(3.b) modelos exponenciales de colas introducciÓn a
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U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística TEORIA DE COLAS
(3.b) MODELOS EXPONENCIALES de COLAS
INTRODUCCIÓN A LOS PROCESOS DE NACIMIENTO YMUERTE. Ecuaciones de equilibrio. Condición de E.E.
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO: La cola M/M/1. Ilustración del comportamiento.
MODELOS DE COLAS EXPONENCIALES. Trabajo de servidores en paralelo. Casos importantes: M/M/s , M/M/s/K , M/M/s/./N. Propiedades. Longitudes medias y Tiempos de permanencia.
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TIEMPO DE VIDA CONDICIONAL
PROPIEDAD 2. Caso exponencial. Ausencia de memoria
θ s
τi-1 τi
Máquina 1
Máquina 2τ1
τ2
τN=2 N=3 N=5
N=20 N=50Palm(1943)
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PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE
Puede ocurrir que el tiempo entre llegadas τ sea v.a. condistribución dependiente del estado N del sistema.
τi1 τi2
τi3 τik … …t
τik
• "Nacimiento" indica llegada al S.E• "Muerte" indica salida del S.E.
1. Si ( ) ntN = el tiempo entre llegadas τ ~ exp. de parámetro nλ .2. Si ( ) ntN = el tiempo de servicio ~exp. De parámetro nµ .
Sólo una llegada o una salida al/del sistema puede darse encada instante t.
Diagrama de tasas de transición
Muestra las posibles transiciones permitidas en el estado del sistema enun instante.
La distribución de probabilidades del estado del sistema, N(t), en régimenestacionario es relativamente intuitivo de deducir a partir del diagrama detasas de transición.
0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •
λ0 λn-1λ2λ1 λn λn+1
µ1 µ2 µ3 µn µn+1 µn+2
Tasas del proceso de llegadas al S.E.
Tasas del proceso de servicio en el S.E.
0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •
λ0 λn-1λ2λ1 λn λn+1
µ1 µ2 µ3 µn µn+1 µn+2
( )( )
( )( )
M
M
M
M
nnnnnnn
nnnnnnn
PPPPPP
PPPPPP
PP
nn
emergenteTasaincidenteTasaEstado
⋅+=⋅+⋅⋅+=⋅+⋅
⋅+=⋅+⋅⋅+=⋅+⋅
⋅=⋅
−
=
++−−
−−−−−
µλµλµλµλ
µλµλµλµλ
λµ
1111
11122
2223311
1112200
0011
1
210
Hay tantas ecuaciones como valores pueda presentar N(t), portanto, si en el S.E. sólo pueden haber como máximo K clientes,habrán K+1 ecuaciones.
( )
( ) ( )
( ) ( )
⋅=⋅==
⋅=⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅−⋅⋅+⋅=
⋅=⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅−⋅⋅+⋅=
⋅=⋅=⋅−⋅⋅+⋅=
⋅=
+++
−−
−−
−−−−−−
−
MK
KL
K
KM
0121
10
11
021
1101
100111
122111
1
0321
2102
3
20011
32
3
21122
32
3
23
021
101
2
10011
21
2
12
01
01
11
11
1
PPP
PPPPPPPPP
PPPPPPPPP
PPPPPP
PP
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
nnnnn
nn
n
nn
µµµλλλ
µλ
µµµλλλ
µλ
λµµµ
λλµ
µµλ
µµµλλλ
µλ
λµµµ
λλµ
µµλ
µµλλ
µλ
λµµµ
λµλ
Resolución del sistema de ecuaciones
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1 ; 21 0
21
110 === − CnCn
nn K
K
K ,,µµµ
λλλ
KK
K ,,210021
110 =⋅=⋅= − nPCPP nn
nn µµµ
λλλ
∑∑
∑∞
= ∞
=
∞
==→=⋅=
0
0
000
11n
nn
nn
nC
PPCP
+∞<∑∞
=0nnC
Las probabilidades de estadoestacionario quedan definidas si:
En caso de que el S.E. pueda contener sólo K clientes como máximo,el sumatorio se extiende de n=0 a n=K y siempre será finito.
