bÖlÜm 2 - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/serkan.aras/bölüm 2.pdf · kaynak: stewart, j.;...

Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.

1

BÖLÜM 2

Fonksiyonlar

2.1. Fonksiyon Nedir

2.2. Fonksiyonların Grafikleri

2.3. Bir Fonksiyonun Grafiğinden Bilgi Edinmek

2.4. Bir Fonksiyonun Ortalama Değişim Oranı

2.5. Fonksiyonların Birleştirilmesi

2.6. Birebir Fonksiyonlar ve Tersleri

Modellemeye Odaklanmak – Fonksiyonlar ile Modelleme

Gerçek dünyayı modellemek için kullanılabilecek muhtemelen en kullanışlı fikir “fonksiyon”

kavramıdır. Şu örneği inceleyelim: Bir dağcı bir taşı yüksek bir tepeden aşağı bıraktığında taşın

düşeceğini biliriz. Ancak bu genel tarif bize taşın ne zaman yere düşeceğini açıklamaz. Bunu

açıklayabilmek için taşın düştüğü mesafe d ile düşme süresini ilişkilendirecek bir kurala ihtiyaç vardır.

Bu kuralı ilk bulan Gailileo idi. t saniyede taş 16t2 kadar düşer. Bu kurala bir “fonksiyon” denir. Bu

fonksiyonu şu şekilde yazarız d(t)=16t2 . Bu fonskiyon modelini kullanarak taşın ne zaman yere

düşeceğini kestirimleyebiliriz. Kitabın bu bölümünde fonksiyonların özelliklerini ve fonksiyon

modellerinin bize modellenen “şey” ve “süreç”ler ile ilgili kesin bilgi sağlamada nasıl yardımcı olacağı

ile ilgileneceğiz.


2

2.1 Fonksiyon Nedir

Etfarımızdaki Fonksiyonlar Fonksiyonun Tanımı Bir Fonksiyonun Değerlendirilmesi

Fonksiyonun Tanım Kümesi Bir Fonksiyonu Göstermenin Dört Yolu

Etrafımızdaki Fonksiyonlar

Neredeyse tüm fiziksel olaylarda bir büyüklüğün başka bir büyüklüğe bağlı olduğunu gözlemleriz.

Örneğin boyunuz yaşınıza bağlıdır, sıcaklık tarihe, postaladığınız bir paketin posta maliyeti ise

ağırlığına bağlıdır (Bknz şekil 1). Bir büyüklük ile diğer bir büyüklük arasındaki bağımlılığı açıklamak

için “fonksiyon” terimini kullanırız. Buna dayanarak şunları söyleyebiliriz:

- Boy yaşın bir fonksiyonudur

- Sıcaklık tarihin bir fonksiyonudur.

- Bir paketin posta maliyeti ağırlığının bir fonksiyonudur

Amerikan Posta Ofisi ağırlığı göz önüne alarak posta maliyeti hesaplamada oldukça basit bir kural

belirlemiştir. Ancak yaş ile boy arasında veya sıcaklık ile tarih arasındaki ilişki ile ilgili kuralı belirlemek

pek de kolay değildir.

Başka fonksiyonlar düşünmeyi deneyin, işte birkaç örnek:

-Bir dairenin alanı çemberin yarıçapının fonksiyonudur.

-Bir kültürdeki bakteri sayısı zamanın bir fonksiyonudur.

-Bir astronotun ağırlığı rakımın bir fonksiyonudur

-Bir malın fiyatı o mala olan talebin bir fonksiyonudur.

Bir dairenin alanı A ‘nın o dairenin yarıçapına nasıl bağlı olduğunu gösteren kural

A=πr2 formülü ile verilir.


3

Bir fonksiyonu tanımlamak için kesin bir kural veya formül mevcut olmasa bile fonksiyonu grafik ile

tanımlayabiliriz. Örneğin bir sıcak su vanasını açtığımızda suyun sıcaklığı suyu ne kadar süre önce

açtığımıza bağlıdır. Bu durum şu şekilde ifade edilebilir:

Musluktan akan suyun sıcaklığı suyu ne kadar süre önce açtığımızın bir fonksiyonudur.

Şekil 2 bir sıcak su vanası açıldıktan sonra geçen zamanın (t) fonksiyonu olarak musluktan akan suyun

sıcaklığı (T) nın kaba grafiğini göstermektedir. Grafiğe göre başlangıçta suyun sıcaklığı oda sıcaklığına

çok yakındır. Su, sıcak su tankından musluğa ulaştığında suyun sıcaklığı T hızla yükselir.

Sonraki safhada suyun sıcaklığı tankın içindeki suyun sıcaklığına eşittir. Tanktaki su bittiğinde su

sıcaklığı sistemden ulaşan soğuk suyun sıcaklığına düşer.

Fonksiyonun Tanımı

Fonksiyon bir kuraldır. Bir fonksiyondan söz edebilmek için ona bir isim vermek gerekir. Bir

fonksiyonu anlatırken f,g,h gibi harfleri kullanacağız. Örneğin aşağıdaki gibi bir kuralı gösterebilmek

için f harfini kullanacağız.

“f” ile ilgili kural şudur: “sayının karesini al”

f(2) yazdığımızda “f kuralını 2 sayısına uygula anlamına gelmektedir. Kural uygulandığında

f(2)=22 =4 sonucunu verir. Buna benzer olarak f(3) =33 =9, f(4) =42 =16 yazılabilir. Eğer

genelleştirilirse: f(x)=x2 yazılabilir.

Bir Fonksiyonun Tanımı: Bir f fonksiyonu A gibi bir küme içindeki her bir x elemanını, B kümesinde

f(x) şeklindeki tek bir elemanla eşleştiren bir kuraldır.

Genellikle ele aldığımız fonksiyonlarda A ve B kümeleri gerçel (reel) sayılardan oluşmaktadır. f(x)

sembolü Türkçede f x fonksiyonu olarak telaffuz edilir ve f in x teki değerini ifade eder. Başka bir

deyişle x in f teki görüntüsünü ifade eder. A kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir. x

değerlerinin değişimine bağlı olarak f(x) in alabileceği tüm mümkün değerleri gösteren kümeye f in

değer kümesi denir.


4

𝑓 in değer kümesi olarak yazılabilir.

𝑓 fonksiyonunun tanım kümesindeki keyfi bir sayıyı gösteren sembole “bağımsız değişken” denir. 𝑓 in

değer kümesindeki bir sayıyı gösteren sembole “bağımlı değişken” denir. Böylece y=f(x) yazarsak bu

durumda x bağımsız değişkeni y ise bağımlı değişkeni gösterir.

Fonksiyonu bir makine olarak düşünmek oldukça yararlı olacaktır. (Bknz. Şekil 3.) Eğer x, f

fonksiyonunun tanım kümesinde ise x makineye giren bir girdi olarak düşünülebilir ve makine de f(x)

fonksiyonunun ortaya koyduğu kurala bağlı olarak bir çıktı üretir. Böylece tanım kümesi mümkün

olan tüm girdileri ve değer kümesi de mümkün olan tüm çıktıları gösterir.

Bir fonksiyonu göstermenin diğer bir yolu da şekil 4. te örneği bulunan ok diyagramıdır. Her ok A nın

bir elemanını B nin bir elemanı ile birleştirir. Ok f(x) in x ile bağlantılı olduğunu f(a) nın a ile bağlantılı

olduğunu vb. gösterir.

ÖRNEK 1 Bir Fonksiyonun Analiz Edilmesi

Bir f fonksiyonu şu formülle tanımlanmıştır

a) f fonksiyonunun x girdisinden f(x) çıktısını nasıl ürettiğini kelimeler ile ifade ediniz.

b) f(3) , f(-2) , ve f(√5) i değerlendirin.

c) f in tanım ve değer kümesini bulun.

d) f için bir makine diyagramı çizin.

ÇÖZÜM

a) formül bize x girdisinin önce karesini almamız gerektiğini sonra ise bunun sonucuna 4 değerini

eklememizi söylüyor. Yani f fonksiyonu

“Kare al sonra 4 ekle” şeklindedir


5

b) f değerleri formülünde x in yerine verilen değerleri yazarak bulunur.

c) f in tanım kümesi f in mümkün bütün girdilerinden oluşur. formülünü tüm x reel

sayıları için değerlendirebileceğimizden f in tanım kümesi tüm R reel sayılar kümesinden oluşur.

f in değer kümesi f in mümkün tüm çıktılarından oluşur. Tüm x reel sayıları için olduğundan

dolayı olacaktır. Böylece f in tüm çıktıları için olur diyebiliriz. Bu yüzden f in

değer kümesi olur.

d) f için bir makine diyagramı şekil 5 te gösterilmiştir.

