Le c t u r e 5 | 1

©S u j i n K h o m r u t a i

1. อนกรมฟเรยร (Fourier Series)

การกระจายอนกรมฟเรยร มแนวคดมาจากการพยายามหาผลเฉลยของ สมการความรอน หรออกชอหนง คอ สมการการแพร ตอไปน

โดยฟงกชน แทนความรอนบนแทงโลหะ ทต าแหนง ณ เวลา ใดๆ

Le c t u r e 5 | 2

©S u j i n K h o m r u t a i

สมการความรอนเปนตวอยางของ สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equation หรอเรยกสนๆ วา PDE) หนงในวธแกสมการความรอน และ PDE ใดๆ คอ เทคนคแยกตวแปร

ซงจะพดถงโดยละเอยดในบทตอไป

เมอใชเทคนคแยกตวแปรกบสมการความรอนจะไดวาผลเฉลยเขยนไดเปน

โดย ขนกบ และ ค านวณไดจากคาเรม ตน ซงจะก าหนดใหแกสมการ จงเปนการนาสนใจทจะศกษาอนกรมขวามอ

Le c t u r e 5 | 3

©S u j i n K h o m r u t a i

บทนยาม ให เปนฟงกชนตอ เนองเปนชวงๆ อนกรมฟเรยร ของ คอ

โดย ค านวณไดจากสตร

และ

ส าหรบ

เรยก วา สมประสทธอนกรมฟเรยรของ

Le c t u r e 5 | 4

©S u j i n K h o m r u t a i

สตรตอไปนชวยใหค านวณอนกรมฟเรยรไดงายขน

1. ส าหรบคาคงตว ใดๆ

2. ส าหรบคาคงตว ใดๆ

3. ส าหรบจ านวนเตม ใดๆ

Le c t u r e 5 | 5

©S u j i n K h o m r u t a i

ตวอยาง จงหาอนกรมฟเรยรของฟงกชน

วธท า

Le c t u r e 5 | 6

©S u j i n K h o m r u t a i

2. การมอยของอนกรมฟเรยร

ถา เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงๆ จะไดวา หาคาไดเสมอ แตอนกรมฟเรยรทไดอาจ ไมลเขาซกจดเลย เงอนไขทอนกรมจะลเขา คอ ตองตอเนองเปนชวงๆ ดวย ยงกวานน

