208046_28 trabcol
DESCRIPTION
TRAB COLBTRANSCRIPT
Ciclo de la tarea, Actividad 1 – Unidad 1
Vectores, matrices y determinantes
Presentado por
Clara InésCárdenasYáñez – Cód. 60255539
José Alexis Domínguez – Cód. 77187699
Nelly Morales Dimarco – Cód. 52346627
Luz Sthella Quiñonez – Cód. 63342537
Sandra M. Rueda Velasco – Cód. 63497339
Grupo
208046-28
Ingeniero
Oscar Iván Valderrama
Tutor
Universidad Nacional Abierta Y A Distancia (UNAD)
Escuela De Ciencias BásicasTecnología E Ingeniería
Algebra Lineal
2015
2
INTRODUCCIÓN
Una parte fundamental del algebra lineal son los vectores, matrices y determinantes. Es importante
tener los conocimientos teóricos básicos de estos temas para poder llegar a desarrollar ejercicios que
pueden ser aplicados en los diferentes campos laborales.
En el presente trabajo, se desarrollan una serie de ejercicios de vectores, matrices y determinantes que
posibilitan la aplicación de esos conocimientos teóricos, permitiéndonos alcanzar las competencias
deseadas para este curso.
Esperamos cumplir con todos los requerimientos exigidos en este trabajo, e ir avanzando en el
conocimiento y aplicabilidad del algebra lineal.
3
OBJETIVOS
Adquirir los conocimientos necesarios para la comprensión de los temas de algebra lineal, relacionados
con vectores, matrices, y determinantes, a través de la investigación de los mismos.
Aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de los problemas planteados, entendiendo su
aplicabilidad en problemas que pueden presentarse en el campo laboral.
Avanzar en el aprendizaje del curso de algebra lineal, para alcanzar las competencias planteadas.
4
Resolver los siguientes problemas propuestos:
1. Dados los siguientes vectores en forma polar:
a. |u | = 2; ϴ = 315°
b. |v |= 5; ϴ = 60°
Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
u – v,
v + u
v -3u
Solución:
Para sumar vectores cuando se trabaja con componentes; basta sumar las dos componentes, la 1ª con la
1ª y la 2ª con la 2ª.
Para: |u | = 2; ϴ = 315°
|u |= 2; ϴ = 315° – 270° = 45° (Tercer cuadrante, uy es Negativo)
ux = 2.sen45° = 1.4
uy = –2.cos45° = – 1.4
𝒖 = 1.4,−1.4
𝟑𝒖 = 4.2,−4.2
Para: |v | = 5; ϴ = 60°
vx = 5.cos60° = 2.5
vy = 5.sen60° = 4.3
𝒗 = 2.5, 4.3
Así:
𝑢 − 𝑣 =
𝑢 + −1 𝑣
1.4,−1.4 + (−2.5,−4.3)
1.4 − 2.5,−1.4 − 4.3 = (−𝟏.𝟏,−𝟓.𝟕)
5
𝑣 + 𝑢 =
2.5,4.3 + 1.4 − 1.4
(2.5 + 1.4, 4.3 + −1.4 = (𝟑.𝟗,𝟐.𝟗)
5𝑣 − 3𝑢 =
5 2.5,4.3 + 3 −1.4, +1.4 =
12.5 − 4.2, 21.5 + 4.2 = (𝟖.𝟑,𝟐𝟓.𝟕)
