第3章直交表實驗 experiments with orthogonal...

3.1 實驗設計法（Methods of Experimental Design）

3.2 實驗模式的建構（Building of Empirical Models）

3.3 加法模式（Additive Models）

3.4 含交互作用的加法模式（Additive Models with Interactions）

3.5 直交表概觀（Overview of Orthogonal Arrays）

第3章直交表實驗

Experiments with Orthogonal Arrays

Section 3.1, Page 1

3.1-1 試誤法（Trial-and-Error）

3.1-2 一次一因子實驗法（One-Factor-at-a-Time）

3.1-3 全因子實驗法（Full-Factorial Experiments）

3.1-4 田口式直交表實驗法（Taguchi’s Orthogonal Arrays）

3.1-5 交互作用及可疊加性（Interactions and Additivity）

3.1-6 預測最佳設計下的品質特性（Prediction）

3.1-7 實驗模式（Empirical Models）

第3.1節實驗設計法

Methods of Experimental Design

Section 3.1, Page 2

實驗設計法

以實驗的方式來決定設計參數有很多種可能方法：

試誤法

一次一因子實驗法

全因子實驗法

田口式直交表實驗法

Etc.

Section 3.1, Page 3

3.1-1 試誤法（Trial-and-Error）

無需任何資料分析或使用直交表。

不是有系統性的方法。

太過依賴個人的經驗。

大部份的時候沒有效率。

所累積的經驗是沒有系統的，很難傳承給其他人。

Section 3.1, Page 4

3.1-2 一次一因子實驗法（One-Factor-at-a-Time）

表3..1-1 一一次一因因子實實驗的例例子

Exp. A B C D E F G1 1 1 1 1 1 1 12 2 1 1 1 1 1 13 1 2 1 1 1 1 14 1 1 2 1 1 1 15 1 1 1 2 1 1 16 1 1 1 1 2 1 17 1 1 1 1 1 2 18 1 1 1 1 1 1 2

Section 3.1, Page 5

一次一因子實驗法

表33.1-2 一一次一一因子實實驗例例子的數數據及因因子效效應

Exp. A B C D E F G y1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2 2 1 1 1 1 1 1 1.5 3 1 2 1 1 1 1 1 1.74 1 1 2 1 1 1 1 0.35 1 1 1 2 1 1 1 1.96 1 1 1 1 2 1 1 1.67 1 1 1 1 1 2 1 0.68 1 1 1 1 1 1 2 1.3

Effect 0.3 0.5 -0.9 0.7 0.4 -0.6 0.1 　

最佳的製程參數組合 A1 B1 C2 D1 E1 F2 G1

因子效應是相對於特定的參照實驗條件下的計算值。

換句話說，因子效應是在某種「偏見」（bias）下評估出來的。

全因子直交表實驗的好處是可以完全消除這種「偏見」。

Section 3.1, Page 6

3.1-3 全因子實驗法（Full-Factorial Experiments）

全因子實驗法是考慮所有可能

的因子變動組合。

全因子實驗陣列必然是一個直

交表。

全因子直交表實驗可以將「偏

見」完全排除。

表3.1-33 四個因因子的全全因子實實驗陣列

Exp. A B C D1 1 1 1 12 1 1 1 23 1 1 2 14 1 1 2 25 1 2 1 16 1 2 1 27 1 2 2 18 1 2 2 29 2 1 1 1

10 2 1 1 211 2 1 2 112 2 1 2 213 2 2 1 114 2 2 1 215 2 2 2 116 2 2 2 2

Section 3.1, Page 7

表3.1-4 全因子子實驗例例子之數數據及因因子效應

Exp. A B C D y1 1 1 1 1 0.432 1 1 1 2 0.603 1 1 2 1 0.014 1 1 2 2 0.185 1 2 1 1 0.766 1 2 1 2 0.887 1 2 2 1 0.218 1 2 2 2 0.429 2 1 1 1 1.02

10 2 1 1 2 1.1311 2 1 2 1 0.5912 2 1 2 2 0.6813 2 2 1 1 1.2914 2 2 1 2 1.3415 2 2 2 1 0.8616 2 2 2 2 0.96

Level 1 0.44 0.58 0.93 0.65 　

Level 2 0.99 0.84 0.49 0.77 　

Effect 0.55 0.26 -0.44 0.13 　

全因子實驗法

Section 3.1, Page 8

全因子實驗法

最佳製程參數組合

A1 B1 C2 D1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2

Section 3.1, Page 9

全因子實驗法

全因子實驗中，因為實驗已經考慮到所有可能的排列組合，我們可以不需做任

何因子反應分析，而直接從實驗組中挑出一組最佳設計。

但是一般田口式直交表實驗並非「全因子」直交表實驗，亦即並非所有水準組

合都會出現在直交表中，最佳設計組合常常不在直交表實驗組中。

因子的總數及每個因子的水準數可以是任意的，但是最常用的因子水準數是2

水準或3水準。

Section 3.1, Page 10

3.1-4 田口式直交表實驗法（Taguchi’s Orthogonal Arrays）

附錄A的直交表，有些是田口玄一博士所設計，有些是前人所設計，我們統稱

為「田口式直交表」，或只稱為「直交表」。

田口式直交表的構想是以較少的實驗次數來獲得有用的統計資訊。

「偏見」通常還是不能完全排除。

對解決工程品質問題的目的而言，田口式直交表常常是兼顧實驗成本及精確度

下很好的折衷方法。



典型的田口式直交表是以 La(bc ) 來命名，它代表共有a組實驗、最多可以容納b

個水準的因子c個，亦即一個a橫列c直行的實驗陣列。

字母L是這種直交表的原始名稱：Latin squares。

有些直交表同時可以容納兩種水準的因子（譬如2水準及3水準的因子），此時

以 La(bc × de ) 來表示，它代表共有a組實驗、最多可以容納b個水準的因子c

個，及d個水準的因子e個。

表3.11-5 L8((27)直交交表

Exp. 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2



表3.1--6 實驗驗數據

Exp. A B C D E F G y1 1 1 1 1 1 1 1 1.20 2 1 1 1 2 2 2 2 1.87 3 1 2 2 1 1 2 2 2.09 4 1 2 2 2 2 1 1 2.24 5 2 1 2 1 2 1 2 1.51 6 2 1 2 2 1 2 1 1.82 7 2 2 1 1 2 2 1 1.45 8 2 2 1 2 1 1 2 2.18

Ave = 1.80

表3.1-7 因子反應應表

　 A B C D E F GLevel 1 1.85 1.60 1.68 1.56 1.82 1.79 1.68 Level 2 1.74 1.99 1.92 2.03 1.77 1.81 1.92 Effect -0.11 0.39 0.24 0.47 -0.05 0.02 0.24



1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 F1 F2 G1 G2

最佳製程參數組合應該是

A2 B1 C1 D1 E2 F1 G1 （3.1-1式）

注意，以田口式直交表進行實驗，最佳因子組合通常不在實驗組中。


0

50

30

95

0

20

40

60

80

100

B1 B2

A1

A2

3.1-5 交互作用及可疊加性（Interactions and Additivity）

若某一因子的效應依另一因子的設定水準而有所不同，我們說這兩個因子間存

在著交互作用。

交互作用圖中，若兩直線平行則不存在交互作用，反之，若兩直線不平行則存

在著交互作用；不平行的程度越大，代表交互作用越大。

表3.1-8 舉舉重實驗數數據（有交交互作用）

Exp. A B y1 1 1 02 1 2 503 2 1 304 2 2 95

Level 1 25.0 15.0 AveLevel 2 62.5 72.5 43.75

　 B1 B2A1 0 50A2 30 95


0

50

30

80

0

20

40

60

80

100

B1 B2

A1

A2

無交互作用的例子

表3.1-9 舉舉重實驗數數據（無交交互作用）

Exp. A B y1 1 1 02 1 2 503 2 1 304 2 2 80

Level 1 25 15 AveLevel 2 55 65 40

　 B1 B2A1 0 50A2 30 80


3.1-6 預測最佳設計下的品質特性（Prediction）

以總平均（1.80 mm）作為基準點。

當A因子設定在水準2時，其翹曲量（1.74 mm）和總平均值相差了 -0.06

mm。

當B因子設定在水準1時（翹曲量1.60 mm），其效應是翹曲量由平均1.80 mm

降低了0.20 mm。

依此在最佳製程參數組合（ A2 B1 C1 D1 E2 F1 G1 ）下，翹曲量為

（假設完全沒有交互作用）：

y = y + (yA2 − y ) + (yB1 − y ) + (yC1 − y ) + (yD1 − y ) + (yE 2 − y ) + (yF1 − y ) + (yG1 − y )= 1.80 + (1.74 −1.80) + (1.60 −1.80) + (1.68 −1.80)+(1.56 −1.80) + (1.77 −1.80) + (1.79 −1.80) + (1.68 −1.80)= 1.03 mm


預測最佳設計下的品質特性

將所有因子效應全部都疊加起來通常是太過樂觀的。

有些因子效應很小，在統計上不具任何意義。

合理的預測值應排除這些不具意義的因子效應，

y = y + (yB1 − y ) + (yC1 − y ) + (yD1 − y ) + (yG1 − y )= 1.80 + (1.60 −1.80) + (1.68 −1.80) + (1.56 −1.80) + (1.68 −1.80)= 1.13 mm


