Mechanika je veda, ktorá sa zaoberá zmenou vzájomnej polohy telies ako celkov, alebo ich

častí, ktoré sa prejavujú ako mechanický pohyb a zaoberá sa aj príčinami vzniku pohybu.

Newtonova mechanika je považovaná za klasickú mechaniku. Mechanika sa rozdeľuje na

mechaniku pevných telies, mechaniku kvapalín a mechaniku plynov (geomechanika,

hydromechanika a aeromechanika).Z hľadiska hodnotenia pohybu sa mechanika rozdeľuje na

statiku, kinematiku a dynamiku. Statika sa zaoberá rovnováhou telies. Kinematika sa zaoberá

štúdiom pohybu, ale neskúma jeho príčiny. Dynamika sa zaoberá štúdiom príčin pohybu.

Mechanickým pohybom telesa rozumieme proces, pri ktorom sa mení poloha telesa vzhľadom

na iné teleso resp. na vzťažný bod.

Vzťažný bod – je bod, vzhľadom na ktorý vzťahujeme polohu telesa. Typickým

vzťažným bodom je začiatok súradnicovej sústavy.

Pri teoretickom štúdiu mechanického pohybu často krát zjednodušujeme charakter

pohybujúceho sa telesa a zavádzame abstraktný pojem – hmotný bod.

Hmotný bod – je idealizáciou skutočnosti a rozumieme ním teleso, ktorého rozmery

možno vzhľadom na ostatné rozmery pri študovanom pohybe zanedbať. Z hľadiska

vzájomného pôsobenia s inými hmotnými bodmi má vlastnosti reálneho telesa, ale sú

u neho zanedbané znaky dĺžkovej, priestorovej orientácie, tvaru a všetkých ostatných

kvalít, ktoré sa pri vyšetrovaní mechanického pohybu neprejavujú. Napríklad pri

pohybe Zeme okolo Slnka možno považovať Zem za hmotný bod, pretože polomer

Zeme je zanedbateľne malý vzhľadom k vzdialenosti medzi Slnkom a Zemou. Záleží

však na presnosti akú chceme pri vyšetrovaní pohybu dosiahnuť, a na úlohe, ktorú

máme riešiť, kedy môžeme pohybujúce sa teleso nahradiť hmotným bodom.

Trajektória – je geometrická čiara, ktorú opíše teleso resp. hmotný bod pri svojom

pohybe.

Dráha (označenie s) – predstavuje dĺžku trajektórie a spravidla sa uvádza v metroch.

3.1 Kinematika hmotného bodu

Kinematika sa zaoberá charakteristikou pohybu, pričom popisuje jednotlivé druhy pohybov

pomocou fyzikálnych veličín ako sú dráha, rýchlosť a zrýchlenie.

3.1.1 Druhy pohybu

Pohyb telesa je charakterizovaný sústavou dráh jeho jednotlivých bodov, ktoré sa ale môžu

líšiť. Pohyb telesa je možný len pomocou dráh jeho bodov. Namiesto toho aby sme hovorili

o geometrických bodoch, čo by k popisu pohybu stačilo, horíme o hmotných bodoch, ktoré

zohľadňujú aj vzájomné pôsobenie telies, teda príčinu pohybu.

3 Mechanika a mechanický pohyb

Pohyby delíme podľa viacerých kritérií:

c) Podľa tvaru trajektórie

Priamočiary – trajektóriou je priamka.

Krivočiary – trajektóriou je krivka. Špeciálnym prípadom krivočiareho pohybu je

pohyb po kružnici.

d) Podľa povahy rýchlosti pohybu

Rovnomerný – teleso prejde za rovnaký čas rovnakú dráhu a rýchlosť pohybu je

konštantná.

Nerovnomerný – rýchlosť pohybu telesa sa v čase mení. Môžu však nastať dva

prípady:

- Rýchlosť telesa sa mení v čase rovnomerne (rýchlosť v čase rovnomerne

rastie resp. klesá), pohyb sa potom nazýva rovnomerne zrýchlený resp.

rovnomerne spomalený.