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO: el modelo M/M/1
Hipótesis del modelo:
• Tiempos entre llegadas i.i.d. de ley exponencial con parámetro λλ =n .• Tiempos de servicio i.i.d. según una ley exponencial de parámetro µµ =n .• Un único servidor, s = 1.
0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •
λ λλλ λ λ
µ µ µ µ µ µ
K
K
,2,1,2,1,0
====nn
n
n
µµλλ
➨ Hay régimen estacionario si el factor de carga del S.E. es µλρ = <1
➨ Dado que 1<ρ
→===
== − 1,2,1 021
110 CnC nn
n
nn K
K
K ρµλ
µµµλλλ
K,2,1,000 =⋅=⋅= nPPCP nnn ρ
y por tanto,
( ) K,2,1,010 =−⋅=⋅= nPCP nnn ρρ
ρ
ρρ
−=
−
=∑
=∑
= ∞
=
∞
=
1
11111
00
0
n
n
nnC
P
1000
=∑=∑∞
=
∞
=PCP
nn
nn
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EJEMPLO DE LA EVOLUCIÓN DE UNA COLA M/M/1COMPORTAMIENTO: Pueden presentarse dos situaciones:
1. En promedio la afluenciade clientes al S.E.sobrepasa la capacidad detrabajo del Sistema deServicio:
N(t) PRESENTA UNATENDENCIA CRECIENTE
2. El Sistema de Servicio tienesuficiente capacidad detrabajo frente a la afluenciade clientes:
N(t) puede crecer en ocasiones,pero el S.E. siempre retorna al
estado 0 (vacío)
t
N(t)
N(t)
t
ρ ≥ 1
ρ <1
➨ La esperanza matemática de la variable aleatoria estado del sistema ( 1<ρ )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) λµ
λρ
ρρ
ρρ
ρρρρρ
ρρρ
ρρρρρρρ
−=
−=
−⋅−⋅=
=
−
⋅−⋅=
−⋅=
=⋅−⋅=⋅−=⋅−⋅=⋅=
∑
∑∑∑∑∞
=
−∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
1111
1111
111
2
0
1
0000
dd
dd
nnnPnL
n
n
n
n
n
n
n
nnn
➨ La esperanza matemática de la variable aleatoria longitud de cola en un sistema deespera M/M/1 ( 1<ρ )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )λµµλ
ρρρ
ρρρ
−⋅=
−=−
−=−=
=−−=−⋅=⋅−=∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
=22
01 11
11
11
L
PLPPnPnLn n
nn
nnq
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UTILIZACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE LITTLE
Distribución de la v.a. tiempo depermanencia en el S.E. de uncliente:
w ~ exp. E[w]=W
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TIEMPO DE VIDA CONDICIONAL
PROPIEDAD 2. Caso exponencial. Ausencia de memoria
θ s
τi-1 τi
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TRABAJO DE SERVIDORES EN PARALELO
La variable aleatoria U definida como el mínimo de entre nvariables aleatorias independientes y exponenciales nTT ,,1 L ,
de parámetros respectivos nαα ,,1 L , sigue una ley exponencial
de parámetro ∑=
=n
ii
1αα .
es decir, { }nTTMinU ,,1 K= y por tanto la función de distribución de U ,
( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( )tttt
nnU
eeee
tTPtTPtTtTPtUPtUPtFn
i in αααα −−−− −=∑−=−=
=>>−=>>−=>−=≤== 111
1,,1111
11
L
LK
U P C
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La interpretación que puede darse de la propiedad en el caso del tiempo entrellegadas es que si la población esta constituida para diferentes clases de clientesque llegan cada una al sistema de espera según una ley exponencial vinculada ala clase, entonces el tiempos entre las llegadas de 2 clientes cualesquiera sigueuna ley exponencial, o el que es equivalente, la población puede tratarse desdeel punto de vista de la distribución entre llegadas al sistema de espera como sifuera homogénea.
Fuente 1
Fuente 2
Fuente n
α1
α2
αn
α1 + α2 + …+αn
U P C
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Si hay n servidores, el tiempo que resta hasta la próxima finalizaciónde servicio no depende del instante ni del servidor que ha completadoel último servicio y sigue una distribución exponencial, lo que permitetratar sistemas de espera con n>1 servidores, como si tuvieran unúnico servidor pero que trabaja tan rápido como los n juntos.
