3. Az ítéletlogika szemantikája (4.2)

3.1 Formula és jelentése

minden ítéletváltozó ( Vv)

ha AJFF akkor AJFF

ha A,BJFF akkor (A○B)JFF

minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.

Egyszerű állítás Összetett állítás

interpretáció Boole-értékelés

{ i , h } { i , h }

Formula jelentése mindig igazságérték!

3.2 Formula változószáma

Formulában szereplő ítéletváltozók száma

3.3 Formula bázisa

Ítéletváltozók halmazának egy rögzített sorrendje.

3.4 Interpretáció

I: Vv { i , h }

3.5 L0-beli formulák I interpretációbeli Boole-értékelése

BI: L0 {i,h} függvény:

1. ha A prímformula, akkor BI(A) legyen I(A)

2. BI(A) legyen BI(A) 3. BI(A ○ B) legyen BI(A) ○ BI(B) stb.

3.6 Egy adott bázishoz tartozó összes interpretáció megadásának módjai

a) szemantikus fa

b) igazságtábla

3.6.1 Szemantikus fa

Legyenek X1, X2, …, Xn logikai változók. Az X1, X2, …, Xn összes interpretációját

tartalmazó bináris teljes szemantikus fa, egy olyan n szintű bináris fa, melyben a szintek

és a logikai változók közt 1-1 egyértelmű megfeleltetés van.

Teljes fa: a fa az összes lehetséges leképezést tartalmazza.

Bináris fa: a fa mindig 2-felé ágazik.

Az Xi-hez rendelt szinten az élpárokban az egyik élhez Xi, a másikhoz Xi címkét írunk.

Egy ág egy interpretáció.

Példa: Írjunk az ABCA formulához tartozó szemantikus fát! G

A A

A1 A2

B B B B

B1 B2 B3 B4

C C C C C C C C

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

3.6.2 Igazságtábla

(1) Alaptípus

Egy n változós formula igazságtáblája egy olyan n+1 oszlopból és 2n sorból álló táblázat,

melynek elemei igazságértékek:

1-n-ig az i. oszlop fejlécében a formula i. bázisváltozója van

az (n+1). oszlopban maga a formula van

az egyes sorok az összes lehetséges interpretáció szisztematikus felsorolását

tartalmazzák

az (n+1). oszlop a formula Boole-értékét tartalmazza.

(2) Kiterjesztett igazságtábla

Olyan igazságtábla, mely ki vannak bővítve az egyes részformuláknak megfelelő oszlopokkal.

Példa: A(BC)

A B C B BC A(BC)

i i i h i i

i i h h h h

i h i i i i

i h h i i i

h i i h i i

h i h h h i

h h i i i i

h h h i i i

(3) Kiterjesztett egyszerűen

A kiterjesztett igazságtábla egy olyan egyszerűsítése, melyben csak az egyes logikai jeleknek

ill. ítélet változóknak megfelelő oszlopok vannak, és minden logikai jel alá a hatáskörébe

tartozó részformula igazság értéke kerül bejegyzésre (ahol ő a fő logikai összekötő jel).

Példa: A(BC)

A ( B C)

i i h i i i

i i h i i

I. MOHÓ kiértékelési mód

- mechanikusan

II. LUSTA kiértékelési mód

- egyes dolgokat felesleges kiértékelni

- ha C igaz, akkor B-t nem kell kiértékelni

- ha A hamis, akkor az implikáció mindig igaz.

ig 2. csoport

3.7 Formula igazságtáblájának értelmezése

b: { i , h }n { i , h }

b igaz halmaza ( Ai )

-{ i , h }n azon részhalmaza, melyhez b az igaz értéket rendeli.

b hamis halmaza - { i , h }

n azon részhalmaza, melyhez b a hamis értéket rendeli.

Példa: A(BC)

Ai = { (i,i,i);(i,h,i);(i,h,h);(h,i,i);(h,i,h);(h,h,i);(h,h,h) }

Ah = { (i,i,h) }

A 2 halmaz diszjunkt!

