3. repartitii clasice
TRANSCRIPT
1
III. Repartiţii clasice
Repartiţia binomială. Fie X o variabilă aleatoare discretă. Spunem că X urmează o
repartiţie binomială de parametri n şi p dacă tabelul de repartiţie al lui X este de
forma0 1 2
0 1 2 ...:
... n
nX
p p p p
unde ( ) k k n kk np P X k C p q , 0,k n , 1q p ,
(0,1)p şi n . Scriem: ( , )X B n p . Se demonstrează că media, varianţa şi moda
unei astfel de repartiţii sunt:
( )M X np
2 ( )D X npq
( 1) 1 ( ) ( 1)on p M X n p .
Exemplu. Din datele statistice ale unei agenţii de turism se ştie că probabilitatea ca un
client ce se adresează agenţiei să cumpere un anumit pachet de servicii este egală cu
0,85 . Care este numărul cel mai probabil de clienţi care încheie un contract de acest tip
din 1000 de clienţi ai agenţiei?
Soluţie. Notăm cu X variabila aleatoare care indică numărul de clienţi care încheie un
contract turistic de acest tip, din cei 1000. Valorile posibile ale lui X sunt numerele
naturale de la 0 la 1000. Evenimentul aleator " X k " se citeşte " k clienţi (din cei
1000) încheie contractul respectiv". Deoarece 0,85p nu depinde de client (este
constantă), suntem în cazul schemei binomiale. Deci
10001000( ) (0,85) (0,15)k k k
kp P X k C , 0,1000k . Prin urmare tabelul de repartiţie
2
al lui X este de forma :k
kX
p
, unde 0,1000k şi kp se calculează cu formula
anterioară. Deci ( 1000; 0,85)X B n p şi prin urmare numărul cel mai probabil de
clienţi care încheie contract de acel tip este moda (modul) lui X . Obţinem:
(1000 1) (0,85) 1 ( ) (1000 1) (0,85)oM X ,
adică 849,85 ( ) 850,85oM X . Cum moda este printre valorile lui X , ea trebuie să
fie număr natural, deci ( ) 850oM X .
Exemplu. Într-un transport de fructe sunt 10.000 de lăzi. Din datele statistice ale
companiei se cunoaşte că probabilitatea ca fructele să se strice într-o ladă este egală cu
0,00065 . Aflaţi:
a) numărul mediu de lăzi cu fructe stricate într-un astfel de transport.
b) numărul cel mai probabil de lăzi cu fructe stricate.
Soluţie.
a) Raţionamentul este identic cu cel din problema anterioară - deci TEMĂ (dar trebuie
justificarea!!). Variabila aleatoare X care indică numărul de lăzi cu fructe stricate
urmează tot o repartiţie binomială de parametri 10000n şi 0,00065p . Numărul
mediu de lăzi cu fructe stricate este media lui X , deci ( ) 6,50M X np .
b) Numărul cel mai probabil de lăzi cu fructe stricate este moda lui X . Deci avem:
(10000 1) 0,00065 1 ( ) (10000 1) 0,00065oM X , 5,50065 ( ) 6,50065oM X .
Prin urmare în acest caz ( ) 6oM X (moda este o valoare a lui X , deci trebuie să fie
număr natural).
3
Repartiţia hipergeometrică. Fie X o variabilă aleatoare discretă. Spunem că X
urmează o repartiţie hipergeometrică de parametri N , m şi n (numere naturale fixate)
dacă tabelul de repartiţie al lui X este de forma0 1 2
0 1 2 ... ...:
... ...k n
k nX
p p p p p
unde ( )k n km N m
k nN
C Cp P X kC
, 0,k n , iar relaţiile dintre k , N , m şi n sunt la fel
ca în schema bilei nerevenite (astfel încât să aibă sens experienţa respectivă şi
combinările din formulă). Se demonstrează că media ( )M X np şi dispersia este
2 ( )1
N nD X npqN
, unde mpN şi 1q p . Scriem ( , , )X Hiperg N m n . Se poate
arăta că, în anumite condiţii, diferenţa dintre "fără revenire" şi "cu revenire" este
neglijabilă, adică că repartiţia hipergeometrică se poate aproxima cu repartiţia
binomială. Aceasta se poate face dacă N şi m sunt mari faţă de n iar mpN nu este
apropiat de 0 şi nici de 1. În astfel de situaţii probabilităţile kp le putem calcula cu
formula de la repartiţia binomială, luând în acea formulă mpN şi acelaşi n .
