3. anuite - deukisi.deu.edu.tr/serkan.aras/4_1_ anuite-sermaye.pdf · 2017. 12. 19. · iv-1 prof....
TRANSCRIPT
IV-1 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
3. ANUITE
(TAKSİTLİ ÖDEME) 3.1. Sermaye oluşturma
3.1.1. Sabit devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma
3.1.1.1. Devre başı ödemeli
3.1.1.2. Devre sonu ödemeli
3.1.2. Sermaye oluşturma yaklaşımı ile borcun taksitle ödenmesi
3.1.2.1. Sabit devre ve eşit taksitli borç
3.1.2.2. Sabit devre ve değişken taksitli borç
3.1.3. Sabit devreli ve değişken taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma
3.1.3.1. Düzenli değişken taksitler
3.1.3.1.1. Geometrik dizi şeklinde değişken taksitler
3.1.3.1.2. Aritmetik dizi şeklinde değişken taksitler
3.1.4. Değişken devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma
3.2. Borcun taksitle ödenmesi (istikraz)
3.2.1. Sabit taksitli borç
3.2.2. Değişken taksitli borç
3.3. Rant geliri
3.3.1. Sabit gelirli rant
3.3.2. Ertelenmiş rant
3.3.3. Çabuklaşmış rant
3.3.4. Değişken gelirli rant
3.3.4.1. Geometrik artış gösteren gelir taksitli rantlar
3.3.4.1.1. Geometrik artış gösteren hemen başlayan gelir taksitli rantlar
3.3.4.1.2. Geometrik artış gösteren ertelenmiş gelir taksitli rantlar
3.3.4.1.3. Geometrik artış gösteren çabuklaşmış gelir taksitli rantlar
3.3.4.2. Aritmetik artış gösteren gelir taksitli rantlar
3.3.4.2.1. Aritmetik artış gösteren hemen başlayan gelir taksitli rantlar
3.3.4.2.2. Aritmetik artış gösteren ertelenmiş gelir taksitli rantlar
3.3.4.2.3. Aritmetik artış gösteren çabuklaşmış gelir taksitli rantlar
IV-2 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Anuiteleri farklı bakışlarla değişik şekillerde sınıflandırılabilir, bunların ;
taksitli sermaye oluşturma,
taksitle borç ödeme
taksitli elde edilen rant gelirleridir
Anüiteler ev kredisi ödemeleri vb gibi dönemi sabit ve belirli olanları yanında sosyal güvenlik sigortası
veya hayat sigortası ödemeleri gibi anüite dönemi deg isen veya önceden belirsiz olan ödemeli olanları vardır. Diğer taraftan, ilk ödemesi veya ödemeleri ertelenmiş şekilde geç yatan anüiteler veya çabuklaştırılmış ödemeli anuiteler sınıflandırması vardır.
3.1. Sermaye oluşturma A: anüite, periyodik ödemelerin baz (sabit=başlangıç) değeri
n: Anüite dönemi boyunca faiz isleyen dönem sayısı. (Basit anüitelerde ödeme sayısı)
r: Dönem basına faiz oranı, (r veya rm /m)
Cn : Anüitenin toplam deg eri ya da birikmis deg eri.
C0: Anüitenin iskontolu deg eri ya da simdiki deg eri.
I : Faiz miktarı
Örnek : Dönem başı ödemeli basit anuite, ödeme ve faiz oluşum tablosu. A = 500, r=%12, n=10
ödeme dönemi
(n) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cn I
1 500 60 67 75 84 94 106 118 133 149 166 1.553 1.053
2 500 60 67 75 84 94 106 118 133 149 1.387 887
3 500 60 67 75 84 94 106 118 133 1.238 738
4 500 60 67 75 84 94 106 118 1.105 605
5 500 60 67 75 84 94 106 987 487
6 500 60 67 75 84 94 881 381
7 500 60 67 75 84 787 287
8 500 60 67 75 702 202
9 500 60 67 627 127
10 500 60 560 60
Toplamlar 5.000 600 605 602 590 566 529 474 398 297 166 9.827 4.827
IV-3 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Dönem sonu ödemeli basit anuite, ödeme ve faiz oluşum tablosu. A = 500, r=%12, n=10
ödeme dönemi
(n) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cn I
1 500 60 67 75 84 94 106 118 133 149 1.387 887
2 500 60 67 75 84 94 106 118 133 1.238 738
3 500 60 67 75 84 94 106 118 1.105 605
4 500 60 67 75 84 94 106 987 487
5 500 60 67 75 84 94 881 381
6 500 60 67 75 84 787 287
7 500 60 67 75 702 202
8 500 60 67 627 127
9 500 60 560 60
10 500 500 0
Toplamlar 5.000 540 538 527 506 472 423 355 265 149 8.774 3.774
3.1.1. Sabit devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma
Cn : n adet devre sonunda biriken para A : devre başı veya sonu ödemeler, n: taksit sayısı, r:
faiz%
Devre başı ödemeli:
0 1 2 … n-3 n-2 n-1 n zaman
A A A A A A
n A(1+r)n
n-1 A(1+r)n-1
n-2 A(1+r)n-2
… …
3 A(1+r)3
2 A(1+r)2
1 A((1+r)
Ödeme devrelerinin toplamları bir geometrik dizi oluşturur
Cn = A(1+r)n + A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + … + A(1+r)2 + A(1+r)
IV-4 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Cn = (1+r) { A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + … + A(1+r) + A }
İlk terimi A olan ve ortak çarpanı (1+r) olan bir geom. dizi veya dizi tersten de yazılabilir
Cn = A [(1+r)n -1] (1+r)/r] elde edilir
Veya başka bir yolla
İlk terimi A(1+r)n ve ortak çarpanı (1+r)-1 olan geometrik dizi toplamı
Cn = a (un – 1)/(u – 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan)
Cn = A(1+r)n [(1+r)-n – 1]/[(1+r)-1 – 1]
Cn = A(1+r)n { [1 - (1+r)n / (1+r)n ] / [1 – (1+r)]/(1+r)
Cn = A(1+r)n { [1 - (1+r)n / (1+r)n ]} / [ –r)/(1+r)]
Cn = A(1+r)n { [1 - (1+r)n / (1+r)n ]} x [(1+r)/(-r)]
Cn = A[(1+r)/(-r)] [1 - (1+r)n ] pay ve payda (-1) ile çarpılırsa
Cn = A (1+r) [(1+r)n - 1 ]/r
sn = [(1+r)n -1]/r
an = [1-(1+r)-n]/r
(1+r)nan = sn
Cn = A (1+r) sn = A an (1+r)n+1 = A {[(1+r)n -1]/r} (1+r)
elde edilir.
