TRABAJO COLABORATIVO # 2

Presentado Por:

JARY MARCELA BURBANO ORTEGA

LUIS FERNANDO JIMENEZ

Tutora:

MERENICE HUERTAS BELTRAN

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

2014

INTRODUCCION

En este trabajo pretendemos desarrollar ejercicios correspondientes a la temática de

funciones, trigonometría e hipernometria; entendiendo a cada una de ellas como ramas

importantes dentro del estudio de las matemáticas y el desarrollo de la materia que llevamos

a cabo.

En cuanto al tema de las funciones se desarrollaran unas relacionadas al dominio y rango y a

las operaciones dadas entre las mismas; la trigonometría desarrolla su temática dentro de las

identidades trigonométricas y de problemas relacionados con la ejecución de teoremas y

aplicación del conocimiento referente al estudio de las situaciones triangulares. Por ultimo

encontramos el tema de la hipernometria relacionada con el estudio de las funciones

hiperbólicas que parten del estudio del entendimiento y desarrollo de un ejercicio con el

concepto de cada función hiperbólica.

Ejercicio #1

𝑓(𝑥) =𝑥 + 5

√1 − √𝑥 − 2

Para sacar el dominio de la función debemos empezar analizando su denominador ya que

no nos puede dar 0 porque no se puede resolver

Verifiquemos el denominador

√1 − √𝑥 − 2

Si analizamos √𝑥 − 2 x no puede ser < 2 ya que daría negativo y no se podría resolver por

ende x tendría que ser >= 2

Ya tenemos despejando la primera raíz decimos que x debe ser x>=2 pero ahora analicemos

tomando toda la fracción del denominador

√1 − √𝑥 − 2

Deduciendo debemos decir que √𝑥 − 2 su resultado debe de ser <1 ya que si sería >=1 no

se podría resolver ejm:

Si decimos que x = 3

√1 − √3 − 2 = √1 − 1 = 0 No se podría resolver ya que su resultado es 0

Si decimos que x = 4

√1 − √4 − 2 = √1 − 1.41 = √−0.41 No se podría resolver

Entonces concluimos que x esta entre todos los racionales donde x es mayor o igual a 2

pero menor que 3 expresado seria:

{𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 2 ≤ 𝑥 < 3}

Ejercicio #2

𝑥

𝑥2 + 𝑥 + 4

𝑥

𝑥(𝑥 + 1) + 4

El rango de la ecuación esta entre:

{𝑥 ∈ 𝑅 ∶ −1

3≤ 𝑦 ≤

1

5}

Ejercicio #3

Dada las funciones 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 Determine:

𝑎. 𝑓 − 𝑔

(√𝑥 + 1) − (𝑥2 + 1)

−𝑥2 + √𝑥 + 1 − 1

𝑏. 𝑓 + 𝑔

√𝑥 + 1 + (𝑥2 + 1)

𝑥2 + √𝑥 + 1 + 1

𝑐. 𝑓 𝑜 𝑔

Realizamos 𝑓 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑔

√(𝑥2 + 1) + 1

√𝑥2 + 2

𝑑. (𝑓𝑜𝑔)(3)

Realizamos 𝑓 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑔

√(𝑥2 + 1) + 1

√𝑥2 + 2

Luego dice que la x esta evaluada en 3 entonces realizamos la sustitución

√(3)2 + 2

√11 = 3.31

Ejercicio #4

Dada las funciones 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 1 𝑔(𝑥) = √𝑥 Determine:

𝑎. 𝑓 + 𝑔

4𝑥2 − 1 + √𝑥

4𝑥2 + √𝑥 − 1

𝑏. 𝑓 − 𝑔

4𝑥2 − 1 − √𝑥

4𝑥2 − √𝑥 − 1

𝑐. ( 𝑓 𝑜 𝑔)(1)

Realizamos 𝑓 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑔

4(√𝑥)2 − 1

4𝑥 − 1

Luego dice que la x esta evaluada en 1 entonces realizamos la sustitución

4(1) − 1 = 3

d. (𝑔 𝑜 𝑓)(2)

