3 sks teknik elektro udinus -...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA TEKNIK 1
3 SKS
TEKNIK ELEKTRO
UDINUS
1
BAB II
FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN
Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.
Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks
Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau
kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah
memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan,
irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-
sifatnya.
2
1. Lingkungan/persekitaran
a. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z yang
terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo,
berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(zo,r) atau z – zo < r.
b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua titik
zzo yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat
di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(zo,r) atau
0< z – zo < r.
3
Contoh :
a. N(i,1) atau z – i < 1, lihat pada gambar 1
b. N*(O,a) atau 0< z – O < a, lihat pada gambar 2
4
Im
Re
i
i2
O
1gambar
Re
Im
O
2gambar
a
2. Komplemen
Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis
Sc,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang
tidak termasuk di S.
Contoh :
Gambarkan !
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.
B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z2 atau z4}.
5
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.
B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z2 atau z4}.
6
Re
Im
O
1A
Re
Im
O 2 4
4
2
B
cAcB
3. Titik limit
Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk
setiap N*(zo,) maka N*(zo,) S . Jika zo ∈ S dan zo
bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.
4. Titik batas
Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk
setiap N*(zo,) memuat suatu titik di S dan memuat
suatu titik yang tidak di S.
5. Batas dari himpunan S
adalah himpunan semua titik batas dari S.
7
6. Interior dan Eksterior
Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,) sehingga N(zo,) S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan Terbuka
Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggotaS adalah titik interior S.
8. Himpunan Tertutup
Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.
8
9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap duatitik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yangseluruhnya terletak di S.
10. Daerah domain
Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerahdomain.
11. Daerah Tertutup
Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.
12. Penutup dari himpunan S
adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.
9
Contoh :
1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:
A adalah himpunan terbuka dan terhubung.
Batas dari A adalah { z / |z|=1}.
Penutup dari A adalah { z / |z|1}.
10
Im
Re
1
11
1
A
2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:
B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan
himpunan tertutup.
Titik-titik limit dari B adalah { z / |z|1}.
11
Im
Re
1
11
1
B
3. Diberikan C = { z / |z| 2}, maka:
Titik-titik interior C adalah { z / |z|<2}.
12
Im
Re
1
11
1
2
22
2
Fungsi Kompleks
Definisi :
Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.
Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan
setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w
pada bidang W, yaitu (z,w).
Fungsi tersebut ditulis w = f(z).
Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df
dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range
atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf , yaitu himpunan
f(z) untuk setiap z anggota D.
13
14
z )z(fw)zRe( )wRe(
)zIm( )wIm(
Bidang Z Bidang W
f
Contoh :
a) w = z + 1 – i
b) w = 4 + 2i
c) w = z2 – 5z
d) f(z) =
Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.
Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua
titik pada bidang Z , kecuali z =
15
1z2z3
21
Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan
menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan
Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua
variabel real x dan y.
Apabila z = r(cos + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ).
16
Contoh :
Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !
Jawab :
Misal z = x + iy,
maka fungsi w = f(z) = 2z2 – i
= 2(x + iy )2 – i
= 2(x2+2xyi-y2) – i
= 2(x2-y2) + i(2xy-1).
Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1.
17
Jika z = r(cos + i sin).
Tentukan f(z) = z2 + i
Jawab
f(z) = z2 + i
= [r (cos+i sin)]2 + i
= r2[cos2 - sin2 + 2isincos] + i
= r2 (cos2 - sin2) + r2isin2 + i
= r2 (cos2 - sin2) +(1+r2sin2)i
berarti u = r2(cos2 - sin2) dan v = 1+r2sin2) .
18
Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z)
dengan domain Dg.
Jika Rf Dg , maka ada fungsi komposisi (g ⃘f)(z) =
g(f(z)), dengan domain Df.
19
f g
fg
z )z(f
)z)(fg(
)z(fg
Jika Rg Df , maka ada fungsi komposisi (f ⃘g)(z) =
f(g(z)), dengan domain Dg.
Tidak berlaku hukum komutatif pada (g ⃘f) (z) dan (f ⃘g)(z).
20
g f
gf
z )z(g
)z)(gf(
)z(gf
Contoh :
Misal: f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i
‣ Jika Rf Dg ,
maka (g ⃘f) (z) = g (f (z))
= g(3z – i)
= (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i
= 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i
= 9z2 – 3z – 2 – 6iz
21
Jika Rg Df ,
maka (f ⃘g) (z) = f (g (z))
= f(z2 + z –1 + i)
= 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Jadi (g ⃘f) (z) (f ⃘g)(z) atau
(g ⃘ f) (f ⃘g), (tidak komutatif)
22
Interpretasi Geometris
Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain
ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv
yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-
masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z
pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan
(z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat
menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat
melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan
memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan
(transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W
dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut
peta dari z.
23
Contoh 1 :
Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1,z2, w1 , dan w2 dapat dilihat di bawah ini
24
X U
Y V
1z
2z
1w
2w
O O
Zbidang Wbidang
1
1
2
3
1
3
3
5
Contoh 2 :
Diketahui fungsi w = z2.
