell elkép-zelnünk, amely egyértelműen elválasztja a számára „megoldható” itemeket a „megoldhatatlanoktól”. A ta-nuló képességétől és a feladat paramétereitől függő 0 és 1 közötti érték adja a tanuló eredményességének valószínűségét az adott feladaton.

Az általunk használt kétparaméteres modell minden tanulóhoz hozzárendel egy képességértéket (Ѳi), és ez-zel párhuzamosan minden egypontos itemhez hozzárendel két paramétert: a nehézséget (bj) és a meredek-séget (aj). A nehézség azt mutatja, hogy a képességskála mely részén helyezkedik el az item, a meredekség pedig azt, hogy az item megoldási valószínűsége milyen gyorsan növekszik a tanulók képességének növeke-désével.

1 ROBERT L. BRENNAN (ed.): Educational Measurement: Fourth Edition (ACE/Praeger Series on Higher Edu-cation). Praeger Publishers, 2006; HORVÁTH GYÖRGY: Bevezetés a tesztelméletbe. Budapest, 1993.

2 Az új skálák bevezetésének szakmai hátteréről bővebben a Változások az Országos kompetenciamérés skáláiban ismertetőben olvashatnak, amely elérhető a www.oktatas.hu weboldalon.

193

8. ÉVFOLYAM


A paraméterek ismeretében az i. tanuló eredményességének valószínűségét a j. item megoldásában a követ-kező képlet adja:

A 1. ábrán egy egypontos item megoldási valószínűségének változását láthatjuk a képesség függvényében.

–4,00 –3,46 –2,92 –2,37 –1,83 –1,29 –0,75 –0,20

0 pont elérésének valószínűsége 1 pont elérésének valószínűsége

Val

ósz

ínűs

ég

0,34 0,88 1,42 1,97 2,51 3,05 3,59

Képesség

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1. ábra: Egypontos item megoldási valószínűsége

Az item nehézsége itt az a pont, ahol a két görbe metszi egymást, azaz, ahol a tanuló sikerességének esélye 50 százalék. Egy nagyobb nehézségű, de ugyanilyen meredekséggel rendelkező item megoldási valószínűsé-gét mutató ábra az itt bemutatott ábrától annyiban különbözik, hogy a görbék jobbra csúsznak a vízszintes tengely mentén, míg egy ugyanilyen nehézségű, de ennél nagyobb meredekséggel rendelkező item esetén a metszéspont koordinátái változatlanok maradnak, a görbék meredekebbek lesznek.

A többpontos itemekhez a meredekségen és a nehézségen kívül minden 0-nál nagyobb pontszámhoz tar-tozik egy viszonylagos lépésnehézség (cjv) is. Ekkor k pont elérésének a valószínűségét a következő képlettel kapjuk:

,

ahol mj a maximális pontszám, cj0 0 és . A nehézség, bj itt is az item elhelyezkedését mutatja a

képességskálán, a cjv értékek pedig a lépések egymáshoz viszonyított nehézségét mutatják. Ezek nem feltétle-nül növekvő sorrendben követik egymást, előfordulhat, hogy a második lépés könnyebb az elsőnél. Például elképzelhető olyan item, amelyre igaz, hogy ha valaki meg tudja oldani az item egypontos részét, akkor jó eséllyel a két pontot is meg tudja szerezni. A 2. ábrán egy kétpontos item pontszámainak valószínűségeit láthatjuk a képesség függvényében.

194

MATEMATIKA


–4,00 –3,46 –2,92 –2,37 –1,83 –1,29 –0,75 –0,20

Val

ósz

ínűs

ég

0 pont valószínűsége 1 pont valószínűsége 2 pont valószínűsége

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0,34 0,88 1,42 1,97 2,51 3,05 3,59

Képesség

2. ábra: Kétpontos item megoldási valószínűsége

Többpontos itemek esetén az item nehézsége az a pont, amelyre a 0 és a maximális pontszám valószínűsé-ge megegyezik, azaz ahol a két görbe metszi egymást; a viszonylagos lépésnehézségek pedig azon pontok előjeles távolságai a nehézségtől, amelyre az adott pontszám és az eggyel kisebb pontszám elérésének való-színűsége azonos.

Feleletválasztós feladatokhoz a meredekségen és a nehézségen kívül tartozhat egy tippelési paraméter is. Az ilyen feladatoknál a tanuló akkor is adhat jó megoldást a kérdésre, ha nem tudja a jó választ, de tippeléssel a helyeset választja ki a lehetséges válaszok közül. Ennek valószínűsége az i. tanuló és a j. item esetén:gj(1–Pij(pontszám=1)), ahol gj annak a valószínűsége, hogy a tanuló helyesen tippel (függetlenül a képességeitől), (1–Pij(pontszám=1)) pedig annak a valószínűsége, hogy a tanuló nem tudja a jó választ. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az i. tanuló a j. itemre helyes választ ad:P’ij(pontszám=1) = gj(1–Pij(pontszám=1))+Pij(pontszám=1) = gj+(1–gj)Pij(pontszám=1),azaz a tanuló nem tudja a jó választ, de jól tippel, vagy a tanuló tudja a jó választ, így nincs szüksége tippelés-

re. A tippelési paraméter lehet 1a lehetséges válaszok száma , de ha a tanuló egy vagy több lehetőséget ki tud

zárni, akkor kevesebb válasz közül kell tippelnie, így a tippelési paraméter is lehet nagyobb. Ha a tippelési paraméter 0,3, az azt jelenti, hogy a tanulónak 30% esélye volt, hogy tippeléssel is jó választ adjon. Amelyik feleletválasztós feladatnál nem szerepel tippelési paraméter, ott a tippelés nem játszott nagy szerepet a fel-adat megoldásában, tekinthetjük nullának.

Összegezve az eddigieket: az általunk számított képességértékek és itemparaméterek közös, lineáris skálán helyezkednek el. Jól értelmezhető az összefüggés közöttük, tetszőleges képességű tanuló és tetszőleges para-méterekkel rendelkező item esetén megadható, hogy az adott tanuló mekkora valószínűséggel oldja meg az adott itemet.