A = Cn an (1+r) = Cn / {sn (1+r)} = Cn r / {[(1+r)n -1] (1+r)}
n = { log[Cn r + A (1+r)] – logA – log(1+r) } / log(l+r)
olur.
Veya diğer bir yolla elde edilmek istenirse, dizi tersten yazılır,
Cn = A(1+r) + A(1+r)2 + A(1+r)3 + … + A(1+r)n-1 + A(1+r)n
İlk terimi A(1+r) ve ortak çarpanı (1+r) olan geometrik dizi toplamı
Cn = A[(1+r)n -1] (1+r)/r] olur.
IV-5 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Devre sonu ödemeli:
0 1 2 … n-3 n-2 n-1 n zaman
A A A A A A
n A(1+r)n-1
n-1 A(1+rn-2
n-2 A(1+r)n-3
… …
3 A(1+r)3
2 A(1+r)2
1 A((1+r)
0 A
Ödeme devrelerinin toplamları bir geometrik dizi oluşturur
Cn = A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + A(1+r)n-3 + … + A(1+r) + A
Buradaki geom. dizi kısmi toplamları
1 + u + u2 + … + un-1 = (un -1)/(u-1) eşitliği kullanılarak
İlk terimi A(1+r)n-1 ve ortak çarpanı 1/(1+r) olan geometrik dizi toplamı
Cn = a (un – 1)/(u – 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan)
Cn = A(1+r)n-1 [1/(1+r)n – 1]/[1/(1+r) – 1]
Cn = A(1+r)n-1 {[1 - 1/(1+r)n ] /(1+r)n } / {1 – (1+r)/(1+r)}
Cn = A(1+r)n-1 {[1 - 1/(1+r)n ] /(1+r)n } x {(1 +r)/-r}
Cn = A [(1+r)n - 1] / r olur.
Veya diğer bir yolla, dizi tersten yazılırsa,
Cn = A + A(1+r) + A(1+r)2 + … + A(1+r)n-2 + A(1+r)n-1
İlk terimi A ve ortak çarpanı (1+r) olan geometrik dizi toplamı
Cn = a (un – 1)/(u – 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan)
Cn = A [(1+r)n – 1]/[(1+r) – 1]
Cn = A [(1+r)n - 1] / r olur.
IV-6 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Ya da başka bir yolla
Cn = A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + A(1+r)n-3 + … + A(1+r) + A her iki tarafı – ile çarp
(1+r)Cn = A(1+r)n + A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + … + A(1+r)2 + A(1+r) iki denklemi topla
--------- -------------------------------------------
(1+r)Cn – Cn = A(1+r)n - A
Cn = A [(1+r)n - 1] / r elde edilir.
Devre sonu ödeme ile devre başı ödeme arasındaki ilişkiler :
Devre başı ödemeli sermaye toplamı
Cn = A[(1+r)n -1] (1+r)/r]
Devre sonu ödemeli sermaye toplamı
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
Devre başı ödeme Cn = devre sonu ödeme Cn x (1+r) dir.
Devre başı ile devre sonu ödeme toplamları arasındaki fark
d = A[(1+r)n -1] (1+r)/r] - A [(1+r)n - 1] / r
= A [(1+r)n - 1] / r x { (1+r -1}
= A [(1+r)n - 1] / r x { r}
= A [(1+r)n - 1]
= A (1+r)n - A
Devre başı ödeme toplamı / devre sonu ödeme toplamı = (1+r) dir.
{A[(1+r)n -1] (1+r)/r]} / {A [(1+r)n - 1] / r } = (1+r) dir.
İskontolu değer
Dönem sonlarında yapılan n adet A ödemesi, dönem başına r faiz oranı ile aşağıdaki iskontolu
değeri verir, bu değern dönem sonu biriken sermayenin %r iskonto ile başlangıç değeridir.
C0 = Cn (1+r)-n
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
yerine konursa
IV-7 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
C0 = A [(1+r)n - 1]/r} x [1+r]-n
C0 = A [1-(1+r)-n]/r
Şeklinde İskontolu değer elde edilir.
ÖrneK : 500 lira sabit dönem sonu ödemeli 10 dönem %12 faizle oluşan sermaye birikimi
Cn = A [(1+r)n - 1] / r = 500 [ (1,12)10 – 1 ] / 0,12 = 8,774,37 liradır,
Yukarıdaki 8,774.37 liranın 5,000 lirası ana paradır.