2. Dados los vectores𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘 y 𝑤 = −𝑖 − 3𝑗 − 4𝑘encuentre:
a. El ángulo en v y w
b. El producto escalar entre v y w
c. El producto vectorial entre v y w
Solución:
a. El ángulo en v y w
261691431
17494232
15
892
423312
4,3,12,3,2
222
222
w
v
wv
wv
wv
wv
47,44
442
15cos
442
15cos
442
15
2617
15,cos
1
wv
El ángulo entre v y w es igual a 44.48°
6
b. El producto escalar entre v y w
Teniendo
𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘y𝑤 = −𝑖 − 3𝑗 − 4𝑘
15
892
423312
4,3,12,3,2
wv
wv
wv
wv
El producto escalar entre w y w es = 15
c. El producto vectorial entre v y w
Teniendo
𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘 y 𝑤 = −𝑖 − 3𝑗 − 4𝑘
En teste caso se halla es el producto cruz de los dos vectores wv
kjiwv
kjiwv
kjiwv
kji
kji
wv
9106
9106
3628612
31
32
41
22
43
23
431
232
El producto vectorial entre v y w es igual a 𝟔𝒊 + 𝟏𝟎𝒋 − 𝟗𝒌
3. Dadas las matrices
𝐴 = −1 5 0 54 2 −3 6
𝐵 =
5−4−2−3
𝐶 = −9 2 6
Hallar:
a. AB
b. BC
7
AxB
𝐴 = −1 5 0 54 2 −3 6
𝐵 =
5−4−2−3
A2X4 x B4X1 = AB2X1
AB = – 1 . 5 + 5. – 4 + 0. – 2 + 5. – 3
4.5 + 2. – 4 + – 3 – 2 + 6. (– 3) =
– 5 – 20 + 0 – 15
20 – 8 + 6 – 18 = – 40
0
𝐴𝐵 = −40
0
BxC
𝐵 =
5−4−2−3
𝐶 = −9 2 6
BC = B4X1x C1X3 = B.C4X3
BC =
5. – 9 5.2 5.6
– 4 – 9 – 4 . 2 –4 . 6
– 2 . – 9 – 2 . 2 – 2 . 6
– 3 . −9 – 3 . 2 – 3 . 6
=
– 45 10 30
36 – 8 – 24
18 – 4 – 12
27 – 6 – 18
𝐵𝐶 =
−45 10 3036 −8 −2418 −4 −1227 −6 −18
4. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello primero el método de Gauss
Jordan y luego por determinantes aplicando la fórmula: 𝐴−1 =1
𝑑𝑒𝑡𝐴(𝑎𝑑𝑗𝐴)
1121
5310
1463
2012
A
Método Gauss Jordan
𝐴: 𝐼 =
2 −1 0 −2 ⋮ 1 0 0 03 −6 4 −1 ⋮ 0 1 0 00 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0−1 2 1 1 ⋮ 0 0 0 1
𝒇𝟏 = 𝑓1 2
8
𝐴: 𝐼 =
𝟏 −1
20 −1 ⋮
1
20 0 0
3 −6 4 −1 ⋮ 0 1 0 00 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0−1 2 1 1 ⋮ 0 0 0 1
𝐴: 𝐼 =
𝟏 −1
20 −1 ⋮
1
20 0 0
𝟎 −9
24 2 ⋮ −
3
21 0 0
𝟎 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0
𝟎3
21 0 ⋮
1
20 0 1
𝐴: 𝐼 =
𝟏 −1
20 −1 ⋮
1
20 0 0
𝟎 𝟏 −8
9−
4
9⋮
1
3−
2
90 0
𝟎 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0
𝟎3
21 0 ⋮
1
20 0 1
𝐴: 𝐼 =
𝟏 −1
20 −1 ⋮
1
20 0 0
𝟎 𝟏 −8
9−
4
9⋮
1
3−
2
90 0
𝟎 𝟎19
9−
49
9⋮
1
3−
2
91 0
𝟎 𝟎7
3
2
3⋮ 0
1
30 1
𝐴: 𝐼 =
𝟏 −1
20 −1 ⋮
1
20 0 0
𝟎 𝟏 −8
9−
4
9⋮
1
3−
2
90 0
𝟎 𝟎 𝟏 −49
19⋮
3
19−
2
19
9
190
𝟎 𝟎7
3
2
3⋮ 0
1
30 1
𝐴: 𝐼 =
𝟏 −1
20 −1 ⋮
1
20 0 0
𝟎 𝟏 −8
9−
4
9⋮
1
3−
