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2017 联考数学课程讲义

目 录

2017 年管理类联考数学部分概述..................................................................................................2

预备知识.............................................................................................................................................7

第一章 实数的运算和性质（算术）.......................................................................................... 8

第二章 整式与分式的运算........................................................................................................18

第一节 方程与不等式..........................................................................................................25

第二节 不等式........................................................................................................................29

第三节 集合与函数..............................................................................................................31

第四章 应用题............................................................................................................................37

第五章 数列.................................................................................................................................. 43

第六章 几何部分............................................................................................................................50

第一节、平面几何..........................................................................................................................50

第三节、平面解析几何..................................................................................................................58

第七章 数据分析..........................................................................................................................65

第一节 排列组合与计数原理..............................................................................................66

第二节 概率初步与数据描述..............................................................................................70

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2017 年管理类联考数学部分概述

2015 年管理类联考考试大纲规定综合能力考试由问题求解、条件充分性判断、逻辑推

理和语文写作四部分构成。综合能力考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻辑

推理能力、空间想象能力和数据处理能力，通过问题求解和条件充分性判断两种形式来测试。

（一）问题求解题（15题，每题 3分，共 45分）

问题求解题的测试形式为单项选择题，要求考生从给定的 5个选择项中，选择一个作为

答案。

（二）条件充分性判断（10题，每题 3分，共 30分）

条件充分性判断题的测试形式为单项选择题，要求考生从所给定的 5个选择项中，选择

一个作为答案。

一、 2017年联考综合能力数学部分考试大纲（一）算术

1．整数

（1）整数及其运算

（2）整除、公倍数、公约数

（3）奇数、偶数

（4）质数、合数

2. 分数、小数、百分数

3. 比与比例

4. 数轴与绝对值

（二）代数

1．整式

（1）整式及其运算

（2）整式的因式与因式分解

2．分式及其运算

3．函数

（1）集合

（2）一元二次函数及其图像

（3）指数函数、对数函数(2012 新增)

3

4．代数方程

（1）一元一次方程

（2）一元二次方程

（3）二元一次方程组

5．不等式

（1）不等式的性质

（2）均值不等式

（3）不等式求解

一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式。

6．数列、等差数列、等比数列

（三）几何

1．平面图形

（1）三角形

（2）四边形(矩形、平行四边形、梯形)

（3）圆与扇形

2．空间几何体(2012 新增)

（1）长方体

（2）圆柱体

（3）球体

3．平面解析几何

（1）平面直角坐标系

（2）直线方程与圆的方程

（3）两点间距离公式与点到直线的距离公式

（四）数据分析

l．排列组合

（1）加法原理、乘法原理

（2）排列与排列数

（3）组合与组合数

2．数据描述

4

（1）平均值

（2）方差与标准差(2012 新增)

（3）数据的图表表示：直方图，饼图，数表。

3．概率

（1）事件及其简单运算

（2）加法公式

（3）乘法公式

（4）古典概型

（5）贝努里概型

二、历年考题分布情况

纵观五年考试，数学部分考题考点情况如下表：

综合(知识点频率) 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年

应用题 5 8 8 6 7 7

排列组合概率 4 4 4 6 4 5

函数方程不等式 5 3 3 2 4 3

数与运算 3 2 2 3 3 2

数列 4 4 3 2 2 3

平面(立体)几何 1 1 3 4 3 3

解析几何 2 3 2 2 2 2

表 1 09—14 年综合考试数学部分考点分布表

三、MBA数学考试趋势

2007 年 MBA 考试改革至今进行了 6 次入学考试， 2009 年、2010 年又进行了微调，

改革意图和考试趋势已经呈现在我们面前，数学部分考试难度适中，趋于稳定，主要体现以

下三个特点：

基础性：任何一种考试，知识点都是基础、是核心、是不可或缺的部分。目前，数

学只考实数、整式和分式、方程和不等式、排列组合与概率初步、数据描述、平面几何、解

析几何和立体几何初步，考点已经大量压缩，保留的知识点大部分考生都在初中时代学习过，

在这种情况下，每年纯粹知识点的考题一般 5至 8个，并且对这些知识点的考察都有相对的

5

质量和深度，知识点的交叉、联合比较多，甚至会考考生不注意的地方或者特别容易出错的

地方，这就要求考生对基本知识点有精深的把握。

灵活性：经历数次改革以后，虽然考察的知识点变少了、简单了，但考题向着灵活

和多样化方向发展，考点不固定，形式多样，最不容易把握，复习的难度并不容易。这就要

求考生要有一定的数学思维，或者说要培养这样的数学思维，要有很强的学习和做题的灵活

性，然而这样灵活性不是靠题海战术，更不是靠死记硬背，而是要通过培养和提高思维方式，

以不变应万变。

技巧性：一方面，目前的数学考试，基本要在 55 分钟之内解决 25 道题，这对考生

做题速度提出了很高的要求；另一方面，在现在的 MBA 数学考试中，初等数学奥赛题目等竞

赛类考题时有出现。这些都要求在复习中既要注重基本的知识点，又要掌握一些方便、快捷

的方式、方法解决问题。但这方面的学习又不能进入误区，每年基本上有 6 至 8个题目有

技巧可循，对于这些题目，技巧来的直接、便捷。但是我建议不管什么样基础的学生，首

先还是要先夯实基础。同时也要注意，能用技巧的题目，一般基础方法都会费时、费力，

影响考试发挥，适当的学习技巧是必要和必需的。

因此，考生要精深掌握基本知识点，要熟练运用技巧，最重要的是要有灵活的思维方式，

三者是数学考高分的关键，也是缺一不可的。

四、数学考试建议

针对数学考试的特点、考试内容和考试结构，特提出以下复习建议：

1.学习方法。多思考，多总结，培养和建立数学思维，归纳和总结考试题型、考法，

对知识点、题型、方法和技巧进行系统完整的归纳，能把知识点理成一条条线，再有线织

成一张合理、清晰、有效的知识网。

2.学习思路。数学学习最好跟着老师的步骤学，不要偏离学习的轨道，老师做了长

时间研究，对于考试形式、内容基本都能把握得很准，这个时候教学内容的安排相当于给每

一位学生领上一条学习的正确道路，考试题型、做题思路和方法的讲解相当于开了一扇门。

有这条路和这扇门，每个学生都可以快速、高效地提高成绩。我们讲课的时候即会放一些难

题照顾成度好的，也会尽可能的保证每个学生都听懂，照顾程度差的。

3．学习内容。首先是老师讲过的部分，这是第一位的，也是最重要的，最好是在听

完课一周之内不看老师的讲解，自己从新做一遍，做完和老师的讲解相对照，查找存在哪些

问题、哪些和老师的讲解不一致、题目考察的是什么目的。考试中可能有些题目直接考了我

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们讲过的原题，有些考试题目和讲解题目除了语言环境变了一下，其他都没变，结果还是

有个别同学听完课没好好复习，考试的时候不会做。所以，要尤为注重讲过的内容。

人生需要磨砺，青春不畏挑战！我们已经扬帆起航，用我们的坚毅、勇敢、智慧和努力，

达到理想的彼岸，书写人生华美乐章！

尚德MBA中心

于 2016年 8月 30日

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预备知识

一、充分性判断

两个数学命题 A、B，若由条件 A成立，就可以推出结论 B成立（即 A B 是真命题），

则 A是 B的充分条件，即 A具备了使 B成立的充分性。若由 A不能推出 B，则称 A不是 B

的充分条件，即 A不具备使 B成立的充分性。

例如： A为：x>0,y>0 B为：xy>0

当 x>0,y>0，即 A成立时，必有 xy>0，即 B成立，故 A是 B的充分条件。反之，B成

立，则 A不一定成立，故 B不是 A成立的充分条件。

二、条件充分性的判断

此类题的求解，要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论，阅读条件（1），

（2）后作出选择。

（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分

（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分

（C）条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

（D）条件（1）充分，条件（2）也充分

（E）条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分。

条件(1) 条件(2) 选项

√ ╳ A╳ √ B╳ ╳

C(1)+(2) √

√ √ D╳ ╳

E(1)+(2) ╳

三、解题方法

方法一（自下而上）： 将条件中的参数分别代入题干中验证。特点是至少运算两次。

方法二（自上而下）：先不看条件，假设题干中命题正确，求出参数。然后将条件中参

数范围与题干成立的参数范围进行比较，若条件范围落入题干成立范围之内，则充分。特点

是一次运算。

例 1． 2 3 4 0x x

(1) 1 (2) 2x x

选（A）。

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第一章 实数的运算和性质（算术）

考试大纲要求：

1、整数

（1） 整数及其运算（2）整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、合数

2、分数、小数、百分数 3、比与比例 4、数轴与绝对值

【备考要点】这部分主要考查数的概念、性质、计算及应用，题型主要有数的计算，对概念

的考查及算术应用题。

一．实数的概念、性质

1、 数的概念与性质★

整数：指 0， 1 2 .n n Z ， ， 为整数可记为

正整数：指 1，2，3 .n n Z ＋， 为正整数可记为

负整数：指－1，－2，－3， .n n Z －为负整数可记为

自然数：包括 0及正整数.

整数分为偶数（2 ,n n Z ）和奇数（2 1,n n Z ）两类。

有理数：指 ( , )n n Z m Zm

,当 n能被 m除尽时，nm

是整数，否则便是分数。

有理数可分为整数、有限小数、无限循环小数（如：2，4 10.8 0.35 3

＝ ， ＝ ）

无理数：指无限不循环小数，如 3.14159 2 1.414 ＝ ， ＝

实数：有理数和无理数统称为实数。

实数考点概要:

33

2n+1  

2

2 , 5 , , log

Z 0

4

Z

mn

n

奇数

偶数

：有限小数或无限循环小数

：无限不循环小数. 常见的有：

正整数（Z ）

整数（ ） 或 整数（ ）

有理数（Q） 负整数（Z ）实数（R）

分数（ ）

无理数 等等

1    2n

    n Z 1    2n 1

1

偶数 整数(Z) （ ） 正整数 质数（也称素数，只有 和自身两个约数）

奇数合数（有除 和自身以外的约数）

注意：自然数集 N是非负整数集，是由正整数和零组成的。

9

2、理数与无理数的组合运算性质

A、有理数(＋－×÷)有理数，仍为有理数。（注意，此处要保证除法的分母有意义）

B、无理数(＋－×÷)无理数，有可能为无理数，也有可能为有理数

C、有理数(＋－)无理数=无理数，非零有理数(×÷)无理数=无理数

注意：有理数一定可写成分数形式，无理数则不能，这是二者的本质区别。

3、整数部分与小数部分

整数部分是指一个数减去一个整数后，所得的差大于等于零且小于 1，那么此减数是整数

部分，差是小数部分。

4、整数的分类——奇偶数的的概念和运算性质

    2( )    

    2 1n

Z n Zn

偶数整数 （ ）

奇数

奇数±奇数= 偶数 奇数·奇数= 奇数

偶数±偶数= 偶数 偶数·偶数= 偶数

偶数±奇数= 奇数 偶数·奇数= 偶数

5、正整数的分类——质数和合数 ★★★

11

1

正整数 质数（也称素数，只有 和自身两个约数）

合数（有除 和自身以外的约数）

(1)、质数：只有 1 和它本身两个约数（因数）的正整数叫质数（或素数）. 最小的质数

为 2（唯一的偶质数）；

30以内的质数共 10个：

2 3 5 7 11

13 17 19 23 29

(2)、合数：除了 1和本身外还有其他约数（因数）的正整数，最小的合数是 4.

注意：1既不是质数也不是合数.

6、整除与带余除法（商数和余数的表示）★

设整数 n被整数 m整除，即存在整数 s ，使得 n ms ，称 n能被 m整除 .

（1）、数字整除特征：

能被 2整除的数：个位为 0，2，4，6，8

能被 3整除的数：各位数字之和必能被 3整除。

10

能被 4整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被 4整除。

能被 5整除的数：个位为 0或 5.

能被 6整除的数：同时满足能被 2和 3整除的条件。

能被 8整除的数：末三位（个位、十位和百位）数字必能被 8整除。

能被 9整除的数：各位数字之和必能被 9整除。

能被 10整除的数：个位必为 0.

