bab 2 limit dan kekontinuan fungsi.pdf
DESCRIPTION
Bahan KalkulusTRANSCRIPT
BAB 2 : FUNGSI DAN LIMITOLEH : ETIS SUNANDI, M.Si
1kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2
Perhatikan fungsi :
1
1)(
2
x
xxf
Fungsi di atas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut :
x
f(x)
0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011
?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1
Apakah Fungsi di atas terdefinisi di x=1 ?
LIMIT
kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
LIMIT
Definisi (Pengertian Limit Secara Instuisi)
3kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
4
cx
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri. Dinotasikan :
)(lim xfcx
)(lim xfcx
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan. Dinotasikan :
c x
Hubungan antara limit dengan limit kiri dan Limit kanan :
LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN
LxfLxfLxfcxcxcx
)(limdan)(lim)(lim
)(lim xfcx
)(lim xfcx
)(lim xfcx
Teorema :
Tidak ada
kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
5
1,2
10,
0,
)(2
2
xx
xx
xx
xf
)(lim0
xfx
)(lim1
xfx
Contoh Diketahui
a. Hitung
)(lim2
xfx
d. Gambarkan grafik f(x)
c. Hitung
b. Hitung Jika ada
1.
kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
6
)(lim0
xfx
0lim 2
0
x
x
)(lim0
xfx
0lim0
x
x
0)(lim0
xfx
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri danlimit kanan di x=1
)(lim2
xfx
62lim 2
2
x
x
)(lim1
xfx
1lim1
x
x
)(lim1
xfx
32lim 2
1
x
x
)(lim)(lim11
xfxfxx
)(lim1
xfx
Karena Tidak ada
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perludicari limit kiri dan limit kanan di x=2
Jawab :
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri danlimit kanan di x=0
kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
7
d.
Untuk x 02)( xxf
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk 1
22)( xxf Grafik: parabola
1
3
º
di x=1 limit tidakada
kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
8
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
1,
1,3)(
2 xcx
xcxxf
mempunyai limit di x=-1
Jawab
Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan
)(lim1
xfx
ccxx
33lim1
)(lim1
xfx
ccxx
1lim 2
1
Agar limit ada 3+1c=1-c
C=-1
kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
9
Pengertian Limit Secara Formal
Definisi
Misal f terdefinisi pada selang buka I yang memuat c, kecuali c itusendiri.
Limit fungsi f di c adalah L ,ditulis berarti bahwa : Lxfcx
)(lim
|)(|||00,0 Lxfcx
Limit Sepihak
limit kiri :
limit kanan :
|)(|00,0jika)(lim LxfxcLxfcx
|)(|00,0jika)(lim LxfcxLxfcx
kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Contoh :
Buktikan bahwa 573lim4
xx
Jawab :
1. Analisis pendahuluan : akan dicari δ sedemikian sehingga :
|573||4|0 xx
Perhatikan bahwa :
2. Bukti formal : andaikan diberikan ε > 0. Pilih δ=ε/3. maka , menyebabkan : |4|0 x
43|123||573| xxx
( terbukti )
3
1443||573| xxx
3/3343|123||573| xxx
10kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
TEOREMA LIMIT UTAMA
11kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
12
Prinsip Apit
Jika untuk setiap x di sekitar c, kecuali di c dan)()()( xhxgxf
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim Lxgcx
)(lim
kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
13kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
14kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
15kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
16kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
TIPS PENGERJAAN SOAL LIMIT
• Subtitusi langsung
• Pemfaktoran
• Perkalian dengan sekawannya
• … dst
17kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
KEKONTINUAN FUNGSI
18kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = c jika
)()(lim cfxfcx
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a
(i)
ºf(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
Definisi kekontinuan di suatu titik :
19kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya
2
4)(
2
x
xxf
2,3
2,2
4)(
2
x
xx
xxfa. b.
2,1
2,1)(
2 xx
xxxfc.
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2
b. f(2) = 342lim
)2(
)2)(2(lim
2
4lim
22
2
2
xx
xx
x
xxxx
)2()(lim2
fxfx
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2
20kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
c. 312)2( 2 f
31lim)(lim22
xxf
xx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2()(lim2
fxfx
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
21kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
22kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
23
Kekontinuan pada interval
• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bilaf(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b] bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakanf(x) kontinu ( dimana-mana ).
lim ( ) ( )x a
f x f a
lim ( ) ( )x b
f x f b
kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
• Fungsi Rasional kontinu di setiap bilangan Riil.
• Misalkan , maka
– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil
– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema di atas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0
atau x>4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n xxf )(
4)( xxf
)4(04lim)(lim44
fxxfxx
24kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
))(( xgf
• Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Jika dan f(x) kontinu di L, maka
• Teorema kekontinuan fungsi komposisi:
Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di a.
Bukti
karena f kontinu di g(a)
= f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
Lxgax
)(lim
)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax
))((lim))((lim xgfxgfaxax
))(lim( xgfax
25kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Contoh soal
Apakah fungsi-fungsi di atas kontinu pada titik x=1,2,3, dan 5 ?
26kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
27kalkulus-12 etis sunandi, M.Si
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.