222.255.28.81222.255.28.81/data/file/2018/04/27/de-thi-thu-thpt-quoc...trang 1/30 Đề số 1 câu...
TRANSCRIPT
Trang 1/30
Đề số 1
Câu 1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
A. 2z i . B. 1 2z i .
C. 2z i . D. 1 2z i .
Câu 2: 2
lim3x
x
x
bằng
A. 2
3 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 3: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là:
A. 8
10A . B. 2
10A . C. 2
10C . D. 210 .
Câu 4: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là:
A. 1
3V Bh . B.
1
6V Bh . C. V Bh . D.
1
2V Bh .
Câu 5: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. 2;0 . B. ; 2 . C. 0;2 . D. 0; .
Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn ;a b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b a b . Thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức.
A. 2 d
b
a
V f x x . B. 22 d
b
a
V f x x . C. 2 2 d
b
a
V f x x . D. 2 d
b
a
V f x x .
Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. 1x . B. 0x . C. 5x . D. 2x .
Câu 8: Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. log 3 3loga a . B. 3 1
log log3
a a . C. 3log 3loga a . D.
1log 3 log
3a a .
x
y
y
0 2
0 0
1
5
O2
y
x
1M
Ân hiện lưới
Ân hiện hoành đô 3,4
Ân hiện hoành đô 5,6
Khung hinh bao quanh
-4 -3
-2
Trang 2/30
Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số 23 1f x x là
A. 3x C . B.
3
3
xx C . C. 6x C . D.
3x x C .
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm 3; 1;1A . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
Oyz là điểm
A. 3;0;0M . B. 0; 1;1N . C. 0; 1;0P . D. 0;0;1Q .
Câu 11: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?
A. 4 22 2y x x .
B. 4 22 2y x x .
C. 3 23 2y x x .
D. 3 23 2y x x .
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 2 1
:1 2 1
x y zd
. Đường thẳng d có môt vec tơ
chỉ phương là:
A. 1 1;2;1u ur
. B. 2 2;1;0u uur
. C. 3 2;1;1u uur
. D. 4 1;2;0u uur
.
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình: 2 62 2x x là:
A. 0;6 . B. ;6 . C. 0;64 . D. 6; .
Câu 14: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 23πa và bán kính đáy bằng a . Đô dài đường sinh
của hình nón đã cho bằng:
A. 2 2a . B. 3a . C. 2a . D. 3
2
a.
Câu 15: Trong mặt phẳng tọa đô Oxyz , cho ba điểm 2;0;0M , 0; 1;0N và 0;0;2P . Mặt phẳng
MNP có phương trình là
A. 02 1 2
x y z
. B. 12 1 2
x y z
. C. 12 1 2
x y z . D. 1
2 1 2
x y z
.
Câu 16: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ?
A. 2 3 2
1
x xy
x
. B.
2
2 1
xy
x
. C.
2 1y x . D. 1
xy
x
.
Câu 17: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình 2 0f x là
A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. 2 .
x
y
O
Trang 3/30
Câu 18: Giá trị lớn nhất của hàm số 4 24 5f x x x trên đoạn 2;3 bằng
A. 50 . B. 5 . C. 1 . D. 122 .
Câu 19: Tích phân
2
0
d
3x
x bằng
A. 16
225. B.
5log
3. C.
5ln
3. D.
2
15.
Câu 20: Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 24 4 3 0 z z . Giá trị của biểu thức
1 2z z bằng
A. 3 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 .
Câu 21: Cho hình lập phương .ABCD A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách
giữa hai đường thẳng BD và A C bằng
B'
D'
C'
A'
B
C
D
A
A. 3a . B. a . C. 3
2
a. D. 2a .
Câu 22: Môt người gửi 100 triệu đồng vào môt ngân hàng với lại suất 0, 4% /tháng. Biết rằng nếu
không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để
tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu
và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút
tiền ra và lãi suất không thay đổi ?
A. 102.424.000đồng. B. 102.423.000đồng. C. 102.016.000đồng. D. 102.017.000đồng.
Câu 23: Môt hôp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên
đồng thời 2 quả cầu từ hôp đó. Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng
A. 5
22. B.
6
11. C.
5
11. D.
8
11.
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 1;2;1A và 2;1;0B . Mặt phẳng qua A và vuông
góc với AB có phương trình là
A. 3 6 0x y z . B. 3 6 0x y z .
C. 3 5 0x y z . D. 3 6 0x y z .
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm SD .
Trang 4/30
Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng
A. 2
2. B.
3
3. C.
2
3. D.
1
3.
Câu 26: Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 55n nC C , số hạng không chứa x trong khai triển của
thức 3
2
2n
xx
bằng
A. 322560. B. 3360 . C. 80640 . D. 13440 .
Câu 27: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 3 9 27 81
2log .log .log .log
3x x x x bằng
A. 82
9. B.
80
9. C. 9 . D. 0 .
Câu 28: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi môt vuông góc với nhau và OA OB OC . Gọi
M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB
bằng
M
O
C
B
A
A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1
3 3 2:
1 2 1
x y zd
;
2
5 1 2:
3 2 1
x y zd
và mặt phẳng : 2 3 5 0P x y z . Đường thẳng vuông góc với
P , cắt 1d và 2d có phương trình là
A. 1 1
1 2 3
x y z . B.
2 3 1
1 2 3
x y z .
C. 3 3 2
1 2 3
x y z . D.
1 1
3 2 1
x y z .
Câu 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3
5
1
5y x mx
x đồng biến trên
khoảng 0; ?
A. 5 . B. 3 . C. 0 . D. 4 .
Trang 5/30
Câu 31: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 23y x , cung tròn có phương trình
24y x (với 0 2x ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H
bằng
A. 4 3
12
. B.
