工学数理，応用数学 -...

工学数理，応用数学

1995.2.2.

Contents1 常微分方程式 1

1 1階の微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 変数分離型微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 同次型微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Bernoulliの微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Riccatiの微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.6 完全微分方程式 (全微分方程式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.7 積分因数 λ ≡ λ(x, y) による完全微分方程式 . . . . . . . . . . . 2

1.8 Clairautの微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.9 Lagrangeの微分方程式 (d’Alembertの微分方程式) . . . . . . . . 3

1.10 1階 n 次微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.11 1階微分方程式の数値解法と図式解法 . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 2階の常微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 定数係数の線形同次 (斉次)微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 定数係数の線形非同次 (非斉次) 微分方程式 . . . . . . . . . . . 6

2.3 Besselの微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Legendreの微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 その他の線形2階微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 2階線形微分方程式の書き換え . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 連立微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 定数係数の連立同次 (斉次)線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . 8

4 高階の微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1 Type 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Type 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Type 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Type 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.5 同次線形微分方程式 (Eulerの微分方程式) . . . . . . . . . . . . 10

5 2階線形微分方程式 (その2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.1 2階線形微分方程式の境界値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2 2階線形微分方程式の随伴問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

– i –

– ii – CONTENTS

2 線形常微分方程式入門 12

3 合流型超幾何微分方程式 27

4 Vector代数と微分幾何 29

5 曲面と曲線座標 44

6 位相空間の解析入門 46

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 非線形の1階常微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 級数展開による「微分方程式の解の存在定理」 . . . . . . . . . . . . . . 50

4 微分方程式の周期解の存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 位相面解析の例 62

8 Fourier 66

1 Fourier級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2 Fourier級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9 データのフーリエ解析 68

1 dataのFourier分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2 data処理上の留意点と問題点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10 Fourier級数の例題 75

11 最速降下線 (line of swiftest descent) 79

12 摂動法について (I) - 入門編 - 86

1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2 Method of Straightforward Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.1 線形問題 (漸近解と収束解) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.2 弱非線形問題 - 単振子の運動 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3 Method of Strained Coordinates (Parameters) . . . . . . . . . . . . . . 93

4 Method of Multiple Scales (多重尺度の方法) . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1 多重尺度のイメージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2 多重尺度の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

13 摂動法について (II) 104

1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

—- ii —-

CONTENTS – iii –

2 Duffing方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3 Satellite方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 Rayleigh方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Van del Pol方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

14 摂動法について ( III ) - 周期倍化のモデル解析 - 109

1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2 モデル方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

15 特異摂動法の演習問題 115

16 非線形振動 120

17 ラプラス方程式 (Laplace Equation) 139

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2 2次元のLaplace方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.1 2次元デカルト座標系のLaplace方程式 . . . . . . . . . . . . . . 149

2.2 複素変数表現のLaplace方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.3 平面極座標系のLaplace方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3 3次元のLaplace方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1 球座標系のLaplace方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.2 Legendre関数 (Legendreの多項式) . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.3 Bessel関数 (円柱関数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

18 数値解析入門常微分方程式の数値解法 161

1 数学的準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2 Runge-Kutta法 (前進型公式による常微分方程式の数値解法) . . . . . . 164

2.1 Runge-Kutta法の原理と2次の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2.2 4次のRunge-Kuttaの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3 Runge-Kutta-Gill法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

19 Euclidの互除法 177

20 3次/4次の代数方程式の解法 178

1 3次の代数方程式の解法 - Cardanoの公式 - . . . . . . . . . . . . . . . . 178

2 4次の代数方程式の解法 - Ferrariの公式 - . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

21 行列と行列式 (入門編) D3 182

1 行列と行列式の基本演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

—- iii —-

– iv – CONTENTS

1.1 Square Matrix 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

1.2 代表的なmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

1.3 行列の基本演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

1.4 Square Matrix 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1.5 Square Matrix 4 × 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

1.6 N 次正方行列，(m,n) 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

2 行列の線形関数と線形方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

2.1 連立線形 (一次) 方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

2.2 Eigen vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2.3 Eigenvalue for 3 × 3 matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

2.4 Eigenvalue for 4 × 4 matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3 行列と行列式の関数と方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.1 　 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.2 　 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.3 　 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4 行列と行列式の微分・積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

22 波の問題 210

1 数学 (波の問題) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2 物理 (波の問題) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

23 漸化式の演習問題 214

24 工学数理演習問題 217

25 自然数のベキ和 225


1 微分方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

1.1 初期値問題の解答例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

1.2 境界値問題の解答例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

2 直交関数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233


—- iv —-

Chapter 1

常微分方程式1993.5.9/’94.8.20 in TEX/’95.1.2.

1 1階の微分方程式

変数 x, 未知関数 y (y ≡ y(x))

f

(x, y,

dy

dx

)= 0 → 解の存在，解の一意性

dy

dx= F (x, y) 正規形 (normal form)の微分方程式

微分方程式の解法として，求積法，演算子法，ベキ級数やFourier級数による解法，

Fourier変換やLaplace変換などの積分変換による解法，数値解法，図式解法などがあ

る．以下では，主に，求積法で解ける場合を考える．

1.1 変数分離型微分方程式dy

dx= P (x)Q(y) → 一般解：

∫ dy

Q(y)=

∫P (x) dx + C (C = constant)

1.2 同次型微分方程式dy

dx= f

(y

x

)→ y = ux とおくと，

dy

dx= u + x

du

dx

→ du

f(u)− u=

dx

x(変数分離型微分方程式) → x = C exp

[∫ du

f(u)− u

]

1.3 線形微分方程式

非同次 (非斉次)線形微分方程式 (1階1次微分方程式)

dy

dx+ P (x)y = Q(x) → dy

dx+ P (x)y = 0 (同次 (斉次)方程式)

同次 (斉次)方程式の一般解：y = C exp[−

∫P (x) dx

]

非同次 (非斉次)方程式の特殊解：y = exp[−

∫P (x) dx

] ∫Q(x) exp

[∫P (x) dx

]dx

1

2 CHAPTER 1. 常微分方程式

(一般解) = (同次方程式の一般解) + (非同次方程式の特殊解) ← 線形性Lagrangeの定数変化法 (プリント「線形常微分方程式入門」参照)

1.4 Bernoulliの微分方程式dy

dx+ P (x)y + Q(x)ya = 0 (a 6= 1)

→ u = y1−a とおくと，1

1− a

du

dx+ P (x)u = −Q(x) (線形微分方程式)

1.5 Riccatiの微分方程式dy

dx+ P (x)y + Q(x)y2 = R(x)

積分だけでは一般解が求められない．1つの特殊解が分かれば，1階の線形微分方程式

に変形できる．

Q(x) = 0 の場合は，1階線形微分方程式になる．

Q(x) 6= 0 の場合，変換：

y =1

Q(x)v

dv

dx

により，v の2階の同次線形微分方程式に変形される：

d2v

dx2+

[P (x)− 1

Q

dQ

dx

]dv

dx−Q(x)R(x)v = 0

これは，必ずしも積分だけでは解けない．

1.6 完全微分方程式 (全微分方程式)

変数 x, y

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 → ∂Q

∂x=

∂P

∂y(可解条件)

→ P (x, y) dx + Q(x, y) dy = dφ = 0 → 解 : φ = constant

(プリント「Laplace方程式」参照)

1.7 積分因数 λ ≡ λ(x, y) による完全微分方程式

変数 x, y

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 → λP (x, y) dx + λQ(x, y) dy = 0

–2–

1. 1階の微分方程式 3

→ ∂

∂x(λQ) =

∂

∂y(λP ) (可解条件)

→ λP (x, y) dx + λQ(x, y) dy = dφ = 0 → 解 : φ = constant

積分因数 λ は1つとは限らない．

(プリント「Laplace方程式」参照)

1.8 Clairautの微分方程式

変数 x, 未知関数 y ≡ y(x)

y = xdy

dx+ f

(dy

dx

)→ P =

dy

dxとおくと，y = xP + f(P )

→ 微分して，dy

dx= P + x

dP

dx+

dP

dx

df

dP→

(x +

df

dP

)dP

dx= 0

→ 2つの関数の積が zeroだから，TYPE (a), (b)に分ける

TYPE (a):

dP

dx= 0, y = xP + f(P ) → P = constant ≡ C, y = Cx + f(C)

TYPE (b):

x +df

dP= 0, y = xP + f(P )

TYPE (b) の前者は x と P の関数方程式であり，解は x = −df/dP である．これを

後者に代入し，y は媒介変数 P の関数として表される．

TYPE (a) の解に含まれる任意定数 C の値を変えても，TYPE (b) の解を導けな

い．それ故，TYPE (b) の解を特異解 (singular solution) という．TYPE (b) の解は，

TYPE (a) の解 (y = Cx + f(C)) の包絡線 (envelope) である．

1.9 Lagrangeの微分方程式 (d’Alembertの微分方程式)

y = xφ

(dy

dx

)+ ψ

(dy

dx

)→ P =

dy

dxとおくと，y = xφ(P ) + ψ(P )

→ 微分して， P = φ(P ) + xdP

dx

dφ

dP+

dP

dx

dψ

dP

→ [φ(P )− P ]dx

dP+

dφ

dPx = −dψ

dPφ(P ) 6= P のときは，変数を P , 未知関数を x とする線形1階微分方程式である；

その解 x = Cf(P ) + g(P ) (f(P ) は同次方程式の一般解，g(P ) は非同次方程式の特殊

解) と y = xφ(P ) + ψ(P ) が，Lagrangeの微分方程式の解である．

φ(P ) = P のときは，Clairautの微分方程式となる．

–3–


1.10 1階 n 次微分方程式(

dy

dx

)n

+ Q1(x, y)

(dy

dx

)n−1

+ · · ·+ Qn−1(x, y)dy

dx+ Qn(x, y)y = 0

これは，P = dy/dx とおくと，P の n 次の代数方程式とみなせる．それを因数分解し

て，n 個の根を R1(x, y), R2(x, y), · · ·, Rn−1(x, y), Rn(x, y) とおくと，上式は

[P −R1(x, y)] [P −R2(x, y)] · · · [P −Rn−1(x, y)] [P −Rn(x, y)] = 0

と表される．よって，1階 n 次微分方程式の解は，次の n 個の1階微分方程式の少な

くとも1つを満足する．

P = R1(x, y), P = R2(x, y), · · · , P = Rn−1(x, y), P = Rn(x, y)

この n 個の1階微分方程式を上記1.1-1.9の方法で解いて，n 個の一般解：

Φ1(x, y, C) = 0, Φ2(x, y, C) = 0, · · · , Φn−1(x, y, C) = 0, Φn(x, y, C) = 0

(C:任意定数) が求められたならば，1階 n 次微分方程式の解は次式で与えられる：

Φ1(x, y, C) Φ2(x, y, C) · · ·Φn−1(x, y, C) Φn(x, y, C) = 0

[例] 1階2次の微分方程式：

(P − 2x)(P − y) = 0

(P ≡ dy

dx

)

の一般解は，次式となる：

(y − x2 − C

)[y − C exp(x)] = 0

1.11 1階微分方程式の数値解法と図式解法

1階微分方程式：f(x, y, P ) = 0 (P ≡ dy/dx) は，3次元空間 (x, y, P ) における曲

面の方程式である．従って，コンピュータ・グラフィックスの技法を用いれば，微分方

程式の図式解法が可能となる．特に，解を y-P 平面 (位相平面)に投影した図は，解析

を進める上でも重要な役割を果たす．

方程式が P = g(x, y) の形に表される場合には，コンピュータによる数値解法が適

用できる．(微分方程式の数値解法については，別途説明する．)

–4–

2. 2階の常微分方程式 5

2 2階の常微分方程式

変数 x, 未知関数 y ≡ y(x)

f

(x, y,

dy

dx,d2y

dx2

)= 0 応用上重要な正規形の微分方程式

d2y

dx2= g

(x, y,

dy

dx

)

2階線形微分方程式 (2階1次微分方程式)：

d2y

dx2+ P (x)

dy

dx+ Q(x)y = R(x)

2.1 定数係数の線形同次 (斉次)微分方程式d2y

dx2+ a

dy

dx+ by = 0

定数係数の線形同次微分方程式であるから，解の形を y ∝ exp(λx) とおいて方程式に

代入すると，λ の特性方程式を得る：

λ2 + aλ + b = 0

この代数方程式が異なる根を持つ場合，その2根を λ1, λ2 とすると，一般解は，

y = C1 exp(λ1x) + C2 exp(λ2x) (C1, C2 :積分定数)

と表される．重根を持つ場合 (λ = −a/2；b = a2/4) の一般解は，次式である：

y = (C1 + C2x) exp(λx)

2つの場合の一般解をまとめ，次のように表す：

y = C1y1 + C2y2

(y1 = exp(λ1x), y2 = exp(λ2x)，または，y1 = exp(λx), y2 = x exp(λx))．

改めて，定数 A1, A2 を導入し，y1, y2 の線形従属関係：A1y1 + A2y2 = 0 を考え

よう．これと微分：

A1dy1

dx+ A2

dy2

dx= 0

を A1, A2 の連立方程式とみなすと，A1, A2 が非自明解を持つためには，その係数行

列式 (Wronskian) D ≡ D(x) = D(y1, y2; dy1/dx, dy2/dx)：

D =

∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2

dy1

dx

dy2

dx

∣∣∣∣∣∣∣

が zeroでなければならない．もし D 6= 0 ならば，A1, A2 は自明解 (A1 = A2 = 0) を

持つ．先に求めた y1, y2 を D に代入すれば，D 6= 0 を得る．故に，y1, y2 は線形独立

–5–


(一次独立)である．この y1, y2 (線形同次2階微分方程式の解) を基本解という；各々

の基本解は，その微分方程式の特殊解でもある．

一般の2つの関数 y1, y2 に対して，それらが線形独立であっても，D = 0 となる

ことがある．「微分方程式の解の存在定理」が，基本解の線形独立と D 6= 0 の関係を保

証している (詳細略)．

[補足] Wronskian D ≡ D(x) = D(y1, y2; dy1/dx, dy2/dx) を微分すると，行列式の性

質により，次のようになる：

dD

dx= D

(dy1

dx,

dy2

dx;

dy1

dx,

dy2

dx

)+ D

(y1, y2;

d2y1

dx2,

d2y2

dx2

)

= D

(y1, y2;

d2y1

dx2,

d2y2

dx2

)

元の微分方程式と行列式の性質を用いて，これを整理する：

D

(y1, y2;

d2y1

dx2,

d2y2

dx2

)= D

(y1, y2; −a

dy1

dx− by1, −a

dy2

dx− by2

)

= −aD

(y1, y2;

dy1

dx,

dy2

dx

)

これにより，D の1階線形微分方程式を得る：dD

dx= −aD

初期値 (x = 0 でのWronskianの値を D(0) と表す) を用い，解は次式で与えられる：

D(x) = D(0) exp(−ax)

よって，ax が有限の場合，D(0) 6= 0 ならば，x 6= 0 で D(x) 6= 0 となる (D(0) = 0 な

らば，x 6= 0 で D(x) = 0 となる)； D(x) が zeroか否かは，初期値で決まる．

一般解 : y = C1y1 + C2y2 に対する初期値を，x = 0 で y = y0, dy/dx = v0 (y0, v0

の少なくとも一方がnonzeroとする) とおくと，次式を得る：

y0 = C1y1(0) + C2y2(0), v0 = C1

(dy1

dx

)

x=0

+ C2

(dy2

dx

)

x=0

これは任意定数 C1, C2 の非同次連立方程式であるから，非自明解を持つためには

D(0) 6= 0 でなければならない．それ故，D(x) 6= 0 を得る．

2.2 定数係数の線形非同次 (非斉次) 微分方程式d2y

dx2+ a

dy

dx+ by = R(x)

一般解は，この方程式の特殊解と同次方程式の一般解の重ね合わせで与えられる．

プリント「線形常微分方程式入門」参照．

–6–

3. 連立微分方程式 7

2.3 Besselの微分方程式d2y

dx2+

1

x

dy

dx+

(1− n2

x2

)y = 0 (n ≥ 0)

ベキ級数解法により，これを解くことができる．一般解は，第1種 n 次Bessel関数と

第2種 n 次Bessel関数の線形結合で与えられる．

詳しくは，数学公式 III (岩波書店)の「第 VI 篇Bessel関数」を参照．

2.4 Legendreの微分方程式d

dx

[(1− x2

) dy

dx

]+ n(n + 1)y = 0 (n ≥ 0)

ベキ級数解法により，これを解くことができる．一般解は，n 次のLegendreの多項式

(第1種帯球関数)と第2種帯球関数の線形結合で与えられる．

詳しくは，数学公式 III (岩波書店)の「第 V 篇球関数」を参照．

2.5 その他の線形2階微分方程式

線形2階微分方程式の解として定義される特殊関数がある．例えば，数学公式 III (岩

波書店)を参照．

2.6 2階線形微分方程式の書き換えd2y

dx2+ q(x)

dy

dx+ Q(x)y = R(x)

この方程式は，次のように書き換えられる：

P =dy

dx,

dP

dx+ q(x)P + Q(x)y = R(x)

これは，未知関数 y, P の連立1階微分方程式である．

3 連立微分方程式

N 元連立1階微分方程式

dy1

dx= f1(x, y1, y2, · · · , yN−1, yN),

dy2

dx= f2(x, y1, y2, · · · , yN−1, yN),

· · · , · · · , · · · , · · · , · · · , · · · ,

–7–


dyN−1

dx= fN−1(x, y1, y2, · · · , yN−1, yN),

dyN

dx= fN(x, y1, y2, · · · , yN−1, yN)

工学的応用では，N 元連立1階微分方程式が平衡解 (equilibrium solution) yn = Yn =

constant (for n = 1, 2, · · · , N) を持つ場合が重要である．微小撹乱 zn ≡ zn(x) を加え

平衡解の近傍で展開すると，N 元連立線形同次 (斉次) 1階微分方程式を得る：

dzn

dx=

N∑

m=1

Pnmzm for n = 1, 2, · · · , N, where Pnm ≡ Pnm(x) =∂fn

∂ym

(Pnm は平衡解 Yn での偏微係数を表す)．いま，N 組の解が求められたとすると，そ

の m 番目の組の解は，(z

(m)1 (x), z

(m)2 (x), · · · , z(m)

N−1(x), z(m)N (x)

)と表される．これらか

ら作られる行列式 D ≡ D(x):

D(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z(1)1 (x) z

(1)2 (x) · · · z

(1)N−1(x) z

(1)N (x)

z(2)1 (x) z

(2)2 (x) · · · z

(2)N−1(x) z

(2)N (x)

......

. . ....

...

z(N−1)1 (x) z

(N−1)2 (x) · · · z

(N−1)N−1 (x) z

(N−1)N (x)

z(N)1 (x) z

(N)2 (x) · · · z

(N)N−1(x) z

(N)N (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

がnonzeroの場合，N 組の解を基本解と呼ぶ．D(x) 6= 0となるための必要十分条件は，

N 組の解が1次独立となることである．それを調べるために，D を x で微分して，D

の微分方程式を作る：

dD

dx= P (x)D, where P (x) ≡

N∑

n=1

Pnn

これを解くと，解は次式となる：

D(x) = D(0) exp[∫ x

0P (x) dx

]

故に，P (x) の積分が有限ならば，x = 0 での行列式の性質が x 6= 0 でも保たれること

が分かる：D(0) 6= 0 であれば，D(x) 6= 0 である．先の N 組の解は基本解である．

3.1 定数係数の連立同次 (斉次)線形微分方程式

Pnm が定数の場合を，Anm = Pnm と表す；N 元連立線形同次 (斉次) 1階微分方

程式は定数係数 Anm を持つ．解の形を zn exp(λx) (for n = 1, 2, · · · , N) とおいて方程

式に代入すると，λ の特性方程式を得る：

D(λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

A1 1 − λ A1 2 · · · A1 N−1 A1 N

A2 1 A2 2 − λ · · · A2 N−1 A2 N...

.... . .

......

AN−1 1 AN−1 2 · · · AN−1 N−1 − λ AN−1 N

AN 1 AN 2 · · · AN N−1 AN N − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0

–8–

4. 高階の微分方程式 9

これは λ の N 次代数方程式である．重根を持たない場合，その根を λ1, λ2, · · · , λN と

表せば，解は次式となる：

zn =N∑

m=1

Cnm exp(λmx) for n = 1, 2, · · · , N

積分定数 Cnm は λm に依存する．各基本解 (exp(λmx)) が微分方程式を満たすので，

Cnm の内の N 個が独立である．

4 高階の微分方程式

n 階微分方程式：

f

(x, y,

dy

dx,d2y

dx2, · · · , dny

dxn

)= 0

dny

dxn= F

(x, y,

dy

dx,d2y

dx2, · · · , dn−1y

dxn−1

)= 0 正規形のn階微分方程式

4.1 Type 1dny

dxn= f(x)

n 回の積分で解が求められる．一般解には，n 個の任意定数 (積分定数)が含まれる．

4.2 Type 2dny

dxn= f(y)

n = 1 の場合は，変数分離型になる．

n = 2 の場合は，1階の微分方程式になる：

1

2

(dy

dx

)2

=∫

f(y) dy + C

f(y) が1次式:f(y) = a0 + a1y (a0, a1:定数) の場合は，積分して解が求められる．一方，

f(y) が2次式または3次式のとき，一般に，解は楕円積分になる．f(y) が有理関数の

場合の解 y については，数学公式 I (岩波書店)「第 III 篇代数関数の不定積分」参照．

n > 2 の場合には，解析が難しくなる．

–9–


4.3 Type 3

f

(x,

dy

dx,d2y

dx2, · · · , dny

dxn

)= 0 → F

(x, P,

dP

dx,d2P

dx2, · · · , dn−1P

dxn−1

)= 0

P = dy/dx とおけば，未知関数 P に関する n− 1 階の微分方程式になる．

4.4 Type 4

f

(y,

dy

dx,d2y

dx2, · · · , dny

dxn

)= 0 → F

(y, P,

dP

dy,d2P

dy2, · · · , dn−1P

dyn−1

)= 0

P = dy/dxを未知関数，変数を y とすれば，P に関する n−1階の微分方程式になる．

4.5 同次線形微分方程式 (Eulerの微分方程式)N∑

n=0

anxn dny

dxn= Q(x)

この微分方程式は，変換: x = exp(t) により，t を変数, y(t) を未知関数とする定数係

数の線形微分方程式に変形される：

N∑

n=0

bndny

dtn= Q(exp(t))

一般解は，同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解の重ね合わせである．

5 2階線形微分方程式 (その2)

5.1 2階線形微分方程式の境界値問題

2階線形同次微分方程式とその一般解：

d2y

dx2+ y = 0 → y = C1 sin(x) + C2 cos(x)

に対し，x = x0 での y と dy/dx の値 (初期値·出発値) を与えると，解が確定する．

一方，x = a と x = b での y の値を与えて閉区間 a ≤ x ≤ b での解を求めること

もできる．このような問題を2点境界値問題という；単に，境界値問題ともいう．その

–10–

5. 2階線形微分方程式 (その 2) 11

代表的な境界値 (境界条件) として，次の3つがある．

(i) y(a) = 0, y(b) = 0 (固定境界条件)

(ii) y(a) = y(b),

(dy

dx

)

x=a

=

(dy

dx

)

x=b

(周期境界条件)

(iii) αy(a)−(

dy

dx

)

x=a

= 0, βy(b)−(

dy

dx

)

x=b

= 0 (Strum型境界条件)

閉区間 a ≤ x ≤ b で成り立つ2階線形同次微分方程式を考えよう：

d2y

dx2+ p(x)

dy

dx+ q(x)y = 0

この方程式は，P (x) = exp[∫

p(x)dx], Q(x) = q(x) exp

[∫p(x)dx

]とおくと，次式に

書き換えられる．d

dx

[P (x)

dy

dx

]+ Q(x)y = 0

これを自己随伴微分方程式 (self-adjoint differential equation) と呼ぶ．

ある関数

5.2 2階線形微分方程式の随伴問題

変数 x, 関数 y (y ≡ y(x)) の2階線形微分式 L(y)：

L(y) ≡ p(x)d2y

dx2+ q(x)

dy

dx+ r(x)y (5.1)

を考える．この式に，関数 z ≡ z(x) を掛けて積分 (部分積分)する：∫

zL(y) dx =∫

z

[p(x)

d2y

dx2+ q(x)

dy

dx+ r(x)y

]dx

= z p(x)dy

dx−

∫ dy

dx

d

dx[z p(x)] dx + z q(x) y −

∫y

d

dx[z q(x)] dx +

∫z r(x) y dx

=∫

y M(z) dx + N(y, z) (5.2)

ここで，M(z) と N(y, z) は，次式で定義される：

M(z) ≡ d2

dx2[z p(x)]− d

dx[z q(x)] + z r(x), (5.3a)

N(y, z) ≡ z p(x)dy

dx− y

d

dx[z p(x)] + z q(x) y (5.3b)

–11–

Chapter 2

線形常微分方程式入門工学数理 D3

1991.6.10,7.10 / addition 1992.9.7 / in TEX 1993.4.26 /’94.8.18

ここでは，力学などに現れる線形常微分方程式の解法の reviewを行う．しかし，数

学的な厳密さは考慮しない．

線形 (Linearity) と線形作用素 (Linear Operator)

Operator L が x, y (独立変数 t の関数 x ≡ x(t), y ≡ y(t)) に作用し，線形条件：

L(ax) = aL(x) (a :実数定数),

L(x + y) = L(x) + L(y)

を満たす．このとき，L を線形作用素と呼ぶ．L′(x) は線形条件を満たさないが，変換 : x = X + f(t) (X ≡ X(t)，f(t):既知関

数) を行うと L′(X) が線形条件を満たす場合がある．この L′ を準線形作用素という．線形でないものを非線形 (non-linear) という．

[例] 線形作用素 L の簡単な例L(x) ≡ x → L(x) = 0 (代数方程式，関数方程式)L(x) ≡ x (x : vector) → L(x) = 0 (連立1次代数方程式)

L(x) ≡ dx

dt→ L(x) = 0 (常微分方程式)

L(x) ≡ ∫x dt → L(x) = 0 (積分方程式)

微分演算子 d/dt で構成される線形作用素 L (例えば，L(x) = d2x/dt2 + x) の方

程式 (常微分方程式)が，

L(x) = 0

と与えられる場合を同次 (斉次)常微分方程式 (Linear Homogeneous Ordinary Differen-

tial Equation) という．また，

L(x) = q(t) (q(t) :既知関数)

と与えられる場合を非同次 (非斉次，inhomogeneous) 常微分方程式という．

12

13

微分方程式を解析的に解く (積分して解く)方法を求積法 (quadrature) という．こ

の他に，級数解法 (ベキ級数解法，Fourier級数解法)，Laplace変換やFourier変換によ

る解法，摂動法，数値解法などがある．

–13–

14 CHAPTER 2. 線形常微分方程式入門

線形同次1階常微分方程式 (Linear Homogeneous First Order Ordinary Differ-

ential Equation)

未知関数 (従属変数) x ≡ x(t)，独立変数 t，p(t):既知関数

表記の方程式は次式で与えられ，それを積分して解く：

dx

dt+ p(t)x = 0 → dx

x= −p(t) dt

→ Ln(x) = − ∫p(t) dt + constant

→ x = C exp[− ∫p(t) dt] (1.1)

この C は積分定数である．ここでは，exp[− ∫p(t) dt]を基本解 (fundamental solution)

と呼ぶ．解 (1.1)を一般解 (general solution) という：1階の微分方程式の解には1つの

積分定数が含まれる．条件 (初期条件)を与えて積分定数を決めると，解が確定する．

特別な場合 (p(t) = constant = a，a:定数)，(1.1)により，一般解は指数関数で与

えられる：

x = C exp(−at) (1.2)

従って，「定数係数を持つ線形同次常微分方程式」を解く場合には，その解の形を x ∝exp(λt) (λ:一般には複素定数) とおいて方程式に代入する：

dx

dt+ ax = (λ + a)x = 0 → λ + a = 0 または，x = 0

これが有意な解 (x 6= 0) を持つためには，λ の特性方程式 (characteristic equation，固

有値方程式，eigenvalue equation) が成り立つ必要がある：

λ = −a, assuming x 6= 0

これにより，一般解 x が求められる：

x = C exp(λt) = C exp(−at) (C :積分定数) (1.3)

この解法を拡張すると「定数係数を持つ線形常微分方程式」に対して一般に適用でき

る．

線形非同次1階常微分方程式 (Linear Inhomogeneous First Order Ordinary Dif-

ferential Equation)

未知関数 x ≡ x(t)，独立変数 t，p(t), q(t):既知関数

dx

dt+ p(t)x = q(t) (1.4)

–14–

15

(1.4)に対する同次方程式の基本解 x0 : x0 ≡ exp[− ∫p(t) dt] を用い，非同次方程式

(1.4)の解を x = Xx0 (X ≡ X(t):未知関数) とおいて代入する：

dx

dt+ p(t)x =

dX

dtx0 +

dx0

dtX + p(t)Xx0 =

dX

dtx0 = q(t)

これを積分して，解 X そして解 x が求められる：

X =∫ q(t)

x0

dt + constant → x = x0

[∫ q(t)

x0

dt + constant

](1.5)

この右辺第1項: x0

[∫x−1

0 q(t) dt]を非同次方程式の特解 (particular solution)，または，

非同次解という．第2項: constant ×x0 は同次解である．同次解と特解で構成される

(1.5)を (1.4)の一般解という．ここで用いた解法は定数変化法 (variation of constants)

と呼ばれる．

初期条件を与えて (t = 0 での x の値を与えて) 解を確定するために，(1.5)を次式

のように表すことができる：

x = x0

[∫ t

0

q(t)

x0

dt + constant

](1.6)

定数係数を持つ線形同次2階常微分方程式 (Linear Homogeneous Second Order

Ordinary Differential Equation with Constant Coefficients)

未知関数 x ≡ x(t)，独立変数 t，a:実数定数 (a 6= 0)

d2x

dt2+ ax = 0 (1.7)

これの両辺に dx/dt を掛けて t で積分する：

∫ [dx

dt

d2x

dt2+ ax

dx

dt

]dt =

∫ dx

dtd

(dx

dt

)+

∫ax dx = constant ≡ E

→ 1

2

(dx

dt

)2

+ ax2

= E

→ dx√2E − ax2

= ± dt(2E − ax2 ≥ 0

)

→ x =

√2E

asin(

√a t + constant) (1.8)

(a < 0 の場合には，双曲線関数となる：x =√−2E/a sinh(

√−a t + constant))．(1.8)

は (1.7)の一般解である．(1.8)を整理すると，sin(√

a t) と cos(√

a t) が現れる；これ

–15–


らを (1.7)の基本解という．積分定数 (E と constant) は，2つの条件によって決定さ

れる．

(1.7)が定数係数を持つことに注目し，解の形を x ∝ exp(λt) (λ :複素定数)とおい

て代入し，λ の特性方程式を解いて解 x を求める：

d2x

dt2+ ax =

(λ2 + a

)x = 0

→ λ = ±√−a, assuming x 6= 0

→ x = C exp(i√

a t) + C∗ exp(−i√

a t) (1.9a)

または

x = A sin(√

a t) + B cos(√

a t) (1.9b)

(C, C∗:積分定数；C∗ は C の複素共役，i ≡ √−1，A, B:実数の積分定数．a < 0 の場

合には双曲線関数となる)．exp(i√

a t), exp(−i√

a t), sin(√

a t), cos(√

a t) は，いずれ

も，基本解である．(1.9a)または (1.9b)は (1.7)の一般解である．

同次線形常微分方程式 (1.7)の基本解 (exp(i√

a t) と exp(−i√

a t) の組，または

sin(√

a t) と cos(√

a t) の組) の1つを x0 と表し，もう1つを x1 とする (例えば，x0 =

sin(√

a t), x1 = cos(√

a t) と取る)．故に，x0 と x1 は次の方程式を満たす：

d2x0

dt2+ ax0 = 0,

d2x1

dt2+ ax1 = 0 (1.10a, b)

(1.10a)に x1 を掛け，(1.10b)に x0 を掛けて，両者の差を取ると次式を得る：

x1

(d2x0

dt2+ ax0

)− x0

(d2x1

dt2+ ax1

)=

d

dt

(x1

dx0

dt− x0

dx1

dt

)= 0

→ x1dx0

dt− x0

dx1

dt= constant ≡ A (A 6= 0) (1.11)

これは，x0 を既知関数，x1 を未知関数とする線形の1階常微分方程式と見なすことが

できる．解くと，次式 ((1.11)の特解)を得る：

x1 = −Ax0

∫x−2

0 dt (1.12)

この積分定数 A を適当に選べば，(1.12)の x1 が基本解であることが示される．

線形常微分方程式の場合，同次方程式の解が1つ見つかれば方程式の階数を下げる

ことができる．それを解いて，別の解が求められる (そのことは，「線形非同次2階常微

分方程式」の所で説明する)．

[付記] 2つの基本解 x0 = sin(√

a t) と x1 = cos(√

a t) が独立であることを示そう．

一般に，2つの定数 C0, C1 を含む方程式：

C0x0 + C1x1 = 0

–16–

17

が C0 = C1 = 0 の場合にのみ成り立つとき，x0 と x1 は線形独立であるという．そう

でない場合，x0 と x1 は線形従属であるという．

さて，上式とそれを微分した式：

C0dx0

dt+ C1

dx1

dt= 0

を C0, C1 の連立方程式と考えると，C0, C1 が有意な解 (非自明解)を持つためには，係

数行列式 W :

W = x0dx1

dt− x1

dx0

dt

が zeroでなければならない．W 6= 0 ならば，自明解 (C0 = C1 = 0) を持つ．

いまの場合，W は，

W = −√a sin2(√

a t)−√a cos2(√

a t) = −√a 6= 0

であるから，自明解 (C0 = C1 = 0) を持つ．即ち，2つの基本解は独立である．先の

W の表式と (1.11)を比べると，A 6= 0 と取れば，x0 と x1 は線形独立になるのである．

W を Wronsky 行列式，または Wronskian という．換言すれば，線形微分方程式の解

から成る Wronskian が non-zero である場合に，その解を基本解という．

定数係数を持つ線形非同次2階常微分方程式 (Linear Inhomogeneous Second Or-

der Ordinary Differential Equation with Constant Coefficients)

未知関数 x ≡ x(t)，独立変数 t，a:実数定数 (a 6= 0)，q(t):既知関数

d2x

dt2+ ax = q(t) (1.13)

(1.13)に対する同次微分方程式の基本解 (exp(i√

a t) と exp(−i√

a t) の組，または

sin(√

a t) と cos(√

a t) の組) の1つを x0 と表し，特解を xp とする． xp = Xx0

(X ≡ X(t)) とおいて (1.13)に代入し，特解 xp を求める：

d2xp

dt2+ axp = x0

d2X

dt2+ 2

dx0

dt

dX

dt+ X

d2x0

dt2+ ax0X = q(t)

→ x20

d2X

dt2+ 2x0

dx0

dt

dX

dt= x0q(t)

→ dX

dt= x−2

0

[∫x0q(t) dt

]

→ X =∫

x−20

[∫x0q(t) dt

]dt

→ xp = x0

∫x−2

0

[∫x0q(t) dt

]dt

(1.14)

不定積分の際に現れる積分定数の項は同次解に含ませることができる (容易に分かるよ

うに，それは定数 ×x0 と定数 ×x1 の形になる;(1.12)式を見よ)．特解 (1.14)と同次

–17–


解を合わせて (重ね合わせて，superimpose)，(1.13)の一般解が構成される：

x = Cx0 + C ′x1 + xp

= Cx0 + C ′x1 + x0

∫x−2

0

[∫x0q(t) dt

]dt

(1.15)

(C, C ′ :積分定数)．

(1.13)は「定数係数を持つ線形非同次2階常微分方程式」の標準形である．ここで

は，x ≡ x(t) の方程式：

d2x

dt2+ ax + 2b

dx

dt= q(t) (a, b :実数定数，q(t) :既知関数) (1.16)

を標準形に変換して解こう．先ず，x = X exp(−bt) (X ≡ X(t)) とおいて代入すると，

次式を得る：d2x

dt2+ ax + 2b

dx

dt

=

[d2X

dt2− 2b

dX

dt+ b2X + aX + 2b

(dX

dt− bX

)]exp(−bt) = q(t)

→ d2X

dt2+

(a− b2

)X = exp(bt) q(t) (1.17)

(この (1.17)は標準形になっている；a = b2 の場合，(1.17)の解は容易に求められる．以

下では，a 6= b2 とする)．次に，表式を簡略にするために α ≡ √a− b2 とおき，関係式

(1.15)を援用して，(1.17)の一般解 X そして (1.16)の一般解 x が求められる．

X = CX0 + C ′X1 + X0

∫X−2

0

[∫X0 exp(bt) q(t) dt

]dt

(1.18a)

x = exp(−bt) [CX0 + C ′X1] + exp(−bt)X0

∫X−2

0

[∫X0 exp(bt) q(t) dt

]dt

(1.18b)

但し，C, C ′ は積分定数 (一般に複素定数)であり，X0, X1 は (1.17)の基本解である：

X0 = exp(iαt), X1 = exp(−iαt) (1.19a, b)

一方，(1.16)を以下のようにして解くこともできる．(1.16)は「定数係数を持つ線形常

微分方程式」であるから，解の形を x ∝ exp(λt) (λ :複素定数) とおいて (1.16)に対す

る同次方程式に代入する：

d2x

dt2+ ax + 2b

dx

dt=

(λ2 + a + 2bλ

)x = 0 (1.20)

(1.20)式が有意な解 (x 6= 0) を持つためには，λ の特性方程式が成り立つ必要がある：

λ2 + 2bλ + a = 0 → λ = −b±√

b2 − a

→ λ1 = −b +√

b2 − a, λ2 = −b−√

b2 − a (1.21a, b)

–18–

19

これにより，a 6= b2 の場合，基本解は exp(λ1t), exp(λ2t) となり，(1.20)式の一般解

((1.16)の同次解)は次式で与えられる．

x = C exp(λ1t) + C ′ exp(λ2t) (1.22)

(C, C ′ :積分定数；固有値 λ が複素数の場合には，C ′ = C∗ (C∗ は C の複素共役) と

おいてもよい)．

同次方程式 (1.20)の基本解 (exp(λ1t) と exp(λ2t)) の1つを x0 と表し，もう1つ

を x1 とする．非同次方程式 (1.16)の特解を xp = Xx0 (X ≡ X(t)) とおいて代入する：

d2xp

dt2+ axp + 2b

dxp

dt= x0

d2X

dt2+ 2

dX

dt

dx0

dt+ X

d2x0

dt2+ ax0X + 2b

(x0

dX

dt+ X

dx0

dt

)

= x0d2X

dt2+

(2dx0

dt+ 2bx0

)dX

dt= q(t)

→ d

dt

[exp(2bt) x2

0

dX

dt

]= exp(2bt) x0 q(t)

→ dX

dt= exp(−2bt) x−2

0

[∫exp(2bt) x0 q(t) dt

]

→ X =∫

exp(−2bt) x−20


]dt

よって，特解 xp = Xx0 が求められる．特解と同次解を重ね合わせて，(1.16)の一般解

は次式となる：

x = Cx0 + C ′x1 + x0

∫ exp(−2bt) x−2

0


]dt (1.23)

(C, C ′ :積分定数)．これは，(1.21a,b)を用いると (特性方程式の根 λ1 と λ2 の性質：

λ1 + λ2 = −2b を用いると)，次のように表される：

x = C exp(λ1t) + C ′ exp(λ2t)

+ exp(λ1t)∫

exp [(λ2 − λ1)t][∫

exp(−λ2t) q(t) dt]

dt (1.24)

または，次式で表される：

x = C exp(λ1t) + C ′ exp(λ2t) +∫ t ∫ s

exp [λ1(t− s) + λ2(s− r)] q(r) dr

ds (1.25)

さらに，b2 − a < 0 の場合には，

λ1 = −b + i√

a− b2 ≡ β, λ2 = −b− i√

a− b2 = β∗

であるから，一般解は

x = C exp(βt) + C∗ exp(β∗t) +∫ t ∫ s

exp [β(t− s) + β∗(s− r)] q(r) dr

ds (1.26)

–19–


と表される．(質点・バネ・ダンパ系の振動解析において，ダンピング係数が小さい場

合には，(1.26)の表式が有効である．)

a = b2 の場合，(1.20),(1.21a,b)において，λ は重根 (λ = −b) を持つ．1つの基本

解 exp(λt) = exp(−bt) を用いて，もう1つの基本解を定数変化法で求める．その基本

解を x1 = X exp(−bt) (X ≡ X(t)) とおいて同次方程式に代入する：

d2x1

dt2+ ax1 + 2b

dx1

dt=

d2x1

dt2+ b2x1 + 2b

dx1

dt

=d2X

dt2exp(−bt) = 0

→ d2X

dt2= 0

→ X = C1 + C2t

→ x1 = (C1 + C2t) exp(−bt) (1.27)

1つの基本解は exp(−bt) であるから，x1 の積分定数を C1 = 0, C2 = 1 と選べば，も

う1つの基本解は t exp(−bt) であることが分かる．そして，この2つの基本解に対する

Wronskian W は，W = exp(−2bt) 6= 0 である．(2つの基本解の関係については，次

の節も参照すること)．

[例題] 実数定数 a, b, c, A を持つ線形非同次2階常微分方程式：

d2x

dt2+ ax + 2b

dx

dt= A exp(ct) (1.28)

を解く．(1.28)に対する同次方程式の解を，x ∝ exp(λt) (λ :複素定数)とおくと，λ の

特性方程式を得る：

λ2 + 2bλ + a = 0 → λ = −b±√

b2 − a

→ λ1 = −b +√

b2 − a, λ2 = −b−√

b2 − a (1.29a, b)

よって，b2 6= a の場合， λ は相異なる2根 λ1, λ2 を持ち，同次解 xh は次式で与えら

れる：

xh = C exp(λ1t) + C ′ exp(λ2t) (C, C ′ :一般に複素定数) (1.30)

b2 = a の場合，λ は重根 λ = −b を持ち，同次解 xh は次式で与えられる：

xh = (C + C ′t) exp(−bt) (C, C ′ :実数定数) (1.31)

(1.28)式の非同次解 xp は，xp ∝ exp(ct) とおいて代入し，c, a, b の関係を調べて

から構成する．先ず，c2 + 2bc + a 6= 0 の場合には，非同次解 xp は次式で与えられる：

xp =A exp(ct)

c2 + 2bc + a(1.32)

–20–

21

次に，c2 +2bc+ a = 0 の場合，さらに (i) a 6= b2 の場合と (ii) a = b2 (即ち，c+ b = 0)

の場合に分けて扱う．(i)の場合の非同次解は次式で与えられる．

xp =At exp(ct)

2(c + b)(1.33)

(ii)の場合の非同次解は次式で与えられる．

xp =1

2At2 exp(ct) (1.34)

(1.30)または (1.31)で与えられる同次解 xh，及び (1.32),(1.33),(1.34)のいずれかで与え

られる非同次解 xp により，(1.28)式の一般解 x が構成される：x = xh + xp．

[付記] 方程式 (1.28)の場合，非同次解 xp を

xp = Btn exp(ct) (1.35)

(B:定数, n:整数)とおいて，(1.28)式を満たすように n, B を決める．

d2xp

dt2+ axp + 2b

dxp

dt=

(c2 + 2bc + a

)Btnect + 2n(c + b)Btn−1ect + n(n− 1)Btn−2ect

= A exp(ct) (1.36)

即ち，c2+2bc+a 6= 0であれば，中間の表式の第1項が右辺 (A exp(ct))と対応するよう

に n, B を決める :n = 0, B = A/ (c2 + 2bc + a)．c2 +2bc+a = 0 で a 6= b2 の場合，第

2項が右辺と対応するように n, B を決める: n = 1, B = A/(2c + 2b)．c2 + 2bc + a = 0

で a = b2 の場合，第3項が右辺と対応するように n, B を決める :n = 2, B = A/2．

ここで述べた方法は，定数 a, b, c, A，整数 m を含む次の方程式を解く場合にも

適用できる．d2x

dt2+ ax + 2b

dx

dt= Atm exp(ct) (1.37)

線形非同次2階常微分方程式 (Linear Inhomogeneous Second Order Ordinary

Differential Equation)

未知関数 x ≡ x(t)，独立変数 t, p(t), q(t), R(t):既知関数

d2x

dt2+ p(t)x + 2R(t)

dx

dt= q(t) (2.1)

これに x = Xf (X ≡ X(t), f ≡ exp[− ∫R(t) dt]) を代入し，線形非同次2階常微分方

程式の標準形に変形する：

fd2X

dt2+ 2

dX

dt

df

dt+ X

d2f

dt2+ p(t)Xf + 2R(t)

[f

dX

dt+ X

df

dt

]= q(t)

–21–


→ d2X

dt2+

p(t) +

[d2f

dt2+ 2R(t)

df

dt

]f−1

X = f−1q(t)

→ d2X

dt2+ P (t)X = Q(t) (2.2)

where

P (t) ≡ p(t) +

[d2f

dt2+ 2R(t)

df

dt

]f−1, Q(t) ≡ f−1q(t) (2.3a, b)

(2.2)に対する同次方程式の基本解の1つを X0 (X0 ≡ X0(t)) と表し，X0 が得られた

と仮定する．もう1つの基本解を X1 (X1 ≡ X1(t)) とする．従って，X0 とX1 は次の

方程式を満たす：

d2X0

dt2+ P (t)X0 = 0,

d2X1

dt2+ P (t)X1 = 0 (2.4a, b)

前者に X1 を掛け，後者に X0 を掛けて，両者の差を取ると次式を得る：

X1

[d2X0

dt2+ P (t)X0

]−X0

[d2X1

dt2+ P (t)X1

]= X1

d2X0

dt2−X0

d2X1

dt2

=d

dt

(X1

dX0

dt−X0

dX1

dt

)= 0

→ X1dX0

dt−X0

dX1

dt= constant ≡ A (A 6= 0) (2.5)

これは，X0 を既知関数，X1 を未知関数とする線形の1階常微分方程式と見なすこと

ができる．解くと，次式 ((2.5)の特解)を得る：

X1 = −AX0

[∫X−2

0 dt]

(2.6)

非同次方程式 (2.2)の解を X = Y X0 (Y ≡ Y (t))とおいて (2.2)に代入し，それを解く：

d2X

dt2+ P (t)X =

d2Y

dt2X0 + 2

dY

dt

dX0

dt+

d2X0

dt2Y + P (t)Y X0 = Q(t)

→ dY

dt= X−2

0

[∫X0 Q(t) dt + constant

]

→ X = X0

∫X−2

0

[∫X0 Q(t) dt + constant

]dt + constant

→ X = X0

∫X−2

0

[∫X0 Q(t) dt

]dt

+ CX0 + C ′X1 (2.7)

(C, C ′ :積分定数)．この右辺第1項が特解，第2,3項は同次解である．ここでは積分定

数を考慮して計算したので，(2.7)は (2.2)の一般解である．

この結果を用いて (2.1)の一般解が求められる：

x = fX0

∫X−2

0

[∫X0 Q(t) dt

]dt

+ f [CX0 + C ′X1] (2.8)

–22–

23

2階の線形常微分方程式と1階の連立線形常微分方程式

簡単のため (しかし，応用上の重要性を考慮して)，定数係数を持つ線形同次2階常

微分方程式：d2x

dt2+ ax = 0 (2.9)

(未知関数 x ≡ x(t)，a :正の実数定数，独立変数 t : tA ≤ t ≤ tB；tB = tA + 2π/√

a) を

考える．これは，y ≡ dx/dt を導入すると，1階の連立線形常微分方程式で表される．

dx

dt− y = 0,

dy

dt+ ax = 0 (2.10a, b)

(2.10a,b)をさらに書き換える．x, y をvector関数 x で表す： x ≡ (x, y)T (T は転置

(transposition) を意味する)．(太文字は vector を表し，大文字ローマン体は matrix を

表すものと約束する．) 係数行列 (matrix) を A，単位対角行列 (unit diagonal matrix)

を I とする：

A ≡[

0 1−a 0

], I ≡

[1 00 1

](2.11a, b)

これにより，(2.10a,b)は次のように表される：

dx

dt− Ax =

( : zero vector, = (0, 0)T

)(2.12)

解を x, y ∝ exp(λt) (λ :複素定数) とおいて (2.12)に代入すると次式を得る：

(λ I− A)x = (2.13)

これが有意な解 (x 6= ) を持つためには，係数行列 (λ I−A) の行列式が zero でなけ

ればならない．よって，λ の特性方程式を得る：

| λ I− A |= λ2 + a = 0

→ λ = ±i√

a(i ≡ √−1

)(2.14)

→ λ1 = i√

a, λ2 = −i√

a (2.15a, b)

これにより，固有値 λ1 に対応する解 (固有 vector)を x1 = (x1, y1)T，また，固有値 λ2

に対応する解を x2 = (x2, y2)T と表す．これらは，(2.13)により，各々に次の関係式を

満たす： x1 の成分に対して，

x1 = C exp(λ1t), y1 = C ′ exp(λ1t), (C, C ′ :定数) (2.16a, b)

λ1x1 = y1 → C ′ = λ1C (2.16c)

–23–


または ax1 = −λ1y1 → aC = −λ1C′ (2.16d)

x2 の成分に対して，

x2 = c exp(λ2t), y2 = c′ exp(λ2t), (c, c′ :定数) (2.17a, b)

λ2x2 = y2 → c′ = λ2c (2.17c)

または ax2 = −λ2y2 → ac = −λ2c′ (2.17d)

よって，解は次のように表される：

x1 = (x1, y1)T = C (1, λ1)

T exp(λ1t) (2.18a)

x2 = (x2, y2)T = c (1, λ2)

T exp(λ2t) (2.18b)

(2.18a,b)の積分定数 C, c を 1 とおいたものを固有関数 (eigenfunction) という．応用

上，固有関数を規格化 (normalization) しておくと便利である．そのために，閉区間

tA ≤ t ≤ tB (tB = tA + 2π/√

a) において，固有関数の内積 (次ページの [注]を参照)を

計算する：

< xT1 ,x1 > ≡ 1

tB − tA

∫ tB

tAxT∗

1 · x1 dt

=1

tB − tA

∫ tB

tA(x∗1x1 + y∗1y1) dt

= CC∗(1 + a) = 1, (2.19a)

→ CC∗ =1

1 + a→ C = C∗ =

1√1 + a

(2.19b)

従って，規格化された固有関数 x1e, x2e は次式となる：

x1e = (1, λ1)T exp(λ1t)√

1 + a, (2.20a)

x2e = (1, λ2)T exp(λ2t)√

1 + a(2.20b)

これを用い，(2.13)の一般解は次式で与えられる：

x = C1x1e + C2x2e (C1, C2 :一般に複素数) (2.21)

さらに，(2.12),(2.13)式を改めて書き下し，級数展開を用いて調べてみよう．

dx

dt= Ax, Ax = λ I x = λx (2.22a, b)

いま，x(t) を t = 0 のまわりで Taylor 級数に展開する：

x(t) = x(0) +

(dx

dt

)

0

t +1

2

(d2x

dt2

)

0

t2 + · · ·+ 1

n!

(dnx

dtn

)

0

tn + · · · (2.23)

–24–

25

この各項を，(2.22a)式の両辺を t で微分したものと置き換える．

x(t) = x(0) + (Ax)0 t +1

2

(A

dx

dt

)

0

t2 + · · ·+ 1

n!

(A

dn−1x

dtn−1

)

0

tn + · · ·

= x(0) + Ax(0) t +1

2AAx(0) t2 + · · ·+ 1

n!Anx(0) tn + · · · (2.24)

これに (2.22b)を代入する：

x(t) = x(0) + λ I x(0) t + · · ·+ 1

n!(λ I )n x(0) tn + · · ·

= x(0) + λx(0) t + · · ·+ 1

n!λn x(0) tn + · · ·

= x(0)∞∑

n=0

1

n!λntn

= x(0) exp(λt) (2.25)

(2.23)-(2.25)を考慮して，(2.22a)式の解は

x(t) = x(0) exp(λt) = x(0) exp(At) (2.26)

と表される．また，matrix A の指数関数を次式で定義することができる：

exp(A) ≡∞∑

n=0

1

n!An (2.27)

[注] 2つの3次元の constant vector a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)T に対して，内積

(inner product) を a · b と表す．内積は，次式で定義される：

a · b ≡ a1b1 + a2b2 + a3b3 =< a, b >

これにより a · a が定義され，√a · a をvector a の大きさという．a · b の一方が zero

vector であるか，a と b が直交する場合，a · b = 0 となる．

定数 C1, C2 を含む方程式：

C1aT + C2b =

と a, bT の内積を取ると，次式を得る：

C1a · aT + C2a · b = 0, C1bT · aT + C2b

T · b = 0

前者で a·b = 0であれば，a·aT 6= 0なので C1 = 0を得る．後者では，bT ·aT = a·b = 0

であれば，bT ·b 6= 0なので C2 = 0を得る．2つの直交する vectorは線形独立である．

–25–


tA ≤ t ≤ tB における2つの複素関数 f(t), g(t) の内積 < f, g > は，次式で定義さ

れる：

< f, g >≡ 1

tB − tA

∫ tB

tAf(t)∗ g(t) dt

(肩に付けた*印は複素共役を意味する)．これにより，< f, f > が定義され，関数 f の

norm は，‖ f ‖= √< f, f > と表される．閉区間で恒等的には zero でない関数 f , g

の内積が zero であるとき，2つの関数は互いに直交するという．

定数 C1, C2 を含む方程式：

C1f + C2g = 0

を考える．これと f , g の内積を取ると，

C1 < f, f > +C2 < f, g >= 0, C1 < g, f > +C2 < g, g >= 0

となる．前者で < f, g >= 0 であれば，< f, f > 6= 0 なので C1 = 0 を得る．同様に，

後者では < g, f >= 0 (< g, f >=< f, g >∗) であれば，< g, g > 6= 0 なので C2 = 0 を

得る．直交する関数 (orthogonal function) f , g は線形独立である．

· · · · · · · · · 以下続く · · · · · · · · ·

–26–

Chapter 3

合流型超幾何微分方程式1992.6.10.

