3. DYNAMO 语言简介

方程式延迟、平滑函数Vensim 软件

3.1 DYNAMO 语言概述

DYNAMO 是一种计算机模拟语言系列。取名来自 Dynamic Models( 动态模型 ) 的混合缩写。

顾名思义， DYNAMO 的涵义在于建立真实系统的模型，并借助于计算机进行系统结构、功能与动态行为的模拟。

DYNAMO 系列是伴随系统动力学，相辅相成地发展起来的。 DYNAMOⅠ 、 DYNAMO Ⅱ 、 DYNAMO Ⅲ 、 DYNAMO

……Ⅳ

DYNAMO 是特地为模拟动态反馈系统而设计的专用语言。它能够方便地以表格、图形等形式输出数据型的模拟结果。

3.1 DYNAMO 语言概述 当模拟一个动态反馈系统时， DYNAMO 按每一个时

间间隔（ DT ）为一步，对系统进行定量模拟，并逐步地模拟下去，从而得出系统的行为。

时间下标： J 、 K 、 L 时间间隔： DT→→ 准确度

DYNAMO 中的时间下标

3.2 变量与方程的表示

变量的通用符号

DYNAMO 中所有的数量可划分为两大类：

（ 1 ）常数 （ 2 ）变量

DYNAMO 模型中各种方程 L 状态（ State, level) 变量方程在 DYNAMO 中计算状态变量（或称积累变量）的方程称为状态变量方程。L LEVEL.K=LEVEL.J+DT * (INFLOW.JK- OUTFLOW.JK)

R 速率（变化率）方程速率方程无一定格式；速率的值在 DT 时间内是不变的，其时间下标为 KL 。

A 辅助 (Auxiliary) 方程辅助方程定义为在反馈系统中描述信息的运算式；“ 辅助”的涵义就是帮助建立速率方程。

C 赋值予常数 T 赋值予表函数中 Y 坐标 N 为 LEVEL 方程赋予初始值

方程式举例

咖啡冷却系统

L CoffeeT.K=CoffeeT.J+(DT)*(cooling.JK)

N CoffeeT=40

R cooling.KL=TIME TO COOL * DISC.K

A DISC.K =ROOMT-CoffeeT.K

C ROOMT=20

C TIME TO COOL=0.2

Coffee Temperature 系统动力学流图

CoffeeTemperature cooling

TIME TOCOOL

INITIALTEMPERATURE

ROOMTEMPERATURE

表函数（ Table ）

例：自变量等间距变化 (DT) ； A Y.K=TABLE(TY, X.K, 0, 8, 2)

T TY=7, 4, 3, 9, 4

X 0 2 4 6 8

Y 7 4 3 9 4

当模型需要用辅助变量描述某些变量间的非线性关系，对变量进行简单的代数运算已不能胜任。

辅助变量的值可以用表函数表示。

表函数形式：A VAR.k=TABLE （表名，输入变量，最小的 X 值 Xmin ，最大的 X 值 Xmax ，

X 的增加值△ X ）T 表名 =Y0, Y1, … Yn

表函数举例

A 增长率 .K=TABLE(T 增长率 , 年份 .K, 2000,2004,1) T T 增长率 =0.07, 0.1, 0.08, 0.12, 0.2

年份 2000 2001 2002 2003 2004

增长率 0.07 0.1 0.08 0.12 0.2

某城市人口年增长率

0

0. 05

0. 1

0. 15

0. 2

0. 25

2000 2001 2002 2003 2004

3.3 DYNAMO—— 延迟与平滑

在现实生活中，延迟与平滑现象非常普遍。 延迟 (DELAY) 与平滑 (SMOOTH) 是信息反馈系统结构中

颇为重要的角色。

DYNAMO 备有延迟函数与平滑函数，使建模者书写方程变得方便。

延迟函数(DELAY)

平滑函数(SMOOTH)

延迟 系统动力学模型中应包含反馈系统的主要物质与信息流。

有时，物质和信息流会发生延迟。 如：厂家一般不可能立即向顾客交付订货，而且货也未必能同时到达 ;

又如：人们感染生病，一般要经过潜伏期，然后才显出病症。（延迟时间）

DYNAMO 有数种延迟函数，以便利构模人员使用。

DELAY1 ， DELAY3 ， DELAYP

延迟函数——举例

疾病蔓延模型的一阶物质延迟

疾病蔓延基本模型中有三个状态变量：未患病者 SUSC ，病患者 SICK ，康复者 RECOV 。

因政策研究的需要，增加一个状态变量：处潜伏期者 INC 。

疾病模型的基本结构

一阶物质延迟（ DELAY1 ） R SYMP.KL=DELAY1(INF.JK, TSS)

