§2.4 求解线性方程组一、求解齐次线性方程组 AX=0

• 此命令给出齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，即解空间的一组基。• 前者是数值解，后者是有理形式的基。• 从而可写出通解：基础解系的线性组合。

方法： null(A) 或 null(A, ’r’)注：

例、

.0222,02,02

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

>> A=[1 1 2 -1;2 1 1 -1;2 2 1 2];>> null(A)

解：ans = 0.3621 -0.8148 0.3621 0.2716

解： >>A=[1 1 2 -1 ； 2 1 1 -1 ； 2 2 1 2] ；

>>null(A,’r’)ans = 4/3 -3 4/3 1

通解为 X=k(4/3 -3 4/3 1)^T ， k 为任意常数 .

注：其中的‘ r’ 表示格式以有理数的形式显示，即是将系数矩阵化成简化行简阶梯形求得的基础解系。若使用 null(A) 命令，得到的是解空间的一组标准正交基，即 X’*X=E. 此时的 X 是近似值，待入有 AX 不等于零 , 近似为零。

>>x= null(A)x = 0.3621 -0.8148 0.3621 0.2716

如上例 >> A*x

>> x'*xans = 1.0000

ans = 1.0e-15 * 0 -0.3886 -0.6661

例、

.05105,0363

,02

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxx

解： >> A=[1 2 1 -1;3 6 -1 -3;5 10 1 -5]; >> null(A,'r') ans = -2 1 1 0 0 0 0 1

B=null(A) B = -0.3229 0.8538 -0.2891 -0.4997 -0.0000 -0.0000 -0.9012 -0.1456

>> B'*Bans = 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000

1 、当 AX=b 有唯一解时， X=A\b 给出唯 一解；特别当 A 是方阵时也可用X=inv(A)*b

例、

二、求解非齐次线性方程组

3523,3532,2294

,342

4321

4321

4321

421

xxxxxxxxxxxx

xxx

bXA nm

解： >>A =[1 2 0 -4;1 -1 -4 9;2 -3 1 5;3 -2 -5 1]; >> b=[-3;22;-3;3];

>> rank(A),rank([A,b])ans = 4ans = 4

>> X=A\b （或inv(A)*b ）X = -1 3 -2 2

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0;2 5 8];>> b=[6 15 15 15]';>> rank(A),rank([A,b])ans = 3ans= 3

例、

>> A\bans = 1.0000 1.0000 1.0000

2 、当 AX=b 有无穷多解时，用pinv(A)*b 给出一个特解 .

例、

.5192483,13254,24653,1342

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

>> b=[1;2;1;5];>> A=[1 2 4 -3;3 5 6 -4;4 5 -2 3;3 8 24 -19];

>> rank(A),rank([A,b])ans = 2 ans= 2

>> pinv(A)*bans = 0.1173 0.1732 0.1006 -0.0447

解：

注：这是它的一个特解，可以检验：A*(pinv(A)*b)=b, 用 null 命令可求到对应的齐次线性方程组的基础解系，从而可求到通解 .

>> null(A,'r')ans = 8 -7 -6 5 1 0 0 1

1057

,

0168

21

即为基础解系。

若想用线代教材中的高斯消元法求解，我们可以把增广矩阵化成简化行阶梯形，从而得到通解。如上例 >> B=[A,b];

>> rref(B)ans = 1 0 -8 7 -1 0 1 6 -5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

对应的齐次的基础解系为：

1057

,

0168

21

非齐次的特解为：

0011

0

故通解为：

.,

,

0011

1057

0168

21

21

02211

为任意常数kk

kk

kkX

69413283542432

321

321

321

321

xxxxxxxxxxxx

例、求解下面的非齐次线性方程组

解： >> A=[2 3 1;1 -2 4;3 8 -2;4 -1 9];>> b=[4;-5;13;-6];>> rref([A,b])

ans =

1 0 2 -1 0 1 -1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

由此可得通解为：

.,021

112

RkkX

.12,2224

,12

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxx例、

>> A=[2 1 -1 1;4 2 -2 1;2 1 -1 -1];>> b=[1;2;1];>> rank(A),rank([A,b])ans = 2ans = 2

解：

>> pinv(A)*bans = 0.3333 0.1667 -0.1667 -0.0000>> A*pinv(A)*bans = 1.0000 2.0000 1.0000

注：pinv(A)*b给出它的一个特解 .