2
90 0
𝟎 𝟎 𝟏 −49
19⋮
3
19−
2
19
9
190
𝟎 𝟎 𝟎127
19⋮ −
7
19
11
19−
21
191
𝐴: 𝐼 =
𝟏 −1
20 −1 ⋮
1
20 0 0
𝟎 𝟏 −8
9−
4
9⋮
1
3−
2
90 0
𝟎 𝟎 𝟏 −49
19⋮
3
19−
2
19
9
190
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 ⋮ −7
127
11
127−
21
127
19
127
𝒇𝟐 = 𝑓2/−9
2
𝒇𝟑 = 𝑓3 − (−1)𝑓2
𝒇𝟑 = 𝑓3/19
9
𝒇𝟒 = 𝑓4 −7
3𝑓3
𝒇𝟒 = 𝑓4/127
19
𝒇𝟑 = 𝑓3 − −49
19 𝑓4
𝒇𝟒 = 𝑓4 −3
2𝑓2
𝒇𝟐 = 𝑓2 − −4
9 𝑓4
𝒇𝟏 = 𝑓1 − −𝑓4
𝒇𝟐 = 𝑓2 − 3𝑓1
𝒇𝟒 = 𝑓4 − −𝑓1
9
𝐴: 𝐼 =
𝟏 −1
20 𝟎 ⋮
113
254
11
127−
21
127
19
127
𝟎 𝟏 −8
9𝟎 ⋮
353
1143−
70
381−
28
381
76
1143
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 ⋮2
127
15
127
6
127
49
127
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 ⋮ −7
127
11
127−
21
127
19
127
𝐴: 𝐼 =
𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 ⋮
77
127
6
127−
23
127
45
127
𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 ⋮41
127−
10
127−
4
127
52
127
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 ⋮2
127
15
127
6
127
49
127
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 ⋮ −7
127
11
127−
21
127
19
127
Programa Maple 13
Matriz inversa método Gauss
Digitamos el título de la matriz, damos
enter y nos aparece el título en color azul.
Vamos a herramientas / tutoriales /
algebra lineal / matriz inversa para
empezar a escribir la matriz.
𝒇𝟐 = 𝑓2 − −8
9 𝑓3
𝒇𝟏 = 𝑓1 − −1
2 𝑓2
10
Aparece esta ventana y damos clic en
editar matriz.
Escribimos los valores respectivos.
Damos clic en display para cambiar la
matriz y luego en close.
11
Vamos dando clic en next step para ir
desarrollando la matriz, en el cuadro
superior derecho van apareciendo las
operaciones que hay q realizar para llegar
a los valores de la matriz inversa.
1. Multiplicar la fila 1 por 1/2
2. Añadir 3 veces la fila 1 a la fila 2
12
3. Añadir 1 vez la fila 1 a la fila 4
4. Multiplicar fila 2 por -2/9
5. Añadir ½ veces la fila 2 a la fila 1
13
6. Añadir 1 vez la fila 2 a la fila 3
7. Añadir -3/2 veces la fila 2 a la fila 4
14
8. Multiplicar la fila 3 por 9/19
9. Añadir 4/9 veces la fila 3 a la fila 1
10. Añadir 8/9 veces la fila 3 a la fila 2
15
11. Añadir -7/3 veces la fila 3 a la fila 4
12. Multiplicar la fila 4 por 19/127
13. Añadir 45/19 veces la fila 4 a la fila
1
16
14. Añadir 52/19 veces la fila 4 a la fila
2
15. Añadir 45/19 veces la fila 4 a la fila
3. Y así finalmente obtenemos la
matriz inversa.
Si no deseamos ver paso a paso el
desarrollo de la matriz, damos clic enall
steps, para ver el resultado final.