A second order ordinary differential equation for u ≡ u(z) in the region −∞ <

z < ∞, with two real constants α and γ:

zd2u

dz2+ (γ − z)

du

dz− αu = 0 (1.1)

これは合流型超幾何微分方程式と呼ばれる： z = 0 は確定特異点，z = ∞ は1級の不

確定特異点である．

Assuming that the solution of Eq(1.1) is expressed by a power series of z with coeffi-

cients a0, a1, a2, · · · :

u =∞∑

n=0

anzn = a0 + a1z + a2z2 + a3z

3 + · · · , (1.2)

we have the following equations:

du

dz=

∞∑

n=1

annzn−1,d2u

dz2=

∞∑

n=2

ann(n− 1)zn−2,

thus

zd2u

dz2+ (γ − z)

du

dz− αu =

∞∑

n=2

ann(n− 1)zn−1 + (γ − z)∞∑

n=1

annzn−1 − α∞∑

n=0

anzn

= −αa0 + γa1 − a1(α + 1)z + 2a2(γ + 1)z

+∞∑

n=3

ann(γ + n− 1)zn−1 −∞∑

n=2

an(α + n)zn = 0 (1.3)

The coefficients should be chosen so that (1.2) satisfies Eq(1.3):

a1 =α

γa0, a2 =

α + 1

2(γ + 1)a1, · · · , an =

α + n− 1

n(γ + n− 1)an−1

an =(α)n

n!(γ)n

a0, for n = 1, 2, · · · ,∞ (1.4)

where (α)n and (γ)n stand for the following expression:

(α)n ≡ α(α + 1)(α + 2) · · · · · · (α + n− 1) = Γ(α + n)/Γ(α), (1.5)

27

28 CHAPTER 3. 合流型超幾何微分方程式

in terms of the gamma function Γ(x):

Γ(x) ≡∫ ∞

0exp(−t) tx−1 dt (with Rex > 0 for a genaral case) (1.6)

係数 (1.4)を持つ級数解 (1.2)を改めて u = a0u1 (a0 は積分定数と表す．u1 は，(1.1)式

の基本解であり，次式で与えられる：

u1 = 1 +∞∑

n=1

(α)nzn

n!(γ)n

=∞∑

n=0

(α)nzn

n!(γ)n

(1.7)

u1 はKummerの合流型超幾何級数であり，しばしば，記号 F (α, γ; z) で表される．

(1.1)は，線形2階の微分方程式であるから，もう一つ基本解を持つ．The other

solution u = Au1 where A = A(z), is a function to be determined as follows:

zd2u

dz2+ (γ − z)

du

dz− αu

= z

(d2A

dz2u1 + 2

dA

dz

du1

dz+

d2u1

dz2A

)+ (γ − z)

(dA

dzu1 +

du1

dzA

)− αAu1

= z

(d2A

dz2u1 + 2

dA

dz

du1

dz

)+ (γ − z)

dA

dzu1 = 0

→ d2A

dz2+

(2

u1

du1

dz+

γ − z

z

)dA

dz= 0 (1.8)

→ dA

dz= c1 exp

[−

∫ (2

u1

du1

dz+

γ − z

z

)dz

]= c1

1

u21

exp[−γLn(z) + z]

(c1 : an integration constant) 従って， u = Au1 は次のように表される：

Au1 = u1

c1

∫ 1

u21

exp[−γLn(z) + z] dz + c2

(1.9)

(c2 :an integration constant)．これにより，Eq(1.1)のもう一つ基本解 u2 は，

u2 = u1

∫ 1

u21

exp[−γLn(z) + z] dz (1.10)

となり，the general solution of Eq(1.1):

u = C1u1 + C2u2 (1.11)

(C1, C2 :integration constants)

基本解の独立性？

Γ(α)Γ(γ − α)

Γ(γ)F (α, γ; z) = z1−γ

∫ z

0exp(t) tα−1(z − t)γ−α−1 dt

–28–

Chapter 4

Vector代数と微分幾何数，vector解析，tensor解析，微分幾何

1992.9.27./’93.5.9./9.10./10.18./in Tex ’94.6.1.

vectorの定義：大きさ (magnitude)と方向 (direction)を持つ量

scalarの定義：方向を持たない量 (実数)；vectorと区別するための用語

vectorの幾何学的定義：空間内のある2点 (始点と終点)に対し，始点から終点に向き，

2点間の距離を大きさとする量をvectorという．始点と終点を直線で結び，終点に方向

を示す矢印を付けて表す (図示する)．

vectorの表現 a (ここでは太文字で表す)，→a (記号の上に矢印を付ける)，a∼ (波線

を付ける), etc．工学の分野では，vectorを太文字で表すことが多い．

vector a の大きさ ( a の絶対値)を |a|，または，‖a‖ と表す．大きさが zeroの

vectorを zero-vectorといい，で表す；zero-vectorは方向を持たない．大きさが zeroで

ないvector aをその大きさで除したものを単位vector (unit vector)という：e = a/|a|．以下では，特に断わらない限り，nonzero-vectorとする．

「vector a と b が等しい」とは，a と b の大きさと方向が等しいことをいう．

a と b の方向が同じとき，「a と b は平行 (parallel)である」という．方向が反対

であるとき，「a と b は反平行 (unti-parallel)である」という．このとき，vector a は，

scalar c (定数)を用いて，a = cb と表される：a と b が平行ならば c > 0，反平行な

ら c < 0 である．vectorの scalar倍は次の関係式を満たす：

ca(cba) = (cacb)a = cacba, 0a = (zero vector),

(ca + cb)a = caa + cba (暗にvectorの加算を含む)

a と b の方向が異なるとき，a と b は平面を作る．a と b の方向が垂直 (normal,

perpendicular)であるとき，「2つのvectorは直交する」という．

29

30 CHAPTER 4. VECTOR代数と微分幾何

方向が異なる3つのvector a, b, c があると，それらの scalar倍を用いて3次元空

間のvectorが記述される：直線直交座標系 (デカルト座標系)，斜交座標系など．

デカルト座標系の基底vector (3つの直交する単位vector)：e1, e2, e3

vector a は，基底vectorを用いて，次のように表される：

a = a1e1 + a2e2 + a3e3 = (a1, a2, a3)

このa1, a2, a3 をvector a の成分 (component)という；これは内積を前提としている．

基底vectorの成分表示： e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)

vector a の大きさ ( a の絶対値)：|a| ≡√

a21 + a2

2 + a23

vector a の定数倍：ca = ca1e1 + ca2e2 + ca3e3 (c:実数, scalar)

vectorの行列 (matrix)表示：

a =

a1

a2

a3

列vector, a =

(a1 a2 a3

)行vector

列vector a を a = (a1, a2, a3)T (”T ” は転置 (transposition)を表す) と表現することも

できる；これは行列 (matrix) による記法である．以下で用いる記法は，いずれも，デ

カルト座標系に基礎をおく表式を行列 (matrix) や行列式 (determinant) で表すもので

あるから，「線形代数」を解説する訳ではない．

vectorの tensor表現：a = a1e1 + a2e2 + a3e3 = (a1, a2, a3) を ai (i = 1, 2, 3)と表す．

vectorの成分 a1, a2, a3 を1つの組 (set)とし，indexを付けて一般項を表現する；

indexには半角文字，または，1/4角の下付き文字を使う．

tensorは，元々，空間の表現に関係して導入されたものである．ここでも初歩的な

意味で用いる；デカルト座標系に基礎をおく数式表現を tensorで表すに過ぎない．

vector表記と対応させる場合には，次のように表す： ai = ai

2つのvector a, b：

a = a1e1 + a2e2 + a3e3 = (a1, a2, a3), b = b1e1 + b2e2 + b3e3 = (b1, b2, b3)

vectorの和(加算)：a + b

a + b = (a1e1 + a2e2 + a3e3) + (b1e1 + b2e2 + b3e3)

= (a1 + b1)e1 + (a2 + b2)e2 + (a3 + b3)e3

= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

–30–

31

加算により新たなvectorが作られる：c = a + b

交換法則 (commutative law)：a + b = b + a

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) = (b1 + a1, b2 + a2, b3 + a3) = b + a

結合法則 (associative law)：a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

a, b の方程式：caa + cbb =

ca = cb = 0 の場合にのみ方程式を満たすとき，a と b は1次独立 (線形独立)であると

いう．その他の場合 (c2a + c2

b > 0)，1次従属 (線形従属)という．

vectorの差 (減算)：c = a + b から a = c− b

zero-vector = (0, 0, 0) , = a− a

a の逆vector −a：

−a = −(a1e1 + a2e2 + a3e3) = −a1e1 − a2e2 − a3e3 = (−a1,−a2,−a3)

デカルト座標系の原点を始点とし点 P1 を終点とするvector x1 は，原点の取り

方に依存する．これを束縛vectorという．同様に，原点を始点とし点 P2 を終点とす

るvector x2 も束縛vectorである．点 P1 から点 P2 に向かうvector x2 − x1 は，原点

の取り方に依らない．これを自由vectorと呼ぶ．例えば，質点の位置vectorは，束縛

vectorである．質点の変位，速度，加速度，質点に働く力は，自由vectorである．但

し，vectorの成分表示は原点の選び方 (座標系の選び方)に依存する．

[例] d’Alembertの原理 (Newtonの第2法則)

物体に働く N 個の外力 F 1, F 2, · · ·, F N：F k (k = 1, 2, · · · , N)

N∑

k=1

F k = (力の多角形が閉じる；物体は「静つりあい」状態にある)

K =N∑

k=1

F k (力の多角形が閉じるように慣性項Kを加える)

物体は「動つりあい (dynamic balance)」状態にある．即ち，物体は運動する．

vectorの積演算：内積，外積，dyad

内積 (inner product, scalar product, dot product)：内積を a · b と表す幾何学的意味：a · b = |a||b| cos θ ( θ は a と b の間の角度 [rad])

内積の交換法則：a · b = b · aa を b に射影 (projection)する：Proj(a)b|b| = a · b = Proj(b)a|a|

–31–


a · a = a2 = |a||a| = |a|2

(a · b)2 = |a|2|b|2 cos2 θ ≤ |a|2|b|2 (Cauchyの不等式)

vectorの直交：もし a · b = 0 ならば a と b は直交 (normal, perpendicular) する．

(そうでなければ，a と b の少なくとも一方が，zero-vectorである．)

互いに直交するvectorは，線形独立である．方程式 caa + cbb = に対し，

a · (caa + cbb) = a · = 0 → a · a 6= 0, a · b = 0より，ca = 0,

b · (caa + cbb) = b · = 0 → b · b 6= 0, b · a = 0より，cb = 0

a と b の方向が異なるとき，c = b− (a · b)a/a2 が計算できる；これは a と直交する

vectorである．故に，単位vector a/|a| と c/|c| の線形結合は，a と b の作る平面内

の任意のvector A を表すことができる：

A = caa

|a| + cbc

|c| (ca, cb :任意定数)

デカルト座標系の基底vectorの内積

e1 · e1 = 1, e2 · e2 = 1, e3 · e3 = 1,e1 · e2 = 0, e2 · e3 = 0, e3 · e1 = 0

a の成分表示：a = (a · e1)e1 + (a · e2)e2 + (a · e3)e3 = a1e1 + a2e2 + a3e3

a と b の内積：

a · b = (a1e1 + a2e2 + a3e3) · (b1e1 + b2e2 + b3e3)

= a1e1 · (b1e1 + b2e2 + b3e3) + a2e2 · (b1e1 + b2e2 + b3e3)

+a3e3 · (b1e1 + b2e2 + b3e3)

= a1b1 + a2b2 + a3b3 = b1a1 + b2a2 + b3a3

= b · a

内積の分配法則：a · (b + c) = a · b + a · c

内積のmatrix表現：

a · b =(

a1 a2 a3

)

b1

b2

b3

= a1b1 + a2b2 + a3b3 =

(b1 b2 b3

)

a1

a2

a3

= b · a

このmatrix表現の交換には注意を要する．(後に示すdyadと比較せよ．)

内積の tensor表現：

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 =3∑

i=1

aibi = aibi

–32–

33

最後の表式では，和を表す記号3∑

i=1

を省略した．この表記法をEinsteinの総和記法 (sum-

mation notation, summation convention) という．以下では，この約束に従って記述す

る；数式のなかで，同じ indexを持つもの同士の総和を取る (taking the summation for

the repeated index)．総和記法で記述することを予め明記する必要がある；どの記法を

用いるかによって，数式の持つ意味が異なるからである．もし1つの項の表式に同じ

indexを3つ以上使う場合，そのことを明記しなければならない (総和記法を用いる場

合，同じ indexが3つ以上現れないよう，表現を工夫する必要がある；様々な記法を混

在させた表現は，品位を損ねる)．

総和記法の例：2つのvectorの内積の和

a · b + b · a = aibi + biai = aibi + bjaj = 2akbk = 2(a1b1 + a2b2 + a3b3)

tensorの indexの数を「階数」と呼ぶ．例えば，

ai (1階の tensor), aibk, Aij (2階の tensor), Cijk (3階の tensor)

(i, j, k = 1, 2, 3)となる．2階の tensor aibk は，後で考える「dyad」である． aibk から，

その特別な場合として，akbk が導かれる．同じ indexについて総和を取るので，akbk

は0階の tensor (即ち，scalar量) である；内積は，座標系の回転に対して，値を変えな

い (不変量である)．

tensorを扱う上で特に重要なものは，δij と εijk である．

δij (単位対角 tensor, 単位 tensor, Kroneckerのdelta) ; δii = 3

index i と j が等しい場合に1 (δ11 = δ22 = δ33 = 1)，それ以外は zeroである；同じ index

の場合，総和記法により，結果は3となる；これを「縮約を取る」という．

Kroneckerのdeltaについて，次式が成り立つ：

δijaj = ai ; δijδjk = δik ; δijδjmδmn = δin

Eddingtonの epsilon (3階の単位交代 tensor)：εijk

i, j, k が 1, 2, 3 の偶置換のときの値は 1，奇置換のときには −1 の値を取り，それ以外

の i, j, k の組み合せでは zeroとなる．以下で見るように，外積を行列式で表現すると，

行の入れ替えによって符号が変化することと対応している．

Eddingtonの epsilonは3階の等方 tensor (isotropic tensor)，Kroneckerのdeltaは

2階の等方 tensorの代表例である．4階の等方 tensor Cikmn は次式となる：

Cikmn = aδikδmn + bδimδkn + cδinδkm (a, b, cは係数)．

さらに，高次元の高階の tensorでは「一般化されたKroneckerのdelta」が重要である

が，ここでは詳しい説明を省略する．

–33–


外積 (outer product, vector product, cross product)

外積を a× b, a∧b と表す．

幾何学的意味：a × b = |a||b|e sin θ (θ は a と b の間の角度 [rad]；e は a から b に

右ネジを回転させたときネジが進む向きを持つ単位vector)

成分ごとの計算は，次の行列式 (determinant) で与えられる：

a× b =

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣= e1(a2b3 − a3b2)− e2(a1b3 − a3b1) + e3(a1b2 − a2b1)

外積の交換は符号を変える．行列式の行を奇数回入れ替えると符号が変わる：

a× b = −b× a

同じ方向を持つvectorの外積は zero-vectorとなる：

a× a = , a× b = (a と bが平行)

[注] いま考えているデカルト座標系は右手系であることを強調しておく必要がある．右手の親指を e1，人差指を e2，中指を e3 とすれば，外積は e1 × e2 = e3 である．

もし，左手系を取り，左手の親指を e1，人差指を e2，中指をE3 とすれば，外積は

e1 × e2 = E3 = −e3：中指の向きが逆になる．このようなvectorを軸性vectorという．

それに対し，通常のvectorを極性vectorという．質点の位置vector x や力 F は極性

vectorであるが，力のmoment M = x× F は軸性vectorである．

vector (a× b)の内積： (a× b) · (a× b) = |a|2|b|2e2 sin2 θ ≤ |a|2|b|2a と b が直交するとき，sin2 θ = 1；a と b が同じ方向のとき，sin2 θ = 0．

基底vectorの外積

e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1, e3 × e1 = e2,e2 × e1 = −e3, e3 × e2 = −e1, e1 × e3 = −e2,e1 × e1 = , e2 × e2 = , e3 × e3 = ,

a× b = (a1e1 + a2e2 + a3e3)× (b1e1 + b2e2 + b3e3)

= a1e1 × (b1e1 + b2e2 + b3e3)

+a2e2 × (b1e1 + b2e2 + b3e3)

+a3e3 × (b1e1 + b2e2 + b3e3)

= a1b1e1 × e1 + a1b2e1 × e2 + a1b3e1 × e3

–34–

35

+a2b1e2 × e1 + a2b2e2 × e2 + a2b3e2 × e3

+a3b1e3 × e1 + a3b2e3 × e2 + a3b3e3 × e3

= a1b2e3 − a1b3e2 − a2b1e3 + a2b3e1 + a3b1e2 − a3b2e1

= e1(a2b3 − a3b2)− e2(a1b3 − a3b1) + e3(a1b2 − a2b1)

外積の分配法則：a× (b + c) = a× b + a× c

外積の tensor表現：

a× bi = εijkajbk = εimnambn ; εijkajbk = −εikjajbk

総和記法により，2つの同じ indexを書き換えても，結果は変わらない：Eddingtonの

epsilonの indexを奇数回入れ換えると，符号が変わる．

dyad(ディアド)：dyadを ab と表し，その成分は次式となる．

ab =

a1

a2

a3

(b1 b2 b3

)=

a1b1 a1b2 a1b3

a2b1 a2b2 a2b3

a3b1 a3b2 a3b3

ab の対角成分の和を trace (跡) という：Tr(ab ) = a1b1 + a2b2 + a3b3 = a · bdyadの演算：

a (b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc,

a (cb) = cab, (ca)b = cab

一般に，ab 6= ba である．dyadの有限和をdyadicという．

scalar 3重積 (triple scalar-product)：幾何学的にはvector a, b, c の作る平行6面体

の体積を表す．体積は，座標系の回転に対して，値を変えない (不変量である)．

a · b× c = a · (b× c)

a と b× c の内積

a · b× c =

∣∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣= a1(b2c3 − b3c2)− a2(b1c3 − b3c1) + a3(b1c2 − b2c1)

a · b× c = b · c× a = c · a× b (行の偶置換),

a · b× c = −a · c× b = −b · a× c (行の奇置換)

–35–


scalar 3重積の tensor表現：a · b× c = aiεijkbjck = εijkaibjck = εkmnakbmcn

vector 3重積 (triple vector-product)：a× b× c = a× (b× c)

a と b× c の外積 (a× b)× c 6= a× (b× c)

a× b× c =

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b2c3 − b3c2 −b1c3 + b3c1 b1c2 − b2c1

∣∣∣∣∣∣∣= e1[a2(b1c2 − b2c1)− a3(−b1c3 + b3c1)]

−e2[a1(b1c2 − b2c1)− a3(b2c3 − b3c2)]

+e3[a1(−b1c3 + b3c1)− a2(b2c3 − b3c2)]

= e1[b1(a2c2 + a3c3)− c1(a2b2 + a3b3)]

−e2[−b2(a1c1 + a3c3) + c2(a1b1 + a3b3)]

+e3[b3(a1c1 + a2c2)− c3(a1b1 + a2b2)]

= b(a · c)− c(a · b)

書換え：

b(a · c)− c(a · b) = b(c · a)− c(b · a) = (a · c)b− (a · b)c = (c · a)b− (b · a)c

vector 3重積の tensor表現：

a× b× ci = εijkajεkmnbmcn = εijkεkmnajbmcn

この関係式は，Eddingtonの epsilonを偶数個含む項の計算に対する公式 (ここでは公式

とみなす)から導かれる．先ず，公式は次式である：

εijkεpqr = δpqrijk = δipδjqδkr − δipδjrδkq + δiqδjrδkp − δiqδjpδkr + δirδjpδkq − δirδjqδkp

2番目の表式では「一般化されたKroneckerのdelta」を用いた．その意味は，i, j, k に対

応させて p, q, r を次々に置換し，(2階の) Kroneckerのdeltaの積に書き換えることであ

る：p, q, r → p, r, q (奇置換)；p, q, r → q, r, p (偶置換) → q, p, r (奇置換)；p, q, r → r, p, q

(偶置換) → r, q, p (奇置換)；奇置換は符号を変える．

次に，k = p とおいて縮約を取ると，次式を導く：

εijkεkqr = δkqrijk = δqrk

ijk = δqrij = δiqδjr − δirδjq

「一般化されたKroneckerのdelta」では，上付き index (superscript)と下付き index (sub-

script) に同じものがあれば消去できる．この表式を用いると，次式を得る：

a× b× ci = εijkajεkmnbmcn = (δimδjn − δinδjm)ajbmcn

–36–

37

= ajbicj − ajbjci = (a · c)bi − (a · b)ci

この計算は，しかしながら，vector 3重積が a× b× c = b(a · c)− c(a · b) と表される

ことの証明にはならない：上に示した tensor関係式を認めたからである．覚え易く便

利な式ではある．

多変数関数の微分の復習：デカルト座標系 x = (x1, x2, x3), scalar関数 φ ≡ φ(x) =

φ(x1, x2, x3)

φ の微分 (x1, x2, x3 を変化させた場合)：

dφ =∂φ

∂x1

dx1 +∂φ

∂x2

dx2 +∂φ

∂x3

dx3 ; dφ =∂φ

∂xk

dxk (tensor表示)

φ の微分 (x1 だけ変化させ，x2, x3 を固定した場合)：

dφ =∂φ

∂x1

dx1

合成 scalar関数の微分：φ ≡ φ(ψ), ψ ≡ ψ(x) = ψ(x1, x2, x3)

dφ =dφ

dψdψ =

dφ

dψ

(∂ψ

∂x1

dx1 +∂ψ

∂x2

dx2 +∂ψ

∂x3

dx3

)

scalar関数 φ ≡ φ(x, t) = φ(x1, x2, x3, t)

x1 ≡ x1(t), x2 ≡ x2(t), x3 ≡ x3(t) の場合の φ の微分：

dφ =∂φ

∂tdt +

∂φ

∂x1

dx1 +∂φ

∂x2

dx2 +∂φ

∂x3

dx3

整理して，次式を得る：

dφ

dt=

∂φ

∂t+

∂φ

∂x1

dx1

dt+

∂φ

∂x2

dx2

dt+

∂φ

∂x3

dx3

dt

vector関数 v ≡ v(x) = (v1, v2, v3) (これは v の成分が，各々，v1 ≡ v1(x1, x2, x3),

v2 ≡ v2(x1, x2, x3), v3 ≡ v3(x1, x2, x3) であることを意味する)

v の微分： dv = (dv1, dv2, dv3)

dvk =∂vk

∂x1

dx1 +∂vk

∂x2

dx2 +∂vk

∂x3

dx3 for k = 1, 2, 3

v の微分の tensor表現：

dvk =∂vk

∂xm

dxm for k = 1, 2, 3

[例] N 自由度のHamilton関数 H ≡ H(q, p, t) (一般化座標:q ≡ q(t) = (q1, q2, · · · , qN),

一般化運動量:p ≡ p(t) = (p1, p2, · · · , pN)) の微分は次式となる．

dH =∂H

∂tdt +

∂H

∂q1

dq1 +∂H

∂q2

dq2 + · · ·+ ∂H

∂qN

dqN

–37–


+∂H

∂p1

dp1 +∂H

∂p2

dp2 + · · ·+ ∂H

∂pN

dpN

→ dH

dt=

∂H

∂t+

N∑

n=1

[∂H

∂qn

dqn

dt+

∂H

∂pn

dpn

dt

]

勾配演算子(gradient operator) ∇ ：記号 ∇ をnabla (ナブラ)という．

デカルト座標系 (x1, x2, x3) に対する勾配演算子：

∇ ≡(

∂

∂x1

,∂

∂x2

,∂

∂x3

)= e1

∂

∂x1

+ e2∂

∂x2

+ e3∂

∂x3

scalar関数 φ ≡ φ(x1, x2, x3) の勾配 (gradient) を計算する：

∇φ =

(∂φ

∂x1

,∂φ

∂x2

,∂φ

∂x3

)= e1

∂φ

∂x1

+ e2∂φ

∂x2

+ e3∂φ

∂x3

∇φ を grad φ と表す．その tensor表現は次式となる：

∇φk =∂φ

∂xk

∇ と関数 v の内積を取る：divergence (発散)

∇ · v =∂v1

∂x1

+∂v2

∂x2

+∂v3

∂x3

; ∇ · v =∂vk

∂xk

(tensor表示)

∇ · v を div v と表す．vector v が ∇ · v = 0 を満たすとき，v をdivergence-freeな

vectorと呼ぶ．

∇ と関数 v の外積を取る：rotation(回転)

∇× v =

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

∂/∂x1 ∂/∂x2 ∂/∂x3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣

= e1

(∂v3

∂x2

− ∂v2

∂x3

)− e2

(∂v3

∂x1

− ∂v1

∂x3

)+ e3

(∂v2

∂x1

− ∂v1

∂x2

)

∇ × v を rot v または curl v と表す；近年は，curl v よりも rot v と表す方が多い．

∇× v = を満たすとき，v を rotation-freeなvector，または，非回転的なvector (ir-

rotational vector)と呼ぶ．v が流体の流れの速度を表す場合，∇×v を渦度 (vorticity)

と呼ぶ．流れの空間的構造を知る上で重要な量である．∇×v = を満たす流れは「渦

なし流れ」と呼ばれる．

–38–

39

∇ と v のdyad：∇v = grad v

grad v = e1∂

∂x1

(v1e1 + v2e2 + v3e3) + e2∂

∂x2

(v1e1 + v2e2 + v3e3)

+e3∂

∂x3

(v1e1 + v2e2 + v3e3)

=

∂v1

∂x1

∂v2

∂x1

∂v3

∂x1

∂v1

∂x2

∂v2

∂x2

∂v3

∂x2

∂v1

∂x3

∂v2

∂x3

∂v3

∂x3

= ∇v;

∇vmn =∂vn

∂xm

grad v の traceは次のようになる：Tr (∇v) = ∇ · vgrad v は，次のように書き換えられる：

∇vmn =∂vn

∂xm

= εmn + Ωmn

εmn と Ωmn は次式で定義される：

εmn ≡ 1

2

(∂vn

∂xm

+∂vm

∂xn

), Ωmn ≡ 1

2

(∂vn

∂xm

− ∂vm

∂xn

)

この定義により εmn は indexを入れ替えることができる：εmn = εnm．これを2階の対

称 tensor (symmetric tensor)という．定義より，Ωmn = −Ωnm が成り立つ；これを2階

の反対称 tensorまたは交代 tensorという．

εmn の対角成分の和 (trace)は，εmm = ∇ · v である；traceは，座標系の変換に依

らない不変量である．その非対角成分は6個あるが，対称性により独立な成分は3個

(ε12 = ε21, ε13 = ε31, ε23 = ε32) である．Ωmn は，反対称性により，対角成分は zero

(Ω11 = Ω22 = Ω33 = 0) であり，非対角成分の3つが独立である：

Ω12 = −Ω21, Ω23 = −Ω32, Ω13 = −Ω31

また，Ωmn は，次のように表される：

∇ × vk = εkmn∂vn

∂xm

=1

2(εkmn − εknm)

∂vn

∂xm

= εkmnΩmn

物理量がvectorで表され，それが空間vectorの関数である場合，εmn + Ωmn は重要で

ある (例えば，流体力学，弾性体力学など)．

–39–


[追記] vector関数 v ≡ v(x) = (v1, v2, v3) の微分を tensorで表現する：

dvn = Anmdxm with Anm ≡ ∂vn

∂xm

この2階の tensor Anm は，係数行列 (matrix) である．

その行列の行列式 (determinant) は，関数行列式 (Jacobian) と呼ばれ，J または，

D(v1, v2, v3)/D(x1, x2, x3) で表される：

J ≡ D(v1, v2, v3)

D(x1, x2, x3)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂v1

∂x1

∂v1

∂x2

∂v1

∂x3

∂v2

∂x1

∂v2

∂x2

∂v2

∂x3

∂v3

∂x1

∂v3

∂x2

∂v3

∂x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

もし J 6= 0 ならば，次の関係を満たす2階の tensor Bkn (即ち，逆行列) が存在する．

Bkndvn = BknAnmdxm = δkmdxm = dxk → dxk = Bkndvn

(非同次の連立1次方程式の解法)．

Anm が定数のとき，dxm から dvn への変換 (dvn = Anmdxm) をaffine変換とい

う：その場合，積分により，vn = Anmxm が成り立つ．

さらに，係数 λ を導入し，関係式：

Anmxm = λδnmxm = λxn

を満たすとき，λ を固有値 (eigenvalue) と呼び，xn を固有vectorという．

[例] デカルト座標系 x = (x1, x2, x3) を x3 軸回りに一定角度 θ だけ回転させ，座標系

v = (v1, v2, v3) に変換する．次に示す変換式により，Jacobianは，J = 1 となる．

v1 = x1 cos θ + x2 sin θ, v2 = −x1 sin θ + x2 cos θ, v3 = x3

J =

∣∣∣∣∣∣∣

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣= 1

応用計算に必要な3次元vectorの関係式

デカルト座標系 x = (x1, x2, x3)；計算を明記するために x = (r1, r2, r3) = r とも表す．

r の大きさを r で表す：r = |r| =√

x21 + x2

2 + x23

scalar関数 φ ≡ φ(x) = φ(x1, x2, x3), etc.

vector関数 v ≡ v(x) = v(x1, x2, x3) = (v1, v2, v3), etc.

–40–

41

(1) grad (φψ) = ∇(φψ) = ψ(∇φ) + φ(∇ψ) = ψ∇φ + φ∇ψ

grad (r) = ∇r =

(∂r

∂x1

,∂r

∂x2

,∂r

∂x3

)=

x

r= e

grad(

1

r

)= grad (r)

d

dr

(1

r

)= − x

r3= − e

r2

e は x 方向のunit vector．

φ = c/r (c:定数)は，具体的には，万有引力の法則，Coulombの法則を表す．

(2) div (φv) = ∇ · (φv) = v · (∇φ) + φ(∇ · v)

div x = ∇ · x = 3

div(

x

r

)=

1

rdiv x− x · x

r3=

2

r

div(

x

r3

)=

1

r3div x− 3

x · xr5

= 0 ← div grad(

1

r

)= 0

(3) rot (φv) = ∇× (φv) = φ∇× v + (∇φ)× v = φ∇× v − v ×∇φ

rot x = ∇× x = ;

∇ × xk = εkmn∂xn

∂xm

= εkmnδmn = εkmm = 0

rot(

x

r

)= ∇×

(x

r

)=

1

r∇× x− x×∇

(1

r

)=

1

r3x× x =

(4) div grad φ = ∇ · ∇φ

div grad φ = ∇ · ∇φ =∂2φ

∂x21

+∂2φ

∂x22

+∂2φ

∂x23

∆φ = ∇ · ∇φ = ∇2φ：∆ をLaplace演算子 (Laplacian)という．

φ = c/r (c:定数)は，3次元の楕円型偏微分方程式 ∆φ = 0 の解である．そのとき，

grad φ も解になる；∆grad φ = ∆(∇φ) = ∇(∆φ) = ．

(5) rot grad φ = ∇×∇φ = の証明

区別のために subscriptをつけて ∇ = ∇1 = ∇2 と表せば，外積の順序の交換によって，

符号が変わる：

∇1 ×∇2 φ = −∇2 ×∇1 φ

–41–


右辺の項を左辺に移項し，区別の subscriptを除けば，

∇1 ×∇2 φ +∇2 ×∇1 φ = 2∇×∇φ =

となる．

(6) div rot v = ∇ · ∇ × v = 0 の証明

区別のために subscriptをつけて，∇ · ∇× v = ∇1 · ∇2 × v と表す．先に示した scalar

3重積の入れ替えにより，次式を得る：

∇1 · ∇2 × v = −∇2 · ∇1 × v = −∇ · ∇ × v

よって，2∇ · ∇ × v = 0： ∇ · ∇ × v = 0

(7) ∇ · u× v = v · ∇ × u− u · ∇ × v

(8) ∇× u× v = u(∇ · v) + (v · ∇)u− v(∇ · u)− (u · ∇)v

(9) u×∇× v = u×∇v × v = ∇v(u · v)− (u · ∇v)v = ∇v(u · v)− (u · ∇)v

v ×∇× u = v ×∇u × u = ∇u(u · v)− (v · ∇u)u = ∇u(u · v)− (v · ∇)u

これらを足し合わせる：

∇(u · v) = ∇u(u · v) +∇v(u · v) = u×∇× v + (u · ∇)v + v ×∇× u + (v · ∇)u

区別するため，∇u は u に作用するoperator, ∇v は v に作用するoperatorとした．

(10) ∇(v · v) = 2[v ×∇× v + (v · ∇)v]

(11) ∇×∇× v = ∇(∇ · v)− (∇ · ∇)v ; rot rot v = grad div v − div grad v

(12) ∇ · ∇ ×∇× v = ∇ · (∇×∇× v) = ∇ · [∇(∇ · v)− (∇ · ∇)v]

= ∇ · ∇(∇ · v)− (∇ · ∇)∇ · v = 0

div rot rot v = div grad div v − div grad div v = 0

(13) ∇×∇×∇× v = ∇(∇ · ∇ × v)− (∇ · ∇)∇× v = −(∇ · ∇)∇× v

rot rot rot v = grad div rot v − div grad rot v = −div grad rot v

–42–

43

scalar potential φ とvector potential A

∇ × v = ならば，v は scalar potential φ により，v = ∇φ と表される．このとき，

∇× v = ∇×∇φ = である．

∇ · v = 0 ならば，v はvector potential A により，v = ∇×A と表される．このとき，

∇ · v = ∇ · ∇ ×A = 0 である．

一般にvector関数 v は，

v = ∇φ +∇×A

と表される．v のdivergenceと rotationが規定されれば，φ と A の方程式が導かれる．

それを解いて境界条件に代入し，解 v を求めることができる．

理·工学で重要な偏微分方程式∇ · ∇φ = ∇2φ = 0 (Laplaceの方程式；楕円型偏微分方程式)

∇ · ∇φ = ∇2φ = f(x) (Poisson方程式，f(x)は既知関数)

∇ · ∇A = ∇2A = (Laplaceの方程式)

∇ · ∇A = ∇2A = f(x) (Poisson方程式, f(x)は既知関数)

∂u

∂t= κ

∂2u

∂x2(1次元の熱伝導方程式；放物型偏微分方程式)

∂u

∂t= κ∇2u (熱伝導方程式；放物型偏微分方程式)

∂2u

∂t2− c2∂2u

∂x2= 0 (1次元の波動方程式；双曲型偏微分方程式)

∂2u

∂t2− c2∇2u = 0 (波動方程式；双曲型偏微分方程式)

(to be continued)

–43–

Chapter 5

曲面と曲線座標1993.9.19.

3次元デカルト座標系 (x, y, z) (その基底vector e1, e2, e3) を用い，空間の点の位

置vectorを r で表す：

r ≡ xe1 + ye2 + ze3 (1)

位置 r が，parameter u, v で規定される場合を考える：

x ≡ x(u, v), y ≡ y(u, v), z ≡ z(u, v) (2)

ここで，v の値を固定しておいて，u の値を変化させると，(1)は空間曲線 (u-curve)

を描く．(2)式中の u の値を固定しておいて，v の値を変化させると，(1)は空間曲線

(v-curve) を描く．故に，u, v の値を変化させると，(1)は曲面 (surface) を描く．

r の微小変化 dr は，

dr = dxe1 + dye2 + dze3

=

(∂x

∂udu +

∂x

∂vdv

)e1 +

(∂y

∂udu +

∂y

∂vdv

)e2 +

(∂z

∂udu +

∂z

∂vdv

)e3

=∂r

∂udu +

∂r

∂vdv (3)

と表されるから，曲面に沿って測った微小距離 ds は，次式で与えられる：

ds2 = dr · dr =

(∂r

∂u

)2

du2 + 2∂r

∂u· ∂r

∂vdudv +

(∂r

∂v

)2

dv2 (4a)

→ ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 (4b)

但し，E, F , G は，次のように定義される：

E ≡(

∂r

∂u

)2

, F ≡ ∂r

∂u· ∂r

∂v, G ≡

(∂r

∂v

)2

(5a, b, c)

(4b) 式を曲面 r ≡ r(u, v) の第1基本形 (第1基本微分形式) という． (∂r/∂u) は u-

curve の接線vectorを表し，(∂r/∂v) は v-curve の接線vectorを表す．よって，u, v を

曲線座標とみなすと，(∂r/∂u) · (∂r/∂v) = 0 が成り立つ場合，u-curves (u = constant

の曲線群) と v-curves (v = constantの曲線群) は直交する．

44

45

2つの接線vectorの外積を用い，曲面の法線vector N と単位法線vector n を定義

できる：

N ≡ ∂r

∂u× ∂r

∂v, n ≡ ∂r

∂u× ∂r

∂v

1√N ·N (6a, b)

(3)式から，曲面の接線vector t は，次のように表される：

t ≡ dr

ds=

∂r

∂u

du

ds+

∂r

∂v

dv

ds(7)

さらに，t を s で微分して，法線vector n と曲率 κn の関係式を得る：

dt

ds=

d2r

ds2= κnn

=∂r

∂u

d2u

ds2+

∂2r

∂u2

(du

ds

)2

+ 2∂2r

∂u∂v

du

ds

dv

ds+

∂r

∂v

d2v

ds2+

∂2r

∂v2

(dv

ds

)2

(8)

→ κnn · n = κn = n ·∂2r

∂u2

(du

ds

)2

+ 2∂2r

∂u∂v

du

ds

dv

ds+

∂2r

∂v2

(dv

ds

)2

→ κn = e

(du

ds

)2

+ 2fdu

ds

dv

ds+ g

(dv

ds

)2

(9a)

→ κn =edu2 + 2fdudv + gdv2

ds2(9b)

→ κn =edu2 + 2fdudv + gdv2

Edu2 + 2Fdudv + Gdv2(9c)

e ≡ n · ∂2r

∂u2, f ≡ n · ∂2r

∂u∂v, g ≡ n · ∂2r

∂v2(10a, b, c)

(9b)式の edu2 + 2fdudv + gdv2 を曲面 r = r(u, v) の第2基本形 (第2基本微分形式)

という．

(κnE − e)du2 + 2(κnF − f)dudv + (κnG− g)dv2 = 0 (11)

(Ef − Fe)du2 + (Eg −Ge)dudv + (Fg −Gf)dv2 = 0 (12)

–45–

Chapter 6

位相空間の解析入門- 周期解の存在，摂動法 -

1991.1.10./revised and enlarged April 18 ’92

1 Introduction

力学系を記述する非線形微分方程式には次の形を持つものが多い：

d2x

dt2= f

(x,

dx

dt

)(x ≡ x(t), t :時間) (1.1)

(f(x, dx/dt) は x と dx/dt の滑らかな関数)．このように，t を陽 (explicit) に含まな

い系を自律系 (autonomous system) という．(1.1)式は次のように書き換えられる：

dy

dt= f(x, y), y ≡ dx

dt(1.2a, b)

これは，従属変数 x, y に対する連立の1階常微分方程式である．(この例のように，N

(≥ 2) 階の常微分方程式は N 個の1階常微分方程式系に書き換えられる．)

さらに，(1.2a,b)式を一般化して，次の連立の1階常微分方程式を考える：

dy

dt= f(x, y),

dx

dt= g(x, y) (1.3a, b)

(g(x, y) は x と y の滑らかな関数であるとする)．全ての x, y に対して g(x, y) 6= 0 が

成り立つならば，(1.3a,b)は，dy

dx=

f(x, y)

g(x, y)(1.4)

と書き換えられる．これは独立変数 x，従属変数 y = y(x) の微分方程式である (全て

の x, y に対して f(x, y) 6= 0 ならば，dx/dy = g(x, y)/f(x, y) は x = x(y) の微分方

程式である)；そこでは t がparameterとして含まれる．(1.4)式と (1.3a,b)式は同値で

ある：(1.3a,b)式の解 x(t), y(t) は (1.4)式の解としての y(x) を満たし，逆も成り立つ．

従って，x と y の成す位相面 (位相空間, phase space) における (1.4)式の幾何学的特

徴を調べれば，(1.3a,b)式の解の特性 (ついては上述の力学系の特性) を解明できるこ

とになる．これを位相 (面) 解析という．

46

2. 非線形の 1階常微分方程式 47

(1.3a,b)式において，ある x, y で f(x, y) = 0 且つ g(x, y) = 0 となる場合は特に

重要な意味を持つ．時間によらない解 x = X, y = Y (X, Y = constant) は方程式：

f(X, Y ) = 0, g(X, Y ) = 0 (1.5a, b)

を満たす．この解 X, Y を (1.3a,b)式の平衡点 (equilibrium point)という．平衡点の性

質は，微小撹乱 x ≡ x(t), y ≡ y(t) に対する安定性 (線形安定性) を調べることによっ

て解明される．即ち，x = X + x, y = Y + y を f(x, y), g(x, y) に代入し，x, y につい

てTaylor展開し，その1次まで取れば

f(X + x, Y + y) = f(X, Y ) + ax + by = ax + by, (1.6a)

g(X + x, Y + y) = g(X, Y ) + cx + dy = cx + dy, (1.6b)

where

a ≡(

∂f

∂x

)

X,Y

, b ≡(

∂f

∂y

)

X,Y

, c ≡(

∂g

∂x

)

X,Y

, d ≡(

∂g

∂y

)

X,Y

(1.7a, b, c, d)

となるから，(1.3a,b)式から，撹乱に対する連立の線形微分方程式：

dy

dt= ax + by,

dx

dt= cx + dy (1.8a, b)

を得る．これに x, y ∝ exp(λt) を代入すると，λ の固有値方程式：

λ2 − (b + c)λ + bc− ad = 0 (1.9)

が得られる．この λの2次方程式の解は一般に複素数であり，その実部が正であれば平

衡解は不安定 (unstable)，負であれば平衡解は安定 (stable)，zeroのとき中立 (neutral)

である．

さらに，(1.8a,b)式は次のように書き換えられる：

dy

dx=

ax + by

cx + dy(1.10)

この方程式の特徴を議論することが次節の主題である．

2 非線形の1階常微分方程式

非線形常微分方程式dy

dx=

p(x, y)

q(x, y)(2.1)

–47–

48 CHAPTER 6. 位相空間の解析入門

において，p(0, 0) = 0, q(0, 0) = 0 が成り立ち，p(x, y), q(x, y) が x = 0, y = 0 の近傍

で正則 (regular) であるとき，原点 (0,0) をこの微分方程式の特異点 (singular point)

という．原点の近傍でこの積分曲線 (解のグラフ) がどんな性質を持つかという問題は

最初にPoincareによって研究され，その主要な結果は，非線形微分方程式：

dy

dx=

ax + by

cx + dy(2.2)

(a, b, c, d は定数係数；ad− bc 6= 0) の場合と殆ど同じであることが示された．(2.2)式

についてのPoincareの結果は次のようになる．

用語の定義：

(a) 全ての積分曲線が特異点を通るとき，この特異点を結節点 (nodal point) という．

(b) 積分曲線の内の有限個だけが特異点を通り，残りの無数のものが特異点を通らな

いとき，この特異点を鞍部点 (saddle point) という．

(c) 全ての積分曲線が，特異点を通らずに，特異点の周りに閉曲線を描くとき，この

特異点を渦状点 (center point) という．

(d) 全ての積分曲線が特異点へ漸近的 (asymptotically) に近づくとき，この特異点を

螺心点 (spiral point) という．

係数による特異点の分類：

[1] (b− c)2 + 4ad > 0 で ad− bc < 0 の場合，結節点

[2] (b− c)2 + 4ad > 0 で ad− bc > 0 の場合，鞍部点

[3] (b− c)2 + 4ad < 0 で b + c = 0 の場合，渦状点

[4] (b− c)2 + 4ad < 0 で b + c 6= 0 の場合，螺心点

[5] (b− c)2 + 4ad = 0 の場合，結節点

具体例

(a)結節点 ([5] の場合)

dy

dx=

y

x→ 解は y = Cx (Cは積分定数) (2.3a)

(b)鞍部点dy

dx=

x

y→ 解は x2 − y2 = C (2.3b)

(C = 0 の解だけ特異点を通る)

(c)渦状点dy

dx= −x

y→ 解は x2 + y2 = C (2.3c)

–48–

2. 非線形の 1階常微分方程式 49

(d2x/dt2 + x = 0 の解 x = sin(t)，y = cos(t) は，この方程式の解になっている．)

(d)螺心点

dy

dx=

x + y

x− y→ 解は Ln(x2 + y2) = −2 tan−1

(x

y

)+ C (2.3d)

(解は，x = r cos θ, y = r sin θ と置くと，r = C′exp(θ) と表される)

(図)

–49–


[演習問題] x ≡ x(t) (t:時間) に対する次の微分方程式について位相面解析し，各特徴

を論ぜよ．

[1]d2x

dt2+ x = 0, [2]

d2x

dt2− x = 0,

[3]d2x

dt2+

dx

dt+ x = 0, [4]

d2x

dt2+ sin(x) = 0,

[5]d2x

dt2+ x− x2 = 0 (Satellite equation),

[6]d2x

dt2+ x + x3 = 0 (Duffing equation),

[7]d2x

dt2+ x =

(1− x2

) dx

dt(Van del Pol equation),

[8]d2x

dt2+ x =

dx

dt− 1

3

(dx

dt

)3 (Rayleigh equation)

3 級数展開による「微分方程式の解の存在定理」

先ず，級数展開について，言葉の説明から入ろう．

独立変数 x の関数 f ≡ f(x) が閉区間 |x− x0| ≤ A (A:正の定数) でTaylor級数：

f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2 (x− x0)2 + · · ·+ an (x− x0)

n + · · ·

= f(x0) + [Df ](x− x0) +[D2f ]

2(x− x0)

2 + · · ·+ [Dnf ]

n!(x− x0)

n + · · · , (3.1)

where [Dnf ] =

(dnf

dxn

)

x0

for n = 0, 1, 2, · · ·

に展開できるとき，「関数 f(x) は，閉区間 |x−x0| ≤ A で正則 (regular)，または，解

析的 (analytic) である」という．即ち，その区間で任意回微分可能な実数関数は正則

である．

2つの独立変数 x と y の関数 f(x, y) が閉領域 |x− x0| ≤ A, |y − y0| ≤ B (A, B:

定数) でTaylor級数

f(x, y) = a00 + a10(x− x0) + a01(y − y0) + a20 (x− x0)2

+a11(x− x0)(y − y0) + a02 (y − y0)2 + · · ·

= f(x0, y0) + [DXf ] (x− x0) + [DY f ] (y − y0)

–50–

3. 級数展開による「微分方程式の解の存在定理」 51

+1

2

[D2

Xf](x− x0)

2 + 2 [DXDY f ] (x− x0)(y − y0) +[D2

Y f](y − y0)

2

+ · · ·+ 1

n!

n∑

m=0

nCm

[Dn−m

X DmY f

](x− x0)

n−m (y − y0)m

+ · · · , (3.2)

where nCm =n!

m!(n−m)!(m ≤ n),

[DnXf ] =

(∂nf

∂xn

)

x0,y0

and [DnY f ] =

(∂nf

∂yn

)

x0,y0

for n = 0, 1, 2, · · ·

に展開できるとき，「f(x, y) は，閉領域 |x− x0| ≤ A, |y− y0| ≤ B で正則，または，解

析的である」という．

独立変数 x と従属変数 y (y ≡ y(x)) の関数 f(x, y) の級数展開は，以下に示すよ

うに構成される．先ず，x の関数 y(x) のTaylor級数を求める：

y(x) = a0 + a1(x− x0) + a2 (x− x0)2 + · · ·+ an (x− x0)

n + · · · (3.3)

where an ≡ 1

n!

(dny

dxn

)

x0

for n = 0, 1, 2, · · ·

(a0 = y(x0) = y0)．従って，y − y0 は，

y − y0 = a1(x− x0) + a2 (x− x0)2 + · · ·+ an (x− x0)

n + · · · (3.4)

と表される．次に，独立変数 x, y の関数 f(x, y) のTaylor級数を求める．

f(x, y) =∑

n=0

1

n!

n∑

m=0

nCm

[Dn−m

X DmY f

](x− x0)

n−m (y − y0)m

(3.5)

この展開級数の (y− y0) に (3.4)を代入して整理すると，独立変数 x, 従属変数 y(x) の

関数 f(x, y) のTaylor級数が求められる．

次に，解の存在定理を示す．

[微分方程式の解の存在定理] 独立変数 x と従属変数 y (y ≡ y(x)) の関数 f(x, y) が，

閉領域 |x− x0| ≤ A, |y − y0| ≤ B で正則であれば，1階の微分方程式：

dy

dx= f(x, y) (3.6)

は，x = x0 のとき y = y0 (即ち，y0 = y(x0)) となる点 x0 の近傍で，正則な唯一の解

y = y(x) を持つ．//

[証明] 方程式 (3.6)を満足する正則な解 y = y(x) が存在するとすれば，(3.6)を逐次微

分して，x = x0 に設定し，展開級数の係数を決めることができる：

y0 = y(x0) ≡ 0! a0,

(dy

dx

)

x0

= f(x0, y0) = a00 ≡ 1! a1, (3.7a, b)

–51–


(d2y

dx2

)

x0

=

(df

dx

)

x0

=

[∂f

∂x+

dy

dx

∂f

∂y

]

x0,y0

=

[∂f

∂x+ f

∂f

∂y

]

x0,y0

= a10 + a00a01 ≡ 2! a2, (3.7c)(

d3y

dx3

)

x0

=

(d2f

dx2

)

x0

=

[d

dx

(∂f

∂x

)+

d2y

dx2

∂f

∂y+

dy

dx

d

dx

(∂f

∂y

)]

x0,y0

=

∂2f

∂x2+ 2f

∂2f

∂x∂y+ f 2∂2f

∂y2+

∂f

∂x

∂f

∂y+ f

(∂f

∂y

)2

x0,y0

= 2a20 + 2a00a11 + 2a200a02 + a10a01 + a00a

201 ≡ 3! a3, (3.7d)

· · · · · · · · · · · · · · ·

an ≡ 1

n!

(dny

dxn

)

x0

=1

n!

(dn−1f

dxn−1

)

x0

=1

n!

(∂

∂x+ f

∂

∂y

)n−1

f

x0,y0

for n = 1, 2, 3, · · · (3.7e)

従って，正則解 y(x)：

y(x) = a0 + a1(x− x0) + a2 (x− x0)2 + · · ·+ an (x− x0)

n + · · · (3.8)

の係数 an (for n = 0, 1, 2, · · ·) は，初期条件 x0, y0 = y(x0)，及び関数 f(x, y) によって

唯一通りに決められるから，方程式 (3.6)の正則解が存在するならば，それは唯一つで

ある．

逆に，級数 (3.8)が，点 x0 の近傍で収束し，且つ，方程式 (3.6)の解となることが

証明される．(その証明は省略する．) //

1階の微分方程式の解の存在定理は，連立の1階微分方程式の解の存在に向けて拡

張される．そこでは，高階の微分方程式の解に対する議論も含まれる．

[例題] 長さ L の軽いバネが固定点から鉛直に吊り下げられている．時間 t = 0 にバ

ネの下端に質量 m の質点 (おもり) を静かに取り付ける．その後の質点の運動を解析

する．

固定点から鉛直下向きに座標軸 x を取る．おもりの位置を x ≡ x(t) と表すと，

d’Alembertの原理により，おもりの運動方程式は次式となる：

md2x

dt2= −k(x− L) + mg (3.9)

ここで，k はバネ定数，g は重力加速度を表す．また，この運動方程式に対する初期条

件は，題意により，

x = L,dx

dt= 0, at t = 0 (3.10)

–52–

3. 級数展開による「微分方程式の解の存在定理」 53

と表される．

初期条件 (3.10)の下で，方程式 (3.9)を解く．

先ず，(3.9)の平衡解 (equilibrium solution) を x = x0 = constant とおいて代入す

ると，次式を得る：

x0 = L +mg

k

これは，おもりの重さによってバネが伸びることを表す．次に，変位を X = x − x0

(X ≡ X(t)) とおくと，方程式 (3.9)は

md2X

dt2= −kX

と表され，この微分方程式の一般解は次式で与えられる：

X(t) = a sin(ωt) + b cos(ωt), where ω ≡√

k

m, a, b :積分定数

これにより，おもりの位置 x(t) は

x(t) = a sin(ωt) + b cos(ωt) + x0

と表される．初期条件 (3.10)を用いると，積分定数 a, b が決まる：

x(0) = b + x0 = L → b = L− x0 = −mg

k,

(dx

dt

)

(0)

= aω = 0 → a = 0

よって，初期条件 (3.10)を満たす (3.9)式の解 x(t) は次式となる：

x(t) = x0 − mg

kcos(ωt) = L +

mg

k[1− cos(ωt)] (3.11)

これは，平衡解 x0 の回りで，質点 (おもり) が調和振動 (harmonic oscillation) するこ

とを表す；その振幅は mg/k，角振動数は ω =√

k/m である．

解 (3.11)は，以下のようにして求めることもできる．x(t)を t = 0の近傍でTaylor

級数に展開する：

x(t) = x(0) +

(dx

dt

)

0

t +1

2

(d2x

dt2

)

0

t2 +1

6

(d3x

dt3

)

0

t3 +1

24

(d4x

dt4

)

0

t4

+ · · ·+ 1

n!

(dnx

dtn

)

0

tn + · · · , (3.12)

(ここで，(· · ·)0 は t = 0 での値を意味する)．この (3.12)の右辺第1,2項は初期条件

(3.10)より求められ，第3項以降は運動方程式 (3.9)と初期条件によって求められる．実

–53–


際，運動方程式 (3.9)を書き換えると (3.13a)となり，それを t で微分して (3.13b)，さ

らに微分して整理すると (3.13c,d,e,f)を得る：

d2x

dt2=−k

m(x− L) + g,

d3x

dt3=−k

m

dx

dt, (3.13a, b)

d4x

dt4=−k

m

d2x

dt2,

d5x

dt5=−k

m

d3x

dt3=

k2

m2

dx

dt, (3.13c, d)

d2nx

dt2n=−k

m

d2n−2x

dt2n−2

→ d2nx

dt2n=

(−k)n

mn

[(x− L)− mg

k

]for n = 1, 2, · · · , (3.13e)

d2n+1x

dt2n+1=−k

m

d2n−1x

dt2n−1=

(−k)n

mn

dx

dtfor n = 1, 2, · · · (3.13f)

そして，(3.13a-f)を t = 0 で評価し，それらの右辺に初期値 (3.10)を代入すると，解

x(t) のTaylor展開 (3.12)が求められる：

x(t) = L +1

2

(d2x

dt2

)

0

t2 +1

6

(d3x

dt3

)

0

t3 +1

24

(d4x

dt4

)

0

t4 + · · ·

= L− mg

k

∑

n=1

(−k)n t2n

(2n)!mn

= L +mg

k

[kt2

2m− k2t4

24m2+

k3t6

720m3+ O(t8)

](3.14)

この解は，解 (3.11)のTaylor級数であることが分かる．この級数は，展開を無限項ま

で取ると収束する．有限項で打ち切ると，漸近級数 (asymptotic series) である．(この

例題は，「工学数理D3前期中間試験の解答例 (1991.7.10.)」の問題1と4の解答例を組み

合わせ加筆したものである．)

[演習問題] 次の微分方程式の解 y ≡ y(x) を級数解法で求めよ．また，級数の収束性

を吟味せよ．

[1]dy

dx= −y, [2]

d2y

dx2− y = 0

–54–

4. 微分方程式の周期解の存在 55

4 微分方程式の周期解の存在

平衡点の近傍での解の内で，周期解 (振動解) は応用上重要である．ここでは，微

分方程式 (線形微分方程式と非線形微分方程式) の周期解の性質に関する定理を掲げ

る．

[補助定理] x ≡ x(t) (t:独立変数) に対する非線形の2階微分方程式：

d2x

dt2= F

(x,

dx

dt, t

)(4.1)

の右辺の関数 F (x, dx/dt, t) が，t に関して周期 T を持つものとする：F (x, dx/dt, t) =

F (x, dx/dt, t + T )．このとき，方程式 (4.1)が周期 T を持つ解 x (x(t) = x(t + T )) を

有するための必要十分条件は，境界条件：

x(0) = x(T ),

(dx

dt

)

0

=

(dx

dt

)

T

(4.2a, b)

を満足する (4.1)の解が少なくとも1つ存在することである．//

[証明] 必要性は明らかである；周期解の表式 x(t) = x(t + T ) から，(4.2a,b)が導かれ

るからである．十分であることを証明する．

t = 0 のとき x = x0, dx/dt = v0 となる (4.1)式の解を x = X (X ≡ X(t)) とおけ

ば，X はd2X

dt2= F

(X,

dX

dt, t

)(4.3)

を満たす．ここで，t = T + s と置き換えれば，F (x, dx/dt, t) の周期性により次式を

得る：d2X(T + s)

ds2= F

(X(T + s),

dX(T + s)

ds, T + s

)

= F

(X(T + s),

dX(T + s)

ds, s

)(4.4)

よって，x(s) = X(T + s) は，(4.1)式の1つの解となる．この解は，s = 0 のとき，

x(0) = X(T ),

(dx

ds

)

0

=

(dX(T + s)

ds

)

0

(4.5a, b)

であるから，もし，

X(T ) = X(0) = x0,

(dX(T + s)

ds

)

0

=

(dX(t)

dt

)

0

= v0 (4.6a, b)

–55–


ならば，

X(T + s) = X(s) (4.7)

が成り立つ．即ち，x = X(t) は周期 T を持つ．//

この証明を要約すると，次のようになる．初期条件を満たす (4.1)式の解 x = X(t)

が存在すれば，F (x, dx/dt, t) の周期性により，x = X(t + T ) も (4.1)の解となる．解

が一意に決まるなら，2つの表式は同一でなければならない：即ち，X(t) = X(t + T )．

故に，解 x = X(t) は周期 T を持つ．また，(4.6a,b)式により，x0, v0, T の間に何ら

かの関係式が成り立つことが示唆される．

[例題] 線形非同次の2階微分方程式：

d2x

dt2+ x = α cos(ωt) (α, ω : parameters)

を初期条件：x = A, dx/dt = 0 at t = 0 の下で解く．ω 6= 1 の場合，解は，解析的に

求められ，

x =(A− α

1− ω2

)cos(t) +

α

1− ω2cos(ωt)

と表される．従って，ω が無理数の場合には，A = α/(1− ω2) のときに限り唯一の周

期 T = 2π/ω をもつ解がある．//

[注意] 例題で，ω = 1 の場合，x は共振解：

x =αt

2sin(t) + A cos(t)

を持つ．この共振解は周期条件: x(t) = x(t + 2π) を満たさない．// 例題の方程式につ

いて，ω が無理数の場合と有理数の場合でどのような問題があるかは，機会を改めて

議論する．

[周期解の存在定理] x ≡ x(t) (t:独立変数) に対する非線形2階微分方程式：

d2x

dt2+ x = αF

(x,

dx

dt, ωt

)(α, ω : parameters) (4.8)

の右辺の関数 F (x, dx/dt, ωt) は，領域 |t| < ∞, |x| < ∞, |dx/dt| < ∞ において t, x,

dx/dt の正則関数で，且つ t に関して周期 T = 2π/ω を持つものとする：即ち，

F

(x,

dx

dt, ωt + 2π

)= F

(x,

dx

dt, ωt

)(4.9)

が成り立つ．このとき，t = δ のとき x = A, dx/dt = 0 となり，且つ T = 2π/ω を

周期に持つ正則解 x = X(t) が少なくとも1つ存在する．但し，δ, A, ω, α は互いに独

–56–


立ではなく，この内の2つを決めれば，残りの2つはその正則関数として表される．即

ち，次の組合せのように表現される：

A = φ1(δ, α), ω = ψ1(δ, α) (4.10a, b)

A = φ2(ω, α), δ = ψ2(ω, α) (4.11a, b)

ω = φ3(A,α), δ = ψ3(A,α) // (4.12a, b)

[証明] t = δ のとき x = A, dx/dt = 0 となる方程式 (4.8)の解を x = X(t) と表せば，

x = X(t + δ) は，t = 0 のとき X(δ) = A, dX/dt = 0 となり，且つ，次の方程式を満

足する．d2X

dt2+ X = αF

(X,

dX

dt, ωt + ωδ

)(4.13)

ここで，改めて，方程式 (4.13)を満たす解の内で，t = 0 のとき X = A, dX/dt = 0 と

なる解を X(t) = X(t; A, δ, ω, α) と表す．補助定理によって，(4.13)が周期 T の周期解

を持つための必要十分条件は，

X(T ; A, δ, ω, α) = A,

[d

dtX(t; A, δ, ω, α)

]

T

= 0 (4.14a, b)

となる．よって，(4.14a,b)から T を消去できて，(4.10a)-(4.12b)のいずれかの形に変

形すれば，証明が終了する．(その証明は，「陰関数定理」による．) //

ここで導入された δ は，単に，位相差を考慮するためのparameterに過ぎない．

[陰関数定理] ある領域において x と y の関数 f(x, y) 及び導関数 fX(x, y) ≡ ∂f/∂x,

fY (x, y) ≡ ∂f/∂y は連続であるとする．領域内の一点 (x0, y0) において f(x0, y0) = 0

で，且つ，fX(x0, y0) と fY (x0, y0) の内の少なくとも一つは zereでないとする．例え

ば，y に関する偏微分商 fY (x0, y0) 6= 0 とする．然らば，方程式：

f(x, y) = 0 (4.15)

によって，y が次のように x の一つの陰伏関数 (陰関数) y = F (x) として一意的に定

められる．

(1) y = F (x)は x0 を含む閉区間 x1 ≤ x ≤ x2 における xの連続関数で，その区間

において常に

f(x, F (x)) = 0, (4.16a)

(2)

y0 = F (x0), (4.16b)

–57–


(3)dy

dx= −fX(x, y)

fY (x, y). // (4.16c)

この定理の証明は，次のテキストを参照せよ：高木貞治著「解析概論 (改訂第3版」第

7章pp.294-296，岩波書店．

[解のparameter展開に関する定理] x ≡ x(t) (t:独立変数) に対する非線形微分方程

式 (自律系の微分方程式)：

d2x

dt2+ ω2x = αF

(x,

dx

dt

)(α, ω : parameters) (4.17)

の右辺の関数 F (x, dx/dt) は，領域 |x| < ∞, |dx/dt| < ∞ において，x, dx/dt の正則

関数であるとする．t = δ のとき x = A, dx/dt = 0 となり，且つ，適当な周期 T を持

つ正則解 x = X(t) が存在すれば，δ, A, ω, α は互いに独立ではなく，一般に，ω は

ω = φ(A, δ, α) (4.18)

の様に，α の正則関数として表現される．逆に，ω を α の正則関数とおいて，方程

式 (4.17)の周期解を逐次近似法で解くことができる．この解法を摂動法 (perturbation

method) という．これは，Lindstedt (1882)とPoincare (1892)によって用いられた方

法である：今日では，Lindstedt-Poincareの方法と呼ばれている．

[証明] t = δ のとき x = A, dx/dt = 0 となる (4.17)式の解を，

x = X(t; α, δ, A, ω) (4.19)

と表せば，これが適当な周期 T を持つための必要十分条件は，補助定理に依って，

X(T ; α, δ, A, ω) = A,d

dTX(T ; α, δ, A, ω) = 0 (4.20a, b)

である．陰関数定理を用いてこれらから T を消去すれば，(4.18)の形の関係式が得ら

れる．//

[例題] Duffing equation:

d2x

dt2+ ω2x + αx3 = 0 (x ≡ x(t), t :時間, 0 < α ¿ 1, ω : parameter)

を初期条件：x = A, dx/dt = 0 at t = 0 の下で，摂動法を用いて解いてみよう．

–58–


上記の定理によれば，解 x とparameter ω は α の正則関数とおける．そこで，x

と ω を α で展開して，

x = x0 + αx1 + α2x2 + · · · ,ω = ω0 + αω1 + α2ω2 + · · ·

(xn ≡ xn(t) for n = 0, 1, 2, · · ·)とおき，Duffing方程式に代入して αのベキで整理する．

d2x

dt2+ ω2x + αx3 =

d2x0

dt2+ ω2

0x0 + α

[d2x1

dt2+ ω2

0x1 + 2ω0ω1x0 + x30

]

+α2

[d2x2

dt2+ ω2

0x2 + 2ω0ω1x1 +(ω2

1 + 2ω0ω2

)x0 + 3x2

0x1

]+ · · · = 0

α のベキの各係数部分を zeroとおくと，x0, x1, x2, · · · に対する連立方程式系を得る：d2x0

dt2+ ω2

0x0 = 0,

d2x1

dt2+ ω2

0x1 = −2ω0ω1x0 − x30,

d2x2

dt2+ ω2

0x2 = −2ω0ω1x1 −(ω2

1 + 2ω0ω2

)x0 − 3x2

0x1,

· · · · · · · · · · · · · · ·先ず，x0 の同次方程式を解き，初期条件を用いて，解 x0 を求める：

x0 = A cos(ω0t) (4.21)

次に，これを x1 の非同次方程式に代入する：

d2x1

dt2+ ω2

0x1 = −2ω0ω1x0 − x30

= −A

(2ω0ω1 +

3A2

4

)cos(ω0t)− A3

4cos(3ω0t)

右辺の cos(ω0t) は左辺のoperatorの同次方程式の基本解であるから，対応する非同次

解は t sin(ω0t) に比例する．即ち，周期性を失うことになる．そうならないためには，

cos(ω0t) の係数が zeroになればよい；これを可解条件 (solvability condition) と呼ぶ．

この条件を満たすように ω1 を決める：

ω1 = −3A2

8ω0

これにより，x1 の非同次方程式は，

d2x1

dt2+ ω2

0x1 = −A3

4cos(3ω0t)

–59–


となって，初期条件: x1 = 0, dx1/dt = 0 at t = 0 を満たす解 x1 は次式で与えられる：

x1 =A3

32ω20

[cos(3ω0t)− cos(ω0t)] (4.22)

さらに，x1 と x0 を x2 の非同次方程式に代入する：

d2x2

dt2+ ω2

0x2 = −2ω0ω1x1 −(ω2

1 + 2ω0ω2

)x0 − 3x2

0x1

= −A3ω1

16ω0

[cos(3ω0t)− cos(ω0t)]−(ω2

1 + 2ω0ω2

)A cos(ω0t)

− 3A5

32ω20

cos2(ω0t) [cos(3ω0t)− cos(ω0t)]

= −A3ω1

16ω0

[cos(3ω0t)− cos(ω0t)]−(ω2

1 + 2ω0ω2

)A cos(ω0t)

− 3A5

128ω20

[cos(5ω0t) + cos(3ω0t)− 2 cos(ω0t)]

右辺の cos(ω0t) の係数を整理し，可解条件により，ω2 が決まる：

2ω0ω2 = −ω21 +

A2ω1

16ω0

+3A4

64ω20

= − 15A4

128ω20

→ ω2 = − 15A4

256ω30

これにより，x2 の非同次方程式は，

d2x2

dt2+ ω2

0x2 = − 3A5

128ω20

cos(5ω0t)

となって，初期条件: x2 = 0, dx2/dt = 0 at t = 0 を満たす解 x2 は次式で与えられる：

x2 =A5

1024ω40

[cos(5ω0t)− cos(ω0t)] (4.23)

以上の結果をまとめると，解 x は，

x = x0 + αx1 + α2x2 + · · ·

であり，x0 は (4.21)式，x1 は (4.22)式，x2 は (4.23)式で与えられる．また，角振動

数 ω は，

ω = ω0 + αω1 + α2ω2 + · · · = ω0 − α3A2

8ω0

− α2 15A4

256ω30

+ · · ·

と表される．周期 T = 2π/ω は，振幅 A が大きくなると，単振動の周期 2π/ω0 より

も長くなることが分かる．

–60–


以下，この手続きを繰り返し，小さいparameter α について，必要な精度までの

解 x(t) を求めることができる．

[演習問題] 次の微分方程式を摂動法で解け．

(1)d2x

dt2+ α

dx

dt+ x = 0 (0 < α ¿ 1),

(2)d2x

dt2+ x + αx2 = 0 (0 < α ¿ 1) (Satellite equation)

–61–

Chapter 7

位相面解析の例工学数理演習 Lotka-Voltera方程式

1993.7.22.