- Rýchlosť telesa sa mení v čase nerovnomerne.

3.2 Poloha hmotného bodu

Polohu hmotného bodu vzhľadom na vzťažný bod určuje polohový vektor 𝑟. Pri

mechanickom pohybe hmotného bodu sa mení jeho poloha vzhľadom na vzťažný bod.

Problematika určenia polohy hmotného bodu vzhľadom na vzťažný bod má preto pri popise

pohybového stavu hmotného bodu prvoradý význam.

3.2.1 Polohový vektor

Poloha hmotného bodu M vzhľadom na od O je určená polohovým vektorom 𝑟, ktorého

začiatok je v bode O a koncovým bodom je M (viď. obr. 4, 5). Ak súradnice bodu M

označíme ako x, y, z a jednotkové vektory v smere jednotlivých súradnicových osí označíme

𝑖, 𝑗, 𝑘 , kde 𝑖 je jednotkový vektor v smere osi x-ovej, 𝑗 - je jednotkový vektor v smere osi y-

ovej a �� je jednotkový vektor v smere osi z-ovej, tak polohový vektor r

vieme vyjadriť ako

lineárnu kombináciu súradníc x, y, z a jednotkových vektorov v smere jednotlivých

súradnicových osí nasledovne:

Obrázok 4 Znázornenie jednotkových vektorov v smere súradnicových osí

�� = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧��

Pre jednotkové vektory v smere jednotlivých súradnicových osí platí:

|𝑖| = |𝑗| = |��| = 1

Obrázok 5 Znázornenie polohy hmotného bodu M v súradnicovej sústave

Pre veľkosť polohového vektora potom platí:

|𝑟| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Poloha hmotného bodu sa posudzuje vždy vzhľadom na vzťažný bod. Orientáciu polohového

vektora môžeme zadefinovať aj pomocou smerových kosínusov Obr.6,

Obrázok 6 Stanovenie smerových kosínusov

ktoré sa často využívajú v technickej praxi pri stanovení polohy telesa v priestore. Smerové

kosínusy sú dané vzťahmi:

cos 𝛼 = 𝑥

|𝑟|=

𝑥

√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 ;

cos 𝛽 = 𝑦

|𝑟|=

𝑦

√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 ;

cos 𝛾 = 𝑧

|𝑟|=

𝑧

√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 .

3.3 Okamžitá rýchlosť hmotného bodu

Pohyb bodu bude úplne popísaný, keď poznáme pre každý čas t jeho polohu, teda keď sú dané

súradnice pohybu bodu ako spojité funkcie času:

x = x(t), y = y (t), z = z(t) a 𝑟 = 𝑟 (𝑡).

Pri popise pohybu pomocou kinematiky sa ku trom premenným súradniciam x, y a z, teda

k polohovému vektoru 𝑟, ktoré určujú polohu telesa alebo hmotného bodu vzhľadom

k zvolenej súradnicovej sústave, pristupuje ďalšia premenná čas t. Ak bol hmotný bod v čase

t1 v polohe B a v čase t2 v polohe C (Obr. 7), potom prešiel za čas t = t2 - t1 istú, vo

všeobecnosti krivočiaru dráhu, ktorej dĺžka meraná pozdĺž dráhy s je daná vzťahom s = s2 -

s1, pričom s2 a s1 sú vzdialenosti bodov B a C od ľubovoľného bodu A na dráhe merané

pozdĺž dráhy.

Obrázok 7 Pohyb hmotného bodu

Potom vzťah:

𝑣12 = 𝑠2− 𝑠1

𝑡2− 𝑡1=

∆ 𝑠

∆ 𝑡 ,

určuje strednú rýchlosť bodu medzi polohami B a C (Obr. 7).