17
Seleccionamos la matriz para copiarla en
la plantilla del editor.
Damos clic a “si” para copiarla como
texto de matemáticas.
La matriz queda de forma vertical.
18
Nos paramos al final de la flecha y damos
suprimir para que quede de manera
horizontal y sea más fácil apreciarla.
Podemos cambiar el formato de la matriz
con los botones de la barra de
herramientas.
Determinante aplicando la fórmula: 𝐴−1 =1
𝑑𝑒𝑡𝐴(𝑎𝑑𝑗𝐴)
1121
5310
1463
2012
A
Calcular valor del determinante por método Sarrus
19
𝐴 =
2 −1 0 −23 −6 4 −10 −1 3 −5−1 2 1 1
𝐴 = 2𝐴11 + 3𝐴21 + 0𝐴31 + −1 𝐴41 =
𝐴11 = −1 1+1
−6 4 −1−1 3 −52 1 1−6 4 −1−1 3 −5
= 1 −18 + 1 − 40 + 6 − 30 + 4
(1)(−77)−77
𝐴21 = −1 2+1
−1 0 −2−1 3 −52 1 1−1 0 −2−1 3 −5
= −1 −3 + 2 − 0 + 12 − 5 − 0
(−1)(6)−6
𝐴41 = −1 4+1
−1 0 −2−6 4 −1−1 3 −5−1 0 −2−6 4 −1
= −1 20 + 36 + 0 − 8 − 3 − 0
(−1)(45)−45
𝐴 = 2𝐴11 + 3𝐴21 + 0𝐴31 + −1 𝐴41 = 𝐴 = 2 −77 + 3 −6 + −1 −45
−154 − 18 + 45−𝟏𝟐𝟕
𝑨 = −𝟏𝟐𝟕
20
Hallar matriz cofactor
𝐴 =
𝟐11 −𝟏12 𝟎13 −𝟐14
𝟑21 −𝟔22 𝟒23 −𝟏24
𝟎31 −𝟏32 𝟑33 −𝟓34
−𝟏41 𝟐42 𝟏43 𝟏44
𝐵 =
𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14
𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴24
𝐴31 𝐴32 𝐴33 𝐴34
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝐴11 = −1 1+1
−6 4 −1−1 3 −52 1 1−6 4 −1−1 3 −5
= −1 2 −18 + 1 − 40 + 6 − 30 + 4
(1)(−77)−77
𝐴12 = −1 1+2
3 4 −10 3 −5−1 1 13 4 −10 3 −5
= −1 3 9 − 0 + 20 − 3 + 15 − 0
(−1)(41)−41
𝐴13 = −1 1+3
3 −6 −10 −1 −5−1 2 13 −6 −10 −1 −5
= −1 4 −3 − 0 − 30 + 1 + 30 − 0
(1)(−2)−2
𝐴14 = −1 1+4
3 −6 40 −1 3−1 2 13 −6 40 −1 3
= −1 5 −3 + 0 + 18 − 4 − 18 + 0
(−1)(−7)7
𝐴21 = −1 2+1
−1 0 −2−1 3 −52 1 1−1 0 −2−1 3 −5
= −1 −3 + 2 − 0 + 12 − 5 + 0
(−1)(6)−6
𝐴22 = −1 2+2
2 0 −20 3 −5−1 1 12 0 −20 3 −5
= 1 6 − 0 + 0 − 6 + 10 − 0
(1)(10)10
𝐴23 = −1 2+3
2 −1 −20 −1 −5−1 2 12 −1 −20 −1 −5
= −1 −2 − 0 − 5 + 2 + 20 + 0
(−1)(15)−15
21
𝐴24 = −1 2+4
2 −1 00 −1 3−1 2 12 −1 00 −1 3
= 1 −2 + 0 + 3 − 0 − 12 + 0
(1)(−11)−11
𝐴31 = −1 3+1
−1 0 −2−6 4 −12 1 1−1 0 −2−6 4 −1
= 1 −4 + 12 − 0 + 16 − 1 + 0
(1)(23)23
𝐴32 = −1 3+2
2 0 −23 4 −1−1 1 12 0 −23 4 −1
= −1 8 − 6 + 0 − 8 + 2 − 0
(−1)(−4)4
𝐴33 = −1 3+3
2 −1 −23 −6 −1−1 2 12 −1 −23 −6 −1
= 1 −12 − 12 − 1 + 12 + 4 + 3
(1)(−6)−6
𝐴34 = −1 3+4
