2p, modellering quiz fasit...2p, modellering quiz fasit 4 4) vi skal se på sammenhengen mellom sida...

2P, Modellering Quiz fasit

1

Test, 3 Modellering

Innhold

3.1 Lineære modeller og lineær regresjon .......................................................... 2

3.2 Modell for svingetiden til en pendel ............................................................. 8

3.3 Potensfunksjon som modell ......................................................................... 8

3.4 Eksponentialfunksjon som modell .............................................................. 18

3.5 Polynomfunksjoner som modeller .............................................................. 24

3.6 Andre typer modeller ................................................................................. 31

3.7 Matematiske modeller som grunnlag for beslutninger ............................... 34

Grete Larsen


2

3.1 Lineære modeller og lineær regresjon

1) Funksjonsuttrykket for den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet nedenfor er

( ) 2 4f x x

X ( ) 2 4f x x

( ) 4 2f x x


3

2) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en regulær sekskant og omkretsen til sekskanten. La

x være sida i sekskanten.

En modell for omkretsen i en regulær sekskant er

X 6O x x

6O x x

2 4 2O x x x

3) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en likesidet trekant og omkretsen til trekanten. La

x være sida i trekanten.

En modell for omkretsen i en likesidet trekant er

X 3O x x

3O x x

2 3O x x x


4

4) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en rombe og omkretsen til romben. La x være sida i

romben.

En modell for omkretsen i en rombe er

4O x x

X 4O x x

2 2 3O x x x


5

5) Tabellen under viser prisutviklingen på en vare fra 1990 til 2005. Vi antar at prisutviklingen har

vært tilnærmet lineær i perioden fra 1990 til 2005.

Årstall 1990 2005

Pris på varen i kroner 15 500 23 000

Hvilken lineær modell beskriver prisutviklingen når x er antall år etter 1990?

15500 7 500f x x

7 500f x x

X 15500 500f x x

6) I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f(x). Stigningstallet til grafen er

-2

1

X 2

7) En kommune har i dag 10 200 innbyggere. I følge en prognose vil innbyggertallet i kommunen

øke med 150 innbyggere hvert år de neste 10 årene.

Hvilken funksjon kan brukes som modell for kommunens innbyggertall i denne 10-års perioden?

( ) 10200 150f x x

X ( ) 150 10200f x x

( ) 10 350f x x


6

8) Likningen for den rette linja som går gjennom punktene ( 3, 3) og (1,5) er

X 2 3y x

2 3y x

15

2y x

9) Punktene i koordinatsystemet viser antall innbyggere i en kommune x år etter 1980. Hvilken

modell passer best til å beskrive utviklingen i folketallet fra 1980 til 2010?

6300 10f x x

6300 300f x x

X 6300 10f x x

10) Petter har plantet en solsikke og antar at høydeveksten til solsikken kan beskrives med en lineær

modell. Han tar tre målinger, etter 2, 4 og 6 uker og finner at høyden er henholdsvis 26,2 cm ,

32,4 cmog 38,0 cm . La x være antall uker etter plantingen og f x høyden i cm. Hvilken modell

passer best?

26 6f x x

26 3f x x

X 20 3f x x


7

11) Funksjonen 21 1,5f x x er en modell for høyden til et stearinlys i centimeter etter at det har

brent i x timer. Hvor høyt var lyset da det var nytt?

X 21 cm

1,5 cm

Det kan vi ikke svare på ut fra modellen


brent i x timer. Hvor mye minker lyset per time?

21 cm

X 1,5 cm



brent i x timer. Hvor mange timer kan lyset brenne?

21 timer

1,5 timer

X 14 timer

14) Å modellere er å finne matematiske modeller eller formler som viser sammenhengen mellom

ulike størrelser

X Riktig

Galt

15) Dersom sammenhengen mellom to ulike størrelser kan beskrives med en rett linje, sier vi at vi

har en lineær matematisk modell

X Riktig

Galt


8

3.2 Modell for svingetiden til en pendel

Foreslår at vi ikke har Quiz til dette avsnittet

3.3 Potensfunksjon som modell

1) Figuren viser grafen til en modell over utslippet av svoveldioksid i årene etter 1980. Hvilken

potensfunksjon beskriver denne utviklingen?