7、公约数、公倍数、互质★

约数：设 a为一个正整数（ a Z ）,m为 a的一个约数是指：a能被正整数 m 除尽，

如 a=15,则 a=3×5，所以 a有约数 1，3，5，15共 4个。

公约数

若正整数 m 同时是几个正整数 1 2, ra a a 的约数，就称 m 是 1 2, ra a a 的公约数，并把

1 2, ra a a 的公约数中的最大的称为最大公约数。

公倍数

若正整数 n 同时是几个正整数 1 2, ra a a 的倍数，就称 n 是 1 2, ra a a 的公倍数，并把

1 2, ra a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数。

注意：如何求两个数的最大公约数和最小公倍数：短除法。

定理：两个整数的乘积等于他们的最大公约数和最小公倍数的乘积。

例如：两个正整数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90，满足条件的两个正整数组成的

大数在前的数对共有（ ）对。

A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 E.无数对

互质

若正整数 m 与正整数 n 的公约数只有 1，就称这两个正整数 m 与 n 互质，并称

nm为既约分数（最简分数）

。

二、 实数的性质和运算

1. 实数的基本性质

（1）实数与数轴上的点一一对应。

（2）若 a,b 是任意两个实数，则在 a<b，a=b，a>b 中有且只有一个关系成立。

（3）若 a 是任意实数，则2 0a

2. 实数的运算

实数的四则运算满足加法和乘法运算的交换律、结合律和分配律。还可以定

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义实数的乘方和开方运算。

（1）乘方运算

n a

na a a a

个

  , , ( ) , ( ) , ( )nm

m n m n m n n n n n m n mnn n

a a aa a a a ab a b a aa b b

，

当0 10 1, n

na a aa

时， . 负实数的奇次幂为负数，负实数的偶次幂为正数

（2）开方运算

在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是 0；正实数的偶次方根有两个，且

互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。如：当 a>0 时，a 的平方根是 a ，其

中 a 是正实数 a的算术平方根。

1 n b

nnb a a a b b b 个

在运算有意义的前提下：

,         , ,   n n

npm n nn m m p mn n n nm nn

a aa ab a b a a a ab b

m a （ ）

3、实数的运算技巧

（1）分母有理化★★

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两

个代数式互为有理化因式（一个二次根式的有理化因式不唯一）。如 2 的有理化因式为 2 ，

2 3 的有理化因式为 2 3

分母有理化：去掉分母中的根号，将分子分母同时乘以分母的有理化因式。如：

1 3 2 3 2 3 23 23 2 ( 3 2)( 3 2)

（2）.裂项相消法：常用于当题干中出现多个分数求和的情况。★★

原理：

 = -  = -

     

1 1 1 1 1 1 1( )( 1) 1 ( )n n n n n n k k n n k

三、比、比例

1、比、比例的定义

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（1）比 两个数相除，称为这两个数的比，即 : aa bb

。相除所得商叫做比值。记作

a:b=a/b=k，在实际应用中，常将比值用百分数表示，称为百分比。如：

% (1 %)ap a p 原值增长率 现值

%)1(% pap a 现值下降率 原值

% %

% %

p p

p p

甲 乙甲比乙大

乙

甲是乙的 甲 乙

（2）比例 相等的比称为比例，记作 a:b=c:d 或a cb d 。其中 a 和 d 称为比例外项，

b和 c称为比例内项。

当 a:b=b:c 时，称 b 为 a 和 c的比例中项，显然当 a，b，c 均为正数时，b 是 a和 c 的

几何平均值。

2. 比与比例的性质

（1）比的基本性质

① :a b k a kb

② : :    ( 0)a b ma mb m

（2）比例的基本性质★★

① : :a b c d ad bc

② : : : : : : : :a b c d b a d c b d a c d b c a

3.比例的基本定理

（1）更比定理：db

ca

dc

ba

（2）反比定理：cd

ab

dc

ba

（3）合比定理：ddc

bba

dc

ba

（4）分比定理：ddc

bba

dc

ba

（5）等比定理： .( 0)a c e a c e a b d fb d f b d f b

易错点：忘记了等比定理使用条件

13

例如：（2002-10）若 a b c a b c a b c kc b a

，则 k的值为（ ）

A.1 B.1或-2 C.-1 或 2 D.-2 E.以上选项均不正

确

4、正比例与反比例

（3）正比 若 y=kx(k 不为零)，则称 y 与 x 成正比，k称为比例系数。

（4）反比 若 y=k/x(k 不为零)，则称 y 与 x 成反比，k 称为比例系数。

重点题型梳理与练习

例 1、（08-1-10）14n

是一个整数

（1）n是一个整数，且314n

也是个整数。

（2）n是一个整数，且7n

也是一个整数。

例 2、 2 24 7 2x xy y 是 9的倍数

（1）x，y是整数。

（2）4x-y是 3的倍数。

例 3、设 a为正奇数，则 2 1a 必是（ ）.

A.5的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.9的倍数 E.7的倍

数

例 4、（2013-1-17） 1p mq 为质数

（1）m为正整数， q为质数 （2） ,m q均为质数

例 5、（2015-1）设 m,n是小于 20的质数，满足条件 2m n 的 ,m n 共有（ ）.

A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 E.6组

例 6、（2011-1）设 a,b,c是小于 12的三个不同的质数，且 8a b b c c a ，

则 a+b+c=( )

14

A.10 B.12 C.14 D.15 E.19

例 7、把无理数 5 记作 a ，它的小数部分记作b ，则

ba 1 等于（ ）

（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-2

（E）以上答案均不正确

例8、把5 15 1

的整数部分记作a，小数部分记作b，则

5ab 等于（ ）

A.1 B.-1 C.0 D. 5 E. 5例 9、若 x,y 是有理数，且满足 1 2 3 1 3 2 5 3 0x y ，则 x,y 的值分别为

（ ）

A.1,3 B.-1,2 C.-1,3 D.1,2 E以上选项均不正确

例 10、（2000-10）1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 99 100

（ ）.

A.99100

B．100101

C．99101

D．97100

例 11、（2013-1）已知 1 1 1 ,

1 2 2 3 9 10f x

x x x x x x

则 8f

（ ）

1.9

A B．110

C．116

D．117

E．118

例 12、 1 1 1 1 1 20111 2 2 3 2009 2010 2010 2011

（ ）

A.2006 B.2007 C.2008 D.2009 E.2010

例 13、（2015-1）若实数 a,b,c满足 a:b:c=1:2:5,且 a+b+c=24,则 2 2 2a b c

A.30 B.90 C.120 D.240 E.270

15

例 14、若 y与 x-1成正比，比例系数为 k，y又与 x+1成反比，比例系数为 2k ，且 1 2: 2 : 3k k ，

则 x的值为（ ）

A.153

B.153 C.

153

D.102

E.102

一、绝对值及其性质

1、实数的绝对值的定义 实数 a的绝对值定义为：      0

       ( 0)

a aa

a a

（ ）

＜

2、 绝对值的几何意义

实数 a在数轴上对应一点，这个点到原点的距离就是 a 的绝对值

a

a 0 x

3、 绝对值的性质

（1）非负性：任何实数 a 的绝对值非负，即|a| ≥ 0。

归纳：所有非负性的变量

① 正的偶数次方（根式）： 0,,,, 41

21

42 aaaa

② 负的偶数次方（根式）：

1 12 4 2 4, , , , 0a a a a

重点：0,0,0a 2 aa（着重关注这三个形式）

重要推论：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。

例：（2011-1）若实数 a,b,c满足 23 3 5 5 4 0a b c ，

则 abc=( )

A.-4 B.53

C.43

D.45 E.3

（2） 对称性：互为相反数的两个数的绝对值相等,即 |-a|=|a|。

（3） 自比性：1 01 0

xx xxx x

例：代数式a b ca b c 的可能取值为（ ）

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A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 E．5种

自比性问题的关键是判断符号，因此需要掌握以下几个表达式：

0,abc 说明 a,b,c有三正或两负一正。

,0abc 说明 a,b,c有三负或两正一负。

,0abc 说明 a,b,c,中至少有一个为 0.

（4） 等价性：

①2| |a a

②2 2|a| a

用法：去掉“| |” 。

如：|3x – 2 | < |4x – 10|，平方得：( 3x – 2 )2< (4x – 10)

2。

4、绝对值不等式性质与运算法则★★★

（1）   ( 0)a b b b a b

（2）  ( 0)a b b a b a b 或

（3） a b a b

（4)  ( 0)aa b

b b

5、求绝对值最值★★★★

（1）常规方法：分段讨论法去绝对值符号，根据图像判断最值。

例：（2007-10）设 2 2y x x ，则下列结论正确的是（ ）

A． y没有最小值

B．只有一个 x使 y取到最小值

C．有无穷多个 x使 y取到最大值

D．有无穷多个 x使 y取到最小值

E．以上选项均不正确

（2）终极方法★★

二、平均值及运算

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1. 定义

（1）算术平均值： n 个实数 nxxx ，,, 21 的算术平均值为n

xxxx n

21

。

（2）几何平均值： n 个正实数 1 2, , nx x x， 的几何平均值为 1 2n

g nx x x x 。

注意:几何平均值只对正实数有定义，而算术平均值对任何实数都有定义。

2、 定理及性质

（1）基本定理：当 nxxx ，,, 21 为 n个正实数时，它们的算术平均值不小于它们的几

何平均值，即

1 21 2·     ( 0 ,  1, )n n

n ix x x x x x x i n

n

＋ ＋ ＋

＞ ＝ ， ★★★

当且仅当 时，等号成立＝ nxxx 21 。

（2）常用的基本不等式

①2 2a +b 2ab a b R （ ， ） ②

+a+b ab(a b R2

， )★★★

③+3a+b+c abc(a b, c R

3 ， )★★★ ④ 2a b

b a＋ 　（ 0ab ）

⑤+1a 2 a R

a + （ ）★★★ ⑥

-1a 2 a Ra + - （ ）★★★

注意：公式①～⑥当且仅当各字母均相等时等号成立。

重点题型梳理

例 1、(2008-10)2 23 2 2 12 18 0,x x xy y 则 2y-3x=( )

A. 149

B. 29

C.0 D. 29

E.149

例 2、（2008-1） 1b c c a a ba b c

.

（1）实数 a,b,c满足 a+b+c=0

（2）实数 a、b、c满足 0abc .

18

例 3、已知 0abc ， 0a b c ，则a c ab cab bca b c ab bc ca （ ）

A．0 B．1 C． 1 D．2

E．以上选择均不正确

例 4、（2009-10）设 20 20y x a x x a ，其中 0 20a ，则对于满足

20a x 的 x值， y的最小值是（ ）

A．10 B．15 C．20 D．25 E．30

第二章 整式与分式的运算

考试大纲要求：

1．整式

（1）整式及其运算 （2）整式的因式与因式分解

2．分式及其运算

考试要点梳理：

2

2

2

12

1 32

, 1

xy

xy xz

AB

x x

单项式:代数式仅仅是数和字母的非负整数幂的乘积，如:

整式

有理式 多项式：有限个单项式的代数和,如: ＋代数式的分类

分式:设A,B为两个整式，B中含有字母，且B 0,则代数式 称为分式。

无理式：根号内含有字母的代数式,如：

一、整式及其运算

1、定义 在有理式中没有除法运算或有除法运算但除式中不含字母的式子叫整式。

19

整式包括单项式和多项式，其和、差、积仍为整式。

2、运算

（1）加减运算

几个整式相加减，有括号的先去括号，然后合并同类项。整式加法满足交换

律、结合律和对乘法的分配律。例如：

2 2 2 2 2 2 2（a +ab）-(4ab+a b )=a +ab 4ab-a b b 3ab

整式加减法的运算步骤：（1）去括弧 （2）合并同类项

注意：去括号时一定要注意符号的处理。

（2）乘法运算（重点）★★★

整式乘法的运算步骤：（1）一个因式的每一项乘以另一个因式的每一项（2）合并同类

项。

例如： 2 2 ４ 2 ２ 2 ４ ２ 2（a +b）(a ２b )=a -２aｂ ａb－２b＝a -ａb－２b

注意：乘积中的任一项, 都是每个因式多项式中各取一项相乘, 再合并同类项后的结果。

（3）基本公式

（1） 2 2( )( )a b a b a b

（2） 2 2 2( ) 2a b a ab b

（3） 3 3 3 2 2( ) 3 3a b a b a b ab

3 3 3 2 2( ) 3 3a b a b a b ab

（4） 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b

3 3 2 2( )( )a b a b a ab b

（5）2 1( 1)(1 )1 nna a a a a L

注：上面所列公式从左推向右, 是乘法公式; 而从右推向左则是因式分解公式 ,因为它

们都是恒等式, 对所含字母的任意实数值, 原式均成立。

（3）除法运算

1）竖式除法：

例 1 计算：3 2 2(4 5 -3 8) ( +2 1)x x x x x 。

20

34 x 商式

122 xx 8354 23 xxx 被除式

除式 xxx 484 23

363873

2

2

xxxx

5 x 余式

512348354 223 xxxxxxx

总结：

上式的一般形式是 F(x)=f(x)g(x)+r(x)，其中 F(x)＝4x4+5x3-x-8 是多项式除法中的被

除式，f(x)= 2+2 1x x 是除式，4 3x 是商式， ( ) 5r x x 是余式，余式次数至少比除式

低一次, 当除式为一次因式时, 余式 r(x)=r(为常数)。

2）带余除法：被除式 xF 除以 xf ，商为 xg ，余式为 xr ，则有

xrxgxfxF 。当 xF 能被 xf 整除时， xgxfxF ， xr 为零多项

式，否则 xr 至少比 xf 低一次。

3）余数定理：1

0 1( ) n nnF x a x a x a 除以一次因式(x-a)所得的余数一定是 F（a）。

推论：多项式1

0 1( ) n nnF x a x a x a 除以一次因式 ax b 所得的余数一定是

( )bFa

。

4） 因式定理: xF 含有因式 ax （即整除），则 0aF

推论： xF 含有一次因式 bax ，则

abF =0

此为余数定理的特例（余数为 0的情形）

（4）多项式的因式分解

把一个多项式表示成几个整式之积的形式，叫做多项式的因式分解。多项式因式分解的

常用方法如下：

方法一：提取公因式法。

21

公因式：多项式中各项都含有的相同的因式，即各项中系数的最大公约数与相同字母的

最低次幂的乘积。 )( cbaxcxbxax

方法二：公式法（乘法公式从右到左，即为因式分解公式）。

方法三：分组分解法。

分组的三项原则：（1）分组后，能产生公因式；（2）分组后，能运用公式法；（3）分组

后，能应用十字相乘法。常用有“一三”分组或“二二”分组法。

例：

5 2 3 3 2 2 2 3

2 2

1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1)

a a a a a a a aa a a a

注：此题同时用到了方法一、二、三。

方法四：十字相乘法。

二次三项式的十字相乘法

))((2 bxaxqpxx ，其中 abqbap ,

))(( 22112 cxacxacbxax ，其中 ,, 2121 cccaaa 并且 1221 cacab 。

例：将 2 23x x 8 因式分解

解：二次项的系数分解为 3=1*3， 常数项-8=（-2）*4，

所以 2 23x x 8 ＝（x-2）(3x+4)

方法五：求根法

若 方 程1 2

0 1 2 0n n nna x a x a x a 有 n 个 根 1 2, , ,nx x x 则 多 项 式

1 20 1 2 0 1 2 3( )( )( ) ( )n n n

n na x a x a x a a x x x x x x x x 。

方法六：待定系数法。

解题思路：两个多项式恒等 同类项系数相等，然后比较等号两边多项式的系数。

例：将多项式 2x 3 2x x 因式分解

解：可先通过观察法检验到 2x 为方程 2 0x 3 2x x ＝ 的根，所以

设 2x 3 2x x 22)( )x x ax b ＝（

22

然后根据多项式乘法规则，根据常数项相等， b=1,

再根据 x前面的系数相等，得 a=1,

所以 2x 3 2x x 22)( 1)x x x ＝（

注意：

（1） 因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和为积的变形。

（2） 因式分解与整式乘法是互逆的。

（3） 因式分解要分解到在所求的数域内不能再分解为止。

（4） 涉及到因式分解的问题，首先考虑首尾项检验法！！即：原式最高次项系数，

一定等于各因式的最高次项系数之积；原式的常数项，一定等于各因式常数项

之积。

例如（2010-1）多项式 623 bxaxx 的两个因式是 x-1 和 x-2，则第三个一次因式为

（ ）

A.x-6 B.x-3 C.x+1 D.x+2 E.x+3

二、分式及其运算

1. 定义 若 A,B 表示两个整式，且 B≠0，B 中含有字母，则称AB

是分式。分子和分母

没有正次数的公因式的分式，称为最简分式（或既约分式）。

2．基本性质 分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不

变，即有

( 0)A mA mB mB

分式的基本性质主要应用在分式的通分和约分上。分式运算的最终结果如果仍为分式，

此分式必须通过约分化为最简分式。

3. 运算

（1）加减运算

同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减；不同分母的几个分式相加减，取这

几个分式分母的公分母作分母，通分后化为同分母分式的加减运算。例如：

2 2 2 2 22 3 3 2 3 3 ( )( )      ( ) ( ) ( )

a b a ab b a ab a ab b a b a b a ba b a a b a a b a a b a

23

分式加法满足交换律、结合律和对乘法的分配律。

（2）乘除运算

几个分式相乘，分子乘分子，分母乘分母。分式的乘法运算满足交换律、结合律和对加

减法的分配律。两个分式相除，将除式的分子分母颠倒变为乘法运算。例如：

2 2

2 2

2

2   4 2(a-b) 2=

(2a+b)(2a-b) 2

a ab b a ba b a b

a b a ba b a b

4、解分式方程

（1）、分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母，将分式方程转化为整式方程。

（2）分式方程的增根问题：

增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0的条件，当把分式方程转化为整式方程

后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是使原方程中分

母的值为 0，那么就会出现不适合方程的根（增根）要舍掉。

验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

例如：解分式方程 2

4 1 212 2

xx x x x

－ ＝＋

三、重要题型与运算技巧

1.关于011

a1

cb 的问题.

原理：若011

a1

cb ，则

2222 cbacba 。

例：已知 a+b+c=-3,且0

31

2b1

11

ca ，则

222 321 cba的值为（ ）

A.9 B.16 C.4 D.25 E.36

2.形如已知a

xx

1

或 012 axx ，求高次代数式的问题.

整理成 12 axx 形式，代入整式，迭代降次即可。

例如：已知2 3 1 0x x ，则多项式

3 23 11 3 3x x x 的值为（ ）

A． 1 B．0 C．1 D．2 E．3

24

例如：（2010-10）若1 3xx

，则

2

4 2 1x

x x

（ ）

A．18

B．16

C．14

D．14

E．18

3.已知1x ax

，求2 3 4

2 3 4

1 1 1, ,x x xx x x

等代数式的值

重点：灵活运用各个公式

重点题型梳理

例 1、（2013-1）设 , ,x y z为非零实数，则2 3 4 1

2x y zx y z

(1)3x-2y=0;

(2)2y-z=0.

例 2、 12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

成立。

（1）1

cz

by

ax

；

（2）0

zc

yb

xa

.

例 3、（2012-1）若 能被 整除，则

(A)a=4,b=4 (B)a=-4,b=-4 (C)a=10,b=-8

(D)a=-10,b=8 (E)a=-2,b=0

例 4、（2007-10）若多项式 3 2 2 3f x x a x x a 能被 x-1 整除，则实数 a=( )

A．0 B．1 C．0或 1 D．2或 1 E．2或 1

例 5 、 （ 2009-10 ） 二 次 三 项 式2 6 0x x 是 多 项 式

4 3 22 1x x ax bx a b 的一个因式

25

（1） 16a

（2） 2b

例 6、（2008-1）若 A B C 的三边为 a、b、 c满足2 2 2a b c ab ac bc ，则

ABC 为（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形

D．等腰直角三角形 E. 以上选项均不正确

例 7、已知1 3xx

，则2

2

1xx

，3

3

1xx

，4

4

1xx

，6

6

1xx

的值分别为（ ）

A．7、18、47、322 B．7、8、47、324 C．7、18、49、322 D．7、

16、47、322 E．7、18、49、324

例 8、（2014-1）设 x是非零实数，则3

3

1 18xx

（1）1 3xx

；

（2） 22

1 7xx

。

第三章 方程、函数与不等式

第一节 方程与不等式

方程：含有未知数的等式叫做方程。

解方程：解出方程中未知数的过程叫做解方程。

方程的解：使方程成立的未知数的值，叫做方程的解。

例如：（2008-10）某学生在解方程1 1 1

3 2ax x

时，误将式中的 1 1x x 看成 ，

得出的解为 1x ，那么 a的值和原方程的解是（ ）.A.a=1,x=7 B.a=2,x=5 C.a=2,x=7 D.a=5,x=2

26

E.a=5,x= 17

一、一元一次方程

1. 定义

含有一个未知数且未知数的最高次数为一次的方程称为一元一次方程，其标准形式为：

ax＋b＝0 (a ≠ 0)

2. 形如 ax=b 的方程的解法

（1）当 a≠0时， 原方程的解为 x=－b/a；

（2）当 a=0，b≠0时, 不存在 x值使等式成立，原方程无解；

（3）当 a=0，b=0时，即 0x=0, 则原方程的解为全体实数。

二、二元一次方程组

1. 定义

形如1 1 1

1 1 2 22 2 2

  (  a x b y c

a b a ba x b y c

其中 与 ， 与 分别不同时为零）的方程组，称为二元一

次方程组，是由两个二元一次方程组成的。

这两个二元一次方程的公共解就是该二元一次方程组的解。

2. 二元一次方程组的解法

（1）加减消元法

1 1 1

2 2 2

     (1) 

   (2)a x b y ca x b y c

将 2 1(1) (2) ,b b 消去 y（也可以消去 x），得：

1 2 2 1 2 1 1 2( )a b a b x b c b c

从中解出 x, 再将 x的值代入（1）或（2），求出 y的值，从而得出方程组的解。

例如：解方程组3 7,

2 0x yx y

（2）代入消元法

由（1）得 1 11

1

 ( 0)c a xy bb

，将其代入（2），消去 y，得到关于 x 的一元一次方

程，解之。

3、注意：对二元一次方程组的解的分析。

例如：下列命题中正确的是（ ）.

27

A.方程组2 2,4 2 6x yx y

有一组解.

B. 1, 2x y 是方程组3 7,

2 0x yx y

唯一的一组解

C. 1, 0x y 是方程组2 3 2,4 6 4x yx y

唯一的一组解

D. 1, 1x y 是方程组3 2 1,

2 3 6

x y

x y

的一组解

三、一元二次方程

1. 定义

含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的方程称为一元二次方程， 其

标准形式为：

ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

2． 解法

（1）因式分解法

把方程化为形如 a(x-x1)(x-x2)=0的形式，则解为 x=x1 或 x=x2。例如：

6x2+x-2=0

(2x-1)(3x+2)=0

解得 x1=1/2 或 x2=-2/3

例如：解方程：2 6 8 0x x

（2）公式法

将配方后的结果直接用做公式使用。

由 ax2+bx+c=0 (a≠0) 得2

1,24

2b b acx

a

（求根公式，2 4 0)b ac ＝

例如：3x2–5x–2 = 0 ，由于 Δ= 25＋3×4×2 = 49，所以

1,25 72 3

x

，

即 1 2123

x x ，

例如：解方程： 5 2 0x 22x－ －

28

3. 根的判别式（a, b, c∈R）

无实根

两个相等的实根

两个不相等的实根

000

42 acb

△= b2 – 4ac △>0 △= 0 △< 0

f(x) = ax2 + bx +

c (a > 0)

x1 x2 x1,2

f(x) = 0的根

1,2 2bxa

1,2 2

bxa

无实根

4、根与系数的关系（韦达定理）★★★

韦达定理内容

设 x1, x2 是方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0， 0 )的两个根，则

韦达定理应用：不解出方程，就可以求有关方程根的一些代数式的值

例如：(2000-1)方程 3 21 2 3

2 3

1 12 5 6 0 1, , ,x x x x x xx x

的根为 则 （ ）.