4 3
6
. C.
4 2 3 3
6
. D.
5 3 2
3
.
x
y
2
2O
Câu 32: Biết
2
1
d
1 1
xI a b c
x x x x
với a , b , c là các số nguyên dương. Tính
P a b c .
A. 24P . B. 12P . C. 18P . D. 46P .
Câu 33: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh xqS của hình trụ có môt
đường tròn đáy là đường tròn nôi tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện
ABCD .
A. 16 2
3xqS
. B. 8 2xqS . C.
16 3
3xqS
. D. 8 3xqS .
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
16 2.12 2 9 0x x xm có nghiệm dương ?
A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 .
Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 33 3sin sinm m x x có
nghiệm thực ?
A. 5 . B. 7 . C. 3 . D. 2 .
Câu 36: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
3 3y x x m trên đoạn 0;2 bằng 3 . Số phần tử của S là
A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 6 .
Câu 37: Cho hàm số f x xác định trên 1
\2
¡ thỏa mãn 2
2 1f x
x
, 0 1f và 1 2f . Giá
trị của biểu thức 1 3f f bằng
A. 4 ln15 . B. 2 ln15 . C. 3 ln15 . D. ln15 .
Câu 38: Cho số phức z a bi ,a b ¡ thỏa mãn 2 1 0z i z i và 1z . Tính P a b .
A. 1P . B. 5P . C. 3P . D. 7P .
Trang 6/30
Câu 39: Cho hàm số y f x .Hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số 2y f x đồng
biến trên khoảng:
A. 1;3 . B. 2; . C. 2;1 . D. ;2 .
Câu 40: Cho hàm số 2
1
xy
x
có đồ thị C và điểm ;1A a . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực
của a để có đúng môt tiếp tuyến từ C đi qua A . Tổng tất cả giá trị của phần tử S bằng
A. 1 . B. 3
2. C.
5
2. D.
1
2.
Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho điểm 1;1;2M . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và
cắt các trục x Ox , y Oy , z Oz lần lượt tại điểm A , B ,C sao cho 0OA OB OC ?
A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 8 .
Câu 42: Cho dãy số nu thỏa mãn 1 1 10 10log 2 log 2log 2logu u u u và 1 2n nu u với mọi
1n . Giá trị nhỏ nhất để 1005nu bằng
A. 247 . B. 248 . C. 229 . D. 290 .
Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 3 23 4 12y x x x m có 7 điểm
cực trị ?
A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 4 .
Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 2; 2; 1A , 8 4 8
; ;3 3 3
B
. Đường thẳng đi qua tâm
đường tròn nôi tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB có phương trình là
A. 1 3 1
1 2 2
x y z
. B.
1 8 4
1 2 2
x y z
.
C.
1 5 11
3 3 6
1 2 2
x y z
. D.
2 2 5
9 9 9
1 2 2
x y z
.
Câu 45: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1 , lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông
góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE . Thể tích của khối đa diện
ABCDSEF bằng.
A. 7
6. B.
11
12. C.
2
3. D.
5
6.
Câu 46: Xét các số phức z a bi ,a b ¡ thỏa mãn 4 3 5z i . Tính P a b khi
1 3 1z i z i đạt giá trị lớn nhất.
Trang 7/30
A. 10P . B. 4P . C. 6P . D. 8P .
Câu 47: Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC A B C có 2 3AB và 2AA . Gọi M , N , P lần
lượt là trung điểm các cạnh A B , A C và BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Côsin của góc
tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP bằng
P
N
MB'
C
C'
B
A'
A
A. 6 13
65. B.
13
65. C.
17 13
65. D.
18 13
65.
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm 1;2;1A , 3; 1;1B và 1; 1;1C . Gọi 1S là mặt
cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ; 2S và 3S là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán
kính bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu 1S , 2S , 3S .
A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 8 .
Câu 49: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A , 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp
12C thành môt hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp
đứng cạnh nhau bằng
A. 11
630. B.
1
126. C.
1
105. D.
1
42.
Câu 50: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 0f , 1
2
0
d 7f x x
và 1
2
0
1d
3x f x x . Tích phân
1
0
df x x bằng
A. 7
5. B. 1 . C.
7
4. D. 4 .
----------HẾT----------
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A B C A A A D C D B A A B B D D B A C D B A C B D
Trang 8/30
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
D A C A D B D A B A B C D C C A B D A C A B B A A
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
A. 2z i . B. 1 2z i .
C. 2z i . D. 1 2z i .
Lời giải
Chọn A.
Điểm 2;1M biểu diễn số phức 2z i .
Câu 2: 2
lim3x
x
x
bằng
A. 2
3 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Lời giải
Chọn B.
Chia cả tử và mẫu cho x , ta có 2
lim3x
x
x
21
lim3
1x
x
x
1
1 1 .
Câu 3: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là:
A. 8
10A . B. 2
10A . C. 2
10C . D. 210 .
Lời giải
Chọn C.
Số tập con gồm 2 phần tử của M là số cách chọn 2 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M .
Do đó số tập con gồm 2 phần tử của M là 2
10C .
Câu 4: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là:
A. 1
3V Bh . B.
1
6V Bh . C. V Bh . D.
1
2V Bh .
Lời giải
Chọn A.
Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là: 1
3V Bh .
Câu 5: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. 2;0 . B. ; 2 . C. 0;2 . D. 0; .
Lời giải
O2
y
x
1M
Ân hiện lưới
Ân hiện hoành đô 3,4
Ân hiện hoành đô 5,6
Khung hinh bao quanh
-4 -3
-2
Trang 9/30
Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;0 và 2; .
Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn ;a b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b a b . Thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức.
A. 2 d
b
a
V f x x . B. 22 d
b
a
V f x x . C. 2 2 d
b
a
V f x x . D. 2 d
b
a
V f x x .
Lời giải
Chọn A.
Theo công thức tính thể tích vật tròn xoay khi quay hình H quanh trục hoành ta có
2 d
b
a
V f x x .
Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm
A. 1x . B. 0x . C. 5x . D. 2x .
Lời giải
Chọn D.
Qua bảng biến thiên ta có hàm số đại cực đại tại điểm 2x .
Câu 8: Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. log 3 3loga a . B. 3 1
log log3
a a . C. 3log 3loga a . D.
1log 3 log
3a a .
Lời giải
Chọn C.
Ta có log 3 log3 loga a suy ra loại A, D.
3log 3loga a (do 0a ) nên chọn C.
Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số 23 1f x x là
A. 3x C . B.
3
3
xx C . C. 6x C . D.
3x x C .
Lời giải
Chọn D.
Ta có 23 1 dx x3
3.3
xx C
3x x C .
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm 3; 1;1A . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
Oyz là điểm
x
y
y
0 2
0 0
1
5
Trang 10/30
A. 3;0;0M . B. 0; 1;1N . C. 0; 1;0P . D. 0;0;1Q .
Lời giải
Chọn B.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oyz .
Mặt phẳng : 0Oyz x có VTPT 1;0;0n r
.
Đường thẳng AH qua 3; 1;1A và vuông góc với Oyz nên nhận 1;0;0n r
làm VTCP.
3
: 1
1
x t
AH y
z
t ¡ 3 ; 1;1H t .
Mà H Oyz 3 0t 0; 1;1H .
Câu 11: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?
A. 4 22 2y x x .
B. 4 22 2y x x .
C. 3 23 2y x x .
D. 3 23 2y x x .
Lời giải
Chọn A.
Đồ thị của hàm số 4 2y ax bx c .
Nhìn dạng đồ thị suy ra: 0a .
Đồ thị có ba điểm cực trị nên . 0ab suy ra: 0b .
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 2 1
:1 2 1
x y zd
. Đường thẳng d có môt vec tơ
chỉ phương là:
A. 1 1;2;1u ur
. B. 2 2;1;0u uur
. C. 3 2;1;1u uur
. D. 4 1;2;0u uur
.
Lời giải
Chọn A.
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình: 2 62 2x x là:
A. 0;6 . B. ;6 . C. 0;64 . D. 6; .
Lời giải
Chọn B.
Ta có 2 62 2 2 6 6x x x x x .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ;6S .
Câu 14: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 23πa và bán kính đáy bằng a . Đô dài đường sinh
của hình nón đã cho bằng:
A. 2 2a . B. 3a . C. 2a . D. 3
2
a.
Lời giải
Chọn B.
x
y
O
Trang 11/30
Ta có 2
2 33 3xq
πaS πrl πa πal l a
πa .
Vậy đô dài đường sinh của hình nón đã cho là 3l a .
Câu 15: Trong mặt phẳng tọa đô Oxyz , cho ba điểm 2;0;0M , 0; 1;0N và 0;0;2P . Mặt phẳng
MNP có phương trình là
A. 02 1 2
x y z
. B. 12 1 2
x y z
. C. 12 1 2
x y z . D. 1
2 1 2
x y z
.
Lời giải
Chọn D.
Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng MNP là
12 1 2
x y z
.
Câu 16: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ?
A. 2 3 2
1
x xy
x
. B.
2
2 1
xy
x
. C.
2 1y x . D. 1
xy
x
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có 1
lim1x
x
x
, 1
lim1x
x
x
nên đồ thị hàm số 1
xy
x
có môt đường tiệm cận
đứng 1x .
Câu 17: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình 2 0f x là
A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. 2 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: 2 0 2f x f x .
Do 2 2;4 nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 18: Giá trị lớn nhất của hàm số 4 24 5f x x x trên đoạn 2;3 bằng
A. 50 . B. 5 . C. 1 . D. 122 .
Lời giải
Chọn A.
Hàm số 4 24 5f x x x xác định và liên tục trên 2;3 .
Ta có: 34 8f x x x .
Trang 12/30
Do đó: 0
02
xf x
x
.
Mà: 0 5f , 2 2 1f f , 2 5f , 3 50f .
Suy ra:
2;3
max 50f x
.
Câu 19: Tích phân
2
0
d
3x
x bằng
A. 16
225. B.
5log
3. C.
5ln
3. D.
2
15.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
22
00
dln 3
3
x
xx
5ln 2 3 ln 0 3 ln
3 .
Câu 20: Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 24 4 3 0 z z . Giá trị của biểu thức
1 2z z bằng
A. 3 2 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: 24 4 3 0 z z
1
2
1 2
2 2
1 2
2 2
z i
z i
.
Khi đó:
2 22 2
1 2
1 2 1 23
2 2 2 2
z z .
Câu 21: Cho hình lập phương .ABCD A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách
giữa hai đường thẳng BD và A C bằng
B'
D'
C'
A'
B
C
D
A
A. 3a . B. a . C. 3
2
a. D. 2a .
Lời giải
Trang 13/30
Chọn B.
Ta có //BD A B C D
, , D ,d BD A C d BD A B C d B A B C D BB a .
Câu 22: Môt người gửi 100 triệu đồng vào môt ngân hàng với lại suất 0, 4% /tháng. Biết rằng nếu
không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để
tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu
và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút
tiền ra và lãi suất không thay đổi ?