Exemplu. Se aleg la întâmplare 10 produse dintr-un stoc de 200 în care se ştie că sunt
13% produse care nu se încadrează în limitele de funcţionare. Se cere:
a) Legea de repartiţie a v.a. care indică numărul de produse necorespunzătoare din cele
10 extrase (fără revenire).
b) Valoarea medie şi dispersia acestei variabile aleatoare.
Soluţie.
4
Probabilitatea ( )kp P X k , adică probabilitatea ca din 10 produse extrase k să fie
necorespunzătoare, se calculează cu schema bilei nerevenite. Deci10
26 17410200
k k
kC Cp
C
,
unde 0,10k . Prin urmare (200, 26,10)X Hiperg . Atunci
26( ) 10 1,30200
M X np şi 2 26 174 200 10( ) 10 1,081 200 200 200 1
N nD X npqN
.
Observaţie. Există şi alte repartiţii discrete importante. Facultativ, puteţi consulta
bibliografia de la sfârşitul acestui capitol.
În continuare vom prezenta câteva repartiţii clasice continue. Reamintim (vezi
capitolul anterior) că o variabilă aleatoare continuă X este descrisă prin două funcţii
importante, funcţia densitate de repartiţie a lui X şi funcţia de repartiţie a lui X .
Repartiţia normală (Gauss - Laplace). Spunem că o variabilă aleatoare continuă X
urmează o repartiţie normală dacă densitatea de repartiţie a lui X este de forma
2
2( )
21( )2
x m
f x e
, pentru orice x număr real. Scriem ( , )X N m iar numerele
reale m şi 0 se numesc parametrii repartiţiei normale. Dacă 0m şi 1 ,
spunem că X urmează o repartiţie normală standard, şi scriem (0,1)X N . În
figura care urmează aveţi câteva exemple de grafice ale unor astfel de densităţi de
repartiţie, pentru diverse valori ale parametrilor m şi . (Nu trebuie memorată pentru
examen această figură. Restul figurilor de mai jos se memorează !!).
5
Curbele din figură au ecuaţia2
2( )
21( )2
x m
y f x e
pentru diferite valori ale lui m
(notat cu în figură) şi . Curba roşie are ecuaţia2 / 21
2xy e
şi reprezintă
graficul repartiţiei normale standard (se mai cheamă şi clopotul lui Gauss). Pentru orice
curbă "normală", axa Ox este asimptotă orizontală spre şi, dreapta paralelă cu Oy ,
de ecuaţie x m , este axă de simetrie. Punctele de inflexiune sunt x m şi aria
zonei mărginite de axa Ox şi de curba normală este egală cu 1, vezi figura următoare:
6
Se demonstrează (vezi capitolul precedent pentru notaţii) că pentru orice repartiţie
normală ( ) ( ) ( )e oM X M X M X m şi că abaterea standard ( )D X . De
asemenea, coeficientul de asimetrie este zero iar coeficientul de boltire este egal cu 3,
pentru orice curbă normală.
Foarte importantă este repartiţia normală standard. Funcţia de repartiţie a unei variabile
aleatoare repartizată normal standard o vom nota cu ( )x şi se numeşte funcţia lui
Laplace. Valorile acestei funcţii sunt tabelate şi se găsesc în orice carte şi în orice soft
utilitar de statistică. Intuitiv, dacă x este un număr real fixat pe axa Ox , ( )x
reprezintă aria zonei "de la până la x " delimitate de clopotul lui Gauss şi de axa
Ox .
