3. Διαφορικός λογισμός - Μαθηματικά κατεύθυνσης

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής – τεχνολογικής κατεύθυνσης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. 2Ο

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Θ. Κουτσανδρέας

Μαθηματικά θετικής – τεχνολογικής κατεύθυνσης Πειραματικό Γενικό Λύκειο Γ. Λυκείου Κεφ. 2ο Διαφορικός Λογισμός Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο 0x R∈ Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο Δ και .Δx 0 ∈ Για να εξετάσουμε, αν η f παραγωγίζεται ή όχι στο και στην περίπτωση που παραγωγίζεται να βρούμε την

, κάνουμε τα εξής : 0

x

)x(΄f0

Α ) Αν η f παραγωγίζεται σ’ ένα υποσύνολο του Δ που περιέχει το , τότε

0x

βρίσκουμε την και στη συνέχεια αντικαθιστούμε όπου x το )x(΄f0

x

Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση .xυνσxμηx)x(f += Να βρείτε την .)π(΄f Λύση Για κάθε είναι Rx∈ xυνσxxμηxυνσxxμηx)΄υν(σx)΄μη(xx)΄υνσxμη(x)x(΄f =−+=+=+= Επομένως .π1)(ππυνσπ)(π΄f −=−⋅=⋅= Β ) Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις, όπου η παραγωγισιμότητα της f στο

0x εξετάζεται υποχρεωτικά με τον ορισμό

0

00

0

( ) ( )lim ( )x x

f x f x f xx x→

− ′=−

ή

0 000

limh

( ) ( ) ( )f x h f x f xh

+ − ′=→

Αυτές είναι: 1) Aν το είναι σημείο μηδενισμού απόλυτης τιμής.

0x


2


Παράδειγμα 1ο Δίνεται η συνάρτηση .xx)x(f = Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο

και να βρείτε την 0x0= .)0(΄f

Λύση

Για έχουμε 0x ≠ .R0xlimxxx

lim0x(0)f(x)f

lim0x0x0x

∈===−−

→→→

Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 0=

0x με .)0(΄f 0=

Παράδειγμα 2ο Δίνεται η συνάρτηση .1-xx)x(f = Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο

.1x0=

Λύση

Για έχουμε 1x > .1xlim1x1)x(x

lim1x1xx

lim1x(1)f(x)f

lim1x1x1x1x

==−−

=−

−=

−−

→→→→ +

Για έχουμε 1x < .1x)(lim1x

1)x(xlim1x1xx

lim1x(1)f(x)flim

1x1x1x1x -−=−=

−−−

=−−

=−−

→→→→

Παρατηρούμε ότι

1x(1)f(x)f

lim1x(1)f(x)f

lim-1x1x −

−≠

−−

→→ + , άρα η συνάρτηση f δεν

παραγωγίζεται στο .1=0

x

2) Aν το είναι σημείο μηδενισμού υπόριζης ποσότητας.

0x

Παράδειγμα 1ο Δίνεται η συνάρτηση .xμηx)x(f = Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο

και να βρείτε την 0x0= .)0(΄f


3


Λύση

Για έχουμε 0x > .R010x

xμηxlimx

xμηxlim0x(0)f(x)flim

0x0x0x∈=⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

−−

→→→ +


0x με .)0(΄f 0=

Παράδειγμα 2ο Δίνεται η συνάρτηση .3x)x(f += Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο

.3x0

−=

Λύση

Για έχουμε 3−>x ,3x

1lim3x3x

lim3)(x

3)(f(x)flim

3x3x3x+∞=

+=

+

+=

−−−−

−→−→−→ + αφού

03xlim

3x=+

−→ και 03x >+ για .),3(x ∞+−∈

Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο 3.x0

−= 3) Aν το είναι σημείο αλλαγής του τύπου της συνάρτησης.

0x

Παράδειγμα 1ο

Δίνεται η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται

στο και να βρείτε την ⎪⎩

⎪⎨⎧

<−≥=

1x,23x1x,x)x(f

3

.)1(΄f1x0=

Λύση

Για έχουμε 1x > .31)x(xlim1x

1)x(x1)x(lim

1x1x

lim1x(1)f(x)f

lim 2

1x

2

1x

3

1x1x=++=

−++−

=−−

=−−

→→→→ +


4


Για έχουμε 1x < .31x1)x(3

lim1x

123xlim

1x(1)f(x)f

lim1x1x1x -

=−−

=−−−

=−−

→→→

Παρατηρούμε ότι 3=−−

=−−

→→ + 1x(1)f(x)f

lim1x(1)f(x)f

lim-1x1x

, άρα η συνάρτηση f

παραγωγίζεται στο με 1=0

x .)1(΄f 3= Παράδειγμα 2ο

Δίνεται η συνάρτηση . Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται

στο ⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

0x,x

0x,xμη)x(f

2

.0x0=

Λύση Για έχουμε 0x > .1

xxμηlim

x0xμηlim

0x(0)f(x)flim

0x0x0x==

−=

−−

→→→ +

Για έχουμε 0x < .0xlimxx

lim0x(0)f(x)f

lim0x

2

0x0x -===

−−

→→→

Παρατηρούμε ότι 0x(0)f(x)f

lim0x(0)f(x)f

lim-0x0x −

−≠

−−

→→ + , άρα η συνάρτηση f δεν

παραγωγίζεται στο .0=0

x

4) Aν το δίνεται με ειδική τιμή.

0x


Δίνεται η συνάρτηση ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠=

0x,0

0x,x

xμη)x(f

2

. Να αποδείξετε ότι η f

παραγωγίζεται στο και να βρείτε την 0x0= .)0(΄f

Λύση


5


Για έχουμε 0x ≠ 1x

xμηlimx

0x

xμη

lim0x(0)f(x)flim

2

0x

2

0x0x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

−−

→→→


0x με .)(0΄f 1=


Δίνεται η συνάρτηση ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

0x,0

0x,x

xνυσ)x(f . Να εξετάσετε αν η f

παραγωγίζεται στο .0x0=

Λύση

Για έχουμε 0x ≠ +∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅==

−=

−−

→→→→ 20x20x0x0x x1xνυσlim

xxνυσ

limx

0x

xνυσ

lim0x(0)f(x)f

lim ,

γιατί

.+∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>=

→→ 20x0x x1limκαι01x)νυ(σlim

Άρα η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο .0=0

x Σημείωση : Ένας 2ος τρόπος για να αποδείξουμε ότι η f δεν παραγωγίζεται στο 0=

0x είναι η

ασυνέχεια της f στο . ( Ο οποίος πρέπει και να προηγείται). 0=0

x

5) Αν δε γνωρίζω τον τύπο της f , αλλά γνωρίζω ένα όριο μιας παράστασης της f.

Παράδειγμα

Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο 2x0= με .6

2x6xx(x)f

lim2

2x=

−+−

→ Να

αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 2x0= και να βρείτε την .)2(΄f

Λύση


6


Θέτουμε 2x

6xx(x)f)x(g

2

−+−

= κοντά στο 2x0= , οπότε .6xx)x(g2)(x(x)f 2 −+−=

Είναι , οπότε 6)x(glim

2x=

→( ) .8124606xx)x(g2)(xlim(x)flim 2

2x2x−=−+⋅=−+−=

→→

Επειδή η f είναι συνεχής στο 2x

0= είναι 8(x)flim)2(f

2x−==

→

Για x κοντά στο έχουμε 2x0= =

−−−−+−

=−−

→→ 2x8)(6xx)x(g2)(x

lim2x(2)f(x)f

lim2

2x2x

[ =−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−+

−−

=→→

4x)x(glim2x

86xx2x

)x(g2)(xlim

2x

2

2x] 6 + 2 – 4 = 4.


0x με .)(2΄f 4=

6) Αν δε γνωρίζω τον τύπο της f , αλλά γνωρίζω μια ανισότητα για την f.

Παράδειγμα Έστω συνάρτηση f η οποία για κάθε Rx∈ ικανοποιεί τη σχέση

. Αν 22 xxμηf(x)xxμη2x +≤≤ ,0)0(f = να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και να βρείτε την 0x

0= .)0(΄f

Λύση Για x κοντά στο 0 είναι , οπότε έχουμε : 0x 2 >

⇔+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤≤⇔

+≤≤⇔+≤≤ 1

xxμη

x(x)f

xxμ2η

xxxμη

x(x)fx

xxμη2x

xxμη(x)fxxμη2x2

2

22

2222

1x

xμη0x

(0)f(x)fx

xμη2

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤

−−

≤⋅ , αφού .0)0(f =

Είναι 212 =⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

→ xxμη

2lim0x

και ,2=+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

→111

xxμη

lim 22

0x


7


οπότε από κριτήριο παρεμβολής

έχουμε .2=−−

→ 0x(0)f(x)flim

0x Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 0 με =

0x .)(0΄f 2=

7) Αν δε γνωρίζω τον τύπο της f , αλλά γνωρίζω μια ισότητα για την f.

Παράδειγμα Έστω συνάρτηση f η οποία για κάθε Rx∈ ικανοποιεί τη σχέση

Αν η f παραγωγίζεται στο .xμηx(x)xf(x)f 3323 +=+ ,0x0= να βρείτε την .)0(΄f

Λύση

Η f παραγωγίζεται στο οπότε ,0x0= .

0x(0)f(x)f

lim)0(΄f0x −

−=

→

Για από την αρχική σχέση έχουμε άρα 0x = ,0f(0)0(0)f 3 =⇔=x(x)f

lim)0(΄f0x→

= (1).

Για x κοντά στο είναι , οπότε έχουμε : 0 0x 3 ≠

.323

3

3

3

3

3

2

3

33323

xμxη

1x(x)f

x(x)f

xxμη

xx

x(x)xf

x(x)fxμηx(x)fx(x)f ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇔+=+⇔+=+

Άρα

)1(

00000limlimlimlimlim ⇔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇔

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

→→→→→

323323

xμxη

1x(x)f

x(x)f

xμxη

1x(x)f

x(x)f

xxxxx

[ ] [ ] ( ) [ ] 1)0(΄f02)0(΄f2)0(΄f1)0(΄f02)0(΄f)0(΄f 223 =⇔=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−⇔=−+⇔

8) Αν δε γνωρίζω τον τύπο της f , αλλά γνωρίζω μια συναρτησιακή σχέση για την f.

Παράδειγμα Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 1)0(΄f = και )x(fyνυσ)y(fxνυσ)yx(f ⋅+⋅=+ για κάθε να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και να βρείτε την

,Ry,x ∈

( ).π

πx0=

΄f


8


Λύση Για από την αρχική σχέση έχουμε : 0yx == .0=⇔+=⇔⋅+⋅=+ )0(f)0(f)0(f)0(f)0(f0νυσ)0(f0νυσ)00(f

Η f παραγωγίζεται στο οπότε ,0 .1h(h)f

lim0h(0)f(h)f

lim)0(΄f0x0h

=⇔−−

=→→

Για θα βρούμε το όριο πx ≠πx

)(πf(x)flimπx −

−→

. Θέτουμε hπx += , όταν το

και έχουμε

πx →

0h → =

−⋅+⋅=

−+−+

=−−

→→→ h)(πf)(πfhσυν(h)fπσυνlim

πhπ)(πfh)(πflim

πx)(πf(x)flim

0h0hπx

.10)(πf11)(h

1hσυνlim)(πfh(h)flim1)(

h1hσυν)(πf

h(h)fπσυνlim

0h0h0h−=⋅+⋅−=

−⋅+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

⋅+⋅=→→→

Άρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο πx0= με .)(π΄f 1−=

Παρατήρηση: Στο προηγούμενο παράδειγμα μπορούμε να δουλέψουμε κατευθείαν με τον τύπο

0 0( ) (lim

0f )x h f x

h h+ −

→=

( ) (lim

0f h f

h h)π π+ −

→=…

ΣΧΟΛΙΟ: Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζονται οι συναρτήσεις ( ) logf x x= , 0x > (εφαρμόζουμε τον τύπο αλλαγής βάσης) , (και όλες οι τριγωνομετρικές ( )g q hmq=συναρτήσεις) , όταν το q εκφράζει το μέτρο της γωνίας σε μοίρες.

Ισχύει: α) ( ) ln 1( ) logln10 ln10

xf x xx

Άζ φΆ χηΆ = = =χη χηθ ψ

β) Είναι γνωστή η σχέση που συνδέει τα ακτίνια με τις μοίρες.

180 180x xq ppζ q φχη = Ϋ = χη χηθ ψ

.

Άρα: . 180 180

dg dg dx xd dx d

op ps un s unqq q

= = = (επειδή αν θ το μέτρο σε μοίρες και

x το μέτρο σε ακτίνια της ίδιας γωνίας ισχύει x os un s unq= ).Δηλαδή ισχύει

( )180

g πθ συνθ=′


9


Ασκήσεις για λύση 1) Α. Να βρεθούν τα α , β RΞ ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι παραγωγίσιμες στα αντίστοιχα 0x .

i) 3 , 2

( ) , 2

x xf x

x xa b

μο <ο= νο + ³οξ , (απ. α = 12 , β= -16 ) 0 2x =

ii) (απ. α = - 3 , β = 0 ) ( ) 0

2

, 1 , 1

1, 1

ax xf x x

x x x

bμο + < -οοο= =νοοο - + ³ -οξ

-

iii) ( )

2

0

1 , 1 , 1

, 1

ax xf x x

x xb

μο - £οοο= νοοο + >ο

=

ξ

(απ. α = 1/4 , β = -7/4 )

iv) 2

2

, 2( )

5 , 2

x ax xf x

x x

bμο + + £οο= νο + >οοξ , (απ. α= -10/3 , β=17/3 ) 0 2x =

Β. Δίνεται η συνάρτηση:

( )3 β 5 , 1

17 , 1

ax x xf x xx

μο + -ο Ήοο= ν -οο =οοξ

i) Να βρεθούν οι α , β RΞ ώστε η f να είναι συνεχής στο 0x = 1. ii) Να βρεθεί η ( )f xΆ , για κάθε x RΞ . (απ. α = 1 , β = 4 ).


10


2) α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x = 3 και 3

( )lim 53x

f xx®

= --

,

αποδείξτε ότι . (3)f Ά = - 5

β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x = 2 και 2

( )lim 122x

f xx®

=-

, αποδείξτε

ότι . (2) 12f Ά =

γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R , 1

( ) 2lim 121x

f xx®

- =-

και

, αποδείξτε ότι . 4 2( ) ( 2 5)g x x x f= + + (1) (1) 16gΆ = 3) α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x = 5 και ( ) ( ) ( )2 7 10g x x x f x= - + Χ

δείξτε ότι: ( ) ( )55 3g fΆ = Χ . β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x = 1 και για κάθε x RΞ ισχύει

2( ) ( 3 2) ( )g x x x f x= - + αποδείξτε ότι . (1) (1)g fΆ = - γ) Δίνονται οι συναρτήσεις , f g τέτοιες ώστε ( ) ( ) ( )3 5 2f x x x g= - + x για

κάθε x RΞ . Αν ( )0g = 2 και ( )0Ά = 3g . Δείξτε ότι ( )0 4f Ά = - . 4) α) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 23 ( ) 2 xx x f x x xe- £ £ + για κάθε x RΞ , να αποδείξετε ότι ( )0 3f Ά = . β) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 2( )f x xhm- £ x για κάθε x RΞ , να αποδείξετε ότι ( )0 1f Ά = . γ) Δίνονται οι συναρτήσεις , f g τέτοιες ώστε για κάθε x RΞ να ισχύει:

Αν η είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( ) ( ) ( 2g x f x g x x£ £ + - )2 . g 0x = 2 με ( )2 7gΆ = δείξτε ότι ( )2 7f Ά = . 5) α) Έστω η συνάρτηση :f R ® R με: ( ) ( ) ( ).f x y f x f y+ = , για κάθε

,x y RΞ , με (0) 0f Ή . Δείξτε ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 , τότε είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0x RΞ και ισχύει 0 0( ) ( ). (0)f x f x fΆ Ά= β) Έστω η συνάρτηση :f R ® R με: ( ) ( ) ( )f x y f x y f y xs un s un+ = Χ + Χ , για κάθε ,x y RΞ . Δείξτε ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 , τότε είναι παραγωγίσιμη στο R με ( ) ( )0f x f xs unΧΆ Ά= .


11


6) Έστω η συνεχής συνάρτηση f . Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) ( )0g x x x f x= - είναι παραγωγίσιμη στο 0x αν και μόνο αν ( )0 0.f x = 7) Έστω συνάρτηση :f R ® R παραγωγίσιμη στο R με: ( ) ( ) ( )f a f a fb b+ £ Χ για κάθε , Ra b Ξ . Αν ( )0f Ά = 1 και ( )0f = 1, δείξτε ότι: ( ) ( ),f x f xΆ = για κάθε x RΞ . 8) Έστω συνάρτηση :f R ® R τέτοια ώστε ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = Χ για κάθε

,x y RΞ . Έστω επίσης συνάρτηση , τέτοια ώστε :g R R® ( ) 0

limx

g x®

1= και

( ) ( )1f x x g= + Χ x για κάθε x RΞ . Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R με ( ) ( )f x f x=Ά , για κάθε x RΞ .

9) Να αποδείξετε τις παρακάτω αντιστοιχίσεις: Στήλη Α (συνάρτηση) Στήλη Β (πρώτη παράγωγος)

i) 1( ) lnf x x xs un= 3

2 ( ) ( )f x x x hm= - x 3( )f x xs un= 3( ) ( 1)g x xhm= - 3( ) xh x ehm=

21( ) xx e xf hm+=

11 ( ) lnf x x xx

xs un hmΆ = -

2 32 ( ) (3 1) ( )f x x x x xhm s unΆ = - + - x

3( ) 3 3f x xhm hmΆ = - x 2 3( ) 3 ( 1)g x x xs unΆ = - 3( ) 3 3xh x e xhm s unΆ =

21( ) (2 )xx e x x xf hm s un+Ά = +

ii) 3( ) ln , 0f x x x= >

2

( )lnxh x

x= , 0 , 1x x> Ή

23ln( ) , 0xf x x

xΆ = >

2

2 ln( )(ln )x x xh x

x-Ά = , 0 , 1x x> Ή


12


( ) ln(ln ) , 1g x x x= >

2

2

ln( ) , 01

x xx xx

f = >+

1( ) , 1ln

g x xx x

Ά = >

3

2 2

2 ln( ) , 0( 1)

x x x xx xx

+ +Ά = >+

f

iii) 3( ) ln , 0f x x x= >

2( ) ln( 3)xg x e= +

2 1( ) xh x e +=

3( ) , 0f x xx

Ά = >

22

2( )3

x

xg xe

Ά =+

e

2 1

2( )

1x xh x e +Ά =

+x

iv) ( ) , 0x xf x x= ³1 x+

2( ) xg x e x= + 1

( )( )2

3 1 , 0

x x xx

x

+ -= ³( )

2 1f xΆ

+

2

( ) ( )1

xe xg x g xx

Ά = ++

v) ( )ln( ) ln , 1xf x x x= > 0xhm( ) , g x x x= > Σημειώνουμε ότι:

( ) ( ) ( )ln( ( ))( ) , ( ) 0g x g x f xf x e f x= >

( )ln 1 ln(ln )( ) ln x xf x xx

+Ά = , x 1>

1 xx

( ) lnxg x x x xhm s un hmζ φχχχηΆ = +ηηθ ψ

, x 0>

vi) 2 0

0 , 0

x x

x

pμο , ( )f x x

s unο Ήο= νοο =οξ

2 , ( )

0

0 , 0

x xf x x x

x

p ps un phmμοο + ΉοΆ = νοο =ο

ξ


13


2 1 , 0

( )0 , 0

x xg x x

x

hmμοο Ήο= νοο =οξ

1 12 , 0

( )0 , 0

x xg x x x

x

hm s unμοο - ΉοΆ = νοο =οξ

vii) 23( ) 1g x x= +

3 , 0 1( )

, 1

x xf x

x

μο £ <οοο=³

2 56

xν +οοοοξ

2 23

2( )3 ( 1)

xg xx

Ά =+

23

1 , 0 13( )

, 13

xxf x

μοο < <οοοΆ = νx x

οο ³οοοξ

viii) 2( ) 2f x x x x= - -

2( ) 4 , 2g x x x= - Ή±

( ) , ,h x x xhm k p= Ή k ΞZ

Σημειώνουμε ότι: 1) Πρέπει πρώτα να βγάλουμε το απόλυτο. 2) Μπορούμε να δουλέψουμε χρησιμοποιώντας

και την ισότητα 2x x= .

2 3 , 0 , ( )

2 1 , 0x x

f xx x

μ- + <οοΆ = νο - <ο

22x >

<ξ

2

2

2 ( 4)( ) , 2x xg x x-Ά = Ή±4x -

( ) , x xh x xhm s un k pΆ = Ήxhm

ix) ( )45( ) 1 1 , 1f x x x= + + ³ -

( )23( ) 1g x x= -

5

4( ) , 15 1

f x xx

Ά = > -+

3

2 , 13 1

xx

3

( )2 , 1

3 1

g xx

x

οΆ = νοο <οο- -ο

μοο >οο -

ξ


14


43( ) ( 1)h x x= -

3

3

4 1 , 13( )4 1 , 13

x xh x

x x

μοο - ³οοοΆ = νοο- - <οοοξ

Παρατήρηση: Αποδεικνύουμε με τον ορισμό ότι οι συναρτήσεις f και g δεν είναι παραγωγίσιμες στο –1 και 1 αντιστοίχως.

x) ( )( )

2

2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

g x f x

h x f x

f x

hm

hm

xf s un

=

=

=

Παρατήρηση: Θεωρούμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R.

(( ) 2 ( ) ( ) (

( ) 2 ( ) (

h x f x f x f )2

( ) ( )

)

)

g x f x x

x

f x f

s un

x x

hm s un

f c s un

Ά Ά=Ά Ά= - s un hm

Ά Ά=

10) i) Αν ( ) 2 3f x x hm= - + x s un+ 0=x ( ) ( )f x f x xΆΆ + + , αποδείξτε ότι .

21( ) ln ln 1 , 2

f x x x x= + + 1

( ) 1

0> 2( ) ( )xf x x f xΆ ΆΆ+ = ii) Αν , αποδείξτε ότι .

iii) Αν f x xs un= - , αποδείξτε ότι 1( ) ( )

xf x f xhm Άζ φχ = -χχχθ ψ

ηηηη .

( )( ) ln , 0f x x xhm= > 2 ( ) ( ) ( ) 0x f x xf x f xΆΆ Ά+ + = , αποδείξτε ότι . iv) Αν

v) Αν ( ) ( )( )( ) ln ln , 0f x x x xhm s un= - >x ( ) 1f xΆ £ . , αποδείξτε ότι 2

vi) Αν 2( ) ln , 2( 2)

f x xx

= > -+

1 0e- + =

2( ) ( ) ,

, αποδείξτε ότι . ( )xf xΆ ( )f x

vii) Αν f x ax x Rhm= Ξ a

2= , να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού ,

ώστε να ισχύει για κάθε 2( ) 4 ( )f x a f xΆΆ + x RΞ . ( απ. ) 1a = ±


15


11) α) Η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο ( )0,+ ¥ και για κάθε

( )0,xΞ + ¥ είναι ,x x nxζ φχ= Χχχθ ψ

leηηη δείξτε ότι ( ) 1

πnlπf e nΆΆ =l . f

β) Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R* , για την οποία ισχύει

(ln ) lnxf x e= - x για κάθε 0x > . Αποδείξτε ότι . ( )( ) 1ef e ep p pp +ΆΆ = +

12) Δίνεται η άρτια και παραγωγίσιμη συνάρτηση :f R ® R . Έστω η συνάρτηση

( ) ( )2

1 , 2xg x f x x x Rζ φχη= + + Ξχη χη χηθ ψ

. Να βρεθεί η τιμή του ( )0gΆ .

( απ. ( )0gΆ = 1)

13) Δίνονται οι συναρτήσεις f , παραγωγίσιμες στο g 0x με (g 0x ) ≠ 0 και

g ΄( 0x ) ≠ 0. Ορίζουμε ( ) ( )( )

,f x

F xg x

= με ( )0 0.F xΆ = Δείξτε ότι ( ) ( )( )

00

0

f xF x

g xΆ

=Ά

.

(ΘΕΜΑ) 14) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει

( 2( ) 1 ( ))f x fΆ = + x , για κάθε x RΞ και (0) 0f = . Αποδείξτε ότι:

i) ( ) 2 ( )( )

f x f xf xΆΆ

=Ά

, για κάθε x RΞ .

ii) . (0) 0f ΆΆ =

iii) 0

( )lim 1x

f xx®

= .

15) Έστω f περιττή συνάρτηση , δυο φορές παραγωγίσιμη στο R , και η συνάρτηση ( ) ( ) ( )φ x f x Χf xΆ= . Δείξτε ότι :

i) Η f Ά είναι άρτια και η f ΆΆ περιττή ii) ( ) ( )0 0f f ΆΆ= = 0


16


iii) ( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )φ

, 0φ

x f x f xf x f x

x f x f xΆ Ά ΆΆ

Ά= + Χ ΉΆ

.

