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RUMORI IN UN MIXER

Abbiamo visto che un Mixer Singled-Balanced utilizza la cella differenziale come interruttore. Tale sistema di tipo lineare

ma tempo-variante. Ora, poich il generatore di corrente realizzato attraverso uno specchio di corrente, e quindi un

MOS, introdurr del rumore, che si propagher attraverso la cella verso luscita. Il nostro scopo quello di vedere come un

rumore si propaga attraverso lo switch.

Supponiamo inizialmente che il rumore sia di tipo bianco, con valor medio nullo e varianza fissata. Ci significa che, in ogni

istante fissato, il valore dellampiezza del rumore scorrelato (ovvero non dipende) dallampiezza del rumore in qualsiasi

altro istante . Dunque istante per istante lampiezza del rumore indipendente. Se passa un rumore del genere, inteso

come segnale, attraverso lo switch, le caratteristiche statistiche del segnale non cambiano; si pu dunque concludere che un

segnale bianco applicato in ingresso mantiene la sua distribuzione spettrale, ovvero la sua caratteristica statistica. Ben

diverso, invece, il caso di un rumore non bianco, ma con una sua distribuzione in frequenza del tipo in figura. Questo

andamento molto semplice, ma pu essere altrettanto utile per interpretare il fenomeno.

Supponiamo che il segnale che comanda lo switch sia a frequenza molto minore di .

Allora le sue prime armoniche si andranno a sommare ad un rumore bianco, in quanto lo

spettro densit di potenza del rumore piatto per . Ci significa, per quanto

detto prima, che il rumore non cambier apprezzabilmente, in uscita, le sue caratteristiche

in frequenza.

Se il segnale di riferimento varia velocemente, allora il rumore si trover alternativamente sullimpulso positivo e su quello

negativo causati dallo switch. Tuttavia, poich il riferimento pi veloce della velocit con cui il rumore si scorrela, il rumore

che si trova sullimpulso negativo correlato con il rumore che si trova sullimpulso precedente. Ci comporta che il rumore

in uscita si trova ad avere uno spettro di densit di potenza con un picco intorno alla pulsazione di riferimento, che nel

nostro caso quella delloscillatore locale.

Dunque, nel caso di rumore correlato, lo spettro di densit di potenza si concentra sulla frequenza delloscillatore locale ( e

delle sue armoniche). In definitiva

Transistor di coda: rumore di drain

Il rumore di drain del transistor di coda, trovandosi a ponte tra drain e source, si va a sommare alla corrente di

polarizzazione imposta dal transistor. Dunque il rumore transita attraverso lo switch. Tuttavia, come gi

commentato, ha uno spettro di densit di potenza piatto e dunque incorrelato da ogni altra grandezza. Viene

moltiplicato dallo switch per una funzione segno ma la distribuzione spettrale non cambia. Ci significa, per quanto gi

detto, che si ritrover sulluscita praticamente invariato.

ingresso uscita

RUMORE INCORRELATO

ingresso uscita

RUMORE CORRELATO

Mixer Rumori in un Mixer

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Transistor di coda: rumore Flicker

Avevamo visto che ogni transistor introduce del rumore Flicker, e che questo pu essere schematizzato come un rumore

bianco filtrato da tanti filtri, che gli danno landamento . Dunque il rumore Flicker un classico esempio di rumore

correlato. Innanzitutto definibile una frequenza detta frequenza di corner , alla quale il rumore Flicker eguaglia il

rumore termico generato dallo stesso componente. Per frequenze superiori il rumore Flicker trascurabile. Per i MOS in

genere le frequenze dangolo assumono valori intorno al , e la frequenza superiore a tali frequenze, per cui il

segnale di per s non affetto in modo apprezzabile da rumore .

Osserviamo che nel transistor di coda presente oltre al rumore Flicker, elevato in bassa frequenza, anche quello di drain,

bianco. Nel tempo il rumore bianco costituito da una serie di impulsi incorrelati. In presenza di un condensatore limpulso

rimane in memoria finch decade. Il risultato che lautocorrelazione del rumore non pi una delta .

Se il rumore fosse bianco in due istanti qualunque gli impulsi sarebbero incorrelati, ma se va in un condensatore si mantiene

una correlazione perch la in un certo istante dipende dalla nellistante precedente e lautocorrelazione diventa un

esponenziale. La corrente , affetta da fenomeni aleatori che decadono nel tempo, viene mandata alla coppia differenziale

che funzionando da interruttore, da switch, ha leffetto di modularla, infatti il rumore Flicker generato dal transistor di coda,

attraverso lo switch, si ripresenta in uscita, ma poich correlato si presenter concentrato in potenza attorno alla frequenza

delloscillatore locale e alle sue armoniche. Poich , la componente di rumore Flicker sar estremamente bassa

sul segnale a frequenza intermedia, per cui pu essere ritenuta trascurabile: c un ampio intervallo di frequenze in cui ho

solo rumore bianco e dove posso sistemare la .

In definitiva il rumore Flicker generato dal transistor di coda non si ripresenta in uscita sovrapposto al segnale .

Transistor della cella: rumore di switch

Per analizzare il rumore introdotto dalla cella differenziale ci mettiamo nellipotesi in cui le sorgenti di rumore siano

esclusivamente le correnti dei due transistor. Analizziamo il comportamento della cella in due situazioni: quando un

ramo interdetto e quando lavorano entrambi i transistor, ovvero nellintervallo di tempo .