>> x=A\bWarning: Rank deficient, rank = 2, tol = 1.884111e-15. x = 0.5000 0 0 0.0000>> A*xans = 1.0000 2.0000 1.0000

注： A\b也给出它的一个特解 .

>> null(A,'r')

ans =

-0.5000 0.5000 1.0000 0 0 1.0000 0 0

给出对应的齐次基础解系。从而得通解

可用 pinv(A)*b 给出一个最小二乘解，即使误差向量 AX-b 的平方和最小化的解。

3 、当求解非齐次线性方程组无解时

例、 AX=b

>> b=[1;2;1];>> A=[1 2 3;4 5 6;2 4 6;];

>> pinv(A)*bans = 0.3222 0.1556 -0.0111

>> B=[A,b];>> rank(A),rank(B)ans = 2ans= 3

最小二乘解！

解：

例、>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0;2 5 8];>> b=[366 804 351 514]';>> rank(A),rank([A,b])ans = 3ans= 4

注：可知 AX=b 无解。

>> pinv(A)*b

ans =

247.9818 -173.1091 114.9273

最小二乘解！

作业 1 、至少用三种方法解方程组AX=b, 如矩阵除法、求逆矩阵、初等变换等，其中

6120

5407395012818053

bA

2 、判断 AX=b 的解，并用适当命令求解，其中

61354

914283421132

)1( bA

.353,2522,132

)2(321

321

321

xxxxxxxxx

.8311,1023,224

)3(21

321

321

xxxxxxxx

;12,34,32

,1253,1453

)4(

54321

54321

54321

54321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

3 、解方程组 , 并验证得出的解满足原方程 .

0174

5112123152212913237

)1( X

60151403514436136349624

5432141097539108627810715675

)2( X

§2.5 、特征值、特征向量的计算一、如何理解矩阵 A 的特征值、 特征向量

？在 Matlab 中可用命令 eigshow 来显示 X 和 AX 在单位圆周上的运动效果

例、

430

045

)1( A

>> A=[5/4 0;0 3/4];>> eigshow(A)

若 X 为单位特征向量，则 X 与 AX 共线，且 AX 的长就是相应的特征值。

1001)2( A

0110)3( A

二、二维和三维图形1 、命令： plot(x,y)

例、 y=sin(x)

>> x=0:pi/100:2*pi;>> y=sin(x);>> plot(x,y)

注：可增加注记。

>> plot(x,y),...xlabel('x'),ylabel('sin(x)'),title('plot of the Sine function')

>> plot(x,y),...xlabel('x'),...ylabel('sin(x)'),...title('plot of Sine function')

或

注：可在同一坐标系下画出不同函数图形例、 y=sin(x) ， y=cos(x)

>> x=0:pi/100:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)>> hold on % 添加到同一张图中>> y2=cos(x);>> plot(x,y2,'r:'),...legend('sin','cos')

2 、三维图形命令：[x,y]=meshgrid( 初值：步长：终值 ) ； z=f(x,y); surf(x,y,z)

例、 22 yxxez

>> [x,y]=meshgrid(-2:.2:2);>> z=x.*exp(-x.^2-y.^2);>> surf(x,y,z)

三、 eig(A): 表示求矩阵 A 的特征值。>> A=[0 1;-1 0];1. >> eig(A)

ans =

0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i

例、

注：我们知道矩阵 A 的特征值是它的特征多项式的根，所有我们也可求出它的特征多项式。2 . >> p=poly(A) p = 1 0 1

注：输出的这些数是特征多项式中各项的系数，按降幂排列。

>> x=-8:0.1:8;>> y=polyval(p,x);>> plot(x,y)