[問題] 関数 x ≡ x(t), y ≡ y(t) (t:時間) の連立常微分方程式：

dx

dt= x− xy = x(1− y),

dy

dt= −y + xy = (x− 1)y (1a, b)

について，初期値 x(0) = a, y(0) = b が第1象限にあるとき，解 (x, y) (t > 0) が第1

象限に留まることを示せ．

以下は，問題の解答というよりも解説である．

(1a)式の平衡点は x = 0 と y = 1 である．x = 0 に対する (1b)の平衡点は y = 0

で，y = 1 に対する平衡点は x = 1 である：即ち，連立方程式の平衡点は，(0,0) と

(1,1) である．平衡解に微小撹乱 u ≡ u(t), v ≡ v(t) を重ね合わせて，次のように表す：

x = 0 + u, y = 0 + v (2a, b)

x = 1 + u, y = 1 + v (3a, b)

平衡点 (0,0)まわりの線形安定性は，(2a,b)を (1a,b)式に代入して導かれる撹乱の

方程式を解くことによって調べられる：

du

dt= u− uv ∼ u → u = C1 exp(t) (4a)

dv

dt= −v + uv ∼ −v → v = C2 exp(−t) (4b)

積分定数 C1, C2 は，平衡点近傍の初期値を用いて決められる．その結果，時間と共に，

x 方向では平衡点から離れ (u が増大し不安定)，y 方向では平衡点に近づく (v は減少

するから安定である)．故に，平衡点 (0,0) は鞍部点 (saddle point) である．

さらに，x, y 軸上では，(1a,b)式に基づいて議論できる．x = 0 のとき，(1a,b)は，

dx/dt = 0, dy/dt = −y となる：x = 0 は，(1a,b)式の解である．また，y = 0 のとき，

(1a,b)は，dx/dt = x, dy/dt = 0 となる：y = 0 は，(1a,b)式の解である．故に，x, y

62

63

軸を横切る軌跡を描く解は無い．上述のことと合わせ，初めに第1象限に点 (x, y) が

あれば，t > 0 で，その点は第1象限に留まる．

もう少し詳しく点の軌跡を調べる．平衡点 (1,1)まわりの線形安定性は，(3a,b)を

(1a,b)式に代入して導かれる撹乱の方程式を解くことによって調べられる：

du

dt= (1 + u)[1− (1 + v)] ∼ −v,

dv

dt= u(1 + v) ∼ u

これは定数係数の連立線形常微分方程式であり，解は次式となる：

u = A1 exp(it) + A2 exp(−it), (5a)

v = −i[A1 exp(it)− A2 exp(−it)] (5b)

(A1, A2 = A∗1：複素定数，i ≡ √−1 )．(5a,b)より，u2 + v2 = constant となるから，解

の軌跡は閉曲線である．平衡点 (1,1) は，中心点 (center point，渦心点) である．

位相空間の点 (x(t), y(t)) は，微小時間 dt 後に (x(t + dt), y(t + dt)) に移動する．

これをTaylor展開して，次式を得る：

x(t + dt) = x(t) +

(dx

dt

)dt +

1

2

(d2x

dt2

)dt2 + · · · (6a)

y(t + dt) = y(t) +

(dy

dt

)dt +

1

2

(d2y

dt2

)dt2 + · · · (6b)

(6a,b)の右辺第2項は，それぞれ，(1a,b)を用いて書き換えられる．右辺第3項は，(1a,b)

を t で微分したものと (1a,b)を用いて書き換えられる．即ち，x(t + dt) は

x(t + dt) = x(t) +

(dx

dt

)dt +

1

2

(d2x

dt2

)dt2 + · · ·

= x(t) + x(1− y)dt +1

2

[dx

dt(1− y)− x

dy

dt

]dt2 + · · ·

= x(t) + x(1− y)dt +1

2

[x(1− y)2 − (x− 1)xy

]dt2 + · · ·

と表される；話を分かり易くするために展開の2次の項まで取った．しかしながら，点

(x(t), y(t)) の時間変化を表す主要部分は，(6a,b)の右辺第2項である．力学系の理論

(theory of dynamical system，あるいは，微分方程式の大域理論) の言葉では，その係

数 (dx/dt, dy/dt) を位相空間における ”流れ (flow)” と呼ぶ．この考えに基づいて，問

題を解いてみよう．

連立方程式 (1a,b)の平衡解は，既に求めた．位相空間での”流れ”を調べるために，

(1a,b)を次のように書き換える：

dx = x(1− y) dt, dy = (x− 1)y dt (7a, b)

–63–

64 CHAPTER 7. 位相面解析の例

与えられた点 (x, y) を起点に増分 (dx, dy) を矢印で示せば，位相空間での流れが図示

される．作図例 (D科4期生の伊藤君作成) を後に示す．平衡点 (0,0),(1,1) のまわりの

(7a,b)式，直線 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 上での (7a,b)式，及び，第1象限での代表

線 y = x上での (7a,b)式を図示し，増分vectorの方向を辿れば解の振る舞いが分かる．

方程式 (1a,b)の解析解は，変数変換により，次のように表される：

dy

dt=

dx

dt

dy

dx= (x− 1)y → dy

dx=

(x− 1)y

x(1− y)

→ 1− y

ydy =

x− 1

xdx → Ln(y)− y = x− Ln(x) + constant

→ xy = C exp(x + y) (8)

積分定数 C は，初期値 x(0) = a, y(0) = b により，C = ab/ exp(a + b) > 0 となる．第

1象限では，x > 0, y > 0 であるから，xy > 0，x + y > 0 が成り立つ．

矢嶋信男著：常微分方程式 (理工系の数学入門シリーズ4)岩波書店,1989.

第6章演習問題より，問題3,4,5を以下に引用する．

問題3. ロジスティック方程式dx

dt= ax− bx2

の平衡点を分類せよ．また，相空間における解の挙動を調べよ．

問題4. (1) 次の方程式の平衡点を分類せよ．ただし，a, b, c は負でないとする．

dx

dt= ax− bxy,

dy

dt= −cy + bxy

(2) この解が xcya exp[−b(x + y)] = 一定の関係を満たすことを示せ．

(3) 解軌道の概略図を描け．

[解説] この方程式は小魚と大魚の共存系をモデル化したもので，ロトカ・ボルテラ

(Lotka-Voltera) 方程式とよばれている．ここで変数 x(t) と y(t) は，それぞれ小魚と

大魚の個体数を表す．ここでは，小魚はより小さな生物を餌として一定の増加率 a で

増え，大魚の餌になるので捕獲率 by に比例して減るとされている．一方，大魚は餌の

摂取率 bx に比例して増殖し，一定の寿命 = 1/c で減るものと仮定されている．

問題5. (1) 次の方程式の平衡点を調べよ．

dx

dt= a− bxy,

dy

dt= −cy + bxy

–64–

65

ただし，a, b, c はすべて正の定数とし，x, y は正の領域で考えよ．

(2) 解軌道の概略図を描け．

[解説] これは伝染病などの流行の仕組みを説明するモデル方程式である．ここで，x(t)

は未感染の個体数，y(t) は感染中の個体数を表す．伝染病の発生地域が閉鎖されてい

ない場合には，絶えず外部からの訪問者によって，未感染個体数 x(t) は単位時間あた

り一定数だけ増えてゆく．この効果が係数 a によって取り入れられている．病気の感

染は x と y の接触によって起こるので，bxy は単位時間あたりの患者発生件数である．

また，−cy の項は病気の単位時間あたりの治癒件数である．

このモデルは，伝染病だけでなく，ファッションの伝播や噂の伝達にも利用できる．

–65–

Chapter 8

Fourier1 Fourier級数

関数の内積 (inner product) と直交区間 a ≤ x ≤ b で，恒等的に zeroでない積分

可能な x の関数 f ≡ f(x) と g ≡ g(x) に対し，f と g の内積を定義する：

< f, g >≡∫ b

af g dx

もし，< f, g >≤ 0 ならば，関数 f と g は互いに直交するという．(2つのvectorの内

積と直交を思い起こせ！)

g = f とおくと，< f, f >≥ 0が成り立つ．(f(x)が連続であれば，< f, f >= 0は

f ≡ 0 の場合に限られる．) 従って，恒等的に zeroでない f(x) に対して，< f, f >> 0

である．これを用い，f0 ≡ f0/√

< f, f > と定義すると，< f0, f0 >= 1 となる．これ

を関数の正規化 (normalization) という．

区間 a ≤ x ≤ b において，関数列 fn (fn ≡ fn(x), n = 0, 1, 2, · · · , N) に対し，

< fm, fn >= 0 for m ≤ n, < fm, fn >= 1 for m = n

が成り立つとき，fn を正規直交関数列と呼ぶ．この関数列を用い，関数 g(x) を展

開する：

g(x) =N∑

n=0

anfn

J =N∑

n=0

a2n ≤ < g, g >

さらに，∞∑

n=0

a2n =< g, g > (Parsevalの等式)

が成り立つとき，この正規直交関数列は完備 (または，完全，complete) であるという．

Parsevalの等式は完備条件と呼ばれる．

[例] 区間 0 ≤ x ≤ 2π において，sin(nx) (n = 1, 2, · · ·) は完全な正規直交関数列である：

∫ 2π

0sin(mx) sin(nx) dx =

1

2

∫ 2π

0cos[(m− n)x]− cos[(m + n)x] dx

66

2. FOURIER級数 67

= π for m = n

= 0 for m ≤ n

[注] cos(nx) についても同様なことが言える．

2 Fourier級数

区間 a ≤ x ≤ b における x の関数 g(x) を関数列 cos(nkx), sin(nkx) (n =

1, 2, · · ·，k = 2π/(b − a)) で表現する．まず，この区間における g(x) の平均値 A0 を

求める：

A0 ≡ 1

b− a

∫ b

ag(x) dx =< 1, g >

これと関数列 cos(nkx), sin(nkx) を用い，g(x) を

g(x) = A0 +∞∑

n=1

[An cos(nkx) + Bn sin(nkx)]

関数列の直交性：∫ b

acos(mkx) cos(nkx) dx =< cos(mkx), cos(nkx) >

=b− a

2for m = n, or = 0 for m ≤ n

< sin(mkx), cos(nkx) >= 0 for all m,n

< sin(mkx), sin(nkx) >=b− a

2for m = n, or = 0 for m ≤ n

を用いて係数を求める

< cos(mkx), g(x) >

=

⟨cos(mkx),

A0 +

∞∑

n=1

[An cos(nkx) + Bn sin(nkx)]

⟩

=< cos(mkx), Am cos(mkx) >= Amb− a

2

Am

–67–

Chapter 9

データのフーリエ解析= 計測data処理の基本問題 =

1991.2.23./’93.8.2./’94.2.7.

時間 t の関数として計測dataを得たとき，それをFourier級数に展開してスペク

トル解析 (spectrum analysis) することができる．しかし，一般には，そのdataが t の

周期関数であるとは限らない．周期関数の場合でも，dataの処理方法が適切でなけれ

ば，解析結果は信頼性に欠けるものとなる．以下に，dataをFourier分解する手法を説

明し，解析上の留意点と問題点を探る．

1 dataのFourier分解

dataを測定する時間間隔を ∆t とする．∆t は，現象 (測定対象) の時間スケール

と測定装置の性能を考慮して決められる．ここでは，簡単のために，∆t を一定値 (微

小な値)とし，等間隔にdataを採取するものとする．採取された N + 1 個のdataは，

次のように表される：

tj ≡ j∆t + t0, fj ≡ f(tj) for j = 0, 1, 2, · · · , N (1.1a, b)

t0 は測定開始時間を表し，時間 tj の測定値が fj である．dataは離散的であり，開区

間 tj < t < tj+1 (for j = 0, 1, 2, · · · , N − 1) で起こった現象についての情報は提供しな

い．また，それぞれの値には誤差が含まれていることに留意する必要がある．

一般に，周期 T = N∆t を持つ関数 F ≡ F (t) は，次の複素Fourier級数で表さ

れる：

F (t) =∞∑

m=1

[Am exp(iωmt) + c.c.] + AM

(ωm ≡ 2π

Tm

)(1.2)

但し，Am ≡ Am(ωm) と ωm は，それぞれ，m 番目のmodeの複素係数と角振動数を表

す．c.c.は，先立つ表式の複素共役を意味する；Am の複素共役を A∗m と表す；i ≡ √−1．

実数 AM は，測定区間 (t0 ≤ t ≤ t0 + T ) における F (t) の平均値である．

68

1. DATAのFOURIER分解 69

Fourier級数 (1.2)に対し，現実には，m →∞ と取れないことに注意する必要がある．例えば，級数を M 番目で打ち切るとして，M = N と取ると，t = tj では

exp(iωN tj) = exp[i2π

TN(j∆t + t0)

]= exp

[i2π

(j +

t0∆t

)]= exp

(i2π

t0∆t

)(1.3)

となるから，各 tj (j = 0, 1, 2, · · · , N)での現象の変化を記述できない;いわゆるdataの

noise levelである．これは，M > N の場合も同様である．実用上の分解能はM = N/2

であり，それ以上大きな値に M を設定しても意味がない．その判定基準は，

ωM∆t ≤ π (1.4)

と表される．あるいは，次のように考えてもよい．級数 (1.2)を M 番目で打ち切った

場合，N + 1 個のdataに基づき，未知数 AM , Am, A∗m (for m = 1, 2, · · · ,M) に対する

2M+1個の連立一次方程式系を得る．方程式系が可解であるためには，2M +1 = N +1，

即ち，M = N/2 (または，M ≤ N/2) でなければならない．

関数 F (t) が与えられれば，平均値 AM とFourier係数 Am が決定される：Fourier

級数が求められる．その手法に習い，data列 tj, fj を解析する．採取data列 tj, fj がFourier級数に展開できるとすると，fj は次のようになる：

fj =M∑

m=1

[Am exp(iωmtj) + c.c.] + AM (1.5)

先ず，台形公式を用いて，平均値を求める．(1.5)式に∆t/2を掛け，それを j (= 1, 2, · · · , N)

について総和を取る．(1.5)式に ∆t/2 を掛け，それを j (= 0, 1, 2, · · · , N − 1) につい

て総和を取る．これらの和 (積分)を取り，平均値 AM を得る：

N∑

j=1

fj∆t

2+

N−1∑

j=0

fj∆t

2=

N∑

j=1

(fj + fj−1)∆t

2

=N∑

j=1

[M∑

m=1

Am exp(iωmtj) + c.c.

]∆t

2+

N−1∑

j=0

[M∑

m=1

Am exp(iωmtj) + c.c.

]∆t

2+ AMN∆t

=∫ t0+T

t0

M∑

m=1

[Am exp(iωmt) + c.c.]

dt + AMT + ε0 = AMT + ε0

→ AM =1

T

N∑

j=1

(fj + fj−1)∆t

2− ε0

(1.6a)

但し，実数 ε0 ≡ ε0(∆t, N, M) は，誤差を表す；誤差については，次節で検討する．fj

が (厳密に)周期 T を持つ場合，f0 = fN となるから，(1.6a)式は次のようになる：

AM =1

T

N∑

j=1

fj∆t− ε0

(1.6b)

–69–

70 CHAPTER 9. データのフーリエ解析

次に，(1.5)式に exp(−iωktj)∆t/2 (for each k; k = 1, 2, · · · , M)を掛け，j (= 1, 2, · · · , N)

について総和を取る．同様に，j (= 0, 1, 2, · · · , N − 1) についても総和を取る．台形公

式に沿って計算すると，三角関数の直交性により，係数 Ak を得る：

N∑

j=1

fj exp(−iωktj)∆t

2+

N−1∑

j=0

fj exp(−iωktj)∆t

2

=N∑

j=1

M∑

m=1

[Am exp(iωmtj) + c.c.] + AM

exp(−iωktj)

∆t

2

+N−1∑

j=0

M∑

m=1

[Am exp(iωmtj) + c.c.] + AM

exp(−iωktj)

∆t

2

=∫ t0+T

t0

M∑

m=1

[Am exp(iωmt) + c.c.] + AM

exp(−iωkt) dt + εk = AkT + εk

→ Ak =1

T

N∑

j=1

[fj exp(−iωktj) + fj−1 exp(−iωktj−1)]∆t

2− εk

for k = 1, 2, · · · ,M (1.7a)

複素数 εk ≡ εk(∆t, N, M) は誤差を表す．A∗k は，(1.7a)の複素共役から得られる．fj

が (厳密に)周期 T を持つ場合，f0 = fN となるから，(1.7a)式は次のようになる：

Ak =1

T

N∑

j=1

fj exp(−iωktj)∆t− εk

for k = 1, 2, · · · ,M (1.7b)

以上の過程を経てFourier係数を決めることができるから，data列から構成された

関数 f ≡ f(t) は，次のように表される：

f(t) =M∑

m=1

[Am exp(iωmt) + c.c.] + AM (1.8)

この右辺の級数は，f(t) の spectrum表現と呼ばれ，連続的微分可能な関数である．

[補足] 念のため，(1.5)-(1.8)式が「誤差の自乗和を最小にするalgorithm」に基づいて

いることを述べておこう．t = tj のときの (1.5)の右辺を gj と表す：

gj ≡M∑

m=1

[Am exp(iωmtj) + c.c.] + AM (1.9)

また，gj と fj の差の自乗和を δ と定義する：

δ ≡N∑

j=1

(gj − fj)2 (1.10)

–70–

2. DATA処理上の留意点と問題点 71

δ を最小にする AM , Ak (k = 1, 2, · · · ,M) は，δ を AM , Ak で微分して，δ に極値を与

える条件によって決められる：

∂δ

∂AM

=∂

∂AM

N∑

j=1

(gj − fj)2

=

N∑

j=1

(2gj

∂gj

∂AM

− 2fj∂gj

∂AM

) (∂gj

∂AM

= 1

)

=N∑

j=1

2(gj − fj) = 0 (1.11a)

これが，AM の方程式となる．同様にして，次式を得る：

∂δ

∂Ak

=∂

∂Ak

N∑

j=1

(gj − fj)2

=

N∑

j=1

(2gj

∂gj

∂Ak

− 2fj∂gj

∂Ak

)

=N∑

j=1

2(gj − fj) exp(iωktj) = 0 for k = 1, 2, · · · ,M (1.11b)

これとこれの複素共役が Ak, A∗k の方程式である．

(1.10)-(1.11)式では，j = 1, 2, · · · , N について総和を取った．台形公式による積分表現 (1.6a),(1.7a)と対応させるためである．j = 0, 1, 2, · · · , N について総和を取っても構わない．その場合には，(1.6)-(1.7)の表式を修正する必要があり，境界での値 f0, fN

が係数の決定に重みを持つことになる．

2 data処理上の留意点と問題点

前節のdata処理過程をもう少し詳しく吟味してみよう．先ず，既知関数を用いて，

data列 tj, fj を作り，それをFourier解析して，元の既知関数と比較する．

区間 0 ≤ t ≤ 1 で，既知関数を

f(t) = sin(2πt) (2.1)

とする．区間分割数 N を用いて，∆t = 1/N とし，data列 tj, fj を作る：

tj, fj = j∆t, sin(2πj∆t) for j = 0, 1, 2, · · · , N (2.2)

このdata列を前節の手続きによって処理するprogram例とその処理結果を例1 に示

す．[1] M = 3, N = 10, [2] M = 3, N = 20, [3] M = 5, N = 20 のいずれの結果も元の

data列を正しく再現していることが分かる．用いた computerで扱える数値の有効桁数

が16桁であるから，Fourier級数の sin(ω1t) の振幅 (ImA1) 以外の値は zeroとみな

される；即ち，誤差について，εk = 0 (for k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) とみなされる．

–71–


例2 は，既知関数を

f(t) = sin(2πt + 0.01) (2.3)

と取った場合である．これは，(2.1)の時間を 0.01/(2π) だけずらしたものであるから，

周期条件 (f(t) = f(t + T )) が成り立つので，data列は正しく処理されている．

例3 は，既知関数を

f(t) = sin[2π(1 + 0.01)t] (2.4)

と取った場合である．周期が T = 1/(1 + 0.01) である関数 f(t) を，周期を T = 1 と

するFourier級数で処理したために，AM と Ak の値には大きな誤差が含まれる．

これらの例から示されるように，関数 f(t) に誤差が含まれている場合，f(t) は

f(t) = C sin(

2π

Tt)

(2.5)

→ f(t) = (C + δC) sin[

2π

T + δT(t + δt)

]

≈ (C + δC) sin

[2π

T(t + δt)

(1− δT

T

)]

≈ (C + δC) sin(

2π

Tt)

cos

[2π

T

(δt− δT

Tt

)]

+(C + δC) cos(

2π

Tt)

sin

[2π

T

(δt− δT

Tt

)](2.6)

と表される．振幅誤差 δC と時間の測定誤差 δt は，時間 t との相関がない限り，測定

誤差の範囲で処理できる．しかし，周期誤差 δT は，下線部の項が時間変動するので，

data処理に与える影響が最も大きい；振幅誤差 δC を増長することにもなる．一般に

は，いろいろな δC, δt, δT を考えることはできるが，ここでは δT に注目して話を進

める．即ち，周期 T を正確に判定する方法 (dataの精度の範囲内で，δT = 0 とみなせ

る方法) を検討する．

周期関数 f(t) は，次の周期条件を満たす：

f(t) = f(t + T ) (2.7)

1周期以上のdata列 tj, fj が与えられる場合には，(2.7)に基づいて，fj = fj+N を

満たす N を見つけることができる．f(tj) = sin(2πtj) の場合には，f0 = fk を満たす

k は k = N/2 と k = N がある．後者が周期であるから，k = N/2 を排除する必要が

ある．その判別のために，例えば，(2.7)の微分を用いる．data列を用いて，f(tj) の微

分を次のような差分で表す：

(Df)j ≡(

df

dt

)

tj

=1

∆t(fj+1 − fj) + O(∆t) (2.8a)

–72–

2. DATA処理上の留意点と問題点 73

(D2f

)j≡

(d2f

dt2

)

tj

=1

∆t(fj+2 − 2fj+1 + fj) + O(∆t) (2.8b)

(なお，もっと高階の微分も定義できるし，精度の良い差分式もあるが，ここでは触れ

ない．) 例4 に，関数：

fj = sin(

2π

Ttj

)= sin

(2π

N∆ttj

)(2.9)

を j = 0, 1, 2, · · · , N, · · · , N ′ としてdata列を作り，N を判別したものを示す．判別基

準には，(2.7),(2.8a,b)を次の形で用いた：

|f0 − fk| < ∆t,

∣∣∣∣∣f1 − f0

∆t− fk+1 − fk

∆t

∣∣∣∣∣ < ∆t (2.10a, b)

∣∣∣∣∣f2 − 2f1 + f0

∆t− fk+2 − 2fk+1 + fk

∆t

∣∣∣∣∣ < ∆t (2.10c)

(2.10a)を満たす k を求め，その k が (2.10b,c)を満たすとき，周期を T = k∆t と取っ

た．data (2.9)の場合には，(2.10b,c)のように，ズレ (dataの差の絶対値) を ∆t より

も小さく取ることができた．しかし，(2.8a,b)の評価誤差が O(∆t) であるから，判定

条件 (2.10b,c)は，一般には，「ズレが O(∆t) よりも小さい」ことに留められる．この手

法は，「f(t)と f(t+T )の局所的構造の一致」を周期判定に用いるものである．(2.8a,b)

または (2.10b,c)が，いわゆる，ハイパスフィルタの役目を果たしている．

一方，noiseの時間変動が ∆t 程度の場合には，それの影響が高階微分に顕著に現

れ，(2.10b,c)の基準を満足しなくなる．その場合には，積分による周期判定の方が適

している：ローパスフィルタの方がnoiseに強い．台形公式により，区間積分は∫ tj+1

tjf(t) dt =

∆t

2(fj+1 + fj) + O(∆t2) (2.11a)

∫ tj+2

tjf(t) dt =

∆t

2(fj+2 + 2fj+1 + fj) + O(∆t2) (2.11b)

と表される．これらと周期条件 (2.7)を j = 0 と j = k に適用して，次の判定条件を

得る．

|f0 − fk| < ∆t, (2.12a)∣∣∣∣∣(f1 + f0)∆t

2− (fk+1 + fk)∆t

2

∣∣∣∣∣ < ∆t2 (2.12b)

∣∣∣∣∣(f2 + 2f1 + f0)∆t

2− (fk+2 + 2fk+1 + fk)∆t

2

∣∣∣∣∣ < ∆t2 (2.12c)

(2.12a)を満たす k を求め，その k が (2.12b,c)を満たすとき，周期を T = k∆tと取る．

(2.11a,b)の評価誤差が，O(∆t2) であるから，判定条件 (2.12b,c)は，一般には，「ズレ

が O(∆t2) よりも小さい」ことに留められる．

–73–


上記2つの周期判別方法は，それぞれに，一長一短がある．実際のdataの特徴を

整理して，方法を適宜使い分けることになる．

[追記] 以上の例では，1つの振動modeの場合を扱った．振動modeが複数になると，

事情はさらに複雑になる．例えば，一定振幅 A1, A2，角振動数 ω1, ω2 の2つのmode

の重ね合わせは，次のように表される：

f(t) = A1 sin(ω1t) + A2 sin(ω2t) (2.13)

ω1 と ω2 が有理数比の場合には，data個数が十分あれば，先の手法を応用してdata列

をFourier分解することができる．しかしながら，ω1 と ω2 が無理数比の場合には，周

期条件 (f(t) = f(t + T )) を満たす T は存在しない．結局のところ，data個数 N を十

分大きく設定してdataを取り，分解能 (分解数 M) を上げて，ω1/ω2 の値を有理数近

似として求めることになる．そして，測定誤差の問題と合わせ，有効数字の桁数の範

囲内で数値を判定することになる． /’94.2.7./

for j = 0, 1, 2, · · · , N, · · · , N ′

例1. 例2. 例3. 例4. 例5.

例6. 例7.

–74–

Chapter 10

Fourier級数の例題1993.8.25./8.28.

[例] 独立変数 x の N 次 (有限次) ベキ多項式 f(x) を次のように表す：

f(x) =N∑

n=0

Anxn (An :係数，AN 6= 0) (1)

区間 −1 ≤ x ≤ 1 において，f(x) のFourier級数を求める．

f(x) のFourier級数を次のように表す：

f(x) = a0 +∞∑

m=1

[am cos(ωmx) + bm sin(ωmx)] (2)

但し，ωm = mπ (m = 1, 2, · · · ,∞) である．(1)と (2)を等置する：

N∑

n=0

Anxn = a0 +∞∑

m=1

[am cos(mπx) + bm sin(mπx)] (3)

これを区間 −1 ≤ x ≤ 1 で積分して，f(x) の平均値 a0 を求める：

∫ 1

−1

N∑

n=0

Anxn dx =

∫ 1

−1

a0 +

∞∑

m=1

[am cos(mπx) + bm sin(mπx)]

dx

→ a0 =N∑

n=0

′ An

n + 1(4)

x の奇数ベキ項を区間 −1 ≤ x ≤ 1 で積分すると zeroになるから，∑′は n が偶数の

場合について和を取ることを意味する．

(3)に cos(kπx) (k = 1, 2, · · · ,∞) を掛けて区間で積分すると，三角関数の直交性

により，Fourier余弦係数 ak は次のように表される：∫ 1

−1

∞∑

m=1


cos(kπx) dx = ak

=∫ 1

−1

[N∑

n=0

Anxn − a0

]cos(kπx) dx =

N∑

n=2

′∫ 1

−1Anx

n cos(kπx) dx

→ ak =N∑

n=2

′∫ 1

−1Anx

n cos(kπx) dx (5)

75

76 CHAPTER 10. FOURIER級数の例題

(3)に sin(kπx) (k = 1, 2, · · · ,∞) を掛けて区間で積分すると，三角関数の直交性

により，Fourier正弦係数 bk は次のように表される：

∫ 1

−1

∞∑

m=1


sin(kπx) dx = bk

=∫ 1

−1

[N∑

n=0

Anxn − a0

]sin(kπx) dx =

N∑

n=1

′′∫ 1

−1Anx

n sin(kπx) dx

→ bk =N∑

n=1

′′∫ 1

−1Anx

n sin(kπx) dx (6)

但し，∑′′は n が奇数の場合について和を取ることを意味する．

(5),(6)式の積分を整理するために，cos(Y x) の積分を求める：∫ 1

−1cos(Y x) dx =

2

Ysin(Y ) (7)

Y はparameterで，後に Y = kπ と取る．(7)の両辺を Y で微分すると，

∂

∂Y

∫ 1

−1cos(Y x) dx =

∫ 1

−1−x sin(Y x) dx =

∂

∂Y

[2

Ysin(Y )

]

となり，一般に，次のように計算できる：∫ 1

−1xn cos(Y x) dx = (−1)n/2 ∂n

∂Y n

[2

Ysin(Y )

](n :偶数) (8a)

∫ 1

−1xn sin(Y x) dx = (−1)(n+1)/2 ∂n

∂Y n

[2

Ysin(Y )

](n :奇数) (8b)

よって，ak, bk (k = 1, 2, · · · ,∞) は，次のように表される：

ak =N∑

n=2

′2An(−1)n/2

∂n

∂Y n

[1

Ysin(Y )

]

Y =kπ

(9a)

bk =N∑

n=1

′′2An(−1)(n+1)/2

∂n

∂Y n

[1

Ysin(Y )

]

Y =kπ

(9b)

さらに，(9a,b)に含まれる微分は，

∂n

∂Y n

[1

Ysin(Y )

]=

n∑

m=0

nCm∂m

∂Y m[sin(Y )]

∂n−m

∂Y n−m

(1

Y

)

=n∑

m=0

nCm(−1)m/2 sin(Y )(−1)n−m(n−m)! Y −n+m−1 (m :偶数)

nCm(−1)(m+3)/2 cos(Y )(−1)n−m(n−m)! Y −n+m−1 (m :奇数)

となり，Y = kπ を代入して，次のように整理される：

∂n

∂Y n

[1

Ysin(Y )

]

Y =kπ

–76–

77

=n∑

m=1

′′nCm(−1)(m+3)/2 cos(kπ)(−1)n−m(n−m)! (kπ)−n+m−1

=n∑

m=1

′′ n!

m!(−1)(2n−m+3)/2 cos(kπ)(kπ)−n+m−1 (10)

(10)を用いて (9a,b)を表す：

ak =N∑

n=2

′2An

[n∑

m=1

′′ n!

m!(−1)(3n−m+3)/2(kπ)−n+m−1

]cos(kπ) (11a)

bk =N∑

n=1

′′2An

[n∑

m=1

′′ n!

m!(−1)(3n−m+4)/2(kπ)−n+m−1

]cos(kπ) (11b)

(11a,b),(4)を (2)に代入して，f(x) のFourier級数が確定する．

[補題]

[1] 区間 −1 ≤ x ≤ 1 における x3 のFourier級数を求めよ．


[3] 区間 −c ≤ x ≤ c (c : 実数，c > 0) における N 次ベキ多項式：

f(x) =N∑

n=0

Bnxn

のFourier級数を求めよ．


N = 3, A0 = A1 = A2 = 0, A3 = 1 とおいて，Fourier係数は次のように表される：

a0 =N∑

n=0

′ An

n + 1= 0

ak =N∑

n=2

′2An

[n∑

m=1

′′ n!

m!(−1)(3n−m+3)/2(kπ)−n+m−1

]cos(kπ) = 0

bk =N∑

n=1

′′2An

[n∑

m=1

′′ n!

m!(−1)(3n−m+4)/2(kπ)−n+m−1

]cos(kπ)

= 2

[3∑

m=1

′′ 3!

m!(−1)(1−m)/2(kπ)−4+m

]cos(kπ)

=12

kπ

[1

(kπ)2− 1

3!

]cos(kπ)


–77–

78 CHAPTER 10. FOURIER級数の例題

N = 4, A0 = A1 = A2 = A3 = 0, A4 = 1 とおいて，Fourier係数は次のように表さ

れる：

a0 =N∑

n=0

′ An

n + 1=

1

5

ak =N∑

n=2

′2An

[n∑

m=1

′′ n!

m!(−1)(3n−m+3)/2(kπ)−n+m−1

]cos(kπ)

= 2

[4∑

m=1

′′ 4!

m!(−1)(−m+3)/2(kπ)−5+m

]cos(kπ)

=−48

(kπ)2

[1

(kπ)2− 1

3!

]cos(kπ)

bk =N∑

n=1

′′2An

[n∑

m=1

′′ n!

m!(−1)(3n−m+4)/2(kπ)−n+m−1

]cos(kπ) = 0

[3] 区間 −c ≤ x ≤ c (c : 実数，c > 0) における N 次ベキ多項式：

f(x) =N∑

n=0

Bnxn

のFourier級数を求めよ．変換：y = x/c, An = Bncn を用いて，f(x) を y で書き換

える：

f(x) =N∑

n=0

Bnxn =N∑

n=0

Anyn = f(y)

先の結果により，Fourier係数は，

a0 =N∑

n=0

′ An

n + 1

ak =N∑

n=2

′2An

[n∑

m=1

′′ n!

m!(−1)(3n−m+3)/2(kπ)−n+m−1

]cos(kπ)

bk =N∑

n=1

′′2An

[n∑

m=1

′′ n!

m!(−1)(3n−m+4)/2(kπ)−n+m−1

]cos(kπ)

となり，Fourier級数が求められる：

f(y) = a0 +∞∑

m=1

[am cos(mπy) + bm sin(mπy)]

–78–

Chapter 11

最速降下線 (line of swiftest descent)変分法の演習問題

1993.6.10.

質量 m の質点が，重力 (重力加速度 g = 9.80665[m/sec2]) により，鉛直面内で運

動する．始点 P0 から終点 P1 までの移動に要する時間が最短となる経路を求めよ．

これは，例えて言えば，「最速で降りる滑り台」の形状を決める問題である．

鉛直下方に x 軸，水平方向を y 軸とする2次元のデカルト座標系 (x, y) を用い，

始点 P0 を座標原点とし，終点 P1 を (x1, y1) (簡単のため x1 > 0, y1 > 0 とする)，質

点の位置を (xP , yP ) (xP ≡ xP (t), yP ≡ yP (t), t :時間) と表す．質点の重力場での運動

であるから，力学的 energy E が保存する：

E =m

2

(dxP

dt

)2

+

(dyP

dt

)2−mgxP = constant (1.1)

t = 0 で質点は始点 P0 の位置にあり，初期速度は zeroであるから，E = 0 となる．故

に，t > 0 で運動中の質点の速さ q ≡ q(t) (q > 0) は次のように表される：

q =

√√√√(

dxP

dt

)2

+

(dyP

dt

)2

=√

2gxP (1.2)

経路曲線は y ≡ y(x) と表され，質点は経路に沿って運動する (ホロノミックな束

縛を受けて運動する) から，経路に沿う微小長さ ds と速さ q の関係は ds = qdt であ

る．また，質点の y 座標は yP = y(xP ) であり，次式が成り立つ：

ds =

√√√√1 +

(dyP

dxP

)2

dxP (1.3)

よって，始点 P0 から終点 P1 への移動に要する時間 T は，次式で与えられる：

T =∫ x1

0

1

q

√√√√1 +

(dyP

dxP

)2

dxP =1√2g

∫ x1

0f dxP (1.4)

但し，f は次式である：

f ≡ f

(xP ,

dyP

dxP

)=

1√xP

√√√√1 +

(dyP

dxP

)2

(1.5)

79

80 CHAPTER 11. 最速降下線 (LINE OF SWIFTEST DESCENT)

T が最短時間となるための必要条件は，T の第1変分が zeroとなることである．即

ち，(1.4)の被積分関数 f がEulerの微分方程式を満たせばよい．

d

dxP

(∂f

∂PP

)=

∂f

∂yP

(where PP ≡ dyP

dxP

)(1.6)

ここでは ∂f/∂yP = 0 だから，次式を得る：

∂f

∂PP

=1√xP

dyP

dxP

1 +

(dyP

dxP

)2−1/2

= constant =1

A(A :積分定数)

→ AdyP

dxP

− =√

xP

√√√√1 +

(dyP

dxP

)2

→ dyP

dxP

= ±√

xP

A2 − xP

(1.7)

曲線 yP = y(xP ) が単調増加関数であるとして (1.7)の正号を取り，始点 (0,0) から中

間点 (xP , yP ) まで積分する：

∫ xP

0

dyP

dxP

dxP =∫ xP

0

√xP

A2 − xP

dxP (1.8)

この右辺は，変数変換：

xP =A2

2(1− cos θ) (1.9)

を用いて計算できるから，(1.8)は次式となる：

yP =A2

2(θ − sin θ) (1.10)

(1.9),(1.10)の曲線は，サイクロイドである．この曲線は，上記の力学問題に因み，最

速降下線 (line of swiftest descent) と呼ばれる．

終点の座標 (x1, y1) を (1.9),(1.10)に代入し，終点での角度を θ1 と表すと，次式を

得る：

x1 =A2

2(1− cos θ1) y1 =

A2

2(θ1 − sin θ1) (1.11a, b)

これより，θ1 の方程式は次のようになる：

θ1 − sin θ1 =y1

x1

(1− cos θ1) (1.12)

この超越方程式は，自明解 θ1 = 0を持つ．θ1 > 0の解が得られれば，それを (1.11a)(ま

たは (1.11b))に代入して，A2 が求められる．

θ1 ¿ 1 を仮定して，(1.12)を (形式的に) 展開すると，次式を得る：

θ1 −(θ1 − 1

6θ1

3 + · · ·)

=y1

x1

[1−

(1− 1

2θ1

2 + · · ·)]

–80–

81

→ θ12

(θ1 − 3

y1

x1

)= 0 → θ1 = 0, θ1 = 3

y1

x1

(1.13a, b)

即ち，y1/x1 ¿ 1 のとき，θ1 ¿ 1 を満たす解 θ1 = 3y1/x1 がある．

一方，y1/x1 À 1 のときには θ1 = α + β とおく： α は 2π の倍数であり，β の範

囲は |β| ¿ 1 とする．よって，(1.12)の展開は次のようになり，β が求められる：

α + β −(β − 1

6β3 + · · ·

)=

y1

x1

[1−

(1− 1

2β2 + · · ·

)]

→ β2 = 2x1

y1

α → β = ±√

2x1

y1

α (1.14)

[問題] サイクロイド (1.9),(1.10)を図に示し，近似解 (1.13b),(1.14)の成立範囲を吟味

せよ．

[問題] 始点 P0(0, 0) と終点 P1(x1, y1) を結ぶ距離 L を最小にする経路 y ≡ y(x) を求

めよ．

L =∫ x1

0

√√√√1 +

(dy

dx

)2

dx

[問題] 始点 P1(x1, y1)，終点 P2(x2, y2) (x1 < x2, y1 > 0, y2 > 0) を結ぶ曲線 y ≡ y(x)

を x 軸のまわりに回転して曲面を作る．この曲面の表面積 S を最小にする曲線 y(x)

を求めよ．また，解の存在を議論せよ．

S = 2π∫ x2

x1

y

√√√√1 +

(dy

dx

)2

dx

[問題] 光学の「Fermatの原理」を変分法を用いて表現せよ．

[3番目の問題の解答例] 変分法の演習問題 1993.6.18.

問題に与えられた被積分関数を

f ≡ f(y, P ) = y√

1 + P 2

(y ≡ y(x), P ≡ dy

dx

)

と表すと，表面積 S は次式で与えられる：

S = 2π∫ x2

x1

f(y, P ) dx

この S に停留値 (極値) を取らせる関数 y(x) を求める問題は，境界条件の下で，f に

対するEulerの微分方程式を解く問題に帰着する．

先ず，Eulerの微分方程式：

d

dx

(∂f

∂P

)=

∂f

∂y

–81–


を導き，その一般解を求める：

∂f

∂P= yP (1 + P 2)−1/2 ∂f

∂y=√

1 + P 2

d

dx

(∂f

∂P

)=

(P 2 + y

dP

dx

)(1 + P 2)−1/2 − yP 2 dP

dx(1 + P 2)−3/2

→(P 2 + y

dP

dx

)(1 + P 2)− yP 2 dP

dx= (1 + P 2)2 (Eulerの微分方程式)

→ ydP

dx= 1 + P 2 → yP

dP

dy= 1 + P 2

→ PdP

1 + P 2=

dy

y→

√1 + P 2 = ay (a :積分定数)

→ P =dy

dx= ±

√a2y2 − 1 (正号だけ考えても，一般性を失わない)

→ ay = cosh(z) と変数変換すると，次式を得る

dy

dx=

dz

dx

sinh(z)

a=

√a2y2 − 1 = sinh(z) → dz = adx

→ z = ax + b (b :積分定数)

→ ay = cosh(z) = cosh(ax + b) (Eulerの微分方程式の一般解)

この一般解の表す曲線は，自重で垂れるロープの問題に因み，懸垂線 (catenary) と呼

ばれる．懸垂線が回転してできる曲面は，catenoidと呼ばれる．

次に，一般解を境界条件：

y = y1 at x = x1 y = y2 at x = x2

に代入すると，次式を得る．

ay1 = cosh(ax1 + b) = cosh(ax1) cosh(b) + sinh(ax1) sinh(b)

ay2 = cosh(ax2 + b) = cosh(ax2) cosh(b) + sinh(ax2) sinh(b)

これを cosh(b) と sinh(b) について整理する：

cosh(b) =ay1 sinh(ax2)− ay2 sinh(ax1)

sinh[a(x2 − x1)]

sinh(b) =ay2 cosh(ax1)− ay1 cosh(ax2)

sinh[a(x2 − x1)]

これらは，双曲線関数の関係式：cosh2(b)− sinh2(b) = 1 を満たさなければならない．

[ay1 sinh(ax2)− ay2 sinh(ax1)]2 − [ay2 cosh(ax1)− ay1 cosh(ax2)]

2 = sinh2[a(x2 − x1)]

–82–

83

→ −(ay1)2 − (ay2)

2 + 2ay1ay2 cosh[a(x2 − x1)] = sinh2[a(x2 − x1)]

これは，Z = cosh[a(x2− x1)] (Z は実数で，Z ≥ 1) とおくと，Z の2次方程式である．

Z2 − 2ay1ay2Z + (ay1)2 + (ay2)

2 − 1 = 0

よって，根は次式となり，3つの実数 (a(x2 − x1), ay1, ay2) が満たすべき方程式を与

える：

Z = ay1ay2 ±√

(ay1ay2)2 − (ay1)2 − (ay2)2 + 1

→ cosh[a(x2 − x1)] = ay1ay2 ±√

[(ay1)2 − 1][(ay2)2 − 1]

一般には，この方程式が解を持たない場合も，解が複数の場合も起こり得る．

代表的な場合として，x1 = −c (c :定数, c > 0)，x2 = c，y1 = y2 = A (A :定数,

A > 0) と取る．u ≡ ac，B ≡ A/c とおくと，上記の方程式は次のようになる：

cosh(2u) = (uB)2 ± [(uB)2 − 1]

→ cosh(2u) = 1 → u = 0 (無意味な解)

→ cosh(2u) = 2(uB)2 − 1 → cosh2(u) = (uB)2 → cosh(u) = uB

→ B =1

ucosh(u)

関数 cosh(u)/u の特性を調べる．これに極小値を与える u は，次式で与えられる：

d

du

[1

ucosh(u)

]=

1

usinh(u)− 1

u2cosh(u) = 0 → u = coth(u)

この超越方程式の解は，数値的に，u = 1.19967864025773 ≡ u0 と求められる．故に，

u0 により，B の値の下限が求められる：

B ≥ 1

u0

cosh(u0) = sinh(u0) ≈ 1.50888

(もし B < sinh(u0) ならば，方程式 uB = cosh(u) は解を持たない)．B ≥ sinh(u0) を

満たす B の値に対して，u の超越方程式：

B =1

ucosh(u)

は2つの実数解を持つ．それを u1, u2 と表す．u がいずれの値を取るかは，さらに調

べないと判定できない；一般には，u が一意的に決まるとは限らないのである．

境界条件の対称性 (x2 = −x1 = c, y1 = y2 = A) により，b = 0，aA = cosh(ac)

(即ち，uB = cosh(u)) となるから，曲線は ay = cosh(ax) である．これを表面積 S の

式に代入し，S を計算する．

S = 2π∫ c

−cy

√√√√1 +

(dy

dx

)2

dx =2π

a2

∫ u

−ucosh(z)

√1 + sinh2(z) dz

–83–


=2π

a2

∫ u

−ucosh2(z) dz =

πc2

u2

∫ u

−u[cosh(2z) + 1] dz

=πc2

u2[sinh(2u) + 2u] =

2πc2

u2[sinh(u) cosh(u) + u]

S の表式を整理して，F とおく：

F ≡ F (u) =S

2πc2=

1

u2[sinh(u) cosh(u) + u]

一例として，B = 2 (> sinh(u0)) の場合を計算すると次の値を得る：

u1 = 0.58938776346935 F (u1) = 3.8144964268080

u2 = 2.12679989267826 F (u2) = 4.3580795788329

よって，u1 の方が表面積 S を小さくする：S = 2πc2F (u1)．

区間 0 < u ≤ 5 における F (u) と cosh(u)/u を図1に示す．直線 B = 2 と

cosh(u)/u の交点が u1, u2 を与える．また，u0 の位置で，cosh(u)/u と F (u) は極小

値を取る．

懸垂線の式を整理し，

y

A=

1

uBcosh

(ux

c

)(−c ≤ x ≤ c)

と表す．u に u1, u2 を代入して得られる catenoidの断面図を図2に示す．

[追記] ここでは，関数 f ≡ f(y, P ) = y√

1 + P 2 (y ≡ y(x), P ≡ dy/dx) に対する

Eulerの微分方程式を導き，冗長な計算を経て解いた．「解析力学」に基づくと，もっ

と簡単に方程式が導かれることを示そう．f をLagrange関数とみなすと，Hamilton関

数 H は，

H = P∂f

∂P− f(y, P ) =

yP 2

√1 + P 2

− y√

1 + P 2

と表される．f は独立変数 x を陽に含まない．故に，「H は，x を陽に含まないから，

保存量である」：dH/dx = 0．よって，解くべき方程式は次式となる：

H =yP 2

√1 + P 2

− y√

1 + P 2 = constant = −1

a(a :積分定数)

→ ay =√

1 + P 2

1993.6.26.

2点 ((x1, y1) = (−c, A)，(x2, y2) = (c, A)) を通る2次曲線：

y =A

2

[1 +

(x

c

)2]

–84–

85

を考える．これを表面積 S の式に代入して計算する：

S = 2π∫ c

−cy

√√√√1 +

(dy

dx

)2

dx = 2π∫ c

−c

A

2

[1 +

(x

c

)2] √

1 +(A

x

c2

)2

dx

= πc2B∫ 1

−1(1 + z2)

√1 + B2z2 dz

(z =

x

c, B =

A

c

)

= 2πc2B∫ 1

0(1 + z2)

√1 + B2z2 dz

Bz = sinh Z (B = sinh Z0；cosh Z0 =√

B2 + 1，Z0 = Ln[B +√

B2 + 1]) と置き換

える：

S = 2πc2B∫ Z0

0

(1 +

1

B2sinh2 Z

) √1 + sinh2 Z

1

Bcosh Z dZ

= 2πc2∫ Z0

0

(1 +

1

B2sinh2 Z

)cosh2 Z dZ

= 2πc2

1

4sinh(2Z0) +

Z0

2+

1

4B2

[1

8sinh(4Z0)− Z0

2

]

F′=

1

4sinh(2Z0) +

Z0

2+

1

4B2

[1

8sinh(4Z0)− Z0

2

]

=B

2

√B2 + 1 +

4B2 − 1

8B2Ln[B +

√B2 + 1] +

2B2 + 1

8B

√B2 + 1

B = 2 の場合，F′の値は次のようになる：

F′=√

5 +15

32Ln(2 +

√5) +

9

16

√5 = 4.1705603438335

図1 図2

図1 図2

–85–

Chapter 12

摂動法について (I) - 入門編 -1980.10./1990.6.10./1991.4.22./in Tex ’93.10.13./’95.1.2.

1 はじめに

「摂動 (perturbation)」の語源

『太陽系の諸天体が他の惑星の引力のために楕円軌道からずれること．一般の力

学系において，主要な力の作用による運動が副次的な力の影響によって少しく撹乱さ

れること．』 (広辞苑，岩波書店)

「摂動法 (perturbation method)」:非常に小さいparameter ε (0 < ε ¿ 1) (または，

非常に大きいparameter ε−1) が方程式に含まれているとき，ε を摂動 (parameter per-

turbation) と見なし，ε = 0 の方程式 (非摂動方程式, unperturbed equation) から逐次

解いて解を求めることができる．この解法を摂動法という．

もし ε = 0 の近傍で解がTaylor展開できるならば，解は ε のベキ級数で表される．

この発想に基づく摂動法を Method of straightforward expansion という．

独立変数 (またはその既知関数)が特定の条件を満たすとき，方程式を簡単化でき

る場合がある．そして，方程式を逐次解いて解を求めることができる．この摂動を co-

ordinate perturbation と呼ぶ．

実際に摂動法を適用して得られる解が厳密解となる場合がある．厳密解に収束す

る場合もある．しかし，特定の条件の下では厳密解を近似できても，その条件を越え

て適用すると全く違う振舞いを示す場合もある．従って，摂動法によって得られた解

の適否を評価する必要がある．

この小論の目的は，方程式の近似解法としての摂動法を紹介することにある．先

ず，簡単な関数を例に用語を説明し，解法の有効性を評価する際の要点を示す．次い

で，幾つかの具体的な問題に摂動法を適用する．非線形の問題の場合には話が極めて

個別的になる．そこでは，物理的考察に基づいて，幾多の解法が工夫されてきた．最

86

1. はじめに 87

後の節で扱う Method of multiple scales (多重尺度の方法)は，1960年代以降に発達し

た解法で，弱非線形問題の解明に威力を発揮してきた．従って，この解法を理解する

ことは，理論的考察を深める上で，また現象を解明する上でも非常に有意義なものと

思われる．

[例] 関数 f ≡ f(x; ε) (独立変数 x，parameter ε ¿ 1) に漸近する関数 g(x; ε)

関数：

f(x; ε) =√

x + ε (x > 0) (1.1)

を ε = 0 の近傍で Taylor 展開して2次の項まで取り，それを g(x; ε) とおく：

f(x; 0) +

(df

dε

)

ε=0

ε +1

2

(d2f

dε2

)

ε=0

ε2 =√

x

(1 +

1

2

ε

x− 1

8

ε2

x2

)≡ g(x; ε) (1.2)

改めて，g(x; ε) と f(x; ε) の関係を調べる：

when ε = 0, g(x; ε) = f(x; ε) for any x (一致する)

for x À ε > 0, g(x; ε) ≈ f(x; ε) (近似が成り立つ)

しかし，ε/x ≥ 1 では，g(x; ε) は別の関数として振舞う：

for ε/x = 1, f(x; ε) =√

2x, g(x; ε) = 11√

x/8

g(x; ε)

f(x; ε)=

11

8√

2= 0.972

for ε/x = 10, f(x; ε) =√

11x, g(x; ε) = −13√

x

2

g(x; ε) は f(x; ε) の近似関数とは成り得ない

そして，x → 0(

ε

x→∞

)では全く異なってしまう：

f(0; ε) =√

ε,

g(x; ε) ∼ −ε2x−3/2

8, thus g(x; ε) → −∞ as x → 0

x = 0 は g(x; ε) の特異点 (singular point) である．

近似 (g(x; ε) ≈ f(x; ε)) が破綻する (break down) とき，展開は非一様 (non-

uniform) であるという．g(x; ε) は ε/x → 0 のとき f(x; ε) に近づき，ε/x → ∞ で

は全く違う振舞いを示す．この意味で，「g(x; ε) は f(x; ε) に漸近する」という．

[ことばの説明] 摂動法 (Method of straightforward expansion) によって得られた解

に非一様性が現れるとき，その摂動は特異摂動 (singular perturbation)と呼ばれる．そ

して，一様な解を得るために工夫された解法を特異摂動法 (Method of singular per-

turbation) という．一方，摂動法で得られた解が一様となる場合は，正則摂動 (regular

–87–

88 CHAPTER 12. 摂動法について (I) - 入門編 -

perturbation) と呼ばれる．

[問] (1.1)を x = 0 の近傍でTaylor展開して2次迄取り，それを G(x; ε) とおく：

f(0; ε) +

(df

dx

)

x=0

x +1

2

(d2f

dx2

)

x=0

x2 =√

ε

(1 +

1

2

x

ε− 1

8

x2

ε2

)≡ G(x; ε)

関数 G(x; ε) と (1.1)を比較して，展開の一様性について議論せよ．

2 Method of Straightforward Expansion

2.1 線形問題 (漸近解と収束解)

微小parameter ε (0 < ε ¿ 1) を含む y ≡ y(x; ε) の線形同次1階常微分方程式：

dy

dx− εy = 0 (2.1)

を条件：

y = 1 at x = 0 (2.2)

の下で解く．容易に示されるように，この問題の解析解は次式で与えられる：

y = exp(εx) (2.3)

ここでは，(2.1), (2.2)を摂動法 (Method of parameter perturbation) で解く．解 y

は ε のベキ級数に展開 (straightforward expansion) できるとする：

y =∞∑

n=0

εny(n)(y(n) ≡ y(n)(x)

)(2.4)

(各 y(n) は ε に依存しない)．これを (2.1), (2.2)に代入すると[dy(0)

dx

]+ ε

[dy(1)

dx− y(0)

]+ · · ·+ εn

[dy(n)

dx− y(n−1)

]+ · · · = 0, (2.5a)

y(0) + εy(1) + · · ·+ εny(n) + · · · = 1 at x = 0 (2.5b)

となる．任意の ε (但し，0 < ε ¿ 1) について (2.5a,b)が成り立つためには，εn の係数

部が全てゼロになる必要がある．それから導かれる方程式系は，次のように解くこと

ができる：dy(0)

dx= 0 → y(0) = constant → y(0) = 1,

–88–

2. METHOD OF STRAIGHTFORWARD EXPANSION 89

dy(1)

dx− y(0) = 0 → y(1) =

∫y(0)dx + constant → y(1) = x,

dy(n)

dx− y(n−1) = 0 → y(n) =

∫y(n−1) dx =

∫ ∫y(n−2) dx dx

→ y(n) =∫· · ·

∫y(0) dx · · · dx =

xn

n!

