55

математикA за VIII разред основне школе

35. 1) Нацртај два једнакокрака троугла чије су основице заједничка дуж. Потом направи модел диедра и нацртај његов угао.

2) Нацртај круг. Од модела круга направи диедар чији је угао прав.36. Тачка M припада једној страни диедра и удаљена је 6 cm од ивице диедра. Израчунај рас-

тојање тачке M од друге стране диедра, ако је угао диедра:1) 30°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°.

37. Тачка A у унутрашњости правог диедра, по 4 cm је удаљена од страна тог диедра. Колико је тачка A удаљена од ивице тог диедра?

38. У области диедра αpβ чији је угао 60° дата је тачка M, удаљена од страна тог диедра 8 cm. Колико је растојање тачке M и праве p?

39. Права a припада једној страни диедра и паралелна је ивици на растојању 8 cm. Права b припада другој страни диедра и паралелна је ивици на растојању 4 cm. Израчунај рас-тојање правих a и b ако је угао диедра:1) 90°; 2) 60°; 3) 30°.

40. Два једнакокрака троугла ABC и ABD су стране диедра, а заједничка основица AB = 16 cm. Ако је AC = 10 cm, AD = 4 13 и угао диедра 60°, израчунај растојање тачака C и D.

3.4. Ортогоналне пројекције тачке, дужи и праве на раван. Угао праве и равни

У истој равни дата је права p и неке тачке (сл. 38).

Слика 38

B=B'

A

A'N '

N

M 'C'

C

M

n

p

Из сваке од датих тачака нацртана је нормална права на праву p. За тачку M´ која је пресек праве n (n ⊥ p) и праве p, каже се да је ортогонална (нормална) пројекција тачке M на праву p. Тачке A´, C´, N´ и B´ су нормалне пројекције тачака (редом) A, C, N и B на праву p.41. Нацртај неку праву и неке тачке у истој равни. Одреди нормалне пројекције тих тачака

на ту праву.

56

42. 1) Дуж AB и права p су у истој равни (сл. 39).

Слика 39

B BB

A

A

A' M' B' A'=B'

A

M

1) 2) 3)

p

n

n⊥p

У случају 1) дуж A´B´ је нормална пројекција дужи AB на праву p. Нацртај нормалну пројек-цију дужи AB на праву p у случају 2). У трећем случају нормална пројекција дужи AB на праву p је тачка, јер је права n нормална на правој p.

2) Нацртај дуж AB и праву p у истој равни, и нека је AB p. Нормална пројекција A´B´ на праву p је једнака (подударна) дужи AB. Образложи то тврђење.

3) Нацртај праву p и праву a:а) која сече праву p;б) која је паралелна с правом p. Одреди нормалну пројекцију праве a на праву p.

43. 1) На слици 40 приказана је раван α и квадар. Тачке A, B, D су у равни α. Тачка F није у равни α. Права n ⊥ α. Тачка F´ је нормална пројекција тачке F на раван α (F´ ≡ B). Такође, тачка D је нормална пројекција тачке H на раван α, јер је HD ⊥ α. Образложи.

Слика 40

α

α

AB

n

E

H

D

β

C

O

F

F '

57

математикA за VIII разред основне школе

Уопште:Нормална пројекција тачке M на раван α одређује се на тај начин што се прво одреди права n нормална на раван α, која садржи тачку M (сл. 41). Пресек (продор) праве p и равни α је тачка M´. Тачка M´ је нормална пројекција тачке M на раван α.

α

AA'M'

M

n

s

s ⊥ α

n ⊥ α

M ∉ α

A' ∈ αA ∈ α

Слика 41

2) Пројекција дужи BH на раван α је дуж BD (сл. 40).*Уопште:Пројекција дужи на раван је дуж или тачка (сл. 42). а) AB α; б) AB α; в) AB ⊥ α. n1 ⊥ α, n2 ⊥ α, r ⊥ α, s ⊥ α

α

A

BB

BA

A

A'

n1 n2

s

r

B'B'A'

A'≡B'

M'

Ma) б) в)

Слика 42

* Даље се увек ради о ортогоналној (нормалној) пројекцији, па се то не истиче.

58

– У случају а) пројекција дужи AB на раван α је дуж A´B´. Тачке A´B´ и M´ се одређују као продорне тачке нормалних правих n1, n2 и r на раван α.

– У случају б) дуж AB и њена пројекција A´B´ су подударне.– У случају в) пројекција дужи AB је тачка A´ ≡ B´.

3) Пројекција праве BH на раван α је права BD (сл. 40). Угао β који гради права BH и њена пројекција BD у равни α, јесте угао праве BH и равни α.

Угао између праве p и равни α је угао који гради права и њена пројекција у тој равни (сл. 43). Тачка A је пресечна тачка праве p и равни α. Њена пројекција у равни α је тачка A´. Пројек-ција тачке M на раван α је тачка M´. Права p´ је пројекција праве p у равни α. Угао β који гради права p и њена пројекција у равни α, јесте угао између праве p и равни α.

Слика 43

α

p

n

p'A

A'

М

М'β

44. 1) На моделима уочи праву и дуж и њихове пројекције на неку раван.2) Квадрат ABCD и једнакостраничан троугао MBC имају заједничку страницу BC и чине

диедар. Нацртај:а) Пројекцију тачке M на раван квадрата.б) Угао висине MN троугла MBC и равни квадрата.

45. 1) Права одређена тачкама A и B гради са правом p угао 30°. Ако је AB = 6 cm, израчунај дужину пројекције дужи AB на правој p.

2) Израчунај дужину пројекције дужи AB = 20 cm на раван α, ако су растојања тих тачака од равни: (A, α) = 19 cm; (B, α) = 3 cm.

46. 1) Дуж a са равни α образује угао 60°. Израчунај пројекцију дужи a на раван α.2) Пројекција дужи AB на раван α је 4 cm, а права AB и раван α образују угао:

а) 45°; б) 60°; в) 30°.Израчунај дужину дужи AB.