3.3 soustavy sil a silových moment ůpeople.fsv.cvut.cz/~pkabele/sm1/sm1_pr03.pdf · 3.3 soustavy...

1

© Petr Kabele 2005-2009

3.3 Soustavy sil a silových momentů

• soustava sil a momentů =seskupení sil a momentů sil působících na těleso

• zvláštní případy:• svazek sil(paprsky všech sil soustavy se protínají v jednom bodě)

• soustava rovnoběžných sil(paprsky všech sil soustavyjsou navzájem rovnoběžné)

• rovinná soustava sil a momentů(paprsky všech sil soustavy leží v jedné rovině,vektory momentů jsou k ní kolmé )• rovinný svazek sil• rovinná soustava rovnoběžných sil

2


3.3.1 Prostorová soustava sil a momentů sil

Výsledný účinek• výsledný účinek soustavy n sil {i} a m momentů {j}

určíme redukcí jednotlivých sil soustavy k počátkua vektorovým součtem redukovaných sil a momentů sil

x

y

z

Ox

y

z

O

r a O ... bivektor

1

i

i 1

y1

x1 z1zi

xi

yi

r

0

ψ

1j

1 1 1 1 1

)n n m n m

i i j i j= = = = =

= = + = × +∑ ∑ ∑ ∑ ∑jr Oi F jii0 iF M MF M FrM (� �

��

momenty sil i

3


Složky:

1 1

1 1

1 1

cos

cos

cos

n n

ii i

n n

ii i

n n

ii i

α

β

γ

= =

= =

= =

= =

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

�

�

�

rx ix i

ry iy i

rz iz i

F F F

F F F

F F F

• Velikost vektoru 0:

|0| = (M0x2 + M0y

2 + M0z2)1/2

• Velikost vektoru r:

|r| = (Frx2 + Fry

2 + Frz2)1/2

• směrové úhly:

cos cos cosλ µ ν= = =� � �

0y0x 0z

0 0 0

MM M

M M Mcos cos cosr r rα β γ= = =� � �

ryrx rz

r r r

FF F

F F F

( )

( )

( )

1 1

1 1

1 1

n m

i j

n m

i j

n m

i j

= =

= =

= =

= − +

= − +

= − +

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

0x iy iz iy iz jx

0y iz ix iz ix jy

0z ix iy ix iy jz

M r F F r M

M r F F r M

M r F F r M

4


Vzájemný úhel vektorůr a O: ψ

r .O = |r ||O| cos ψ = Frx M0x + Fry M0y + Frz M0z

= cos αr cos λ + cos βr cos µ + cos γr cos ν

Obecně cos ψ ≠ 0

1cos ψ = + +� � rx 0x ry 0y rz 0z

r 0

(F M F M F M )F M

5


Zvláštní případy:

• r .O = 0, r a O jsou vzájemně kolmé⇒ výsledným účinkem jejediná síla r působící v takovém paprsku, aby její statický momentk počátku byl roven O. Pak rovnice ekvivalence momentu posunutésíly r a momentu O:

0zrxry0yrzrx0xryrz MyF-xFMxF-zFMzF-yF ===

určují rovnici paprsku posunuté síly r ... tzv. hlavní osy soustavy sil

y

x

z

Or

0

y

x

z

Or

y

x

z

O

rr

r* =-r

6


• r ≠ , O = ⇒ výsledným účinkem je jediná síla r působící paprsku procházejícím počátkem

• r = , O ≠ ⇒

výsledným účinkem je dvojice sil působící v rovině kolmé k paprsku vektoru O a otáčejícímomentem Md=MO

• r = , O =⇒ soustava sil je v rovnováze

x

y

z

O

r

y

x

z

O

0

y

x

z

O d

d* =

-d

7


Podmínky rovnováhy

( )

( )

( ) 00

00

00

111

111

111

=+=

=+=

=+=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

===

===

===

n

i

m

j

n

i

n

i

m

j

n

i

n

i

m

j

n

i

iixiiyjziz

iiziixjyiy

iiyiizjxix

yF-xFMF

xF-zFMF

zF-yFMF

Soustava n sil {i} a m momentů {j} je v rovnováze,jestliže je její výsledný účinek nulový:

8


Úloha rovnováhy

00

00

00

11111

11111

11111

=++=+

=++=+

=++=+

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

=====

=====

=====

k

ll

n

i

m

j

k

ll

n

i

k

ll

n

i

m

j

k

ll

n

i

k

ll

n

i

m

j

k

ll

n

i

zRFizjzziz

yRFiyjyyiy

xRFixjxxix

MMMRF

MMMRF

MMMRF

Je dána soustava n sil {i} a m momentů {j}. Uveďte tuto soustavudo rovnováhy soustavouk sil {l}.

0011111

��

=++=+ ∑∑∑∑∑=====

k

ll

n

i

m

j

k

ll

n

iOROFiji MMMRF

Ve složkách:

(6 rovnic - 6 neznámých)

9


Úloha ekvivalence

Je dána soustava n sil {i} a m momentů {j}. Nahraďte tuto soustavusoustavouk sil {l} tak, aby účinek obou soustav byl stejný.