2 −1 03 −6 4−1 2 12 −1 03 −6 4
= −1 −12 + 0 + 4 − 0 − 16 + 3
(−1)(−21)21
𝐴41 = −1 4+1
−1 0 −2−6 4 −1−1 3 −5−1 0 −2−6 4 −1
= −1 20 + 36 + 0 − 8 − 3 − 0
(−1)(45)−45
𝐴42 = −1 4+2
2 0 −23 4 −10 3 −52 0 −23 4 −1
= 1 −40 − 18 − 0 + 0 + 6 + 0
(1)(−52)−52
𝐴43 = −1 4+3
2 −1 −23 −6 −10 −1 −52 −1 −23 −6 −1
= −1 60 + 6 + 0 − 0 − 2 − 15
(−1)(49)−49
𝐴44 = −1 4+4
2 −1 03 −6 40 −1 32 −1 03 −6 4
= 1 −36 − 0 − 0 + 0 + 8 + 9
(1)(−19)−19
22
La matriz de cofactores es igual a:
𝐵 =
−77 −41 −2 7−6 10 −15 −1123 4 −6 21−45 −52 −49 −19
Hallar la transpuesta de B para hallar la adjunta de A
𝐵𝑡 =
−77 −6 23 −45−41 10 4 −52−2 −15 −6 −497 −11 21 −19
= 𝑎𝑑𝑗𝐴
Hallar inversa de A:
𝐴−1 =1
𝑑𝑒𝑡𝐴(𝑎𝑑𝑗𝐴)
𝐴−1 =1
−127
−77 −6 23 −45−41 10 4 −52−2 −15 −6 −497 −11 21 −19
Para comprobar el resultado decimos:
𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐼 = 𝐴−1 ∙ 𝐴
𝐴 ∙ 𝐴−1 =1
−127
2 −1 0 −23 −6 4 −10 −1 3 −5−1 2 1 1
−77 −6 23 −45−41 10 4 −52−2 −15 −6 −497 −11 21 −19
𝐴 ∙ 𝐴−1 =1
−127
−127 0 0 00 −127 0 00 0 −127 00 0 0 −127
23
5. Determine empleando determinantes si la matriz es invertible. Debe mostrar todo el procedimiento
no es suficiente con solo identificar la matriz invertible
418
214
112
a
407
532
2611
b
1161
02102
6225
2031
c
Solución
Se dice que una matriz es invertible si al hallar su determinante este diferente cero. Teniendo este
concepto hallamos el determinante de cada una de las matrices para saber si son o no invertibles
418
214
112
a
A la fila 2 le sumamos la fila 1 multiplicada por (-2)
418
030
112
A la fila 3 le sumamos la fila 1 multiplicada por (-4)
030
030
112
A 2 veces la fila 3 le sumamos la fila 2 multiplicada por (-2)
000
030
112
0032
000
030
112
418
214
112
=
Como el determinante es igual a cero(0) se puede afirmar que esta matriz no es invertible.
24
407
532
2611
b
A la fila 2 le restamos la fila multiplicada por (-2/11)
40711
59
11
450
2611
A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por (7/11)
11
58
11
420
11
59
11
450
2611
A la fila 3 le restamos la fila multiplicada por (-14/15)
15
400
11
59
11
450
2611
15
4
11
4511
15
400
11
59
11
450
2611
407
532
2611
xx
124315
445
Como el determinante es igual a -12 podemos afirmar que esta matriz es invertible.