Bu sermayenin %12 iskontolu 10 yıl önceki başlangıç değeri ise
C0 = A [1-(1+r)-n]/r = 500 [1 – (1,12)-10]/0,12 = 2,825.11 liradır veya
C0 = Cn (1+r)-n = 8,774.37 (1,12)-10 = 2,825.11 liradır.
Örnek :
Her yıl 2000 lira ödemeli 5 yıllık bir dönem sonu ödemeli basit anüite toplam değeri %9 faiz
oranı ile ne olur?
A = 2000
r = 0,09
n = 5
C5 = 2000 {(1+0,09)5 -1}/0,09 = 11.969,42 lira
Örnek : Bir borç aylık 250 lira ödemeler ile ödenmektedir. Bu kişi 4 aylık ödemesine ait borçlarını
ödememiştir. Ödeme dengesinin sağlanması için borçlunun borcunu ödemediği ayları takib eden
5. Ay taksidi ile birlikte ödemesi gereken miktar nedir? Yıllık Faiz = %14,4.
A = 250
r/12 = 0,144/12 = 0,012
n = 5
Cn = 250 {(1+0,012)5 – 1}/0,012 = 1280,36 lira
IV-8 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Örnek : Bankaya 3 ayda bir 300 lira yatırılmaktadır. İlk ödeme ile son ödeme arasındaki toplam
süre 4 yıl olduğuna göre, dönem sonundaki toplam birikim ne olur? Bankanın yıllık fazi oranı
0,08 dir.
A = 300
r/4 = 0,08/4 = 0,02
n = 17 (4x4yıl+1)
Cn = 300 {(1+0,02)17 – 1}/0,02 = 6003,62 lira
Örnek : 10 yılsonra 80.000 lira biriktirmek için her yıl ne kadar yatırım yapılmalıdır. Yıllık faiz
%8 dir.
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
A = Cn /{[(1+r)n - 1] / r} = 80.000 {[1,0810 -1]/0,08} = 5.522,36 lira
Örnek : 3 yıl süre ile her ay sonu 380 lira yatırılan ödemelerin iskontolu değerini bulunuz. Yıllık
iskonto oranı %12 dir.
A = 380
r/12 = 0,12/12 = 0,01
n = 36
Cn = A [1-(1+r)-n]/r
Cn = 380 {[1-(1+0,01)-36]/0,01} = 11.440,85 lira
Veya
Cn = A [(1+r)n - 1]/r} x [1+r]-n
Cn = 380 {[(1+0,01)36-1]/0,01}x (1,01)-36 = 11.440,85 lira
Örnek : 1500 lira peşin ve 3 yıl süre ile aylık 182,5 lira ödemeli bir satın almada, yıllık faiz %18
olduğuna göre
a) Malın peşin değerini
b) Borçlanmadaki toplam faizi hesaplayınız
a) A = 182,5
n = 36
r /12 = 0,18/12 = 0,015
X = 1500 + 182,5 {[1 – (1+0,015)-36]/0,015} = 6.548,47 lira
b) I = A n – (Cn – X)
182,5 (36) – 5048,47 = 1521,93 lira
IV-9 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Örnek : Yatırım amaçlı 5 yıl süre ile her ay başında 200 lira bankaya yatırılıyor. 5 yıl sonundaki yatırım
değerini bulunuz. Yıllık faiz %10,5
A = 200
r/12 = 0,105/12
n = 60
Cn = A [(1+r)n -1] (1+r)/r]
Cn = 200 {[(1+0,105/12)60 -1] (1+0,105/12)}/(0,105/12) = 15.831,10 lira
Örnek : Her yıl sonunda 2000 lira yatırmak kaydı ile, yıllık %6,5 faiz ile 20. Yıl sonu kaç para
sermaye oluşur?
Cn = A [(1+r)n -1] /r
= 2000 [ 1,06520 – 1]/0,065 = 77,625,3 lira
Örnek : Bir baba doğan çocuğunun 25 yaşını tamamladığında 100.000 lira bir kapitali olması
için her ay sonu kaç lira yatırmalıdır? Aylık faiz %0,6 dır.
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
100000 = A [ 1,00625x12 -1] / 0,006 = A [ 1,006300 -1] / 0,006
A = 119,4 lira
Örnek : Her ay sonunda 1000 lira yatırmak kaydı ile ne kadar zaman sonra 100.000 lira para
toplanır. Aylık faiz 0,003
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
100.000 = 1000 [ 1,003n – 1] /0,003
100.000 x 0,003 / 1000 + 1 = 1,003n
n log 1,003 = log [100.000 x 0,003 / 1000 + 1 ]
n = 87,6 ay
IV-10 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Örnek : Yıl sonlarında 2500 lira yaıtırılarak 10. Yıl sonunda 33.414,3 lira elde edildiğine göre yıllık faiz
oranı nedir?
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
[(1+r)n - 1] / r = Cn / A = 33414,3 / 2500 = 13,366 oranı kullanılarak
33414,3 = 2500 [ (1 + r)10 – 1] /r = 13,366
İterasyon ile r1 = 0,07 alınırsa (1,0710 – 1 ) /0,07 = 13,814
r2 = 0,06 “ (1,0610 - 1) /0,06 = 13,183
r3 = 0,065 “ (1,06510 - 1) /0,065 = 13,495
en iyi r = 0,065 elde edilir.
Örnek : 3 aylık devrelerin başında yatırılan 1000 lira taksitler 15. Yıl sonunda kaç lira eder? 3
aylık devre faizi %1,5.
