2_función real de variable real
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I.F.D. Nº 5 “José E. Tello” “Introducción al Análisis Matemático”
Prof. María Elena Royo -17 -
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Concepto de Función
El área A de un círculo depende del radio de la circunferencia que lo limita, la regla que
relaciona r y A está dada por la ecuación A = r2 . Para cada número positivo r existe
asociado un valor de A y se dice que A es una función de r.
El numero N de bacterias presentes en un cultivo depende del tiempo t. Si el cultivo
empieza con 5000 bacterias y la población se duplica cada hora, entonces después de t
horas el número de bacterias será N = (5000).2t . Esta es la regla que relaciona a t y N.
Para cada valor de t existe un valor correspondiente de N, y se dice que N es una
función de t.
Función
A y B son conjuntos de números reales.
Si consideramos a R como el conjunto de los números reales y anotamos: A⊆R(decimos que A esta contenido o es igual a R ó A es un subconjunto propio o no de los
números reales y además B = R (decimos el conjunto B es igual al conjunto de los
números reales).
Surge la siguiente definición:
Una función definida en el conjunto A, subconjunto propio o no de los números
reales, y que toma valores en el conjunto B de los números reales, recibe el nombre
de Función Real de Variable Real, si verifica las siguientes condiciones:
a) Todo elemento del conjunto A tiene uno correspondiente en B.
b) Este elemento de B es único.
Otra:
Definición: Una función f es una regla que asigna a cada elemento x que pertenece a
un conjunto A, exactamente otro elemento, llamado f(x), que pertenece a un conjunto B.
Estas condiciones se denominan: Condición de Existencia y Condición de Unicidad,
respectivamente.
Notación:
a) x ϵ A ∃ y ϵ B / y = f (x) (Todo elemento del conjunto A tiene un
correspondiente en B)
b) (x1 ; y1) ϵ f ʌ (x1 ; y2) ϵ f y1 = y2 (a cada elemento del conjunto A le
corresponde un único elemento del conjunto B)
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Observación: El nombre de “Función Real” se refiere al hecho que su Coodominio es
el conjunto de los números reales
- El nombre de “Variable Real” se refiere al hecho que su Dominio es el conjunto de
los números reales o un subconjunto de él
f : A⊆R B
x y = f(x)
f : es el nombre de la función. También podemos llamarla: g, h, ....
A : es el conjunto sobre el cual se define la función. Se conoce con el nombre de
Dominio o Conjunto de Partida. Está formado por todos los elementos de “x”
B: es el conjunto en el cual la función toma sus valores. Recibe el nombre de
Coodominio o Conjunto de Llegada. En él se encuentran los elementos “y”.
x : es una letra que representa a todos y a cada uno de los elementos del conjunto A. se
llama variable independiente.
y : es una letra que representa a los elementos del conjunto B que son los
correspondientes de los elementos de A. Se llama Variable Dependiente. ¿dependiente
de que? Precisamente depende de la variable independiente “x”. Es por ello que para
poner en evidencia esta relación de dependencia se establece para “y” la notación
equivalente f(x), lo que significa que “y” se obtiene a partir de “x” por intermedio de la
función f.
y = f(x): es la expresión analítica que establece la vinculación entre “x” e “y”.
Existe un conjunto que aunque no aparece escrito, también participa en una función. Su
nombre es Imagen y lo notamos con I(f). Este es un subconjunto del conjunto B,
formado por aquellos elementos de B que son correspondientes de los elementos del
conjunto A. puede suceder que:
I(f) = B o bien que I(f) B.
Valor numérico de una función
Si la variable independiente x toma un valor posible dentro del conjunto A, por ejemplo
el valor a, o sea x = a.
Por la función f a este valor a le corresponderá un valor de la variable dependiente y al
que llamaremos b y lo indicaremos por b = f(a)
Este elemento b perteneciente al conjunto B, se lo denomina de diferentes formas:
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b es el valor de la función f en a.
b es la imagen de a en f .
b es el correspondiente de a por f .
Podemos resumir en forma gráfica, lo expresado hasta el momento sobre funciones.
Otra manera de ilustrar una función es por medio de un diagrama de flechas, como se
indica en la figura, cada flecha relaciona un elemento de A con un elemento de B. La
flecha indica que f(x) se asocia con x , f(a) se asocia con a, y así sucesivamente.