16) Αν ρ1 , ρ2 , ρ3 πραγματικές και άνισες ρίζες της συνάρτησης

, να αποδειχθεί ότι: ( ) 3 2 , ( , , , , 0)f x ax x x a R ab g d b g d= + + + Ξ Ή

i)( )( ) 1 2 3

1 2 3

1 1 1 , , ,

f xx

f x x x xr r r

r r rΆ

= + + Ή- - -

ii) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2 3

0f f f

r r rr r r

+ +Ά Ά Ά

=

17) Αν η συνάρτηση :f R ® R είναι συνεχής στο 3 και ( )

1

5 2lim 4

1x

f xx®

-= -

-.

i) Αποδείξτε ότι: ( )3 0f = ii) Αποδείξτε ότι: ( )3 2f Ά =

18) Έστω ότι για κάθε x RΞ ισχύει: ( ) ( )2 1f x g x- £ - . Αν ( )1g = 1 και ( )1 0gΆ = . i) Να βρείτε τη τιμή του ( )1f ii) Να υπολογίσετε το ( )1f Ά . (απ. ()1f Ά = 0 )

19) Αποδείξτε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x τότε:

i) ( ) ( ) ( )0 0

00

2 lim 2

h

f x h f xf x

h®

+ - Ά=


17


ii) ( ) ( ) ( )0 000

3 lim 4

h

f x h f x hf x

h®

- - + Ά= -

iii) ( ) ( ) ( ) ( )

2 20 0

0 00 lim 2

h

f x h f xf x f x

h®

- - Ά= - Χ

20) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x = 0, να υπολογίσετε τα όρια:

i) ( ) ( ) 2

0

2 0 4 lim

x

f x f xx®

- Χ + ii) ( ) ( )

( ) ( ) 20

0 lim

2 0x 4

f x f x

f x f x

s un®

- Χ

- Χ +

( απ. ( ) 1) 2 0 , )

2i f iiΆ )

21) i) Αν αποδείξτε ότι: ( ) , 0xf x a a= > ( )( ) ( ) *, νxf x a na Nnn = Ξl . ii) Αν *( ) , axf x e a R= Ξ αποδείξτε ότι ( ) ( ) axf x a en n= .

iii) Αν ( ) ln , 0f x x x= > αποδείξτε ότι: ( ) 1 ( 1)!( ) ( 1) , 0f x xx

n nn

n- -= - > .

21) Έστω πολυωνυμική συνάρτηση f βαθμού ν ≥ 2. Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) 0f x =

έχει διπλή ρίζα τον αριθμό ρ RΞ αν και μόνο αν ( ) ( ) 0f fr rΆ= = .


18


Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά θετικής – τεχνολογικής κατεύθυνσης


ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ


19


ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και .Δx 0 ∈

Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο

,x 0

fC ( ))x(f,xΑ 00 την ευθεία ( ε ) που διέρχεται από το Α και έχει κλίση ( συντελεστή διεύθυνσης ) την , δηλαδή την ευθεία με εξίσωση )x(΄f 0

( ε ) : )xx)x(΄f)x(fy 000 −=− (

Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη ( ε ) με τον άξονα x ΄x, τότε ισχύει :

f ωφελ)x(΄ ε0 ==

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α΄ ΟΜΑΔΑ : Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης και γνωρίζουμε το σημείο επαφής. Άσκηση : Δίνεται η συνάρτηση ( ).3xx)x(f −= Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο α) και β)

fC ( )0(f,0Α )

)( .)4(f,4Β


20


Λύση

α) Για έχουμε 0x >( ) ( ) .33xlim

x3xxlim

0x)0(f)x(f

lim0x0x0x

−=−=−

=−−

→→→

Άρα η f παραγωγίζεται στο 0x 0 = με 3)0(΄f −= , οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο fC ( ))0(f,0Α είναι ( ε1 ) : .3xy0)(x30y)0x()0(΄f)0(fy −=⇔−⋅−=−⇔−⋅=− β) Για έχουμε 0x > ( )[ ]΄3xx)x(΄f −= ( ) ( ) =−+−= ΄3xx3x΄x

x21x3x ⋅+−= .3x

23x

213x −=+−=

Η f παραγωγίζεται στο 4x 0 = με ,03423)4(΄f =−= επίσης είναι

( ) .4344)4(f −=−⋅= Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο fC ( ))4(f,4Β είναι ( ε2 ) : .4y4)(x04)(y)4x()4(΄f)(4fy −=⇔−⋅=−−⇔−⋅=−

Β΄ ΟΜΑΔΑ : Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f και δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής. Στη περίπτωση αυτή θεωρούμε σημείο επαφής ( ))x(f,xΜ 00 και προσδιορίζουμε τον συντελεστή διεύθυνσης, αν πρόκειται για μη κατακόρυφη εφαπτομένη , ή βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης, αν αυτό είναι απαραίτητο. Στη συνέχεια με κάποια συνθήκη που θα δίνεται στην άσκηση προσδιορίζουμε την τετμημένη του σημείου επαφής και ότι άλλο απαιτείται. 0x Άσκηση 1 : ( Δίνεται έμμεσα ο συντελεστής διεύθυνσης ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης οι οποίες

fC84x3xx)x(f 23 ++−=


21


α) είναι παράλληλες προς την ευθεία ζ : y = 13x – 7. β) είναι κάθετες στην ευθεία η : .3x

41y +−=

γ) σχηματίζουν με τον άξονα x΄x γωνία .45ω 0=∧

Λύση Για κάθε Rx∈

λ) ε⇔

έχουμε Επομένως ορίζεται εφαπτομένη της σε κάθε σημείο της. Αν το σημείο επαφής και ( ε ) η εφαπτομένη της στο Μ , τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι

.

.46x3x)x(΄f 2 +−=( ))x(f,xΜ 00

46x0 +

fCCf

ελ3xx(΄fλ 2

00ε == −

α) Είναι ( ) ⇔=−−⇔=−−⇔=+−⇔=⇔ 032xx3096x3x1346x3xλλζ//ε 0

200

200

20ζε

1.xή3x032xx 00020 −==⇔=−−⇔

Αν τότε η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της στο σημείο • 3x0 = fC ( ))3(f,3Μ είναι ( ε ) : .1913xy3)(x1320y)3x()3(΄f)(3fy −=⇔−⋅=−⇔−⋅=− Αν τότε η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της στο σημείο

είναι •

−

1−=0x( ))1−

fC(f,Μ 1

( ε ) : .1313xy1)(x130y)1x()1(΄f)1(fy +=⇔+⋅=−⇔+⋅−=−−

β) Είναι ( ) ⇔=+−⇔−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+−⇔−=⋅⇔⊥ 446x3x1

4146x3x1λληε 0

200

20ηε

( ) .2xή0x02xx306x3x 00000

20 ==⇔=−⇔=−⇔

• Αν τότε η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της στο σημείο 0x0 = fC ( ))0(f,0Μ είναι ( ε ) : .84xy0)(x48y)0x()0(΄f)(0fy +=⇔−⋅=−⇔−⋅=− Αν τότε η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της στο σημείο • 2x0 = fC ( ))2(f,2Μ είναι ( ε ) : .44xy2)(x412y)2x()2(΄f)(2fy +=⇔−⋅=−⇔−⋅=− γ) Είναι ( ) ⇔=+−⇔=+−⇔=+−⇔= 012xx3036xx3146xx345φελ 0

200

200

20

0ε


22


( ) 1.x01x01x3 002

0 =⇔=−⇔=−⇔ Για η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της στο σημείο • 1x0 = fC ( ))1(f,1Μ είναι ( ε ) : .9xy1)(x11y)1x()1(΄f)(1fy +=⇔−⋅=−⇔−⋅=− 0 Άσκηση 2 : ( Δίνεται σημείο εκτός της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης από το οποίο διέρχεται η εφαπτομένη ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης η οποία διέρχεται από το σημείο

fC( ).xxx)x(f 23 ++= 1,0Α

Λύση Για κάθε Rx∈ έχουμε Επομένως ορίζεται εφαπτομένη της σε κάθε σημείο της. Αν το σημείο επαφής και ( ε ) η εφαπτομένη της στο Μ, τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι

.12x3x)x(΄f 2 ++=( ))x(f,xΜ 00

fC

fC

( ε ) : ( ) ( ) ( 00

200

20

30000 xx12x3xxxxy)x(x)x(f)x(fy −⋅++=++−⇔−⋅=− ) (1).

Επειδή η εξίσωση (1) επαληθεύεται για x = 0 και y = 1, οπότε έχουμε ( ) )ε(1,0Α ∈ ( ) ( ) ( ) ⇔−−−=−−−⇔−⋅++=++− 0

20

300

20

3000

200

20

30 x2x3xxxx1x012x3xxxx1

( ) ( ) 1x01x01x2x1x01x2x 000

200

20

30 −=⇔=+⇔=+−⋅+⇔=++⇔

• Για η εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) της στο σημείο 1x0 −= fC ( ))1(f,1Μ −− είναι ( ε ) : .12xy1)(x21y)1x()1(΄f)1(fy +=⇔+⋅=+⇔+⋅−=−−


23


Γ΄ ΟΜΑΔΑ: Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια ευθεία εφάπτεται στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.

Μια ευθεία ( ε ) με εξίσωση της μορφής y = α x + β εφάπτεται στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f , αν και μόνο αν, υπάρχει σημείο

fC

( ))x(f,xΜ 00 , τέτοιο ώστε : • η ευθεία ( ε ) να διέρχεται από το σημείο Μ και • η κλίση της ευθείας ( ε ) στο Μ να ισούται με την

.)x( 0΄f

Δηλαδή πρέπει το σύστημα να έχει μια τουλάχιστον λύση ως

προς ⎩⎨⎧

==

+=

αλ)x(΄fβxα)x(f

ε0

00

.x0

Άσκηση 1 : Να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ε ) : y = x + 2 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης .42xx)x(f 3 +−= Λύση Για κάθε Rx∈ έχουμε οπότε ορίζεται εφαπτομένη της σε κάθε σημείο της.

,23x)x(΄f 2 −= fC

Η ευθεία (ε) : y = x + 2 εφάπτεται της στο σημείο fC ( ))x(f,xΜ 00 , αν και μόνο αν

⇔⎩⎨⎧

=∈

ε0 λx(΄f)ε(Μ

)

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

+=+−⇔

⎩⎨⎧

=+=

⇔1x

02x3x

3x3

02x3x

12x3

2x4x2x1)x(΄f

2x)x(f20

030

20

030

20

0030

0

00

.1x1x

02x3x0

0

030 =⇔

⎩⎨⎧

±==+−

⇔

Άρα η ευθεία ( ε ) : y = x +2 εφάπτεται της στο σημείο fC ( ).3,1Μ


24


Άσκηση 2 : Να προσδιορίσετε την τιμή του Rλ∈ για την οποία η ευθεία ( ε ) : y = x + λ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης .e)x(f x= Λύση Για κάθε Rx∈ έχουμε οπότε ορίζεται εφαπτομένη της σε κάθε σημείο της.

,e)x(΄f x= fC

Η ευθεία (ε) : y = x + λ εφάπτεται της στο σημείο fC ( ))x(f,xΜ 00 , αν και μόνο αν

⇔⎩⎨⎧

=∈

ε0 λx(΄f)ε(Μ

)

⎩⎨⎧

==

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=⇔

⎩⎨⎧

=+=

⇔.0x

1λ

ee

λxe

1e

λxe1)x(΄f

λx)x(f

00x0

x

x0

x

0

00

0

0

0

0

Άρα για λ = 1 η ευθεία ( ε ) : y = x + 1 εφάπτεται της στο σημείο fC ( ).1,0Μ Άσκηση 3 : Δίνεται η συνάρτηση Να προσδιορίσετε την τιμή του α για την οποία η ευθεία ( ε ) με εξίσωση : y = x εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης .

.1α0,α)x(f x ≠<=

Λύση Για κάθε Rx∈ έχουμε οπότε ορίζεται εφαπτομένη της σε κάθε σημείο της .

,αnlα)x(΄f x= fC

Η ευθεία (ε) : y = x εφάπτεται της στο σημείο fC ( ))x(f,xΜ 00 , αν και μόνο αν

⇔⎩⎨⎧

=∈

ε0 λx(΄f)ε(Μ

)

⇔⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

==

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

==

⇔enlxln

xα1xln

xα1αln

xα1lnαx

xα1lnαα

xα1)x(΄fx)x(f

0

0x

0

0x

x0

x

0

0x

x0

x

0

0000

0

00

0

0

⎪⎩

⎪⎨⎧

==⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

⇔.ex

eα

exe1lnα

ex1lnαe

exeα

0

e1

000

e


25


Άρα για e1

eα = η ευθεία ( ε ) : y = x εφάπτεται της στο σημείο fC ( ).e,eΜ Δ΄ ΟΜΑΔΑ: Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο γραφικές παραστάσεις δέχονται κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο.

Οι γραφικές παραστάσεις και δύο συναρτήσεων f και g αντίστοιχα , δέχονται κοινή μη κατακόρυφη εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο με τετμημένη , αν και μόνο αν

fC

0

gC

x )x(g)x(f 00 = και )x(΄g)x(΄f 00 =

Άσκηση 1 : Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και

δέχονται κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο.

xe)x(f =x4e4)x(g −−=

Λύση Για κάθε Rx∈ έχουμε και Οι γραφικές παραστάσεις και

των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα , δέχονται κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο με τετμημένη

xe)x(΄f = .xe4)x(΄g −= fC

gC

0x

0x

, αν και μόνο αν, το σύστημα έχει μια τουλάχιστον λύση ως προς

. ⎩⎨⎧

=

=

)x(΄g)x(΄f)x(g)x(f

00

00

Είναι .ln2x2e4e42e

e4ee4e

e4e4e4e

)x(΄g)x(΄f)x(g)x(f

0x

2x

x

xx

xx

xx

xx

00

00 0

0

0

00

00

00

00

=⇔=⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=⇔

⎩⎨⎧

==

−−

−

Είναι . Άρα οι και δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο

2e)2nl(f)x(f ln20 ===

( )2,ln2ΜfC gC

.


26


Άσκηση 2 : Να βρείτε τους ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

και να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη

Rβ,α ∈x(g

x0

αx)(πνυσ)xf( −= 1βxx) 2 ++= 3.1=

Λύση Για κάθε Rx∈ έχουμε )x(πημπ)x(΄f −= και .3β2x)x(΄g += Οι γραφικές παραστάσεις

και των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα , δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη

fC gC

,1x0 = αν και μόνο αν,

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=⇔

⎩⎨⎧

+=+=−−

⇔⎩⎨⎧

==

32β

1α

3β203β2α1

)1(΄g)1(΄f)1(g)1(f

Ε΄ ΟΜΑΔΑ: Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο γραφικές παραστάσεις δέχονται κοινή εφαπτομένη όχι όμως σε κοινό τους σημείο. Έστω ευθεία ( ε ) η οποία εφάπτεται στις γραφικές παραστάσεις και δύο συναρτήσεων f και g στα σημεία

fC gC

( )α)(f,αΑ και ( )β)(g,βΒ με αντίστοιχα . βα ≠

Είναι : • ( ε ) : ⇔−⋅=− )α(x)α(΄f)α(fy )α(΄fα)α(fx)α(΄fy ⋅−+⋅= • ( ε ) : ⇔−⋅=− )β(x)β(΄g)β(gy )β(΄gβ)β(gx)β(΄gy ⋅−+⋅= Η ευθεία ( ε ) είναι κοινή εφαπτομένη των και , fC gC

αν και μόνο αν, ισχύουν ⎩⎨⎧

⋅−=⋅−=

)β(΄gβ)β(g)α(΄fα)α(f)(β΄g)α(΄f

Άσκηση : Να βρείτε την κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

x1)xf( = και .x)x(g 2−=


27


Λύση Για κάθε ∗∈Rx έχουμε 2x

1)x(΄f −= , οπότε ορίζεται εφαπτομένη σε κάθε σημείο της

. Για κάθε fC Rx∈ έχουμε x2)x(΄g −= , οπότε ορίζεται εφαπτομένη σε κάθε σημείο της . gC

Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο fC ( )α)(f,αΑ , είναι 0α ≠ ( ε ) : ( )

α2x

α1yαx

α1

α1y)α(x)α(΄f)α(fy 22 +−=⇔−−=−⇔−⋅=−

Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο gC ( )β)(g,βΒ είναι ( ε ) : ( ) ( ) 22 βxβ2yβxβ2βy)β(x)β(΄g)β(gy +−=⇔−−=−−⇔−⋅=− Η ευθεία ( ε ) είναι κοινή εφαπτομένη των και , αν και μόνο αν, ισχύουν fC gC

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−

21α

2β

81α

2α1β

81α

2α1β

4α

1α2

2α1β

βα2

β2α1

3

2

3

2

4

2

2

2

Επομένως ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2,

21Α και ( 4,2Β )− είναι τα σημεία επαφής της κοινής εφαπτομένης

( ε ) με τις και αντίστοιχα . Η κοινή εφαπτομένη έχει εξίσωση fC gC

( ε ) : .44xy2)(x44)(y)2x()2(΄g)(2gy +−=⇔−⋅−=−−⇔−⋅=−


28


Ασκήσεις για λύση 23) α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο αντίστοιχο σημείο της

0 0( , ( ))x f xM , όταν i) ( )f x x= x , 0x =4

ii) ( ) lnf x x= x , 0x =1 απ. ) 3 4

) 1

) 2

i y x

ii y x

iii y x

= -

= -

= - +

ζ

7

φχη χη χη χη χη χχηηθ ψ

iii) 1( )1

xf xx

+=-

, 0x =2

β) Αποδείξτε ότι ο άξονας 'x x είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 53( )f x = x , στο σημείο της (0, (0))fM . γ) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της στα οποία η εφαπτομένη είναι: i) παράλληλη προς την ευθεία

2( ) 6 2f x x x= - +6 5y x= +

ii) κάθετη προς την ευθεία 1 43

y x= - + .

(απ. i) A(6,2) , ii) B(9/2 , -19/4)) δ) Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της ( ) 1 2f x = + x η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα 'x x γωνία 45ο ; (απ. Α(1, 3) ) ε) Δίνεται η συνάρτηση , να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β ώστε η ευθεία να είναι εφαπτομένη της

2( )f x x xa= + +3 2y x= +

bfC στο σημείο της

Μ(1,5). (απ. α=1 , β=3) στ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων με τύπους

( ) 1f x x= - και 2 4( )8

xg x += έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με

τετμημένη . 0 2x =


29


ζ) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς , Ra b Ξ

b

ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α(3,-4) να εφάπτεται της γραφικής παράστασης της στο σημείο Β(1,2).

2( ) 3 4g x x x= - + -2( )f x x xa= + +

(απ. α= -5 , β=6) η) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

( )f x x= + x που διέρχεται από το σημείο Μ(0,1/2).

(απ. 3 1

2 2y x= + )

θ) Δίνεται η συνάρτηση . Έστω Α , Β τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων της

2( ) 2f x x x= - -fC που διέρχονται από το σημείο Μ(1,-3) . Αποδείξτε ότι η

ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση . 2y x= - ι) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )f x hm= x και τα σημεία της γραφικής της παράστασης Ο (0 , 0) και Μ ( π , 0 ). Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τη χορδή ΟΜ και τις εφαπτόμενες της fC στα σημεία Ο και Μ. ( απ. Ε = π2/4) 24) α) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f και έστω η εξίσωση της εφαπτομένης της

2y x= + 3fC στο σημείο της Α(3, f (3)). Να βρεθεί η εξίσωση της

εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της Β(1, ).

2( 1)f x x= + +( )g x(1)g

(απ. ) 6 3y x= + β) Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 3 2f x x x= - + . Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της 0 1x = fC στο σημείο της Μ(-1,6). (απ. ) 5 1y x= - + γ) Δίνεται η συνάρτηση f , για την οποία ισχύει ( 2( ) ln 1f x x x- £ - ) , για κάθε

0x > . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο της Α(1, f (1)). (απ. ) 1y x= -


30


δ) Δίνεται η συνάρτηση 2

2

3 2 , 1( )

, 1x x

f xax x xb g

μο + <ο= νο + + ³οξ , της οποίας η γραφική

παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(2,3). Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς , αν γνωρίζουμε ότι η , ,a b g f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της

0 1x =fC στο σημείο με τετμημένη 0x 1= .

απ. ( ) 8, 22, 9 , 6 1y xa b g= - = = - = -

ε) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει

2 202 ( ) ( 1) 2 0 , f x xf x x x+ - + + = Ξ1( ) ( ) , xg x f x e x R-= + Ξ

R . Υποθέτουμε ότι η γραφική παράσταση της , έχει στο σημείο Α(1, ) εφαπτομένη παράλληλη (1)g

στον άξονα 'x x . Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός l ώστε η εφαπτομένη της fC στο σημείο Μ(0, f (0)) να είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση ( 20) 32 0x yl + + =- . (απ. l =10 ) στ) Δίνεται συνάρτηση f , δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με ( ) 0f xΆ Ή , για κάθε x RΞ . Δείξτε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

( ) ( )( )

f xg x

f x=

Ά στο σημείο που η gC τέμνει τον άξονα x΄x , είναι παράλληλη στη

διχοτόμο της γωνίας ˆxoy . ζ) Έστω η συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με ( ) 0f xΆ Ή , για κάθε

x RΞ . Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( )( )

, f x

g x x Rf x

= ΞΆ

. Αν η gC τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο Α , αποδείξτε ότι η εφαπτόμενη της gC στο Α είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση 10 0x y+ + = .

( ΘΕΜΑ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Να λυθούν τα ερωτήματα (στ) και (ζ) , αν η f είναι απλώς παραγωγίσιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο.


31


25) Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ,f g με πεδίο ορισμού το R , για τις οποίες ισχύει ( ) ( )2 2xf x g x= + . Αν η ευθεία 1 0x y- - = εφάπτεται της gC στο σημείο

Α( ( )33, g ), να βρείτε την εφαπτόμενη της fC στο σημείο Β ( 1 , f (1) ). (απ. ) ( ΘΕΜΑ) ( )2 2 2 2 2y n x= + -l nl

26) Δίνεται η συνάρτηση . Αποδείξτε ότι υπάρχει

μοναδικό

2( ) ln , 0f x x x x= - >

01 3,2 2

xζ φχηΞ χη χηθ ψ

στο οποίο η εφαπτομένη της fC διέρχεται από την αρχή των

αξόνων. ( ΘΕΜΑ) 27) Δίνεται η συνάρτηση . Αποδείξτε ότι η 3( ) 1f x x x= + + f αντιστρέφεται και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της 1f

C − στο σημείο της . (Θεωρούμε

ότι η 0 3x =

1f − είναι παραγωγίσιμη ).

(απ. 1 1

4 4y x= + )

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ: 27) Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t sec δίνεται από τον τύπο . 3 2( ) 4 27 30 6s t t t t= - - + α) Να βρείτε την ταχύτητα του κινητού. β) Να βρείτε την αρχική ταχύτητα. γ) Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητα είναι 0 ; δ) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κινητού κατά τη χρονική στιγμή που έχει ταχύτητα υ=36 m/sec. (απ. α) υ(t)= s´(t) , β) υ(0)= -30 m/sec , γ) t0=5 sec

δ) 2 ) (11/ 2) 78 m/secuΆ = 28) Η αντίδραση ενός ασθενούς σε ένα φάρμακο, συνδέεται με την ποσότητα y x

σχέσητου φαρμάκου που του χορηγείται και από τη διάρκεια της θεραπείας , με τη t 22 xty x t ehm= - . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όταν: y


32


α) μεταβάλλεται η ποσότητα του φαρμάκου x ,

η διάρκεια της θεραπείας.

) μεταβάλλεται

ταχύτητα 3 cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός στιγμή που η πλευρά του είναι 10 cm.

3

του χρόνου με ρυθμό 2 cm/sec , να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του

)

των αξόνων ι

cm/sec αντίστοιχα. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΑΒ κατά τη

c )

β 29) Η πλευρά α ενός κύβου αυξάνεται με μεταβολής του όγκου του , κατά τη χρονική

(απ. 900 cm /sec ) 30) Δίνονται τα σημεία Α(χ+2 , 0) και Β(0 , lnχ) , χ>1. Αν το χ μεταβάλλεται συναρτήσειεμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων) , τη χρονική στιγμή που το σημείο Α έχει τετμημένη 10 cm. (απ. ln8+5/4 cm2/sec 31) Δύο σημεία Α(χ,0) και Β(0,ψ) απομακρύνονται από την αρχήκινούμενα πάνω στους ημιάξονες οχ και οψ αντίστοιχα, με ταχύτητες 3 cm/sec κα5χρονική στιγμή που είναι Α(8,0) και Β(0,6). (απ. 5,4 cm/se 32) Ένας γεωργός προσθέτει x μονάδες λιπάσματος σε μία αγροτικήκαι συλλέγει ( )g x μονάδες του παραγόμενου προιόντος.

καλλιέργεια

Αν ( )0( ) 1 , 0xg x M M e xm-= + - ³ όπου m θετικές σταθερές.

είναι η σημασία της σταθεράς

0 , , M M Να εκφράσετε το ρυθμό του παραγόμενου προιόντος ως συνάρτηση του ( )g x .

Ποια 0M ;

(απ.( )( ) ( ) 0

(0)0

g x g x M MmΆ = - - -Α

M g= ( ΘΕΜ 1998)

33) Δίνεται ορθή γωνία xOy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 10cm του πλευρές και α

Το σημείο Β κινείται με σταθερή ταχύτητα c και η θέση του πάνω στον ην σ

οποίου τα άκρα Α , Β ολισθαίνουν πάνω στις ντιστοίχως. Oy Ox2 /secmu =

άξονα Ox δίνεται από τ υνάρτηση ( ) , [0,5]s t t tu= Ξ όπου t ο χρόνος (σεδευτερόλεπτα).

α) Να βρεθεί το εμβαδόν ( )E t του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου.


33


β) Ποιο ίναι ο ρυθμός μεταβολής του ς ε εμβαδού ( )E t τη σ

τος ΟΑ είναι 6cm; τιγμή κατά την οποία το

μήκος του τμήμα

(απ. α) 22 25( )E t t= t- , β) 14 2(4) / secE cmΆ = - ) ( ΘΕΜΑ 1993

3)

4) Έστω η συνάρτηση ( ) , f x nx x= >l3 0 .

της εφαπτομέ ηςA) Να βρείτε την εξίσωση νης τ fC στο σημείο ( Μ ( ), f a ) και ναa

ρίσετε το σημείο τομής A, της εφαπτομένης με τον άξονα x΄x . προσδιο B) Έστω ότι ένα κινητό με τις συντεταγμένες του Μ κινείται πάνω στη fC

. Αν ο

ι ( )ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ συναρτήσει του χρόνου είνα ( )2a t= , να βρείτε:

aΆt

i) Το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου τομής Α της εφαπτομένης της

fC στο σημείο Μ με τον άξονα x΄x τη χρονική στιγμή που το Μ έχει τετμημένη e

ii) Το ρυθμ

. ό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφαπτομένη αυτή με τον ξονα x΄x την ίδια χρονική στιγμή (δηλ. όταν ( ) ( )2a t a tΆ = και ( )t eα =ά ).