A. 16

B. 15

C. 14

D. 13

E.1

5、方程公共根的问题

【解题思路】对于两个一元二次方程的公共根问题，可将两方程相减，解出公共根，代入

任何一个方程求解。

例如：(2006－1）方程 x2+ax+2=0与 x2-2x-a=0 有一公共实数解

(1) a=3 (2)a=-2

1 22 0

0, 0

x x

ax bx ca

是方程

的

两根

1 2

1 2

x x b ax x c a

29

第二节 不等式

一、不等式的基本性质★★

1. a>b,c>0, 则 ac>bc,

a>b,d<0, 则 ad<bd；

2. 传递性： ,a b b c a c ；

3．同向皆正相乘性：00

a bac bd

c d

；

4．皆正倒数性：1 10 0a bb a

；

5．皆正乘方性： 0 0 ( )n na b a b n 为正整数 ；

6. 皆正开方性： 0 0 ( )n na b a b n 为正整数

二、一元一次不等式及其解法

1. 一元一次不等式的解法

abxaabxa

abax时

时

0

0)0(

2. 一元一次不等式组的解法

分别求出组成不等式组的每一个一元一次不等式的解集后，求这些解集的交集（可以运

用数轴，直观地求出交集）。

三、一元二次不等式及其解法★★★

1. 一元二次不等式的标准形式为：

2

2

0       ( 0)0       ( 0)

ax bx c aax bx c a

＞

＜

注意：一元二次不等式的标准形中，二次项的系数为正。

2. 一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系

(1) 设方程 ）＞（ 002 acbxax 有两个不等实根 1 2 1 2, , ,x x x x且 则

2 0ax bx c ＞ 的解集为 ;21 xxxx ＞或＜ 02 ＜cbxax 的解集为 21 xxx ＜＜ 。

注意：若不等式二项式系数 ,0＜a 可化为正值再求解集。 若不等

30

式带等号（即 或 ），则只需在解集中增加两个根即可。

3.一元二次不等式的图像解法

一 元 二 次 不 等 式 除 和 一 元 二 次 方 程 类 似 ， 依 表 中 开 口 向 上 的 抛 物 线

2 ( 0)ax bx c a 的不同位置求解。

△= b2 – 4ac △>0 △= 0 △< 0

f(x) = ax2 + bx + c(a > 0)

f(x) = 0根 1,2 2bxa

1,2 2

bxa

无实根

f(x) > 0 解集 x < x1 或 x > x22bxa

x∈R

f(x)<0解集 x 1 < x < x2 x∈ x∈

例如、 解下列不等式

（1） 212 31 20 0x x ； （2） 23-2x x

(1998-1)一元二次不等式2 23 4 0( 0)x ax a a 的解集是（ ）.

A.3a x a B. x a 或

3ax C.

3aa x

D.3ax x a 或 E. 3a x a

4、一元二次不等式的恒成立问题

注意：一定要数形结合，理解记忆。

x1,2x1 x2

31

例如：已知对于任意实数 x ，不等式 0142 2 axxa 都成立，则 a 的取值范围

是 （ ）

A． ,22, B． ,22, C． 2,2

D． ,2 E． 以上均不对

第三节 集合与函数

一、集合

1.集合的区间表示

| ( , )

| [ , )

| ( , ]

| [ , ]

x a x b x a b

x a x b x a b

x a x b x a b

x a x b x a b

可表示为

可表示为

可表示为

可表示为

x A x B

2.包含关系：（子集，真子集，相等，子集的个数）

A B

若A B且B A则A=B

结论：含有 n个元素的有限集共有 2n 个子集。

例.集合 0,1,2,3 的子集个数为（ ）

A．14 B．15 C．16 D．18 E.以上都不对

A x B 3.集合的运算（交集，并集，补集）

交集：A B x 且

I,

A x B

x I x A C A

I

并集: A B x 或

补集：设I为全集，则A ，或记

A A= ，A A

二、常用函数及其性质

（1）、常见的一次函数与一元二次函数★

A、一元一次函数

1、一次函数和正比例函数的概念：

一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数；当 b=0时，y=kx叫做

正比例函数。

32

一次函数的图像：

1．一次函数 y=kx+b(k 0)≠ 的图像是一条直线，通常也称为直线 y=kx+b。

一方面，一次函数 y=kx+b的图像可以用描点法画出；另一方面，由于两点确定一条直线，

故只要先描出两点再连成直线就可以了。

为了方便常用图像与坐标轴的两个交点（0，b）和（-bk，0）来画图像。

2．正比例函数 y=kx（k≠0）的图像是经过原点（0,0）的一条直线，通常画正比例函数 y=kx

（k≠0）的图像时只需取一点（1，k）,然后过原点和这一点画直线即可。

3、对一次函数 y=kx+b中的系数 k，b的理解：

1．直线 y=kx+b中 k的符号表示直线的方向，b是直线与 y轴交点的纵坐标：

b>0时，直线与 y轴交于正半轴上；

b=0时，直线过原点，直线解析式是正比例函数；

b<0时，直线与 y轴交于负半轴上。

k,b 的符号 函数图像 图像的位置 性质

k>0

b>0 图像过第一，二，三象限

y随 x的增大而增大b=0 图像过第一，三象限

b<0 图像过第一，三，四象限

33

例： 直线 过第二象限。

(1)

(2)

一次函数与方程（组）及不等式之间的关系：

1．一次函数与一元一次方程

（1）直线 y=kx+b(k 0)≠ 与 x轴交点的横坐标是一元一次方程 kx+b=0 的解。

4．一次函数与一元一次不等式：

使一次函数 y=kx+b(k 0)≠ 的函数值 y大于 0的自变量的所有值，就是一元一次不等式

kx+b>0的解集；同样，使一次函数 y=kx+b(k 0)≠ 的函数值 y小于 0的自变量的所有值，

就是一元一次不等式 kx+b<0 的解集。

B、一元二次函数★★★

（A）表达式

a) 一般式： 2y ax bx c

b) 顶点式：

2 242 4b ac by a xa a

要求：会对一般式进行配方运算，得到顶点式。

k<0

b>0 图像过第一，二，四象限

y随 x的增大而减小b=0 图像过第二，四象限

b<0 图像过第二，三，四象限

34

c) 交点式： 1 2y a x x x x

（B） 系数 , ,a b c 和2y ax bx c 的关系

a) a 决定开口方向，当 0a ，抛物线开口向上；当 0a ，抛物线开口向下；

b) 对称轴为2bxa

， a 和b 决定对称轴在 y 轴的左侧或右侧，

重要推论：当 a ，b 同号，对称轴在 y 轴左侧；当 a ，b 异号，对称轴在 y 轴右侧；

当 0b 时，对称轴即 y 轴。

c) c 表示抛物线在 y 轴的截距。

0,c 抛物线交于 y 轴正半轴； 0c ，抛物线交 y 轴负半轴； 0c ，抛物线过原

点。

d) 2 4b ac 决定抛物线 x轴交点的个数。

0 两个交点； 0 一个交点，即顶点落在 x轴； 0 无交点。

e)24,

2 4b ac ba a

表示抛物线的顶点，决定函数的最值。

若 0a ，函数有最小值24

4ac ba

；若 0a ，函数有最大值24

4ac ba

。

例：函数 2 ( 0)y ax bx c a 在[0,+ )上单调增的充分必要条件是（ ）

A. 0 0a b 且 B. 0 0a b 且 C. 0 0a b 且

D. 0 0a b 且 E.以上都不对

例：（2007-10）一元二次函数 (1 )x x 的最大值为（ ）

（A）0.05 （B）0.10 （C）0.15 （D）0.20 （E）0.25

例：(2013-14)已知抛物线 cbxxy 2的对称轴为 x=1，且过点（-1,1），则（ ）

A.b=-2,c=-2 B.b=2,c=2 C.b=-2,c=2

D.b=-1,c=-1 E.b=1,c=1

例：（2013-16）已知二次函数 cbxaxxf 2，则方程 f(x)=0有两个不同实根。

（1）a+c=0

（2）a+b+c=0

例：（2014-23）已知二次函数 cbxaxxf 2，则能确定 a，b，c的值

（1）曲线 f(x)过点（0,0）和（1,1）

35

（2）曲线 f(x)与 y=a+b相切

2、指数函数★★

1x x指数函数y=a（a>0,a ）,定义域是R，过（0，1）点，当a>1时 y=a 单调增，

当0<a<1时，单调减，其图象为：

3、对数函数★★

11

xa

xa

y=log (a>0,a ) 定义域为（0，+ ）过（1，0）点，

当 a> 时，y=log 是增函数，当0<a<1时，是减函数

图

象

1a 0 1a

性

质

（1）定义域： (0, )（2）值域： R（3）过点 (1,0)，即当 1x 时， 0y（4）在（0，+∞）上是增函数 （4）在 (0, ) 上是减函数

常用的对数运算律（假设下列各式运算有意义）：

（1） log log loga a aM N MN

log log loga a aMM NN

（2） log logna aM n M

36

log logmn

aa

nM Mm

, 若 , log log nn

a am n M M 即

（3）对数恒等式：loga Ma M

（4）换底公式 ：logloglog

ca

c

MMa

（5） log 1, log 1 0a aa

注： 10lg logx x

例：（2008-1） a b

（1） ,a b为实数，且2 2a b

（2） ,a b为实数，且1 1( ) ( )2 2

a b

例：函数 xy a 在[0，1]上的最大值与最小值的差为 3，则 a 的值为（ ）

A．

12 B.2 C.4 D .

14

例：<1>、设 a＝ 3log ，b＝ 2log 3，c＝ 3log 2，则 ( )

A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>cD．b>c>a E.以上都不对

<2>、若 2log a >0，12

b

>1，则( )

A．a>1，b>0 B．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0 E.以上都不对

37

第四章 应用题

考试大纲要求：

应用数学知识解决实际问题的能力（应用题）。

考试要点梳理：

应用题

工程问题

纯算术问题

浓度问题

平均分（混合）问题

直线型

行程问题

不定方程问题

平均值类型题目用“十字交叉法”解决弄清单位“1”

环型

相遇问题

追击问题21 vv

st

21 vvst

溶质浓度 =

溶液

管道灌油也是工程问题

十字交叉法

集合问题 韦恩图

38

一、算术类应用题

注意：分清分数表示的是“量”还是“率”。

例 1：（2007-10）一满杯酒的容积为18升.

（1）瓶中有34升酒，再倒入 1满杯酒可使瓶中的酒增至

78升.

（2）瓶中有34升酒，再从瓶中倒出 2满杯酒可使瓶中的酒减至

12升.

例 2：（2014-1）某公司投资一个项目，已知上半年完成了预算的13，下半年完成了剩

余部分的23，此时还有 8千万元投资未完成，则该项目的预算为（ ）.

A.3亿 B.3.6亿 C.3.9亿 D.4.5亿 E.5.1亿例 3：（2012-1）在一次捐赠活动中，某市将捐赠的物品打包成件，其中帐篷和食品共

320件，帐篷比食品多 80件，则帐篷的件数是（ ）.A.180 B.200 C.220 D.240 E.260二、不定方程问题

注：整理成分式形式，推算整数解

例 1：（2010-10）一次考试有 20道题，做对一题得 8分，做错一题扣 5分，不做不计分，

某同学共得 13分，则该同学没做的题数是（ ）.A.4 B.6 C.7 D.8 E.9例 2： (2011-1)在年底的献爱心活动中，某单位共有 100人参加捐款，经统计，捐款总额

是 19000 元，个人捐款数额有 100元、500元和 2000元三种，该单位捐款 500 元的人数为

（ ）.A.13 B.18 C.25 D.30 E.28三、利润问题以及百分比应用题

注意：这类问题的关键是找准基准量，明确所求的是哪些量的比。

1. 变化率概念：

-100%= 100%

现值 原值变化量变化率

变前量 原值

设原值为 a，变化率为 %p ，若上升 %p ，则现值 1 %a p （ ），若下降 %p ，则现

值 1 %a p （ ）.2. 利润问题

（1） 利润 售价 进价；

（2） % % 1 %

售价 成本利润 售价

100 100 （ ）100 ；成

利润率本(进价) 成本 成本

（3） = = 1++ 售价 成本 （ 利成本 利润 润率）.

39

3. 连续增长：一月份产值为 a .以后每月比上月增长 %p ，则十二月份产值11(1 %)a p ，

全年产值为 11(1 %)+ + (1 %)a a p a p … .

例 1：(2010—1).某商品的成本为 240元。若按该商品标价的八折出售，利润率是 15%，

则该商品的标价为

（A）276元 （B）331元 （C）345元 （D）360元 （E）400元

例 2：某商品单价上调 10％后，再降回原价，问下降的百分比是（ ）

A.6% B.7% C.11% D.9% E.12%例 3：（2009-1）A企业的职工人数今年比前年增加了 30%.

（1）A企业的职工人数去年比前年减少了 20%；

（2）A企业的职工人数今年比去年增加了 50%.例 4：（2010-1）企业今年人均成本是去年的 60%.