A = Dominio B = Coodominio
f(x)
f(a)
I (f) = Imagen
Ejemplo:
Sea la función de variable real definida por:
a) :f R R
( ) 3 1x y f x x
En este caso:
- f : es el nombre de la función
- A = R es el Dominio de la función (en este caso está explicitado)
- B = R es el Coodominio de la función
- x: es la Variable Independiente
- y : es la Variable Dependiente
- y = f(x) = 3 x -1 es la Expresión Analítica que define la función
b) :f A R R
2 1
( )x
x y f xx
- f : es el nombre de la función
- A R es el Dominio de la función (en este caso no se ha explicitado el dominio, hay
que determinarlo analizando la expresión analítica )
- B = R es el Coodominio de la función
- x: es la Variable Independiente
- y : es la Variable Dependiente
- y = f(x) = (x2 +1)/x es la Expresión Analítica que define la función
x
b
a
f
f
f
f
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Determinemos el dominio de la función.
Nos preguntamos que valores puede tomar la variable independiente “x”, al estar
definida por un cociente entre dos polinomios, Debemos asegurarnos que el
denominador sea Distinto de Cero.
En este caso x 0 (ya que sabemos que la división en 0 no está definida).
Luego cualquier valor real de “x” menos el 0 (cero), reemplazado en la formula
permitirá obtener un valor real de “y”, por lo tanto el dominio A de la función es:
A = R - 0
Si consideramos x = -2 y = f(-2) = -5/2 ; etc.
Observación:
- El dominio A de una función puede o no estar especificado en la notación. Cuando
no está especificado, se lo determina observando la fórmula que define la función.
Este dominio es denominado habitualmente dominio natural o simplemente
dominio.
- Luego la función queda definida así:
: 0f R R
2 1
( )x
x y f xx
c) Dada la función:
:f A R R
2
2 3 0
( ) 5 0
0 3
x si x
x y f x si x
x si x
- f : es el nombre de la función
- A R es el Dominio de la función (en este caso no se ha explicitado el dominio, hay
que determinarlo analizando la expresión analítica )
- B = R es el Coodominio de la función
- x: es la Variable Independiente
- y : es la Variable Dependiente
- 2
2 3 0
( ) 5 0
0 3
x si x
y f x si x
x si x
Determinemos el dominio de la función.
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Nos preguntamos que valores puede tomar la variable independiente “x”, al estar
definida por tres ramas, analicemos la primera 2x si -3 < x < 0; significa que la función
está definida par los valores del intervalo abierto que pertenece al conjunto de los reales
(-3 ; 0). En la segunda rama tenemos solo un punto de coordenadas (0 ; 5), como la
abscisa es x = 0. En la tercer rama la función x2 si 0 < x <3 significa que la misma
pertenece al intervalo abierto (0 ; 3). Luego el Dominio será la unión de las siguientes
expresiones parciales obtenidas:
(-3 ; 0) 0 (0 ; 3) = (-3 ; 3)
Luego cualquier valor real de “x” y el 0 (cero) perteneciente al intervalo (-3 ; 3) ,
reemplazado en la formula permitirá obtener un valor real de “y”, por lo tanto el
dominio A de la función es: (-3 ; 3).
Luego la función queda definida así:
: ( 3;3)f R
2
2 3 0
( ) 5 0
0 3
x si x
x y f x si x
x si x
Según sea el valor de “x” que consideramos en el dominio, deberemos elegir la “rama
adecuada” de esta expresión analítica para determinar su correspondiente imagen. Por
ejemplo:
Para x = -2, la fórmula a usar es la primera y= f(x)= 2x ( se toma la primer rama)
y = f(-2) = 2 (-2) = -4
Para x = 0, la fórmula a usar es la segunda y= f(x)= 5 ( se toma la segunda rama)
y = f(0) = 5
Para x = 5/2 , la fórmula a usar es la tercera y= f(x)= x2 ( se toma la tercer rama)
y = f(x) = (5/2)2 = 25/4
En este caso la función ha sido definida “por ramas” o “por partes”.
Otra idea de función
Es útil considerar una función como una máquina. Si “x” pertenece al dominio de la
función f , al entrar “x” a la máquina es aceptado como entrada, y la máquina
produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. De esta manera, se
puede considerar el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el
coodominio o contradominio como el conjunto de todas las salidas posibles.
x f f(x)
Entrada Salida
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Las funciones programadas internamente en una calculadora son buenos ejemplos de
funciones consideradas como máquina.