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
= 1000 [ 1,01515x4 – 1 ] / 0,015 = 1000 [ 1,01560 – 1 ] / 0,015 = 97.748,6 lira
Örnek : 10. Yıl sonunda 40.000 lira paranın elde edilmesi için 4 aylık devreler başında kaç lira taksit
yatırılmalıdır? 4 aylık devre faizi %2.
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
40000 = A [1,0210x3 -1 ] / 0,02 = A [1,0230 -1 ] / 0,02
A = 966,7 lira
Örnek : Her hafta başında kaç para yatırılmalı ki 18. Yıl sonunda 50.000 lira birikmiş olsun?
Haftalık faiz binde 1.
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
50000 = A [ 1,00118x52 – 1 ] / 0,001 = A [ 1,001936 – 1 ] / 0,001
A = 32,75 lira
IV-11 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
3.1.2. Sermaye oluşturma yaklaşımı ile borcun taksitle ödenmesi
3.1.2.1. Sabit devre ve eşit taksitli borç
Borç olarak alınan bir B miktarının, süre sonunda tek seferde ödemek yerine belirli devrelerde
eşit taksitler ile tasviyesi istendiğinde. A taksit miktarları, n devre sonunda toplanacak paranın
bugünkü değerin (B) nin n devre sonu değerine eşit olmalıdır.
I. Aynı devrede aynı sabit faiz oranlı taksitler
Taksitler devre sonu yatırılması koşulu ile
Sermaye oluşturmada kullanılan sermayenin n dönem toplamı ile borcun veya sermayenin
başlangıç değerleri arasındaki ilişki
C0 = B
C0 = Cn (1+r)-n
Cn = C0 (1+r)n
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
Cn = B (1+r)n olur.
B(1+r)n = A [(1+r)n -1] /r
B = A [1 – 1/(1+r)n ] /r
olur.
A = B(1+r)n r / [(1+r)n -1]
n = {logA –log (A-Br)} / log(1+r)
olur.
r’nin çözümü ancak iteratif denemeler yolu ile yapılabilir. (çünkü denklemde birden çok r var)
IV-12 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Taksitler devre başında yatırılırsa
B(1+r)n = A [(1+r)n -1](1+r)/r
B = A [1 – 1/(1+r)n ](1+r)/r
olur, buradan,
A = B(1+r)n r / {[(1+r)n -1](1+r) }
n = {logA + log(1+r)–log [A(1+r)-Br]} / log(1+r)
olur.
3.1.2.2. Sabit devre ve değişken taksitli borç
Alınan borç ve ödenecek taksitler ayrı devre ve ayrı faiz oranı ile ise,
Taksitler devre sonu yatırılması koşulu ile
B(1+r)n = A1 [(1+r1)n
1 -1] /r1
B = A [(1+r1)n
1 – 1]/(1+r)n r1
olur.
A = B(1+r)n r1 / [(1+r1 )n1 -1]
n = { logA + log [ (1+r1)n
1 -1] - log(r1 B) } / log(1+r)
n1 = { log [ Br1 (1+r)n + A] – logA } / log(1+r1)
olur.
Taksitler devre başında yatırılırsa
B(1+r)n = A [(1+r1)n
1 -1] (1+r1) / r1
B = A [(1+r1)n
1 – 1] (1+r1) /(1+r)n r1
olur.
A = B(1+r)n r1 / [(1+r1 )n1 -1] (1+r1)
n = { logA + log [(1+r1)n
1 -1] – log(r1 B) + log(1+r1)} / log(1+r)
n1 = { log[ Br1 (1+r)n + A(1+r1)] – logA – log(1+r1) } / log(1+r)
olur.
IV-13 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Örnek : Bankadan alınan 40,000 lira borç ay sonlarında eşit taksitlerle 15 yılda ödenecektir.
Sabit aylık faiz oranı 0,008 olduğuna göre aylık taksitleri hesaplayınız.
B(1+r)n = A [(1+r)n -1] /r
A = 40000 x 0,008 (1,008)180 / [(1,008)180 -1]
180 log 1,08 = 180 x 0,00346 = 0,62280
Antilog 0,62280 = 4,19564
A = 417,3 lira
Örnek : Her ay başı 300 lira taksitle 20 yılda ödenmek koşulu ile kaç liralık borç alınabilir?
Aylık faiz %0,8.
B(1+r)n = A [(1+r)n -1](1+r)/r
B (1+0,008)20x12 = 300 [ (1,008)20x12 – 1] (1,008)/0,008
B = 32.152 lira
Örnek : 30,000 alınan bir borç ay sonlarında 400 lira taksitlerle ödenecektir. Aylık faiz 0,008
olduğuna göre, taksit sayısı ne olmalıdır ?
n = {logA –log (A - Br)} / log(1+r)
n = {log400 –log (400-30000x0,008)} / log(1,008)
n = {log400 –log160} / log(1,008)
n = (2,60206 – 2,20412) /0,00346
= 115,01
Taksit sayısı kesirli çıktığı için aşağıdaki çözümlerden biri uygulanır.
i. n=115 alınır ve B=30000 lira borç biraz azaltılabilir.
ii. n=115 alınır ve B=30000 sabit tutularak aylık taksit A=400 biraz büyültülür
iii. n=116 alınır ve A=400 taksit ile B>30000 yeni borç hesaplanır.
iv. n=116 alınır ve B=30000 lira borç sabit tutulur A<400 biraz küçük bir aylık taksit
hesağlanır.
v. n=115 alınır ve B=30000 sabit tutulur (uygulamada) başta veya sondaki taksit
biraz eksik ödenir.
