3.1. derivaatan mÄÄritelmÄ kirja, e.1. s. 62 – 63 3.1.1. erotusosamäärä (eom)
DESCRIPTION
3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ Kirja, E.1. s. 62 – 63 3.1.1. Erotusosamäärä (EOM) Funktion y = f(x) erotusosamäärä kohdasta x 0 kohtaan x (x 0 ¹ x) on. E.1 . Laske funktion f(x) = x 2 + 2x erotusosamäärä a) kohdasta 1 kohtaan 2 b) kohdassa 3. a). b). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ
Kirja, E.1. s. 62 – 63
3.1.1. Erotusosamäärä (EOM)Funktion y = f(x) erotusosamäärä kohdasta x0 kohtaan x (x0 x) on
x
f
x
y
xx
xfxf
0
0 )()(
E.1. Laske funktion f(x) = x2 + 2x erotusosamäärä a) kohdasta 1 kohtaan 2 b) kohdassa 3.
12
)1()2(
ff
a)
1
)121()222( 22 538
3
)3()(
x
fxf3
)323()2( 22
x
xx
5x
b)
3
1522
x
xx3
)5)(3(
x
xx
3.1.2. Tangentin kulmakerroin. Derivaatta
Kirja, s. 64 - 65
lim0xx 0
0 )()(
xx
xfxf
Derivaatan määritelmäFunktion f(x) derivaatta kohdassa x0
f ´(x0) =
eli kohdassa x0 lasketun EOM:n raja-arvo
raja-arvon ollessa olemassa, on funktio f derivoituva kohdassa x0
Jos EOM:llä vain oikeanpuoleinen (vasemmanpuoleinen) raja-arvo, niin f on kohdassa x0 oikealta (vasemmalta) derivoituva.
Merkinnätf’ (x0+) [f ’ (x0-) ]
Derivaatan määritelmä voidaan kirjoittaa myös muotoon
h
xfhxfxf
h
)()()(' 00
00 lim
E.2. Mikä on funktion f(x) = x2 + 2x + 3 kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin?
1
)1()(
x
fxf
1
)3121()32( 22
x
xx
3x
1
6322
x
xx
1
)3)(1(
x
xx
1
322
x
xx
4)3(lim1
x
x
Tangentin kulmakerroin
E.3. Olkoon f(x) = x2 - 3x. Laske f ‘ (1)
1
)1()(
x
fxf1
)131()3( 22
x
xx2x
1
232
x
xx1
)2)(1(
x
xx
121)2()1(' lim1
xf
x
3.1.3. Derivoituvuus ja jatkuvuus3.1.3. Derivoituvuus ja jatkuvuus
Olkoon funktio määritelty jollakin välillä I. Sanomme että f on derivoituva välillä I, jos se on derivoituva välin jokaisessa kohdassa.
LauseLauseDerivoituva funktio on aina jatkuva
(jatkuvuus on derivoituvuudelle välttämätön ehto, mutta ei riittävä)
3.1.4. Derivaattafunktio3.1.4. Derivaattafunktio
Kirjan E.1., s 69
Määritä funktion f(x) = x2 derivaatta kohdassa
a) -2 b) 1 c) ½ d) x0
d ensin:
0
0 )()(
xx
xfxf
0
20
2
xx
xx
0xx
00000 2)()(' lim0
xxxxxxfxx
0
00 ))((
xx
xxxx
4)2(2)2(' f
2)1(' f
1(½)' f
f(x) = x2
f ’(x) = 2x
E.4.E.4. (t. 168) Laske kahta erotusosamärän eri muotoa käyttäen funktion
derivaatta
0)(x 1
)( x
xf
0
0 )()(
xx
xfxf
x
f
0
0
11
xx
xx
0
00
0
xx
xxx
xxx
0
0
0
xx
xxxx
)( 00
0
xxxx
xx
0
1
xx
20
1
x
2
1)('
xxf
h
xfhxf
x
f )()(
hxhx11
h
hxxhx
hxxx
)()(
2
1
x
hhxxhxx)(
hhxx
h
)( )(
1
hxx kun h 0
Derivaattafunktio f’ on funktio, jonka arvot ovat annetun funktion f derivaatan arvoja kaikilla kohdilla x
Derivoiminen = derivaattafunktion (*derivaatta) muodostaminenMerkintöjä: f’ , Df, df/dx, y’, dy/dx (ks. E.2. s.70)
Vakiofunktion derivaatta Dc = 0
Identtisen funktion derivaatta D(x) = 1
ks. E.3. kirja s. 71
3.1.5. Korkeamman kertaluvun derivaatat3.1.5. Korkeamman kertaluvun derivaatat
Toisen kertaluvun derivaatta f ’’
2
2
2
22
dx
yd ,'y' ,
dx
fd f,D
n
n(n)
n
nn
dx
yd ,y ,
dx
fd f,D
Yleisesti:
”derivoidaan derivaattafunktio”
Kirjan esimerkki 1, s. 72