Por ejemplo, la tecla x de una calculadora es una función de ese tipo. En este caso,
primeramente se le da entrada a “x” en la pantalla y luego se presiona la tecla marcada
con x , si x < 0, entonces “x” no pertenece al dominio de esta función; con esto
notamos que “x” no tiene entrada aceptable y la calculadora indicará que hay error. Si x
0, entonces aparecerá en la pantalla una aproximación al valor x .
Así que la tecla x de una calculadora no es realmente igual la función matemática
exacta f definida por f(x) = x .
Notación:
:f A R R
( )x y f x x
La función con el dominio especificado:
: 0;f R
( )x y f x x
Dominio Restringido
Este concepto aparece cuando las variables tienen una interpretación especifica dentro
del contexto de un problema, entonces el dominio natural se restringe apropiadamente
para cada caso.
Sea la longitud L de un círculo que depende del radio de la circunferencia que lo limita,
la regla que relaciona r y L está dada por la ecuación L =2 r. si con “x” indicamos el
radio de una circunferencia y con “y” la longitud de la misma, esta última “y” resulta
una función de la primera “x” ya que par cada valor del radio “x” se obtendrá un único
valor de la longitud y, o sea
:f A R R
( ) 2x y f x x
Como en este enunciado, x representa la longitud del radio de la circunferencia, sus
valores deben restringirse sólo a valores reales positivos, ( ya que las longitudes son
cantidades positivas!) y NUNCA podemos hablar de (-3 metros) por ejemplo.
Finalmente: A = (0 ; +) (dominio)
De esta manera la función que define a la longitud de la circunferencia en términos del
radio es:
: (0; )f R
( ) 2x y f x x
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Gráfica Cartesiana
Representar gráficamente una función real de una variable real consiste en ubicar en un
sistema de coordenadas cartesianas ortogonales todos los puntos P de coordenadas (x;
y) para los cuales se verifica que y = f(x).
Simbólicamente lo expresamos así:
Graf. (f) = {P(x; y) R2 / y = f(x) x A }
La serie de pasos que habitualmente realizamos para construir la gráfica cartesiana es la
siguiente:
a) Consideremos la fórmula que establece la relación analítica entre las variables
“x” e “y”, o sea y = f(x).
b) Confeccionamos una tabla de valores que muestre en los encabezados de cada
columna lo siguiente:
xi
Valores posibles de la
variable independiente
yi
Valores que se obtienen de
la variable dependiente
Pi (xi ; yi )
Puntos pertenecientes a la
gráfica
c) Marcamos los puntos Pi (xi ; yi ) en un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales.
d) Generamos la representación gráfica de la función, tomando en cuenta si los punto
Pi (xi ; yi ) deben ser unidos o no, mediante una línea continua (esto dependerá
siempre del dominio de la función).
Ejemplo:
Construir la grafica cartesiana de las siguientes funciones:
1. :f R R
( ) 2 1x y f x x
xi
Valores posibles de la
variable independiente
yi
Valores que se obtienen de
la variable dependiente
Pi (xi ; yi )
Puntos pertenecientes a la
gráfica
-2 2(-2)-1= -5 (-2;-5)
0 2(0)-1= -1 (0;-1)
1 2(1)-1= 1 (1;1)
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2.
: 4;4f R
1 4 0
( ) 2 0
3 0 4
si x
x y f x si x
si x
xi
Valores posibles de la
variable independiente
yi
Valores que se obtienen de
la variable dependiente
Pi (xi ; yi )
Puntos pertenecientes a la
gráfica
-4 1 (-4;1)
0 2 (0;2)
-1 1 (-1;1)
2 3 (2;3)
4 3 (4;3)
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Observación: Existen algunas funciones muy populares por su uso, aplicación e
importancia; resulta sumamente útil que te familiarices tanto con sus expresiones
analíticas como con sus gráficas cartesianas.
Si lo deseas puedes comprobar que cada gráfica responde a su correspondiente
expresión analítica confeccionando la tabla de valores (procedimiento de trazado de
puntos).
Criterios Gráficos
A partir de la representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales, resulta útil deducir el dominio, la imagen y en forma aproximada el valor
numérico de la función en un punto.
a) Criterio gráfico para determinar si una grafica cartesiana corresponde a la de una
función, en un dominio determinado (prueba de la recta vertical).
