UVOD

Tema Skupovi je raspoređena programima po svim razredima osnovnei srednje škole. U početku to su konkretni primjeri grupa materijalnih objekata ili slikama predstavljenih znakova koji služe da se za njih vežu ideje opočetnim prirodnim brojevima. Kasnije se javljaju primjeri sa elementima kojisu sintaktički znaci , slova, brojevi, ili geometrijske tačke. Sam pojam skupa kao najopštiji, ima primjere na svim nivoima apstraktnosti, počev od grupa materijalnih objekata, pa do slučajeva gde su elementi klase ekvivalencije onih objekata koji su i sami matematički pojmovi visokog stepena apstraktnosti.Pojam skupa je osnovni pojam u matematici.U ovom seminarskom radu obradila sam pojam skupa,elemente skupa,jednakost skupova,operacije sa skupova.

-16-

POJAM SKUPA

Skup je jedan od osnovhih matematičkih pojmova i kao takav se ne može definisati.

Skup je bilo koja dobro definisana kolekcija objekata koje zovemo članovima. Skupove ćemo obilježavati velikim latiničnim slovima,najčešće slovom S. Činjenicu da skup A čine elementi a, b, i czapisujemo ovako:A = {a,b,c} Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem , posmatrajući razne grupe,skupine, mnoštva neke vrste objekata , stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup knjiga u biblioteci, skup klupa u učionici itd.Tvorac teorije skupova je Georg Kantor , nemački matematičar, koji je prvi dao“opisnu” definiciju skupa. Mnogi drugi matematičari su takođe pokušavali da definišu skup. Danas, po savremenom shvatanju, pojam skupa se ne definiše, već se usvaja intuitivno kao celina nekih razičitih objekata.

Skup (množina) u matematici je osnovni pojam moderne matematike.

Neformalno, pod skupom se podrazumijeva "svaka vrste kolekcije različitih predmeta" (Georg Cantor). Na pojmu skupa stoji današnja matematika, jer upravo taj pojam se uzima, zajedno s logikom prvog reda, za gradnju matematike na aksiomima.

Skup možemo zadati njegovim elementima (članovima) konačnim ili beskonačnim:

S = {1,2,3,4,5,6},

T = {a1,a2,a3,a4,a5,a6,...}.

Često skup zadajemo i pomoću nekog pravila:

.

Neke skupove označavamo uvijek istim slovima

N prirodni brojevi R realni brojevi Q racionalni brojevi...

-16-

ELEMENTI SKUPA

Predmeti iz kojih je skup sastavljen zovu se elementi skupa..Jedna od prvih podjela skupova je prema broju elemenata.Prema broju elemenata skupove djelimo na beskonačne i konačne. Postoje skupovi sa konačno mnogo elemenata, koje nazivamo konačnim skupovima, i skupovi sa beskonačno mnogo elemenata, odnosno beskonačni skupovi. Tako, na primer , skup stanovnika na zemlji predstavlja jedan konačan skup, dok skup svih celih brojeva sadrži beskonačno mnogo elemenata.

Skupove najčešće obeležavamo velikim slovima A,B ,.....X, Y,... , a elemente skupa malim slovima a,b,...,x,y,...

Ako je x element skupa X , tu činjenicu ćemo označavati sa x X, a ako ne pripada skupu X, označićemo sa x X. Oznake ćemo čitati: “x pripada skupu X” ili “x je element skupa X”. Oznaku x X ćemo čitati “ x ne pripada skupu X” ili “ x nije element skupa X”

Postavimo sada pitanje: “ Koliko elemenata ima skup prirodnih brojeva većih od jedan a manjih od dva” ? Jasno je da takav skup nema ni jednog elementa. Za takav skup kažemo da je prazan i obeležava se sa .

Međutim, desiće nam se nekad da nije zgodno, a ni moguće, da neposredno navedemo sve elemente nekog skupa. Stoga se koristi i ovakvo zapisivanje skupova:{x S(x)} ili, isto{x x ima svojstvo S}, što bi značilo”skup svih x koji imaju svojstvoS”. Na primer skup X={7,8,9,10,11,12} možemo zapisati i na sledeći način:X={x x N 6< x <13 }.

Za neka dva skupa kažemo da su jednaki ako su svi elementi jednog skupa ujedno elementi drugog skupa, i obrnuto, svi elementi drugog skupa su elementi prvog skupa . Zapisujemo: A=B ako i samo ako (x) (x A x B ) ,na primer po definiciji biće {a,a,a,b,b,c}={a,b,b,c,c,c}={a,b,c}.

