§3.4 复杂系统决策模型与层次分析法

Analitic Hierachy Process (AHP)

对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。

一 . 问题举例 1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。 2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。 3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。

二 . 模型和方法 1. 层次结构模型 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。

例 1. 选购冰箱

选购冰箱

品牌 功能 价格 耗电

海尔 新飞 容声 雪花

例 2. 旅游景点旅游景点

居住景色费用 饮食 交通

泰山杭州 承德

例 3. 科研课题 科研课题

贡献 可行性

实用价值

学术意义

人才培养

难度

周期

经费

基础 应用 教育

2. 因素判断模型 10. 判断矩阵：令 正数 aij 为因素 xi 、 xj 对目标 Z 的影响的相对重要性指标。 aij = 1 ： xi 与 xj 对目标 Z 的重要性相当。 aij > 1 ：对目标 Z 来说 xi 比 xj 重要 , 其数值大小表示重要的程度。 显然有 aji = 1/ aij 。 矩阵 A = （ aij ）称为因素（ x1,…,xn ）成对比较时的判断矩阵。

20. 正互反矩阵： n × n 矩阵 A = (aij ) 是正互反的 , 如果满足条件 aij >0 且 aji =1/ aij

30. aij 的估计 : 九级标度法

xi/xj 相当 较重要 重要 很重要 绝对重要aij 1 3 5 7 9

40. 例 . 选择旅游景点 Z ：目标，选择景点 y ：因素，决策准则 y1 费用 , y2 景色 , y3 居住 , y4 饮食 , y5 交通 X ：对象，备选方案 X1 杭州， X2 泰山， X3 承德， 因素对目标的判断矩阵

1133/15/1

1123/15/1

3/12/114/17/1

33412/1

55721

A

3. 因素排序及其一致性 10. 权重向量 令 λ1 为 A 的最大 ( 模 ) 特征根 , 则 λ1>0.

令 w 为与 λ 1 对应的 A 的特征向量 , 则 w>0.

归一化 : wi*=wi/wi, 有 w*=(w1*,…,wn*)’

称 w* 为因素 y 对目标 Z 相对重要性的权重。

20. 排序的一致性 比较的一致性：对于因素关于目标重要性比较的指标 aij, 若对任意的 k, 满足 aij=aikakj, 则称这个比较是一致的。 排序的一致性：一致性指标 CI (Consensus index)

CI=(λ1-n)/(n-1) ， CI>=0 。 CI = 0, A 有完全的一致性。 CI 接近于 0, A 有满意的一致性。

一致性判断矩阵与因素排序 一致性判断矩阵：所有元素满足一致性条件 aij = aik akj

的判断矩阵。一致性判断矩阵的特征向量就是因素的排序

矩阵的一致性 定理 1. (Peron-Frobenious) 非负矩阵存在正

的最大模特征根 , 对应着正的特征向量。

定理 2. 一致的正互反阵的秩等于 1 ，主特征根为 n ，若特征向量为 w = (w1,…,wn)’, 则有 aij = wi / wj 。

定理 3. n 阶判断矩阵是一致的，当且仅当 λ 1=n 。

定理 2 证明 一致性正互反矩阵中任意两列元素成比例 aij = m aih ， i=1,…,n由一致性： aij = aik akj ， aih = aik akh ，则 aij /aih= akj /akh=m, 即 aij = m aih,i =1,…,n由 aij = aik/ ajk ，令 a=(a1k a2k … ank)’, a-1=(1/a1k 1/a2k … 1/an

k)’则有 A = a a-1’ , 判断矩阵的秩为 1.且有 A a = a a-1’a = n a

一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量

若特征向量为 w = (w1,…,wn)’, 则有 aij = aik/ ajk = wi / wj 。表示 wi 与 wj 之间的比值 , 是这两者重要性之间的一个判断 .

w 就是各对象之间的一个排序 .

即 : 各列均表示被判断元素之间的排序。

定理 3 证明

1

1 1

1

1 11

111

1])([11

,,0,0

n

i

n

ij i

jij

i

jij

n

i

n

j i

jij

ij

jij

w

wa

w

wa

nw

wa

n

wwawwAw

2][2])([ 11 ，则若， n

w

wa

w

wa

i

jij

i

jij

一致Aaaawwa kjikijjiij ,,

随机一致性指标 固定 n, 令 A 的上三角从 {1/9,…,1,2,…,9}中随机取值 , 构成正互反矩阵。计算它的 CI 。 对每个 n = 1, 2, …, 9 分别随机地抽取 n=100~500 个样本 , 得到 Ank 和 CInk ( 不一致判断矩阵的指标 ) 。取

则 CI > RI 时 , 判断矩阵明显不具有一致性。 取 α < 0.1 , 则当 CI < α RI 时 , A 在水准α下有满意的一致性 .

m

knkn CI

mRI

1

1

平均随机一致性指标 RIn 1 2 3 4 5 6 7 8 9

RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45

CR = CI / RI < 0.1 时 , A 有满意的一致性。

AHP 的计算1. 最大特征根与特征向量的计算—幂法 给定 A > 0, 对任 x>0 则

若取则

特征根为

的主特征向量是AvvcxAx

xAkT

k

k

,lim

Tex )1,,1,1(

为排序向量wweAe

eAkT

k

k

,lim

i

i

w

wA ）（

特征根与特征向量的近似算法计算行 ( 几何 ) 平均

归一化

特征根

nii

n

jiji MwaM

，1

为特征向量），，（， Tn

i

ii www

w

ww

1

i i

i

nw

wA ）（

MATLAB 算法 % 对于形如 A = (mij/hij) 的正互反阵，求特征值和特征向量。 >>B=[m11,…m1n;m21,…,m2n;…;mn1,…,mnn];

>>A=B./B’

>>[X,D]=eig(A)

例 . 准则对目标的排序 A 有特征根 λ = 5.019

w = (0.48, 0.26, 0.05, 0.10, 0.11)’

CI = (λ-5) /(5-1) = 0019/4 = 0.00475

CR = 0.00475 / 1.12 = 0.004246 < 0.1 A 有满意的一致性。

备选对象对决策准则的判别矩阵

661.0

272.0

067.0

,004.3,

138

3/115

8/15/11

111 bB

129.0

277.0

595.0

,005.3,

12/15/1

215/1

521

212 bB

142.0

429.0

429.0

,3,

13/13/1

313/1

311

313 bB

175.0

193.0

633.0

,009.3,

114/1

113/1

431

414 bB

668.0

166.0

166.0

,3,

144

4/111

4/111

515 bB

4. 总排序及其一致性10. 模型及参数 模型： 参数： y 对目标 Z 有判断矩阵 A

排序权重 a =(a1, …, a5)

x 对准则 yj 有判断矩阵 Bj

排序权重 bj=(b1j, b2j, b3j)’

记 B = (b1, b2, …, b5)

CIj(x): x 对 yj 的 CI; RIj(x): x 对 yj 的 RI.

CIZ(x): x 对 Z 的 CI; RIZ(x): x 对 Z 的 RI.

Zyx

20. 对象对目标的排序

30. 排序的一致性

w = (0.293, 0.311, 0.446)’

aBbawj

jj

5

1

5

1

)()(j

jjZ xCIaxCI

5

1

)()(j

jjZ xRIaxRI