33

Статика флуида

Проучавање флуида у стању мировања најстарија је дисциплина механике флуида, што обавезује на познавање свих проблема ове области. Појмови уведени у статици флуида: спољашње силе, притисак и силе притиска, задржавају своју важност и при кретању флуида. У стању мировања, када се сви флуиди понашају као савршени – невискозни (вискозност се региструје само при струјању), посматрају се међусобни утицаји (са последицама): притиска, густине и запреминских сила.

Хидростатички притисак

Хидростатички притисак последица је деловања Земљине теже, што је и најчешћи узрок притиска. Притисак је скаларна величина (не зависи од правца). Да би се то доказало, разматра се стање равнотеже елементарне масе непокретног њутновског флуида (флуидни делић) дебљине dz (слика 24). Издвајање произвољне флуидне запремине из њеног окружења редовни је поступак који се користи за разматрање равнотежног стања флуида под дејством свих спољашњих утицаја. Тангенцијални напони на пресечним површинама настају тек при струјању флуида, те на површинама постоје само нормалне силе. Притисак је означен са px, py, pz, ps у зависности на коју површину делује. Тежина разматраног флуидног делића улази као запреминска сила Fg.

Слика 1 Равнотежа сила при мировању издвојеног флуидног делића

Са слике 1 види се да важе релације:

cos sindx ds dy dsα α= = .

За успостављање равнотеже сила потребно је да сума свих сила које делују на елементарну масу буде једнака нули.

0ii

F =∑

Пројекција на одговарајуће осе даје:

( )d d sin d d d d 0x x s x sF p y z p s z p p y zα= − = − =∑

s xp p=

1d d cos d d d d d2y y sF p x z p s z x y z gα ρ= − − =∑ 1 d d d 0

2y sp p g y x zρ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 d2s yp p g yρ= − .

34

Ако се разматрани флуидни делић сведе на тачку (dy →0) онда важи:

s x yp p p p= = = .

Одавде произилази да је хидростатички притисак скаларна величина.

Ојлерова једначина за миран флуид

Разматра се равнотежа сила које делују на произвољни флуидни делић у мирном флуиду. Силе које одржавају равнотежу су двојаког порекла: површинске и запреминске. Запреминске (масене) делују на масу флуида (тежина; сила инерције различитог порекла: гравитациона, центрифугална, релативно убрзање, привлачна сила Месеца; електричне; магнетне), а површинске силе делују на граничним површинама (сила притиска, сила трења која при мировању флуида не постоји). На уочени флуидни делић у пољу Земљине теже од површинских сила делује сила хидростатичког притиска, а од запреминских - сила тежине. На слици 2 обележене су само силе притиска у правцу x осе. На друге две осе такође делују силе притиска. Спољашње силе по јединици масе представљене су као ( ), ,x y zf f f f= .

Слика 2. Разматрање равнотеже сила које делују на флуидни делић у мировању

Елементарна маса флуидног делића једнака је

d d d dm x y zρ= . Услов равнотеже компонената сила у правцима координатних оса даје:

d d d d d d 0xpp y z p x y z f mx∂⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

d d d d 0xp x y z f mx∂

− + =∂

d d d d d d 0ypp x z p y x z f my

⎛ ⎞∂− + + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

d d d d 0yp y x z f my∂

− + =∂

d d d d d d 0zpp x y p z x y f mz∂⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

d d d d 0zp z x y f mz∂

− + =∂

Одакле следи:

1x

p fxρ∂

=∂

, 1y

p fyρ∂

=∂

, 1z

p fzρ∂

=∂

;

или у векторском облику:

1 1 1 1x y z

p p p p p pi j k i j k f i f j f kx y z x y zρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

односно

35

1 gradp fρ

= , (*)

Једначина (*) представља Ојлерову једначину у векторском облику за миран флуид. Векторско диференцијални оператор – градијент који се примењује на скаларну величину (p, ρ, v, T) дат је изразом

grad i j kx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

.

Други начин извођења Ојлерове једначине за миран флуид Овај начин извођења Ојлерове једначине за миран флуид полази од равнотеже површинских и запреминских сила на уочену произвољну запремину V (слика 3).