7
În unele cărţi (sau soft-uri utilitare), funcţia lui Laplace este definită ca reprezentând
aria zonei "de la zero la x ". O vom nota cu ( )x . Atenţie, aceasta nu mai este funcţia
de repartiţie a variabilei aleatoare (0,1)X N !! Recapitulând cele spuse anterior, şi
folosind figura de mai sus ca suport intuitiv, avem:
2 / 21( ) ( )2
xyx P X x e dy
aria zonei "de la la x "
2 / 2
0
1( ) (0 )2
xyx P X x e dy
aria zonei "de la 0 la x "
( ) ( ) 0,5x x .
Pentru a vedea, într-o sursă bibliografică sau într-un program utilitar, care din cele două
funcţii este folosită, putem folosi observaţia că (0) 0,5 dar (0) 0 .
Tabelele funcţiei Laplace sunt construite în general pentru 0x . Se poate uşor vedea
că are loc relaţia ( ) ( ) 1x x , pentru orice x număr real. De aici rezultă că
( ) 1 ( )x x , relaţie pe care putem să o folosim pentru cazul în care argumentul
este negativ. Vezi figura:
8
În cazul în care o variabilă aleatoare urmează o repartiţie normală oarecare (adică
( , )X N m ) putem standardiza această repartiţie. Se poate demonstra propoziţia:
"dacă ( , )X N m atunci variabila aleatoare X mY
urmează o repartiţie normală
standard, adică (0,1)Y N ."
Problemă. Fie ( , )X N m o variabilă aleatoare continuă repartizată normal cu
parametrii m şi 0 cunoscuţi. Aflaţi probabilitatea ca valorile lui X să fie în
intervalul ( , )a b , unde a şi b sunt numere reale date şi a b .
Soluţie.
( ) ( ) ( )a m X m b mP a X b P a m X b m P
. Ştim că variabila
aleatoare X mY
urmează o repartiţie normală standard, deci putem continua:
( ) ( ) ( ) ( )a m b m b m a mP a X b P Y
tabel.
"= tabel" înseamnă că mai departe putem folosi un tabel cu valorile funcţiei Laplace.
9
Problemă. Fie ( , )X N m o variabilă aleatoare continuă repartizată normal cu
parametrii m şi 0 cunoscuţi. Care este probabilitatea ca valorile lui X să se
abată de la valoarea sa medie cu nu mai mult de un 0 dat ?
Soluţie.
Reformulând, trebuie să aflăm probabilitatea ca valorile lui X să fie în intervalul
[ ( ) , ( ) ]M X M X . Deoarece funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare
repartizată normal este continuă, probabilităţile de forma ( )P X sunt nule, deci
întrebarea se rescrie " ( ( ) ( ) ) ?P M X X M X ".
Ştim că ( )M X m , deci întrebarea se mai rescrie şi sub forma (des întâlnită în
practică): " ( ) ?P X m ". Avem:
( ) ( ) ( ) ( )X mP X m P m X m P X m P
( ) ( ) 2 ( ) 1
tabel. Am folosit faptul că (0,1)X m N şi că
( ) 1 ( )
.
10
Observaţie. Aşa arată un tabel cu valorile funcţiei Laplace pentru distribuţia (sau
repartiţia) normală standard:
Se observă că (0) 0,500 deci este vorba de funcţia Laplace notată şi în acest curs cu
. Şi figura ne arată acelaşi lucru. De exemplu, (0.52) 0,6985 . Am descompus pe
z : 0,5 0,02z şi am mers la intersecţia dintre linia lui 0,5 şi coloana lui 0,02. Un
calculator online puteţi găsi de exemplu gratuit la adresa
11
http://stattrek.com/online-calculator/normal.aspx . Acolo introduceţi în căsuţa lui z pe
0.52 (cu punct în loc de virgulă) şi obţineţi 0,69847 0,6985 . Acest calculator online
este pentru funcţia Laplace notată cu la noi în curs.