預測最佳設計下的品質特性

在Ai Bj Ck …的因子組合（假設這些都是重要因子）時，預測值為：

y = y + (yAi − y ) + (yBj − y ) + (yCk − y ) + （3.1-2式）

要確認這個值的正確性唯一的方法是去做確認實驗（confirmation

experiments），若實驗值和預測值夠接近，則我們可以認定實驗模式是合理

的：因子效應是可疊加的，因子之間的交互作用是可忽略的，甚至我們可以認

為因子效應的估計是可靠的。


3.1-7 實驗模式（Empirical Models）

y = y + (yAi − y ) + (yBj − y ) + (yCk − y ) + （3.1-2式）

上式稱為一個實驗模式（empirical model，或稱為經驗模式、經驗公式），其

中 y , yAi , yBj , yCk等稱為此模式的參數，它們事實上就是因子反應表中的反應

值。

實驗設計法的基本構想是利用實驗資料來建構一個實驗模式，再利用這個實驗

模式來預測系統的行為。

實驗結論的可靠性有賴於此實驗模式的精確與否，所以必須以確認實驗來驗証

此實驗模式的可靠性。

這個實驗模式稱之為加法模式（additive model），這是「田口方法」中使用

的實驗模式。

Section 3.2, Page 1

3.2-1 廣義線性模式（General Linear Model）

3.2-2 兩個控制因子（Two Control Factors）

3.2-3 三個控制因子（Three Control Factors）

3.2-4 三因子間的交互作用（Three-Factor Interactions）

3.2-5 對數轉換：分離變數（Logarithmic Transformation: Separation）

3.2-6 加法模式（Additive Model）

第3.2節實驗模式的建構

Building of Empirical Models

Section 3.2, Page 2

實驗設計法

實驗設計法的基本構想是利用實驗數據，來建構一個實驗模式（或稱為經驗模

式，empirical model）。

這個實驗模式用來預測任何控制因子組合下的反應值。

確認實驗的目的是在證實這個實驗模式的合理性。

Section 3.2, Page 3

3.2-1 廣義線性模式（Generalized Linear Model）

為了簡化說明，我們先只考慮A, B兩個兩水準的因子。

並且假設每個因子的兩個水準值已經被轉換成-1及+1。譬如有一個因子x，原

來的兩個水準分別是 xL 及 xU ，則下列轉換公式可以將x轉換成A，使A的兩個水

準變成-1及+1：

A =

x − xU + xL( ) 2

xU − xL( ) 2 （3.2-1式）

傳統實驗設計法中所使用的實驗模式，稱為廣義線性模式，其形式如下：

y = c0 + c1A + c2B + c3AB （3.2-2式）

其中 c0, c1, c2, c3 是待定的參數。

Section 3.2, Page 4

廣義線性模式

因子效應 EA 定義為「A因子每單位變動量，平均造成y的變動量」，亦即

EA =

∂y∂A

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=+1

+ ∂y∂A

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=−1

2= c1 （3.2-3式）

以實驗數據來表示時可以寫成

EA =

yA=+1 − yA=−1

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=+1

+yA=+1 − yA=−1

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=−1

2= c1 （3.2-4式）

因子效應 EA 剛好是廣義線性模式中，A項的係數。

這個結論可以推廣到其他因子效應。

Section 3.2, Page 5

廣義線性模式

交互作用 EAxB （等於 EBxA ）則定義為「B因子每單位變動量，造成 EA 的變動

量」，亦即

EAxB =

∂y∂A

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=+1

− ∂y∂A

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=−1

2= c3 （3.2-5式）

以實驗數據來表示時可以寫成

EAxB =

yA=+1 − yA=−1

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=+1

−yA=+1 − yA=−1

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=−1

2= c3 （3.2-6式）

交互作用 EAxB 剛好是廣義線性模式中，AB項的係數。

Section 3.2, Page 6

廣義線性模式

此外， 3.2-2式的常數項 c0 等於實驗數據的平均值 y ，証明如下：

y =yA=+1, B=+1 + yA=−1, B=+1 + yA=+1, B=−1 + yA=−1, B=−1

4

=

yA=+1 + yA=−1

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=+1

+yA=+1 + yA=−1

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B=−1

2= c0

（3.2-7式）

Section 3.2, Page 7

廣義線性模式

我們的結論是，兩個因子時， 3.2-2式可以寫成

y = y + EAA + EBB + EAxBAB （3.2-8式）

以上的結論甚至可以推廣到更多控制因子的情況，譬如三個控制因子時，廣義

線性模式為

y = y + EAA + EBB + ECC + EAxBAB + EBxCBC + ECxACA + EAxBxCABC

（3.2-9式）

傳統實驗設計法以廣義線性模式來作為實驗模式，因為它的形式很簡單，而且

可以描述所有因子效應及所有交互作用。更重要的是，配合直交表的使用，這

些待定參數的計算工作變得非常簡單。

Section 3.2, Page 8

3.2-2 兩個控制因子（Two Control Factors）

表3.2-1 兩個個控制因因子例子子的實驗數數據

Exp. x z y1 1.2 30 2.72 1.2 40 2.63 1.8 30 3.54 1.8 40 3.2

表3.2-2 兩個控制制因子例例子（變變數轉換換後）的的實驗數據

Exp. A B A×B y1 -1 -1 +1 2.72 -1 +1 -1 2.63 +1 -1 -1 3.54 +1 +1 +1 3.2

A =x − 1.8 +1.2( ) 2

1.8 −1.2( ) 2=

x −1.50.3

B =z − 40 + 30( ) 2

40 − 30( ) 2=

z − 355

Section 3.2, Page 9

兩個控制因子

表3.22-3 兩個控控制因子子例子的的因子效效應分分析表

Exp. A B A×B y1 -1 -1 +1 2.72 -1 +1 -1 2.63 +1 -1 -1 3.54 +1 +1 +1 3.2

Level -1 2.65 3.1 3.05 　

Level +1 3.35 2.9 2.95 yEffect 0.35 -0.1 -0.05 3.00

y = 3.0 + 0.35A − 0.10B − 0.05A × B

上式的實驗模式滿足所有A, B與y之間的關係，譬如在A = -1, B = +1時，

y = 3.0 + 0.35 −1( ) − 0.10 +1( ) − 0.05 −1( ) × +1( ) = 2.6


摘要（Summary）

直交表的使用大大地簡化了實驗模式的建構工作。

因子效應相當於此實驗模式中各因子一次項的係數，而交互作用相當於兩因子

相乘項的係數，總平均值則相當於常數項。

本小節示範了L4(23)直交表的建構程序。

此實驗模式並非田口方法所使用的實驗模式，田口方法所使用的實驗模式稱為

加法模式，將在3.2-5小節以後介紹。


3.2-3 三個控制因子（Three Control Factors）

表3.22-4 三個個控制因子子例子的的實驗

Exp. A B C AxB BxC CxA AxBxC y1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 1.092 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 1.713 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 0.914 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 0.295 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 2.916 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 4.297 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 2.298 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 2.51

Level -1 1.00 2.50 1.80 2.10 2.30 1.80 1.99 yLevel +1 3.00 1.50 2.20 1.90 1.70 2.20 2.01 2.000