Слика 3. Дејство сила притисака (унутрашњих и спољашњих) на издвојену запремину флуида V

Флуид се налази у стању мировања – равнотежи, ако је сума свих сила које нападају целокупну посматрану флуидну запремину, једнака нули. Једине силе које одржавају равнотежу у мирном флуиду су запреминске и површинске, те је:

d d 0V A

f V p Aρ − =∫ ∫ , (**)

где су: V - уочена произвољна запремина [m

3]

A - омотач посматране запремине [m2]

f – запреминске силе по јединици масе [N/kg] pdA – елементарна сила притиска која делује на делић омотача флуидне запремине и усмерена је ка унутрашњости запремине. Површински интеграл може да се трансформише у запремински према формули:

d grad dA V

p A p V=∫ ∫

па једначина (**) постаје

( )grad d 0V

f p Vρ − =∫

или, пошто је у питању произвољна флуидна запремина, подинтегрална вредност једнака је нули, тј.

1 gradp fρ

=

36

што је Ојлерова једначина за статику флуида. Основна једначина за статику флуида Ако се скаларне једначине помноже одговарајућим диференцијалима dx, dy, dz

1x

p fxρ∂

=∂

/⋅ dx

1y

p fyρ∂

=∂

/⋅dy

1z

p fzρ∂

=∂

/⋅ dz

и саберу, добија се

1 d d dx y zp p pf dx f dy f dz x y zx y zρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

тј.

1d d d dx y zf x f y f z pρ

+ + = ,

једначина која се користи при решавању задатака из статике флуида и релативног мировања.

Распоред притиска у течностима и гасовима у пољу Земљине теже

Распоред притиска у течностима

Из Ојлерове једначине за мирну течности (ρ=const.)

1d d d dx y zf x f y f z pρ

+ + =

уколико од сила делује само гравитација, при чему је оса z усмерена навише

0, 0,x y zf f f g= = = −

добија се

1 2p p ghρ− =

тј. притисак расте линеарно са дубином (слика 4.).

Слика 4. Промена притиска у мирној течности у пољу Земљине теже

37

Промена притиска у гасовима

Пример стишљивог флуида у стању мировања је ваздушни омотач Земље. При разматрању промена у атмосфери координатни систем поставља се вертикално навише (z оса), почевши од нивоа мора; за разлику од течности где је оса усмерена у супротном смеру (ка расту дубине). Густина ваздуха кроз атмосферу мења се са висином::

( )zρ ρ=

и имајући у виду основну једначину за промену притиска у пољу Земљине теже

ddp gz

ρ= −

следи из једначине стања идеалног гаса

d dp g zp R T= − .

Интеграција је могућа ако је позната веза између температуре и висине, Т=Т(z). Ово је допунска једначина и следи из термодинамичког разматрања. Када је у питању изотермни слој гаса (као у стратосфери) интеграцијом претходне једначине добија се

ln gzp CRT

= − +

из које за почетне услове

0 0 0 0( )= , ( )=p z p r z r

следи константа интеграције

00

ln gC pRT

= −

па коначна једначина гласи

( )0 00

exp gp p z zRT

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

односно, за промену густине добија се следећа једначина:

( )0 00

exp g z zRT

ρ ρ⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Слика 5. Температура и притисак у атмосфери

38

У атмосфери, односно у тропосфери и стратосфери, температура може да се добро представи помоћу праве, односно константе (слика 5). Интеграцијом Ојлерове једначине добија се за тропосферу степена функција, а за стратосферу експоненцијална.

Притисак течности на равне површине

У механици флуида најчешће се користе апсолутне величине, изузев у статици флуида где се због једноставности ради са релативним, тј. манометарским и вакуумметарским притисцима. На омотач тела потпољеног у течност делује сила притиска. Разматра се деловање силе притиска на равну површину са чије се једне стране налази течност са слободном површином, а са друге атмосферски притисак pa (слика 6). Слободна површина дефинисана је као разделна површина између воде и ваздуха на коју делује атмосферски притисак.