X 0,58158S x x

0,58158S x x

1,58158S x x


9

2) Per kjøper aksjer til en verdi av10 000 kroner Figuren viser en modell over verdien av aksjene

etter 10 år som en funksjon av vekstfaktoren x . Hva er funksjonsuttrykket til denne modellen?

10000 10xA x

10000 1,05xA x

X 1010000A x x


10


etter 10 år som en funksjon av vekstfaktoren x . Hva er den årlige verdiøkningen i prosent

dersom aksjene er verd 12000 kroner etter 10 år?

X 2 %

1,02 %

0,2 %


11


etter 10 år som en funksjon av vekstfaktoren x . Hva er det årlige verdifallet i prosent dersom

aksjene er verd 2000 kroner etter 10 år?

1,5%

X 15%

0,85%


12


etter 10 år som en funksjon av vekstfaktoren x . Hva er aksjene verd etter 10 år dersom

verdiøkningen er på 10 % per år?

ca. 11000 kroner

X ca. 26 000 kroner

ca. 28 000 kroner


13

6) Figuren under viser en modell over svingetiden til en pendel når lengden på snora er x meter.

Modellen kan skrives på formen

1,52,0f x x

2,0 0,5xf x

X 0,52,0f x x


Modellen viser at når lengden på snora er 4 meter, er svingetida

1 sekund

2 sekund

X 4 sekund


14


Modellen viser at når svingetida er 2 sekunder, er lengden på snora

X 1 meter

2 meter

4 meter

9) Figuren under viser en modell over prisen hver elev må betale for en busstur som funksjon av

antall elever, x som er med på turen. Modellen kan skrives på formen

3000

1,5f x

x

0,53000f x x

X 13000f x x


15

10) Figuren under viser en modell over prisen hver elev må betale for en busstur avhengig av hvor

mange elever som er med på turen. Hvis 15 elever er med på turen, blir prisen per elev

300 kroner

X 200 kroner

100 kroner

11) Figuren under viser en modell over prisen hver elev må betale for en busstur avhengig av hvor

mange elever som er med på turen. For at prisen per elev skal bli under 150 kroner, må det bli

med

20 elever

X minst 20 elever

maks 20 elever


16

12) En potensfunksjon er gitt på formen bf x a x . I funksjonsuttrykket til f er

0b

X 0 1b

1b


0b

0 1b

X 1b


1b

0 1b

X 0b


17

15) Verdien til en bil som kostet 400 000kroner som ny, er etter n år gitt ved

400 000 1 kroner100

np

der p er det årlige verditapet i prosent og n alderen på bilen. En

potensfunksjon egner seg godt til å undersøke

X hvor stort verditapet per år er

bilens verdi etter n år


18

3.4 Eksponentialfunksjon som modell

1) Når et beløp vokser eller avtar eksponentielt, vokser eller avtar det alltid

X Med like mange prosent i hver periode

Med samme beløp i hver periode

Veldig lite

2) Gitt funksjonen ( ) 20 000 1,03xf x

(0)f

0

1,03

X 20 000

3) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner x år etter 2003. Modellen kan

skrives på formen

2 1,10xf x

2 2,16xf x

X 2 1,08xf x


19

4) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner x år etter 2003. I følge denne

modellen er verdien av leiligheten i 2008 ca

3,7 millioner

X 2,9 millioner

3,1 millioner


modellen passerer verdien på leiligheten 3 millioner i

2005

2007

X 2009


20


modellen var verdien på leiligheten i 2003

X 2 millioner

2,16 millioner

3 millioner


modellen er den årlige verdiøkningen

2,16 %

X 8 %

16 %

8) Tor setter 10 000 kroner i banken og lar pengene stå urørt i 5 år. Renten er 4,5 % per år. Hvilket

uttrykk kan vi bruke som modell for hvor mye han har i banken etter 5 år?