Bir Fonksiyonu Değerlendirmek

Fonksiyonun tanımında bağımsız değişken x bir yer tutucu olarak davranır. Örneğin,

fonksiyonu şeklinde düşünülebilir.

ÖRNEK 2

fonksiyonu verilsin. Aşağıdaki fonksiyonları değerlendirin.

ÇÖZÜM

f i bir sayı için değerlendirmek için f in tanımındaki x in yerine sayıyı yerleştiririz.

X yerine 3 yazın

X yerine -2 yazın

X yerine kök5 yazın


6

ÖRNEK 3 Parçalı Tanımlanmış Fonksiyon

Bir cep telefonu tarifesi aylık 39$ maliyetlidir. Bu plan 400 dk. konuşma dahildir. Bunu aşan her ekstra

dakika 20c ek maliyet yaratmaktadır. Aylık telefon faturası kullanılan dakikaların bir fonksiyonudur ve

şu şekilde gösterilebilir:

C(100), C(400) ve C(480) i bulunuz.

ÇÖZÜM

Fonksiyonun bir kural olduğunu hatırlayın. Bu fonksiyon için kuralı şu şekilde uyguluyoruz.

Önce x girdisinin değerine bakalım. Eğer ise C(x) in değeri 39 +0.20(x-400) olur.

100≤400 olduğunda C(100) =39

400≤400 olduğunda C(400) = 39

480>400 olduğunda C(480) = 39+0.20(480-400) = 55

Böylelikle tarifeye göre 100 dk için 39$ , 400 dk. İçin 39$ ve 480 dk. için 55$ maliyet oluşur.

ÖRNEK 4 Fonksiyonun değerlendirilmesi

Eğer ise aşağıdakileri değerlendirin.


7

ÇÖZÜM

(d) c ve a d aki çözümleri kullanarak

yazılabilir.

Örnek 5 Bir Astronotun Ağırlığı

Eğer bir astronot dünyanın yüzeyinde 130 pound çekiyorsa, dünya yüzeyinden h mil kadar yüksekte

bulunduğunda ağırlığı şu fonksiyon ile hesaplanır.

a) Dünya yüzeyinden 100 mil yüksekte iken astronotun ağırlığı ne olur?

b) 0 ile 500 mil yükseklikler arasında astronotun ağırlık değerlerini verecek bir w fonksiyonu için bir

değerler tablosu oluşturun.

ÇÖZÜM

a) h=100 olduğunda w fonksiyonun değerini istiyoruz, yani w(100) değerini bulmak istiyoruz.

,

Böylece 100 mil yükseklikte astronot 124 lb’ dir.

b) Tablo astronotun ağırlığını 100 millik artışlar ile ve en yakın pound değerine yuvarlatılmış haliye

vermektedir. Tablodaki değerler a şıkkındakine benzer olarak hesaplanmıştır.


8

Tablo bize astronotun yükseklere çıktıkça daha hafif olduğunu göstermektedir.

Bir Fonksiyonun Tanım Kümesi

Bir fonksiyonun tanım kümesinin, fonksiyon için tüm girdilerin oluşturduğu küme olduğunu

hatırlayalım. Bir fonksiyonun tanım kümesi açık bir şekilde ifade edilebilir. Örneğin:

Yazdığımızda tanım kümesi aralığındaki tüm x reel sayılar kümesidir. Eğer fonksiyon

cebirsel bir ifade ile verilirse ve tanım kümesi açık olarak verilmezse; fonksiyonun tanım kümesi

cebirsel ifadenin tanım kümesidir, öyle ki: bu küme ifadenin reel sayı olarak tanımlı olduğu tüm reel

sayılar kümesidir. Örneğin şu fonksiyonları ele alalım:

f fonksiyonu x=4 noktasında tanımlı değildir, bu durumda tanım kümesi olur.

g fonksiyonu negatif x ler için tanımlı değildir, bu yüzden tanım kümesi olur.

ÖRNEK 6 Fonksiyonların tanım bölgelerinin bulunması

Aşağıdaki her fonksiyonun tanım kümesini bulun

ÇÖZÜM

a) Rasyonel bir ifade paydası sıfıra eşit olduğunda tanımsızdır.

yazıldığında f(x) 0 ve 1 noktalarında tanımsız olur. Böylece f in tanım kümesi


9

olarak ifade edilir.

Tanım kümesi aralık notasyonu kullanılarak şu şekilde de yazılabilir:

b) Negatif bir sayının karekökü alınamaz bu yüzden olması gerekir. Kısım 1.7 deki metodu

kullanarak bu eşitliği çözebiliriz ve sonucunu elde ederiz. Buradan g’ nin görüntü

kümesi

olur.

c) Negatif bir sayının karekökü alınamaz ve sayı 0 a bölünemez bu yüzden olmalıdır böylece

elde edilir. Böylece h nin tanım kümesi

olur.

Bir Fonksiyonu İfade Etmenin 4 Yolu

Bir fonksiyonun ne olduğunu anlamak için makine ve ok diyagramını kullandık. Belirli bir fonksiyonu

tanımlamak için aşağıdaki 4 metodu kullanabiliriz.

-Sözle (Kelimelerle ifade ederek)

-Cebirsel olarak (Açık bir formül ile)

-Görsel olarak (Grafik yardımı ile)

- Sayısal olarak (Değerler Tablosu ile)

Bir fonksiyon tüm bu 4 form ile ifade edilebilir ve fonksiyonla ilgili görüş edinmek için bir gösterimden

diğerine geçmek faydalı olur. Ancak bazı fonksiyonları belli bir metotla tanımlamak daha doğal

olacaktır. Örneğin sıcaklık ölçeklerini dönüştürmek için kullanılan bir fonksiyonunun sözel ifadesi:

“Celsius derecenin fahrenheit karşılığını bulmak için celsius sıcaklığı 9/5 ile çarpıp 32 ekleriz.”

şeklindedir.

Örnek 7’ de bu sözlü kural cebirsel, grafiksel ve sayısal olarak ifade edilmiştir.

Bir dairenin alanının yarıçapın bir fonksiyonu olarak cebirsel gösterimi oldukça yararlı olacaktır:

Bir sismograf tarafından üretilen grafik (sonraki sayfada gösterilmekte) deprem sırasında yerin dikey

ivmelenme fonksiyonunun görsel bir ifadesidir.


10

Son bir örnek olarak sözel bir ifade ile; w ağırlığa sahip birinci sınıf bir mektubun posta maliyetini

gösteren C(w) fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonu göstermenin en iyi yolu sayısal ifade etmek

yani tablo ile göstermektir.

Kitapta tüm bu 4 gösterim de kullanılacaktır. Bunlar aşağıdaki kutuda özetlenmiştir.

Sözel

Celsius derecenin fahrenheit karşılığını bulmak için celsius sıcaklığı 9/5 ile çarpıp 32 ekleriz.

Cebirsel

Alan formülü

Sayısal

Posta maliyetleri için sayı tablosu

Örnek 7 Bir fonksiyonu sözel, cebirsel, grafiksel ve sayısal ifade etmek

F(C), C, Celsius sıcaklığına karşı F, Fahrenheit sıcaklığını göstersin. Yani F(C), Celsius girdiyi Fahrenheit

çıktıya dönüştüren fonksiyondur. Yukarıdaki kutuda bu fonksiyonun sözel ifadesi mevcuttur. Bu

fonksiyonu göstermenin başka yollarını bulunuz.

a) Cebirsel (formül kullanarak)

b) Sayısal (tablo değerleri kullanarak)

c) Görsel (grafik kullanarak)


11

Çözüm

a) Sözel ifade bize Celsius derecenin fahrenheit karşılığını bulmak için celsius sıcaklığı 9/5 ile çarpıp 32

eklememizi söyler. Bu durumda

olur.

b) Önceki şıktaki F fonksiyonunu kullanarak tablo oluşturulabilir.

c) Önceki şıktaki tabloyu grafik çizmekte kullanarak Şekil 6 ‘da gösterilen grafik elde edilir.

ŞEKİL 6 Celsius ve Fahrenheit

2.2 Fonksiyonların Grafikleri

Bir fonksiyonu görselleştirmedeki en önemli yol grafik çizmektir. Bu bölümde fonksiyonların grafikle

gösterimini ele alacağız.