Слика 6. Сила притиска течности на раван зид резервоара

За притисак важи

ap p gzρ= +

Задатак је да се одреди сила F којом течност делује на површину А. За елементарну површину важи dF=pdA, док је за целокупну:

d ( )d cos d

cos

a aA A A

a C a C C

F p A p gz A p A g A

p A g A p A gz A p A

ρ ρ α η

ρ αη ρ

= = + = + =

= + = + =

∫ ∫ ∫.

ηс је координата тежишта површине А, дефинисана преко статичког момента површине

d CA

A Aη η=∫ .

Сила којом течност делује на равну површину F једнака је производу притиска који влада у њеном тежишту и њене површине ( a Cp gzρ+ ).У случају да споља (изнад површине течности и са друге стране зида) делује константан притисак p1, резултантна сила једнака је:

CF gz Aρ= .

односно одређена је манометарским притиском Cgzρ .

39

Одређивање нападне тачке силе притиска

Сила притиска делује управно на површину и усмерена је ка оквашеној површини. Нападна тачка силе притиска ηD добија се из равнотеже момената за ξ осу која лежи на слободној површини у пресеку слободне површине и равни на којој се налази разматрана оквашена површина (слика 6).

2d cos d cosD C DA A

F gz A gz A g A g Iξη ρ η ρ η ρ α η ρ α= = = =∫ ∫

Вертикално растојање тежишта разматране оквашене површине zC може да се представи изразом ηCcosα.. 2d

AI Aξ η= ∫ је момент инерције површине А у односу на ξ осу. За положај нападне тачке

силе F добија се

DC

IA

ξηη

=

Уколико је површина А симетрична, оса η поставља се кроз њу (слика 7). Применом Штајнерове теореме у којој се са IC означава сопствени момент инерције површине А у односу на њену тежишну осу паралелну са осом ξ, следи да нападна тачка D лежи ниже од тежишта С.

2C CI I Aξ η= +

0CD C

C

IA

η η ηη

− = ∆ = >

У случају равног, правоугаоног и вертикалног зида (слика 7) добија се

2Chη =

23D hη =

При решавању задатака потребно је да се обрати пажња на други члан момента инерције Iξ. Он представља производ разматране површине А и квадрата растојања њеног тежишта до пресека са слободном површином течности дуж осе η.

Слика 7. Тежиште и нападна тачка резултантне силе на раван, правоугаони, вертикалан зид

40

Хидростатички парадокс

Слика 8. Хидростатички парадокс

Резултантна сила на дно различитих резервоара зависи само од А, zC и ρg, али не од облика суда (слика 8). Због тога једнака сила делује на дна, иако је различита тежина течности која се налази у резервоарима.

Притисак течности на криве површине

Да би се одредила сила течности на криве површине, посматра се суд са течношћу дат на слици 9. Деловање течности на криве површине може да се сведе на главни вектор силе и главни момент. Главни вектор силе одређује се преко три компоненте (обично преко једне вертикалне и две међусобно нормалне хоризонталне компоненте). Главни момент одређује се преко суме момената ових компоненти. За криве површине које имају вертикалну раван симетрије (највећи број практичних задатака) сума елементарних сила притисака своди се на једну резултујућу силу која лежи у равни симетрије, или на пар сила које леже у истој равни. Величина и правац резултујуће силе F одређује се преко њених компонената, обично хоризонталне и вертикалне, као што се види на слици 9.

Слика 9. Дејство силе притиска на криву површину

Хоризонтална компонента силе притиска која делује на криву површину једнака је сили притиска на вертикалну пројекцију ове површине нормалну на раван симетрије, а одређује се по једначини

x C xF g Aρ η=

где су: ρ - густина флуида [kg/m3] g – гравитационо убрзање [m/s2] Ах – површина вертикалне пројекције криве површине [m2] ηс – вертикално растојање тежишта Ax од слободне површине [m]

41

Нападна тачка силе Fх налази се испод тежишта hс у равни вертикалне симетрије и у односу на слободну површину, одређена је са

Dx C

IA

ξηη

=

или у односу на тежишну осу пројекције Ах

xCD

x C

IA

ηη

∆ =

где су: Iξ - момент инерције површине Ах за осу ξ на слободној површини

xCI – сопствени момент инерције површине Ах. Вертикална компонента укупне силе притиска, која делује на криву површину, једнака је тежини течности запремине V коју ограничавају: крива површина, слободна површина и вертикалне површине конструисане по контури криве површине (шрафирана површина на слици 9), а одређује се по формули

yF gVρ= .