>> syms a>> f=a^2+1;>> solve(f==0,a)

ans = i -i

例、

201034011

A

>> A=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2];>> poly(A)

ans = 1 -4 5 -2

>> x=-4:1:4;>> y=polyval(p,x);>> plot(x,y)

>> syms a;>> f=a^3-4*a^2+5*a-2;>> solve(f==0,a) ans = 1 1 2

二、 [ 变量名 , 矩阵名 ]=eig(A): 表示求矩阵 A 的特征值和特征向量。>> [X,D]=eig(A)

注：结果中 D 的主对角线上 的元素是 特征值， X 的列是相应的特征向量

例、

X = 0.7071 + 0.0000i 0.7071 + 0.0000i 0.0000 + 0.7071i 0.0000 - 0.7071i

D = 0.0000 + 1.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 1.0000i

注：在 Matlab 中，如没有特殊声明，所以的运算都是进行数值计算，结果会自动以近似值的形式给出。若需要得到精确的表达式，可声明为symbolic 对象， ( 符号对象，需要有symbolic math toolbox 工具箱的支持 ) 。命令为 sym

1222212222122221

A

例、求矩阵 A 的特征值与特征向量

>> A=[1 -2 -2 -2;-2 1 -2 -2;-2 -2 1 -2;-2 -2 -2 1];>> [V,D]=eig(A)

V = 0.5000 -0.2113 0.7887 0.2887 0.5000 0.7887 -0.2113 0.2887 0.5000 -0.5774 -0.5774 0.2887 0.5000 0 0 -0.8660

D =

-5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3

>> A=sym([1 -2 -2 -2;-2 1 -2 -2;-2 -2 1 -2;- 2 -2 -2 1]);

>> [V,D]=eig(A)

V =[ 1, -1, -1, -1][ 1, 1, 0, 0][ 1, 0, 1, 0][ 1, 0, 0, 1]

D = -5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3

注：对于重特征值的，可由给出的特征 向量判断该矩阵是否可对角化。例、 >> A=[5 6 -3;-1 0 1;1 2 1];

>> [V,D]=eig(A)

D =

2.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 2.0000

V =

0.9045 -0.9045 -0.8393 -0.3015 0.3015 0.5116 0.3015 -0.3015 0.1840

注：显然第一列、第二列相同，线性相关，所以它没有三个线性无关特征向量，故矩阵 A 不可对角化。

作业 1 、考虑矩阵

5335,

5335 BA

（ 1 ）使用 Matlab 计算 A,B 的特征值，并判断是否是相同 类型特征值。

（ 2 ）使用命令分别形成它们的特征多项式，并画出它们的图形，x=-8:0.1:8.

(3) 从图形看，关于 B 的特征值你能得到什么结论？

2 、求出矩阵 A 和 B 的特征值和特征向量，并判断是否可对角化 .其中

16151413121110987654321

A

1097591086781075675

B

3 、设矩阵 A

384252120

A

（ 1 ）求矩阵 A 的特征值；（ 2 ）问 A 能否相似于对角阵，若相似，求可逆矩阵 P ，使得 APP 1

为对角阵；（ 3 ）求 100A

4 、按如下方式构造一个对称矩阵： A=round(5*rand(6));A=A+A'

并完成如下操作：（ 1 ）用合适的命令求 A 的特征 值、特征值的和、特征值的乘积、 A 的行列式及 A的 迹，并比较这些结果，哪些是相等的；

（ 2 ）用命令 [X,D] 求 A 的特征 向量，并计算 X^(-1)AX 并比 较此结果和 D 的关系；计算 A^(-1) 和 XD^(-1)X^(-1)比较这两个结果。

5 、令A=ones(10)+eye(10),求 A 的特征值、 A-E 的秩及 A的 迹，并从理论上解释为什么 1是它的九重特征值，而另一个特征值是 11 ，写出你的理由。