Effect 1.00 -0.50 0.20 -0.10 -0.30 0.20 0.01 　

y = 2.0 +1.0A − 0.5B + 0.2C − 0.1A × B − 0.3B ×C + 0.2C × A + 0.01A × B ×C


3.2-4 三因子間的交互作用（Three-Factor Interactions）

EAxBxC 可以解釋成 EAxB 隨C因子的水準變動所造成的差異。

從表3.2-4中， EAxB 是-0.10，但是這是平均而言；當C因子在水準-1和水準+1

時， EAxB 分別是-0.11與-0.09，計算如下

EAxB( )C=−1

=(1.09 + 2.29) 2 − (0.91+ 2.91) 2

2= −0.11

EAxB( )C=+1

=(1.71+ 2.51) 2 − (0.29 + 4.29) 2

2= −0.09

所以

EAxBxC =

EAxB( )C=+1− EAxB( )C=−1

2=

(−0.09) − (−0.11)2

= 0.01


三因子間的交互作用

當然， EAxBxC 也可以解讀成 EBxC 隨A因子的水準變動所造成的差異，或是 EAxC

隨B因子的水準變動所造成的差異。

這些觀念可以推廣至更高次的交互作用（譬如4個因子間的交互作用）。

工程實務上，評估這些高次交互作用通常不切實際，也不需要。原因是

越高次交互作用通常越小。

評估高次交互作用所需要的實驗次數會很多。


3.2-5 對數轉換：分離變數

Logarithmic Transformation: Separation of Variables

假想我們要設計一個懸臂樑，我們要選擇樑的尺寸及材料，使得在特定的端點

集中力P下會有特定的端點變位y。

y =

CPL3

EWH3 （3.2-10式）

E,W ,H,L

P


加法模式

如果我們將3.2-10式取對數轉換，

log y = logC + logP + 3logL − logE − logW − 3logH （3.2-11式）

經對數轉換後，品質特性可以表示成幾個函數相加起來，而每個函數只含單一

因子！

對數轉換將兩因子的相乘轉換成相加（ log AB = log A + logB ）（對數轉換也會

將兩因子的指數關係轉換成相乘關係，亦即 log AB = B ⋅ log A ）。

一般而言，假設有A, B, C, …等控制因子，則經對數轉換後的工程量測值常常

可以符合下列形式：

η(A,B,C,...) = ηC + a(A) + b(B) + c(C) + ... （3.2-12式）

3.2-12式稱為加法模式。


含交互作用的加法模式

實務的工程問題常常比3.2-10式複雜的多，經對數轉換後也不像3.2-11式這麼

簡單，以至於如3.2-12式的實驗模式也並不完全適用。這時候我們必須考慮在

3.2-12式中加入交互作用（亦即加入含兩個或以上因子的函數），譬如下式是

加入A與B的交互作用的形式：

η(A,B,C,...) = ηC + a(A) + b(B) + c(C) + ...+ ab(A,B) （3.2-13式）

一般來說，如果需要考慮交互作用的話，考慮二因子間的交互作用就足夠了，

因為經對數轉換過後，越高次的交互作用會越小。


3.2-6 加法模式（Additive Model）

3.2-12式稱為「變數分離模式」（variables separable model），或稱為加法

模式（additive model），它是田口方法中使用的實驗模式。

3.2-12式中含有未知函數，我們不可能從有限的實驗資料中去知道這些未知函

數的形式，所以通常無法直接使用，我們必須進一步誘導可供計算的公式。

為了解說的目的，我們只考慮3個控制因子：

η(A,B,C) = ηC + a(A) + b(B) + c(C) （3.2-14式）

這個模式含有未知函數，由實驗數據來決定這些未知函數的真正形式通常是辦

不到的，但是我們並不需要知道函數的真正形式。


加法模式

記住，實驗的目的是要找到一個實驗模式，讓我們可以預測各種因子組合下的

反應值，譬如 η(Ai,Bj,Ck) 的值（其中i, j, k可以是任何水準數， Ai 表示A在水準

i下的值，其餘類推）是

η(Ai,Bj,Ck) = ηC + a(Ai) + b(Bj) + c(Ck) （3.2-15式）

換句話說，我們不需要知道這些函數的真正形式，而只需知道這些函數在各因

子水準下的值（還有 ηC ）就可以了，亦即 a(Ai) , b(Bj) , c(Ck) 。


加法模式計算公式的誘導

考慮任何一個基準設計 (A0,B0,C0) ，它所相對的η值是 η(A0,B0,C0) ；因為

3.2-15式的特殊形式（變數分離），我們很容易可以証明下式會成立

η(Ai,Bj,Ck) −η(A0,B0,C0) = η(Ai,B0,C0) −η(A0,B0,C0)⎡⎣ ⎤⎦+ η(A0,Bj,C0) −η(A0,B0,C0)⎡⎣ ⎤⎦+ η(A0,B0,Ck) −η(A0,B0,C0)⎡⎣ ⎤⎦

（3.2-16式）


Eq. 3.2-16的證明

使用3.2-14式，我們可以寫下

η(A0,B0,C0) = ηC + a(A0) + b(B0) + c(C0) （a式）

及

η(Ai,B0,C0) = ηC + a(Ai) + b(B0) + c(C0)η(A0,Bj,C0) = ηC + a(A0) + b(Bj) + c(C0)η(A0,B0,Ck) = ηC + a(A0) + b(B0) + c(Ck)

（b式）

將b式中的每一個式子分別與a式相減，我們可以得到

η(Ai,B0,C0) −η(A0,B0,C0) = a(Ai) − a(A0)η(A0,Bj,C0) −η(A0,B0,C0) = b(Bj) − b(B0)η(A0,B0,Ck) −η(A0,B0,C0) = c(Ck) − c(C0)

（c式）


Eq. 3.2-16的證明

將c式中的三個式子相加起來，

η(Ai,B0,C0) −η(A0,B0,C0)⎡⎣ ⎤⎦+ η(A0,Bj,C0) −η(A0,B0,C0)⎡⎣ ⎤⎦+ η(A0,B0,Ck) −η(A0,B0,C0)⎡⎣ ⎤⎦= a(Ai) + b(Bj) + c(Ck)⎡⎣ ⎤⎦ − a(A0) + b(B0) + c(C0)⎡⎣ ⎤⎦

上式等號右邊即是3.2-16式等號的左邊，因為由3.2-14式，

η(Ai,Bj,Ck) −η(A0,B0,C0) = a(Ai) + b(Bj) + c(Ck)⎡⎣ ⎤⎦ − a(A0) + b(B0) + c(C0)⎡⎣ ⎤⎦

以上完成3.2-16式的証明。


加法模式計算公式的誘導

因為基準設計 (A0,B0,C0) 可以是任意的，我們可以取η的總平均值η 所相對的

設計作為基準設計，亦即

η = η(A0,B0,C0)

則3.2-16式可以寫成

η(Ai,Bj,Ck) −η = η(Ai,B0,C0) −η⎡⎣ ⎤⎦ + η(A0,Bj,C0) −η⎡⎣ ⎤⎦ + η(A0,B0,Ck) −η⎡⎣ ⎤⎦

其中， η(Ai,B0,C0) , η(A0,Bj,C0) , η(A0,B0,Ck) 分別是因子反應表中的反應值

ηAi , ηBj , ηCk , 所以上式可以用因子反應值來表示

η(Ai,Bj,Ck) = η + ηAi −η( ) + ηBj −η( ) + ηCk −η( ) （3.2-17式）


加法模式

η(A,B,C) = ηC + a(A) + b(B) + c(C) （3.2-14式）

η(Ai,Bj,Ck) = η + ηAi −η( ) + ηBj −η( ) + ηCk −η( ) （3.2-17式）

Eq. 3.2-14是加法模式的「理論形式」，而Eq. 3.2-17才是我們利用因子反應表

中的數據，用來預測的公式。

3.2-17式及因子反應表構成完整的實驗模式。


加法模式的不同形式

在 Ai Bj Ck... 因子水準組合下，利用加法模式所計算的預測值是

η(Ai,Bj,Ck, ) = η + ηAi −η( ) + ηBj −η( ) + ηCk −η( ) + （3.2-18式）

上式中， ηAi −η 代表A因子由 A0 變動到 Ai 時，η所增加的量；若以「因子效

應」來表示，可以寫成 EAi 。所以3.2-18式又可寫成

η(Ai,Bj,Ck, ) = η + EAi + EB

j + ECk + （3.2-19式）

有時為了計算上的方便，我們將3.2-18式寫成

η(Ai,Bj,Ck, ) = ηAi +ηBj +ηCk + − (n −1)η （3.2-20式）


加法模式的不同形式

η(Ai,Bj,Ck, ) = η + ηAi −η( ) + ηBj −η( ) + ηCk −η( ) + （3.2-18式）

η(Ai,Bj,Ck, ) = η + EAi + EB

j + ECk + （3.2-19式）

η(Ai,Bj,Ck, ) = ηAi +ηBj +ηCk + − (n −1)η （3.2-20式）

以上3個公式都可用來計算預測值。

3.2-18式及3.2-20式可以直接利用因子反應表的數據。

3.2-19式比較能表達「因子效應疊加」的內涵。

但是在實務計算上，3.2-20式是比較方便的。

Section 3.3, Page 1

3.3-1 因子效應的理論解（Analytical Factor Effects）

3.3-2 實驗與實驗模式的建立（Building Empirical Model）

3.3-3 實驗模式與理論公式的比較（Comparison）

3.3-4 討論：沒有經過對數轉換的情形（Discussion: Log Transformations）

3.3-5 討論：二水準實驗（Discussion: 2-Level Experiments）

3.3-6 對數轉換的負面效果（Drawbacks of Log Transformation）

第3.3節加法模式

Additive Models

Section 3.3, Page 2

懸臂樑實例

y =

CL3

EWH3 （3.3-1式）

log y = logC + 3logL − logE − logW − 3logH

η = ηC + 3logL − logE − logW − 3logH （3.3-2式）

E,W ,H,L

P = 1

Section 3.3, Page 3



表3.3-1 懸臂樑樑設計因子子

Factor Description Level 1 Level 2 Level 3

L Beam length (mm) 16 20 24

E Elastic modulus (GPa) 170 190 210

W Beam width (mm) 3 4 5H Beam height (mm) 0.8 1.0 1.2

表表3.3-2 因因子效應的理論值值

　 L E W H

E 1→2 0.291 -0.048 -0.125 -0.291

E 2→3 0.238 -0.043 -0.097 -0.238

Section 3.3, Page 4

因子效應計算


EL1→2 = 3logL2 − 3logL1= 3log20 − 3log16 = 0.291

EL2→3 = 3logL3 − 3logL2 = 3log24 − 3log20 = 0.238

EE1→2 = − logE2 + logE1= − log190000 + log170000 = −0.048

EE2→3 = − logE3 + logE2 = − log210000 + log190000 = −0.043

EW1→2 = − logW 2 + logW1= − log4 + log3 = −0.125

EW2→3 = − logW 3 + logW 2 = − log5 + log4 = −0.097

EH1→2 = −3logH2 + 3logH1= −3log1.0 + 3log0.8 = −0.291

EH2→3 = −3logH3 + 3logH2 = −3log1.2 + 3log1.0 = −0.238

Section 3.3, Page 5

3.3-2 實驗與實驗模式的建立（Building Empirical Model）

表表3.3-3 L9(34))直交表表

Exp. L E W H1 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1

表3.3-4 實實驗數據據

Exp. L E W H y η

1 16 170 3 0.8 0.0627 -1.202 2 16 190 4 1.0 0.0216 -1.666 3 16 210 5 1.2 0.0090 -2.044 4 20 170 4 1.2 0.0272 -1.565 5 20 190 5 0.8 0.0658 -1.182 6 20 210 3 1.0 0.0508 -1.294 7 24 170 5 1.0 0.0651 -1.187 8 24 190 3 1.2 0.0561 -1.251 9 24 210 4 0.8 0.1286 -0.891

Ave = 0.0541 -1.365

Section 3.3, Page 6

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1.0

L1 L2 L3 E1 E2 E3 W1 W2 W3 H1 H2 H3

因子反應表及因子反應圖

表表3.3-5 因因子反應應表（η ）

　 L E W H

Level 1 -1.638 -1.318 -1.249 -1.092

Level 2 -1.347 -1.366 -1.374 -1.382

Level 3 -1.109 -1.410 -1.471 -1.620

E 1→2 0.291 -0.048 -0.125 -0.291

E 2→3 0.238 -0.043 -0.097 -0.238

表3.3-5的因子反應表表3.3-2的理論值是完全一致的！

Section 3.3, Page 7

實驗模式

實驗模式：

η(Li,Ej,Wk,Hm) = η + ηLi −η( ) + ηEj −η( ) + ηWk −η( ) + ηHm −η( )= ηLi +ηEj +ηWk +ηHm − 3η