A tanulói mérési azonosító bevezetésével a 2008-as évtől kezdődően vezettük be az évfolyamfüggetlen stan-dard képességskálákat a szövegértés, illetve a matematikai eszköztudás területén. A standard pontok a ké-pességek lineáris transzformációi. A standardizálás célja a viszonyítási pontok beállítása. Az évfolyamfüg-getlen szövegértés és matematikaskálák standardizálásánál a 2008. évi 6. évfolyamos országos átlagot 1500,

195

8. ÉVFOLYAM


a szórást 200 pontban rögzítettük a matematika és a szövegértés területén egyaránt. A 3. és 4. ábrán azt szemléltetjük, hogyan oszlanak meg a képességskálán a tanulók egy teszt esetén standardizálás előtt és után. Látható, hogy a tanulók egymáshoz viszonyított helyzete nem változik, csupán a skála cserélődik ki alattuk. Az ábrákon folytonos vonallal jelöltük az átlagot és szaggatott vonalakkal az átlagtól egyszórásnyira lévő pontokat.

Képesség

4000

3000

2000

1000

0–4 –2 0 2

Szórás = 0,9062Átlag = –0,3983N = 101 017

Tanu

lók

szám

a

3. ábra: A tanulók képességei standardizálás előtt

Szórás = 200Átlag = 1500N = 101 017

800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200Standard képességpontok

4000

3000

2000

1000

0

Tanu

lók

szám

a

4. ábra: A tanulók képességei standardizálás után

A képességpontok standardizálására az egyszerűbb összehasonlíthatóság kedvéért van szükség, hiszen több-nyire a tanulók egyes csoportjainak egymáshoz, illetve a képességek átlagához viszonyított helyzetére va-gyunk kíváncsiak, és ezek az összehasonlítások a standardizálás révén sokkal szemléletesebbé tehetők. Mivel a tanulók eloszlása a képességskálán rendszerint normális eloszlással jól közelíthető, elmondhatjuk, hogy körülbelül a tanulók fele az átlag alatt, fele az átlag felett található, és mintegy kétharmaduk van az átlag körüli, szórásnyi sugarú intervallumban. Tehát a standardizált képességskálán körülbelül a tanulók fele az országos átlag alatt és felett, kétharmada az országos átlag körüli, ±1 szórásnyi intervallumban helyezkedik el. Ezért például az 1500-as átlagú és 200-as szórású skála esetén, ha egy 6. évfolyamos tanuló 1520 pont körül teljesít, akkor kicsivel jobb képességű, mint egy átlagos 6. évfolyamos tanuló, ha pedig 1720 standard pontot ér el, akkor a 6. évfolyamos tanulók felső 20 százalékba tartozik. A 8. és 10. évfolyamos eredmények értelmezése valamivel bonyolultabb, hiszen ott figyelembe kell vennünk azt, hogy ezeken az évfolyamokon magasabb az átlageredmény, és kis mértékben a szórás is változik.

196

MATEMATIKA


Az egyes területek itemei ugyanezen transzformáció segítségével szintén elhelyezhetők a skálán, így a ta-nulók és itemek közötti jól értelmezhető viszony is megmarad, az item megoldási valószínűségére felírt képletek érvényessége nem sérül.

A 2008-as évfolyamfüggetlen skála kialakítása utáni évek mérési eredményeit az ország véletlenszerűen ki-választott kb. 170-170 6., illetve 8. évfolyamos, továbbá kb. 140 10. évfolyamos osztályában felvett változatlan és titkos tartalmú Core-teszt segítségével ugyanerre a skálára mértük. Ezzel a módszerrel az eredmények nem csak egy mérés különböző évfolyamain, de az egymást követő méréseken keresztül is egyszerűen össze-hasonlíthatók. Így ugyanannak a populációnak a 6., a 8. és a 10. évfolyamos eredménye is összevethető, akár tanulói szinten is követhető a fejlődés mértéke.

Az item nehézségi szintjeA diákok standard pontjai mellett az eredmények elemzésében fontos szerepet játszanak a szakmai és sta-tisztikai szempontok alapján meghatározott tanulói képességszintek. Az itemek nehézségi szintjei és a hoz-zájuk kapcsolódó képességszintek a képességek egyfajta hierarchiáját jelzik. Azok a tanulók, akik elérnek egy szintet, természetesen nem csupán az azon a szinten elvárható képességekkel rendelkeznek, hanem az alsóbb szintekhez tartozó képességeknek is a birtokában vannak. Így például az a tanuló, aki a harmadik szinten tel-jesít, értelemszerűen a második és az első szint követelményeinek is megfelel. Egy adott szinten lévő tanuló várhatóan a szinthez tartozó kérdéseknek legalább a felére helyes választ ad.

Fontos megérteni, hogy a képességskála folytonos, nincsenek rajta természetes osztópontok. A képesség-szintek bevezetése csupán abban segít, hogy a tanulókat képességük szerint kategóriákba sorolva meg tudjuk mondani, hogy legalább milyen képességeket tudhatnak magukénak a szintbe tartozók, és mi az, amiben elmaradnak a magasabb szinten található tanulóktól. A képességskálán meghúzott határvonalak segítségé-vel tehát meghatározható, hogy az egyes határvonalakat elért tanulók milyen képességekkel rendelkeznek. Mind a szövegértési képességük, mind a matematikai eszköztudásuk alapján hét képességszintbe soroltuk be a diákokat.3

A tanulók képességszintekbe sorolása több lépésből állt. A feladatok nehézségének megállapítása és a megol-dáshoz szükséges műveletek meghatározása után a feladatok nehézségi szintekre osztása következett. A fel-adatok nehézségskáláján (ami megegyezik a tanulók képességskálájával) hat határpontot határoztunk meg – a feladatok követelményeit is figyelembe véve –, és ezáltal az itemeket a kialakított hét szint valamelyikébe soroltuk. Az első és a hetedik szint csak egy oldalról határolt, a határpontokat tudatosan úgy határoztuk meg, hogy a többi szint intervalluma azonos hosszúságú legyen. Ezt követően egy-egy szint feladatainak megoldásához szükséges műveleteket összesítve és általánosítva meghatároztuk az adott szint követelmény-rendszerét.