Por un punto x del eje OX, y perteneciente al dominio en análisis, trazamos una recta
vertical. Si esta recta intercepta a la línea en un solo punto, es la línea de la gráfica de
una función, en el dominio en consideración. Si la recta vertical no intercepta a la línea
o bien lo hace en más de un punto entonces la línea no representa a una función real de
una variable real.
Aplicar la prueba de la recta vertical para determinar si las líneas corresponden a la
representación gráfica de funciones.
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Ejemplo:
y
a)
P
0
Observamos que cualquiera sea el punto x sobre el eje OX que se considere, la recta
intercepta a la línea en un solo punto P. Por lo tanto la línea es representación gráfica de
una función definida en los reales.
b) y
P1
P2
P3
0 x
r
En este caso la línea no es la representación gráfica de una función definida en los
reales, ya que intercepta a la línea en más de un punto.
c) y
P
a 0 b x r1
r2
r X
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En este caso la línea es la representación gráfica de una función definida en los reales,
ya que si bien r1 corta a la línea en un solo punto P, no sucede lo mismo con r2 que no
intercepta a la línea.
En el ejemplo c) si cambiamos el dominio en consideración, en un intervalo cerrado [a;
b], entonces la línea representa la gráfica de una función en ese intervalo.
Este ejemplo nos enseña que es de vital importancia indicar de antemano en que
dominio se analiza la línea.
Criterios Gráficos para determinar el dominio y la imagen de la función.
Recordemos que el dominio de una función está formado por todos los valores que
puede asumir la variable independiente “x”. Por lo tanto, en el sistema de coordenadas
debemos mirar en el eje de abscisas para determinar estos valores.
Estos valores son los que surgen al proyectar la gráfica de la función sobre dicho eje, el
intervalo que así se obtiene será el dominio.
Para determinar la imagen lo hacemos siguiendo un procedimiento semejante al
anterior, pero ahora la proyección de la gráfica debe hacerse sobre el eje de las
ordenadas, ya que precisamente son los valores de “y” los que integran el conjunto.
Criterio gráfico para determinar en forma aproximada el valor numérico de un
punto.
Consideremos la representación cartesiana de una función f y en ella un punto de
dominio x0. Para determinar la imagen de x0, levantamos a partir de x0 una vertical
hasta la intersección con la gráfica de f; a partir de dicha intersección, trazamos una
horizontal hasta llegar al eje OY. El punto así determinado es la imagen de x0 o sea
y = f(x0 )
c
d
a
y = f(x) Imagen de f = [c; d]
y
Dominio de f = [a; b] b x
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Forma explícita e implícita de la expresión analítica de una función
Cuando la expresión analítica que define a la función esta escrita de tal forma que una
de las variables esta expresada en términos de la otra, por ejemplo: y = f(x), entonces
decimos que la función esta definida por una expresión analítica escrita en la forma
explicita. Cuando por el contrario ninguna de las variables esta expresada en términos
de la otra: g(x; y) = 0, entonces se dice que la función esta definida por una expresión
analítica escrita en la forma implícita.
Ejemplo:
a) y = x2 –3x + 1 f esta expresada en forma explicita
y = f (x)
b) x – y + 8 = 0 f esta expresada en forma implícita
g (x; y)= 0
¿Es posible ir de la forma explícita a la forma implícita y recíprocamente?
Rta: Siempre es posible pasar de la forma explícita a la implícita. El procedimiento
consiste en realizar una transposición de términos que lleve a obtener una igualdad a
cero.
Ejemplo:
Forma explícita Forma implícita
y = 2 x2 – 3x + 5 2 x
2 – 3x – y + 5 = 0
Imag
en d
e f
= [
c; d
]
y0=f(x0)
x0
b
c
d
a
y = f(x)
y
Dominio de f = [a; b]
x
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CLASIFICACIÓN DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL
Enteras
Racionales
Explicitas Fraccionarias
Algebraicas
Irracionales
Funciones
Reales
Exponenciales
Explicitas Logarítmicas
Trascendentes Trigonométricas
Valor Absoluto
Una función es algebraica cuando sobre la variable independiente se realizan
únicamente operaciones racionales ( +, , , ) y la radicación en un número
finito de veces.
Una función algebraica es racional cuando sobre la variable independiente se
realizan únicamente operaciones racionales en un número finito de veces.
Una función algebraica es racional entera cuando sobre la variable independiente
se realizan únicamente operaciones entera ( +, , ) en un número finito de veces.