この y(n)(x) (n = 0, 1, 2, · · ·) を N 次まで取り，その級数を y(x; ε; N) とおく：

y(x; ε; N) ≡N∑

n=0

εny(n)(x) =N∑

n=0

(εx)n

n!(2.6)

(2.6)より，次のことが分かる：

for N fixed, y(x; ε; N) → y as x → 0 (y(x; ε; N) は y に漸近する)

for N fixed, y(x; ε; N) →∞ as εx →∞ (y(x; ε; N) は発散する)

即ち，級数を N 次項で打ち切ったために，εx が十分大きくなると y(x; ε; N) (N < ∞)

は発散する (非一様になる)．よって，y(x; ε; N)は，漸近級数である．しかし，y(x; ε;∞)

は，一様収束級数であり，指数関数 (この場合の厳密解)である：

∞∑

n=0

(εx)n

n!≡ exp(εx) (for any x) (2.7)

[ことばの説明] 関数列 fn(x) (n = 0, 1, 2, · · · ,∞) を考える．全ての n に対して

x → ∞ のとき fn+1(x) = o(fn(x)) が成り立つならば，関数列は漸近列 (asymptotic

sequence) と呼ばれる．この関数列から成る級数

∞∑

n=0

Anfn(x) (An :定数)

を漸近級数と呼ぶ．ある関数 F (x) に対し，任意の n について x →∞ のとき，

F (x)− [A0f0(x) + A1f1(x) + · · ·+ Anfn(x)] = O(fn+1(x))

が成り立つならば，「F (x) は漸近展開可能 (asymptotically developable) である」とい

う．あるいは，「F (x) は漸近展開 (asymptotic expansion) を持つ」という．なお，漸近

展開は，x の極限が有限値の場合にも適用される．

[例] 線形非同次1階常微分方程式の特解

y ≡ y(x) の微分方程式：dy

dx+ y =

1

x(x > 0) (2.8)

の特解 YP ≡ YP (x) は，解析的に求められる：

YP = exp(−x)∫

x−1 exp(x) dx (2.9)

–89–


ここでは，(2.8)式の非同次項の性質 (x−1 → 0 as x →∞) を考慮して，x が十分

大きい場合の特解を Method of coordinate perturbation による x−1 の級数展開：

y(x) =∞∑

n=1

anx−n (an :係数) (2.10)

で求める．(2.10)を (2.8)式に代入し，x−1 のベキで整理すると次式を得る：

∞∑

n=1

[−nanx

−n−1 + anx−n

]= a1x

−1 + (a2 − a1)x−2 + (a3 − 2a2)x

−3 + · · · = x−1

左辺と右辺の対応関係から，各係数を決める：

a1 = 1, a2 = a1 = 1, a3 = 2a2 = 2, · · · , an = (n− 1)an−1 = (n− 1)!, · · ·

これらを用い，級数 (2.10)の N 項までを取り，それを Y (x; N) とおく：

Y (x; N) ≡N∑

n=1

anx−n =

N∑

n=1

(n− 1)! x−n (2.11)

これより，for N fixed, Y (x; N) → YP as x →∞ (Y (x; N) は YP に漸近する)

for x fixed, Y (x; N) →∞ as N →∞ (Y (x;∞) は発散する)

が分かる．その理由は，(2.11)と YP が次のような関係を持つことからも示される：

YP = Y (x; N) + N ! exp(−x)∫

x−N−1 exp(x) dx

故に，Y (x; N) は YP の漸近級数 (漸近ベキ級数)である．

[問] y ≡ y(x; ε) の線形同次1階常微分方程式：

εdy

dx− y = 0 (ε ¿ 1)

を条件：y = 1 at x = 0 の下で，摂動法で解け．

[注]この場合には，独立変数をX = x/ε2と変換 (座標を拡大)する．そして，y ≡ y(X; ε)

に対する方程式：dy/dX − εy = 0 を条件：y = 1 at X = 0 の下で解けばよい．その解

法は，特異摂動法の一種で，Method of strained coordinates と呼ばれる．

[問] y ≡ y(x; ε) の線形同次2階常微分方程式：

d2y

dx2+ ε

dy

dx+ y = 0 (ε ¿ 1)

を条件：y = 1, dy/dx = 0 at x = 0の下で，摂動法 (Method of parameter perturbation)

で解け．

–90–

2. METHOD OF STRAIGHTFORWARD EXPANSION 91

[問] y ≡ y(x) の線形同次2階常微分方程式 (Bessel’s equation)：

d2y

dx2+

1

x

dy

dx+ y = 0 (x ≥ 0)

を条件: y = 1, dy/dx = 0 at x = 0 の下で，摂動法 (Method of coordinate perturba-

tion) で解け．(解は零次のBessel関数であり，x →∞ では三角関数で表される．)

2.2 弱非線形問題 - 単振子の運動 -

単振子の運動 (弱非線形問題)の解析に Method of straightforward expansion を適

用し，その有効性と問題点を探る：特に，展開して求めた解の一様な領域が，弱非線

形性に起因して，大幅に制限されることをみる．

図に示される単振子の運動について，おもりの質量を m，糸の長さを L，糸と鉛

直軸の成す角度を θ ≡ θ(t) (t:時間)，重力加速度を g で表すと，運動方程式は，

mL2 d2θ

dt2= −mgL sin θ (2.12)

となる．これを整理し，θ が小さい (|θ| ¿ 1) 場合：

sin θ ∼ θ − θ3

6(2.13)

に注目すると，運動方程式は次式で近似される：

d2θ

dt2+ ω2

(θ − θ3

6

)= 0

(ω2 ≡ g

L

)(2.14)

これはLagrange関数 £ ：

£ = T − U (T :運動 energy, U : potential energy), (2.15a)

T =1

2

(dθ

dt

)2

, U = ω2

(θ2

2− θ4

24

)(2.15b, c)

で記述される力学系であり，全 energy E = T + U は保存する．そして，U の関数形か

ら分かるように，θ2 < 6 と 0 < E < 3ω2/2 を満たす範囲内に，有限な解 θ(t) を持つ

(その解は，楕円関数を用いて解析的に求めることができる)．

「θ が小さい」ことを明示するために微小parameter ε (ε ¿ 1) を導入して，θ =√6ε u (u ≡ u(t; ε), u = O(1)) とおくと，(2.14)は u の方程式となる：

d2u

dt2+ ω2

(u− εu3

)= 0 (2.16)

–91–


これは，角振動数 ω の単振動の方程式 (d2u/dt2 + ω2u = 0) に −ω2εu3 の摂動 (副次的

な効果) が加えられたものと解釈される．その微小parameterに注目し，u を ε のベキ

級数に展開 (straightforward expansion) する：

u(t; ε) =∑

n=0

εnu(n)(t)(仮定 : u(n)(t) = O(1) for each n

)(2.17)

(2.17)を (2.16)式に代入し，ε のベキで整理すると[d2u(0)

dt2+ ω2u(0)

]+ ε

[d2u(1)

dt2+ ω2

(u(1) − u(0)3

)]+ ε2

[d2u(2)

dt2+ ω2

(u(2) − 3u(0)2u(1)

)]

+ε3

[d2u(3)

dt2+ ω2

(u(3) − 3u(0)2u(2) − 3u(0)u(1)2

)]+ · · · = 0 (2.18)

となる (各 [ ] 内は ε に依存しない)．任意の微小な ε に対して (2.18)式が成り立つた

めには，u(n)(t) (n = 0, 1, 2, 3) が以下の方程式系を満たさなければならない：

d2u(0)

dt2+ ω2u(0) = 0, (2.19a)

d2u(1)

dt2+ ω2

(u(1) − u(0)3

)= 0, (2.19b)

d2u(2)

dt2+ ω2

(u(2) − 3u(0)2u(1)

)= 0, (2.19c)

d2u(3)

dt2+ ω2

(u(3) − 3u(0)2u(2) − 3u(0)u(1)2

)= 0 (2.19d)

u(0) の同次方程式 (2.19a)の解は次式で与えられる：

u(0) = a sin(ωt + φ) (a :振幅，φ :初期位相角) (2.20)

これを (2.19b)に代入すると，u(1) の非同次方程式を得る：

d2u(1)

dt2+ ω2u(1) = ω2u(0)3 = ω2a3 sin3(ωt + φ)

= ω2a3

3

4sin(ωt + φ)− 1

4sin[3(ωt + φ)]

(2.21)

下線部は同次方程式 d2u(1)/dt2 + ω2u(1) = 0 の基本解である：下線の項を外力とみな

せば，(2.21)は外力による共振の方程式に対応している．(2.21)式の特解は

u(1) =−3a3

8ωt cos(ωt + φ) +

a3

32sin[3(ωt + φ)] (2.22)

と表される．この式の右辺第1項は時間と共に大きくなる：即ち，共振を起こす．従っ

て，時間が t = O(1/(εωa2))になると，εu(1) が u(0) と同程度の大きさになるから，展開

–92–

3. METHOD OF STRAINED COORDINATES (PARAMETERS) 93

(2.17)は破綻する (仮定：u(1)(t) = O(1) が破れる)．その破綻の原因となった項 ((2.21)

式の下線の項)を永年項 (secular term) と呼ぶ．

永年項の発生は，u(2) の非同次方程式でも起こる．(2.19c)式の非同次項は，

3u(0)2u(1) =−9a5

32ωt cos(ωt + φ)− cos[3(ωt + φ)]

−3a5

128sin(ωt + φ)− 2 sin[3(ωt + φ)] + sin[5(ωt + φ)]

と表されるから，u(2) の特解は

u(2) =−3a5

256

6ω2t2 sin(ωt + φ) + 5ωt cos(ωt + φ) + 3ωt cos[3(ωt + φ)]

− 7

4sin[3(ωt + φ)]− 1

12sin[5(ωt + φ)]

(2.23)

となる．t = O(1/(εωa2)) で，先の波線部に原因して ε2u(2) が u(0) と同程度に大きく

なり，展開 (2.17)は破綻する：t = O(1/(εωa2)) で，展開は非一様になる．換言すると，

straightforward expansionで得られた解は t ¿ 1/(εωa2) でのみ有効である：永年項に

より，摂動展開の解の適用範囲が大幅に制限される．

同様な問題は u(3) に対しても起こる．((2.19d)式を解いて確かめられたい．)

力学系 (2.15a-c)は，有限な解 θ を持つ．それと永年項の発生は矛盾する．従って，

永年項 (即ち，singular perturbation)の発生を押え，非一様性を改良 (一様化)して，長

時間の振舞いを記述できる解を求める方法 (特異摂動法) が必要になる．

以下では，(2.16)式を特異摂動法： Method of strained coordinates (parameters)

(3節)と Method of multiple scales (4節) で解く．

3 Method of Strained Coordinates (Parameters)

Method of strained coordinates (parameters) と呼ばれる特異摂動法がある．それ

は，従属変数を展開するのみならず，独立変数をparameterを含む別の独立変数で展開

して永年項の発生を押え，一様な解を得ようとするものである．この解法では，特に

Lighthill (1949, 1961) の方法が著名である．

ここでは，古典的な，そしてより簡単な Lindstedt-Poincare technique を紹介す

る．Lindstedt (1882)の提起した解法は，「parameter ε ¿ 1 を含む u ≡ u(t; ε) の弱非

線形方程式：d2u

dt2+ ω2u = εF (u, du/dt) (右辺は象徴的表現) (3.1)

–93–


では，弱非線形性のために，u(t; ε) の角周波数 (角振動数)が線形系 (u(t; 0)) の角周波

数 ω からずれる」という観察に基づいている．そして，彼は，展開：

ωt = s(1 + εΩ1 + ε2Ω2 + ε3Ω3 + · · ·

), (3.2)

u = u(0)(s) + εu(1)(s) + ε2u(2)(s) + ε3u(3)(s) + · · · (3.3)

を (3.1)に代入して，永年項の発生を押える (回避する)ようにparameter Ω1, Ω2, Ω3, · · ·を決定した．後にPoincare (1892)は，Lindstedtの解法によって得られた展開は漸近的

であることを証明した．

先人に習い，(3.2),(3.3)を用いて方程式 (2.16)を解く．先ず，(3.2)により，

d

dt=

ds

dt

d

ds=

ω

1 + εΩ1 + ε2Ω2 + ε3Ω3 + · · ·d

ds

となるから，(2.16)式は，u ≡ u(s; ε) の方程式に変換される：

d2u

ds2+

(1 + εΩ1 + ε2Ω2 + ε3Ω3 + · · ·

)2 (u− εu3

)= 0 (3.4)

次に，(3.3)を (3.4)式に代入し，ε のベキで整理すると[d2u(0)

ds2+ u(0)

]+ ε

[d2u(1)

ds2+ u(1) − u(0)3 + 2Ω1u

(0)

]

+ε2

[d2u(2)

ds2+ u(2) − 3u(0)2u(1) + 2Ω1

(u(1) − u(0)3

)+

(Ω2

1 + 2Ω2

)u(0)

]

+ε3

[d2u(3)

ds2+ u(3) − 3u(0)2u(2) − 3u(0)u(1)2 + 2Ω1

(u(2) − 3u(0)2u(1)

)

+(Ω2

1 + 2Ω2

) (u(1) − u(0)3

)+ 2 (Ω1Ω2 + Ω3) u(0)

]+ · · · = 0 (3.5)

となる (各 [ ] 内は ε に依らない)．任意の ε (ε ¿ 1) に対して (3.5)式が成り立つため

には，u(n)(s) (n = 0, 1, 2, 3) が以下の方程式系を満たさなければならない：

d2u(0)

ds2+ u(0) = 0, (3.6a)

d2u(1)

ds2+ u(1) = u(0)3 − 2Ω1u

(0), (3.6b)

d2u(2)

ds2+ u(2) = 3u(0)2u(1) − 2Ω1

(u(1) − u(0)3

)−

(Ω2

1 + 2Ω2

)u(0), (3.6c)

d2u(3)

ds2+ u(3) = 3u(0)2u(2) + 3u(0)u(1)2 − 2Ω1

(u(2) − 3u(0)2u(1)

)

−(Ω2

1 + 2Ω2

) (u(1) − u(0)3

)− 2 (Ω1Ω2 + Ω3) u(0) (3.6d)

–94–


(3.6a)の解は次式となる：

u(0) = a sin(s + φ) (a :振幅，φ :初期位相角) (3.7)

これを (3.6b)に代入すると，u(1) の非同次方程式を得る：

d2u(1)

ds2+ u(1) = u(0)3 − 2Ω1u

(0) = a3 sin3(s + φ)− 2Ω1a sin(s + φ)

=

(3a3

4− 2Ω1a

)sin(s + φ)− a3

4sin[3(s + φ)] (3.8)

この sin(s + φ) が永年項であるから，それを消去するように Ω1 を決める：

Ω1 =3a2

8(3.9)

これを変換 (3.2)に代入すると，解 (3.7)は，

s =ωt

1 + εΩ1 + O(ε2)= ωt

(1− ε

3a2

8+ O(ε2)

)

によって，元の時間 t で表される：弱非線形性のために，周波数特性が変化する．ま

た，理論的に許容される振幅の大きさの目安は，εa2 < 8/3 である：これは，時間が逆

転しないための条件である (仮定より，ε ¿ 1 且つ a = O(1))．さらに，(3.9)を用いる

と，(3.8)式の特解は次式で与えられる：

u(1) =a3

32sin[3(s + φ)] (3.10)

(ここでは，計算が煩雑になるので，(3.8)式の同次解は省略する．)

O(ε2) の問題に進む．(3.10),(3.9),(3.7)を (3.6c)式に代入して整理する：

d2u(2)

ds2+ u(2) = 3u(0)2u(1) − 2Ω1

(u(1) − u(0)3

)−

(Ω2

1 + 2Ω2

)u(0)

= −3a5

128sin(s + φ)− 2 sin[3(s + φ)] + sin[5(s + φ)]

+3a3

2Ω1

sin(s + φ)− 3

8sin[3(s + φ)]

−

(Ω2

1 + 2Ω2

)a sin(s + φ) (3.11)

ここで，sin(s + φ) (永年項)の係数がゼロになるように Ω2 を決める：

Ω2 =1

2

(−Ω2

1 +3a2

2Ω1 − 3a4

128

)=

51a4

256(3.12)

((3.12)式による時間 t への変換は，この節の終わりにまとめる．) これを用い，(3.11)

を整理する：

d2u(2)

ds2+ u(2) = −3a5

1287 sin[3(s + φ)] + sin[5(s + φ)] (3.13)

–95–


よって，(3.13)式の特解は次式で与えられる：

u(2) =a5

102421 sin[3(s + φ)] + sin[5(s + φ)] (3.14)

さらに，(3.14),(3.12),(3.10),(3.9),(3.7)を (3.6d)式に代入して整理する：

d2u(3)

ds2+ u(3) = 3u(0)2u(2) + 3u(0)u(1)2 − 2Ω1

(u(2) − 3u(0)2u(1)

)

−(Ω2

1 + 2Ω2

) (u(1) − u(0)3

)− 2 (Ω1Ω2 + Ω3) u(0)

=−3a7

409619 sin(s + φ)− 41 sin[3(s + φ)] + 18 sin[5(s + φ)] + 2 sin[7(s + φ)]

−3a5Ω1

64

sin(s + φ)− 9

8sin[3(s + φ)] +

25

24sin[5(s + φ)]

+3a3

4

(Ω2

1 + 2Ω2

) sin(s + φ)− 3

8sin[3(s + φ)]

− 2 (Ω1Ω2 + Ω3) a sin(s + φ) (3.15)

ここで，sin(s + φ) の係数がゼロになるように Ω3 を決める：

Ω3 = −Ω1Ω2 − 57a6

8192− 3a4

128Ω1 +

3a2

8

(Ω2

1 + 2Ω2

)=

915a6

8192(3.16)

これを用い，(3.15)を整理する：

d2u(3)

ds2+ u(3) =

−3a7

4096139 sin[3(s + φ)] + 43 sin[5(s + φ)] + 2 sin[7(s + φ)] (3.17)

よって，(3.17)式の特解は次式で与えられる：

u(3) =a7

32768417 sin[3(s + φ)] + 43 sin[5(s + φ)] + sin[7(s + φ)] (3.18)

以上の結果を整理する： Lindstedt-Poincare techniqueにより，解は

u = u(0)(s) + εu(1)(s) + ε2u(2)(s) + ε3u(3)(s) + O(ε4) (3.19)

と表される：u(0)(s) は (3.7)式で，u(1)(s) は (3.10)式で，u(2)(s) は (3.14)式で，u(3)(s)

は (3.18)式で与えられた．一方，(3.9),(3.12),(3.16)式により，独立変数 s から元の独

立変数 t への変換は

ωt = s(1 + εΩ1 + ε2Ω2 + ε3Ω3 + O(ε4)

)

= s

(1 + ε

3a2

8+ ε2 51a4

256+ ε3 915a6

8192+ O(ε4)

)(3.20)

と与えられ，整理して次式となる：

s = ωt

(1− ε

3a2

8− ε2 15a4

256− ε3 123a6

8192+ O(ε4)

)(3.21)

–96–


本節の結果 ((3.19)-(3.21))を用いると，前節の展開が破綻した原因が分かる：

u(0)(s) = a sin(s + φ) = a sin[ωt

(1− ε3a2/8 + O(ε2)

)+ φ

]

= a sin(ωt + φ) cos[ωt

(ε3a2/8 + O(ε2)

)]

−a cos(ωt + φ) sin[ωt

(ε3a2/8 + O(ε2)

)]

= a sin(ωt + φ)− aωtε3a2/8 cos(ωt + φ) + O(ε2)

即ち，ωtεa2 ¿ 1 として，上式の sin [ωt (ε3a2/8 + O(ε2))] と cos [ωt (ε3a2/8 + O(ε2))]

を展開したものが，先の結果 ((2.20)と (2.22))であった訳である．

さらに，本節の結果の正当性を裏付ける論拠を示しておこう．扱った単振子の運

動は，(2.15a-c)のLagrange関数 £ で記述されている．力学原理 (Hamiltonの原理) に

従えば，t1 ≤ t ≤ t2 において実際に起こる運動は，作用 S:

S =∫ t2

t1£ dt (3.22)

に最小値 (極小値)を与えるものである．いま，近似的な試験関数 (trial function) とし

て次式を仮定する：

θ = A sin(Ωt),(A :振幅, Ω :角振動数, 周期τ : τ =

2π

Ω

)(3.23)

これを運動 energy T と potential energy U ((2.15b,c))に代入し，t2 = t1 + τ とおいて

(3.22)の積分を計算して，作用 S を振幅 A と角振動数 Ω の関数として表す：

T =1

2

(dθ

dt

)2

=A2Ω2

4[1 + cos(2Ωt)] ,

U = ω2

(θ2

2− θ4

24

)=

A2ω2

4

[1− A2

16− cos(2Ωt) + · · ·

],

S =∫ t1+τ

t1£ dt =

A2

4

[Ω2 − ω2

(1− A2

16

)]τ (3.24)

これは A2 の2次式であるから，Ω2 = ω2 (1− A2/8) のとき S は最小値 (極小値)を取

る．また，小振幅を考えているから

Ω = ω

√1− A2

8∼ ω

(1− A2

16

)

であり，変換式 θ =√

6ε u に基づいて A =√

6ε a と置き換えると，

Ωt = ωt

(1− ε

3a2

8+ O(ε2)

)(3.25)

–97–


を得る．この右辺は，先に得られた (3.21)の右辺と O(ε) まで一致している．故に，

Lindstedt-Poincare technique で求めた解で記述される単振子の運動は，Hamiltonの原

理に従う．

4 Method of Multiple Scales (多重尺度の方法)

4.1 多重尺度のイメージ

振幅 a は一定で，角振動数が僅かに異なる2つの振動を考えよう．その角振動数

を (ω + ∆ω) と (ω −∆ω) と表し，|∆ω/ω| = O(ε) (ε ¿ 1) とする．2つの振動を重ね

合わせる：

a sin[(ω + ∆ω)t] + a sin[(ω −∆ω)t] = 2a cos(∆ωt) sin(ωt) = A(∆ωt) sin(ωt) (4.1)

これは，角振動数 ω の振動の振幅 A ≡ A(∆ωt) が 1/∆ω 程度の非常にゆっくりした

時間スケールで変化し，「うなり (beat)」を起こすことを意味している．角振動数の差

は ∆ω = O(εω) であるから，その時間スケールを t1 ≡ εt と表す．そして，1/ω 程度

の時間スケール (t0 ≡ t) と分離して扱う： A(t1) sin(ωt0)．

このイメージを推し進める．2つの時間スケールの現象を記述する独立変数 t の常

微分方程式は，独立変数 t0, t1 の偏微分方程式に変換される．→ 多時間展開！さらに，上述の振動のイメージを波動に適用する．波源での振動 (4.1)が位相速度

c の波動として空間を伝播し，次式で与えられるとする：

A(∆ω(t− x/c)) sin[ω(t− x/c)] (x :空間座標)

これは，「振幅の時間変化 (角周波数 ∆ω の振動)が角周波数 ω の波によって運ばれる」

ことを表す：sin[ω(t−x/c)]の波を搬送波 (carrier wave)という．換言すると，「角周波数

ω の波の振幅が変化する (変調する)」となる．これを振幅変調 (amplitude modulation)

という．例えば，中波放送では，特性時間が

f =ω

2π∼ 1000 [kHz] (電波) → t ∼ 1 [µsec],

∆f =∆ω

2π∼ 1 [kHz] (音波，可聴波) → t ∼ 1 [msec]

となっており，可聴波 (音声信号)を電波にのせて (電波の振幅変調として)送る訳である．

波動の式を書き換えると次式となる：

A(∆ω(t− x/c)) sin[ω(t− x/c)] = A(εω(t− x/c)) sin[ω(t− x/c)]

–98–

4. METHOD OF MULTIPLE SCALES (多重尺度の方法) 99

= A(ω(t1 − x1/c)) sin[ω(t0 − x0/c)]

(t0 ≡ t, t1 ≡ εt, x0 ≡ x, x1 ≡ εx)．従って，速いスケール (t0, x0) と遅いスケール

(t1, x1) を分離して考えることができる． → 多時空間展開！

[参考] 周波数変調 (frequency modulation)

振幅 a は一定で，角振動数 ω + Ω (ω = 一定, Ω ≡ Ω(εt), Ω ¿ ω) の振動は，

a sin[ω + Ω(t1)]t0 となる．これを FM 変調 (周波数変調) という．

4.2 多重尺度の方法

u ≡ u(t; ε) (u = O(1)) の弱非線形方程式 ((2.16)式)：

d2u

dt2+ ω2

(u− εu3

)= 0 (4.2)

を多重尺度の方法で解く．非線形項の大きさを表すparameter ε (¿ 1) を考慮して，時

間を多重尺度に変換する：

tn ≡ εnt, for n = 0, 1, 2, 3, · · · (4.3)

これにより，時間微分の演算子は

d

dt=

∑

n=0

εn ∂

∂tn(4.4)

となる．(微分演算子を多重尺度で展開するので，この手法を微分展開法: Method of

derivative expansion という．) さらに，従属変数 u(t; ε) を ε のベキ級数に展開する：

u(t; ε) =∑

n=0

εnu(n) (4.5)

(u(n) ≡ u(n)(t0, t1, t2, t3, · · ·)は，多重時間 t0, t1, t2, t3, · · ·の未知関数である)．(4.4),(4.5)

を (4.2)式に代入して，ε のベキで整理すると次式を得る：[∂2u(0)

∂t20+ ω2u(0)

]+ ε

[∂2u(1)

∂t20+ 2

∂2u(0)

∂t0∂t1+ ω2

(u(1) − u(0)3

)]

+ε2

[∂2u(2)

∂t20+ 2

∂2u(1)

∂t0∂t1+

∂2u(0)

∂t21+ 2

∂2u(0)

∂t0∂t2+ ω2

(u(2) − 3u(0)2u(1)

)]

+ε3

[∂2u(3)

∂t20+ 2

∂2u(2)

∂t0∂t1+

∂2u(1)

∂t21+ 2

∂2u(1)

∂t0∂t2+ 2

∂2u(0)

∂t0∂t3+ 2

∂2u(0)

∂t1∂t2

–99–


+ ω2(u(3) − 3u(0)2u(2) − 3u(0)u(1)2

)]

+ · · · = 0 (4.6)

任意の ε (ε ¿ 1) に対して (4.6)式が成り立つためには，各 [ ] 内がゼロでなければな

らない．よって，u(n) (for n = 0, 1, 2, 3, · · ·) に対する偏微分方程式系を得る．u(0) の方程式を解く：

∂2u(0)

∂t20+ ω2u(0) = 0 (4.7)

→ u(0) = A exp(iωt0) + A∗ exp(−iωt0) = A exp(iωt0) + c.c. = AE + c.c. (4.8)

ここで，i ≡ √−1, A ≡ A(t1, t2, t3, · · ·) は複素振幅を表す:(4.7)式を t0 で積分したの

で，A は t0 以外の多重変数の関数である．A∗ は A の複素共役 (complex conjugate)

を意味する．これ以降の表現を簡潔にするため，E ≡ exp(iωt0)と約束する．また，c.c.

は先立つ表式の複素共役を意味する： AE + A∗E∗ = AE + c.c.．

u(1) の方程式を解く：先ず，その方程式に (4.8)を代入して整理すると

∂2u(1)

∂t20+ ω2u(1) = ω2u(0)3 − 2

∂2u(0)

∂t0∂t1

= ω2[A3E3 + 3A2A∗E

]− 2iωE

∂A

∂t1+ c.c. (4.9)

となる．この式の secular term (永年項) を消去するために E (及び E∗ ) に比例する項

をゼロとおくと，次の方程式を得る：

∂A

∂t1+

3iω

2A2A∗ = 0,

∂A∗

∂t1− 3iω

2A∗2A = 0 (4.10a, b)

ここで，複素振幅を絶対値と偏角 (位相角)に分けて，

A = α exp(iρ) (4.11)

(α ≡ α(t1, t2, t3, · · ·) ≡ |A|), ρ ≡ ρ(t1, t2, t3, · · ·) ≡ 6 A)；従って，α と ρ は実数関数で

ある)と表すと，(4.10a)から次式を得る：

∂α

∂t1+ iα

∂ρ

∂t1+

3iω

2α3 = 0 (4.12)

((4.10b)からは (4.12)の複素共役の式が得られる．) (4.12)式の real partと imaginary

partを各々に解く：∂α

∂t1= 0 → α = α(t2, t3, · · ·), (4.13a)

∂ρ

∂t1+

3ω

2α2 = 0 → ρ = −3ω

2α2t1 + χ(t2, t3, · · ·) (4.13b)

–100–


χ(t2, t3, · · ·)は，t1 で積分した際に現れる実数関数 (積分定数)である．この結果 ((4.13))

は，弱非線形性による「角周波数の変化 (位相のずれ；phase shift)」を表す．また，α

は，t1 のスケールでは変化せず，もっと高次の (ゆっくりした)時間スケールでの摂動

の振舞いによって決まる (即ち，α の変化は高次の摂動方程式に対する永年項の消去条

件によって決定される)．

さらに，(4.10a,b)を考慮して，(4.9)式を整理して特解を求める：

∂2u(1)

∂t20+ ω2u(1) = ω2A3E3 + c.c. → u(1) = −1

8A3E3 + c.c. (4.14)

O(ε2) の u(2) の方程式は，(4.14),(4.8)を用いて整理される：

∂2u(2)

∂t20+ ω2u(2) = 3ω2u(0)2u(1) − 2

∂2u(1)

∂t0∂t1− ∂2u(0)

∂t21− 2

∂2u(0)

∂t0∂t2

= −3

8ω2

(A5E5 + 2A4A∗E3 + A3A∗2E

)+

3iω

4

∂A3

∂t1E3

−(

∂2A

∂t21+ 2iω

∂A

∂t2

)E + c.c. (4.15)

この secular termを消去するために，次の方程式が成り立たなければならない：

∂2A

∂t21+ 2iω

∂A

∂t2+

3

8ω2A3A∗2 = 0 (4.16)

(これの複素共役の式も成り立たなければならない)．(4.16)に (4.11)を代入し，(4.13a,b)

を用いて整理すると，次式を得る：(

∂ρ

∂t1

)2

− 2iω

α

∂α

∂t2+ 2ω

∂χ

∂t2− 3

8ω2α4 = 0

この式の real partと imaginary partを各々に解く：

∂α

∂t2= 0 → α = α(t3, · · ·), (4.17a)

∂χ

∂t2=−1

2ω

(∂ρ

∂t1

)2

− 3

8ω2α4

→ ∂χ

∂t2= −15ω

16α4 → χ = −15ω

16α4t2 + q(t3, · · ·) (4.17b)

q(t3, · · ·) は，t2 で積分した際に現れる実数関数である．(4.17a,b)は，弱非線形性によ

り phase shift が起こることを表す．また，α は，t2 のスケールでは変化せず，もっと

高次の (ゆっくりした)時間スケールでの摂動の振舞いによって決定される．

(4.16),(4.13a,b),(4.11)を考慮し，(4.15)式を整理して特解を求める：

∂2u(2)

∂t20+ ω2u(2) = −3

8ω2

(A5E5 − 7A4A∗E3

)+ c.c.

–101–


→ u(2) =1

64

(A5E5 − 21A4A∗E3

)+ c.c. (4.18)

u(3) の方程式は次式となる：

∂2u(3)

∂t20+ ω2u(3) = 3ω2

(u(0)2u(2) + u(0)u(1)2

)− 2

∂2u(2)

∂t0∂t1

−∂2u(1)

∂t21− 2

∂2u(1)

∂t0∂t2− 2

∂2u(0)

∂t0∂t3− 2

∂2u(0)

∂t1∂t2(4.19)

これに (4.18),(4.14),(4.8)を代入し，(4.17),(4.13),(4.11)を考慮して整理する：

∂2u(3)

∂t20+ ω2u(3) =

3ω2

64

(2A7E7 − 18A6A∗E5 − 41A5A∗2E3 − 19A4A∗3E

)

−iω

32

[5E5∂A5

∂t1− 63E3∂(A4A∗)

∂t1

]

+E3

8

(∂2A3

∂t21+ 6iω

∂A3

∂t2

)− 2E

(iω

∂A

∂t3+

∂2A

∂t1∂t2

)+ c.c.

=3ω2

64

(2A7E7 − 18A6A∗E5 − 41A5A∗2E3 − 19A4A∗3E

)

+ω

32

(25A5E5 − 189A4A∗E3

) ∂ρ

∂t1− 9A3E3

8

(∂ρ

∂t1

)2

+ 2ω∂ρ

∂t2

−2E

(iω

∂A

∂t3− ∂ρ

∂t1

∂ρ

∂t2A

)+ c.c. (4.20)


iω∂A

∂t3− ∂ρ

∂t1

∂ρ

∂t2A +

57ω2

128A4A∗3 = 0 (4.21)

(これの複素共役の式も成り立たなければならない)．(4.21)に (4.11)を代入し，(4.13),

(4.17)を用いてさらに整理すると，次式を得る：

iω∂α

∂t3− ωα

∂q

∂t3− ∂ρ

∂t1

∂ρ

∂t2α +

57ω2

128α7 = 0

この式の real partと imaginary partを各々に解く：

∂α

∂t3= 0 → α = constant for tn (n = 0, 1, 2, 3), (4.22a)

ω∂q

∂t3= − ∂ρ

∂t1

∂ρ

∂t2+

57ω2

128α6 = −123

128ω2α6

→ q = −123

128ωα6t3 + constant (4.22b)

–102–


従って，O(ε3) でも，弱非線形性により phase shift が起こり，α は t3 のスケールで変

化しないことが分かる．

(4.22),(4.17),(4.13),(4.11)を考慮し，(4.20)式を整理して特解が得られる：

∂2u(3)

∂t20+ ω2u(3) =

3ω2

64

(2A7E7 − 43A6A∗E5 + 139A5A∗2E3

)+ c.c.

→ u(3) =−1

512

(A7E7 − 43A6A∗E5 + 417A5A∗2E3

)+ c.c. (4.23)

以上の Method of multiple scales による O(ε3) までの結果を整理する：

u(t; ε) = u(0)(t0, t1, t2, t3) + εu(1)(t0, t1, t2, t3) + ε2u(2)(t0, t1, t2, t3)

+ε3u(3)(t0, t1, t2, t3) (4.24)

O(ε0) の解 ((4.8)式)は，

u(0) = A exp(iωt0) + c.c. = AE + c.c. (4.25)

であり，複素振幅 A は A = α exp(iρ) (α: 絶対値，ρ: 偏角)と表される．また，(4.24)

式中の u(1), u(2), u(3) は，各々，(4.14),(4.18),(4.23)式で与えられる．

4節の結果は，次のように書き換えることができる：

α = constant =a

2(a :実定数，振幅) (4.26)

偏角 ρ は，(4.13b),(4.17b),(4.22b)をまとめると，次式となる：

ρ = −3ωα2t12

− 15ωα4t216

− 123ωα6t3128

+ constant (4.27)

これに (4.25)を代入し，constant = φ − π/2 (φ は一定値)とおき，時間を元のスケー

ルに戻して整理すると次のように表される：

ωt0 + ρ = ωt

(1− ε

3a2

8− ε2 15a4

256− ε3 123a6

8192

)+ φ− π

2(4.28)

(4.28),(4.26),(4.25)を用いて解 (4.24)を再整理すると，O(ε3) までは3節の結果と

完全に一致することが分かる．

参考文献Ali Hasan Nayfeh: Perturbation Methods. John Wiley & Sons, 1973.

Ali Hasan Nayfeh: J.Math.Phys.44(1965), pp.368-374.

–103–

Chapter 13

摂動法について (II)

- Method of multiple scalesの適用例 -

1 はじめに

ここでは，先ず，幾つかの振動系の方程式の特徴を調べ，どのような場合に摂動

法が適用できるかを吟味する．次いで，多重尺度の方法 (微分展開法)を用いその振動

系の弱非線形問題を解析する．それ故，解法の紹介が目的であった入門編とは対照的

に，摂動法の適用の仕方とその結果の評価を議論することが主題である．

扱う振動系の方程式は，u ≡ u(t) (t:時間)に対する次の微分方程式で代表される：

d2u

dt2+ ω2u = F (u, du/dt) (1.1)

(ω は角振動数を表す定数である；F (u, du/dt) は，u と du/dt の正則関数とする)．こ

れは，力学系においてしばしば出会う方程式である：実際，u(t) を質点の変位とする

と，左辺第1項が慣性力，第2項は線形バネなどによる復元力を表し，右辺にバネの非

線形性やダンパの影響などが考慮された運動方程式とみなすことができる．あるいは，

Newtonの運動の第2法則は位置と速度の関数として加速度を規定する方程式であると

考えて，(1.1)を認めてもよい．(1.1)で支配される系は，時間 t を陽に含まないので，

自律系 (autonomous system) と呼ばれ，変換 t → t+ constant に対して不変である

([注1]を参照されたい)．2階の微分方程式 (1.1)は，u または du/dt について2つの初

期条件を与えて解かれる．ここでは，簡単のため，初期値を

du

dt= p0, u = u0 at t = 0 (1.2)

とする．さらに，(1.1)は，p ≡ du/dt (p は暗に運動量を指す)を用いて書き換えると，

d2u

dt2=

dp

dt=

du

dt

dp

du= p

dp

du= −ω2u + F (u, p) (1.3)

となる．これは，p(u) についての1階の非線形微分方程式である ([注2]参照)．方程式

(1.3)を初期条件 (1.2)(p = p0 at u = u0) の下で解くと，解の大局的な構造

104

1. はじめに 105

————————————-

[注1] u ≡ u(t) の方程式：

d2u

dt2+ ω2u = F (u, du/dt, t)

は，新たな従属変数 τ ≡ τ(t) を導入し，

d2u

dt2+ ω2u = F (u, du/dt, τ),

dτ

dt= 1

と書くと，t を陽に含まない．従って，この連立方程式は自律系である．これにより，

解曲面は3次元の位相空間 (u, du/dt, τ) で表される．

[注2] (1.3)を次のように表すこともできる：

pdp

du+ ω2u =

dE

du= F (u, p), where E ≡ p2

2+ ω2u2

2

そして，F (u, p) は，u と E で表される．√

E は位相面 (u, p) に描かれる曲線の代表

的な大きさ (半径)を表す．

————————————————–

を掴むことができる．また，解曲線 p(u) は位相面 (u, p) に描かれ，振動系の方程式の

特徴を幾何学的に議論できる．

(1.3)は，dp/du = 0 のとき，

ω2u = F (u, p) (1.4)

となる．記号を区別するため，この方程式の解を u = ue, p = pe と表す．pe = 0 の場

合の (1.4)の解 (u = ue = constant ≡ uE) を平衡解と呼ぶ．実は，(1.1)の形に表す際，

平衡解からのずれ u − uE を改めて u とおいて方程式を整理してある場合が多い．そ

の場合には，uE = 0, F (0, 0) = 0 となる．また，位相面の原点 (0,0) の近傍で (1.1)を

Taylor展開すると，

F (u, p) = F (0, 0) +

(∂F

∂u

)u +

(∂F

∂p

)p +

1

2

(∂2F

∂u2

)u2 + · · ·

となり，各係数の符号・大きさによって方程式のタイプが分類される (このことは，(1.1)

が導き出された背景と考えて貰えばよい)．そして，このような localな構造について，

弱非線形問題が定式化される．(実際に扱う方程式の構造は2節以降で個別に議論する．)

弱非線形問題は多重尺度の方法 (微分展開法)で解かれる．そのとき，(1.1)の左辺

を系の基本要素と考え，右辺の F (u, du/dt) は二次的な効果 (摂動)を表している．こ

の方程式は，u = O(ε) (ε ¿ 1: order parameter) の解を持つと仮定する．そして，

F (u, du/dt) に起因するゆっくりとした scaleでの変化を記述するために，時間を多重

尺度に変換する：

tn ≡ εnt (for n = 0, 1, 2, · · ·) (1.5)

–105–

106 CHAPTER 13. 摂動法について (II)

これにより，時間微分の演算子は，次のように表される：

d

dt=

∑

n=0

εn ∂

∂tn(1.6)

従属変数 u を ε のベキで展開する：

u =∑

n=1

εnu(n)(u(n) ≡ u(n)(t0, t1, t2, · · ·) for each n

)(1.7)

ここで，漸近理論の立場からは，(1.7)が漸近級数であるための条件として，級数の各項

について t →∞で εn+1u(n+1)/(εnu(n)

)= o(1) (n+1次の項は n次の項よりも小さいこ

と)を要請する．(先の入門編では，ε のベキが付いていることを考慮して，u(n) = O(1)

と仮定した．)

展開 (1.7),(1.6)を方程式 (1.1)に代入し，ε のベキで整理すると，次の方程式系を

得る：

O(ε)

∂2u(1)

∂t20+ ω2u(1) = F (0, 0) = 0 (1.8)

O(ε2)

∂2u(2)

∂t20+ ω2u(2) = N2 (1.9)

O(ε3)

∂2u(3)

∂t20+ ω2u(3) = N3 (1.10)

O(ε4)

· · · · · · · · · (以下省略) · · · · · · · · ·

Nn (n = 2, 3, · · ·) の具体的表式は，F (u, du/dt) の関数形によって決まり，そこには低

次の変数が含まれる．

方程式系 (1.8)-(1.10)を順次解く手続きは次のようになる．

O(ε) の方程式の解は，次式で表される．

u(1) = A exp(iωt) + c.c. (1.11)

A ≡ A(t1, t2, · · ·)は複素振幅を表し，exp(iωt)は (1.8)式の基本解である；c.c.は先立つ

表式の複素共役を表す．(1.11)を O(ε2) の方程式 (1.9)の右辺に代入する．それに (1.8)

の基本解 (即ち，(1.9)式では，u(2) の同次方程式の基本解)を掛けて，周期 T ≡ 2π/ω

に亘り t で積分し，結果が zeroとなることを要請する：∫

Texp(iωt)N2 dt0 = 0,

∫

Texp(−iωt)N2 dt0 = 0 (1.12a, b)

–106–

3. SATELLITE方程式 107

これは，永年項 (secular term) を消去する条件と等価であり，可解条件とか適合条件

(solvability condition, or compatibility condition) と呼ばれる．この条件が，振幅や

parameterなどの満たすべき方程式を与える．その可解条件を用いて (1.9)式を整理し，

解 u(2) が求められる．さらに，u(2), u(1) を (1.10)に代入すると，(1.10)に対する可解

条件が導かれる：高次の方程式 (n = 3, 4, · · ·) に対する可解条件は，∫

Texp(iωt)Nn dt0 = 0,

∫

Texp(−iωt)Nn dt0 = 0 (1.13a, b)

となる．(さらに，高次の可解条件を求め，それから解を求める手続きを繰り返せばよ

いが，詳細は略す．)

以上に述べた位相面解析と微分展開法を個別の方程式に適用する．

2 Duffing方程式

質点と非線形硬性バネの系の代表的なモデルであるDuffing方程式は，u ≡ u(t) を

バネの変位 (バネの平衡位置からの変位)として，次式で与えられる：

d2u

dt2+ ω2

(u + u3

)= 0 (2.1)

左辺第1項は質点の慣性力，第2項は非線形バネの復元力を表す．

(2.1)は，p ≡ du/dt を用いて書き換え，次のように計算される：

d2u

dt2= p

dp

du= −ω2

(u + u3

)→ d

du

[p2

2+ ω2

(u2

2+

u4

4

)]= 0

E =p2

2+ ω2

(u2

2+

u4

4

)=

p20

2+ ω2

(u2

0

2+

u40

4

)= constant

この E は力学的 energyであり，時間によらない定数である．初期値 u0, p0 を与える

と E が決まるから，位相面 (u, p) に軌跡を描くことができる (図1)．

3 Satellite方程式

惑星の万有引力を受けて運動する衛星 (satellite) の運動方程式である．

d2u

dt2+ ω2

(u− u2

)= 0 (3.1)

–107–

108 CHAPTER 13. 摂動法について (II)

(3.1)は，p ≡ du/dt を用いて書き換えると，

d

du

[p2

2+ ω2

(u2

2− u3

3

)]= 0

E =p2

2+ ω2

(u2

2− u3

3

)=

p20

2+ ω2

(u2

0

2− u3

0

3

)= constant

を得る．

4 Rayleigh方程式

物体 (質点)の運動方程式であり，右辺は物体との接触面が移動することに起因す

る摩擦力のモデルである．

d2u

dt2+ ω2u =

du

dt

1− 1

3

(du

dt

)2 (4.1)

5 Van del Pol方程式

van del Pol(1934)が真空管回路の振動について，この形の微分方程式を研究した．

力学系では，この方程式に相当する具体的な問題はないが，(4.1)式を tで微分し，du/dt

を改めて u とおくと，(5.1)式が導かれる．

d2u

dt2+ ω2u =

(1− u2

) du

dt(5.1)

–108–

Chapter 14

摂動法について ( III ) - 周期倍化のモデル解析 -

1 はじめに

ここでは周期倍化 (period doubling) のモデルを考える．「周期倍化」を言い替えれ

ば，「振動数の半減」である．周期 T の振動現象が起きている系において，制御parameter

を動かすと周期倍化が起こることが見いだされて以来，周期倍化は大いに注目される

ようになった．実際，制御parameterを変化させて行くと，周期が 2T になり，4T に

なりといった具合いに倍化 (2n × T , n = 1, 2, 3, · · ·) を繰り返し，chaosになることが

実験的に知られている．理論では logistic modelが有名である．そして，周期倍化は，

chaosに至る素過程の1つとして認知されることになった．

分枝理論の立場からみると，制御parameterを変化させると，基本状態からの1次

分枝により周期 T の振動が起こり，2次分枝 (secondary bifurcation) により倍周期 2T

の振動が起こると考える．また，安定性理論の立場からみると，制御parameterによ

り，基本状態が不安定になり別の状態に移行し，さらに新たな状態に移行すると考え

る．立場が異なると表現も違うし注目点も若干変わるが，対象は同じものである．幸

いにして，計算手法は同じである：多重尺度展開法が多く用いられている．

ここで考えるmodelは，J.B.Grotberg & E.L.Reissの論文 ’Secondary bifurcation

of quasi-periodic solutions can lead to period multiplication’ (SIAM J.Appl.Math.45

(1985)pp.169-174.)に拠っている．それに沿って，「2次分枝過程 (secondary bifurcation)

による周期倍化」を紹介する．

2 モデル方程式

109

110 CHAPTER 14. 摂動法について ( III ) - 周期倍化のモデル解析 -

2自由度の振動系の運動方程式が，質点の変位 u ≡ u(t), v ≡ v(t) (t: 時間)に対す

る非線形連立微分方程式で与えられる：

d2u

dt2+ u + εu3 − λ

du

dt+ ε

(du

dt

)3

− βε (v − u)3 = 0, (2.1)

d2v

dt2+ α2v + εv3 − (λ− λ0)

dv

dt+ ε

(dv

dt

)3

+ βε (v − u)3 = 0 (2.2)

これらの式は，いずれも，無次元で表現されている．左辺第1項が慣性力を表し，第2

項は線形バネによる復元力である：この2つの項を振動系の基本要素と考える．第3項

は非線形硬性バネ，第4項は負の係数を持つ線形damper，第5項は非線形のdamper，

第6項は2つの質点をつなぐ非線形バネの効果を表す：これらの項は，基本要素に対す

る摂動と考えられる．ε は非線形の大きさを表すorder parameterであり，0 < ε ¿ 1

である：(2.1),(2.2)では，ε を用い，u = O(1), v = O(1) と scalingされている．λ は系

の制御parameterである．(2.1)では，λ < 0 ならば系が安定化され，λ > 0 ならば不

安定化されることを意味する：λ = 0 は中立状態である．(2.2)式では，λ < λ0 ならば

安定化，λ > λ0 ならば不安定化されることを意味する．α はdetuning parameterと呼

ばれる．もし α = 1 ならば，(2.2)の基本角振動数が (2.1)のそれと等しくなる．また，

α = 1/3 または α = 3 ならば，3次の非線形項に原因して共振を起こす．ここでは，簡

単のため同調 (tuning)しない場合を考え，α 6= 1/3, 1, 3 とする．β = 0 のとき，2つの

系は独立になる：そのとき，u, v は各々に，Duffing 方程式とRayleigh (van del Pol)

方程式を合成した方程式に従うと考えることができる．

(2.1),(2.2)を解析するに当り，parameterを次のように設定する：

λ = Lε + L2ε2 + O(ε3), λ0 = ε, (2.3a, b)

α = a + bε + O(ε2), β = O(1) (2.3c, d)

ここで，ε ¿ 1 に対し，λ − λ0 = (L − 1)ε ∼ 0 であるから，u, v はほぼ同時に不安

定になる．L (= O(1)) は解の分枝 (bifurcation) parameterを表し，安定・不安定の判

別は L = 0 と L = 1 の値を基準に行われる．L2 は，さらに小さい分枝過程に関与す

る (ここでの議論には L2 の影響は現れない；理論的に扱いが可能であることを示して

いるに過ぎない)．a (= O(1)) はdetuning parameterであり，a 6= 1/3, 1, 3 である．b

(= O(1)) もdetuningを表す：a, b の値は後に議論される．(2.3a-d)の設定は，低次近

似の解が振動解であり，高次の効果によって変化を起こす schemeに沿っている．

order parameter ε を用い時間を多重尺度に変換し，tn ≡ εnt (for n = 0, 1, 2, · · · )

と表すと，微分演算子は次式となる：

d

dt=

∑

n=0

εn ∂

∂tn(2.4)

–110–

2. モデル方程式 111

従属変数 u, v を ε のベキ級数に展開する：

[u, v] =∑

n=0

εn[u(n), v(n)

](2.5)

(u(n) ≡ u(n)(t0, t1, t2, · · ·), v(n) ≡ v(n)(t0, t1, t2, · · ·))．(2.5),(2.4),(2.3a-d)を方程式 (2.1),(2.2)に代入し，ε のベキで各項を整理すると，

O(1), O(ε), · · · の方程式系が得られる．先ず，O(1) の方程式系を解く．

∂2u(0)

∂t20+ u(0) = 0 → u(0) = A exp(it0) + c.c., (2.6a)

∂2v(0)

∂t20+ a2v(0) = 0 → v(0) = B exp(iat0) + c.c. (2.6b)

ここで，A ≡ A(t1, t2, · · ·), B ≡ B(t1, t2, · · ·) は複素振幅であり，c.c. は先立つ表式の複

素共役を表す．解 u(0), v(0) は，2つの質点が各々の固有角振動数で単振動することを

意味する．

次に，O(ε) の方程式系を解く．u(1), v(1) に対する非同次方程式は，

∂2u(1)

∂t20+ u(1) = −2

∂2u(0)

∂t0∂t1− u(0)3 + L

∂u(0)

∂t0−

(∂u(0)

∂t0

)3

+ β(v(0) − u(0)

)3, (2.7a)

∂2v(1)

∂t20+ a2v(1) = −2

∂2v(0)

∂t0∂t1− 2abv(0) − v(0)3 + (L− 1)

∂v(0)

∂t0−

(∂v(0)

∂t0

)3

−β(v(0) − u(0)

)3(2.7b)

であり，これに (2.6a,b)を代入して整理し，a 6= 1/3, 1, 3 について，可解条件を求める

と次式を得る：

2∂A

∂t1− LA + 3A2A∗ − 3i

[(1 + β)A2A∗ + 2βABB∗] = 0, (2.8a)

2∂B

∂t1− (L− 1)B − 2ibB + 3a2B2B∗ − 3i

a

[(1 + β)B2B∗ + 2βAA∗B

]= 0 (2.8b)

これを解くために，複素振幅 A, B を大きさと偏角で表す：

A = r exp(iφ), B = s exp(iψ) (2.9a, b)

(r ≡ r(t1, t2, · · ·), φ ≡ φ(t1, t2, · · ·), s ≡ s(t1, t2, · · ·), ψ ≡ ψ(t1, t2, · · ·))．これを用いて(2.8a,b)を real partと imaginary partに分けて整理すると，次式を得る：

2∂r

∂t1− Lr + 3r3 = 0, 2

∂φ

∂t1= 3(1 + β)r2 + 6βs2, (2.10a, b)

2∂s

∂t1− (L− 1)s + 3a2s3 = 0, (2.10c)

–111–


2∂ψ

∂t1= 2b +

3

a

[(1 + β)s2 + 2βr2

](2.10d)

2つの1階の非線形微分方程式 (2.10a,c)に対する初期値を

r = r0, s = s0 at t1 = 0(r20 6=

L

3, s2

0 6=L− 1

3a2

)(2.11a, b)

とおくと，(2.10a,c)式の解は次のように表される：

r2 =L/3

1−(1− r−2

0 L/3)

exp(−Lt1), (2.12a)

s2 =(L− 1)/(3a2)

1−[1− s−2

0 (L− 1)/(3a2)]exp[−(L− 1)t1]

(2.12b)

(初期値が r20 = L/3，s2

0 = (L − 1)/(3a2) の場合の解は自明である)．(2.12a)から，L

の値により，r2 の漸近値が次のようになることが分かる：

for L < 0, r2 → 0 as t1 →∞, (2.13a)

for L > 0, r2 → L/3 as t1 →∞ (2.13b)

(2.12b)から，L の値により，s2 の漸近値が次のようになることが分かる：

for L < 1, s2 → 0 as t1 →∞, (2.14a)

for L > 1, s2 → L− 1

3a2as t1 →∞ (2.14b)

(2.13),(2.14)は，L < 0 のとき，(2.1),(2.2)式の自明解 (u = 0, v = 0) が安定な解とし

て存在することを表す．0 < L < 1 では u = 0 が不安定になり，u = O(√

L/3) の解

に分枝 (bifurcate)する；このとき，解 v = 0 は安定である．L > 1 になると，v = 0

が不安定になり，v = O(√

(L− 1)/(3a2)) の解に分枝する：これを2次分枝 (secondary

bifurcation) と呼ぶ．また，非線形バネの coupling効果により，u = O(√

L/3) の解の

位相構造 (振動数)が変化することが以下の計算により示される．

(2.10c,d)の解は次式で与えられる：

φ =3

2(1 + β)

∫r2 dt1 + 3β

∫s2 dt1 + constant, (2.15)

ψ = bt1 +3

2a

∫ [(1 + β)s2 + 2βr2

]dt1 + constant (2.16)

(2.15),(2.16)式の constant は t2, · · · の関数である．L の値により，φ と ψ の漸近値は

次のように分類される：

for L < 0 and t1 →∞, φ = constant,(r2 → 0

)(2.17a)

–112–

2. モデル方程式 113

ψ = bt1 + constant(s2 → 0

)(2.17b)

for 0 < L < 1 and t1 →∞, φ = ωt1 + constant,(r2 → L/3

)(2.18a)

ψ = bt1 + βLt1/a + constant(s2 → 0

)(2.18b)

for L < 1 and t1 →∞, φ = Ωt1 + constant,(r2 → L/3

)(2.19a)

ψ = Ft1 + constant(s2 → L− 1

3a2

)(2.19b)

ここに含まれる角振動数 ω, Ω, F は，次式で定義される：

ω ≡ ω(L) =L

2(1 + β), Ω ≡ Ω(L) = ω + β

L− 1

a2, (2.20a, b)

F ≡ F (L) = b +L

aβ +

L− 1

2a3(1 + β) (2.20c)

(2.19a,b)を元の時間 t に戻すと，

t0 + φ = (1 + εΩ)t + constant, (2.21a)

at0 + ψ = (a + εF )t + constant (2.21b)

となるから，u, v の振動周期 Tu, Tv は次式で与えられる：

Tu =2π

1 + εΩ, Tv =

2π

a + εF(2.22a, b)

Tu, Tv は一般には異なり，Tv/Tu が有理数にならない．

これらの周期の比が有理数 (整数 M , N の比)であるとすると，次の関係が成り

立つ：

M(1 + εΩ) = N(a + εF ) (2.23)

これを ε のベキで整理すると，

a =M

N, (但し，a 6= 1/3, 1, 3) (2.24a)

b =MΩ

N− (F − b) =

1

2a3(1 + β)

[(a4 − 1

)L + 1

]− β

a(2.24b)

となる．

しかしながら，現在はどうかと言うと，熱狂から醒め，chaosに対する意見は2つに

分かれつつある．数年前 chaosの研究会に参加したところ，将来もこの研究会を続ける

–113–


べきか否かを議論していた．

O(ε2)

∂2u(1)

∂t20+ u(1) = −2

∂2u(0)

∂t0∂t1+ L

∂u(0)

∂t0−

(∂u(0)

∂t0

)3

− u(0)3 + β(v(0) − u(0)

)3(2.)

∂2v(1)

∂t20+ a2v(1) = −2

∂2v(0)

∂t0∂t1− 2abv(0) + (L− 1)

∂v(0)

∂t0

−(

∂v(0)

∂t0

)3

− v(0)3 − β(v(0) − u(0)

)3(2.)

–114–

Chapter 15

特異摂動法の演習問題工学数理 D4 1993.10.21.

[問題] u ≡ u(t; ε) (u = O(1)，t:時間) の線形同次2階微分方程式：

d2u

dt2+ 2εω

du

dt+ ω2u = 0 (ω = O(1)) (1.1)

を，減衰係数 ε が小さいこと (0 < ε ¿ 1) を用いて，多重尺度の方法で解け．

[解答例] (1.1)式の左辺第2項の微小parameter ε を考慮して，時間を多重尺度に変

換する：

tn ≡ εnt for n = 0, 1, 2, 3, · · · (1.2)

これにより，時間微分の演算子は

d

dt=

∑

n=0

εn ∂

∂tn(1.3)

となる．また，従属変数 u(t; ε) を ε のベキ級数に展開する：

u(t; ε) =∑

n=0

εnu(n)(u(n) ≡ u(n)(t0, t1, t2, t3, · · ·)

)(1.4)

(1.3),(1.4)を (1.1)式に代入して，ε のベキで整理すると次式を得る：[∂2u(0)

∂t20+ ω2u(0)

]

+ε

[∂2u(1)

∂t20+ 2

∂2u(0)

∂t0∂t1+ 2ω

∂u(0)

∂t0+ ω2u(1)

]

+ε2

[∂2u(2)

∂t20+ 2

∂2u(1)

∂t0∂t1+

∂2u(0)

∂t21+ 2

∂2u(0)

∂t0∂t2

+2ω∂u(1)

∂t0+ 2ω

∂u(0)

∂t1+ ω2u(2)

]

+ε3

[∂2u(3)

∂t20+ 2

∂2u(2)

∂t0∂t1+

∂2u(1)

∂t21+ 2

∂2u(1)

∂t0∂t2+ 2

∂2u(0)

∂t0∂t3

+2∂2u(0)

∂t1∂t2+ 2ω

∂u(2)

∂t0+ 2ω

∂u(1)

∂t1+ 2ω

∂u(0)

∂t2+ ω2u(3)

]

115

116 CHAPTER 15. 特異摂動法の演習問題

+ · · · = 0 (1.5)

任意の (微小な) ε に対して (1.5)式が成り立つためには，各 [ ] 内がゼロでなければな

らない．よって，u(n) (for n = 0, 1, 2, 3, · · ·) に対する偏微分方程式系を得る．u(0) の方程式を解いて，一般解を求める：

∂2u(0)

∂t20+ ω2u(0) = 0 (1.6)

→ u(0) = A exp(iωt0) + A∗ exp(−iωt0)(i ≡ √−1

)

= A exp(iωt0) + c.c. = AE + c.c. (1.7)

ここで，A ≡ A(t1, t2, t3, · · ·) は複素振幅を表す:(1.6)式を t0 で積分したので，A は

t0 以外の変数の関数である．A∗ は A の複素共役 (complex conjugate) を意味する．

また，c.c. は先立つ表式の複素共役を意味する．これ以降の表現を簡潔にするため，

E ≡ exp(iωt0) と約束する：同様に，E∗ = exp(−iωt0) とする．

u(1) の方程式を解く：先ず，その方程式に (1.7)を代入して整理すると

∂2u(1)

∂t20+ ω2u(1) = −2

∂2u(0)

∂t0∂t1− 2ω

∂u(0)

∂t0

= −2iω

(∂A

∂t1+ ωA

)E + c.c. (1.8)

となる．この式の secular term (永年項) を消去するために E (及び E∗) に比例する項

をゼロとおくと，次の方程式を得る：

∂A

∂t1+ ωA = 0,

∂A∗

∂t1+ ωA∗ = 0 (1.9a, b)

ここで，複素振幅Aを絶対値 α (α ≡ α(t1, t2, t3, · · ·))と位相角 (偏角) ρ (ρ ≡ ρ(t1, t2, t3, · · ·))を用いて

A = α exp(iρ) (1.10)

と表すと，(1.9a)から次式を得る：

∂α

∂t1+ iα

∂ρ

∂t1+ ωα = 0 (1.11)

((1.9b)からは (1.11)の複素共役の式が得られる．) αと ρは実数関数であるから，(1.11)

式の real partと imaginary partを各々に解く：

∂α

∂t1+ ωα = 0 → α = α2(t2, t3, · · ·) exp(−ωt1), (1.12a)

∂ρ

∂t1= 0 → ρ = P (t2, t3, · · ·) (1.12b)

–116–

117

α2(t2, t3, · · ·) と P (t2, t3, · · ·) は，t1 で積分した際に現れる関数であり，t1 のスケール

では変化せず，もっと高次の (ゆっくりした)時間スケールでの摂動の振舞いによって

決まる (即ち，α2 と P の変化は高次の摂動方程式に対する永年項の消去条件によって

決定される)．この結果 ((1.12a,b)) は，弱い減衰効果により，振幅 α が時間と共に減

少することを表す．

(1.9a,b)を考慮して，(1.8)式を整理すると線形同次微分方程式となる：

∂2u(1)

∂t20+ ω2u(1) = 0 (1.13)

これは (1.7)式と同型の一般解を持つ；u(1) = A′E + c.c.．一般には，この一般解を考

慮して解析を進めるべきであるが，今の場合には，u = u(0) + εu(1) + O(ε2) = (A +

εA′)E + c.c. + O(ε2) と表される．故に，(A + εA

′) を改めて A とおいても一般性を失

うことはないから，u(1) = 0 と取ることができる．

u(2) の方程式は，次のようになり，u(1) = 0 と (1.7),(1.10),(1.12a,b)式を用いて整

理される：∂2u(2)

∂t20+ ω2u(2) = −2

∂2u(1)

∂t0∂t1− ∂2u(0)

∂t21− 2

∂2u(0)

∂t0∂t2

−2ω∂u(1)

∂t0− 2ω

∂u(0)

∂t1

→ ∂2u(2)

∂t20+ ω2u(2) = −∂2u(0)

∂t21− 2

∂2u(0)

∂t0∂t2− 2ω

∂u(0)

∂t1

= −(

∂2A

∂t21+ 2iω

∂A

∂t2+ 2ω

∂A

∂t1

)E + c.c.