A tanulók képességszintjét azon elv alapján határoztuk meg, hogy egy adott szint (pl. a 2. szint) leggyengébb tanulója várhatóan 50 százalékos eredményt érjen el az adott szintű (pl. 2. szintű) – azonos meredekségű, nehézségük szerint egyenletesen megoszló – feladatokból összeállított teszten. Tehát a tanuló szintje az a legmagasabb szint, amely szint feladatainak legalább a felét megoldaná képessége alapján. Ez az elv használ-ható a 2. szinttől a 6. szintig, de a két szélső szintnél nem, hiszen azoknál nem intervallum, hanem félegyenes tartalmazza a szint itemeit. Ezért ezekben az esetekben a tanulókra vonatkozó szint alsó határpontjának ki-számítása úgy történik, hogy a többi szint szélességét (például tanulók 2. szintjének alsó és felső határpontja közötti távolságot) mérjük fel a 2. szint alsó határától balra, illetve a 6. szint alsó határától jobbra, a képesség-skála ezen pontjai lettek a tanulók 1., illetve 7. szintjének alsó határpontjai. Ily módon a képességskálát végül

3 A szintek meghatározása a PISA 2000 vizsgálatban használt módszerrel történt.

197

8. ÉVFOLYAM


8 részre osztottuk, a hét szint mellett az 1. szinttől balra található még egy félegyenes, amely az „1. szint alatti” tanulókat tartalmazza, ők a teszten elért eredményeik alapján még az 1. szint követelményeinek sem tettek eleget. Képességeikről, ismereteik természetéről nem kaphatunk átfogó képet, tudásuk megragadásá-ra a kompetenciamérésben használt tesztfeladatok nem alkalmasak. Az 5. és 6. ábra szemléletesebb képet ad a szintek kialakításának folyamatáról, bemutatva a szövegértés és a matematika teszt képességszintjeit. Segítségével az is jól látható, hogy a szinthatárok az itemek és a tanulók esetében nem egyeznek meg, ami a tanulókra vonatkozó követelményekből természetes módon adódik.

1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint

6. szint

7. szint

7. szint5. szint1. szint alatt 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint

ITEMEK SZINTJEI

DIÁKOK SZINTJEI

19161236 1372 1508 1644 1780

184817121576144013041168 1984

Az 7. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy

két szomszédos szint alsó határa közötti

távolságot vettük alapul.




A 2–6. szintek alsó határát úgy kapjuk meg, hogy az adott itemekre vonatkozó szint intervallumának felezőpontját vesszük.

5. ábra: A szintkialakítás folyamata matematikából

1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint

6. szint

7. szint

7. szint5. szint1. szint alatt 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint

ITEMEK SZINTJEI

DIÁKOK SZINTJEI

18411141 1281 1421 1561 1701

177116311491135112111071 1911







A 2–6. szintek alsó határát úgy kapjuk meg, hogy az adott itemekre vonatkozó szint intervallumának felezőpontját vesszük.

6. ábra: A szintkialakítás folyamata szövegértésből

198

MATEMATIKA


Az egyes kódok előfordulási arányaAz eredmények feldolgozásához a nyílt végű itemekre adott válaszokat a Javítókulcsban leírtaknak megfele-lően kódoltuk, a feleletválasztós itemek esetében pedig az A, B, C, D és E válaszlehetőségeket rendre az 1, 2, 3, 4 és 5 kódokkal jelöltük. Nyomdahiba esetén „x”, nem egyértelmű válasz esetén 8-as, hiányzó válasz esetén pedig 9-es kódot alkalmaztunk.

Az adott item lehetséges kódjainak megoszlását az adott évfolyam diákjai körében minden item esetében egy ábrán szemléltetjük, amely azt mutatja, hogy a diákok hány százaléka kapta az adott kódot. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek.

Az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációjaAz egyes kódok pontbiszeriális korrelációja (angolul: point biserial correlation) az adott kód előfordulása és a képességpontok közötti korreláció.

Értékének kiszámításához egy olyan indikátorváltozót képezünk, amelynek értéke 1 azoknak a diákoknak az esetében, akik az adott kódot kapták a vizsgált itemre, és egyébként 0, majd e változó és a diákok képesség-pontja közötti hagyományos Pearson-féle korreláció a keresett pontbiszeriális korreláció az adott item adott kódjára.

A korreláció a két változó közötti lineáris kapcsolat mutatója, értéke –1 és 1 közötti, negatív abban az eset-ben, ha a két változó ellentétes irányban mozog (az egyik változó nagyobb értékei a másik változó kisebb ér-tékeivel járnak együtt), és pozitív abban az esetben, ha a két változó együtt mozog (az egyik változó nagyob b értékei a másik változó nagyobb értékeivel járnak együtt). A pontbiszeriális korreláció pozitív értéke azt mutatja tehát, hogy a jobb képességű diákok, negatív értéke pedig azt, hogy a gyengébb képességű diákok kapták inkább az adott kódot.

Egy item akkor illeszkedik a teljes teszt által mérni kívánt mögöttes szövegértési vagy matematikai képesség-skálára, ha a jó válasz pontbiszeriális korrelációja pozitív (legalább 0,2), a rossz válaszok pontbiszeriális korrelációja pedig negatív. Ez jelenti azt ugyanis, hogy a jó eredményt elért diákok nagyobb valószínűséggel oldották meg a feladatot gyengébb eredményt elért társaiknál. Többpontos feladatok vonatkozásában akko r megfelelő az item „viselkedése”, ha a kisebb pontszámot érő kódok mellett a pontbiszeriális korreláció is kisebb értéket vesz fel. Például egy kétpontos item esetében ideális esetben a 2-es kód pontbiszeriális korre-lációja nagyobb értéket vesz fel, mint az 1-es kód pontbiszeriális korrelációja, és a 0 pontot érő kódok pont-biszeriális korrelációi a legkisebbek.

Az adott item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációját az adott évfolyam diákjai körében minden item esetében egy-egy ábrán szemléltetjük. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek.

Az item százalékos megoldottsága országosan és településtípusonként, valamint az egyes tanulói képességszintekenA fenti jellemzőkön kívül táblázatos formában bemutatjuk minden egyes item esetén az item százalékos megoldottságát országosan, az egyes településtípusok esetében, valamint az egyes képességszintekhez tar-tozó diákok körében. A százalékos megoldottság mellett a becslés hibáját is feltüntettük. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek.

199

8. ÉVFOLYAM


3. ALAKZATOK, TÁJÉKOZÓDÁS (A)3.1 Síkbeli alakzatok3.1.1 geometriai tulajdonságok ismerete (pl. négyzet átlója,

háromszög szögei, szabályos és nem szabályos sokszögek szögei, átlói, kör)

3.1.2 síkbeli transzformációk: egybevágóság* (tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, elforgatás), szimmetria, hasonlóság** (arányok), minta kiegészítése

3.1.3 síkidomok kerülete, területe (pl. becslés, átdarabolás, lefedés, paraméterek közötti kapcsolat)

3.2 Térbeli alakzatok, dimenziók3.2.1 test ábrázolása (nézet, háló, alkotóelemek stb.)3.2.2 befoglaló test*** 3.2.3 térbeli transzformációk• (elforgatás, eltolás, hasonlóság, síkra

vonatkozó tükrözés••)3.2.4 testek paramétereinek és felszínének, illetve térfogatának

kapcsolata3.3 Tájékozódás3.3.1 irányok, égtájak3.3.2 látószög vizsgálata••

3.3.3 helymeghatározás koordináta-rendszerekben (pl. sakktábla, földgömb, Descartes-féle koordináta-rendszer, szintvonalas térkép)

* A tengelyes tükrözés mindhárom évfolyamon megjelenik, a többi transzformáció 6. évfolyamon csak szemlélet alapján.