( απ .

. -2e rad 2) ) 2 , ii) . 1+e

B i es

mmhk ouV

mc ronou- ) (ΘΕΜΑ)

5) Δίνεται η συνάρτηση . Ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική

( )3( ) 1f x x= -3παράσταση της f και η τετμημένη του ν αξόνων απ

ημιάξονα Ox με σχηματίζει η εφ

ομακρύνεται από την αρχή τωκινούμενη στον θετικό ταχύτητα 1 cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ας που απτομένη της γωνί fC στο σημείο Μ με τον άξονα 'x x , τη χρονική στιγμή παράλληλη προς την ευθεία με εξίσω

3 5y x= - . (απ. 3/5 rad/s

που αυτή είναι ση

ec)


34


ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ


35


Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ



ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE – ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (Θ.Μ.Τ.) ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ.


36


ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE – ΘΕΩΡ ΤΙΜΗΣ (Θ.M.T.) ΗΜΑ ΜΕΣΗΣ Θεώρημα Rolle:

Αν μια συνάρτηση f είναι [ ]• συνεχής στο κλειστό διάστημα β,α

• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα )β,α( )β(f)α(f = •

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον )β,α(ξ∈ τέτοιο, ώστε f .0)ξ( =

Γεωμετρική ερμηνεία

Είναι δηλαδή:

ν για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο λειστό διάστημα , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

,xx΄//ε0λ)ξ(fλ

0)ξ(fε

ε

⇔=⇒⎭⎬⎫

==

Α [ ]β,α )β,α(ξ∈ κ τέτοιο, ώστε

εφαπτομένη της σημείο fC στο ( ))ξ(f,ξΜ η να είναι στον άξονα ΄x.

αρατηρήσεις:

παράλληληx Π

. Για να ισχύει το Θεώρημα Rolle πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι τρεις προϋποθέσεις του.

. Δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος Rolle.

. Το Θεώρημα Rolle μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης χωρίς όμως να μας την προσδιορίζει πάντα.

. Το Θεώρημα Rolle εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

1

2 3

,0)x(f = 4


37


5. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ ]β,α και f)α(f )β(= , τότε ισχύει το Θεώρημα Rolle, αφού η κλειστό διάστημα καλύπτει και τη συνέχεια f στο

ίναι παραγωγίσιμη στο R, τότε:

πραγματικών ριζών της f υπάρχει μια

παραγωγισιμότητα της

της f στο διάστημα[ ]β,α

αυτό.

6. Αν μια συνάρτηση f ε• Μεταξύ δύο διαδοχικώντουλάχιστον ρίζα της f ′ . • Μεταξύ δύο διαδοχικών πραγματικών ριζών της f ′ υπάρχει μια το πολύ

7. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει

ρίζα της f.

0)x(f ≠ για κάθε τότε η f είναι « 1 – 1 ».

Παρατήρηση:

Rx∈ ,

οι αποδείξεις των 6 , 7 να θεωρηθούν ως ασκήσεις. Θεώρημα Μέσης Τιμής:

ι

ής στο κλειστό διάστημα

Αν μια συνάρτηση f είνα • συνεχ [ ] β,α • παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα )β,α(

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον )β,α(ξ∈ τέτοιο, ώστε .αβ

)α(f)ξ(f−−

=

)β(f

Είναι Γεωμετρική ερμηνεία ,ΑΒ//ελλ

λ)α(f)β(fΑΒ ⎪

⎪=

−αβ

λ)ξ(fαβ

)α(f)β(f)ξ(f

ΑΒεε ⇔=⇒

⎪⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−

=−−

=


38


Άρα υ Θεωρήματος ΜέσηΤιμή

αν για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις το ς ς στο κλειστό διάστημα [ ]β,α , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον )β,α(ξ∈ ιο, ώστε η εφαπτομ ης fC στο σημείο τέτο ένη τ ( ))ξ(f,ξΜ να είναι παράλληλη ν χορδήστη ΑΒ.

ρ

Πα ατηρήσεις:

1. . πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι δύο π

. εν ισχύει το αντίστροφο του Θ.Μ.Τ.

3. Μ.Τ όχι σε ένωση διαστημάτων.

Για να ισχύει το Θ.Μ Τ. ροϋποθέσεις του.

2 Δ

Το Θ. . εφαρμόζεται σε διάστημα και 4. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ ]β,α ,

κλειστό τότε ισχύει το

Θ.Μ.Τ. αφού η παραγωγισιμότητα της f στο διάστημα [ ]β,α καλύπτει και τη συνέχεια της f στο διάστημα αυτό.

από τη σχέση

5.

Αν )β(f)α(f = , τότε αβ

)α(f)β(f)ξ(f−−

= προκύπτει ότι

ισχύει το Θεώρημα Rolle. Επομένως το Θεώρημα Rolle Μ.Τ.

6

τε η ( ) σχηματίζει με τον άξονα x΄x

Αν τότε

,0) = δηλαδήξ(fείναι ειδική περίπτωση του Θ.

. • Αν )β(f)α(f < τότε 0)ξ(f > , οπό ε

οξεία γωνία. • )β(f)α(f > 0)ξ(f < , οπότε η (ε) σχηματίζει με τον άξονα x΄x αμβλεία γωνία.

Παραδείγματα: Α΄ ΟΜΑΔΑ : Περιλαμβάνει παραδείγματα στα οποία: • Ελέγχουμε αν ισχύει το Θεώρημα Rolle ή το Θ.Μ.Τ. • Προσδιορίζουμε παραμέτρους ώστε να ισχύει το Θεώρημα Rolle ή το Θ.Μ.Τ. • Αποδεικνύουμε ανισότητες (διπλές) με το Θ.Μ.Τ. (βλέπε ασκ. 3 σελ. 249 σχολ. Βιβλίου)


39


Παράδειγμα 1:

Δίνεται η συνάρτηση ⎪⎨⎧ ≤++

=x,12x5

)x(f οδείξετε ότι η f ικανο⎪⎩ >++ 0x,12xx

0x3

2

Θεωρήματος Rolle στο .0)ξ(f

. Να απ ποιεί

ις προϋποθέσεις του διάστημα και να βρείτε , ώστε

[ ]1,1- τ)1,1-(ξ∈ τέτοιο =

Λύ

σ

στο

η

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη άρα και στο [ )0,1− ( )0,∞− με

.210x) += x(f

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( )∞+,0 άρα και στο ( ]1,0 με

Εξε.23x) 2 +=

τάζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο .0xo

x(f=

ια είναι Γ ( )0,∞−∈ x

2x

x(5xl mx

112x5xx

f(x)0x

2

=−++

→

( )∞+∈ ,0x είναι

2)(5xlim2)ilim0f(0)

0x0x=+=

+=

−−

→→−

Για

lim0x→

22)(xlimxxx 0x0

=+=− →→

2)x(xlim112xxlim0f(0) 2

2

x0x

+=

−++=

−→+

Άρα f είναι παραγωγίσιμη στο

f(x)lim3

0x→

η 0xo = με .2)0(f =

αν,2

Επομένως η f είναι

παραγωγίσιμη με στο 1,1 .0x1-[ ]- 1x03x

αν,210x) ⎨

⎧ ≤≤+= Επίσης είναι x(⎩

f≤<2 +

.4)1(f)1-( == f Παρατηρούμε λοιπόν ότι η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του

olle στο διάστημα [ ]1,1- , Θεωρήματος R επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε )1,1-(∈ .0)ξ(f = ξ

Έχουμε : 5

)1,0(ξ,023ξ2⎪⎩ ∈=+

1ξή −=⇔⎪⎨

)0,1(ξ,0210ξ⎧ −∈=+


40


Παράδειγμα 2:

Δίνεται η συνάρτηση . Να βρείτε τους ,Rγ,β,α⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤++=

0x,γx0x,2xβxα

)x(f2

2

∈ ώστε

η f να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο στημα διά [ ].1,1-

Λύση • Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ( )0,∞− άρα και στο [ )0,1 − ω

πολυωνυμική.

ς

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ( )∞+,0 ά ( ]1,0 ως ολυω .ρα και στο π νυμική Για να είναι η f συνεχής στο [ ]1,1- πρέπ είει να ναι συνεχής και στο x ,0o = ηλαδή Άρα η f είναι συνεχής στο [ ]1,1- δ (xflim(x)f

0x.2γ(0)f)lim

0x=⇔==

+− →→

όταν Πρέπει οπότε

.2 γ=

•

,1αβγ12βα)1(f)1(f2γ

−=⇔+=+−⇔=−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤+−+=

0x,2x0x,2x1)(αxα

)x(f2

2

•

Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ) άρα και στο ( )0,1− με 2)x(f 0,∞− .1αxα −+= Η f είναι παραγω η στογίσιμ ( )∞+,0 ( )1,0 μεάρα και στο .2x)x(f = Για να είναι η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )1,1− πρέπει να είναι παραγωγίσιμη

και στο ,0xo = δηλαδή .f(0)f(x)limf(x)lim −− 0x0x

f(0)0x0x −

=− +− →→

Για είναι ( )0,x ∞−∈

1α1)αx(αlimx

1)ααxf(x) (xlimx

22x1)(αxαlim0xf(0)lim

0x0x

2

0x0x−=−+=

−+=

−+−+=

−−

→→→→ −

Για ( )∞+∈ ,0x είναι


41


0x limxxlim

x22xlim

0xf(0f(x)lim − )

0x

2

0x

2

0x0x===

−+=

− →→→→ +

Πρέπει α01α ⇔ .1==− ίσιμη στο ( )1,1− ό .Επομένως η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle, όταν :

Άρα η f είναι παραγωγ ταν α = 1

Παράδειγμα 3 :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔⎪⎩

⎨=−=

=

2γ0β1α

2γ1αβ

1α ⎪

⎧

Δίν⎩⎨⎧

>+≤≤−+

=1x3,3)x(f . Να αποδείξε ι εται η συνάρτηση

1x,7xx4 τε ότ η f

ικα προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σ συνέχεια να σημείο Μ της , όπου η εφαπτομένη της παράλληλη προς την υθ με

νοποιεί τις το διάστημα [ ]5,2- και στηβρείτε fC

και είναι

( )4,2-Α ( ).12,5Β ε εία ΑΒ,

f ίναι παραγωγίσιμη στο

Λύση

Η ε .3x

2)x(+

= [ )1,2− με( )1,3− άρα και στο f

f ίναι παραγωγίσιμ στο Η ε η ( ]5,1 ( )∞+,1 άρα και στο με f Για σιμη σ

.1)x( =

να είναι η f είναι παραγωγί το [ ]5,2- πρ α είέπει ν ναι παραγωγίσιμη και

στο ,1xo = δηλαδή .1f(1)

−−

xf(x)lim

1xf(1)f(x)lim

1x1x=

−−

+− →→

Για είν

( ),3x −∈ αι 1

( )( ) 1

23x4lim

23x1)-(x1)-4(xlim

1-x23x4lim

1-x83x4

xf(x) +lim

1f(1)lim

1x1x1x1x1x=

++=

++=

−+=

−=

−−

→→→→→

−


42


Για είναι

x ( )∞+∈ ,1

11-x1-xlim

1-x87xlim

1xf(1)f(x)lim

1x1x1x==

−+=

−−

→→→ +

Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο 1xo = με .1)1(f =

με ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤<

≤≤+=

5x1 αν,1

1x2- αν,3x

2)x(f [ ]5,2-Επομένως η f είναι παραγωγίσιμη στο

αρατηρούμε λοιπόν ότι η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.M.T. στο ιάστημα επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε Π

[ ]5,2- , )5,2-(∈ δ

.78)ξ(f

7412)ξ(f

2)(52)f((5)f)ξ( =⇔

−=⇔

−−−−

= f

Έχουμε : 161ξ

1 αν1

ή

1ξ2- αν,78

3ξ2

=⇔

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨

⎧ ≤≤=+

5ξ,78

⎪⎩≤<=

ρα το ζητούμενο σημείο είναι το

.7,161Μ ⎟Ά

⎠⎝

⎞⎜⎛


43


Β΄ ΟΜΑΔΑ: (Περιλαμβάνει παραδείγματα στα οποία μας ζητούν να βρούμε το πλήθος ριζών εξίσωσης) 1η περίπτωση ( Μια τουλάχιστον ρίζα)

0)x(f = Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο )β,α( ελέγχουμε αν: • Υπάρχε ανής ρίζα της f στο )β,α( . ι προφ • [ ]β,α για Εφαρμόζεται το Θεώρημα Bolzano στο διάστημα τη συνάρτηση f . • Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών ( ))β,α( f της f . • Εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle για μια αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f . (Μην ξεχνά μετε ότι ένα πολυώνυμο περιττού βαθμού πραγματικούς συντελεστές έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα . γιατί ;) Παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο

για κάθε Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση

2αxα26x2 +=+)1,0( .Rα∈

2)(αxα26x(x)f 2 +−+= , Rx∈ . Μια παράγουσα της f στο R είναι η συνάρτηση F xx2)(αxα2x(x) 23 +−+= , R∈ .

[ ]1,0 Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο κλειστό διάστημα με . Επίσης είναι )x(f(x)΄F = 0))(1(F)0(F == . Παρατηρούμε λοιπόν ότι

η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα , επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε

Παρατήρηση

[ ]1,0)ξ(F

)1,0(ξ∈ .0)ξ(f0 =⇔=

: Παρατηρήστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα δεν μπορούσε να λυθεί με καμία άλλη μέθοδο.


44


2η περίπτωση (Το πολύ μια ρίζα ) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα ακολουθούμε την εξής μέθοδο. • Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης σ’ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό. • Θεωρούμε συνάρτηση f με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της εξίσωσης. • Υποθέτουμε ότι η εξίσωση 0(x)f = έχει ρίζες ρ ρ δύο 21 ρ, με .ρ21 < • Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος θα ι ένα τουλάχιστον )ρ,ρ(ξ 21 Rolle στο διάστημα [ ]21 ρ,ρ , οπότε υπάρχε ∈ τέ θα είναιτοιο, ώστε ,0)ξ(f = το οποίο και άτοπο. Παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x1)(2ναx 12ν +=++ , ∗∈Νν έχει το πολύ μια ρίζα το διάστημα για κάθεσ )1,1-( .Rα∈

Λύση

Θεωρο άρτη η

ύμε τη συν σ αx1)(2νx(x)f 12ν ++−= + , Rx∈ , ∗∈Νν και .Rα∈ Υποθέτουμε ότι η εξίσωση 0(x)f = έχει δύο ρίζες )1,1(ρ,ρ 21 −∈ με .ρρ 21 <

ρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ ] [ ]1,1ρ,ρ 21 −⊆ Η συνά με

προϋποθέσεις του Θεωρήματος.1)(2νx1)(2ν(x)΄

Επίσης ,0)()ρ(f)ρ(f == άρα

2ν +−+= f21 η f ικανοποιεί τις Rolle

στο [ ]ρ,ρ , οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον21 )1,1()ρ,ρ(ξ 21 −⊆∈ τέτοιο, 1ξ1ξ01)(2νξ1)(2ν0)ξ(f 2ν2ν ±=⇔=⇔=+−+⇔= που είναι άτοπο αφού .1

ώστε1ξ <<−

Άρα ε ίσωση έχει το πολύ μια ρίζα στο διάστημα .)1,1-( η ξ


45


3η περίπτωση ( Το πολύ δύο ρίζες ) Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες ακολουθούμε την εξής μέθοδο. • Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης σ’ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό. • Θεωρούμε συνάρτηση f με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της εξίσωσης.

Υποθέτουμε ότι η εξίσωση 0(x)f = • έχει τρεις ρίζες ρ ρ321 ρ,ρ, με .ρρ 321 <<

Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος •Rolle σε δύο διαστήματα στα [ ]21 ρ,ρ και [ ]32 ρ,ρ οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

)ρ,ρ(ξ 211 ∈ τέτοιο, ώστε 0)ξ1(f = και ένα τουλάχιστον )ρ,ρ(ξ 322 ∈ τέτοιο, ώστε 0.)ξ(f 2 = Στο υτό ίσως να καταλήξουμε σε σημείο α άτοπο εφαρμόζουμε , αν όχι, τότε

το Θεώρημα Rolle για τη f΄ συνάρτηση στο διάστημα [ ],2ξ οπότε θα1 ,ξ υπάρχει ένα τουλάχιστον )ξ,ξ(t 21∈ τέτοιο, ώστε f ,0t)΄(΄ = το οποίο είναι άτοπο. φυσικά και θα Παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες στο Rx322008x8 =− . Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση 2008x32f −− , x(x) 8= Rx∈ . Υποθέτουμε ότι η εξίσωση 0(x)f = έχει ρ,τρεις ρίζες με Rρ,ρ 321 ∈ .ρρρ 321 <<

f είναι παραγωγίσιμη [ ]Η συνάρτηση στο R άρα και στα διαστήματα 21 ρ,ρ και[ ]2 ρ,ρ .32x8(x)

τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος

με

Επίσης άρα η f ικανοποιεί

3 f΄ 7 −=

,0))(ρ(f)ρ(f)ρ(f 321 === Rolle σε δύο διαστήματα στα [ ]21 ρ,ρ και [ ]32 ρ,ρ οπότε θα

άρχει ένα τουλάχιστον

)ρ,ρ(ξ 211 ∈ 0.)ξ(f 2

υπ τέτοιο, ώστε και ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε

0)ξ(f 1 = )ρ,ρ( 322 ∈ = ξ Είναι προφανές , αφού ανήκουν σε

ιαφορετικά διαστήματα. Βρήκαμε λοιπόν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης ότι 1ξ ≠ 2ξ

δ


46


0)x( =f , το οποίο είναι άτοπο, αφού η εξίσωση τε έχει πάντοτε

4x032x80)x(f 77 =⇔=−⇔= μια μόνο ρίζα. Άρα η εξίσωση είναι διωνυμική περιττού βαθμού, οπό

έχει το πολύ δύο ρίζες στο .R 4 περίπτωση ( Μια ακριβώς ρίζα)η Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 0)x(f = έχει μια ακριβώς ρίζα κάνουμε τα εξής: • Εξασφαλίζουμε την ύπαρξη ουλάχιστον ρίζας ν μιας τ της εξίσωσης, εφαρμόζο τας μια από τις τέσσερις μεθόδους φέραμε στη 1η περίπτωση. που ανα • Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα ακολουθώντας τη μέθοδο που αναλύσαμε στην 2η περίπτ βασιζόμαστε στη μονοτονία της f μια μέθοδο ωση ήπου θα ανα μενη ενό το « 1 – 1 λύσουμε σε επό τητα ή χρησιμοποιούμε » της f . αράδειγμα : Π

α αποδείξετε ότι η εξίσωση

έχει ακριβώς μια ρίζα στο ( ).,0 ∞+ Ν αxxnl =+ ύση Λ

εωρούμε τη συνάρτηση l(x)f , ( ).,Θ αxxn −+ 0x= ∈ ∞+

ίναι ( ) −∞=−+=

→→ +αxxnllim(x)flim

0x0x

,δ,0 οπότε

Ε , που σημαίνει ότι υπάρχει τέτοιο,

0δ >

ώστε 0(x)f < για κάθε ( )x∈ ε ( ).δ,κ μ0κ)(f < 0∈ Επίσης είναι ( ) +∞=−+=

+∞→+∞→αxxnllim(x)flim

xxπου σημαίνει ότι υπάρχει Μ > ιο,

x) > Μ

, τέτο

ώστε

0

(f 0 για κάθε ( ),,x ∞+∈ οπότε 0)λ(f > με ( ).,Μλ ∞+∈ Παρατηρούμε

λοιπόν ότι:

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ ] ( )∞+⊆ ,0λ,κ• , ως άθροισμα

συνεχών.

• 0)λ(fκ)(f <


47


Επομένω ις του Θεωρήματος Bolzano στος η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσε διάστημα [ ]λ,κ , οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) ( )∞+⊆∈ ,0λ,κξ τέτοιο, ώστε

.0)ξ(f =

0)x(f = Υποθέτουμε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες με ),0(ρ,ρ 21 ∞+∈ 21 ρρ < μια πό τις οποίες είναι η ξ και παρατηρούμε ότι:

στο

α • Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη [ ] ),0(ρ,ρ 21 ∞+⊆ με

x1

x(x)f΄ 1x1 +

=+=

• .0)()ρ(f)ρ(f == 21

, οπότε θα πάρχει ένα τουλάχιστον

[ ]21 ρ,ρΆρα η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο υ ),0()ρ(ρt 2,1 ∞+⊆∈ τέτοιο, ώστε

,1t0t

1t0t)΄(f −=⇔=+

⇔= που είναι άτοπο, αφού .),0()ρ(ρt 2,1 ∞+⊆∈

Άρα ο αριθμός ξ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης αxxnl =+ στο ( ).∞+,0 5η περίπτωση ( Δύο ακριβώς ρίζες)

έχει δύο ακριβώς ρίζες κάνο εξήςΓια να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 0)x(f = υμε τα : • Εξασφαλίζουμε την ύπαρξη δύο τουλάχιστον ριζών της εξίσωσης, εφαρμόζοντας

φορές κάποια από τις τέσσερις μεθόδους που αναφέραμε στη 1η περίπτωση ή ένα (δύοσυνδυασμό δύο εξ’ αυτών). • Απο ει το πολύ δύο ρίζες ακολουθών μέθοδο δεικνύουμε ότι η εξίσωση έχ τας τηπου αναλύσαμε στην 3 ση ή βασιζόμαστε η περίπτω στη μονοτονία της f μια μέθοδο που θα σουμε σε ενότητα αναλύ επόμενη . Παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xμηxxνυσ-x2 = βώς ρίζες στο διάστημα

έχει δύο ακρι

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ).ππ- ,

xνυσ-xμηx-x(x)f 2= , [ ].π,π-x∈


48


Παρατηρο τι: ύμε ό

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα [ ]0,π- • και ως άθροισμα

και Ά οθέσεις του Θεωρήματος Bolzano σε δύο διαστήματα, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

[ ]π,0 , συνεχών συναρτήσεων.

01π1)(1)(π)0(fπ)-(f 22 <−−=−⋅+= 01π1)(π1)()π(f0)(f 22 <−−=+⋅−= •

ρα η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋπ( )0,π-ξ1 ∈ θα τέτοιο, ώστε 0)ξ(f 1 =

αι ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε f( )π,0ξ ∈ κ 2 2 .0)ξ( = Είναι προφανές ότι 1 ξξ ≠ σε διαφορετικά2 ,

ρίζεςαφού ανήκουν διαστήματα. Βρήκαμε

όν δύο τουλάχιστον τηςλοιπ εξίσωσης 0)x(f = στο

διάστημα -( ).π,π

Υποθέτουμε ότι η εξίσωση 0(x)f = έχει τρεις ρίζες ( ,π-ρ ) μεπρ,ρ, 321 ∈ 321 ρρρ << ύο από τις οποίες είναι οι

στα διαστήματα και

δ ., 21 ξξ

[ ]21 ρ,ρ [ ]32 ρ,ρ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με .)xνυσ(2x(x)΄ −= f

πίσης ,0))(ρ(f)ρ(f)ρ(f άρα νοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Ε

R η f ικα321 ===

olle σε δύο διαστήματα στα [ ]21 ρ,ρ και [ ]32 ρ,ρ οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον )ρ,ρ(t 211 ∈ τέτοιο, ώστε 0)t(f 1 = και ένα τουλάχιστον )ρ,ρ(t 322 ∈ τέτοιο, ώστε

0.)t(f 2 = Είναι προφανές ότι 21 tt ≠ , αφού ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Βρήκαμε λοιπόν δύο τουλάχιστον ρίζες της εξίσωσης 0)x(΄f = στο διάστημα ( ),π,π- που είναι άτοπο αφού η εξίσωση 0x0)xνυσ(2x0(x)f΄ =⇔=−⇔= έχει μια μόνο ρίζα. ρα η εξίσωση xμηxxνυΆ σ-x2 = έχει δύο ακριβώς ρίζες στο ( ).π,π-


49


Γ΄ ΟΜΑΔΑ: Π ε να αποδείξουμεεριλαμβάνει παραδείγματα στα οποία θέλουμ ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ , που ανήκει σε ένα διάστημα, ώστε να ισχύει μια ισότητα στην οποία εμφανίζονται τα )ξ(f , )ξ(f , )ξ(f ΄΄ και ενδεχομένως κάποιες άλλες αλγεβρικές παραστάσεις που περιέχο υν το ξ . Στις ασκήσεις αυτές συνήθως ακολουθούμε την εξής διαδικασία. • Αφού εκτελέσουμε ις που απαιτούν τις πράξε ται, μεταφέρουμε όλους τους όρους σε ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό και θέτουμε όπου ξ το x. • Γράφουμε την ισότητα στη μορφή (x)F΄ .0= • Αποδεικνύουμε ότι η ά τηση F ικανο συν ρ ποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle και κα οταλήγ υμε στο ζητούμενο. χόλιοΣ

ης κατηγορίας είνδύσκολες κ αίτερη πρ ς συνάρτησσκόπιμο να ρικές χαρ εις.