IV-14 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Örnek : Yıllık %10 faizle 5 yıl için 20000 lira borç alınıyor ve hemen başlamak üzere 5 yıl
süre ile ay sonu ödemeli taksitler ödenecektir. Aylık faiz %0,5 olduğuna göre aylık taksit
miktarlarını hesaplayınız.
A = Br1 (1+r)n / [(1+r1)n
1 -1]
A = 20000x 0,005 (1,1)5 / [(1,005)60 -1]
x = 1,15
log x = 5 log 1,1 = 5 x 0,04139 = 0,20695
antilog x = 1,61044
x = 1,00560
log x = 60 log 1,005 = 60 x 0,00217 = 0,13020
antilog x = 1,34959
A = 20000x0,005x1,61044/(1,34959-1)=100 x 161044/34959 = 460,7 lira
aynı problemde borç faizi için aylık devreler ve faiz oranı aynı alınırsa taksit tutarı ne
olur?
A = B(1+r)n r / [(1+r)n -1]
A = 20000x 0,005 (1,005)60 / [(1,005)60 -1]
1,00560 = 1,34959
A = 100 x 1,34959 / 1,34959
A = 386 lira
IV-15 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
3.1.3. Sabit devreli ve değişken taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma
Sabit devreli ve düzensiz değişken taksitli ödemelerle hesaplama yapmak için oluşacak
sermaye her farklı devreye ait miktar ve dönem için ayrı ayrı hesaplamalar yapılarak bir araya
getirilmek sureti ile işlemler yapılır. Burada sabit devreli düzenli değişken (aritmetik ve
geometrik) taksitli ödemelerin sistematiği üzerinde durulmaktadır.
3.1.3.1. Düzenli değişken taksitler
3.1.3.1.1. Geometrik dizi şeklindeki taksitler
u=1+r ve 1+q : geometrik artış/azalış oranı
Devre başı ödemeli :
0 1 2 … n-2 n-1 n Zaman
A A(1+q) A(1+q)2 A(1+q)n-2 A(1+q)n-1 A(1+r)n
A(1+q)(1+r)n-1
A(1+q)2(1+r)n-2
… …
A(1+q)n-2(1+r)2
A(1+q)n-1(1+r)
Ödeme devrelerinin toplamları da bir geometrik dizi oluşturur
Cn = A(1+r)n + A(1+q)(1+r)n-1 + A(1+q)2(1+r)n-2 + … + A(1+q)n-2(1+r)2 + A(1+q)n-1(1+r)
İlk terimi A(1+r)n ve ortak çarpanı (1+q)/(1+r) olan geometrik dizi toplamı
Cn = a (un – 1)/(u – 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan)
Cn = A(1+r)n [(1+q)n/(1+r)n – 1]/[(1+q)/(1+r) – 1]
Cn = A(1+r)n [ (1+q)n/(1+r)n - 1} x [(1+r)/(q-r)]
Cn = A(1+r)n [ (1+q)n - (1+r)n ]/( 1+r)n x (1+r)/(q-r)
Cn = A [ (1+q)n - (1+r)n ] x (1+r) /(q-r) (q>r ise) veya olur veya pay ve paydayı -1 ile çarpılırsa
Cn = A [ (1+r)n – (1+q)n ] x [(1+r) /(r-q) (r>q ise) olur.
IV-16 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
A = (Cn (q-r)/{[(1+q)n – (1+r)n ] x (1+r)} veya
A = (Cn (r-q)/{[(1+r)n –(1+q)n] x (1+r)} elde edilir.
q=0 ise Cn = A (1+r) [(1+r)n - 1 ]/r olur
q=r olur ise Cn = n A (1+r)n olur.
ve devre başı ödeme ile devre sonu ödeme arasındaki fark
Devre başı Cn = devre sonu Cn x (1+r) dır.
Devre sonu ödemeli :
0 1 2 … n-2 n-1 n Zaman
A A(1+q) A(1+q)n-3 A(1+q)n-2 A(1+q)n-1
A(1+r)n-1
A(1+q)(1+r)n-2
… …
A(1+q)n-3(1+r)2
A(1+q)n-2(1+r)
A(1+q)n-1
Ödeme devrelerinin toplamları da bir geometrik dizi oluşturur
Cn = A(1+r)n-1 +A(1+q)(1+r)n-2 + A(1+q)2(1+r)n-3 + … + A(1+q)n-3(1+r)2 + A(1+q)n-2(1+r)+ A(1+q)n-1
İlk terimi A(1+r)n-1 ve ortak çarpanı (1+q)/(1+r) olan geometrik dizi toplamı
Cn = a (un – 1)/(u – 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan)
Cn = A(1+r)n-1 [(1+q)n/(1+r)n – 1]/[(1+q)/(1+r) – 1]
Cn = A(1+r)n-1 [ (1+q)n/(1+r)n - 1} x [(1+r)/(q-r)]
Cn = A(1+r)n-1 {[ (1+q)n - (1+r)n ]/( 1+r)n }x [(1+r)/(q- r)]
Cn = A [ (1+q)n - (1+r)n ] / (q-r) (q>r ise) olur veya pay ve paydayı -1 ile çarpılırsa
Cn = A [ (1+r)n – (1+q)n ] / (r-q) (r>q ise) olur
A = Cn (q-r)/[(1+q)n – (1+r)n ] (q>r ise) elde edilir veya
A = Cn (r-q)/[(1+r)n – (1+q)n ] (r>q ise) olur.
IV-17 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
q=0 olursa
Cn = A[ (1+r)n - 1 ]/ r olur.
q=r olursa Cn = 0/0 yani belirsiz çıkar.