** Csak a 10. évfolyamon, szemlélet alapján a 6. és a 8. évfolyamon is.*** Olyan test, amelynek minden dimenziója nagyobb egy adott térbeli alakzat megfelelő

dimenzióinál (pl. adott méretű tárgyhoz megfelelő méretű doboz kiválasztása).• Transzformációk eredményének felismerése, azonosítása szemlélet alapján.•• Szemlélet alapján.

4. STATISZTIKAI JELLEMZŐK, VALÓSZÍNŰSÉG (S)4.1 Statisztikai adatgyűjtés táblázatból/diagramról (adat leolvasás,

adat-összehasonlítás (pl. legkisebb, leg nagyobb, eltérés), adatértelmezés, adatelemzés)

4.2 Statisztikai adatábrázolás, adatok megfeleltetése (különböző formában (pl. szöveg, táblázat, diagram) megadott statisztikai adatok megjelenítése, megfeleltetése)

4.3 Statisztikai számítások (pl. átlag (számtani közép, súlyozott átlag), medián*, terjedelem, leggyakoribb elem)

4.4 Statisztikai módszerek (pl. eljárás megadása, értelmezése, alkalmazása, elemzése, szükséges adatok, statisztikai ábrázolás alapján megállapítható statisztikai jellemzők)

4.5 Valószínűség-számítás (biztos, lehetetlen, lehetséges esemé-nyek, esély, valószínűbb, kevésbé valószínű, gyakoriság, relatív gyakoriság stb.)

4.6 Kombinatorika** (összeszámlálás)4.7 Eseménygráfok (élek összeszámlálása, utak)4.8 Halmazok (halmazműveletek és tulajdonságaik)4.9 Logikai ismeretek (logikai értékek, logikai műveletek)* Csak a 8. és a 10. évfolyamon.** A 6. évfolyamon csak kis elemszámmal.

1. MENNYISÉGEK, SZÁMOK, MŰVELETEK (M)1.1 Számok1.1.1 számegyenes1.1.2 intervallum1.1.3 számok felbontása, helyi érték1.1.4 törtek (közönséges és tizedes törtek, ekvivalencia, össze-

hasonlítás, egyszerűsítés, vizuális megjelenítés stb.)1.1.5 normálalak*1.2 Számítások, műveletek1.2.1 műveletsor (pl. felírás, elvégzés, hatvány*, négyzetgyök*,

kerekítés**), számításhoz szükséges adatok1.2.2 százalékérték kiszámítása, százalékos arány – tört vagy

vizuális megjelenítés megfeleltetése1.2.3 arányszámítás – 1-hez viszonyítva1.2.4 méretarány 1-hez viszonyítva (mért vagy megadott adatok-

kal)1.2.5 számítások geometriai alakzatokkal (pl. kerület, terület,

felszín, térfogat, Pitagorasz-tétel***)1.2.6 behelyettesítés átrendezés nélkül1.3 Mérés1.3.1 skála (leolvasás, berajzolás, pl. mérleg, óra)1.3.2 mennyiségek összehasonlítása1.3.3 mértékegység-átváltás1.3.4 számolás idővel (időzóna is)1.4 Oszthatóság1.4.1 közös osztó, közös többszörös (közös osztó meghatározása,

közös többszörös meghatározása)1.4.2 maradékok vizsgálata, oszthatósági szabályok* Csak a 8. és a 10. évfolyamon.** A matematika szabályai szerint vagy a szituációnak megfelelően.*** Csak a 8. és a 10. évfolyamon.

2. HOZZÁRENDELÉSEK, ÖSSZEFÜGGÉSEK (H)2.1 Mennyiségek egymáshoz rendelése (táblázat, függvény,

diagram, gráf stb., – nem statisztikai adat)2.1.1 összefüggések leolvasása (érték, meredekség, folytatás,

értelmezés stb.)2.1.2 összefüggések ábrázolása (pl. grafikonon, gráfon), ábrázolás

vizsgálata2.1.3 hozzárendelési szabály (megadás, alkalmazás, paraméterezés,

általános képlet stb.)2.1.4 változók közötti kapcsolat2.2 Arányosság (egyenes és fordított arányosság*, olyan arányos-

sági feladatok, amelyeknél az aránypár egyik tagja sem 1) 2.2.1 számok, mennyiségek aránya (nem 1-hez viszonyítva)2.2.2 méretarány nem 1-hez viszonyítva (mért vagy megadott

adatokkal)2.2.3 százalékalap és százalékláb kiszámítása2.3 Paraméter-algebra2.3.1 formulákkal, képletekkel végzett műveletek átrendezéssel2.3.2 egyenlet, egyenlőtlenség (felírás, megoldás)2.4 Sorozatok2.4.1 szabálykövetés – következő elem meghatározása2.4.2 szabálykövetés – adott sorszámú elem meghatározása, adott

elem sorszámának meghatározása2.4.3 sorozat elemeinek összege*** Csak a 8. és a 10. évfolyamon.** Összegképlet alkalmazása nélkül is megoldható feladatok.

2. melléklet: Tartalmi területek és gondolkodási műveletek

Tartalmi területek Gondolkodási műveletek

200

MATEMATIKA


1. TÉNYISMERET ÉS EGYSZERŰ MŰVELETEK Egy tartalmi területről származó egy vagy több egyértelmű lépés végrehajtása

1.1 Egyszerű matematikai definíciók, alapfogalmak (pl. számok, műveletek, mértékegységek, geometriai alakzatok, terület) jellemzőinek felidézése. Osztályozás, halmazba sorolás ismert tulajdonság szerint (pl. matematikai objektumok csoportosítása közös tulajdonság alapján, beletartozás vizsgálata).

1.2 Adott tulajdonságú matematikai objektumok (pl. alakzatok, számok, kifejezések), valamint ekvivalens matematikai objektumok azonosítása (pl. törtek vagy százalékos arányok grafikus szemléltetése).

1.3 Műveletek eredményének felismerése (pl. nézet, tükörkép azonosítása, ismert geometriai alakzat hálójának felismerése).