Noktaları işaretleyerek fonksiyonun grafiğinin çizilmesi

F Fonksiyonunun grafiğini çizmek için fonksiyonun gösterdiği (x,f(x)) noktalarını koordinat sistemi

üzerinde işaretleriz. Başka bir ifade ile x koordinatı girdi ve y koordinatı buna karşı gelen çıktı olacak

şekilde (x,y) noktalarını işaretleriz.


12

Bir f fonksiyonunun grafiği bir fonksiyonun “yaşam hikayesi” nin resmini sunar.

f(x) in değerini grafikten fonksiyonun x in üzerindeki yüksekliği olarak okuyabiliriz. (Şekil 1.)

formundaki bir fonksiyon doğrusal fonksiyondur çünkü

denkleminin grafiği m eğime ve y-kesiminin b de olduğu bir doğru teşkil eder.

m=0 olduğunda doğrusal fonksiyonun özel bir hali ortaya çıkar. f(x)=b fonksiyonu bir sabit

fonksiyondur çünkü tüm değerleri b gibi sabit bir sayıya eşit olur. Grafiği ise yatay y=b doğrusudur.

Şekil 2 sabit fonksiyon f(x) =3 ve doğrusal fonksiyon f(x) = 2x+1 in grafiklerini göstermektedir.

Bir Fonksiyonun Grafiği

Eğer f, A tanım kümeli bir fonksiyon ise f in grafiği aşağıda

gösterilen sıralı ikililerin tamamının oluşturduğu noktalar

kümesidir.


13

Örnek 1 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizimi

Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz

Çözüm

Öncelikle değerler için tablo oluştururuz. Daha sonra tablodaki noktaları düzgün bir eğri teşkil edecek

şekilde birleştiririz. Grafikler Şekil 3 te verilmiştir.

Örnek 3 Kuvvet fonksiyonları ailesi

a) fonksiyonun grafiğini n=2,4,6 için [-2,2] ve [-1,3] görüntü dikdörtgeni içine çizin.

b) fonksiyonun grafiğini n=1,3,5 için [-2,2] ve [-2,2] görüntü dikdörtgeni içine çizin.

c) Bu grafiklerden hangi sonuçları elde edebilirsiniz.

Çözüm

fonksiyonunu çizebilmek için denkleminin grafiğini çiziyoruz. a ve b için grafikler

şekil 5 te verilmiştir.


14

ŞEKİL 5

c) için dikkat edilirse nin grafiğinin şekli n sayısının tek veya çift olmasına bağlıdır.

n çift ise in grafiği x2 parabolüne benzerdir

n tek ise in grafiği x3 parabolüne benzerdir.

Şekil 5 incelenirse n arttığında nin grafiği 0 civarında düzleşirken de dik hale gelir.

aralığında x in düşük kuvvetleri “daha büyük” fonksiyonlardır. Ancak, olduğunda

ise x in yüksek kuvvetleri baskın fonksiyonlardır.

Parçalı Tanımlanmış Fonksiyonların Çizme

Parçalı tanımlanmış bir fonksiyon tanım aralığının farklı bölgelerinde farklı formüllerle tanımlanır. Bu

yüzden de grafikleri ayrık parçalardan oluşur.

Örnek 4 Parçalı Tanımlanmış Fonksiyonun Grafiği

fonksiyonunun grafiğini çizin

Çözüm

Eğer ise olur grafiğin x=1 in solunda kalan kısmı nin şekil 3 te çizilen

grafiğine benzer. ise olur. Grafiğin x=1 in sağında kalan kısmı

doğrusuna benzer, bu da şekil 2 de çizilmişti. Bu bilgilerle şekil 6 daki grafik

oluşturulabilir.

(1,1) noktasındaki koyu renkli nokta bu noktanın grafiğe dahil olduğunu belirtmektedir. (1,3) teki içi

boş nokta ise bu noktanın grafiğe dahil olmadığını göstermektedir.


15

Örnek 5 Mutlak Değer Fonksiyonunun Grafiği

mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm

Hatırlanacak olursa

Örnek 4 teki metodu kullanarak y ekseninin sağında fonksiyonun y=x doğrusuna eşit olduğunu

görürüz ve y ekseninin solunda ise fonksiyon y= -x şeklindedir.

En büyük tamsayı fonksiyonu = x eşit veya x ten daha küçük en büyük tamsayı şeklinde

tanımlanır.

Örnek 6 En büyük tamsayı fonksiyonunun grafiği

fonksiyonunun grafiğini çiziniz


16

Çözüm:

Tablo x in bazı değerleri için f değerlerini göstermektedir. Dikkat edilirse f(x) in ardışık tamsayılar

arasında sabit olduğu görülür, bu yüzden de grafik Şekil 8 deki gibi yatay doğru parçalarından oluşur.

En büyük tamsayı fonksiyonu “basamak(adım) fonksiyonu” na örnek teşkil eder. Sonraki örnek, adım

fonksiyonunun gerçek dünya örneğidir.

Örnek 7 Uzun Mesafeli Telefon Aramalarının Maliyet Fonksiyonu

Toronto –Kanada’ dan, Mumbai-Hindistan’ a uzun mesafe gündüz telefon görüşmesinin maliyeti ilk

dakika için 69 sent sonraki her ek dakika için 58 sent şeklinde gerçekleşmektedir. Zamanın (t) bir

fonksiyonu olarak telefon görüşme maliyetinin (C) grafiğini çiziniz.

Çözüm

C(t), t dakika için maliyeti göstersin olduğundan dolayı fonksiyonun tanım kümesi

olur. Bu bilgi ile:

yazılabilir.


17

Bir fonksiyonun grafiğinde bir kesiklik veya boş nokta yoksa bu fonksiyona “süreklidir” denir. 1,2,3,5

numaralı örnekler sürekli fonksiyonları içerirken; 4,6,7 süreksizdir.

Düşey Doğru Testi

Bir fonksiyonun xy düzlemindeki grafiği eğridir. Bu, akla şu soruyu getirmektedir. xy düzlemindeki

hangi eğriler bir fonksiyonun grafiğidir. Bu sorunun cevabını şu test verir.

Düşey Doğru Testi:

Koordinat düzlemindeki bir eğri, ancak ve ancak bu eğriyi bir kereden daha fazla kesen düşey doğru

bulunamadığında bir fonksiyonun grafiğidir.

Şekil 10 incelenirse testin doğruluğu anlaşılabilir. Eğer her x=a düşey doğrusu eğriyi tek bir (a,b)

noktasında kesiyorsa 𝑓(𝑎) = 𝑏 ifadesi ile tek bir fonksiyonel değer belirlenir. Eğer x=a doğrusu eğriyi

(a,b) ve (a,c) gibi iki noktada keserse eğri bir fonksiyonu temsil edemez çünkü bir fonksiyon a’ ya iki

farklı değer atayamaz.


18

Örnek 8 Düşey doğru testinin kullanılması

Düşey doğru testi ile b) ve c) nin bir fonksiyonu temsil ettiğini a) ve d) nin ise etmediğini görürüz.

ŞEKİL 11

Fonksiyon Tanımlayan Denklemler

x ve y değişkenlerini içeren her bir denklem bu değişkenlerin ilişkisini tanımlar. Örneğin

𝑦 − 𝑥2 = 0

denklemi y ile x arasındaki ilişkiyi açıklar. Bu denklem y’ yi x’ in bir fonksiyonu olarak tanımlar mı?

Bunu bulabilmek için denklemi çözüp

𝑦 = 𝑥2 elde edilir.

Buradan görmekteyiz ki denklem her bir x değerine tek bir y değeri atayan bir kural veya fonksiyon

tanımlamaktadır. Bu kuralı fonksiyon notasyonu ile

şeklinde yazabiliriz.

Ancak her denklem y’ yi x’ in bir fonksiyonu olarak tanımlamaz. Sonraki örnek bununla ilgilidir.

Örnek 9 Fonksiyon Tanımlayan Denklemler

Denklemleri y’ yi x’ in fonksiyonu olarak tanımlamakta mıdır?

Çözüm

a) x cinsinden y’ nin çözümü ile

elde edilir.


19

Son denklem her x için y ye tek bir değer verir. Buradan y’ nin x’ in bir fonksiyonu olarak

tanımlandığını görürüz. Fonksiyonu 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 şeklinde yazarız.

b) y’ yi x cinsinden çözdüğümüzde

Son denklem x’ in bir değeri için 2 farklı y değeri vermektedir. Bu yüzden y, x’ in bir fonksiyonunu

tanımlamaz.

Örnek 9 ‘daki denklemlerin grafikleri Şekil 12 de gösterilmiştir. Düşey doğru testi a) daki denklemin

fonksiyon olduğunu ancak b) dekinin olmadığını göstermektedir.