Supongamos n fuentes exponenciales y sean r1 …rn los intervalos de tiempotranscurridos desde el último suceso para las fuentes 1 … n respectivamente.Consideremos variables aleatorias s1 …sn , tiempos contados desde el instanteactual hasta el próximo suceso para cada una de las n fuentes.
Por la propiedad de ausencia de memoria lasvariables aleatorias s1, … sn también sedistribuyen exp. con parámetros α1 , α2 …, αn
el tiempo contado a partir del instante actualhasta que algún otro suceso proviniente delas n fuentes se produzca, se distribuye
exponencialmente con parámetro ∑==
n
ii
1αα .
r1
r2
rn
s1
s2
sn
Instante actual
• Tiempos entre llegadas τ i.i.d. de ley exp. con parámetro λ.• s > 1 servidores iguales.• Tiempo de servicio x i.i.d. según una ley exp. de parámetro µ.
+=⋅−=⋅
=
==
K
KK
,,,,,,,,
1121
210
ssnssnn
n
n
n
µµ
µ
λλ
MODELO M/M/s
0 1 2 s-1 s s+1• • • • • •
λ λλλ λ λ
µ 2µ 3µ sµ sµ sµ
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística
Si el factor de carga ρ del S.E. 1<⋅
=µ
λρs
+=
−=
== −−
K
K
K
K
,,!
,,,!
11
1211
21
110
ssnss
snnC sns
n
n
nn
µλ
µλµλ
µµµλλλ
+=⋅
−=⋅
=⋅= −
K
K
,,!
,,,!
11
1211
0
0
0
ssnPss
snPnPCP sns
n
nn
µλ
µλµλ
ρµλ
µλ
µλ
µλ
µλ
−
+
=
+
==
→=⋅=
∑∑∑∑
∑∑
−
=
∞
=
−−
=
∞
=
∞
=
∞
=
1111
111
111
1
0
1
00
0
00
0
ss
n
n
sn
snss
n
n
n n
n nn n
snssnC
P
PCP
!!!!
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística
( ) ( )
( )⋅
−
=
==
=⋅=⋅−= ∑∑ ∑
∞
=
−+∞
=
∞
=+
20
00
0
11
1
ρρ
µλ
ρµλ
Ps
PsnPnPsnL
s
n
snss
sn n nsnq
!
...!
µλ
µλλ +=
+⋅=⋅=⋅= ∑
∞
nn LWWPnL 1
0
Resumen del cálculo de una cola M/M/s (se conocen λ, µ, s)
=→+=
=
→−
=→
λµλ
λ
ρρ
µλ
LWLL
LW
PsLP
q
qqs
q)1(!
12
00
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{ }( )
ρµλρ
µλ
ρµλ
−
=
=
=
==≥
∑
∑∑
∞
=
∞
=
−∞
=
111
1
0
00
0
Ps
Ps
Ps
PsnPs
n
ns
sn
sns
sn n
!!
!Fórmula C-Erlang
Distribuciónde Poisson
U P C
I.O.E. Diplomatura de Estadística
El modelo M/M/s/K
Sistema de espera con limitación de capacidad que presupone:
1. Tiempos entre llegadas τ i.i.d. exp. de parámetro λλ =n .
2. Tiempos de servicio x i.i.d. exp. de parámetro µ .
3. Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.
4. El número de clientes al sistema de espera es ≤ K.
El número máximo de clientes N(t) presentes en el S.E. debe ser ≤ K
Si el S.E. está lleno al llegar un cliente éste se pierde:
➨ Siempre alcanzará régimen estacionario.
0 1 2 s-1 s s+1• • • • • •
λ λλλ λ λ
µ 2µ 3µ sµ sµ sµ
K
U P C
I.O.E. Diplomatura de Estadística
1
,2,10
,,1,!
1
1,,2,1!
1
021
110 =
++=
+=
−=
==−
− Ci
KKn
Kssnss
snn
Csns
n
n
nn
K
K
K
K
K
µλ
µλµλ
µµµλλλ
➨ Lo que facilita el estado del sistema en régimen estacionario: 0PCP nn ⋅=
∑∑∑
∑∑
=
−−
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
==
→=⋅=
K
sn
snss
n
n
nn
nn
nn
ssnC
P
PCP
µλ
µλ
µλ
!1
!1
11
1
1
00
0
00
0
; 1≠⋅
=µ
λρs .