Obrázok 8 Stredná rýchlosť hmotného bodu

Podiel ∆𝑠

∆𝑡 geometricky udáva smernicu dotyčnice (Obr. 8),

Obrázok 9 Smernica dotyčnice k dráhe s

k funkcii dráhy s(t), pričom platí:

tg 𝛼 = ∆𝑠

∆𝑡

Ak zmenšujeme interval t, zmenšuje sa aj interval s, takže poloha bodu C sa blíži polohe

bodu B, až sa dĺžka s zmenší takmer na nulu, teda do jediného bodu, medznej hodnoty, t. j.

v matematickej terminológii do limity, a v tomto okamihu sa pomer dráhy a času transformuje

do hodnoty okamžitej rýchlosti hmotného bodu v čase t:

𝑣 = lim𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡

Matematicky túto časovú zmenu nazývane deriváciou dráhy podľa času a môžeme ju napísať

v tvare:

𝑣 = 𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡 𝑠(𝑡) = �� [

𝑚

𝑠]

Zmena polohového vektora 𝑟 má takmer takú istú veľkosť ako s, 𝑟 = s (Obr. X1).

Úplne totožné budú až v okamihu, keď dráha bude limitne zmenšená do jediného bodu, čo sa

uskutoční práve deriváciou dráhy podľa času. Pomocou vektora môžeme stanoviť aj smerovú

orientáciu hmotného bodu v priestore alebo smer pohybu hmotného bodu v priestore.

Zadefinujeme preto jednotkový vektor polohového vektora 𝑟0, ktorý môžeme potom

zovšeobecniť pre vektor ľubovoľnej fyzikálnej veličiny:

𝑟0 = 𝑟

𝑟=

𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧��

√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Takže potom platí:

𝑟 = 𝑟. 𝑟0

∆𝑟 = ∆𝑠. 𝑟0 = ∆𝑟. 𝑟0

𝑑𝑟 = 𝑑𝑠. 𝑟0 = 𝑑𝑟. 𝑟0 A pre rýchlosť platí:

𝑣 = 𝑣. 𝑟0 = 𝑑𝑠

𝑑𝑡 𝑟0 =

𝑑𝑟

𝑑𝑡

V praxi podľa Krempaského (1982) nás často zaujíma, ako rýchlo sa hmotný bod pohybuje,

a preto zavádzame pojem rýchlosti. Pojem rýchlosti reprezentuje dráhu vykonanú za jednotku

času. Tým však definujeme iba veľkosť rýchlosti. Ak chceme, aby rýchlosť vyjadrovala aj

smer pohybu, musíme ju zaviesť ako vektor, ktorého smer je určený v každom okamihu

smerom dotyčnice. Uvedeným požiadavkám vyhovuje definícia okamžitej rýchlosti vyjadrená

vzťahom:

�� = lim∆𝑡→0

∆��

∆𝑡=

𝑑��

𝑑𝑡

Vektor rýchlosti je teda definovaný ako derivácia polohového vektora podľa času. Polohový

vektor derivujeme podľa času tak, že derivujeme jeho jednotlivé súradnice podľa času

a získavame vyjadrenia jednotlivých zložiek rýchlosti vx, vy, vz.

�� =𝑑��

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧��)

�� =𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑖 +

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑗 +

𝑑𝑧

𝑑𝑡��

�� = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧 ��

Vektor okamžitej rýchlosti (ďalej v texte pomenovaný iba ako rýchlosť) bude mať v

trojrozmernej súradnicovej sústave tri zložky: vx je x-ová zložka rýchlosti resp. rýchlosť

v smere osi x-ovej, vy je y-ová zložka rýchlosti resp. rýchlosť v smere osi y-ovej, vz je z-ová

zložka rýchlosti resp. rýchlosť v smere osi z-ovej. Veľkosť vektora rýchlosti zyx vvvv ,,

potom vyjadríme vzťahom:

|𝑣| = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 + 𝑣𝑧2

Pre smerové kosínusy vektora rýchlosti platí:

cos 𝛼 = 𝑣𝑥

|��|; cos 𝛽 =

𝑣𝑦

|��|; cos 𝛾 =

𝑣𝑧

|��|

Jednotkou rýchlosti v SI sústave je 1. sm .