ŞEKİL 12


20

Aşağıdaki tabloda bu kitapta sıklıkla karşımıza çıkacak bazı fonksiyonların grafikleri gösterilmiştir.

2.3 Bir Fonksiyonun Grafiğinden Bilgi Almak

Bir fonksiyonun pek çok özelliği fonksiyonu tanımlayan kural veya formülden ziyade fonksiyonun

grafiği incelenerek elde edilir. Bu bölümde bir fonksiyonun grafiğinin fonksiyonun artıyor mu azalıyor

mu olduğunu ve hangi noktada maksimum ve minimum olduğunu nasıl anlattığını inceleyeceğiz.


21

Bir Fonksiyonun Değerleri, Tanım ve Görüntü Kümeleri

Bir fonksiyonun tam bir grafiği fonksiyonla ilgili tüm bilgileri verir çünkü grafik bize hangi girdilerin

hangi çıktılara karşılık geldiğini gösterir. Bir fonksiyonun grafiğini analiz ederken aklımızda tutmamız

gereken grafiğin yüksekliğinin fonksiyonun değerine eşit olduğudur. Böylece fonksiyonun değerlerini

grafikten okuyabiliriz.

Örnek 1 Bir fonksiyonun değerini grafiğinden okumak

Şekil 1 de grafiği gösterilen T fonksiyonu belirli bir hava istasyonundaki öğlen ile akşamüstü saat 6

arasındaki sıcaklıkları vermektedir.

a) değerlerini bulun

b) T(2) mi T(4) mü daha büyüktür?

c) için x değerlerini bulun.

d) için x değerlerini bulun.

Çözüm

a) T(1) öğleden sonra saat 1:00 deki sıcaklıktır. x=1 noktasında grafiğin yüksekliği ile gösterilir. Böylece

𝑇(1) = 25, 𝑇(3) = 30 𝑣𝑒 𝑇(5) = 20 olur.

b) Grafik x=2 de x=4 den daha yüksektir bu yüzden T(2) de T(4) den daha büyüktür.

c) x=1 iken ve x=4 iken grafiğin yüksekliği 25 tir. Başka bir deyişle öğleden sonra saat 1:00 de ve saat

4:00 de sıcaklık 25 derecedir.

d) x, 1:00 ve 4:00 arasındayken grafik 25 ten daha yüksektir. Başka bir deyişle saat 1:00 ve 4:00 arasında

sıcaklık 25 ten yüksektir.


22

Şekil 2 de görüldüğü gibi, bir fonksiyonun grafiği bize fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini x ve y

eksenleri üzerinde göstermemize yardım eder.

Örnek 2 Grafikten tanım ve görüntü kümesini bulmak

Grafiği aşağıda verilen fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini bulun

Şekilden tanım kümesi görüntü kümesi ise şeklinde olduğu görülmektedir.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun grafiğinin nerede yükselip nerede alçaldığını bilmek oldukça faydalıdır. Şekil 4 de

gösterilen grafik artmakta, azalmakta ve sonra tekrar artmaktadır. A dan B ye artmakta B den C ye

azalmakta ve C den D ye tekrar artmaktadır.


23

Artan ve Azalan Fonksiyonların Tanımı:

l aralığında iken eğer ise l gibi bir aralıkta f artmakta

l aralığında iken eğer ise l gibi bir aralıkta f azalmaktadır.

Örnek 3 Bir fonksiyonun arttığı ve azaldığı aralıklar

Şekil 5 teki grafik x yaşında bir kişinin W ağırlığını göstermektedir. W ‘nun arttığı ve azaldığı aralıkları

belirleyin.


24

Çözüm

W fonksiyonu [0,25] ve [35,40] aralığında artmakta ve [40,50] aralığında azalmaktadır. Fonksiyon

[25,30] ve [50,80] aralığında sabittir (Yani ne artmakta ne azalmaktadır) . Bu da kişinin 25 yaşına

kadar kilo aldığını sonra da 35 ve 40 yaş arasında tekrar kilo aldığını ve 40 yaşından 50 yaşına kadar

kilo verdiğini göstermektedir.

Örnek 4 Fonksiyonun arttığı ve azaldığı aralıkları bulmak

a) fonksiyonunun grafiğini hesap makinesi kullanarak çizin.

b) Fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini bulun.

c) f in arttığı ve azaldığı aralıkları bulun.

Çözüm

a) Hesap makinesi yardımı ile:

b) Grafikten tanım kümesinin ve görüntü kümesinin olduğunu görmekteyiz

c) F aralığında azalmakta ve aralığında artmaktadır.

Bir Fonksiyonun Yerel Maksimum ve Yerel Minimum Değerleri

Pek çok uygulamada fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin bulunması çok önemlidir.

Örneğin bir fonksiyon geliri veya karı belirtiyorsa maksimum değeri ile ilgileniriz. Fonksiyon maliyeti

gösteriyorsa minimum noktası ile ilgileniriz. Bu değerleri fonksiyonun grafiğinden bulabiliriz. Önce

yerel maksimum ve yerel minimumu tanımlayalım:

a) Eğer x, a’ ya yakın iken ise fonksiyonun f(a) değeri yerel (lokal) maksimumdur.

Bu şu anlama gelmektedir: a’ yı içeren bazı açık aralıklarda tüm x değerleri için olur.


25

Bu durumda f fonksiyonu x=a ‘da yerel maksimuma sahiptir, deriz.

b) Eğer x, a’ ya yakın iken ise fonksiyonun f(a) değeri yerel (lokal) minimumdur.

Bu şu anlama gelmektedir: a’ yı içeren bazı açık aralıklarda tüm x değerleri için olur.

Bu durumda f fonksiyonu x=a ‘da yerel minimuma sahiptir, deriz.

Bir fonksiyonun yerel maksimum ve minimum değerlerini, çizim aracı kullanarak da bulabiliriz.

(𝑎, 𝑓(𝑎)) noktası f ‘in grafiğinde incelediğimiz bölge için en yüksek nokta ise 𝑓(𝑎), f ‘in yerel

maksimumudur. Dikkat edilirse a ‘ya yakın tüm noktalarda 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) olur.

Benzer olarak (𝑏, 𝑓(𝑏)) f ‘in grafiğinde incelediğimiz bölge için en alçak nokta ise 𝑓(𝑎), f ‘in yerel

minimumudur. Dikkat edilirse a ‘ya yakın tüm noktalarda 𝑓(𝑏) ≤ 𝑓(𝑥) olur.

2.4 Fonksiyonun Ortalama Değişim Oranı

Fonksiyonlar sıklıkla, değişen miktarları modellemek için kullanılırlar. Bu kısımda girdi değişkenleri

değiştikçe fonksiyonun değerlerinin değişim oranının nasıl bulunacağını öğreneceğiz.

Ortalama Değişim Oranı

Hepimiz hız kavramına aşinayızdır. Eğer bir aracı 2 saatte 120 mil sürerseniz ortalama hızınız veya

seyahat oranınız 120𝑚𝑖

2ℎ= 60𝑚𝑖/ℎ olur. Diyelim ki bir araba yolculuğuna çıktınız ve birkaç dakikada bir

kat ettiğiniz mesafeyi kaydettiniz. s seyahat mesafesi, t zamanın bir fonksiyonudur.


26

𝑠(𝑡) = 𝑡 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛𝚤𝑛𝑑𝑎𝑘𝑖 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑠𝑒𝑦𝑎ℎ𝑎𝑡 𝑢𝑧𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢

s fonksiyonunu Şekil 1 ‘deki gibi çizebiliriz. Grafik 1 saat sonunda 50 mil, 2 saat sonunda 75 mil ve 3

saat sonunda 140 mil kat ettiğinizi göstermektedir. Yolculuktaki herhangi iki nokta arasında ortalama

hızı bulmak için kat edilen mesafeyi geçen zamana böleriz.

Saat 1:00 ile 4:00 arasındaki ortalama hızı hesaplayalım. Geçen süre 4-1= 3 saattir. Yolculuk

mesafesini hesaplamak için saat 4:00 teki mesafeden saat 1:00 deki mesafeyi çıkartırız: 200-50= 150

mil . Yani ortalama hız:

Ortalama Hız=

Hesaplanan ortalama hız fonksiyon notasyonu ile şöyle gösterilebilir:

Ortalama Hız = olur.

