3.3 canal awgn

MAGISTER EN SISTEMAS DE TELECOMUNICACIONES

TEORIA DE TELECOMUNICACIONES

TEMARIO

1. RUIDO EN CANALES AWGN.

2. MODELO DE CANAL VECTORIAL AWGN

3. DETECCIÓN OPTIMA EN CANALES AWGN

1. DETECTOR MAP

2. DETECTOR ML

4. PROBABILIDAD DE ERROR POR SÍMBOLO.

1. RUIDO EN CANALES AWGN

RUIDO EN CANALES AWGN

• La suposición de ruido blanco gaussiano es válidacuando modelamos el ruido térmico generado porlos equipos receptores analógicos.

• Su media es nula, y su autocorrelación y su DensidadEspectral de Potencia (DEP) vienen dadasrespectivamente por:

28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.

RUIDO EN CANALES AWGN

• Lo que significa que las muestras de ruidoestán incorreladas entre sí y que el ruido esestacionario en sentido amplio


2. MODELO DE CANAL VECTORIAL

MODELO DE CANAL VECTORIAL

� �



El demodulador en su conjunto posee la estructura:

Cada uno de los elementos �� se calcula como:



Donde:�� es la coordenada j-ésima del símbolo � que fue transmitido.

�� es la contribución del ruido gausiano introducido por el canal. 28/02/2015 Ing. Diego Guamialamá. MSc.


• Todas las componentes �� pueden expresarse

de forma conjunta empleando notaciónvectorial como:



• Cada una de las componentes �� del ruido debe ser

considerada como una variable aleatoria. Dado queel proceso del que proviene, �(�) , es gausiano,tendrá una función de densidad de probabilidadgausiana. Su media puede calcularse como:



La covarianza entre dos componentes de ruido resulta:



• Conclusión:

Las N componentes de ruido son variables gausianas

incorrelacionadas de media nula y varianza�

�.

• Una variable aleatoria gausiana queda unívocamentedeterminada a partir de su media y varianza, lafunciónde densidad de probabilidad de cada �� es:



• Bajo estadística gausiana incorrelación implicaindependencia, la función de densidad deprobabilidad conjunta de � es:



• A partir de la función de densidad de probabilidad delruido podemos obtener la de la salida deldemodulador condicionada al símbolo transmitido, esdecir de �� = �� + ��.

• La función de densidad de probabilidad de ��condicionada a �� (o, más concretamente, a que lacomponente j-ésima del símbolo transmitido, ��, tomeel valor ��) será gausiana de media �� y varianza

�

�.



��|�(�|��)



• El vector � definido como:

contiene toda la información relevante paradecidir qué símbolo fue el transmitido.

• Estrictamente, el vector � es un estadísticosuficiente para la detección.


3. DETECCIÓN OPTIMA EN CANALES AWGN.

MÁXIMA VEROSIMILITUD (ML)

• Con el criterio ML se cumple que:

1

'()

�*+

,�-,./

0

- >1

'()

�*+

,�-,.2

0

-


DECISOR ML

• Si el valor de � en el receptor es el etiquetado como �3 se cumple:

El decisor ML ofrecerá como salida 45.

• Si el valor de � en el receptor es el etiquetado como �5, se cumple::

El decisor ML podrá ofrecer como salida 43 o 45.

• Si el valor de � en el receptor es el etiquetado como ��, se cumple:

y el decisor ML ofrecerá como salida 43.


DECISOR ML

Conclusión 1:

• Para tomar una decisión se debe calcular el valorde cada una de las funciones 67 4� ��|�(�|��)para el valor de entrada al decisor � = �3.

• Este cálculo puede ser realizado antes detransmitir símbolo alguno para todos los posiblesvalores de la entrada q y asignar de forma directaa cada posible valor de la entrada un símbolo 4�determinado.


DECISOR ML

• Cuando el valor de � sea menor que el etiquetado como �5 se cumple.

y asignar directamente como salida el símbolo 45.• De forma análoga:

y asignamos como salida el símbolo 43.

• Por lo tanto , en lugar de calcular las funciones 67 43 ��|�(�|�3) y67 45 ��|�(�|�5) para el valor de entrada correspondiente, sólo hayque comparar la entrada con �5: si es menor, el decisor MAP ofrecerácomo salida 45 y si es mayor, 43.


DECISOR ML


DECISOR ML

• El decisor ML se limita a escoger el símbolomás cercano al vector de entrada.

• Alternativamente, se puede decir que lasregiones de decisión 9� estarán formadas portodos los puntos que se encuentran más cercadel símbolo �� que de cualquier otro de laconstelación.


DECISOR MAP

• Podemos concluir que el decisor ML:

– Es un decisor de mínima distancia euclídea.

– Se basa en una función de densidad de probabilidad gausianade la entrada al decisor, y esta función de densidad deprobabilidad viene dada por la naturaleza del ruido presenteen el canal.

• Desde el punto de vista de la realización práctica del decisor, elcálculo de distancias puede simplificarse debido a que enrealidad nos interesa en obtener la distancia del vector deentrada al símbolo que se encuentra a una distancia menor.


DECISOR MAP

• Por lo tanto la ecuación 4.43 se reduce aencontrar:

• Donde:

�� es la energía del símbolo.


DECISOR MAP

Realización del decisor de máxima verosimilitud empleandocorrelacionadores.


MÁXIMO A POSTERIORI (MAP)

• Con el criterio MAP se cumple que:

1

'()

�*+

,�-,./

0

- 67(4�) >1

'()

�*+

,�-,.2

0

- 67(4�)


DECISOR MAP

• Al modificar las probabilidades a priori a67 45 = 267(43), el umbral de decisión seha trasladado de �5 a �=, que es el valor de �para el que se produce la igualdad.


4. PROBABILIDAD DE ERROR POR SÍMBOLO.

PROBABILIDAD DE ERROR POR SÍMBOLO

• El decisor MAP proporciona una menorprobabilidad de error.

• La probabilidad de error indica la fiabilidad delsistema de comunicación.


DECISOR BINARIO EN ESPACIO UNIDIMENSIONAL



• La región de decisión 93 estará formada portodos los valores de � más cercanos a �3 quea �5, es decir, por todos los valores de �

mayores que cero. Análogamente, la región dedecisión 95 estará formada por todos losvalores de � menores que cero. El umbral dedecisión es, por tanto, cero.



• Si suponemos que el símbolo transmitido es �3.La función de densidad de probabilidad de laentrada al receptor, ��|�(�|�3) es una gausianade media > y varianza

-

�.

• Para que se produzca un error de decisión el valorde entrada al decisor, �, ha de ser menor quecero. La probabilidad de ocurrencia de estesuceso (q < 0) es igual a la función de distribuciónde �|�3 en el umbral de decisión desde -∞ hasta0 de ��|�(�|�3).


DECISOR BINARIO EN ESPACIO MULTIDIMENSIONAL


DECISOR M-ario EN ESPACIO UNIDIMENSIONAL


DECISOR M-ario EN ESPACIO MULTIDIMENSIONAL



COTA SUPERIOR:

• Teorema: La probabilidad de error en un canalAWGN usando un detector ML viene acotada porla siguiente expresión:

• Donde:dmin es la distancia mínima entre dos símboloscualesquiera de la constelación.


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