Una función algebraica racional es fraccionaria cuando proviene del cociente
exacto de funciones algebraicas racionales enteras.
Una función algebraica es irracional cuando sobre la variable independiente se
realizan únicamente operaciones de radicación o potenciación con exponentes
fraccionarios en un número finito de veces.
Una función es trascendente cuando la misma no es algebraica.
Ejemplo:
Expresión Analítica de una Función Clasificación
a) 2843
1)(
2
x
x
xxfy Algebraica
b) xx
xxfy 2
182)(
2
Algeb. racional fraccionaria
c) 4/34)( xxxfy Algebraica irracional
d) 647)( 23 xxxxfy Algeb. racional entera
e) 7)( xxfy Trascendente valor absotulo
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-x
P(x;y)
x
-y
y
P’(-x; y)
y
P(x;y)
x -x O
P’(-x; y)
f) )2log()( xxfy Trascendente logarítmica
Paridad y simetría de una función
Una curva es simétrica respecto al eje OY cuando los puntos P(x; y) y P’(-x; y)
pertenecen a la misma (la distancia de dichos puntos al eje OY es idéntica).
Una curva es simétrica respecto al origen de coordenadas del sistema O, cuando los
puntos P(x,y) y P’(-x; -y) pertenecen a la misma,(la distancia de dichos puntos al origen
O es la misma).
El concepto grafico de simetría de una curva esta asociado con el concepto analítico de
paridad de una función. Por lo tanto podemos decir que:
f : A R R
x y = f(x)
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La función es par si se verifica que: f( -x)=f( x) para todo número x de su
dominio.
A valores opuestos de la variable independiente les corresponde el mismo valor de la
imagen.
Ejemplo:
2)( xxf es par porque:
2 2( )x x f( -x) f( x) para x , -x A
La función es impar se verifica que: f( -x)=-f( x) para todo número x de su
dominio.
A valores opuestos de la variable independiente les corresponde valores opuestos de
la imagen.
Ejemplo:
3)( xxf es impar porque:
3 3( )x x f( -x) -f( x)
Conclusión:
Si f es par su representación grafica es simétrica respecto al eje OY.
Si f es impar su representación grafica es simétrica respecto al origen del
sistema cartesiano.
Ejemplo:
Determinar la paridad de las siguientes funciones; e indicar la simetría de su grafica.
a) 3y x x
b) 22y x
c) 23y x x
Para determinar la paridad de una función debemos considerar la expresión analítica de
la misma y analizar si para ella se cumple alguna de las dos igualdades relacionadas con
la función par o impar.
Para a) , la expresión analítica es:
y
x
-x
f(-x)
-f(x)
x
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3y x x
Planteamos siempre f(-x):
3 3 3( ) ( ) ( )x x x x x x f( -x) -f( x)
Como f(-x) = - f (x) , entonces la función es impar. Su grafica cartesiana es simétrica
respecto al origen O.
Para b) , la expresión analítica es:
22y x
Planteamos siempre f(-x):
2 22( ) 2x x f( -x) f( x)
Como f(-x) = f (x) , entonces la función es par. Su grafica cartesiana es simétrica
respecto al eje eje OY.
Para c) , la expresión analítica es:
23y x x
Planteamos siempre f(-x):
2 23( ) ( ) 3x x x x
-f( x)f( -x)
f( x)
En este caso la función no es par ni impar. Decimos que la función no tiene paridad.
Transformación de funciones
A partir de las funciones más conocidas como vimos anteriormente, se pueden obtener
las graficas de otras funciones no tan conocidas, pero que pueden obtenerse a partir de
ellas.
Traslación
Sea la función definida por:
f : A R R
x y = f(x)
para obtener la grafica cartesiana de la función definida por la expresión analítica:
a) y = f(x) +c si (c > 0)
Se traslada la grafica “c” unidades hacia arriba.
b) y = f(x) – c si (c > 0)
Se traslada la grafica “c” unidades hacia abajo.
c) y = f(x - c) si (c > 0)
Se traslada la grafica “c” unidades hacia la derecha.
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x
y=x2
y
0
y=x2+1
y
0
1
x
d) y = f(x + c) si (c > 0)
Se traslada la grafica “c” unidades hacia la izquierda.