Dikkat edilirse, farklı zaman aralıklarında ortalama hız farklıdır. Örneğin 2:00 ile 3:00 arasında:

Ortalama Hız

Pek çok durumda ortalama değişim oranının bulunması oldukça önemlidir. Örneğin bir fırtına

yaklaşırken hava sıcaklığının hangi hızla düştüğünü veya yeni bir ürünün satışından gelirlerin hangi

hızla arttığını bilmek isteriz. Böylece bu miktarları modelleyen fonksiyonlardaki ortalama değişim

oranını nasıl belirleyeceğimiz bilmek isteriz. Aslında ortalama değişim oranı kavramı tüm fonksiyonlar

için tanımlanabilir.


27


x=a ile x=b arasında f(x) fonksiyonunun ortalama değişim oranı


Ortalama Değişim Oranı f ‘in grafiği üzerinde x=a ile x=b arasında kalan sekant (kesen) doğrusunun

eğimidir. Yani (𝑎, 𝑓(𝑎)) ve (𝑏, 𝑓(𝑏)) üzerinden geçen doğru.

Örnek 1 Ortalama değişim oranının hesaplanması

Şekil 2 de gösterilen 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 fonksiyonu için aşağıdaki noktalar için ortalama değişim oranını

bulunuz.

Çözüm


28

a) Ortalama Değişim Oranı =

Örnek 2 Düşen Bir Cismin Ortalama Hızı

Eğer bir cisim yüksek bir tepeden veya binadan düşmeye bırakılırsa, t saniyede düştüğü mesafe

fonksiyonu ile gösterilir. Aşağıdaki zaman aralıklarında ortalama hızı (ortalama değişim

oranı) bulun.

a) 1 ile 5 saniye arasında b) t = a ile t = a+h arasında

Çözüm:

Ortalama Değişim Oranı =

Ortalama Değişim Oranı =


29

Örnek 2b) de hesaplanan ortalama değişim oranına “fark oranı” denir Kalkülüste fark oranı anlık

değişim oranlarını bulmakta kullanılır. Anlık değişim oranına bir örnek olarak otomobilinizdeki hız

göstergesinde görünen hızı gösterebiliriz. Bu değer otomobilin hızı değiştikçe bir andan diğerine hep

değişir.

Şekil 3 teki grafik bize bir fonksiyon belli bir aralıkta artıyorsa, herhangi iki nokta arasında ortalama

değişim hızının pozitif, fonksiyon belli bir aralıkta azalıyorsa herhangi iki nokta arasında ortalama

değişim hızının negatif olduğunu göstermektedir.

Örnek 3 Ortalama sıcaklık değişim oranı

Aşağıdaki tablo bir fen öğrencisinin bir bahar günü gözlediği dış hava sıcaklıklarını göstermektedir.

Verilerin grafiği çiziniz ve aşağıdaki zaman aralıkları için sıcaklığın ortalama değişim oranını bulun.


30

Çözüm: Sıcaklık verisinin grafiği Şekil 4 ‘de gösterilmiştir. t gece yarısından sonra saat cinsinden

zamanı (Örneğin 2:00 pm için t=14) göstersin.

F Fonksiyonu şöyle tanımlansın: F(t) = t zamanında sıcaklık

Ortalama değişim saatte 2 fahrenhayttır.

Ortalama değişim oranı saatte 2,5 fahrenhayttır.

Bu aralıkta değişim oranı saatte olur. Eksi işaret sıcaklığın düştüğünü gösterir.


31

Doğrusal Fonksiyonların Sabit Değişim Oranları Vardır

doğrusal fonksiyonu için herhangi iki nokta arasında ortalama değişim oranı m

sabitine eşittir. Bu, Kısım 1.10 ‘da öğrendiğimiz gibi uygun olarak, doğrusunun

eğiminin y ‘nin x ‘e göre ortalama değişim oranıdır. Diğer taraftan, f fonksiyonunu sabit ortalama

değişim oranına sahipse, bu fonksiyon doğrusal fonksiyon olmak zorundadır. Sonraki örnekte, belirli

bir doğrusal fonksiyon için ortalama değişim oranını bulacağız.

Örnek 4 Doğrusal Fonksiyonların Sabit Değişim Oranları Vardır

verilmiş iken aşağıdaki noktalar arasındaki ortalama değişim oranını bulun.

a) x = 0 ve x = 1.

b) x = 3 ve x= 7.

c) x= a ve x = a +h

Cevaplarınızdan hangi sonuçları çıkarabilirsiniz?

Çözüm

Görülmektedir ki bu fonksiyon için ortalama değişim oranı hep 3 ‘dür. Aslında c) şıkkı ortalama

değişim oranının x=a ve x=a+h arasında hep 3 olduğunu ispat etmektedir.

2.5 Fonksiyonların Dönüşümleri

Bu kısımda bir fonksiyonun dönüşümlerinin fonksiyonun grafiğine nasıl etki ettiğini inceleyeceğiz. Bu

bize fonksiyonları nasıl grafiklendireceğimizle ilgili bir anlayış sağlayacaktır. İlgileneceğimiz

dönüşümler kayma, yansıma ve esnemedir.


32

Düşey Kayma

Bir fonksiyona bir sabit eklemek grafiğini düşey olarak kaydırır. Kayma, sabit pozitifse yukarıya doğru

negatifse aşağı doğrudur.

Diyelim 𝑦 = 𝑓(𝑥) in grafiğini biliyor olalım. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini nasıl elde ederiz?

𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 fonksiyonuna ait grafiğinin üzerindeki her nokta, y-koordinatı 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonunda

buna karşılık gelen noktanın y koordinatının c kadar yukarısındadır. Böylelikle 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 in

grafiğini basitçe 𝑦 = 𝑓(𝑥) in grafiğini c birim yukarı kaydırarak elde ederiz.

Buna benzer olarak 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 in grafiğini de 𝑦 = 𝑓(𝑥) in grafiğini c birim aşağı kaydırarak elde

ederiz.

Grafiklerin Düşey Kaymaları

c>0 olduğunu varsayalım

𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 çizmek için 𝑦 = 𝑓(𝑥) c birim yukarı kaydırılır.

𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 çizmek için 𝑦 = 𝑓(𝑥) c birim aşağı kaydırılır.

Örnek 1 Grafiklerin Düşey Kaymaları

Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini çizmek için 𝑓(𝑥) = 𝑥2 nin grafiğini kullanın.

Çözüm 𝑓(𝑥) = 𝑥2 fonksiyonu Kısım 2.2 de Örnek 1 de çizilmişti. Şekil 1 de tekrar çizilmiştir.

a) Dikkat edilirse 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3 şeklindedir. g ‘nin grafiğinin f ‘in grafiği üzerinde buna karşılık gelen

noktanın 3 birim üzerindedir. Yani g ‘nin grafiğini çizmek için f ‘in grafiğini Şekil 1 ‘deki gibi 3 birim

yukarı kaydırırız.

b) Benzer şekilde h ‘nin grafiğini çizmek için f ‘in grafiğini Şekil 1 ‘deki gibi 2 birim aşağı kaydırırız.


33

Şekil 1

Yatay Kayma

Diyelim 𝑦 = 𝑓(𝑥) in grafiğini biliyor olalım. Aşağıdaki grafikleri çizmek için bu bilgiyi nasıl kullanırız.

𝑓(𝑥 − 𝑐) ‘nin x ‘deki değeri 𝑦 = 𝑓(𝑥) in (𝑥 − 𝑐) ‘deki değerine eşittir. 𝑥 − 𝑐, x ’in c birim solunda

olduğundan 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐) ‘nin grafiği 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in sağa c birim kaymış halidir. Benzer bir akıl

yürütmeyle 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐) ‘nin grafiğinin de 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiğinin c birim sola kaymış halidir.

Eğer c >0 ise:

Örnek 2 Grafiklerin yatay kaymaları

Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini 𝑓(𝑥) = 𝑥2 fonksiyonunun grafiğini kullanarak çiziniz.

Çözüm a) g ‘nin grafiğini çizmek için f ‘i 4 birim sola kaydırın.

b) h ‘nin grafiğini çizmek için f ‘i 2 birim sağa kaydırın.

g ve h ‘nin grafiği Şekil 2 ‘de gösterilmiştir.


34

ŞEKİL 2

Örnek 3 Yatay ve düşey kaymaların birleştirilmesi

‘ün grafiğini çiziniz.

Çözüm

𝑦 = √𝑥 ‘in grafiği ile başlayıp (Kısım 2.2 Örnek 1 (c) ‘de gösterilmişti.) bunu 3 birim sağa

kaydıracağız. Böylece 𝑦 = √𝑥 − 3 elde edilir. Bu grafiği de 4 birim yukarı kaydırarak 𝑦 = √𝑥 − 3 + 4

elde edilir. (Şekil 3.)