10000 4,5

10000 5100

f x

10000 5

10000 4,5100

f x

X 510000 1,045f x


21

9) En bil koster 345 000 kroner. Anta at bilens verdi avtar med 18 % per år. Hvilket uttrykk kan vi

bruke som modell for bilens verdi etter fire år?

4345000 1,18 f x

4345000 0,18 f x

X 4345000 0,82f x

10) Erik har penger i banken. Han påstår at han kan bruke funksjonen ( ) 25000 1,025xf x som

modell for hvor mye penger han har i banken etter x år.

Hvilken rentefot regner han med?

1,025%

X 2,5%

5,5%

11) En eksponentialfunksjon er gitt på formen xf x a b . I funksjonsuttrykket til f er

X 2a

2b


22

12) Punktene i koordinatsystemet viser verdien til en bil x år etter at den var ny. Hvilken modell

passer best til å beskriveutviklingen til verdien til bilen ?

300 000 1,001xf x

X 300 000 0,85xf x

300 000 50 000f x x


23

13) Punktene i grafen angir befolkningen i Norge fra 1900 til 2010 i millioner. Grafen viser en modell

av denne utviklingen basert på befolkningstallene. Hvilket uttrykk kan være funksjonsuttrykket til

grafen?

X 2,2 1,007xf x

3 2,2

2,2 2,2 0,0240

f x x x

20,00004 0,02 2,2f x x x

14) Funksjonen 3,0 1,08xf x er en modell for utviklingen av verdien på en leilighet i millioner x

år etter 2008. Hva var verdien på leiligheten i 2009 ifølge modellen?

3,0 millioner

X 3,24 millioner

4,0 millioner

15) Funksjonen 3,0 1,08xf x er en modell for utviklingen av verdien på en leilighet i millioner

x år etter 2008. Hva var verdien på leiligheten i 2008 ifølge modellen?

X 3,0 millioner

3,24 millioner

4,0 millioner


24

3.5 Polynomfunksjoner som modeller

1) Grafen viser en modell for et ballkast. x -aksen viser tida fra ballen ble kastet og y -aksen viser

ballens høyde over bakken. Uttrykket for modellen er

24,9 12,1 1,8h x x x

X 24,9 12,1 1,8h x x x

24,9 12,1 18h x x x


ballens høyde over bakken. Hvor langt er kastet?

3 meter

12 meter

X Det kan vi ikke svare på ut fra modellen


25


ballens høyde over bakken. Hvor høyt er kastet?

3 meter

X 12 meter



ballens høyde over bakken. Hvor lenge er ballen i lufta?

1,5 sekund

X 3 sekund

12 sekund


26

5) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en likesidet trekant og arealet til trekanten. La x være

sida i trekanten.

En modell for arealet til en likesidet trekant er

21

2A x x

23 3

4A x x

X 23

4A x x

6) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en sekskant og arealet til sekskanten. La x være sida i

sekskanten.

En modell for arealet til en sekskant er

23A x x

227 3

2A x x

X 23 3

2A x x


27

7) Vi skal se på sammenhengen mellom sida i en rombe og arealet til romben. La x være sida i

romben.

En modell for arealet til en rombe er

2A x x

23

2A x x

X ingen av delene


28

8) Formelen 24

3V r er en modell for overflata til ei kule med radius r . Figuren viser grafen til

modellen. Hva er volumet hvis radius er 2,2 i følge denne modellen?

40

X 45

50

9) Formelen 24O r er en modell for overflata til ei kule med radius r . Hvilken graf viser denne

modellen?

X den røde

den blå

ingen av dem


29

10) Formelen 24

3V r er en modell for overflata til ei kule med radius r . Hvilken graf viser denne

modellen?

den røde

X den blå

den grønne

11) Formelen 24O r er en modell for overflata i til ei kule med radius r . Figuren viser grafen til

denne modellen. Hva er radius i ei kule som har en overflate på 250 cm

1,8 cm

X 2 cm

22 cm


30

12) I en trekant er summen av grunnlinja og høyden lik 12. Vi setter høyden lik x . En modell for

arealet til trekanten er 2 6A x x

X2

62

xA x

2 12A x x

13) Hvilken av funksjonene nedenfor er en tredjegradsfunksjon?