（1）甲企业今年总成本比去年减少 25%，员工人数增加 25%;（2）甲企业今年总成本比去年减少 28%，员工人数增加 20%.四、比例问题

例 1：(2010-1)电影开演时观众中女士与男士人数之比为 5：4，开演后无观众入场，放映

一个小时后，女士的 20%，男士的 15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为（ ）.A.4:5 B.1:1 C.5:4 D.20:17 E.85:64

例 2：某公司得到一笔贷款共 68 万元用于下属三个工厂的设备改造，结果甲、乙、丙三

个工厂按比例分别得到 36 万元、24 万元和 8 万元。

（1）甲、乙、丙三个工厂按1 1 1: :2 3 9

的比例分配贷款

（2）甲、乙、丙三个工厂按 9：6：2 的比例分配贷款

五、行程问题

1.基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间.2.相遇及追击问题

（1）直线运动：

①两人相向而行，在中途相遇（如图 1）：设甲乙两人在一段路程上行走，他们的速度

分别为 1 2,v v ，相遇时两人走过的路程为 1 2,S S ，相遇时所用时间为 t，则 1 2

1 2

S Stv v

：

②甲乙两人从同一起点行走，甲先走了一段路程 S后，乙沿同样的路程去追甲（如图 2），

乙追上甲所用时间为 t，他们的速度分别为 1 2 1 2,v v v v ，则2 1

Stv v

.

40

图 1 图 2（2）圆周运动（设圆周长为 S）

①甲乙从同一点开始同向运动（如图 1）：则 S S S 甲 乙 ，甲乙每相遇一次，甲比乙

多跑一圈，若相遇 n次，则有 S S n S 甲 乙 ；

②甲乙从同一点开始相背运动（如图 2）：则 S S S 甲 乙 ，甲乙每相遇一次，甲与乙

路程之和为一圈，若相遇 n次有 S S n S 甲 乙 .

图 1 图 2

【注意】在解决圆圈型问题时，可将其转化为相遇，追及问题求解。

例 1：（2007-10）甲、乙、丙三人进行百米赛跑（假设他们速度不变），当甲到达终点时，

乙距离终点还有 10米，丙距离终点还有 16米，当乙到达终点时，丙距离终点还有（ ）米.

A.223

B.203

C.153

D.103

E.以上选项均不正确

例 2：（2002-10）A、B两地相距 15 公里，甲中午 12时从 A地出发，步行前往 B 地，

20分钟后乙从 B地出发骑车前往 A地，到达 A地后乙停留 40分钟后骑车从原路返回，结

果甲、乙同时到达 B地，若乙骑车比甲每小时快 10公里，则两人同时到达 B地的时间是（ ）.A.下午 2时 B.下午 2时半 C.下午 3时D.下午 3时半 E.以上选项均不正确

例 3：（2011-10）甲、乙两人赛跑，甲的速度是 6米/秒.（1）乙比甲先跑 12米，甲起跑后 6秒钟追上乙；

（2）乙比甲先跑 2.5秒，甲起跑后 5秒钟追上乙.六、相对速度问题

（1）顺水逆水问题

原理：

2 V v v

V V vV v v

顺 船 水

顺 逆 水逆 船 水

例 1：（2011-1）已知船在静水中的速度为 28千米/小时，河水的流速为 2千米/小时，则

此船在相距 78千米的两地间往返一次所需时间是（ ）.A.5.9小时 B.5.6小时 C.5.4小时

D.4.4小时 E.4小时

例 2：（2009-1）一艘轮船往返航行于甲、乙两个码头之间，若船在静水中的速度不变，

则当这条河的水流速度增加 50%时，往返一次所需的时间比原来将（ ）.A.增加 B.减少半个小时 C.不变

41

D.减少一个小时 E.无法判断

例 3：（2005-1）一支队伍排成长度为 800米的队列行军，速度为 80米/分，队首的通讯

员以 3倍于行军的速度跑步到队尾，花 1分钟传达首长命令后，立即以同样的速度跑回到队

首，在这往返全过程中通讯员所花费的时间为（ ）.A.6.5分 B.7.5分 C.8分 D.8.5分E.10分（2）火车问题

例 4：（2005-10）一列火车完全通过一个长为 1600米的隧道用了 25秒，通过一根电线杆

用了 5秒，则该火车的长度为（ ）.A.200米 B.300米 C.400米 D.450米E.500米例 5：（2011-10）一列火车匀速行驶时，通过一座长为 250米的桥梁需要 10秒钟，通过一

座长为 450米的桥梁需要 15秒钟，该火车通过长为 1050米的桥梁需要（ ）秒.A.22 B.25 C.28 D.30 E.35七、工程问题（进水放水问题）

解决这类问题时，通常将整个工程量看成单位 1，然后根据题目条件按比例求解.

计算公式：工作效率＝完成的工作量÷工作时间，

总量＝部分量÷部分量所占的比例.

例如：

11 .aa

.一件工程甲队单独做 天完成，则甲队单独做一天完成工程的

1 12. ,

1 11

a ba ba b ab

aba b a b

一件工程甲队单独做 天完成,乙队单独做 天完成,则甲乙两队合作一天完成工程的

甲乙两队合作需 天完成.

例 1：（2010-10）一项工程要在规定时间内完成，若甲单独做要比规定的时间推迟 4天，

乙单独做要比规定的时间提前 2天完成，若甲、乙合作了 3天，剩下的部分由甲单独做，恰

好在规定时间内完成，则规定时间为（ ）天.A.19 B.20 C.21 D.22 E.24

例 2：（2011-1）某施工队承担了开凿一条长为 2400米隧道的工程，在掘进了 400米后，

由于改进了施工工艺，每天比原计划多掘进 2米，最后提前 50天完成了施工任务，原计划

施工工期是（ ）天.A.200 B.240 C.250 D.300 E.350

例 3：(2011-1)现有一批文字材料需要打印，两台新型打印机单独完成此任务分别需要 4小时与 5小时，两台旧型打印机单独完成此任务分别需要 9 小时与 11小时，则能在 2.5小时内完成任务.（1）安排两台新型打印机同时打印；

（2）安排一台新型打印机与两台旧型打印机同时打印.八、平均值问题（以及溶液配比问题）

注意：一定优先使用“十字交叉法”！！！

42

原理：设一个整体可分成 A、B两部分，A 部分的数值有 x个 a , B 部分的数值有 y个b , A+B

的平均值为 c ,则我们可用十字交叉法来求 A、B 数量之比：

则根据 ( )ax by c x y , 得x c by a c

.

例 1：(2014-1)某部门在一次联欢活动中共设了 26 个奖，奖品均价为 280元，其中一等

奖单价为 400元，其他奖品均价为 270元，一等奖的个数为（ ）.A.6 B.5 C.4 D.3 E.2

例 2：（08－1）、若用浓度 30％和 20％的甲、乙两种食盐溶液配成浓度为 24％的食盐

溶液 500克，则甲、乙两种溶液应各取（ ）

A. 180克和 320克 B. 185克和 315克 C. 190克和 310克

D. 195克和 305克 E. 200克和 300克

例 3：车间共有 40 人，某次技术操作考核的平均成绩为 80 分，其中男工平均成绩为 83 分，

女工平均成绩为 78 分，该车间有女工（ ）人

（A）16 (B)18 (C)20 (D)24 (E)28

例 4：（2009-10）已知某车间的男工人数比女工人数多 80%，若在该车间一次技术考核

中全体工人的平均成绩为 75分，而女工的平均成绩比男工平均成绩高 20%，则女工的平均

成绩为（ ）分.A.88 B.86 C.84 D.82 E.80九、溶液问题。

注意：一定注意溶质守恒！！

1、解题原理：

（1）溶液=溶质+溶剂 （2）溶质

浓度 =溶液

2、解题技巧：

（1）根据溶质守恒找等量关系 （2）溶液配比问题优先考虑：十字交叉法

例：(2011-10)含盐 12.5%的盐水 40千克蒸发掉部分水分后变成了含盐 20%的盐水，蒸

发掉的水分的重量为（ ）千克.A.19 B.18 C.17 D.16 E.15十、集合问题（多用维恩图进行解答）

设 ( )m A 表示集合 A所含元素的个数，则（其他集合元素个数表示法类似）：

A： a c– bC

B: b a - c

43

图 1 图 2

( ) ( ) ( ) ( )m A B m A m B m AB （如图 1），( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m A B C m A m B m C m AB m AC m BC m ABC （如图 2）.

例 1：（2008-1）某单位有 90人，其中 65人参加外语培训，72人参加计算机培训，已

知参加外语培训而未参加计算机培训的有 8人，则参加计算机培训而未参加外语培训的的人

数是（ ）.A.5 B.8 C.10 D.12 E.15

例 2：（2011-1）某年级 60名学生中，有 30人参加合唱团，45人参加运动员，其中参

加合唱团而未参加运动队的有 8人，则参加运动队而未参加合唱团的有（ ）人.A.15 B.22 C.23 D.30 E.37

例 3：（2008-10）某班同学参加智力竞赛，共有 A、B、C三题，每题或得 0 分或得满

分，竞赛结果无人得 0分，三题全部答对的有 1人，答对两题的有 15人，答对 A题的人数

和答对 B题的人数之和为 29人，答对 A题的人数和答对 C题的人数之和为 25人，答对 B题的人数和答对 C题的人数之和为 20人，那么该班的人数为（ ）人.A.20 B.25 C.30 D.35 E.40

例 4：（2010-1）某公司的员工中，拥有本科毕业证，计算机等级证，汽车驾驶证的人

数分别为 130，110，90，又知只有一种证的人数为 140，三证齐全的人数为 30，则恰有双

证的人数为（ ）.A,45 B.50 C.52 D.65 E.100:

第五章 数列

考试大纲要求：数列、等差数列、等比数列

44

考试要点梳理：

m n p qm n p q a a a a

数列

基本概念

前 n项和 nn aaaS ...21

两个特殊数列

dmnadnaa mn )()1(1

性质

等差数列

等比数列

11

21

( 1)2 2

( )2 2

nn

a a n nS n na d

d dn a n

1 *1 (q , n N )n

na a q 为常数

通项1

1

n=1n 2n

n n

Sa

S S

qpnm aaaaqpnm

2 3 2, , ,n n n n nS S S S S 为等差数列

2 1

2 1

k k

k k

a Sb T

性质

2 3 2, , ,n n n n nS S S S S 为等比数列

通项

通项

前n项和

nn

n qq

aq

aqqaS

111

)1( 111前n项和

45

一、数列的概念:

依某顺序排成一列的数. 表示方法： 1 2 3 1, , , ,n na a a a a .或数列 na .

1. 通项以及通项公式:

数列 na ： 1 2 3 1, , , ,n na a a a a ，通项 na ，通项公式 ( )na f n .

要求：能看出一些简单数列的通项公式

例．写出下列数列的一个通项公式:

(1) 1,-1,1,-1,… (2)1，-2,3,-4, …

(3) 3,5,9,17,33,…

2.通项公式 na 和前 n项和 nS 之间的关系（★★★）

1 1       1 2

1 n-1

      n=1,     

S -S            n 2           

n

n n i ni n

a SS a a a a a

由此，掌握“已知 ns 求 na ”的题型。

注意： 1 2n n na S S n （ ），用此公式则不包含 1a !即用完此公式后，要进行验证

首项是否符合公式，如果不符合，应该单列出首项。

例：（2013-10）若数列 na 的前 n项和 24 2 nnSn ，则它的通项公式是（ ）.

A. 38 nan B. 58 nan C.

2,38

,1,3nn

nan

D.

2,58

,1,3nn

nan E.以上选项均不正确

例：数列 na 的前几项和 ,232 nnSn 则 321 nnn aaa （ ）.

A.6n+18 B.3n+6 C.6n D.18 E.6n-18

二、等差数列的基本概念

1、定义★: 如果一个数列从第 2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，

这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差，记做 d.即：

1 .( , )n na a d d n N 为常数 ；.

46

2、通项公式★★:

1 1 .( , )na a n d d n N （ ） 为常数 ；（知“三”求“一”）

例如：数列通项公式为 5 3na n .

可得：1）是等差数列， 2）公差为 5， 3）首项为 2.

例：（2008-10）下列通项公式表示的数列为等差数列的是（ ）.

A.1

nnan B. 12 nan C. n

n na )1(5

D. 13 nan E. 3 nnan

等差数列通项公式推广: .( , )n ma a n m d d n m N （ ） 为常数 、 . 可变

形: n ma adn m

3、前 n项和公式★★★:

11

1( )2 2

nn

n na a nS na d

当公差 d不为 0时，可将化成关于 n的二次函数

21( ) ( )

2 2nd ds n a n ，

其特点：

（1）常数项为零，过原点； （2）开口方向由 d决定；

（3）二次项系数为2d； （4）对称轴 11

2axd

（求最值）；

思考：一个数列前 n项和 22nS n n ，则这个数列是一个怎样的数列？

4、等差中项:如果 a,A,b 成等差数列,那么 A叫做 a与 b的等差中项,即2

a bA .