Házi feladat: Írd fel a következő formulák igazságtábláját és i/h halmazát!

(1) ((AB)B)A

(2) (AB)AD

3.8 Az igazságértékelés függvény

Ai: AA

i

Ah: AA

h

Ai / A

h megadása a gyakorlatban az igazságértékelés fával történik.

Az igazságérétkelés fát a szerkezeti fa segítségével állítjuk elő:

gyökér: a formula maga és i/h halmaz keresése

gyerekek: a formula közvetlen részformulái a következő formában.

a) (A)i

Ah

b) (A)h

Ai

a) (AB)i

Ai

Bi

b) (AB)h

Ah B

h

a) (AB)i

Ai B

i

b) (AB)h

Ah

Bh

a) (AB)i

Ah B

i

b) (AB)h

Ai

Bh

Megjegyzés: léteznek ellentmondásos ágak és fák is!

Példa: Határozzuk meg az XYZX formula jelentését igazságértékeléssel!

(XYZX)i

Ai

(X)h (YZX)

i

(YZ)i (X)

i

(Y)i (X)

h

X Y Z

h - -

- i i

h - -

(Z)i

(XYZX)h

(X)i A

h

(YZX)h

(YZ)h

(X)h

(Y)h (Z)

h

(X)i (X)

i

Házi feladat:

Adjuk meg szerkezeti fa (igazságértékelés fa) segítségével

((PQ)(P(QP)))h

(azaz a formula hamis feltételét)

((P(QP))(PR))h (azaz a formula hamis feltételét)

X Y Z

i h -

i - h

4. Ítéletlogikai törvények (4.3)

4.1 Tautológia, kielégíthetőség, kielégíthetetlenség

Legyen I: Lo egy interpretációja, A egy Lo beli formula.

I kielégíti A-t (I |=o A), ha BI(A)=igaz

I modellje A-nak, ha BI (A)=igaz

„A” kielégíthető: ha Lo-nak van olyan I interpretációja, melyre I |=o A.

kielégíthetetlen: ha A-nak nincs modellje.

tautológia: - ha Lo minden I interpretációjára I |=o A.

- ha A kielégíthetetlen.

1) Kielégíthetőség eldöntése:

a. igazságtáblával

Ha van olyan sor A igazságtáblájában, ahol a Boole-értéke „i”.

b. igazságértékelés fával

Ha Ai nem üres, azaz (A)

i fában nem minden ág ellentmondásos.

2) Kielégíthetetlenség eldöntése:

a. igazságtáblával

Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke „h”.

b. igazságértékelés fával

Ha (A)i fában minden ág ellentmondásos, tehát A

i üres.

3) Tautológia tulajdonság eldöntése:

a. igazságtáblával

Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke „i”.

b. igazságértékelés fával

Ha (A)h fa minden ága ellentmondásos, tehát A

h üres.

Házi feladat: Igazolja, hogy az alábbi formula kielégíthető: A=((PQ)(QP))

- igazságtáblával

- igazságértékelés fával

Ha kielégíthető, akkor adjon meg egy a formulát kielégítő interpretációt!

4.2 igazságkiértékelés

Jelentése: egy formulában szereplő ítéletváltozók rögzített -igazságkiértékelése mellett

keressük a formula helyettesítési értékét.

Jelölések: kielégíti A-t: |=o A

A kielégíthető : |=o A

A azonosan igaz : |=o A

A kielégíthetetlen: nem létezik , hogy |=o A

Példa:

(XYZX)i fa alapján döntsük el, hogy a formula helyettesítési értéke a = ( h, i, i )

igazságkiértékelés esetében az ( X, Y, Z ) bázist használva mi lesz .

(A) i A

i

(X)h (YZX)

i

(YZ)i (X)

i

(Y)i

(X)h

(Z)i

Mivel Ai-ben van illeszkedő ág, így az A formula helyettesítési értéke a megadott helyen:

igaz.

