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第五节 线性方程组有解判别定理 第五节 线性方程组有解判别定理

一、线性方程组的向量表示形式 二、线性方程组有解判别定理 三、一般线性方程组的解法

四、线性方程组的求解步骤

2© 2009, Henan Polytechnic University 2§5 §5 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理

第三章 线性方程组第三章 线性方程组

在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在

可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程

组有解的判别条件 .

设线性方程组为

)1(

.

,

,

2211

22222121

11212111

snsnss

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

一、线性方程组的向量表示形式一、线性方程组的向量表示形式

3© 2009, Henan Polytechnic University 3§5 §5 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理

第三章 线性方程组第三章 线性方程组引入向量

)2(,,,,, 2

1

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

ssn

n

n

n

ss b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

于是线性方程组 (1) 可以改写成向量方程

xx1111 + + xx2222 + … + + … + xxnnnn = = . (3)

显然，线性方程组 (1) 有解的充分必要条件为向量 向量 可以表示成向量组可以表示成向量组 11 , , 22 , …, , …, nn 的线性组的线性组合合 .. 用秩的概念，这个条件可以叙述如下：

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第三章 线性方程组第三章 线性方程组

二、线性方程组有解判别定理二、线性方程组有解判别定理定理 定理 77 线性方程组 线性方程组 (1) (1) 有解的充分必要条有解的充分必要条件件

为它的系数矩阵为它的系数矩阵

snss

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

与增广矩阵与增广矩阵

5© 2009, Henan Polytechnic University 5§5 §5 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理

第三章 线性方程组第三章 线性方程组

ssnss

n

n

baaa

baaa

baaa

A

21

222221

111211

有相同的秩有相同的秩 ..

证明证明 先证必要性必要性 . 设线性方程组 (1) 有解 ,

就是说， 可以经向量组 1 , 2 , …, n 线性表出 .

由此立即推出，向量组 1 , 2 , …, n 与 1 , 2 , …,

n , 等价，因而有相同的秩 . 这两个向量组分别

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第三章 线性方程组第三章 线性方程组

是矩阵 A 与A 的列向量组 . A因此，矩阵 A 与

有相同的秩 .

再证充分性充分性 . A设矩阵 A 与

有相同的秩 ，就

是说，它们的列向量组 1 , 2 , …, n 与 1 , 2 , …,

n , 有相同的秩，令它们的秩为 r .1 , 2 , …, n

中的极大线性无关组是由 r 个向量组成，无妨设

1 , 2 , …, r 是它的一个级大线性无关组 . 显然

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第三章 线性方程组第三章 线性方程组

1 , 2 , …, r 也是 1 , 2 , …, r , 的一个级大线

性无关组，因此向量 可以经 1 , 2 , …, r 线性

表出，它当然可以经 1 , 2 , …, n 线性表出 .

因此，方程组 (1) 有解 .

证毕证毕

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第三章 线性方程组第三章 线性方程组

三、一般线性方程组的解法三、一般线性方程组的解法根据克拉默法则，可以得到一般线性方程组的

一个解法 . 这个解法有时在理论上是有用的 .

设线性方程组 (1) 有解，矩阵 A 与

A 的秩都

等于 r ，而 D 是矩阵 A 的一个不为零的 r 级子式

A( 当然它也是 的一个不为零的子式 ) ，为了方便

起见，不妨设 D 位于 A 的左上角 .

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第三章 线性方程组第三章 线性方程组显然，在这种情况下，A 的前 r 行就是一个极

大线性无关组，第 r + 1 , … , s 行都可以经它们线性表出 . 因此，方程组 (1) 与

)4(

.

,

,

2211

22222121

11212111

rnrnrr

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

同解 .

当 r = n 时，由克拉默法则，方程组 (4) 有唯一 解，也就是方程组 (1) 有唯一解 .

10© 2009, Henan Polytechnic University 10§5 §5 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理

第三章 线性方程组第三章 线性方程组当 r < n 时，将方程组 (4) 改写为

)5(

.

,

,

11,11

211,222121

111,111111

nrnrrrrrrrr

nnrrrr

nnrrrr

xaxabxaxa

xaxabxaxa

xaxabxaxa

方程组 (5) 作为以 x1 , x2 … , xr 为变量的一个方程

组，它的系数行列式 D 0. 由克拉默法则，对于

xr+1 , … , xn 的任意一组值，方程组 (5) ，也就是方程组 (1) ，都有唯一解 .xr+1 , … , xn 就是方程组 (1)

11© 2009, Henan Polytechnic University 11§5 §5 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理

第三章 线性方程组第三章 线性方程组

的一组自由未知量 . 对 (5) 用克拉默法则，可以解出 x1 , x2 … , xr ：

)6(

,

,

11,

111,111

nrnrrrrr

nnrr

xcxcdx

xcxcdx

(6) 就是方程组 (1) 的一般解 .

上述一般线性方程组的求解方法，可归纳成以

下步骤：

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第三章 线性方程组第三章 线性方程组

例 例 11 解线性方程

.12

,1233

,122

,0

4321

5421

5321

54321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

解解 首先我们来判别方程组是否有解 . 把方

程组的增广矩阵化为行阶梯形

13© 2009, Henan Polytechnic University 13§5 §5 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理

第三章 线性方程组第三章 线性方程组

101211

121033

110122

011111

A 初等行变换初等行变换

000000

000000

112300

011111

因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2 ，所以方

程组有解 . 它的一个同解方程组是

14© 2009, Henan Polytechnic University 14§5 §5 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理

第三章 线性方程组第三章 线性方程组

.123

,0

543

54321

xxx

xxxxx

把 x1 , x5 取作非自由未知量， x2 , x3 , x4 当作自由未知量，并把方程组变形成

.231

,

435

43251

xxx

xxxxx

解之得方程组的一般解为

.231

,21

435

4321

xxx

xxxx