1.4 Számítások, műveletek végrehajtása (alapműveletek és alapműveletek kombinációinak végrehajtása, [paraméteres] kifejezések, képletek értékének kiszámítása [átrendezés nélkül], százalékérték kiszámítása, [nem súlyozott] átlag kiszámítása, mennyiség adott arány szerinti változtatása, algebrai kifejezések egyszerűsítése, bővítése, maradékok vizsgálata, geometriai műveletek, gráfon utak, csúcsok összeszámlálása stb.).

1.5 Mérés, mértékegységek (pl. leolvasás mérőeszközökről, mértékegység-átváltás [ismert váltószámmal, pl. óra, szögperc], mérési becslések).

1.6 Adatgyűjtés leolvasással (pl. grafikonról, táblázatból, skáláról). Adott tulajdonságú adat, adatsor megtalálása, leolvasott adatokkal végzett egylépéses számítások, egylépéses számítások eredményének kikeresése.

3. KOMPLEX MEGOLDÁSOK ÉS ÉRTÉKELÉSKomplex problémák megoldásai és az eredmények értéke-lése

3.1 Komolyabb értelmezést igénylő szituációban megjelenő jel legzetességek felismerése, elemzése (pl. adatsorok, statisz tikai ábrázolások vizsgálata, elemzése), összefüggések értelmezése.

3.2 Komolyabb értelmezést igénylő szituációban többféle művelet, információ kombinálása.

3.3 Adatok, információk megjelenítése, önálló ábrázolása (táblázat-ban, diagramon, grafikonon vagy egyéb módon) az ábrázolási forma önálló megválasztásával. Ábrázolt érték alapján skála megtalálása és a további értékek ábrázolása.

3.4 Műveletek végrehajtásával nyert adatok megjelenítése, áb rázolása táblázatban, diagramon, grafikonon vagy egyéb módon.

3.5 Állítások, feltételezések, módszerek, bizonyítások igazságának, érvényességének értékelése matematikai indoklással.

3.6 Saját megoldási módszerek újszerű problémára, a módszer ismertetése.

2. ALKALMAZÁS, INTEGRÁCIÓ Ismert módszerek vagy azok kombinációjának kiválasztása és alkalmazása

2.1 Jól definiált adatok, információk megjelenítése, leolvasása, ábrázolása táblázatban, diagramon, grafikonon (adott tenge-lyek, beosztás), rajzon, gráffal stb.

2.2 Szabályok, összefüggések felismerése és ismertetése szövegesen vagy matematikai szimbólumokkal, vagy szabály felismerése és alkalmazása, szituációhoz tartozó összefüggés megadása. Döntéshozatalhoz szükséges adatok kiválasztása.

2.3 Ismert eljárások, szabályok, algoritmusok kiválasztása és alkalmazása (pl. százalékalap, százalékláb kiszámítása*, arányszámítás, jól definiált szöveges információ/paraméteres kifejezések alapján összetettebb műveletsor végrehajtása, átrendezése, Pitagorasz-tétel alkalmazása**, kombinatorikai, valószínűség-számítási módszerek alkalmazása***, egyenlet-megoldás, geometriai transzformációk végrehajtása, terület lefedése/térfogat kitöltése alakzatokkal, közös osztó, közös többszörös megtalálása, halmazműveletek alkalmazása, eligazodás gráfokon, befoglaló test megtalálása, „receptes” feladatok megoldása).

2.4 Többféle eljárás, művelet és információ kombinálása, összekapcsolása (pl. ábrázolt információk leolvasás utáni felhasználása valamilyen további problémamegoldáshoz, meg-különböztetett lapú test hálójának felismerése [pl. betűkocka], „ki-kinek-mennyivel tartozik” típusú feladatok).

* Csak a 8. és a 10. évfolyamon.** Csak a 8. és a 10. évfolyamon.*** 6. évfolyamon csak kis elemszámú problémák.

Gondolkodási műveletek

201

8. ÉVFOLYAM


3. melléklet: Az itemek jellemzői

202

MATEMATIKA


Azonosító Feladatcím Tartalmi terület Gondolkodási művelet

MM27001 Nézőtér - Hol ülhetett Marci az előadás alatt? Alakzatok, tájékozódás 3.3.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.3

MM06601 Videó megállítása - Körülbelül mennyi idő VAN MÉG HÁTRA a videóból? Hozzárendelések, összefüggések 2.2.2 Alkalmazás, integráció 2.4

MM00102 Dolgozat I. - Melyik kördiagram mutatja helyesen a dolgozatra kapott érdemjegyek... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.2 Alkalmazás, integráció 2.4

MM01401 Minta - Hogyan helyezze a lapot a nyomtatóba, ha az 1. oldal JOBB ALSÓ sarkába szeretné... Alakzatok, tájékozódás 3.2.3 Komplex megoldások és értékelés 3.1

MM05602 Ingatlan - 1. Melyik lakás 1 m2-e kerül kevesebbe? Mennyiségek, számok, műveletek 1.2.3 Alkalmazás, integráció 2.3

MM05603 Ingatlan - 2. Havonta legalább milyen értékben kell ingatlanokat eladnia, hogy legalább... Hozzárendelések, összefüggések 2.3.2 Komplex megoldások és értékelés 3.2

MM05701 Jótékonysági vásár - Hány darab süteményt adtak el a fiúk külön-külön? Mennyiségek, számok, műveletek 1.2.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4

MM09501 Étterem - Hány forintot fizetett külön-külön Kinga, Endre és Zsolt a saját ebédjéért? Mennyiségek, számok, műveletek 1.2.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4

MM10701 Kamionsofőr II. - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Hozzárendelések, összefüggések 2.1.2 Alkalmazás, integráció 2.1

MM12301 Körforgalom II. - Melyik jelzőtáblát látják a Bög felől érkezők? Alakzatok, tájékozódás 3.3.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.3

MM03101 Szerenád - Milyen sorrendben látogassák végig tanáraikat Tamásék, ha minden helyen... Mennyiségek, számok, műveletek 1.1.2 Alkalmazás, integráció 2.1

MM15402 Borultsági fok - 1. Az egész égboltot tekintve hány okta a borultsági fok? Mennyiségek, számok, műveletek 1.1.4 Alkalmazás, integráció 2.3

MM17301 Vágás - Jelöld vonallal a fenti ábra időskáláján a vágott anyag végét! Hozzárendelések, összefüggések 2.2.2 Alkalmazás, integráció 2.4

MM06002 Nappalok hossza - 1. A diagram alapján legközelebb mikor KEL FEL a nap ugyanakkor... Hozzárendelések, összefüggések 2.1.1 Alkalmazás, integráció 2.1

