1. Unitat 3: Proporcionalitat i percentatges 1. Raons i proporcions 2. Magnituds directament proporcionals 2.1 Mtode de reducci a la unitat 2.2 La regla de tres 3. Magnituds inversament proporcionals 3.1 Mtode de reducci a la unitat 3.2 La regla de tres inversa 4. Problemes de repartiments proporcionals 5. Problemes de proporcionalitat composta 6. Percentatges 6.1 Definici 6.2 Augments i disminucions Inters bancari 2. 1. Raons i proporcions -Una ra s el quocient indicat entre dos nombres ( = fracci) "3 s a 4" 3 4 Les proporcions compleixen la propietat de les fraccions equivalents, s a dir, en podem calcular un nombre desconegut. -Una proporci s la igualtat entre dues raons "3 s a 4 com 9 s a 12" 3 4 = 9 12 3 4 = 9 12 3 12 = 36 4 9 = 36 mitjans extrems 3 4 = x 12 x= 312 4 =9 Exercici 72 / 3.2, 3.4, 3.5 3. 2. Magnituds directament proporcionals -Una magnitud s una propietat que podem mesurar, i es poden relacionar entre si. x 3 Exemple: Les taronges van a 2,10 eur/kg. En vull comprar tres kg. kg que compro 1 kg 2 kg 3 kg 4 kg 5 kg euros que pago 2,10 eur 4,20 eur 6,30 eur 8,40 eur 10,50 eur x 3 x 2 x 2 Cada parella de valors corresponents es pot escriure com a ra Dues parelles de valors corresponents es poden escriure com a proporci 1 2,10 4 8,40 = 5 10,50 4. -En les magnituds directament proporcionals, si multipliquem pel mateix nombre una parella de valors corresponents, n'obtenim una altra. x 3 kg que compro 1 kg 2 kg 3 kg 4 kg 5 kg euros que pago 2,10 eur 4,20 eur 6,30 eur 8,40 eur 10,50 eur x 3 x 2 x 2 1 2,10 4 8,40 = 5 10,50 -En una taula de valors directament proporcionals, el quocient de dos valors corresponents s constant. S'anomena constant de proporcionalitat. 2,10 1 = 4,20 2 = 6,30 3 = 8,40 4 = 10,50 5 =2,10 5. Exercicis: completar taules i dir constant de proporcionalitat 1 2 4 8 30 2,5 5 7,5 25 50 k = 1 2 3 4 5 8 1/2 1 3 6 k = 2 5 21 25 18 30 60 90 k = 3 Nm. cotxes circulant 1 2 10 m3 de CO2 emesos 5 15 200 k = k = k = m2 cultivats 2 5 20 t de tomquets prod. 20 100 1000 Dimetre circumf. cm 1 2 4 5 Longitud circumf. cm 9,42 15,71 6. 2. Magnituds directament proporcionals 2.1 Mtode de reducci a la unitat Exemple: Una aixeta de cabal constant aboca aigua en un dipsit cilndric. Sabem que en 5 minuts el nivell de l'aigua ha pujat 20 cm. Quant puja el nivell en 13 minuts? Temps (minuts) 1 5 13 Nivell (cm) ? 20 ? -El m.r.u. consisteix en calcular primer el valor associat a la unitat, per trobar desprs el valor que m'interessi En 5 minuts: 20 cm En 1 minut: 20 : 5 = 4 cm En 13 minuts: 4 13 = 52 cm R) En 13 minuts l'aigua ha pujat 52 cm al dipsit. Problemes 73, 74, 75 7. 2. Magnituds directament proporcionals 2.2 Mtode de la regla de tres Exemple: Una aixeta de cabal constant aboca aigua en un dipsit cilndric. Sabem que en 5 minuts el nivell de l'aigua ha pujat 20 cm. Quant puja el nivell en 13 minuts? Temps (minuts) 5 13 Nivell (cm) 20 ? -La regla de tres consisteix en resoldre una proporci incompleta. Problemes 76 / 3.15-18 5 20 = 13 x x= 13 20 5 =52cm 5 min. 13 min. 20 cm x cm 5 13 = 20 x x= 13 20 5 =52cm 8. 3. Magnituds inversament proporcionals : 2 Exemple: Un ciclista que va a 20 km/h triga 30 minuts per anar de A a B. Quant temps trigaran: un patinador a 10 km/h un tractor a 40 km/h un cami a 60 km/h un cotxe a 100 km/h Velocitat (km/h) 20 10 40 60 100 Temps (min) 30 x 2 x 10 : 10 : 3 x 3 9. : 2 Velocitat (km/h) 20 10 40 60 100 Temps (min) 30 60 15 10 6 x 2 x 10 : 10 : 3 x 3 -En les magnituds inversament proporcionals, si multipliquem (dividim) un valor per un nombre, el seu valor corresponent queda dividit (multiplicat) pel mateix nombre. -En una taula de valors inversament proporcionals, el producte de dos valors corresponents s constant. S'anomena constant de proporcionalitat inversa. 