A. 102.424.000đồng. B. 102.423.000đồng. C. 102.016.000đồng. D. 102.017.000đồng.
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức lãi kép ta có sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền
(cả vốn ban đầu và lãi) là 6 6
6 0 1 100 1 0,4% 102.4241284P P r đồng.
Câu 23: Môt hôp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên
đồng thời 2 quả cầu từ hôp đó. Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng
A. 5
22. B.
6
11. C.
5
11. D.
8
11.
Lời giải
Chọn C.
Số cách chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ 11 quả cầu là 2
11 55C .
Số cách chọn ra 2 quả cầu cùng màu là 2 2
5 6 25C C .
Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng 25 5
55 11 .
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 1;2;1A và 2;1;0B . Mặt phẳng qua A và vuông
góc với AB có phương trình là
A. 3 6 0x y z . B. 3 6 0x y z .
C. 3 5 0x y z . D. 3 6 0x y z .
Lời giải
Chọn B.
Ta có 3; 1; 1AB uuur
.
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với AB nên nhận 3; 1; 1AB uuur
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó phương trình của mặt phẳng cần tìm là:
3 1 2 1 0x y z 3 6 0x y z .
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm SD .
Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng
A. 2
2. B.
3
3. C.
2
3. D.
1
3.
Trang 14/30
Lời giải
Chọn D.
H
M
O
D
B A
C
S
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ABCD và O AC BD .
Ta có MH song song với SO và 1
2MH SO .
BM có hình chiếu vuông góc trên ABCD là BH
Do đó góc giữa BM và ABCD là ·MBH .
Ta có 2 2SO SD OD 2
2 2 2
4 2
a aa
2
4
aMH ;
3
4BH BD
3 2
4
a .
Trong tam giác MBH vuông tại H nên có: ·tanMH
MBHBH
2
4
3 2
4
a
a
1
3 .
Câu 26: Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 55n nC C , số hạng không chứa x trong khai triển của
thức 3
2
2n
xx
bằng
A. 322560. B. 3360 . C. 80640 . D. 13440 .
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện 2n và nZ
Ta có 1 2 55n nC C
! !
551 ! 2 !2!
n n
n n
2 110 0n n
10
11
n
n L
Với 10n ta có khai triển
10
3
2
2x
x
Số hạng tổng quát của khai triển 3 10 30 5
10 102
2. 2
k
kk k k kC x C xx
, với 0 10k .
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa 30 5 0k 6k .
Vậy số hạng không chứa x là 6 6
10 2 13440C .
Câu 27: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 3 9 27 81
2log .log .log .log
3x x x x bằng
A. 82
9. B.
80
9. C. 9 . D. 0 .
Lời giải
Trang 15/30
Chọn A.
Điều kiện: 0x .
Phương trình tương đương: 3 3 3 3
1 1 1 2. . .log .log .log .log
2 3 4 3x x x x
4
3log 16x
3
3
log 2
log 2
x
x
9
1
9
x
x
.
Vậy tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình là: 1 82
99 9
.
Câu 28: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi môt vuông góc với nhau và OA OB OC . Gọi
M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB
bằng
M
O
C
B
A
A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
N
M
C
B
A
O
Gọi N là trung điểm của CD , ta có ·// ; ;MN AB OM AB OM MN ONM .
Do OAB OCB OAC và OA , OB , OC đôi môt vuông góc với nhau nên
2
ABOM ON MN ·; 60OM AB ONM .
Cách 2:
Trang 16/30
Ta có: 2
2 ,OA auuur
2
2 ,OA auuur
2
2 ,OA auuur
. 0,OAOB uuur uuur
. 0,OB OC uuur uuur
. 0,OC OA uuur uuur
2,AB auuur
2
2
aOM uuuur
. Do O là trung điểm của BC nên ;AB OB OA uuur uuur uuur
1 1
2 2OM OB OC uuuur uuur uuur
.
1 1 1
.2 2 2
OM AB OB OA OB OC OB OA OB OC
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2
21. . . .
2 2
aOM AB OB OB OC OAOB OAOC uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2
. 12cos ; cos ;22.
2.2
aOM AB
OM AB OM ABaOM AB
a
uuuur uuuruuuur uuur
uuuur uuur
; 60OM AB .
Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1
3 3 2:
1 2 1
x y zd
;
2
5 1 2:
3 2 1
x y zd
và mặt phẳng : 2 3 5 0P x y z . Đường thẳng vuông góc với
P , cắt 1d và 2d có phương trình là
A. 1 1
1 2 3
x y z . B.
2 3 1
1 2 3
x y z .
C. 3 3 2
1 2 3
x y z . D.
1 1
3 2 1
x y z .
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường thẳng d cần tìm với 1d và 2d , khi đó
3 ;3 2 ; 2M t t t , 5 3 ; 1 2 ;2N s s s 2 3 ; 4 2 2 ;4MN s t s t s t uuuur
.
Đường thẳng d vuông góc với P suy ra MNuuuur
cùng phương với 1;2;3Pn uur
. Do đó
2 3 4 2 2 4
1 2 3
s t s t s t
2
1
t
s
1; 1;0M .
ậy đường thẳng cần tìm qua 1; 1;0M và có vectơ chỉ phương là 1;2;3u r
là
1 1
1 2 3
x y z .
Cách 2:
ờng thẳng d cần tìm ở 4 đáp án đều không cùng phương với cả 1d và 2d nên ta chỉ cần
kiểm tra tính đồng phẳng của d và 1d , d và 2d .
1d có vectơ chỉ phương là 1; 2;1a r
và qua điểm 3;3; 2A .
2d có vectơ chỉ phương là 3;2;1b r
và qua điểm 5; 1;2B .