= −2iω

(∂A

∂t2+

iω

2A

)E + c.c. (1.14)


∂A

∂t2+

iω

2A = 0 → ∂α

∂t2+ iα

∂P

∂t2+

iω

2α = 0 (1.15)

(この複素共役の式も成り立つ)．これの real partと imaginary partを各々に解く：

∂α

∂t2= 0 → α = α2(t3, · · ·) exp(−ωt1), (1.16a)

∂P

∂t2=−ω

2→ P = −ω

2t2 + q(t3, · · ·) (1.16b)

q(t3, · · ·) は t2 で積分した際に現れる関数である．(1.16a,b)は，弱い減衰効果により

phase shiftが起こることを表す．α2 は，t2 のスケールでは変化せず，もっと高次の

(ゆっくりした) 時間スケールでの摂動の振舞いによって決定される．

–117–

118 CHAPTER 15. 特異摂動法の演習問題

(1.15)を考慮し，(1.14)式を整理する：

∂2u(2)

∂t20+ ω2u(2) = 0 (1.17)

これは (1.7)式と同型の一般解を持つから，先と同様な理由により，u(2) = 0 と取る．

u(3) の方程式は次式となり，u(2) = 0, u(1) = 0 を代入して，整理される：

∂2u(3)

∂t20+ ω2u(3) = −2

∂2u(2)

∂t0∂t1− ∂2u(1)

∂t21− 2

∂2u(1)

∂t0∂t2

−2∂2u(0)

∂t0∂t3− 2

∂2u(0)

∂t1∂t2− 2ω

∂u(2)

∂t0− 2ω

∂u(1)

∂t1− 2ω

∂u(0)

∂t2

→ ∂2u(3)

∂t20+ ω2u(3) = −2

∂2u(0)

∂t0∂t3− 2

∂2u(0)

∂t1∂t2− 2ω

∂u(0)

∂t2(1.18)

これに (1.12a,b),(1.10),(1.7)を代入し，整理する：

∂2u(3)

∂t20+ ω2u(3) = −2

∂2u(0)

∂t0∂t3= −2iω

∂A

∂t3E + c.c. (1.19)


∂A

∂t3= 0 (1.20)

(これの複素共役の式も成り立たなければならない)．よって，α, ρ は t3 に依存しない．

この結果，(1.19)は線形同次微分方程式：

∂2u(3)

∂t20+ ω2u(3) = 0 (1.21)

となり，u(3) = 0 とおける．

多重尺度の方法による O(ε3) までの結果を整理する：

u(t; ε) = u(0)(t0, t1, t2, t3) + εu(1)(t0, t1, t2, t3)

+ε2u(2)(t0, t1, t2, t3) + ε3u(3)(t0, t1, t2, t3) + O(ε4)

= AE + c.c + O(ε4)

= α2 exp(iωt0 − ωt1 − iω

2t2 + iq

)+ c.c + O(ε4)

= exp(−ωt1)[A0 sin

(ωt0 − ω

2t2

)+ B0 cos

(ωt0 − ω

2t2

)]

+O(ε4) (1.22)

–118–

119

(A0, B0:実定数)．解 (1.22)を元の時間で表すと，次のようになる：

u(t; ε) = exp(−ωεt)

A0 sin

[ω

(1− ε2

2

)t

]+ B0 cos

[ω

(1− ε2

2

)t

]

+O(ε4) (1.23)

これが多重尺度の方法で得られた方程式 (1.1)の近似解である．

定数係数の線形同次2階微分方程式 (1.1)の解を u ∝ exp(λt) (λ :複素定数) とおい

て，λ の特性方程式：

λ2 + 2εωλ + ω2 = 0 (1.24)

を得る．この解は

λ = −εω ± iω√

1− ε2 (1.25)

であるから，一般解 u は次式となる：

u(t) = exp(−εωt)[A0 sin

(ω√

1− ε2 t)

+ B0 cos(ω√

1− ε2 t)]

(1.26)

(A0, B0:実定数)．これは (1.1)式の厳密解である．ε2 が十分小さい場合，

√1− ε2 = 1− ε2

2− ε4

8− ε6

16+ O(ε8) (1.27)

となるから，O(ε2) まで取ると，解 (1.26)は次式 (即ち，(1.23)式) で近似される：

u(t) = exp(−εωt)

A0 sin

[ω

(1− ε2

2

)t

]+ B0 cos

[ω

(1− ε2

2

)t

]

この近似解に含まれる項は，εt が十分小さい場合には，

exp(−εωt) = 1− εωt +1

2(εωt)2 − 1

6(εωt)3 + O(t4ε4),

sin

[ω

(1− ε2

2

)t

]= sin(ωt) cos

(ε2

2ωt

)− cos(ωt) sin

(ε2

2ωt

),

cos

[ω

(1− ε2

2

)t

]= cos(ωt) cos

(ε2

2ωt

)+ sin(ωt) sin

(ε2

2ωt

),

sin

(ε2

2ωt

)=

ε2

2ωt− 1

6

(ε2

2ωt

)3

+ O(t5ε10),

cos

(ε2

2ωt

)= 1− 1

2

(ε2

2ωt

)2

+ O(t4ε8)

と展開される．もし straightforward expansionを用いて (1.1)式を解いたならば，解

(1.26)に含まれる全ての項を ε のベキで展開したものが得られ，解の適用範囲は著し

く狭められる．厳密解 (1.26)と比較すれば，ε ¿ 1 の条件下で，多重尺度の方法で得

られた解 (1.23)は十分良い近似と成っていることが分かる．

–119–

Chapter 16

非線形振動(問題の解答例)

1993.12.21./’94.8.4.

問題1. 固定点につながれた非線形バネの先端に質量 m の質点が取り付けられて

いる．質点が自由振動するとき，質点の変位 x ≡ x(t) (t:時間) は次の非線形常微分方

程式 (質点の運動方程式)に従う：

md2x

dt2+ k

(x + βx3

)= 0 (1.1)

k, β は定数である．β = 0 の場合は線形バネであり，β > 0 の場合は非線形硬化バネ，

β < 0 の場合は非線形軟化バネである．初期条件 (x = x0, dx/dt = 0 at t = 0) の下で，

質点の振動を解析する．

方程式 (1.1)の両辺に dx/dtを掛け，tで積分して力学的 energy E の保存則を得る：

m

2

(dx

dt

)2

+ k

(x2

2+ β

x4

4

)= constant ≡ E (1.2)

初期値 (x = x0, dx/dt = 0 at t = 0) を用いて，E は

E = k

(x2

0

2+ β

x40

4

)(1.3)

と表されるから，(1.2)式は次のように書き換えられる：

m

2

(dx

dt

)2

= k

(x2

0

2+ β

x40

4

)− k

(x2

2+ β

x4

4

)=

k

2

(x2

0 − x2) [

1 +β

2

(x2

0 + x2)]

(1.4)

運動 energy ((1.4)式の左辺) は非負であるから，β > 0 の場合 (x20 − x2) ≥ 0 となる．

β < 0 の場合 (1 + βx2) ≥ 0 (且つ，1 + βx20 ≥ 0) の範囲でのみ振動が起こる．

表式を整理するため y = x/x0 (y2 ≤ 1) とおくと，(1.4)は次式となる：

(dy

dt

)2

=k

m

(1− y2

) [1 +

β

2x2

0

(1 + y2

)](1.5)

(1.5)式の解は，(i) β > 0 の場合と (ii) β < 0 の場合に分けて求められる．

120

121

(i) β > 0 の場合方程式 (1.5)を整理するため，ζ, Ω を次式で定義する：

ζ ≡√√√√ βx2

0

2 (1 + βx20)

, Ω ≡√

k

m(1 + βx2

0) (1.6a, b)

但し，ζ2 ≤ 1/2 である．(1.6a,b)を用いて，(1.5)式は次のように表される：

(dy

dt

)2

= Ω2(1− y2

) (1− ζ2 + ζ2y2

)(1.7)

(1.7)式を書き換えて，不定積分する：

∫ y dy√(1− y2) (1− ζ2 + ζ2y2)

= ±∫ t

Ω dt + constant = ±Ωt + constant (1.8)

(1.8)式に含まれる constantは初期値を用いて決めることができる．(1.7)式の右辺は

y = 0 のとき最大値を取る．その時間を t1 とし，0 ≤ t ≤ t1 では 0 ≤ y ≤ 1, dy/dt ≤ 0

であるから，(1.8)式より，次式を得る：

∫ y

1

dy√(1− y2) (1− ζ2 + ζ2y2)

= −∫ t

0Ω dt = −Ωt

→∫ 1

y

dy√(1− y2) (1− ζ2 + ζ2y2)

= Ωt (1.9)

これは第1種楕円積分であり，その逆関数がJacobiの楕円関数：

y = cn(Ωt) (1.10)

である；この cn(Ωt)はクノイダル関数 (cnoidal function)と呼ばれる．cn(Ωt)は −1 ≤y ≤ 1 の範囲の振動を記述するから，(1.9)式を導く際に用いた制限 (0 ≤ y ≤ 1) を除

くことができる．即ち，0 ≤ t, −1 ≤ y ≤ 1 の範囲で，解は (1.10)で与えられる．

(1.10)式により，y = 0 のとき cn(Ωt1) = 0 と表され，質点の振動周期 T = 4t1 は

次式となる：

T =4

Ω

∫ 1

0

dy√(1− y2) (1− ζ2 + ζ2y2)

=4

ΩK(ζ) (1.11)

但し，K(ζ) は，第1種完全楕円積分である：

∫ 1

0

dy√(1− y2) (1− ζ2 + ζ2y2)

=∫ π/2

0

cos θ dθ√(1− sin2 θ

) (1− ζ2 + ζ2 sin2 θ

) (y = sin θ)

=∫ π/2

0

dθ√1− ζ2 cos2 θ

=∫ π/2

0

dθ√1− ζ2 sin2 θ

= K(ζ) (1.12)

–121–

122 CHAPTER 16. 非線形振動

(注) 「楕円積分」については，数学公式 I (岩波書店) 第5章 (p.146)を参照すること．

「完全楕円積分」については，数学公式 I (岩波書店) p.227を参照すること．

(ii) β < 0 の場合 β < 0 であることを明示するために，γ ≡ −β (γ > 0) とおく．

方程式 (1.5)を整理するため，ζ, Ω を次式で定義する：

ζ =

√√√√ γx20

2− γx20

, Ω =

√k

m

(1− γ

2x2

0

)(1.13a, b)

但し，0 ≤ ζ2 ≤ 1 である．(1.13a,b)を用いて，(1.5)式は次のように表される：(

dy

dt

)2

= Ω2(1− y2

) (1− ζ2y2

)(1.14)

y = 0 となる時間を t1 とし，0 ≤ t ≤ t1 では 0 ≤ y ≤ 1, dy/dt ≤ 0 であるから，(1.14)

式を書き換えて，積分する：∫ y

1

dy√(1− y2) (1− ζ2y2)

= −∫ t

0Ω dt = −Ωt

→ Ωt =∫ 1

0

dy√(1− y2) (1− ζ2y2)

−∫ y

0

dy√(1− y2) (1− ζ2y2)

→∫ y

0

dy√(1− y2) (1− ζ2y2)

= K(ζ)− Ωt (1.15)

これは第1種楕円積分であり，その逆関数がJacobiの楕円関数：

y = sn(K(ζ)− Ωt) (1.16)

である．sn(K(ζ)− Ωt) は −1 ≤ y ≤ 1 の範囲の振動を記述するから，(1.15)式を導く

際に用いた制限 (0 ≤ y ≤ 1) を除くことができる．即ち，0 ≤ t, −1 ≤ y ≤ 1 の範囲で，

解は (1.16)で与えられる．sn関数の性質 (sn(X) = −sn(−X), sn(X) =sn(X +4K(ζ)))

と振動の特徴を考慮して，y = sn(K(ζ)− Ωt) = sn(Ωt + K(ζ)) と表される．

振動周期 T は次式となる：

T =4

Ω

∫ 1

0

dy√(1− y2) (1− ζ2y2)

=4

Ω

∫ π/2

0

dθ√1− ζ2 sin2 θ

=4

ΩK(ζ) (1.17)

[注] ζ = 1 の場合を計算する．y = 0 となる時間を t1 と表し，0 ≤ t ≤ t1 では

0 ≤ y ≤ 1, dy/dt ≤ 0 であるから，(1.14)式を書き換えて，積分する：∫ y

1

dy

1− y2= −

∫ t

0Ω dt = −Ωt (1.18)

∫ y dy

1− y2=

∫ z dz

cosh2 z(1− tanh2 z

) = z

–122–

123

→ y = tanh z + constant = − tanh(Ωt) + constant (1.19)

よって，Ωt1 = ∞ (周期が無限大)であり，解は y = 1− tanh(Ωt) となる．

ζ = 0 のとき，K(0) = π/2 であるから，y = [sn(K(0)− Ωt)]ζ=0 = cos(Ωt) を得

る．

多重尺度展開法による近似解

表式を整理するため，ω ≡√

k/m とおく．|β| ¿ 1 であることを明示するため

β = εσ(ε = O(β), 0 < ε ¿ 1, |σ| = O(1)) とし，(1.1)式は次のように表される：

d2x

dt2+ ω2

(x + εσx3

)= 0 (1.20)

「弱い非線形性」を考慮し，時間を多重尺度で表す：

tn ≡ εnt for n = 0, 1, 2, · · · (1.21)

これにより，時間微分の演算子は次のようになる：

d

dt=

∑

n=0

εn ∂

∂tn(1.22)

従属変数 x(t) を ε のベキ級数に展開する：

x(t) =∑

n=0

εnxn (1.23)

但し，xn (for n =0,1,2, · · ·)は，t0, t1, t2, · · ·の関数である．(1.21)-(1.23)により，(1.20)

式は次のようになる：

d2x

dt2+ ω2

(x + εσx3

)=

∂2x0

∂t20+ ε

(∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1

)

+ε2

(∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21

)+ · · ·

+ω2(x0 + εx1 + ε2x2 + · · ·

)+ εω2σ (x0 + εx1 + · · ·)3

=∂2x0

∂t20+ ω2x0 + ε

[∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1+ ω2

(x1 + σx3

0

)]

+ε2

[∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21+ ω2

(x2 + 3σx2

0x1

)]

+ · · · = 0 (1.24)

(1.24)式により，O(ε0) の方程式は次式 (線形同次微分方程式)であり，一般解 x0

が求められる：

∂2x0

∂t20+ ω2x0 = 0 → x0 = A exp(iωt0) + A∗ exp(−iωt0)

–123–


→ x0 = A exp(iωt0) + c.c. = AE + c.c. (1.25)

但し，複素振幅 A は t1, t2, · · · の関数であり，肩に付けた ∗ 印は複素共役を表す；c.c.

は，先立つ表式の複素共役を意味する；E = exp(iωt0) である．

O(ε) の方程式は次式 (x1 の線形非同次微分方程式) である：

∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1+ ω2

(x1 + σx3

0

)= 0

→ ∂2x1

∂t20+ ω2x1 = −2

∂2x0

∂t0∂t1− ω2σx3

0

= −2iω∂A

∂t1E − ω2σ

(A3E3 + 3A2A∗E

)+ c.c. (1.26)

右辺の永年項を除去するためには，次の微分方程式が成り立てばよい：

∂A

∂t1=

3iω

2σA2A∗,

∂A∗

∂t1= −3iω

2σA∗2A (1.27a, b)

複素振幅を A = α exp(iρ) (α ≡ α(t1, t2, t3, · · ·), ρ ≡ ρ(t1, t2, t3, · · ·)) とおいて，実部と虚部について計算する：

∂α

∂t1+ iα

∂ρ

∂t1=

3iω

2σα3 (1.28)

∂α

∂t1= 0 → α = α2(t2, t3, · · ·), (1.29a)

∂ρ

∂t1=

3ω

2σα2 → ρ =

3ω

2σα2t1 + q (1.29b)

但し，q ≡ q(t2, t3, · · ·) である；α と q は，高次の摂動方程式を解析して決定される．

(1.29a,b)式から，弱い非線形性により，質点の振動は位相ズレ (phase shift) を起こす

ことが分かる．

(1.27a,b)式を考慮して，(1.26)式を整理し，非同次解 x1 が求められる：

∂2x1

∂t20+ ω2x1 = −ω2σ

(A3E3 + c.c.

)

→ x1 =σ

8

(A3E3 + c.c.

)(1.30)

ここでは，必要がないので，同次解を無視して解析する．

O(ε2) の方程式は次式 (x2 の線形非同次微分方程式) である：

∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21+ ω2

(x2 + 3σx2

0x1

)= 0

→ ∂2x2

∂t20+ ω2x2 = −2

∂2x1

∂t0∂t1− 2

∂2x0

∂t0∂t2− ∂2x0

∂t21− 3ω2σx2

0x1

–124–

125

= −3iω

4σ

∂A3

∂t1E3 − 2iω

∂A

∂t2E − ∂2A

∂t21E

−3ω2σ2

8

(A5E5 + 2A4A∗E3 + A3A∗2E

)+ c.c. (1.31)

右辺の永年項を除去するためには，複素振幅 A = α exp(iρ) に対し次の微分方程式が

成り立てばよい：

2iω∂A

∂t2+

∂2A

∂t21+

3ω2σ2

8A3A∗2 = 0

→ 2iω

(∂α

∂t2+ iα

∂q

∂t2

)−

(3ω

2σα2

)2

α +3ω2σ2

8α5 = 0 (1.32)

これを実部と虚部に分けて解く：

∂α

∂t2= 0 → α = constant, (1.33a)

2ω∂q

∂t2= −

(3ω

2σα2

)2

+3ω2σ2

8α4 = −15

8ω2σ2α4

→ q = −15

16ωσ2α4t2 + φ (1.33b)

(1.33a)式の constantは，α が t3, · · · の関数であることを表す．(1.33b)の φ は t3, · · ·の関数である．

(1.32)式を考慮して (1.31)式を整理し，非同次解 x2 が求められる：

∂2x2

∂t20+ ω2x2 = −3iω

4σ

∂A3

∂t1E3 − 3ω2σ2

8

(A5E5 + 2A4A∗E3

)+ c.c.

= −3ω2σ2

8

(A5E5 − 7A4A∗E3

)+ c.c.

→ x2 =σ2

64

(A5E5 − 21A4A∗E3

)+ c.c. (1.34)

以上の計算結果をまとめると，解 x(t) は次のように表される：

x = AE +εσ

8A3E3 + ε2σ2

64

(A5E5 − 21A4A∗E3

)+ c.c. + O(ε3) (1.35)

但し，AE は次式である：

AE = α exp(iωt0 + i

3ω

2σα2t1 − 15iω

16σ2α4t2 + iφ

)

= α exp[iωt

(1 + ε

3

2σα2 − ε2 15

16σ2α4

)+ iφ

](1.36)

故に，O(ε2) までを考慮して，質点の振動周期 T は次式で与えられる：

T =2π

ω

(1 + ε

3

2σα2 − ε2 15

16σ2α4

)−1

(1.37)

–125–


[補題] 運動方程式 (1.1)を与えるLagrange関数 £ は，次のように表される：

£ =m

2

(dx

dt

)2

− k

(x2

2+ β

x4

4

)(1.38)

時間 tA ≤ t ≤ tB (tB ≡ tA + T ) において，作用 S は次式で与えられる：

S =∫ tB

tA£ dt (1.39)

(1.35)-(1.37)を用いて，S が最小値を取ることを確かめよ．

問題2 質点 · ダンパ · 非線形バネから成る系に外力が働く場合の運動方程式

md2x

dt2+ c

dx

dt+ k

(x + βx3

)= F0 cos(ωt) (2.1)

(質点の変位 x ≡ x(t), t:時間) を解析する．ここでは，質点 (質量 m) · 線形バネ (バネ

定数 k；β = 0) から成る線形系を「基本系」と考え，基本系を背景にダンパ (ダンパ係

数 c)，バネの非線形効果 (kβx3; β > 0 または β < 0)，外力 (F0 cos(ωt), F0:外力の振

幅 (一定値), ω:角振動数) を補正項と考える．また，ω が一定値の場合と時間的にゆっ

くり変化する場合を扱う．

線形系 (基本系)に対して用いられる慣用表現に習って，(2.1)式を書き換える：

d2x

dt2+ 2ζωn

dx

dt+ ω2

n

(x + βx3

)=

F0

mcos(ωt) (2.2)

但し，基本系の固有角振動数 ωn と減衰係数 ζ (ζ < 1) は，次式で与えられる：

ωn =

√k

m, ζ =

c

2mωn

(2.3)

基本系 (線形系)の応答特性

線形系の方程式は次式である：

d2x

dt2+ 2ζωn

dx

dt+ ω2

nx =F0

mcos(ωt) (2.4)

(2.4)式の右辺の形から，非同次解 x(t) は，x(t) = ReG exp(iωt) と表される．伝達関数 G は次式となる：

G ≡ G(ω) =F0

k

[1−

(ω

ωn

)2

+ 2iζ(

ω

ωn

)]−1

(2.5)

gain |G| のpeak値は，

|G| = 1

2ζ√

1− ζ2at

ω

ωn

=√

1− 2ζ2 (2.6)

–126–

127

となる．

平均化法

方程式 (2.2)の解 (近似解)が，x(t) = a cos(ωt− φ) (a:振幅, φ:位相角) と表される

ものとする．これを用いて，(2.2)式左辺を計算すると，次の表式を得る：

d2x

dt2+ 2ζωn

dx

dt+ ω2

n

(x + βx3

)=

(ω2

n − ω2)a cos(ωt− φ)

−2ζωnωa sin(ωt− φ) + ω2nβa3 cos3(ωt− φ)

=(ω2

n − ω2)a cos(ωt− φ)− 2ζωnωa sin(ωt− φ)

+ω2nβ

a3

4[cos(3ωt− 3φ) + 3 cos(ωt− φ)] (2.7)

最後の表式には，高調波の振動成分 cos(3ωt− 3φ) が含まれている．

一方，(2.2)式右辺は

F0

mcos(ωt) =

F0

m[cos(ωt− φ) cos φ− sin(ωt− φ) sin φ] (2.8)

と表される．(2.7),(2.8)式に cos(ωt− φ) を掛けて，1周期 (周期:T = 2π/ω) にわたり

積分し，結果を等置すると次式を得る：

(ω2

n − ω2)a + ω2

nβ3a3

4=

F0

mcos φ (2.9)

また，(2.7),(2.8)式に sin(ωt − φ) を掛けて，1周期にわたり積分し，結果を等置する

と次式を得る：

2ζωnωa =F0

msin φ (2.10)

sin2 φ + cos2 φ = 1 であるから，(2.9),(2.10)より，a と ω の関係式が得られる：[(

ω2n − ω2

)a + ω2

nβ3a3

4

]2

+ (2ζωnωa)2 =(

F0

m

)2

→ 1− ω2

ω2n

+ β3a2

4= 2ζ2 ±

√√√√(2ζ2)2 +(

F0

ka

)2

− 4ζ2

(1 + β

3a2

4

)

→ ω2

ω2n

= 1 + β3a2

4− 2ζ2 ±

√√√√(2ζ2)2 +(

F0

ka

)2

− 4ζ2

(1 + β

3a2

4

)

→ ω

ωn

=

√√√√√1 + β3a2

4− 2ζ2 ±

√√√√(2ζ2)2 +(

F0

ka

)2

− 4ζ2

(1 + β

3a2

4

)(2.11)

この表式は，ω/ωn が実数解を持つ場合にのみ有意である．また，この解が安定か否か

は，微小撹乱を加えたときの撹乱の振る舞いによって判定される．

–127–


多重尺度展開法による近似解 (i)

先ず，減衰係数 ζ，非線形parameter β，外力の振幅 F0 が小さい場合を考える．こ

れらの値の小ささを表すparameterを ε (ε ¿ 1) とし，次のように置き換える：

ζ = εξ, β = εσ,F0

m= εb (2.12a, b, c)

また，外力の角振動数 ω が固有角振動数 ωn に近い値であるとし，ωn を

ωn = ω + εΩ1 + ε2Ω2 + · · · (2.13)

と表す；この発想はLindstedt-Poincareの方法に基づいている．(2.13),(2.12a-c)を (2.2)

式に代入し，問題1に習って，多重尺度展開法を適用する：

d2x

dt2+ 2εξωn

dx

dt+ ω2

n

(x + εσx3

)=

∂2x0

∂t20+ ω2x0

+ε

[∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1+ 2ξω

∂x0

∂t0+ ω2

(x1 + σx3

0

)+ 2ωΩ1x0

]

+ε2

[∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21+ 2ξω

(∂x1

∂t0+

∂x0

∂t1

)

+2ξΩ1∂x0

∂t0+ ω2

(x2 + 3σx2

0x1

)+ 2ωΩ1

(x1 + σx3

0

)+

(2ωΩ2 + Ω2

1

)x0

]+ · · ·

= εb cos(ωt0) (2.14)

(2.14)式により，O(ε0) の方程式は次式であり，解が求められる：

∂2x0

∂t20+ ω2x0 = 0 → x0 = A exp(iωt0) + A∗ exp(−iωt0)

→ x0 = A exp(iωt0) + c.c. = AE + c.c. (2.15)


は，先立つ表式の複素共役を意味する；E = exp(iωt0) である．

O(ε) の方程式は次式である：

∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1+ 2ξω

∂x0

∂t0+ ω2

(x1 + σx3

0

)+ 2ωΩ1x0 = b cos(ωt0)

→ ∂2x1

∂t20+ ω2x1 = −2

∂2x0

∂t0∂t1− 2ξω

∂x0

∂t0− ω2σx3

0 − 2ωΩ1x0 + b cos(ωt0)

= −2

(iω

∂A

∂t1E + iξω2AE

)− ω2σ

(A3E3 + 3A2A∗E

)

–128–

129

−2ωΩ1AE +b

2exp(iωt0) + c.c. (2.16)


∂A

∂t1+ ξωA− 3iω

2σA2A∗ − iΩ1A +

ib

4ω= 0 (2.17)

複素振幅を A = α exp(iρ) (α ≡ α(t1, t2, t3, · · ·), ρ ≡ ρ(t1, t2, t3, · · ·)) とおいて，(2.17)


∂α

∂t1+ iα

∂ρ

∂t1+ ξωα− 3iω

2σα3 − iΩ1α +

ib

4ωexp(−iρ) = 0

これを実部と虚部に分ける：

∂α

∂t1+ ξωα = − b

4ωsin ρ, (2.18a)

∂ρ

∂t1=

3ω

2σα2 + Ω1 − b

4ωαcos ρ (2.18b)

(2.18a,b)は，α と ρ の連立微分方程式である．その平衡解 α0 と ρ0 は，次の連立方程

式を満たす：

ξω = −b sin ρ0

4ωα0

,3ω

2σα2

0 + Ω1 =b cos ρ0

4ωα0

(2.19a, b)

これにより，sin2 ρ0 + cos2 ρ0 = 1 であるから，α0 と Ω1 の関係式を得る：

(3ω

2σα2

0 + Ω1

)2

+ (ξω)2 =

(b

4ωα0

)2

→ Ω1 +3ω

2σα2

0 = ±√√√√

(b

4ωα0

)2

− (ξω)2 (2.20)

これに ωn = ω + εΩ1 + O(ε2) を代入し，(2.12a,b,c)式を用いると，

ω

ωn

= 1 +3β

2α2

0 ±√√√√

(F0

4kα0

)2

− ζ2 + O(ε) (2.21)

解 (2.21)は，a = 2α0 とおくと，条件 (2.12a,b,c)の下での (2.11)の近似解になっている


位相 ρ0 は次式を満たす：

tan ρ0 = −ξω/(

3ω

2σα2

0 + Ω1

)= −ζω/

(3ω

2βα2

0 + ωn − ω)

+ O(ε) (2.22)

平衡解に撹乱 αd, ρd (αd ≡ αd(t1), ρd ≡ ρd(t1)) を重ね合わせる：

α = α0 + αd, ρ = ρ0 + ρd (2.23a, b)

–129–


これを (2.18a,b)式に代入し，撹乱について線形化する：

∂αd

∂t1+ ξω(α0 + αd) = − b

4ωsin(ρ0 + ρd)

→ ∂αd

∂t1+ ξωαd = − b

4ωρd cos ρ0, (2.24a)

∂ρd

∂t1=

3ω

2σ(α0 + αd)

2 + Ω1 − b cos(ρ0 + ρd)

4ω(α0 + αd)

→ ∂ρd

∂t1= 3ωσα0αd +

b sin ρ0

4ωα0

ρd +b cos ρ0

4ωα20

αd (2.24b)

この連立方程式の解を αd, ρd ∝ exp(λt1) とおくと，(2.24a,b)から次式を得る：

(λ + ξω)αd +b

4ωρd cos ρ0 = 0, (2.25a)

(3ωσα0 +

b cos ρ0

4ωα20

)αd +

(−λ +

b sin ρ0

4ωα0

)ρd = 0 (2.25b)

平衡解の方程式 (2.19a,b)を用いて，(2.25a,b)を整理する．その係数行列式より λ の特

性方程式を得る：

(λ + ξω)2 +b cos ρ0

4ωα0

(3ωσα2

0 +b cos ρ0

4ωα0

)= 0 (2.26)

よって，解 λ は次式で与えられる：

λ = −ξω ± i

√√√√b cos ρ0

4ωα0

(3ωσα2

0 +b cos ρ0

4ωα0

)(2.27)

q ≡ q(t2, t3, · · ·)∂2x1

∂t20+ ω2x1 = −ω2σ

(A3E3 + c.c.

)

→ x1 =ω2

8σ

(A3E3 + c.c.

)(1.30)

O(ε2) の方程式は次式である：

∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21+ ω2

(x2 + 3σx2

0x1

)= 0

→ ∂2x2

∂t20+ ω2x2 = −2

∂2x1

∂t0∂t1− 2

∂2x0

∂t0∂t2− ∂2x0

∂t21− 3ω2σx2

0x1

= −6iω∂A3

∂t1E3 − 2iω

∂A

∂t2E − ∂2A

∂t21E − 3ω2σ

8

(A2E2 + 2AA∗ + A∗2E∗2) A3E3 + c.c.

= −6iω∂A3

∂t1E3−2iω

∂A

∂t2E−∂2A

∂t21E−3ω2σ

8

(A5E5 + 2A4A∗E3 + A3A∗2E

)+c.c. (1.31)

–130–

131

多重尺度展開法による近似解 (ii)

ここでは，減衰係数 ζ は O(1)とし，外力の振幅を F0/m = bと表し，b = O(1)と

取る．そして，非線形parameter β が小さい場合を考える．その小ささを表すparameter

を ε (ε ¿ 1) とし，次のように置き換える：

β = εσ, (2.12a, b, c)

これを (2.2)式に代入し，問題1に習って，多重尺度展開法を適用する：

d2x

dt2+ 2ζωn

dx

dt+ ω2

n

(x + εσx3

)=

∂2x0

∂t20+ 2ζωn

∂x0

∂t0+ ω2

nx0

+ε

[∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1+ 2ζωn

(∂x1

∂t0+

∂x0

∂t1

)+ ω2

n

(x1 + σx3

0

)]

+ε2

[∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21

+2ζωn

(∂x2

∂t0+

∂x1

∂t1+

∂x0

∂t2

)+ ω2

n

(x2 + 3σx2

0x1

)]

+ · · · = b cos(ωt0) (2.14)

(2.14)式により，O(ε0) の方程式は次式であり，解が求められる：

∂2x0

∂t20+ 2ζωn

∂x0

∂t0+ ω2

nx0 = bRe exp(iωt0)

→ x0 = A exp(iωt0) + A∗ exp(−iωt0)

→ x0 = A exp(iωt0) + c.c. = AE + c.c. (2.15)

但し，複素振幅 A = b/ (ω2n − ω2 + 2iζωnω) は t1, t2, · · · の関数であり，肩に付けた ∗

印は複素共役を表す；c.c. は，先立つ表式の複素共役を意味する；E = exp(iωt0) で

ある．


∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1+ 2ζωn

(∂x1

∂t0+

∂x0

∂t1

)+ ω2

n

(x1 + σx3

0

)= 0

→ ∂2x1

∂t20+ 2ζωn

∂x1

∂t0+ ω2

nx1 = −2∂2x0

∂t0∂t1− 2ζωn

∂x0

∂t1− ω2

nσx30

= −2

(iω

∂A

∂t1E + iξω2AE

)− ω2σ

(A3E3 + 3A2A∗E

)

−2ωΩ1AE +b

2exp(iωt0) + c.c. (2.16)

–131–



∂A

∂t1+ ξωA− 3iω

2σA2A∗ − iΩ1A +

ib

4ω= 0 (2.17)

複素振幅を A = α exp(iρ) (α ≡ α(t1, t2, t3, · · ·), ρ ≡ ρ(t1, t2, t3, · · ·)) とおいて，(2.17)


∂α

∂t1+ iα

∂ρ

∂t1+ ξωα− 3iω

2σα3 − iΩ1α +

ib

4ωexp(−iρ) = 0

これを実部と虚部に分ける：

∂α

∂t1+ ξωα = − b

4ωsin ρ (2.18a)

∂ρ

∂t1=

3ω

2σα2 + Ω1 − b

4ωαcos ρ (2.18b)

(2.18a,b)は，α と ρ の連立微分方程式である．その平衡解 α0 と ρ0 は，次の連立方程

式を満たす：

ξω = −b sin ρ0

4ωα0

,3ω

2σα2

0 + Ω1 =b cos ρ0

4ωα0

(2.19a, b)

これにより，sin2 ρ0 + cos2 ρ0 = 1 であるから，α0 と Ω1 の関係式を得る：

(3ω

2σα2

0 + Ω1

)2

+ (ξω)2 =

(b

4ωα0

)2

→ Ω1 +3ω

2σα2

0 = ±√√√√

(b

4ωα0

)2

− (ξω)2 (2.20)

これに ωn = ω + εΩ1 + O(ε2) を代入し，(2.12a,b,c)式を用いると，

ω

ωn

= 1 +3β

2α2

0 ±√√√√

(F0

4kα0

)2

− ζ2 + O(ε) (2.21)

解 (2.21)は，a = 2α0 とおくと，条件 (2.12a,b,c)の下での (2.11)の近似解になっている


位相 ρ0 は次式を満たす：

tan ρ0 = −ξω/(

3ω

2σα2

0 + Ω1

)= −ζω/

(3ω

2βα2

0 + ωn − ω)

+ O(ε) (2.22)

平衡解に撹乱 αd, ρd (αd ≡ αd(t1), ρd ≡ ρd(t1)) を重ね合わせる：

α = α0 + αd, ρ = ρ0 + ρd (2.23a, b)

これを (2.18a,b)式に代入し，撹乱について線形化する：

∂αd

∂t1+ ξω(α0 + αd) = − b

4ωsin(ρ0 + ρd)

–132–

133

→ ∂αd

∂t1+ ξωαd = − b

4ωρd cos ρ0 (2.24a)

∂ρd

∂t1=

3ω

2σ(α0 + αd)

2 + Ω1 − b cos(ρ0 + ρd)

4ω(α0 + αd)

→ ∂ρd

∂t1= 3ωσα0αd +

b sin ρ0

4ωα0

ρd +b cos ρ0

4ωα20

αd (2.24b)

この連立方程式の解を αd, ρd ∝ exp(λt1) とおくと，(2.24a,b)から次式を得る：

(λ + ξω)αd +b

4ωρd cos ρ0 = 0 (2.25a)

(3ωσα0 +

b cos ρ0

4ωα20

)αd +

(−λ +

b sin ρ0

4ωα0

)ρd = 0 (2.25b)

平衡解の方程式 (2.19a,b)を用いて，(2.25a,b)を整理する．その係数行列式より λ の特

性方程式を得る：

(λ + ξω)2 +b cos ρ0

4ωα0

(3ωσα2

0 +b cos ρ0

4ωα0

)= 0 (2.26)

よって，解 λ は次式で与えられる：

λ = −ξω ± i

√√√√b cos ρ0

4ωα0

(3ωσα2

0 +b cos ρ0

4ωα0

)(2.27)

q ≡ q(t2, t3, · · ·)∂2x1

∂t20+ ω2x1 = −ω2σ

(A3E3 + c.c.

)

→ x1 =ω2

8σ

(A3E3 + c.c.

)(1.30)


∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21+ ω2

(x2 + 3σx2

0x1

)= 0

→ ∂2x2

∂t20+ ω2x2 = −2

∂2x1

∂t0∂t1− 2

∂2x0

∂t0∂t2− ∂2x0

∂t21− 3ω2σx2

0x1

= −6iω∂A3

∂t1E3 − 2iω

∂A

∂t2E − ∂2A

∂t21E − 3ω2σ

8

(A2E2 + 2AA∗ + A∗2E∗2) A3E3 + c.c.

= −6iω∂A3

∂t1E3−2iω

∂A

∂t2E−∂2A

∂t21E−3ω2σ

8

(A5E5 + 2A4A∗E3 + A3A∗2E

)+c.c. (1.31)

多重尺度展開法による近似解 (iii)

–133–


ここでは，外力と非線形項によって高調波共振 (higher harmonic resonance) と分

数調波共振 (subharmonic resonance) が起こることを示す．

ζ = εξ, β = εσ,F0

m= b (2.11a, b, c)

d2x

dt2+ 2εξωn

dx

dt+ ω2

n

(x + εσx3

)=

∂2x0

∂t2+ ω2

nx0

+ε

[∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1+ 2ξωn

∂x0

∂t0+ ω2

n

(x1 + σx3

0

)]

+ε2

[∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21+ 2ξωn

(∂x1

∂t0+

∂x0

∂t1

)+ ω2

n

(x2 + 3σx2

0x1

)]

+ · · · = b cos(ωt0) (2.12)

(2.12)式により，O(ε0) の方程式は次式である：

∂2x0

∂t20+ ω2

nx0 = b cos(ωt0)

→ x0 = A exp(iωnt0) + A∗ exp(−iωnt0) +b cos(ωt0)

ω2n − ω2

→ x0 = A exp(iωnt0) + B exp(iωt0) + c.c. = AE + BF + c.c. (2.13)


は，先立つ表式の複素共役を意味する；E = exp(iωnt0), F = exp(iωt0) である．また，

B = b/ [2 (ω2n − ω2)] である．


∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1+ 2ξωn

∂x0

∂t0+ ω2

n

(x1 + σx3

0

)= 0

→ ∂2x1

∂t20+ ω2

nx1 = −2∂2x0

∂t0∂t1− 2ξωn

∂x0

∂t0− ω2

nσx30

= −(

2iωn∂A

∂t1E + 2iξω2

nAE + c.c

)−ω2

nσ[(AE + A∗E∗)3 + 3 (AE + A∗E∗)2 (BF + B∗F ∗)

+3 (AE + A∗E∗) (BF + B∗F ∗)2 + (BF + B∗F ∗)3]

= −2iωn

(∂A

∂t1+ ξωnA

)E − ω2

nσ[A3E3 + 3A2A∗E + 3

(A2E2 + 2AA∗ + A∗2E∗2) BF

+3AE(B2F 2 + 2BB∗ + B∗2F ∗2) + B3F 3 + 3B2B∗F

]+ c.c.

右辺の永年項を除去するためには，次の方程式が成り立てばよい：

∂A

∂t1=

3iω

2σA2A∗ (1.27)

–134–

135

A = α exp(iρ) (α ≡ α(t1, t2, t3, · · ·), ρ ≡ ρ(t1, t2, t3, · · ·)) とおいて，∂α

∂t1+ iα

∂ρ

∂t1=

3iω

2σα3 (1.28)

∂α

∂t1= 0 → α = α2(t2, t3, · · ·) (1.29a)

∂ρ

∂t1=

3ω

2σα2 → ρ =

3ω

2σα2t1 + q (1.29b)

q ≡ q(t2, t3, · · ·)∂2x1

∂t20+ ω2x1 = −ω2σ

(A3E3 + c.c.

)

→ x1 =ω2

8σ

(A3E3 + c.c.

)(1.30)


∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21+ ω2

(x2 + 3σx2

0x1

)= 0

→ ∂2x2

∂t20+ ω2x2 = −2

∂2x1

∂t0∂t1− 2

∂2x0

∂t0∂t2− ∂2x0

∂t21− 3ω2σx2

0x1

= −6iω∂A3

∂t1E3 − 2iω

∂A

∂t2E − ∂2A

∂t21E − 3ω2σ

8

(A2E2 + 2AA∗ + A∗2E∗2) A3E3 + c.c.

= −6iω∂A3

∂t1E3−2iω

∂A

∂t2E−∂2A

∂t21E−3ω2σ

8

(A5E5 + 2A4A∗E3 + A3A∗2E

)+c.c. (1.31)

問題3.

問題4. Van der Pol’s equation は

d2x

dt2− µ

(1− x2

) dx

dt+ x = 0 (µ > 0) (4.1)

である．この方程式の解を位相平面に描くと，その軌跡は limit cycleとなる．以下で

は，(4.1)式を解析する．

µ ¿ 1 の場合，多重尺度展開法を用いて解を求めることができる．µ の値が小さ

いことを明示するために，µ = εν (ε = O(µ), ε ¿ 1, ν = O(1)) とおく．この微小

parameter ε を用い，独立変数 t と従属変数 x(t) を次のように表す：

tn ≡ εnt for n = 0, 1, 2, · · · → d

dt=

∑

n=0

εn ∂

∂tn(4.2)

–135–


x(t) =∑

n=0

εnxn (4.3)

(4.2),(4.3)により，(4.1)式は次のようになる：

d2x

dt2− εν

(1− x2

) dx

dt+ x =

∂2x0

∂t20+ ε

(∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1

)

+ε2

(∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21

)+ · · ·

−εν[1−

(x0 + εx1 + ε2x2 + · · ·

)2] [

∂x0

∂t0+ ε

(∂x1

∂t0+

∂x0

∂t1

)+ · · ·

]

+x0 + εx1 + ε2x2 + · · ·

=∂2x0

∂t20+ x0 + ε

[∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1− ν

(1− x2

0

) ∂x0

∂t0+ x1

]

+ε2

[∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21− ν

(1− x2

0

) (∂x1

∂t0+

∂x0

∂t1

)+ 2νx0x1

∂x0

∂t0+ x2

]

+ · · · = 0 (4.4)

(4.4)式により，O(ε0) の方程式は次式であり，一般解 x0 が求められる：

∂2x0

∂t20+ x0 = 0 → x0 = A exp(it0) + A∗ exp(−it0)

→ x0 = A exp(it0) + c.c. = AE + c.c. (4.5)

ここで用いた記号の意味は，問題1に準じている．


∂2x1

∂t20+ 2

∂2x0

∂t0∂t1− ν

(1− x2

0

) ∂x0

∂t0+ x1 = 0

→ ∂2x1

∂t20+ x1 = −2

∂2x0

∂t0∂t1+ ν

(1− x2

0

) ∂x0

∂t0

= −(

2i∂A

∂t1E + c.c.

)+ ν

(1− A2E2 − 2AA∗ − A∗2E∗2) (iAE + c.c.)

= −i

[2∂A

∂t1− ν(1− AA∗)A

]E − iνA3E3 + c.c. (4.6)

最後の表式中の永年項を除去するためには，次の微分方程式が成り立てばよい：

2∂A

∂t1− ν(1− AA∗)A = 0 (4.7)

複素振幅を A = α exp(iρ) (α ≡ α(t1, t2, t3, · · ·), ρ ≡ ρ(t1, t2, t3, · · ·)) とおいて (4.7)式

を整理し，虚部と実部について計算する：

2∂α

∂t1+ 2iα

∂ρ

∂t1− ν

(1− α2

)α = 0

–136–

137

∂A

∂t1= 0 → ρ = ρ2 (ρ2 ≡ ρ2(t2, t3, · · ·)) (4.8a)

2∂α

∂t1− ν

(1− α2

)α = 0 → 2dα

(1− α2) α= ν dt1

→(

2

α− 1

α− 1− 1

α + 1

)dα = ν dt1

→ Ln

(α2

α2 − 1

)= νt1 + constant

→ α2

α2 − 1= C exp(νt1) (C :積分定数)

→ α2 =1

1− 1/[C exp(νt1)](4.8b)

(4.8b)式の積分定数 C は，一般解 (4.5) (即ち，x = x0 + O(ε) = AE + c.c. + O(ε) =

2α cos(t0 + ρ2) + O(ε)) に初期値を代入して決定できる；C と ρ2 を決定できる．しか

しながら，(4.8b)は，極限 t1 → ∞ で α2 → 1 となることを意味し，初期値に依存し

ない極限値 (α2 = 1) を持つ．この解が位相平面に描く軌跡が limit cycleである．

(4.7)を考慮し (4.6)式の特解を求めよう．

∂2x1

∂t20+ x1 = −iνA3E3 + c.c.

→ x1 =iν

8A3E3 + c.c. (4.9)

以上の結果により，µ = εν が小さいときの (4.1)式の解は次のようになる：

x(t) = x0 + εx1 + O(ε2) = AE + εiν

8A3E3 + c.c. + O(ε2)

= 2α cos(t + ρ2)− µ

4α3 sin(3t + 3ρ2) + O(ε2) (4.10)

但し，α = C exp(µt)/[C exp(µt)− 1] である．

[演習問題] (4.4)式により，O(ε2) の方程式は次のようになる：

∂2x2

∂t20+ 2

∂2x1

∂t0∂t1+ 2

∂2x0

∂t0∂t2+

∂2x0

∂t21− ν

(1− x2

0

) (∂x1

∂t0+

∂x0

∂t1

)

+2νx0x1∂x0

∂t0+ x2 = 0 (4.11)

先の結果を用い，この方程式から複素振幅 A の t2 依存性について論ぜよ．

–137–


[解答例] 先の結果を用い，方程式 (4.11)を整理する：

∂2x2

∂t20+ x2 = −2

∂2x1

∂t0∂t1− 2

∂2x0

∂t0∂t2− ∂2x0

∂t21+ ν

(1− x2

0

) (∂x1

∂t0+

∂x0

∂t1

)− 2νx0x1

∂x0

∂t0

=3ν

4

∂A3

∂t1E3 − 2i

∂A

∂t2E − ∂2A

∂t21E + c.c.

+ν(1− A2E2 − 2AA∗ − A∗2E∗2)

(−3ν

8A3E3 +

∂A

∂t1E + c.c.

)

−2iν(

iν

8A3E3 + c.c.

) (A2E2 − A∗2E∗2) (4.12)

永年項を整理して，次の微分方程式を得る：

2i∂A

∂t2+

∂2A

∂t21− ν

[ν

8A3A∗2 + (1− AA∗)

∂A

∂t1

]= 0 (4.13)

(4.7)式により，次の関係式が導かれる：

∂A

∂t1=

ν

2(1− AA∗)A

∂2A

∂t21=

ν

2

[(1− 2AA∗)

∂A

∂t1− A2∂A∗

∂t1

]

=ν2

4

[(1− 2AA∗)A− A2A∗] (1− AA∗) =

ν2

4A(1− 3AA∗)(1− AA∗)

これを (4.13)式に代入して，A = α exp(iρ2) を用いて整理する：

2i∂A

∂t2+

ν2

8A

(A2A∗2 − 2

)= 0

→ 2i∂α

∂t2− 2α

∂ρ2

∂t2+

ν2

8α

(α4 − 2

)= 0 (4.14)

実部と虚部について解く：

∂α

∂t2= 0 → α(t1, t3, · · ·) (4.15a)

∂ρ2

∂t2=

ν2

16

(α4 − 2

)→ ρ2 =

ν2

16

(α4 − 2

)t2 + ρ3 (4.15b)

但し，ρ3 ≡ ρ3(t3, · · ·) である．(4.15a)は，解 (4.7)には t3, · · · に依存する可能性が残されていることを示したに過ぎない．

–138–

Chapter 17

ラプラス方程式 (Laplace Equation)1993.4.22./5.5./1994.6.10.

1 Introduction

Laplace方程式の imageを明確にするために，関連する事項 (復習事項)を以下に列

挙する．

[準備] 2つの独立変数 (x, y) の関数 φ ≡ φ(x, y) の全微分 (total differential，第1階全

微分) dφ は次のように表される：

dφ =∂φ

∂xdx +

∂φ

∂ydy (1.1)

[準備] 独立変数 (x, y) の関数 P ≡ P (x, y), Q ≡ Q(x, y) を含む次の微分方程式がある：

P dx + Q dy = 0 (1.2)

これが全微分方程式となるための必要十分条件 (P dx + Q dy = dφ = 0 となる φ が

存在し，解が φ = constant と表される条件) は，P と Q が次の関係を満たすことで

ある：∂Q

∂x=

∂P

∂y(1.3)

解 φ = constant が求められたものとし，φ を全微分すると

dφ =∂φ

∂xdx +

∂φ

∂ydy = P dx + Q dy = 0 (1.4)

となる．即ち，次の関係式が成り立つ：

P =∂φ

∂x, Q =

∂φ

∂y(1.5)

この (1.5)は条件 (1.3)を満たしている．

微分方程式 (P dx + Q dy = 0) が全微分方程式となるための条件は，次の関係を

満たすように，ある関数 λ ≡ λ(x, y) を導入できることである：

∂

∂x(λQ) =

∂

∂y(λP ) (1.6)

139

140 CHAPTER 17. ラプラス方程式 (LAPLACE EQUATION)

この λ を積分因数 (integrating factor) という．このとき，λ(P dx + Q dy) = dφ = 0

となる φ が存在し，解は φ = constant となる．解を微分して次式を得る：

dφ =∂φ

∂xdx +

∂φ

∂ydy = λPdx + λQdy = 0 (1.7)

[準備] 2次元デカルト座標系を x = (x, y)と表し，xのvector関数を u ≡ u(x) = (P, Q)

(即ち，u の成分 P ≡ P (x, y), Q ≡ Q(x, y)) と表す．(太文字はvectorを表す．)

微分方程式

u · dx = P dx + Q dy = 0 (1.8)

が全微分方程式となるための必要十分条件 (∂Q/∂x = ∂P/∂y) は，u の回転 (rotation)

が zeroとなることである：

∇× u = (1.9)

with

∇ ≡(

∂

∂x,

∂

∂y

), : zero vector

これを満たすとき，u は rotation freeなvector関数と呼ばれる．(1.9)が成り立つとき，

scalar potential φ ≡ φ(x, y) を導入して，u = ∇φ と表すことができる．それにより，

次式 (全微分方程式)を得る：

u · dx = ∇φ · dx = dφ = 0 (1.10)

[準備] 3次元デカルト座標系を x = (x, y, z)，その基底vectorを e1, e2, e3，xのvector

関数を u ≡ u(x) = (P, Q,R) (即ち，P ≡ P (x, y, z), Q ≡ Q(x, y, z), R ≡ R(x, y, z))

と表す．微分方程式

u · dx = P dx + Q dy + R dz = 0 (1.11)

が全微分方程式となるための条件は，u の回転が zeroとなることである：

∇× u =

(∇ ≡

(∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

))(1.12)

これを成分で表す：

∇× u = e1

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)− e2

(∂R

∂x− ∂P

∂z

)+ e3

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)=

→ ∂R

∂y=

∂Q

∂z,

∂R

∂x=

∂P

∂z,

∂Q

∂x=

∂P

∂y(1.13a, b, c)

これら3つの条件式が成り立つとき，scalar potential φ ≡ φ(x, y, z)を導入して，u = ∇φ

と表すことができる．それにより，次式 (全微分方程式)を得る：

u · dx = ∇φ · dx = dφ = 0 (1.14)

–140–

1. INTRODUCTION 141

積分因数 λ ≡ λ(x, y, z) を用いると，微分方程式

u · dx = P dx + Q dy + R dz = 0

が全微分方程式となるための条件は，次式で表される：

∇× (λu) = (1.15)

これを整理する：

λ∇× u− u×∇λ = (1.16)

この式と u の内積を取ると，λ を含まない表現の条件式を得る：

u · (λ∇× u− u×∇λ) = λu · ∇ × u = 0 → u · ∇ × u = 0 (1.17)

→ P

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)−Q

(∂R

∂x− ∂P

∂z

)+ R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)= 0 (1.17′)

(1.17′)(i.e.,(1.17))は，微分方程式 u · dx = 0 の積分可能条件である．

[補足] 上記の前半は，vector解析の立場から次のように述べることができる．条件

∇ × u = の下で，scalar potential φ を用いて，u = ∇φ と表すことができる．

それは，条件を恒等的に満たすからである：∇ × u = ∇ × ∇φ = ．故に，方程式

u · dx = ∇φ · dx = dφ = 0 は，全微分方程式となる．

[準備] 3次元 (または2次元)のvector関数 u ≡ u(x) = (u1, u2, u3)は，その発散 (diver-

gence)が zero (∇ · u = 0)であるとき，divergence freeなvector関数と呼ばれる．この

u は，vector potential A ≡ A(x) = (A1, A2, A3) を用いて，

u = ∇×A = e1

(∂A3

∂y− ∂A2

∂z

)− e2

(∂A3

∂x− ∂A1

∂z

)+ e3

(∂A2

∂x− ∂A1

∂y

)(1.18)

と与えられる．この A は条件を恒等的に満たす：∇ · u = ∇ · ∇ ×A = 0．

2次元の場合には， x = (x, y, 0), u = (u1, u2, 0), A = (0, 0, A3) となる：

u1 =∂A3

∂y, u2 = −∂A3

∂x

[準備] 3次元のvector関数 u は，その発散 (divergence) と回転 (rotation) が規定され

れば，求めることができる．いま，u の方程式が次式であるとする：

∇× u = , ∇ · u = 0 (1.19a, b)

(1.19a)により，scalar potential φ ≡ φ(x, y, z) を導入して u = ∇φ と表すことができ

る．そして，(1.19b)により，φ が満たすべき方程式はLaplace方程式 (楕円型線形偏微

分方程式, linear elliptic partial differential equation) となる：

∇ · u = ∇ · ∇φ = ∇2φ = 0 → ∇2φ = 0 (1.20)

–141–


演算子 ∇2 をLaplace演算子 (Laplacian) と呼ぶ．

一方，(1.19b)により，vector potential A ≡ A(x) を導入して u = ∇×A と表す

ことができる．(1.19a)に代入して，A の満たすべき方程式が得られる：

∇× u = ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A = (1.21)

これに付加条件 ∇ ·A = 0 を課すと，Laplace方程式となる：

∇2A = (1.22)

Laplace方程式 (1.20)の解 φ と (1.22)の解 A を用いて，(1.19a,b)の一般解 u は次式

のように構成される：

u = ∇φ +∇×A (1.23)

これに含まれる積分定数は，境界条件 (boundary condition) を用いて決定される；解

(1.23)の構成の仕方は，考える問題の性質に依存する．

[準備] 先ず， u の方程式が次式であるとする：

∇× u = , ∇ · u = F (F ≡ F (x, y, z) :既知関数) (1.24a, b)

第1式により，scalar potential φ ≡ φ(x, y, z) を導入して，u = ∇φ と表すことができ

る．第2式に代入して，φ の満たすべき方程式はPoisson方程式となる：

∇ · u = ∇ · ∇φ = ∇2φ = F → ∇2φ = F (1.25)

(1.25)の同次方程式 (F = 0 の場合の方程式) は，Laplaceの方程式である：

∇2φ = 0 (1.26)

(1.25)式の特解 (非同次解)と同次解 ((1.26)の一般解)を重ね合わせて，(1.25)の一般解

が構成される．そこに含まれる積分定数は，境界条件を用いて決定される．

次に，u の方程式が次式であるとする：

∇× u = a, ∇ · u = F (1.27a, b)

(a ≡ a(x), F ≡ F (x): 既知関数；a は ∇ · a = 0 を満たすものとする)．この解 u が

u = ∇φ +∇×A (1.28)

(scalar potential φ ≡ φ(x), vector potential A ≡ A(x)) と表されるものとすると，

(1.27a)式により，次式を得る：

∇× u = ∇× (∇φ +∇×A) = ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A = a

–142–

1. INTRODUCTION 143

→ (付加条件 : ∇ ·A = 0) → ∇2A = −a (1.29)

付加条件の下で，vector potential AはPoisson方程式に従う；その同次方程式はLaplace

方程式である．また，(1.27b)式より，

∇ · u = ∇ · (∇φ +∇×A) = ∇2φ = F → ∇2φ = F (1.30)

となり，scalar potential φ はPoisson方程式に従う．(1.29),(1.30)式の同次解と特解を

各々添え字 h, P を付けて表すと，(1.27a,b)式の一般解は

u = ∇(φh + φP ) +∇× (Ah + AP ) (1.31)

となる．そこに含まれる積分定数は，境界条件を用いて決定される．

[準備] 質点に力 F が働いて，点 P1 (位置vector x1) から点 P2 (位置vector x2 )まで

移動する．移動経路に沿う線素vectorを dx とし，質点に成された仕事 (work) W は，

W =∫ P2

P1

F · dx (1.32)

と表される．仕事は，一般に，質点の移動経路に依存する：仕事は，力の経路積分 (path

integral) である．但し，力 F の移動経路に垂直 (perpendicular) な成分は，仕事をし

ない (仕事に関与しない)．

F が保存力の場合には，potential energy U ≡ U(x) により F = −∇U と表され

るから，仕事 W は

W =∫ P2

P1

F · dx = −∫ P2

P1

∇U · dx = −∫ U(x2)

U(x1)dU(x) = U(x1)− U(x2) (1.33)

となる： ”保存力によって成された仕事” は，質点の移動経路には依存せず，始点 P1

と終点 P2 におけるpotential energyの値の差で表される．

この結果の意味は，2次元以上の空間の場合に明確になる．比較のため，先ず，1

次元の場合を考える．独立変数を x，点 P1 の位置を x1，点 P2 の位置を x2 と表すと，

U ≡ U(x) により，

−∫ P2

P1

∇U · dx = −∫ x2

x1

dU

dxdx = −

∫ U(x2)

U(x1)dU = U(x1)− U(x2)

を得る；これは単純な積分であるから，”保存力による仕事” が経路に依存しないこ

との意味は掴み難い．次に，2次元の場合，独立変数を x = (x, y)，点 P1 の位置を

x1 = (x1, y1)，点 P2 の位置を x2 = (x2, y2) と表すと，U ≡ U(x) である．質点の移動

経路を表現する： x を独立変数，y を従属変数として滑らかな曲線 y = f(x) を取り，

それに対応して，y1 = f(x1), y2 = f(x2) と表す．この経路に沿って積分すると，次式

を得る：

−∫ P2

P1

∇U · dx = −∫ x2

x1

[∂U

∂x+

df

dx

(∂U

∂y

)]dx

–143–


= −∫ U(x2)

U(x1)dU(x, f(x)) = U(x1)− U(x2)