Şekil 3

Grafiklerin Yansıması

Diyelim 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiğini bilmekteyiz, bununla 𝑦 = −𝑓(𝑥) ‘in ve 𝑦 = 𝑓(−𝑥) ‘in grafikleri nasıl

çizilebilir? 𝑦 = −𝑓(𝑥) ‘in y koordinatlarındaki her nokta, 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiğinde buna karşılık gelen

noktanın tam negatifidir. Yani çizilmesi istenen grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in x eksenine göre yansımasıdır.

Diğer yandan, x ‘teki 𝑦 = 𝑓(−𝑥) ‘in değeri 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in –x teki değerine eşittir, böylece istenen grafik

𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in y eksenine göre simetriğidir.

𝑦 = −𝑓(𝑥) grafiğini çizmek için, x ekseninde 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘i yansıt.

𝑦 = 𝑓(−𝑥) grafiğini çizmek için, y ekseninde 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘i yansıt.


35

Örnek 4 Grafiklerin yansıması

Aşağıdaki grafikleri çiziniz.

Çözüm a) İşe 𝑦 = 𝑥2 ‘nin grafiğiyle başlıyoruz. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 ‘in grafiği 𝑦 = 𝑥2 ‘nin x eksenine göre

yansımasıdır (Şekil 4).

Şekil 4

b)𝑦 = √𝑥 ‘in grafiği ile başlıyoruz. 𝑔(𝑥) = √−𝑥 ‘in grafiği 𝑦 = √𝑥 ‘in y eksenine göre simetriğidir

(Şekil 5). Dikkat edilirse 𝑔(𝑥) = √−𝑥 ‘in tanım kümesi dir.

ŞEKİL 5

Düşey Gerilme ve Büzülme

𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiği biliniyor olsun , acaba 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥) ‘in grafiği bu bilgiyle nasıl çizilir? 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥) ‘in

y koordinatı 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘de buna karşılık gelen y koordinatının c katıdır. y koordinatlarını c ile çarpmak,

grafiği c faktörünün etkisi kadar germek veya büzmek anlamına gelir.


36

𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥) ‘in grafiğini çizmek için :

-Eğer c>1 ise 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiği c faktörü kadar gerilir

-Eğer 0<c<1 ise 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiği c faktörü kadar büzülür.

Örnek 5 Grafiklerin düşey gerilme ve büzülmesi

Aşağıdaki grafikleri çizmek için 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ‘i kullanınız.

Çözüm

a) g ‘nin grafiği f ‘in grafiğindeki tüm noktaları 3 ile çarpılarak elde edilir. Yani g ‘nin grafiğini elde

etmek için f ‘in grafiğini 3 faktörü kadar gereriz. Yanıt Şekil 6 ‘da daha dar parabol ile verilmiştir.

b) h ‘nin grafiği f ‘in grafiğindeki her noktanın y koordinatını 1/3 ile çarparak elde edilir. Yani h ‘nin

grafiğini elde etmek için f ‘in grafiğini 1/3 faktörü kadar büzeriz. Sonuç Şekil 6 ‘daki daha geniş

parabol olur.

Şekil 6

Örnek 6 Kayma, Yansıma ve esnemenin birleştirilmesi

𝑓(𝑥) = 1 − 2(𝑥 − 3)2 ‘nin grafiğini çiziniz.

Çözüm 𝑦 = 𝑥2 ‘nin grafiğinden başlayarak önce grafiği 3 birim sağa kaydırarak 𝑦 = (𝑥 − 3)2 ‘in

grafiğini elde ederiz. Daha sonra x ekseninde 2 faktörü kadar yansıma ve germe yaparız ve 𝑦 =


37

−2(𝑥 − 3)2 grafiğini elde ederiz. Son olarak grafiği, 1 birim yukarı kaydırarak Şekil 7 deki gibi 𝑦 = 1 −

2(𝑥 − 3)2 ‘nin grafiğini elde ederiz.

ŞEKİL 7

Yatay Germe veBüzme

𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiğini biliyorsak 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥) ‘in grafiği bununla nasıl ilişkilidir? 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥) ‘in x ‘deki y

koordinatı 𝑦 = 𝑓(𝑥) ’in cx teki y koordinatı ile aynıdır. Bu yüzden, 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiğindeki x

koordinatları c ile çarpılan 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥) ‘in grafiğindeki x koordinatlarına karşılık gelir. Eğer buna tersten

bakacak olursak 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥) ‘in grafiğindeki x koordinatları, 1/c ile çarpılmış 𝑦 = 𝑓(𝑥) grafiğindeki x

koordinatlarıdır. Başka bir ifade ile 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiğini 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥) ‘e dönüştürmek için grafiği yatay

olarak 1/c kadar büzmek (veya germek) gerekir. Bu durum aşağıda özetlenmiştir.

𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥) ‘in grafiğini çizmek için

Eğer c>1 ise 𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiğini 1/c çarpanı kadar büzeriz.

Eğer 0<c<1 ise 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥) ‘in grafiğini 1/c çarpanı kadar gereriz.

Örnek 7 Grafiklerin Yatay Gerilmesi ve Büzülmesi

𝑦 = 𝑓(𝑥) ‘in grafiği Şekil 8 ‘de verilmiştir. Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini çiziniz.


38

Şekil 8

Çözüm Önceki bilgilere dayalı olarak Şekil 9 ve 10 ‘daki grafikler elde edilir.

Şekil 9 Şekil 10

Çift ve Tek Fonksiyonlar

Eğer bir f fonksiyonu tanım kümesindeki tüm değerler için 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) koşulunu sağlıyorsa f

fonksiyonuna çift fonksiyon denir. Örneğin, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 fonksiyonu çifttir. Çünkü:

Bir çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir (Şekil 11). Bu, şu anlama gelmektedir: Eğer f ‘in

grafiğini 𝑥 ≥ 0 için çizersek, çizdiğimiz kısmı y eksenine göre yansıttığımızda grafiğin tamamını elde

ederiz.

Eğer x in tanım kümesindeki tüm değerleri için 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) koşulu sağlanıyorsa f fonksiyonuna

tek fonksiyon denir. Örneğin, 𝑓(𝑥) = 𝑥3 fonksiyonu tektir. Çünkü:

Tek fonksiyonun grafiği orijin etrafında simetriktir (Şekil 12). Eğer 𝑥 ≥ 0 için f ‘i çizecek olursak, bu

kısmı orijin etrafında 180 derece yansıtarak grafiğin tamamını elde edebiliriz. (Bu, önce x ekseninde

sonra da y ekseninde yansıtmaya denktir.)


39

Şekil 11 Şekil 12

Çift ve Tek Fonksiyonlar

f bir fonksiyon olsun.

f ‘in tanım kümesindeki tüm x ‘ler için eğer 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ise, f fonksiyonu çifttir.

f ‘in tanım kümesindeki tüm x ‘ler için eğer 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ise, f fonksiyonu tektir.

Örnek 8 Çift ve Tek Fonksiyonlar

Aşağıdaki fonksiyonların tek, çift veya ne tek ne de çift olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Bu yüzden f tek fonksiyondur.

Bu yüzden g çift fonksiyondur.


40

olduğundan g ne tek ne de çift fonksiyondur.

Örnek 8 ‘deki fonksiyonların grafikleri Şekil 13 ‘de görülmektedir. f ‘in orijin etrafında ve g ‘nin y

ekseni etrafında simetrik olduğu, h ‘nin ise her ikisine göre de simetrik olmadığı görülmektedir.

2.6 Fonksiyonları Birleştirmek

Toplam Fark Çarpım ve Bölüm

F ve g gibi iki fonksiyon veya şeklinde birleştirilerek yeni fonksiyonlar

oluştururlar. Bunu tıpkı reel sayıları toplar, çıkarır, böler veya çarpar gibi yaparız. Örneğin

fonksiyonunu

şeklinde tanımlayalım.

şeklindeki yeni fonksiyon f ve g fonksiyonlarının toplamıdır ve x noktasındaki değeri

dir. Tabi ki eşitliğin sağ tarafı ancak hem f(x) hem de g(x) tanımlıysa, yani x hem f in

hem de g nin tanım kümesinde var ise anlamlıdır. Böylece f in tanım kümesi A ve g ninki B ise

nin tanım kümesi ikisinin kesişimidir yani Buna benzer olarak f ve g

fonskiyonlarının f-g farkı fg çarpımını ve f/g bölümünün fonksiyonlarını tanımlayabiliriz. Bunların

tanım kümesi ancak f/g için paydanın sıfır olamayacağı unutulmamalıdır.

