Puun määritelmäPuun määritelmä Puu on yhden tai useamman kytketyn solmun muodostama hierarkinen

joukko Lehtisolmuista juurisolmuun on yksikäsitteinen polku Käytetään haku, lajittelu ja grafiikka algoritmeissa

juurisolmu

lehtisolmuja

sisäsolmuja

PuutPuut

Puu koostuu solmuistaSolmut koostuvat tietoalkiosta ja linkeistä

solmulinkki

tietoalkio

Puut – solmun astePuut – solmun aste

Solmun aste (out-degree) tarkoittaa alipuiden lukumäärää

Puun aste on maksimi solmujen asteista

solmun aste = 2solmun aste = 3

Puut – vanhempisuhdePuut – vanhempisuhde

Solmu jolla on alipuita on alipuiden juurisolmujen vanhempi ja alipuiden juurisolmut ovat lapsia

B on E:n ja F:n vanhempi A:lla ei ole vanhempia

Puut – lapsisuhdePuut – lapsisuhde

Solmu jolla on vanhempi on sen lapsi

B, C ja D ovat A:n lapsia

F:llä ei ole lapsia

Puut – sisaruussuhdePuut – sisaruussuhde

Saman vanhemman lapset ovat sisaruksia

B, C ja D ovat sisaruksia keskenään

A:lla ei ole sisaruksia

Puut – esivanhemmatPuut – esivanhemmat

Kaikki solmut juurisolmusta solmun X vanhempaan ovat X:n esivanhempia

A, B ja E ovat L:n esivanhempia

A:lla ei ole esivanhempia

Puut – jälkeläisetPuut – jälkeläiset

Kaikki alipuun jonka juurisolmuna X on ovat X:n jälkeläisiä

A: jälkeläiset ovat: B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M

F:llä ei ole jälkeläisiä

B:n jälkeläiset ovat:E, F, K ja L

Puut – solmun tasoPuut – solmun taso

Juurisolmu on tasolla yksiMuiden taso on vanhemman taso + 1

1

2

3

4

taso

BinääripuuBinääripuu

Solmun lapsien maksimimäärä on kaksi

12

453

7 31 55

Binääripuu toteutettuna linkeillä Binääripuu toteutettuna linkeillä

Binääripuu toteutettuna Binääripuu toteutettuna taulukon avullataulukon avulla

Täydellinen (perfect) Täydellinen (perfect) binääripuubinääripuu

Jokaisella solmulla on 0 tai 2 lastaKaikki lehtisolmut ovat samalla tasolla

A

CB

E F GD

Täysi binääripuuTäysi binääripuu

Jokaisella solmulla on 0 tai 2 lasta

A

CB

ED

Täydellinen (complete) Täydellinen (complete) binääripuubinääripuu

Kaikki tasot ovat täynnä alinta tasoa lukuunottamatta Alimmalla tasolla solmut ovat vasemmassa

reunassa

A

CB

E FD

Complete Tree

Täydellinen (complete) Täydellinen (complete) binääripuubinääripuu

Kaikki tasot ovat täynnä alinta tasoa lukuunottamatta Alimmalla tasolla solmut ovat vasemmassa

reunassa

A

CB

E F G

Not a Complete Tree

Solmujen lukumäärä Solmujen lukumäärä binääripuussa – huonoin tapausbinääripuussa – huonoin tapausSolmujen lukumäärä on NHuonoimmassa tapauksessa (lista) puun

syvyys on NA

C

B

Solmujen lukumäärä Solmujen lukumäärä binääripuussa – paras tapaus binääripuussa – paras tapaus

Parhaassa tapauksessa puu on täydellinen (perfect)

A

CB

E F GD

Solmujen lukumäärä Solmujen lukumäärä täydellisessä binääripuussatäydellisessä binääripuussa

Tasolla 1 on yksi solmuTasolla 2 on kaksi solmuaTasolla 3 on neljä solmua…Tasolla n on 2n-1 solmua

Solmujen lukumäärä Solmujen lukumäärä täydellisessä binääripuussatäydellisessä binääripuussa

Tasolla n on 2n-1 solmuan:llä tasolla on yhteensä N=1+21+22+…+2n-2+2n-1=2n-1 solmuaTällöin täydellisen (perfect) binääripuun

syvyys n=log2(N+1)

Täysi ja täydellinen binääripuu minimoivat puun syvyyden, joka nopeuttaa operaatioita (lisää, etsi, tuhoa).

Binäärinen hakupuuBinäärinen hakupuu

Jokaisessa solmussa on yksikäsitteinen avainvasemmat jälkeläiset < nykyinen solmu <

oikeat jälkeläiset 9

116

7 105

Avaimen poisto binäärisestä Avaimen poisto binäärisestä hakupuustahakupuusta

Poistetaan avain 60

Puussa kulkeminenPuussa kulkeminen

Läpikäyntijärjestyksiä: - esijärjestys (preorder) - sisäjärjestys (inorder) - jälkijärjestys (postorder) - tasojärjestys (level order)

EEsijärjestys (preorder)sijärjestys (preorder)

Järjestys: juuri – vasen alipuu - oikea alipuuA B D E C F

A

CB

E FDvoid esijarjestys(puuos alkio){ if(alkio){ tulosta_alkio(alkio); esijarjestys(alkio->vasen); esijarjestys(alkio->oikea); }

depth first-haku: “etsitään tietty haara mahdollisimman pitkälle ennen kuin peräännytään”

Binääripuu animaatioitaBinääripuu animaatioita

http://www.student.seas.gwu.edu/~idsv/idsv.html

SisäSisäjjärjesärjestys (tys (ininorder)order)

Järjestys:vasen alipuu - juuri - oikea alipuuD B E A F C

A

CB

E FDvoid sisajarjestys(puuos alkio){ if(alkio){ sisajarjestys(alkio->vasen); tulosta_alkio(alkio); sisajarjestys(alkio->oikea); }• hakupuun sisältö aakkostettuna

Binäärisen hakupuun läpikäynti Binäärisen hakupuun läpikäynti sisäsisäjjärjesärjestytyksessäksessä ( (ininorder)order)

Järjestys:vasen alipuu - juuri - oikea alipuu5 6 7 9 10 11

9

116

7 105void sisajarjestys(puuos alkio){ if(alkio){ sisajarjestys(alkio->vasen); tulosta_alkio(alkio); sisajarjestys(alkio->oikea); }

JälkijärjesJälkijärjestys (tys (postpostorder)order)

Järjestys:vasen alipuu - oikea alipuu – juuriD E B F C A

A

CB

E FDvoid jalkijarjestys(puuos alkio){ if(alkio){ jalkijarjestys(alkio->vasen); jalkijarjestys(alkio->oikea); tulosta_alkio(alkio); }

TasojärjesTasojärjestys (level order)tys (level order)

Järjestys:A B C D E F

A

CB

E FD

breadth first haku: “etsitään tietyllä etäisyydellä juuresta olevia solmuja.”

Maksimi- ja minimikekoMaksimi- ja minimikeko

Täydellinen binääripuu jonka jokaisen solmun avain on suurempi (pienempi) tai yhtäsuuri kuin lasten avain

Suurimman (pienimmän) alkion etsiminen on nopeaa

ValintapuuValintapuu