中项公式： 1 22 .( )n n na a a n N

5、下标和定理：m n p q ,则 ( , , , )m n p qa a a a m n p q N .特殊地,当

p q 时, 2m n pa a a .

注意：可以将此公式推广到多个，但要满足两个成立条件：一是下标之和要分

别相等，二是等号两端的项数要分别相等。如：

47

2 8 12 4 7 11 6 16a a a a a a a a ＋ （因为项数不同）

6、解决等差数列基本问题的思路：

（1）首选特殊值法

（2）观察下标，有规律就用各个定理，没有规律就用万能方法（即全都用 1a 和

d表示）。

例：（2014-1）已知 na 为等差数列，且 9852 aaa ，则 921 ... aaa （ ）.

A.27 B.45 C.54 D.81 E.162

例：（2011-10）若等差数列 na 满足 7 35 12 0a a ，

15

1k

ka

（ ）.

A.15 B.24 C.30 D.45 E.60

例：（2008-10） .5481 aaaa

（1） na 为等差数列，且 ;01 a

（2） na 为等差数列，且公差 .0d

重点题型：

1、求等差数列前 n 项和 ns 最值问题

思考：数列 8,7,6,5,4,3,2,1,0，-1，-2，-3，-4.....前 n 项和有无最值？

数列 5.5,4.5,3,5,2.5,1.5,0.5.-0.5,-1.5,-2.5......前 n 项和有无最

值？

总结：（一）当 1 0, 0a d 时， ns 有最小值。

（二）当 1 0, 0a d 时， ns 有最大值。

（三）当 na 为 0或者 na 变号（由负变正或者由正变负）时， ns 会出现最值。

求 ns 最值思路（1）：求0na 时 n值

令0na ，若解得 n为整数 m，则 1m ms s

均为最值。

（2）：前 n 项和可整理为： 21( ) ( )

2 2nd ds n a n ，利用二次函数

相关知识求最值。求出对称轴，则最值取在最靠近对称轴的整数处。

48

例：一个等差数列的首项为 21，公差为-3，则 n项和 nS 的最大值为（ ）.

A.70 B.75 C.80 D.84 E.90

2、连续等长片段和问题

若 nS 为等差数列 na 的前 n项和,则 2 3 2, , ,n n n n nS S S S S 成等差数列，且公差

为 2n d .

例：若在等差数列中前 5项和为 20，紧接在后面的 5项和为 40,则紧接在后面的

5项和为（ ）.A.40 B.45 C.50 D.55 E.60

3、两个等差数列 ns 之比问题

重要结论：若两个等差数列 na 和 nb 的前 2k-1 项和分别用 2 1kS 和 2 1kT 表示，

则2 1

2 1

k k

k k

S aT b

。

例：（2009-1） nnnn TbSna 项和的前与项和的前 n满足

2:3: 1919 TS .

（1） nn ba 和 是等差数列；

（2） 2:3: 1010 ba .

4、等差数列的判定问题

（1）定义法: 1 .( , )n na a d d n N 为常数 ； （特值法验证前三项）

（2）通项公式法: na kn b , ( , , )k b n N为常数 ；

(因为 1 11 ( ).( , )na a n d dn a d d n N （ ） 为常数 ；

则 na 可表示为 ,na kn b 其中 k为等差数列的公差,它可取任意实数)

（3）前 n项和公式法: 2 ( , )nS an bn a b 为常数 .

其中 a,b 可以为任意实数,常数项为 0是一大特点)

49

三、 等比数列的基本概念: （注意等比数列任一个元素均不能为零！）

1、定义★: 1n

n

a q qa （ 为非零常数）

2、通项公式★★: 11 ( , )n

na a q q n N 为常数 ；

推广: ( , )n mn ma a q q n m N 为常数 、 .

3、前 n项和★★★:1

11

.( 1)

(1 ) ( 1)1 1

nn n

na qS a a qa q q

q q

或

4、等比中项: 如果 a,G,b 成等比数列,

那么 G叫做 a与 b的等比中项, 0G ab ab ，显然 .

中项公式： 21 2n n na a a n N

5．下标和定理：

na 为等比数列，若m n p q ,则 ( , , , )m n p qa a a a m n p q N .

特殊地,当 p=q 时, 2m n pa a a .

注意：可以将此公式推广到多个，但要满足两个成立条件：一是下标之和要分别

相 等 ， 二 是 等 号 两 端 的 项 数 要 分 别 相 等 。 如 ：

2 8 12 4 7 11 6 16a a a a a a a a （因为项数不同）

易错点：等比数列中各项符号问题

注意：在等比数列中，所有奇数项都是同号的，所有偶数项也是同号的，但是

相邻两项可能同号也可能异号。

6、解决等比数列基本问题的思路：

（1）首选特殊值法

（2）观察下标，有规律就用各个定理，没有规律就用万能方法（即全都用 1a 和

q表示）。

例：（2011-10）若等比数列 252 825342 aaaaaaan 满足 ，且 01 a ，则 53 aa

（ ）.A.8 B.5 C.2 D.-2 E.-5

例：等比数列 na 中， 30,34 1515 aaaa ，那么 3a （ ）.

A.±8 B.8 C.±5 D.-5 E.8

50

重点题型：

1.连续等长片段和问题

结论：若 nS 为公比为 q的等比数列 na 的前 n项和,则 2 3 2, , ,n n n n nS S S S S 也

成等比数列，新公比为 nq 。

例：已知等比数列的公比为 2，且前 4项只和等于 1，那么其前 8项只和等于（ ）.A.15 B.17 C.19 D.21 E.232、等比数列的判定问题

例：（2007-10） 1266 S .

（1）数列 na 的通项公式是 )43(10 nan )( Nn ；

（2）数列 na 的通项公式是 )(2 Nna nn .

第六章 几何部分

第一节、平面几何

平面几何考试大纲要求：

1、平面图形

（1）三角形 （2）四边形(矩形、平行四边形、梯形) （3）圆与扇形

51

平面几何考试要点梳理：

一. 三角形

1.三角形的性质:

<1>.三角形内角和定理: 180A B C

<2>..三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

<3>.三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

sin2 2( )( )( )

ah abS C

p p a p b p c

面积

一般性质 边，角（内角和，外角的性质）

直线

相交（垂直）

平行

等边三角形

等腰三角形

四边形

平行四边形

梯形

全等与相似

直角三角形

圆

圆的性质

扇形

三角形

特殊三角形

平面图形

几何图形

52

<4> .三角形面积公式:1 1 sin ( )( )( )( )2 2

S ah ab C p p a p b p c 海仑公式 ，其中

2p a b c .

其中 h是 a边上的高， C 是 ba, 边所夹的角， p为三角形的半周长.

2.特殊三角形:

<1>.直角三角形:

2. 勾股定理：★★★

222 bac . 三角形是直角三角形(其中 90C ).

重要结论：直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。

两种特殊的直角三角形三边关系：

30°直角三角形： 2:3:1 等腰直角三角形： 2:1:1

2.两直角边的乘积等于斜边与其高的乘积.

<2>.等腰三角形：

（中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三

角形的角平分线。

高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）

1 .等腰三角形 两个底角相等 两腰上的中线相等，两底角平分线相等.

②. 等腰三角形三线合一：顶角平分线 底边上的高底边上的中线

<3>.等边三角形：

1 . 三条边都相等，各角都相等（60°）

2 . 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形

3 . 面积为 234

S a （ a为边长）

<4>.两个三角形的全等（△ABC≌△A´B´C´）:

① 判定方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS、HL（5 种）

② 性质：对应线段（对应边，对应边上的高、中线、角平分线）均相等，且对应角、面

积也相等.

<5>.两个三角形的相似（△ABC∽△ADE）：

三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

53

AE ADAC AB

AD AE DEAB AC BC

相似比的定义：相似三角形对应边的比（ k）叫做相似比（或相似系数）。

相似性质：

a. 相似三角形的对应角相等，对应线段成比例.

b. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 .

c. 相似三角形周长的比等于相似比; 面积的比等于相似比的平方.

相似的应用：

a.三角形中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于

第三边，并且等于第三边的一半。

b.注意：相似经常使用在直角三角形中！！（射影定理）

在直角三角形中，射影定理是图形计算的重要定理。

在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BD 是斜边 AC 上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

二. 四边形(平行四边形)

1. 四边形的内角和等于 360°;

多边形内角和定理: n 边形的内角的和等于（n-2）×180°.

54

推论：多边形的外角和是 360°.

2. 平行四边形的性质:

（1） 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2） 平行四边形的性质：

A.平行四边形的对边平行且相等，对角相等；

B.平行四边形的对角线互相平分.

(3)若平行四边形两边长是 a， b ，以 b 为底边的高为 h，则面积为 S bh ，周长

2( )l a b .

3. 特殊的平行四边形：

（1）矩形: 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

对角线相等 面积 abS 。

（2）菱形: 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

对角线垂直且每一条对角线平分一组对角

面积 2121 llS ， 即为两条对角线乘积的一半。

（3）正方形: 既是矩形，又是菱形。

4．梯形：一组对边平行, 另一组对边不平行的四边形.

设梯形的上底为 a，下底为b，高为 h，则中位线＝1 ( )2a b ，面积为 hbas )(

21

.

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。a.对角线相等的梯形是等腰梯形；b.在同一底上

的两个底角相等的梯形是等腰梯形。

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

三.圆:

(1)圆的定义: 圆是到定点的距离等于定长的点的集合

(2)周长为 2C R ,面积是 2S R .

（3）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

（4）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形.

①在扇形 OAB 中，若圆心角为 0n ，则 AB 弧长180Rnl

,扇形面积360

2RnS

②若圆心角为弧度，则 AB 弧长 Rl ，扇形面积21 1

2 2S Rl R ＝

基础题型梳理：

1、考察平面几何基础知识：（边与角）

例：如图，AB//CD,EG⊥AB,垂足为 G，若∠1=50º，则∠E= .

A.30º B.40º C.50º D.60º E.75º

55

例：如图所示，AB 是直角三角形的斜边，CD 是高，则有 5 13BC 。

(1). 12, 13 (2). 13, 12AD DB AD DB

2、求阴影图形面积（重点题型）★★★★

（1）观察法

重要模型：正方形中的“叶片”

例：正方形边长为 2，分别以两个对角顶点为圆心，以边长为半径画弧，求阴影面积。

例：如图，正方形边长为 2，求阴影图形面积

（2）拼凑，切割法

例：以三角形 ABC三个顶点为圆心的三个圆半径都为 1，求阴影图形面积。

例：平行四边形 ABCD 的面积 m，点 E ，F 分别平分边 AB，BC，则△DEF 的面积为？

56

（3）填补法

例：AB 为半圆直径，C、D 为半圆三等分点，半径为 1，求阴影图形面积。

第二节、立体几何

立体几何考试大纲要求：

空间几何体

（1）长方体 （2）圆柱体 （3）球体

立体几何考试要点梳理：

一． 长方体：

1．基本概念：六个面都为矩形，长方体中的的每一个矩形都叫做长方体的面，面与面相交

的线叫做长方体的棱，三条棱相交的点叫做长方体的顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度

分别叫做长方体的长、宽、高。当长、宽、高都相等时，称为立方体。

2．基本公式：

设长方体的在同一个顶点上的三条棱长分为 a，b，c

立体图形

体对角线

长（正）方体

球

表面积体积公式

切接问题

表面积

体积

圆柱体

表面积

体积

57

2 2 2a b c

全

(1)体积V=abc

(2)全面积：S =2(ab+bc+ca)

（3）体对角线：d=

3 26 , 3a d a 全

（4）当a=b=c时，称为正方体，

V=a ，S

二. 圆柱

1、基本概念

圆柱看作以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成的曲面所围成的几何体。

3、圆柱侧面展开图及侧面积

把圆柱一条母线剪开后展开在平面上，就得到它们的侧面展开图。

圆柱的侧面展开图是一个矩形（见下图），矩形的长是底面圆的周长，宽是圆柱的高（即

母线长）

4、基本公式：

设圆柱的高为h,底面圆半径是r

2r h (1)体积：V=

2

2

2

r h

hh

侧

全 侧 (上底+下底)

(2)侧面积:S （r为底面圆的半径，h为圆柱的高）

其侧面展开图为一个长为2 r，宽为 的长方形。

（3）全面积：S =S +S =2 r r

三．球 体

1、球的概念

半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，

简称球。其中半圆的圆心叫做球的球心，连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，

连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

2、基本公式：

设球的半径为 R：

（1）球的表面积公式：2 2=4 =S R S D 表 表或 （D是球的直径）

（2）球的体积公式：3 34 1

3 6V R V D 或 （D是球的直

58

径）

基础题型梳理：

1、考查常见立体图形侧面积、表面积、展开图。

.