Ова компонента пролази кроз тежиште запремине V и усмерена је на доле ако се запремина V налази изнад закривљене површине, односно на горе ако се течност налази испод криве површине. У оба случаја интензитети вертикалних компонената силе сразмерни су истој (шрафираној) запремини V. У формулама за Fx и Fy претпостављено је да се течност налази са једне стране криве површи и да на неовлаженој страни површи делује атмосферски притисак. Исти атмосферски притисак делује и на слободној површини течности. Укупна сила притиска на криву површину представља геометријски збир сила Fx и Fy и једнака је

2 2x yF F F= + .

Носач вектора резултујуће силе добија се у пресеку носача вектора компонената силе. Угао деловања je нагиба вектора силе F према хоризонталној равни и одређује се из формуле

y

x

Ftg

Fϕ = .

Код кривих површина са константном кривином (цилиндричне и сферне површине) укупна сила притиска пролази кроз центар или осу кривине, тј. у тачки деловања резултујућа сила нормална је на површину. За остале криве површине резултујућа сила притиска у тачки деловања не мора бити нормална на површину. Само је елементарна сила притиска увек нормална на елементарну површину. У случају натпритиска са овлажене стране криве површине, све компоненте и укупна сила притиска течности усмерене су од течности ка површини - изнутра према споља. У случају потпритиска са овлажене стране криве површине силе су усмерене од споља према унутра. Уколико се течности налазе са обе стране криве површине, прво се одређују хоризонталне и вертикалне компоненте са сваке стране криве површине појединачно, а затим укупне хоризонталне и вертикалне компоненте због деловања обе течности. У неким случајевима за налажење компонената укупне силе притиска течности на криву површину, потребно је криву површину поделити на посебне делове, одредити одговарајуће силе за сваки део криве површине и онда их сабрати. У низу задатака силу притиска на криву површину погодније је одредити преко њених компонената у правцу косих оса (слика 10).

42

Слика 10. Пројектовање сила на погодне осе

Сила притиска течности на криву површину у произвољно задатом правцу s једнака је

cos coss s sF G gVα ρ α= =

где су: Gs - тежина течности у запремини Vs, ограниченој: кривом површином, слободном површином и пројектним површинама паралелним са датим правцем; α - угао између задатог правца и вертикале. Линија деловања силе Fs пролази кроз тежиште течности у запремини Vs. Могући прилаз одређивања силе притиска, који често упрошћава решавање задатака, представља разматрање равнотеже запремине течности, коју ограничавају крива површина и раван пресек који пролази кроз течност и граничну контуру криве површине. Нека је, нпр. потребно да се одреди сила F притиска течности на конусну површину (слика 11.). Услови равнотеже запремине течности која испуњава конус представљени су векторском једначином (Даламберов принцип)

0N G R+ + = ,

где су: N - сила притиска течности на издвојену запремину, тј. на раван пресек ac, једнака acN gAρ= и пролази нормално на пресек кроз центар притиска (тачка D), G - тежина издвојене запремине течности (G=ρgV), R - сила којом конус делује на течност. Како је тражена сила F једнака сили R али супротног смера, долази се до једначине

F N G= + ,

из које може да се одреди сила притиска F или ма која њена компонента.

Слика 11. Примена Даламберовог принципа

43

Пливање

Хидростатички потисак

Разматра се тело потпуно опкољено течношћу. На основу хидростатичке промене притиска, притисак на доњу површину тела већи је од притиска на горњу површину. Резултат је вертикална сила, усмерена навише која се назива потисак:

P gVρ= ,

Ову силу не треба мешати са силом потиска при кретању тела кроз флуид. Потисак је једнак тежини истиснуте течности или флуида уопште. Ово је Архимедов закон. Архимедов закон може да се искористи за израчунавање силе, коришћењем густине тела (ρ

t), или

густине флуида (ρ). Тежина тела G одређује се као

tG gVρ= .