25
1161
02102
6225
2031
c
A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por (-5)
1161
02102
162130
2031
A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por (-2)
1161
4240
162130
2031
A la fila 4 le restamos la fila 1 multiplicada por (-1)
1130
4240
162130
2031
A la fila 3 le restamos la fila 2 multiplicada por (4/13)
113013
116
13
3400
162130
2031
A la fila 4 le restamos la fila 2 multiplicada por (3/13)
13
61
13
1900
13
116
13
3400
162130
2031
26
A la fila 4 le restamos la fila 3 multiplicada por (19/34)
17
5000
13
116
13
3400
162130
2031
17
5000
13
116
13
3400
162130
2031
1161
02102
6225
2031
105217
534
17
5
13
34131
Como el valor del determinante es igual a 10, se puede afirmar que la matriz es invertible.
27
CONCLUSIONES
Aunque inicialmente estos temas de vectores, matrices y determinantes, parecen confusos, al ir
estudiando la teoría, vemos que no son tan complicados, lo que si necesitan es dedicación, pues como
puede verse sobre todo en las matrices y determinantes la solución de los ejercicios es extensa y
cualquier equivocación puede variar todo el ejercicio.
El estudio de las matrices, las operaciones que con ellas se realizan, su inversa, tiene mucha
aplicabilidad en casos de agrupación de datos, es la solución de problemas en los diferentes campos
laborales, si logramos llevarlo a la práctica.
Cabe destacar que nos falta mucho por aprender, pero por lo menos ya se manejan conceptos teóricos
que nos han permitido desarrollar lo ejercicios planteados, esperamos seguir avanzando en este curso y
cumplir con las metas trazadas.
28
Referencias Bibliográficas
[1] Grossman, S. (1992). Álgebra Lineal con aplicaciones (cuarta ed.). México: Mc Graw Hill.
[2] Zuñiga G., C. A., & Rondon D., J. E. (2010). Módulo Álgebra Lineal (primera ed.). Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD.
Webgrafía
[1] Estudio de los vectores en álgebra lineal [video]. (4 de agosto de 2014). Obtenido
dehttps://www.youtube.com/watch?v=yBHVDZoqPQs
[2] Ángulo entre dos vectores (producto punto) [video]. (31 de julio de 2013). Obtenido
dehttps://www.youtube.com/watch?v=LwPo2Gznk-s
[3] Ángulo formado por dos vectores [video]. (18 de febrero de 2009). Obtenido
dehttps://www.youtube.com/watch?v=RtOTGBuQRto
[4] Suma y resta de vectores [video]. (23 de julio de 2013). Obtenido
dehttps://www.youtube.com/watch?v=WAgChRfDc9s
[5] Determinante de una matriz 4x4 [video]. (1 de noviembre de 2010). Obtenido de
https://www.youtube.com/watch?v=ZO0naBrmgj4
[6] Inversa de una matriz 4x4 [video]. (31 de octubre de 2014). Obtenido de
https://www.youtube.com/watch?v=e-peSMxSlBQ
[7] Operaciones básicas con matrices – Álgebra lineal y matrices [video]. (22 de agosto de 2013).
Obtenido dehttps://www.youtube.com/watch?v=l7FGkomNpjg
[8] Operaciones con matrices – calculo matricial [video]. (16 de junio de 2013). Obtenido
dehttps://www.youtube.com/watch?v=CMlnTHtf2hc
[9] Cómo calcular la inversa de una matriz [video]. (04 de noviembre de 2011). Obtenido
dehttps://www.youtube.com/watch?v=YwlyPBEo5lc
[10] Solución de un sistema de 3x3 de Gauss Jordan [video]. (16 de noviembre de 2012). Obtenido
dehttps://www.youtube.com/watch?v=l6fBSH8I1o4