延迟环节

延迟函数——举例

疾病蔓延模型的三阶物质延迟

将一阶物质延迟中隐含的状态变量 INC再细分成若干状态变量。 假设 TSS=3天 INC→→ INC1 ， INC2 ， INC3 。

三阶物质延迟（ DELAY3 ） R SYMP.KL=DELAY3(INF.JK, TSS)

DELAYP

打印隐含的状态变量功能

延迟环节

平滑（平均） 以企业管理为例，企业管理者不会把某一天企业销售数量暴涨的信息，

而作为一个企业长远的规划，并把它作为企业库存、招工、扩大生产等问题的决策依据，而是力图从销售信息中去除随机因素，找出真实的趋势。换言之，对销售信息在一段时期内求均值。

“ 平均”与“平滑”的方式在系统动力学建模时屡见不鲜。

一阶平滑结构流图

平滑函数：

A SVAR.K=SMOOTH(VAR.K, STIME)

STIME—— 平滑时间 VAR——待平滑变量 SVAR—— 已平滑的变量

平滑函数 在系统动力学模型中，被平滑的变量可以是状态、速率和辅助变量。

平滑函数对输入量的响应特征：1. 若变量 VAR 为阶跃函数（突增后保持恒定），其平滑值 SVAR将渐渐趋近此恒定值。2. 若 VAR 是一个脉冲， VAR 在 SVAR趋紧 VAR之前就跌落下来， SVAR 不能达到 VAR

的幅值，并按另一指数式的寻的特性下降。3. 若 VAR 是一个震荡的输入量，其平滑值 SVAR亦将随着震荡，但幅值要小得多。

平滑函数对脉冲输入的相应结论： 平滑函数具有平滑原变量的激烈起伏功能，即经平滑得到的平均值正

是所期望的真实趋势。

3.4 DYNAMO—— 函数

DYNAMO提供多种类型的函数，十分有助于建模者构思模型、书写模型的方程以及调试模型。

数学函数

逻辑函数

测试函数

数学函数

DYNAMO 备有五种数学函数，采用标准数学符号：

SQRT(X)=√X ，非负值变量 X 的开方；

SIN(X)=sinX ，变量 X 的正弦，

COX(X)=cosX ，变量 X 的余弦，

EXP(X)=eX ，指数函数， e=2.718… ，

LOGN(X)=logeX ，以 e 为底的自然对数。

逻辑函数

最大值函数 MAX(A, B)

MAX(A, B)= A, 若 A≥B

B, 若 A ＜ B

跳跃函数 CLIP(A, B, X, Y)

CLIP(A, B,X,Y)= A, 若 X≥Y

B, 若 X ＜ Y

最小值函数 MIN(A, B)

MIN(A, B)= B, 若 A≥B

A, 若 A ＜ B

开关函数 SWITCH(A, B, X)

SWITCH(A, B, X)= A, 若 X=0

B, 若 X≠0

DYNAMO 的逻辑函数有： MAX, MIN, CLIP, SWITCH 等。

测试函数（时间控制函数）

1. 阶跃函数 STEP(P, Q)

Q PP

Q R

在模型测试中，可采用变量的突增、斜坡函数、振荡与随机干扰等，这些测试有助于揭示模型内部结构与其动态行为的关系。

2. 脉冲函数 PULSE(P, Q, R)

3. 斜坡函数 RAMP(P, Q)

斜率为 p

Q

A*NOISE()+B

AB

4. 噪声函数 NOISE()

举例——测试函数 测试函数

涵义使用方法特点测试结果

简单库存控制系统模型流图

订货率 (ORDRS) 发货率 (SHIP)

阶跃函数

斜坡函数

脉冲函数

噪声函数

DYNAMO小结 DYNAMO 不仅是一种构模语言，而且是一种较为完整的建模、分析

与模拟的有力工具。 其他 SD 语言： STEUA 、 Vensim 、 i-think 、 Powersim 等。

其中， Vensim 的功能尤最，而且能运行方程达数千的大模型。 Vensim 是一个建模工具，它可以建立动态系统的概念化的、文档化

的仿真模型，便于分析和优化系统。 Vensim提供了一种简单且富有弹性的方法，从常规的循环或储存过程和流程图建立模型。

http://www.vensim.com/

减缩版： Vensim-PLE (Personal Learning Edition)