Đường thẳng d cần tìm có vectơ chỉ phương là 1;2;3u r
và qua điểm 1; 1;0M .
Ta có 2; 4;2AM uuuur
; 4;0; 2BM uuuur
. Khi đó
Trang 17/30
; 8; 4;0u a
r r; . 0u a AM
r r uuuur nên d và 1d đồng phẳng.
; 4; 10;8u b
r r; . 0u b BM
r r uuuur nên d và 2d đồng phẳng.
Câu 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3
5
1
5y x mx
x đồng biến trên
khoảng 0; ?
A. 5 . B. 3 . C. 0 . D. 4 .
Lời giải
Chọn D.
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng 0; .
Ta có 2
6
13y x m
x , 0;x . Hàm số đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi
2
6
13 0y x m
x , 0;x . Dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm.
2
6
13m x g x
x , 0;x
0:max
xm g x
. Ta có 7
66g x x
x
8
7
6 6x
x
; 0 1g x x
Bảng biến thiên
x 0
1
g x
0
g x
4
Suy ra
0:
max 1 4x
g x g
do đó 4 4; 3; 2; 1m m .
Câu 31: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 23y x , cung tròn có phương trình
24y x (với 0 2x ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H
bằng
A. 4 3
12
. B.
4 3
6
. C.
4 2 3 3
6
. D.
5 3 2
3
.
x
y
2
2O
Lời giải
Trang 18/30
Chọn B.
x
y
2
2O 1
Phương trình hoành đô giao điểm của parabol 23y x và cung tròn 24y x (với
0 2x ) là:
2 24 3x x 2 44 3x x
2
2
1
4
3
x
x
1x (vì 0 2x ).
Cách 1: Diện tích của H là:
1 2
2 2
0 1
3 d 4 dS x x x x 1
3
0
3
3x I
3
3I với
2
2
1
4 dI x x .
Đặt: 2sinx t , ;2 2
t
d 2cos .dx t t .
Đổi cận: 16
x t
, 22
x t
.
22
6
4 4sin .2cos .dI t t t
2
2
6
4cos .dt t
2
6
2 1 cos 2 .dt t
2
6
2 sin 2x t
2 3
3 2
.
Vậy 3 3 2 3 4 3
3 3 3 2 6S I
.
Cách 2: Diện tích của H bằng diện tích môt phần tư hình tròn bán kính 2 trừ diện tích
hình phẳng giới hạn bởi cung tròn, parabol và trục Oy .
Tức là: 1
2 2
0
4 3 dS x x x .
Câu 32: Biết
2
1
d
1 1
xI a b c
x x x x
với a , b , c là các số nguyên dương. Tính
P a b c .
A. 24P . B. 12P . C. 18P . D. 46P .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: 1 0x x , 1;2x nên:
2
1
d
1 1
xI
x x x x
2
1
d
1 1
x
x x x x
Trang 19/30
2
1
1 d
1 1 1
x x x
x x x x x x
2
1
1 d
1
x x x
x x
2
1
1 1d
1x
x x
2
1
2 2 1x x 4 2 2 3 2 32 12 2 .
Mà I a b c nên
32
12
2
a
b
c
. Suy ra: 32 12 2 46P a b c .
Câu 33: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh xqS của hình trụ có môt
đường tròn đáy là đường tròn nôi tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện
ABCD .
A. 16 2
3xqS
. B. 8 2xqS . C.
16 3
3xqS
. D. 8 3xqS .
Lời giải
Chọn A.
Tam giác BCD đều cạnh 4 có diện tích: 24 3
4 34
BCDS .
Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh a là 3 2 16
212 3
ABCD
aV V .
Đô dài đường cao khối tứ diện: 3 4 2
3
ABCD
BCD
Vh
S .
Bán kính đáy đường tròn nôi tiếp tam giác BCD : 4 3 2 3
6 3
Sr
p .
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: 2 3 4 2 16 2
2 2 . .3 33
xqS rh
.
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
16 2.12 2 9 0x x xm có nghiệm dương ?
A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: 2
4 416 2.12 2 9 0 2. 2 0
3 3
x x
x x xm m
1 .
Đặt: 4
03
x
t
.
Phương trình 12 2 2t t m 2 .
Phương trình 1 có nghiệm dương phương trình 2 có nghiệm 1t .
Số nghiệm phương trình 2 là số giao điểm của đồ thị hàm số 2 2f t t t , 1;t và
đường thẳng : 2d y m .
Xét hàm số 2 2f t t t , 1;t .
Trang 20/30
2 1 0f t t , 1;t .
Suy ra, hàm số f luôn đồng biến trên 1; .
Bảng biến thiên:
∞+
f' t( )
x
f t( )
+
+1 ∞
1
Dựa vào BBT, ycbt 2 1 3m m .
Vậy có 2 giá trị m dương thoả mãn là 1;2m .
Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 33 3sin sinm m x x có
nghiệm thực ?
A. 5 . B. 7 . C. 3 . D. 2 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có 33 3 33 3sin sin 3 3sin sinm m x x m x x m . 1
Đặt sin x u . Điều kiện 1 1u và 33 3sin 3m x v m u v . 2
Khi đó 1 trở thành 3 3u m v 3
Từ 3 và 2 suy ra 3 3 2 23 3 3 0u v v u u v u uv v u v .
(Do
2 22 2 1 3
3 3 02 4
vu uv v u v
, u , v ¡ )
Suy ra: 33 3 3m u u m u u , với 1;1u .
Xét hàm số 3 3f u u u trên đoạn 1;1 . Ta có 23 3f u u ; 0 1f u u .