ทฤษฎบท ถา เปนฟงกชน โดย ตอเนองเปนชวง แลวอนกรมฟเรยรของ

จะลเขาทกจด โดย

เมอ แทนลมตซายและขวาท

Le c t u r e 5 | 7

©S u j i n K h o m r u t a i

หมายเหต (1) ทจดปลาย จะไดวาอนกรมลเขาไปส

(2) ถา เปนฟงกชนตอเนองและ ตอเนองเปนชวงๆ จะไดวา

ดงนน สามารถแทนฟงกชนไดดวยอนกรมฟเรยร

ในหวขอตอจากน หากไมระบเงอนไขของ และจะนยามอนกรมฟเรยรของ จะสมมตวา ตอเนองเปนชวงๆเสมอ

Le c t u r e 5 | 8

©S u j i n K h o m r u t a i

ตวอยาง จงกระจายอนกรมฟเรยรของ

เมอ – และแสดงวา

วธท า

Le c t u r e 5 | 9

©S u j i n K h o m r u t a i

3. อนกรมฟเรยรของฟงกชนคาบ

หวขอตอไปจะขยายอนกรมฟเรยร ไปฟงกชนทนยามบน และเปนฟงกชนคาบ

บทนยาม ฟงกชน จะกลาววาเปน ฟงกชนทมคาบ กตอเมอ

Le c t u r e 5 | 10

©S u j i n K h o m r u t a i

ถา เปนฟงกชนทมคาบ กราฟของ จะไดจากการส าเนาสวนของกราฟทอยบนชวง

แนวนอนดวยระยะทาง ทงซายและขวา ดงนนเปนการเพยงพอ ทจะพจารณาคาของ บนชวง

บทนยาม ให เปนฟงกชนคาบทมคาบยาว

อนกรมฟเรยร ของ นยามเทากบ อนกรมฟเรยรของฟงกชนทมโดเมน

ทไดจาก

Le c t u r e 5 | 11

©S u j i n K h o m r u t a i

Le c t u r e 5 | 12

©S u j i n K h o m r u t a i

ตวอยาง ให

และ ส าหรบทก จงหาอนกรมฟเรยรของ

วธท า

Le c t u r e 5 | 13

©S u j i n K h o m r u t a i

ตวอยาง จงหาคาบและอนกรมฟเรยรของ

วธท า

Le c t u r e 5 | 14

©S u j i n K h o m r u t a i

4. อนกรมฟเรยรไซนและโคไซน

กอนอนนยามฟงกชนคและฟงกชนคดงน

บทนยาม ให จะเรยก วา ฟงกชนค กตอเมอ

และจะเรยก วา ฟงกชนค กตอเมอ

ขอสงเกต ถา เปนฟงกชนคจะได

และ ถา เปนฟงกชนคจะได

Le c t u r e 5 | 15

©S u j i n K h o m r u t a i

Le c t u r e 5 | 16

©S u j i n K h o m r u t a i

ตวอยาง จงแสดงวา

1. ถา เปนฟงกชนค แลว จะเปนฟงกชนคดวย

2. ถา เปนฟงกชนค แลว จะเปนฟงกชนค

3. ถา เปนฟงกชนค และ เปนฟงกชนค แลว จะเปนฟงกชนค

วธท า

Le c t u r e 5 | 17

©S u j i n K h o m r u t a i

ทฤษฎบท ให เปนฟงกชนทมคาบ

1. ถา เปนฟงกชนค จะไดวา

และอนกรมฟเรยรของ เทากบ

2. ถา เปน ฟงกชนค จะไดวา

ดงนนกรณน อนกรมฟเรยรคอ

Le c t u r e 5 | 18

©S u j i n K h o m r u t a i

บทนยาม เราจะเรยกอนกรมฟเรยรของฟงกชนค ทมแคเทอมไซนวา อนกรมฟเรยรไซน และเรยกอนกรมฟเรยรของฟงกชนค ทมแตเทอมโคไซนวา อนกรมฟเรยรโคไซน

อนกรมทงสองแบบจะมประโยชนอยางยงในการแกปญหาคาขอบในสมการเชงอนพนธยอย ทก าหนดเงอนไขขอบแบบตางๆกน

Le c t u r e 5 | 19

©S u j i n K h o m r u t a i

ตวอยาง จงหาอนกรมฟเรยรของฟงกชน

วธท า

Le c t u r e 5 | 20

©S u j i n K h o m r u t a i

5. การกระจายครงชวง

หวขอนจะนยามอนกรมฟเรยรส าหรบ ทมโดเมนเปนชวง กอนอนตองขยายโดเมนของ ใหเตมชวง ซงท าไดสองแบบดงน

(i) ขยายเปนฟงกชนค โดยให

Le c t u r e 5 | 21

©S u j i n K h o m r u t a i

(ii) ขยายเปนฟงกชนค โดยให

จากหวขอทแลวไดวาอนกรมฟเรยรของ

เปนอนกรมฟเรยรโคไซน และอนกรมฟเรยรไซนตามล าดบ

Le c t u r e 5 | 22

©S u j i n K h o m r u t a i

บทนยาม ก าหนดให

(a) อนกรมฟเรยรไซน ของ คอ อนกรมฟเรยรไซนของ

(b) อนกรมฟเรยรโคไซน ของ คอ อนกรมฟเรยรโคไซนของ

เรยกการกระจายอนกรมฟเรยรทงสองแบบวา การกระจายครงชวง ของฟงกชน เหตผลในการเลอกกระจายครงชวงเปนอนกรมไซนหรอโคไซน เพราะท าใหได

มคาและ ตอเนองทจด

มคาและ ตอเนองทจด

เราจะไดเหนประโยชนตอไปตอนศกษา PDE

Le c t u r e 5 | 23

©S u j i n K h o m r u t a i

ตวอยาง จงหาอนกรมฟเรยรไซนและโคไซนของ

วธท า