Vensim-PLE plus

Vensim 软件操作示范

Venple.exe

4. 一阶系统 与 二阶系统

一阶正反馈系统一阶负反馈系统S 型增长的反馈结构二阶系统、复杂系统简介

3.1 一阶系统与复杂系统 定义：系统的阶数是由此系统包含多少状态变量决定的。 一阶系统就是含有一个状态变量的系统。

在现实世界中，高阶数、多回路、非线性的反馈复杂系统比比皆是。 研究复杂系统→→系统动力学

系统动力学认为：一个复杂系统的行为往往由某些主回路和主要变量决定，换言之，复杂系统中往往存在一些起主导作用的主回路和主要变量。

因此，一个高阶系统可以从结构上分解为一阶或低于四阶的简单系统。也就是说，简单系统是各种复杂系统中的基本单元或通用的子结构。其中，一阶系统是最基本、最简单的系统单元。

3.2 一阶正反馈系统 在正反馈过程中，由于变量自身的反

馈作用，将不断加剧该变量的增长或减小。

如：滚雪球、雪崩效应

正反馈：“良性”或“恶性”的循环 这种效应取决于回路中各部分之间的作

用是相互改善还是恶化。 良性：规模－收入－ GDP 增长 恶性：工资—物价增长， 军备增长， 吸毒泛滥等

工资—物价增长因果反馈关系

军备增长的因果反馈关系

正反馈系统特性——指数增长

指数增长曲线描述了大多数正反馈系统的特性。

如：发展中国家的人口增长， 污染问题， 再生自然资源的消耗与减少，都表现出指数增长或减少的特点。

指数增长曲线

指数增长的突出特点是，一开始似乎增长得很慢，然后在短时间内猛增。

正反馈系统——结构与方程

L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK) R RT.KL=CONST*LEV.K C CONST=1

式中： DT—— 计算时间间隔（年）； CONST—— 常数（ 1/ 年）； LEV—— 状态变量（单位）； RT—— 速率（单位 / 年）

正反馈系统的典型流图

正反馈一般结构 指数增长方程式：

正反馈系统——参数推导

令 t=T=1/CONST LEV(T) = LEV(0)e =2.73 LEV(0) t=2T LEV(2T) =2.73 LEV(T)=LEV(0)e2=7.45LEV(0)

L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK)变形： (LEV.K － LEV.J)/DT=RT.JKDT→0 ， d LEV(t)/dt =RT(t)假设 : RT(t)=CONST*LEV(t)则： d LEV(t)/dt = CONST*LEV(t)解得： LEV(t) = LEV(0)eCONST*t

正反馈系统——重要参数 1. 时间常数 T

定义：时间常数为 CONST 的倒数。 T=1/CONST

涵义： T决定正反馈系统中增长或减少的速度。

当 T( 或 1/CONST ）大时，相应的 LEV(t) 为较平缓的增长曲线；反之， LEV(t) 为较陡峭的变化曲线。

时间常数 T 与倍增时间 Td 的关系

2.73 LEV(0)

7.45 LEV(0)

LEV(0)

正反馈系统——重要参数

3. T 与 Td 的关系：

LEV(t) = LEV(0)eCONST*t

令 LEV(t) = 2LEV(0)

2LEV(0)=LEV(0)eCONST* Td

2= eCONST* Td

则 Td =ln2*T=0.69T

2. 倍增时间 Td

变量由初始值增至二倍的初始值时所需的时间。每经过一个 Td ， LEV 的值将较前增加一倍。 LEV(0) →2LEV(0)

时间常数 T 与倍增时间 Td 的关系

LEV(0)2LEV(0)

2*2LEV(0)

8LEV(0)

正反馈系统——举例

LEV 的初始值计算 RT;

RT*DT;

RT*DT+LEV初始值，得新的 LEV;