Problemă. Se cunoaşte că profitul anual al unei firme este o variabilă aleatoare X
repartizată normal de parametri 20.000m u.m. şi 2500 u.m. Se cere:
a) Care este probabilitatea ca profitul anual să depăşească 25.000 u.m. ?
b) Care este probabilitatea ca profitul anual să fie cuprins între 19.500 u.m. şi 20.500
u.m. ?
Soluţie.
a) ( 25.000) 1 ( 25.000) 1 ( 25.000)P X P X P X
20.000 25.000 20.0001 ( ) 1 (2) 1 0,97725 0,022500 2500
XP .
b) 19500 20000 20000 20500 20000(19500 20500) ( )2500 2500 2500
XP X P
( 0, 2 0, 2) 2 (0, 2) 1 2 0,57926 1 0,16P Y .
Problemă. Durata de funcţionare a unui produs este o variabilă aleatoare repartizată
normal de parametri 120m de zile şi 10 zile. Se cere:
a) Presupunând că 97% din produse au o durată de funcţionare mai mare decât t , care
este valoarea lui t ?
b) Procentul de produse a căror durată de funcţionare este de peste 140 de zile.
Soluţie.
12
a) Întrebarea se poate scrie: ( ) 0,97P X t , ?t . De unde deducem că
( ) 0,03P X t . Standardizăm şi obţinem că 120 120( ) 0,0310 10
X tP . De unde
rezultă că 120( ) 0,0310
t . Din tabelele funcţiei Laplace găsim că ( 1,88) 0,03 .
(Introduceţi în căsuţa "cumulative probability" pe 0.03 la adresa de mai sus).
Deducem că 120 1,8810
t , de unde 10 1,88 120 120 18,8 101, 2t zile.
b) Procedăm analog, 120 140 120 120( 140) ( ) 1 ( 2)10 10 10
X XP X P P
1 (2) 1 0,98 0,02 2% .
Următoarele repartiţii (distribuţii) clasice continue se vor utiliza în următoarele
capitole. Nu dăm expresia (foarte complicată) a densităţilor lor de repartiţie dar ne
ocupăm de cuantilele (vezi capitolul precedent) acestor repartiţii. Facultativ, cei care
doresc, pot consulta bibliografia de la sfârşitul acestui capitol. Notăm cu X o variabilă
aleatoare care urmează una din aceste repartiţii.
Repartiţia Student (repartiţia t sau t-distribution). Graficul acestei legi de repartiţie
este simetric faţă de axa Oy şi axa Ox este asimptotă orizontală. O cuantilă a
repartiţiei Student se notează cu ( )t r . r reprezintă numărul de grade de libertate şi
este un număr natural iar se cheamă ordinul cuantilei şi este un număr raţional din
intervalul (0,1) . Cuantila ( )t r este un număr real de pe axa Ox , unic definit prin
relaţia ( ( ))P X t r aria zonei "de la ( )t r la ". Prin urmare,
( ( )) 1P X t r aria zonei "de la la ( )t r ". Vezi figura următoare care
13
conţine graficul acestei densităţi de repartiţie şi o parte dintr-un tabel cu cuantilele
acestei repartiţii.
De exemplu, cuantila cu 4 grade de libertate şi de ordinul 0,025 este egală cu 2,776.
Vezi în tabel intersecţia dintre linia 4r şi coloana 0.025 ( )t r . Aria zonei de la stânga
cuantilei este egală cu 0,975 şi aria zonei de la dreapta cuantilei este egală cu 0,025.
(Aria întregii zone delimitate de grafic şi de axa Ox este egală cu 1, ca la orice lege de
repartiţie). Vezi şi figura de mai jos.