Suy ra
1;1
max 2f u
,
1;1
min 2f u
.
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 2m , mà mÎ ¢ nên 0; 1; 2m .
Câu 36: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
3 3y x x m trên đoạn 0;2 bằng 3 . Số phần tử của S là
A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 6 .
Lời giải
Chọn B.
Xét hàm số 3 3f x x x m là hàm số liên tục trên đoạn 0;2 .
Ta có
2 13 3 0
1
x nf x x f x
x l
Suy ra GTLN và GTNN của f x thuôc 0 ; 1 ; 2 ; 2; 2f f f m m m .
Trang 21/30
Xét hàm số 3 3y x x m trên đoạn 0;2 ta được giá trị lớn nhất của y là
max ; 2 ; 2 3m m m .
TH1: max 1;3;5 5 (loại).
TH2: 1
2 35
mm
m
+ Với 1m= - . Ta có max 1;3 3 (nhận).
+Với 5m= . Ta có max 3;5;7 7 (loại).
TH3: 1
2 35
mm
m
+ Với 1m= . Ta có max 1;3 3 (nhận).
+ Với 5m= - . Ta có max 3;5;7 7 (loại).
Do đó { }1;1m Î -
Vậy tập hợp S có 2 phần tử.
Chú ý: Ta có thể giải nhanh như sau:
Sau khi tìm được Suy ra GTLN và GTNN của 3 3f x x x m thuôc
0 ; 1 ; 2 ; 2; 2f f f m m m .
+ Trường hợp 1: 0m ³ thì [ ]
( )0;2
max 2 3 1f x m m= + = Û = .
+ Trường hợp 2: 0m< thì [ ]
( )0;2
max 2 2 3 1f x m m m= - = - = Û = -
Câu 37: Cho hàm số f x xác định trên 1
\2
¡ thỏa mãn 2
2 1f x
x
, 0 1f và 1 2f . Giá
trị của biểu thức 1 3f f bằng
A. 4 ln15 . B. 2 ln15 . C. 3 ln15 . D. ln15 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: 2
d d ln 2 12 1
f x f x x x x Cx
, với mọi
1\
2x
¡ .
+ Xét trên 1
;2
. Ta có 0 1f , suy ra 1C .
Do đó, ln 2 1 1f x x , với mọi 1
;2
x
. Suy ra 1 1 ln3f .
+ Xét trên 1
;2
. Ta có 1 2f , suy ra 2C .
Do đó, ln 2 1 2f x x , với mọi 1
;2
. Suy ra 3 2 ln5f .
Vậy 1 3 3 ln3 ln5 3 ln15f f .
Câu 38: Cho số phức z a bi ,a b ¡ thỏa mãn 2 1 0z i z i và 1z . Tính P a b .
A. 1P . B. 5P . C. 3P . D. 7P .
Trang 22/30
Lời giải
Chọn D.
2 1 0 2 1z i z i a b i z i z
2 2
2 2
2 2 1
1 1 2
a z a a b
b z b a b
Lấy 1 trừ 2 theo vế ta được 1 0 1a b b a . Thay vào 1 ta được
22
2
2 1 do 12 1 3
2 3 0
a za a a a
a a
. Suy ra 4b .
Do đó 3 4z i có 5 1z (thỏa điều kiện 1z ).
Vậy 3 4 7P a b .
Câu 39: Cho hàm số y f x .Hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số 2y f x đồng
biến trên khoảng:
A. 1;3 . B. 2; . C. 2;1 . D. ;2 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: 2 2 . 2 2f x x f x f x
Hàm số đồng biến khi 2 1 3
2 0 2 01 2 4 2 1
x xf x f x
x x
.
Câu 40: Cho hàm số 2
1
xy
x
có đồ thị C và điểm ;1A a . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực
của a để có đúng môt tiếp tuyến từ C đi qua A . Tổng tất cả giá trị của phần tử S bằng
A. 1 . B. 3
2. C.
5
2. D.
1
2.
Lời giải
Chọn C.
Phương trình đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc : 1k y k x a
Phương trình hoành đô giao điểm của d và C :
2
1 1 1 21
xk x a kx ka x x
x
1x
2 2 3 0kx k ka x ka 1x *
Với 0k , ta có d : 1y là tiệm cận ngang đồ thị hàm số nên không thể tiếp xúc được.
Với 0k , d và C tiếp xúc nhau 1 có nghiệm kép
Trang 23/30
2
1 2 4 3 0x k a k ka 22 1 4 2 4 0x k a k a
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn k tham số a
Để qua ;1A a vẽ được đúng 1 tiếp tuyến thì phương trình 0x có đúng môt nghiệm 0k .
*Xét 1 0 1a a , ta có 4 4 0 1k k thỏa.
*Có 0 4 0f nên loại đi trường hợp có hai nghiệm trong đó có môt nghiệm là 0 .
*Còn lại là trường hợp 0x có nghiệm kép khi
2 2 3
4 2 1 4 2 3 02
k a a a a
Tổng là 3 5
12 2
.
Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho điểm 1;1;2M . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và
cắt các trục x Ox , y Oy , z Oz lần lượt tại điểm A , B ,C sao cho 0OA OB OC ?
A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 8 .
Lời giải
Chọn A.
Gọi ;0;0A a , 0; ;0B b , 0;0;C c . Từ đó ta có OA a , OB b , OC c
Mặt phẳng đoạn chắn đi qua các điểm A , B ,C có dạng: : 1x y z
Pa b c .
Vì M P nên 1 1 2
1a b c .