Si K no es demasiado alto es aconsejable utilizar las fórmulasgenerales para procesos de nacimiento y muerte en equilibrio.
U P C
I.O.E. Diplomatura de Estadística
( )KK
n
K
nnn
nnn PPPP −⋅=⋅=⋅=⋅= ∑ ∑∑
−
=
−
=
∞
=
11
0
1
00
λλλλλ
Población Sistema de Espera
Si N (t) < K
Si N (t) = K
U P C
I.O.E. Diplomatura de Estadística
• La esperanza matemática de la variable aleatoria longitud de cola
( ) ( )
( )( ) ( )( ).11
1!1....
...!
1!
1
20
00
00
ρρρρ
ρµλ
ρµλρ
µλ
−⋅⋅−−−−
=
∑ =
=∑
=∑ ⋅−=
−−
−
=
−
=
−+∞
=
sKsKs
sK
n
ns
sK
n
snss
snnq
sKPs
nPs
PsnPsnL
En las fórmulas presentadas se ha supuesto 1≠⋅
=µ
λρs .
• La esperanza matemática de la variable aleatoria estado del sistema.
µλ
µλλ +=
+⋅=⋅=⋅= ∑∞
nn LWWPnL 1
0
Aplicación de las fórmulas de Little para el calculo de W y qW .
[ ]λLWEW ==
[ ]
λq
LWEW ==
MODELO M/M/s/./N
S.E. con población finita (N) que presupone:
• Tiempo de permanencia en la población de los clientes i.i.d según leyexp. de parámetro λ
• Tiempos de servicio por servidor i.i.d. según ley exp. de parámetro µ.• Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.• Una población finita de clientes limitado al valor N. Para simplificar
se supone N > s.Es un S.E. cerrado: Hay siempre N clientes (población+S.E.)
Tras salir del S.E. el cliente se reintegra en la Población
Población Sistema de Espera
EJEMPLO: TALLER DE REPARACIONES
Población Sistema de Espera
En un taller de reparación de motores hay 3 mecánicos.Atienden un conjunto de 12 motores de una planta.• Cada mecánico repara un motor en un tiempo x ~ exp. E[x]=1día.• Tras repararse un motor es puesto en servicio inmediatamente.• El tiempo entre averías de un motor τ ~ exp. E[τ]=20 días.
Motoresfuncionando
TALLER
M/M/s/./N: DIAGRAMA DE TASAS
0 1 2 N-3 N-2 N-1• • •
Nλ 3λ(N-2)λ(N-1)λ 2λ λ
µ 2µ 3µ sµ sµ sµ
N
( )
( ) 1
,2,10
,,1,!!
!
1,,2,1!!
!
021
110 =
++=
+=
−
−=
−
==−
− Ci
NNn
NssnssnN
N
snnnN
N
Csns
n
n
nn
K
K
K
K
K
µλ
µλµλ
µµµλλλ
( ) ( )∑∑∑
∑∑
=
−−
=
∞
=
∞
=
∞
=
−+
−
==
→=⋅=
N
sn
snss
n
n
n n
n nn n
ssnNN
nnNNC
P
PCP
µλ
µλ
µλ
!!!
!!!1
00
0
00
0
111
No se puede conseguiruna expresión analíticacompacta y los cálculoscon población finita sedesarrollan a partir detablas específicas.
U P C
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( ) ( )∑ ∑ ⋅−=⋅−=∞
= =sn
N
snnnq PsnPsnL
➨ La esperanza matemática de la variable aleatoria estado del sistema se puede
deducir a partir de qL ,
−⋅++⋅=⋅+⋅=⋅= ∑∑∑∑∑
−
=
−
==
−
=
∞
=
1
0
1
0
1
00
1s
nnq
s
nn
N
snn
s
nn
nn PsLPnPnPnPnL
➨ Cálculo de la tasa media efectiva de llegadas por unidad de tiempo,
➨ La aplicación de las fórmulas de Little permite deducir el tiempo medio de espera en elsistema W y en la cola de los sistema qW
[ ]λLWEW == y [ ]
λq
LWEW == .