Επειδή οι ασκήσεις αυτής τ αι κατά γενική ομολογία αρκετά

αι απαιτούν ιδι οσοχή στην επιλογή τη ης , κρίνουμε αναφέρουμε με ακτηριστικές περιπτώσ

Ζητούμενο

Πρ

Συνάρτηση F οεργασία στο πρόχειρο

xλ)x(fF(x) −= λ)ξ(f = ( ) 0΄xλ)x(fλ)x(f =−⇔=

νx)x(fF(x) −= 1ννξ)ξ(f −= ( ) 0΄x)x(fνx)x(f ν1ν =−⇔= −

⇔= )(xfx)-(λ)x(f

0x)΄-)(λ(xfx)-(λ)x(f =+⇔ )ξ(fξ)-(λ)ξ( = f

x)(λ)x(fF(x) −=


50


Παράδειγμα 1 : Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [ ]π,0 με 0(x)f ≠ για κάθε ( ).π,0x∈ Να

ποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστονα ( )π,0ξ∈ τέτοιο, ώστε .0σφξ)ξ()ξ(

=+ ff

Λύ Θεωρού ε τη συνάρτηση

ση

μ xμη(x)f(x)F = , [ ].π,0x∈ Παρατηρούμε ότι: Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη το • σ [ ]π,0 , με xνυσ(x)xμη(x)f(x)΄ fF

+=

• 0π)(F)0(F ==

)ξ(fλ)-(ξ)ξ( = f 0΄

λx ⎠⎝ −f(x))(xfλ)-x()x(f =⎟

⎞⎜⎛⇔=

λxf(x)F(x)−

=

)ξ(fν)ξ(ξf = ⇔= )x(fν)x(xf

0΄

xf( 0)x(fxν)x(fx 1-νν ⎜

⎛⇔=−x)ν =⎟⎠⎞

⎝

νf(x)F(x) = x

0σφξ)ξ(f)ξ(f

=+ ( ) 0΄xμη)x(f0σφx)x(f)(xf

=⇔=+ xμη)x(fF(x) =

0)ξ(λf)ξ(f =+

λxef(x)F(x) = ⇔=+ 0)x(λf)x(f

⇔=)x(λfλx + 0e)ex(f λx

( ) 0΄)ex(f = xλ

⇔=+ 0)x(΄΄f)(f x

( )22 ΄(x)f)x(fF(x) +=0)ξ(΄΄f)ξ( =+ f ⇔=+ 0)x(΄΄)fx(2f)x()fx(2f ( )[ ] 0΄΄(x)f)x(f 22 =+


51


Άρα η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle θα υπάρχει να τουλάχιστον

, οπότεέ ( )π,0ξ∈ τέτοιο, ώστε

⇔=+⇔= 0ξνυσ)ξ(fξμηξ(f0ξ)(F΄ )

.0σφξ)ξ(f)ξ(f0

ξμηξ)(fξνυσ)ξ(fξμηξ)(f

=+⇔=+

Παράδειγμα 2 : Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ]β,α

ότι υπάρχειπαραγωγίσιμη στο με

Να αποδείξετε ένα τουλάχιστον έτοιο, ώστε ( )β,α

αξ∈0.)(f)α(f ==)ξ(

( )β,β τfλξ)(f = για κάθε .Rλ∈

Λύση Θεωρού ε τη συνάρτηση (x)fe(x)F xλ−= , [ ].β,αx∈ μ Παρατηρούμε ότι:

Η συνάρτηση F είναι συνεχής στο

[ ]β,α , ως γινόμενο συνεχών.

Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο

•

( ),β,α με

ρα η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle, οπότε θα ι ένα τουλάχιστον

)(xfe(x)feλ(x)F΄ xλxλ −− +−= • • 0β)(F)α(F == Ά

( )β,αξ∈ υπάρχε τέτοιο, ώστε

⇔=+−⇔= −− 0)ξ(fe)ξ(eλ0) ξλλ ΄fξ(F΄ ξ

( ) ⇔=+−− 0ξ)(f)ξ(fλe ξλ

.)ξ(fλξ)(f0)ξ(fλξ)(f =⇔=−


52


Ασκήσεις για λύση 1) Δίνεται η συνάρτηση 3 2 2( ) 4 , .f x x x x k k R= + - + Ξ Αποδείξτε ότι για τη συνάρτηση f

τοεφαρμό [-2,2] και να

υπολογίσετε ζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα

( )0x Ξ 2,2- για το οποίο ισχύει 0( )f xΆ = .0

(απ. 1 13( 2, 2)0 3x

- ±= Ξ - )

3

2( ) 2 , ,3 2 2x a2) Δίνεται η συνάρτηση 2 , f x x x ab b g b

ζ φ- χη= + + + +χη χηθ ψ12 0+ =

a Rg Ξ . Αν

ισχύει , αποδείξτε ότι υπάρχει 2 3a g+ ( )0 0,1x Ξ , τέτοιος ώστε η φαπτ παράστασης τηςομένη της γραφικής f στο σημείο 0 0( , ( ))x f x ε να είναι παράλληλη στον άξονα 'x x .

) Αν η συνάρτηση

f ) ,

3 είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] , παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει (1) (0f e f= (0) 0f Ή , να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε να

τ αποδείξετε

k

( ) =2

( )x kxg x e f x+ ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση ο διάστημα [0,1] . Στη συνέχεια να ότι υπάρχει ( )0 ώστε να 0,1x Ξσ

ισχύει 0 0 0( ) 2(1 ) ( )f x x f xΆ = - .

(απ. = -2)

Δίνεται η συνάρτηση

k

f 4) που είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] , παραγωγίσιμη στο (0,1) και (1) (0) f f k= + , .k RΞ Αποδείξτε ότι υπάρχει 0 (0,1)x Ξ τέτοιο ώστε 0( ) .f x kΆ =

5) Α) Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο π0,2

ι ωκ ϊ π0,

2ζ φχη χη χηθ ψ

κλ ϊϋ

, παραγωγίσιμ στοη με

( ) 0, f x Ή για κάθε 0,2

x pζ φχηΞ χη χηθ ψ .

Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) ( )2g x x f xhm= Χ i) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις

ου Θ .Rolle στο 0,2pι ω

κ ϊκ ϊλ ϋ

τ .


53


( )( )

00

0

2 2f x

xf x

s fΆ

= -0π0,2

ζ φχηΞ χη χηθxii) Δείξτε ότι υπάρχει

ψ ώστε να ισχύει .

f Β) Έστω συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάσ

ητημα [α,β] και

παραγωγίσιμ στο (α,β) με ( ) 0f b = και ( ) 0f x Ή για κάθε xΞ (α,β). Θεωσυνάρτηση ( ) ( )g x f x . Αποδείξτε ότι Ξ

ρούμε τη ξ ) ώστε να ισχύει 2)a(x= - υπάρχει (α,β

( ) 2( )f a

f xx x

=-

. Ά

6) Έστω συνάρτηση f ηστο (α,β

οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη ). Αν ( ) 0f xΆ Ή για κάθε xΞ [α,β] , να αποδείξετε ότι ( ) ( )f a f bΉ .

7) Δίνεται η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] και παραγωγίσιμη το (0,1). Αν (1) 0f = να οδείξετε ότι υπάρχει ξ , τέτοιο ώστε απ (0,1)Ξσ

( )( ) ff xxx

Ά = - .

8) Έστω οι συναρτήσεις , f g ορισμένες και συνεχείς στο [α,β στο (α,β) με ( ) 0g x

] , παραγωγίσιμεςΉ και ( ) 0g xΆ Ή για κάθε ( , )x a bΞ και ( ) 0( )f a = =g b . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ Ξ (α,β) ώστε ( )f fx xΆ

υνάρτηση

( ) 0( ) ( )g gx x

+ =Ά

.

9) Δίνεται η σ f

ισχύει2

που ίναι συ και παραγωγίσιμη β) για την . Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ

,β) τέτοιο ώστε

ε νεχής στο διάστημα [α,β]στο (α, οποία 2 2( ) ( )f a f ab b- = - Ξ

( )f x xΆ = . (α

ι συναρτή 10) Έστω ο σεις , f g ορισμένες και συνεχείς στο [α,β] , παραγωγίσιμες

το (α,β) με [α,β]. Αν είναι ( )( ) ( ) ln( )

f ag a gf

bb

- = ( ) 0f x > , για κάθε xΞσ ,

αποδείξτε ότι (α,β) ώστευπάρχει ξ Ξ τέτοιο ( )f x ( )( )

gf

xx

Ά= .

Ά


54


f 11) Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με

( ) 0f xΆ Ή για κάθε xΞ [α,β]. Αν ισχύει ( )f a ( )( ) ( )

ff a f

bb

=Ά Ά

, να αποδείξετε ότι υπάρχει

ιξ Ξ (α,β) τέτοιο ώστε να σχύει 2

( ) ( ) ( )f f fx x xι ωΆΆ Ά= λ ϋ . 12) Δίνεται συνάρτηση f

δύο η οπο

αποδείξετε ότι εταξύ διαδοχικών ριζών της εξίσωσηςπεριέχεται το πολύ μία ρίζα της

ία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ. Να μ ( ) 0f xΆ =

( ) 0f x = .

3) Δίνεται η συνάρτηση

f που είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με ( ) 0f x > 1 για κάθε xΞ [α,β] και η υνάρτηση g με τύπο ( ) ( )xg x e f x= . Αν η συνάρτηση σ f είναι συνεχής σ μα [α,β] κ παραγωγίσιμη στο (α,β) το διάστη ι με

f αποδείξτε ότι:

ii) Η εφαπτομέν της γραφικής παράστασης της

αln- = ( ) ln ( )fb b -a a ,

i) Υπάρχει ξ Ξ (α,β) τέτοιο ώστε ( ) 0g xΆ = .

η f στο σημείο Α(ξ , f (ξ)) περνά από το Β(1, ξ f (ξ)). iii) Αν η f είναι δύο φορ ραγωγίσιμη στο (α,β) και ισχύει ( ) 0g xΆΆ = , τότε

( ) ( )f fές πα

x xΆΆ= . 14) Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [0 , 1] και παραγωγίσιμη στο ( 0 , 1) με

( ) 0, f x Ή για κάθε ( )1xΞ 0, . Δείξτε ότι υπάρχει ξ (0 , 1) , ώστε Ξ( ) ( )( ) ( )

11

f ff f

x xx xΆ Ά -

=-

15) Θεωρούμε τη h xσυνάρτηση όπου( ) ( )3x f x= Χ f συνάρτηση παραγωγίσιμη

R . στο( ) i) Αποδείξτε ότι ( ) ( )3h x x f xΆ Ά= + Χ , 03

h xx

xΉ .

ii) Αν ρ είναι της εξίσωσμια ρίζα ης ( ) 0f x = , ρ ≠ 0

ξ *

, αποδείξτε ότι υπάρχει

RΞ ώστε ( ) ( )3 .f fx xΆ = - x


55


f16) Θεωρούμε τη συνάρτηση που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] με

( ) ( )β 0Ά = . Δείξτε ότι υπάρχει ξ f a f= ( )α,βΞ ( ) ( ) ( )f f, ώστε 2

f x x xι ωΆΆ ΆΧ = - λ ϋ

17) i) Δείξτε ότι η εξίσωση 3x - ,

0 έχει ακριβώς μία ραγματική και απλή ρίζα.

γ

2 23 1x xm m+ - =π ii) Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) ( )7 5 3 2 2λ ( )2β νx x x x xa m+ + + = - + x x- + - , έχει το πολύ μία ρίζα στο R. iii) Αν α,β,γ RΞ με 2 3a < , δείξτε ότι η εξίσωση 3 2 β γx ax x+ + + =ακριβώ ία ρίζα στο R.

iv) Δείξτε ότι η εξίσωση

β 0 , έχει ς μ

1xex

= έχει μία μόνο ρίζα στο ( 0 , 1 ) x-) Δείξτε ότι η εξίσωση a , 0 < α < 1 έχει ακριβώς μία ρίζα στο R.

η a , α

e x= +v

i) Δείξτε ότι εξίσωση xe x- = + RΞ έχει ακριβώς μία ρίζα στο R.

ε εξίσωση

v

vii) Δείξτ ότι η 2 3 23

x

xζ φχη = -χη χηθ ψ

έχει ακριβώς μία ρίζα στο R.

εviii) Δείξτ ότι η εξίσωση 31 , ,xe x x Rl m l m= + + Ξ έχει το πολύ6

δύο

ιακεκριμένες ρίζες στο R.

ix) Δείξτε ση

δ

ότι η εξίσω )21 2 (x x nx= l έχει το πολύ μία πραγματι+ κή ρίζα. x) Δείξτε ότι η εξίσωση 3 2 22 9 12 6x x x+ - = l nx έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες.

1

8) Αν η συνάρτηση f είναι π το R κα η εξίσωση ( ) 0f xΆ = έχει κριβώς μία

αραγωγίσιμη σ ι α ρίζα στο αποδείξτε ότι η εξίσωση R , ( ) 0f x = δεν ει τρείς ρ 9) Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση

μπορεί να έχίζες στο R.

f1 και έστω ρ μία ρίζα της εξίσωσης ( ) 0f x = . Αποδείξτε ότι :

Αν το ρ είναι ρίζα πολλαπλότητας 1 , τότε το ρ δεν είναι ρίζα της

( )f xΆi) =0.


56


ii) Αν το ρ είναι ρίζα πολλαπλότητας ν > 1 , τότε το ρ είναι ρίζα της ( )f xΆ =0 1. πολλαπλότητας ν -

0 έχει α ή ρίζα

οιος είναι ο βαθμός πολλαπλότητας της ρίζας αυτής;

εξίσωση αυτή στο R;

20) Δείξτε ότι η εξίσωση x - κριβώς μία πραγματικστο διάστημα ( 1 , 3 ).

3 26 9 1x x+ - =

Π Πόσες άλλες ρίζες έχει η 21) Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] με 0 < α < β ,

( ) ( )β 0f a f= = και ( ) 0,x Ή f ΆΆ για κάθε [ ],x a bΞ .

( ) ( ) 0x f x f xΆΧ - = έχει ακριβώς μία ρίζα ( )0 α,βx Ξ i) Δείξτε ότι η εξίσωση

f στο σημείο ( )( )0 0,x f x ii) Δείξτε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της διέρχεται από την αρχή τω

ν αξόνων.

22) Μια συνάρτηση [: α, ]βf R® είναι συνεχής στο [α στο , β], παραγωγίσιμη(α , β ) και ισχύει: ( ) ( )β 0.=f a f= Να δείξτε ότι: i) Υπάρχει ( )α,βx Ξ τέτοιο ώστε ( )g xΆ = 0 όπου g η συνάρτηση

( )( ) [ ]. ,g x cx c

a b= Ο-

) Η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της

f x

f στο σημείο ( )( ), fx x iiδιέρχεται από το σημε ίο ( ),0cA . (ΘEMA) 23) Δίνεται συνάρτηση

, δυο φορές παραγωγίσιμη στο [0 , 1] με ( )0 0f = .2x

f

εωρούμε τη συνάρτηση

i) Αποδε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 1 0g x f x x f f fΆ Ά= - Χ - - ΧΘ

ίξτε ότι υπάρχει ρ ( )0,1Ξ , τέτοιο ώστε ( ) 0g rΆ = .

) Αποδείξτε ότι υπάρχει ( )0,1x Ξ τέτοιο ώστε: ( ) ( ) ( )11 02

f f f xΆ Ά- = Ά . ii


57


24) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β), με f α) = 3β και f( (β α. Αποδείξτε ότι υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης ) = 3της f στο οποίο η εφαπτο ην ευθεία με εξίσωση

3 5 0μένη είναι κάθετη στ

x y- + = . 25) Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f (1) , (2) 2 , (3) 3a f a f ab b b= + = + = + . Αποδείξτε ότι υπάρχει πραγματικός

Έστω συνάρτ

αριθμός ξ τέτοιος ( ) 0f xΆΆ = . ώστε 26) f (1) (7) 2 (4)f f f+ =ηση δύο φορέ ίσιμη στ ] μες παραγωγ ο [1,7 . α αποδείξετε ότι υπάρχει ( )1,7x Ξ , τέτοιο ώστε ( ) 0f xΆΆ = . Ν

27) Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [-α,α για την οποί] α ισχύει f (-α) + f (α) = 2 f (0). Αποδείξτε ότι υπάρχει x Ξ (-α,α) τέτοιο ώστε ( )ΆΆ 0f x = .

f 28) Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο [-1,1] για την οποία ισχύει ( 1) (1)(0)

2f f- +f = . ι υπάρχει Αποδείξτε ότ ( )1,1x Ξ - τέτοιο ώστε

29) Μια συνάρτηση

( ) 0f xΆΆ = .

[ ]: α,βf R® είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α , β] και ισχύει ( )f xΆ 0Ή για κάθε xΞ (α , β). Αποδείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί

ξ , ξ1 , ξ2 με x Ξ (α , β ) και α < ξ < 1α+β < ξ < β ώστε να ισχ

2 2 ύει

1 22 ( ) ( ) ( )f f fx x xΆ Ά Ά= + . 30) Μια συνάρτηση [: α ],βf R® είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α , β] και

χύει α+β (α) (β)fισ2 2

f+ . Ναfζ φχη = αποδείξετε ότι υπάρχει x Ξχη χηθ ψ

(α , β), τέτοιο ώστε

( ) 0f xΆΆ = .


58


31) Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] για την οποία ισχύει f (α) = f (β) = 0 και γ α κάποιο γ Ξ(α,β) είναι ι f (γ)<0. Αποδείξτε ότι :

1) Υπάρχει 0

x Ξ(α,β) τέτοιο ώστε 0( ) 0f xΆ = .

) Υπάρχει x Ξ2 (α,β) τέτοιο ώστε

32) Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) 0f xΆΆ > .

f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1] με f (0)=0 και f (1)=1. Απο : δεί ότι

) Υπάρχει

ξτε

0x Ξ(0,1) τέτοιο ώστε 0 0( ) 1f x x= -1 . 2) Υπάρχουν 1 0(0, )x xΞ κα 0 ,1)ι 2 (x xΞ τέτοια ώστ (ε 1 2( ) ) 1f x f xΆ Ά = . 33) Έστω η συνεχής συνάρτηση [ ]: 0,f Rl ® τέτοια ώστε ( )0 0f = και ( )f l l= .

) Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ( )0,lΞ τέτοιος ώστε ( )f x l x= -1 . 2) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )0,l , δείξτε ότι υπάρχουν ( )1 2, 0,x x lΞ με

τοια ώστε ( ) ( )1 2f fx xΆ ΆΧ1 20 x x x l< < < < τέ 1= .

παρακάτω α

34) Να αποδείξετε τις νισότητες:

1) 1 ln 1 , 0 aa a

bb

- < - < < a b b<

) 1 1ln( 1) ln , 01

a a aa a

< + - < >+

2

3) ln( ) ln( ) , 0a as2

aa

un s unbb

--

)

pef ef b b< < < < <

2 2 , 02

a aa ab bef b ef bs un a s un b

- -< - < < < < p . 4


59


5) Έστω συνάρτηση f 3 δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] για την οποία ισχύουν ( )( ) ( ) 0f a ab- - μία ρίζα στο διάστημα (α,

( ) 0f aΆ > , ) 0> και (f bΆ ( )f b < . Αποδείξτε ότι η εξίσωση β).

6) Έστω συνάρτηση

( ) 0f xΆΆ = έχει τουλάχιστον

f 3 συνεχής στο διάστημα [0,2] , παραγωγίσιμη στο (0,2) για την οποία ισχύουν f (0)=3 , f (2)=1.

Αποδείξτε ό ι υπάρχει 1) τ 0x Ξ(0,2) τέτοιο ώστε 00

( )3

f x x= .

2) Υπάρχουν ) τέτοια ώστε1 2, (0,2x x Ξ 01 2

0 0

8 6( ) ( )(2 )

xf fx x

x x -Ά Ά- =-

.

ΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ.

Σ

εώρημα Θ

και είο

ν μια συνάρτηση f Α

• είναι συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ • )x(f = για κάθε εσωτερικό σημ Δ0 x∈

ερή στο Δ . τότε η f είναι σταθ

όρισμα

Π

ν δύο συναρτήσεις f , g ίναι συνεχείς σ’ ένα διάστημα Δ αι

για κάθε εσωτερικό σημείο

Α• ε κ• )x(g)x(f = Δx∈

c)x(g)x( += για κάθε x .Δ∈ τότε υπάρχει σταθερός αριθμός c τέτοιος, ώστε f Παρατηρήσεις:

Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που έχουν την ίδια παράγωγο. Για όλες αυτές τις συναρτήσεις ισχύουν τα εξής:

1.


60


α) Διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια

β) Στα

σταθερά c.

σημεία με την ίδια τετμημένη ,Δxο ∈ φαπτόμενες των γραφικών τους οι ε

παραστάσεων είναι παράλληλες.

γ) Έχουν τους ίδιους ρυθμούς μεταβολής.

2. Το θεώρημα και το ρισμα ισχύουν σε

διάστημα και όχι σε ένω διαστημάτων. πό ση

π.χ. για τη συνάρτηση

ισχύει⎩⎨ >

<=

0x,20

)x(f ⎧ x,1

0)x(f = για κάθε , παρόλα αυτά ρή στο R*.

∗∈Rxη f δεν είναι σταθε

Μεθοδολογία Α ΟΜΑΔ΄ Α: ( Σταθερή συνάρτηση – Εύρεση τύπου ) Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι σταθερή σ’ ένα διάστημα Δ και στη συνέχεια να βρούμε τον τύπο της ακολουθούμε την εξής διαδικασία. • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο Δ και ερικ σημείο . 0)x(f = για κάθε εσωτ ό Δx∈

Συμπεραίνουμε ότι η f είναι σταθερή στο Δ, δηλαδή f για κάθε x• c)x( = Δ∈ . • Υπολογίζουμε τη σταθερά c και στη συνέχεια βρίσκουμε τον τύπο της f. Παράδειγμα 1 : Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις με RR:h,g → )x(g)x(h΄ 2007−= και

)x(h)x(g΄ 2007= για κάθε .Rx∈


61


α) Ν είναι σταθερή στο R. β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f, αν είναι g(

α αποδείξετε ότι η συνάρτηση )x(f = )x(h)x(g 20082008 +

0)1 = και h .1)1( = Λύσ α) Οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο R, ρα καθεμιά από τις υν στο R ως γινόμενο παραγωγισίμων,

ως άθροισμα παραγωγισίμων με

η

h,g άσ αρτήσεις 20082008 h,g είναι παραγωγίσιμηοπότε και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R,

( ) =+ )x(h΄(x)h2008)x( 2007 =+= g΄(x)g2008΄(x)h(x)g(x)΄f 200720082008

( ) =−+= (x)g(x)h2008(x)h(x)g2008 2007200720072007 Άρα η συνάρτηση f είναι σταθερή στο R.

) Για κάθε είναι οπότε για έχουμε:

άρα

.0(x)(x)2008 20077 =−= g(x)h2008h(x)g 20072002007

β Rx∈ ,c)x(h)x(gc)x(f 20082008 =+⇔= 1x =

,1cc10c)1(h)1(g 20082008 =⇔=+⇔=+ .Rx,1)x(f ∈= Παράδειγμα 2 : ίνεται η συνάρτηση xυνΔ σ3xμη3xυνσ2xμη2)x(f 4466 −−+= , Rx∈ .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο R.

τον τύπ

)

β) Να απλοποιήσετε ο της συνάρτησης f. Λύση α Για κάθε Rx∈ είναι

( ) =−−+= ΄xυνσ3xμη3xυνσ2xμη2)x(f΄ 4466

=+−−= μxηxυνσ12xυνσxμη12μxηxυνσ12xυνσxμη12 3355

( ) ( ) =−−− xυνσxμηxυνσxμη12xυνσxμηxν 22 υσxμη12 44=


62


( ) ( ) =−−= x−+ μηxυνσx2μη6xμηxυνσx2μη6 4 224

( )( ) ( ) =−+ μηx+−−= xυνσxμηxυν 22 σxμηxυνσx2μη6 2222 2μη6x .0x2συνx2μη6x2συνx2μη6 =+−= Άρα η συνάρτηση ίναι σταθερή στο R. β) Για κάθε Rx∈ είναι

f ε

,cxυνσ3xμη3xυνσ2xμη2c)x(f 4466 =−−+⇔= οπότε για έχουμε:

0x =

,1cc0υνσ30μη30υνσ20μη2 446 −=⇔=−−+ άρα .Rx,1)x(f ∈−= 6

Παράδειγμα 3 : Έστω μια συνάρτηση f η οποία για κάθε Ry,x ∈ ικανοποιεί σχέση

(1) . Να αποδείξετε

)

τη

( )2yx)y(f) −≤−x(f ότι :

( )2yx)y(f)x(f −≤− για κάθε .Ry,x ∈ α Η συνάρτησηβ) είναι σταθερή στο R.

ύση

) Η σχέση (1) ισχύει για κάθε

f Λ α ,Ry,x ∈ άρα θα ισχύει και για ,Rx,y ∈ οπότε είναι

( ) ( ) ( ) )y(f)x(fyxyx)y(f)x(fxy)x(f 222 −≤−−⇔−≤+−⇔−≤)y(f − (2).