Vì OA OB OC a b c
Từ đó ta có hệ phương trình:
1 1 21
a b c
a b c
Xét các trường hợp,phá trị tuyệt đối và giải hệ, ta có 3 nghiệm
; ; 4;4;4
; ; 2; 2;2
; ; 2;2;2
a b c
a b c
a b c
tương ứng
với 3 phương trình mặt phẳng
: 4 0
: 2 0
: 2 0
P x y z
P x y z
P x y z
.
Câu 42: Cho dãy số nu thỏa mãn 1 1 10 10log 2 log 2log 2logu u u u và 1 2n nu u với mọi
1n . Giá trị nhỏ nhất để 1005nu bằng
A. 247 . B. 248 . C. 229 . D. 290 .
Lời giải
Chọn B.
Vì 1 2n nu u nên dễ thấy dãy số nu là cấp số nhân có công bôi 2q .
Ta có: 9 9
10 1 1. 2 .u u q u
Xét 1 1 10 10log 2 log 2log 2logu u u u
Trang 24/30
9 9
1 1 1 1log 2log 2 . 2 log 2log 2 . 0u u u u
1 1 1 1log 18log 2 2log 2 log 18log 2 2log 0u u u u
1 1log 18log 2 2 log 18log 2 0u u
Đặt 12 log 18log 2u t 0t . Phương trình trên trở thành:
2 2
12 0 2 0
2
tt t t t
t L
Với 1 1 1 17
51 2 log 18log 2 1 2 log 18log 2 1
2t u u u
Trong trường hợp này ta có: 1 100 18 99
217
5.2 5 2 5 99log 5 18
2
n n
nu n
Mà *n ¥ nên giá trị nhỏ nhất trong trương hợp này là 248n .
Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 3 23 4 12y x x x m có 7 điểm
cực trị ?
A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 4 .
Lời giải
Chọn D.
Xét hàm số 4 3 23 4 12y x x x m .
TXĐ: D ¡ .
Có 3 212 12 24y x x x ,
0
0 1
2
x
y x
x
Ta có bảng biến thiên
x 1 0 2
y 0 0 0
y
m
5m
32m
Từ bảng biến thiên, để hàm số đã cho có 7 cực trị thì 5 0
0
m
m
0 5m .
Vì m nguyên nên các giá trị cần tìm của m là 1; 2; 3; 4m .
Vậy có 4 giá trị nguyên cần tìm của m .
Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 2; 2; 1A , 8 4 8
; ;3 3 3
B
. Đường thẳng đi qua tâm
đường tròn nôi tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB có phương trình là
Trang 25/30
A. 1 3 1
1 2 2
x y z
. B.
1 8 4
1 2 2
x y z
.
C.
1 5 11
3 3 6
1 2 2
x y z
. D.
2 2 5
9 9 9
1 2 2
x y z
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi ; ;I a b c là tâm đường tròn nôi tiếp tam giác OAB
Khi đó . . . 0AB IO OB IA OA IB uur uur uur r
* .
Ta có 3OA , 4OB , 5AB ;
; ;IO a b c uur
, 2 ;2 ;1IA a b c uur
, 8 4 8
; ;3 3 3
IB a b c
uur.
Từ * ta có
85 4 2 3 0
30
45 4 2 3 0 1
31
85 4 1 3 0
3
a a a
a
b b b b
c
c c c
.
Do đó 0;1;1I .
Mặt khác, ta có: , 4; 8; 8OA OB
uuur uuur.
Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là 1; 2; 2u r
.
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là: 1 1
1 2 2
x y z
. Đáp án A thỏa bài toán.
Câu 45: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1 , lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông
góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE . Thể tích của khối đa diện
ABCDSEF bằng.
A. 7
6. B.
11
12. C.
2
3. D.
5
6.
Lời giải
Chọn C.
Dựng điểm H sao cho .EFH BAD là hình lăng trụ.
A
B
C
D
F
E
S
I
H
M
N
K
Trang 26/30
Gọi N là hình chiếu của B lên ED , S là điểm đối xứng của N qua B , gọi K là trung điểm
của ED .
Gọi M là hình chiếu của S lên BD , I SM EH .
Ta có: 2BD ; 3DE
Xét tam giác vuông BED ta có: 2 2
2 2
. 6
3
BE BDBN
BE BD
;
2DBDN
ED
2
3 ;
3
2 6
DEKN DN .
Xét tam giác SBD ta có: . .SM BD DN SB.SB DN
SMBD
4
3
1
3IS
Xét tam giác vuông SIH ta có: 2 2IH SH SI 2 22NK SI
2
3
2
3
EI
EH
, 2
3,
d I ABEF EI
EHd H ABEF
Do //SI ABEF 2
, ,3
d S ABEF d I ABEF
. .ABCDSEF S ABCD S ABEFV V V 1 4 1 2
. .1 . .13 3 3 3
2
3 .
Câu 46: Xét các số phức z a bi ,a b ¡ thỏa mãn 4 3 5z i . Tính P a b khi
1 3 1z i z i đạt giá trị lớn nhất.
A. 10P . B. 4P . C. 6P . D. 8P .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: 4 3 5z i 2 2
4 3 5a b 2 2 8 6 20a b a b
Đặt 1 3 1A z i z i ta có:
2 2 2 2
1 3 1 1A a b a b
2 2 2 22 2 21 1 1 3 1 1A a b a b 2 22 2 4 12a b b
2 16 8 28a b 8 4 2 7a b 1
Mặt khác ta có:
4 2 7 4 4 2 3 15a b a b 2 22 24 2 4 3 15 25a b 2
Từ 1 và 2 ta được: 2 200A
Để max 10 2A
4 2 7 25
4 3
4 2
a b
a b
6
4
a
b
Vậy 10P a b .
