数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」＜基本問題①＞

組 番 名前

１ 右の図は，ＡＢ ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤです。//このとき，△ＡＯＢ≡△ＤＯＣとなることを証明

しなさい。

２ 右の図で，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥであるとき，

△ＡＢＤ≡△ＡＣＥであることを証明しなさい。

Ａ

ＤＣ

Ｏ

Ｂ

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

＜基本問題①・解答＞数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」

１

△ＡＯＢと△ＤＯＣで

仮定より ＡＢ＝ＤＣ

ＡＢ ＣＤで錯角が等しいので//∠Ａ＝∠Ｄ

∠Ｂ＝∠Ｃ

したがって，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ＡＯＢ≡△ＤＯＣ

２

△ＡＢＤと△ＡＣＥで

仮定より

ＡＢ＝ＡＣ

∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ

また，∠Ａは共通な角

したがって，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＤ≡△ＡＣＥ

Ａ Ｂ▲＝

●△

Ｏ

▲＝

Ｃ

●

Ｄ

△

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

＝ ＝

● ●

△

数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」＜基本問題②＞

組 番 名前

１ 次の図のように，∠ＸＯＹにおいて，ＯＡ＝ＯＢ，ＡＰ＝ＢＰとなるように作図しました。

このとき，ＯＰは∠ＸＯＹの二等分線となり，∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰが成り立ちます。

このことを，次のように説明しました。このとき にあてはまる記号や言葉をかきなさい。□

ＡとＰ，ＢとＰを結ぶ。

△ＯＡＰと△ＯＢＰで，作図から

ＯＡ＝ ・・・①（１）

ＡＰ＝（２） ・・・②

共通な辺だから ＯＰ＝ＯＰ・・・③

①②③より （３） がそれぞれ等しいので，，

△ＯＡＰ≡△ＯＢＰ

合同な図形では，対応する角の大きさは等しいので，

∠ＡＯＰ＝（４）

したがって ∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰ

このように，あることがらが成り立つことを，すじ道を立てて明らかにすることを

（５） といいます。

この証明は，ＯＡ＝ＯＢ，ＡＰ＝ＢＰ から ∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰであるということ

（ア） （イ）（ア）は与えられてわかっていること （イ）は（ア）から導こうとしていがらを導きました。 ，

ることです。

（ア）の部分を（６） （イ）の部分を （７） といいます。，

２ 右の図で，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ ならば，

△ＡＢＣ≡△ＤＣＢ

であることを証明します。

このとき，証明のすじ道は下の図のようになります。

それぞれの の中にあてはまる根拠となる

ことがらを，次の①，②，③から選びなさい。

① 三角形の合同条件

② 共通な辺

③ 仮定

△ＡＢＣと△ＤＣＢで， （１）

ＡＢ＝ＤＣ

ＡＣ＝ＤＢ ＢＣ＝ＣＢ

↓

△ＡＢＣ≡△ＤＣＢ （２）

（３）

Ｙ

Ｂ

Ａ

Ｐ

ＯＸ

Ａ

Ｃ

Ｄ

Ｂ

＜基本問題②・解答＞数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」

１

（１）ＯＢ （２）ＢＰ （３）３辺 （４）∠ＢＯＰ （５）証明 （６）仮定 （７）結論

２

（１）③ （２）② （３）①

数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」＜基本問題③＞

組 番 名前

１ 次のことがらについて，仮定と結論をいいなさい。

（１）ａ＞０，ｂ＞０ならば，ａｂ＞０である。

（２）△ＡＢＣ≡△ＰＱＲならば，ＢＣ＝ＱＲである。

２ 「三角形の３つの内角の和は１８０°である」ことを下図を用いて証明しました。どのようなこ

とがらを根拠として使っていますか。

次の中から正しいものをすべて選びなさい。

① 対頂角は等しい

② 三角形の３つの内角の和は１８０°である。

③ ２つの直線が平行ならば同位角は等しい。

④ ２つの直線が平行ならば錯角は等しい。

⑤ 同位角が等しいならばこの２つの直線は

平行である。

⑥ 錯角が等しいならばこの２つの直線は平行である。

⑦ 一直線の角は１８０°である。

３ 次の図で，ＡＯ＝ＢＯ，ＣＯ＝ＤＯ ならば， ＡＣ＝ＢＤ であることを証明します。

この証明は下記のようになります。

それぞれの の中にあてはまる適切なことばをかきなさい。

△ＡＯＣと△ＢＯＤにおいて

（１） より

ＡＯ＝ＢＯ ・・・①

ＣＯ＝ＤＯ ・・・②

（２） が等しいので

∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ ・・③

①②③より （３），

がそれぞれが等しいので

△ＡＯＣ≡△ＢＯＤ

合同な図形では （４）

は等しいので

ＡＣ＝ＢＤ

Ｄ

Ｃ●

Ｅ○

●

Ａ

○Ｂ

Ｆ

Ｇ

○

Ａ

Ｃ Ｂ

Ｄ

Ｏ

＜基本問題③・解答＞数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」

１

（１）仮定 ａ＞０ ，ｂ＞０ 結論 ａｂ＞０

（２）仮定 △ＡＢＣ≡△ＰＱＲ 結論 ＢＣ＝ＱＲ

２

③，④，⑦

③ ２つの直線が平行ならば同位角は等しい。

④ ２つの直線が平行ならば錯角は等しい。

⑦ 一直線の角は１８０°である。

３

（１）仮定 （２）対頂角 （３）２組の辺とその間の角 （４）対応する辺の長さ

Ｄ

Ｃ●

Ｅ○●

Ａ

○Ｂ

Ｆ

Ｇ

○

数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」＜基本問題④＞

組 番 名前

１ 四角形ＡＢＣＤで，ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＤＡ ならば ∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＡ

であることを証明します。

（１）仮定と結論をかきなさい。

（２）三角形の合同条件を用いて，次のように証明しました。

にあてはまる式や言葉をかきなさい。○ ○ア エ～

ＡとＣを結ぶ。 △ＡＢＣと△ＣＤＡで，

仮定より ＡＢ＝ＣＤ ・・・①

・・・②○ア

共通な辺だから ・・・③○イ

①②③より がそれぞれ等しいので○ウ

△ＡＢＣ≡△ＣＤＡ

合同な図形では は等しいので○エ

∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＡ

２ ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形の∠Ａの二等分線を作図し，辺ＢＣ

との交点をＤとします。

このとき，ＢＤ＝ＣＤ，ＡＤ⊥ＢＣとなることを次のように

～ にあてはまる式や言葉をかきなさい。証明しました。○ ○ア エ

また， の中に式や言葉をかいて証明を完成させなさい。

(証明)

△ＡＢＤと△ＡＣＤにおいて

･････ ①仮定より，ＡＢ＝ＡＣ

･････ ②○ア

共通な辺だから ･････ ③○イ

①②③より がそれぞれ等しいので，△ＡＢＤ≡△ＡＣＤ○ウ

合同な図形では は等しいので ＢＤ＝ＣＤ,○エ

また，

ＤＡ

Ｂ Ｃ

Ａ

Ｂ ＣＤ

＜基本問題④・解答＞数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」

１

（１）仮定 ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＤＡ

結論 ∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＡ

ＢＣ＝ＤＡ ＡＣ＝ＣＡ ３辺 対応する角の大きさ（２）○ ○ ○ ○ア イ ウ エ

と ）（○ ○ア イ 対応する頂点の順ならば可

２

△ＡＢＤと△ＡＣＤにおいて

･････ ①仮定より，ＡＢ＝ＡＣ

･････ ②○ア

共通な辺だから ･････ ③○イ

①②③より がそれぞれ等しいので，△ＡＢＤ≡△ＡＣＤ○ウ

合同な図形では は等しいので○エ

ＢＤ＝ＣＤ

また，

対応する角も等しいので ∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ

∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＣ＝１８０°

したがって， ∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°

よって， ＡＤ⊥ＢＣ

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ

ＡＤ＝ＡＤ

２辺とその間の角

Ａ

Ｂ ＣＤ

対応する辺

数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」＜応用問題＞

組 番 名前

１ 右の図のように，長方形ＡＢＣＤを対角線ＡＣを折り目として折り返したところ，点Ｄは点Ｐに

移動しました。ＡＰとＢＣの交点をＥとしたとき，ＡＥ＝ＣＥであることを証明しなさい。

２ 右の図のように，線分ＡＢと線分ＣＤが点Ｏで交わっています。

ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＤならば，ＡＣ ＤＢであることを証明しなさい。//

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

Ｏ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｐ

＜応用問題・解答＞数学２ ４章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」

１

△ＡＢＥと△ＣＰＥで

仮定より，ＡＢ＝ＣＰ ・・・①

∠ＡＢＥ＝∠ＣＰＥ（＝９０° ・・・②）

ここで，対頂角は等しいので

∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＰ

また，三角形の内角の和は１８０°なので

∠ＢＡＥ＝１８０°－∠ＡＥＢ－∠ＡＢＥ

∠ＰＣＥ＝１８０°－∠ＣＥＰ－∠ＣＰＥ

よって ∠ＢＡＥ＝∠ＰＣＥ・・・③

①②③より１ ので，辺とその両端の角がそれぞれ等しい

△ＡＢＥ≡△ＣＰＥ

合同な図形では，対応する辺は等しいので

ＡＥ＝ＣＥ ＊別解あり

２

△ＡＯＣと△ＢＯＤで

仮定より ＯＡ＝ＯＢ ・・・①

ＯＣ＝ＯＤ ・・・②

ここで，対頂角は等しいので

∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ ・・・③

①②③より２辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ＡＯＣ≡△ＢＯＤ

合同な図形では，対応する角は等しいので

∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＤ（もしくは∠ＯＣＡ＝∠ＯＤＢ）

錯角が等しいので

ＡＣ ＤＢ//

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

Ｏ●

●

＝

＝

－

－

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｐ

●

●

＝

＝

△

△