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

=====

=====

=====

=+=

=+=

=+=

k

ll

n

i

m

j

k

ll

n

i

k

ll

n

i

m

j

k

ll

n

i

k

ll

n

i

m

j

k

ll

n

i

11111

11111

11111

zRFizjzziz

yRFiyjyyiy

xRFixjxxix

MMMRF

MMMRF

MMMRF

∑∑∑∑∑=====

=+=k

ll

n

i

m

j

k

ll

n

i 11111OROFiji MMMRF��

Ve složkách:

(6 rovnic - 6 neznámých)

10


Příklady úloh rovnováhy/ekvivalence

Př. 1: Náhrada dané soustavy sil {i} dvěma

mimoběžnými silami 1 a 2.

1. Výsledný účinek soustavy {i}:

bivektor r , 0

2. Vektor 0 nahradíme dvojicí sil {2, }

v rovině kolmé k 0 ; v počátku.

Takže = -2

0 = d x 2

2 . 0 = 0

d . 0 = 0

yx

z

0

r0

y

x

z

r

2

d

0

1

2

n

11


3. Složímer+ = 1

y

x

z

r

2

d

1

y

x

z

2

d

1

12


Pozn.:Nulové přímky soustavy sil= přímky ke kterým má soustava sil

nulový statický moment

Nahradíme-li soustavu sil dvěma mimoběžnými silami, pak každápřímka protínající současně paprsky těchto sil je nulovou přímkousoustavy.

1

2

13


Příklady úloh rovnováhy/ekvivalence

Př. 2: Náhrada soustavy {i} silou C působící v hlavní ose soustavy c

a hlavním momentem C

Definice: C ||r , |C | = |r |, C a C jsou koaxiální

Dáno: {i}, velikost a směr C a směr C

Vypočítat: paprsekC a velikost |C|

a) Soustavu nahradíme výslednou silou r

a statickým momentem k počátku O

yx

z

0

r0

ψ

1

2

n

14


b) Moment O nahradíme momentem C

koaxiálním s r a n⊥ r

|C| = |O| cosψ, |n| = |O| sinψ

yx

z

0

r

0

ψC

n

složky vektoru C: MCx = |C| cos αrMCy = |C| cos βrMCz = |C| cos γr

složky vektoru n= O - C : Mnx =MOx - MCxMny =MOy - MCyMnz =MOz - MCz

15


Podobně bychom formulovali úlohu rovnováhy. Další příklady viz cv.

c) Vzájemně kolmé vektory narvázané na počátek O nahradímesilou C = r působící v hlavníose c, jejíž rovnice jsou:

nzrxrynyrzrxnxryrz MyF-xFMxF-zFMzF-yF ===

d) Moment C posuneme do hlavní osy

yx

z

0

r

ψC

nc

c

yx

z

0

C

c

c

16


3.3.2 Prostorová soustava rovnoběžných sil

je zvláštním případem obecné prostorové soustavy, kdy paprskyvšech sil soustavy jsou vzájemně rovnoběžné.

y

x

z

O1

i

n

i {i} = { Fi}

Pozn.: pokud má síla i opačnou orientaci než jednotkový vektor , uvažujeme Fi se znaménkem mínus.

17


Výsledný účinek (k počátku O)

( ) ( ) ( )∑∑∑∑

∑∑∑

====

===

×=×=×==

====

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

1111

111

fF rfFrFrMM

Ff FffFFF

iiiiiiOFiO

riiir

�

�

�

��

��

��

…(r || )

... z definice vektorového součinu ⇒O ⊥ r

Velikost a orientace výslednice:

1

n

i=

=∑r iF F

y

x

z

O

1

i

n

rO

je-li Fr > 0 ... shodná orientace s je-li Fr < 0 ... opačná orientace než

18


Obecně r ≠ a O ≠ ⇒ výsledným účinkem je jedinásíla r působící v hlavní ose soustavy. Rovnice

určují paprsek posunuté síly r (t.j. hlavní osu c)

0zrxry0yrzrx0xryrz MyF-xFMxF-zFMzF-yF ===

y

x

z

Or

O

r

c

19


• r ≠ , O = ⇒ výsledným účinkem jejediná síla r působící v paprsku procházejícímpočátkem

• r = , O ≠ ⇒ výsledným účinkem jedvojice sil působící v rovině kolmé k paprskuvektoru O a otáčející momentem Md=MO

• r = , O =⇒ soustava sil je v rovnováze

Zvláštní případy:

y

x

z

O

r c

y

x

z

Od

d* =-d

20


Příklad: Určete výsledný účinek soustavy rovnoběžných sil {i}působících v paprscích rovnoběžných s osou z

Pro všechny síly soustavy: Fix = Fiy = 0

⇒ Fzi = Fi

⇒ Mzi = 0

Pak: Frx = Fry = 0, M0z=0

( )

( ) ( )∑∑∑

∑∑∑

∑∑

===

===

==

=−==

=−==

==

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

111

111

11

iiiiziixiy0y

iiiiyiizix0x

iizrz

xF-xFzFMM

yFzFyFMM

FFF

y

x

z

O1

i

n

y

x

z

O

r O

My

Mx

21


Působiště výslednice:

( )r

ii

rrrii0y

r

ii

rrrii0x

F

xFxxFxF-M

F

yFyyFyFM

∑∑

∑∑

=

=

=

=

−=⇒−==

=⇒==

n

in

i

n

in

i

1

1

1

1

y

x

z

O

r

|xr|

|yr |

22


Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětuStavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze.Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.

Datum poslední revize: 6.10.2009

3.3 soustavy sil a silových moment ůpeople.fsv.cvut.cz/~pkabele/sm1/sm1_pr03.pdf · 3.3 soustavy...

Documents