Dengan menggunakan z = r (cos+i sin), maka
diperoleh w = z2 = r2 (cos2+i sin2).
Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang
Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah
lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah 0 arg z
dipetakan menjadi daerah
0 arg w 2.
Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.
25
26
2
Zbidang
Wbidang
r
2r
27
Diketahui daerah D pada bidang
Z dan titik zo terletak di dalam D
atau pada batas D. Misalkan
fungsi w = f(z) terdefinisi pada D,
kecuali di zo.
oz
D z
),z(*N o
Apabila titik z bergerak mendekati
titik zo melalui setiap lengkungan
sebarang K dan mengakibatkan
nilai f(z) bergerak mendekati
suatu nilai tertentu, yaitu wo pada
bidang W, maka dikatakan limit
f(z) adalah wo untuk z mendekati
zo, ditulis :
)z(f
),w(N o
ozz
w)z(flimo
Limit
ow
D
K
Zbidang
Wbidang
Definisi :
Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D,
kecuali di zo (titik zo di dalam D atau pada batas D). limit
f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, jika untuk setiap >
0, terdapat > 0 sedemikian hingga
|f(z) – wo |< , apabila 0 <|z – zo|< ,
ditulis:
28
ozz
w)z(flimo
Perlu diperhatikan bahwa :
1. Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.
2. Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K,
artinya z menuju zo dari segala arah.
3. Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang
berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang
berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk
z mendekati zo.
29
Contoh 1 :
Buktikan bahwa :
Bukti:
Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari >0 sedemikian, sehingga:
, untuk z 2
Lihat bagian sebelah kanan
30
|5
2z2z3z2
||2z|02
52z
2z3z2lim
2
2z
Dari persamaan kanan diperoleh:
Hal ini menunjukkan bahwa telah diperoleh.
31
2|2z|
|)2z(2|
|)2z(
)2z)(51z2(|
|5)2z(
)2z)(1z2(||5
2z2z3z2
|2
2
Bukti Formal :
Jika diberikan > 0 , maka terdapat , sehingga untuk z 2, diperoleh
Jadi apabila
Terbukti
32
2|)2z(2|
|5)2z(
)2z)(1z2(|
|52z
2z32z2||2z|0
2
|5
2z2z32z2
|2
|2z|0
52z
2z3z2lim
2
2z
Teorema Limit :
Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka
nilai limitnya tunggal.
Bukti:
Misal limitnya w1 dan w2, maka
33
21
21
2121
2
11
wwjadi
wwsehingga
22w)z(f)z(fww)z(f)z(fw
2w)z(f
2)z(fww)z(f
Teorema 2 :
Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
dengan domain D. Titik zo = (xo,yo) = xo+iyo di dalam D
atau batas D.
Maka jika dan hanya jika
dan
34
oozz
iyx)z(flimo
ozz
x)y,x(ulimo
ozz
y)y,x(vlimo
Teorema 3 :
Misalkan fungsi f dan g limitnya ada.
lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka
1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z → zo)
2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → zo)
3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → zo)
Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !
35
Contoh 1 :
Hitunglah
Jawab:
36
iz1z
lim2
iz
i2
)iz(lim
iz)iz)(iz(
limiz1z
lim
iz
iz
2
iz
37
Contoh 2 :
Jika . Buktikan tidak ada !i1y
x
yx
xy2)z(f
2
22
)z(flim
0z
Bukti :
Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang
garis y = 0, maka
Sedangkan di sepanjang garis y = x,
Dari 1 dan 2, terbukti tidak ada
10ixlim)z(flim)z(flim 2
0x)0,0()0,x(0z
21)i1x
x1(lim)z(flim)z(flim
2
0x)0,0()x,x(0z
)z(flim0z
Kekontinuan Fungsi
Definisi :
Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan
titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan
kontinu di zo jika untuk z menuju zo,
maka lim f(z) = f(zo).
38
Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :
Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika
f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut.
39
)z(f)z(flim.3
ada)z(flim.2
ada)z(f.1
ozz
zz
o
o
o
Teorema 4 :
Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik
pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka
fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan
v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).
40
Teorema 5 :
Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing-
masing fungsi :
1. f(z) + g(z)
2. f(z) . g(z)
3. f(z) / g(z), g(z) 0
4. f(g(z)); f kontinu di g(zo),
kontinu di zo.
41
42
Contoh 1 :
Fungsi f(z) = , apakah kontinu di 2i
Jawab :
f(2i) = 3 + 4(2i) = 3 + 8i,
sedangkan untuk z mendekati 2i, lim f(z) = z + 2i,
jadi f(z) diskontinu di z = 2i.
i2z,z43
i2z,i2z4z2
)i2(f)z(flimsehinggai2z
43
Contoh 2.
Dimanakah fungsi kontinu ?
Jawab :
Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan
z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah
2z3z
1z)z(g
2
2
2zz