MM06003 Nappalok hossza - 2. Körülbelül milyen hosszú az az időszak az évben, amikor Kati... Hozzárendelések, összefüggések 2.1.1 Komplex megoldások és értékelés 3.2

MM16102 Mérleghinta II. - Melyik igaz az alábbiak közül? Alakzatok, tájékozódás 3.1.1 Alkalmazás, integráció 2.2

MM18101 Mérleg - Hány gramm a Karolina által lemért banánok együttes tömege? Mennyiségek, számok, műveletek 1.3.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.5

MM19601 Papírtáska - A fenti adatok alapján mennyibe kerül Anna rendelése, ha a legolcsóbb... Alakzatok, tájékozódás 3.2.2 Alkalmazás, integráció 2.4

MM21101 Áramszünet - MENNYI IDEIG TARTOTT az áramszünet? Mennyiségek, számok, műveletek 1.3.4 Alkalmazás, integráció 2.3

MM23101 Holland festők I. - Rajzold be, hol helyezkedne el az ábrán a hiányzó negyedik! Mennyiségek, számok, műveletek 1.1.1 Komplex megoldások és értékelés 3.3

MM23601 Phileas Fogg - Átlagosan hány kilométert kellett megtennie naponta, ha az út hossza... Mennyiségek, számok, műveletek 1.2.3 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4

MM24202 Almaárusítás II. - Melyik diagram mutatja helyesen, mennyit kerestek Jánosék... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.2 Komplex megoldások és értékelés 3.4

MM27601 Kérdőív - Hány kérdés VAN MÉG HÁTRA, ha eddig 16 kérdésre felelt? Hozzárendelések, összefüggések 2.2.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4

MM29401 Repülőtér - Melyik kapun fog kimenni Melinda, ha EU-s országból jön, nem utazik... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.7 Alkalmazás, integráció 2.3

MM33601 Régi térkép - Jelöld X-szel a MAI TÉRKÉPEN, hol állt az a ház, amelynek a címe régen... Alakzatok, tájékozódás 3.3.3 Komplex megoldások és értékelés 3.1

MM12801 Időpont-egyeztetés - 1. Ki jelölte meg a legtöbb olyan napot, amikor biztosan ráér? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6

MM12802 Időpont-egyeztetés - 2. Hány embert kell így újra megkérdezni? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.8 Alkalmazás, integráció 2.3

MM31801 Madarak vonulása - Mely légi folyosóknál kell fokozottabban figyelni a madarakra... Alakzatok, tájékozódás 3.3.3 Alkalmazás, integráció 2.4

MM21701 Origami - Melyik lehet az ÖSSZEHAJTOGATOTT papír képe? Alakzatok, tájékozódás 3.2.3 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.3

MM05901 Kuszkusz - Hány egész adag kuszkusz készíthető a teljes doboz felhasználásával, ha... Mennyiségek, számok, műveletek 1.2.3 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4

MM15901 Méhkaptár - 1. Add meg a szürkével jelölt sejt koordinátáit! Alakzatok, tájékozódás 3.3.3 Alkalmazás, integráció 2.1

MM15902 Méhkaptár - 2. Melyik ez a sejt? Alakzatok, tájékozódás 3.3.3 Komplex megoldások és értékelés 3.1

MM05401 Futóedzés - 1. Várhatóan mikor fejezi be a futást Kitti? Mennyiségek, számok, műveletek 1.3.4 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4

MM05402 Futóedzés - 2. Jelöld vonallal az ábrán, hol fejezi be Kitti a 15 km-es futást! Mennyiségek, számok, műveletek 1.4.2 Alkalmazás, integráció 2.4

MM05403 Futóedzés - 3. Hány perccel előzi meg Kittit Zsófi a 9 km-en? Mennyiségek, számok, műveletek 1.2.1 Alkalmazás, integráció 2.3

MM01601 Anyagkészlet I. - Írd be a következő táblázatba, melyik anyagból mennyi maradt! Mennyiségek, számok, műveletek 1.2.1 Komplex megoldások és értékelés 3.2

MM09101 Maraton - Várhatóan hol tart majd a mezőny vége, amikor az eleje megérkezik... Hozzárendelések, összefüggések 2.1.1 Komplex megoldások és értékelés 3.2

MM06401 Teljesítménytúra - Milyen időeredménnyel zárta a versenyt Tünde? Hozzárendelések, összefüggések 2.1.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6

MM11803 Lekvárkészítő üzem - 1. Hány GRAMM tartósítószert kell tenni ebbe az üvegbe... Hozzárendelések, összefüggések 2.2.1 Alkalmazás, integráció 2.3

MM11805 Lekvárkészítő üzem - 2. A következő utasítások közül melyik írja le helyesen... Alakzatok, tájékozódás 3.3.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6

MM12702 Időjárás-előrejelzés - 2. Melyik napra várható a legnagyobb napi hőingás? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6

MM21801 Osztálytalálkozó - 1. A felsorolt évek közül melyikben fognak találkozni? Mennyiségek, számok, műveletek 1.4.2 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4

MM21802 Osztálytalálkozó - 2. 2010-től kezdve hány évente kaphat Kati néni meghívást... Mennyiségek, számok, műveletek 1.4.2 Alkalmazás, integráció 2.3

MM14201 Triominos - Írd be a fenti ábrán látható üres mezőkbe azoknak az ábra melletti... Alakzatok, tájékozódás 3.1.2 Alkalmazás, integráció 2.4

MM15702 Közös udvar - A táblázat adatai alapján MATEMATIKAI ÉRVEKKEL CÁFOLD... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.4 Komplex megoldások és értékelés 3.5

MM16702 Hőlégballonverseny - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis az alábbi állítások közül! Hozzárendelések, összefüggések 2.1.1 Komplex megoldások és értékelés 3.1

MM17401 Védőoltás - Összesen a rászorulók hány SZÁZALÉKA kapott kedvezményes áron... Mennyiségek, számok, műveletek 1.2.2 Alkalmazás, integráció 2.3

MM19702 Poharak - Jelöld be a poháron a bele töltött folyadék szintjét! Alakzatok, tájékozódás 3.2.4 Alkalmazás, integráció 2.1

MM17701 Euróárfolyam - Hány forintot számolt a bank 1 euróért, ha a két vásárlás között... Mennyiségek, számok, műveletek 1.2.1 Alkalmazás, integráció 2.3

MM19901 Szoba - Melyik ábra lehet az? Hozzárendelések, összefüggések 2.2.2 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.2

MM25001 Albérlet - Ki mennyi albérleti díjat fizet egy hónapban? Hozzárendelések, összefüggések 2.2.1 Alkalmazás, integráció 2.3