Analicemos una situación en particular:
Sea la función:
f : A R R
x y = f(x) = x2
su grafica es:
Consideremos ahora las siguientes funciones:
a) y = x2 + 1
b) y = (x – 3)2
c) y = (x – 3)2 + 1
a) La grafica de y = x2 + 1, es idéntica a la grafica de y = f(x) = x
2, pero trasladada
una unidad hacia arriba, “criterio a)”
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x
y
0
y=(x-3)2+1
3
1
y
0
y=(x-3)2
x 3
b) La grafica de y = (x-3)2 , es idéntica a la grafica de y = f(x) = x2, pero trasladada una tres
hacia la derecha, “criterio c)”
c) La grafica de y = (x-3)2 + 1, es idéntica a la grafica de y = f(x) = x
2, pero trasladada
una tres hacia la derecha y una unidad hacia arriba, “combinación de los dos
criterios anteriores”
Igualdad de Funciones Reales de una Variable Real
Si consideramos dos funciones de la siguiente forma:
f : Af R R
x y = f(x)
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f : Ag R R
x y = g(x)
Dos funciones son iguales cuando se cumplen simultáneamente dos condiciones:
1. Tienen dominios iguales.
2. Las expresiones algebraicas que la definen son iguales, en todo punto de sus
dominios idénticos.
O sea:
f g
f g
1. A =Af =g ⇔
2. f( x)=g( x) ∀x ∈A ( = A )
Ejemplo:
Dada la función:
2
: 0
2( )
f R R
x xx y f x
x
Aplicar el criterio de igualdad de funciones para determinar cuales de siguientes son
iguales a f(x).
:
( ) 1 2
g R R
x y g x x
: 0
1( )
h R R
x y h xx
2 3
2
: 0
2( )
j R R
x xx y j x
x
Analicemos en la función f:
Su dominio es: Af = R – 0
Su expresión analítica es: 22 (1 2 )
( )x x x x
y f xx x
1-2x
Apliquemos el criterio de igualdad con respecto a la función g:
El dominio de g es: Ag = R R - 0 = Af
Como los dominios de ambas funciones son diferentes no se cumple el primer
criterio de igualdad.
Entonces ambas funciones no son iguales: f ≠ g
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Apliquemos el criterio de igualdad con respecto a la función h:
El dominio de j es: Ah = R - 0 = Af
Como los dominios son iguales se cumple la primera condición de igualdad.
La expresión analítica de la función h es:
1
( ) 1 2 ( )h x x f xx
Como las expresiones analíticas de ambas funciones son diferentes, o sea no se
cumple la segunda condición.
Por lo tanto la función h no es igual a la función f: f h
Apliquemos el criterio de igualdad con respecto a la función j:
El dominio de j es: Aj = R - 0 = Af
Como los dominios son iguales se cumple la primera condición de igualdad.
La expresión analítica de la función j es:
2 3 2
2 2
2 (1 2 )1 2
x x x xx
x x
j( x) f( x)
Ambas expresiones analíticas son iguales, o sea que se cumple la segunda condición.
Y finalmente decimos: f = j
Composición de Funciones
Pensemos que disponemos de dos maquinas que trabajan juntas en forma combinada y
secuencial, o sea, la primera toma el valor de entrada, lo procesa y obtiene el primer
dato de salida (dato intermedio). Este es asumido por la segunda maquina lo procesa y
convierte en el dato final de salida. Gráficamente:
Maquina 1 Maquina 2
Dato de Dato Dato
Entrada Intermedio Final de salida
Podemos representar gráficamente la situación utilizando Diagrama de Venn-Euler
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Observamos que el valor de “x” de la variable independiente le corresponde un valor
de “y” de la variable dependiente, el cual se obtiene al aplicar a “x” en forma sucesiva
de las funciones “g” y “f”, en ese orden. Luego el valor de “y” lo podemos expresar
como:
Y = (f g)(x) = f [g(x)]
Notación que responde a la acción combinada y Sucesiva
de las funciones g y f
Esta nueva función que se origina, indicada por f g, recibe el nombre de función
compuesta y su definición es:
Sean f y g funciones definidas por:
gg: A ⊆R →R
x →u = g( x)
ff : A ⊆R →R
u →y = f( u)
Tal que se verifique que la imagen de g: “I( g) ”, interceptada con el dominio de f: “ fA
”, es diferente del conjunto vacío, o sea:
∩ ≠fI(g) A
Entonces existe la función compuesta de f y g a la cual se nota por f ogque está
definida por:
fog : A⊆R →R
x →y =( fog() x)= f g( x)
Con un dominio: g fA = x∈A /g( x)∈A
Observación:
La notación f g, significa que se aplica primero la función g y luego la función f.