（3.3-3式）

其中 i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3; m = 1, 2, 3 。譬如在（L3 E3 W3 H3）下，

η(L3,E3,W 3,H3) = ηL3 +ηE3 +ηW 3 +ηH3 − 3η= −1.109 −1.410 −1.471−1.620 − 3(−1.365)= −1.515

其中η 列在表3.3-4中變位量y則必須轉換回來，亦即

y = 10η = 10−1.515 = 0.0305

Section 3.3, Page 8

自由度的討論

因子反應表（表3.3-5）中的12個反應值及總平均值（η ）相當於實驗模式

（3.3-3式）的參數；換句話說，3.3-3式及這13個參數構成完整的實驗模式。

這13個參數並非完全獨立的，它們有下列4個關係：

ηL1 +ηL2 +ηL3( ) 3 = η

ηE1 +ηE 2 +ηE3( ) 3 = η

ηW 1 +ηW 2 +ηW 3( ) 3 = η

ηH1 +ηH 2 +ηH3( ) 3 = η

所以這13個參數共有9個自由度（13 – 4 = 9）。

這13個參數的計算過程中，原始的資料來源就是表3.3-4中的9個變位量（y

值），所以這13個參數最多只能有9個獨立的資訊（亦即9個自由度）。

Section 3.3, Page 9

3.3-3 實驗模式與理論公式的比較

表33.3-66 實驗驗模式（3.3-3式）與懸臂臂樑公式（3.3-1式）的比較較

Exp. L E W H L E W H η y 3.3-1式1 1 1 1 1 16 170 3 0.8 -1.202 0.0627 0.0627 2 1 2 2 2 16 190 4 1.0 -1.666 0.0216 0.0216 3 1 3 3 3 16 210 5 1.2 -2.044 0.0090 0.0090 4 2 1 2 3 20 170 4 1.2 -1.565 0.0272 0.0272 5 2 2 3 1 20 190 5 0.8 -1.182 0.0658 0.0658 6 2 3 1 2 20 210 3 1.0 -1.294 0.0508 0.0508 7 3 1 3 2 24 170 5 1.0 -1.187 0.0651 0.0651 8 3 2 1 3 24 190 3 1.2 -1.251 0.0561 0.0561 9 3 3 2 1 24 210 4 0.8 -0.891 0.1286 0.1286 a 1 2 3 1 16 190 5 0.8 -1.473 0.0337 0.0337 b 2 2 2 2 20 190 4 1.0 -1.376 0.0421 0.0421 c 3 3 3 3 24 210 5 1.2 -1.516 0.0305 0.0305 d 2.5 3 3 3 22 210 5 1.2 -1.635 0.0232 0.0235 e 1.5 1.5 2.5 2.5 18 180 4.5 1.1 -1.664 0.0217 0.0216


討論：實驗模式與理論公式的比較

第1-9組實驗是L9直交表的因子組合；將這些計算的變位量y與表3.3-4的y做一

對照，你會發現它們是完全一致的。

通常在所有自由度都被利用到的情況下，實驗模式必會完全滿足這些實驗值。

此時，n個數據來決定實驗模式中的n個參數，所以實驗模式必會「通過」

（interpolate）這些實驗數據點。

當自由度沒有被完全利用到的情況下（亦即不飽和直交表實驗，譬如L9(34)直

交表只利用到3行，剩下一行並沒有配置控制因子），實驗模式並非「通過」

（interpolate）這些實驗數據點，而是「最佳吻合」（best fit）於這些實驗數

據點；因為此時會有n個數據（自由度）來決定實驗模式中少於n個的參數。


討論：以實驗模式預測反應值

第a, b, c組實驗是不在L9直交表內的任意因子組合，表3.3-6顯示實驗模式

（3.3-3式）所預測的值與懸臂樑公式（3.3-1式）所計算的理論值也是完全一

致的。這樣的結果在其它的應用上並不常見。

在本例中，因為理論公式經對數轉換後（3.2-11式）完全符合加法模式的形式

（3.2-12式），所以實驗模式與理論公式可以完全一致。

一般而言，縱使經過對數轉換，實驗模式與理論值大多不能完全一致，但是只

要誤差在可以接受的範圍，則該實驗模式就足夠精確了。

確認實驗的目的就是以不在直交表內的因子組合實驗數據來驗証實驗模式的精

確性。


討論：以實驗模式預測反應值

第d, e組實驗是不屬於任何因子組合的情況。譬如第d組採用了樑長22 mm的設

計，我們以L2.5來表示，因為它是介於L2與L3中間的值，其理論值依3.3-1式計

算的結果是0.0235 mm，而實驗模式的預測值是0.0232，此值開始有一些偏離

理論值了。

一般而言，加法模式只能用來預測因子水準組合下的反應值，對於如第d或e組

實驗，非因子水準組合下的情況，加法模式通常無法用來預測系統的行為。


3.3-4 討論：沒有經過對數轉換的情形

表3.3-7 因子反應應表（y）

　 L E W H

Level 1 0.0311 0.0517 0.0566 0.0857

Level 2 0.0479 0.0478 0.0591 0.0458

Level 3 0.0833 0.0628 0.0466 0.0308

E 1→2 0.0168 -0.0038 0.0026 -0.0399

E 2→3 0.0353 0.0150 -0.0125 -0.0150

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

L1 L2 L3 E1 E2 E3 W1 W2 W3 H1 H2 H3

表3.3-4 實實驗數據據

Exp. L E W H y η

1 16 170 3 0.8 0.0627 -1.202 2 16 190 4 1.0 0.0216 -1.666 3 16 210 5 1.2 0.0090 -2.044 4 20 170 4 1.2 0.0272 -1.565 5 20 190 5 0.8 0.0658 -1.182 6 20 210 3 1.0 0.0508 -1.294 7 24 170 5 1.0 0.0651 -1.187 8 24 190 3 1.2 0.0561 -1.251 9 24 210 4 0.8 0.1286 -0.891

Ave = 0.0541 -1.365



表表3.3-8 實實驗模模式（無無對數轉換）與理論論值的比較較

Exp. L E W H L E W H y 3.3-1式1 1 1 1 1 16 170 3 0.8 0.0627 0.0627 2 1 2 2 2 16 190 4 1.0 0.0216 0.0216 3 1 3 3 3 16 210 5 1.2 0.0090 0.0090 4 2 1 2 3 20 170 4 1.2 0.0272 0.0272 5 2 2 3 1 20 190 5 0.8 0.0658 0.0658 6 2 3 1 2 20 210 3 1.0 0.0508 0.0508 7 3 1 3 2 24 170 5 1.0 0.0651 0.0651 8 3 2 1 3 24 190 3 1.2 0.0561 0.0561 9 3 3 2 1 24 210 4 0.8 0.1286 0.1286 a 1 2 3 1 16 190 5 0.8 0.0490 0.0337 b 2 2 2 2 20 190 4 1.0 0.0384 0.0421 c 3 3 3 3 24 210 5 1.2 0.0612 0.0305

結論：未經對數轉換所建立的實驗模式通常不夠精確。


3.3-5 討論：二水準實驗（2-Level Experiments）

圖3.3-1的因子反應圖顯示η 與因子間幾乎呈線性關係，這表示3水準的實驗是沒

有必要的（2水準實驗就夠了）。

表3.3-9 設計因子（2水水準實驗）

Factor Description Level 1 Level 2L Beam length (mm) 16 24E Elastic modulus (GPa) 170 210W Beam width (mm) 3 5H Beam height (mm) 0.8 1.2

表3.3-100 L8(227)直交交表及及因子子配置

Exp. L E 　 W 　　 H1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2


實驗數據與因子反應

表3.33-11 實實驗數據（2水準實驗）

Exp. L E W H y η1 16 170 3 0.8 0.0627 -1.202 2 16 170 5 1.2 0.0112 -1.953 3 16 210 3 1.2 0.0150 -1.822 4 16 210 5 0.8 0.0305 -1.516 5 24 170 3 1.2 0.0627 -1.202 6 24 170 5 0.8 0.1271 -0.896 7 24 210 3 0.8 0.1714 -0.766 8 24 210 5 1.2 0.0305 -1.516

Ave = -1.359

表3.3-112 因子子反應表（2水準實驗）

　 L E W H

Level 1 -1.6234 -1.3133 -1.2483 -1.0951 Level 2 -1.0951 -1.4051 -1.4702 -1.6234

-1.80

-1.60

-1.40

-1.20

-1.00

L1 L2 E1 E2 W1 W2 H1 H2


自由度的討論

實驗模式中的參數現在是列於表3.3-12的8個反應值，及總平均值 η = −1.359 。

這9個參數並非獨立的，它們有下列四個關係

ηL1 +ηL2( ) 2 = η

ηE1 +ηE 2( ) 2 = η

ηW 1 +ηW 2( ) 2 = η

ηH1 +ηH 2( ) 2 = η

所以9個參數只有5個自由度。

表3.3-11中的8個實驗數據總共可以提供8個自由度，我們只利用了5個自由度，

因為直交表中有3個直行沒有任何因子配置，以致「浪費」了這些自由度。



結論：此例中，2水準實驗就足夠了。

表表3.33-13 實驗模模式與理理論值的的比較（2水準實實驗）

Exp. L E W H L E W H η y 3.3-1式1 1 1 1 1 16 170 3 0.8 -1.2024 0.0627 0.0627 2 1 1 2 2 16 170 5 1.2 -1.9525 0.0112 0.0112 3 1 2 1 2 16 210 3 1.2 -1.8225 0.0150 0.0150 4 1 2 2 1 16 210 5 0.8 -1.5160 0.0305 0.0305 5 2 1 1 2 24 170 3 1.2 -1.2024 0.0627 0.0627 6 2 1 2 1 24 170 5 0.8 -0.8960 0.1271 0.1271 7 2 2 1 1 24 210 3 0.8 -0.7659 0.1714 0.1714 8 2 2 2 2 24 210 5 1.2 -1.5160 0.0305 0.0305 a 1 2 1 1 16 210 3 0.8 -1.2942 0.0508 0.0508 b 2 1 2 2 24 170 5 1.2 -1.4243 0.0376 0.0376