MM22701 Légiirányítás - Melyik ez a két repülőgép? Mennyiségek, számok, műveletek 1.3.2 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.5

MM21201 Erdős-szám II. - 1. Az ábra segítségével állapítsd meg, mennyi Simonovits Miklós... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.7 Alkalmazás, integráció 2.1

MM21203 Erdős-szám II. - 3. Melyik betű jelölheti azt a matematikust, akinek az Erdős-száma 2, és... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.7 Alkalmazás, integráció 2.1

MM19203 Karácsony - Mennyi porcukorra lesz szüksége a 3 tojásfehérjéhez? Hozzárendelések, összefüggések 2.2.1 Alkalmazás, integráció 2.3

MM31701 Kockacukor - Hány darab kockacukor mutatná egy 20,4 g cukrot tartalmazó édesség... Hozzárendelések, összefüggések 2.2.1 Alkalmazás, integráció 2.3

MM33102 Reklám - Melyik reklámot kell megszüntetni? Mennyiségek, számok, műveletek 1.1.2 Komplex megoldások és értékelés 3.1

1. táblázat: Az itemek besorolása

203

8. ÉVFOLYAM


AzonosítóStandard meredekség Standard nehézség 1. lépésnehézség 2. lépésnehézség Tippelési paraméter Százalékos megoldottság –

teljes populáció

Becslés Standard hiba Becslés Standard

hiba Becslés Standard hiba Becslés Standard

hiba Becslés Standard hiba % Standard

hiba

MM27001 0,0037 0,00011 1205 8,4 88,3 0,12

MM06601 0,0017 0,00008 1411 10,7 62,7 0,16

MM00102 0,0021 0,00010 1285 16,4 75,5 0,14

MM01401 0,0018 0,00007 1843 11,7 34,7 0,13

MM05602 0,0045 0,00010 1567 3,5 54,1 0,15

MM05603 0,0059 0,00020 1925 6,1 12,0 0,10

MM05701 0,0039 0,00015 1157 10,3 87,8 0,11

MM09501 0,0031 0,00011 1275 8,9 78,7 0,15

MM10701 0,0038 0,00010 1734 4,7 34,8 0,15

MM12301 0,0036 0,00010 1319 6,2 80,1 0,12

MM03101 0,0033 0,00009 1312 6,9 79,7 0,13

MM15402 0,0041 0,00010 1566 3,8 55,3 0,15

MM17301 0,0026 0,00012 2007 14,6 17,7 0,14

MM06002 0,0033 0,00009 1362 6,0 75,2 0,12

MM06003 0,0025 0,00021 1727 21,8 0,23 0,03 53,2 0,17

MM16102 0,0042 0,00029 1804 10,0 0,33 0,01 50,1 0,16

MM18101 0,0056 0,00015 1305 4,6 85,6 0,11

MM19601 0,0044 0,00012 1867 5,9 18,7 0,13

MM21101 0,0047 0,00039 1818 10,6 0,11 0,02 30,1 0,15

MM23101 0,0032 0,00006 1751 3,5 -81 6 81 7 28,6 0,14

MM23601 0,0036 0,00012 1262 8,1 82,7 0,13

MM24202 0,0046 0,00020 1651 7,7 0,18 0,01 54,1 0,19

MM27601 0,0019 0,00007 1365 9,5 67,2 0,14

MM29401 0,0038 0,00010 1308 6,2 79,4 0,15

MM33601 0,0024 0,00007 1531 6,0 51,9 0,19

MM12801 0,0029 0,00009 1227 9,6 80,9 0,14

MM12802 0,0025 0,00034 1917 25,1 0,30 0,03 44,5 0,14

MM31801 0,0029 0,00008 1597 5,0 50,5 0,17

MM21701 0,0029 0,00010 1174 11,1 84,3 0,13

MM05901 0,0037 0,00015 1111 12,5 91,9 0,10

MM15901 0,0032 0,00008 1433 5,4 68,5 0,15

MM15902 0,0018 0,00009 1925 15,6 27,5 0,14

MM05401 0,0051 0,00023 1460 11,0 0,27 0,02 76,7 0,14

MM05402 0,0040 0,00010 1755 4,8 32,8 0,16

MM05403 0,0042 0,00022 1593 12,3 0,32 0,02 65,4 0,15

MM01601 0,0032 0,00011 1799 8,7 31,2 0,15

MM09101 0,0056 0,00038 1850 7,7 0,33 0,01 45,1 0,16

MM06401 0,0028 0,00008 1322 7,7 73,9 0,15

MM11803 0,0043 0,00011 1765 4,6 31,1 0,14

MM11805 0,0028 0,00008 1490 5,3 60,1 0,16

MM12702 0,0042 0,00013 1178 8,4 91,1 0,09

MM21801 0,0033 0,00011 1177 10,0 88,8 0,11

MM21802 0,0036 0,00017 1610 10,9 0,13 0,02 57,5 0,17

MM14201 0,0021 0,00005 1561 4,2 -14 8 14 8 57,9 0,15

MM15702 0,0038 0,00012 1643 4,9 48,3 0,17

MM16702 0,0049 0,00021 2050 11,1 5,9 0,08

MM17401 0,0060 0,00017 1771 4,0 22,9 0,12

MM19702 0,0013 0,00006 1732 12,5 40,6 0,16

MM17701 0,0058 0,00016 1715 3,8 32,8 0,15

MM19901 0,0019 0,00007 1312 11,3 69,0 0,16

MM25001 0,0050 0,00014 1708 4,1 33,0 0,16

MM22701 0,0022 0,00008 1211 12,7 80,1 0,14

MM21201 0,0049 0,00024 1682 7,9 0,11 0,02 42,6 0,17

MM21203 0,0054 0,00026 1716 7,0 0,13 0,01 41,0 0,15

MM19203 0,0032 0,00009 1391 5,8 72,1 0,16

MM31701 0,0024 0,00008 1346 8,4 71,4 0,16

MM33102 0,0047 0,00049 1953 12,6 0,33 0,01 37,0 0,16

2. táblázat: Az itemek statisztikai jellemzői

204

MATEMATIKA


AzonosítóAz egyes kódok előfordulási aránya (%)

0-s kód 1-es kód 2-es kód 3-as kód 4-es kód 5-ös kód 6-os kód 7-es kód 8-as kód 9-es kód