14
La adresa http://stattrek.com/online-calculator/t-distribution.aspx găsiţi un calculator
online de cuantile Student. Pentru exemplul de mai sus, introduceţi la "degrees of
freedom" 4 şi la "cumulative probability" 0.975 (cu punct în loc de virgulă). Apoi click
pe "Calculate" şi obţineţi 2.776t . Atenţie, la "cumulative probability" trebuie
introdusă aria zonei de la stânga cuantilei, adică 1 ordinul cuantilei !!
Repartiţia Helmert-Pearson (chi-square sau hi-pătrat sau 2 -distribution).
Cuantilele acestei repartiţii se notează cu 2 ( )r . Notaţiile şi r au aceeaşi
semnificaţie ca mai sus. Sunt adevărate şi relaţiile 2( ( ))P X r aria zonei de la
dreapta cuantilei şi 2( ( )) 1P X r aria zonei de la stânga cuantilei. Mai jos
aveţi schiţa graficului densităţii de repartiţie de tip hi-pătrat şi o parte dintr-un tabel de
cuantile.
15
De exemplu, cuantila cu 8r grade de libertate şi de ordinul 0,05 este un număr
real de pe axa Ox , 20.05 (8) 15,51 . (Axa Ox este asimptotă la grafic, numai spre ).
Aria zonei "de la 15,51 spre " este egală cu 0,05 iar aria zonei "de la 0 până la
15,51" este egală cu 0,950. Puteţi folosi şi calculatorul online de la adresa
http://stattrek.com/online-calculator/chi-square.aspx . Introduceţi la "degrees of
freedom" 8 şi la "cumulative probability" pe 0.950 (adică 1 ordinul cuantilei !!). Click
"Calculate" şi găsiţi "15.5".
16
Repartiţia Fisher-Snedecor (sau f-distribution, repartiţia f). Această densitate de
repartiţie depinde de două grade de libertate, m şi n . Cuantilele acestei repartiţii se
notează cu ( , )F m n . Avem ( ( , ))P X F m n aria zonei "de la cuantila ( , )F m n
la " şi ( ( , )) 1P X F m n aria zonei de la 0 la cuantilă. Mai jos aveţi un
grafic al densităţii de repartiţie Fisher pentru 5m şi 2n .
De exemplu, pentru calculul cuantilei Fisher de ordinul 0,025 cu 28m şi 33n grade
de libertate, putem folosi calculatorul online de la adresa
http://stattrek.com/online-calculator/f-distribution.aspx . Introduceţi la "degrees of
freedom" pe rând, prima dată pe 28 (la 1 , notat cu m în curs) şi apoi pe 33 (la 2 ,
notat la noi cu n ). Atenţie, nu putem comuta pe m cu n !! Apoi, la "cumulative
probability" introduceţi 1 ordinul cuantilei, adică pe 0.975. Click "Calculate" şi
obţineţi "2.04". Aria de la 0 până la 2,04 este egală cu 0,975 iar aria de la 2,04 la
17
este egală cu 0,025. Sau, cuantila 0,975 (28, 33) 0.478F . Aria de la stânga ei este egală
cu 0,025 şi aria de la dreapta ei (spre ) este egală cu 0,975. Calculatorul online vă dă
(cu rotunjire) 0,48. Vezi poza de mai jos:
Observaţie. Dacă o variabilă aleatoare are ca densitate de repartiţie una din densităţile
de repartiţie de tipul celor de mai sus, scriem respectiv ( )X t r ( X urmează o
repartiţie Student cu r grade de libertate), sau 2 ( )X r ( X urmează o repartiţie hi-
pătrat cu r grade de libertate), sau ( , )X F m n ( X urmează o distribuţie Fisher cu m
şi n grade de libertate).
Pentru toate aceste repartiţii, la Examen veţi primi cuantilele respective sau valorile
funcţiei Laplace.
În încheiere prezentăm trei rezultate importante foarte des utilizate în practică,
cu exemple.
18
Inegalitatea lui Cebîşev. Fie X o variabilă aleatoare oarecare (discretă sau continuă)
având dispersia (finită) 2 ( )D X şi media ( )M X . Atunci, pentru orice număr real 0
are loc inegalitatea:2
2
( )( ( ) ) 1 D XP X M X
.