新的 LEV 代替初始值，重复计算。

银行储蓄的本利计算：

LEV 与 RT 的指数增长

L RAL.K=RAL.J+(DT)(IPR.JK)N RAL=1R IPR.KL=FAIR*RAL.KC FAIR=0.2

银行利息流图

正反馈——指数增长的重要特点以不同大小的时间坐标范围观察指数增长过程：

t≤15 Td 前，增长趋势不显著，t≥ 15 Td 后，状态变量猛然暴涨。

正反馈——超指数增长 如图，实线表示的非线性情况，其变化率的增长速度较虚线表示的线性增长情况快得多，这种增长过程称为超指数增长。

系统时间常数变化的非线性系统比起线性系统具有更加突出的指数增长特性。

非线性的变化率—状态关系曲线 超指数增长曲线

正反馈——指数增长与崩溃

指数崩溃模式曲线可产生两种模式的系统变化率与状态关系曲线

正反馈系统——小结

1. 在正反馈闭合回路中，其一部分的变化将引起全体在同一方向上产生无休止的变化过程。

2. 正反馈系统最简单的模型只包括一个状态变量，它累计速率的变化，状态值的一般特性是指数式增长，不过系统中也可能发生加速崩溃的过程。

3. 指数增长过程的显著特点可用倍增时间表述。

4. 在现实生活中的有界限环境中，正反馈、负反馈力量相互作用于事物的发展。

3.3 负反馈系统 负反馈系统的特点是它的跟随目标的特性（寻的特性）。 即状态值的任意增或减使状态值与目标值之间产生偏差，为了减小偏差，系统的内部作用反过来使状态值相应的减或增，使偏差减小，最终仍大体维持了原先的状态。

负反馈结构的因果与相互关系回路图

负反馈结构因果关系图： 期望状态（目标） 系统状态（水平） 偏差 校正量（速率）

诸如自调节、自控制、自均衡，体内平衡或自适应等隐含存在着寻的或趋向目标的负反馈结构。

负反馈系统——结构与方程

负反馈系统的典型流图

基本方程式：L LEV.K=LEV.J+(DT)(RT.JK)

R RT.KL=CONST*DISC.K

A DISC.K =GL － LEV.K

式中： DT—— 计算时间间隔 ( 时间 ) ； CONST—— 常数（ 1/ 时间）； LEV—— 状态变量（单位）； RT—— 速率（单位 / 时间）； DISC ——偏差（单位）； GL ——目标值（单位）

负反馈一般结构

负反馈系统——参数推导 L LEV.K=LEV.J+(DT)CONST* (GL － LEV.K)变形： (LEV.K － LEV.J)/DT=CONST*(GL － LEV.K) DT→0 d LEV(t)/dt = CONST*(GL － LEV(t))解得： LEV(t) = GL － [GL － LEV(0)]e﹣CONST*t

令 t=T=1/CONST LEV(T) = GL － [GL － LEV(0)]e﹣1

= LEV(0)+(1- e﹣1)[GL － LEV(0)] = LEV(0)+0.632[GL － LEV(0)]

LEV(2T) = LEV(T)+0.632[GL － LEV(T)] LEV(3T) = LEV(2T)+0.632[GL － LEV(2T)]

负反馈系统——重要参数 1. 时间常数 T T=1/CONST

涵义：代表状态在初始值 LEV(0) 基础上增长 0.632倍的偏差值（目标值与初始值之差）所需的时间。

随着 T 的增加，状态值 (LEV)将越来越接近目标值 (GL) 。 经过 3倍的 T之后， LEV接近目标的程度可达到 95% ； 而经过 4T 后则达到 99% 。（系统状态趋于稳定）

负反馈系统的过渡过程

负反馈系统——重要参数

状态变量的指数衰减曲线

2. 减半时间常数 Th

LEV(t) = LEV(0)]e﹣CONST*t

1/2LEV(0) = LEV(0)e﹣(1/T)*Th

整理后得：Th =T*ln2=0.69*T

Th=0.69T

负反馈系统——行为特性

负反馈系统的图解模拟

寻的负反馈系统的三种行为模式 模式 (1) ： GL＞ 0, LEV(0)≥0,（ LEV(0)-GL ）＜0

状态值渐近增长趋向目标值 GL 。 模式 (2) ： GL＞ 0, （ LEV(0)-GL ）＞ 0 状态值指数衰减趋向目标值 GL 。 模式 (3) ： GL=0, LEV(0)＞ 0 状态值指数衰减至 0 。

寻的系统运行模式 (1) 与 (2) 零目标结构寻的系统

负反馈系统的补偿特性 负反馈系统具有当其状态变量受外界输入（或输出）速率作用时仍力图使状态变量趋于目标值的特性，称为补偿特性。

方程式：L LEV.K=LEV.J+ (DT)(RT1.JK+RT2.JK)R RT1.KL=CONST*DISC.KC CONST=1A DISC.K=GL － LEV.KC GL=100R RT2.KL=CRTC CRT=8带有不变外生输入速率的负反馈系统