Fonksiyonların Cebri

f ve g tanım kümeleri A ve B olan iki fonksiyon olsun bu durumda f+g , f-g, fg, f/g şu şekilde

tanımlanır


41

Örnek 1 Fonksiyonların birleştirilmesi ve bunların tanım kümeleri

ve olsun

a) f+g , f-g, fg, f/g fonksiyonlarını ve bunların tanım kümelerini bulun

b) ve de yi bulun.

Çözüm

a) f in tanım kümesi ve de g nin tanım kümesi ve de f ve g nin

kesişimlerinin tanım kümesi

Böylelikle

elde edilir.

Yalnız f/g nin tanım kümesinde 0 çıkarılmalıdır, çünkü g(0)=0 olduğunda tanımsızlık yaratır.

b) x=4 tüm fonksiyonların tanım kümesindedir bu yüzden aranan tüm mevcuttur.

Tanım kümesi

Tanım kümesi

Tanım kümesi

Tanım kümesi

TanımKümesi

TanımKümesi

TanımKümesi

TanımKümesi


42

f+g fonksiyonunun grafiği f ve g nin grafiklerinin grafiksel olarak eklenmesi ile elde edilir. Bu karşılık

gelen y koordinatlarını toplamak anlamına gelir ve nasıl olacağı sonraki örnekte gösterilmiştir.

Örnek 2 Grafiksel Eklemenin Kullanılması

f ve g nin grafikleri şekil 1 de verilmiştir. Ekleme metodunu kullanarak f+g nin grafiğini çiziniz.

Çözüm

f(x) ve g(x) değerlerini grafiksel olarak toplayarak f+g nin grafiğini elde ederiz (şekil2).

Bu da f+g nin grafiğinde S noktasının elde edilmesi için PQ doğru segmentini PR nin üzerine ekleyerek

yapılır.

Fonskiyonların Bileşkesi

Şimdi iki fonksiyonu birleştirip yeni bir fonksiyon elde ederken kullanılan çok önemli bir yolu ele

alacağız. Diyelim ve olsun. Yeni bir fonksiyon olan h şu şekilde

tanımlanabilir.

Bu yeni h fonksiyonu f ve g fonksiyonlarının ilginç bir şekilde birleştirilmesi ile elde edilir. Bir x

sayısına önce g fonksiyonunu uygular daha sonra sonuca f fonksiyonunu uygularız. Bu durumda f


43

kuralı karekök al şeklinde g kuralı ise kare al , bir ekle şeklindedir. Yani h kuralını elde etmek için önce

g kuralını sonra f kuralını uygularız. Şekil 3 h için makine diyagramını göstermektedir.

Genel olarak f ve g gibi iki fonksiyon verildiğinde g nin tanım kümesinde bir x ile başlarız ve g(x)

görüntüsünü buluruz. Eğer bu g(x) sayısı f in tanım kümesinde ise değerini hesaplayabiliriz.

Sonuç g yi f e yazarak elde edilen yeni bir fonksiyon olan dır. Buna f ve g g nin

bileşke fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir. (f g ile bileşkedir)

Özetle f ve g gibi iki fonksiyon mevcut iken bileşke fonksiyonu

Şeklinde tanımlanır.

un tanım kümesi , g(x), f’in tanım kümesinde iken g nin tanım kümesindeki tüm x lerin

oluşturduğu kümedir. Başka bir ifade ile ancak g(x) ve f(g(x) tanımlı iken tanımlıdır.

ok diyagramı ile aşağıdaki gibi gösterileblir:

Örnek 3 Fonksiyonların bileşkelerini bulmak

ve olsun

a) ve fonksiyonlarını ve tanım kümelerini bulunuz.

b) ve yi bulunuz.


44

Çözüm

a)

Her ikisinin çözüm kümesi ℝ dir.

b)

Örnek 3 ten görüldüğü üzere genel olarak Unutmayınız ki notasyonuna

göre önce g sonra ise f uygulanır.

Örnek 4 Fonksiyonların bileşkelerini bulmak

Eğer ve aşağıdaki fonksiyonları ve tanım kümelerini bulunuz.

Çözüm

un tanım kümesi


45

in tanımlı olabilmesi için olmalıdır. in tanımlı olması için

olmalıdır yani veya Böylelikle elde ederiz.

Böylece un tanım kümesi kapalı aralığı olur.

un tanım kümesi olur.

Bu ifade hem hem de olduğunda tanımlı olur. İlk eşitsizlik

anlamına gelir ikincisi ise ye denktir veya veya

Böylece olur yani un tanım kümesi dir.

Üç veya daha fazla sayıda fonksiyonun bileşkesini almak mümkündür. Örneğin

fonksiyonu önce h sonra g sonra da f yi uygulayarak elde edilir.

,

Örnek 5 Üç fonksiyonun bileşkesi

ve de iken u bulun.


46

Çözüm

Bu kısma kadar basit fonksiyonlardan karmaşık fonksiyonlar inşa etmek için bileşkelemeyi kullandık.

Ancak kalkülüste bazen karmaşık fonksiyonların daha basit formlara parçalanması istenebilir.

Aşağıdaki örnekte bu durum incelenebilir.

Örnek 6 Bir bileşke fonksiyonun tanınması

verili iken olacak şekilde f yi ve g yi bulun.

Çözüm

F in formülü önce 9 ekleyin sonra dördüncü kökü alın şeklinde olduğuna göre

ve

Böylece

Örnek 7 Bileşke fonksiyonların bir uygulaması

Bir gemi saatte 20 mil hızla sahile paralel olarak ilerlemektedir. Gemi kıyıdan 5 mil uzakta

bulunmaktadır. Öğlen bir deniz fenerinden geçmektedir.

a) Fener ile gemi arasındaki s mesafesini geminin öğleden sonra gittiği yol d nin fonksiyonu

olarak ifade edin. Yani olacak şekilde f i bulun

b) d yi öğleden sonra geçen süre t nin bir fonksiyonu olarak ifade edin yani olacak

şekilde g yi bulun.

c) u bulun. Bu fonksiyon neyi temsil etmektedir.


47

Çözüm

a) s ve d mesafelerini Pisagor teoremi yardımıyla ilişkilendirebiliriz. Böylece s, d nin fonksiyonu olarak şu

şekilde ifade edilebilir:

b) Gemi saatte 20 mil gittiğine göre t nin fonksiyonu olarak d seyahat mesafesi

olur

c)

fonksiyonu geminin fenerden mesafesini zamanın fonksiyonu olarak verir.

2. 7. Bir-e-Bir ve Ters Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun tersi, fonksiyonun çıktısını üzerine etki eder ve bu çıktıya karşılık bir girdi

üreten kuraldır. Dolayısıyla, ters, fonksiyonun yaptıklarını "geri alır" veya tersine çevirir. Tüm

fonksiyonların tersleri mevcut değildir; Tüm bunları yapanlar bir-e-bir olarak adlandırılır.

Ok diyagramları Şekil 1'de gösterilen 𝑓 ve 𝑔 fonksiyonlarını karşılaştıralım. 𝑓′nin iki kez aynı

değere sahip olmadığına dikkat edin (A'daki her iki sayının farklı görüntülere sahip olduğu) ancak

𝑔′nin aynı değeri iki kez aldığını unutmayın (hem 2 hem de 3 aynı görüntüye sahip, 4) Sembollerle

gösterilirse; 𝑔(2) = 𝑔(3) = 4 fakat 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) iken 𝑥1 ≠ 𝑥2’dir. Bu satırda yazılan özelliğe sahip

fonksiyonlara bir-e-bir fonksiyonlar denir.


48

Bir-e-Bir Fonksiyon Tanımı

Bir 𝐴 kümesinde tanımlı 𝑓 fonksiyonu için 𝐴 kümesinde aynı olmayan iki elemanın görüntüleri

de aynı değilse 𝑓 fonksiyonu bir-e-bir fonksiyon olarak adlandırılır Yani;

𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑥1 ≠ 𝑥2

Yukarıda yazılan bu ifadeye denk bir ifade de;

Eğer 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) 𝑖𝑠𝑒 𝑜 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑥1 = 𝑥2’dir.

Eğer yatay bir doğru 𝑓 fonksiyonunun grafiğini birden fazla noktada kesiyorsa şekil -2 ‘den

anlaşılacağı üzere 𝑥1 ≠ 𝑥2 için 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) olur. Bunun anlamı f bir-e-bir değildir. Böylece bir

fonksiyonun bir-e-bir olup olmadığına karar vermek için aşağıdaki geometrik metodu yazabiliriz.