έ

Από (1) και (2) χουμε

( ) ( ) ( )222 yx)y(f)x(fyx)y(f)x(fyx −≤−⇔−≤−≤−− για κάθε .Ry,x ∈ β) Για με έχουμε

x,x o ∈ oxx ≠ R


63


( ) ⇔−≤−

−⇔−≤−⇔−≤− ox

)x(f)x(f oo

2oo

2oo xx

xx)(f)x(f

xx)x(f)x(fxx

oo

ooo

o

o xxxx

)x(f)x(fxxxxxx

(f)x(f−−

⇔)x

−≤−−

≤−−⇔−≤

Είναι ( ) 0xxlimxxlim =−=−− , οπότεoxxoxx oo →→

από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε

ότι και

.0)x(f΄0xx

)x(f)x(flim oo

o

xx o

=⇔=−−

→ Είναι 0)xo = για ,Rxoκάθε ∈ (f΄

επομένως η f είναι σταθερή στο R. Β΄ ΟΜΑΔΑ : ( Απόδειξη ταυτοτήτων ) Περιλαμβάνει ασκήσεις που αφορούν την απόδειξη ταυτοτήτων. Στις ασκήσεις αυτές συνήθως ακολ . ουθούμε την εξής διαδικασία • τους όρουΜεταφέρουμε όλους ς της ταυτότητας σ’ ένα μέλος, συνήθως στο πρώ ήδη στο μέ . το, αν δε βρίσκονται λος αυτό • Θεωρούμε συνάρτηση f με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της ταυτότητας. • Δείχνουμε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή με τιμή 0. Παράδειγμα 1 :

αποδείξετε ότι Να xμη212xνυσ 2−= για κάθε .Rx∈ Λύση

ύμε τη συνάρτηση .Rx,1xμη22xνυσ)x(f 2 ∈−+= Θεωρο Η συνά είναρτηση f ι παραγωγίσιμη στο με R =⋅⋅+⋅−= μx)΄(ηxμ2η2(2x)΄2xμη)x(f

.02xμη22xμη2xνυσxμ2η22xμη2 =+−=⋅+− =


64


Παρατηρούμε ότι για κάθε 0)x(f = ,Rx∈ άρα η f είναι σταθερή στο R, οπότε

για κάθε

είναι

x(f c) = .Rx∈

Για 0x = ,0cc10 μη20νυσc0)(f 2+⇔= =⇔=− οπότε για κάθε Rx∈ έχουμε

.xμη212xνυσ01xμη22xνυσ0)x( 22 −=⇔=−+⇔= f Παράδειγμα 2 :

( ).,0y,x ∞+∈ Να αποδείξετε ότι ynlxnly)xn(l += για κάθε Λύση εωρούμε τη συνάρτηση Θ ( ).,0y,x,ynl xnly)xn(l)x(f −= ∞+∈− Παραγωγίζουμε ως

ια έχουμε

προς x θεωρώντας το y ως σταθερά. Γ ( )∞+∈ ,0x

( ) 0x1

x1

x1

xyy0

x1)yx(1΄ynlxnly)xn(l)x(f =−−=

xy=−=−=−−

αρατηρούμε ότι για κάθε

Π 0)x(f = ( ),∞+∈ ,0x ( ),∞+,0 άρα η f είναι σταθερή στο πότε c)x(f = , ( ).,0y,x ∞+∈ ο

άρα για κάθε ( ),∞+∈ ,0y,xΓια 1yx == είναι ,0cc1nl1nl1nlc1)(f =⇔=−−⇔=

έχουμε n(l0)x(f 0ynlxnly)x y)xn(l xnl nl .y⇔= =−− =⇔ +

Γ΄ ΟΜΑΔΑ : ( Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους ) Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες δίν ται μιαε σχέση στην οποία εμφανίζονται ενδεχομένως οι συναρτήσεις ΄΄f,f,f και κάποιες άλλες παραστάσεις που περιέχουν τη μεταβλητή x . Στις ασκήσεις αυτέ ως ακολουθούμε την εξής διαδικασία. ς συνήθ

Αξιοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης αθροίσματος , γινομένου , •


65


πηλίκου ης συνάρτησης καταλήγουμε τελικά σε μια σχέση της μορφής ή σύνθετ

[ ] [ ](x)g΄(x)f = , Δx∈

Αν το Δ είναι διάστημα, τότε •

, Δx∈ c(x)g(x)f +=

Αν 21 ΔΔΔ U= , δηλαδή ι ένωση δι το Δ είνα αστημάτων, τότε

⎩⎨⎧

∈+

∈+=

22

11

Δxαν,c(x)gΔxαν,c(x)g

(x)f

• Υπολογίζουμε τη σταθερά c ή τις σταθερές και στη συνέχεια βρίσκουμε 21 c,cτον τύπο της f. Παράδειγμα 1 :

ηση f ο τοΝα βρείτε συνάρτ ρισμένη σ ( )∞+,0 τέτοια, ώστε 1xx1)x(f += − για

( )κάθε ∞+∈ ,0 x 4 και .)1(f = Λύση

είναι: Για κάθε ( )∞+∈ ,0x

΄x2xlnx)x(f1x

x1)x(f

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⇔−+= , οπότε cx

2xlnx)x(f

2

+−+= .

Είναι .

29c4c14c1

21ln14)1(f =⇔=+−⇔=+−+⇔=

2

ραΆ ( ).,0x,2291 xxlnx)x(f 2 ∞+∈+−+=


66



Ν

α βρείτε συνάρτηση f ορισμένη στο ⎟⎠⎞−

2π,

2π ⎜

⎝⎛ τέτοια, ώστε

ν2xυσ12)x(

+= f

για κάθε ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈

2π,

2πx και .1)0(f =

Λύση

Για κάθε ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈

π,πx22

είναι:

⇔=⇔

−+=⇔

+=

xνυ2σ222x(f )x(f

1xνυ2σ1)x(f

ν2xυσ1) 22

( )xφε)x(f

xνυσ1)x(f 2 =⇔=⇔ , οπότε .cxφε)x(f +=

Είναι .1c1c0φε1)0(f =⇔=+⇔= Άρα .2π,

2πx,1xφε ⎜

⎝⎛−∈+

)x(f ⎟⎠⎞=

ειγμα 3 : Παράδ

ε συνάρτη ισμένη στο R τέτοια, ώστε

1x2x)x(f 2 +

= Να βρείτ ση f ορ για κάθε

και Λύση ια κάθε είναι:

R∈ .2)0(f −= x

Γ Rx∈

( ) ( )[ ]1xln)x(f΄1x1x

1)x(f1x

2x)x(f 2222 +=⇔++

=⇔+

= , οπότε ( ) .c1xln)x(f 2 ++=

Άρα ( ) .Rx,21xln)x(f 2 ∈−+= Είναι .2c2cln12)0(f −=⇔−=+⇔−=


f ορισμένη στο α βρείτε συνάρτηση 1R − Ν τέτοια, ώστε

3x2x)x(1)f-(x 2 −+=


67


για κάθε ,1Rx −∈ 1)0(f = και 2(f .13) = Λύση Για κάθε 1Rx −∈ είναι

( ) ⇔+=⇔+=⇔−+

=⇔−+= ΄3xx)x(f32x)x(f1-x

3x2x)x(f3x2x)x(1)f-(x 22

2

Είναι και

πότε

αράδειγμα 5 :

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>++

<++=⇔+=⇔

1xαν,c3xx1xαν,c3xx

)x(f΄3xx)x(f2

21

22

1c1c0301)0(f 112 =⇔=+⋅+⇔= ,3c13c23213)2(f 22

2 =⇔=+⋅+⇔=

⎪⎩

⎪⎨⎧

>++

<++=

1xαν,33xx1xαν,13xx

)x(f2

2

ο

Π

α βρείτε συνεχή συνάρτηση f που ικανοποιεί τις σχέσεις Ν 3x2x)x(1)f-(x 2 −+= για κάθε 1Rx −∈ και .4)1(f =

Λύση

ε

1Rx −∈ Για κάθ είναι

( ) ⇔+=⇔+=⇔−

−+=⇔−+− x2x1)f(x 2= ΄3xx)x(f32x)x(f

1x3x2x)x(f3)x( 2

2

χουμε

f είναι συνεχής στο , οπότε

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>++

<++=⇔+=⇔

1xαν,c3xx1xαν,c3xx

)x(f΄3xx)x(f2

21

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>++

=<++

=

1xαν,c3xx1xαν,41xαν,c3xx

)x(f

22

12

Επειδή 4)1(f = έ

1xo = ⇔==

+− →→(1)f(x)flim(x)flim

1x1x Η


68


( ) ( ) 0cc4c1314c131

4c3xxlimc3xxlim 212

21

2

22

1x1

2

1x==⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+⋅+

=+⋅+⇔=++=++

+− →→ ⇔

Άρα

ιγμα 6 :

.Rx,3xx)x(f1xαν,3xx1xαν,41xαν,3xx

)x(f 2

2

2

∈+=⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

⇔=<+

=

Παράδε

βρείτε συνάρτηση f που ικανοπ ς σχέσεις για κάθε και

Ναx

οιεί τι x31)1-2x(f += R∈ .3)1(f =

Λύση

ος τρόπος 1

ια κάθε είναι

Rx∈ Γ

−⇔+ x31f ⇔+=−⋅−⇔+==−

⋅

2x6)12x()12x(fx62)12x(f2)12x(2

[ ] ( ) ,΄2xx3΄)12x(f 2 +=−⇔ οπότε

Άρα

Θέτουμε

,c2xx3)12x(f 2 ++=− Για 1x = είναι 13 2+⋅= .2cc53c12)1(f −=⇔+=⇔+⋅ 2.2xx3)12x(f 2 −+=−

οπότε έχουμε ⇔−+

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= 22

1t22

1t3)t(f2

,2

1txt12x +=⇔=−

41t

25t

43)t(f 2 −+= .Rx,

41x

25x

43)x(f 2 ∈−+= . Άρα ⇔

ος2ος τρόπ ια κάθε είναι Rx∈ .x31)12x(f +=− Γ

Θέτουμε ,xt12x ⇔=− οπότε 2

1t += έχουμε

΄t25t

43)t(f

25t

23)t(f

21t31)t(f 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇔+=⇔

++= , άρα .ct

25t

43)t(f 2 ++=


69


.

41c3c1

251

433)1(f 2 −=⇔=+⋅+⋅⇔= Άρα .Rx,

41x

25x

43)x(f 2 ∈−+= Είναι

αράδειγμα 7 : Π

ρτηση f που ικανοποιεί τις σχέσεις για κάθε

πος

Να βρείτε συνά 23 x5)x(f =

( )∞+∈ ,0x και .97)8(f =

Λύση 1ος τρό

είναι

( )∞+∈ ,0 Για κάθε x

⇔=⋅⇔=⇔=≠⋅

)3x()x()x(fx15)x(f3xx5)x(f 53343203x

232

( ) ( ) ,x3)x(f 53 =⇔ ΄ οπότε

έχουμε ‘Αρα

έτουμε

,cx3)x(f 53 += Για 2x = 9697 = 3 .1ccc238)(f 5 =⇔+⇔+⋅= .1x3)x(f 5 +=

οπότε έχουμε ( ) 1tt3)t(f1t3)t(f 3 2,txtx 30x

0t

3 =⇔=>

>

5Θ 3 +=⇔+=

Άρα

( ).,0x,1xx3)x(f 3 2 ∞+∈+= ος τρόπος2

είναι

( )∞+∈ ,0x .23 x5)x(f = Για κάθε

⇔=⇔= 32

3 2 t5)t(ft5)t(f xt0x

0t⇔>

>Θέτουμε ,tx 33 == οπότε έχουμε

.΄

t3)t(f΄

35

t5)t(f΄

132t5)t(f 3

5351

32

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⇔⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=⇔

+

.cΆρα tt3f 3 2 +)t(fctt3)t(fct3)t( 32

35

=⇔+⋅=⇔+=


70


.1c97c9697c88397)8(f 3 2 =⇔=+⇔=+⋅⇔=Είναι

( )Άρα .,0x,1xx3)x(f 3 2 ∞+∈+=

Δ΄ ΟΜΑΔΑ : ( Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους – Ειδικές περιπτώσεις ) Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες θέλουμε να βρούμε τον τύπο μιας συνάρτησης f σε ένα δι μιαάστημα Δ από σχέση της μορφής: 1) , )x(β)x(f)x(α)x(f =+ Δx∈ Στις ασκήσεις αυτές ακολουθούμε την εξής . διαδικασία Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (1) με όπου Α(x) είναι μια ,Α(x)e παράγουσα της α(x) στο διάστημα Δ και έχουμε:

( ) ⇔=+=+ )x(βe)x(΄f)x(Αee)x(f)x(αe Α(x)Α(x)Α(x)Α(x)Α(x)Α(x) ⇔ e)x(f)x(βe)x(f

( ) ( ) ⇔=⇔=+ )x(βe΄e)x(f)x(βe)x(΄fee) Α(x)Α(x)Α(x)Α(x)Α(x) ⇔ x(f

( ) ( ) ,ece)x(g)x(fc)x(ge)x(f΄)x(g΄ Α(x)-Α(x)-Α(x) +=⇔+=⇔=e)x(f Α(x)⇔ ,Δx∈ όπου (x)g ουσα τη σ μια παράγ ς το Δ . )x(βeΑ(x) 2) , Δx∈ )x(f = )x(gλ Στις ασκήσεις αυτές ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Θεωρούμε τη συνάρτηση:

• Δx,)x(g)x(f(x)F ∈= και αποδεικνύουμε ότι είναι σταθερή με τιμή λ .

ή

και αποδεικνύουμε ότι είναι σταθερή με τιμή 0. Δx,)x(gλ)x(f(x)G ∈−= •


71


Παράδειγμα 8 : ( Βασική Άσκηση )

α αποδείξετε ότι μια συνάρτηση ορισμένη στο έχει την ιδιότητα Ν f R f ΄f = αν

τρόπος

και μόνο αν ,Rx,ec)x(f x ∈= όπου c πραγματική σταθερά. Λύση ος1

ια κάθε είναι Γ Rx∈

-x

( ) ⇔=+⇔=−⇔=−⇔=⋅

0)x(΄fe)ex(f0)x(fe)ex(f0)x(f)x(f)x(f)x(f x-x-x-x-e

( ) .ec)x(fce)x(f0΄e)x(f x-x-x =⇔=⇔=⇔ 2ος τρόπος

Έστω ότι Θεωρούμε τη συνάρτηση .Rx,e

)x(f(x)F x ∈= .f ΄f =•

Για κάθε είναι

Rx∈

( )0(x)F΄

e)x(f)x(f(x)F΄

ee)x(fe)x(f(x)F΄

e) 2x ⇔=⇔⎟

⎠⎜⎝

= ΄)x(f(xF΄ xx

xx

=⇔−

=−⎞⎛

Άρα .Rx,ec)x(fce

c(x)F x⇔=)x(f x ∈=⇔=

Έστω ότι , τότε • xec)x(f = ( ) Rx,)x(f)x(fec)x(f΄ec)x(f xx ∈=⇔=⇔= Άρα Παράδειγμα 9 :

.f ΄f =

Ν βρείτε συνάρτηση f πο κάθε και

α υ ικανοποιεί τις σχέσεις )x(fx2)x(f −= για

R∈ .2)0(f = x Λύση


72


Για κάθε Rx∈ είναι ⋅

0)x(fex2e)x(f0))x22

2x

xxe

⇔=+⇔=+⇔−= x(fx2)x(f) x(fx2(f

( ) ( ) ( ) ⇔=⇔=+⇔=+ 0΄e)x(f0)x(f΄ee)x(f0)x(f΄xee)x(f22222 xxx2xx ⇔

.ec)x(fce)x(f

22 -xx =⇔= ⇔ Είναι οπότε

ράδειγμα 10 :

,2c2ec2)0(f ο =⇔=⇔= .Rx,e2)x(f2-x ∈=

Πα

α βρείτε συνάρτηση f που ικανοποιεί τις σχέσεις για κάθε Ν )x(f)x(΄΄f = ,Rx ∈

2)0(f =΄ και

Λ

εί

όπου

.0)0(f = ύση

Για κάθε x∈ ναι R

( ) ⇔+=+⇔+=+⇔=+

)x(f)x(f΄΄)x(f)x(f΄)x(f)x(f΄)x(f΄)x(΄΄f)x(f)x(΄΄f)x(f΄

,)x(g)= x(΄g⇔ . Rx,)x(f)x(f΄)x(g ∈+= Γ Rx∈ ια κάθε είναι

( ) ⇔=+⇔=−⇔=−⇔=⋅

0)x(΄ge)ex(g0)x(ge)ex(g0)x(g)x(g)x(g)x( x-x-x-x-e-x

g

( ) .ec)x(f)x(f΄ec)x(gce)x(g0΄e)x(g xx-x-x =+⇔=⇔=⇔= ⇔

Για 0x = έχουμε ,2cec)0(f)0(f΄ ο =⇔=+ οπότε ., Rxe2)x(f)x(f΄ x ∈=+ Για κάθε Rx∈ είναι

( ) ( ) ⇔=+⇔=+⇔=+⋅

΄e΄e)x(fe)x(f΄e2e)x(fe)x(f΄e2)x(f)x(f΄ x2xxx2xxe

xx

( ) ( ) ce)ex(f΄e΄)ex(f x2xx2x +=⇔=⇔ Για έχουμε οπότε 0x = ,1ccee)0(f οο −=⇔+=

.Rx,ee)x(fe

1e)x(fe)ex(f x ⇔= 1 xxx

x2x2 ∈−=⇔

−=− −


73


Ασκήσεις για λύση

7) Μία συνάρτηση :f R R® κάθε

3 είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει για( )f xΆΆ + =( ) 0f x x RΞ , . Απ είξτε ότι:

) Η συνάρτηση είναι σταθερή.

και (0f οδ) (0) 0f Ά= =

[ ] 22( ) ( ) ( )h x f x f xι ωΆ= + λ ϋ 1 2) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f . 38) Δίνονται οι συναρτήσεις , f g

( ) ( )g xοι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο R.

τουμε ότι ισχύει , για κάθε ( ) ( ) ( ) ( ) , g( ) 0f x f x g x f x g x xΆ Ά- = ΉΥποθέ(1) 1= . x RΞ και (1)

fg e

ποδείξτε ότι : 1) Η συνάρτηση ( )( ) ( )

xf xh x eg x

= Α είναι σταθερή,

αι μάλιστα ισχύει

2) Η συνάρτηση

( ) 1 , h x x R= Ξ κ

f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R.

39) Μία συνάρτηση

: (0, )f R+ ¥ ® είναι παραγωγίσιμη στο fD και ισχύει ( )xf e xm s uΆ x για κάθε h n= + x RΞ f. Έστω αι ότι είν (1)=1.

ξτε ό 1) Αποδεί τι ( ) 1x xf e e xhm= + . 2) Να βρεθεί ο τύπος της f .

βρείτε της εφαπτομένης ικής παράστασης της 3) Να f την εξίσωση της γραφ στο

ίο τη fσημε ς Μ (1, (1)). (απ. (3) y=x )

0) Μία συνάρτηση 4 : (0, )f R+ ¥ ® είναι παραγωγίσιμη στο fD και ισχύει

2 ( )x xe f e x xs un hmΆ = - για κάθε x RΞ . Έστω ότι είναι f (1)=2006.


74


1) Αποδείξτε ότι ( 2006f e + . )xx

xe

hm=

) Να υπολογίσετε το f (π).

2 41) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f στις παρακάτω περιπτώσεις:

) Η

1 f παραγωγίσιμη στο διάστημα ,φp pζ-

2 2χη ( ) ( ) ( )f x x f x x f x xs un hm s unΆ + =χη χηθ ψ με

και f (0)=1992. ΘΕΜΑ 1992)

2) Η

(

( ) ( ) ( )xf x f x e x xs un hmΆ - = -f παρ μη για κάθε x RΞ αγωγίσι στο R με και f (0)=1.

3) Η f παραγωγίσιμη στο διάστημ

( ) ( )f x x f x x fhm s unΆ -

α (0,π) με

και ( ) , ( ) 0f x x xhm= Ή π 12

fζ φχη =χη χηθ ψ

.

) Η

με ( ) ( ) 1998xf x f x xΆ - = f παραγωγίσιμη για κάθε (0, )xΞ + ¥ και 4f (1)=1998. ΘΕΜΑ 1998)

5) Η

(

f παραγωγίσιμη στο R με ) 2 ( )( f xxe-= για κάθε f xΆ x RΞ f και (0)=0.

( )2 ( ) x f xf x e -= Ά6) Η f παραγωγίσιμη στο R με για κάθε x RΞ και f (0)=0.

(ΘΕΜΑ 2005)


75


Απαντήσεις - Υποδείξεις στις Ασκήσεις για λύση:

f 2) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση στο διάστημα [0,1].

διάστημα [0,1].

ω

4) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση ( )h x kx στο 6) Έστ

( )f x= -

f (α)= f (β) και με το θ.Rolle καταλήγουμε σε άτοπο.

( ) ( )h x xf x= 7) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση Εφαρμόζο

στο διάστημα [0,1].

8) υμε θ.Rolle για τη συνάρτηση στο διάστημα [α,β].

στο διάστημα [α,β]. 10) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση στο διάστημα [α,β].

1) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση

( ) ( ) ( )h x f x g x=

9) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση ( ) ( )h x f x= -

ln( ( )f x

2x

( ) ( ) )h x g x= -

( )( )

( )f xf x

h x Ά= 1 στο διάστημα [α,β].

12

Ισχύει

σημείου Β.

i) Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της g κ.λ.π.

4) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση στο διάστημα [0,1].

5) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση h στο διάστημα [ο,ρ].

6) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση στο διάστημα [α,β].

8) Έστω ότι έχει τρεις ρίζες …καταλήγουμε σε άτοπο εφαρμόζοντας το θ.Rolle στα δύο διαστήματα που ρίζουν οι τρεις αυτές ρίζες.

9) i) Είναι

) Έστω ότι έχει δύο ρίζες και με το θ.Rolle καταλήγουμε σε άτοπο.

13) i) ln ( ) ln ( ) ln ln (a f a f e fbb b+ = + Ϋ +

κ.λ.π. ( ) ( )

ln ln ( ) )

ln ( ) ln ( ) ( ) ( )

ae f a

a ae f a e f e f a e f

b

b bb b

+ = Ϋ

Ϋ = Ϋ =

ii) Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του ii 1 ( ) ( ) (1 )h x f x f x= - 1

( ) ( ) ( )h x f x f xΆ= 1 1ο 1 ( ) ( ) ( )f x x xr p= - , άρα αν παραγωγίσουμε βρίσκουμε ( ) ( ) ( ) ( )f x x xp r pΆ Ά= + - .

0 ( ) 0p r= ή = , άτοπον…κ.λ.π. x Αν το ρ

ναι ρίζα της παραγώγου θα ισχύει ( ) ( ) ( ) ( )f r p r r r p rΆ Ά= + -εί

ii) Είναι ( ) ( ) ( )f x x xnr p= - παραγωγίζουμε κ.λ.π. 20 )Εφαρμόζουμε θ.Bolzano για την ύπαρξη της ρίζας. Την μοναδικότητα μπορούμε να την αποδείξουμε με

σε της ρίζας υποθέτουμε ότι την μονοτονία ή με το θ.Rolle και απαγωγή άτοπο. Για την πολλαπλότητα


76


είναι πολλαπλότητας 2 , άρα θα ήταν ρίζα και της παραγώγου …άτοπον. Τέλος εφαρμόζοντας θ.Bolzano ει τρεις ρίζες.

η

στα διαστήματα (0,1) , (1,3) , (3,4) βρίσκουμε ότι η εξίσωση έχ

(f x)21) i) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτησ ( )

xh x = ]. Έστω ότι έχει και δεύτερη

ς το θ.Rolle.

) Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου Ο(0,0).

g στο διάστημα [α,β].

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου A.

i) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση

στο διάστημα [α,β

ρίζα …καταλήγουμε σε άτοπο εφαρμόζοντα ii 22) i) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση ii) 23) i) Εφαρμόζουμε θ.Rolle για τη συνάρτηση g στο διάστημα [0,1].

gΆ i στο διάστημα (0,ρ).

αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ στο διάστημα (α,β) τέτοιο ώστε Θ.Μ.Τ. κ.λ.π.

θ.Rolle .

9) Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα

24) Πρέπει να 3- .Εφαρμόζουμε ( )f xΆ =

25) Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [1,2] και [2,3] και στη συνέχεια θ.Rolle κ.λ.π. 26 , 27 , 28 ) Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. και στη συνέχεια

2 [ , ] , [ , ]2 2

ροκύπτει πάλι το Θ.Μ.Τ.

a aa

b bb

+ +. Προσθέτουμε κατά μέλη και

π

30) Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [ , ]ab

, ] , [2 2

a abb

+ + θ.Rolle .

για τη συνάρτηση

και στη συνέχεια

31) 1) Εφαρμόζουμε θ.Rolle f στο διάστημα [α,β].

υμε Θ.Μ.Τ. για τη σ 2) Εφαρμόζο υνάρτηση f στα διαστήματα [α,γ] , Θ.Μ.Τ. για την

[γ,β] και στη συνέχεια πάλι f Ά.

32) 1) Εφ στο διάστημα [0.1] γιααρμόζουμε θ.Bolzano τη συνάρτηση .

3) Εργαζόμαστε όπως και στην άσκηση 32.

Από την υπόθεση προκύπτει

( ) ( ) 1h x f x x= + - 2) Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. 3 34) Εργαζόμαστε με το Θ.Μ.Τ. θεωρόντας κατάλληλη συνάρτηση. 35) f Ά(ξ)<0, όπου ξ ανήκει στο διάστημα [α,β]. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε

f Ά θ.Bolzano στα διαστήματα [α,ξ] , [ξ,β] για την και μετά

6) Εργαζόμαστε όπως και στην άσκηση 32.

θ.Rolle . 3


77


37) Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε ( ) 0h xΆ = x RΞ . 38) 1) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ) 0h xΆ = για κάθε x RΞ . Στη συνέχεια αντικαθιστούμε το 1 κ.λ.π. 2) Έστω ότι η f δεν διατηρεί πρόσημο στο R.Tότε θα υπάρχουν 1,x 2x RΞ , τέτοια ώστε 1 2( ) ( ) 0f x f x < .

Άρα από το θ.Bolzano στο διάστημα 1 2 ][ ,x x θα υπάρχει 0 1 2( , )x x x τέτοιο 0( )f x 0= . Ξ ώστε

ντικαθιστού στη σχέση με ( )

1= το Α( )g x

f x xe άτοπον. Άρα η f διατηρεί x με το 0x καταλήγουμε σε

πρόσημο.

39) Πολλαπλασιάζουμε τη δοθείσα με xe και προκύπτει ( ) ( )( )x xf e e xhmΆ Ά= κ.λ.π.

Ά

40) 1) Η δοθείσα γράφεται ( )x xxe f x xe

s un hm-Ά = άρα ( )( )

xxf e xhm

eΆ=

ζ φχη χη χη κ.λ.π.

2) Θέτουμε όπουθ ψ

x το lnπ κ.λ.π.

41) 1) ( ) 1992 xf x e xs un= , 2) ( ) ( )xf x e x xhm s un= + , 3) 1

( ) x

2

x e xhm= ,

epf

1 x4) ( ) 1998 (1 ln )f x x x= + , 5) 2( ) ln(1 )f x x= + , 6) ( ) ln( 2 )

e+

f x =


78


Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ

ε ολογικής κατεύ ς

Μαθηματικά θ τικής – τεχν θυνση

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ . 2Ο

ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟΣΔ Σ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΝΟΝΕΣ DE L’ HOSPITAL


79


ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 42) Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία οι συναρτήσεις.