Inegalitatea ne furnizează în practică o margine inferioară a probabilităţii ca valorile
variabilei aleatoare X să se abată de la valoarea medie a lui X cu cel mult un dat.
Exemplu. Fie X o variabilă aleatoare având ( ) 1M X şi 2 ( ) 0,04D X . Evaluaţi
probabilitatea ca valorile lui X să fie în intervalul (0,75;1, 25) .
Soluţie.
(0,75 1, 25) (0,75 1 1 1, 25 1) ( 0, 25 1 0, 25)P X P X P X
2
0,04( 1 0,25) 10,25
P X . De unde rezultă că (0,75 1, 25) 0,36P X . Deci
probabilitatea cerută este de cel puţin 0,36. Sau, echivalent, cel puţin 36% din valorile
lui X sunt în intervalul (0,75;1, 25) .
Legea numerelor mari. Vom prezenta o variantă simplificată a legii numerelor mari şi
anume teorema lui Bernoulli. Cei care doresc să înveţe mai mult decât se cere la
examen pot consulta bibliografia de la sfârşitul acestui capitol. Fie ( )E o experienţă
aleatoare, A un eveniment aleator asociat acestei experienţe, cu probabilitatea de
realizare ( )p P A , cunoscută. Notăm cu X variabila aleatoare care reprezintă numărul
de apariţii ale evenimentului A în n repetări identice ale experienţei ( )E ( n probe
independente). Variabila aleatoare Xn
reprezintă frecvenţa relativă de realizare a
19
evenimentului A în cele n probe independente. Teorema ne spune că şirul frecvenţelor
relative tinde "în probabilitate" către constanta p , adică are loc egalitatea
lim ( ) 1n
XP pn
, pentru orice număr 0 .
Această teoremă justifică matematic folosirea frecvenţei relative de realizare a unui
eveniment aleator A în cazul în care nu putem determina exact ( )p P A . În astfel de
situaţii, se alege Xpn
.
Exemplu. O firmă producătoare încheie un contract pentru livrarea a 30.000 de produse
unui beneficiar. Un produs este acceptat de beneficiar numai dacă valoarea
caracteristicii produsului se încadrează în intervalul (9,8;10, 2) . Se ştie că variabila
aleatoare X care reprezintă valoarea caracteristicii respective a produselor urmează o
repartiţie normală, (10; 0,15)X N . În aceste condiţii, să se determine numărul de
produse care ar trebui fabricate pentru onorarea contractului.
Soluţie.
Putem reformula problema astfel. Din producţia firmei se alege la întâmplare un produs.
Notăm cu A evenimentul aleator "produsul ales este corespunzător". Atunci
( ) (9,8 10, 2)P A p P X . Pe de altă parte, dacă repetăm de n ori această
experienţă (adică se fabrică n produse), şi dintre acestea 30.000 sunt corespunzătoare,
atunci frecvenţa de realizare a evenimentului A este egală cu 30.000n
. Pe baza legii
numerelor mari, putem face aproximaţia 30.000pn
. De unde rezultă 30.000np
. Deci
trebuie găsit p . Avem: 9,8 10 10 10,2 10(9,8 10,2) ( )0,15 0,15 0,15
Xp P X P
20
20 20( ) ( ) 2 (1,3333) 115 15
. De la adresa dată mai sus, găsim
(1,3333) 0,90878 . Deci 0,81756p . De unde 36695n produse.
Teorema DeMoivre - Laplace. Teorema aceasta ne spune (în esenţă) că, dacă X este o
variabilă aleatoare care urmează o repartiţie binomială, adică ( , )X B n p , atunci,
pentru valori mari ale lui n , variabila aleatoare X npZnpq
urmează aproximativ o
repartiţie normală standard, adică (0,1)Z N . Pentru enunţul general, vezi bibliografia
de la sfârşitul acestui capitol, facultativ. ( 1q p ).