Realizamos 𝑔 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑓

√4𝑥2 − 1

Luego dice que la x esta evaluada en 2 entonces realizamos la sustitución

√4(2)2 − 1

√15 = 3.87

Ejercicio #5

1

𝑐𝑜𝑡2𝑥+

1

sin 𝑥 csc 𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Se descompone la función Cscx establecida en el denominador para cancelar con la función

Senx

1

𝑐𝑜𝑡2𝑥+

1

sin 𝑥1

sin 𝑥

= 𝑠𝑒𝑐2𝑥

1

𝑐𝑜𝑡2𝑥+ 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Se realizan la respectiva suma de fraccionarios

1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥

𝑐𝑜𝑡2𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Transformamos la función 1+cot2x=csc2x

𝑐𝑠𝑐2𝑥

𝑐𝑜𝑡2𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Transformamos las dos funciones y realizamos la división

1

𝑠𝑒𝑛2𝑥÷

𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Se cancelan la función Sen2x en los denominadores de cada fracción por ser términos

semejantes

1

𝑐𝑜𝑠2𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Se igualan las identidades

𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Ejercicio #6

Verifique la siguiente identidad

𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 = 1

Reemplazamos términos teniendo en cuenta Las definiciones

(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2)

2

− (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2)

2

= 𝑒2𝑥 + 2 + 𝑒−2𝑥

4−

𝑒2𝑥 − 2 + 𝑒−2𝑥

𝑒2𝑥 + 2 + 𝑒−2𝑥 − 𝑒2𝑥 + 2 − 𝑒−2𝑥

4

Cancelamos términos

4

4= 1

Ejercicio #7

El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de

depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿ Cuánto necesita

avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

mar

12°

12°

Distancia naufrago

El fondo del mar es paralelo a la superficie del agua, el ángulo desde los restos del

naufragio hasta el barco es igual al ángulo desde el barco hasta los restos del

naufragio.

El buzo es bajado (40 m) esta es la longitud del lado opuesto al ángulo de 12°. La

distancia que el buzo necesita avanzar es la longitud del lado adyacente al ángulo de

12°. Por esto se utiliza la tangente.

tan 12° =40

d

𝑑(tan 12°) = 40

𝑑 =40

𝑡𝑎𝑛 12°

𝑑 = 188,19

El buzo necesita avanzar 188,19 metros para llegar al naufragio

Ejercicio #8

Desde un extremo de un puente de 270 metros de longitud se divisa un punto ubicado en el

fondo de un precipicio con un ángulo de depresión de 74°, y desde el otro extremo del

puente se aprecia el mismo punto con un ángulo de 69°. Calcule, en metros la distancia

desde el segundo extremo del puente al punto divisado.

270 metros

74° 69°

d=?

Para calcular el Angulo faltante sumamos los dos ángulos y luego restamos su resultado por

180

74+69=143

180-143=35

El ángulo faltante es 35°

Aplicamos el teorema de seno:

𝑑

𝑠𝑖𝑛74°=

270

sin37°

𝑑 =270 ∗ 0,96

0,60

𝑑 = 432

La distancia desde el segundo extremo del puente al punto divisado es 432 metros.

Ejercicio #9

9. Encuentre el Valor de X

3 sin 𝑥 tan 𝑥 + 3 sin 𝑥 − tan 𝑥 − 1 = 0

Lo primero que vamos a realizar es una factorización de términos

3 sin 𝑥(tan 𝑥 + 1) − (tan 𝑥 + 1) = 0

(3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)(𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1) = 0

Sacamos los dos paréntesis y realizamos la respectiva evaluación

3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0

𝑠𝑒𝑛𝑥 =1

3→ 𝑥 = sin−1

1

3

X=19.47

𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1 = 0

𝑡𝑎𝑛𝑥 = −1 → 𝑥 = tan−1 −1

X=135 y 225