Taksitlerin artış oranı faiz oranına eşit olduğunda Cn = nA(1+r)n-1 formülü kullanılır.
q > 0 ise taksitler giderek artar, q < 0 ise taksitler zamanla giderek azalır. q=0 ise taksitler sabit
kalır.
Dizi tersinden yazılırsa, ilk terimi A(1+q)n-1 ve ortak çarpanı (1+r)/(1+q) olan geometrik dizi
toplamı
Cn = A(1+q)n-1 { [(1+r)n/(1+q)n – 1] / [(1+r)/(1+q) – 1]
Cn = A [(1+r)n - (1+q)n] / (r-q) r>q ise,
Cn = A [(1+q)n - (1+r)n] / (q-r) q>r ise, elde edilir.
Cn = A [(1+r)n - 1] / r q=0 ise
Cn = 0/0 belirsiz, q=r ise
A = Cn (r-q)/[(1+r)n – (1+q)n ] bulunur.
Dizi toplamı, üzerinde (1+q) yerine (1+r) konursa (veya q=1 olursa) dizi toplamı
Cn = A(1+r)n-1 + A(1+q)(1+r)n-2 + A(1+q)2(1+r)n-3 + … + A(1+q)n-3(1+r)2 +A(1+q)n-2(1+r) + A(1+q)n-1
dizisi
Cn=A(1+r)n-1+ A(1+r)n-1+ … + A(1+r)n-1 olur
ve n adet terim eşit olduğundan
Cn = n A (1+r)n-1 olur.
r>0 ise artan taksitler, r<0 ise azalan taksitleri r=0 ise sabit taksitler söz konusudur.
IV-18 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Örnek : Birinci taksidi 1000 lira ile başlayıp sonraki taksitler %4 artan ve yıl sonlarında yatırılan
20 taksit kaç lira olur? Yıllık faiz % 6,5.
r=0,065 > q=0,04
Cn = A [ (1+r)n – (1+q)n ] / (r-q) = 1000 [ 1,06520 – 1,0420 ] / (0,065 – 0,04) = 53.316 lira
Örnek : İki aylık devreler halinde %2 oranında artan ve devre sonu ödenen taksitlerle 15 yılda
100.000 lira bir para toplamak için ilk taksit kaç lira olmalıdır? İki aylık faiz oranı %1,5.
q=0,02>r=0,015
A = Cn (q-r)/[(1+q)n – (1+r)n ] = 100000 (0,02-0,015)/(1,0215x6 – 1,01515x6) = 235,8 lira
Örnek : İlk taksidi 1000 lira olan ve %3 oranı ile artan 4 aylık devre sonlarında yatırılarak 10 yıl
sonunda kaç lira olur? 4 aylık devre faizi % 3.
q=0,03 = r=0,03
Cn = n A (1+r)n-1 = (3x10) 1000 (1,03)30-1 = 70.710 lira
Örnek : İlk taksidi 100 lira olan birinden diğerine %1 artan ve aybaşlarında yatırılan taksitlerle
5. Yıl sonunda ne kadar para birikir. Aylık faiz %0,5
q=0,01 > r=0,005
Cn = A[(1+q)n – (1+r)n ] (1+r) /(q-r) = 100 [1,0112x5 – 1,00512x5] 1,005/(0,01-0,005)
= 9.382,7 lira
Aylık faiz 0,01 olursa sonucu hesaplayın
q=0,01 = r=0,01
Cn = n A (1+r)n-1 = (12x5) 100 (1,01)12X5 = 10.898,4 lira
Örnek : İlk taksidi 500 lira olup aybaşlarında yatırılan ve her taksitte %2 eksilen taksitlerle 15.
Yıl sonunda kaç lira toplanır. Aylık faiz 0,006.
q= - 0,02 < r=0,006
Cn = A [ (1+r)n – (1+q)n ] x [(1+r) /(r-q) (r>q ise)
Cn = 500 [1,00612x15 – (1 - 0,02)12x15] 1,006/(0,006 + 0,02)
IV-19 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
3.1.3.1.2. Aritmetik dizi şeklindeki taksitler Devre başı ödemeli :
0 1 2 … n-2 n-1 n Zaman
A A+b A+2b A+(n-2)b A+(n-1)n
n A(1+r)n
n-1 (A+b)(1+r)n-1
n-2 (A+2b)(1+r)n-2
… …
2 [A+(n-2)b](1+r)2
1 [A+(n-1)b](1+r)
u = 1+r
b : ortak fark (pozitif veya negatif olabilir)
ΣCn = Aun + (A+b)un-1 + (A+2b)un-2 + … + [A+(n-2)b]u2 + [A+(n-1)b]u
uΣCn = Aun+1 + (A+b)un + (A+2b)un-1 + … + [A+(n-2)b]u3 + [A+(n-1)b]u2
parantezler açılırsa,
-ΣCn = - {Aun + Aun-1+bun-1 + Aun-2+2bun-2 + … + Au2+(n-2)bu2 + Au+(n-1)bu }
uΣCn = Aun+1 + Aun+bun + Aun-1+2bun-1 + … + Au3+(n-2)bu3 + Au2+(n-1)bu2
ilk eşitliğin işareti değiştirilir ve her iki denklem toplanırsa,
(u-1)ΣCn = Aun+1 -Au+ b(un+un-1+un-2+ … + u3+u2+u)-nbu
(u-1)ΣCn = Au(un-1)+ b[u(un-1)]/(u-1)-nbu
u=1+r old için her iki taraf u-1 = r ile bölünürse
ΣCn = Au(un-1)/r+ b[u(un-1)]/(r)2-nbu/r
u-1=r old için u=1+r ve ∑Cn yerine Cn kullanılırsa
Cn = A(1+r)[(1+r)n-1)/r+ b(1+r)[(1+r)n-1]/r2-nb(r+1)/r
Cn = { (1+r) [(1+r)n-1]/r } x [A + b/r] - nb(r+1)/r
olur.