当 NTRT=0时， CRT=－ CONST*(GL－ LEV.K） =－ CONST*GL+LEV*CONST LEV=NGL=（ CRT/CONST） +GL 或以时间常数 T(T=1/CONST)表

示 , NGL=T*CRT+GL

速率—状态变量关系曲线

系统新的动态平衡

系统新的平衡值比原目标值 GL 增加了 T*CRT

推导： RT1.KL=CONST* （ GL －LEV.K ） RT2.KL=CRT NTRT.KL ＝ CONST* （ GL － LEV.K ） +CRT

负反馈系统——小结 由此可见，负反馈系统具有补偿功能。 即：当系统在附加输入或输出速率的情况下，可自动建立起新的平衡，新的平衡值与原期望的目标值不同。此差值（或称误差）与系统的时间常数及外生速率有关。

（ 1）在最简单的系统中，基于状态值与目标值之差的速率发挥调节作用，驱动系统状态趋向目标值。

（ 2）时间常数 T决定系统对状态变化的反应速度。

负反馈系统具有力图维持系统处于平衡状态（寻的）的特性。

举例：库存控制系统

销售率阶跃增加？

简单的库存控制系统

一阶负反馈系统对销售阶跃增加的响应

新的平衡

3.4 S 形增长的反馈结构 S 形增长是颇具典型的一种系统行为，它包含了指数与渐近两

种增长过程。

S形增长曲线

正反馈 + 负反馈 →→ 稳态

S 形增长过程在现实生活中普遍存在。

如：学习过程 动物繁殖

S 形增长系统分析 从反馈的机制分析，系统产生 S 形行为的基本条件是：正反馈先起

主导作用，然后负反馈转而起主导作用。

非线性速率—状态曲线

结论：任何具有上图中速率—状态关系的一阶系统都必定产生 S 形增长行为。

S形增长结构的模拟图

S 形增长结构的稳定与非稳定平衡 若系统的状态变量 LEV最终达到某个状态并长期保持下去，则称系统达到稳定平衡。

此时： RT=0, LEV 的值不再变化。

非稳定平衡 LEV=0 ； RT=0 称非稳定平衡的状态。

外界影响？

S形的增长结构

S 形增长——小结

1. 产生 S 形增长特性的必须条件：系统内部起主导的反馈作用受非线性的影响由正反馈转化为负反馈。

2. RT-LEV 关系曲线具有明显的特点，速率先随状态值而增长，达到最大之后逐渐减小至 0 。状态变量 S 形增长过程中出现拐点对应的速率的最大值。

3. 当变化率为 0 时， LEV 达到稳定平衡，这是一阶负反馈机制的重要特性。

4. 现实生活中的 S 形增长现象：如在一定地区范围内传染病的蔓延、动植物的繁殖等。

3.5 二阶系统——概念与结构 二阶系统就是包含两个独立状态变量的系统。

库存—劳动力系统流图

L INV.K=INV.J+DT*(PR.JK － SR.JK)N INV=DINVR PR.KL=WF.K*PPM； WF.KL=( 外生函数 )L WF.K=WF.J+DT*(HFR.JK)N WF=SR/PPMR HFR.KL=(DINV － INV.K)/(ICT*PPM*WFAT)

二阶系统——基本行为模式

阶跃输入？

渐近增长 超调 衰减震荡 等幅震荡 发散震荡

二阶系统对阶跃输入的响应

一阶系统、二阶系统的震荡

一阶系统只含有一个状态变量，故各辅助变量与变化率都彼此直接或间接地与此状态变量联系着。若此状态变量不再变化，则模型中的辅助变量均不再变化，因此输入、输出变量也不会发生变化。模型中的一切量都保持为常数，达到动态平衡。

对于二阶系统，若要使模型处于稳定状态，则要求两组输入、输出变量同时各自相等。假设一个状态变量处于稳定状态，但另一状态变量可能尚未稳定。来自后者的不稳定力量，将反馈至第一个状态变量，使之脱离稳定，结果就可能产生振荡。

结论：只包含一个状态变量的模型是不会产生振荡的，包含有两个及以上状态变量的模型则可能产生振荡。

3.6 复杂系统 复杂系统：高阶数、多回路、非线性

行为特性：反直观性对变动参数的不敏感性对校正计划、变更政策的抵制性通过政策的作用点（影响点）进行控制长短期效果的矛盾向低效益发展的倾向

要点回顾 一阶系统 二阶系统 复杂系统

系统描述 结构特性 行为模式等

Vensim 举例：系统行为模式

Coffee Temperature Fox-Rabbit Ecology