3.4 Okamžité zrýchlenie hmotného bodu

Rýchlosť definovaná vzťahom v predchádzajúcom texte sa môže v priebehu pohybu meniť.

Môže sa meniť jej veľkosť a môže sa meniť jej smer, alebo veľkosť a smer súčasne. Ak mení

rýchlosť smere vznikne krivočiary pohyb. Krivočiary pohyb je vždy pohyb so zrýchlením

(Obr. 10). V každom prípade veľkosť zmeny rýchlosti za v čase resp. za jednotku času určuje

zrýchlenie, ktoré vo vektorovom tvare definujeme nasledovne:

�� = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑��

𝑑𝑡=

𝑑2��

𝑑𝑡2

Vektor zrýchlenia je teda definovaný ako derivácia vektora rýchlosti podľa času resp. ako

druhá derivácia polohového vektora podľa času. Vektor rýchlosti derivujeme podľa času tak,

že derivujeme jeho jednotlivé súradnice podľa času a získavame vyjadrenia jednotlivých

zložiek zrýchlenia ax, ay, az k analogickému vyjadreniu zložiek vektora zrýchlenia cez

súradnice sa dostaneme k druhej alternatíve definície zrýchlenia.

Obrázok 10 Zmena vektora rýchlosti pri krivočiarom pohybe

Pre úplnosť uvádzame oba postupy odvodenia:

�� =𝑑��

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧��)

�� =𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡+

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡𝑖 +

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡��

�� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧��

�� =𝑑2��

𝑑𝑡2 =𝑑2

𝑑𝑡2 (𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧 ��)

�� =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2𝑖 +

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2𝑗 +

𝑑2𝑧

𝑑𝑡2��

�� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧��

Vektor okamžitého zrýchlenia (ďalej v texte pomenovaný iba ako zrýchlenie) bude mať v

trojrozmernej súradnicovej sústave tri zložky: ax je x-ová zložka zrýchlenia resp. zrýchlenie

v smere osi x-ovej, ay je y-ová zložka zrýchlenia resp. zrýchlenie v smere osi y-ovej, az je

z-ová zložka zrýchlenia resp. zrýchlenie v smere osi z-ovej. Veľkosť vektora zrýchlenia

�� = (𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) potom vyjadríme vzťahom:

|𝑎| = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2 + 𝑎𝑧2

Pre smerové kosínusy vektora zrýchlenia platí:

cos 𝛼 = 𝑎𝑥

|��|; cos 𝛽 =

𝑎𝑦

|��|; cos 𝛾 =

𝑎𝑧

|��|

Podľa vyššie uvedenej definície je jednotkou zrýchlenia v SI sústave 2. sm .

3.5 Priemerná rýchlosť

Ak teleso prejde jednotlivé úseky celkovej dráhy za rôzne časové intervaly tzn. mení svoju

rýchlosť, tak má najmä praktický význam zaviesť pojem priemerná rýchlosť. Priemernú

rýchlosť vo všeobecnosti definujeme ako podiel celkovej dráhy, ktorú teleso prejde

a celkového času t.j. doby trvania pohybu (Obr. 11). Vždy však musíme vziať do úvahy,

akým spôsobom sa menili jednotlivé charakteristiky pohybu najmä dráha a čas. Pre priemernú

rýchlosť môžeme podľa obrázku 11 napísať:

celkový

celkováp

t

sv resp.

n

n

celkový

celkováp

ttt

sss

t

sv

...

...

21

21

Obrázok 11 Pohyb formule F1 po závodnom okruhu

Poznámka: Priemernú rýchlosť nepočítame ako aritmetický priemer rýchlostí, ktorými sa

teleso pohybovalo, ale existuje špeciálny prípad, keď časy pripadajúce na dráhu prejdenú sú

rovnaké

3.6 Priamočiary pohyb

V tejto kapitole popíšeme rovnomerný, rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb a špeciálne

prípady rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu.