X Y Z

h - -

- i i

h - -

4.3 Formulahalmazok

Egy = { F1, ... , Fn } formulahalmaz

kielégíthető: ha van Lo-beli I / , hogy I |=o { F1, ... , Fn }, tehát I |=o F1

és ... és I |=o Fn.

I modellje a formulahalmaznak, ha I kielégíti -t.

kielégíthetetlen: ha -nak nincs modellje.

TÉTEL: Bármely I-re I |=o { F1, ... , Fn } I |=o F1...Fn.

Példa: Bizonyítsuk be, hogy a = { AB, AB} formulahalmaz kielégíthető!

a) igazságtáblával: van olyan sor, ahol minden formulája igaz.

A B AB AB

i i i i

i h i h

h i i i

h h h i

b) igazságértékeléssel: ((AB)(AB))i nem minden ága ellentmondásos.

((AB)(AB))i

(AB)i

(AB)i

(A)i (B)

i

(A)h (B)

i (A)

h (B)

i

Házi feladat: Bizonyítsuk be, hogy = { PQ, PQ } formulahalmaz kielégíthetetlen, és a

= { QQ, R(RQ) } formulahalmaz azonosan igaz.

4.4 Kielégíthetőségi tulajdonságok kapcsolata

4.5 Nevezetes Ítéletlogikai törvények

4.6 Tautológikusan ekvivalens formulák

1. Szemantikus következményfogalom

Definíció:Tautológikus következmény ( formula hamaznak a B formula ):

|=o B, ha I: I |=o , akkor I |=o B ( vagyis minden modellje B-nek is modellje ).

Speciális esetek:

- B tautológia: -nak következménye B

- kielégíthetetlen: nem beszélünk következmény fogalomról.

Lemma 1: I: I |=o { A1, ... , An } I |=o A1...An

Lemma 2: { A1, ... , An } |=o B A1...AnB kielégíthetetlen

5.1 Helyes Következtetési formák

Def.: Az ( { A1, ... , An }, B ) helyes következtetési forma, ha

{ A1, ... , An } kielégíthető és

{ A1, ... , An } tautológikus következménye B.

Példa: Bizonyítsuk be, hogy az ( { AB, A }, B ) helyes következtetési forma!

a) igazságtábla: van = (AB)A-t kielégítő sor ( Lemma 1 ).

A B AB A - B következmény

i i i i i * I

i h h i h h

h i i h h I

h h i h h h

b) lusta kiértékelés

”A” feltételformula I(A)=i

Mivel AB feltételformula és I(A)=i I(B)=i, tehát van -t kielégítő interpretáció.

És B következmény, hiszen minden -t kielégítő I-re: I(B)=i.

c) igazságértékelés: van -t kielégítő interpretáció és B következmény, tehát helyes a

következtetési forma.

((AB)A)i

(AB)i

(A)i

(A)h (B)

i

x

5.2 Visszafele következtetés

Lemma 2: { A1, ... , An } |=o B A1...AnB kielégíthetetlen

5.3 Előre Következtetés

5.3.1 Legszűkebb következmény:

Hf.: Tk. 85. o. 4.4.2. feladat a), b)

MÓDSZER( def. )

- igazságtábla ( Tk. 77. old. )

- lusta kiértékelés ( Tk. 77. old. )

- igazságértékelés ( Tk. 78. old. )

VISSZAKÖVETKEZTETÉS

1) def. szerint

a. igazságtábla

b. lusta kiértékelés

c. igazságértékelés

2) tétel szerint ( Lemma 2 )

a. igazságtábla ( Tk. 83. old. )

b. lusta kiértékelés ( Tk. 83. old. )

c. igazságértékelés ( Tk. 84. old. )

ELŐREKÖVETKEZTETÉS( tétel )

- igazságtábla ( Tk. 85. old. )

- lusta kiértékelés ( Tk. 85. old. )

- igazságértékelés