( )
( ) λλλλλ
λλλλλ
⋅−=⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅=
=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−=⋅=
∑
∑ ∑ ∑ ∑
=
∞
= = = =
LNLNPnN
PnPNPnNPN
nn
n
N
n
N
n
N
nnnnnn
0
0 0 0 0
M/M/c system-size probabilities
0,000,050,100,150,200,25
0 2 4 6 8 10
size
prob
abilit
y
CDF for M/M/c line waiting times
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0 0,5 1 1,5time
cdf
SESION DE PROBLEMAS:USO de QTS_EXCEL
U P C
I.O.E. Diplomatura de Estadística
Terminal de facturación de equipaje
Un terminal de facturación dispone de 2 operarios que atienden los clientes quellegan según una distribución de Poisson de media 80 clientes por hora y esperen enuna cola única hasta que alguno de los operarios esté libre. El tiempo requerido paraatender un cliente esta distribuido exponencialmente con media 1.2 minutos.1. Cual es el número esperado de clientes en la terminal de hacecturación?2. Cual es el tiempos medios que un clientes pasa a la terminal de hacecturación?3. Qué porcentaje del tiempo está libre un determinado operario?
Modelo M/M/2
Tasa de llegadas 80=λ clientes/hora 8.0502
80 =⋅
=⋅
=µ
λρs
Tasa de servicio por operario 502.1
60 ==µ clientes/hora.
=→+=
=
→=→−
λµλ
λρ
ρµλ
LWLs
L
LWPLPq
s
q )1( 20
0 !1
U P C
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111.0
8.011
5080
!21
5080
!1
1
11
!1
!1
121
0
1
0
0 =
−
+
=
−
+
=
∑∑=
−
= n
nss
n
n
nsn
P
ρµλ
µλ
( )( )
( )84.2
8.018.0111.0
58
!21
1!1
2
2
20 =−
=
−
=
ρρ
µλ P
sL
s
q clientes
1. El número medios de clientes en el terminal de facturación es
44.4508084.2 =+=+=
µλ
qLL clientes.
2. Un clientes pasa en promedio en el terminal de facturación 0555.08044.4 ===
λLW horas
= 3.33 minutos.
3. ( ) ( ) 2.058211211211 00110 =⋅⋅+=⋅⋅+=⋅+⋅ PPCPP
■
U P C
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El servicio de urgencias de un hospital
El servicio de urgencias de un hospital dispone permanentemente de un médico deguardia, pero se han detectado tiempos de espera desaconsejables en muchas ocasiones,de manera que Dirección del Hospital quiere avaluar los beneficios de disponer de unsegundo médico de urgencias. La tasa de llegada de enfermos al servicio de urgenciases de 1 paciente cada 30 minutos y el tiempo medio de servicio es de 20 minutos para
paciente. Determinar los parámetros WiWLLP qq ,,,, 0ρ con s=1 y s=2 médicos deguardia. Determinar la función de distribución de probabilidad del tiempo de espera hastaser examinado un paciente en ambas situaciones.
En el caso M/M/1,
32==
µλρ ; 3
132110 =−=−= ρP pacientesL 2
32132
1=
−=
−=
ρρ
( ) pacientesLq 34
32132
1
22
=−
=−
=ρ
ρ
hora 112 ===
λLW ( ) hora
32132 =⋅=⋅= WWq ρ
U P C
I.O.E. Diplomatura de Estadística
En el caso M/M/2, 31
322 =⋅
=⋅
=µ
λρs .
21
3111
32
!21
32
!1
1
11
!1
!1
121
0
1
0
0 =
−
+
=
−
+
=
∑∑=
−
= n
nss
n
n
nsn
P
ρµλ
µλ
( ) ( ) pacientesPs
Ls
q 121
31131
21
32
!21
1!1
2
2
20 =−
=
−
=
ρρ
µλ
pacientesLL q 43
32
121 =+=+=
µλ
horasLW 83
21
43 =⋅==
λ horasL
W qq
241
21
121 =⋅==
λ■
=→+=
=
→=→−
λµλ
λρ
ρµλ
LWLs
L
LWPLPq
s
q )1( 20
0 !1
U P C
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Ejemplo: El Asesor Fiscal
Un asesor fiscal dispone de un local para atender a sus clientes, los cuales se concentranmayoritariamente durante los meses de mayo y junio. El local tiene una capacidadmáxima de 8 asientos en espera, el cliente se va si no encuentra un asiento libre, y eltiempo entre llegadas de clientes se puede considerar distribuidoexponencialmente según un parámetro 20=λ clientes por hora en período punta. Eltiempo de una consulta esta distribuido exponencial con una media de 12 minutos,
1. ¿Cuantas consultas por hora realizará en promedio?