3.6.1 Rovnomerný priamočiary pohyb

Už samotný názov pohybu určuje jeho základné charakteristiky. Bude sa teda jednať o pohyb,

ktorého trajektória je priamka (Obr. 12) a keďže ide o rovnomerný pohyb, tak teleso prejde

vždy za rovnaký čas rovnakú dráhu. Pre rýchlosť tohto pohybu bude teda platiť: v konštanta

(Obr. 13). Ak využijeme definíciu okamžitej rýchlosti a zapíšeme ju v skalárnom tvare, kde s

– bude reprezentovať dráhu, ktorú teleso prejde za čas t, tak môžeme odvodiť vzťahy, ktoré

platia pre rýchlosť a dráhu rovnomerného priamočiareho pohybu.

Obrázok 12 Závislosť dráhy rovnomerného Obrázok 13 Závislosť rýchlosti

priamočiareho pohybu od času rovnomerného priamočiareho pohybu

od času

Pri rovnomernom priamočiarom pohybe nepôsobí sila F (N), (N – jednotka sily, Newton),

a preto platí: F = m.a = 0 a = 0, kde m je hmotnosť (kg) a a je zrýchlenie (m.s-2

) potom:

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡= 0 v = konstanta, pretože derivácia konštanty je nula.

Potom na základe definície okamžitej rýchlosti a obr. 14 môžeme písať:

dt

ds

t

sv

t

0lim

Obrázok 14 Definícia okamžitej rýchlosti

Kde ds je elementárna dráha (nekonečne malý úsek dráhy) a dt je elementárny čas (nekonečne

malý časový interval). Vyjadríme si z predchádzajúceho vzťahu elementárnu dráhu ds.

dtvds

Keďže chceme poznať vzťah pre vyjadrenie celkovej dráhy s, ktorú teleso prejde, tak celú

rovnicu integrujeme nasledovne:

dtvds

dtvs 1

0stvs

Kde s0 je integračná konštanta, ktorá má fyzikálny význam začiatočnej dráhy. Z praxe však

vieme, že 00 s vo väčšine prípadov, takže dostávame vzťah:

t

svtvs

Poznámka: Všimnime si, že vo fyzike sa integračná konštanta označuje podľa fyzikálnej

veličiny vystupujúcej na opačnej strane rovnosti (spravidla ľavej) a to, že sa jedná o hodnotu

fyzikálnej veličiny, ktorú mala v čase 0t označuje index 0 napr.0s .

3.6.2 Rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb

Už samotný názov pohybu určuje jeho základné charakteristiky. Bude sa teda jednať o pohyb,

ktorého trajektória je priamka a keďže ide o rovnomerne zrýchlený pohyb, tak rýchlosť telesa

sa bude meniť rovnomerne tzn. priamoúmerne s časom. Teda prírastok rýchlosti bude vždy za

rovnaký časový interval rovnaký. Pre zrýchlenie tohto pohybu bude teda platiť: a konštanta.

Ak využijeme definíciu okamžitého zrýchlenia a zapíšeme ju v skalárnom tvare, kde v bude

reprezentovať rýchlosť, ktorú teleso nadobudne za čas t, tak môžeme odvodiť vzťahy, ktoré

platia pre zrýchlenie a rýchlosť rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu.

Pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe pôsobí sila F (N), a preto platí: F = m.a =

konštanta a = konštanta, kde m je konštantná hmotnosť (keď neuvažujeme relativistické

efekty) a a je zrýchlenie (m.s-2

), potom platí:

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡= konštanta

Potom na základe definície okamžitého zrýchlenia a obr. 15, analogicky ako pre okamžitú

rýchlosť, môžeme písať:

a konštante

dt

dv

t

va

t

0lim

Obrázok 15 Definícia okamžitého zrýchlenia

Kde dv je elementárna rýchlosť a dt je elementárny čas. Vyjadríme si z predchádzajúceho

vzťahu elementárnu rýchlosť dv.

dtadv

Keďže chceme poznať vzťah pre vyjadrenie celkovej rýchlosti v, ktorú teleso nadobudne za