(∂U/∂y) は，U を y で偏微分した後に y = f(x) を代入することを意味する．別の移

動経路 (それを曲線 y = g(x) ；対応して，y1 = g(x1), y2 = g(x2)) に沿って積分して

も，同じ結果を得る：”保存力によって成された仕事”は，質点の移動経路には依存せ

ず，始点 P1 と終点 P2 におけるpotential energyの値の差で表される．3次元の場合も

同様である．以上が (1.33)式の補足説明である．(1.33)の積分をもう少し数学的に観る

と，以下のことが必要になる．

空間の1つの部分 (領域)内で，点 P1 と点 P2 を結ぶある経路 (曲線)を C と表す．

連続曲線 C により P1 と P2 を結ぶことができる場合，その領域は連結領域 (connected

region)であると言う．点 P1 と点 P2 を結ぶ別の経路を C ′ と表す．2つの曲線 C と C ′

を領域内で連続的に変形して一致させることができる場合，C と C ′ は「互いに移し

得る (mutually reconcilable)」と言う．その場合，C と C ′ をつないで作った閉曲線は，

領域内で連続的に変形させて，1点に縮めることができる．このような閉曲線を「縮め

られる (reducible) 閉曲線」と呼ぶ．領域内の任意の閉曲線が全て1点に縮められると

き，領域は単連結 (simply connected) であると言う．

単連結でない領域は，多重連結 (multiply connected)であると言う．その領域に切

れ目 (slit)を1つ入れると単連結にすることができる場合，その領域を2重連結 (doubly

connected) であると言う．一般に，N − 1 個の切れ目を入れると単連結にすることが

できる場合，その領域を N 重連結 (N -ply connected)であると言う．

[準備] 保存力 F = −∇U の向きは，等potential面 (U(x) = constant) に垂直である．

各点 x = (x, y, z) における F = (F1, F2, F3) の向きを連ねた曲線 (力線, line of force)

は，方程式：

dx : dy : dz = F1 : F2 : F3 (1.34)

に従う．即ち，力線の微分方程式は次式となる：

dx

F1

=dy

F2

=dz

F3

(1.35)

簡単のため2次元の場合を考え，F = (F1, F2, 0) (F1 ≡ F1(x, y), F2 ≡ F2(x, y)) と

おくと，(1.35)より次式を得る：

F1dy − F2dx = 0 (1.36)

これが全微分方程式となるためには，F1 と F2 の関係式：

∂F1

∂x= −∂F2

∂y

(即ち，∇ · F =

∂F1

∂x+

∂F2

∂y= 0

)(1.37)

が成り立てばよい．そのとき，F1dy−F2dx = dP = 0 となる P ≡ P (x, y) を導入でき

て，力線の方程式の解は P = constant (曲線の方程式)となる．解 P = constant の全

–144–

1. INTRODUCTION 145

微分から，F1, F2 の表式を得る：

F1 =∂P

∂y, F2 = −∂P

∂x(1.38a, b)

さて，F = (F1, F2, 0) は保存力であるから，potential energy U により F = −∇U

と表される．これと (1.38a,b)を組み合わせると，次式を得る：

F1 =∂P

∂y= −∂U

∂x, F2 = −∂P

∂x= −∂U

∂y(1.39a, b)

これは P と −U のCauchy-Riemannの関係式 (微分方程式)に他ならない；即ち，これ

は，複素変数 Z ≡ x + iy (i ≡ √−1) を導入して複素関数 f ≡ −U + iP を定義すると，

f が Z の解析関数 (正則関数, analytic function) であるための必要十分条件である．

簡単な例を考えよう．質量 m の質点が重力場 (重力加速度を g = 9.80665 [m/sec2]

と表す) で運動する場合，座標 x を水平方向, y を鉛直上方と取ると，U = mgy+

constant となる．これを (1.39b)に代入し x で積分して，P = mgx + C (C ≡ C(y) は

y の任意関数)を得る．この P を (1.39a)に代入すると dC/dy = 0 となるから，解は

P = mgx+ constant である．故に，U = constant は水平面であり，P = constant は

鉛直線である；2つは互いに直交することが分かる．また，f = −U + iP = mgiZ+

complex constant を得る．

[補足] Cauchy-Riemannの関係式 (微分方程式)

複素変数 Z ≡ x + iy の関数 (複素関数)を f ≡ f(Z) = P + iQ とおく；ここでは

実数の範囲での微分と対応させるために，複素関数 f の実部と虚部を，各々，x, y (実

数)の実数関数 P ≡ P (x, y) と Q ≡ Q(x, y) と表す．f の Z に関する微分は，次式で

定義される：

limh→0

f(Z + h)− f(Z)

h=

df

dZ

h → 0 は，h = δx + iδy (δx, δy: 増分) とおくと，√

δx2 + δy2 → 0 を意味する．即ち，

h が x-y 平面のどの方向から点 Z に近づいても，方向に依らない一定の極限値を持ち，

それを df/dZ と表す．故に，h = δx の場合，

df

dZ= lim

h→0

f(Z + h)− f(Z)

h

= limδx→0

P (x + δx, y) + iQ(x + δx, y)− P (x, y)− iQ(x, y)

δx

=∂P

∂x+ i

∂Q

∂x

となる．同様に，h = iδy の場合，次式を得る：

df

dZ= lim

h→0

f(Z + h)− f(Z)

h

–145–


= limδy→0

P (x, y + δy) + iQ(x, y + δy)− P (x, y)− iQ(x, y)

iδy

=1

i

(∂P

∂y+ i

∂Q

∂y

)

両者が一致するためには，次のCauchy-Riemannの関係式が成り立たねばならない：

∂P

∂x=

∂Q

∂y,

∂Q

∂x= −∂P

∂y

Cauchy-Riemannの関係式の成立は，複素関数 f(Z) が微分可能な関数 (解析関数)

であるための必要十分条件である．解析関数は，任意回微分可能である．

[準備] 流体力学では，流体 (水のような液体や空気のような気体の力学的モデル)の運

動を「流れ (流体の流れ, fluid flow)」と呼ぶ．流体の速度は位置 xと時間 tを指定して

測定されるから，その速度vectorは v ≡ v(x, t) と表される．流速 (流体の速度) v に

対して，

∇ · v = 0 (1.40)

が成り立つとき，「流体は縮まない (incompressible)」と言う．縮まない流体 (非圧縮流

体, incompressible fluid)の流速は，vector potential A ≡ A(x, t)を用いて，v = ∇×A

と表される．

流速 v に対して，

∇× v = (1.41)

が成り立つとき，「渦無し流れ (非回転的流れ, irrotational flow)」と言う．この場合，流

れのpotential (scalar potential) φ ≡ φ(x, t) を用いて，v = ∇φ と表される．

縮まない流体の2次元 (x = (x, y, 0)) の渦無し流れに対して，速度 v = (v1, v2, 0),

φ = φ(x, y, t), A = (0, 0, ψ) ( ψ ≡ ψ(x, y, t) を流れ関数 (stream function) と言う) を

用いると，次式を得る：

v1 =∂φ

∂x=

∂ψ

∂y, v2 =

∂φ

∂y= −∂ψ

∂x(1.42a, b)

これは φ と ψ に関するCauchy-Riemannの関係式である．故に，複素変数 Z ≡ x+ iy

(i ≡ √−1 ) を導入して複素関数 (複素速度potential) f ≡ φ + iψ を定義すると，f は

Z の解析関数である．即ち，縮まない流体の2次元の渦無し流れの解析は，流れを記

述する解析関数を見い出す問題に帰着される；逆に，解析関数が与えられると，それ

は縮まない流体の2次元の渦無し流れを表す．

また，曲線 φ = constant と ψ = constant は，互いに直交することが示される．

[準備] 流体力学では，流れを次のように表現する；流れの中に引いた曲線で，その上

の各点での接線がそこでの速度vectorの方向に一致するものを流線 (stream line) と言

–146–

1. INTRODUCTION 147

う．流線の方程式は，座標 x = (x, y, z), 速度 v = (v1, v2, v3) (v ≡ v(x, t)；時間 t は

parameterと考える)を用いて，次式で表される：

dx

v1

=dy

v2

=dz

v3

(1.43)

これは2つの微分方程式である：

v1dy − v2dx = 0, v2dz − v3dy = 0 (1.44a, b)

2つの解曲面 G1(x, y, z) = C1, G2(x, y, z) = C2 (C1, C2 は積分定数)の交線 (曲線)が流

線を表す．2次元流れでは v = (v1, v2, 0), dz = 0 となり，(1.44a)が成り立てばよい．

その解は，先に述べた流れ関数 ψ である：v1dy−v2dx = dψ = 0 → 解ψ = constant．

時間 t に位置 x に在る流体粒子 (fluid particle) は，速度 v ≡ v(x, t) で運動する．

時間 t + dt に位置 x + dx へ動くとすると，微小変位 dx に対し dx = vdt が成り立

つ．これの成分を整理すると，次の方程式を得る：

dx

v1

=dy

v2

=dz

v3

= dt (1.45)

3つの微分方程式：

dx = v1dt, dy = v2dt, dz = v3dt (1.46a, b, c)

の一般解は次式となる：

G1(x, y, z, t) = C1, G2(x, y, z, t) = C2, G3(x, y, z, t) = C3

(C1, C2, C3:積分定数)．これは流体粒子の運動を表す方程式であるから，時間 t を消

去すれば，運動の軌道 (軌跡)が得られる．それを「流れの道筋 (particle path)」と呼

ぶ．定常 (dt = 0) の場合，(1.45)は (1.43)と一致する；定常流では流れの道筋と流線

は一致する．

[準備] 流体力学は「場の力学」と言われる．そこでは，物理量を測る場合，その量の

体積密度 (density) と流束密度 (flux density) を用いる．前者は，単位体積当たりの物

理量を表す；例えば，質量密度 ρ [kg/m3] がある．後者は，単位時間に単位面積を通

過する物理量を表す；例えば，質量流束密度は ρv [kg/m2/sec] (v は流速)となる．

観測座標系から，流れを記述する．流れの中に検査面 (control surface；座標系か

ら観て空間に固定した閉曲面) を取り，表面積を S, 閉曲面が囲む体積を V と表す．V

内の質量は，質量密度 ρ ≡ ρ(x, t) (t:時間)を用いて，次式で表される：∫

V

∫ ∫ρ dV (1.47)

この質量の時間的変化は，質量流束密度 ρv (v ≡ v(x, t)) の表面積分 (単位時間に閉曲

面を横切って出入りする質量)で表される：

∂

∂t

(∫

V

∫ ∫ρ dV

)= −

∫

S

∫ρv · dS (1.48)

–147–


ここでは面積要素vector dS の向きを閉曲面から外向きに取った； v · dS が正の場合

に閉曲面から質量が流出するので，負号をつけた．(1.48)は，質量保存則を表す．

[準備] Gaussの定理 (Gaussの積分定理)：∫

V

∫ ∫∇ · u dV =

∫

S

∫u · dS (1.49)

滑らかな閉曲面 S の囲む体積 V に対して，vector関数 u の発散 (∇ · u) の体積積分

は，u と面積要素vector dS (dS の向きは閉曲面から外向きとする)の内積の積分 (表

面積分)で表される．但し，V は単連結領域 (simply connected region) とする．

[準備] Stokesの定理 (Stokesの積分定理)：∮

Cu · dx =

∫

S

∫(∇× u) · dS (1.50)

閉曲線 C に沿う線素vector dx と u の内積の周積分 (閉じた経路に沿う1周積分)は，

閉曲線が囲む面積 S にわたる ∇× u と面積要素 dS (dS の向きは，閉曲線に沿って

まわるとき右ネジの進む向きとする)の内積の面積分で表される．閉曲線 C 内で u が

特異点 (singular point) を持つ場合には注意を要する．

[補足] デカルト座標系 x = (x, y, z) を用いて，滑らかな曲面の方程式を F ≡ F (x) = 0

と表す．曲面上の点 P : x0 = (x0, y0, z0) (F (x0) = 0) で，F の微分は次式となる：

dF = [Fx]dx + [Fy]dy + [Fz]dz = [∇F ] · dx = 0 (1.51)

下付きの添え字は偏導関数を意味する: Fx = ∂F/∂x , etc.；[· · ·] は点 P での値を表す．

偏微係数 [Fx], [Fy], [Fz]の内の少なくとも1つがnonzeroならば，陰関数定理によって，

曲面の方程式を書き換えることができる．例えば，[Fz] 6= 0 の場合，

dz =−1

[Fz][Fx]dx + [Fy]dy (1.52)

とおける．従って，(1.52)により，点 P の近傍での曲面の方程式を z = f(x, y) と書き

換えることができる (陰関数定理)．確定した z = f(x, y) は，次の関係を満たす：

F (x, y, f(x, y)) = 0, z0 = f(x0, y0) (1.53a, b)

∂z

∂x= −Fx

Fz

,∂z

∂y= −Fy

Fz

(1.53c, d)

(1.51)の3つの偏微係数の内の少なくとも1つがnonzeroならば，以下のことが成

り立つ．点 P における接平面の方程式は，次式となる：

[∇F ] · (x− x0) = 0 (1.54)

(x は接平面上の点を表す)．一方，点 P での法線の方程式は，[∇F ] が法線の向きを

持つから，次式となる：x− x0

[Fx]=

y − y0

[Fy]=

z − z0

[Fz](1.55)

–148–

2. 2次元のLAPLACE方程式 149

((x, y, z) は法線上の点を表す)．また，曲面上 (F (x) = 0 ) の各点 x での単位法線

vector (unit normal vector) n は，次式で定義される：

n ≡ ∇F√∇F · ∇F(1.56)

これを用い，n に直交する2つの接線vectorを定義することができる．

例えば，[Fz] 6= 0 の場合には，局所的な曲面の方程式 z − f(x, y) = 0 の勾配：

∇(z − f(x, y)) = (−fx, −fy, 1) (1.57)

を用いて，n は次式で与えられる：

n =(−fx, −fy, 1)√

1 + f 2x + f 2

y

(1.58)

n に直交する2つの単位接線vectorを s, r とし，s を x-z 平面内に取る：

s =(1, 0, fx)√

1 + f 2x

(1.59)

s と n に直交する単位vector r は，外積を用いて定義される：

r = n× s =(−fxfy, 1 + f 2

x , fy)√1 + f 2

x

√1 + f 2

x + f 2y

(1.60)

(1.57)-(1.60)は，デカルト座標系から観測した物理量を記述するのに便利である．

2 2次元のLaplace方程式

2.1 2次元デカルト座標系のLaplace方程式

2次元デカルト座標系 (x, y) で，potential φ ≡ φ(x, y) に対するLaplace方程式は

次式となる：

∇2φ = ∇ · ∇φ =∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2= 0 (2.1)

これは定数係数の線形2階偏微分方程式であるから，変数分離形の解 φ：

φ(x, y) = f(x) g(y) (f ≡ f(x), g ≡ g(y)) (2.2a)

φ(x, y) = f(x) + g(y) (2.2b)

–149–


を持つ．(2.2a)を (2.1)に代入して整理すると，次式を得る：

1

f

d2f

dx2= −1

g

d2g

dy2= constant = k2 (2.3)

ここでは x のみの関数と y のみの関数を各辺に整理したので，任意の x, y に対して

等号が成り立つためには各々が定数でなければならない；その定数 (任意の実定数)を

k2 とおいた．(2.3)から2つの常微分方程式を得る：

d2f

dx2= k2f,

d2g

dy2= −k2g (2.4a, b)

よって，解 f(x), g(y) は次式となる：

f(x) = A1 sinh(kx) + A2 cosh(kx), (2.5a)

g(y) = B1 sin(ky) + B2 cos(ky) (2.5b)

A1, A2, B1, B2 は，積分定数で，k にのみ依存する．よって，(2.2a)の形の解 φ は，

φ(x, y) = f(x) g(y) = [A1 sinh(kx) + A2 cosh(kx)][B1 sin(ky) + B2 cos(ky)] (2.6)

となる．これに含まれる k は任意であるから，取り得る k の値を全て集め，解 φ を

φ(x, y) =∑

k

f(x) g(y) =∑

k

C(k) exp[k(x + iy)] + c.c. (2.7)

と表す； i ≡ √−1 ； C(k) は，積分定数の k 依存性を表し，複素数である；c.c. は

先立つ表式の複素共役 (complex conjugate) を意味する．一般解 (2.7)は，Laplace方程

式の解 φ(x, y) のFourier級数 (Fourier変換) による表現と考えればよい．なお，k = 0

の場合の (2.4a,b)により，解 f(x) = a0 + a1x, g(y) = b0 + b1y (a0, a1, b0, b1:積分定数)

を得るが，これらは (2.7)に含まれているとみなすことができる．一方，(2.2b)の形の

解は，f(x) = a0 + a1x + Ax2, g(y) = b0 + b1y − Ay2 (a0, a1, b0, b1, A:積分定数)とな

る．この f(x) + g(y) を (2.7)の右辺に加えたものがLaplace方程式 (2.1)の一般解であ

るが，応用上は，(2.7)を一般解と考えて差し支えない場合が多い．

[注] Laplace方程式 (2.1)は，次の変換に対して不変である：

(i) X = x + constant, Y = y + constant (座標系の平行移動) (2.8a)(ii) X = −x, Y = −y (座標系の反転) (2.8b)(iii) X = ax, Y = ay (a = constant) (座標系の伸縮) (2.8c)(iv) X = x cos θ + y sin θ, Y = −x sin θ + y cos θ (2.8d)

(座標系の原点回りの回転；θ は反時計回りの回転角度で一定値)

実際，これらの変換による φ(X, Y ) の方程式は，次式となることが確かめられる：

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2= 0 → ∂2φ

∂X2+

∂2φ

∂Y 2= 0

–150–


2.2 複素変数表現のLaplace方程式

解 (2.7)は，変数 x + iy と x− iy の関数である．そこに注目し，改めて偏微分方

程式 (2.1)を解いてみよう．独立変数を

ξ = x + iy, η = x− iy (2.9a, b)

と取ると，変数変換 (x, y) → (ξ, η) により φ(x, y) = φ(ξ, η) と表して，Laplace方程式

(2.1)は次のように表現される：

∂φ

∂x=

∂ξ

∂x

∂φ

∂ξ+

∂η

∂x

∂φ

∂η=

∂φ

∂ξ+

∂φ

∂η,

∂φ

∂y=

∂ξ

∂y

∂φ

∂ξ+

∂η

∂y

∂φ

∂η= i

∂φ

∂ξ− i

∂φ

∂η,

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2=

(∂

∂ξ+

∂

∂η

)2

+

(i

∂

∂ξ− i

∂

∂η

)2 φ = 4

∂2φ

∂ξ∂η= 0

→ ∂2φ

∂ξ∂η= 0 → φ(ξ, η) = F (ξ) + G(η) (2.10)

ここで，F (ξ) は ξ の任意の複素関数を表し，G(η) は η の任意の複素関数である：解

φ は2つの任意関数の線形結合で与えられる；左辺の φ が実数関数であるから，右辺

の F (ξ) と G(η) は互いに複素共役の関係にあるとしてもよい．一般解 (2.10)と (2.7)

は，等価である．

[補足] 縮まない流体の2次元の渦無し流れでは，速度potential φ ≡ φ(x, y, t) と流れ関

数 ψ ≡ ψ(x, y, t) はLaplace方程式に従う：

∇× v = → v = ∇φ → ∇ · v = ∇2φ = 0 → ∇2φ = 0

∇ · v = 0 → v = ∇×A (但し，A = (0, 0, ψ))

→ ∇× v = (0, 0,−∇2ψ) = → ∇2ψ = 0

よって，複素速度potential f = φ + iψ もLaplaceの方程式に従う：

∇2φ + i∇2ψ = ∇2(φ + iψ) = ∇2f = 0

この解は2つの任意複素関数の線形結合 (f = F (ξ)+G(η))で表されるが，φと ψの間で

Cauchy-Riemannの関係式 ((1.42a,b)式参照)が成り立つことを考慮すると，f = F (ξ)+

constantであることが導かれる．それを以下に示そう．変換式 (2.9a,b)を書き換えると，

x =1

2(ξ + η), y =

−i

2(ξ − η)

–151–


と表されるから，φ と ψ のCauchy-Riemannの関係式により，次式を得る：

∂f

∂ξ=

∂x

∂ξ

∂φ

∂x+

∂y

∂ξ

∂φ

∂y+ i

∂x

∂ξ

∂ψ

∂x+ i

∂y

∂ξ

∂ψ

∂y

=1

2

∂φ

∂x+−i

2

∂φ

∂y+ i

1

2

∂ψ

∂x+ i

−i

2

∂ψ

∂y

=∂φ

∂x− i

∂φ

∂y= v1 − iv2,

∂f

∂η=

∂x

∂η

∂φ

∂x+

∂y

∂η

∂φ

∂y+ i

∂x

∂η

∂ψ

∂x+ i

∂y

∂η

∂ψ

∂y

=1

2

∂φ

∂x+

i

2

∂φ

∂y+ i

1

2

∂ψ

∂x+ i

i

2

∂ψ

∂y= 0

故に，f は ξ = x + iy のみの関数である： f = F (ξ)+ constant．

2.3 平面極座標系のLaplace方程式

Laplace方程式 (2.1)は，平面極座標系 (r, θ) で表現したpotential φ ≡ φ(r, θ) に対

し，次式となる：

∇2φ =∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2=

1

r

∂

∂r

(r∂φ

∂r

)+

1

r2

∂2φ

∂θ2= 0 (2.11)

(x = r cos θ, y = r sin θ)．先ず，角度 θ に依存しない場合の (2.11)は次の常微分方程式

となり，その一般解が求められる：

1

r

d

dr

(rdφ

dr

)= 0 → φ = C1Ln(r) + C0 (2.12)

C0, C1: 積分定数; Ln(r) と1が基本解である．原点 r = 0 は，Ln(r) の特異点 (singular

point)である；Ln(r) は，原点を除けば，正則 (regular) である．

次に，角度 θ に依存する解を求めよう．(2.11)式の形を考慮して，解を

φ(r, θ) =1

rnf(θ; n) (2.13)

(n は自然数)とおいて (2.11)式に代入し，f の微分方程式を解いて解が求められる：

1

r

∂

∂r

(r∂φ

∂r

)+

1

r2

∂2φ

∂θ2=

1

rn+2

(n2f +

d2f

dθ2

)= 0

→ f(θ; n) = A1(n) sin(nθ) + A2(n) cos(nθ) (2.14)

–152–


(A1(n), A2(n) : 積分定数；f(θ; n) は周期関数であり，f(θ; n) = f(θ + 2π; n) となる)．

((2.11)の解法については，この節の末尾の [補足]を参照すること．)

(2.11)は線形方程式であるから，(2.12)-(2.14)を考慮して，一般解を次のように表

現できる：

φ = C0 + C1Ln(r) +∑

n=1

r−n[A1(n) sin(nθ) + A2(n) cos(nθ)] (2.15)

一方，解 (2.12)を利用して，(2.1)式の一般解を構成することもできる．極座標と

デカルト座標の関係式は r =√

x2 + y2 であるから，Ln(r) の x に関する偏微分：

∂

∂xLn(r) =

x

r2,

∂2

∂x2Ln(r) =

1

r2− 2x2

r4(2.16a, b)

及び，y に関する偏微分により，Ln(r) は (2.1)式の解であることが分かる：(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)Ln(r) =

1

r2− 2x2

r4+

1

r2− 2y2

r4= 0 (2.17)

さらに，(2.17)を x で偏微分して，次式を得る：

∂

∂x

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)Ln(r) =

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)x

r2= 0 (2.18)

即ち，x/r2 は (2.1)式の解である；同様に，y/r2 も，Ln(r) の高階の偏導関数も解であ

る．従って，(2.1)の一般解を次のように表すことができる：

φ(x, y) = C0 + C1Ln(r) +∑

k+m≥1

∑Ckm

∂k+mLn(r)

∂xk∂ym(2.19)

(Ckm は実定数)．以上により得られた解 (2.19),(2.15),(2.10),(2.7)は，いずれも，2次元

Laplace方程式 (2.1)の一般解である．考える問題の特徴 (特に，与えられる境界条件)

を考慮して，解の適切な表現が選択される．

[注] (2.19)式の右辺に一次式 a1x + a2y を加えたものも (2.1)の解であるが，応用上は

(あまり)必要ないので除いておく．

念のため，(2.11)式の角度 θ にのみ依存する解を求めておこう．方程式は次式と

なり，解 φ(θ) は容易に得られる：

d2φ

dθ2= 0 → φ(θ) = aθ + b (a, b :積分定数)

これは，φ(θ) 6= φ(θ + 2π) となり，θ が一周しても φ(θ) は元に戻らない．

[補足] 極座標表現の変数分離形の解 φ(r, θ) = f(θ)g(r) を仮定すれば，(2.11)から次の

ような2つの常微分方程式を得る：

1

r

∂

∂r

(r∂φ

∂r

)+

1

r2

∂2φ

∂θ2= 0

–153–


→ r

g

d

dr

(rdg

dr

)= − 1

f

d2f

dθ2= k2 (2.20)

→↓→ d2g

dr2+

1

r

dg

dr− k2

r2g = 0 (2.21)

→ d2f

dθ2+ k2f = 0

→ f(θ; k) = A1(k) sin(kθ) + A2(k) cos(kθ) (2.22)

(積分定数 A1(k), A2(k) は，変数分離定数 k の関数である)．θ が一周したら f(θ) が

元に戻るように周期条件: f(θ; k) = f(θ + 2π; k) を満たすことを要請すると，k は整数

でなければならない．一方，g の方程式 (2.21)は，変数変換 r = exp(z) により，定数

係数の線形常微分方程式となり，一般解が求められる：

d2g

dr2+

1

r

dg

dr− k2

r2g =

1

r2

(d2g

dz2− k2g

)= 0

→ d2g

dz2= k2g

→ g = B1(k) exp(kz) + B2(k) exp(−kz) = B1(k)rk + B2(k)r−k (2.23)

(B1(k), B2(k):積分定数)；k = 0 の場合は (2.20)式に戻って計算し，解 C1Ln(r) + C0

(解 (2.12))を得る．(2.23)では，k > 0 ならば，基本解 rk は原点で正則であり，r−k は

原点が特異点である．それら2つの線形結合が一般解であるから，k を自然数としてよ

いことが分かる．以上を考慮し，(2.20)の一般解は，次式となる．

φ = C0 + C1Ln(r) +∑

n=1

[B1(n)rn + B2(n)r−n

][A1(n) sin(nθ) + A2(n) cos(nθ)] (2.24)

なお，物理の問題では遠方 (r →∞) で φ → 0 となる解を考える場合が多いので，2.3

節では一般解を (2.15)と取った；n を −n に置き換えても，解 (2.14)は変わらない．

[補足：微分幾何] 2次元デカルト座標系 (x, y) では，potential φ ≡ φ(x, y) の勾配

(gradient) は次式で表される：

∇φ =∂φ

∂xe1 +

∂φ

∂ye2

(e1, e2 はデカルト座標系の基底vector；constant vector)．φ のLaplace方程式は次式

((2.1)式を再掲)である：

∇2φ =∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2= 0

デカルト座標系と平面極座標系 (r, θ) の関係は，r =√

x2 + y2, tan θ = y/x (逆には，

x = r cos θ, y = r sin θ) であるから，φ の偏微分を書き換える：

∂φ

∂x=

∂r

∂x

∂φ

∂r+

∂θ

∂x

∂φ

∂θ= cos θ

∂φ

∂r− sin θ

r

∂φ

∂θ,

–154–


∂2φ

∂x2=

(cos θ

∂

∂r− sin θ

r

∂

∂θ

) (cos θ

∂φ

∂r− sin θ

r

∂φ

∂θ

)

= cos2 θ∂2φ

∂r2+ sin θ cos θ

[1

r2

∂φ

∂θ− 1

r

∂2φ

∂r∂θ

]+

sin2 θ

r

∂φ

∂r

− sin θ cos θ1

r

∂2φ

∂θ∂r+

1

r2

[sin2 θ

∂2φ

∂θ2+ sin θ cos θ

∂φ

∂θ

],

∂φ

∂y=

∂r

∂y

∂φ

∂r+

∂θ

∂y

∂φ

∂θ= sin θ

∂φ

∂r+

cos θ

r

∂φ

∂θ,

∂2φ

∂y2=

(sin θ

∂

∂r+

cos θ

r

∂

∂θ

) (sin θ

∂φ

∂r+

cos θ

r

∂φ

∂θ

)

= sin2 θ∂2φ

∂r2+ sin θ cos θ

[−1

r2

∂φ

∂θ+

1

r

∂2φ

∂r∂θ

]+

cos2 θ

r

∂φ

∂r

+ sin θ cos θ1

r

∂2φ

∂θ∂r+

1

r2

[cos2 θ

∂2φ

∂θ2− sin θ cos θ

∂φ

∂θ

]

これらの計算結果をまとめて，2次元のLaplace方程式は，デカルト座標系から平面極

座標系に変換される：

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2=

1

r

∂

∂r

(r∂φ

∂r

)+

1

r2

∂2φ

∂θ2= 0

よって，(2.11)式が確認された．

他の座標系への変換については「数学公式 I (微分積分 · 平面曲線)(岩波書店)」の

第 I 篇微分法の第1章のpp.15-30を参照すること．

3 3次元のLaplace方程式

3次元デカルト座標系 (x, y, z) では，potential φ ≡ φ(x, y, z) の勾配 (gradient)は

次式で表される：

∇φ =

(∂φ

∂x,

∂φ

∂y,

∂φ

∂z

)or ∇φ =

∂φ

∂xe1 +

∂φ

∂ye2 +

∂φ

∂ze3

(e1, e2, e3 はデカルト座標系の基底vector；constant vector)．φ のLaplace方程式は次

式である：

∇2φ = ∇ · ∇φ =∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2+

∂2φ

∂z2= 0 (3.1)

–155–


円柱座標系 (r, θ, z) では，potential φ ≡ φ(r, θ, z) の勾配は次式で表される：

∇φ =∂φ

∂rer +

1

r

∂φ

∂θeθ +

∂φ

∂ze3

(er, eθ, e3 は円柱座標系の基底vector；er, eθ は r, θ の関数；e3 は constant vector；デ

カルト座標系との関係式は，x = r cos θ, y = r sin θ, z = z である)．この φ のLaplace

方程式は次式である：

∇2φ =1

r

∂

∂r

(r∂φ

∂r

)+

1

r2

∂2φ

∂θ2+

∂2φ

∂z2= 0 (3.2)

球座標系 (r, θ, ψ) では，potential φ ≡ φ(r, θ, ψ) の勾配は次式で表される：

∇φ =∂φ

∂rer +

1

r

∂φ

∂θeθ +

1

r sin θ

∂φ

∂ψeψ

(er, eθ, eψ は球座標系の基底vector； er, eθ, eψ は r, θ, ψ の関数である；デカルト座

標系との関係式は，x = r sin θ cos ψ, y = r sin θ sin ψ, z = r cos θ である)．この φ の

Laplace方程式は次式である：

∇2φ =1

r2

∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2φ

∂ψ2= 0 (3.3)

3.1 球座標系のLaplace方程式の解

球座標系のLaplace方程式 (3.3)の解を求めよう．球対称の解 φ ≡ φ(r) を仮定する

と，(3.3)より，次式を得る：

1

r2

d

dr

(r2 dφ

dr

)= 0 → φ(r) =

C1

r+ C0 (C0, C1 :積分定数) (3.4)

この解は原点 r = 0 に特異点を持つ．

解 (3.4)を用いて，デカルト座標系のLaplace方程式 (3.1)の一般解を構成しよう．

デカルト座標系と球座標系の関係式は r =√

x2 + y2 + z2 であるから，1/r の x に関

する偏微分：∂

∂x

(1

r

)= − x

r3,

∂2

∂x2

(1

r

)= − 1

r3+

3x2

r5(3.5a, b)

及び，y, z に関する偏微分により，1/r は (3.1)式の解であることが分かる：(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)1

r= − 3

r3+

3

r5

(x2 + y2 + z2

)= 0 (3.6)

さらに，(3.6)を x で偏微分して，次式を得る：

∂

∂x

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)1

r=

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

) −x

r3= 0

–156–


即ち，∂r−1/∂x = −x/r3は (3.1)式の解である；同様にして，∂r−1/∂y = −y/r3, ∂r−1/∂z =

−z/r3，r−1 の高階の偏導関数も解である．従って，(3.1)式の一般解を次のように表す

ことができる：

φ(x, y, z) = C0 +C1

r+

∑ ∑

k+m+n≥1

∑Ckmn

∂k+m+n

∂xk∂ym∂zn

(1

r

)(3.7)

(Ckmn は実定数；(3.7)式の右辺に1次式 a1x + a2y + a3z を加えたものも (3.1)の解で

あるが，特に必要がない限り，(3.7)を一般解と考えてよい)．

[補足] 万有引力のpotential U ≡ U(r):質量 m [kg] と M [kg] の物体の間の距離 r [m]

U = −GmM

r(G = 6.6720× 10−11[N m2/kg2] :万有引力定数)

Coulomb potential U ≡ U(r) : 電荷 q1 [C] と q2 [C] の間の距離 r [m], 真空の誘電率

ε0 = 8.854187818× 10−12 [C2/N/m2]

U =q1q2

4πε0r

3.2 Legendre関数 (Legendreの多項式)

(3.3)式の変数分離形の解を φ(r, θ, ψ) = rnf(θ)g(ψ) と仮定し，その関数形を求め

よう．(一般には，解の形を φ(r, θ, ψ) = rnYn(θ, ψ) とおいたとき，Yn(θ, ψ) を n 次の

球面調和関数と呼ぶ；ここでは，簡単に Yn(θ, ψ) = f(θ)g(ψ) とおき，n を自然数とす

る．) rnf(θ)g(ψ) を (3.3)に代入すると，次式を得る：

sin θ

f

d

dθ

(sin θ

df

dθ

)+ n(n + 1) sin2 θ = −1

g

d2g

dψ2= k2 (3.8)

ここでは θ のみの関数と ψ のみの関数を各辺に整理したので，任意の θ, ψ に対して

等号が成り立つためには各々が定数でなければならない；その定数 (任意の実定数)を

k2 とおいた．(3.8)から2つの常微分方程式を得る：

sin θd

dθ

(sin θ

df

dθ

)+ n(n + 1)f sin2 θ = k2f, (3.9a)

d2g

dψ2= −k2g (3.9b)

→ g(ψ) = A1(k) sin(kψ) + A2(k) cos(kψ) (3.10)

(A1(k), A2(k)：k に依存する積分定数)．微分方程式 (3.9b)の解 (3.10)は，ψ が一周し

て元に戻るためには，周期条件を満たすように k の値を選ばなければならない：

g(ψ) = g(ψ + 2π) → k = 0,±1,±2, · · · , (kは整数) (3.11)

–157–


(3.11)を考慮して (3.9a)を書き直す．さらに，X = cos θ と変数変換して，(3.9a)式は

Legendreの陪関数に対する常微分方程式 (Legendreの陪微分方程式) になる：

d

dX

[(1−X2

) df

dX

]+

[n(n + 1)− k2

1−X2

]f = 0 (3.12)

便宜上，(3.12)の解を f(X; n, k) と表す．k = 0 の場合の (3.12)式は，Legendreの微分

方程式と呼ばれる．その解 f(X; n, 0) を Pn ≡ Pn(X) と表す．Pn は，Legendreの多

項式と呼ばれ，Rodriguesの公式により次式で表現される：

Pn(X) =1

2nn!

dn

dXn

(X2 − 1

)n(Rodriguesの公式) (3.13)

k 6= 0 の場合の (3.12)式 (Legendreの陪微分方程式) の解は，f(X; n,m) = Pmn (X) と

表され，Pmn (X) (Legendreの陪関数；m = |k| > 0)は次式で与えられる：

Pmn (X) =

(1−X2

)m/2 dmPn

dXm(3.14)

よって，(3.3)の一般解は次式で与えられる：

φ(r, θ, ψ) =∑

n=1

∑

m=1

rnPmn (cos θ)[A1(m) sin(mψ) + A2(m) cos(mψ)] (3.15)

これらの関数についての詳細は，「数学公式 III (特殊関数)(岩波書店)」の第 IV 篇直交

多項式§21 Legendreの多項式 (pp.82-85)並びに第 V 篇球関数の第3章球面調和関数

(pp.140-144)を参照すること．

—– to be continued —–

–158–


数学公式 III (特殊関数)の第 V 篇球関数の第3章球面調和関数pp.140-144

[補足] 変数分離形の解 φ(r, θ, ψ) = f(θ)g(r)h(ψ) を仮定すれば，次のような2つの常微

分方程式を得る：

1

r2

∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2φ

∂ψ2= 0

→ 1

g

d

dr

(r2 dg

dr

)= − 1

f sin θ

d

dθ

(sin θ

df

dθ

)− 1

h sin2 θ

d2h

dψ2= k2 (??)

h(ψ) = C1(n) sin(nψ) + C2(n) cos(nψ) (C1(n), C2(n) :定数)と仮定すれば，f(θ) の方

程式を得る．1

sin θ

d

dθ

(sin θ

df

dθ

)+

(k2 − n2

sin2 θ

)f = 0

d

dr

(r2 dg

dr

)= k2g

一方，g(r) の方程式 (?)は，変数変換 r = exp(X) により，定数係数の線形常微分方程

式となり，一般解が求められる：

d2g

dr2+

2

r

dg

dr− k2

r2g =

1

r2

(d2g

dX2+

dg

dX− k2g

)= 0

→ g = B1(k) exp(λ1X)+B2(k) exp(λ2X) = B1(k) exp[λ1Ln(r)]+B2(k) exp[λ2Ln(r)]

(B1(k), B2(k):積分定数)．k = 0 の場合は，(2.20)式に戻って計算し解 C1Ln(r) + C0

→→ d2f

dθ2+ k2f = 0 → f(θ; k) = A1(k) sin(kθ) + A2(k) cos(kθ) (2.21)

→ d2g

dr2+

1

r

dg

dr− k2

r2g = 0 (2.22)

((2.12)式)を得る．よって，(2.23)により，k を自然数としてよいことが分かる．基本

解 rk は原点で正則，r−k は原点が特異点となる．以上を考慮し，(1.20)の一般解は，

φ = C0 + C1Ln(r) +∑

n=1

[B1(n)rn + B2(n)r−n

][A1(n) sin(nθ) + A2(n) cos(nθ)] (2.24)

となる．物理の問題では遠方 (r → ∞) で φ → 0 となる解を考える場合が多いので，

一般解を (2.15)と取った．// (A1(k), A2(k):積分定数)．θ が一周したら f(θ) が元に戻

ることを要請すると，周期条件: f(θ; k) = f(θ + 2π; k) を満たすためには，k は整数で

なければならない．一方，

–159–


3.3 Bessel関数 (円柱関数)

[準備] 真空の場合，電場を E ≡ E(x, t) (t :時間)，磁場を H ≡ H(x, t)，誘電率を ε0，

透磁率を µ0 と表すと，Maxwellの方程式は次式である：

∇×E = −µ0∂H

∂t∇×H = ε0

∂E

∂t

∇ ·E = 0 ∇ ·H = 0

これの解析には上に述べたことが適用できる．scalar potential φ, vector potential A

を用いて，E = −∇φ, H = ∇×A とおく．

–160–

Chapter 18

数値解析入門常微分方程式の数値解法- Runge-Kutta法 -

1992.9.10./’93.10.20.

ここでは，常微分方程式の数値解法の一つであるRunge-Kutta法を解説する．先

ず，次節で，Runge-Kutta法を理解するために必要な数学的準備について述べる．次い

で，Runge-Kutta法による計算原理を示して，数値解析する際の要点を述べる．さら

に，Runge-Kutta-Gill法，連立常微分方程式，高階の常微分方程式の解法を議論する．

1 数学的準備

先ず，関数のベキ級数展開について，言葉の説明から入ろう．

独立変数 x の関数 f ≡ f(x) が閉区間 |x−x0| ≤ A (A:正の定数) で N 階まで微分

可能とする．その閉区間において，x0 を定点，x を任意の点とすると，f(x) のTaylor

展開 (f(x) に対するTaylorの公式) は，次のように表される：

f(x) = f(x0) + [Df ](x− x0) +[D2f ]

2(x− x0)

2 + · · ·

+

[DN−1f

]

(N − 1)!(x− x0)

N−1 + RN (1.1)

但し，微分係数 [Dnf ] と剰余項 (remainder) RN は

[Dnf ] =

(dnf

dxn

)

x0

for n = 0, 1, 2, · · · , (N − 1)

RN =1

N !(x− x0)

N

(dNf

dxN

)

ξ

with ξ = x0 + θ(x− x0), 0 < θ < 1

である．

その閉区間で，f(x) が任意回微分可能であり，区間内の全ての点 x に関して

limN→∞

RN = 0 (1.2)

161

162 CHAPTER 18. 数値解析入門常微分方程式の数値解法

が成り立つとき，関数 f(x) は無限級数の形に表される．これをTaylor級数 (Taylor

series) という．

独立変数 x の関数 f ≡ f(x) が閉区間 |x− x0| ≤ A (A:正の定数) でTaylor級数：

f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2 (x− x0)2 + · · ·+ an (x− x0)

n + · · ·

= f(x0) + [Df ](x− x0) +[D2f ]

2(x− x0)

2 + · · ·+ [Dnf ]

n!(x− x0)

n + · · ·

→ f(x) =∞∑

n=0

an (x− x0)n =

∞∑

n=0

[Dnf ]

n!(x− x0)

n , (1.3)

where [Dnf ] =

(dnf

dxn

)

x0

for n = 0, 1, 2, · · · ,∞

に展開できるとき，「関数 f(x) は，閉区間 |x− x0| ≤ A で正則 (regular)，または，解

析的 (analytic) である」という．即ち，その区間で任意回微分可能な実数関数は正則

である．

2つの独立変数 x と y の関数 f(x, y) が閉領域 |x− x0| ≤ A, |y − y0| ≤ B (A, B:

定数) でTaylor級数：

f(x, y) = a00 + a10(x− x0) + a01(y − y0)

+a20 (x− x0)2 + a11(x− x0)(y − y0) + a02 (y − y0)

2 + · · ·= f(x0, y0) + [DXf ](x− x0) + [DY f ](y − y0)

+1

2

[D2

Xf](x− x0)

2 + 2[DXDY f ](x− x0)(y − y0) +[D2

Y f](y − y0)

2

+ · · ·+ 1

n!

n∑

m=0

nCm

[Dn−m

X DmY f

](x− x0)

n−m (y − y0)m

+ · · · , (1.4)

where nCm =n!

m!(n−m)!(m ≤ n),

[Dn−m

X DmY f

]=

(∂nf

∂xn−m∂ym

)

x0,y0

for n = 0, 1, 2, · · · ,∞

に展開できるとき，「f(x, y) は，閉領域 |x− x0| ≤ A, |y− y0| ≤ B で正則，または，解

析的である」という．

独立変数 x と従属変数 y (y ≡ y(x)) の関数 f(x, y) の級数展開は，以下に示すよ

うに構成される．先ず，x の関数 y(x) のTaylor級数を求める：

y(x) = a0 + a1(x− x0) + a2 (x− x0)2 + · · ·+ an (x− x0)

n + · · · (1.5)

where an ≡ 1

n!

(dny

dxn

)

x0

for n = 0, 1, 2, · · · ,∞

–162–

1. 数学的準備 163

(a0 = y(x0) = y0)．従って，y − y0 は，

y − y0 = a1(x− x0) + a2 (x− x0)2 + · · ·+ an (x− x0)

n + · · · (1.6)

と表される．次に，独立変数 x, y の関数 f(x, y) のTaylor級数を求める．

f(x, y) =∞∑

n=0

1

n!

n∑

m=0

nCm

[Dn−m

X DmY f

](x− x0)

n−m (y − y0)m

(1.7)

この右辺の (y − y0)m に (1.6)を代入して整理すると，独立変数 x, 従属変数 y(x) の関

数 f(x, y) のTaylor級数が求められる．

以上に述べた「関数のベキ級数展開」に関する事柄は，Runge-Kutta法を理解す

るために必要不可欠である．次に，微分方程式の解の存在定理を示す．

[微分方程式の解の存在定理] 独立変数xと従属変数 y (y ≡ y(x)) の関数 f(x, y) が，

閉領域 |x− x0| ≤ A, |y − y0| ≤ B で正則であれば，正規型の1階の微分方程式：

dy

dx= f(x, y) (1.8)

は，x = x0 のとき y = y0 (即ち，y0 = y(x0)) となる点 x0 の近傍において，正則な唯

一の解 y = y(x) を持つ．//

[証明] 微分方程式 (1.8)を満足する正則な解 y = y(x) が存在するとすれば，(1.8)

を逐次微分して，x = x0 に設定し，展開級数の係数を決めることができる：

y0 = y(x0) ≡ 0!a0, (1.9a)(

dy

dx

)

x0

= f(x0, y0) = a00 ≡ 1!a1, (1.9b)

(d2y

dx2

)

x0

=

(df

dx

)

x0

=

[∂f

∂x+

dy

dx

∂f

∂y

]

x0,y0

=

[∂f

∂x+ f

∂f

∂y

]

x0,y0

= a10 + a00a01 ≡ 2!a2 (1.9c)(

d3y

dx3

)

x0

=

(d2f

dx2

)

x0

=

[d

dx

(∂f

∂x

)+

d2y

dx2

∂f

∂y+

dy

dx

d

dx

(∂f

∂y

)]

x0,y0

=

[∂2f

∂x2+ 2f

∂2f

∂x∂y+ f 2∂2f

∂y2+

∂f

∂y

(∂f

∂x+ f

∂f

∂y

)]

x0,y0

= 2a20 + 2a00a11 + 2a200a02 + a01(a10 + a00a01) ≡ 3!a3 (1.9d)

· · · · · · · · · · · · · · ·

an ≡ 1

n!

(dny

dxn

)

x0

=1

n!

(dn−1f

dxn−1

)

x0

=1

n!

(∂

∂x+ f

∂

∂y

)n−1

f

x0,y0

–163–


for n = 1, 2, 3, · · · ,∞ (1.9e)

故に，正則解 y(x)：

y(x) = a0 + a1(x− x0) + a2 (x− x0)2 + · · ·+ an (x− x0)

n + · · · (1.10)

の係数 an (for n = 0, 1, 2, · · · ,∞) は，初期条件 x0, y0 = y(x0) 及び関数 f(x, y) によっ

て唯一通りに決めることができる．従って，方程式 (1.8)に正則解が存在するならば，

それは唯一つである．

逆に，級数 (1.10)が，点 x0 の近傍で収束し，且つ，方程式 (1.8)の解となること

が証明される．(その証明は省略する．) //

1階の微分方程式の解の存在定理は，連立1階微分方程式の解の存在を証明するた

めに拡張される．そこでは，高階の微分方程式の解に対する議論も含まれる．

2 Runge-Kutta法 (前進型公式による常微分方程式の数値解法)

閉区間 a ≤ x ≤ b を N 個の部分閉区間に分割する．(n + 1) 番目の閉区間 xn ≤x ≤ xn+1 を xn ≤ x ≤ xn + hn (hn ≡ xn+1 − xn :部分区間の幅，変数の刻み) と表す；

x0 = a, xN = b．この閉区間にわたって微分方程式 (1.8)を積分する：

yn+1 − yn =∫ xn+1

xn

f(x, y) dx (yn ≡ y(xn)) (2.1)

区間幅 hn が十分小さいならば，被積分関数 f(x, y)の変化が小さいとして，(2.1)式は，

yn+1 − yn = hnf(xn, yn) + O(h2n) → yn+1 = yn + hnf(xn, yn) (2.2)

と表される．これは，初期値 (xn, yn), 刻みの値 hn, 関数値 fn ≡ f(xn, yn) が分かれば，

yn+1 が求められることを意味する．この手続きを繰り返すと，yn+2, yn+3, · · ·, yN を求

めることができる．即ち，a ≤ x ≤ b で，微分方程式 (1.8)を解くことができる．この

考え方に基づく解法を「前進型の公式」という．(2.2)式はEulerの公式と呼ばれる．

Runge-Kutta法は前進型公式の代表的なものである．通常用いられる4次のRunge-

Kutta法は，f(x, y) の値の重みを付けた和 K で (2.1)式右辺を近似するものである：

yn+1 = yn + K (2.3)

K =1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4), (2.4a)

–164–

2. RUNGE-KUTTA法 (前進型公式による常微分方程式の数値解法) 165

k1 = hnf(xn, yn), k2 = hnf(xn + hn/2, yn + k1/2), (2.4b, c)

k3 = hnf(xn + hn/2, yn + k2/2), k4 = hnf(xn + hn, yn + k3) (2.4d, e)

である．計算ステップを (2.4a-e)式のように選ぶ理由は，次の小節で議論される．

2.1 Runge-Kutta法の原理と2次の公式

Runge-Kutta法による微分方程式 (1.8)の解法手続きは，次のようになる．閉区間

xn ≤ x ≤ xn + hn 内の点を xn + αmhn (for m = 1, 2, · · · ,M) と表す．重み因子 αm

(0 ≤ αm ≤ 1；α1 = 0) は，後に決定される．閉区間における関数 y の値 (予測される

値) を次のように表す：

yn +m−1∑

j=1

βmjkj (2.5)

重み因子 βmj は，後に決定される；但し，β1j = 0 と取る．km は，

km = hnf

xn + αmhn, yn +

m−1∑

j=1

βmjkj

(2.6)

である．これらと重み因子 γm を用い，(2.1)式右辺の積分が，

∫ xn+1

xn

f(x, y) dx =M∑

m=1

γmkm (2.7)

で表されるものとする．よって，(2.1)式は，次のようになる：

yn+1 − yn =M∑

m=1

γmkm (2.8)

これは，関数 f(x, y) を M 回計算して (2.8)式右辺の和 (重み付き平均) を取り，yn+1

を求めるので，M 段公式と呼ばれる．

(2.8)式左辺をTaylor級数で表す：

yn+1 − yn =∞∑

p=1

1

p!

(dpy

dxp

)hp

n =∞∑

p=1

1

p!

(∂

∂x+ f

∂

∂y

)p−1

f

hp

n (2.9)

但し，[· · ·] は，(xn, yn) で値を取ることを表す．(2.9)式に対して，(2.8)式の右辺を

Taylor展開すると現れる hqn (q = 1, 2, · · · , Q) の係数が互いに等しくなるように重み因

子 αm, βmj, γm を選ぶことができる．これにより，M 段 Q 次のRunge-Kuttaの公式

が導かれる．1次 (Q = 1) の公式はEulerの公式になることが示される．Q = 2, 3 の場

–165–


合は，M = Q である．Q = 4 では，M ≥ Q である．Q = 5, 6 ならば M > Q となる．

Q ≥ 7 ならば M ≥ Q + 2 であることが示されている．(詳細は，末尾に示す参考文献

を参照すること．)

Runge-Kutta法の原理を具体的に示すために，Q = M = 2 の場合を考えよう．

(2.5)-(2.9)式から，次の関係式を得る：

k1 = hnf(xn, yn) = hnfn, (2.10a)

k2 = hnf(xn + α2hn, yn + β21k1) = hnf(xn + α2hn, yn + β21hnfn) (2.10b)

yn+1 − yn = γ1k1 + γ2k2 (2.11)

yn+1 のTaylor展開の表式を簡潔にするために，微分演算子 D を次式で定義する：

D ≡ ∂

∂x+ fn

∂

∂y→ ∂

∂x+ f

∂

∂y= D + (f − fn)

∂

∂y(2.12)

(2.11)式左辺のTaylor展開 (2.9)は，(2.12)式を用いて，次のように表される：

yn+1 − yn = hnfn +1

2

[∂f

∂x+ fn

∂f

∂y

]h2

n

+1

6

[∂2f

∂x2+ 2fn

∂2f

∂x∂y+ f 2

n

∂2f

∂y2+

∂f

∂y

(∂f

∂x+ fn

∂f

∂y

)]h3

n + · · ·

→ yn+1 − yn = hnfn +1

2[Df ]h2

n +1

6

[D2f +

∂f

∂yDf

]h3

n

+1

4!

D3f +

∂f

∂yD2f +

(∂f

∂y

)2

Df + 3

(D

∂f

∂y

)Df

h4

n

+1

5!

D4f +

∂f

∂yD3f + 4

(D

∂f

∂y

)D2f + 6

(D2∂f

∂y

)Df +

(∂f

∂y

)2

D2f

+7

(∂f

∂y

) (D

∂f

∂y

)Df +

(∂f

∂y

)3

Df + 3∂2f

∂y2(Df)2

h5

n + O(h6n) (2.13)

一方，(2.11)式右辺に含まれる k2 のTaylor展開は，次のように表される：

k2 = hnfn +

[α2

∂f

∂x+ β21fn

∂f

∂y

]h2

n

+1

2

[α2

2

∂2f

∂x2+ 2α2β21fn

∂2f

∂x∂y+ (β21fn)2 ∂2f

∂y2

]h3

n + · · ·

→ k2 = hnfn + [D2f ] h2n +

1

2

[D2

2f]h3

n + · · ·

→ k2 =∞∑

m=0

1

m![Dm

2 f ] hm+1n (2.14)

–166–


ここで用いた微分演算子 D2 は，次式で定義される：

D2 ≡ α2∂

∂x+ β21fn

∂

∂y(2.15)

(2.11)式右辺を整理して，重み付き平均は次のように表される：

γ1k1 + γ2k2 = (γ1 + γ2)hnfn + γ2[D2f ]h2n +

γ2

2

[D2

2f]h3

n + · · · (2.16)

この式が h2n の係数まで (2.13)式と一致するためには，4個の重み因子 α2, β21, γ1, γ2

が次の方程式を満たせばよい：

γ1 + γ2 = 1, γ2α2 =1

2, α2 = β21 (2.17a, b, c)

方程式の数の方が未知数の数よりも少ないが，4個の重み因子をどう選んでも，h3n ま

での係数を一致させることはできない；例えば，(2.17a-c)式の場合 (γ2 = γ1 = 1/2,

α2 = β21 = 1；D2 = D)，(2.13),(2.16)式により，

yn+1 − yn − (γ1k1 + γ2k2) =1

6

[∂f

∂yDf − 1

2D2f

]h3

n + O(h4n)

となる．(この右辺第1項は，一般に，zeroではない．)

γ2 = 1/2 とした公式は，改良Euler公式またはHeun (ホイン) の公式と呼ばれ

る．γ2 = 1 とした公式は，修正Euler公式と呼ばれている．一般に，「微分方程式

dy/dx = f(x, y) に対し，関数 f(x, y) の値を幾つか計算し，その重み付き平均を用い

て，x の次のステップにおける解 y(x) の近似値とする公式」を総称してRunge-Kutta

型公式といい，その公式による解法をRunge-Kutta法と呼ぶ．

2.2 4次のRunge-Kuttaの公式

Q = M = 4 の場合を考えよう．この場合の微分方程式の積分は，(2.8)式により，

次のようになる：

yn+1 − yn = γ1k1 + γ2k2 + γ3k3 + γ4k4 (2.18)

重み因子 γ1, γ2, γ3, γ4 等の値は，以下で改めて検討される．k1, k2 は，それぞれ，

(2.10a),(2.14)式に示されている．k3, k4 は，(2.6)式より，次のように表される：

k3 = hnf(xn + α3hn, yn + β31k1 + β32k2)

= hnf(xn + α3hn, yn + β31hnfn + β32hnpn), (2.19a)

–167–


k4 = hnf(xn + α4hn, yn + β41k1 + β42k2 + β43k3)

= hnf(xn + α4hn, yn + β41hnfn + β42hnpn + β43hnqn) (2.19b)

但し，記号の混同を避けるために，pn = k2/hn, qn = k3/hn とおくことにする：

pn = f(xn + α2hn, yn + β21hnfn) =∞∑

m=0

1

m![Dm

2 f ] hmn , (2.20a)

qn = f(xn + α3hn, yn + β31hnfn + β32hnpn) (2.20b)

k3, k4 の表式を簡潔にするために，微分演算子 Dm (m > 2) を次式で定義する：

Dm ≡ αm∂

∂x+

m−1∑

j=1

βmj

fn

∂

∂y(2.21)

(2.21),(2.20a)を用いて，(2.19a)の k3 は，次のようにTaylor展開できる：

k3 =∞∑

m=0

1

m!

[(α3

∂

∂x+ (β31fn + β32pn)

∂

∂y

)m

f

]hm+1

n

=∞∑

m=0

1

m!

[(α3

∂

∂x+ (β31 + β32)fn

∂

∂y+ β32(pn − fn)

∂

∂y

)m

f

]hm+1

n

=∞∑

m=0

1

m!

[(D3 + β32(pn − fn)

∂

∂y

)m

f

]hm+1

n

=∞∑

m=0

1

m!

m∑

j=0

mCjβj32 (pn − fn)j

[Dm−j

3

∂jf

∂yj

] hm+1

n

=∞∑

m=0

1

m!

m∑

j=0

mCjβj32

( ∞∑

s=1

1

s[Ds

2f ] hsn

)j [Dm−j

3

∂jf

∂yj

] hm+1

n

= hnfn + [D3f ]h2n +

1

2

[D2

3f]+ 2β32[D2f ]

[∂f

∂y

]h3

n

+1

6

[D3

3f]+ 3β32

[D2

2f] [

∂f

∂y

]+ 6β32[D2f ]

[D3

∂f

∂y

]h4

n

+1

4!

[D4

3f]+ 4β32

[D3

2f] [

∂f

∂y

]+ 12β32

[D2

2f] [

D3∂f

∂y

]

+12β232

[∂2f

∂y2

][D2f ]2 + 12β32[D2f ]

[D2

3

∂f

∂y

]h5

n + O(h6n) (2.22)

これにより，qn − fn = k3/hn − fn は，次のように表される：

qn − fn =∞∑

m=1

1

m!

m∑

j=0

mCjβj32

( ∞∑

s=1

1

s![Ds

2f ] hsn

)j [Dm−j

3

∂j

∂yj

] hm

n (2.23)

–168–


(2.23),(2.21),(2.20a)式を用い，(2.19b)の k4 は，次のようにTaylor展開できる：

k4 =∞∑

m=0

1

m!

[(α4

∂

∂x+ (β41fn + β42pn + β43qn)

∂

∂y

)m

f

]hm+1

n

=∞∑

m=0

1

m!

[(D4 + (β42(pn − fn) + β43(qn − fn))

∂

∂y

)m

f

]hm+1

n

=∞∑

m=0

1

m!

m∑

j=0

mCj (β42(pn − fn) + β43(qn − fn))j

[Dm−j

4

∂jf

∂yj

] hm+1

n

= hnfn + [D4f ]h2n +

1

2

[D2

4f]+ 2(β42[D2f ] + β43[D3f ])

[∂f

∂y

]h3

n

+1

6

[D3

4f]+ 3

(β42

[D2

2f]+ β43

([D2

3f]+ 2β32[D2f ]

[∂f

∂y

])) [∂f

∂y

]

+6(β42[D2f ] + β43[D3f ])

[D4

∂f

∂y

]h4

n

+1

4!

[D4

4f]+ 4β42

[D3

2f] [

∂f

∂y

]

+4β43

([D3

3f]+ 3β32

[D2

2f] [

∂f

∂y

]+ 6β32[D2f ]

[D3

∂f

∂y

]) [∂f

∂y

]

+12

(β42

[D2

2f]+ β43

([D2

3f]+ 2β32[D2f ]

[∂f

∂y

])) [D4

∂f

∂y

]

+12 (β42[D2f ] + β43[D3f ])2

[∂2f

∂y2

]

+12(β42[D2f ] + β43[D3f ])

[D2

4

∂f

∂y

]h5

n + O(h6n) (2.24)

(2.24),(2.22),(2.14),(2.10a)式を用いて (2.18)式右辺を整理し，h4n までの係数が (2.18)

式左辺のTaylor展開 (2.13)と一致する条件により，重み因子を決める方程式は，次の

ようになる：

γ1 + γ2 + γ3 + γ4 = 1, (2.25a)

γ2[D2f ] + γ3[D3f ] + γ4[D4f ] =1

2[Df ], (2.25b)

γ2

2

[D2

2f]+

γ3

2

[D2

3f]+ 2β32[D2f ]

[∂f

∂y

]

+γ4

2

[D2

4f]+ 2(β42[D2f ] + β43[D3f ])

[∂f

∂y

]

=1

6

[D2f +

∂f

∂yDf

], (2.25c)

–169–


γ2

6

[D3

2f]+

γ3

6

[D3

3f]+ 3β32

[D2

2f] [

∂f

∂y

]+ 6β32[D2f ]

[D3

∂f

∂y

]

+γ4

6

[D3

4f]+ 3

(β42

[D2

2f]+ β43

([D2

3f]+ 2β32[D2f ]

[∂f

∂y

])) [∂f

∂y

]

+6(β42[D2f ] + β43[D3f ])

[D4

∂f

∂y

]

=1

4!