3.3-6 對數轉換的負面效果

對數轉換常常可以將變數分離，使得「加法模式」能夠準確地描述一個工程系

統。但是如果真實世界中，因子與反應值之間的關係已經是「變數分離」的關

係，那麼，取對數轉換後反而產生反效果，亦即「加法模式」反而失真。

實務上，我們通常無法事先知道工程系統的本質，而一律取對數轉換。

如果發現對數轉換後，加法模式無法精確地描述工程系統的行為，你大可以取

消對數轉換再試試看（重新進行資料分析），畢竟這只是簡單的計算工作，並

不增加實驗成本的。


數值實例

y(A,B) = A + B

表3.3-14 實驗數數據及反應值值

Exp. A B y = A+B η = log(y )1 1 1 2 0.301 2 1 1 2 0.301 3 1 2 3 0.477 4 1 2 3 0.477 5 2 1 3 0.477 6 2 1 3 0.477 7 2 2 4 0.602 8 2 2 4 0.602

Level 1 0.389 0.389 　 AveLevel 2 0.540 0.540 　 0.464

表33.3-15 預測測值及誤差

Exp. A B Pred. η y = 10η A+B Error1 1 1 0.314 2.0598 2 3.0%2 1 1 0.314 2.0598 2 3.0%3 1 2 0.464 2.9130 3 -2.9%4 1 2 0.464 2.9130 3 -2.9%5 2 1 0.464 2.9130 3 -2.9%6 2 1 0.464 2.9130 3 -2.9%7 2 2 0.615 4.1195 4 3.0%8 2 2 0.615 4.1195 4 3.0%

Section 3.4, Page 1


3.4-2 兩水準直交表實驗（L8）（2-Level Experiments with L8）

3.4-3 三水準直交表實驗（L27）（3-Level Experiments with L27）

3.4-4 混合水準直交表實驗（L18）（Mix-Level Experiments with L18）

第3.4節含交互作用的加法模式

Additive Models with Interactions

Section 3.4, Page 2

懸臂樑實例

′E = E1−kT

y =

CL3

E1−kTWH3 （3.4-1式）

log y = logC + 3logL − (1− kT ) logE − logW − 3logH

η = ηC + kT logE − logE − logW − 3logH + 3logL （3.4-2式）

E,W ,H,L

P = 1

Section 3.4, Page 3



表3.4-1 因子及其水準（22水準實驗）

Factor Description Level 1 Level 2

T Temperature (℃) 0 100

E Elastic modulus (GPa) 30 120

W Beam width (mm) 3 5

H Beam height (mm) 0.8 1.2L Beam length (mm) 16 24

表3.4-22 因子效效應及交互互作用的的理論值

　 T E TxE W H LEffect 0.717 -0.557 -0.045 -0.222 -0.528 0.528

Section 3.4, Page 4

W, H, L的因子效應


EW = − logW 2 + logW1= − log5 + log3 = −0.222EH = −3logH2 + 3logH1= −3log1.2 + 3log0.8 = −0.528EL = 3logL2 − 3logL1= 3log24 − 3log16 = 0.528

Section 3.4, Page 5

T的因子效應


ET = kT logE⎡⎣ ⎤⎦T1

T 2= k T2 −T1( ) logE

顯然地，T的因子效應依E而不同；我們先用平均值來計算，並稱之為T的「平均

因子效應」或「主因子效應」或簡稱因子效應：

ET = k T2 −T1( ) logE2 + logE12

= 0.0015 × 100 − 0( ) log120000 + log300002

= 0.717

Section 3.4, Page 6

T的因子效應隨E的改變量

ET = kT logE⎡⎣ ⎤⎦T1

T 2= k T2 −T1( ) logE

另一部份是隨E而改變的部份，稱為T與E間的交互作用，記為 ET ×E ，並定義為T

因子效應在E因子從E1變動到E2時的差異的一半，並取反號，亦即

ET ×E = −ET⎡⎣ ⎤⎦E =E 2

− ET⎡⎣ ⎤⎦E =E1

2

= −k(T2 −T1)logE2 − k(T2 −T1)logE1

2

= −0.0015 × 100 − 0( ) log120000 − log300002

= −0.045

Section 3.4, Page 7

E的因子效應


同樣地，E的因子效應是

EE = kT −1( ) logE⎡⎣ ⎤⎦E1

E 2= kT −1( ) logE2 − logE1( )

其中「主因子效應」是

EE = k T2 +T12

−1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

logE2 − logE1( )

= 0.0015 ×100 + 0

2−1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log120000 − log30000( )= −0.557

Section 3.4, Page 8

E的因子效應隨T的改變量

EE = kT −1( ) logE⎡⎣ ⎤⎦E1

E 2= kT −1( ) logE2 − logE1( )

而E與T間的交互作用，記為 EE ×T ，是E因子效應在T因子從T1變動到T2時的差異

的一半，並取反號，亦即

EE ×T = −EE⎡⎣ ⎤⎦T =T 2

− EE⎡⎣ ⎤⎦T =T1

2

= −kT2(logE2 − logE1) − kT1(logE2 − logE1)

2

= − 0.0015 ×100 − 0

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log120000 − log30000( )= −0.045

Section 3.4, Page 9

交互作用

比較 EE ×T 與 ET ×E ，我們得到一個很重要的結論：

ET ×E = EE ×T （3.4-3式）

此值稱為T與E的交互作用。


3.4-2 兩水準直交表實驗（L8）

表表3.4-33 L8(227)直交交表

　 T E TxE W H TxL LExp. 1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2

圖3.4-1 L8(27)點線圖


實驗數據

表表3.4-4 實實驗數據（L8直交交表實驗））

Exp. T E W H L y η1 0 30 3 0.8 16 0.3556 -0.449 2 0 30 5 1.2 24 0.2133 -0.671 3 0 120 3 0.8 24 0.3000 -0.523 4 0 120 5 1.2 16 0.0158 -1.801 5 100 30 3 1.2 24 1.6691 0.222 6 100 30 5 0.8 16 1.0014 0.001 7 100 120 3 1.2 16 0.1522 -0.818 8 100 120 5 0.8 24 1.0403 0.017

Ave = -0.503


因子反應分析

表33.4-5 因子反應表表（L8直交交表實驗驗）

　 T E TxE W H TxL L

Level 1 -0.861 -0.224 -0.480 -0.392 -0.239 -0.503 -0.767

Level 2 -0.144 -0.781 -0.525 -0.614 -0.767 -0.503 -0.239 Effect 0.717 -0.557 -0.045 -0.222 -0.528 0.000 0.528

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

T1 T2 E1 E2 (TxE)1 (TxE)2 W1 W2 H1 H2 (TxL)1 (TxL)2 L1 L2


因交互作用表/圖

表3.4-6 T與與E的交互互作用表表（L8直交交表實驗）

　 T1 T2E1 -0.560 0.112 E2 -1.162 -0.400

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

T1 T2

E1

E2


交互作用數值的意義

表3.4-5中，T與E的交互作用的計算程序類似於因子效應的計算，亦即

η(TxE )1 = −0.449 − 0.671− 0.818 + 0.017( ) 4 = −0.480

η(TxE )2 = −0.523 −1.801+ 0.222 + 0.001( ) 4 = −0.525

ETxE = η(TxE )2 −η(TxE )1 = −0.045

η(TxE )1及

η(TxE )2 的意義是什麼呢？

這兩個數值與交互作用表（表3.4-6）中的數值有什麼關係呢？



仔細將 η(TxE )1及

η(TxE )2 的數值（-0.480與-0.525）與交互作用表（表3.4-6）中的

數值作一比對，我們可以發現下列關係：

η(TxE )1 =ηT1E1 +ηT 2E 2

2i.e., − 0.480 =

−0.560 − 0.4002

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

η(TxE )2 =ηT1E 2 +ηT 2E1

2i.e., − 0.525 =

−1.162 + 0.1122

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

（3.4-4式）

交互作用則可以表示成

ETxE = η(TxE )2 −η(TxE )1

=ηT1E 2 +ηT 2E1

2−ηT1E1 +ηT 2E 2

2

= −12

ηT 2E 2 −ηT 2E1( ) − ηT1E 2 −ηT1E1( )⎡⎣ ⎤⎦

（3.4-5式）



前面提過，交互作用圖中，兩直線間的不平行程度代表交互作用的大小，不平

行的程度越大，代表交互作用越大。

兩直線間不平行的程度可以用兩直線端點的距離差來代表。

3.4-5式的意義就是兩直線間不平行的程度

在 T1 那一端，兩直線相差-0.602（ ηT1E 2 −ηT1E1 = -1.162 + 0.560），

在 T2 那一端，兩直線相差-0.512（ ηT 2E 2 −ηT 2E1 = -0.400 - 0.112），

兩者相差 -0.090（後者減前者並取反號），平均（亦即在中途點）相差

了-0.045，這個數值就是本例中T與E的交互作用數值。

結論是：因子反應表中的交互作用數值（-0.045）代表交互作用圖上直線的不

平行程度，更精確的定義則以3.4-5式來表示。


帶有交互作用的實驗模式

當兩個因子間存在著交互作用時，其因子效應需要包含它們之間的交互作用。

本例中，實驗模式可以寫成如下的形式

η(Ti,Ej,Wk,Hm,Ln) = η + ηTiEj −η( ) + ηWk −η( ) + ηHm −η( ) + ηLn −η( )= ηTiEj +ηWk +ηHm +ηLn − 3η