Devre sonu taksitler için;
Devre başı Cn = devre sonu Cn x (1+r) olduğu için,
Devre sonu ödemeli Cn = (1+r) {[(1+r)n-1]/r} x A (1+ b/r)(1+r) - nb (1+r)/r(1+r)
Devre sonu ödemeli Cn = {[(1+r)n-1]/r} x A (1+ b/r) - nb/r
IV-20 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Devre sonu ödemeli :
0 1 2 … n-2 n-1 n
A A+b A+(n-3)b A+(n-2)b A(n-1)b
A(1+r)n-1
n-1 (A+b)(1+r)n-2
n-2 (A+2b)(1+r)n-3
…
2 [A+(n-3)b](1+r)2
1 [A+(n-2)b](1+r)
[A+(n-1)b]
u = 1+r
b : ortak fark (pozitif veya negatif olabilir)
ΣCn = Aun-1 + (A+b)un-2 + (A+2b)un-3 + … + [A+(n-2)b]u + [A+(n-1)b]
ΣCn = A {un-1 + bun-2 + 2bun-3 + … + (n-2)bu + (n-1)b}
ΣCn = A {un-1 + b[un-2 + 2un-3 + … + (n-2)u + (n-1)]}
Bu terimlerden A ayrılırsa ve her bir terim aşağıdaki gibi parçalara ayrılırsa,
{un-1 + b[un-2 + 2un-3 + … + (n-2)u + (n-1)]}
0 un-1 = 0
bun-2 = bun-2
2bun-3 = bun-3 + bun-3
. . .
. . .
. . .
(n-2)bu = bu + bu + … + bu
(n-1)bu0 = bu0 + bu0 + … + bu0 + bu0 elde edilir
Sıfır olan ilk terim dışındakilerin aynı sıra numaralı olanları aşağıdan yukarı doğru birer
geometrik dizi oluşturmaktadır. Burada (n-1) tane geometrik dizinin ilk terimleri bu0 ve ortak
çarpanı u olduğu görülür. Bu dizilerin toplamları yazılacak olursa,
IV-21 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
S1 = b(un-1 – 1)/(u-1)
S2 = b(un-2 – 1)/(u-1)
. …
S(n-2) = b(u2 – 1)/(u-1)
S(n-1) = b(u – 1)/(u-1)
olur. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak
Sn-1 + Sn-2 + … + S1 = b(u-1)/(u-1) + b(u2-1)/(u-1) + … + b(un-1-1)/(u-1)
olur.
=b/(u-1) {(u-1) + (u2-1) + … + (un-1-1)}
=b/(u-1) {u + u2 + … + un-1-(n-1)}
=b/(u-1) { u0+ u + u2 + … + un-1 } –bn/(u-1) içerideki geo. dizi toplamı
yazılırsa
=b/(u-1) { u0(un-1)/(u-1) } –bn/(u-1)
u=1+r yazılırsa yerine yazılırsa,
=b/r {((1+r)n-1)/r } –bn/r
İlk işlemlere başlarken ayrılan A tekrar denkleme eklenirse
Cn= [A + b/r ]{((1+r)n-1)/r } –bn/r
elde edilir.
Devre sonu taksitler için;
Devre başı Cn = devre sonu Cn x (1+r) olduğu için,
Devre sonu ödemeli Cn = (1+r) {[(1+r)n-1]/r} x (A + b/r)(1+r) - nb (1+r)/r(1+r)
Devre sonu ödemeli Cn = {[(1+r)n-1]/r} x (A + b/r) - nb/r
3.1.4. Değişken devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma
Değişken devreli ve değişken (farklı) taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma hesaplamaları
yapmak için oluşacak sermaye her farklı devreye ait dönem için ayrı ayrı hesaplanarak bir araya
getirilerek işlemler yapılır. Bu nedenle burada değişken devreli ve eşit taksit ödemeli sermaye
oluşturma yapısı üzerinde durulmaktadır.
IV-22 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Değişken devrede farklı faiz oranlı ve eşit taksitler
Örnek : Bir kişi 10 yıllık süre ile her yıl sonunda 1000 lira ödemek koşulu ile bankaya para
yatırıyor. İlk 3 yıl için%8, sonraki 4 yıl için %10,25, son 3 yıl için %9 faiz oranı ile
a)yatırımın toplam değeri ne olur?
b) Elde edilen faiz nedir?
a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,08 0,1025 0,09
Cn = A{[(1+r1)n1 -1]/r1} x (1+r2)n2 x (1+r3)n3 + A{[(1+r2)n2 -1]/r2} x (1+r3)n3 + A{[(1+r3)n3-1]/r3}
C10 = 1000{[(1,08)4 -1]/0,08} x (1,1025)4 x (1,09)3 + 1000{[(1,1025)4 -1]/0,1025} x (1,09)3 +
1000{[(1,09)3-1]/0,09}
= 15.521,97 lira
b) 15521,97 – 10.000 = 5.521,97 lira
Örnek : 6 ayda bir 200 lira ödemeler ile 8.000 liralik bir fon oluşturmak için kaç ödeme
yapmak gerekir, faiz %12 dir.