čas t , tak celú rovnicu integrujeme nasledovne:

dtadv

dtav 1

0vtav resp. tavv 0

Kde v0 je integračná konštanta, ktorá má fyzikálny význam začiatočnej rýchlosti. Z praxe však

vieme, že ak 00 v tzn., že teleso má nejakú začiatočnú rýchlosť (napr. zvislý vrh nadol), tak

platí posledný vyššie uvedený vzťah. Ak by bolo teleso na začiatku v pokoji 00 v , tak vzťah

nadobudne tvar:

t

vatav

V ďalšom texte ukážeme, ako môžeme odvodiť vzťah pre dráhu rovnomerne zrýchleného

priamočiareho pohybu. Vychádzame pritom z definície okamžitej rýchlosti ako derivácie

elementárnej dráhy ds podľa času dt.

dt

dsv

dtvds

Keďže chceme poznať vzťah pre vyjadrenie celkovej dráhy s, ktorú teleso prejde, tak celú

rovnicu integrujeme nasledovne:

dtvds

Do predchádzajúceho vzťahu dosadíme za rýchlosť výraz atvv 0

dtatvs 0

dttadtvs 10

0

2

02

1sattvs resp. 2

002

1attvss

Kde s0 – je integračná konštanta, ktorá má fyzikálny význam začiatočnej dráhy. Z praxe však

vieme, že 00 s vo väčšine prípadov, takže dostávame vzťah:

2

02

1attvs

Predchádzajúci vzťah platí pre prípad ak 00 v tzn., že teleso má nejakú začiatočnú rýchlosť.

Ak by bolo teleso na začiatku v pokoji 00 v , tak potom predchádzajúci vzťah pre dráhu

rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu nadobudne tvar:

2

2

1ats

Obrázok 16 Závislosť dráhy od času pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe, ak 1

0 .0 smv

Na obr. 16 je znázornená závislosť dráhy rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu od

času. Závislosť zrýchlenia od času pri rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe

znázorňuje priamka rovnobežná s časovou osou.

3.6.3 Špeciálne prípady rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu

a) Rovnomerne spomalený priamočiary pohyb

Pre spomalený pohyb je charakteristické, že zrýchlenie a < 0 tzn. že rýchlosť telesa

s narastajúcim časom rovnomerne klesá. Pre matematické vyjadrenie to bude znamenať, že vo

vzťahoch pre rýchlosť tavv 0 a dráhu 2

02

1attvs rovnomerne zrýchleného

priamočiareho pohybu bude pred členom zahŕňajúcim zrýchlenie znamienko -.

tavv 0

2

02

1attvs

Poznámka: Pri výpočte parametrov rovnomerne spomaleného priamočiareho pohybu sú dve

možnosti. Prvá zahŕňa dosadenie kladnej hodnoty zrýchlenia do vyššie uvedených vzťahov. V

druhom prípade použijeme vzťahy tavv 0 a 2

02

1attvs , ale číselnú hodnotu

zrýchlenia dosadíme so znamienkom -.

b) Voľný pád

Obrázok 17 Zoskok parašutistu a simulátor voľného pádu (www.hurricanefactory.com,

2019)

Voľný pád (Obr. 17) je pohyb rovnomerne zrýchlený so začiatočnou rýchlosťou 00 v

a s konštantným zrýchlením ga . Kde g je tiažové zrýchlenie resp. sa nazýva aj gravitačné

zrýchlenie. Jeho hodnota závisí od zemepisnej šírky a mení sa tiež so vzdialenosťou od Zeme.

V našej zemepisnej šírke 2.81,9 smg .Voľný pád je demonštrovaný aj na obr. 17.

Pre voľný pád platia vzťahy rovnaké ako pre rovnomerne zrýchlený pohyb pre prípad ak

00 v

𝑣 = 𝑔 𝑡

ℎ = 1

2 𝑔 𝑡2

Potom rýchlosť voľného pádu môžeme odvodiť po dosadení prvého vzťahu do druhého:

𝑣 = √2ℎ𝑔

Obrázok 18 Základné charakteristiky voľného pádu, zvislého vrhu nadol a nahor

Dosadením uvedených hodnôt 0v a g do vzťahov tavv 0

a 2

02

1attvs získame

vzťahy pre zvislý vrh nadol a nahor (obr. 18).