D3f +

∂f

∂yD2f +

(∂f

∂y

)2

Df + 3

(D

∂f

∂y

)Df

(2.25d)

ここで，重み因子 αm, βmj を

αm =m−1∑

j=1

βmj for m = 2, 3, 4 (2.26)

と選ぶと，微分演算子 Dm は，

Dm = αmD (2.27)

となるから，(2.25b,c,d)式は，係数 ([Df ], [∂f/∂y] 等) を消去して，次のような非線形

の代数方程式となる：

γ2α2 + γ3α3 + γ4α4 =1

2, (2.28a)

γ2α22 + γ3α

23 + γ4α

24 =

1

3, (2.28b)

γ3β32α2 + γ4(β42α2 + β43α3) =1

6, (2.28c)

γ2α32 + γ3α

33 + γ4α

34 =

1

4, (2.28d)

γ3β32α22 + γ4

(β42α

22 + β43α

23

)=

1

12, (2.28e)

γ3β32α2α3 + γ4(β42α2 + β43α3)α4 =1

8, (2.28f)

γ4β32β43α2 =1

24(2.28g)

この場合，重み因子 αm (m = 2, 3, 4), βmj (m = 2, 3, 4；j = 1, · · · ,m − 1), γm (m =

1, 2, 3, 4) は，合計13個ある．方程式の数は，(2.28a-g),(2.25a),(2.26)式により，11個

である．そこで，13個の内の2つをparameterとして，他の重み因子を表現できる．

(2.28c)式を書き換え，(2.28e)式に代入する：

γ3β32α2 =1

6− γ4(β42α2 + β43α3) (2.29)

α2

(1

6− γ4(β42α2 + β43α3)

)+ γ4

(β42α

22 + β43α

23

)=

1

12

–170–


→ γ4β43α3(α3 − α2) =1

12− α2

6

=(

1

2− α2

)1

6(2.30)

→ (i) α2 =1

2, α3 = α2, (2.31a)

(ii) α2 6= 1

2, α3 6= α2 (2.31b)

(i)の場合に，α2 = β21 = 1/2 を得る．(2.29),(2.28a,b,d,f,g)式を書き換える：

γ3β32 =1

3− γ4(β42 + β43), (2.32a)

γ2 + γ3 + 2γ4α4 = 1, (2.32b)

γ2 + γ3 + 4γ4α24 =

4

3, (2.32c)

γ2 + γ3 + 8γ4α34 = 2, (2.32d)

γ3β32 + 2γ4(β42 + β43)α4 =1

2, (2.32e)

γ4β32β43 =1

12(2.32f)

(2.32b,c,d)式について矛盾を起こさない解 α4, γ4 は，

α4 = 1, γ4 =1

6(2.33a, b)

である．これと (2.32a,b,e,f)式から，次の方程式を得る：

γ2 + γ3 =2

3, β32β43 =

1

2, (2.33c, d)

β42 + β43 = 1, γ3β32 =1

6(2.33e, f)

ここで γ2 = γ3 = 1/3 と選ぶと，γ1 = 1/6, β32 = 1/2, β43 = 1, β42 = 0 を得る．ま

た，α3 = β31 + β32 = 1/2 により，β31 = 0 を得る．α4 = β41 + β42 + β43 = 1 により，

β41 = 0 を得る．これらの解は，非線形代数方程式の「無矛盾な解」である．ここで得

られた重み因子の値は，先に示した (2.3)-(2.4d)式を与える．

このparameterの選択に対し，h5n の誤差を評価するために，次式で定義される δ

の表式を整理しよう．先ず，(2.26)式を用いて，δ を表す：

δ ≡ yn+1 − yn − (γ1k1 + γ2k2 + γ3k3 + γ4k4) 1

h5n

=1

5!

D4f +

∂f

∂yD3f + 4

(D

∂

∂y

)D2f + 6

(D2∂f

∂y

)Df +

(∂f

∂y

)2

D2f

–171–


+7

(∂f

∂y

) (D

∂f

∂y

)Df +

(∂f

∂y

)3

Df + 3∂2f

∂y2(Df)2

−γ2

4!

[D4

2f]− γ3

4!

[D4

3f]+ 4β32

[D3

2f] [

∂f

∂y

]+ 12β32

[D2

2f] [

D3∂f

∂y

]

+12β232

[∂2f

∂y2

][D2f ]2 + 12β32[D2f ]

[D2

3

∂f

∂y

]

−γ4

4!

[D4

4f]+ 4β42

[D3

2f] [

∂f

∂y

]

+4β43

([D3

3f]+ 3β32

[D2

2f] [

∂f

∂y

]+ 6β32[D2f ]

[D3

∂f

∂y

]) [∂f

∂y

]

+12

(β42

[D2

2f]+ β43

([D2

3f]+ 2β32[D2f ]

[∂f

∂y

])) [D4

∂f

∂y

]

+12 (β42[D2f ] + β43[D3f ])2

[∂2f

∂y2

]

+12(β42[D2f ] + β43[D3f ])

[D2

4

∂f

∂y

]+ O(hn)

=1

5!

D4f +

∂f

∂yD3f + 4

(D

∂f

∂y

)D2f + 6

(D2∂f

∂y

)Df +

(∂f

∂y

)2

D2f

+7

(∂f

∂y

) (D

∂f

∂y

)Df +

(∂f

∂y

)3

Df + 3∂2f

∂y2(Df)2

− 1

4!

(γ2α

42 + γ3α

43

) [D4f

]

−γ3

6β32α

32

[D3f

] [∂f

∂y

]− γ3

2β32α

22α3

[D2f

] [D

∂f

∂y

]

−γ3

2β2

32α22

[∂2f

∂y2

][Df ]2 − γ3

2β32α2α

23[Df ]

[D2∂f

∂y

]

−γ4

4!α4

4

[D4f

]− γ4

6

(β42α

32 + β43α

33

) [D3f

] [∂f

∂y

]

−γ4

2β43β32α

22

[D2f

] [∂f

∂y

]2

− γ4β43β32α2α3[Df ]

[D

∂f

∂y

] [∂f

∂y

]

−γ4

2

(β42α

22

[D2f

]+ β43

(α2

3

[D2f

]+ 2β32α2[Df ]

[∂f

∂y

]))α4

[D

∂f

∂y

]

−γ4

2(β42α2 + β43α3)

2 [Df ]2[∂2f

∂y2

]

−γ4

2(β42α2 + β43α3)α

24[Df ]

[D2∂f

∂y

]+ O(hn)

–172–


=1

5!

(∂f

∂y

)3 [Df ]− 1

4!

(γ2α

42 + γ3α

43 + γ4α

44 −

1

5

) [D4f

]

−1

6

(γ3β32α

32 + γ4

(β42α

32 + β43α

33

)− 1

20

) [D3f

] [∂f

∂y

]

−1

2

(γ3β32α

22α3 + γ4

(β42α

22 + β43α

23

)α4 − 1

15

) [D2f

] [D

∂f

∂y

]

−1

2

(γ3β32α2α

23 + γ4 (β42α2 + β43α3) α2

4 −1

10

)[Df ]

[D2∂f

∂y

]

−1

2

(γ3β

232α

22 + γ4 (β42α2 + β43α3)

2 − 1

20

) [∂2f

∂y2

][Df ]2

−(γ4β43β32α2(α3 + α4)− 7

120

)[Df ]

[D

∂f

∂y

] [∂f

∂y

]

−1

2

(γ4β43β32α

22 −

1

60

) [D2f

] [∂f

∂y

]2

+ O(hn) (2.34)

次に，重み因子の値を代入して，(2.34)式を整理する：

δ =1

5!

(∂f

∂y

)3 [Df ]− 1

5!4!

[D4f

]+

1

5!6

[D3f

] [∂f

∂y

]+

1

5!4

[D2f

] [D

∂f

∂y

]

− 1

5!4[Df ]

[D2∂f

∂y

]− 3

5!3

[∂2f

∂y2

][Df ]2 − 1

5!2[Df ]

[D

∂f

∂y

] [∂f

∂y

]

− 1

5!4

[D2f

] [∂f

∂y

]2

+ O(hn) (2.35)

ここで，|yn| = O(M) (M :正数) として，|[f ]| = O(M/L) (L = O(hn)) とおくと，

(2.35)式に含まれる微係数の大きさ (絶対値) は次のように評価できる：∣∣∣∣∣

[∂f

∂x

]∣∣∣∣∣ ∼M

L2,

∣∣∣∣∣

[∂f

∂y

]∣∣∣∣∣ ∼1

L,

∣∣∣∣∣fn

[∂f

∂y

]∣∣∣∣∣ ∼M

L2,

|[Df ]| =∣∣∣∣∣

[∂f

∂x+ fn

∂f

∂y

]∣∣∣∣∣ ∼2M

L2,

∣∣∣∣∣

[∂mf

∂xm

]∣∣∣∣∣ ∼M

Lm+1,

∣∣∣∣∣

[∂mf

∂ym

]∣∣∣∣∣ ∼1

LMm−1, for m = 2, 3, 4,

|[Dmf ]| ∼ 2mM

Lm+1, for m = 2, 3, 4

これらを用いて，(2.35)式の係数をまとめると，

δ =14m

5!L5(2.36a)

–173–


を得る．Ralston (文献1) 参照) に依れば，

δ =73

5!6

M

L5(2.36b)

となる．(2.36a,b)は，先に選んだ重み因子の値に対する4次のRunge-Kutta法の誤差

限界を評価する表式である．

さらに，数値計算では，計算のスキームが安定であることが必要である．それに

ついての検討は，別の機会に触れる．

[考察] 3次のRunge-Kutta法は，

yn+1 − yn = γ1k1 + γ2k2 + γ3k3 + γ4k4,

k1 = hnf(xn, yn) = hnfn,

k2 = hnf(xn + α2hn, yn + β21k1),

k3 = hnf(xn + α3hn, yn + β31k1 + β32k2)

であり，重み因子を決める代数方程式は

α2 = β21, α3 = β31 + β32,

γ1 + γ2 + γ3 = 1, γ2α2 + γ3α3 =1

2,

γ2α22 + γ3α

23 =

1

3, γ3β32α2 =

1

6

である．8個の未知数に対して方程式は6個であるから，2つをparameterとして重み

因子を選ぶことができる．その例を次の表に示す．

No. α2 α3 β21 β31 β32 γ1 γ2 γ3

1 2/3 2/3 2/3 1/6 1/2 1/4 1/4 1/22 2/3 2/3 2/3 -1/3 1 1/4 1/2 1/43 2/3 2/3 2/3 0 2/3 1/4 3/8 3/84 1/2 2/3 1/2 2/9 4/9 1/4 0 3/45 1/2 3/4 1/2 0 3/4 2/9 1/3 4/96 1/2 1 1/2 -1 2 1/6 2/3 1/6

3次の公式を用いて4次の項を計算すると，(2.28d,e,f)式から，係数の差 δA, δB, δC

は次のようになる：

δA = γ2α32 + γ3α

33 −

1

4,

δB = γ3β32α22 −

1

12,

–174–

3. RUNGE-KUTTA-GILL法 175

δC = γ3β32α2α3 − 1

8

これらを全て zeroとすることはできないが，係数の差 (誤差) が小さくなるようにpa-

rameter値を選ぶことはできる．

3 Runge-Kutta-Gill法

Runge-Kutta法をコンピュータ計算に応用するために，公式の改良が行われた；数

値の2進数表現を考慮した対策が検討された．特に有名なものはGillの研究で，彼が示

した公式はRunge-Kutta-Gillの公式と呼ばれている．それは次の式である：

yn+1 = yn + K (3.1)

k1 = hnf(xn, yn), η1 = yn +k1 − 2q0

2(3.2a, b)

k2 = hnf(xn + hn/2, η1), (3.3a)

q1 = q0 +3

2(k1 − 2q0)− 1

2k1, (3.3b)

η2 = η1 +

(1− 1√

2

)(k2 − q1) (3.3c)

k3 = hnf(xn + hn/2, η2), (3.4a)

q2 = q1 + 3

(1− 1√

2

)(k2 − q1)−

(1− 1√

2

)k2, (3.4b)

η3 = η2 +

(1 +

1√2

)(k3 − q2) (3.4c)

k4 = hnf(xn + hn, η3), (3.5a)

q3 = q2 + 3

(1 +

1√2

)(k3 − q2)−

(1 +

1√2

)k3, (3.5b)

η4 = η3 +1

6(k4 − 2q3), (3.5c)

q4 = q3 +1

2(k4 − 2q3)− 1

2k4 (3.5d)

但し，q0 は丸めの誤差を消すための項で，初め q0 = 0 とおいて計算し，(3.5d)の q4

を次のステップでの q0 とおく．yn+1 = yn+K = η4 である．(3.1)-(3.5d)式は，固定小

数点表示の場合の計算式である；それはプログラムを作成するための表式であり，書

き換えると，計算結果が変わるので注意すること．

–175–


Runge-Kutta-Gill法のプログラム例を巻末に示す；言語はBASIC (n88BASIC) で

あり，倍精度実数用である．この例は，定数係数を持つ2階の線形同次微分方程式：

d2y

dt2+ y = 0

の初期値問題 (y = 1, dy/dt = 0 at t = 0) を解いたものである．そこでは，Y (1) = y,

Y (2) = dy/dt とvector形に置き換えると，連立1階微分方程式：

dY (1)

dt= Y (2),

dY (2)

dt= −Y (1)

となることを用いている．

Euler法，Runge-Kutta法，Runge-Kutta-Gill法を用いて数値解析した例を巻末に

示す．微分方程式 d2y/dx2 + y = 0 を初期値 (dy/dx = 0, y = 1 at x = 0) について倍

精度実数計算を用いて解き，x = π での y の値を求めた；言語はFORTRANである．

図では，刻み幅 (区間分割数 N) を横軸に計算誤差と実行時間を縦軸に取って，両対数

目盛りで表示した．

参考文献

1) A.Ralston & P.Rabinowitz : A First Course in Numerical Analysis (McGraw-

Hill,1978) ; (邦訳) 戸田・小野共訳 : 電子計算機のための数値解析の理論と応用 <

上> (ブレイン図書出版社,1986).

2) 森正武 : FORTRAN77 数値計算プログラミング (増補版) (岩波書店,1988).

3) 一松信 : 数値計算 (至文堂,1963).

4) 小谷将広 : 和歌山工業高等専門学校機械工学科卒業研究論文別冊”数値解析の基礎

資料”(1986).

–176–

Chapter 19

Euclidの互除法1991.4.27.

任意の整数 a, b (b > 0)に対して，a = qb+r (0 ≤ r < b)を満足させる整数 q, r が

ただ1組存在する (除法定理 (division algorithm))．q を a を b で割った商 (quotient)，

r をそのときの剰余 (remainder) という．ここで，r = 0 のとき，あるいは一般に a, b

(b 6= 0)に対して a = bq となる整数 q が存在するとき，aは bの倍数 (multiple)，bは a

の約数 (divisor)，a は b で整除される (divisible) といい，記号 b|a を用いる．2つの正

の整数 a, b から始めて除法を続けて行ない，a = q1b + r1, b = q2r1 + r2, r1 = q3r2 + r3,

· · · · · · (b > r1 > r2 > r3 > · · · · · · > 0) とすれば，この演算は有限回の後に終わっ

て，rk = qk+2rk+1 となる．この rk+1 = r は，a, b の最大公約数 (greatest common

divisor，略してG.C.D.)，即ち a, b に共通な正の約数中最大の数となり，r = ax + by

(x, y は整数) と表わされる．G.C.D.を求める上の算法をEuclidの互除法 (Euclidean

algorithm)という．a, bの最大公約数を (a, b)で表わす．(a, b) = 1のとき，a, bは互い

に素 (relatively prime)であるという．その場合 ax+ by = 1の整数解 x, y が存在する．

いくつかの整数の共通な約数をその公約数 (common divisor)，共通な倍数をその公倍

数 (common multiple) という．正の公倍数の最小のものを最小公倍数 (least common

multiple，略してL.C.M.)という．G.C.D.はすべての公約数の倍数となり，L.C.M.はす

べての公倍数の約数となる．a, b (6= 0) のG.C.D.を d，L.C.M.を e とすれば，ab = de

となる．

岩波数学辞典第3版 p.180A

177

Chapter 20

3次/4次の代数方程式の解法- Cardano/Ferrariの公式 -

1992.12.25.”CARDANO”/’93.4.20.

1 3次の代数方程式の解法 - Cardanoの公式 -

’92.12.25.

実数係数 a, b, c, d を持つ未知数 x の3次の代数方程式：

ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a 6= 0) (1.1)

を解く．先ず，x2 の項を消去するために，変換：

x = y − b

3a(1.2)

を行うと，(1.1)は y の3次方程式となる：

ax3 + bx2 + cx + d = a

(y − b

3a

)3

+ b

(y − b

3a

)2

+ c

(y − b

3a

)+ d

= a

[y3 +

(c

a− b2

3a2

)y +

(2b3

27a3− bc

3a2+

d

a

)]

= a(y3 + 3αy + 2β) = 0 → y3 + 3αy + 2β = 0 (1.3)

係数 α, β は次式である：

α =c

3a− b2

9a2, β =

b3

27a3− bc

6a2+

d

2a(1.4a, b)

α = 0 の場合，(1.3)式は容易に解ける．β = 0 の場合も，(1.3)式は容易に解ける．以

下では，α 6= 0, β 6= 0 とする．

次に，y を2つの未知数 u, v を用いて，

y = u + v (1.5)

178

1. 3次の代数方程式の解法 - CARDANOの公式 - 179

と置き，(1.3)に代入する．

y3 + 3αy + 2β = u3 + v3 + 3uv(u + v) + 3α(u + v) + 2β = 0 (1.6)

ここで，

uv = −α (1.7)

と選ぶ (α 6= 0 であるから，u 6= 0, v 6= 0)．よって，(1.6)式は u3 の2次方程式になる：

u3 + v3 + 2β = u3 +(−α

u

)3

+ 2β = 0

→(u3

)2+ 2βu3 − α3 = 0 (1.8)

→ u3 = −β ±√

β2 + α3 (1.9)

(1.7)の関係を満たすには，

u3 = −β +√

β2 + α3 (1.10a)

に対して，

v3 = −α3

u3= −β −

√β2 + α3 (1.10b)

が対応する (即ち，(1.9)の複号の上側の根を u3 とおくと，(1.9)の複号の下側の根が

v3 となる)．u と v は (1.5)により y と関係付けられるので，一般性を失うことなく，

u, v を (1.10a,b)と置ける．

u の3次方程式 (1.10a)の3つの根を u1, u2, u3 と表す．3次代数方程式 z3 = −1

の根：

z1 = −1, z2 =1 + i

√3

2, z3 =

1− i√

3

2(1.11a, b, c)

(i ≡ √−1) を用いて，(1.10a)の根 u1, u2, u3 とそれに対応して (1.7)から導かれる v1,

v2, v3 は次式で与えられる：

u1 = z1

[β −

√β2 + α3

]1/3

, u2 = z2

[β −

√β2 + α3

]1/3

, (1.12a, b)

u3 = z3

[β −

√β2 + α3

]1/3

(1.12c)

v1 = z1

[β +

√β2 + α3

]1/3

, v2 = z3

[β +

√β2 + α3

]1/3

, (1.13a, b)

v3 = z2

[β +

√β2 + α3

]1/3

(1.13c)

故に，(1.1)の根 x1, x2, x3 は，

xk = − b

3a+ uk + vk (for k = 1, 2, 3) (1.14)

–179–

180 CHAPTER 20. 3次/4次の代数方程式の解法

と表される．これをCardanoの公式という．

//Cardano Girolamo (1501-1576)

2 4次の代数方程式の解法 - Ferrariの公式 -

’93.4.20.

実数係数 a, b, c, d を持つ未知数 x の4次の代数方程式：

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (2.1)

を解く．先ず，x3 の項を消去するために，変換：

x = y − a

4(2.2)

を行うと，(2.1)は y の4次方程式となる：

x4 + ax3 + bx2 + cx + d

=(y − a

4

)4

+ a(y − a

4

)3

+ b(y − a

4

)2

+ c(y − a

4

)+ d

= y4 +

(b− 3a2

8

)y2 +

(c− ab

2+

a3

8

)y +

(d− ac

4+

ba2

16− 3a4

256

)

= y4 + αy2 + βy + γ = 0 (2.3)

係数 α, β, γ は次式である：

α = b− 3a2

8, β = c− ab

2+

a3

8, γ = d− ac

4+

ba2

16− 3a4

256(2.4a, b, c)

(2.3)式は次のように書き換えられる：

y4 = −αy2 − βy − γ (2.5)

この両辺に zy2 + z2/4 (z は未知数;後で決める) を加え，左辺を完全平方にし，右辺を

整理する： (y2 +

z

2

)2

= zy2 +z2

4− αy2 − βy − γ

= (z − α)

[y − β

2(z − α)

]2

− β2

4(z − α)+

z2

4− γ (2.6)

–180–

2. 4次の代数方程式の解法 - FERRARIの公式 - 181

この右辺が完全平方になるためには，次の z の方程式が成り立てばよい：

z2

4− β2

4(z − α)− γ = 0

→ z3 − αz2 − 4γz − β2 + 4αγ = 0 (2.7)

(2.7)は z の3次代数方程式であるからCardanoの公式によって解ける；その解の1つ

を z とする．その結果，(2.6)式は，次の2つの2次方程式となる：

(y2 +

z

2

)2

= (z − α)

[y − β

2(z − α)

]2

(2.8)

→ → → y2 +z

2= +

√z − α

[y − β

2(z − α)

](2.9a)

→ y2 +z

2= −√z − α

[y − β

2(z − α)

](2.9b)

2次方程式をそれぞれに解いて，解 y1, y2, y3, y4 が求められる．

y1 =1

2

√z − α +

1

2

√−z − α− 2β√

z − α, (2.10a)

y2 =1

2

√z − α− 1

2

√−z − α− 2β√

z − α, (2.10b)

y3 =−1

2

√z − α +

1

2

√−z − α +

2β√z − α

, (2.10c)

y4 =−1

2

√z − α− 1

2

√−z − α +

2β√z − α

(2.10d)

with

z =α

3−

[δ −

√δ2 + ε3

]1/3 −[δ +

√δ2 + ε3

]1/3(2.11)

δ = −α3

27+

4

3αγ − β2

2, ε = −4γ

3− α2

9(2.12a, b)

[注] (2.7)は次式となる：

(z − α)(z2 − 4γ

)= β2

β 6= 0 であれば z 6= α 且つ z2 6= 4γ である．β = 0 であれば z = α または z2 = 4γ で

ある．z = α (β = 0) であれば，(2.6)の右辺には y が含まれない (完全平方の特別な

場合となる)．z2 = 4γ (β = 0) であれば，(2.6)の右辺は完全平方になる．

Ferrari Ludovico (1522-1565)

–181–

Chapter 21

行列と行列式 (入門編) D31993.8.15.

このChapterでは，2次の正方行列を基本として，行列,行列式,vectorの演算に慣

れることを目的とする．それ故，2年次の線形代数を復習することから始める．但し，

M ×N 型の行列 (M 行 N 列の行列) の一般論は扱わない．物理や工学への応用上で

重要な正方行列に限定する．実際，低次の正方行列を扱うだけでも，一般的な線形代

数への”つなぎ”としての役割は十分に果たされると思うからである．よって，読者は，

2,3,4次の正方行列に対する具体的・個別的表式と一般に成り立つ表式を区別して，数

学的概念を整理しながら学習することが望ましい．

以下では，太字の英大文字は行列を表す．太字の英小文字はvectorを表す．その

他の英字は実数 (scalar) を表す．但し，i, j, k,m, n, J,K, M, N は自然数とする．これ

以外の表記法を用いる場合には，その都度断るものとする．

1 行列と行列式の基本演算

1.1 Square Matrix 2 × 2

Second order square matrix (2次の正方行列): A

A =

(a11 a12

a21 a22

)

この表式 A を「2行2列の行列」または「2次の正方行列 (square matrix)」という．

m 行 n 列の amn (m,n = 1, 2) を行列の (m,n) 成分 (component) または (m,n) 要

素 (element) という；例えば，1行2列の成分は a12 である．ann (n = 1, 2) を対角成

分 (diagonal component)，amn (m 6= n) を非対角成分 (off-diagonal component) と

いう．行列 A の成分の対応関係を明記するために，A = amn と表すことがある．添え字 m,nは，m行, n列と表す習慣があり，行を”縦”，列を”横”ということもある．

trace (跡;Spur) (行列の対角成分の和): trace(A) ≡ a11 + a22

182

1. 行列と行列式の基本演算 183

deternimant (行列式):

det(A) ≡∣∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

2次の正方行列 A の行列式 det(A) は，上の表式のように展開される．det(A) 6= 0 が

成り立つとき，行列 A は正則 (regular) または非特異 (non-singular) であるという．

det(A) = 0 の場合，A は特異 (singular) であるという．

2次の正方行列 A が det(A) 6= 0 を満たすとき，A の rank (階数) は2であると

いう：rankA = 2．(N (N > 2) 次の正方行列 A が det(A) 6= 0 を満たすとき，A の

rankは，N であるという：rankA = N．一般には，0 ≤ rankA ≤ N である．) ここ

では，行列式は，行列を特徴づける量の一つであると考える．

小行列 (minor matrix, minor): Mmn (m,n = 1, 2)

2次の正方行列 A の場合，m 行と n 列を除いた成分 (行列) である．

M 11 = a22, M 12 = a21, M 21 = a12, M 22 = a11

(ここでは，言葉を統一するため，Mmn を”行列”と呼び，形式的に det(Mmn) と表現

する．こうして，成分が行列である行列を定義できることが示唆される．小行列に関

する詳しいことは，4次, N 次の正方行列のところで述べる．)

余因子 (cofactor): ∆mn ≡ (−1)m+ndet(Mmn) (m, n = 1, 2)

これにより，行列式 det(A) は，次のように表される：

det(A) = a11a22 − a12a21 = a11det(M 11)− a12det(M 12) = a11∆11 + a12∆12

= a11det(M 11)− a21det(M 21) = a11∆11 + a21∆21

= a22det(M 22)− a21det(M 21) = a22∆22 + a21∆21

= a22det(M 22)− a12det(M 12) = a22∆22 + a12∆12

det(A) =2∑

m=1

amn∆mn (for n = 1 or 2)

det(A) =2∑

n=1

amn∆mn (for m = 1 or 2)

即ち，行列のいずれかの列 (行)を基準にして，行列式を展開することができる．これを

Laplace展開 (Laplace expansion)という．(置換演算を含む一般的表式は，省略する．)

行列 C の成分 cmn (m,n = 1, 2) が次の関係：

cmn = ∆nm = (−1)n+mdet(Mnm)

–183–

184 CHAPTER 21. 行列と行列式 (入門編) D3

を満たすとき，C を A のadjoint matrix (随伴行列, associated matrix) という：

C = adj(A), cmn = ∆nm

transposed matrix (転置行列): AT

AT =

(a11 a21

a12 a22

)AT = amnT = anm

m行 n列の成分 amn を n行 m列の成分 anm と入れ換える操作を転置 (transposition)

という．転置行列 AT の行列式は，元の行列 Aの行列式に等しい: det(AT ) = det(A)．

また，trace(AT ) = trace(A) が成り立つ．転置の定義により，(AT )T = A である．

1.2 代表的なmatrix

対称行列 (symmetric matrix): a12 = a21

行列の成分 amn が，amn = anm (m,n = 1, 2) を満たす．

amn = anm, AT = A

転置行列 AT と同値である行列 A を対称行列という．同様に，AT は対称行列であ

る．

[注] 一般に，行列 A, B の全ての成分に対し，amn = bmn (m,n = 1, 2) が成り立つと

き，A と B は同値 (equivalent) であるという．

交代行列 (alternating matrix),歪対称行列 (skew-symmetric matrix),反対称行列 (anti-

symmetric matrix): a12 = −a21, a11 = a22 = 0

行列の成分 amn が，amn = −anm (m,n = 1, 2；従って，ann = 0) を満たす．

amn = −anm = −anm, AT = −A

但し，−anm を −anm と表した．交代行列では，一般に，trace(A) = 0 となる．2

次の交代行列では，det(A) = −a12a12 < 0 である．N 次の交代行列 A では，N が奇

数の場合，常に，det(A) = 0 となる．N が奇数か偶数かによって行列式の値が変わる．

一般的な証明は後述するが，代表的な次の行列について行列式を求めれば，それが確

かめられる．

J =

(0 −11 0

)J3 =

0 1 0−1 0 00 0 0

–184–


三角行列 (triangular matrix): 対角成分の左下 (右上) の成分が zeroである行列

A =

(a11 a12

0 a22

)A =

(a11 0a21 a22

)

この左側に示した例が，上三角行列 (upper triangular matrix)である．右側の例は，下

三角行列 (lower triangular matrix) である．三角行列の行列式は，次のように，対角

成分の積となる：

det(A) =2∏

k=1

akk

(一般に，N 次三角行列の行列式は，対角成分の積となる．この顕著な結果は，特に留

意しておく必要がある．)

上 (下) 三角行列の転置行列は，下 (上) 三角行列である．

対角行列 (diagonal matrix): a12 = a21 = 0

非対角成分が全て zeroである行列であり，A = diag(a11, a22) と表すことがある．

対角行列の行列式は，次のように，対角成分の積となる：

det(A) =2∏

k=1

akk

(一般に，N 次対角行列の行列式は，対角成分の積となる．この顕著な結果は，特に留

意しておく必要がある．)

unit diagonal matrix (単位対角行列), unit matrix (単位行列): I

I =

(1 00 1

)= δjk, trace(I) = 2, det(I) = 1

δjk は，Kroneckerのdeltaであり，δjk = 1 (when j = k)，δjk = 0 (j 6= k) である．(N

次の単位行列 I = diag(1, 1, · · · , 1) では，trace(I) = N, det(I) = 1 である．)

permutation matrix (置換行列): P

成分が0と1から成り，どの行にも1が1個だけ含まれ，どの列にも1が1個だけ含

まれる行列を置換行列という．2次の置換行列は，次の2つである：

P =

(1 00 1

)= I P =

(0 11 0

)

前者は単位行列 I である．後者は反転を表し，trace(P ) = 0, det(P ) = −1 である．詳

しいことは，行列の積を定義した後に述べる．

–185–


rotation matrix: R

R =

(cos α sin α− sin α cos α

)det(R) = 1

平面内の座標軸を角度 α だけ回転させる変換を表す．α = 0 のとき，R は単位行列に

なる；R = I, trace(R) = 2．α = π/2 のとき，R は交代行列になる; trace(R) = 0．

matrix unit(行列単位): Emn (m,n = 1, 2)

E11 =

(1 00 0

)E12 =

(0 10 0

)

E21 =

(0 01 0

)E22 =

(0 00 1

)

行列 A は，行列の成分 amn と行列単位 Emn で構成される：

A =2∑

m=1

2∑

n=1

amnEmn

この関係式が成り立つことを示すためには，行列の和と scalar積が定義される必要が

ある．しかし，それを待つこと無く，関係式の成立は自明であろう．

zero(null) matrix: φ

φ =

(0 00 0

)

φ は，例えば，対称行列であり且つ交代行列である．しかし，「対称行列」と言うと

き，φも含まれるが，φだから成り立つ事柄は通常意識されていないことに注意する必

要がある．φを，と表すこともある；ここでは，は zero vectorの意味でのみ用いる．

vector x: column vector (列vector) x と row vector (行vector) xT

x =

(x1

x2

)xT = (x1 x2)

前者を縦vector，後者を横vectorと呼ぶことがある．

vectorの内積 (inner product):

2つのvector aT = (a1 a2)，bT = (b1 b2) の内積は

aT b = a1b1 + a2b2 = bT a =< a, b >

–186–


と定義される．< a, b >= 0 のとき，少なくとも一方が zero vector である；そうで

なければ，2つのvector a, b は，直交 (orthogonal) するという．a と a の内積の 1/2

乗 (< a,a >1/2) をvector a の大きさという．これを ||a|| と表すことがある．列 (縦)

vectorと行 (横) vectorの区別を要しないときには，転置記号 ”T” を省く．また，通常

のvector記法では，内積を < a, b >= a · b と表す．

vectorのdyad:

ab =

(a1b1 a1b2

a2b1 a2b2

)

→ trace(ab) = a1b1 + a2b2 = aT b = bT a =< a, b >

vectorの拡張：vectorを，次のように，行列と考えることができる．

x =

(x1

x2

)→ X =

(x1 0x2 0

)

xT = (x1 x2 x3 x4) → X =

(x1 x3

x2 x4

)

前者の例は，vectorを行列表示しただけである (それが有効か否かは別である)．後者

の例は，4元vectorを2次の正方行列で表すことができることを意味する．

2つのvectorを aT1 = (a11a21), aT

2 = (a12a22) とおけば，行列 A は，

A =

(a11 a12

a21 a22

)= (a1 a2)

と表される．vectorも行列も，数の配列 (array) を基本としている．

[例] 行列 A の列 (または行) を (奇数回) 入れ換えて，行列 A′を作る．その行列

式 det(A′) は，次のようになる．

det(A′) =

(a12 a11

a22 a21

)= −det(A)

det(A′) =

(a21 a22

a11 a12

)= −det(A)

(2次の正方行列では，列 (または行) を偶数回入れ換えると元に戻るから，行列式の値

は変わらない．)

一般に，行列の行 (列) の奇置換に対し，行列式は符号を変える．偶置換に対し，

行列式は符号を変えない．詳しいことは，置換演算を正確に定義してから述べる．

–187–


1.3 行列の基本演算

square matrix (正方行列) 2× 2 : A, B, C

A =

(a11 a12

a21 a22

)B =

(b11 b12

b21 b22

)C =

(c11 c12

c21 c22

)

行列A, B の全ての成分に対し，amn = bmn (m,n = 1, 2)が成り立つとき，AとB

は同値 (equivalent)であるという．また，A = B でB = C であれば，A = C である．

行列の和： cmn = amn + bmn (m,n = 1, 2) が成り立つとき，C = A + B と表す．

C =

(a11 + b11 a12 + b12

a21 + b21 a22 + b22

)= A + B = B + A

成分の加算が交換可能 (可換,commutable) であるから，行列の和は可換である．

故に，trace(C) = trace(A + B) = trace(A) + trace(B) が成り立つ．但し，一般

に，det(A + B) 6= det(A) + det(B) である；後の例参照．また，和の定義により，

CT = (A + B)T = AT + BT が成り立つ．A + φ = A は明かである．

C = A + A のとき，次のようになる：

C =

(a11 + a11 a12 + a12

a21 + a21 a22 + a22

)=

(2a11 2a12

2a21 2a22

)

C = A + AをC = 2A と表す；A を N 回加算したものを，NA と表す (行列

の N 倍)．

C = A + X を満たす行列 X が存在する：X = C −A (行列の引き算)．

zero (null) matrix φ: φ = A−A

scalar C と行列の積： bmn = Camn (m,n = 1, 2) が成り立つとき，B = CA と

表す．

B =

(Ca11 Ca12

Ca21 Ca22

)= C

(a11 a12

a21 a22

)= CA = AC

よって，trace(CA) = Ctrace(A)，det(CA) = C2det(A) となる．

次のような行列 C が存在する：

C = C1A + C2A = (C1 + C2)A, C = C1A + C2B (C1, C2 :実数)

これらは，線形作用素 (線形演算子) £ に対する行列の線形演算を意味する：

£(CA) = C£(A), £(A + B) = £(A) + £(B)

zero (null) matrix φ: φ = 0A

–188–


行列とvectorの積は，行vectorと列vectorに対してそれぞれに定義される．その

結果はvectorである．

行vector xT と行列 A の積：

xT A = (x1 x2)

(a11 a12

a21 a22

)= (x1a11 + x2a21 x1a12 + x2a22)

行列 A と列vector x の積：

Ax =

(a11 a12

a21 a22

) (x1

x2

)=

(a11x1 + a12x2

a21x1 + a22x2

)

どの方向から行列 A にvectorを作用させるかで区別して，行 (列) vectorを左 (右)

vectorということがある．

vector y とvector Ax の内積は，次のように書き換えられる：

< y,Ax >=2∑

j=1

2∑

k=1

yjAjkxk =2∑

k=1

2∑

j=1

xkAjkyj =< x, AT y >

これを x, y に関する双一次形式 (bilinear form) という．詳しくは，2節で扱う．

行列の積： cmn =∑2

k=1 amkbkn (m, n = 1, 2) が成り立つとき，C = AB と表す．

C =

(a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22

a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

)= AB

一方，積 BA は，次のようになる：

BA =

(b11a11 + b12a21 b11a12 + b12a22

b21a11 + b22a21 b21a12 + b22a22

)

故に，2つの行列の積の交換は，一般に，成り立たない：AB 6= BA．それに対し，

trace(AB) = trace(BA)，det(AB) = det(BA) は成り立つ；後に示す例を参照．ま

た，A と B の積の転置は，(AB)T = BT AT となる．Aφ = φA = φ は明かである．

AB = BA であるとき，積が可換 (commutable) であるという．当然のことなが

ら，積 AA は可換である．また，A と I の積は AI = IA = A であるから，可換で

ある．

A と A の積を指数表現 (ベキ表現) する：AA = A2

A の n 個の積 (A の n 乗)：AA · · ·AA = An−1A = AAn−1 = An

A0 = I, In = I (n ≥ 0), φ0 = I, φn = φ (n ≥ 1)

AN = AmAn = AnAm (N = m + n；指数の和)

(Am)n = Amn = (An)m (指数の積)

–189–


A−1 を A の逆行列と呼ぶ (但し，An, n < 0 は，明確でない)

正方行列 A, B, C に対して，次の演算法則が成り立つ：

(AB)C = A(BC) 結合の法則

A(B + C) = AB + AC 左側分配の法則

C(A + B) = CA + CB 右側分配の法則

(CA)B = A(CB) = C(AB) scalar乗法の可換性

これにより，次の関係式が得られる：

(A + B)(A + B) = AA + AB + BA + BB = A2 + AB + BA + B2

(A + B)(A + B)(A + B) = (A + B)(AA + AB + BA + BB)

= AAA + AAB + ABA + ABB + BAA + BAB + BBA + BBB

= A3 + A2B + ABA + AB2 + BA2 + BAB + B2A + B3

一般に，(A + B)N を展開すると，2N 個の項が現れる．

行列 A, B の積が可換 (AB = BA) の場合，次のように2項展開できる：

(A + B)(A + B) = A2 + 2AB + B2

(A + B)(A + B)(A + B) = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A + B)N =N∑

k=0

NCkAkBN−k

(NCk =

N !

k!(N − k)!

)

行列 A と I の積は可換 (AI = IA = A) であるから，次のように2項展開で

きる：

(A + I)(A + I) = A2 + 2AI + I2 = A2 + 2A + I

(A + I)3 = A3 + 3A2 + 3A + I

(A + I)N =N∑

k=0

NCkAkIN−k =

N∑

k=0

NCkAk

(NCk =

N !

k!(N − k)!

)

行列 A のベキ多項式 (matrix polinomial)： F ≡ F (A; N)

F =N∑

k=0

CkAk (Ck :実数；k = 0, 1, 2, · · · , N)

F と A の積は可換である：AF = FA．これを応用すると，行列 A のベキ多項式

G ≡ G(A; M) と F は可換であることが分かる： FG = GF．

–190–


A = pI (p:実数) とおけば，上記のベキ多項式は，次のようになる：

F =N∑

k=0

Ck(pI)k = I

[N∑

k=0

Ckpk

]

即ち，単位行列 I を用いて，実数 p のベキ多項式を行列と考えることができる．

係数を Ck = 1/k! とし，N →∞ の極限に対して F (A; N) が存在すれば，それを

行列 A の指数関数と定義する：

F (A;∞) =∞∑

k=0

1

k!Ak ≡ exp(A)

この指数関数の定義より，exp(A) と A の積は可換である：A exp(A) = exp(A)A．

行列 A と B の和の指数関数は，AB = BA ならば，A の指数関数と B の指数

関数の積となる：

exp(A + B) = exp(A) exp(B)

行列 A と CI (C:scalar) の指数関数は，AI = IA = A であるから，次のように

表される：

exp(A + CI) = exp(A) exp(CI) = exp(A)I exp(C) = exp(A) exp(C)

この他の関数については，3節以降で扱うことにする．

[補足] 2次の正方行列 A, B の積をvector a1, a2, b1, b2 を用いて表す．vectorを

aT1 = (a11 a12), aT

2 = (a21 a22)

b1 = (b11 b21)T , b2 = (b12 b22)

T

とおくと，積 AB は，次のように表される：

AB =

(a11 a12

a21 a22

) (b11 b12

b21 b22

)=

(aT

1

aT2

)(b1 b2)

=

(< a1, b1 > < a1, b2 >< a2, b1 > < a2, b2 >

)

即ち，内積 < am, bn > を m 行 n 列成分とする行列 < am, bn > が，積 AB で

ある．故に，上記で定義した行列の積は，vectorの内積と対応するものである．vec-

torに内積と外積があるように，行列の積の定義の仕方にもいろいろある．通常，”行列

の積”はこの節で定義した積を意味するが，”行列の積の定義”に注意を払う必要がある．

–191–


[例] 一般に，行列 A は，対称行列 (A + AT )/2 と交代行列 (A − AT )/2 に分解

できる．

A =A + AT

2+

A−AT

2

AT =(A + AT )T

2+

(A−AT )T

2=

AT + A

2+

AT −A

2

=A + AT

2− A−AT

2

故に，(A + AT )T /2 = (A + AT )/2，(A−AT )T /2 = −(A−AT )/2 である．

[例] 行列の和 A + B の行列式 det(A + B) は，次のようになる．∣∣∣∣∣

a11 + b11 a12 + b12

a21 + b21 a22 + b22

∣∣∣∣∣ = det(A) + det(B) + det(C) + det(D)

但し，行列 C, D は，次の2組のいずれかである：

C =

(a11 a12

b21 b22

)D =

(b11 b12

a21 a22

)

C =

(a11 b12

a21 b22

)D =

(b11 a12

b21 a22

)

B = A の場合，C = D = A となるから，det(A + B) = 4det(A)，即ち，

det(2A) = 4det(A) を得る．(N 次正方行列では，det(2A) = 2Ndet(A) である．)

B の成分が b1n = a1n，b2n = 0 (n = 1, 2) の場合，上の組に対して D = A であ

り，det(B) = det(C) = 0となる．よって，行列単位 E11, E12 を用いて，次式を得る：

det(A + B) = det(A + a11E11 + a12E12) = 2det(A)

B の成分が，b2n = 0 (n = 1, 2) の場合，上の組に対し det(B) = det(C) = 0 であ

る．よって，次式を得る：

det(A + b11E11 + b12E12) = det(A) + det(D)

→∣∣∣∣∣

a11 + b11 a12 + b12

a21 a22

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣b11 b12

a21 a22

∣∣∣∣∣

即ち，一般に，m行が和 amn +bmn (n = 1, 2)である行列の行列式は，m行を amn とお

いた行列 A の行列式と m 行を bmn とおいた行列 D の行列式の和 (det(A)+det(D))

に等しい．このことは，下の組に対して，m 列が和 anm + bnm (n = 1, 2) である場合

にも成り立つ：

det(A + b11E11 + b21E21) = det(A) + det(D)

–192–


→∣∣∣∣∣

a11 + b11 a12

a21 + b21 a22

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣b11 a12

b21 a22

∣∣∣∣∣

行列式では，det(A) = det(AT ) であるから，行に対して成り立つことは，一般に，列

に対しても成り立つ．

B の成分が b1n = Ca2n，b2n = 0 (n = 1, 2；C:実数) の場合には，上の組に対し

て，det(B) = det(C) = det(D) = 0 となる．よって，次式を得る：

det(A + B) = det(A + Ca21E11 + Ca22E12) = det(A)

→∣∣∣∣∣

a11 + Ca21 a12 + Ca22

a21 a22

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣Ca21 Ca22

a21 a22

∣∣∣∣∣ = det(A)

即ち，一般に，行列の m 行 (列) に n 行 (列) の C 倍を加えても (引いても)，行列式

の値は変わらない．この性質は，行列式を数値的に求める際に，有効な手掛かりとなる．

[例] 一般に，N 次正方行列 A に対して，det(CA) = CNdet(A) となる．

さらに，N 次正方行列 A が交代行列 (AT = −A) の場合，

det(AT ) = det(−A) = (−1)Ndet(A)

を得る．det(AT ) = det(A) であるから，交代行列に対する一般式：

[1− (−1)N ]det(A) = 0

を得る．故に，奇数次の交代行列の行列式は，zeroである．

[例] Cdet(A) (C:実数) は，次式となる：

Cdet(A) = C(a11a22 − a12a21) =

∣∣∣∣∣Ca11 Ca12

a21 a22

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣Ca11 a12

Ca21 a22

∣∣∣∣∣

この Cdet(A) は，A のいずれかの行 (列) だけ C 倍したものの行列式である．故に，

特別な場合 (C = 1, 0 など) を除き，Cdet(A) 6= det(CA) である．

[例] trace(AB) = trace(BA) が成り立つ．

trace(AB) = a11b11 + a12b21 + a21b12 + a22b22

trace(BA) = b11a11 + b12a21 + b21a12 + b22a22 = trace(AB)

[例] 一般に，転置演算について，(AB)T = BT AT が成り立つ．

(AB)T =

(a11b11 + a12b21 a21b11 + a22b21

a11b12 + a12b22 a21b12 + a22b22

)

–193–


=

(b11 b21

b12 b22

) (a11 a21

a12 a22

)= BT AT

[例] det(AB) = det(A)det(B) が成り立つ．

det(AB) = (a11b11 + a12b21)(a21b12 + a22b22)− (a11b12 + a12b22)(a21b11 + a22b21)

= (a11a22 − a12a21)(b11b22 − b12b21) = det(A)det(B)

故に，

det(BA) = det(B)det(A) = det(A)det(B) = det(AB)

故に，

det((BA)T ) = det(BT )det(AT ) = det(B)det(A)

= det(A)det(B) = det(AB)

[例] 単位行列 I に対して，次の関係が成り立つ．

II = I2 = I, In = I (n > 2)

det(In) = 1 (n = 1, 2, · · ·)

また，scalar C と単位行列 I の積を scalar行列と呼ぶことがある：

CI =

(C 00 C

)

trace(CI) = 2c，det(CI) = C2．

[例] 一般に，A = IA = AI が成り立つ．

[例] 行列 A が正則 (det(A) 6= 0) であれば，AB = I または BA = I となる行

列 B が存在する．B の行列式は，次のようになる：

det(AB) = det(A)det(B) = det(I) = 1 → det(B) =1

det(A)

B を A の inverse matrix (逆行列) という；B = A−1，det(A−1) = 1/det(A)．

[例] 対角行列 A, B の和は，対角行列である．対角行列 A, B の積は，対角行列

である．

–194–


[例] 対角行列 A の n 乗は，次のように表される：

A =

(a11 00 a22

)An =

(an

11 00 an

22

)

det(A) = a11a22, det(An) = an11a

n22

[例] 同型 (対角成分の左下または右上) の三角行列 A, B の和と積は，三角行列であ

る．即ち，A + B，AB は三角行列である．

[例] AT A = I を満たす行列 A を，直交行列 (ortogonal matrix) という．即ち，

転置行列が逆行列に等しい：AT = A−1．よって，AT A = AAT = I．この A の行列

式は，次の関係を満たす：

det(A) = det(AT ) = det(A−1) =1

det(A)→ det2(A) = 1

→ det(A) = ±1

[例] 行列 A, B が，ある行列 P とその逆行列 P−1 により，

B = P−1AP

と表されるとき，A と B は，相似 (similar) であるという．B の N 個の積 (BN) は，

P−1P = PP−1 = I により，次のようになる：

BB · · ·BB = (P−1AP )(P−1AP ) · · · (P−1AP )(P−1AP )

= P−1APP−1AP · · ·P−1APP−1AP

= P−1AIAI · · · IAIAP = P−1AA · · ·AAP

= P−1ANP

逆に，AN は，次のようになる：

AN = (PBP−1)N = PBNP−1

よって，B を対角行列や三角行列とするような P が見い出せれば，A のベキは容易

に求められることになる．それについては，2節で触れる．

[例] A2 = A を満たす行列 A をベキ等行列 (idemponent matrix) という．

–195–


[例] An = φ (n > 1) を満たす行列 A をベキ零行列 (nilponent matrix) という．

[例] 2次の単位行列 I と交代行列 J によって，行列 A = aI + bJ (a, b:実数) を

作る．A2 は，次のようになる：

A2 = (aI + bJ)(aI + bJ) = a2I2 + ab(IJ + JI) + b2J2

= (a2 − b2)I + 2abJ

I の係数を複素数の実部，J の係数を虚部とみなすと，この計算は，複素数の2乗に

相当する．

[例] 行列 A = a1I + a2J と B = b1I + b2J (a1, a2, b1, b2:実数) について，和と

積は次のようになる：

A + B = (a1 + b1)I + (a2 + b2)J

AB = (a1b1 − a2b2)I + (a1b2 + a2b1)J = BA

[例] 行列 A と置換行列 P の積は，次のようになる：

AP =

(a11 a12

a21 a22

) (0 11 0

)=

(a12 a11

a22 a21

)(列置換)

PA =

(0 11 0

) (a11 a12

a21 a22

)=

(a21 a22

a11 a12

)(行置換)

PAP =

(0 11 0

) (a11 a12

a21 a22

) (0 11 0

)=

(a22 a21

a12 a11

)

AP は A の列の置換，PA は行の置換を表す．PAP = P (AP ) = (PA)P である．

上式から，trace(AP ) = trace(PA)，trace(PAP ) = trace(A) であることが分かる．

また，det(AP ) = det(PA) = −det(A)，det(PAP ) = det(A) である．

置換行列 P に対して，次式が成り立つ：

P−1 =1

det(P )

∣∣∣∣∣0 −1−1 0

∣∣∣∣∣ = P

即ち，P は，PP = PP−1 = P−1P = P T P = P T P = I を満たす；trace(P ) = 0，

det(P ) = −1．P は直交行列 (P T P = I) である

[例] 2次の正方行列 A について，det(A− CI) (C:実数) は，次のようになる．

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣a11 − C a12

a21 a22 − C

∣∣∣∣∣ = (a11 − C)(a22 − C)− a12a21

–196–


= C2 − trace(A)C + det(A)


Third order square matrix(3次正方行列): A

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

trace (跡) (行列の対角成分の和): trace(A) ≡ a11 + a22 + a33

小行列 (minor matrix, minor): Mmn (m,n = 1, 2, 3)

行列 A の m 行と n 列を除いた行列である．

M 11 =

(a22 a23

a32 a33

)M 12 =

(a21 a23

a31 a33

)M 13 =

(a21 a22

a31 a32

)

M 21 =

(a12 a13

a32 a33

)M 22 =

(a11 a13

a31 a33

)M 33 =

(a11 a12

a21 a22

)

(M 23, M 31, M 32 は省略した)；Mmn の総数は 3C1× 3C1 = 9個である．Mmn は部分

行列 (sub-matrix) の例である．det(M kk) (k = 1, 2, 3) を主小行列式 (principal minor

determinant) といい，det(M 33) を首座行列式 (leading principal minor) と呼ぶことが

ある．

余因子 (cofactor): ∆mn ≡ (−1)m+ndet(Mmn) (m,n = 1, 2, 3)

随伴行列 (adjoint matrix): adj(A) = ∆mnT


det(A) ≡∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣ + a13

∣∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣

=3∑

j=1

akj∆kj (for k fixed)

=3∑

k=1

akj∆kj (for j fixed)

–197–


先ず，1行目を基準として，行列式をLaplace展開した．その結果は，いずれかの行を

基準にLaplace展開したものと一致する．det(AT ) = det(A) であるから，いずれかの

列を基準にLaplace展開したものとも一致する．

det(A) 6= 0 のとき，行列 A の rankは，3である：rank A = 3．

det(A) = 0 となるが，Mmn (m,n = 1, 2, 3) のいずれかに対して，det(Mmn) 6= 0 と

なるとき，A の rankは2である：rank A = 2．

transposed matrix (転置行列):

AT =

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

[例] 3次の交代行列の行列式は，zeroである．

0 a b−a 0 c−b −c 0

= 0

[例] 3次のVandermondeの行列式 D ≡ D(x1, x2, x3) は，次のようになる：

D(x1, x2, x3) =

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1x1 x2 x3

x21 x2

2 x23

∣∣∣∣∣∣∣= (x2x

23 − x3x

22)− (x1x

23 − x3x

21) + (x1x

22 − x2x

21)

= (x1 − x2)(x2 − x3)(x3 − x1)

ここでは，Laplace展開して結果を整理した．

もう少し一般的な解法を考える．先ず，x1 だけを変数とみれば，行列式の形から

分かるように，D は x1 の2次多項式である．即ち，D = C2x21 + C1x1 + C0 であり，係

数 C2, C1, C0 は x2, x3 を含む；その x2, x3 のベキの次数は，同様の理由により，2次

以下である．次に，x1 = x2 及び x1 = x3 の場合，2つの列が等しくなるので，D = 0

となる：

D(x2, x2, x3) = C2x22 + C1x2 + C0 = 0

D(x3, x2, x3) = C2x23 + C1x3 + C0 = 0

]→

[C1 = −C2(x2 + x3)C0 = C2x2x3

→ D(x1, x2, x3) = C2x21 − C2(x2 + x3)x1 + C2x2x3

= C2(x1 − x2)(x1 − x3)

さらに，x2 = x3 の場合にも D = 0であり，ベキの次数を考慮すれば，C2 = C(x2−x3)

(C:定数) でなければならない．対角成分の積は x2x23 であるから，C = −1 を得る．

よって，

D(x1, x2, x3) = (x1 − x2)(x2 − x3)(x3 − x1)

–198–


を得る．

[例] 3次の置換行列 P は，3! 個ある．

P 1 =

1 0 00 1 00 0 1

P 2 =

1 0 00 0 10 1 0

P 3 =

0 1 01 0 00 0 1

P 4 =

0 1 00 0 11 0 0

P 5 =

0 0 10 1 01 0 0

P 6 =

0 0 11 0 00 1 0

[例] TW 伊理

[例] 3次元空間の変換matrix


Fourth order square matrix (4次正方行列): A

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

trace (跡) (行列の対角成分の和): trace(A) ≡ a11 + a22 + a33 + a44

小行列 (minor matrix, minor): Mmn (m,n = 1, 2, 3, 4)

行列 A の m 行と n 列を除いた行列である．

M 11 =

a22 a23 a24

a32 a33 a34

a42 a43 a44

M 12 =

a21 a23 a24

a31 a33 a34

a41 a43 a44

M 13 =

a21 a22 a24

a31 a32 a34

a41 a42 a44

M 14 =

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43

M 21 =

a12 a13 a14

a32 a33 a34

a42 a43 a44

M 22 =

a11 a13 a14

a31 a33 a34

a41 a43 a44

M 33 =

a11 a12 a14

a21 a22 a24

a41 a42 a44

M 44 =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

–199–


(M 23,M 24,M 31,M 32,M 34,M 41,M 42, M 43 は省略)；Mmn の総数は 4C1× 4C1 = 16

個である．Mmn は部分行列 (sub-matrix) の例である．det(M kk) (k = 1, 2, 3, 4) を

主小行列式 (principal minor determinant) といい，det(M 44) を首座行列式 (leading

principal minor) と呼ぶことがある．

余因子 (cofactor): ∆mn ≡ (−1)m+ndet(Mmn) (m,n = 1, 2, 3)

随伴行列 (adjoint matrix): adj(A) = ∆mnT

submatrix (部分行列): Nmn (m,n = 1, 2, 3, 4)

A の m 行 m 列と n 行 n 列 (m 6= n) を除いて，2次の正方行列 Nmn を構成す

る．例えば，N 12 は，次のようになる：

N 12 =

(a33 a34

a43 a44

)

4次の正方 4C2 4C2


det(A) ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11∆11 + a12∆12 + a13∆13 + a14∆14

=4∑

j=1

akj∆kj (for k fixed)

=4∑

k=1

akj∆kj (for j fixed)

det(A) 6= 0 のとき，行列 A の rankは，4である：rank A = 4．

transposed matrix (転置行列):

AT =

a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

[例]

A11 =

(a11 a12

a21 a22

)A12 =

(a13 a14

a23 a24

)

A21 =

(a31 a32

a41 a42

)A22 =

(a33 a34

a43 a44

)

–200–


A =

(A11 A12

A21 A22

)AT =

(AT

11 AT21

AT12 AT

22

)

trace(A) = trace(A11) + trace(A22) det(A) ？？

同様に

B =

(B11 B12

B21 B22

)

AB =

(A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22

A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

)

AB =N∑

k=1

AmkBkn

det(AB) ？？

[例] 次の交代行列の行列式は，？である．

0 a b c−a 0 d e−b −d 0 f−c −e −f 0

=

[例] Hamiltonの4元数：次に示す交代行列をHamiltonの4元数という．

A1 =

0 −1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

A2 =

0 0 −1 00 0 0 11 0 0 00 −1 0 0

A3 =

0 0 0 −10 0 −1 00 1 0 01 0 0 0

[例] 2次の正方行列 A,B により，4次の正方行列 C は，次のように表される：

A =

(a11 a12

a21 a22

)B =

(b11 b12

b21 b22

)C =

(A BB A

)

この C の行列式は，次のように表される：

det(C) = det(A + B)det(A−B)

[例] 前の例の A,B により，C が三角行列：

C =

(A Bφ A

)

–201–


となる場合，det(C) = det(A)det(B) となる．

[例] n 次の正方行列 A について，det(adj(A)) = [det(A)]n−1 が成り立つ．

1.6 N 次正方行列，(m,n) 行列

2 行列の線形関数と線形方程式

2.1 連立線形 (一次) 方程式

(system of linear equations, simultaneous linear equations)：

同次型 (homogeneous type): Ax =

非同次型 (inhomogeneous type): Ax = b

A が2次の正方行列で，x が2元vectorの場合を例に取り，非同次連立線形方程

式を解く．(

a11 a12

a21 a22

) (x1

x2

)=

(b1

b2

)→

[a11x1 + a12x2 = b1,a21x1 + a22x2 = b2

前者に a22 を掛け，後者に a12 を掛け，差を取る：

a22(a11x1 + a12x2) = a22b1

a12(a21x1 + a22x2) = a12b2

(a11a22 − a12a21)x1 = a22b1 − a12b2 → x1 =a22b1 − a12b2

det(A)

前者に a21 を掛け，後者に a11 を掛け，差を取る：

a21(a11x1 + a12x2) = a21b1

a11(a21x1 + a22x2) = a11b2

(a21a12 − a11a22)x2 = a21b1 − a11b2 → x2 =−a21b1 + a11b2

det(A)

即ち，det(A) 6= 0 は，非同次連立線形方程式が解 (非自明解) を一意的に持つための

可解条件 (solvability condition) である．この関係式を整理する：

x1 =1

det(A)

∣∣∣∣∣b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣∣ =1

det(A)

2∑

k=1

(−1)1+kdet(M k1)bk

x2 =1

det(A)

∣∣∣∣∣a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣∣ =1

det(A)

2∑

k=1

(−1)2+kdet(M k2)bk

–202–

2. 行列の線形関数と線形方程式 203

→ xj =1

det(A)

2∑

k=1

(−1)j+kdet(M kj)bk (for j = 1, 2)

→ xj =1

det(A)

2∑

k=1

∆kjbk (for j = 1, 2)

これは，次の関係式と同値である：

x = Cb cjk =1

det(A)∆kj

即ち，上記の計算過程は，次のように要約される：

Ax = b → CAx = Cb → Ix = Cb (CA = I) → x = Cb

逆に，x = Cb と表される C が存在すると仮定して，次式を得る：

Ax = b → ACb = b → ACb = Ib → AC = I

故に，AC = CA = I である；C は，A の逆行列である：C = A−1．

行列 B の成分 bjk が次の関係：

bjk = (−1)j+kdet(M kj) = ∆kj

を満たすとき，B を A のadjoint matrix (随伴行列) という：

B = adj(A), bjk = ∆kj

→ A−1 =adj(A)

det(A)x = A−1b

この表式は，N 個の非同次連立線形方程式に対して成り立つ．

同次連立線形方程式 Ax = が解 (非自明解) を持つための可解条件は，

det(A) = 0

である．非同次方程式の解の表式を書き換えると，次式を得る：

det(A)xj = ∆kjbk (x = xj, b = bk = )

→ det(A)x =

よって，det(A) 6= 0 であれば，同次連立線形方程式は，一意的に，自明解 x = を持

つ．一方，det(A) = 0 の場合，同次連立線形方程式の解 x は不定である；任意の x

が解である．解は一意的に求められない．即ち，非自明解を持つための必要十分条件

が，det(A) = 0 である．(この論理を”消去法の原理”という．)

–203–


逆に，det(A) = 0 であるとき，非同次連立線形方程式は，解を持たないか，2つ

以上の解を持つことになる；換言すれば．解を一意的に持つ条件に反するのである．

[補足]

a11 a12

a21 a22

a31 a32

(x1

x2

)=

b1

b2

b3

線形独立と線形従属

2.2 Eigen vector

正方行列 A とvector x の積が，scalar λ と x の積で表される：Ax = λx．この

とき，x を eigen vector (固有vector)，λ を eigenvalue (固有値) という．

Ax = λx → (A− λI)x =

これは，係数行列 (A−λI) の x の同次連立線形方程式である．前節の結果により，x

が非自明解を持つためには，det(A− λI) = 0 でなければならない．即ち，λ の方程式

を与える．これを，eigenvalue equation (固有値方程式；characteristic equation,特性

方程式) という．2次の正方行列の場合，次のようになる：

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣a11 − λ a12

a21 a22 − λ

∣∣∣∣∣ = (a11 − λ)(a22 − λ)− a12a21

= λ2 − (a11 + a22)λ + a11a22 − a12a21 = 0

→ λ2 − trace(A)λ + det(A) = 0

この固有値方程式は λ の2次代数方程式であり，解 λ は次のように表される：

λ =1

2trace(A)±

√1

4trace2(A)− det(A)

→ λ =1

2(a11 + a22)±

√1

4(a11 − a22)2 + a12a21

A が対称行列 (a12 = a21) ならば，上式の [ ]内は正であり，λ は2実根 λ1, λ2 を持つ．

(一般に，N 次正方実行列が対称であれば，その固有値は実数である．)

関数 f(λ; 2) (λ の2次多項式) を

f(λ; 2) ≡ λ2 − trace(A)λ + det(A)

–204–

2. 行列の線形関数と線形方程式 205

と定義すると，代数学の基本定理により，2実根の場合，

f(λ; 2) = (λ− λ1)(λ− λ2) = λ2 − (λ1 + λ2)λ + λ1λ2 = 0

を得る；即ち，

λ1 + λ2 = trace(A), λ1λ2 = det(A)

が成り立つ．

2実根の場合，の固有vectorは，

2次の交代行列の場合，2虚根を持つ．

重根の場合 →[λ2 − trace(A)λ + det(A)]I = 0I = φ

→ (λI)2 − trace(A)λI + det(A)I = φ

→ A2 − trace(A)A + det(A)I = φ

F (A; 2) = A2 − trace(A)A + det(A)I

f(λ; 2) = λ2 − trace(A)λ + det(A)

1次変換 (線形変換;affine transformation)

y = Ax →(

y1

y2

)=

(a11 a12

a21 a22

) (x1

x2

)

→[

y1 = a11x1 + a12x2,y2 = a21x1 + a22x2

これを未知数 x1, x2 に対する非同次の連立一次方程式とみなして，解く．前節の結果

を用いると，可解条件 det(A) 6= 0 の下で，解は次のように表される：

xj =1

det(A)

2∑

k=1

∆kjyk (for j = 1, 2)

→ x = By

よって，A の逆行列 B(B ≡ A−1; x = By) は，次のように表される：

B =

(b11 b12

b21 b22

)=

1

det(A)

(∆11 ∆21

∆12 ∆22

)

bjk =1

det(A)∆kj

故に，det(B) = 1/det(A) が成り立つ．

–205–


2.3 Eigenvalue for 3 × 3 matrix

eigenvalue equation (固有値方程式；characteristic equation,特性方程式):

|A− λI| =∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 a13

a21 a22 − λ a23

a31 a32 a33 − λ

∣∣∣∣∣∣∣

= (a11 − λ)

∣∣∣∣∣a22 − λ a23

a32 a33 − λ

∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33 − λ

∣∣∣∣∣ + a13

∣∣∣∣∣a21 a22 − λa31 a32

∣∣∣∣∣

= −λ3 + (a11 + a22 + a33)λ2 + [−a22a33 + a23a32 − a11(a22 + a33) + a12a21 + a13a31]λ

+a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22)

= −λ3 + trace(A)λ2 − [det(M 11) + det(M 22) + det(M 33)]λ + det(A) = 0

→ −λ3 + trace(A)λ2 −[

3∑

k=1

det(M kk)

]λ + det(A) = 0

→ −λ3 + trace(A)λ2 −[

3∑

k=1

∆kk

]λ + det(A) = 0

B = A−1

bjk =1

det(A)∆kj

det(B) = 1/det(A)

2.4 Eigenvalue for 4 × 4 matrix

eigenvalue equation (固有値方程式；characteristic equation,特性方程式):

|A− λI| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 a13 a14

a21 a22 − λ a23 a24

a31 a32 a33 − λ a34

a41 a42 a43 a44 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (a11 − λ)

∣∣∣∣∣a22 − λ a23

a32 a33 − λ

∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33 − λ

∣∣∣∣∣ + a13

∣∣∣∣∣a21 a22 − λa31 a32

∣∣∣∣∣

= −λ3 + (a11 + a22 + a33)λ2 + [−a22a33 + a23a32 − a11(a22 + a33) + a12a21 + a13a31]λ

+a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22)

= −λ3 + trace(A)λ2 − [det(M 11) + det(M 22) + det(M 33)]λ + det(A) = 0

λ4 − trace(A)λ3 +

[4∑

m=1

4∑n>m

det(Nmn)

]λ2 −

[4∑

k=1

∆kk

]λ + det(A) = 0

–206–

4. 行列と行列式の微分・積分 207

B = A−1

bjk =1

det(A)∆kj

det(B) = 1/det(A)

3 行列と行列式の関数と方程式

3.1 　

AX = φ

AX = I

AX = B

3.2 　

[例] 2次の正方行列 X の方程式：

X2 = −I

は無数の解を持つ．

3.3 　

Neumann級数 A = I −B

I + B + B2 + · · ·A が交代行列であれば，exp(A) は直交行列である．？？

4 行列と行列式の微分・積分

1993.8.22.