Cn = A [ (1+r)n – 1 ] / r
8000 = 200 [ (1+0,06]n -1 ]/0,06
n log(1,06) = log [ 0,06 x 8000 /200 + 1]
n 1,06 = log 3,4
n = 0,531479/0,025306
n=21 dönem (10,5 yıl)
veya
Cn = X + A [ (1+r)n – 1 ] / r
8000 = X + 200 [ (1+0,06]21 -1 ]/0,06
X = 1,45 lira son (21.) ödeme 201,45 liradır.
IV-23 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Örnek : altı ayda bir 500 liralık ödemel ile 5 yılda 6000 lira toplamak için faiz ne olmalıdır?
Cn = A [ (1+r)n – 1 ] / r
6000 = 500 [ (1+r/2]10 -1 ]/(r/2)
k=6000/500 = 12
12 = [ (1+r/2]10 -1 ]/(r/2)
6r = [ (1+r/2]10 -1 ]
6r + 1 = (1+r/2]10
Log (6r+1) = 10 log (1+r/2)
Log (6r+1) / log (1+r/2) = 10
iterasyonları ile
r= 0,05 için 0,113943 / 0,010724
r=0,06 için 0,122529/0,012837 = 10,40
r=0,07 için 0,152288/0,01494 = 10,19309
r=0,08 için 0,170262/0,017033 = 9,995792
r=0,079 için 0,168497/0,016824 = 10,01501
r=0,0798 için 0,169909/0,016992 = 9,999627 (en yakın sonuç)
Örnek : 5 yıl süre ile her ay sonu 300 lira ödeme ile ve 3 aylık %6 faiz oranı ile biriken kapitali
hesaplayınız.
Bileşik faizdeki denk faiz oranı yarımı ile
(1+r)12 = (1+ 0,06/4)4 r = 0,004975209
Cn = A [ (1+r)n – 1 ] / r
= 300 [ (1+ 0,004975209]60 – 1] /0,004975209
= 20.915,01 lira
IV-24 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
Özet
Sabit devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma
Devre başı ödemeli Cn = A [(1+r)n -1] (1+r)/r]
A = Cn an (1+r) = Cn / {sn (1+r)} = Cn r / {[(1+r)n -1] (1+r)}
n = { log[Cn r + A (1+r)] – logA – log(1+r) } / log(l+r)
Yardımcı fonksiyonlar an = [1-(1+r)-n]/r
sn = [(1+r)n -1]/r
(1+r)n an = sn
Devre sonu ödemeli Cn = A [(1+r)n - 1] / r
Cn = A [(1+r)n - 1] / r
Devre başı ödeme Cn = devre sonu ödeme Cn x (1+r) dir.
İskontolu değer Cn = A [1-(1+r)-n]/r veya Cn = A [(1+r)n - 1]/r} x [1+r]-n
Sermaye oluşturma yaklaşımı ile sabit taksitli borcun taksitle ödenmesi
Taksitler devre sonu yatırılması koşulu ile
B = A [1 – 1/(1+r)n ] /r
A = B(1+r)n r / [(1+r)n -1]
n = {logA –log (A-Br)} / log(1+r)
Taksitler devre başında yatırılırsa
B = A [1 – 1/(1+r)n ](1+r)/r
A = B(1+r)n r / {[(1+r)n -1](1+r) }
n = {logA + log(1+r)–log [A(1+r)-Br]} / log(1+r)
Sermaye oluşturma yaklaşımı ile değişken taksitli borç taksitleri,
ayrı devre ve ayrı faiz oranı ile
Taksitler devre sonu yatırılması koşulu ile
B = A [(1+r1)n
1 – 1]/(1+r)n r1
A = B(1+r)n r1 / [(1+r1 )n
1 -1]
n = { logA + log [ (1+r1)n
1 -1] - log(r1 B) } / log(1+r)
n1 = { log [ Br1 (1+r)n + A] – logA } / log(1+r1)
Taksitler devre başında yatırılırsa
B = A [(1+r1)n
1 – 1] (1+r1) /(1+r)n r1
IV-25 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik
A = B(1+r)n r1 / [(1+r1 )n
1 -1] (1+r1)
n = { logA + log [(1+r1)n
1 -1] – log(r1 B) + log(1+r1)} / log(1+r)
n1 = { log[ Br1 (1+r)n + A(1+r1)] – logA – log(1+r1) } / log(1+r)
Sabit devreli ve değişken taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma
Düzenli değişken taksitler, Geometrik dizi şeklinde değişken taksitler
Devre başı ödemeli Cn = A {[ qn - (1+r)n ] x [(1+r)} /(q - r-1) veya
Cn = A {[ (1+r)n – qn ] x [(1+r)} /(r - q + 1)
A = (Cn (q-r-1)/{[qn – (1+r)n ] x (1+r)} veya
A = (Cn (r-q+1)/{[(1+r)n –qn] x (1+r)} ,
Devre sonu ödemeli Cn = n A (1+r)n-1
Düzenli değişken taksitler, Aritmetik dizi şeklinde değişken taksitler
Devre başı ödemeli Cn = { (1+r) [(1+r)n-1]/r } x [A + b/r] - nb(r+1)/r
Devre sonu ödemeli Cn = {[(1+r)n-1]/r} x A (1+ b/r) - nb/r
Değişken devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma
Cn = A{[(1+r1)n1 -1]/r1} x (1+r2)n2 x (1+r3)n3 + A{[(1+r2)n2 -1]/r2} x (1+r3)n3 + A{[(1+r3)n3-1]/r3}