Dakle , svaki član skupa je prisutan jednim pojavljivanjem, a sva ostala njegovapojavljivanja, ukoliko ih ima, nisu važna, i, uz to, ni redosled navođenja članova nije bitan.

-16-

Kažemo da je skup B podskup skupa A, što označavamo BA, ako su svi elementi skupa B takođe i elementi skupa A, tj.B A ako i samo ako (x) (x B x A )Relacija uvedena ovom definicijom se zove relacija inkluzije. Ovde moramo voditi računa da se svi skupovi ne mogu upoređivati.

Osnovna osobina skupa je mogućnost odlučivanja da li se neki objekat nalazi u skupu ili ne. Činjenicu da se objekat (element) a nalazi u skupu A zapisujemo kao: a A, dok činjenicu da se element d ne nalazi u posmatranom skupu zapisujemo sa: d A .

JEDNAKOST SKUPOVA

Možemo sada definisati i pojam jednakosti skupova. Naime, za dva skupa A i B kažemo da su jenaki ako je svaki element jednog skupa ujedno i element drugog skupa.Drugi način zapisa skupova je slučaj kada navodimo osobine elemenata umjesto da navodimo sve elemente. Tako zapis:B = { x| x je dvocifren prirodan broj}definiše skup B kao skup dvocifrenih prirodnih brojeva: 10,11,12,...,98,99.Skupovi se mogu prikazivati i grafički. Na sledećoj slici je prikazan skup A sa elementima a,b, i c. U grafičkom prikazu skupova ukoliko niesu neophodni za razumijevanje dijagrama nemoramo upisivati elemente skupa.

A

-16-

OPERACIJE SA SKUPOVIMA

Operacija podrazumjeva da se od jednog, dva ili više objekata, stvara neki novi objekat, tj. rezultat operacije .

Operacije sa skupovima su :

-UNIJA

-PRESEK

-RAZLIKA

-SIMETRICNA RAZLIKA

-PARTITIVNI SKUP

-DEKARTOV PROIZVOD

-KOMPLEMENT SKUPA

UNIJA I PRESJEK

Osnovne skupovne operacije su unija i presjek.Pod unijom skupova A i B podrazumijevamo skup koji sadrži sve elemente skupova A i B, odnosno proizvoljni elemenat x se nalazi u uniju skupova A i B ukoliko se on nalazi u bar jednom od skupova A i B. Matematička definicija unije dva skupa je:AB ={x| x A ili x B}Na primjer za skupove A= {a,b,c} i B ={1,2,a} imamo da je AB ={a,b,c,1,2} .Presjek skupova A i B je skup koji se sastoji od onih elemenata koji se nalaze u oba skupa:AB ={x| x A i x B}Za skupove A i B iz prethodnog primjera imamo da je A∩B ={a}Grafički operacije unije i presjeka možemo predstaviti na sledeći način (šrafirana površina predstavlja uniju odnosno presjek skupova):

-16-

A U B=x:x AVxB C=AB =x:xAxB

Unija i presjek su binarne skupovne operacije, odnosno to su operacije u kojima učestvuju dvaskupa a rezultat operacije je novi skup

RAZLIKA PODSKUPOVA

Pod razlikom ili diferencijom skupova Ai B podrazumjevamo skup koji se sastoji od onih elemenata skupa A , koji ne pripadaju skupu B , ili od onih elemaneta skupa B koji ne pripadaju skupu A

-16-

a) b)

C=A/B C=B/AA/B=x:xAxB B/A=x:xBxA

SIMETRIČNA RAZLIKA

Skup (A\B)(B\A) naziva se simetrična razlika i najčešće se obeležava sa . ΔA B= (A\B)(B\A). Na dijagramu je:

Za naš primer je AΔ B={1,4}

PARTITIVNI SKUP

-16-

Skup svih podskupova skupa A naziva se partitivni skup skupa A i obeležava se sa P(A).Primer:Ako je A={1,2,3) , onda je P(A)={ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3}}

DEKARTOV PROIZVOD

Čuveni francuski filozof i matematičar Dekart je u matematiku uveo pojam pravouglog koordinatnog sistema, koji se i danas, u njegovu čast, naziva Dekartovim koordinatnim sistemom. U tom sistemu svakoj tački ravni odgovara jedan uređeni par realnih brojeva (x ,y) i, obrnuto, svakom paru brojeva (x y) odgovara tačno jedna tačka u koordinatnoj ravni. Prvi broj x u tom paru nazivamo prvom koordinatom (apscisom) , a drugi y , drugom koordinatom (ordinatom). Za uređene parove je karakteristična osobina:(x,y)=(a,b) ako i samo ako x=a y=bDekartov proizvod skupova je skup:AxB=(a,b) aA , bBTreba voditi računa da A×B ≠ Bx APrimer:Ako je M={1,2,3} i N={A,B} onda je:M×N={(1,A),(1,B),(2,A),(2,B),(3,A),(3,B)}. Na slici:

-16-

KOMPLEMENT SKUPA

Unija , presek i razlika su binarne skupovne operacije, dok je komplement skupa unarnaoperacija. To je skup svih elemenata koji nisu sadržani u posmatranom skupu.Komplement najčešće obeležavamo sa ANa slici bi bilo:

-16-

__ A = {x| x A}

Primer: Ako je A={1,3,7} i B={1,2,3,4,5,6,7} onda je :__A={2,4,5,6}

TEOREME

Skupovne operacije unija, presjek i komplement imaju sledeće osobine:

1. Komutativnost:A U B = B U AA ∩ B = B ∩ A

2. Asocijativnost:A U (B U C ) = (A U B ) U CA ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C

-16-

3. Distributivnost:A ∩(B U C ) = (A ∩ B ) U (A ∩ C )A U (B ∩ C ) = (A U B ) ∩(A U C )

4. Idempotentnost:A U A = AA ∩ A = A

5. Osobine komplementa: __(A) =A __A U A = U __A ∩ A = __ = U__U = _____ _ _A U B = A ∩ B_____ _ _A ∩ B = A U B

6. Osobine univerzalnog skupa:A U U = UA ∩ U = A

7. Osobine praznog skupa:A U = AA ∩ =

Skupovni identitet predstavlja jednakost dva skupa. Na primjer T = S, gdje su T i S izrazi koji predstavljaju skupove. Posmatraćemo primjer identiteta A ∩ (A U B)=A U (A∩B) i pokušati da dokažemo ili opovrgnemo njegovu ispravnost za proizvoljne skupove A i B. Za svaki identitet može se dokazati da je tačan, ili da nije tačan. Načini za dokazivanje skupovnih identiteta su:

1. Dijagramima za ograničen broj skupova

Prije se može reći da time ilustrujemo nego da dokazujemo činjenice.Ilustracija identiteta koji smo uzeli za primjer je:

-16-

Sa slike vidimo da je skup na lijevoj strani identičan skupu na desnoj strani identiteta (šrafirane površine).

2. Tabele pripadnosti Ako u U, onda je još ili u A, ili u A. Činjenicu u A označimo sa 1, a činjenicu u A označimo sa 0. Za datu relaciju uradimo tabelu za sve moguće slučajeve za tvrđenja T i S. Ako su svi elementi u kolonama za T i S isti, onda i samo onda je tvrđenje T jednako tvrđenju S.Loša osobina ovog metoda je što je ograničen na mali broj skupova koji učestvuju u identitetu (do 4 skupa). Naime broj kombinacija se dvostruko uvećava uvođenjem svakog novog skupa u identitet, tako da za 4 skupa imamo tablicu sa 16 redova, za 5 skupova 32 reda u tablici, a za 6 skupova već 64 reda.U našem slučaju u identitetu A∩(A U B)=A U (A∩B) učestvuju dva skupa (A i B). Prvi korak je da ispišemo sve moguće kombinacije pripadnosti nekog elementa skupovima A i B. Tih kombinacija ima 4 (element se može nalaziti: ni u jednom skupu, samo u skupu A, samo u skupu B i u oba skupa).

Naredni korak je da tabeli dodajemo kolone za svaki izraz u identitetu da bismo na kraju dobili dvije kolone od kojih prva predstavlja pripadnost elementa skupu na lijevoj strain identiteta a druga pripadnoste elementa skupu na desnoj strani identiteta. Da bi identitet bio tačan ove dvije kolone moraju biti jednake, a ako se razlikuju barem na jednom mjestu tada identitet nije tačan.

-16-

A B A U B A ∩ B A ∩ (A U B) AU (A ∩ B)

0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1

Vidimo da su odgovarajuće kolone u našem primjeru jednake, pa je posmatraniidentitet tačan, ma kakvi bili skupovi A i B.3. Dokaz izraza na osnovu definicija, aksioma i , prethodno dokazanih teorema.Ovaj način dokazivanja ima najširu primjenu, možemo ga primijeniti u svimslučajevima, ali je takođe za njegovu primjenu potrebno poznavanje velikog brojaosobina skupovnih operacija. Jedan od pristupa je: poći od lijeve strane identiteta korišćenjem poznatih osobina skupovnih operacija doći do izraza na desnoj strain identiteta.