（3.4-6式）

嚴格來說，3.4-6式不能稱之為「加法模式」（加法模式定義在3.2-6小節），

但是在本書中，我們將之稱為「帶有交互作用的加法模式」。


實驗模式與理論公式的比較

表表3.4--7 實實驗模模式（3.4--6式）與理論論公式式（3.4-1式）的的比較

Exp. T E W H L T E W H L η y 3.4-1式1 1 1 1 1 1 0 30 3 0.8 16 -0.449 0.3556 0.3556 2 1 1 2 2 2 0 30 5 1.2 24 -0.671 0.2133 0.2133 3 1 2 1 1 2 0 120 3 0.8 24 -0.523 0.3000 0.3000 4 1 2 2 2 1 0 120 5 1.2 16 -1.801 0.0158 0.0158 5 2 1 1 2 2 100 30 3 1.2 24 0.222 1.6691 1.6691 6 2 1 2 1 1 100 30 5 0.8 16 0.001 1.0014 1.0014 7 2 2 1 2 1 100 120 3 1.2 16 -0.818 0.1522 0.1522 8 2 2 2 1 2 100 120 5 0.8 24 0.017 1.0403 1.0403 a 1 1 1 2 1 0 30 3 1.2 16 -0.977 0.1053 0.1053 b 1 2 2 1 2 0 120 5 0.8 24 -0.745 0.1800 0.1800 c 2 1 1 1 2 100 30 3 0.8 24 0.751 5.6331 5.6331 d 2 2 2 2 1 100 120 5 1.2 16 -1.039 0.0913 0.0913

η(T1,E1,W1,H1,L1) = ηT1E1 +ηW 1 +ηH1 +ηL1 − 3η= −0.560 − 0.392 − 0.239 − 0.767 + 3 × 0.503= −0.449


沒有考慮交互作用所造成的誤差

η(Ti,Ej,Wk,Hm,Ln) = η + ηTi −η( ) + ηEj −η( )+ ηWk −η( ) + ηHm −η( ) + ηLn −η( )= ηTi +ηEj +ηWk +ηHm +ηLn − 4η

（3.4-7式）

η(T1,E1,W1,H1,L1) = ηT1 +ηE1 +ηW 1 +ηH1 +ηL1 − 4 ×η= −0.861− 0.224 − 0.392 − 0.239 − 0.767 + 4 × 0.503= −0.472


L8(27)直交表的自由度討論

當L8(27)直交表實驗中，8次的實驗結果讓我們獲得8個獨立的實驗數據。所有

衍生的資料都是由這8個獨立的實驗數據所計算的，所以它們的總自由度必定

不會超過8。

本例中，下列8個計算結果是獨立的：表3.4-5中的7個因子效應及交互作用，

以及表3.4-4最下一列的總平均值。

一般而言，每一個2水準的因子效應必須佔用1個自由度，而每一個2水準間的

交互作用也必須佔用1個自由度，再加上總平均值也必須佔用1個自由度。


3.4-3 三水準直交表實驗（L27）

表3.4-9 因子及其水準準（3水準準實驗）

Factor Description Level 1 Level 2 Level 3T Temperature (℃) 0 50 100E Elastic modulus (GPa) 30 60 120W Beam width (mm) 3 4 5H Beam height (mm) 0.8 1.0 1.2 L Beam length (mm) 16 20 24


因子配置


實驗數據


因子反應分析

表33.4-122 因子子反應表表（L277直交表表實驗驗）

　 T E TxE TxE W TxW TxW H TxH TxH L TxL TxL　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Level 1 -0.866 -0.229 -0.500 -0.492 -0.392 -0.507 -0.507 -0.234 -0.507 -0.507 -0.780 -0.507 -0.507 Level 2 -0.507 -0.507 -0.500 -0.515 -0.517 -0.507 -0.507 -0.525 -0.507 -0.507 -0.490 -0.507 -0.507 Level 3 -0.149 -0.786 -0.522 -0.515 -0.614 -0.507 -0.507 -0.763 -0.507 -0.507 -0.252 -0.507 -0.507

E1→2 0.358 -0.278 0.000 -0.023 -0.125 0.000 0.000 -0.291 0.000 0.000 0.291 0.000 0.000 E2→3 0.358 -0.278 -0.023 0.000 -0.097 0.000 0.000 -0.238 0.000 0.000 0.238 0.000 0.000 Total 0.717 -0.557 -0.023 -0.023 -0.222 0.000 0.000 -0.528 0.000 0.000 0.528 0.000 0.000

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

T1 T2 T3 E1 E2 E3 W1 W2 W3 H1 H2 H3 L1 L2 L3


交互作用表/圖

表3.4-133 T與E的的交互作作用表（LL27直交表表實驗）

　 T1 T2 T3E1 -0.565 -0.229 0.107 E2 -0.866 -0.507 -0.149 E3 -1.167 -0.786 -0.405

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

T1 T2 T3

E1 E2 E3


實驗模式

η(Ti,Ej,Wk,Hm,Ln) = η + ηTiEj −η( ) + ηWk −η( ) + ηHm −η( ) + ηLn −η( )= ηTiEj +ηWk +ηHm +ηLn − 3η

（3.4-8式）

其中 i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3; m = 1, 2, 3;n = 1, 2, 3;

譬如第1組實驗：

η(T1,E1,W1,H1,L1) = ηT1E1 +ηW 1 +ηH1 +ηL1 − 3η= −0.565 − 0.392 − 0.234 − 0.780 + 3 × 0.507= −0.449


L27(313)直交表的自由度討論

L27(313)直交表實驗中，27次的實驗結果讓我們獲得27個獨立的實驗數據，總

共提供了27個自由度。

總平均值佔用1個自由度後，還有26個自由度。每一個3水準的因子效應必須佔

用2個自由度，因為必須以兩個數據來描述一個3水準的因子效應，亦即 E1→2

及 E 2→3 。

一般而言，一個L水準的因子效應必須佔用(L – 1)個自由度。

兩個3水準因子間的交互作用佔用4個自由度，因為必須有4個數據來描述這6個

線段之間的平行程度。注意，這就是兩個3水準因子間的交互作用必須佔用兩

個直行的原因（一個直行提供2個自由度）。

一個L水準的因子與另一個M水準的因子間的交互作用必須佔用(L – 1)x(M – 1)

個自由度。


3.4-4 混合水準直交表實驗（L18）

表表3.4-15 因子及其水準（混合水水準實驗）

Factor Description Level 1 Level 2 Level 3E Elastic modulus (GPa) 30 120 　

T Temperature (℃) 0 50 100W Beam width (mm) 3 4 5H Beam height (mm) 0.8 1.0 1.2 L Beam length (mm) 16 20 24


L18(21x37)直交表

及因子配置

表表3.4--16 LL18(21xx37)直直交表

　 E T W H L 　　　

Exp. 1 2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 2 2 2 2 2 23 1 1 3 3 3 3 3 34 1 2 1 1 2 2 3 35 1 2 2 2 3 3 1 16 1 2 3 3 1 1 2 27 1 3 1 2 1 3 2 38 1 3 2 3 2 1 3 19 1 3 3 1 3 2 1 2

10 2 1 1 3 3 2 2 111 2 1 2 1 1 3 3 212 2 1 3 2 2 1 1 313 2 2 1 2 3 1 3 214 2 2 2 3 1 2 1 315 2 2 3 1 2 3 2 116 2 3 1 3 2 3 1 217 2 3 2 1 3 1 2 318 2 3 3 2 1 2 3 1


L18(21x37)直交表的自由度討論

L18(21x37)直交表（表3.4-16）實驗中，18次的實驗提供了18個自由度。

8個直行總共是15個自由度（ 1+ 2 × 7 = 15 ），剩下2個自由度。事實上，L18

(21x37)直交表的8個直行並沒有利用到全部的18個數據。

L18(21x37)的點線圖顯示，只有第1, 2行間的交互作用是可以評估的（其它行之

間並沒有「線」將它們連接），這個交互作用佔用2個自由度（2水準因子與3

水準因子間的交互作用佔用 (2 −1) × (3 −1) = 2 個自由度），但是點線圖並沒有

標出這個交互作用所相對的行號。事實上，這個交互作用並不相對任何行號，

這2個自由度就是前面所說的「剩下」的2個自由度！雖然它們並不相對任何行

號，但是我們可以用交互作用表的方法來評估交互作用。


實驗數據

表表3.4-177 實驗數數據（L18直交交表實驗）

　 E T W H L 　　

Exp. 1 2 3 4 5 y η1 30 0 3 0.8 16 0.3556 -0.449 2 30 0 4 1.0 20 0.2667 -0.574 3 30 0 5 1.2 24 0.2133 -0.671 4 30 50 3 0.8 20 1.5046 0.177 5 30 50 4 1.0 24 0.9984 -0.001 6 30 50 5 1.2 16 0.1370 -0.863 7 30 100 3 1.0 16 0.8546 -0.068 8 30 100 4 1.2 20 0.7244 -0.140 9 30 100 5 0.8 24 3.3799 0.529

10 120 0 3 1.2 24 0.0889 -1.051 11 120 0 4 0.8 16 0.0667 -1.176 12 120 0 5 1.0 20 0.0533 -1.273 13 120 50 3 1.0 24 0.3693 -0.433 14 120 50 4 1.2 16 0.0475 -1.323 15 120 50 5 0.8 20 0.2504 -0.601 16 120 100 3 1.2 20 0.2973 -0.527 17 120 100 4 0.8 24 1.3003 0.114 18 120 100 5 1.0 16 0.1578 -0.802

Ave = -0.507


因子反應分析

表3.4-188 因子反反應表（LL18直交表表實驗）

　 E T W H L 　　　

　 1 2 3 4 5 6 7 8Level 1 -0.229 -0.866 -0.392 -0.234 -0.780 -0.507 -0.507 -0.507 Level 2 -0.786 -0.507 -0.517 -0.525 -0.490 -0.507 -0.507 -0.507 Level 3 　 -0.149 -0.614 -0.763 -0.252 -0.507 -0.507 -0.507

