嶋津　恒彦　齋藤研究室

生物の移出入がもたらすパーマネンスについて

ロトカ・ヴォルテラ方程式

食う食われるの関係にある２種の個体群動態を表したモデル

ただし

：被食者の個体群サイズ， ：捕食者の個体群サイズ

解は閉曲線を描く

自然の共存状態を表現しきれていない

ロトカ・ヴォルテラ方程式の性質

閉曲線は初期値に依存する

方程式系　　に組み込まれていない修復力の源は何なのか？

何が共存状態を引き起こすのか？

生物が共存するメカニズムの解明に繋がる

生物の移出入のおかげで共存している？着眼点

自然界で行われている現象

ロトカ・ヴォルテラ方程式には組み込まれていない

本研究の目的

ただしかつ

とする

移出・移入を考慮したロトカ・ヴォルテラ方程式が共存状態となる条件を求めること

被食者の移出・移入を考慮した結果

発表の流れ

（ i ）移入が一定（ ii ）移入が時間に依存する（証明の流れ）

捕食者の移出・移入を考慮した結果（ i ）移入が一定

（ ii ）移入が時間に依存する

条件の再考

共存状態の定義

被食者と捕食者の移出・移入を考慮した結果

定義定義方程式系はパーマネントである

共存状態の定義

解有界閉領域，def

第一象限内部の

第一象限内部の

被食者の移出・移入のみを考慮した場合

（ i ）移入が一定

ただし

方程式系　　 はパーマネント

定理１定理１

とする

ならば方程式系　　　はパーマネント

（ ii ）移入が時間に依存する

が存在し，任意の　　　に対して定理２定理２

定理１の条件定理１の条件

定理２の証明の流れ

すべての解は解に依存しない第一象限内部の有界閉領域に留まる

証明したいこと証明したいこと

（１）第一象限内部の有界閉領域　 を作る

（３）解はある時刻で　 に入る

（２）解は　 に留まる

リヤプノフの方法を使うリヤプノフの方法を使う

（１）有界閉領域　 を作る

ただし

， ， ，とする

は閉曲線

関数　　　　について

のとき

任意の　　　 に対して

は閉曲線

関数　　　　について

任意の　　　 に対して

のとき

解は　の上側から交わらない

（１）有界閉領域　 を作る

（２）解は　 に留まる

（３）解はある時刻で　 に入る

　 に入らない解は　 の周りを反時計回りに動き続ける：詳しくは修士論文を参照

被食者の移出・移入を考慮した結果

発表の流れ

（ i ）移入が一定（ ii ）移入が時間に依存する（証明の流れ）

捕食者の移出・移入を考慮した結果（ i ）移入が一定

（ ii ）移入が時間に依存する

条件の再考

共存状態の定義

被食者と捕食者の移出・移入を考慮した結果

捕食者の移出・移入のみを考慮した場合

方程式系　　 はパーマネント

定理３定理３

（ i ）移入が一定

ただし とする

ならば方程式系　　はパーマネント

定理４定理４

（ ii ）移入が時間に依存するとき

が存在し，任意の に対して

定理３の条件定理３の条件

条件の反省

定理２の条件定理２の条件 定理４の条件定理４の条件

一定量以上の移入を供給できるほど外部系が大きい

「移出入＋外部系のパーマネント性」が方程式系をパーマネントにした？

外部系にパーマネント的な個体群の維持を要求する

被食者と捕食者の移出・移入を考慮した場合

ならば方程式系　　はパーマネント

定理５定理５が存在し，任意の に対して

課題の解決

捕食者と被食者のそれぞれにパーマネント的な移入がなくともパーマネントとなる

定理５の条件定理５の条件

生物の移出入がパーマネントをもたらした

被食者の外部系 捕食者の外部系内部系

結論

生物の移出入がパーマネントを引き起こす

定理５：適切な移出入は方程式系をパーマネントにさせた

生物が移出入を行っているから

生物が共存するのは

と示唆できた

必要十分条件を求めること

ならば方程式系　　　はパーマネント

が存在し，任意の　　　に対して

定理２定理２

ならば方程式系　　はパーマネント

定理５定理５が存在し，任意の に対して

ならば方程式系　　はパーマネント

定理４定理４が存在し，任意の に対して