Изједначавањем силе тежине и силе потиска следи

tGP

ρρ

= .

одакле се види да ако је једна густина позната, може да се одреди и друга, када се претходно измере G и P. Тело плива када је његова тежина G мања од износа површинског интеграла образованог по површини А тела (силе потиска)

dA

G p A< −∫ ,

знак минус означава супротан смер деловања силе притиска од нормала елементарних површина омотача. Када је тежина тела једнака том интегралу, тело лебди, када је већа, тело тоне. За практичну примену често је погодно да се овај површински интеграл растави на два дела

2 1

2 1d d dA A A

p A p A p A− = − −∫ ∫ ∫

где су: А2 - површина на коју делује вертикална сила притиска течности усмерена навише – сила растерећења А1 - површина на коју делује вертикална сила притиска усмерена наниже – сила оптерећења. Површине А1 и А2 одређују се за сваки проблем посебно (пример на слици 12.).

Слика 12 Одређивање силе потиска на потпуно потпољено тело

44

Разлика сила растерећења и оптерећења ( 2 1F F− ) одређује узгонску силу, тј. она представља резултујућу силу притиска. Ово је најпогоднија дефиниција узгонске силе јер су чести случајеви када је тешко да се одреди истиснута запремина, као што је показано на примерима са шрафуром на слици 13.

Слика 13. Примери у којима је одређивање истиснуте запремине компликовано

Стабилност при пливању

Тело које плива може бити у стабилној, лабилној или индиферентној равнотежи, што зависи од положаја тежишта тела и нападне тачке силе узгона. Сва три могућа положаја равнотеже тела која слободно пливају на површини течности, са положајем карактеристичних тачака приказана су на слици 14.

Слика 14. Положаји равнотеже при пливању

Слика 15. Одређивање услова за стабилно пливање

45

Укратко ће се навести шта утиче на пловност тела узимајући за пример брод (слика 15.). Посматраће се стабилност кретања брода у односу на његову уздужну осу, тзв. љуљање брода. Момент стабилности остварује спрег сила узгона Vρg и тежине брода G (из закона пливања обе силе су исте); он дејствује на брод и биће користан (позитиван) ако се под његовим деловањем брод враћа у равнотежни положај. Зато је потребно да се испуни услов

DM CD> или r δ>

Тај услов увек ће бити задовољен ако се тачка М налази изнад тежишта тела С. Пресек силе узгона, која дејствује у било којој нападној тачки D (за дозвољене углове нагиба φ), и вертикалне осе назива се тачком метацентра, тј. метацентар (М). Момент стабилности одређен је изразом

( )sinstM V g rρ δ φ= − .

Метацентарско растојање r одређује се из услова да је момент стабилности једнак збиру момената уроњеног и изроњеног клина (слика 15):

IrV

=

где су: I – момент инерције за осу s-s површине пливања која се добија пресеком оквашене површине тела са слободном површином течности V – запремина истиснуте течности δ - растојање између тежишта тела С и тачке деловања силе потиска. Тачка D налази се у тежишту истиснуте запремине V. За тело које плива стабилност се проверава за осу са најмањим моментом инерције (уздужна оса).

Релативно мировање течности

Течност у суду који се креће транслаторно једноликим убрзањем, односно успорењем или се обрће константном угаоном брзином, налази се у стању релативног мировања; тј. непокретна је у односу на суд. Поред гравитацијске силе (специфициране по маси)

( )0,0,gf g= − ,

јавља се и инерцијска или центрифугална сила (специфицирана по маси)

( )2 2, ,0cf x yω ω= ,

па се равнотежа течности одржава при релативном мировању при транслацији - гравитационим, инерцијским и силама притиска, а при релативном мировању при ротацији - гравитационим, центрифугалним и силама притиска. За одређивање распореда притиска у течности и облика слободне површине – двају карактеристика оваквог стања – користи се Основна једначина

1d d d dx y zf x f y f z pρ

+ + = .