La composición de funciones no es conmutativa, eso significa que f g g f.
Ejemplo:
a) Dadas las funciones:
3
g:R →R
x →u = g( x)= x
f : R - 1 →R
1u →y = f( u)=
u-1
Determinar f g si existe.
En primer lugar debemos estudiar la existencia de la función compuesta.
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Recuerda la condición fI( g)∩A ≠
fI( g)∩A = R ∩R - 1 = R - 1 ≠
El dominio de f es dato
La imagen de g se determina gráficamente, para ello es
necesario representar gráficamente la función.
Por lo tanto existe la función compuesta.
La expresión analítica que define a la función f g es:
3
3
1y =( fog() x)=f g( x) =f( x )=
x -1
El dominio de la función compuesta f g es:
g fA = x∈A /g( x)∈A 3= x∈R /x ∈R - 1 = R - 1
Finalmente la función compuesta queda definida por:
3
fog:R - 1 →R
1x →y =( fog() x)=
x -1
b) Sean las funciones:
g: R →R
x →u = g( x)= x +1
2
f : R →R
u+3 siu<0u →y = f( u)=
2u +3 siu≥0
Determinar si existe si existe f g.
Estudiemos la existencia de la función compuesta.
fI( g)∩A = R ∩R =
La expresión analítica que define a la función f g es:
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2
( ) 3 ( ) 0
2 ( ) 3 ( ) 0
g x si g x
g x si g x
y =( f og() x)=f g( x)
2
( 1) 3 1 0
2( 1) 3 1 0
x si x
x si x
y =( fog() x)=f g( x)
2
4 1
2( 1) 3 1
x si x
x si x
y =( fog() x)=f g( x)
El dominio de la función compuesta f g es:
g fA = x∈A /g( x)∈A / 1x R x R R
Finalmente la función compuesta queda definida por:
f g : R R
x 2
4 1
2( 1) 3 1
x si x
x si x
y =( fog() x)=f g( x)
Función Inversa
Conceptos Previos
Función Inyectiva
Una función es inyectiva si a elementos distintos del dominio le corresponden
elementos distintos del coodomio.
Expresión simbólica de la definición:
1 2 1 2 1 2f : A⊆R →R es inyectiva ⇔ x , x ∈A / x ≠x ⇒f( x ) ≠f( x )
Analicemos los gráficos de las siguientes funciones definidas en el conjunto de los
reales. Y tracemos en ambos una recta paralela al eje de las abscisas OX.
Remplazamos g(x) por
su equivalente x+1
Modificamos las
expresiones del
dominio
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1er Caso 2do Caso
¿En cuántos puntos intercepta la recta a la grafica en cada una de las funciones?
En el 1er caso se producen dos intersecciones con la recta: P1 y P2.
En el 2do caso solo existe una intersección con la recta: P0.
En el primer caso la función no es inyectiva, ya que para dos valores distintos del
dominio 1 2x ≠x , le corresponde el mismo valor en el condominio: 1 2f(x ) = f(x ) .
En el segundo caso la función es inyectiva, ya que a dos elementos distintos del
dominio les corresponde dos valores diferentes del coodominio.
Conclusión: Para reconocer si una grafica cartesiana representa a una función
inyectiva, toda recta trazada paralela al eje de las abscisas debe intersectar a la
grafica a lo sumo en un punto.
Función Sobreyectiva
Una función es sobreyectiva si el conjunto imagen de la función coincide con el
coodominio de la misma.
O sea que: f es sobreyectiva C(f) = I(f)
En caso de disponer de la representación grafica de una función, decimos que es
sobreyectiva si toda recta paralela al eje de las abscisas OX intersecta a dicha grafica
por lo menos en un punto,(todos los valores de “y” provienen de por lo menos algún
valor de “x”)
P0 g(x0)
x0 x
y
f(x1)=f(x2
)
P1 P2
x1 x2 x
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1er Caso 2do Caso
F no es sobreyectiva g es sobreyectiva
I(f) = 0; R = C (f) I(g) = R = C(g)
Atención: Hay ocasiones en las que hay que considerar una restricción del coodominio
de la función para transformarla en sobreyectiva.
Función Biyectiva
Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.
Dicho de otra manera: una función es biyectiva si y solo si todo elemento del
coodominio es imagen de un único elemento del dominio.
