lecture 17 probabilidad de error para señales en awgn parte 2
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2S 2009 - I. Zamora Uni VI-Conf 17: Detec. e Intr. Teoría Estimación1
Comunicaciones II
Conferencia 17: Probabilidad de error para señales en AWGN – Parte 2
UNIDAD VI: DETECCIÓN E INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN
Instructor: Israel M. Zamora, MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.
Universidad Nacional de Ingeniería
Universidad Nacional de Ingeniería
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Outline
• Análisis de Zonas• Procedimiento de cómputo de probabilidad de
error– Ejemplo práctico
• Probabilidad de error de algunos esquemas de transmisión pasabanda binario
• Probabilidad de error de algunos esquemas de transmisión pasabanda M-ario
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Análisis de Zonas
( ){ }
{ } { }{ } { } { }
( ) otransmitid es m que dado 1,2,...N,j ,2
N,sΝ σμ,Ν~R
y
mbra...PmbraPmbraP
m bra,...,bra ,bra P mZP
tenemos Así . ´s,by ,- serpodría ´sa M,1,2,...,i donde
bra,...,bra ,bra r,...,r,rZZ
por dorepresenta serpuede Zcasos, los de mayoría la en que Note
io
ij2
iNNNi222i111
iNNN222111ii
ii
NNN222111N21i
i
=
=
<<<<<<=
<<<<<<=∈∞∞=
<<<<<<==
r
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Procedimiento de cómputo de probabilidad de error (1)
( )
( ){ }NNN222111N21
i
i
iNi2i1
bra,...,bra ,bra r,...,r,rZ
por dorepresenta serpuede Zcasos, de mayoría
la En M.1,2,...,i , Zdecisión de región la determiney
M1,2,...,i ,s,...,s,s
señales)de ónconstelaci (o mensaje de puntos los Calcule
<<<<<<=
===is
Paso 1:
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Procedimiento de cómputo de probabilidad de error (2)
( )
{ } ( ) ( )
( ) { } ( ) ( )icie
N
1jijjic
oijjjijjj
ic
mP-1mP mbraPmP
Luego Q.función la de sen término Ffunción la Escriba
N1,2,...,j ,2
N,sN~R ,aFbFmbraP
calcule N,1,2,...,j cada para
:mientosubprocedi
siguiente el usando mP calcule M,1,2,...,i cada Para
=⇒<<=
=
−=<<
=
=
∏=
jϕ
Paso 2:
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Procedimiento de cómputo de probabilidad de error (3)
( )
( )i
M
1iiee
mP lesequiprobab símbolos para
mPM1
P
Calcule
∑=
=
Paso 3:
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Ejemplo (1/6)
•Determine la probabilidad media de error por símbolo para la constelación de señales mostrada abajo (NRZ Polar)
S1(t)
T
m1=0
-A
S2(t)
T
m2=1
A
ϕ1-A√T A √T
S1 S2
Z1 Z2
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Ejemplo (2/6)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )22
T
0
22T
0
222
22T
0
22T
0
221
2211
21212
2111
21111
TA dtA(t)dts E
TA dtA-(t)dts E
donde
TAs ó t TA tsts
T-As ó t TAtsts
:gráfica la De
2
1
===
===
===
=−==
∫∫
∫∫
ϕϕ
ϕϕ
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Ejemplo (3/6)
{ } { }0rr Z,0rrZ
TAs ,TAs 1m 0,m Fijamos
1111 21
221
21121
≥=<=
=−=⇒==
ϕϕϕϕ
Paso 1:
022
2111 =+−=+= TATAssγ
Donde para señales equiprobables, tenemos que el umbral de decisión o frontera entre lasregiones de decisión es igual a:
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Ejemplo (4/6)
( ) { }
( ) { } ( )
( ) { } ( )
( ) ( )
=⇒
−=
−−−=≥−=
====
−=≥≥−=
−=
<=
2
oe2
oc
2 o
2
c
2 o11
c