MM27001 4 88 3 2 0 2

MM06601 2 63 26 7 1 0 1

MM00102 3 16 76 4 0 1

MM01401 5 7 52 35 0 1

MM05602 28 54 18

MM05603 33 4 12 51

MM05701 6 88 6

MM09501 15 79 7

MM10701 64 35 1

MM12301 13 3 80 3 0 1

MM03101 4 9 80 5 0 1

MM15402 25 2 55 17

MM17301 48 18 34

MM06002 4 75 10 4 6 0 2

MM06003 12 22 53 10 0 3

MM16102 12 21 50 11 0 5

MM18101 8 86 6

MM19601 46 19 35

MM21101 30 10 13 24 18 0 4

MM23101 29 15 21 35

MM23601 1 6 83 4 2 0 4

MM24202 54 18 10 12 0 6

MM27601 6 67 18 5 0 4

MM29401 9 79 11

MM33601 31 52 17

MM12801 5 4 3 81 0 7

MM12802 2 24 45 21 0 8

MM31801 6 17 17 51 0 10

MM21701 12 84 1 2 0 1

MM05901 0 3 92 3 0 0 1

MM15901 24 68 8

MM15902 28 23 8 28 7 1 5

MM05401 3 15 77 4 1 0 1

MM05402 51 33 17

MM05403 17 65 7 9 0 2

MM01601 51 31 18

MM09101 7 45 32 10 0 6

MM06401 21 74 5

MM11803 48 31 21

MM11805 7 19 12 60 0 2

MM12702 91 3 3 2 1 0 1

MM21801 6 89 2 1 1 0 1

MM21802 58 6 21 3 9 0 2

MM14201 25 25 45 4

MM15702 13 48 38

MM16702 93 6 1

MM17401 47 0 23 30

MM19702 50 41 9

MM17701 24 33 43

MM19901 11 69 13 2 0 5

MM25001 35 0 33 32

MM22701 3 80 6 6 0 4

MM21201 43 17 20 12 0 8

MM21203 41 12 10 26 0 10

MM19203 3 5 9 72 3 0 8

MM31701 8 71 9 3 0 8

MM33102 10 37 26 16 0 11

3. táblázat: Az itemek lehetséges kódjainak megoszlása

205

8. ÉVFOLYAM


AzonosítóAz egyes kódok pontbiszeriális korrelációi

0-s kód 1-es kód 2-es kód 3-as kód 4-es kód 5-ös kód 6-os kód 7-es kód 8-as kód 9-es kód

MM27001 -0,21 0,36 -0,19 -0,11 -0,05 -0,17

MM06601 -0,10 0,24 -0,15 -0,06 -0,14 -0,01 -0,05

MM00102 -0,15 -0,22 0,33 -0,14 -0,03 -0,11

MM01401 -0,15 -0,20 -0,08 0,28 -0,03 -0,09

MM05602 -0,29 0,55 -0,37

MM05603 0,02 0,17 0,45 -0,37

MM05701 -0,24 0,40 -0,30

MM09501 -0,21 0,37 -0,30

MM10701 -0,46 0,48 -0,10

MM12301 -0,24 -0,23 0,43 -0,23 -0,06 -0,12

MM03101 -0,18 -0,23 0,41 -0,23 -0,03 -0,10

MM15402 -0,28 0,00 0,55 -0,40

MM17301 0,11 0,32 -0,38

MM06002 -0,25 0,44 -0,19 -0,17 -0,14 -0,04 -0,13

MM06003 -0,10 -0,21 0,30 -0,02 -0,01 -0,13

MM16102 -0,09 -0,13 0,30 -0,12 -0,02 -0,13

MM18101 -0,35 0,50 -0,33

MM19601 -0,01 0,45 -0,35

MM21101 0,42 -0,07 -0,08 -0,14 -0,17 -0,02 -0,11

MM23101 -0,11 0,18 0,49 -0,45

MM23601 -0,11 -0,20 0,42 -0,22 -0,17 -0,03 -0,14

MM24202 0,48 -0,23 -0,18 -0,18 -0,07 -0,13

MM27601 -0,26 0,31 -0,09 -0,10 -0,02 -0,14

MM29401 -0,27 0,44 -0,31

MM33601 -0,15 0,37 -0,30

MM12801 -0,17 -0,19 -0,17 0,34 -0,04 -0,10

MM12802 -0,12 -0,11 0,23 -0,05 -0,03 -0,10

MM31801 -0,15 -0,19 -0,19 0,42 -0,02 -0,11

MM21701 -0,26 0,32 -0,11 -0,08 -0,03 -0,08

MM05901 -0,09 -0,19 0,31 -0,17 -0,11 -0,02 -0,08

MM15901 -0,26 0,43 -0,33

MM15902 0,29 -0,09 -0,21 0,05 -0,11 -0,01 -0,13

MM05401 -0,19 -0,30 0,44 -0,18 -0,11 -0,03 -0,07

MM05402 -0,20 0,49 -0,35

MM05403 -0,27 0,39 -0,23 -0,05 -0,03 -0,08

MM01601 -0,16 0,43 -0,30

MM09101 -0,07 0,28 -0,18 -0,08 -0,02 -0,06

MM06401 -0,28 0,39 -0,27

MM11803 -0,19 0,51 -0,36

MM11805 -0,16 -0,18 -0,21 0,40 -0,02 -0,11

MM12702 0,38 -0,20 -0,21 -0,16 -0,10 -0,04 -0,10

MM21801 -0,21 0,34 -0,15 -0,13 -0,09 -0,03 -0,11

MM21802 0,44 -0,16 -0,24 -0,16 -0,13 -0,02 -0,08

MM14201 -0,33 -0,05 0,44 -0,26

MM15702 -0,01 0,50 -0,51

MM16702 -0,21 0,30 -0,12

MM17401 -0,13 0,02 0,55 -0,36

MM19702 -0,02 0,18 -0,27

MM17701 -0,20 0,58 -0,38

MM19901 -0,18 0,34 -0,15 -0,11 -0,03 -0,15

MM25001 -0,22 0,00 0,56 -0,34

MM22701 -0,16 0,32 -0,18 -0,12 -0,05 -0,12

MM21201 0,50 -0,25 -0,21 -0,11 -0,01 -0,12

MM21203 0,49 -0,22 -0,17 -0,17 -0,02 -0,12

MM19203 -0,16 -0,19 -0,25 0,44 -0,15 -0,03 -0,12

MM31701 -0,11 0,34 -0,27 -0,10 -0,02 -0,10

MM33102 -0,08 0,19 -0,08 0,00 -0,01 -0,09

4. táblázat: Az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja

2016 - oktatas.hu · és statisztikai paramétereivel. a diákok feladatonkénti eredményeit...

Documents