Exemplu. Probabilitatea apariţiei într-o probă a evenimentului A este egală cu
0,005p . Să se estimeze probabilitatea ca, în 10.000 de probe independente, abaterea
în modul a frecvenţei relative de realizare a lui A faţă de p să fie sub o miime.
Folosiţi:
a) Inegalitatea lui Cebîşev
b) Teorema DeMoivre-Laplace.
Soluţie.
a) Fie X variabila aleatoare care indică numărul de apariţii ale evenimentului A în
10.000 de probe independente. Deoarece ( )p P A este aceeaşi în fiecare probă suntem
în cazul schemei binomiale. Deci ( )P X k , adică probabilitatea ca A să se realizeze
de k ori în 10.000 de probe este 1000010000( ) (0,005) (0,995)k k kP X k C , unde
0,10.000k . Deci ( 10.000; 0,005)X B n p . Prin urmare ( ) 50M X np şi
21
2 ( ) 49,75D X npq . Ni se cere să evaluăm ( 0,001)XP pn . Deoarece
1 1( ) ( )XM M X np pn n n şi
2 22 2
1 1( ) ( ) 0,0000004975X pqD D X npqn n n n , putem aplica inegalitatea lui
Cebîşev:
2
0,0000004975( 0,001) 1 0,50250,001
XP pn . Deci probabilitatea cerută este de cel
puţin 0,5025.
b) ( 0,001) ( 0,001 0,001)X X npP p Pn n
( 0,001 0,001 ) 2 (0,001 ) 1 2 (1,41776) 1n X np n nPpq pq pqnpq
0,84 .
Funcţia generatoare de momente. Se utilizează pentru calculul momentelor iniţiale
(necentrate) ale unei variabilea aleatoare X . Prin definiţie, funcţia aceasta este
( ) ( )tXg t M e , pentru orice t aparţinând unui interval care-l conţine pe zero. Din
definiţie se deduce formula de calcul practic. Dacă X este o variabilă aleatoare
discretă, cu tabelul de repartiţie 1 2
1 2
...:
...n
n
x x xX
p p p
, atunci ( ) itxi
ig t e p . Dacă X
este o variabilă aleatoare continuă având densitatea de repartiţie ( )f x atunci
( ) ( )txg t e f x dx
, pentru orice t aparţinând unui interval care-l conţine pe zero. În
22
ambele situaţii, momentul iniţial de ordinul r al lui X este egal cu derivata de ordinul
r a funcţiei g în punctul zero, adică ( )( ) (0)rrM X g , pentru orice r .
Exemplu. Se dă variabila aleatoare discretă1 0 1
: 1 1 16 2 3
X
. Se cere:
a) Funcţia generatoare de momente ( )g t
b) Valoarea medie şi momentul iniţial de ordinul doi, utilizând ( )g t
c) Dispersia lui X , utilizând punctul b).
Soluţie.
a) 01 1 1 1( )6 2 3 6 2 3
t tt t e eg t e e e
, t .
b) (1)1
0
1 1 1( ) ( ) (0) ( )6 3 6 3 6
t t
t
e eM X M X g
.
20
1 1 1( ) ( )6 3 6 3 2
t t
t
e eM X
.
c)2
2 22
1 1 17( ) ( ) ( ( ))2 6 36
D X M X M X
.
23
Bibliografie (la acest capitol)
1. Laura Simon, Scott Roths, STAT 414 - 415, Lecture Notes, Dept. of Statistics,
PennState University
2. C. Chilărescu, N. Surulescu, et al., Bazele Statisticii, Ed. Universităţii de Vest, 2002
3. http://www.biblioteca-digitala.ase.ro/biblioteca/carte2.asp?id=166&idb=11
(curs online Academia de Studii Economice, Bucureşti)
4. http://www.math.uah.edu/stat (Virtual Laboratories)
5. http://stattrek.com/online-calculator/normal.aspx (calculator online - funcţia Laplace
şi cuantile repartiţii)