o2o11c
N
2TAQ0P
N
2TAQ10P
2N
TA0Q100rP10P
:ndosubstituye2
Nσy sμ 0,y rRcon
μQRP donde 00rP10P
2
N,TAN
2
N,sN~Rcon 00rP0P
,Calculamos
1
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
γ
σγγ
Paso 2-1:
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Ejemplo (5/6)
( ) { }
( )
( ) { }
( ) ( )
=⇒
−=
=
−=≥=
====
−=≥
=
≥=
2
oe2
oc
2
o2 o
2
c
2 o21
o2o21c
N
2TAQ1P
N
2TAQ11P
N
2TA-Q
2N
TA0Q10rP1P
:ndosubstituye2
Nσy sμ 0,y rRcon
μQRP donde
2
N,TAN
2
N,sN~Rcon 10rP1P
,Calculamos
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
γ
σγγ
Paso 2-2:
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Ejemplo (6/6)
( ) ( )
( ) ( )[ ]
=
+
=
+=
== ∑∑==
2
o
2
o
2
o
ee
2
1iie
M
1iiee
N2T
AQ
N2T
AQN2T
AQ21
1P0P21
mP21
mPM1
P
CalculePaso 3:
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Pe para BPSK Coherente
=+=
=
=
−Φ=<=
0
1
0
2)0()0()1()1(
)0(22
}10{)1(
que tenemos,2
NE
QPPPPP
PNE
QNE
rPP
Nero y PSD on media cCon AWGN c
beee,BPSK
eO
b
O
be
Probabilidad de Error:Probabilidad de Error:
nsr += 111
−−
π= 2
1111
111 )sr(
Nexp
N)r(f
OOmR
El receptor obtiene donde la pdf de R=r1 dado que la señal s1(t) fue transmitida es
y decide que s1(t) fue enviado si r1>0 y s2(t) en otro caso.
El receptor comete un error si s1(t) fue enviado y r1<0. Es decir, r1∈Z2.
Así, la probabilidad de error dado que el mensaje m1 fue transmitido es:
Se nota que:
O
bmáx N
ESNR
2=
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Pe BFSK Coherente
∫ +=φ= bT
jijjij nsdt)t()t(rrdonde0
Binary Frecuency Shift Keying con detección CoherenteBinary Frecuency Shift Keying con detección Coherente
212
,j,N,s~N)t(sr O
ijij =
Con p(0)=p(1)=0.5
=
0
bBFSKe,
0
N
EQP
2N
DSPy cero media con AWGN ConbE
bE
2s
1s0
)(2 tϕ
)(1 tϕ
bEd 2= Probabilidad de Error:Probabilidad de Error:
=
221111O
bO N
,ENN,s~N)t(sr
=
20
21212OO N
,NN,s~N)t(sr
=
20
22121OO N
,NN,s~N)t(sr
=
222222O
bO N
,ENN,s~N)t(sr
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Pe QPSK Coherente (1/2)
La probabilidad media de error de QPSK para símbolos equiprobables está dado por: ∑
=
=4
141
iiee )m(PP
Note que las regiones de decisión son iguales y los puntos señales son simétricas. De allí que todas las Pe(mi) son iguales. En los que sigue, sólo nos enfocamos a calcular el resultado con m1=10.
)(P)(P ce 10110 −=
}r,r{P)Z)r,r(r(P)(Pc 10001010 21121 <<∞−∞<<=∈==
donde 21210 01 ,j,)/,N N(s r jj =→
y estas dos variables aleatorias gaussianas son independientes. Así
}r{P}r{P)(Pc 10010010 21 <>=
2
2
00
12
2
2
21
−=
Φ=
−Φ
−Φ−=OO N
EQ
NE
/N
/E
/N
/E
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Esquema QPSK Coherente (2/2)
Probabilidad de Error de Símbolo:
≈>>
−
=
−−=−=
00
0
2
0
2
21
2111
NE
Q PNE
si
NE
QNE
QNE
QPP
e
Oce
Podemos expresar esto en función de la energía Tx. Por bit:
≈>>
−
=
0
be
0
b
0
b2
0
be
N2E
2QP NE
si
N2E
QN2E
2QP
1
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Pe MSK Coherente
s4 :0s3 :1
s2 :0 s1: 1
bE
bE−
bE
bE− Así para valores elevados por Eb/N0, la probabilidad de error medio para un sistema MSK es aproximadamente el mismo que el correspondiente para un sistemas BPSK Coherente (ignore el factor de escala de 2).
Esto es así al precio de un incremento en la complejidad del receptor.
