2.4.2 平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角
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2.4.2 平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角. 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算 , 那么 怎样用. 一、复习引入. y. B(x 2 ,y 2 ). o. x. A(x 1 ,y 1 ). 二、新课学习 1 、平面向量数量积的坐标表示 如图, 是 x 轴上的单位向量, 是 y 轴上的单位向量, 由于 所以. 1. 1. 0. 下面研究怎样用. 设两个非零向量 =(x 1 ,y 1 ), =(x 2 ,y 2 ), 则. y. A(x 1 ,y 1 ). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
一、复习引入
.cos;0
)2(
cos)1(
2
ba
bababa
aaaaaa
baba
;或
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算 , 那么怎样用 a b a b
和的坐标表示 呢?
二、新课学习
1 、平面向量数量积的坐标表示
如图, 是 x 轴上的单位向量, 是 y轴上的单位向量,
由于 所以
i j
cosa b a b
x i
j
y
o
B(x2,y2) a
b
A(x1,y1)
ii jj
ijji
. .
.
1 1
0
下面研究怎样用.baba 的坐标表示和
设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2), 则a b
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
,
( ) ( )
a x i y j b x i y j
a b x i y j x i y j
x x i x y i j x y i j y y j
x x y y
故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即
i
j
x o
B(x2,y2)
A(x1,y1)
ab
y
.2121 yyxxba
根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
;或 aaaaaa 2
)1(
221
221
2211
22222
))
),,(),
2
,),,(
)1(
yyxxAB
yxByxA
yxayxayxa
((则
、(设)两点间的距离公式(
;或则设
向量的模
2 、向量的模和两点间的距离公式
0 baba( 1 )垂直
0
),,(),,
2121
2211
yyxxba
yxbyxa 则(设
3 、两向量垂直和平行的坐标表示
0//
),,(),,
1221
2211
yxyxba
yxbyxa 则(设( 2 )平行
4 、两向量夹角公式的坐标运算
ba
ba
ba
cos
1800
则
),(的夹角为与设
0.0
.cos)180(0
),,(),,
22
22
21
21
22
22
21
21
2121
2211
yxyx
yxyx
yyxx
bayxbyxa
,其中
则
,夹角为与且(设
.
),4,2(),3,2( (2)
)()则(
已知
baba
ba
2 2
2 2
(0,7), (4, 1)
0 4 7 ( 1) 7.
13 20 7
a b a b
a b a b
a b a b a b
a b
法一:
( )( )
法二:( )( )
例 2 已知 A(1 , 2) , B(2 , 3) , C(-2 ,5) ,
试判断 ABC 的形状,并给出证明 .
A(1,2)
B(2,3)
C(-2,5)
x0
y
.ABC是直角三角形三角形
)1,1()23,12(AB: 证明
)3,3()25,12(AC
031)3(1ACAB
ACAB
四、逆向及综合运用 例 3 ( 1 )已知 = ( 4 , 3 ),向量 是垂直于 的单位向量,求 .
a ba b
.//)2,1(,102 的坐标,求,且)已知( ababa
.4
3)5,(),0,3(3
的值求
,的夹角为与,且)已知(
k
bakba
.532222222
).5
4,
5
3()
5
4,
5
3(1
k
bb
));(,)或(,)((
或)答案:(
提高练习
的坐标为,则点
,,且,、已知
CABBC
OBACOBOA
//)5,0()1,3(1
)3
29,3(C
2 、已知 A(1 , 2) 、 B(4 、 0) 、 C(8 ,6) 、 D(5 , 8) ,则四边形 ABCD 的形状是 .
矩形
3 、已知 = (1 , 2) , = (-3 , 2) ,
若 k +2 与 2 - 4 平行,则 k = .
a baa b b - 1