Câu 47: Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC A B C có 2 3AB và 2AA . Gọi M , N , P lần
lượt là trung điểm các cạnh A B , A C và BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Côsin của góc
tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP bằng
Trang 27/30
P
N
MB'
C
C'
B
A'
A
A. 6 13
65. B.
13
65. C.
17 13
65. D.
18 13
65.
Lời giải
Chọn B.
Gọi I , Q lần lượt là trung điểm của MN , B C . Gọi O PI AQ .
Khi đó
/
/
,
O AB C MNP
B C MN
B C AB C MN MNP
nên giao tuyến của AB C và MNP là đường
thẳng d qua O và song song MN , B C .
Tam giác AB C cân tại A nên AQ B C AQ d .
Tam giác PMN cân tại P nên PI MN PI d .
Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP là góc giữa AQ và PI .
Ta có 3AP , 13AQ , 5
2IP .
Vì OAP OQI ∽ và 2AP
IQ nên
2 2 13
3 3OA AQ ;
2 5
3 3OP IP .
Trang 28/30
· cos ,AB C MNP · cos ,AQ PI · cos AOQ2 2 2
2 .
OA OP AP
OAOP
13
65 .
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm 1;2;1A , 3; 1;1B và 1; 1;1C . Gọi 1S là mặt
cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ; 2S và 3S là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán
kính bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu 1S , 2S , 3S .
A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 8 .
Lời giải
Chọn B.
Gọi phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là:
0ax by cz d ( đk: 2 2 2 0a b c ).
Khi đó ta có hệ điều kiện sau:
; 2
; 1
; 1
d A P
d B P
d C P
2 2 2
2 2 2
2 2 2
22
31
1
a b c d
a b c
a b c d
a b c
a b c d
a b c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
3
a b c d a b c
a b c d a b c
a b c d a b c
.
Khi đó ta có: 3a b c d a b c d
3
3
a b c d a b c d
a b c d a b c d
0
0
a
a b c d
.
Với 0a thì ta có
2 22 2
2 2
b c d b c
b c d b c d
2 22 2
4 0
0
b c d b c
b c d
c d
0, 0
4 , 2 2
c d b
c d b c b
Do đó có 3 mặt phẳng thỏa bài toán.
Với 0a b c d thì ta có
2 2 2
2 2 2
3 2
2
b a b c
a a b c
2 2 2
3 4
2
b a
a a b c
4
3
11
3
b a
c a
Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Câu 49: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A , 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp
12C thành môt hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp
đứng cạnh nhau bằng
A. 11
630. B.
1
126. C.
1
105. D.
1
42.
Lời giải
Chọn A.
Số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí: 10!n cách.
Gọi A là biến cố: “Trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”.
Sắp xếp 5 học sinh lơp 12C vào 5 vị trí, có 5! cách.
Trang 29/30
Ứng mỗi cách xếp 5 học sinh lớp 12C sẽ có 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí
hai đầu để xếp các học sinh còn lại.
TH1: Xếp 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa (không xếp vào hai đầu), có 3
4A cách.
Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn lấy 1 trong 2 học sinh lớp 12A xếp vào vị trí trống thứ 4 (để
hai học sinh lớp 12C không được ngồi cạnh nhau), có 2 cách.
Học sinh lớp 12A còn lại có 8 vị trí để xếp, có 8 cách.
Theo quy tắc nhân, ta có 3
45!. .2.8A cách.
TH2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại xếp vào hai
đầu, có 1 2
3 4.2.C A cách.
Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp 2 học sinh lớp 12A vào vị trí đó, có
2 cách.
Theo quy tắc nhân, ta có 1 2
3 45!. .2. .2C A cách.
Do đó số cách xếp không có học sinh cùng lớp ngồi cạnh nhau là:
3 1 2
4 3 45!. .2.8 5!. .2. .2 63360n A A C A cách.
Vậy
n AP A
n
63360
10!
11
630 .
Câu 50: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 0f , 1
2
0
d 7f x x
và 1
2
0
1d
3x f x x . Tích phân
1
0
df x x bằng
A. 7
5. B. 1 . C.
7
4. D. 4 .
Lời giải
Chọn A.
Tính: 1
2
0
dx f x x . Đặt
3
2
d d
d3
u f x xu f x
xv x v
.
Ta có:
31 1
2 3
0 0
1 1d . d
03 3
x f xx f x x x f x x
1 1
3 3
0 0
1. 1 0. 1 1 1. d . d
3 3 3
f fx f x x x f x x
.
Mà 1
2
0
1d
3x f x x
1 1
3 3
0 0
1 1. d . d 1
3 3x f x x x f x x .
Ta có 1 2
0
d 7f x x (1).
1 76
0
1 1.d
07 7
xx x
1
6
0
149 .d .49 7
7x x (2).
1 1
3 3
0 0
. d 1 14 . d 14x f x x x f x x (3).
C1 C2 C3 C4 C5
Trang 30/30
Công hai vế (1) (2) và (3) suy ra 1 1 12
6 3
0 0 0
d 49 .d 14 . d 7 7 14 0f x x x x x f x x .
1
2 3 6
0
14 49 d 0f x x f x x x 1
23
0
7 d 0f x x x .
Do 2
37 0f x x 1
23
0
7 d 0f x x x . Mà 1
23
0
7 d 0f x x x 37f x x .
1 1 4
3
0 0
7d 7 d
4
xf x x x x f x C . Mà
7 71 0 0
4 4f C C .
Do đó 47 7
4 4
xf x .
Vậy 1 1 4 5
0 0
17 7 7 7 7d d
04 4 20 4 5
x xf x x x x
.
----------HẾT----------