INTERDETTO Quando interdetto, il transistor viene attraversato dalla corrente di polarizzazione . Come sempre supponiamo

che lavori in saturazione . Allora, poich fissata , fissata anche la tensione di overdrive

Dove, poich . Ci significa che se varia con andamento sinusoidale, anche

varier nello stesso modo, ma a distanza dalla tensione applicata sul gate:

Rumore bianco

Mixer Rumori in un Mixer

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quindi, poich la tensione costante, per piccoli segnali, risulter nulla. Se supponiamo che la non intervenga, questa

affermazione comporta un modello per piccoli segnali del circuito:

evidente, allora, come il generatore, essendo appeso, non possa fornire alcuna corrente alla resistenza , e quindi non

contribuisca al rumore introdotto dal mixer. Ragionamento analogo vale per il MOS . Dunque, quando un ramo

interdetto (un transistor non attraversato da corrente e quindi non introduce rumore), laltro ramo non introduce rumore.

E CONTEMPORANEAMENTE ACCESI

Se entrambi i transistor e sono accesi, intorno a , allora vedr sul source leffetto di come una

resistenza di valore , per cui il circuito equivalente per piccoli segnali :

in questo circuito abbiamo utilizzato il modello lineare del transistor . Il nostro interesse , ora, il calcolo della corrente di

rumore che attraversa . Poich nel circuito precedente sono presenti due sorgenti ( e ), in virt del fatto che il

circuito lineare possiamo calcolare il solo contributo di alla corrente di uscita spegnendo il generatore . In questa

ipotesi, e supponendo inoltre che non intervenga si ha:

*

* Poich variabile aleatoria a valor medio nullo, non ci interessa fase quanto il modulo, in quanto

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dunque quando tutti e due i transistor conducono, contribuisce al rumore in uscita con un generatore che eroga una

corrente . Allo stesso modo, il MOS fornisce una corrente sul carico. Dunque la corrente di rumore

sul carico pari a:

In definitiva siamo arrivati a determinare il contributo al rumore fornito dai MOS su tutto il periodo di . In pratica la

corrente di rumore presente solo nellintervallo ed in quellintervallo ha ampiezza

Ci proponiamo ora di ricavare lo spettro di densit di potenza del rumore introdotto dallo switch.

Cominciamo osservando che, nellintervallo , il contributo del rumore consiste in una corrente che conserva le

caratteristiche:

valor medio nullo:

Varianza pari a :

si noti che le espressioni che descrivono le caratteristiche di sono profondamente diverse. Infatti, riferendoci per il

momento al valor medio, la prima espressione indica che per qualunque realizzazione del processo aleatorio il suo

valor medio nullo; dunque questa una considerazione su una realizzazione, ovvero su un segnale deterministico. La

seconda espressione fornisce il valore atteso del processo per ogni istante ; questa invece una considerazione di tipo

probabilistico. Discorso analogo per la varianza. In generale le due espressioni non si equivalgono. Questo succede

esclusivamente per processi aleatori ergodici, ovvero processi aleatori in cui ogni realizzazione contiene le caratteristiche

statistiche del processo. Poich un processo incorrelato ed ergodico, allora detta una particolare realizzazione

del processo, il valor medio di rappresenta il valor atteso di , e la potenza di rappresenta la varianza del

processo aleatorio, ovvero il valore atteso di .

Riguardo al rumore che arriva sul carico dai transistor di switch, si pu anche affermare che membro di un processo

ciclostazionario, ovvero le cui caratteristiche statistiche sono periodiche. In effetti, in descritto da una funzione stocastica:

Mixer Rumori in un Mixer

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dove si fa riferimento ad un andamento di nel tempo del tipo:

ed ora evidente che le caratteristiche statistiche di sono periodiche di periodo . Ci comporta che il calcolo del

valor medio (e della varianza) di pu essere effettuato come un calcolo di media nel solo intervallo di tempo

Detto ci possiamo passare al vero e proprio calcolo dello spettro di densit di potenza di . Grazie al fatto che tale

processo incorrelato, si ricava che il valore atteso del prodotto

nullo , ovvero i valori della corrente di rumore sono incorrelati ovunque. Dunque lautocorrelazione

definita come

nulla ovunque, tranne per . Ci significa che:

Poich non nulla solo per

:

Lo spettro di densit di potenza del rumore sar pari alla trasformata di Fourier della sua autocorrelazione, per cui:

Si noti che la banda in cui viene calcolata la potenza del rumore. Qui, dopo la trasformata di Fourier, lavoriamo per

unit di banda, per cui si divide per . In definitiva, anche se pesata, la distribuzione spettrale del rumore bianca

(costante a tutte le frequenze), a valor medio nullo e con varianza (ovvero potenza):

Mixer Rumori in un Mixer

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Poich

e, come ricavato,

ed ancora

, dove la corrente di polarizzazione dei

transistor e si ha:

utile, a questo punto, fare alcuni importanti commenti su quanto ottenuto:

il parametro non influisce sulla quantit del rumore;

il rumore aumenta allaumentare della corrente di polarizzazione. Tuttavia limitare questultima significa imporre un

vincolo sulla velocit del transistor, in quanto:

e ridurre la velocit del Mixer equivale a ridurre la velocit dellintero sistema.

Si desidera elevato, in modo tale che i passaggi da uno stato allaltro dello switch avvengano il pi velocemente

possibile. Infatti minore , minore il rumore introdotto.

Resistenze di carico

Un ultimo contributo al rumore fornito, nello schema del Single-Balanced Mixer, dalle resistenze di carico . Queste

introducono, come noto, una corrente di rumore che si andr a sommare al segnale utile. Poich il segnale viene

prelevato sottoforma differenziale, e poich i rumori introdotti dalle resistenze sono tra loro incorrelati, in uscita si avr la

somma dei rumori, che presenter dunque una potenza:

Il contributo totale del sistema al rumore sar costituito dalla somma dei contributi calcolati fino ad ora.