JEDNAKOST SKUPOVA UNIVERZALNI SKUP

U mnogim razmatranjima posmatraju se samo podskupvi nekog skupa na primer skupa y.Za nas skup y ima univerzalno značenje I često se zove univerzalni skup ili univerzum.

-16-

PRAZAN SKUP

Najčešće ga označavamo Ø I smatra se da je dio ili podskup svakog skupa koji nema nijednog elementa pa se često naziva i vokantan skup.

Kardinalni broj praznog skupa je 0 , konačnog skupa prirodni broj , a moć beskonačnog skupa predstavlja se transfinitnim brojem No, N1, C,C1.

VENOV DIJAGRAM

Venov dijagram je svaki skup kjoji se predstavlja grafički I to zatvorenom krivom čiji su elementi sve tačke , ili samo neke tačke u unutrašnjosti krive

ZADAVANJE SKUPA

Ima slučajeva kada nismo u stanju da sve elemente skupa nabrojimo niti ih možemo zadati nekim propisom.

Tako na primjer govorimo o skupu S svih parnih prirodnih brojeva . Skup S smatramo tadatim ako je nedvosmisleno rečeno I objašnjeno šta su ornamenti toga skupa. c c

Komplement A skupa A često označavamo A = U / A ( ova crta podsjeća na odbijanje ali je malo koso nagnuta , što nam pokazuje da se A iz U dobija tako da odbacujemo sve elemente skupa A.

TEŠKOĆE PRVE TEORIJE SKUPOVA

-16-

Bijekcija je odigrala važnu ulogu u razmatranju pojma beskonačnosti i njemu srodnih pojmova. Ako postoje dva skupa i makar jedna funkcija među njima koja je bijekcija onda ta dva skupa imaju isti broj elemenata. To znači da ako za dva beskonačna skupa, recimo brojeva, pronađemo bar jedno bijektivno preslikavanje među njima, tada kažemo da oni imaju jednako mnogo elemenata. To je jedna od osnovnih ideja osnivača teorija skupova Kantora i Dedekinda.

Početnu ideju skupova je ubrzo, početkom 20. veka, uzdrmao britanski matematičar i filozof, Bertrand Rasel našavši nekoliko nedoslednosti u Kantorovoj teoriji. Danas se te nedoslednosti obično nazivaju paradoksima teorije skupova. Rasel je ukazao na paradoks praznog skupa, koji je razrešen zahtevom da je prazan skup podskup svakog skupa. Njegov drugi paradoks je paradoks skupa svih skupova. Ideja skupa svih skupova je kontradiktorna, tako da današnja teorija skupova, jednostavno, ne zahteva postojanje sveobuhvatnog, "univerzalnog skupa".

-16-

ZAKLJUČAK

Matematika je znanje koje nam je potrebno u svakodnevnom životu koje djeca usvajaju već prije polaska u školu.Danas po savremenom shvatanju pojam skupa se ne definiše,već se usvaja intuitivno kao cjelina nekih različiti objekat.Na osnovu navedenog može se zaključiti da je pojam skupa nešto sa čim se susrećemo tokom čitavog školovanja .

-16-

SADRŽAJ

UVOD………………………………………………………..1

POJAM SKUPA……………………………………………..2

ELEMENTI SKUPA………………………………………...3

JEDNAKOST SKUPOVA……………………………… .…4

OPERACIJE SA SKUPOVIMA …………………………....5

Unija i presjek,……………………………………… …. 5 Razlika, ……………………………………………….....6 Simetrična razlika,…………………………………….....7 Partitivni skup…………………………………………....7 Dekartov proizvod……………………………………….8 Komplement skupa………………………………………9

TEOREME…………………………………………………..10

JEDNAKOST SKUPOVA UNIVERZALNI SKUP………...13

PRAZAN SKUP……………………………………………..13

VENOV DIJAGRAM………………………………………..13

ZADAVANJE SKUPA………………………………………13

TEŠKOĆE PRVE TEORIJE SKUPOVA…………………….14

ZAKLJUČAK………………………………………………....15

LITERATURA………..………………………………………16

-16-

LITERATURA

1 .Mintaković,S,Đurić,F.(1972):Osnovne matematike sa zbirkom zadataka,Zagreb:Školska knjiga.

2. Predrag Radojević i Verica Radojević (1984): Metodika nastave matematike, Beograd: Zavod za uđbenike I nastavna sredstva

-16-