A B C D

2例1.若一个长方体的表面积是22cm ，所有棱长之和为24cm，则长方体的体对角线长为

（ ）cm

（ ）14 （ ）12 （ ）2 133 （ ）122 （E） 35

例：长方体 1 1 1 1 14, 3, 5,ABCD ABC D AB BC BB 中， 从点 A 出发沿表面运动到 1C 点

的最短路线长为（ ）

A B C D 5 2（ ）3 10 （ ）4 5 （ ）74 （ ）57 （E）

例：压路机的前轮是圆柱体，轮宽 1.5 米，直径 1.2 米，前轮每分钟转动 10 周，则每分钟

前进 米.

A.6π B.8π C.10π D.12π E.以上都不正确

第三节、平面解析几何

考试大纲要求：

（1）平面直角坐标系 （2）直线方程与圆的方程 （3）两点间距离公式与点

到直线的距离公式

59

考试要点梳理：

位置关系

直线与直线

平行

圆与圆

直线与圆

内含

相交

相内切

相交

相切

判定

相离

相交

相离

相外切

点与直线 点到直线距离公式

点与点 两点间距离公式

求交点

平行线间距离公式

判定两直线平行

判定

判定

对称

中心对称

直线关于直线对称

点关于直线对称

点关于点对称

直线关于点对称

求法

60

一.两点之间距离公式：

在平面直角坐标系中，设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则2 2

2 1 2 1( ) ( )AB x x y y

二．中点坐标公式：

（1）点 ( , )P x y 是线段 1 2PP 的中点，其中 1 1 1 2 2 2, , ,P x y P x y ，则 P 点坐标为

1 2 1 2,2 2

x x y yx y

。

（2）三角形的重心坐标公式 : ABC 三个顶点的坐标分别为 1 1A(x ,y )、 2 2B(x ,y )、

3 3C(x ,y ),则 ABC 的重心坐标是: 1 2 3 1 2 3( , )3 3

x x x y y yG .

例：已知三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为（0,2）（-2,4）（5,0），则这个三角形的重心

坐标为（ ）

A（1,2） B（1,3）

C（-1,2） D（0,1） E（1，-1）

三. 直线的倾斜角与斜率：

<1> 直线的倾斜角:一条直线 l向上的方向与 x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线

的倾斜角. 特殊地，当直线 l和 x 轴平行时，倾斜角为0 ，故倾角:0 180 ．

<2> 直线的斜率：倾斜角不是 90°的直线的倾斜角的正切叫做此直线的斜率．.

直线的斜率反映了直线对 x 轴的倾斜程度.

直线的斜率常用 k表示，即 tank . 注意:垂直于 x 轴的直线没有斜率（ 90 ）．

当2 时，直线的斜率不存在；

<3> 过两点 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y 的直线的斜率公式: 2 1

2 1

y ykx x

1 2x x .

四.直线的方程: ★★

<1>.点斜式: 1 1( )y y k x x (直线 l过点 1 1 1( , )P x y ，且斜率为 k )．

1 .当直线的倾斜角为 0°时，k=0，直线的方程是 y= 1y ．

61

②.当直线的倾斜角为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．

但因 l上每一点的横坐标都等于 1x ，所以它的方程是 1x x ．

<2>.斜截式: y kx b ,斜率为 k ,在 y 轴上的截距为b .

注意:它不含垂直于 x轴的直线.

<3>一般式: 0Ax By C (其中 A、B 不同时为 0). 斜率为:BA

<4>两点式： 1 1

2 1 2 1

y y x xy y x x

（已知直线上两点 1 1 1 2 2 2, , ,P x y P x y ）

（ 1 2 1 2,x x y y ），注意：它不能表示倾斜角为0和90的直线。

<5>截距式： 1x ya b （已知 x轴上的截距为 a， y轴上的截距为b）

五.两直线的位置关系: ★

设不重合的两条直线为 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C

<1>相交:

1 会求交点:联立1 1 1

2 2 2

00

A x B y CA x B y C

有唯一一组实数解。

②两条直线的夹角公式:若 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b , 1 2 1k k

夹角的定义：一条直线到另一条直线所成的小于直角的角，即两条直线所成的锐角叫做两条

直线所成的角，简称夹角。并且规定，当两条直线垂直时，两条直线的夹角为90 .

直线 1l 和 2l 的夹角公式: 2 1

2 1

tan | |1k kk k

,范围为 0,

2

.

<2>平行: ★★

1 若 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b ; 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b

62

2 若 1 1 1 1: 0l A x B y C ， 2 2 2 2: 0l A x B y C . 1 1 11 2

2 2 2

/ / A B Cl lA B C

<3>.垂直：★★

①若 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b ; 1 2 1 2 1l l k k

②若 1 1 1 1: 0l A x B y C ， 2 2 2 2: 0l A x B y C . 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B ；

<4>.两条平行直线的距离公式：

直线 1l ： 1 0Ax By C 平行于直线 2l ： 2 0Ax By C ，则它们之间的距离为：

2 1

2 2

C Cd

A B

六.点到直线的距离公式:

<1>平面内一点 0 0( , )P x y 到直线 : 0l Ax By C 的距离公式：0 0

2 2

Ax By Cd

A B

例：已知平行四边形两条邻边所在的直线方程是 x+y-1=0,3x-y+4=0,它的对角线的交点是 M

（3,3），则这个平行四边形其他两条边所在的直线方程为（ ）

A3x-y-15=0,x+y-11=0 B3x-y-16=0,x+y-11=0

C3x-y+1=0,x+y-8=0 D3x-y-11=0,x+y-16=0 E3x-y+1=0,x+y-11=0

七.点线之间的对称问题:★★

<1>点关于特殊直线的对称点:(牢记)

设点 0 0( , )P x y 是直角坐标系内任意一点，则点 0 0( , )P x y

①关于 x轴的对称点为（ 0 0,x y ）；

②关于 y轴的对称点为 0 0( , );x y

63

③关于原点的对称点为 0 0( , );x y

④关于点 ( , )A a b 的对称点为 0 0(2 , 2 );a x b y

⑤关于直线 x a 的对称点为 0 0(2 , );a x y

⑥关于直线 y a 的对称点为 0 0( , 2 )x a y ；

⑦关于直线 y x 的对称点为 0 0( , );y x

⑧关于直线关于直线 y x 的对称点为 0 0( , );y x

<2>.其他对称问题:（重点题型都在这里！！！）★★★★★

①求已知点关于某已知直线的对称点★★

点 0 0( , )P x y 关于直线 0Ax By C 的对称点为（ 1 1,x y ），则（ 1 1,x y ）是方程组

0 1 0 1

1 0

1 0

02 2

1

x x y yA B C

y y Ax x B

（ ）

的解.

②求已知直线关于某已知点的对称直线

直线 l： 0Ax By C 关于点 0 0( , )P x y 对称的直线方程是

0 02 2 0A x x B y y C （ ） （ ）

八.圆的两种方程:★★

<1>.圆的标准方程：222 )()( rbyax （r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为

（a，b），半径为 r. 特别地，当圆心在原点（0，0），半径为 r 时，圆的方程为222 ryx .

<2>.圆的一般方程： 022 FEyDxyx （ FED 422 ＞0）,

其圆心坐标为（2D

，2E

），半径为 FEDr 421 22 .

2 2 4 0D E F 时，方程表示一个点（2D

，2E

）；

当 2 2 4 0D E F 时，方程不表示任何图形.

64

九.点和圆、直线和圆、圆与圆的位置关系：

１.点 0 0( , )P x y 与圆的位置关系:

<1> 对于圆的标准方程222 )()( rbyax ， 若

2 20 0( ) ( )d a x b y ，

则有: d r 点P在圆外; d r 点 P在圆上; d r 点 P在圆内.

<2>对于圆的一般方程： 022 FEyDxyx 则有:

2 20 0 0 0 0x y Dx Ey F 点P在圆内;

2 20 0 0 0 0x y Dx Ey F 点P在圆上 ;

2 20 0 0 0 0x y Dx Ey F 点P在圆外 .

２.直线与圆的位置关系有三种: （本质是求点到直线的距离）

直线 0 CByAx 与圆222 )()( rbyax 的位置关系:

<1>. 圆心到直线的距离:22 BA

CBbAad

.

d r 相离; d r 相切; d r 相交

例：（2011-10）直线 l是圆 2 22 4 0x x y y 的一条切线

（1） l :x-2y=0（2） l :2x-y=0

例：（2010-10）直线 y=k(x+2)是圆 2 2 1x y 的一条切线

（1）k=

33

（2）k=33

例：（2011-1）设 P 是圆 2 2 2x y 上的一点，该圆在点 P的切线平行于直线 2 0x y ，

圆点 P的坐标为（ ）.

A.（-1，1） B.（1，-1）

C.（0， 2） D.（ 2 ，0） E.（1，1）

3．圆与圆的位置关系有五种：（本质是求两点之间距离）

设两圆圆心分别为 1O 、 2O ,半径分别为 1 2,r r . dOO 21

条公切线外离 421 rrd ; 条公切线外切 321 rrd ;

65

条公切线相交 22121 rrdrr ; 条公切线内切 121 rrd ;

1 20 d r r 内含 无公切线

分析两圆位置关系的解题步骤：

（1）根据两圆方程确定两圆圆心，以及两圆半径。

（2）根据两点间距离公式求出两圆圆心距，分析圆心距与两圆半径之间的大小关系。

例：（2013-10）已知圆 A：2 2 4 2 1 0x y x y ，则圆 B 与圆 A相切，

（1）圆 B：2 2 2 6 1 0;x y x y

（2）圆 B：2 2 6 0.x y x

例：（2009-10）圆 2 23 4 25x y 与圆 2 2 21 2x y r 相切。

（1） 5 2 3r

（2） 5 2 2r

第七章 数据分析

考试大纲要求1.排列组合（计数方法）

（1）加法原理、乘法原理

（2）排列与排列数

（3）组合与组合数

2.数据描述

（1）平均值

（2）方差与标准差

（3）数据的图表表示：直方图，饼图，数表.

3.概率

（1）事件及其简单运算

（2）加法公式

（3）乘法公式

（4）古典概型

（5）伯努利概型

66

考试要点梳理

第一节 排列组合与计数原理

【知识结构】

【知识要点】一、两个基本原理★★★

1.加法（分类）原理

如果完成一件事有 n 类办法,只要选择其中任何一类办法中的任何一种方法,就可以完

成这件事.若第一类办法中有 1m 种不同的方法,第二类办法中有 2m 种不同的方法，……，第

n类办法中有 nm 种不同的办法，那么完成这件事共有 nmmmN 21 种不同的方法.

2.乘法（分步）原理

如果完成一件事，必须依次连续地完成 n个步骤，这件事才能完成.若完成第一个步骤

有 1m 种不同的方法，完成第二个步骤有 2m 种不同的方法，……，完成第 n 个步骤有 nm 种

不同的方法，那么完成这件事共有 nmmmN 21 种不同的方法.

【注意】（1）两大原理的区别：两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.

如果完成一件事有 n类办法，这n类办法之间彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的

哪一种方法都能独立完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件

事需要分成 n个步骤，缺一不可，即需要完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个

步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用乘法原理.

（2）解题时注意分清是分类还是分步，对于较复杂的排列组合问题一般同时要用到分

类加法原理和分步乘法原理，一般是先分类，后分步.

例：A点到 B 点可以做火车 3班、飞机 2 班、轮船 1班，共有几种方式从 A到 B？

A 点到 B 点要经过 C 点，A 到 C 有火车 3 班，C 到 B 有 1 班飞船 1 班飞机。问 A 到 B 有

几种方式？

例：现有高一四个班级学生 34 人，其中一、二、三、四班各 7 人，8 人，9 人，10 人，他

们自愿组成数学课外小组。

（1）选其中 1 人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选 1 名组长，有多少种不同的选法？

例：书架的第 1 层放有 4本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2

本不同的体育书，

(1)从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？

加法(分类)原理两个基本原理

乘法(分步)原理

排列与排列数(元素需要区分)

组合与组合数(元素不必区分)

计数原理

67

(2)从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？

二、排列与排列数★★★

1.排列

从 n个不同元素中，任意取出 )( nmm 个元素，按照一定顺序排成一列，称为从 n个

不同元素中取出m个元素的一个排列.