1. Zvislý vrh nadol je pohyb rovnomerne zrýchlený so začiatočnou rýchlosťou 00 v

a s konštantným zrýchlením ga , kde g je tiažové zrýchlenie.

2. Zvislý vrh nahor je pohyb rovnomerne spomalený so začiatočnou rýchlosťou 00 v

a s konštantným zrýchlením ga , kde g je tiažové zrýchlenie.

3.7 Krivočiary pohyb, pohyb po kružnici

Najjednoduchším prípadom krivočiareho pohybu je pohyb hmotného bodu po kružnici.

O rovnomernom pohybe po kružnici hovoríme ak za rovnaké časy prejde hmotný bod

pohybujúci sa po kruhovej trajektórii s polomerom r zhodné oblúky.

Hmotný bod koná rovnomerný pohyb po kružnici ak za rovnaký čas opíše rovnako dlhý

kružnicový oblúk delta s (s), čomu prislúcha uhol delta φ (). Rýchlosť toho bodu sa

nazýva okamžitá a má stálu veľkosť, ale mení sa jej smer. Smer je dotyčnica k polomeru

v danom bode. Tento pohyb je tiež periodický, čiže má svoju frekvenciu i periódu. Frekvencia

f je počet otáčok za jednu sekundu. Perióda je doba jednej otáčky. Ak hmotný bod opíše v

rovnakých, ľubovoľne zvolených časových intervaloch rovnako dlhé oblúky ∆s, koná

rovnomerný pohyb po kružnici. Veľkosť strednej obvodovej rýchlosti vypočítame podobne

ako pri rovnomernom priamočiarom pohybe ako podiel dráhy ∆s a príslušnej doby ∆t, teda:

�� = ∆𝑠

∆𝑡

Pri rovnomernom pohybe po kružnici sa veľkosť obvodovej rýchlosti v nemení. Rýchlosť je

však vektor a okamžitá rýchlosť má v každom bode sme dotyčnice k dráhe. Pri rovnomernom

pohybe po kružnici je vektor okamžitej rýchlosti v každom bode dráhy kolmý na polomer.

Smer rýchlosti sa s časom mení, ale jej veľkosť ostáva stála. Okrem obežnej, teda obvodovej

rýchlosti v je výhodné zaviesť i uhlovú rýchlosť ω, ktorej strednú veľkosť vypočítame

ako podiel veľkosti oblúka ∆φ, ktorý prislúcha oblúku ∆s a príslušnej dobe ∆t:

= ∆

∆𝑡

Definícia pojmov:

Okamžitá rýchlosť v má v každom mieste trajektórie smer dotyčnice a jej veľkosť

v = konšt.

Sprievodič hmotného bodu je spojnica tohto bodu so stredom kružnice.

Uhlová rýchlosť ω určuje, aký uhol opíše sprievodič r za jednotku času. Jednotka

uhlovej rýchlosti je recipročná sekunda (s-1

), presnejšie (rad.s-1

). Pri rovnomernom

pohybe po kružnici je veľkosť uhlovej rýchlosti stála.

Uhol φ, ktorý opíše sprievodič od začiatku pohybu za čas t, sa nazýva uhlová dráha.