E1→2 -0.557 0.358 -0.125 -0.291 0.291 0.000 0.000 0.000 E2→3 　 0.358 -0.097 -0.238 0.238 0.000 0.000 0.000 E1→3 　 0.717 -0.222 -0.528 0.528 0.000 0.000 0.000

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

E1 E2 T1 T2 T3 W1 W2 W3 H1 H2 H3 L1 L2 L3


交互作用表/圖

表3.4-119 T與EE的交互作作用表（L18直交表實實驗）

　 T1 T2 T3E1 -0.565 -0.229 0.107 E2 -1.167 -0.786 -0.405

-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2

T1 T2 T3

E1 E2


實驗模式

實驗模式基本上和3.4-8式是類似的，但是因子順序及下標的範圍必須做一些修

改：

η(Ei,Tj,Wk,Hm,Ln) = η + ηEiTj −η( ) + ηWk −η( ) + ηHm −η( ) + ηLn −η( )= ηEiTj +ηWk +ηHm +ηLn − 3η

（3.4-9式）

其中 i = 1, 2; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3; m = 1, 2, 3;n = 1, 2, 3 。

譬如第1組實驗：

η(E1,T1,W1,H1,L1) = ηE1T1 +ηW 1 +ηH1 +ηL1 − 3η= −0.565 − 0.392 − 0.234 − 0.780 + 3 × 0.507= −0.449

Section 3.5, Page 1

3.5-1 直交表（Orthogonal Arrays）

3.5-2 交互作用表（Interaction Tables）

3.5-3 點線圖（Linear Graphs）

3.5-4 因子效應及交互作用間的混淆（Confounding）

3.5-5 直交表實驗的解析度（Resolutions）

3.5-6 簡易的直交表修改方法（Modification of Orthogonal Arrays）

第3.5節直交表概觀

Overview of Orthogonal Arrays

Section 3.5, Page 2

引言

2水準的直交表：L4(23), L8(27), L12(211), L16(215), L32(231)

3水準為主的直交表：L9(34), L18(21×37), L27(313), L36(23×313), L36(211×312),

L54(21×325)

4水準為主的直交表：L16(45), L32(21×49)

5水準為主的直交表：L25(56), L50(21×511)

Section 3.5, Page 3

3.5-1 直交表（Orthogonal Arrays）

2水準直交表包括L4(23), L8(27), L12(211), L16(215), L32(231)等：

此外，被本書歸類到3水準為主的直交表L36(211×312)包含有11個2水準的直

行，必要的話亦可以用來進行以2水準為主的直交表實驗。

二水準直交表

Section 3.5, Page 4

L4(23) 直交表

表AA.1-1 LL4(23) 直直交表及點線線圖

Exp. 1 2 31 1 1 12 1 2 23 2 1 24 2 2 1

Section 3.5, Page 5

L8(27) 直交表

表A.1-2 L88(27) 直直交表表及點線線圖

Exp. 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2

Section 3.5, Page 6

L12(211) 直交表

表A.1-3 L12(2211) 直直交表

Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 23 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 24 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 25 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 16 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 17 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 18 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 29 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 211 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 212 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1

Section 3.5, Page 7

L16(215) 直交表

表表A.1-4 L16(2215) 直直交表表及點線線圖

Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 23 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 24 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 15 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 26 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 17 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 18 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 29 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

10 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 111 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 112 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 213 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 114 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 215 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 216 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

Section 3.5, Page 8

L32(231) 直交表

Section 3.5, Page 9

篩選實驗/干擾實驗

除了作為一般主實驗外，2水準的直交表常被利用來做「篩選實驗」（screen

experiments）及「干擾實驗」（noise experiments）。

當你要從許多因子中，篩選出比較重要的因子時，可以進行「篩選實驗」。

當你要將幾個干擾因子複合（compound）成單一的干擾因子時，可以進行

「干擾實驗」。

這種實驗通常只取2個水準值，而且大部份的情況下忽略交互作用。

2水準直交表也常被用來做為「外直交表」（outer arrays）。


內外直交表


純2水準的直交表

直交表L4(23), L8(27), L16(215), L32(231)稱為「純」2水準的直交表，因為它們都

符合 Ln(2n−1) 的形式，其中 n = 2p 。

這種直交表的特點是讓你可以進行「全因子實驗」。

一個 Ln(2n−1) 的直交表，其中 n = 2p ，可以讓你評估p個因子效應及所有交互作

用，包含2因子間及2個以上因子間的交互作用。

譬如L8(27) 直交表可以評估3個因子（A, B, C）的因子效應、2因子間的交互作

用（AxB, BxC, CxA）、以及3因子間的交互作用（AxBxC）。


L12(211) 直交表

直交表L12(211)不符合 n = 2p 的形式，所以不稱之為「純」2水準直交表；

其主要的特點是它只能用來評估因子效應，而不能評估任何因子間的交互作用

（注意，L12(211)並沒有任何點線圖）。

其實驗次數介於L8與L16之間，是很有用的直交表。

此外L12(211)也是屬於「分散交互作用」的直交表。


飽和直交表/飽和直交表實驗

上述所有2水準直交表都符合 Ln(2n−1) 的形式，所以這些直交表稱為「飽和直交

表」（saturated orthogonal arrays），意思是所有自由度都被充分利用了。

n個實驗數據提供了n個自由度，而每個2水準的直行都佔用了1個自由度，n –

1行就佔了n – 1個自由度，再加上總平均值，剛好是n個自由度。

請區分「飽和直交表」與「飽和直交表實驗」，前者是直交表的性質，後者是

實驗的性質。

如果你將一個飽和直交表填滿了控制因子，所進行的實驗稱為飽和直交表實

驗；如果使用一個非飽和直交表進行實驗，或是直行並沒有被控制因子填滿，

都不是飽和直交表實驗。


三水準為主的直交表

以3水準為主的直交表包括L9(34), L18(21×37), L27(313), L36(23×313), L36(211×312),

L54(21×325)等。

一般「主實驗」（非篩選實驗或干擾實驗）常用3水準為主的直交表，尤其是

因子與反應值（S/N比或品質特性）呈現非線性關係時，必須利用3水準（或更

多水準）實驗來掌握這種非線性關係，特別是非單調函數關係。


L9(34) 直交表

表A.2--1 L9(334) 直交交表及點點線圖

Exp. 1 2 3 41 1 1 1 12 1 2 2 23 1 3 3 34 2 1 2 35 2 2 3 16 2 3 1 27 3 1 3 28 3 2 1 39 3 3 2 1


L18(21x37) 直交表表A.22-2 L18(21××37) 直直交表及點線線圖

Exp. 1 2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 2 2 2 2 2 23 1 1 3 3 3 3 3 34 1 2 1 1 2 2 3 35 1 2 2 2 3 3 1 16 1 2 3 3 1 1 2 27 1 3 1 2 1 3 2 38 1 3 2 3 2 1 3 19 1 3 3 1 3 2 1 2

10 2 1 1 3 3 2 2 111 2 1 2 1 1 3 3 212 2 1 3 2 2 1 1 313 2 2 1 2 3 1 3 214 2 2 2 3 1 2 1 315 2 2 3 1 2 3 2 116 2 3 1 3 2 3 1 217 2 3 2 1 3 1 2 318 2 3 3 2 1 2 3 1


L27(313) 直交表


L36(23x313) 直交表


L36(211x312) 直交表


L54(21x325) 直交表


純3水準的直交表

直交表L9(34), L27(313)稱為「純」3水準的直交表，因為它們都符合 Ln(3(n−1) 2)

的形式，其中 n = 3p 。

這種「純」3水準直交表的特點是讓你可以進行3水準的「全因子實驗」。

一個 Ln(3(n−1) 2) 的直交表，其中 n = 3p ，可以讓你評估p個因子效應及所有交互

作用，包含2因子間及2個以上因子間的交互作用。

譬如L27(313)直交表可以評估3個因子（A, B, C）的因子效應、2因子間的交互

作用（AxB, BxC, CxA）、以及3因子間的交互作用（AxBxC）。


飽和的3水準直交表

「純」3水準的直交表都符合 Ln(3(n−1) 2) ，所以都是屬於「飽和直交表」。

因為每個3水準的直行都佔用了2個自由度， (n −1) 2 行就佔了n – 1個自由度，

再加上總平均值，剛好是n個自由度。


混合水準直交表

它們都是「不飽和直交表」（L36(211×312)例外）。

它們主要是用來評估主因子效應，而只能評估少數的交互作用。

它們（以及L12(211)）都屬於「分散交互作用」（distributed interactions）的直

交表。

表3.5-2 混合水水準直交表表

Name of orthogonal array L18(21×37) L36(23×313) L36(211×312) L54(21×325) L32(21×49) L50(21×511)

Total DOF's 18 36 36 54 32 50

DOF's occupied by columns

1+2x7= 15

3+2x13= 29

11+2x12= 35

1+2x25= 51

1+3x9= 28

1+4x11= 45

DOF's for grand average 1 1 1 1 1 1

Remaining DOF's 2 6 0 2 3 4


分散交互作用直交表

交互作用行和所有其它直行（3-11行）都是「部份直交」（partially

orthogonal），這表示交互作用被分散到各行了，讓各因子效應保留了相對大

小。

表33.5-3 分散交交互作作用的直直交表表（L12）

Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1x21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 23 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 24 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 15 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 16 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 17 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 18 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 19 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 211 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 212 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2


Highly Recommended Arrays

”L12, L18, L36, and L54 arrays are among a group of specially designed arrays

that enable the practitioner to focus on main effects. Such an approach helps to

increase the efficiency and reproducibility of small scale experimentation as

developed by Dr. Taguchi. These arrays are, therefore, highly recommended for

use, and the L18 is the most widely used array at AT&T Bell Laboratories, Xerox

Corporation, ITT, and other corporations.”