Probabilidad de Error de Símbolo:
≈>>
−
==
0
be
0
b
0
b2
0
bQPSKe,MSKe,
N2E
2QP 1NE
si
N2E
QN2E
2QPPZ3 Z4
Z2 Z1
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Pe QAM Coherente (1/2)
⋅
−
−≅−
O
SMariaQAM,e N
EM
QM
P1
3112
−≅−
O
OMariaQAM,e N
EQ
MP
2112
Se puede demostrar que la probabilidad de error del símbolo en la QAM M-aria está dada aproximadamente por:
En consecuencia, podemos reescribir la ecuación anterior en términos de ES como:
En el caso M=4 es de interés especial. La relación de señales para este valor de M es la misma correspondiente a la QPSK. En realidad, haciendo M=4 en la ecuación de arriba y advirtiendo que para este caso especial ES=E donde E es la energía por símbolo, encontramos que la fórmula resultante para la probabilidad de error de símbolo se vuelve idéntica a ecuación de la diapositiva 8 que se reproduce aquí.
≈
0
2NE
QPe
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2
13
211
⋅
−−−≤−
O
SMariaQAM,e N
EM
QP
El resultado anterior es exacto para M=2k donde k par. Cuando k es impar, no hay sistema PAM L-ario (√M). Pero esto no es problema. Se puede demostrar casi directamente que la probabilidad de error de símbolo se encuentra confinada con cota superior a través de la expresión siguiente:
para cualquier k≥1, y Eb.S es la energía por bit promedio.
⋅
−≤
O
S,b
N
kE
MQ
13
4
Pe QAM Coherente (2/2)
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Pe BFSK No coherente
Probabilidad de Error:Probabilidad de Error:
−=
0
be
0
2N
Eexp
21
P
2
N DSPy cero media con AWGN Con
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Pe M-arios
Probabilidad de Error:Probabilidad de Error:
42
20
≥
≈ M
M
πsen
N
EQPe,M-PSK
si
π / M
La probabilidad de recepción correcta es la integral del área sombreada de la figura. Esta probabilidad puede ser limitada por alguna frontera. Por tanto, para valores grandes de E/No la probabilidad de error de símbolo es aproximadamente dada por:
Caso: Esquema M-ario PSK
MlogEE 2b=
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Pe M-arios
Probabilidad de Error:Probabilidad de Error:
Caso: Esquema M-ario FSK
MlogEE donde N
E1)Q(MP 2b
oFSK-Me, =
−≤
Para FSK M-ario, el receptor óptimo corresponde a un banco de M correlaciones o filtros acoplados. En los sistemas de muestreo t=kT, el receptor toma decisiones basadas en la mayor de las salidas del filtro acoplado. La probabilidad de error de símbolo puede limitarse superiormente a:
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Rendimiento de algunos esquemas
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1. Probabilidad de error de bit a partir de la probabilidad de error de símbolo.
• Hay dos enfoques para definir una probabilidad de error de bit equivalente, Pb, o tasa de errores de bit (BER), a partir de la probabilidad de error de símbolo, Pe. Esto depende de:
• la estructura del espacio de señales, y
• el mapeo de los puntos de señales espaciales en secuencias de bits equivalentes
2. Definición 1: En este caso, asumimos que al ir de un punto de señal a un punto de señal adyacente, solamente cambia un bit en la palabra binaria representación representada en la señal.
Nota: PSK M-ario empleando código Gray y QAM M-ario cumplen esta condición
M
PP eb
2log=
Pb (BER) a partir de Pe
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3. Definición 2: Denotamos n=log2M. Asumimos que todos los errores de símbolos son igualmente probables. Definimos Pb como la razón de A, que es el número medio de bits con errores de símbolo de n-bits, con relación a n, el cual es el número de bits por símbolos. Definiremos una fórmula explícita para Pb.
Observe que, en un sistema M-ario, cada símbolo se encuentra en error con una probabilidad:
Para un símbolo dado, suponga que k bits están en error. Entonces, hay maneras que esto puede suceder, lo cual resulta en:
para M muy grande.
Nota: Los sistemas FSK M-ario se encuentran bajo esta condición.
1−M
Pe
Pb (BER) a partir de Pe
k
n
∑=
→−
=−
==
n
k
ee
eb
PP
M
M
M
P
k
nk
nn
AP
1 2)1(2)1(
1
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