1) 3( ) 6 3f x x x= - + 2) ( )ln

xf xx

= 3) 2( ) 5f x x x= - + x

4)2 1 , 1

( )ln , 1x x

f xx x

μο - £ο= νο >οξ 5) 2 2( ) , 1

axef x ax a

= >+

ΣΧΟΛΙΟ: Στα σημεία αλλαγής τύπου όταν μελετάμε την μονοτονία ή τα ακρότατα μιας συνάρτησης μας ενδιαφέρει η συνέχεια και όχι η παραγωγισιμότητα της συνάρτησης. 43) 1) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικ

3 2( ) 2 1ού αριθμού α ώστε η συνάρτηση

f x x ax ax= - + - να είναι γνησίως αύξουσα στο R.

Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού α ώστε η συνάρτηση 2)

2( ) ln( 1) 1f x x ax= + + - να είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού α ώστε η συνάρτηση να είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού α ώστε η υνάρτηση να είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.

4) Να λυθούν οι εξισώσεις:

)

3

3 2( ) 2 5f x x ax x= - + - + 4

2( ) ln( 1)f x ax x= - +σ 4

1x xxe e+ = 2) 3) 1xe x+ =22 1 2xx e -+ =1

4) ln( 1)x x+ = 5) 22 3ln 3x x x+ + = 6 21 ln x x- =)

)

3 4 5x x x+ = 8) 2 24 ln( 3)x x- - =7

45) Να αποδειχθούν οι ανισότητες:


80


2) 12 3 , [1, )x xx

³ - Ξ + ¥1 , (0, / 2)x x x xhm s un p+ > Ξ1)

)

3) 0, )+ ¥ 4) )2ln(1 ) , (x x x+ < Ξ 2 ( 2 0 , 0xx x e x+ + - > >

2

1 , 052

x xe x x> + + > 6) x 1 ln(1 ) , 0xe x> + + >

7)3

, 03xx x xhm > - >


1) Να μελετηθεί η

( ) , 0 1xf x a x a= - < <4

f ως προς τη μονοτονία . 2) Να λυθεί η εξίσωση

2 4 2 2( 4) ( 2)x xa x a x- -- - (ΘΕΜΑ)

= - -

47) 1) Να αποδείξετε την ανισότητα ln 1 , 1x x x x+ > >

.

) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση ln( )1

xf xx

=-

, 1x > .2

) Να λυθεί η εξίσωση .

Θεωρούμε τη συνάρτηση

μελετήσε

2 2(4 5)ln ( 1)ln(4 4)x x x x- = - -3

48) 1+ . ( ) 5xf x e x= + 1) Να τε την f ως προς την μονοτονία.

) Να λυθεί στο διάστημα (0,2π) η εξίσωση x

5( )x xe e xhm s un s un hm- = - .

1) Να λυθεί η εξίσωση

2 49) 2 1x x= + . (1 )x e-


81


2) Αποδείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και ( ) 1xf x e= - 2) x(g x δικό κοινό σημx xe= + έχουν μονα είο.

) Θεωρούμε τη συνάρτηση

50 ( ) lnf x x e= - x .

) Να μετήσετε την f1 ως προς την μονοτονία. 2) Να αποδείξετε ότι e epp < . 3) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 0f x = . 51) Δίνονται οι συναρτ fήσεις και g που είναι παρρώτες παραγώγους , για τις ισχύουν :

αγωγίσιμες , με συνεχείς π οποίες

( ) ,( ) ( ) , ( ) f x g x g x f xΆ Ά= = Ξ x- R

) Αποδείξτε ότι υπάρχουν οι

, f gΆΆ ΆΆ 1 και είναι συνεχείς.

2) Αποδείξτε ότι

( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g xΆΆ ΆΆ+ = +2 2 ( )g x είναι σταθερή.

και ότι η συνάρτηση

) Αν η εξίσωση

( ) ( )x f x= +h

( ) 0f x = έχει δύο ρίζες 1 2x x< και 1 2( ) 0 , ( , )f x x xΉ Ξδιάστημα 1 2( , )

x , ακριβώς

3αποδείξτε ότι η ( ) 0g x = έχει στομία ρίζα x x .

(ΘΕΜΑ 1996)


5 ( ) ( 1)ln( 1)f x x x= + + - x , 0x ³ .

) Να μετήσετε την

f1 ως προς την μονοτονία.

2) Να αποδείξετε ότι ln( 0x + 1) , 1

x xx

³ ³+

.

) Να αποδείξετε ότι .

3) 1) Αποδείξτε ότι

1(1 ) , 0a aa e a++ ³ ³3

1 ln( 1) , 0xe x x³ + + ³51ln1

a ae eb

b+- >+

.2) Αν α>β>0 , αποδείξτε ότι


82


54) Δίνεται η συνάρτηση 2004 2004( ) ( 10)f x x x= + - , xΞ R . 1) Να μετήσετε την f ως π ην μονοτονία.

ριθμούς .

ρος τ 2) Να συγκρίνετε τους α 1 2004 2004 20040 , 8 2+ 55) Αποδείξτε ότι :

22 2 ln , a a

ab bχη- < > >χη χηθ ψ

1bζ φ 1)

2) , 02

a a a a phm bhmb- < < s unb s un b- < <

1ln , 03) 1

a aa

b b< - <-

b- <

αποδείξτε τι α=β.

) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει 2(α - β) = ημβ – ημα , αποδείξτε

αγωγίσιμη συνάρτηση )

56) 1) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει 3 3 3 3aa bb- = - , ό 2ότι α=β. 57) Θεωρούμε την παρ : (0,f R ® + ¥ για την οποία ισχύει

13 ( )( ) 5f x xf x e e ++ + = , για κάθε x RΞ .

) Να μελετήσετε την συνάρτηση

f 1 ως προς την μονοτονία.

της

1f −2) Να βρείτε τον τύπο .

.

) .

8) Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα οι συναρτήσεις:

3) Να λύσετε την εξίσωση f 2(ln ) (1 ) , 0x f x x= - >

2( ) (5 6f x f x> -4) Να λύσετε την ανίσωση 5


83


3 22 6( ) x xf x e- += 2) ( ) 2 1f x x x= - - 3) ( ) xf x e e= - x 1) 4) 2( ) ln 2ln lnf x x= - - x x+ x 5) ( )f x x=

, πόσες ές ρίζες έχει η εξίσωση6) πραγματικ20( ) 20 1f x x x= - + ( ) 0f x = ;

3( ) 3 1f x x x= - + , πόσες πραγματικές ρίζες έχ η εξίσωση ( ) 0f x = ;ει7)

1) Έστω η συνάρτηση , αφού μελετήσετε την ονοτονία της , να βρείτε το σύνολο τιμών της .

) Ομοίως για τη συνάρτηση

2( ) 3 1 , [2,4]f x x x x= + + Ξ59)μ 2) Ομοίως για τη συνάρτηση 3 2( ) 2 9 12 1f x x x x= - + +

, [ 1,3]xΞ -

3 2 3 3x x- +

1( ) xf x -= .

0) 1) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης 2

2

2( ) 2 12 2

xx

f x = + -+

6

τιμή της συν 1 4( ) 20 2 ln 4 2 2x xf x x + -= + - -2) Να βρείτε τη μέγιστη άρτησης .

1) 1) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α , β ώστε η συνάρτηση

6

3 2( ) 6 1f x ax x xb= + - + να δέχεται τοπικά ακρότατα στα σημεία και

) Αφού αντικαταστήσετε τις τιμές των α, β να μελετήσετε την

1 1x = 2 2= - . x

f 2 ως προς την

(ΘΕΜΑ)

+ , να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία

προσδιορ ίδος των ακροτάτων .

μονοτονία .

2) 1) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α , β ώστε η συνάρτηση62( ) (ln ) 2 3 1f x a x x x xb= + + +

1 1 και 2 2x = νέχεια ναx = . Στη συ ίσετε το ε


84


2) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α , β ώστε η συνάρτηση

τα στα σημεία να προσδιορίσετε το είδος των ακροτάτων .

2( 4 1f x x- + , να παρουσιάζει τοπικά ακρότα) ln( 1)x a x b= - -1 2= και 2 3x = . Στη συνέχειαx

ΣΧΟΛΙΟ: Μη ξεχνάτε ότι η συνθήκη 1( ) 0f x′ = , είναι αναγκαία για να παρουσιάζει η συνάρτηση f τ.ακρότατο στο εσωτερικό σημείο 1x ,του π. ορισμού της όχι όμως και ικανή.Άρα να μη ξεχνάμε την επαλήθευση. 63) Για μια συνάρτηση f , που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών

R ισχύει 3 2 3 2( ) ( ) 2 6 1( )f x f x f x x x xb g+ + = - + - , για κάθε x RΞαριθμών , ,γ πραγματικοί αριθμοί με την ιδιότητα β < 3γ.

1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα.

αύξουσα.

) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης

2β

2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνήσια

( ) 0f x = 3 στο διάστημα

(Θ

Έστ η συνάρτηση

(0,1). ΕΜΑ 2001)

ω ( ) (1 )xf x x= +64) . 1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . 2) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 3) Να αποδείξετε ότι ισχύει (1 ) 1xx+ ³ , για κάθε fx AΞ .

βρείτε ετικό πραγματικό αριθμό α για τον οποίο ισχύει ln(1 )a a 4) Να τον θ 2ln3= +

65) Έστω η συνάρτηση ln( ) xf xx

= .

1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού τη

ς f . 2) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.


85


ep p>3) Να αποδείξετε ότι ισχύει e .

) Να αποδείξετε ότι ισχύει

11 2

a ea ebb £ , για κάθε ) .

τήσεις

, (0,a b Ξ + ¥4 66) ΄Εστω οι συναρ f , g με πεδίο ορισμού το R. Δίνεται τηση ότι η συνάρ της σύνθεσης f οg είναι 1-1. 1) Αποδείξτε ότι η g είναι 1-1. 2) Αποδείξτε ότι η εξίσωση 3( ( ) ) ( ( )g f x x x g f x+ - = + 2 1)x - , έχει ακριβώς δύο

, να είναι η ελάχιστη δυνατή.

άθε

θετικές και μία αρνητική ρίζα. (ΘΕΜΑ 2002) 67) Να βρεθεί η τιμή του θετικού αριθμού α , ώστε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης

2( ) , 0a a xf x x e x-= > 68) 1) Αν ισχύει lnxa a e x³ + , για κ 0x > , αποδείξτε ότι α=e.

) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

:f R R® , για την οποία ισχύουν ( ) 0f xΆ Ή 2και ( ) 1 ( )f xe af x- ³ για κάθε x RΞ . Αν είναι f (1)=0, αποδείξετε ότι να α=1. 3) Αν ισχύει 2 2x xa+ ³ , α>0 , x RΞ , αποδείξτε ότι α=1/2.

:f R R® ,4) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει 2( ) 2 ( )

4xxf x x ephm+ - £ για κάθε x RΞ .Αποδείξτε ότι f (0)=3.

5) Αν για κάθε 0x > ισχύει ln x a a- + 0x ³ , αποδείξτε ότι α = -1. 6) Αν για κάθε 1x > - ισχύει ( 1)ln( 1) 1 xx x ax e- + £ - - , απο δείξτε ότι α = 0.

9) 1) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

:f R R® ,6 για την οποία ισχύει ( ) 2 2xf x e xs un+ £ + για x R . Αν είναιΞ fκάθε (0)=1 , να βρεθεί η εξίσωση της

ής παράστασηςεφαπτομένης της γραφικ της f στο σημείο Α(0,1).


86


*:f R R® ,2) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει +

2 ( ) 32xx f x phm+ ³ για κάθε * . Αν είναι fx R+Ξ (1)=2, να βρεθεί η εξίσωση της

φαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,2).

) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

ε

:f R R® , για την οποία ισχύει κάθε

31(1 ) ( ) 6xe f x x xhmp-+ + ³ για x RΞ . Αν είναι f (1)=3, ν α βρεθεί η εξίσωση

της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,3). 4) Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f , g για τις οποίες ισχύει

) x2( ) ln( 1) (f x x g x+ + ³ e- για κάθε x RΞ . Αν είνα fι (0)+1=g(0) , αποδείξτε ότι

0) Δίνεται η συνάρτηση e . Αν η

(0) (0) 1f gΆ Ά= -

4 3 2( )f x ax x x xb g d= + + + + f 7 παρουσιάζει

στω η συνάρτηση

τοπικά ακρότατα σε τρία διαφορετικά σημ είξτε ότι 23 8b a g> .

71) Έ

εία , αποδ

f παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, , για την οποία ισχύει )+∞2 3

5 3 4( ) 2 ( ) ( 1) 1) 1825 2 3

x xf x f x x⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣+ + = + − − + + , ) 3 ln(x f x⎤⎦ + για κάθε (x

x f[0, )Ξ + ¥ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι στο

(ΘΕΜΑ 1999)

2) Έστω οι συναρτήσεις

γνησίως αύξουσαδιάστημα [0, )+∞ .

f7 , g με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ , για τις οποίες

Είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο Δ. υποθέτουμε ότι ισχύουν: i)ii) f g′′ ′′= iii) Δ και0∈ (0) (0)f g= . Να αποδείξετε ότι: α) Για κάθε , ( ) ( )x f x g x cx∈Δ − = , όπου c R∈ .

Αν η εξίσωση ) 0 (f x β) = έχει δ ο ρίζες ετερόσημες ρ1 < ρ2 , η εξίσωση ( ) 0g x

ύ= , έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο κλειστό

διάστημα [ρ1 , ρ2 ]. (ΘΕΜΑ 1989)


87


ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ι συναρτήσεις: 73) Να μελετήσετε ως προς τη κυρτότητα κα τα σημεία καμπής τις 1) 2( ) ln( 1)f x x= − 2) ( ) xf x xe−= 3) 2( )f x x xημ= −

4) 5 4 3( ) 3 10 10 3f x x x x= − + + 5) 2 2( ) 2 ln 5 1f x x x

x= − +

υ πραγματικ ριθμού α , ώ τε η γραφική παράσταση 3 2

74) 1) Να βρείτε τις τιμές το ού α στης συνάρτησης να στρέφει τα κοίλα άνω για κάθε 4( ) 2 6 3f x x ax x= − + − x RΞ .

) Ομοίως για τη συνάρτηση

4 3 2( ) 2 6 3 2f x x ax x x= + + + +2 .

γραφική παράσταση ης συνάρτησης 2

75) 1) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε η

3 2 2( ) ( ) 1f x x a a x ax a= − − + + + , να παρουσιάζει καμπή στο ημείο (2, τ

fσ (2))

2) Να βρείτε την τιμή των πραγματικών αριθμών α , β ώστε η άσταση της συνάρτησης

γραφική παρ

3 2( )f x ax xβ= + , να παρουσιάζει καμπή στο σημείο Α(1,3).

ην τ ράσταση 3) Να βρείτε τ ιμή των πραγματικών αριθμών α , β ώστε η γραφική πατης συνάρτησης 2( ) x xf x ae xe eβ= − − , να παρουσιάζει καμπή στο σημείο

2(2, )M e . ΣΧΟΛΙΟ: Οι συνθήκες 1( ) 0f x′ = και 2( ) 0f x′′ = είναι 1x αναγκαίες για την ύπαρξη τ. ακροτάτου στο

2x , αντιστοίχως αλλά δεν είναι ικανές από μόνες τους να εξασφαλίσουν την ύπαρξή και σ στο. καμπής τους, γι’ αυτ καταφεό ύγουμε στον έλεγχο μετά την εύρεση των παραμέτρων.

4 3 2( )f x x ax x xβ γ δ= + + + +76) Αν η συνάρτηση , έχει δύο διαφορετικά σημεία καμπής , αποδείξτε ότι ισχύει 23 8a β . > 77) Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) xf x e= και ( ) ln 2g x x= + .


88


1) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 1y x= + είναι εφαπτομένη των γραφικών αραστάσεων των παραπάνω συναρτήσεων. π

2) Να αποδείξετε ότι η fC είναι κυρτή και η gC κοίλη. 3) Αποδείξτε ln 2 , ότι 0xe >x x> + .

Α) Δίνεται η συνάρτηση

f ορισμένη 78) και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα με τιμές στο . Να ότι η συνάρτηση (0, )+∞ δείξετε ( ) ln ( )g x f x= στρέφει τα κοίλα Δ

άνω αν και μόνον αν ισχύει ( )2( ) ( ) ( )f x f x f x′′ ′≥ . Β) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση g με 2( ) ln( 2)g x x= + στρέφει τα κοίλα άνω. (ΘΕΜΑ 1992) 79) Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει (f x′ κάθε x RΞ

κάθε ) 0≠ για . Θεωρούμ

α ε τη συνάρτηση για την οποία

ισχύει ( ) ( )g x f x′ 2 f= (x) γι x RΞ . Να αποδείξετε ότι αν η γραφική αράσταση της f έχει σημείο καμπής το Α ( )0 0, ( )x f x , τότε η εφαπτομένη της πγραφικής παράστασης της g στο σημείο Β ( )0 0, ( )x g x είναι παράλληλη στην ευθείαμε εξίσωση 2y x−

0 .

(ΘΕΜΑ 1996)

αγματικοί αριθμοί

5+ = 80) Δίνονται οι πρ , , λ κ λ< και η συνάρτηση κ

5 3( ) ( ) ( ) , f x x x xκ λ= − − ∈R . Να αποδείξετε ότι:

α) ( ) 5 3 ,( )

, f xf x x x

x κ λκ

≠ .

) Η συνάρτηση

λ′ = +

− −

( ) ln ( )g x f x=β στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα

)

1) Α) Έστω συνάρτηση

( , )κ λ . (ΘΕΜΑ 1995

f 8 ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει ( ) ( )2 ( 1) xf x f x x⎡ ⎤ − +⎣ ⎦′ ′ = , x e−+ για κάθε x RΞ . Να αποδείξετε ότι η ραφική παράσταση της f δεν έχει σημείαγ καμπής.

Β) Ομοίως αν 3 3( ) 2 ( ) x 2f x f x e x x⎡ ⎤ +⎣ ⎦′ ′ = + + + x RΞ , για κάθε .


89


ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΤΗΣ Γ ΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΡ ΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 82) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:

1)

2 , 0xπ2

( )4 , 0

2

xf x

x

ημ1( )f x xx

= − 2) 22 1)

2( x x

xf x − +=

− 3)

xπ

ημ⎪⎩

⎧⎪⎪= ⎨⎪ < ≤

− ≤ <

4) 2( )3 2

f xx x

1x +=

− + 5) ( )

1x

f xx

=−

83) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων αρτήσεων:

των συν

1) 3( )2 5xf xx−

=+

2) 2( ) 2f x x x x= + + ) − 3 1( ) f x xx

ημ=

4) 1

( ) xf x e=

ες (πλάγιες) όταν 84) Να βρεθούν οι ασύμπτωτ x →+∞ των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων.

)

π

2 1( )

1xf xx+

=+

2) 2( ) 4f x x= − 3) 2

21( ) 11

xf x xx+

= + −+

1

85) Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

2 1 5( )

1x x

f x− −

=2 9

3x( )f xx

−x +

2) 1) =+

86) Δίνεται η συνάρτηση 2 1( ) ln

2xf xx−

=−

.

1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.


90


2) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο ημείο Α(0, fσ (0))

ραφικής της παράστασης.

1) Αν η ευ είναι ασύμπτωτη ικής παράστασης της

συνάρτησης

3) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γ

87) θεία 2y = της γραφ

2axx

2( )1

xf x ββ

+ −=− +

στο +∞ , να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς

.

) Αν η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

α, β

2 1y x= − 2

συνάρτησης 3 2

2

(3 ) 2( )1

ax xf xx

β+ − −=

+ στο +∞ , να βρείτε τούς πραγματικούς

α, β.

) Αν η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

ης

αριθμούς

2 1y x= + 32( )f x x 2 5x axσυνάρτησ β= − + − − στο +∞ , να βρείτε τούς πραγματικούς

θμούς α, .

τη της γ ασης της

αρι β 88) Έστω ότι η ευθεία 2 5y x= + είναι ασύμπτω ραφικής παράστυνάρτησης f στο +∞ . σ

( )lim

x

f xx→+∞

( ( ) )lim 2x

f x x→+∞

− α) όρια : Να βρείτε τα και

( ) β) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ αν ( ) 2lim 1

2 3x

4f x xxf x x x→+∞

=− +

. μ +

(ΘΕΜΑ 1994)

9) ) Έστω

8 , :f g R R® , είναι συναρτήσεις συνεχείς στο R τέτοιες ώστε να

: ( ) ( )g x x- = 4-f x , για κάθε x RΞισχύει . ωση 3 7y x= −Έστω ότι η ευθεία με εξίσ είναι ασύμπτωτη της γραφικής

αράστασης της f , καθώς x ® + ¥ . π

( )limx

g xx® + ¥

και ii) ( )( ) 2

3 2lim

3 1x

g x x xx f x x

hm® + ¥

+ +Χ - +

α) Να βρείτε τα όρια : i)


91


β) Να αποδείξετε ό 2 3y x= −τι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της ραφικής παράστασης της , καθώςg x ® + ¥ . γ

(ΘΕΜΑ 2000)

3 2

22 3 ( ) x f xx

+ ≤ ≤ , για κάθε2 3 1x x+ +90) Για μία συνάρτηση f 0x ≠ισχύει .

η ευθεία εξίσωσηΑποδείξτε ότι με 2 3y x= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC καθώς το x →±

∞ .


92


Οι κανόνες De L’ Hospital

Θεώρημα 1ο ⎟⎠

⎜⎝ 0

ήφροΜ ⎞⎛ 0

Αν 0g(x)lim,0f(x)limoo xxxx

==→→

, ∞+∞−∪∈ ,Rxo και υπάρχει το x() )g

x΄(flimoxx→

(πεπερασμ πειροένο ή ά ), τότε:

x)΄(gx)΄(flim

x)(gx)(flim

oo xxxx →→=

εώρημα 2ο

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞+∞+ήφροΜ Θ

Αν ∞+=∞+=→→

g(x)lim,f(x)limoo xxxx

, ∞+∞−∪∈ ,Rxo και υπάρχει το x)΄(gx)΄(flim

oxx→

(πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:

x)΄(gx)΄(flim

x)(gx)(flim

oo xxxx →→=

αρατηρήσεις

Π 1.

∞+∞− ,

∞−∞+ και

∞−∞− . Το 2ο θεώρημα ισχύει και για τις μορφές

2. Καθένα από τα παραπάνω θεωρήματα ισχύει και για πλευρικά όρια. Επίσης

μπορεί να εφαρμόζεται όσες φορές χρειάζεται για τον υπολογισμό ενός ορίου αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις του.

3. Οι κανόνες De L’ Hospital εφαρμόζονται όταν:


93


• Το όριο x)(gx)(flim είναι τη

00 ή

oxx→ς μορφής

∞±∞± .

• Οι συνα είναιρτήσεις f , g ορισμένες σ’ ένα σύνολο της μορφής ή)δx,x()x,δx( oooo +∪− )x,δx( oo − ή )δx,x( oo + ή ή ),α( )α,( ∞− ∞+

• Οι συναρτήσεις f , g ναι παραγωγίσιμε εί ς σε περιοχή του xo R∈ και όχι μόνο στο xo , στο οποίο η ύπαρξη της παραγώγου δεν είναι απαραίτητη.

x)΄(gx)΄(flim

oxx→ (• Υπάρχει το όριο πεπερασμένο ή άπειρο).

Αν το όριο

x)΄(gx)΄(flim

oxx→ δεν υπάρχει αυτό δε σημαίνει ότι δεν υπάρχει και το όριο

4.

x)(goxx→

x)(flim απλά πρέπει να το αναζητήσουμε με άλλον τρόπο.

5. Όσο γοητευτική κι αν φαίνεται η μέθοδος De L’ Hospital δεν είναι πανάκεια,

γιατί ι υ σχετικού θεωρήμ άλλοτε δεν ισχύουν ο προϋποθέσεις το ατος καιάλλοτε μ δεν είναι συμφέρουσα έθοδος.

6.

Μορφές απροσδιοριστίας με ∞∞+∞−∞+∞±⋅ 1,)(,0,,)(0 00

00 ή

∞±∞± . κατάλληλους μετασχηματισμούς ανάγονται στις μορφές

(Βλέπε το παρακάτω σχόλιο.)

7.

Αν εφαρμόσουμε τα θεωρήματα σε μη απροσδιόριστες μορφές, τότε προκύπτει λάθος όριο.

1) ποδείξτε ότι: 1)

9 Α lnlim 0x 20

1 1lim lim 0xx

xx1x x→+∞=

+ 2)

2x xσυνημ→

−= 3) =

e→+∞

)

4 24x→−∞lx

e x= +∞ 5) im

x− −20 ln( 1)x x x→

1lim 1ex − ln(1 )lim 1x

x

ex→+∞

+= = − 6)

− +


94


7) 20

ln( ) 1lim2x x

xσυν→

30

1lim2x

x xx

εφ ημ→

−= 9)

0

2lim 2x x

x

e e xx xημ

−

→

− −=

− − 8)=

10) 2

2mln( 1)x+∞

= +∞+

11) 1lix

x→

− ln( 3)lim 1ln( 5)x x→+∞

x +=

+ 12) 23

lim6 5x x x→

ln( 2) 1x −=

−

− ΣΧΟΛΙΟ: Οι κανόνες De L’ Hospital μπορούν να εφαρμοστούν και σε άλλες μορ ές απροσδιοριστίας (εκτός των μορφών βλέπε σχ. βιβλίο σελ. 282-283) αρκεί να φτις μετατρέπουμε όπως παρακάτω.

