2.1 fungsi khusus

7/24/2019 2.1 Fungsi Khusus

1/6

1.Fungsi Khusus

1.1 Pengantar

Fungsi gamma merupakan fungsi spesial yang sering muncul dalam pembahasan suatu fenomena

fisis. Fungsi ini muncul disetiap ekspansi Taylor. Pada pelajaran lebih lanjut, fungsi gamma sering

ditemukan dengan argument setengah bilangan bulat dan dibutuhkan untuk nilai non-integral

secara umum dalam banyak ekspansi, seperti fungsi Bessel untuk urutan bukan bilangan bulat.

Fungsi gamma tidak selalu mendeskripsikan sebuah kuantitas fisis, namun muncul sebagai faktor

dalam ekspansi dari kuantitas fisis yang relevan.

1.2 Definisi

Fungsi gamma memiliki beberapa definisi dalam penggunaannya. Definisi pertama muncul setelah

didefinisikan oleh Euler :

l i m 1 2 3 1 2 , 0, 1, 2, .

Dengan melakukan subtitusi = 1, didapatkan hubungan : 1 = .Dari definisi juga dapat dilihat bahwa :

1 = l i m 1 2 3 1 2 3 1 = 1Sehingga membentuk pola

2 = 13 = 22 = 24 = 33 = 2 3

Atau :


2/6

= 1 2 3 1 = 1! .Definisi kedua yang sering disebut integral Euler didefinisikan sebagai :

=

, Re > 0 . Perlu diperhatikan bahwa nilai real dari haruslah konvergen.Saat fungsi gamma muncul dalam masalah fisis, sering dijumpai dalam beberapa variasi seperti :

= 2

, Re > 0 .

yang dapat dibuktikan dengan melakukan subtitusi = pada persamaan ..Persamaan .dan .dapat dibuktikan dengan memperhatikan fungsi dua variabel :

, = 1

, Re >0 .

Dengan adalah bilangan bulat positif. Fungsi tersebut dipilih karena eksponensialnya memilikidefinisi :

lim 1

Fungsi pada persamaan .dapat dilihat memenuhi persamaan . :lim , = , =

=

Sementara dengan melakukan subtitusi

=/:

, = 1

Persamaan .didapatkan dengan integral parsial :


3/6

, = [1

] 1

Dengan melakukan sebanyak

kali, integral parsialnya diabaikan, kita dapatkan :

, = 1 1 1 +

, = 1 2 3 1 2 yang merupakan persamaan .:

lim ,=,

1.3 Hubungan Fungsional

Salah satu hubungan relasi yang memenuhi persamaan fungsi gamma adalah persamaan pantulan

(reflection formula):

1 z =

sin .

Salah satu cara untuk membuktikannya adalah dengan memulai dengan produk dari integral Euler

:

11 z =

=

1

Yang didapat dari subtitusi = dan = / . Kita juga membutuhkan Jacobian daritransformasi ini :

= |1 11 | = = 1


4/6

Integrasi terhadap menjadi sama dengan 1!sementara integrasi terhadap didapatkan denganmetode integrasi-kontur :

1

=

sin

Dengan mengganti 1menjadi dan didapatkan persamaan ..1.4 Fungsi Beta

Haasil dari fungsi gmma dapat diidentifikasi sebagai penjabaran dari integral yang mengandung

unsur fungsi sin dan cos. Integral tersebut dapat lebih lanjut dimanipulasi untuk mengevaluasi

sebuah angka yang besar dari integral. Hal tersebut menjadi dasar pendefinisian fungsi beta.

Secara umum fungsi beta dalam bentuk integral memiliki formasi :

, = 1 .yang konvergen untuk > 0 , > 0 ,dengan dan adalah bilangan real. Hal yang menarik jikamelakukan subtitusi = 1 . Subtitusi tersebut memberikan sifat simetri antara , =,.Hubungan fungsi beta dan fungsi gamma dapat dijabarkan dengan melakukan perkalian dua fungsi

gamma dalam bentuk .: = 4

= 4 +

dengan mengubahnya dalam kordinat polar

,,

= s i n ,

= c o s :

= 4 sin cos

= 4 sin cos

+


5/6

= 2 sin cos

Untuk bentuk integral cos dan sin, dengan subtitusi 2 1 = 2 1 1 (demikian jugadengan bagian ) dapat dijabarkan :

2 sin+ cos+

= sin cos 2 cos sin

Fungsi beta didapatkan dengan kembali melakukan subtitusi =sin : sin cos 2 cos sin

= x 1

=,

Sehingga hubungan antara fungsi gamma dan fungsi beta :

, = .1.6 Formula Stirling

Sebuah persamaan yang mengandung ! Ataupun tidak dapat secara sederhanadidiferensialkan. Disini kita menggunakan pendekatan untuk fungsi faktorial atau fungsi yangdisebut persamaan Stirling.

Persamaan ini didapatkan dengan fungsi gamma :

1 = ! = =

.Dengan melakukan subtitusi = , = :

! = ++

Untuk dengan nilai besar, bentuk logaritma dapat diekspansi menurut deret pangkat :ln = l n l n 1 = l n

2


6/6

Sehingga didapatkan :

! ~ +

= =

Untuk integral pertama didapatkan 2. Untuk integral kedua bernilai nol untuk , dan kitadapatkan formula Stirling :

!~

2 .

Adapun untuk ekspansi asymtot 1didapatkan : 1 = ! = 21 112 1288 .

Bagian pertama yang merupakan formula Stirling merupakan pendekatan yang baik digunakan

untuk bernilai besar dan bagian keduanya dapat digunakan untuk memperkirakan kesalahanrelatif fungsi tersebut.

Bentuk yang sering dijumpai dalam formula Stirling adalah nilai ln!dengan nilai besar. Padakasus ini, formula Stirling memberikan hubungan :

l n ! = l n(2) = l n l n ln 2= l n l n 2

Karena nilai besar, bagian ln 2dapat diabaikan sehingga didapatkan persamaan umum :

l n ! = l n .

2.1 fungsi khusus

Documents