2. ¿Cual es el tiempo medio de permanencia en el local?
El modelo es M/M/1/9 4520 ===
µλρ
9,2,10
,,2,1,01
11
0 =
++=
=−
−⋅=⋅= + KKKn
KnPCP Kn
nn
K
Kρ
ρρ, 75.0
41414
11
109
109
099 =−−⋅=
−−⋅=⋅=ρρρPCP
( ) ( ) 575.01201 90
=−⋅=−⋅=⋅= ∑∞
=
PPn
n λλλ clientes/hora
( ) 6.841410
414
11
1 10
10
1
1 )=
−⋅−
−=
−+−
−= +
+
K
KKLρ
ρρ
ρ clientes [ ] 37.1
56.8 ))
====λLWEW horas.
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Modelo de Reparación de AvionetasUna pequeña compañía aérea de una isla de las Antillas dispone de 5 avionetas, que hayque reparar con una tasa de 1 cada 30 días. Se disponen de 2 técnicos para reparaciones,cada uno de los cuales necesita un promedio de 3 días para una reparación. Los tiemposentre averías y de reparación son exponenciales.1. Determinar el número medios de avionetas en funcionamiento.2. Calcular el tiempo medio que una avioneta esta fuera de servicio cuando requiere una
reparación.3. Calcular el porcentaje del tiempo que un determinado técnico esta libre.
El modelo es exponencial y de población finita: M/M/2//5. La tasa de averías es 301=λ
avionetas por día y la tasa de reparaciones es 31=µ avionetas por día.
El número medios de avionetas en funcionamiento es el número total de avionetas, N,menos el número esperado de avionetas en reparación, L:
∑=
⋅−=−=−N
nnPnLLN
055 .
Hay que determinar las 0PCP nn ⋅= y para esto hacen falta las nC y 0P .
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i 0 1 2 3 4 5iC 1 0.5 0.1 0.015 0.0015 0.000075
∑∑
∑∞
=
=
∞
=
=+++++
==→=⋅=0
5
0
000
619.0000075.00015.0015.01.05.01
111n
nn
nn
n
CPPCP
i 0 1 2 3 4 5iP 0.619 0.310 0.062 0.009 0.001 0.00004
➨ 535.4465.05550
=−=⋅−=−=− ∑=
N
nnPnLLN avionetas en promedio en funcionamiento.
( )
( )
15,,2
1021
101
!2!5!5
1101
!!5!5
02221
110 =
=
⋅
−
=
−== −− Cy
nn
nnnC n
n
n
nn
KK
K
µµµλλλ
( )
( )
=⋅
⋅
−
=⋅
−=⋅= −
5,,21021
101
!2!5!5
1101
!!5!5
0
22
0
0
KnPn
nPnnPCP n
n
nn
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➨ El tiempo medio que una avioneta pasa en reparación es W.
08.3151.0465.0 ===
λLW días
donde ( ) ( ) ( ) 151.0535.4301465.05
301 =⋅=−⋅=−⋅= LNλλ
➨ La fracción de tiempo que un determinado técnico pasa inactivo es774.0310.05.0619.05.0 10 =⋅+=⋅+ PP .
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( 3.c) INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS NO EXPONENCIALESY REDES DE COLAS
• INTRODUCCIÓN A LAS REDES DE COLAS. Concepto de red abierta y cerrada. Redes abiertas y Teorema de Jackson.
• MODELOS NO EXPONENCIALES Cola M/G/1: Fórmula de Pollaczeck-Khintchine. Cola G/M/1: casos Ek/M/1, Hip/M/1, Hyp/M/1. Uso de QTS_EXCEL.
• APROXIMACIONES PARA COLAS GI/G/s. Aproximación de Allen-Cuneen. Aproximaciones para colas congestionadas (Heavy Traffic)