: Κάνουμε τους μετασχηματισμούς α) 1 gf g f∞ −∞i) Μορφή f

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ή

⎝ ⎠

1 11 1 gf g 1 1 1

.

f β)

f g f g

−− = − =

ii) Μορφή 0( )±∞ : Κάνουμε τον μετασχηματισμό . 1ff g

g

= ή . 1gf g

f

=

iii) 0 01 , 0 ,0 ,±∞ ∞ ∞ : Χρησιμοποιούμε τον τύπο : Μ φορ ή

[ ] ( ) ( ) ln ( )( ) g x g x f xf x e= , ( ) 0f x >

ΑΣΚΗΣΗ: (Λύνεται με τους παραπάνω μετασχηματισμούς)

1

0lim(

0lim 1x

xx

+→= 2) Αποδείξτε ότι: 1)

0im lnx

+→l 0x

x ) 1xxν 3) x

συ+→

==


95


1

lim 1xx

x→+∞

=4) 5) ( )lim ln( 1)xxe xx→+∞

− + = +∞ 6) 2 20

1 1limln( 1) 2

1x x

⎛ ⎞− =⎜ ⎟+⎝ ⎠

x→

1

0lim . xx

x e+→

= +∞ 8) 0

1 1lim1 2xx x e+→

⎛ ⎞ 1− =⎜ ⎟−⎝ ⎠

7)

ΣΧΟΛΙΟ : Στην εφαρμογή των κανόνων De L’ Hospital πρέπει να προσέχουμε

έχουμε αναφέρει παραπάνω) οι συναρτήσεις να είναι παραγωγίσιμες σε (όπως

διάστημα και να υπάρχει το ′′ γιατί θα καταλήξουμε σε λάθος συμπέρασμαf

glim .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: • Ερώτ Αν η συνάρτηση ηση: f είναι παραγωγίσιμη ( α , β σ΄ ένα διάστημα )

τότε η f Ά είναι συνεχής σ’ αυτό. Σ , Λ Ένας μαθητής δικαιολόγησε την επιλογή του ως εξής:

Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο (α , β ) τότε για τυχαίο 0x Ξ ( α , β ) έχουμε:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

000

00

0lim lim lim lim .

1 0DLH

x x x x x x x x

f x f xf x f x f xx f x

x x x x® ® ® ®

Ά Ά-- -Ά Ά= = Ύ ΎΎ® = =- -Ά-

f

Δηλ. ( ) ( )

00 lim .

x xf x f

®Ά Ά= x άρα η f Ά είναι συνεχής στο 0x .

Συμφωνείτε ή διαφωνείτε ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Εφαρμογή: ( )2 1 , 0x x

f xhmοο

0 , x

μΉο= νοοο 0x =ξ

f Ά (εργαζόμενοι στη συνάρτηση αυτή βλέπουμε ότι η δεν είναι συνεχής στο 0).


96


Αποδείξτε : ότι

lim 1x

x xx x

ημημ→+∞

+=

− (Δεν μπορούμε να εργαστούμε με τον κανόνα De L’ Hospital . Γιατί ;) •

f είναι παραγωγίσιμη στο 0 0x = με (0) 0f = • Αν μία συνάρτηση και

(0) 1f ′ = , να υπολογίσετε το όριο 0

( ) 2limx

f x xxημ

→

+ . (απ. 3 )

(Δεν μπορούμε να εργαστούμε με το De L’ Hospital . Γιατί ;) ν κανόνα 92) 1) Έστω συνάρτησ f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει 1( ) xx f x e −≤ ≤η , ια κάθε x R∈ . Αποδείξτε ότι α ) (1) 1f = γ

β) (1) 1f ′ = 2) Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διά και συνεχής στο 0 1x =στημα (0, )+∞ , για την οποία ισχύει 2( ).ln 1f x x x≥ − , για κάθε (0, )x∈ +∞ . Αποδείξτε ότι είναι

(1) 2f = . 3) Έστω σ νάρτηση υ f ορισμένη στο R και συνεχής στο x για την οποία ισ0 1= χύει

2( ) 1 ( )f x x xημ π− + ≤ για κάθε , x R∈ . Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο .

0 1x =


97


Απαντήσεις – Υποδείξεις των ασκήσεων

42) διαστήματα ( , 2] , [ 2, [ 2, 2]- . 1) Γν. αύξ. στα )- ¥ - + ¥ και γν. φθίν. στο 2) Γν. φθίν.στο (0,1) και στο (1,e] ,γν. αύξ. στο [e,+∞)

) Γν. φθίν. στα διαστήματα (- ∞,0] , [3,5] και γν. αύξ. στα διαστήματα [0,3] , [5, +∞).

4) Γν. φθίν. στο διάστημα (- ∞,0] και γν. αύξ. στα διαστήματα [0,1] , [1, +∞) και επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής υσα στο [0, +

) Γνησίως αύξουσα.

3) 1) 2) 3)

3

στο 1 μπορούμε να πούμε ότι είναι γν. αύξο ∞).

5 4 0 6a£ £ 1a ³ 6 6a- £ £ 4)

ς αύξ ∞).

ί;)

57) 1) Γνησίως αύξουσα , 2)

1a £ - 47) 2) Γν. φθίνουσα 3) 2x = 52) 1) Γνησίω ουσα στο διάστημα [0, +

54) 1) το 5 είναι μοναδική λύση της εξίσωσης ( ) 0f xΆ = (γιατ

3 x+ +1 5( ) ln , 0

x ex x

ef − > 3) , 4) 1x = 2 x < ή 3x > =

58) 1) τ. ελάχιστο στο 0 το (0) 1= και τ.μέγιστο στο 2 το 8(2)f e= f 2) ελάχιστο στο 2 το και τ.μέγιστο στο 1 το

) ελάχιστο στο 1 το

) τ.μέγιστο στο 1/e το

(2) 0f = (1) 1f = 3 (1) 0f =

1(1/ ) 1

ef e = - , τ. ελάχιστο στο 2 το

) ελάχιστο στο 0 το

) 2 ρίζες 7) 3 ρίζες

9) 1) [11,29] , 2) [-22,10] , 3) [- 1/3,1]

0) 1) , 2)

1) 1) α=1 , β=3/2 , 2) γν. αύξουσα στο διάστημα (- ∞,-2] , γν.φθίνουσα στο διάστημα [-2,1] και γν. ύξουσα στο διάστημα [1, +∞).

2) 1) α= -6/5 , β= -3/20 , τ. ελάχ. στο 1 , τ. μέγιστο στο 2.

2 2(2) lnf = - 4

(0) 0f = 5

6 5 6 (0) 4 / 3f = 2(2) 8 lnf = 6α 6


98


2

) α=2 , β= -1/2 , τ. ελάχ. στο 3 , τ. μέγιστο στο 2.

ο [0, +∞). 4) α=2.

) Ισχύει

64) 1) Αf = (-1, +∞). 2) γν. φθίνουσα στο (-1,0] , γν. αύξουσα στ 3 ( ) (0)f x f³ κ.λ.π.

5) 1) (0, +∞). 2) Μέγιστο στο e το

1

( )6e

f e = .

67) 2ae

= 1

69) 1) 1y x= + , 2) 4 6y x= - + , 3) 9

3 ( 1)2

y xp +

- = - .

73) 1) Κοίλα κάτω στ

) Κοίλα κάτω στο (-∞ο π. ορισμού της ,2]

άνω στο μείο άνω στο

) Σημείο καμπής στο 0 (όχι στο 1)

3) α = 1

78)

2 Κοίλα [2,+ ∞) , ση καμπής στο 2.

) Κοίλα R 345) Σημείο καμπής στο e. 74) 1) 2 2a− ≤ ≤ 2) 2 2a− ≤ ≤ 75) 1) α= -2 ή α= 3 2) α= - 3/2 , β= 9/2 = 4 , β

[ 2, 2 Β) ]

−

1) Αν παρουσιάζει καμπή στο8 0x είναι 0

( ) 0f x′′ = και προκύπτει 00 1 0xx e− − = (αδύνατη) γιατί ;

) 1) ( ο άξονας y΄y). 2) 82 0x = 2x = 3) 0x = 4) 1x = , 5) , 2x = 1x = 1x = −

83) 1) 1

y = , στο 2) 1

2y = , στο +∞ . 3) 4) 1y = 1y = . Δεν έχει στο −∞±∞

2 84) 1) 2) 3) 1y x= − y x= 2 1y x= −

5) 1)

6) 1) 2)

8 1 , 6x y x= − = −

( 1,1) (2, )fA = − ∪ +∞1

ln 2 82

y x= − 3) Κατακόρυφες ασύμπτωτες τις , 1x = − 1x =

2= . Δεν έχει ασύμπτωτες στο x +∞ .

7) 1) 2) 8 α= 0 , β= 2 α= 2 , β= 4 3) α= -1 , β= -2 88) α) 2 και 5 β) μ= 2 89) α) 2 και - 5/7


99


Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ


ΑΝΑΛΥΣΗ Κεφ. 2ο (Διαφορικός Λογισμός)

Ερωτήσεις τύπου

Σωστό - Λάθος


100


Ανάλυση Κεφ. 2o : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» Η έννοια της Παραγώγου- Εφαπτομένη γραφικής παράστασης –Ρυθμός Μεταβολής

1. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0 του

πεδίου ορισμού της, αν το lim0x x®

0

0x - xf (x) - f (x ) είναι πραγματικός

αριθμός.

Σ Λ

2. Αν ισχύει 0

limx x®

0

0

f (x) - f (x )x - x

= + ¥ ή -¥ , τότε η f δεν

είναι παραγωγίσιμη στο x0.

Σ Λ

3. Αν η συνάρτηση f είνα αραγωγίσιμη στο x R, τότε

ισχύει

ι π 0 Ξ

0

limh®

0 0 f (x ) = limf (x h) -h

+0h®

0f (x -h) - f 0 )h

.

Σ Λ

4. Αν

(x

0

limx x -®

0

0

f (x) - f (x )x - x

=0

limx x +®

0

0

f (x) - f (x )x - x

, τότε η f δεν είναι

απαραίτητα παραγωγίσιμη στο x0.

Σ Λ

5. Αν f (x) = ex, τότε f ΄(x0) = 0

limh®

0 0x h xe - eh

+.

Σ Λ

6. Η συνάρτηση f (x) = x είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.

Σ Λ

7. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0, τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Μ (x0, f (x0)). Σ Λ


101


8. H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

C

Σ Λ

9 σταση μιας

Σ Λ

της Μ (x0, f (x0)), δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την f.

. Αν μια ευθεία (ε) έχει με τη γραφική παράσυνάρτησης μόνο ένα κοινό σημείο, τότε είναι οπωσδήποτε εφαπτομένη της.

10. Μια συνάρτηση με πεδίο , β] μπορεί να έχει κατακό

ορισμού το [αρυφη εφαπτομένη μόνο σε άκρο του πεδίου ορισμού

ης. Σ Λτ

11. Αν η f είνα στο x , τότε η ευθεία x = x είι συνεχής 0 0 ναι κατακόρυφη εφαπτομένη της Cf. Σ Λ

12. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0, τότε η γραφική της παράσταση μπορεί να δέχεται μόνο

Σ Λ

13. Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσημη στο διάστημα Δ με f ´(x)

κατακόρυφη εφαπτομένη.

Ή0 , για κάθε . Τότε η γραφική παράσταση της δέχεται ο Σ Λ

xΞΔf δεν ριζόντια εφαπτομένη.

14. Για μια συνάρτηση f ισχύει f ΄(x) = (x - 2)2 ex. Τότε η Cf στο σημείο (2, f (2)) δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. Σ Λ


102


15. Η γραφική παράσταση

παράγωγος της f στο

μιας συνάρτησης f δίνεται στο σχήμα. Η

x0 = 2 είναι ίση με 1.

2

y

0

2

Cf

x

Σ Λ

16. Η συνάρτηση f , της οποίας η γραφική

x0, f (x0)).

παράσταση δίνεται στο σχήμα,έχει εφαπτομένη στο (

x00 x

y

f(x )0

Cf

Σ Λ

17. Οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f (x) = x2 , g (x) = x2 + 3 , h (x) = x2 - 20 στα σημεία τομής τους με την ευθεία x = x0, είναι παράλληλες. Σ Λ

18. Η συνάρτηση, της

ι

0 = 0.

οποίας η γραφική παράσταση φαίνεταστο σχήμα, έχει παράγωγο στο x

y

0 x

f(x)=x1

Σ Λ

19. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας σταθερής συνά οποιοδήποτε σημείο της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Σ Λρτησης σε


103


20. Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ήποτε σημείο του πεδίου ορισμού

παράσταση της συνάρτησης. Σ Λ

21. τέμνονται, τότε στο κοινό τους εφαπτομένη. Σ Λ

22. Αν η ευθεία (ε) που

Cf, ισχύει f ΄(2) = 1.

f (x) = αx + β, σε οποιοδτης, συμπίπτει με τη γραφική

Αν δυο συναρτήσεις σημείο δέχονται κοινή

είναι διχοτόμος της

γωνίας xoy στο

διπλανό σχήμα είναι εφαπτομένη της

y

0 x

Cf (ε)

2

2

Σ Λ

23.

β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0, τότε θα είναι παραγωγίσιμη στο x0.

γ) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x0, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0.

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0, εν στο x0.

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

24. η f ραγ ιμη στο x0, τότε η f ΄ είναι συνεχής 0

Σ Λ

Σ Λ

26. Η συνάρτηση f (x) = αx, α > 0, είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (αx)΄ = xαx-1. Σ Λ

α) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0, τότε θα είναι συνεχής στο x0.

δ) Αν μια συνάρτηση f τότε δ είναι συνεχής

Αν είναι πα ωγίσστο x .

Σ Λ

25. Για κάθε συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο x0=5, ισχύει [f (5)]΄ = f ΄(5).


104


27. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε ισχύει (f (f (x)))΄ = (f ΄ (x))2. Σ Λ

28. Αν το άθροισμα f + g δύο συναρτήσεων είναι

(x)) είναι παραγωγίσιμη, τότε οι ί αραγωγίσιμες. Σ Λ

παραγωγίσιμη συνάρτηση στο x0, τότε και οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο x0. Σ Λ

29. Αν η συνάρτηση f (gσυναρτήσεις f, g ε ναι π

0. Αν υπάρχει η fΆΆ στο x0 , τότε η fΆ 3 είναι συνεχής στο x0.

Σ Λ

31. η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R

Σ Λ

Για μια συνάρτηση f ισχύει

α) αν η f είναι άρτια, τότε η f ΄ είναι περιττή β) αν η f είναι περιττή, τότε η f ΄ είναι άρτια γ) αν η f είναι περιοδική, τότε η f ΄ είναι περιοδική με την ίδια περίοδο.

Σ Λ

Σ Λ

32. τό πίσης πολυωνυμική ν-1 Αν η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική ν-οστού βαθμού, τε η συνάρτηση f ´είναι ε

βαθμού. Σ Λ

33. ι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο R. Σ ΛΟ

34. Σε κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός κινητού είναι η επιτάχυνση αυτού. Σ Λ

35. Αν f (x) = x4, τότε υπάρχουν σημεία της C με παράλληλες εφαπτομένες.

f

Σ Λ

36. Αν y = αx + β, τότε ο ρυθμός μεταβολής των τιμών του y εξαρτάται από τις τιμές της μεταβλητής x. Σ Λ


105


37. Αν f ΄(x) = 3x2, τότε ισχύει πάντα f (x) = x3.

38. Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει

( )0 0f (x ) f(x ) ΆΆ = , x0 fAΞ .

39. Αν f(x)=logx , x>0 τότε 1f (x)=Ά , x>0x

.

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

40. Αν f(θ)=ημθ τότε f (θ)=συνθΆ . ο o

Σ Λ


106


ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. 2Ο Η έννοια της Παραγώγου- Εφαπτομένη γραφικής παράστασης –Ρυθμός Μεταβολής Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου «Σωστό – Λάθος» 1. Σ

9. Λ

17. Σ

25. Λ

33. Σ

2. Σ

10. Λ

18. Λ

26. Λ

34. Σ

3. Λ

11. Λ

19. Σ

27. Λ

35. Λ

4. Σ

12. Σ

20. Σ

28. Λ

36. Λ

5. Σ

13. Σ

21. Λ

29. Λ

37. Λ

6. Λ

14. Σ

22. Σ

30. Σ

38. Λ

7. Λ

15. Σ

α) Σ 23. β) Λ

γ) Σ δ) Λ

α) Σ 31. β) Σ γ) Σ

39. Λ

8. Λ

16. Λ

24. Λ

32. Σ

40. Λ


107


Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» Θεώρημα Rolle – Θ.Μ.Τ. ,Μονοτονία–Ακρότατα συνάρτησης,

Κυρτότητα ,ασύμπτωτες γραφικής παράστασης , κανόνες De L’ Hospital.

1.

f (α) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και

f (β) , α, β R, α < β, τότε ισχύει f ΄(x) Ξ ΉΉ 0 για α, β).

Σ Λ

2. συνάρτηση αι παραγω R R, τότε για κάθε x R υπάρχει ξ

0) = f ΄ 0).

Λ

3. συνάρτησ ι συνεχής άστημα και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β τότε υπάρχει ένα μόνο

, β) ώστε - f (β) = f β).

Λ

4. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής διάστ β], παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) (α) = f (β), τότε

ει τουλάχ ένα σημ εσω του διαστήματος [α, β], στο οποίο η εφαπτομένη του διαγράμματος της f είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

Σ Λ

5. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο x0 (α, β) στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (α, f (α)), (β, f (β)).

Σ Λ

6. Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση, τότε μεταξύ δύο ριζών της εξίσωσης f(x)=0 , υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της f ΄(x)=0.

Σ Λ

κάθε x Ξ (

Αν η f είν γίσιμη στο και x0 Ξ

ώστεΞ Ξ R f (x) - f (x (ξ) (x - x Σ

Αν η η f είνα στο δι [α, β] ),

ξ Ξ (α f (α) ΄ (ξ) (α - Σ

στο ημα [α, και f

υπάρχ ιστον είο x0 τερικό

Ξ


108


7 αξύ δύο μ

Σ Λ

. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα

( συντελεστή διεύθυνσης λ =

. Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση, τότε μετδιαδοχικών ριζών της εξίσωσης f ΄(x)=0, υπάρχει το πολύ

ια ρίζα της f(x)=0.

8[α, β], τότε υπάρχει εφαπτομένη της Cf στο Α (x0, f (x0)),

με x0 Ξ α, β), με f (β) - f (α)β - α

.

, π

Σ Λ

9. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] τότε ισχύουν οι ροϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής για την f.

Σ Λ

10. Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle, χωρίς να ισχύουν (όλες) οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. Σ Λ

11. Αν για μια συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Fermat, σε ένα διάστημα Δ τότε υπάρχει x0 Ξ Δ στε η εφαπτ μένη της Cf στο (x0, f (x0)) να είναι παράλληλη προς τ ν άξ να x΄x.

ώ ο ο ο Σ Λ

12. Αν για μια συνάρτηση f εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle

Σ Λστο διάστημα [α, β], τότε εφαρμόζεται και το θεώρημα της μέσης τιμής, στο ίδιο διάστημα.


109


13. Για τη συνάρτηση του σχήματος, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

παράλληληΑΒ.

Μ (ξ, f (ξ)) της Cf με ξ Ξ (α,β), όπου η εφαπτομένη της Cf , να είναι με την

Σ Λ

4. Αν f ΄(x) = (x + 3)x2, τότε το x0 = - 3 είναι θέση τ. ελάχιστου.

1 Σ Λ

15. Για τη συνάρτηση f (x) = 3x2, x - 3, 2], υπάρχει μόνο Σ Λ

Ξ [ένα τοπικό ακρότατο.

16. x , x R, υπάρχει τουλάχιστον ένα τοπικό ελάχιστο μεγαλύτερο από κάποιο

Σ Λ

Για τη συνάρτηση f (x) = ημ Ξ

τοπικό μέγιστο.

17. νε f (5) = 4.

Δί ται μια συνεχής συνάρτηση f, με f ΄(x) > 0 για 2 < x < 7. Αν f (3) = 5, τότε μπορεί να ισχύει

Σ Λ

18. Η συνάρτηση f (x) = ημx + 2ex , 0 < x < π2

, παρουσιάζει

τοπικό ελάχιστο στο x0 = π . 3

Σ Λ

9. Αν f ΄(x) = τότε η f δεν μπορεί να έχει τοπικά ακρότατα. Σ Λ

2x 9e- + , 1


110


20. Η συνάρτηση του σχήματοςέχει θετική ωγο για κx Ξ (0, +

παράγ άθε

¥ ). y´

y

0x´ x5

12 Cf

Σ Λ

21. να ις g που είναι παραγωγίσιμες στο ένα σημείο x0 παρουσιάζουν και και η συνάρτηση f + g, εφόσον

αι, θα παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0. Σ Λ

στ 0 θα έχει τοπικό μέγιστο. Σ Λ

23. είναι παραγωγίσιμη στο R, και η

αι γνησίως μονότονη.

Δίνονται οι συ ρτήσε f,πεδίο ορισμού τους. Αν σ’ οι δυο τοπικό μέγιστο, τότεορίζετ

22. Αν μια άρτια συνάρτηση έχει στο x0 τοπικό ελάχιστο, τότε ο - x

Αν η συνάρτηση f

γραφική παράσταση της f ΄ είναι αυτή του σχήματος, τότε η f δεν είν

y

0x´ x

C ´f

y´ Σ Λ

24. ότε f (x) < 0, x R. Σ Λ

25. Αν για τη συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο R, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο

στο x0 = 5.

Σ Λ

συνάΣ Λ

27. Για τη συνάρτηση f(x) =

Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f ΄(x) < 0, x Ξ R, τΞ

ισχύει f ΄(5) = 0, τότε η f

26. Μια περιοδική ρτηση f μπορεί να έχει ένα μόνο τοπικό ακρότατο.

1x

, x Ή 0, ισχύει


111


΄(x) = - 2x < 0 για κάθε x 1 Ήf 0. Επομένως η f είναι Σ Λ

28. Αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα Σ Λ

29. f, ισχύει f ΄ (x) = exημ4, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

γνησίως φθίνουσα στο R*.

f

f

στο R , τότε θα ισχύει f ΄ (x) £ 0.

Αν για μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτησηΣ Λ

30. σης f, μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχισ της f. Σ ΛΈνα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτη

το

31. τοπικό ακρότατο και σε ής. Σ Λ

Μια συνάρτηση f μπορεί να έχεισημείο x0, στο οποίο δεν είναι συ

νεχ

32. f άζ ακρότατο στο x0, τότε) = 0. Σ Λ

Αν μια συνάρτηση παρουσιισχύει f ΄ (x0

ει

33. Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μηδέ σε ένα διάστημα Δ, ότε η

ντ συνάρτηση σταθερή στο Δ. είναι Σ Λ

34. Αν στο εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της f ισχύει ότι f ΄(x0) = 0, τότε το x0 είναι τοπικό ακρότατο της f. Σ Λ

35. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής διάστημα [α, β], τότε

ία του διαστήματος β) στα οποία η f ΄ μηδενίζεται

β

γ) τα άκρα του διαστήματος [α, β].

Σ Λ

Σ Λ Σ Λ

στο

(α, πιθανά ακρότατα της f είναι α) τα σημε

β) τα σημεία του διαστήματος (α, ) στα οποία η f δεν παραγωγίζεται


112


36. ιf ΄

μιας συνάρτησης f. Τότε η f

Στο σχήμα φαίνετα η γραφική παράσταση της

έχει δύο τουλάχιστον θέσεις τοπικών ακροτάτων.

y

0x´

y´

xα β

C ´f

Σ Λ

37. Αν f ΄(x) = (x - 1)2, τότε το σημείο x0 = 1 είναι θέση τοπικού ακροτάτου της f.

Σ Λ38. Αν f ΄(x) = |x - 1|, τότε το σημείο x0 = 1 είναι τοπικό

ακρότατο της f. Σ Λ

39. Αν f ΄(x) = x2 + 1, τότε η εξίσωση f (x) = 0 έχει το πολύ μια ρίζα. Σ Λ

40. Αν f ΄ (x) = x2 - 5x + 6, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [2, 3].

Σ Λ

f φαίνεται στο διπλανό

41. Αν το διάγραμμα Cf΄ της παραγώγου μιας συνάρτησης

σχήμα, τότε η f έχει ακρότατο στο x0 = 1.

y

0x´

y´C ´f

x1

Σ Λ

f

42. Αν το διάγραμμα Cf΄ της παραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο R.

y

0x´

y´

xCf´

Σ Λ


113


43. ν τ διάγραμμα Cf΄ τ ς παραγώγου μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

Α ο η

y

0x´

y´

x

C ´f

Σ Λ

44. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με f (α) = f (β) και f ΄΄(x) > 0, για κάθε x [α, β], τότε η εξίσωση f ΄ (x) = 0 έχει μια μόνο ρίζα

Σ Λ

νάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε:

β) το x2 είναι σημείο μ

κ

Ξστο (α, β).

45. Η γραφική παράσταση Cf μιας συ

α) το x1 είναι σημείο καμπής

κα πής γ) το x3 είναι σημείο

αμπής

y

0x´

y´

xx3x1 x2

Cf

Σ Λ

Σ Λ

46. τε η f έχει σημείο καμπής στο x0 = 2. Σ Λ

Σ Λ

Αν f ΄΄ (x) = (x - 2)2, τό


114


47. Στο σχήμα φαίνεται η

τ

ετά από χρόνο t. Τότε ο ρυθμός μείωσης του βάρους, στην

γραφική παράσταση της

Β΄΄(t), όπου Β (t) είναι η συνάρτηση ου βάρους κάποιου ανθρώπου που βρίσκεται σε δίαιτα, μ

αρχή μειώνεται και μετά αυξάνει.

0 t

CB´´

B´´(t)

Σ Λ

48. ική παράσταση μιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε

Η γραφ

ισχύει f ΄΄(x) < 0 για κάθεx Ξ (0, + ¥ ).

y

0x´

y´

x

Σ Λ

49. η δυ ς παραγωγίσιμη,

ι τη νεται στο σχήμα,

ε τ πρ νω.