2.排列数

从 n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有排列的种数，称为从 n个不同元素中取

出m个不同元素的排列数，记作Pmn ，其中 P 1 2 1mn n n n n m .

当 m＝n时, P 1 2 2 1mn n n n 称为 n的全排列，用 !n 表示，读作 n的阶

乘，即P !mn n ，因此

!P

!mn

nn m

【注意】我们规定0P 1n ，0! 1 .

三、组合与组合数★★★

1.组合

从 n个不同元素中, 任意取出 )( nmm 个元素并为一组，叫做从 n个不同元素中取出

m个元素的一个组合.

2.组合数

从 n个不同元素中, 取出 )( nmm 个元素的所有组合的种数, 称为从 n个不同元素中,

取出m个不同元素的组合数, 记作Cmn ，其中

P !CP !( )!

mm nn m

m

nm n m

.

关于组合数，我们需要掌握公式：

C = Cm n mn n

.

【注意】①我们规定0C = C 1nn n ；

②C = C .x yn n x y x n y 或

例：（2008-10） 4 6nnC C .

（1） 10n ；

（2） 9n .

68

例：（2010-10） 4 1 731 31 .n nC C

（1） 2 7 12 0;n n

（2） 2 10 24 0.n n

例：(11-1 改编)现从 5 名管理专业、4名经济专业和 1名财会专业的学生中随机派出一个 3

人小组，则该小组中 3 个专业各有 1 名学生的分法有多少种？

四、排列与组合的联系和区别★★★

排列和组合都是“从 n个不同元素中，任取m个元素”.但是，排列的本质是要“按照

一定的顺序排成一列”，组合却是“不计顺序并成一组”.

另外.由排列组合公式可知P C Pm m mn n m ，也就是说，从 n个不同的元素中，取m个元

素的排列可以分两个步骤完成：第一步是从 n个不同元素中任取m个元素的组合；第二步

是对这m个元素进行全排列，所以我们解排列组合应用题时可以“先组后排”.

【重点题型】1.简单排列组合问题，以及加法原理和乘法原理的应用

重点：1.分清是分类还是分布

2.分清是排列还是组合

例：（2008-10）某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有 10人，A型血的有 5人，B型血的有 8人，AB型血的有 3人，若从四种血型的人中各选 1人去献血，则不同的

选法种数有（ ）.A.1200 B.600 C.400 D.300 E.26

例：（2012-1）某商店经营 15种商品，每次在橱窗内陈列 5种，若每两次陈列的商品不完全

相同，则最多可陈列（ ）种.A.3000种 B.3003种 C.4000种 D.4003种 E.4300种例：(2015-1)平面上有 5条平行直线，与另一组 n条平行直线垂直，若两组平行线共构成 280个矩形，则 n=（ ）.A.5 B.6 B C.2 D.8 E.9例：（2008-1）公路 AB上各站之间共有 90种不同的车票.（1）公路 AB上有 10个车站，每两站之间都有往返车票；

（2）公路 AB上有 9个车站，每两站之间都有往返车票.2.住店问题

原理：n个不同的人去住进 m个店，每个人都有 m种选择，则总共住法总数是nm 种。

重点：谁选谁。

例：（2007-10）有 5人报名参加 3项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有（ ）.

69

A.243种 B.125种 C.81种 D.60种 E.以上选项均不正确

例：3个人争夺 4项比赛的冠军，没有并列冠军，则不同的夺冠可能有（ ）种.

A. 34 B. 43 C. 4 3 D. 2 3 E.以上选项均不正确

3.有限制条件的排列组合问题（典型模型：站队问题）

这类题型一般有下面几种类型：

（1）要求某些元素“在哪里”或“不在哪里”的排列、组合问题.

（2）要求某些元素“相邻”或“不相邻”的排列、组合问题.

（3）要求某些位置有某元素“占据”或“不占据”的排列、组合问题.

这类题型常用的解题方法有：

（1）优先法（特殊位置优先或特殊元素优先）

对元素或位置有特殊要求的排列组合问题，可以先从特殊元素或特殊位置着手，先解决

特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置.

（2）捆绑法——相邻问题，把相邻的 k 个元素看作一个元素与其它元素排列，然后再考虑

k个元素排列.

（3）插空法——不相邻（相间）问题

首先将不受限制条件的元素排列起来，然后再在每两个元素之间（含这些元素的两端）

插入不能排在一起的元素.

（4）排除法---从总体中排除不符合条件的方法数.

例：甲、乙、丙、丁、戊、己 6人排队，则在以下各要求下，各有多少种不同的排队方法？

（1）甲不在排头；

（2）甲不在排头并且乙不在排尾；

（3）甲乙两人相邻；

（4）甲乙两人不相邻；

（5）甲始终在乙的前面（可相邻也可不相邻）

例：（2011-1）现有 3名男生和 2名女生参加面试，则面试的排序法有 24种.（1）第一位面试的是女生；

（2）第二位面试的是指定的某位男生.

4.均匀与不均匀分组问题(分组与分堆问题)

（1）均匀分组与不均匀分组

如果组与组之间的元素个数相同，称为均匀分组；否则，称为不均匀分组。

（2）小组有名称或小组无名称

只是简单地分组即可，不考虑组别关系，则小组无名称（定义为“分堆问题”）

如果分为 A 组，B 组，C 组，或者种子队，非种子队等等，则小组有名称。

★★★重点：如果均匀分组，并且无名称，需要消序（消序即：要除以堆数的全排列）

其余情况均不需要消序！！

例：从 10个人中选一些人，分成三组，在以下要求下，分别有多少种不同的方法？

（1）每组人数分别为 2、3、4；（2）每组人数分别为 2、2、3；

70

（3）分成 A组 2人，B组 3人，C组 4人；

（4）分成 A组 2人，B组 2人，C组 3人；

（5）每组人数分别为 2、3、4，去参加不同的劳动；

（6）每组人数分别为 2、2、3，去参加不同的劳动；

第二节 概率初步与数据描述

【知识结构】

【知识要点】一、概率基本概念★★

1.随机试验和事件

（1）随机试验：满足下列三个条件的试验称为随机试验；

①试验可在相同条件下重复进行；

②试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；

③每次试验哪个结果出现是未知的.随机试验以后简称为试验，并常记为 E.

（2）随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件.

例如：在掷骰子随机试验中，A 表示“掷出 2 点”; B 表示“掷出偶数点”均为随机事

件.

2.事件间的关系与运算

（1）事件的和：称事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件为 A 与 B 的和事件，

简称为和，记为 A B 或 A B .

例如，甲，乙两人向目标射击，令 A 表示事件“甲击中目标”，B 表示事件“乙击

中目标”，则 A B 表示“目标被击中”的事件.

推广：1 2 1 2

1

{ , }n

i n ni

A A A A A A A

至少有一个发生

（2）事件的积：称事件 A 与事件 B 同时发生的事件为 A 与 B 的积事件，简称为

积，记为 A B 或 AB .

例如，在 E2中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令 A={接到 2 的倍数

次呼唤}，B={接到 3的倍数次呼唤}，则 A B ={接到 6 的倍数次呼唤}.

平均数（众数、中位数）数字特征描述

样本方差与标准差

数据描述 表格描述

图标描述 频率分布直方图描述

饼图描述

概率初步

概率基本概念

古典概型

独立重复试验独立事件

贝努利试验概率初步与数据描述

71

推广：1 2 1 2

1

, , }n

i n ni

A A A A A A A

={ 同时发生

（3）互不相容：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB ，则

称 A 与 B 是互不相容的.

例如：观察某路口在某时刻的红绿灯：若 A={红灯亮}，B={绿灯亮}，

则 A 与 B 便是互不相容的.

（4）对立事件：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，记为 A，

显然 A A ，A A .

3.事件的概率及其性质

（1）定义：所谓事件 A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量，记为 P A ，

显然 0 1P A 。

（2）概率的性质

性质 1（加法公式）：对任意事件 A，B，有P AUB P A P B P AB （ ） （ ） （ ） （ ）.若 A,B

互斥，则  P AUB P A P B .

性质 2（对立事件公式）：对任意事件 A， P A P A＝１－ .

二、古典概型★★★

1.基本事件

在一次随机试验中，如果一个事件满足下面两个特点：

（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

我们就把这类事件称为一个基本事件.

2.古典概型

如果在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可

能性相等，我们就把具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

古典概型的概率计算公式为 P(A) =总的基本事件个数

包含的基本事件个数A.

例：100件产品中有 10件次品，现从中取出 5件进行检验，求所取的 5件产品中至多有一

件次品的概率.

三、事件的独立性★★★

1.事件的独立性

独立事件：设 A,B是两个事件，如果事件 A的发生和事件 B的发生互不影响，则称两个事

件是相互独立的。

对于相互独立的事件 A和 B，有 ( ) ( ) ( ) P AB P A P B 。

2.事件独立的性质

72

如果事件 A，B相互独立，则 , ; , ; ,A B A B A B每一对事件都相互独立.

这一性质在计算“n个独立事件至少一个发生”的概率时，是非常有用的.（计算“至少

发生一个”的问题，我们经常从反面出发）

例：甲、乙两人各独立投篮一次，如果两人投中的概率分别为 0.6和 0.5，计算：

（1）两人都投中的概率；

（2）恰有一人投中的概率；

（3）至少有一人投中的概率.例：（2013-1）已知 10件产品中有 4件一等品，从中任取 2件，则至少有 1件一

等品的概率为（ ）.

A. 13

B. 23

C. 215

D. 815

E.1315

例：2009-1)在 36人中，血型情况下，A型 12人，B型 10人，O型 6人，若从

中随机选出两人，则两人血型相同的概率是（ ）.

A. 77315

B. 44315

C. 33315

D. 9122

E.以上选项均不正确

四、贝努利概型★★★

进行 n次试验，如果每次实验的条件相同，且各试验相互独立，即每次试验的结果都不

受其他多次试验结果发生与否的影响，则称其为 n次独立重复试验.

贝努利概型：在 n次独立重复试验中，若每次试验的结果只有两种可能，事件 A 发生或

不发生，且已知 P A p ，这样的 n次试验称作n重贝努利试验，而贝努利试验的有关概

率计算称为贝努利概型.

在贝努利概型中，若设 1q p ，则在 n次试验中事件 A 恰好发生 (0 )k k n 次的概

率为 ( ) (1 )k k n kn nP k C P p ( 0,1,2, )k n .

例：某射手射击 1次，射中目标的概率是 0.9，则他射击 4次恰好击中目标 3次的概率是多少？

五、（算术）平均数、众数和中位数★★

1.（算术）平均数

（1）定义：有 n个数 1 2, , , nx x x ，称 1 2 nx x xn

为这 n个数的算术平均数（也

称平均数），记做 1

1 1,2, ,n

ii

x x i nn

.

（2）平均值常用下面方法计算：

直接计算 1 2 nx x xxn

；.

73

2.众数

在 n个数 1 2, , , nx x x 中，出现次数最多的数称为众数.、

3.中位数

将 n个数 1 2, , , nx x x ，按从小到大的顺序依次排列，当 n为奇数时，处在最中间的那

个数（ 12nx ）是这 n个数的中位数；当 n为偶数时，处在最中间的两个数的平均数（

12 2

2

n nx x

）

是这 n个数的中位数.

六、方差与标准差★★★

1.方差

（1）定义：设 x 是 n个数据 1 2, , , nx x x 的算术平均数，我们把

2

2 2 221

1 ... ns x x x x x xn

叫做这组数据的方差.

2.标准差

我们把样本方差的算术平均值叫做这组数据的标准差（也称均方差），记做 s，即

2 2 21 2

1 ... ns x x x x x xn

它是用来衡量一组数据波动大小的重要的量.样本方差、标准差体现了总体的分散程度.

七．统计图。

图表题都比较简单，注意读懂题目所给信息即可。

例：某单位 200名职工的年龄分布情况如图所示，那么，40岁以上的职工一共有（ ）人.A.100 B.40 C.60 D.160 E.140

20%

30%

50岁以上

40~50岁40岁以下