En el caso de contar con la grafica cartesiana de una función, ella es biyectiva si
toda recta horizontal intercepta a dicha curva en solo punto.
Función Inversa
Dadas dos funciones f y g, decimos que son inversas (una de la otra) si se cumple
que la composición de ambas tanto a derecha como a izquierda es igual a la
variable independiente.
O sea:
f y g son funciones inversas (f g)(x) = (g f)(x) = x
Ejemplo:
¿demostremos que dos funciones dadas son inversas?
f(x) = x + 2
g(x) = x – 2
son inversas ya que cumplen que:
(f g)(x) = f [g(x)] = f(x-2) = 2 2x x
y además:
y
y=f(x)
o x
o
y y=g(x)
x
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(g f)(x) = g[f(x)] = g(x+2) = 2 2 xx
Nota: Es necesario hacer algunas observaciones
1. Según la definición dada, g es la función inversa de f y f es la función inversa de g.
2. Dada la función f, si existe su función inversa g, la notaremos con f -1
(o sea g = f -1
)
3. Dada la función f, definida por:
f: A B
x y = f(x)
si existe su función inversa f -1
, está definida por
f -1
: B A
y x = f -1
(y)
con lo cual:
Dominio de f = Coodominio de f -1
= A
Coodominio de f = Dominio de f -1
= B
Observación: Si nos preguntáramos si toda función tiene siempre su inversa? La
respuesta a esta pregunta es “NO”. Pues la existencia de una función inversa está
garantizada siempre y cuando la función sea Biyectiva.
Condición de Existencia: Si f es una función biyectiva, entonces admite función
inversa f -1
Ejemplo:
Consideremos una función biyectiva:
f: A B
Como existe la función inversa f -1
siendo:
f -1
: B A
Veamos el desarrollo en los siguientes ejemplos:
Dada la función biyectiva
f: R R
x y = f(x) = (x – 1)3
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Determinar la forma analítica de su función inversa f -1
, para ello seguimos los
siguientes pasos:
1. En la ecuación y = f(x) despejamos “x” en términos de “y”
2. Expresamos a la ecuación obtenida en términos de “y” como f -1
(y)
3. Sustituimos “y” por “x” para obtener la formula de f -1
(x)
Aplicamos este procedimiento en el ejemplo dado:
Por 1.-) 3( ) ( 1)y f x x
3( 1)y x
1
3 1y x
1
3 1y x
1
3 1x y
Luego por 2.-)
1
31( ) 1x f y y
Por último 3.-)
13-1y=f (x)=x +1
Para identificar totalmente a la función inversa f -1
, además de su fórmula analítica es
necesario establecer su dominio y coodomio
Dominio de f = Coodominio de f -1
= R
Coodominio de f = Dominio de f -1
= R
entonces la función inversa f -1
queda definida de la siguiente forma:
f -1
: R R
x y = f -1
(x) = x1/3
+1
Representación grafica:
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Las representaciones graficas de f y f -1
son simétricas respecto a la primera bisectriz.
Esto significa que las graficas son simétricas respecto de la bisectriz.
Las funciones más importantes
Gran parte de las dificultades que surgen en el estudio del Análisis Matemático se
producen por los escasos conocimientos y la poca familiaridad que se tiene para trabajar
con funciones. Por ello es que resulta necesario ahondar en el estudio de las mismas; en
virtud de que permiten presentar en forma matemática gran cantidad de fenómenos del
mundo que nos rodea.
Funciones polinómicas
Las funciones más sencillas son las clasificadas bajo el nombre de funciones
algebraicas racionales enteras o simplemente conocidas con el nombre de funciones
polinómicas.
Una función polinómica es una expresión de la forma:
n n-1
0 1 n
f : R →R
x →y = f( x) = a x + a x + + a
donde los números naaaa ,,,, 210 pertenecen a los reales, son constantes
llamadas coeficientes del polinomio.
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n es un número natural o cero , por lo tanto n se llama grado del polinomio
0a se llama coeficiente principal. Si el coeficiente inicial 00 a , entonces el
grado del polinomio es n.
na se llama término independiente.
Si 10 a , dicho polinomio se llama mónico.
El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros se llama polinomio nulo, se anota
como: N(x) y no tiene grado.
El dominio de cualquier polinomio es el conjunto de los reales: R = (, ).
Ejemplo:
6 4 31( ) ( ) 2 2
3f x P x x x x