Αν μια συνάρτησ f είναιο φορέ

και η γραφ κή παράστασης f ΄ φαί

τότ η f στρέφει α κοίλαος τα πά

y

0x´

y´

xα β

y=f´(x)

Σ Λ

50. Μια πολυωνυμική συνάρτηση 3ου βαθμού έχει οπωσδήποτε σημείο καμπής. Σ Λ

51. Μια πολυωνυμική συνάρτηση 4ου βαθμού έχει τουλάχιστον ένα σημείο καμπής. Σ Λ

52. Η f παρουσιάζει στο x0 σημείο καμπής.

y

0x´

y´

x

Cf

x0

Σ Λ


115


53. ν μι συνάρτηση f είν ι δυοδιάστημα και η f είνα κυρτήκάθε x Ξ Δ.

Το σημείο Α(x0, f (x0)) συνάρτησης f, όταν η f ΄΄ αλλάζειτου x0.

Η συνάρτηση f (x) = e -x είν

Α α α φορές παραγωγίσιμη στο Δ ι στο Δ, τότε f ΄΄(x) ³ 0 για

Σ Λ

54. είναι σημείο καμπής μιας πρόσημο εκατέρωθεν Σ Λ

55. αι κυρτή στο R. Σ Λ

ασύμπτωτη της γραφικής

f, με f (x) =

56. H ευθεία x = 2 είναι κατακόρυφη

παράστασης της συνάρτησης 2

2

x - 4(x - 2)

. Σ Λ

57. γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) =

H 5 3

2

x x - 2x x 2004+ +

H γραφική παράσταση της συ

+ έχει μια πλάγια ασύμπτωτη. Σ Λ

58. νάρτησης f (x) = 2

xx - 1

έχει

.

59. Ισχύει

δύο κατακόρυφες ασύμπτωτες Σ Λ

2

x p®lim συνxπx -

2

= - 1. Σ Λ

60. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = e -x έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο - ¥ . Σ Λ

61. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, τότε δεν έχει Σ Λκατακόρυφη ασύμπτωτη.


116


62. Η συνάρτηση f (x) = lnx έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x = 0. Σ Λ

63. Η συνάρτηση f (x) = ex έχει οριζόντια ασύμπτωτη την α Σ Λ

ευθεί y = 0.


117


ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. 2Ο Θε ρημα Θ.Μ.Τ ώρημα Rolle- ΘεώΜονοτονία –Τοπικά ακρότατα-Κυρτότητα Συνάρτησης-Ασύμπτωτες-Κανόνας De L’ Hospital .

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Λ 15 Λ 29 Λ 40 Σ 51 Λ 12 Σ 16 Λ 30 Σ 41 Σ 52 Λ 3 Λ 17 Λ 31 Σ 42 Σ 53 Σ 4 Σ 18 Λ 32 Λ 43 Λ 54 Λ 5 Σ 19 Σ 33 Σ 44 Σ 55 Σ 6 Σ 20 Σ 34 Λ 45 56 Σ 7 Σ 21 Σ 35 α) Σ 57 Λ 8 Σ 22 Λ α) Σ β) Λ 58 Σ 9 Σ 23 Σ β) Σ γ) Σ 59 Σ 10 Σ 24 Λ γ) Σ 46 Λ 60 Λ 11 Σ 25 Λ 36 Σ 47 Σ 61 Σ 12 Σ 26 Λ 37 Λ 48 Σ 62 Σ 13 Λ 27 Λ 38 Λ 49 Σ 63 Σ

14 Σ 28 Σ 39 Σ 50 Σ


118


Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ

θυνσης Μαθηματικά θετικής – τεχνολογικής κατεύ

ΑΝ Λ ΣΗ ΚΕΦ. 2 Α Υ Ο

ΔΙΑΦΟΡΙ Ο Ο ΟΣΚ Σ Λ ΓΙΣΜ

Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δημήτρης


119


ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. 2Ο (Διαφορικός Λογισμός)

ΘΘΘΕΕΕΜΜΜΑΑΑΤΤΤΑΑΑ ΕΕΕΠΠΠΑΑΑΝΝΝΑΑΑΛΛΛΗΗΗΨΨΨΗΗΗΣΣΣ

ΟΘΕΜΑ 1

f με τύπο ( ) 2, 0f x a nx x x= Χ + - >l Έστω η συνάρτηση και α > 0.

i) Αποδείξτε ότι:

( )lim f x = - ¥ 0x +®

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f iii) Αποδείξτε ότι υπάρχει ( )2,a e eΞ ώστε η γραφική παράσταση της f να εφάπτεται στην ευθεία με εξίσωση : y = 2 x – 1.

ΕΜΑ 2Ο Θ

η συνάρτηση Δίνεται f ορισμένη στο R με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: ( ) ( )2f x f= - - x και ( ) 0f xΆ Ή για κάθε x RΞ . i). Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη ii). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0f x = έχει μοναδική ρίζα.

iii). Έστω η συνάρτηση ( ) ( )( )

f xg x

f x=

Ά . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα g x΄x , σχηματίζει με αυτόν γωνία 450 . (ΘΕΜΑ ΙΟΥΝΙΟΣ 2003)


120


ΕΜΑ 3Ο Θ

Έστω η συνεχής συνάρτηση ( ): 0,5f R® για την οποία ισχύει:

2

i) Αποδείξτε ότι η εξίσωση

( )2 2 5 1f x x x+ = +

( ) 0f x = δεν έχει πραγματικές λύσεις στο διάστημα ( i

0 , 5 ).

i) Αποδείξτε ότι η f έ ό πρόσημο στο ( 0 , 5 ) .

η

χει σταθερ

f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση και η fC iii) Θεωρούμε ότι διέρχεται από το

ημείο ( )2,3 2N . Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της fC στο σημείο σ

Α ( 1 , ( )1f ).

ΘΕΜΑ 4Ο

( ) 11

xf x nx

ζ φ- χη= χη χηθ ψ+l ίνεται η συνάρτησηΔ

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

ii) Αποδείξτε ότι ( )1 1 , 1

x

x

ef x xe

-=+

ακριβώς μία ρίζα στο R.

R- Ξ .

iii) Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( )1 0f x x- - = , έχει

( )0ffC iv) Αποδείξτε ότι η εφαπτόμενη της στο σημείο της Μ(0, ), έχει εξίσωση

η ό κινείται σχέση

2y x= - . v) Θεωρούμε ότι εικόνα ενός μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικ επίπεδο

ς μιγαδικός αριθμός w ικανοποιεί τηστην ευθεία 2y x= - . Ένας άλλο2 1w i- - = . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του w z- .


121


ΘΕΜΑ 5Ο

τηση :f R ® R , για την οποία ισχύε Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρ ι: ( )( ) 4f f x x= -o 3 , κάθε x RΞ . για i) Αποδείξτε ότι ( )1 1f = .

fC στο σημείο της Α ( 1 , ( )1fii) Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της ), αν νία. γνωρίζουμε ότι αυτή σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ οξεία γω

iii) Αν ( ))(1/ 2

lim 12 1x

f x=

- και ( ) ( )

xhm®

3 2

1/ 2

5lim 2 2 14x

x x x g x®

- + - Χ , να βρεθεί το

((1/ 2

limx

=

)( ) )f x g xΧ®

.

ΘΕΜΑ 6Ο

Δίνεται η συνάρτηση f , ορισμένη και στο [1 , 4] για την οποία ισχύουν

παραγωγίσιμη ( ) ( )0, 1 0f x fΉ > και ( ) 1f xΆ Ή για κάθε xΞ [1 , 4].

Αποδείξτε ότι

( ) 0f x > ,για κάθε xΞ [i) 1 , 4].

ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) ( ) ( ) ( )2 1 4g x f x f f= - Χ . Αποδείξτε ότι υπάρχει

0x Ξ(1 , 4) τέτοιο ώστε ( )0g x

0= .

Ciii) Θεωρούμε ότι η εικόνα ενός μιγαδικού αριθμού Ζ κινείται στη . Αποδείξτε ότι f

υπάρχει το πολύ ένα σημείο της fC σ οποίο η διανυσματική α του Ζ στο ε

το ακτμιγαδικό πίπεδο , σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ γωνία 450 .

ίν

ΘΕΜΑ 7Ο Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα ( )0,+ ¥ , για την οποία

: , για κάθε

ισχύουν

( ) 22 1xf x e nx x£ + + +l ( )0,xΞ + ¥i)


122


( )0,+ ¥ ii) Η f παραγωγίσιμη στο

iii) Η fC διέρχεται από το σημείο ( )1, 2e +A .

βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της fC Να στο Α.

ΘΕΜΑ 8Ο Έστω η συνάρτηση f

)δυο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει

( ) ( ) (β2

f a ff x

+³ για κάθε , , x R Ra bΞ Ξ με α < β.

ότι: Αποδείξτε

( ) ( )βf a f= i)

( ) ( )β 0f a fΆ Ά= =

υλάχιστον

ii)

iii) Υπάρχει ένα το ( )0 ,βx aΞ ώστε ( )0f xΆΆ = 0 ΘΕΜΑ 9Ο

εται συνάρτηση ( )0 2f Ά = Δίν f παραγωγίσιμη στο R με , για την οποία ισχύουν : ( ) ( ) ) 2ax(f a x f a e+ = f xΧ Χ και ( ) 0f x Ή για κάθε x , α RΞ .

Αποδείξτε ότι: i) ( )0 1f = και ( ) ( )( )2 1 ,f x f x xΆ = Χ + για κάθε χ RΞ .

ii) Η συνάρτηση ( ) ( )2 2x x

f xg x

e += είναι σταθερή στο R.

ο τύπος της fiii) Να βρεθεί . ( ΘΕΜΑ από Ευκλείδη β .)


123


ΘΕΜΑ 10Ο Δίνετ η συνάρτηση ( ) 3f x x= - 2 , 0.x nx x- >l αι i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτον και τα ακία ρότατα. ii) Αποδείξτε ότι 3 2x x nx³ + l για κάθε x > 0 . iii) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f .

α2 (α-1) + β2 (β-1) 2006.

ΕΜΑ 11

iv) Αν α , β , γ > 0 και αβγ = 2006e αποδείξτε ότι :

+γ2 (γ-1) ≥

ΟΘ

, δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ )0,+ ¥ Έστω μια συνάρτηση f , για την οποία ουν ( ) 0f xΆΆ > για > 0 και ( )0 0f = .κάθε xισχύ

Η συνάρτηση

Αποδείξτε ότι:

( ) ( ) ( )g x x f x f xΆ= Χ - είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα i)[ )0,+ ¥ ii) ( ) ( )x f x f xΆΧ - > , για κάθε xΞ ( )0,+ ¥ 0

η ( ) ( )f xh x

x= είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( )0,+ ¥ iii) Η συνάρτησ

iv) Αν x > 0 , να λυθεί η ανίσωση ( ) ( ) ( )2 24 5 5x f x x f x+ Χ < Χ + 4 . ΘΕΜΑ 12Ο

( )f x = 3 2x ax xβ γ+ + + , α , β ,γ RΞ Έστω η συνάρτηση , η οποία έχει τρεις ίζες ρ1 < ρ2 < ρ3 στο R . ρ


124


Αποδείξτε ότι : i) α2 > 3β ii) Η f παρουσιάζ ι δύο ακρότατα διαφορετικού είδους. ε

iii) ( )( ) 1 2 3f x x x xr r r

+ +- - -

) Αν

1 1 1f xΆ=

0x θέση τοπικού ακρότατου της fiv , τότε ισχύει :

0 1 0 2 0 3xr r r- - -1 1 1 0+ + = .

x x ΕΜΑ 13Ο Θ

Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 5xf x e x= + . i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία .

ωση

i) Θεωρούμε τη συνάρτηση

ii) Να λυθεί η εξίσ ( ) ( )5 26 2x x x- - - ( ) ( )2 52 2 6 2x x xe e- -- =

( ) ( ) ( )2 f xg x x x e= - Χ . Αποδείξτε ότι υπάρχει

( )0 0,2

ii(x Ξ τέτοιο ώστε ( ) )( )

00

0 0

12

2 xf x

x x-Ά =

- .

ΕΜΑ 14Ο

Θ Έστω η συνάρτηση [ ]: 1,3f R® που είναι 2 φορές παραγωγίσιμη και ισχύει:

( ) ( )1 3f f= = 2 .

εωρούμε τη συνάρτηση με τύπο

:g R R® ( ) ( ) ( )2 4 3 2g x x x f= - + Χ , η γραφική διέρχεται από το σημείο

Θπαράσταση της οποίας Α ( 2 , - 1 ).


125


i) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο ιμώ της.

) Αποδείξτε ότι υπάρχουν

g τ ν

( )1,3 , ii 1, 2 1 2x x xΞ Ή x ώστε να ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2) , ) i f g ii f gx x xΆ Ά Ά= = x

ποδείξτε ότι υπάρχει

Ά

( )1,3x Ξ τέτοιο ώστε να ισχύει: ( ) 2f xΆΆ = .

1

iii) Α ΘΕΜΑ 5Ο Δίνεται η συνάρτηση :f R R® δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει:

( ) ( )3 2f x f xΧ ³ + 1, για κάθε x RΞ2 .

η

fC i) Αποδείξτε ότι διέρχεται από τα σημεία: Α ( 1, 1 ), Β(–1 , 1) και Γ ( 0 , 1).

χουν δυο τουλάχιστον σημεία της

fC ii) Αποδείξτε ότι υπάρ με τετμημένες στο ιάστημα ( -1 , 1) , στα οποία η fC δ έχει οριζόντια .

i) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής της

εφαπτομένη

fCii .

σημείο της

iv) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ).xg x x e f x= Χ + Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον gC με τετμημένη στο ( 0 , 1 ) ώστε η εφαπτόμενη της gC σ’ αυτό ευθεία (ε): να είναι κάθετη

ΕΜΑ 16Ο

στην 2 0x ey e+ - =

Θ Δίνεται συ άρν τηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ ]1, e με

( ) ( )1 2 , 1f f e e= = + λο τιμών το [ -1 , 4 ]. Αποδείξτε ότι: και σύνο i) Υπάρχουν τουλάχιστον δυο τιμές ( )1 2 1 2, 1, , x x e xΞ Ή x ώστε

( ) ( )1 2 0f x . ii) Υπάρχει τουλάχιστον ένα

f xΆ Ά= =

( )1, ex Ξ τέτοιο ώστε ( )f xΆΆ = 0 .


126


iii) Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )0 1, x eΞ τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )4

0 0 0 04f x f x f x xι ωΆ - =κ ϊλ ϋ

2y x e= - + + τέμνει τη fC iv) Η ευθεία σε έν με α τουλάχιστον σημείο ( )1, e . τετμημένη στο διάστημα

v) Υπάρχουν ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1f fx xΆ ΆΧ = .1 2 2, 1, e , 1 x x xΞ Ή x : τέτοιοι ώστε να ισχύει

(ΘΕΜΑ από Ε.Μ.Ε)

ΘΕΜΑ 17Ο Θεωρούμε τη συνάρτη ]ση [: ,f a Rb ® , για την οποία ισχύουν : η f δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ ],b , ( ) ( )f aa 0f b= = και f Ά γνησίως φθίνουσα στο [ ],a b .

ότι :

Υπάρχει

Αποδείξτε

( )0 ,x a bΞ τέτοιο ώστε η f να παρουσιάζει μέγιστο δηλ. i)( ) ( )0f x f x£ για κάθε [ ],x a bΞ .

ii) ( ) 0f x > , για κάθε ( ),x a bΞ .

i) Υπάρχει

( ),ax bΞ ώστε ( ) 0f xΆΆ < . ii ΘΕΜΑ 18Ο

( ) 2f x a nx x= Χ - -l Δίνεται η συνάρτηση , με χ > 0 , α > 0.

ι ( )0

limx

f x+®

= - ¥ και ( )limx

f x® + ¥

= - ¥ i) Αποδείξτε ότ

ii) Να μελετήσετε την f

η ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι η μέγιστη τιμή

συνάρτησης είναι ( )f a . της iii) Αν α = 1 αποδείξτε ότι:

) Η μέγιστη τιμή της f γίνεται ελάχιστη. α

β) Υπάρχει ( )1,ex Ξ τέτοιο ώστε ( ) 2 e-= . 1

fe

xΆ-


127


ΘΕΜΑ 19Ο Έστω συνάρτηση f δύο φο ι τρεις ρές παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ( α , β ) καφορές παραγωγίσιμη στο 0x Ξ( α , β ). Αν ( )0 0f xΆΆ = και ( )0 0f x( )3 Ή , δείξτε ότι η

fC παρουσιάζει καμπή στο 0x ΘΕΜΑ 20Ο Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα Δ και 1 2,x x ΞΔ με

1 2x xΉ . Δείξτε ότι :

i) Αν η fC στρέφ κο τότε ( ) ( )ει τα ίλα άνω στο Δ , 1 2 1 2

2 2f x f x x xf

ζ φ+ + χη> χη χηθ ψ

( ) ( )ii) Αν η fC τα κοίλα κάτω το Δ, τότε στρέφει σ 1 2

21 2

2f x f x φx xζ

f+ + χη< χη χηθ ψ

.

ΕΜΑ 21Ο Θ

Δίνεται η συνάρτηση ( )2

2x

f x x e-

= Χ .

ως προς μονοτονία τα ακρότατα.

σημεία καμπής της

) Να μελετηθεί τη και i

ii fC .

νας

) Να βρείτε τα

x ΄ x fC . iii) Αποδείξτε ότι ο άξο είναι οριζό ς ντια ασύμπτωτη τη ΘΕΜΑ 22Ο Δίνεται συνάρτηση :f R R® , δύο φορές παραγωγίσιμη , η οποία σε σημείο 0x RΞπαρουσιάζει τοπικό ακρό τ

(

τατο

( )ο 0 και ικανοποιεί τη σχέση:

( ) ( ) )4f x f x> - f x , για ΆΆ Ά x RΞκάθε .

Αποδείξτε ότι η συνάρτηση

( ) ( ) 2xg x f x e-= Χ είναι κυρτή στο R.

ε ότι είν

i) ii) Αποδείξτ αι ( ) 0f x ³ , για κάθε x R

Ξ . (ΘΕΜΑ 1999)


128


ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. 2Ο (Διαφορικός Λογισμός) ΑΑΑΠΠΠΑΑΑΝΝΝΤΤΤΗΗΗΣΣΣΕΕΕΙΙΙΣΣΣ --- ΥΥΥΠΠΠΟΟΟΔΔΔΕΕΕΙΙΙΞΞΞΕΕΕΙΙΙΣΣΣ ΣΣΣΤΤΤΑΑΑ ΘΘΘΕΕΕΜΜΜΑΑΑΤΤΤΑΑΑ ΕΕΕΠΠΠΑΑΑΝΝΝΑΑΑΛΛΛΗΗΗΨΨΨΗΗΗΣΣΣ

ΜΑ 1Ο ΘΕ

) Σύνολο τιμών το R ii iii) Έστω 0 0, (( fx x )) το σημείο επαφής. Τότε η εξίσωση εφαπτομένης θα είναι

001 ln 2y x a x

x⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + − − . Πρέπει να ισχύει a a⎛ ⎞

021

xa⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ και 0

ln 2 1a x a− − = − , οπ κουμε

ρα πρέπει να απο

ότε βρίσ

. δείξω ότι υπάρχει τέτοιο ώστ και εργαζόμαστε ano

ΕΜΑ 2Ο

0a x= Ά 2( , )a e e∈ ε ln 2a a a− − = 1− με το θ. Bolz . Θ

f ′ i) Επειδή η είναι διάφορη του μηδενός και συνεχής θα διατηρεί πρόσημο .κ.λ.π.

το 1. κ.λ.π.

τον ορισμό.

ΕΜΑ 3

ii) Προφανής λύση iii) Προσοχή . Εργαζόμαστε με

ΟΘ Έστω ότι υπάρχει ∈ τέτοιο ώστε να 0 (0,5)x ισχύει 0( ) 0f x = i) και καταλήγουμε σε άτοπο.

i)

ii) Σχόλιο θ. Bolzano κ.λ.π.

3 8 29 0x y− + = ii ΘΕΜΑ 4Ο ) ( 1,1) , ) 5 1- ) fi A v= -

ΕΜΑ 5Ο Θ

i η συνέχεια ). , iii) 1 2 1y x= -) Θέτουμε όπου x το 1 και στ όπου x το f(1 ii)


129


ΘΕΜΑ 6Ο i συνάρτηση είναι συνεχής και διάφορη του μηδενός . Άρα διατηρεί πρόσημο κ.λ.π. ) Η

) θ. Bolzano

με ότι η εξίσωση

ii

( ) 1f xx

= iii) Αρκεί να αποδείξου έχει το πολύ μία ρίζα.

Ο ΘΕΜΑ 7

( )4 2y e x= + -

ΕΜΑ 8Ο Θ

i) Προκύπτει από την υπόθεση για x= α και x= β.

) Εφαρμόζουμε θ.Fermat.

i) Εφαρμόζουμε θ. Rolle για την

ii

f ′ . ii

ΟΘΕΜΑ 9 i) Παραγωγίζουμε και θέτουμε x= 0.

) Αποδεικνύουμε ότι , για κάθε

( ) 0g x′ = x R∈ ii iii) .

Α 10Ο

( ) 1g x =

ΘΕΜ i)ελάχιστο το

ii) σύνολο τιμών

) Ισχύει a , ομοίως για β , γ , προσθέτουμε κατά μέλη και λογαριθμίζουμε τη σχέση βγ=

()1 0f =

[ )0,+ ¥ i

3 2 lna a≥ + κ.λ.π.

iv2006eα


130


ΘΕΜΑ 11Ο i) Είναι ( ) 0 , [0, )g x x′ > ∈ +∞ ii) Είναι ( ) (0)g x g> , για κάθε (0,x∈ + )∞ κ.λ.π.

(ii) iv) Η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την

2(5 ) ( 4)h x h x< + iii) Προκύπτει από το1o x< < κ.λ.π. βρίσκουμε ή

ΕΜΑ 12Ο

4x > .

Θ i) Επειδή ισχύει 1 2 3( ) ( ) ( ) 0f f fρ ρ ρ= = = , εφαρμόζουμε θ.Rolle …και καταλήγουμε ότι η f ′ έχει δύο ίζες κ. λ. π.

ΕΜΑ 13Ο

ρ

Θ ii) χ = -3 ή χ = 2 iii) θ. Rolle για τη g κ.λ.π.

ΕΜΑ 14

ΟΘ

) ελαχ. το (2) 1g = - , συ i ν. τιμών το [ 1, )− +∞

[2 ] για τη συνάρτηση ii) θ.Rolle στα διαστήματα [1,2] και ,3 ( ) ( ) ( )h x f x g x= − iii) θ.Rolle στο διάστημα 1 2[ , ]ξ ξ για την h′ καταλήγουμε ότι ( ) ( )f gξ ξ′′ ′′= , βρίσκουμε τη δεύτερη

g οπότε προκύπτει ( ) 2 (2)f fξ′′ = παράγωγο της και λαμβάνουμε f(2)= 1.

ΕΜΑ 15Ο

υπ’όψη ότι Θ

( )2(1) 1 0f − ≤ i) Θέτουμε στη δοθείσα όπου x το 1 και προκύπτει κ.λ.π.

) Εφαρμόζουμε θ. Rolle στο [-1,0] και [0,1] για την f. ii ΘΕΜΑ 16Ο i) Από το σύνολο πρ τιμών οκύπτει ότι η συνάρτηση έχει σίγουρα ένα μέγιστο και ένα ελάχισρο σε εσωτερικά ημεία του [1,e] άρα από θ. Fermat κ.λ.π. σ

ii) θ. Rolle στο 1 2[ , ]x x για ν f ′ . τη iii) Έστω 5( ) 4 ( )h x f x x′ − − και εφαρμόζουμε θ. Bolzano στο διάστημα 1 2[ , ]( ) ( ).x f x f= x x . iv) θ. Bolzano για την

) Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [1,ξ] και [ξ,e] για την f , όπου ξ το σημείο που προκύπτει από το (iv).

( ) 2 0f x x e+ − − = . v


131



132

ΘΕΜΑ 17Ο i) Από θ.Rolle στο [α,β] προκύπτει ότι υπάρχει 0 ( , )x a β∈ τέτοιο ώστε 0( ) 0f x′ = και επειδή η f ′ είναι γν. φθίνουσα θα ισχύει 0( ) ( )f x f x′ > αν 0x x< και 0( ) ( )f x f x′ < αν 0x x> . Άρα f ′ αλλά η ζει πρόσημο δεξιά και αριστερά του 0x (κατασκευάζουμε πίνακα ) κ.λ.π. ii) Από τον προκύπτει ότι αν ( ) ( ) 0f x f a> = 0x x< και ( ) ( ) 0f x f β> = αν 0x x> πίνακα κ.λ.π.

′ iii) Θ.Μ.Τ. για την f στα διαστήματα 0 0[ , ] , [ , ]a x x β και στη συνέχεια Θ.Μ.Τ για την f στο 1 2[ , ]x x (΄0που τα 1, 2x x από το προηγούμενο Θ.Μ.Τ. ) ΘΕΜΑ 18Ο iii) β) Θ.Μ.Τ. για την f στο [1,e] κ.λ.π. ΘΕΜΑ 19Ο

Έστω (3) (f x αζόμαστε με τον ορ) 0> . Εργ ισμό 0

00

0

( ) ( )( ) limx x

(3) f x f xf xx x→

′′ ′′−=

− κ.λ.π.

ΕΜΑ 20Ο Θ

Εργαζόμαστε με το Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα 1 21[ , ]

2x xx + και 1 2

2[ , ]x x2

x+ και χρησιμοποιούμε τη

ονοτονία της f ′ . μ ΘΕΜΑ 21Ο i) τ. ελάχιστο στο - 1 και τ. μέγιστο στο 1. ii) Σημεία καμπής στα 3 , 0 , 3 − . ΘΕΜΑ 22Ο ii) Εργαζόμαστε άλογο τρόπο όπω με αν ς στο θέμα 17 (i) και καταλήγουμε ότι κ.λ.π. 0( ) ( ) 0g x g x≥ =

3. Διαφορικός λογισμός - Μαθηματικά κατεύθυνσης

Documents