2030=1060=4015=6010=1006=600 Exercicis 3.19-20 10. 3. Magnituds inversament proporcionals 3.2 Mtode de la regla de tres inversa Exemple: Quatre operaris pinten una paret en 5 hores. Quant de temps trigaran 10 operaris a fer la mateixa feina? Nm. operaris 1 4 10 Temps (hores) ? 5 ? Problemes 77-79 Fitxa regla de tres 4 operaris 10 operaris 5 hores x hores 10 4 = 5 x x= 5 4 10 =2hores 3.1 Mtode de reducci a la unitat 4 operaris: 5 hores 1 operari: 5 4 = 20 hores de feina total a fer 10 operaris: 20 : 10 = 2 hores Cal invertir una de les dues raons! 11. 4. Problemes de repartiments proporcionals 80. Tres amics han anat a comprar discos. Un dels amics ha comprat dos discos, un altre tres, i el darrer cinc. Quant ha de pagar cadasc, si el lot sencer val 180 euros i tots els discos valen el mateix? Dades: 1r amic: 2 discos 2n amic: 3 discos 3r amic: 5 discos 10 discos en total 180 euros en total Caldr repartir proporcionalment el qu ha de pagar cadasc (qui ms s'emporti, ms pagar) 1a operaci: Sempre! clcul del total 12. Operacions: Problemes 82, 83 i 84 2 10 = x 180 x= 180 2 10 =36euros Dades: 1r amic: (x) 2 discos 2n amic: (y) 3 discos 3r amic: (z) 5 discos 10 discos en total 180 euros en total 3 10 = y 180 y= 1803 10 =54euros 5 10 = z 180 z= 1805 10 =90 euros Resposta: Al primer amic li tocar pagar 36 euros, al segon 54, i al tercer 90 euros. "el qui s'emporta 2 de 10, paga x de 180" 13. 5. Problemes de proporcionalitat composta Una rentadora industrial, treballant 8 hores diries durant cinc dies, ha rentat 1000 kg de roba. Quants quilos de roba rentar en 12 dies si treballa 10 hores diries? Dades: Hores Dies Quilos 8 5 1000 10 12 x Operacions: -Treballant 8 hores diries durant 5 dies renta 1000 kg -Treballant 8 hores diries durant 1 dia renta 200 kg -Treballant 1 hora diria durant 1 dia renta 25 kg -Treballant 10 hores diries durant 1 dia renta 250 kg -Treballant 10 hores diries durant 12 dies renta 3000 kg 1000 : 5 = 200 200 : 8 = 25 25 10 = 250 250 12 = 3000 14. 5. Problemes de proporcionalitat composta En resum: 1r: Identificar les magnituds 2n: Identificar quina magnitud s el resultat de les altres dues 3r: Collocar les dades 4t: Reduir a la unitat 5: Buscar dada desconeguda Problemes 87, 88, 89, 90 i 91 15. 6. Percentatges Exercici 93 i 94 De 8 tirats De 100 5 anotats x 23 100 x= 5100 8 =62,5 6.1 Definici 23 % a) Calcular el tant per cent d'un total: 0,23 23 % de 258 23 100 258=59,34 0,23 258 = 59,34 Exercici 92 b) Calcular quin percentatge representa una part sobre un total: "Encistello 5 tirs dels 8 que he tirat. Quin percentatge de tir tinc?" % 8 100 = 5 x 5 8 100=0,625100=62,5 % Exercici 103, 105 16. De 100 De x 20 han faltat 6 han faltat x= 6100 20 =30 c) Calcular un total a partir d'un percentatge: "Avui han faltat a l'assaig 6 msics, que representen el 20% del total. Quants msics hi ha a l'orquestra?" msics 100 x = 20 6 Exercicis 104, 107 17. 6. Percentatges Exercici 95 6.2 Descomptes i augments a) Disminuir una quantitat en un a% equival a calcular el (100 - a) % "Si trec el 15%, he de calcular el 85% (100-15=85) b) Augmentar una quantitat en un a% equival a calcular el (100 + a) % "Si afegeixo el 15%, he de calcular el 115% (100+15=115) Exercici 96, 97, 98, 100, 106, 108 c) Per calcular un augment o descompte, quan s la quantitat inicial i final, far una regla de tres: Abans costava 145 eur, ara 116. Quin s el desc.? 145 100 116 x x= 116100 145 =80 % Exercici 112 100 - 80 = 20 % 18. 6. Percentatges d) Per calcular una quantitat prvia a un augment o descompte, far una regla de tres: Ara costa 116, m'han descomptat un 20%. Quant costava? x 100 116 80 x= 116100 80 =145 euros Exercici 113, 114, 118