( ) 3 3f x x

2( ) 3 3 3f x x x

X 3 2( ) 2 2f x x x

14) I en sylinder er summen av radius og høyde lik 2. Vi setter høyden lik h . En modell for volumet til

sylinderen er

X 3 24 4V h h h h

3 24 4V h h h h

2 2V h h h

15) Funksjonen 3 20,003 0,1 0,2 1,0f x x x x er en modell for temperaturen i celsiusgrader

x timer etter midnatt et døgn i oktober. Hva var temperaturen ved midnatt?

0,003 C

0,2 C

X 1,0 C


31

3.6 Andre typer modeller

1) Gitt en liste med tall: 2, 3, 5, 7, 11, 13 . Hva blir det neste tallet i lista?

15

X 17

19

2) Gitt en liste med tall: 2,4,6,8, ... . Hva blir det neste tallet i lista?

X 10

12

14

3) Gitt en liste med tall: 1, 4, 9, 16, 25, 36, . Hva blir det neste tallet i lista?

47

X 49

51

4) Gitt en liste med tall: 2, 3, 5, 7, 11, 13 . Hva er mønsteret?

Lista består av alle oddetallene

X Lista består av alle primtallene

Du legger til 2 og 4 annenhver gang

5) Gitt en liste med tall: 2,4,6,8, ... . Hva er mønsteret?

X Lista består av alle partallene.

Tallene i lista er summen av de to tallene foran.

Tallene i lista er summen av de to tallene foran minus 2.


32

6) Gitt en liste med tall: 1, 4, 9, 16, 25, . Hva er mønsteret?

Tallene i lista er tallet foran pluss 11

X Lista består av alle kvadrattallene

Tallene i lista er summen av de to tallene foran

7) Gitt en liste med tall:

1 2 3 4, , , ,

2 3 4 5. Hva blir det neste tallet i lista?

3

5

X5

6

7

8


1 2 3 4, , , ,

2 3 4 5. Hva blir formelen for tall nummer n i lista?

1n

n

1

n

n

X 1

n

n

9) Gitt en liste med tall: 5, 10, 15, 20, . Hva blir formelen for tall nummer n i lista?

5 2n

X 5n

5 1n

10) Gitt en liste med tall: 1, 3, 6, 10, . Hva blir det neste tallet i lista?

14

X 15

16


33

11) Gitt en liste med tall: 1, 3, 6, 10, . Hva er mønsteret?

Først to partall så to oddetall og så videre. Du legger alltid til to mer enn forrige gang

X Tall nummer n er lik tallet foran pluss n

Tall nummer n er lik tallet foran pluss 1n


2 4 8, , ,

3 9 27. Hva blir det neste tallet i lista?

12

54

X16

81

10

81


2 4 8, , ,

3 9 27. Hva er formelen for tall nummer n i lista?

2

3n

n

2

3

n

n

X 2

3

n

n

14) Figuren viser de 5 første trekanttallene. Hva blir det neste tallet?

20

X 21

22


34

15) Figuren viser et kvadrat med sidekant 1. Inni dette kvadratet er det et nytt kvadrat slik at alle

hjørnene i det nye kvadratet ligger midt på hver av de fire sidene i det første kvadratet. Inni det

andre kvadratet ligger det et tredje kvadrat etter samme prinsipp osv. Se figuren.

Hva blir arealet til det fjerde(det blå på figuren) kvadratet?

1

4

X1

8

1

16

3.7 Matematiske modeller som grunnlag for beslutninger

Foreslår at vi ikke har Quiz til dette avsnittet

2p, modellering quiz fasit...2p, modellering quiz fasit 4 4) vi skal se på sammenhengen mellom sida...

Documents