Релативно мировање при транслацији

Ниво слободне површине p=pа, тј. површине истог притиска заузеће нормалан положај на резултујућу силу (векторски збир гравитационе и инерцијске силе), која се формира при

46

транслаторном кретању суда са течношћу једноликим убрзањем, односно успорењем. Површине истог притиска нормалне су на правац резултујуће силе (иначе би се јавиле тангенцијалне силе које би изазвале покретање течности у односу на суд).

Слика 16. Распоред сила при транслаторном кретању

За усвојени кординатни систем у тежишној тачки слободне површине (слика 16), око које се врши њено осциловање, зависно од интензитета убрзања (успорења), основна једначина добија облик:

1d d da y g z pρ

− − =

где су 0, ,x y zf f a f g= = − = − инерцијска и гравитациона сила унешене у једначину са смером дејства према усвојеној оријентацији координатног система, а а и g представљају интензитете ових сила специфицираних по јединици масе течности. Независне променљиве y и z и константе a, g и р дозвољавају интеграцију чији је резултат:

1ay gz p Cρ

− − = + .

Интеграциона константа С одређује се из услова да је за y=z=0, p=pа. После замене С=pа/ρ, следи

( )ap p ay gzρ− = − + .

Једначина слободне површине добија се када се десна страна изједначи са нулом (услов p=pа), а представља се нагибом угла:

tg z ay g

β = − =

Распоред притиска одређен је са

( )ap p ay gzρ= − +

што показује да су површине истог притиска равни паралелне слободној површини. Уколико су присутне велике промене брзина, може се десити да притисак у неким тачкама течности опадне до вредности pk када долази до бурног испаравања, тј. стварања парног мехура који услед мање густине потискује осталу течност и тиме подиже ниво слободне површине. Код судова напуњених течношћу са два или више отвора, при константном убрзању, слободне површине у отворима се формирају – осцилују око тежишне осе свих отвора јер је тако задовољена једнакост запремина при различитим угловима нагиба слободне површине.

47

Релативно мировање при ротацији

Центрифугална сила, створена ротацијом течности при константној угаоној брзини заједно са гравитационом силом условљава специфичан облик слободне површине, који се одређује из Основне једначине

1d d d dx y zf x f y f z pρ

+ + =

где су 2 2, ,x y zf x f y f gω ω= = = − силе по јединици масе пошто је центрифугална сила

2 2 2

2c

v rF m m mrr r

ω ω= = = .

Слика 17. Распоред сила при ротационом кретању сада са течношћу

Замена у основну једначину и интеграција доводе до

( )2

2 212

p x y gz Cωρ

= + − +

која показује да су површине истих притисака обртни параболоиди (уместо х и у координата може се увести координата r као на слици 17). Координатни систем r-z (слике 17 и 18) најпогодније је поставити у теме обртног параболоида, а константа интеграције С=pа/ρ за r=z=0. Taкo je:

( )2 212a

rp p gzωρ

− = −

одакле се одређује распоред притисака.

Слика 18. Површине истог притиска

48

Једначина слободне површине одређена је за p=pа, тј.

2 2 2r gzω =

и не зависи од густине течности него само од угаоне брзине. Притисак течности сразмеран је дубини течности, нпр. за тачку А (слика 18)

2 2

2A a A Ap p r gzρ ω ρ= + − .

Површина истог притиска (p=pА =const.) је површина обртног параболоида

( )2 212r g z hω = +

где је

2 2

1 2A

Arh z

gω

= + ,

односно површина истог притиска је површина подударна слободној површини. Површина константног притиска pА поклапа се са слободном површином ако се помери вертикално навише за висину h1. Положај темена обртног параболоида – тачке у коју се поставља координатни систем r-z, у односу на ниво течности у суду пре обртања, одређује се из услова изједначавања запремине течности пре и за време обртања. Како је запремина обртног параболоида једнака половини запремине ваљка у који је уписан параболоид, добија се (слика 19)

2 212

R h R Hπ π=

тј.

12

h H=

Слика 19. Положај темена обртног параболоида

Висина за коју се подигну крајеви параболоида једнака је висини за коју се спусти теме параболоида, што важи само за случај када је запремина течности пре и за време обртања остала непромењена.