四水準及五水準為主的直交表

直交表Ln(ab)稱為「純」a水準的直交表，如果它符合 Ln(a(n−1) (a−1)) 的形式，其

中 n = ap ，譬如L16(45)及L25(56)。

一般而言，3水準的直交表實驗常常已經足夠了，但是如果因子數目很少，而

且你想進行更精確的實驗，或者欲掌握非線性行為，才需要4, 5水準的直交

表。

實務上，較常有的情況是：大部份的因子使用3水準，少數（1個或2個）因子

需要更多水準。這時更有效率的方法是修改現有的直交表來符合需要。


3.5-2 交互作用表（Interaction Tables）

附錄A中列出2個交互作用表：表A.1-6及表A.2-7，前者適用於「純」2水準的

直交表實驗，後者適用於「純」3水準的直交表實驗。

雖然建構一個「純」4, 5水準的交互作用表當然也是可能的，但是因為使用的

機會不多，偶爾需要的時候，參考點線圖就可以了。

其它「混合水準」的直交表實驗則沒有類似的交互作用表可供參考。


純2水準

交互作用表


純3水準

交互作用表


交互作用表應用實例

表3.5-4 因子及交互互作用之之配置例例子

　 A B AxB C AxC BxC AxBxCExp. 1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2


交互作用表的其它注意事項

一般而言，一個L水準的因子與另一個M水準的因子間的交互作用必須佔用

(L −1) × (M −1)個自由度。

兩個因子間的交互作用行有特定的行號（1行或2行）與之對應，但是某一行號

可以是很多種因子組合的交互作用。

大部份的時候，點線圖能夠讓你更有效率地進行因子配置。


3.5-3 點線圖（Linear Graphs）

點線圖事實上是交互作用表的圖形表示方式，但是比交互作用表要方便的多。

尤其是沒有交互作用表可以參照時，可以利用點線圖來獲得同樣的資訊。

點線圖中的「點」所標註的行號可以讓你配置控制因子，而「線」上所標註的

行號可以讓你評估控制因子間的交互作用。

點線圖中若是兩點間有直線相連，但沒有標上號碼時，表示不在直交表中。


3.5-4 因子效應及交互作用間的混淆（Confounding）

假設我們有A, B, C三個因子要配置在L8直交表中（或任何純2水準直交表）。

如果A, B, C分別配置在第1, 2, 3行會怎麼樣呢？答案是：因為C與A×B共用一

行，第3行所計算得到的效應是C的因子效應與A×B的效應的總和，換句話說，

C與A×B的效應「混淆」（confound）在一起了。


數值實例表3.5-5 因子子配置（因子效應應及交互互作用混混淆的例例子）

　 T E W H L 　　Exp. 1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2

表3.5-6 實實驗數據據（因子子效應及交互互作用混淆的的例子）

Exp. T E W H L y η1 0 30 3 0.8 16 0.3556 -0.449 2 0 30 3 1.2 24 0.3556 -0.449 3 0 120 5 0.8 16 0.0533 -1.273 4 0 120 5 1.2 24 0.0533 -1.273 5 100 30 5 0.8 24 3.3799 0.529 6 100 30 5 1.2 16 0.2967 -0.528 7 100 120 3 0.8 24 1.7338 0.239 8 100 120 3 1.2 16 0.1522 -0.818

Ave = -0.503


數值實例

表3.5-77 因子反應應表（因子效效應及交互作作用混淆的例子）

　 T E W H LLevel 1 -0.861 -0.224 -0.369 -0.239 -0.767 Level 2 -0.144 -0.781 -0.636 -0.767 -0.239 Effect 0.717 -0.557 -0.267 -0.528 0.528

表3.4-22 因子效效應及交互互作用的的理論值

　 T E TxE W H LEffect 0.717 -0.557 -0.045 -0.222 -0.528 0.528


因子效應及交互作用混淆的例子

表表3.5-8 因子效效應及交交互作作用混淆淆的例子子

　 T E W H L 　　

　 ExW TxW TxE TxL TxH ExH ExL　 HxL 　　　　 WxL WxH

Exp. 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2


3.5-5 直交表實驗的解析度（Resolutions）

當有些交互作用和因子效應混淆時，我們說，此直交表實驗有「三級解析度」

（resolution III）。

當所有交互作用都沒有和因子效應混淆，但是有些交互作用和其它交互作用混

淆時，我們說，此直交表實驗有「四級解析度」（resolution IV）。

當所有交互作用都沒有和任何因子效應或其它交互作用混淆時，我們說，此直

交表實驗有「五級解析度」（resolution V）。

上述定義中，交互作用是指二因子間的交互作用。


三解析度（Resolution III）

當有些交互作用和因子效應混淆時，我們說，此直交表實驗有「三級解析度」

（resolution III）。

飽和直交表實驗都是三級解析度實驗。

表3.5-99 三級解解析度的例例子

A B C D E F G

L8(27)B×C A×C A×B B×F A×D B×D A×F

L8(27) D×E D×F D×G C×G B×G C×E B×EF×G E×G E×F 　 C×F 　 C×D

Column no. 1 2 3 4 5 6 7


四解析度（Resolution IV）

當所有交互作用都沒有和因子效應混淆，但是有些交互作用和其它交互作用混

淆時，我們說，此直交表實驗有「四級解析度」（resolution IV）。

表3.5-10 四級解解析度的例子

A B 　 C 　　 DL8(27) 　　 AxB 　 AxC BxC 　

　　 C×D 　 B×D A×D 　

Column no. 1 2 3 4 5 6 7


五解析度（Resolution V）

當所有交互作用都沒有和任何因子效應或其它交互作用混淆時，我們說，此直

交表實驗有「五級解析度」（resolution V）。

表3.5-11 五級解解析度的例子

L8(27)A B 　 C 　　　L8(27)　　 AxB 　 AxC BxC 　

Column no. 1 2 3 4 5 6 7


為什麼需要不同解析度實驗？

五級解析度的直交表實驗讓我們可以計算因子效應和交互作用。

四級解析度的直交表實驗只能讓我們計算因子效應但無法計算交互作用。

三級解析度的直交表實驗只有在交互作用可以忽略下才有意義。


純2水準實驗的因子配置表

表A.1-7 純二水準直交表實驗的因子配置及其解析度

　 Number of Columns used 　

OA Factors (Numbers in parentheses may be in any order) Resolution

L41-2 1, 2 V

L4 3 1, 2, 3 III1-3 1, 2, 4 V

L8 4 1, 2, 4, 7 IV5-7 1, 2, 4, 7, (3, 5, 6) III1-4 1, 2, 4, 8 V

L165 1, 2, 4, 8, 15 V

L16 6-8 1, 2, 4, 7, 8, (11, 13, 14) IV9-15 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, (3, 5, 6, 9, 10, 12, 15) III1-5 1, 2, 4, 8, 16 V6 1, 2, 4, 8, 16, 31 V

L32 7-16 1, 2, 4, 8, 16, 31, (7, 11, 13, 14, 19, 21, 22, 25, 26, 28) IV17-31 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, III

　 (3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30) 　

註：本表轉載自Ref. 29, Table D-3


純3水準實驗的因子配置表

表A.2--8 純三水準直交表實驗的因子配置及其解析度度

　 Number of Columns used 　

OA Factors (Numbers in parentheses may be in any order) Resolution

L91-2 1, 2 V

L93-4 (1, 2, 3, 4) III

1-3 1, 2, 5 V

L27 4 1, 2, 5, (9, 10, 12, 13) IV

5-13 1, 2, 3, 4, 5, (6-13) III

註：本表轉載自Ref. 29, Table D-4


3.5-6 簡易的直交表修改方法

在有些情況下，附錄A所提供的直交表並不能完全適用，這時可以經由適當地

修改這些「標準直交表」來適應特定的應用。

本小節介紹幾種修改直交表的簡易方法，更進階的直交表理論將在第7章介

紹。

特別要注意的是，有些修改後的直交表會失去了直交性，但是還是具有一定的

實用性。


行的合併（Merge of Columns）

表3.5-112 行的合併併例子

第1行水準第2行水準新的水準

1 1 11 2 22 1 32 2 4

表3.5-13 L8(441×24))直交交表

Exp. 1 4 5 6 71 1 1 1 1 12 1 2 2 2 23 2 1 1 2 24 2 2 2 1 15 3 1 2 1 26 3 2 1 2 17 4 1 2 2 18 4 2 1 1 2


虛水準（Dummy Levels）

表3.55-14 含虛虛水準的的實驗

Exp. A B C D y1 1 1 1 1 14.0 2 1 2 2 2 3.5 3 1 3 3 3 0.5 4 2 1 2 3 6.5 5 2 2 3 1 5.5 6 2 3 1 2 13.0 7 1 1 3 2 5.5 8 1 2 1 3 9.5 9 1 3 2 1 1.0

Level 1 5.67 8.67 12.17 6.83 　

Level 2 8.33 6.17 3.67 7.33 　

Level 3 　 4.83 3.83 5.50 　


行的拆解（Decomposition of Columns）

表3.5--15 行的的拆解

Exp. A B C D E y1 1 1 1 1 1 32 1 1 2 2 2 83 1 1 3 3 3 124 2 1 1 2 3 65 2 1 2 3 1 116 2 1 3 1 2 17 2 2 1 3 2 168 2 2 2 1 3 69 2 2 3 2 1 12

Level 1 7.67 6.83 8.33 3.33 8.67 　

Level 2 8.67 11.33 8.33 8.67 8.33 　

Level 3 　　 8.33 13.00 8.00 　

水準1 = A1 B1

水準2 = A2 B1

水準3 = A2 B2

第3章 直交表實驗 experiments with orthogonal...

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