Yatay Doğru Testi

Bir fonksiyon yatay bir doğru ile ancak ve ancak bir noktada kesişiyorsa bu fonksiyon bir-e-birdir.

Örnek 1: Fonksiyonun Bir-e-Bir Olup Olmadığına Karar Verme


49

𝑓(𝑥) = 𝑥3 bir-e-birmidir?

Çözüm 1: 𝑥1 ≠ 𝑥2 olduğunda 𝑥13 ≠ 𝑥2

3 ‘dir. (iki farklı sayının küpü aynı olamaz). 𝑓(𝑥) = 𝑥3

fonksiyonu bir-e-birdir.

Çözüm 2: Şekil -3 ‘den yatay doğru ile bu fonksiyon sadece bir noktada kesişmektedir.

Örnek 1’de 𝑓 fonksiyonunun artan ve ayrıca bir-e-bir olduğuna dikkat edin. Aslında, artan her

fonksiyon ve azalan her fonksiyonun bir-e-bir olduğu kanıtlanabilir.

Örnek 2: Fonksiyonun Bir-e-Bir Olup Olmadığına Karar Verme

𝑔(𝑥) = 𝑥2 fonksiyonu bir-e-bir midir?

Çözüm 1: Bu fonksiyon bir-e-bir değildir çünkü;

𝑔(1) = 1 ve 𝑔(−1) = 1

Yani farklı değerlerin görüntüleri aynıdır.

Çözüm 2:

𝑔 fonksiyonu bir-e-bir olmamasına rağmen tanım kümesinde yapılacak bir kısıtlama ile bir-e-bir

fonksiyon haline getirilebilir. Eğer;

ℎ(𝑥) = 𝑥2 𝑥 ≥ 0

Şekil-4 te bulunan yatay doğrular 𝑔

fonksiyonunu iki yerde kesmektedir. Bu

yüzden 𝑔 fonksiyonu bir-e-bir değildir.


50

biçiminde bir fonksiyon tanımlanırsa şekil-5 de yatay doğru testinden ℎ(𝑥) fonksiyonunun bir-e-bir

fonksiyon olduğu görülür.

Örnek 3: Bir-e-Bir Fonksiyon Olduğunu Gösterme

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 4 fonksiyonunun bir-e-bir olduğunu gösteriniz.

Çözüm: 𝑥1 𝑣𝑒 𝑥2 sayıları için 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) olduğunu varsayalım 𝑥1 = 𝑥2 olduğunu

göstermeliyiz.

Bir-e-bir fonksiyonlar çok önemlidirler. Çünkü onlar aşağıda tanımı verilen ters fonksiyon işlemini

yerine getirebilen fonksiyonlardır.

Bir Fonksiyonun Tersinin Tanımı

Bir 𝐴 tanım kümesinden 𝐵 kümesine tanımlı 𝑓 fonksiyonu mevcut olsun. Bu durumda f

fonksiyonunun tersi, 𝑓−1 fonksiyonunun tanım kümesi 𝐵 ve görüntü kümesi 𝐴 olup aşağıdaki

biçimde tanımlanır: her 𝑦 ∈ 𝐵 için

𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⟺ 𝑓(𝑥) = 𝑦

Bu tanım nedeniyle 𝑓 , 𝑥 değerini 𝑦 değerine götürürken, 𝑓−1 𝑦 değerini 𝑥 değerine geri

götürmektedir. Eğer 𝑓 bir-e-bir değilse, 𝑓−1 tek bir biçimde tanımlanamaz. Şekil-6’da ok diyagramı ile

𝑓 ve 𝑓−1 arasında ilişki gösterilmiştir. Bu tanımdan

𝑓−1 in görüntü kümesi=𝑓 ’nin tanım kümesidir. 𝑓−1 in tanım kümesi=𝑓 ’nin görüntü kümesidir.


51

DİKKAT!!! 𝑓−1(𝑥) demek 1

𝑓(𝑥) anlamına gelmez!!!

Örnek 4: Özel değerler için 𝑓−1 değerini bulma

Eğer 𝑓(1) = 5, 𝑓(3) = 7 𝑣𝑒 𝑓(8) = −10 ise 𝑓−1(5), 𝑓−1(7) 𝑣𝑒𝑓−1(−10) =?

TERS FONKSİYON ÖZELLİĞİ

𝑓 bir 𝐴 tanım kümesinden 𝐵 kümesine tanımlı bir-e-bir fonksiyon olsun. 𝑓−1 fonksiyonu aşağıdaki

özellikleri sağlar.

𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 , ℎ𝑒𝑟 𝑥 ∈ 𝐴

𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 , ℎ𝑒𝑟 𝑥 ∈ 𝐵

Örnek 5: İki Fonksiyonun birbirinin tersi olduğunun doğrulanması

𝑓(𝑥) = 𝑥3 ve 𝑔(𝑥) = 𝑥1/3 fonksiyonlarının birbirlerinin tersi olduğunu gösteriniz.


52

Çözüm: 𝑓 ve 𝑔 fonksiyonlarının tanm kümesinin ℝ olduğuna dikkat edilirse, Ters fonksiyon

özelliğinden;

elde edilir.

Şimdi ters fonksiyonun nasıl hesaplanacağını açıklayalım. Ters fonksiyon tanımından

𝑦 = 𝑓(𝑥) ⟺ 𝑓−1(𝑦) = 𝑥

olduğunu biliyoruz. 𝑦 = 𝑓(𝑥) denklemi 𝑥 için çözülürse 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) elde edilir. Bu son denklemde

𝑥 𝑣𝑒 𝑦’nin yerleri değiştirilirse istenilen ters fonksiyon 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) bulunur.

TERS FONKSİYON NASIL BULUNUR

1. 𝑦 = 𝑓(𝑥)’i yaz

2. Mümkünse bu denklemi x için çöz (y cinsinden elde et).

3. 𝑥 𝑣𝑒 𝑦’nin yerlerini değiştir. Son denklem 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) dir.

Örnek 6: Bir Fonksiyonun Tersinin Bulunması

𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm:

Örnek 7: Bir Fonksiyonun Tersinin Bulunması


53

Çözüm:

Örnek 8: Rasyonel Bir Fonksiyonun Tersini Bulma

𝑓(𝑥) =2𝑥+3

𝑥−1 fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm: 𝑦 = 2𝑥 + 3/𝑥 − 1 yaz ve 𝑥 için çöz.

Ters fonksiyonu bulmak için 𝑥 ve 𝑦’nin yer değiştirme ilkesi bize ayrıca 𝑓 ‘nin grafiğinden 𝑓−1’ in

grafiğini elde etmek için bir metot vermektedir. Eğer 𝑓(𝑎) = 𝑏 ise o zaman 𝑓−1(𝑏) = 𝑎’dır.

Bu yüzden 𝑓 ‘nin grafiği üzerindeki bir (𝑎, 𝑏) noktası ise bu durumda (𝑏, 𝑎) noktası anacak ve ancak

𝑓−1 grafiğinin üzerindeki yer alır. Ancak (𝑏, 𝑎) noktasını (𝑎, 𝑏)’den elde etmek için 𝑦 = 𝑥 doğrusuna

göre simetriğini(yansımasını) alırız. Şekil 8 ve şekil 9 da bu durumlar gösterilmiştir. Böylece aşağıdaki

ifade doğrudur;


54

𝑓−1 in grafiği 𝑓’nin 𝑦 = 𝑥 doğrusuna göre simetriğidir(yansımasıdır).

Örnek 9: Bir Fonksiyonun Tersinin Grafiği

a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 fonksiyonunun grafiğini çizin

b) 𝑓 nin grafiğini kullanarak 𝑓−1 i çizin.

c) 𝑓−1 in denklemini bulun.

Çözüm: a) Bölüm 2.5 kullanılırsa 𝑦 = √𝑥 fonksiyonu baz alınıp x- yönünde iki birim sağa ötelenerek

çizilir(Bölüm 2.2 örnek 1)

a) 𝑓−1 in grafiğini elde etmek için 𝑎 seçeneğindeki 𝑓 fonksiyonunun garfiğinin y=x

doğrusuna göre simetrisi alınır(Şekil 10).

b) 𝑦 = √𝑥 − 2 𝑦 ≥ 0 yazılıp 𝑥 için çözülürse

bÖlÜm 2 - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/serkan.aras/bölüm 2.pdf · kaynak: stewart, j.;...

Documents