2次の正方行列 A を，独立変数 x の微分可能な関数とする：即ち，全ての成分

amn ≡ amn(x) (m,n = 1, 2) について，damn/dx とする．A に線形演算子 £ を作用さ

せると，

A =

(a11 a12

a21 a22

)£(A) =

(£(a11) £(a12)£(a21) £(a22)

)(4.1a, b)

–207–


であるから，微分演算子 £ = d/dx について，£(A) = dA/dx と表す．一方，行列式

det(A) の微分は，余因子 ∆mn (m, n = 1, 2) を用いて，次のように表される：

d

dxdet(A) =

d

dx(a11a22 − a12a21)

=da11

dxa22 + a11

da22

dx− da12

dxa21 − a12

da21

dx

=da11

dx∆11 + ∆22

da22

dx+

da12

dx∆12 + ∆21

da21

dx

=2∑

j=1

2∑

k=1

∆jkdajk

dx(4.2)

さて，A の逆行列 B (= A−1；bjk = ∆kj/det(A)) を用いると，次の関係式：

A−1 dA

dx=

1

det(A)

(∆11 ∆21

∆12 ∆22

)

da11

dx

da12

dxda21

dx

da22

dx

=1

det(A)

∆11da11

dx+ ∆21

da21

dx∆11

da12

dx+ ∆21

da22

dx

∆12da11

dx+ ∆22

da21

dx∆12

da12

dx+ ∆22

da22

dx

(4.3)

が成り立つから，これの traceに注目して，det (A) の微分は，次のように表される．

d

dxdet(A) = det(A)trace

(A−1 dA

dx

)(4.4a)

→ 1

det(A)

d

dx[det(A)] = trace

(A−1 dA

dx

)(4.4b)

→ d

dx[Ln(det(A))] = trace

(A−1 dA

dx

)(4.4c)

さきに，£ = C (C :実数) の場合に £ (det (A)) は，ある行 (列) に作用することを意

味した．そこで，£1 = d/dx を1行目に作用する微分演算子，£2 = d/dx を2行目に

作用する微分演算子として，£ = £1 + £2 と解釈する．よって，

£1(det(A)) =

∣∣∣∣∣£(a11) £(a12)

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a22da11

dx− a21

da12

dx(4.5a)

£2(det(A)) =

∣∣∣∣∣a11 a12

£(a21) £(a22)

∣∣∣∣∣ = a11da11

dx− a12

da12

dx(4.5b)

であり，£(det(A)) = £1(det(A)) + £2(det(A)) は，(4.2)式と一致する．

N 次の正方行列の行列式の微分は，£k を k 列 (行) に作用する微分演算子として，

次のように表現できる．

£(det(A)) =N∑

k=1

£k(det(A)) (4.6)

–208–

4. 行列と行列式の微分・積分 209

そして，表式 (4.4a,b,c)を得る．なお，(4.4a)は次のように表すことができる：

d

dxdet(A) = det(A)trace

(A−1 dA

dx

)

→ d

dxdet(A) = trace

(adj(A)

dA

dx

)(4.7)

直交行列 Q QT Q = I QT dQ/dx は反対称行列

(QT dQ

dx

)T

= −QT dQ

dx

dA−1

dxA + A−1 dA

dx=

dI

dx= φ → dA−1

dxA = −A−1 dA

dx

det ()??

–209–

Chapter 22

波の問題1993.7.29./7.30.

1 数学 (波の問題)

問題. u(α) = sin(ωt− αx) + sin(ωt + αx) について，以下の問に答えよ．

(1) u(α) = A(α) sin(ωt) で表されるとき，F (α)：

F (α) ≡∫ a/2

0A(α) dx

を求めよ．

(2)

limα→0

F (α)

を求めよ．

(3) F (α) が α 6= 0 で極値を持つ条件を示せ．

[解説] 角振動数 ω で振動する波源から伝播する波を考える．波の波数は α である．

区間 0 ≤ x ≤ a/2 で波を観測し，そのデータを集計する：Fourier変換する．そして，

データの特徴を解析する：即ち，波を spectrum解析する．

(1) 与式を整理する：

u(α) = sin(ωt− αx) + sin(ωt + αx)

= sin(ωt) cos(αx)− cos(ωt) sin(αx)

+ sin(ωt) cos(αx) + cos(ωt) sin(αx)

= 2 sin(ωt) cos(αx)

よって，A(α) は次のように表される：

u(α) = A(α) sin(ωt) = 2 sin(ωt) cos(αx) → A(α) = 2 cos(αx)

210

2. 物理 (波の問題) 211

題意に従い，これを積分する：∫ a/2

0A(α) dx =

∫ a/2

02 cos(αx) dx =

2

αsin

(aα

2

)≡ F (α)

(2) α → 0 での F (α) の極限を求める．(spectrum空間で，波数 zeroでの F (α) の振る

舞いを調べる；y → 0 のとき，sin(y)/y → 1 となることを用いる．)

limα→0

F (α) = limα→0

2

αsin

(aα

2

)= a

(3) F (α) の極値を調べるために，F (α) を α で微分し，その結果を zeroとおいて，α

の方程式 (超越方程式，関数方程式) を得る：

∂F (α)

∂α= − 2

α2sin

(aα

2

)+

2

α

a

2cos

(aα

2

)

= − 2

α2

√1 +

(aα

2

)2

sin(

aα

2− φ

)= 0 但し，tan φ =

aα

2

α 6= 0 で F (α) が極値を持つためには，次の条件を満たせばよい：

sin(

aα

2− φ

)= 0 → aα

2− tan−1

(aα

2

)= nπ

(for n = 0,±1,±2, · · · → for n = 1, 2, · · ·)．この超越方程式の解は，図を用いて示す．

2 物理 (波の問題)

問題. 一つの波源が直線上 (平面上) にあり，これが一方向のみに発するとき，一次元

の式として表される．この波源を

u = a cos(kx− ωt− φ)

とするとき，k は　 [1]　であり，角振動数 ω，位相差 φ，位相速度 v とするとき，

k = 　 [2]　と書ける．この波源が2つあり，これらが

u1 = a cos[k(x− x1)− ωt− φ]

u2 = a cos[k(x− x2)− ωt− φ]

であるとき，X = (x1 + x2)/2，d = (x2 − x1) とすれば，これらを合成した合成波は，

u(x, t) = u1 + u2

= a cos[k(x− x1)− ωt− φ] + a cos[k(x− x2)− ωt− φ]

–211–

212 CHAPTER 22. 波の問題

=　 [3]　

となる．この合成波が最大振幅を取るとき，kd =　 [4]　で振幅は　 [5]　となり，最

小振幅を取るとき，kd = 　 [6]　である．しかし，実際は波源に異なる機器を用いる

と位相差が生じる．このとき，

u1 = a cos[k(x− x1)− ωt− φ1]

u2 = a cos[k(x− x2)− ωt− φ2]

φ =φ1 + φ2

2, ∆φ = φ2 − φ1

この合成波は，

u(x, t) =　 [7]　

また，ω が変動するとき，

u = a cos[k(x− x1)− ωt− Φ− φ]

であるとき，変化分を ∆ω とすると，Φ = 　 [8]　　．ここで，Φ = (Φ1 + Φ2)/2，

∆Φ = Φ2−Φ1 とおけば，u(x, t) =　　 [9]　　．このとき，波動のエネルギーは，|振幅 |2 に比例するから，エネルギーは　 [10]　である．この最大値は　 [11]　また，

最小値は　 [12]　である．また，波源が同期していないときは，それぞれの波の合成

に等しく　 [13]　．ナトリウムランプが光を出すとき，ナトリウム原子は　 [14]　

から　 [15]　に変わる．この光を放射している時間間隔は 10 n sec (µ sec？) 程度

で，その波束の長さは　 [16]　 cmである．これが観測できる時間は　 [17]　である．

問題. (1) 密度 ρ，弾性率 κ の弾性体がある．微小部分にかかる，進行方向に関す

る力のつりあいから，位置 x における変位 y(x, t) の波の方程式を導け．但し，t は時

間である．

(2) 弾性体として空気 (2原子分子) の理想気体を考える．波の伝搬が断熱的に行われ

るものとして，波の伝搬速度を求めよ．

(3) 弾性体を伝わる波が振幅 a，振動数 ν の正弦波状になっている．

[1]一波長中のエネルギー E を求めよ．(運動エネルギー E1+弾性エネルギー E2)．

[2] 波の強さ I(a) を求めよ (単位面積当たりを通過する平均エネルギー)．

[1] 波数 (wavenumber)，

–212–

2. 物理 (波の問題) 213

[2] k = ω/v，

[3]

2a cos[k(x−X)− ωt− φ] cos

(kd

2

)

[4] 2nπ (for n = 0, 1, 2, 3, · · ·)，[5] 2a，

[6] π + 2nπ (for n = 0, 1, 2, 3, · · ·)，[7]

2a cos[k(x−X)− ωt− φ] cos

(kd

2+

∆φ

2

)

–213–

Chapter 23

漸化式の演習問題工学数理 D5

1994.7.24.

漸化式 (線形方程式)：

xn+2 − (a + b)xn+1 + abxn = 0 (1)

を解く．

(1)式を変形する：

xn+2 − (a + b)xn+1 + abxn = 0 → xn+2 − bxn+1 − a(xn+1 − bxn) = 0 (2)

ここで yn = xn+1 − bxn とおくと，(2)式は次のように表される：

yn+1− ayn = 0 等比数列 (線形同次方程式) → yn = any0 (y0 = x1− bx0) (3)

但し，最後の表式の任意定数倍も解となる．これを yn の表式に代入し，xn の方程式

を得る：

yn = xn+1 − bxn → xn+1 − bxn = any0 (4)

右辺は既知関数であるから，これは線形非同次方程式である．先ず，同次方程式の解

を求める：

xn+1 − bxn = 0 → xn = bnx0 (5a)

次に，(4)式を変形し，非同次解を求める：

xn+1 − bxn = xn+1 − axn + (a− b)xn = any0 → xn =any0

a− b(a 6= b) (5b)

ここでは，方程式 xn+1− axn = 0 の解が xn = an であることを用いた．故に，方程式

(1)の一般解は，同次解と非同次解を重ね合わせて，次のように表される：

xn = bnx0 +any0

a− b(6a)

→ xn = C1bnx0 + C2

any0

a− b(C1, C2 :任意定数) (6b)

214

215

→ xn = Can + Dbn (C, D :任意定数) (6c)

解の分類例 (C 6= 0, D = 0の場合) xn = Can

|a| < 1 limn→∞xn = 0

|a| > 1 limn→∞ |xn| = ∞

a = 1 xn = C 不動点 (fixed point)

a = −1 xn = C(−1)n 2周期点

2周期点では，xn+2 = xn が成り立つ．

さらに，a = b の場合，(1)式は次のようになる：

xn+2 − 2axn+1 + a2xn = 0 (7)

これの一般解は，次のように表される：

xn = (C1 + C2Lnan) an = (C1 + nC2Lna) an (C1, C2 :任意定数) (8)

演習問題

漸化式 (線形同次方程式)：

xn+3 − (a + b + c)xn+2 + (ab + bc + ca)xn+1 − abcxn = 0 (1)

を解こう．先ず，yn = xn+1 − axn とおくと，(1)式は次のように表される：

yn+2 − (b + c)yn+1 + bcyn = 0 (2)

次に，zn = yn+1 − byn とおくと，(2)式は次の同次方程式となり，一般解が得られる：

zn+1 − czn = 0 → zn = αcnz0 (α :定数) (3)

これを zn = yn+1 − byn に代入して，yn の方程式を整理する：

zn = yn+1 − byn = αcnz0 → yn+1 − cyn + (c− b)yn = αcnz0 (4)

これにより，一般解 yn が求められる：

b 6= cの場合， yn = βbn +αcn

c− bz0 (β :定数) (5a)

–215–

216 CHAPTER 23. 漸化式の演習問題

b = cの場合， yn = βbn + nαcn−1z0 (5b)

これを yn = xn+1− axn に代入して，2つの場合 (b 6= c, b = c) について，xn の方程式

を整理する：

yn = xn+1 − axn = βbn +αcn

c− bz0 (b 6= c) (6a)

yn = xn+1 − axn = βbn + nαcn−1z0 (b = c) (6b)

(6a)式について，(i) a 6= b 6= c 及び (ii) b 6= c, but a = b or a = c の場合の解を求

める．

(6b)式について，(i) a = b = c 6= 0 及び (ii) b = c, but a 6= b の場合の解を求める．

各自の演習問題．

2つの質点の衝突

質点 m は freeで，質点 M はバネ (他端を固定壁面に取り付けられたバネ) に取り

付けられており，2つの質点が衝突する．衝突回数 n を決定する問題は，(多分) 次の

関数方程式を解くことに帰着する．

2 sin ξn = (1−R(ξn−1)) ξn

質量比 r ≡ m/M を用いると，R(ξ0) = r となり，R(ξn−1) (n > 1) は過去の衝突に依

存する．

Logistic Map

xn+1 = axn(1− xn)

但し，0 ≤ xn ≤ 1, 0 < a < 4 である．

解の分類

xn+1 = xn 不動点

xn+2 = xn 2周期点

xn+k = xn k周期点

–216–

Chapter 24

工学数理演習問題工学数理 D5

1994.8.4.

大阪大学工学部 H7年度編入学試験数学

問題1. 円に内接する4角形 (図)がある．その頂点を A, B, C, D と表し，辺の長さを

AB = a, BC = b, CD = c, DA = d とする．角度を 6 ABC = θ とする．

(1) cos θ を求めよ．

(2) s =1

2(a + b + c + d) として，面積 S が

S =√

(s− a)(s− b)(s− c)(s− d)

と表されることを示せ．

問題2. 三角形 ABC の重心が原点 O にある．(図)

(1) OC を OA と OB を用いて表せ．

(2) OA を OB, OB を OA に変換する1次変換がある．このとき直線 OC 上の点は

不動点であることを示せ．

(3) OC 上以外には不動点がないことを示せ．

問題3. 関数 F (t)：

F (t) ≡∫ t

af(x)2 dx

∫ t

ag(x)2 dx−

[∫ t

af(x)g(x) dx

]2

がある．

(1) dF (t)/dt を求め，それを用いて，b ≥ a であるとき，F (b) ≥ 0 となることを示せ．

(2) その結果を用いて，次の不等式を示せ．

√π3

50<

∫ π/2

0

√x sin x dx <

√π3

32

問題4. 微分方程式：

σ2 df

dx+ xf = 0

217

218 CHAPTER 24. 工学数理演習問題

がある．

(1) 微分方程式を解き，∫ ∞

−∞f dx = 1 となるように積分定数を決めよ．

(2) f(x) を 2∼4 回微分すると次のように表されることを示せ．(微分方程式を 1∼3 回

微分すると次のように表されることを示せ．)

σ2 d2f

dx2=

(x2

σ2− 1

)f, σ2 d3f

dx3=

(3x

σ2− x3

σ4

)f,

σ2 d4f

dx4=

(x4

σ6− 6x2

σ4+

3

σ2

)f

(3) x, x2, x3, x4 の平均値を求めよ．

問題4の解答例与えられた微分方程式を積分して解く：

df

f= − x

σ2dx → f(x) = C exp

(− x2

2σ2

)(C :積分定数)

∫ ∞

−∞f dx = 1 を満たすように積分定数を決めるために，これの自乗を計算する：

∫ ∞

−∞f(x) dx

∫ ∞

−∞f(y) dy =

∫ ∞

0

∫ 2π

0C2 exp

(− r2

2σ2

)r drdθ = 2πC2σ2 = 1

積分定数 C は，正と取る：

C =1√

2πσ2

これにより，微分方程式の解は，次のように表される：

f(x) =1√

2πσ2exp

(− x2

2σ2

)

微分方程式を微分し，順次書き換える：

σ2 df

dx+ xf = 0 → σ2 df

dx= −xf

σ2 d2f

dx2+ f + x

df

dx= 0 → σ2 d2f

dx2=

(x2

σ2− 1

)f

σ2 d3f

dx3+ 2

df

dx+ x

d2f

dx2= 0 → σ2 d3f

dx3=

(3x

σ2− x3

σ4

)f

σ2 d4f

dx4+ 3

d2f

dx2+ x

d3f

dx3= 0 → σ2 d4f

dx4=

(x4

σ6− 6x2

σ4+

3

σ2

)f

これらを順番に積分すると，平均値 < x >, < x2 >, < x3 >, < x4 > が得られる：∫ ∞

−∞σ2 df

dxdx = −

∫ ∞

−∞xf dx = − < x >= 0 → < x >= 0

–218–

219

∫ ∞

−∞σ2 d2f

dx2dx =

∫ ∞

−∞

(x2

σ2− 1

)f dx =

< x2 >

σ2− < 1 >= 0 → < x2 >= σ2

∫ ∞

−∞σ2 d3f

dx3dx =

∫ ∞

−∞

(3x

σ2− x3

σ4

)f dx =

3 < x >

σ2− < x3 >

σ4= 0 → < x3 >= 0

∫ ∞

−∞σ2 d4f

dx4dx =

∫ ∞

−∞

(x4

σ6− 6x2

σ4+

3

σ2

)f dx =

< x4 >

σ6− 6 < x2 >

σ4+

< 3 >

σ2= 0

→ < x4 >= 3σ4

[補足] n を自然数とすると，次の関係が成り立つ：

limx→∞xn exp(−x2) = lim

x→∞xn

exp(x2)= 0

問題3の解答例与えられた関数について F (a) = 0が成り立つ．F (t)を tで微分する：

dF (t)

dt= f(t)2

∫ t

ag(x)2 dx +

∫ t

af(x)2 dx g(t)2 − 2f(t)g(t)

[∫ t

af(x)g(x) dx

]

これの t = a のときの値は，次のようになる：(

dF (t)

dt

)

t=a

= 0

一般に任意の実数 α, β に対して，(実数変数 x の”実数関数” f(x), g(x) に対し)

[αf(x) + βg(x)]2 ≥ 0

が成り立つ；等号は，[αf(x) + βg(x)] = 0 のとき成り立つ．これを領域 a ≤ x ≤ t で

積分して次式が成り立つ：∫ t

a[αf(x) + βg(x)]2 dx = α2

∫ t

af(x)2 dx + 2αβ

∫ t

af(x)g(x) dx + β2

∫ t

ag(x)2 dx ≥ 0

α = g(t), β = −f(t) と選べば，これは dF (t)/dt に他ならない．故に，t ≥ a (t = b の

場合を含む) に対して

dF (t)

dt=

∫ t

a[g(t)f(x)− f(t)g(x)]2 dx ≥ 0

が成り立つ．これと平均値の定理により，a ≤ ξ ≤ b に対して，

F (b)− F (a) =

(dF (t)

dt

)

t=ξ

(b− a)

が成り立つ．故に，b ≥ a に対して，F (b) ≥ 0 となる．

–219–


f(x) =√

x, g(x) = sin x とおき，a = 0, t = π/2 とおくと，f(x), g(x) は

0 < x ≤ π/2 で正値を取る．よって，次の不等式が成り立つ：

g(π/2)2∫ π/2

0f(x)2 dx + f(π/2)2

∫ π/2

0g(x)2 dx > 2f(π/2)g(π/2)

∫ π/2

0f(x)g(x) dx

→∫ π/2

0f(x)g(x) dx <

g(π/2)

2f(π/2)

∫ π/2

0f(x)2 dx +

f(π/2)

2g(π/2)

∫ π/2

0g(x)2 dx

→∫ π/2

0

√x sin x dx <

√π3

32

あるいは，F (t) ≥ 0 により，次の不等式が導かれる：

∫ π/2

0f(x) g(x) dx <

√∫ π/2

0f(x)2 dx

∫ π/2

0g(x)2 dx

→∫ π/2

0

√x sin x dx <

√π3

32

関数√

x sin x を部分積分する：

∫ π/2

0

√x sin x dx =

2

3

[√x3 sin x

]x=π/2

x=0− 2

3

∫ π/2

0

√x3 cos x dx

=2

3

√π3

23− 2

3

∫ π/2

0

√x3 cos x dx

右辺第2項の積分は，F (t) ≥ 0 を用いて次のように評価される：

∫ π/2

0

√x3 cos x dx <

√∫ π/2

0x3 dx

∫ π/2

0cos2 x dx =

π

4√

2

√π3

23

∫ π/2

0

√x sin x dx >

1

3

√π3

2

[1− π

4√

2

]

但し，次の関係にあり，問題に示された不等式の第1辺と第2辺の関係を証明したこと

にはならない：

1

3

√π3

2

[1− π

4√

2

]<

√π3

50→ 1

3

[1− π

4√

2

]<

1

5

一方，関数 cos x を (x, y) 面に描くと，点 (x0, cos x0) における接線の方程式は，

次式となる：

y(x) = − sin x0(x− x0) + cos x0

範囲 0 ≤ x ≤ π/2 において，cos x は上に凸であるから，接線上の値 y(x) は，

y(x) ≥ cos x

–220–

221

を満たす．故に，次の不等式を得る：

∫ π/2

0

√x sin x dx =

2

3

√π3

23− 2

3

∫ π/2

0

√x3 cos x dx >

2

3

√π3

23− 2

3

∫ π/2

0

√x3y(x) dx

∫ π/2

0

√x3y(x) dx =

∫ π/2

0

√x3 [− sin x0(x− x0) + cos x0] dx

x0 = π/2 のとき，この積分は，

∫ π/2

0

√x3 [− sin x0(x− x0) + cos x0] dx =

∫ π/2

0

√x3

[π

2− x

]dx =

π2

35

√π3

23

となる．よって次の不等式が成り立つ：

2

3

√π3

23

(1− π2

35

)>

√π3

50

これにより，問題に示された不等式の第1辺と第2辺の関係が証明された．

[補足] dataを示す： √π3

32= 0.9843506

√π3

50= 0.7874805

2

3

√π3

23

(1− π2

35

)= 0.9423665

[補足] 次の関係式を用いて，関数√

x sin x を部分積分する：

d

dx

[√x cos x

]=

cos x

2√

x−√x sin x

∫ π/2

0

√x sin x dx = −

[√x cos x

]x=π/2

x=0+

∫ π/2

0

cos x

2√

xdx

=∫ π/2

0

cos x

2√

xdx =

√π

2

∫ 1

0cos

(π

2y2

)dy =

√π

2C(1)

この C(1) は，Fresnel (フレネル) の関数：

S(t) =∫ t

0sin

(π

2x2

)dx, C(t) =

∫ t

0cos

(π

2x2

)dx

である．(但し，Fresnelの関数については，数学公式 (I) を参照せよ．Fresnelの積分に

ついては，解析概論 p.224 を参照せよ．)

Fresnelの関数の値は，次のようにして計算できる：√

π

2S(1) =

∫ π/2

0

sin x

2√

xdx =

∫ π/2

0

1

2√

x

∞∑

n=1

(−1)n−1

(2n− 1)!x2n−1 dx

–221–


≈N∑

n=1

(−1)n−1

(2n− 1)!(4n− 1)x2n−1/2

∣∣∣∣∣x=π/2

√π

2C(1) =

∫ π/2

0

cos x

2√

xdx =

∫ π/2

0

1

2√

x

∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n dx

≈N∑

n=0

(−1)n

(2n)!(4n + 1)x2n+1/2

∣∣∣∣∣x=π/2

ここでは，級数を N 項で打ち切って近似した．計算機で求めた数値を以下の表に示す：

N

√π

2S(1)

√π

2C(1)

5 .549276578724614 .977451400948044510 .5492763852321685 .977451424291329815 .5492763852321685 .977451424291329820 .5492763852321685 .977451424291329825 .5492763852321685 .9774514242913298

S(1) = .4382591473903545, C(1) = .7798934003768233

範囲 0 ≤ x ≤ π/2 において，接線と x-y 軸が囲む台形の面積 S ≡ S(x0) は次式で与え

られる：

S =1

2(y(0) + y(π/2))

π

2=

π

4

[(2x0 − π

2

)sin x0 + 2 cos x0

]

S に極値を与える x0 を求める：

dS

dx0

=π

2

(x0 − π

4

)cos x0 = 0

(dS

dx0

)

x0=π/4

> 0,

(dS

dx0

)

x0=π/2

< 0

=====

問題3(?). 関数 F (t)：

F (t) ≡∫ t

af(x)2 dx

∫ t

ag(x)2 dx−

[∫ t

af(x) dx

∫ t

ag(x) dx

]2

がある．

(1) dF (t)/dt を求め，それを用いて，b ≥ a であるとき，F (b) ≥ 0 となることを示せ．

(2) その結果を用いて，次の不等式を示せ．√

π3

50<

∫ π/2

0

√x sin x dx <

√π3

32

–222–

223

問題3(?)の解答例与えられた関数について F (a) = 0 が成り立つ．F (t) を t で微分

する：dF (t)

dt= f(t)2

∫ t

ag(x)2 dx +

∫ t

af(x)2 dx g(t)2

−2[f(t)

∫ t

ag(x) dx +

∫ t

af(x) dx g(t)

] [∫ t

af(x) dx

∫ t

ag(x) dx

]

これの t = a のときの値は，次のようになる：(

dF (t)

dt

)

t=a

= 0

F (t) の2階微分は，t = a で次のようになる：(

d2F (t)

dt2

)

t=a

= 2f(a)2g(a)2 ≥ 0

等号は f(a) = 0 または g(a) = 0 の場合に成り立つ．f(a) 6= 0 且つ g(a) 6= 0 ならば，

関数 F (t) は t = a で極小値を持つ．故に，b ≥ a について，F (b) ≥ 0 である．

f(x) = 1, g(x) =√

x sin x とおくと，

F (π/2) =∫ π/2

0f(x)2 dx

∫ π/2

0g(x)2 dx −

[∫ π/2

0f(x) dx

∫ π/2

0g(x) dx

]2

=π

2

∫ π/2

0

(√x sin x

)2dx −

[π

2

∫ π/2

0

√x sin x dx

]2

≥ 0

となる．右辺第2項の [ ]内の積分は正であるから，次の不等式を得る：

π

2

∫ π/2

0

√x sin x dx ≤

√π

2

∫ π/2

0x sin2 x dx

この右辺に含まれる積分は，次の値を取る：

∫ π/2

0x sin2 x dx =

∫ π/2

0

x

2(1− cos 2x) dx =

π2

16+

1

4

故に，次の不等式を得る：

∫ π/2

0

√x sin x dx <

2

π

√π3

32+

π

8<

√π3

32

[補足] f(x) = g(x) の場合，F (t) ≥ 0 (for t ≥ a) は自明である：

F (t) =∫ t

af(x)2 dx

∫ t

af(x)2 dx −

[∫ t

af(x) dx

∫ t

af(x) dx

]2

–223–


=

∫ t

af(x)2 dx +

[∫ t

af(x) dx

]2 ∫ t

af(x)2 dx−

[∫ t

af(x) dx

]2

自乗可積分の実数関数 f(x) に対して，一般に，

∫ t

af(x)2 dx ≥

[∫ t

af(x) dx

]2

が成り立つ．故に，F (t) ≥ 0 である．

–224–

Chapter 25

自然数のベキ和工学数理演習問題

1994.8.14.

n, k を自然数とし，(n + 1)k の2項展開を書き換えると次のようになる：

(n + 1)k − nk = kC1nk−1 + kC2n

k−2 + kC3nk−3 + · · ·

+ kCk−2n2 + kCk−1n + kCk1

但し，2項係数は次式で与えられる：

kCm =k!

m!(k −m)!, 0! = 1 (0 ≤ m ≤ k)

上式について，n = 1 から n = N までの和を取る：

N∑

n=1

[(n + 1)k − nk

]= (N + 1)k − 1

= kC1

N∑

n=1

nk−1 + kC2

N∑

n=1

nk−2 + kC3

N∑

n=1

nk−3 + · · ·

+ kCk−2

N∑

n=1

n2 + kCk−1

N∑

n=1

n + kCk

N∑

n=1

1

これは，

S(k−1) ≡N∑

n=1

nk−1

を用いて，次のように表される：

N∑

n=1

[(n + 1)k − nk

]= (N + 1)k − 1

= kC1S(k−1) + kC2S

(k−2) + kC3S(k−3) + · · ·

+ kCk−2S(2) + kCk−1S

(1) + kCkS(0)

k = 1 のとき，次式を得る：

S(0) =N∑

n=1

1 = N

225

226 CHAPTER 25. 自然数のベキ和


S(1) =N∑

n=1

n =1

2

[(N + 1)2 − 1− S(0)

]=

1

2

(N2 + N

)=

1

2N(N + 1)


S(2) =N∑

n=1

n2 =1

3

[(N + 1)3 − 1− 3S(1) − S(0)

]

=1

6

(2N3 + 3N2 + N

)=

1

6N(N + 1)(2N + 1)


S(3) =N∑

n=1

n3 =1

4

[(N + 1)4 − 1− 6S(2) − 4S(1) − S(0)

]

=1

4

(N4 + 2N3 + N2

)=

1

4N2 (N + 1)2


S(4) =N∑

n=1

n4 =1

5

[(N + 1)5 − 1− 10S(3) − 10S(2) − 5S(1) − S(0)

]

=1

30

(6N5 + 15N4 + 10N3 −N

)=

1

30N(N + 1)(2N + 1)

(3N2 + 3N − 1

)


S(5) =N∑

n=1

n5 =1

6

[(N + 1)6 − 1− 15S(4) − 20S(3) − 15S(2) − 6S(1) − S(0)

]

=1

12

(2N6 + 6N5 + 5N4 −N2

)=

1

12N2 (N + 1)2

(2N2 + 2N − 1

)


S(6) =N∑

n=1

n6 =1

7

[(N + 1)7 − 1− 21S(5) − 35S(4) − 35S(3) − 21S(2) − 7S(1) − S(0)

]

=1

42

(6N7 + 21N6 + 21N5 − 7N3 + N

)

=1

42N(N + 1)(2N + 1)

(3N4 + 6N3 − 3N + 1

)


S(7) =N∑

n=1

n7 =1

8

[(N + 1)8 − 1− 28S(6) − 56S(5) − 70S(4) − 56S(3)

–226–

227

−28S(2) − 8S(1) − S(0)]

=1

24

(3N8 + 12N7 + 14N6 − 7N4 + 2N2

)

=1

24N2 (N + 1)2

(3N4 + 6N3 −N2 − 4N + 2

)


S(8) =N∑

n=1

n8 =1

9

[(N + 1)9 − 1− 36S(7) − 84S(6) − 126S(5) − 126S(4)

−84S(3) − 36S(2) − 9S(1) − S(0)]


S(9) =N∑

n=1

n9 =1

10

[(N + 1)10 − 1− 45S(8) − 120S(7) − 210S(6) − 252S(5)

−210S(4) − 120S(3) − 45S(2) − 10S(1) − S(0)]


S(10) =N∑

n=1

n10 =1

11

[(N + 1)11 − 1− 55S(9) − 165S(8) − 330S(7) − 462S(6)

−462S(5) − 330S(4) − 165S(3) − 55S(2) − 11S(1) − S(0)]

k ≤ 8 については，数学公式 (II), p.2 (岩波書店) 参照．

自然数のベキ和と等比級数実数 x (0 ≤ x ≤ 1) の等比級数：

S(x) ≡N∑

n=0

xn

は，次のようにして，書き換えられる：

S(x)− xS(x) = 1− xN+1 → S(x) =xN+1 − 1

x− 1

これを微分して次式を得る：

dS(x)

dx=

NxN+1 − (N + 1)xN + 1

(x− 1)2

これの x = 1 での値は次のようになる：(

dS(x)

dx

)

x=1

= limx→1

NxN+1 − (N + 1)xN + 1

(x− 1)2

–227–

228 CHAPTER 25. 自然数のベキ和

=N2(N + 1)− (N + 1)N(N − 1)

2=

N(N + 1)

2

級数を微分して，x = 1 とおくと，次式を得る：(

dS(x)

dx

)

x=1

=

(N∑

n=1

nxn−1

)

x=1

=N∑

n=1

n

故に，両者を等置して，次式を得る：

N∑

n=1

n =N(N + 1)

2

さらに，2階微分を求める：

d2S(x)

dx2=

N(N − 1)xN+1 − 2 (N2 − 1) xN + N(N + 1)xN−1 − 2

(x− 1)3

これの x = 1 での値は次のようになる：(

d2S(x)

dx2

)

x=1

= limx→1

N(N − 1)xN+1 − 2 (N2 − 1) xN + N(N + 1)xN−1 − 2

(x− 1)3

=(N + 1)N(N − 1)

3

級数を2回微分して，x = 1 とおくと，次式を得る：(

d2S(x)

dx2

)

x=1

=

(N∑

n=2

n(n− 1)xn−2

)

x=1

=N∑

n=1

n(n− 1) =N∑

n=1

n2 −N∑

n=1

n

故に，両者を等置して，次式を得る：

N∑

n=1

n2 −N∑

n=1

n =(N + 1)N(N − 1)

3

→N∑

n=1

n2 =(N + 1)N(N − 1)

3+

N∑

n=1

n =(N + 1)N(N − 1)

3+

N(N + 1)

2

→N∑

n=1

n2 =N(N + 1)(2N + 1)

6

–228–

229

級数を 0 ≤ x ≤ 1 で積分する：

∫ 1

0S(x) dx =

N+1∑

n=1

1

n

∫ 1

0S(x) dx =

∫ 1

0

xN+1 − 1

x− 1dx =

但し，B はベータ関数である：

B(p, q) ≡∫ 1

0tp−1 (1− t)q−1 dt =

Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q)(Rep > 0, Req > 0)

–229–

Chapter 26

工学数理演習問題1994.11.07.

1 微分方程式の解

独立変数 (時間) t，parameter α (α:実定数，α > 0)，未知関数 x ≡ x(t) の常微分

方程式 (定数係数の線形同次2階常微分方程式)：

d2x

dt2+ α2x = 0 (1.1)

を，次の条件 (i)の下で解く．

(i) x(t0) = A,

(dx

dt

)

t0

= v (初期条件), (1.2a)

但し，A, v は実定数である．

微分方程式 (1.1)を，次の条件 (ii)の下で解く．

(ii) x(t0) = A, x(t1) = B (境界条件) (1.2b)

但し，A, B は実定数であり，t0 < t1 である．

1.1 初期値問題の解答例

(1.1)式の一般解は

x(t) = c1 sin(αt) + c2 cos(αt) (c1, c2 :積分定数) (1.3)

である．これを条件 (1.2a)に代入すると，c1, c2 の連立代数方程式を得る：

c1 sin(αt0) + c2 cos(αt0) = A, (1.4a)

αc1 cos(αt0)− αc2 sin(αt0) = v (1.4b)

230

1. 微分方程式の解 231

よって，解 c1, c2 は次のように表される：

c1 =1

α[αA sin(αt0) + v cos(αt0)] , (1.5a)

c2 = − 1

α[v sin(αt0)− αA cos(αt0)] (1.5b)

これにより，条件 (1.2a)に対する解 x(t) は，次のように表される：

x(t) = c1 sin(αt) + c2 cos(αt)

= A [sin(αt0) sin(αt) + cos(αt0) cos(αt)]

+v

α[cos(αt0) sin(αt)− sin(αt0) cos(αt)]

→ x(t) = A cos[α(t− t0)] +v

αsin[α(t− t0)] (1.6)

[補足] 条件 (1.2a)は1つの時間 t = t0 で与えられている．この意味で，問題 (1.1),

(1.2a)は，初期値問題 (initial value problem) と呼ばれる．微分方程式 (1.1)は，変数変

換 t → t + constant に対して形を変えない．故に，独立変数を τ = t− t0 と選ぶこと

ができ，(1.1)式は次のように書き換えられる：

d2x

dt2+ α2x = 0 → d2x

dτ 2+ α2x = 0 (1.7)

(1.7)式の一般解は，

x(τ) = C1 sin(ατ) + C2 cos(ατ) (C1, C2 :積分定数) (1.8a)

→ x(t) = C1 sin[α(t− t0)] + C2 cos[α(t− t0)] (1.8b)

と表される．条件 (1.2a)により，C2 = A, C1 = v/α を得るから，この問題の解は，

x(t) =v

αsin[α(t− t0)] + A cos[α(t− t0)] (1.9)

となる．

1.2 境界値問題の解答例

条件 (1.2b)の下で (1.1)式の解を求める問題は，境界値問題 (boundary value prob-

lem) と呼ばれる．(1.1)式の一般解は

x(t) = c1 sin(αt) + c2 cos(αt) (c1, c2 :積分定数) (1.10)

–231–


である．これを条件 (1.2b)に代入すると，c1, c2 の連立代数方程式を得る：

c1 sin(αt0) + c2 cos(αt0) = A, (1.11a)

c1 sin(αt1) + c2 cos(αt1) = B (1.11b)

この係数行列式 D は，

D = sin(αt0) cos(αt1)− cos(αt0) sin(αt1) = sin[α(t0 − t1)] (1.12)

となる．連立方程式 (1.11a,b)は，A = B = 0 の場合には，同次方程式である．故に，

可解条件は D = 0 となる．A 6= 0 または B 6= 0 ならば，(1.11a,b)は非同次方程式で

あり，可解条件は D 6= 0 となる．

非同次方程式 (1.11a,b)の解 c1, c2 は，次のように表される：

c1 =1

D[A cos(αt1)−B cos(αt0)] , (1.13a)

c2 =1

D[B sin(αt0)− A sin(αt1)] (1.13b)

よって，境界値問題の解 x(t) は，次のように表される：

x(t) = c1 sin(αt) + c2 cos(αt)

=A

D[cos(αt1) sin(αt)− sin(αt1) cos(αt)]

+B

D[− cos(αt0) sin(αt) + sin(αt0) cos(αt)]

→ x(t) =A

Dsin[α(t− t1)]− B

Dsin[α(t− t0)] (1.14)

となる．

[補題] parameter α の固有値問題

解 (1.14)は，A = B = 0 の場合，zero解 (x(t) = 0) となる．A = B = 0 の場合

に，区間 t0 ≤ t ≤ t1 において恒等的には zeroでない解を求める問題は，parameter α

に対する固有値問題 (eigenvalue problem) と呼ばれる．ここでは，それを考える．

x(t) の微分方程式：d2x

dt2+ α2x = 0 (1.15)

を，次の境界条件の下で解く：

x(t0) = x(t1) = 0 (1.16)

(1.15)式の一般解は

x(t) = c1 sin(αt) + c2 cos(αt) (1.17)

–232–

2. 直交関数列 233

であり，条件 (1.16)により積分定数 c1, c2 の連立方程式を得る：

c1 sin(αt0) + c2 cos(αt0) = 0, (1.18a)

c1 sin(αt1) + c2 cos(αt1) = 0 (1.18b)

これの可解条件は，次の α の方程式が成り立つことである：

sin[α(t0 − t1)] = 0 (1.19)

この超越方程式 (関数方程式)の解 α は，

α =nπ

t1 − t0for n = 1, 2, 3, · · · (1.20)

である．この場合，(1.20)を満たす α は無数 (可算無限)にある．そして，parameter α

が (1.20)の値を取るときにのみ，問題 (1.15)-(1.16)の解がある．n 番目の α を αn と

表し，この αn を離散固有値 (discrete eigenvalue) という．

n 番目の固有値 αn に対応する解を xn ≡ xn(t) と表す；この xn を固有関数 (eigen

function) という．n を指定して問題を書き換えれば，微分方程式：

d2xn

dt2+ α2

nxn = 0 (1.21)

を，境界条件：

xn(t0) = xn(t1) = 0 (1.22)

の下で解く問題となる．

2 直交関数列

独立変数 t の区間 t0 ≤ t ≤ t1 における xn ≡ xn(t) の微分方程式：

d2xn

dt2+ α2

nxn = 0 (2.1)

と境界条件：

xn(t0) = xn(t1) = 0 (2.2)

を考える．但し，parameter αn は，次式で与えられる：

αn =nπ

t1 − t0for n = 1, 2, 3, · · · (2.3)

–233–


n 番目の解 xn が満たすべき方程式 (2.1)に m 番目の解 xm を掛ける．また，m 番

目の解 xm が満たすべき方程式に xn を掛ける．両者の差を取り，区間で積分して，境

界条件 (2.2)を用いて結果を整理する：

∫ t1

t0

[xm

(d2xn

dt2+ α2

nxn

)− xn

(d2xm

dt2+ α2

mxm

)]dt

=(α2

n − α2m

) ∫ t1

t0xnxm dt +

∫ t1

t0

d

dt

(xm

dxn

dt− xn

dxm

dt

)dt

=(α2

n − α2m

) ∫ t1

t0xnxm dt = 0 (2.4)

故に，n 6= m ならば α2n − α2

m 6= 0 であるから，

∫ t1

t0xnxm dt = 0 (2.5)

が成り立たなければならない．故に，関数 xn と xm は直交する．

[注意] 一般に，区間 t0 ≤ t ≤ t1 において恒等的には zeroでない2つの関数の積の

積分が zeroとなるとき，「2つの関数はその区間で直交する」という．また，「2つの関数

の積の積分」を内積 (inner product)という．

[補題] 微分方程式 (2.1)の一般解 xn(t) は，

xn(t) = An sin(αnt) + Bn cos(αnt) (2.6)

(An, Bn:積分定数)と表される．同様に，xm(t) は

xm(t) = Am sin(αmt) + Bm cos(αmt) (2.7)

と表される．parameter αn は，次式で与えられる：

αn =2nπ

t1 − t0for n = 1, 2, 3, · · · (2.8)

αn, αm が (2.8)を満たすことを考慮すると，xn と xm の内積が直交すること：

∫ t1

t0xnxm dt = 0 (2.9)

を示せ．(宿題)

関数 (2.6)の自乗の積分を求める：

∫ t1

t0x2

n dt =t1 − t0

2

(A2

n + B2n

)

–234–


よって，関数 Xn を

Xn(t) ≡√

2

(t1 − t0) (A2n + B2

n)xn(t) (2.10)

と定義すると，Xn は規格化 (normalize)された直交関数列 Xn を構成する：∫ t1

t0XnXm dt = δnm (2.11)

但し，δnm は，Kroneckerのdeltaである．

[例題] 独立変数 t，未知関数 x ≡ x(t) の微分方程式：

d2x

dt2+ 2ζα

dx

dt+ α2x = 0 (2.12)


x(t0) = x(t1) = 0 (2.13)

の下で解く．この問題は，実数 α (0 < α) の固有値問題である．また，ζ はparameter

であり，ζ が取り得る値の範囲を (i) 0 ≤ ζ < 1, (ii) ζ = 1, (iii) ζ > 1 に分けて，固有

値と固有関数が分類される．初めに一般解を求めておこう．

(i) 0 ≤ ζ < 1 のとき，(2.12)式の一般解は次のように表される：

x(t) = exp(−ζαt)[C1 sin

(√1− ζ2 αt

)+ C2 cos

(√1− ζ2 αt

)](2.14a)

但し，C1, C2 は積分定数である．

(ii) ζ = 1 のとき，(2.12)式の一般解は次のように表される：

x(t) = exp(−αt) [C1t + C2] (2.14b)

(iii) ζ > 1 のとき，(2.12)式の一般解は次のように表される：

x(t) = C1 exp[(−ζ +

√ζ2 − 1

)αt

]+ C2 exp

[(−ζ −

√ζ2 − 1

)αt

](2.14c)

(i)の場合の固有値問題解 (2.14a)を境界条件 (2.13)に代入する：

exp(−ζαt0)[C1 sin

(√1− ζ2 αt0

)+ C2 cos

(√1− ζ2 αt0

)]= 0, (2.15a)

exp(−ζαt1)[C1 sin

(√1− ζ2 αt1

)+ C2 cos

(√1− ζ2 αt1

)]= 0 (2.15b)

故に，可解条件は

sin[√

1− ζ2 α (t1 − t0)]

= 0 (2.16)

–235–


となり，固有値 α は次式で与えられる：

α =nπ

(t1 − t0)√

1− ζ2≡ αn for n = 1, 2, 3, · · · (2.17)

離散固有値を αn とおいた．n 番目の固有値に対応する関数を xn ≡ xn(t) と表す．こ

れは，微分方程式d2xn

dt2+ 2ζαn

dxn

dt+ α2

nxn = 0 (2.18a)

と境界条件を満たす：

xn(t0) = xn(t1) = 0 (2.18b)

ここで，xn(t) を

xn(t) = Xn(t) exp(−ζαnt), (2.19a)

Xn(t) = C1n sin(√

1− ζ2 αnt)

+ C2n cos(√

1− ζ2 αnt)

(2.19b)

とおく；n 番目の一般解の積分定数を C1n, C2n と表した．固有値 (2.17)に対応する固

有関数は Xn であることを以下に示す．先ず，(2.18a)式を Xn の方程式に書き換える．

xn の1階微分と2階微分は，それぞれ，

dxn

dt=

(−ζαnXn +

dXn

dt

)exp(−ζαnt),

d2xn

dt2=

(ζ2α2

nXn − 2ζαndXn

dt+

d2Xn

dt2

)exp(−ζαnt)

となるから，(1.18a)式は次のようになる：

d2xn

dt2+ 2ζαn

dxn

dt+ α2

nxn =

[d2Xn

dt2+

(1− ζ2

)α2

nXn

]exp(−ζαnt) = 0

関数 exp(−ζαnt) は，t が有限ならば，zeroに成ることはないから，次に示す Xn の方

程式が成り立たなければならない：

d2Xn

dt2+

(1− ζ2

)α2

nXn = 0 (2.20)

次に，境界条件 (2.18b)は，Xn に対する境界条件に書き換えられる：

xn(t0) = Xn(t0) exp(−ζαnt0) = 0 → Xn(t0) = 0, (2.21a)

xn(t1) = Xn(t1) exp(−ζαnt1) = 0 → Xn(t1) = 0 (2.21b)

(2.20)式に Xm を掛け，Xm の微分方程式に Xn を掛け，両者の差を取り，積分する：

∫ t1

t0

Xm

[d2Xn

dt2+

(1− ζ2

)α2

nXn

]−Xn

[d2Xm

dt2+

(1− ζ2

)α2

mXm

]dt

–236–


=(α2

n − α2m

) (1− ζ2

) ∫ t1

t0XnXmdt +

∫ t1

t0

d

dt

(Xm

dXn

dt−Xn

dXm

dt

)dt

=(α2

n − α2m

) (1− ζ2

) ∫ t1

t0XnXm dt = 0 (2.22)

故に，関数列 Xn は，直交関数系を成すことが示された．規格化された Xn は次式

を満たす： ∫ t1

t0XnXm dt = δnm (2.23)

(ii)の場合の固有値問題解 (2.14b)を境界条件 (2.13)に代入する：

exp(−αt0) [C1t0 + C2] = 0, (2.24a)

exp(−αt1) [C1t1 + C2] = 0 (2.24b)

故に，可解条件は t0 − t1 = 0 となる．ここでは t0 − t1 6= 0 と設定しているので，zero

解 (C1 = C2 = 0)のみが有意である．即ち，この場合には，直交関数を構成できない．

(iii)の場合の固有値問題解 (2.14c)を境界条件 (2.13)に代入する：

C1 exp[(−ζ +

√ζ2 − 1

)αt0

]+ C2 exp

[(−ζ −

√ζ2 − 1

)αt0

]= 0, (2.25a)

C1 exp[(−ζ +

√ζ2 − 1

)αt1

]+ C2 exp

[(−ζ −

√ζ2 − 1

)αt1

]= 0 (2.25b)

可解条件は，次の関数方程式となる：

2 exp [−ζα (t0 + t1)] sinh[√

ζ2 − 1 α (t0 − t1)]

= 0 (2.26)

これを満たす解は α(t0− t1) = 0 となる．ここでは t0− t1 6= 0 と考えているので，zero

解 (C1 = C2 = 0) のみが有意である．即ち，この場合には，直交関数を構成できない．

以上の結果，問題 (2.12)-(2.13)は 0 ≤ ζ < 1 の場合に直交関数列を構成できるこ

とが示された．

[演習問題] 独立変数を x (0 ≤ x ≤ 1)として，未知関数 u ≡ u(x) の微分方程式：

d4u

dx4− α4u = 0

がある．次に示す境界条件について，parameter α の固有値問題を解け．

u(0) = 0,

(du

dx

)

0

= 0,

(d2u

dx2

)

1

= 0,

(d3u

dx3

)

1

= 0

–237–


計算すると，α の固有値方程式は，

cos α cosh α = −1

となり，離散固有値 αn (for n = 1, 2, · · ·) が求められる．それに対応して，un(x) は直

交関数列を構成する．規格化された固有関数 un(x) は，次のように表される：

un(x) = cosh(αnx)− cos(αnx) +sin αn − sinh αn

cos αn + cosh αn

[sinh(αnx)− sin(αnx)]

[追記 (’95.1.24.)] ’94.12の後期中間試験のD4の問題に先の例題を出したところ，あ

る学生が単に例題に沿って作った解答例を持って来た．確かに例題に示された答は標

準的 (?)ではある．しかし，改めて問題をみて，解き方を工夫する必要があろう；質の

高い答案を作る工夫をすべきである．以下に，工夫の一端を示す．

[例題2] 独立変数 t，未知関数 x ≡ x(t) の微分方程式：

d2x

dt2+ 2ζα

dx

dt+ α2x = 0 (2.27)


x(t0) = x(t1) = 0 (2.28)

の下で解く．

独立変数 t に代わる τ を

τ = t− t1 + t02

, τ0 =t1 − t0

2(2.29a, b)

と取る．これにより，区間 −τ0 ≤ τ ≤ τ0 において，x ≡ x(τ) の方程式：

d2x

dτ 2+ 2ζα

dx

dτ+ α2x = 0 (2.30)


x(−τ0) = x(τ0) = 0 (2.31)

の下で解く問題となる．

さらに，x = exp(−ζατ)X (X ≡ X(τ)) とおく．区間 −τ0 ≤ τ ≤ τ0 (0 < τ0 < ∞)

において exp(−ζατ) 6= 0 であるから，x が満たすべき方程式系 (2.30),(2.31)は，次に

示す X の方程式系に変換される：

d2X

dτ 2+

(1− ζ2

)α2X = 0 (2.32)

X(−τ0) = X(τ0) = 0 (2.33)

–238–


この微分方程式系は変換 τ → −τ に対して不変であるから，解 X は τ の偶関数であ

る．また，取り得る ζ の値により3つの場合 ((i) 0 ≤ ζ < 1, (ii) ζ = 1, (iii) ζ > 1) に

分類される．(i)の場合の解は，

X = C cos(βτ),(where β ≡ α

√1− ζ2

)

(C は積分定数) であり，境界条件 (2.33)を満たすためには，

β =(

1

2+ n

)π

τ0

≡ βn for n = 0, 1, 2, · · ·

が成り立てばよい．離散固有値を βn とおいた．よって，関数 cos(βnτ) は直交関数系

を成す．

(ii)の場合の解は，

X = C

(C は積分定数) であり，境界条件 (2.33)を満たすためには C = 0 でなければならな

い：即ち，X = 0 (ゼロ解) しか持たない．

(iii)の場合の解は，

X = C cosh(γτ),(where γ ≡ α

√ζ2 − 1

)

(C は積分定数)である．関数 cosh(γτ)は，ゼロになることはないから，境界条件 (2.33)

を満たすためには C = 0 でなければならない：即ち，X = 0 (ゼロ解)しか持たない．

強調しておきたいのは，「定数係数を持つ線形同次2階常微分方程式の標準形は，

d2X

dτ 2+ AX = 0

であり，parameter A の値によって解が分類される」ことである．

–239–

Chapter 27

工学数理演習問題工学数理演習問題

1994.10.21.

f ≡ f(x) に対する次の微分方程式の解を求めよ．

df

dx+ αf = 0, (α :実数定数) (1.1)

f ≡ f(α) に対する次の微分方程式の解を求めよ．

df

dα+ αf = 0, (x :実数定数) (1.1)


df

dx+ αf = a0, (α, a0 :実数定数) (1.1)


df

dx+ αf = a0 + a1x, (α, a0, a1 :実数定数) (1.1)


df

dx+ αf = a0 + a1x + a2x

2, (α, a0, a1, a2 :実数定数) (1.1)


df

dx+ αf =

N∑

n=0

anxn, (α, a0, a1, · · · , aN :実数定数) (1.1)


df

dx+ qf = r, (1.1)

但し，q ≡ q(x), r ≡ r(x) は既知関数である．


pdf

dx+ qf = r, (1.1)

240

241

但し，p ≡ p(x), q ≡ q(x), r ≡ r(x) は既知関数である．また，考える x の区間で p 6= 0

とする．


pdf

dx+ qf = r, (1.1)

但し，p ≡ p(x), q ≡ q(x), r ≡ r(x) は既知関数である．また，考える x の区間で p = 0

となる点 x0 が唯一つある．

–241–

工学数理，応用数学 -...

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