Jednotkou uhlovej dráhy je radián (rad) .

r

s

3.7.1 Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie

Definícia okamžitej uhlovej rýchlosti – je definovaná ako časová derivácia uhla:

= 𝑑

𝑑𝑡, [] = rad.s

-1

Definícia okamžitého uhlového zrýchlenia

𝜀 = 𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝑑 2

𝑑 𝑡2 , [] = 𝑟𝑎𝑑 . 𝑠−2

Uhlová rýchlosť súvisí s obvodovou rýchlosťou pohybujúceho sa bodu vzťahom:

Rv ,

kde R je príslušný polomer krivosti

pre okamžitú hodnotu obvodovej rýchlosti platí:

dt

dsv

pre tangenciálne zrýchlenie analogicky ako pre

rýchlosť platí:

Rat

vB

B

R

S s

ad vA

A

3.7.2 Rovnomerný pohyb po kružnici

Jedná sa o pohyb, pri ktorom sa hmotný bod pohybuje po trajektórii tvaru kružnice, pričom

jeho rýchlosť je konštantná.

Hmotný bod koná rovnomerný pohyb po kružnici, ak za rovnaké ľubovoľne zvolené časové

úseky Δt opíše rovnako dlhé oblúky kružnice Δs, ktorým prislúchajú rovnako veľké uhly Δφ,

pričom platí:

R

s

Pre uhlovú a obvodovú rýchlosť, uhlové zrýchlenie a uhol platí:

.konšt

RRfT

Rv

2

2

0dt

d

= 𝑑

𝑑𝑡

Po separácii premenných a integrovaní dostávame pre uhlovú dráhu rovnomerného pohybu po

kružnici:

𝜑 = ∫ 𝜔. 𝑑𝑡 = 𝜔𝑡 + 𝜑0

Kde0 je uhol, ktorý zviera polohový vektor pohybujúceho sa bodu vzhľadom na stred

kružnice v čase t = 0 s určitým, za základ zvoleným smerom polohového vektora

a) Perióda T

Perióda je definovaná, ako čas, za ktorý bod jedenkrát obehne kružnicu.

222

R

R

v

RT

a) Frekvencia f

Frekvencia je definovaná ako počet obehov za jednotku času

2

1

Tf

3.7.3 Zrýchlenie pri krivočiarom pohybe

Zrýchlenie pri krivočiarom pohybe sa rozdeľuje na zložku tangenciálnu (dotyčnicovú)

a zložku normálovú (dostredivú), pričom výsledné zrýchlenie je vektorovým súčtom týchto

zložiek:

nt aaa

Pre obvodovú rýchlosť platí:

vv

ta na

a

Kde 𝜏 (má smer dotyčnice ku krivke) a �� (má smer normály ku krivke) sú jednotkové vektory,

pričom platí:

1

Pre zrýchlenie platí:

dt

dv

dt

dvv

dt

d

dt

vda

Pre 𝜏 platí:

1.

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d0.20

Kde d𝜏 je zmena vektora 𝜏 za čas dt

podľa obrázku platí:

ddd . R

dsd

platí:

.1...

R

v

Rdt

ds

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

pre zrýchlenie platí:

R

v

dt

dv

R

vv

dt

dv

dt

dv

dt

dva

2

b) Tangenciálne (dotyčnicové) zrýchlenie

Tangenciálne zrýchlenie pôsobí v smere dotyčnice, mení veľkosť (obvodovej) rýchlosti

dt

dvat

c) Normálové (dostredivé) zrýchlenie

Normálové zrýchlenie pôsobí v kolmom smere na smer

rýchlosti, mení smer rýchlosti

R

van

2

d) Veľkosť celkového zrýchlenia

22

nt aaa

e) Iné odvodenie normálového (dostredivého) zrýchlenia

Z čas Δt hmotný bod prejde oblúk dĺžky

.Rs ,

ds

d

d

Δv

vB Δφ v'A

B

Δs

Δφ vA

R ad A

ktorému zodpovedá uhol

t .

pre zmenu okamžitej rýchlosti v dôsledku zmeny jej smeru platí:

tR

vtvvv

2

Kde dostredivé zrýchlenie môžeme vyjadriť vzťahom:

RT

RvR

v

t

vad 2

22

2 4

3.7.4 Rovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici

Pri rovnomerne zrýchlenom pohybe po kružnici pre uhlové zrýchlenie, uhlovú rýchlosť a uhol

platí:

.konšt

0. tdt

00

2

02

1. ttdttdt